Examkin

Geometri

436 soru

Soru 41Soru →

ABCABC bir üçgen, [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir. ADEADE üçgeninin alanı 9 cm29 \text{ cm}^2 ve BCEDBCED dörtgeninin alanı 16 cm216 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ∣AD∣∣DB∣\frac{|AD|}{|DB|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

İstenen oran 32\frac{3}{2}'dir.
Doğru cevap, alanlar oranından (925\frac{9}{25}) benzerlik oranına (35\frac{3}{5}) geçilip, bu oranın kenar parçalarına (∣AD∣=3k,∣DB∣=2k|AD|=3k, |DB|=2k) doğru dağıtılmasıyla bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam alanı hesapla.
ABCABC üçgeninin toplam alanı = 9+16=25 cm29 + 16 = 25 \text{ cm}^2.
Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin (ADEADE) alanının büyük üçgenin (ABCABC) alanına oranlanması gerekir.
2
Alanlar oranından benzerlik oranını (kk) bul.
A(ADE)A(ABC)=925=k2⇒k=925=35\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{9}{25} = k^2 \Rightarrow k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Kenar uzunluklarını oranla ilişkilendir.
k=∣AD∣∣AB∣=35k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{5} olduğu için ∣AD∣=3x|AD| = 3x ve ∣AB∣=5x|AB| = 5x diyebiliriz.
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
4
İstenen ∣AD∣/∣DB∣|AD|/|DB| oranını hesapla.
∣DB∣=∣AB∣−∣AD∣=5x−3x=2x|DB| = |AB| - |AD| = 5x - 3x = 2x. Buradan ∣AD∣∣DB∣=3x2x=32\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}.
Soruda tüm kenarın değil, parçaların oranı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan1Alan2k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}).

İpuçları

1
Önce küçük üçgen (ADEADE) ile büyük üçgenin (ABCABC) alanlarını oranlayın.
2
Üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine (k2k^2) eşittir.
3
Benzerlik oranı 3/53/5 bulunur. Bu, kenarın 3 parçasının yukarıda, tamamının 5 parça olduğu anlamına gelir.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı verilen iki üçgenin alanları farkının sorulduğu bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 42Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [AN][AN] ile ACAC kenarına ait kenarortay doğrusu [BM][BM] birbirine diktir.

∣AB∣=6|AB| = 6 cm ve ABCABC üçgeninin çevresi 2828 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Soruda verilen kritik bilgi, AA açısına ait açıortayın (ANAN), ACAC kenarına ait kenarortaya (BMBM) dik olmasıdır. Geometride 'Yaki' kuralı (Yükseklik, Açıortay, Kenarortay, İkizkenar) gereği, bir doğru parçası hem açıortay hem de yükseklik görevi görüyorsa, o üçgen ikizkenardır. Burada ABMABM üçgeninde AKAK doğrusu hem açıortay hem de yükseklik olduğundan ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| olur. BMBM kenarortay olduğu için ∣AM∣=∣MC∣|AM|=|MC|'dir. Dolayısıyla ∣AC∣=2∣AB∣=12|AC| = 2|AB| = 12 cm bulunur. Çevre 2828 cm olduğundan, ∣BC∣=28−(6+12)=10|BC| = 28 - (6+12) = 10 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geometrik ilişkiyi analiz et.
AA köşesinden çizilen iç açıortay [AN][AN], ACAC kenarına ait [BM][BM] kenarortayına diktir. Bu durum özel bir ikizkenar üçgen yapısı oluşturur.
Açıortayın aynı zamanda yükseklik olması, o üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir.
2
Kesişim noktasını tanımla ve ikizkenar üçgeni belirle.
[AN][AN] ve [BM][BM] doğrularının kesişim noktasına KK diyelim. △ABK\triangle ABK ve △AMK\triangle AMK üçgenlerinde AKAK hem açıortay hem de yüksekliktir. Bu durumda △ABM\triangle ABM ikizkenar üçgen olur ve ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| eşitliği sağlanır.
Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, o üçgen ikizkenardır.
3
ACAC kenar uzunluğunu ABAB cinsinden ifade et.
[BM][BM] kenarortay olduğu için ∣AM∣=∣MC∣|AM| = |MC|'dir. ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| olduğundan, ∣AC∣=∣AM∣+∣MC∣=∣AB∣+∣AB∣=2∣AB∣|AC| = |AM| + |MC| = |AB| + |AB| = 2|AB| olur.
Kenarortay kenarı iki eş parçaya böler.
4
Verilenleri kullanarak denklemi kur ve çöz.
∣AB∣=6|AB| = 6 cm ise, ∣AC∣=2⋅6=12|AC| = 2 \cdot 6 = 12 cm olur. Çevre =∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=28= |AB| + |AC| + |BC| = 28 cm. 6+12+∣BC∣=28⇒18+∣BC∣=28⇒∣BC∣=106 + 12 + |BC| = 28 \Rightarrow 18 + |BC| = 28 \Rightarrow |BC| = 10 cm.
Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açıortay doğrusu ile kenarortay doğrusu dik kesişiyorsa, bu doğruların oluşturduğu alt üçgen ikizkenardır ve esas üçgenin kenarları arasında 1:21:2 oranı vardır.

İpuçları

1
Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, bu üçgenin kenarları hakkında ne söylenebilir? İkizkenar üçgen özelliklerini hatırlayın.
2
ANAN ve BMBM doğrularının kesişim noktasına odaklanın. ABMABM üçgeninde açıortayın tabana dik inmesi, ∣AB∣|AB| ve ∣AM∣|AM| kenarları arasında bir eşitlik olduğunu gösterir.
3
∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| eşitliğini ve MM noktasının ACAC kenarını ikiye böldüğünü (∣AM∣=∣MC∣|AM|=|MC|) kullanın. Bu, ∣AC∣|AC|'nin ∣AB∣|AB|'nin iki katı olduğu anlamına gelir.

Daha Fazla Pratik

Aynı kuralın dış açıortay ile olan versiyonunu içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İç açıortay teoremi kullanılarak da çözülebilir, ancak 1:21:2 oranı bulunduğu için en pratik yol 'Yaki' kuralıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 43Soru →

Dik koordinat düzleminde 2x−3y+12=02x - 3y + 12 = 0 doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan üçgensel bölgenin alanını iki eş parçaya bölen ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x+3y=02x + 3y = 0

Cevap

Alanları iki eş parçaya bölen doğru denklemi 2x+3y=02x + 3y = 0 şeklindedir.
Verilen doğrunun eksenleri kestiği noktalar (−6,0)(-6, 0) ve (0,4)(0, 4)'tür. Orijin ile bu iki nokta arasında kalan dik üçgenin alanını orijinden geçerek ikiye bölen doğru, bu noktaları birleştiren doğru parçasının (hipotenüsün) orta noktası olan (−3,2)(-3, 2) noktasından geçmek zorundadır. (0,0)(0,0) ve (−3,2)(-3, 2) noktalarından geçen doğrunun eğimi −2/3-2/3 olup denklemi 2x+3y=02x + 3y = 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak.
x=0x = 0 için y=4y = 4 ve y=0y = 0 için x=−6x = -6.
Üçgenin köşelerini belirlemek için eksen kesim noktaları gereklidir.
2
Orijin ile oluşan üçgenin hipotenüsünün orta noktasını hesaplamak.
M=(−6+02,0+42)=(−3,2)M = (\frac{-6+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (-3, 2).
Bir üçgenin alanını bir köşesinden geçen doğru ile ikiye bölmek için doğrunun karşı kenarın orta noktasından geçmesi gerekir.
3
Orijin (0,0)(0,0) ve M(−3,2)M(-3, 2) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulmak.
m=2−0−3−0=−23m = \frac{2 - 0}{-3 - 0} = -\frac{2}{3}.
Doğru denklemini yazmak için eğim gereklidir.
4
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemini oluşturmak.
y=−23x⇒3y=−2x⇒2x+3y=0y = -\frac{2}{3}x \Rightarrow 3y = -2x \Rightarrow 2x + 3y = 0.
Bulunan eğim ve geçilen nokta kullanılarak genel denklem formuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin bir köşesinden geçen kenarortay, üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.

İpuçları

1
Öncelikle 2x−3y+12=02x - 3y + 12 = 0 doğrusunun xx ve yy eksenlerini hangi noktalarda kestiğini bulun.
2
Orijinden çıkan ve üçgenin alanını ikiye bölen doğru, aslında üçgenin hipotenüsüne ait kenarortaydır.
3
(−6,0)(-6, 0) ve (0,4)(0, 4) noktalarının orta noktasını bularak orijin ile bu nokta arasındaki eğimi hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriğini bulma veya paralel iki doğru arasındaki uzaklık sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin alanı 6×42=12\frac{6 \times 4}{2} = 12 birimkaredir. İstenen alan 6 birimkare olmalıdır. Orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile 2x−3y+12=02x - 3y + 12 = 0 doğrusunun kesişim noktasının koordinatlarını bulup, oluşan küçük üçgenin alanını 6'ya eşitleyerek mm değerini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 44Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu 8 birim olan tahta bir küpün, karşılıklı iki yüzeyinin merkezinden geçen, taban yarıçapı 3 birim olan dik dairesel silindir biçimindeki bir parça oyulup çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan cismin yüzey alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 384 + 30π

Cevap

384 + 30π
Küpün yüzey alanı hesaplanırken, silindirin giriş ve çıkış yaptığı iki dairesel alan küp yüzeyinden eksilirken, küpün içinde oluşan silindirik boşluğun yanal yüzeyi toplama eklenmelidir. Başlangıç alanı 384, eksilen alan 18π, eklenen alan 48π olduğundan sonuç 384 + 30π bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki küpün toplam yüzey alanını hesapla.
Alan = 6 · a² = 6 · 8² = 6 · 64 = 384 birimkare.
Küpün 6 eş yüzeyi vardır.
2
Oyulup çıkarılan dairesel parçaların (taban ve tavan) alanını hesapla ve çıkar.
Çıkan Alan = 2 · (π · r²) = 2 · π · 3² = 18π birimkare.
Silindir küpün bir yüzeyinden girip karşısından çıktığı için küpün yüzeyinden iki daire eksilir.
3
Küpün içinde oluşan yeni silindirik yüzeyin (yanal alan) alanını hesapla ve ekle.
Eklenen Alan = 2 · π · r · h = 2 · π · 3 · 8 = 48π birimkare.
Oymanın sonucunda cismin içinde bir silindir yüzeyi oluşur; bu yüzey toplam alana dahil edilir. Silindirin yüksekliği küpün bir kenarına (8) eşittir.
4
Toplam yüzey alanı değişimini başlangıç alanına uygula.
Toplam Alan = 384 - 18π + 48π = 384 + 30π birimkare.
Eksilen ve eklenen alanlar toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir cisimden parça çıkarıldığında yüzey alanı, eksilen yüzeyler kadar azalırken yeni oluşan yüzeyler kadar artar.

İpuçları

1
Cismin yüzey alanı değişimi = (Eklenen Yüzeyler) - (Çıkan Yüzeyler).
2
Silindir küpün içinden geçtiği için küpün alt ve üstünde iki daire boşluk oluşur, ancak içeride yeni bir 'duvar' (silindir yanal yüzeyi) meydana gelir.
3
Silindirin yüksekliği küpün bir kenarına (8 birim) eşittir. Yanal alan 2πrh formülüyle hesaplanmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, silindirin yarısı kadar derinliğe oyulduğu (boydan boya geçmediği) durum için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Alan Değişimi Metodu: Sadece değişime odaklanın. Eksilen: 2 daire (-2·π·3² = -18π). Eklenen: Silindir Yanal Alanı (+2·π·3·8 = +48π). Net Değişim: +30π. İlk alan (384) + Değişim (30π).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 45Soru →

Şekildeki KLMKLM üçgeninde, LL açısı geniş açıdır. [LM][LM] kenarının uzantısı üzerinde alınan bir HH noktası için [KH]⊥[HM][KH] \perp [HM] dir. ∣KH∣=12 cm|KH| = 12\text{ cm} ve ∣LM∣=15 cm|LM| = 15\text{ cm} olarak verilmiştir. KMKM kenarı üzerinde bir PP noktası işaretlenmiş olup 2∣KP∣=3∣PM∣2|KP| = 3|PM| eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, PLMPLM üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

PLM üçgeninin alanı 36 cm² dir.
Soruda öncelikle KLM üçgeninin toplam alanı, taban (15) ve dış yükseklik (12) kullanılarak 90 cm² olarak bulunur. Daha sonra, L noktasını ortak tepe noktası kabul eden KPL ve PML üçgenleri incelenir. Bu üçgenlerin yükseklikleri eşittir (L'den KM kenarına inen dikme). Bu nedenle alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır. ∣PM∣/∣KM∣=2/5|PM|/|KM| = 2/5 oranı kullanılarak toplam alanın 2/5'i hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük üçgenin (KLM) alanını hesapla.
Alan(KLM) = (Taban × Yükseklik) / 2 = (15 × 12) / 2 = 90 cm²
Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dış bölgesinde olabilir; burada taban LM, yükseklik ise dışarıdaki KH'dir.
2
Verilen kenar oranını birim cinsinden ifade et.
2|KP| = 3|PM| olduğundan, |KP| = 3k ve |PM| = 2k diyebiliriz. Toplam kenar |KM| = 5k olur.
Oran-orantı özelliğini kullanarak parçaları katsayı cinsinden yazmak alan paylaşımını kolaylaştırır.
3
Alan paylaşımı kuralını uygula.
Alan(PLM) / Alan(KLM) = |PM| / |KM| = 2k / 5k = 2/5
Tepe noktaları ortak olan (L noktası) üçgenlerin alanları, taban uzunlukları (PM ve KM) ile doğru orantılıdır.
4
Sonucu hesapla.
Alan(PLM) = 90 × (2/5) = 36 cm²
Toplam alanın 2/5'i hesaplanarak istenen bölgenin alanı bulunur.

Anahtar Kavram

Alan Paylaşımı (Tepe Noktası Ortak Üçgenler)

İpuçları

1
Önce KLM büyük üçgeninin alanını, verilen dış yükseklik ve taban uzunluğunu kullanarak hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı verilen ve alan istenen (k² kuralının geçerli olduğu) bir soru çözerek farkı pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 46Soru →

Şekilde [AB∥[CD[AB \parallel [CD olmak üzere, [AE][AE] ışını BAK^\widehat{BAK} açısının, [CE][CE] ışını ise DCK^\widehat{DCK} açısının açıortayıdır.

m(AKC^)+m(AEC^)=216∘m(\widehat{AKC}) + m(\widehat{AEC}) = 216^\circ

olduğuna göre, m(AKC^)m(\widehat{AKC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

İstenen açının ölçüsü 144 derecedir.
Paralel doğrular arasındaki M kuralı gereği, aynı yöne bakan iç açıların açıortaylarının kesişimiyle oluşan açı, ana açının yarısına eşittir. Yani m(AKC^)=2⋅m(AEC^)m(\widehat{AKC}) = 2 \cdot m(\widehat{AEC}) bağıntısı vardır. m(AEC^)=xm(\widehat{AEC}) = x dersek, 2x+x=216∘2x + x = 216^\circ denkleminden x=72∘x = 72^\circ bulunur. Sorulan açı 2x2x olduğu için cevap 144∘144^\circ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paralel doğrular arasındaki 'M kuralı' (zikzak kuralı) ve açıortay ilişkisini belirle.
M kuralına göre, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir. Açıortaylar kullanıldığında, açıortayların oluşturduğu açı (widehatAEC\\widehat{AEC}), ana kolların oluşturduğu açının (widehatAKC\\widehat{AKC}) yarısıdır.
Eğer widehatBAE=widehatEAK=a\\widehat{BAE} = \\widehat{EAK} = a ve widehatKCE=widehatECD=b\\widehat{KCE} = \\widehat{ECD} = b dersek; widehatAEC=a+b\\widehat{AEC} = a+b ve widehatAKC=2a+2b=2(a+b)\\widehat{AKC} = 2a+2b = 2(a+b) olur.
2
Verilen toplamı kullanarak denklem kur.
m(widehatAEC)=xm(\\widehat{AEC}) = x denirse, m(widehatAKC)=2xm(\\widehat{AKC}) = 2x olur. Denklem: 2x + x = 216^\\circ.
Soruda iki açının toplamının 216^\\circ olduğu verilmiştir.
3
Denklemi çözerek x değerini bul.
3x = 216^\\circ \\Rightarrow x = 72^\\circ.
Bu değer m(widehatAEC)m(\\widehat{AEC}) yani küçük açının ölçüsüdür.
4
Soruda istenen açıyı hesapla.
İstenen m(\\widehat{AKC}) = 2x = 2 \\cdot 72^\\circ = 144^\\circ.
Soruda büyük açı olan widehatAKC\\widehat{AKC} sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasında açıortayların oluşturduğu açı, ana kolların oluşturduğu açının yarısıdır (M kuralı uygulaması).

İpuçları

1
Paralel doğrular arasında oluşan zikzak (M kuralı) şekillerinde, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir.
2
Açıortaylara aa ve bb isimleri vererek M kuralını iki kez uygulayın: Bir kez büyük açı (AKC) için, bir kez de küçük açı (AEC) için.
3
İşlemleri yaptığınızda m(AKC^)=2⋅m(AEC^)m(\widehat{AKC}) = 2 \cdot m(\widehat{AEC}) olduğunu göreceksiniz. Bu oranı verilen toplam denkleminde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Aynı kuralın U kuralı (karşı durumlu açılar) ile birleştirildiği soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Sivri uçlardan (K ve E noktalarından) paralel doğrulara paralel yardımcı doğrular çizerek Z kuralını (iç ters açılar) uygulayarak da ispat yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 47Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir.

m(BAC^)=65∘m(\widehat{BAC}) = 65^\circ ve m(ADE^)=55∘m(\widehat{ADE}) = 55^\circ olduğuna göre, m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Üçgenin iç açılar toplamı ve yöndeş açılar özelliği kullanıldığında α\alpha açısının değeri 60∘60^\circ olarak bulunur.
Verilen [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] bilgisi sayesinde, DD köşesindeki 55∘55^\circ'lik açı ile BB köşesindeki açının yöndeş ve dolayısıyla eşit olduğu görülür. Büyük ABCABC üçgeninde AA açısı 65∘65^\circ ve BB açısı 55∘55^\circ olduğundan, iç açılar toplamı kuralı (180∘180^\circ) uygulandığında CC köşesindeki α\alpha açısına 60∘60^\circ kalmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] paralelliğini kullanarak yöndeş açıları belirle.
m(ABC^)=m(ADE^)=55∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE}) = 55^\circ
Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde aynı yöne bakan açılar (yöndeş açılar) birbirine eşittir.
2
ABCABC üçgeninin iç açılarını topla ve 180∘180^\circ'ye eşitle.
65∘+55∘+α=180∘65^\circ + 55^\circ + \alpha = 180^\circ
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180∘180^\circ'dir.
3
Denklemi çözerek α\alpha değerini bul.
120∘+α=180∘⇒α=60∘120^\circ + \alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 60^\circ
Bilinen açıların toplamı 180∘180^\circ'den çıkarıldığında verilmeyen üçüncü açı bulunur.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasında kalan yöndeş açılar ve üçgenin iç açılar toplamı sabiti.

İpuçları

1
Paralel doğrular varsa, aynı yöne bakan (yöndeş) açılar birbirine eşittir.
2
D köşesindeki 55∘55^\circ'lik açı ile B köşesindeki açı yöndeştir. Bu bilgiyle ABC üçgeninin iki iç açısını bulmuş olursunuz.
3
Üçgenin iç açılar toplamının 180∘180^\circ olduğunu hatırla. 65+55+α=18065 + 55 + \alpha = 180 denklemini çözmelisin.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar bir üçgende taban açılarının eşitliği ile paralelliğin birleştirildiği sorulara göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

ADE küçük üçgeninin de iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğu için m(AED^)=180−(65+55)=60∘m(\widehat{AED}) = 180 - (65+55) = 60^\circ bulunur. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için α\alpha açısı ile AEDAED açısı yöndeştir ve birbirine eşittir.
Tahmini Süre:45s
Soru 48Soru →

Ayrıt uzunlukları 4 cm4\text{ cm}, 5 cm5\text{ cm} ve 10 cm10\text{ cm} olan bir dikdörtgenler prizması aşağıda modellenmiştir.

Buna göre, bu dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm3\text{cm}^3'tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç farklı ayrıtının çarpımıyla bulunur ve bu işlemin sonucu 200 cm3200\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpılmasına dayanır. Taban ayrıtları 4 cm4\text{ cm} ve 5 cm5\text{ cm} olan prizmanın taban alanı 20 cm220\text{ cm}^2'dir. Bu alan 10 cm10\text{ cm} olan yükseklik ile çarpıldığında toplam hacim 200 cm3200\text{ cm}^3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ayrıt uzunluklarını belirleyin.
a=4 cma = 4\text{ cm}, b=5 cmb = 5\text{ cm} ve c=10 cmc = 10\text{ cm}
Hacim formülünde kullanılacak değişkenleri tanımlamak için gereklidir.
2
Dikdörtgenler prizmasının hacim formülünü uygulayın.
Hacim (VV) = a×b×ca \times b \times c
Katı cisimlerde prizmaların hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
3
Değerleri yerine koyarak çarpma işlemini yapın.
V=4×5×10=200 cm3V = 4 \times 5 \times 10 = 200\text{ cm}^3
Sonuca ulaşmak için matematiksel hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi

İpuçları

1
Bir kutunun içine kaç tane 1 cm31\text{ cm}^3'lük küp sığacağını düşünün.
2
Hacim bulmak için prizmanın taban alanını hesaplayıp yükseklik değeriyle çarpmanız gerekir.
3
Üç farklı ayrıt olan 44, 55 ve 1010 sayılarını birbiriyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Ayrıtları verilen bir küpün hacmini hesaplayarak öğrendiklerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce taban alanını 4×5=20 cm24 \times 5 = 20\text{ cm}^2 olarak bulun, ardından bu alanı 10 cm10\text{ cm} olan yükseklikle çarparak 200 cm3200\text{ cm}^3 sonucuna ulaşın.
Tahmini Süre:45s
Soru 49Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, D∈[AC]D \in [AC] ve E∈[BC]E \in [BC] noktaları işaretlenmiştir. Üçgen üzerinde ∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC| ve ∣BE∣=∣EC∣|BE| = |EC| eşitlikleri verilmiştir. [AE][AE] ve [BD][BD] doğru parçaları FF noktasında kesişmektedir. ∣BF∣=12|BF| = 12 cm olduğuna göre, ∣FD∣|FD| kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

FD uzunluğu 8 cm'dir.
Soruyu çözmek için E noktasından [BD]'ye paralel çizmek en pratik yöntemdir (Menelaus teoremi müfredat dışı kabul edilse bile benzerlikle ispatlanabilir). Bu paralel çizildiğinde BCD üçgeninde orta taban oluşur ve AC üzerindeki oranlar parçalanır. Oluşan yeni üçgenlerdeki (AKE ve AFD) temel benzerlik oranı 4/5 bulunur. Bu oranlar yerine konulduğunda istenen uzunluk 8 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
E noktasından [BD] doğrusuna paralel bir yardımcı doğru çizin ve bu doğrunun [AC] kenarını kestiği noktaya K deyin.
[EK] // [BD] olur.
Üçgende benzerlik (Tales) teoremini uygulayabilmek için paralel bir doğruya ihtiyaç vardır.
2
BCD üçgeninde temel orantı teoremini (Tales) uygulayın.
E noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan (|BE|=|EC|), K noktası da [DC]'nin orta noktası olur. Yani |DK| = |KC| = k diyelim.
Bir üçgenin bir kenarının orta noktasından diğer kenara çizilen paralel doğru, üçüncü kenarı da ortalar (Orta Taban).
3
Verilen |AD| = 2|DC| oranını kullanarak AD uzunluğunu k cinsinden ifade edin.
|DC| = 2k olduğundan, |AD| = 2(2k) = 4k olur.
Soruda verilen oranları ortak birim cinsinden yazarak karşılaştırma yapmak için.
4
AKE üçgeninde [FD] // [EK] paralelliğini kullanarak benzerlik oranını hesaplayın.
Benzerlik oranı = |AD| / |AK| = 4k / (4k + k) = 4/5. Dolayısıyla |FD| / |EK| = 4/5 olur.
Temel benzerlik teoremine göre paralel doğrular kenarları aynı oranda böler.
5
BF ve FD arasındaki ilişkiyi kurarak sonuca ulaşın.
|EK|, BCD üçgeninde orta taban olduğundan |EK| = |BD|/2'dir. Buradan |BD| = 2|EK| olur. |FD| = (4/5)|EK| olduğunu bulmuştuk. |BF| = |BD| - |FD| = 2|EK| - 0.8|EK| = 1.2|EK|. Verilen |BF|=12 ise, 1.2|EK|=12 => |EK|=10. O halde |FD| = 0.8 * 10 = 8 cm.
Parçalar arasındaki cebirsel ilişkiyi çözerek istenen uzunluğu bulmak için.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Yardımcı Doğru Çizimi (Menelaus Alternatifi)

İpuçları

1
Üçgenin içinde kesişen doğrular gördüğünüzde ve doğrudan bir oran yoksa, paralel bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.
2
E noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. E noktasından [BD] doğrusuna paralel çizerseniz, [AC] kenarını nasıl böler?
3
Çizdiğiniz paralel ile oluşan orta tabanı görün. Daha sonra yukarıdaki AKE üçgeninde oluşan benzerliği kullanarak |AD| ve |AK| oranını yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer oranların verildiği ancak kesişim noktasının dışarıda olduğu 'Kelebek Benzerliği' sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Menelaus teoremi ile: ADC üçgeni ve E-F-B keseni için; (CB/CE) * (EF/FA) * (AD/DB)... Bu soru için Menelaus teoremi A-E-C üçgeni ve B-F-D keseni için uygulanırsa: (|CB|/|CE|) * (|EK|/|KA|) gibi karmaşık olabilir. En kolayı dışarıdan paralel tamamlamaktır.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 50Soru →

Bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegenlerin sayısı, bu çokgenin tüm köşegenlerinin sayısının 16\frac{1}{6}'sına eşittir. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1800∘1800^{\circ}

Cevap

İç açılar toplamı 1800∘1800^{\circ} olan seçenek doğrudur.
Çokgenin kenar sayısı nn olduğunda, bir köşeden çizilen köşegenlerin sayısı n−3n-3 ve tüm köşegenlerin sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülleriyle ifade edilir. Sorudaki ilişkiye göre (n−3)=16⋅n(n−3)2(n-3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n-3)}{2} eşitliği yazılır. Bu eşitlikten n=12n=12 (onikigen) sonucuna ulaşılır. Onikigenin iç açılar toplamı ise (12−2)⋅180∘=1800∘(12-2) \cdot 180^{\circ} = 1800^{\circ} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegen sayısı formüllerini belirleyin.
nn kenarlı bir çokgende bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3n-3, toplam köşegen sayısı ise n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülü ile bulunur.
Soruda verilen orantıyı kurabilmek için bu temel formüllere ihtiyaç vardır.
2
Verilen oranı kullanarak denklemi kurun.
(n−3)=16⋅n(n−3)2(n-3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n-3)}{2} denklemi elde edilir.
Bir köşeden çizilen köşegen sayısının toplam köşegen sayısına oranı 16\frac{1}{6} olarak verilmiştir.
3
Kenar sayısını (nn) bulmak için denklemi çözün.
n−3n-3 terimleri sadeleştiğinde (çünkü n>3n>3), 1=n121 = \frac{n}{12} buradan da n=12n = 12 bulunur.
Çokgenin kaç kenarlı olduğunu belirlemek, iç açılar toplamını bulmak için gereklidir.
4
İç açılar toplamı formülünü uygulayın.
(n−2)⋅180∘→(12−2)⋅180∘=10⋅180∘=1800∘(n-2) \cdot 180^{\circ} \rightarrow (12-2) \cdot 180^{\circ} = 10 \cdot 180^{\circ} = 1800^{\circ} bulunur.
Bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ} formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Köşegen Sayısı ve İç Açılar Toplamı İlişkisi

İpuçları

1
Çokgenin kenar sayısına nn diyerek başlayın ve bir köşeden çizilen köşegen sayısı formülünü hatırlayın.
2
Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3n-3, toplam köşegen sayısı ise n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}'dir. Bu ikisini verilen orana göre eşitleyin.
3
Elde ettiğiniz n−3=n(n−3)12n-3 = \frac{n(n-3)}{12} denkleminden nn değerini bulup iç açılar toplamı formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Bir köşeden çizilen köşegenlerin çokgeni kaç üçgene ayırdığı ve bu üçgen sayısının toplam köşegen sayısıyla olan ilişkisini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantıdan doğrudan nn değerini görebilirsiniz: n−3n(n−3)2=16⇒2n=16\frac{n-3}{\frac{n(n-3)}{2}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{2}{n} = \frac{1}{6} olduğu için n=12n=12 olduğu kolayca fark edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 51Soru →

Dik koordinat düzleminde, denklemi 5x+12y+60=05x + 12y + 60 = 0 olan doğru ile eksenler arasında kalan üçgensel bölgenin iç teğet çemberinin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İç teğet çemberinin merkezi (−2,−2)(-2, -2) olup koordinatları toplamı -4'tür.
Doğru, eksenleri (−12,0)(-12, 0) ve (0,−5)(0, -5) noktalarında keser. Bu, 3. bölgede dik kenarları 5 ve 12 birim olan bir dik üçgen oluşturur. Hipotenüs 13 birimdir. İç teğet çemberinin yarıçapı rr, Alan=u⋅rAlan = u \cdot r formülüyle bulunur. Alan 30, yarı çevre (uu) 15 olduğundan r=2r=2'dir. Eksenlere teğet ve 3. bölgede olan çemberin merkezi (−2,−2)(-2, -2) olur. Koordinatlar toplamı -4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirle.
x=0x=0 için y=−5y=-5, y=0y=0 için x=−12x=-12. Üçgenin köşeleri O(0,0)O(0,0), A(−12,0)A(-12,0) ve B(0,−5)B(0,-5) olur.
Üçgensel bölgenin sınırlarını ve bulunduğu bölgeyi (3. bölge) tespit etmek için gereklidir.
2
Oluşan dik üçgenin kenar uzunluklarını ve alanını hesapla.
Dik kenarlar 55 ve 1212 birim, hipotenüs (Pisagor teoreminden) 52+122=13\sqrt{5^2+12^2}=13 birimdir. Alan = 5⋅122=30\frac{5 \cdot 12}{2} = 30 br².
İç teğet çemberinin yarıçapını bulmak için üçgenin alanına ve çevre uzunluğuna ihtiyaç vardır.
3
İç teğet çemberinin yarıçapını (rr) hesapla (Alan=u⋅rAlan = u \cdot r).
Yarı çevre u=5+12+132=15u = \frac{5+12+13}{2} = 15. 30=15⋅r⇒r=230 = 15 \cdot r \Rightarrow r = 2.
Merkez koordinatlarını belirlemek için yarıçap uzunluğu bulunmalıdır.
4
Merkez koordinatlarını bölgeye göre belirle ve topla.
Üçgen 3. bölgede olduğundan ve çember eksenlere teğet olduğundan merkez M(−r,−r)M(-r, -r) yani M(−2,−2)M(-2, -2) olur. Toplam: (−2)+(−2)=−4(-2) + (-2) = -4.
Çember eksenlere teğet olduğu için merkezin eksenlere uzaklığı rr kadardır, ancak işaret bölgeye göre belirlenir.

Anahtar Kavram

İç teğet çemberinin yarıçapı (rr), üçgenin alanı (AA) ve yarı çevresi (uu) arasındaki A=u⋅rA = u \cdot r bağıntısı ile bulunur. Ayrıca eksenlere teğet çemberin merkezi, bölgeye göre (r,r)(r,r), (−r,r)(-r,r), (−r,−r)(-r,-r) veya (r,−r)(r,-r) biçimindedir.

İpuçları

1
Önce doğrunun eksenleri kestiği noktaları bularak üçgeni çizin ve hangi bölgede olduğunu belirleyin.
2
Oluşan dik üçgenin kenar uzunluklarını (5-12-13 üçgeni) kullanarak alanını ve çevresini hesaplayın.
3
İç teğet çemberinin yarıçapı r=AlanYarıC\cevrer = \frac{Alan}{Yarı Çevre} formülüyle bulunur. Merkez koordinatları 3. bölgede (−r,−r)(-r, -r) olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu farklı bir bölgede (örneğin 2. bölge) veya ağırlık merkezi koordinatlarını sorarak oluşturabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dik üçgenlerde iç teğet çember yarıçapı r=a+b−c2r = \frac{a + b - c}{2} formülüyle pratik olarak bulunabilir. Burada a=5a=5, b=12b=12, c=13c=13 için r=5+12−132=2r = \frac{5+12-13}{2} = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 52Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣BC∣=7|BC| = 7 cm, ∣AC∣=(x+2)|AC| = (x+2) cm ve ∣AB∣=(2x−1)|AB| = (2x-1) cm olarak verilmiştir.

m(A^)<m(B^)<m(C^)m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) < m(\widehat{C})

olduğuna göre, xx'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Doğru cevap 30'dur.
Verilen açı sıralaması m(A^)<m(B^)<m(C^)m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) olduğuna göre, karşılarındaki kenarlar da ∣BC∣<∣AC∣<∣AB∣|BC| < |AC| < |AB| şeklinde sıralanmalıdır. Buradan 7<x+2<2x−17 < x+2 < 2x-1 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x>5x > 5 bulunur. Ayrıca üçgen eşitsizliğine göre 7+(x+2)>2x−17 + (x+2) > 2x-1 şartından x<10x < 10 elde edilir. İki şartın kesişimi olan 5<x<105 < x < 10 aralığındaki tam sayıların (6, 7, 8, 9) toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Açı ve kenar arasındaki ilişkiyi kurma
∣BC∣<∣AC∣<∣AB∣|BC| < |AC| < |AB| yani 7<x+2<2x−17 < x+2 < 2x-1
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
2
Elde edilen eşitsizlik sistemini çözme
7<x+2⇒x>57 < x+2 \Rightarrow x > 5 ve x+2<2x−1⇒x>3x+2 < 2x-1 \Rightarrow x > 3. Ortak çözüm: x>5x > 5.
Kenarlar arasındaki sıralamanın sağlanması için xx değişkeninin alt sınırı belirlenmelidir.
3
Üçgen eşitsizliğini uygulama
(x+2)+7>2x−1⇒x+9>2x−1⇒10>x(x+2) + 7 > 2x-1 \Rightarrow x+9 > 2x-1 \Rightarrow 10 > x.
Bir üçgenin oluşabilmesi için herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
4
xx için uygun tam sayı değerlerini belirleme ve toplama
5<x<105 < x < 10 aralığında x=6,7,8,9x = 6, 7, 8, 9 değerleri bulunur. Toplam: 6+7+8+9=306+7+8+9 = 30.
Hem açı-kenar sıralamasını hem de üçgen eşitsizliğini sağlayan tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Üçgen Eşitsizliği

İpuçları

1
Üçgende en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur. Açıların sıralamasını kenarların sıralamasına dönüştürerek başlayın.
2
7<x+2<2x−17 < x+2 < 2x-1 eşitsizliğini iki parça halinde çözerek xx için bir alt sınır belirleyin.
3
Sadece kenar sıralaması yetmez; üçgenin çizilebilmesi için herhangi iki kenarın toplamının üçüncüden büyük olması gerektiğini (Üçgen Eşitsizliği) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'geniş açılı üçgen' şartı verildiğinde Pisagor bağıntısının eşitsizlik halini (a² + b² < c²) kullanmanız gerekecektir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 53Soru →

Tepe açısı 60∘60^\circ olan ve tepe noktası aşağıya gelecek şekilde dik konumlandırılmış boş bir dik dairesel koninin içine, koninin yan yüzlerine teğet olacak şekilde demir bir küre yerleştiriliyor. Daha sonra koninin içine, su yüzeyi kürenin en üst noktasına teğet olana kadar su dolduruluyor.

Buna göre, koninin içine doldurulan suyun hacminin kürenin hacmine oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54\frac{5}{4}

Cevap

Suyun hacminin kürenin hacmine oranı 5/4'tür.
Kürenin koni içine yerleşimi eksenel kesitte incelendiğinde, 30-60-90 üçgeni oluşur. Küre merkezi tepe noktasından 2r2r uzaklıktadır. Su seviyesi kürenin tepesine kadar (3r3r) yükselir. Bu yükseklikteki koninin hacmi 3πr33\pi r^3, kürenin hacmi ise 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3 tür. Aradaki fark suyun hacmini verir (53πr3\frac{5}{3}\pi r^3). Oranlandığında sonuç 54\frac{5}{4} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi iki boyutlu kesit üzerinde modelle.
Eşkenar üçgen (eksenel kesit tepe açısı 60 derece) içine yerleştirilmiş bir daire ve tepe noktası aşağıda olan bir yapı elde edilir. Kürenin yarıçapına rr diyelim.
Üç boyutlu cisimlerin teğetlik durumlarını incelemek için eksenel kesit (2D) kullanmak en güvenilir yöntemdir.
2
Kürenin merkezi ile koninin tepe noktası arasındaki mesafeyi hesapla.
Koninin ekseni açıyı ikiye böler (30∘−30∘30^\circ - 30^\circ). Oluşan dik üçgende, sin⁡(30∘)=r∣TO∣\sin(30^\circ) = \frac{r}{|TO|} olduğundan, ∣TO∣=2r|TO| = 2r bulunur.
30-60-90 üçgeni özellikleri kullanılarak dikey mesafe bulunur.
3
Su seviyesinin yüksekliğini (hh) ve yüzey yarıçapını (RR) bul.
Su seviyesi kürenin tepesinde olduğundan, yükseklik h=∣TO∣+r=2r+r=3rh = |TO| + r = 2r + r = 3r olur. Koni yüzey yarıçapı için tan⁡(30∘)=Rh⇒R=3r⋅13=r3\tan(30^\circ) = \frac{R}{h} \Rightarrow R = 3r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = r\sqrt{3} bulunur.
Koni hacmini hesaplamak için suyun oluşturduğu koninin boyutlarına ihtiyaç vardır.
4
Dolu kısmın (su + küre) toplam hacmini ve kürenin hacmini hesapla.
Toplam Hacim (VtoplamV_{toplam}) = 13πR2h=13π(r3)2(3r)=13π(3r2)(3r)=3πr3\frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (r\sqrt{3})^2 (3r) = \frac{1}{3} \pi (3r^2) (3r) = 3\pi r^3. Küre Hacmi (Vku¨reV_{küre}) = 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3.
Koni ve küre hacim formülleri uygulanır.
5
Suyun hacmini bul ve küre hacmine oranla.
Suyun Hacmi = Vtoplam−Vku¨re=3πr3−43πr3=53πr3V_{toplam} - V_{küre} = 3\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{5}{3}\pi r^3. Oran = (5/3)πr3(4/3)πr3=54\frac{(5/3)\pi r^3}{(4/3)\pi r^3} = \frac{5}{4}.
İstenen oran sadeleştirme ile bulunur.

Anahtar Kavram

Katı Cisimlerde Hacim ve Kesit Analizi

İpuçları

1
Problemi çözmek için şeklin tam ortasından dikey bir kesit aldığınızı hayal edin (bir üçgen ve içine yerleşmiş bir daire).
2
Tepe açısı 60∘60^\circ olduğuna göre, simetri ekseni açıyı 30∘−30∘30^\circ - 30^\circ böler. Küre merkezi ile teğet noktası arasındaki dik üçgeni kullanın.
3
Dik üçgende 30∘30^\circ'nin karşısı rr ise, hipotenüs (tepe noktasına uzaklık) 2r2r'dir. Su yüksekliği bu mesafeye rr eklenerek bulunur.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir durumu kare dik piramit içine yerleştirilen küre için sorarak 3 boyutlu düşünme becerisini pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Hacimler oranı benzerlik oranının kübüne eşittir prensibiyle, küçük koni (küreye teğet olan) ile büyük su konisi arasında benzerlik kurulabilir, ancak bu soruda küre hacmi işin içine girdiği için doğrudan formül kullanımı daha güvenlidir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 54Soru →

Kenar uzunlukları tamsayı olan bir ABCABC üçgeninde ∣AC∣=15|AC| = 15 cm'dir.

Üçgenin açıları arasında;
m(B^)>90∘m(\widehat{B}) > 90^\circ
m(C^)>m(A^)m(\widehat{C}) > m(\widehat{A})
bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, ABCABC üçgeninin çevresinin santimetre cinsinden alabileceği en büyük ve en küçük tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67

Cevap

Çevre değerlerinin toplamı 67 cm'dir.
Doğru çözümde üç koşulun kesişim kümesi alınmıştır: 1) Üçgen eşitsizliği (a+c>15a+c > 15), 2) Geniş açı şartı (a2+c2<225a^2+c^2 < 225), 3) Açı sıralaması (c>ac > a). Bu koşulları sağlayan en küçük kenar çifti (2,14)(2, 14) olup çevre 31 cm, en büyük kenar çifti (10,11)(10, 11) olup çevre 36 cm'dir. Toplamları 67'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri matematiksel eşitsizliklere dök.
Kenarlar a,b,ca, b, c olsun. ∣AC∣=b=15|AC|=b=15. m(B^)>90∘  ⟹  b2>a2+c2  ⟹  225>a2+c2m(\widehat{B}) > 90^\circ \implies b^2 > a^2 + c^2 \implies 225 > a^2 + c^2. m(C^)>m(A^)  ⟹  c>am(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \implies c > a.
Geniş açı kuralı ve büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanmalıdır.
2
Üçgen eşitsizliği kuralını uygula.
a+c>b  ⟹  a+c>15a+c > b \implies a+c > 15. Ayrıca ∣a−c∣<15|a-c| < 15 (bu a,ca,c pozitif ve a+c>15a+c>15 olduğu sürece sağlanır).
Bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenar toplamı üçüncüden büyük olmalıdır.
3
En küçük çevre değeri için a+ca+c toplamını minimize et.
a+c>15a+c > 15 olduğuna göre en küçük tamsayı toplam 16 olabilir. c>ac > a ve a2+c2<225a^2+c^2 < 225 şartını sağlayan, toplamı 16 olan tamsayılar aranır. a=2,c=14a=2, c=14 için 22+142=200<2252^2+14^2 = 200 < 225 sağlanır. Min Çevre = 15+16=3115 + 16 = 31.
Toplamı en küçük yaparken geniş açı şartının bozulmadığını kontrol etmek gerekir.
4
En büyük çevre değeri için a+ca+c toplamını maksimize et.
c<15c < 15 olmalıdır (çünkü b=15b=15 en uzun kenardır). En büyük c=14c=14 olabilir ama c>ac>a ve a2+c2<225a^2+c^2 < 225 sınırı aa'yı kısıtlar. Denemelerle: c=11,a=10c=11, a=10 çifti için 100+121=221<225100+121=221 < 225 sağlanır. Toplam a+c=21a+c=21. Max Çevre = 15+21=3615 + 21 = 36.
Kenarların kareleri toplamı 225'ten küçük kalacak şekilde en büyük sayı çifti seçilir.
5
Bulunan değerleri topla.
31+36=6731 + 36 = 67.
Soruda istenen sonuç.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Geniş Açı Kuralı

İpuçları

1
Geniş açılı bir üçgende, geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
2
∣AC∣=15|AC|=15 en büyük kenardır. Diğer kenarlar aa ve cc olsun. a2+c2<152a^2 + c^2 < 15^2 olmalıdır. Ayrıca üçgen oluşabilmesi için a+c>15a+c > 15 gereklidir.
3
En büyük çevre için a2+c2<225a^2+c^2 < 225 şartını sağlayan, birbirine en yakın ve toplamı en büyük a,ca, c tamsayılarını; en küçük çevre için ise toplamı 15'ten büyük en küçük a,ca, c tamsayılarını deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'dar açılı' şartıyla ve kenar uzunlukları değişken olan iki üçgenin birleşimi şeklinde sorunuz.

Alternatif Yöntem

Geometrik çizim yaparak, 15 cm'lik kenarı sabit tutup diğer kenarların oluşturduğu dik üçgen sınırını (çember yayı gibi) hayal edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 55Soru →

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri, ortak farkı 5∘5^{\circ} olan aritmetik bir dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küçük iç açısının ölçüsü 120∘120^{\circ} olduğuna göre, çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Çokgenin toplam köşegen sayısı 27'dir.
Verilen şartları sağlayan denklem kurulup çözüldüğünde n=9 ve n=16 kökleri bulunur. Ancak n=16 değeri için en büyük iç açı 195 derece çıktığından dışbükeylik şartı bozulur. Dolayısıyla çokgen 9 kenarlıdır ve köşegen sayısı 27 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İç açılar toplamı formülünü ve aritmetik dizi toplam formülünü eşitle.
(n−2)180=n2[2(120)+(n−1)5](n-2)180 = \frac{n}{2}[2(120) + (n-1)5]
Çokgenin iç açılar toplamı hem (n−2)180(n-2)180 formülüyle hem de verilen aritmetik dizi toplamıyla ifade edilebilir.
2
Elde edilen denklemi düzenleyerek ikinci dereceden denklemi kur.
360n−720=235n+5n2  ⟹  n2−25n+144=0360n - 720 = 235n + 5n^2 \implies n^2 - 25n + 144 = 0
Denklem çözümü için ifade an2+bn+c=0an^2+bn+c=0 standart formuna getirilmelidir.
3
Denklemin köklerini bul.
(n−9)(n−16)=0  ⟹  n=9(n-9)(n-16) = 0 \implies n=9 veya n=16n=16
Çarpanlara ayırma yöntemiyle olası kenar sayıları bulunur.
4
Dışbükeylik şartını (her iç açı < 180°) kontrol et.
n=16n=16 için en büyük açı 120+15(5)=195∘120 + 15(5) = 195^{\circ} olur, bu geçersizdir. n=9n=9 için en büyük açı 160∘160^{\circ} olur, bu geçerlidir.
Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180 derece veya daha büyük olamaz. Bu nedenle n=16 elenir.
5
Geçerli n değeri için köşegen sayısını hesapla.
Köşegen Sayısı = 9(9−3)2=9×62=27\frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = 27
n kenarlı çokgenin köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı ve Köşegen İlişkileri

İpuçları

1
Çokgenin iç açılarının toplamı (n−2)180∘(n-2)180^{\circ} formülüyle bulunur. Ayrıca aritmetik dizinin toplam formülünü hatırlayın.
2
İki toplam formülünü birbirine eşitleyerek n'ye bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin: n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0.
3
Denklemin iki kökü vardır (9 ve 16). Ancak 'dışbükey' olma şartını (her bir açının 180'den küçük olması) kontrol ederek doğru n değerini seçmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dış açılar toplamı üzerinden kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Dış açılardan gidilebilir: İç açılar aritmetik dizi ise dış açılar da aritmetik dizidir. En büyük dış açı 180−120=60∘180-120=60^{\circ}, ortak fark −5∘-5^{\circ} olur. Dış açılar toplamı her zaman 360 derecedir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 56Soru →
Şekildeki ABCABC üçgeninde, D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları alınmıştır. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olmak üzere, ADEADE üçgeninin alanı ile BCEDBCED dörtgeninin alanı arasında;
5⋅Alan(ADE)=4⋅Alan(BCED)5 \cdot \text{Alan}(ADE) = 4 \cdot \text{Alan}(BCED)
bağıntısı bulunmaktadır.

Buna göre, ∣DE∣∣BC∣\frac{|DE|}{|BC|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23\frac{2}{3}

Cevap

Benzerlik oranı 2/3'tür.
Doğru cevapta, küçük üçgenin alanının toplam alana oranı (4/9) hesaplanmış ve bu oranın karekökü alınarak benzerlik oranı (2/3) bulunmuştur. Paralellikten dolayı ADE ve ABC üçgenleri benzerdir ve 'Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir' ilkesi uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikten alan değerlerine geçiş yapılması
5 · Alan(ADE) = 4 · Alan(BCED) eşitliğinden; Alan(ADE) = 4S ve Alan(BCED) = 5S olarak seçilir.
Oran orantı özelliklerini kullanarak alanları tek bir değişken cinsinden ifade etmek işlemi kolaylaştırır.
2
Toplam alanın ve alanlar oranının bulunması
Toplam Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(BCED) = 4S + 5S = 9S olur. Alanlar oranı: Alan(ADE) / Alan(ABC) = 4S / 9S = 4/9.
Benzer üçgenlerde alanlar oranı, küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranıdır.
3
Benzerlik oranının hesaplanması
Benzerlik oranı (k), alanlar oranının kareköküdür. k² = 4/9 ise k = √(4/9) = 2/3 bulunur.
Üçgenlerde benzerlik oranının karesi, alanlar oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Verilen 5·Alan(ADE) = 4·Alan(BCED) eşitliğini kullanarak bölgelerin alanlarına 4S ve 5S değerlerini verin.
2
ADE üçgeni ile ABC büyük üçgeni benzerdir. Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin alanını büyük üçgenin TOPLAM alanına oranlayın.
3
Benzerlik oranının karesi alanlar oranına eşittir (k2=AlanOranık^2 = \text{AlanOranı}). Bulduğunuz alan oranının karekökünü alın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının verildiği ve alanın sorulduğu tersine işlem gerektiren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 57Soru →

Bir ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi GG noktasıdır. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru parçası, üçgenin [AB][AB] kenarını DD, [AC][AC] kenarını ise EE noktasında kesmektedir.

∣DE∣=12|DE| = 12 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18 cm
Üçgenin ağırlık merkezi (GG), kenarortayı köşeden itibaren 2'ye 1 oranında böler. DE//BCDE // BC olduğu için Temel Benzerlik Teoremi uygulanır. Benzerlik oranı, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklığın tüm kenarortay uzunluğuna oranına eşittir: 2/32/3. Buna göre ∣DE∣/∣BC∣=2/3|DE|/|BC| = 2/3 eşitliğinden 12/∣BC∣=2/312/|BC| = 2/3 bulunur ve ∣BC∣=18|BC| = 18 cm çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini hatırla
A köşesinden çizilen kenarortay GG noktasından geçer. ∣AG∣=2k|AG| = 2k ve ∣GK′∣=k|GK'| = k (tabana olan uzaklık) oranını sağlar.
Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim olacak şekilde böler.
2
Benzerlik oranını kur
ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı ∣AG∣∣AK′∣=2k3k=23\frac{|AG|}{|AK'|} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}'tür.
Paralel doğrular temel benzerlik teoremini (Thales) oluşturur.
3
Orantıyı çöz
∣DE∣∣BC∣=23  ⟹  12∣BC∣=23  ⟹  2∣BC∣=36  ⟹  ∣BC∣=18\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies \frac{12}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies 2|BC| = 36 \implies |BC| = 18 cm.
Üçgenlerin taban uzunlukları benzerlik oranıyla orantılıdır.

Anahtar Kavram

Ağırlık Merkezi ve Benzerlik İlişkisi

İpuçları

1
Ağırlık merkezi, kenarortayı hangi oranda böler?
2
A köşesinden GG noktasından geçen bir doğru (kenarortay) çizdiğinizde, oluşan küçük üçgenin büyük üçgene benzerlik oranı 2/3 olur.
3
∣AG∣∣AK∣=23\frac{|AG|}{|AK|} = \frac{2}{3} oranını kullanarak ∣DE∣∣BC∣\frac{|DE|}{|BC|} eşitliğini kurunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda alan oranının sorulduğu soruları inceleyiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 58Soru →

Dışbükey bir ABCDABCD dörtgeninde, A^\widehat{A} ve C^\widehat{C} açılarının açıortayları dörtgenin iç bölgesindeki bir KK noktasında kesişmektedir.

m(B^)=124∘m(\widehat{B}) = 124^\circ ve m(D^)=72∘m(\widehat{D}) = 72^\circ olduğuna göre, bu açıortaylar arasında kalan dar açının (m(AKC^)m(\widehat{AKC})) ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Açıortaylar arasındaki dar açı 26 derecedir.
Dışbükey bir dörtgende karşılıklı iki açının açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir. Verilen 124∘124^\circ ve 72∘72^\circ değerleri farkı 52∘52^\circ olup, yarısı 26∘26^\circ sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Dörtgenlerde açıortay özelliklerini hatırla.
Dışbükey bir dörtgende karşılıklı iki açının (A ve C) açıortayları arasındaki dar açı (α\alpha), diğer iki açının (B ve D) farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
Bu, dörtgenlerde açıortayların oluşturduğu açılarla ilgili temel bir geometrik kuraldır.
2
Verilen değerleri formüle uygula.
α=∣m(B^)−m(D^)∣2\alpha = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2} formülünde değerler yerine yazılır: α=∣124−72∣2\alpha = \frac{|124 - 72|}{2}
Soruda B açısı 124, D açısı 72 derece olarak verilmiştir.
3
İşlemi tamamla.
124−72=52124 - 72 = 52 ve 52/2=26∘52 / 2 = 26^\circ.
Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Dörtgende Karşılıklı Açıortaylar Arasındaki Açı

İpuçları

1
Dörtgenin iç açıları toplamı 360∘360^\circ bilgisinden yola çıkarak veya doğrudan açıortay formülünü hatırlayarak çözebilirsiniz.
2
Karşılıklı açıların (A ve C) açıortayları arasındaki dar açı, işlem yapılmayan diğer iki açının (B ve D) farkıyla ilişkilidir.
3
Formül: α=∣m(B^)−m(D^)∣2\alpha = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}.

Daha Fazla Pratik

Ardışık iki açının açıortayları arasındaki açıyı soran bir soru çözerek farkı pekiştirin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →

Şekildeki ABCABC eşkenar üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. ∣AB∣=8|AB| = 8 cm ve ∣BD∣=3|BD| = 3 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Uzunluk 7 cm'dir.
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşittir. Bir köşeden inilen dikme tabanı ortalar. Bu özellik kullanılarak oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı veya doğrudan Kosinüs Teoremi (c2=a2+b2−2abcos⁡(60∘)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(60^{\circ})) ile sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına AHAH dikmesi indirilir.
ABCABC eşkenar olduğu için HH noktası [BC][BC]'yi iki eş parçaya böler. ∣BC∣=∣AB∣=8|BC|=|AB|=8 cm olduğundan ∣BH∣=∣HC∣=4|BH|=|HC|=4 cm olur.
Eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
2
DD noktasının HH noktasına olan uzaklığı hesaplanır.
∣BD∣=3|BD|=3 cm ve ∣BH∣=4|BH|=4 cm olduğu için DD noktası BB ile HH arasındadır. ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=4−3=1|HD| = |BH| - |BD| = 4 - 3 = 1 cm bulunur.
Dik üçgenin taban uzunluğunu bulmak için parça uzunlukları çıkarılır.
3
AHAH yüksekliğinin uzunluğu hesaplanır.
30−60−9030-60-90 üçgeninden (veya Pisagor'dan) ∣AH∣=43|AH| = 4\sqrt{3} cm bulunur.
Eşkenar üçgenin yüksekliği h=a32h = \frac{a\sqrt{3}}{2} formülüyle bulunur.
4
AHDAHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=(43)2+12=48+1=49|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = (4\sqrt{3})^2 + 1^2 = 48 + 1 = 49. Buradan ∣AD∣=7|AD|=7 cm elde edilir.
Aranan kenar hipotenüstür.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgende tabana indirilen dikme tabanı ikiye böler (Yaki Kuralı) ve oluşan dik üçgenlerde Pisagor bağıntısı veya Kosinüs Teoremi kullanılır.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin bir köşesinden tabana dikme indirmeyi deneyin.
2
İndirdiğiniz dikme, tabanı iki eşit parçaya böler. |BH| uzunluğunu bulun.
3
Oluşan dik üçgende dik kenarlar 434\sqrt{3} ve 11 cm'dir. Pisagor bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ikizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi: △ABD\triangle ABD üçgeninde, ∣AD∣2=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡(60∘)|AD|^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) formülüyle doğrudan çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 60Soru →

Kenar uzunlukları ∣AB∣=∣AD∣=15|AB|=|AD|=15 cm ve ∣BC∣=∣CD∣=20|BC|=|CD|=20 cm olan bir ABCDABCD dörtgeninde, m(ABC^)=90∘m(\widehat{ABC}) = 90^\circ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, ABCDABCD dörtgeninin [BD][BD] köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24 cm
Verilen şekil bir deltoiddir ve köşegenleri birbirine diktir. △ABC\triangle ABC dik üçgen olduğu için hipotenüs ∣AC∣=25|AC|=25 cm bulunur. Üçgenin alan bağıntısından (15×20=25×h15 \times 20 = 25 \times h) hipotenüse ait yükseklik h=12h=12 cm olarak hesaplanır. Deltoidde [AC][AC] simetri ekseni olduğundan [BD][BD] köşegenini ortalar; bu nedenle ∣BD∣=2×12=24|BD| = 2 \times 12 = 24 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dörtgenin özelliklerini belirle
Dörtgen bir deltoiddir (ikişer kenarı eşit). Deltoidde köşegenler dik kesişir ([AC]⊥[BD][AC] \perp [BD]).
∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| ve ∣BC∣=∣CD∣|BC|=|CD| olması şeklin deltoid olduğunu gösterir.
2
[AC][AC] köşegeninin uzunluğunu hesapla
∣AC∣2=152+202=225+400=625⇒∣AC∣=25|AC|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow |AC| = 25 cm.
m(ABC^)=90∘m(\widehat{ABC}) = 90^\circ olduğundan △ABC\triangle ABC dik üçgendir ve Pisagor bağıntısı uygulanır.
3
Köşegenlerin kesişim noktasını (H) belirleyerek [BH][BH] yüksekliğini bul
Alan(△ABC\triangle ABC) = 15×202=25×∣BH∣2⇒300=25×∣BH∣⇒∣BH∣=12\frac{15 \times 20}{2} = \frac{25 \times |BH|}{2} \Rightarrow 300 = 25 \times |BH| \Rightarrow |BH| = 12 cm.
Dik üçgende alan, dik kenarların çarpımının yarısına veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir (Öklid Alan Bağıntısı).
4
[BD][BD] köşegeninin toplam uzunluğunu hesapla
∣BD∣=2×∣BH∣=2×12=24|BD| = 2 \times |BH| = 2 \times 12 = 24 cm.
Deltoidde simetri ekseni olmayan köşegen ([AC][AC]), diğer köşegeni ([BD][BD]) ortalar (∣BH∣=∣HD∣|BH| = |HD|).

Anahtar Kavram

Deltoidde köşegenlerin dik kesişmesi ve dik üçgende alan/Öklid bağıntıları.

İpuçları

1
Kenar uzunlukları eşit olan (∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| ve ∣BC∣=∣CD∣|BC|=|CD|) dörtgen bir deltoiddir.
2
Deltoidde köşegenler birbirini dik keser. △ABC\triangle ABC dik üçgeninde hipotenüs ([AC][AC]) uzunluğunu bulunuz.
3
Dik üçgende alan bağıntısını kullanarak hipotenüse ait yüksekliği (∣BH∣|BH|) hesaplayın. Aradığınız köşegen bu yüksekliğin iki katıdır.

Daha Fazla Pratik

Deltoidin alanının sorulduğu ve köşegen uzunluklarının verildiği bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Öklid'in 1h2=1c2+1a2\frac{1}{h^2} = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{a^2} bağıntısı kullanılarak 1h2=1152+1202\frac{1}{h^2} = \frac{1}{15^2} + \frac{1}{20^2} işlemiyle hh (yani ∣BH∣|BH|) doğrudan bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 3 / 22Sonraki
Geometri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 3 | Examkin