Examkin

Kümeler ve Fonksiyonlar

286 soru

Soru 181Soru →

İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az birini bilenlerden oluşan 60 kişilik bir turist kafilesinde; en çok iki dil bilenlerin sayısı 48, en az iki dil bilenlerin sayısı ise 28'dir.

Buna göre, bu kafilede yalnızca iki dil bilen kaç turist vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Yalnızca iki dil bilen turist sayısı 16'dır.
Soruda verilen kısıtları denkleme döktüğümüzde; toplam kişi sayısı 60 (x₁ + x₂ + x₃), en çok iki dil bilenler 48 (x₁ + x₂) ve en az iki dil bilenler 28 (x₂ + x₃) olarak ifade edilir. Toplam sayıdan en çok iki dil bilenleri çıkardığımızda 3 dil bilenleri (x₃ = 12) buluruz. Bunu 'en az iki dil bilenler' denkleminde yerine koyduğumuzda (x₂ + 12 = 28) yalnızca iki dil bilen sayısı 16 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri eleman sayılarına göre değişkenlerle ifade et.
x₁: Yalnızca 1 dil bilenler, x₂: Yalnızca 2 dil bilenler, x₃: 3 dili de bilenler. Hiç dil bilmeyen yoktur (x₀=0).
Soruda 'en az birini bilenler' ifadesi geçtiği için evrensel küme bu üç grubun toplamıdır.
2
Verilen bilgileri matematiksel denklemlere dök.
1) Toplam: x₁ + x₂ + x₃ = 60
2) En çok iki dil (x₁ + x₂): 48
3) En az iki dil (x₂ + x₃): 28
Sözel ifadelerin (en az, en çok) matematiksel karşılıklarını doğru kurmak gerekir.
3
x₃ değerini bulmak için 1. ve 2. denklemleri kullan.
(x₁ + x₂ + x₃) - (x₁ + x₂) = 60 - 48 = 12. Yani x₃ = 12.
Toplam sayıdan, en çok iki dil bilenleri çıkarırsak geriye üç dil bilenler kalır.
4
x₂ değerini bulmak için 3. denklemde x₃'ü yerine koy.
x₂ + 12 = 28 olduğundan, x₂ = 16 bulunur.
En az iki dil bilenler kümesi, yalnızca iki dil bilenler ile üç dil bilenlerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde 'En Az' ve 'En Çok' Kavramları

İpuçları

1
Kişileri bildikleri dil sayısına göre gruplandırın: Yalnızca 1 dil bilenler (x₁), yalnızca 2 dil bilenler (x₂) ve 3 dil bilenler (x₃).
2
'En çok iki dil bilenler' ifadesi x₁ ve x₂'nin toplamıdır. Toplam kişi sayısından (60) bu grubu çıkarırsanız neyi bulursunuz?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 'yalnızca bir dil bilenler' sorulsaydı nasıl bulurdunuz?

Alternatif Yöntem

Kısa yol: (En çok 2 dil bilenler) + (En az 2 dil bilenler) = (x₁ + x₂) + (x₂ + x₃) = 48 + 28 = 76. Bu toplam, gerçek toplamdan (60) fazladır. Aradaki fark (76 - 60 = 16) bize iki kez sayılan grubu, yani x₂'yi verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 182Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bir ff fonksiyonu
f(x)=2x+1x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1}
biçiminde veriliyor. Buna göre, f(x+1)f(x+1) ifadesinin f(x)f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5f(x)−4f(x)+1\frac{5f(x)-4}{f(x)+1}

Cevap

f(x+1) ifadesinin f(x) türünden eşiti pay kısmında 5f(x)-4 ve payda kısmında f(x)+1 bulunan rasyonel ifadedir.
Verilen fonksiyonun x+1 değerindeki görüntüsü elde edildikten sonra, asıl fonksiyondaki bağımsız değişken olan x, fonksiyonun kendi değeri cinsinden ifade edilip yerine konulmuştur. Bu cebirsel dönüşüm sonucunda istenen ilişki kurulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x+1) ifadesini x cinsinden bulmak için f(x) fonksiyonunda x yerine x+1 yazılır.
f(x+1)=2(x+1)+1(x+1)−1=2x+3xf(x+1) = \frac{2(x+1)+1}{(x+1)-1} = \frac{2x+3}{x}
Soruda istenen ifadenin temel yapısını kurmak.
2
f(x) fonksiyonu yardımıyla x ifadesini f(x) cinsinden yalnız bırakmak.
f(x)=2x+1x−1⇒f(x)⋅(x−1)=2x+1⇒x⋅f(x)−f(x)=2x+1⇒x(f(x)−2)=f(x)+1⇒x=f(x)+1f(x)−2f(x) = \frac{2x+1}{x-1} \Rightarrow f(x) \cdot (x-1) = 2x+1 \Rightarrow x \cdot f(x) - f(x) = 2x+1 \Rightarrow x(f(x)-2) = f(x)+1 \Rightarrow x = \frac{f(x)+1}{f(x)-2}
f(x+1) ifadesindeki x yerine yazılabilecek f(x) tabanlı bir eşitlik elde etmek.
3
Bulunan x değerini f(x+1) ifadesinde yerine yazmak ve sadeleştirmek.
f(x+1)=2(f(x)+1f(x)−2)+3f(x)+1f(x)−2=2f(x)+2+3f(x)−6f(x)−2f(x)+1f(x)−2=5f(x)−4f(x)+1f(x+1) = \frac{2\left(\frac{f(x)+1}{f(x)-2}\right)+3}{\frac{f(x)+1}{f(x)-2}} = \frac{\frac{2f(x)+2+3f(x)-6}{f(x)-2}}{\frac{f(x)+1}{f(x)-2}} = \frac{5f(x)-4}{f(x)+1}
İstenen ifadeyi tamamen f(x) değişkenine bağlı hale getirmek.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun başka bir fonksiyon türünden ifadesi, değişken değiştirme ve denklem çözme becerilerinin birleşimidir.

İpuçları

1
Önce f(x+1)f(x+1) ifadesini rasyonel olarak yazın.
2
f(x)f(x) denkleminden xx'i çekip f(x)f(x) cinsinden bir karşılık bulun.
3
Bulduğunuz xx değerini f(x+1)f(x+1) ifadesindeki her xx yerine yazıp rasyonel toplamaları yapın.

Daha Fazla Pratik

Üslü fonksiyonlar için de benzer bir 'türünden yazma' sorusu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(x) fonksiyonunda x yerine kolay bir sayı (örneğin x=2) vererek f(2) ve f(3) değerlerini bulun. Seçeneklerde f(x) yerine f(2) yazarak hangisinin f(3) değerini verdiğini kontrol edin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 183Soru →

AA ve BB birer küme olmak üzere,

s(A∪B)=22s(A \cup B) = 22

s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)

s(A∩B)=s(B∖A)−2s(A \cap B) = s(B \setminus A) - 2


eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

AA kümesinin eleman sayısı 1616'dır.
Verilen bilgiler doğrultusunda s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x denildiğinde, diğer bölgeler 2x2x ve x−2x-2 olarak ifade edilir. Toplam birleşim olan 4x−2=224x-2=22 eşitliğinden x=6x=6 bulunur. AA kümesinin eleman sayısı ise s(A∖B)+s(A∩B)=12+4=16s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 12 + 4 = 16 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin bölgelerini temsil eden değişkenler belirlenir.
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun. Bu durumda s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2 olur.
Verilen oranları ve farkları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek denklemi basitleştirir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü uygulanır.
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) olduğundan,
22=2x+x+(x−2)22 = 2x + x + (x - 2)
22=4x−222 = 4x - 2
Birleşim kümesi, iki kümenin kesişim ve fark bölgelerinin toplamına eşittir.
3
Denklem çözülerek xx değeri bulunur.
4x=244x = 24 ise x=6x = 6 bulunur.
s(B∖A)s(B \setminus A) değerini bulmak diğer bölgelerin eleman sayılarını hesaplamayı sağlar.
4
AA kümesinin eleman sayısı hesaplanır.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)
s(A)=2x+(x−2)s(A) = 2x + (x - 2)
s(A)=2(6)+(6−2)=12+4=16s(A) = 2(6) + (6 - 2) = 12 + 4 = 16
AA kümesi, BB kümesinden farkı ile BB kümesiyle olan kesişiminin toplamından oluşur.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim işlemi, kümelerin ayrık bölgelerinin (yalnız AA, yalnız BB ve her ikisi) eleman sayılarının toplamıdır.

İpuçları

1
Kümeleri bir Venn şeması üzerinde çizerek her bir bölgeyi s(B∖A)s(B \setminus A) cinsinden isimlendirmeyi deneyin.
2
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülünü kullanarak bir bilinmeyenli bir denklem kurun.
3
Denklemi kurduğunuzda 4x−2=224x - 2 = 22 sonucuna ulaşmalısınız. Buradan bulacağınız xx değerini s(A)s(A)'yı bulmak için kullanın.

Daha Fazla Pratik

Kümeler arasındaki fark ve kesişim ilişkilerini pekiştirmek için benzer bir soruyu üç küme (A,B,CA, B, C) üzerinden çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 184Soru →

Bir kamu kurumunun Strateji Geliştirme Başkanlığı tarafından yürütülen 120 adet kalkınma projesi; 'Ekonomik', 'Sosyal' ve 'Kültürel' olmak üzere üç ana bileşen üzerinden değerlendirilmiştir. Değerlendirme raporunda şu veriler yer almaktadır:

* Her proje en az bir bileşene sahiptir.
* Sadece Ekonomik bileşeni olan proje sayısı, sadece Kültürel bileşeni olan proje sayısının 3 katıdır.
* Sadece Sosyal bileşeni olan proje sayısı, sadece Kültürel bileşeni olan proje sayısına eşittir.
* Ekonomik bileşeni olan toplam proje sayısı 80, Sosyal bileşeni olan 60, Kültürel bileşeni olan ise 50'dir.
* Her üç bileşene de sahip proje sayısı 10'dur.

Buna göre, raporda sadece Ekonomik bileşene sahip olduğu belirtilen proje sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Sadece Ekonomik bileşene sahip proje sayısı 36'dır.
Verilen koşullara göre, sadece tek bir niteliğe sahip proje sayıları x, x ve 3x olarak kodlanır. Üç kümenin birleşim formülü kullanılarak, sadece iki niteliğe sahip projelerin toplam sayısının 50 olduğu bulunur. Toplam proje sayısı (120), tüm ayrık bölgelerin toplamına eşittir: (Sadece 1'liler) + (Sadece 2'liler) + (3'lüler). Yani 120 = 5x + 50 + 10 denklemi kurulur. Buradan 5x = 60 ve x = 12 bulunur. Soruda 'Sadece Ekonomik' (3x) sorulduğu için cevap 3 * 12 = 36 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri tanımla.
E: Ekonomik, S: Sosyal, K: Kültürel. Her bir kümenin 'sadece' o kümeye ait eleman sayılarına sırasıyla n(E'), n(S'), n(K') diyelim.
Problemi matematiksel denklemlere dökmek için değişken atamak gerekir.
2
Verilen oranları değişkenlere ata.
Sadece Kültürel = x olsun. Sadece Sosyal = x, Sadece Ekonomik = 3x olur. (n(K')=x, n(S')=x, n(E')=3x)
Sorudaki kat ve eşitlik ilişkilerini tek bir bilinmeyen (x) cinsinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
3
Kesişimlerin toplamını bulmak için Birleşim Formülünü kullan.
n(E∪S∪K) = n(E) + n(S) + n(K) - [n(E∩S) + n(E∩K) + n(S∩K)] + n(E∩S∩K) formülünden hareketle; sadece iki özelliğe sahip elemanların toplamına Y dersek: 120 = 80 + 60 + 50 - (Y + 3*10) + 10 eşitliği kurulur. Buradan 120 = 170 - Y bulunur, yani Y = 50'dir.
Sadece tek özelliğe sahip kümeleri bulmak için önce sadece iki özelliğe sahip kümelerin toplam yükünü bulmak gerekir.
4
Toplam formülünü kullanarak x değerini bul.
Toplam = (Sadece 1 özellik) + (Sadece 2 özellik) + (3 özellik). 120 = (3x + x + x) + 50 + 10. Buradan 120 = 5x + 60 => 5x = 60 => x = 12 bulunur.
Tüm parçaların toplamı evrensel kümeyi (120) vermelidir.
5
İstenen değeri hesapla.
Soru 'Sadece Ekonomik' kısmını sormaktadır (3x). 3 * 12 = 36.
Bulunan x değeri yerine konularak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Ayrık Bölgeler Analizi

İpuçları

1
Kümeleri çizip bölgelere isim verin. 'Sadece' bölgeleri için x, 3x gibi değişkenler kullanın.
2
Toplam sayıyı bulmak için şu formülü hatırlayın: Toplam = (Sadece 1 özellikli olanlar) + (Sadece 2 özellikli olanlar) + (3 özellikli olanlar).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'En az iki dil bilenler' veya 'En çok bir proje tamamlayanlar' şeklinde kısıtlamalarla çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 185Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣∣x∣≤4}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 4 \}

B={x∈Z∣x2>10}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 10 \}

Buna göre, A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

A ve B kümelerinin kesişim kümesi 2 elemanlıdır.
Önce her iki kümenin elemanlarını belirlememiz gerekir. A kümesi mutlak değeri 4'ten küçük veya eşit olan tam sayılardır: {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}. B kümesi ise karesi 10'dan büyük olan tam sayılardır. A kümesinin elemanlarından hangilerinin B kümesinin şartını sağladığını (yani karesinin 10'dan büyük olduğunu) kontrol ettiğimizde; sadece −4-4 (karesi 16) ve 44 (karesi 16) sayıları bu şartı sağlar. −3-3 ve 33'ün karesi 99 olduğu için şartı sağlamaz. Dolayısıyla kesişim kümesi {−4,4}\{-4, 4\} olup eleman sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz
A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
|x| ≤ 4 eşitsizliği -4 ≤ x ≤ 4 aralığındaki tam sayıları ifade eder.
2
B kümesinin koşulunu sağlayan A kümesi elemanlarını belirle (Kesişim)
A kümesi içinden karesi 10'dan büyük olanlar: -4 ve 4
B kümesi x² > 10 koşulunu gerektirir. (-4)²=16 > 10 ve 4²=16 > 10 sağlar. (-3)²=9 < 10 sağlamaz.
3
Bulunan elemanları say
A ∩ B = {-4, 4}, yani s(A ∩ B) = 2
Ortak elemanlar sadece -4 ve 4 değerleridir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim ve Ortak Özellik Yöntemi

İpuçları

1
Önce A kümesinin elemanlarını listeleyerek yazın.
2
|x| ≤ 4 ifadesi, x sayısının -4 ile 4 arasında (sınırlar dahil) olduğunu gösterir.
3
A kümesindeki sayılardan (-4, -3... 3, 4) hangilerinin karesinin 10'dan büyük olduğunu kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

A \ B (A fark B) kümesinin eleman sayısını soran bir alıştırma çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde -4 ile 4 arasındaki tam sayıları işaretleyip, bu aralıkta karesi 10'dan büyük olan bölgeleri (x > √10 veya x < -√10) tarayarak ortak noktaları bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 186Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣∣2x−3∣≤5} A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |2x - 3| \le 5 \}

B={x∈Z∣x2≤5} B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \le 5 \}

Buna göre, bu kümelerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: s(A ∪ B) = 7

Cevap

Doğru cevap, birleşim kümesinin eleman sayısının 7 olduğunu belirten seçenektir.
Doğru seçenek, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısının 7 olduğunu belirtir. Kümeler liste yöntemiyle yazıldığında A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} ve B={−2,−1,0,1,2}B = \{-2, -1, 0, 1, 2\} bulunur. Bu iki kümenin birleşimi {−2,−1,0,1,2,3,4}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} şeklindedir ve toplam 7 elemana sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çöz.
∣2x−3∣≤5  ⟹  −5≤2x−3≤5|2x - 3| \le 5 \implies -5 \le 2x - 3 \le 5. Her tarafa 3 ekle: −2≤2x≤8-2 \le 2x \le 8. 2'ye böl: −1≤x≤4-1 \le x \le 4. A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}.
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
2
B kümesinin elemanlarını bulmak için karesel eşitsizliği çöz.
x2≤5  ⟹  −5≤x≤5x^2 \le 5 \implies -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}. 5≈2.23\sqrt{5} \approx 2.23 olduğundan −2.23≤x≤2.23-2.23 \le x \le 2.23. Tam sayılar: B={−2,−1,0,1,2}B = \{-2, -1, 0, 1, 2\}.
Karesi 5'ten küçük veya eşit olan tam sayılar belirlenir.
3
Seçenekleri kümelerin elemanlarına göre kontrol et.
A birleşim B kümesi (A∪BA \cup B), her iki kümedeki tüm elemanları içerir: {−2,−1,0,1,2,3,4}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Bu kümenin eleman sayısı s(A∪B)=7s(A \cup B) = 7'dir.
Birleşim işlemi, kümelerdeki ortak elemanları bir kez yazarak tüm elemanları bir araya getirir.

Anahtar Kavram

Ortak özellik yöntemi ile verilen kümelerin liste yöntemiyle yazılması ve küme işlemleri.

İpuçları

1
Önce her iki kümeyi de liste yöntemiyle (elemanlarını tek tek yazarak) ifade ediniz.
2
Mutlak değer eşitsizliğini çözerken −5≤2x−3≤5-5 \le 2x - 3 \le 5 aralığını kullanın. Karesi 5'ten küçük olan negatif tam sayıları unutmayın.
3
B kümesi {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} elemanlarından oluşur. Bu kümenin A kümesi ile ilişkisini ve birleşimini kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Farklı mutlak değer ve üslü sayı koşulları içeren benzer küme soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 187Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu için,
f(2x+1)=4x−2x+1+7f(2^x + 1) = 4^x - 2^{x+1} + 7

eşitliği veriliyor.

Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Doğru cevap 10'dur. Çünkü fonksiyonun tanım kümesindeki 2x+12^x+1 ifadesini 4 yapacak değer 2x=32^x=3'tür. Eşitliğin sağ tarafındaki 4x4^x, (2x)2(2^x)^2 yani 32=93^2=9 olur; 2x+12^{x+1} ise 2⋅2x2 \cdot 2^x yani 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 olur. Sonuç 9−6+7=109 - 6 + 7 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun içindeki ifadeyi istenen değere eşitleme
2x+1=4⇒2x=32^x + 1 = 4 \Rightarrow 2^x = 3
f(4)f(4) değerini bulmak için parantez içini 4 yapan xx değişkenine bağlı değeri belirlemeliyiz.
2
Eşitliğin sağ tarafını düzenleme
4x−2x+1+7=(2x)2−2⋅2x+74^x - 2^{x+1} + 7 = (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 7
İfadeyi, bulduğumuz 2x2^x değerini yerine yazabilecek şekilde üslü sayı kurallarıyla parçalamalıyız.
3
Değeri yerine yazma ve sonucu bulma
32−2⋅3+7=9−6+7=103^2 - 2 \cdot 3 + 7 = 9 - 6 + 7 = 10
2x2^x gördüğümüz yere 3 yazarak işlemi tamamlarız.

Anahtar Kavram

Değişken Dönüşümü Yoluyla Fonksiyon Değeri Bulma

İpuçları

1
Fonksiyonun içindeki 2x+12^x + 1 ifadesini istenen değer olan 4'e eşitleyerek başlayın.
2
xx değerini tam sayı olarak bulmaya çalışmayın; bunun yerine 2x2^x ifadesinin değerini (2x=32^x = 3) bulun ve sağ tarafta kullanın.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki 4x4^x ifadesini (2x)2(2^x)^2 ve 2x+12^{x+1} ifadesini 2⋅2x2 \cdot 2^x şeklinde yazarak 2x2^x yerine 3 koyun.

Alternatif Yöntem

Eğer logaritma biliniyorsa, 2x=3⇒x=log⁡232^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3 dönüşümü yapılarak da çözülebilir, ancak değişken dönüşümü (blok yerleştirme) yöntemi KPSS için daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 188Soru →

EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri veriliyor.

Buna göre,
[(A∪B)∖(B∖A)]′ \left[ (A \cup B) \setminus (B \setminus A) \right]'

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A'

Cevap

İfadenin en sade hali A' (A'nın tümleyeni) kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde parantez içinin A kümesine eşit olduğu görülür. En dıştaki tümleyen işareti nedeniyle doğru cevap A kümesinin tümleyenidir (A′A').

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki fark işlemini (B∖AB \setminus A) kesişim ve tümleme cinsinden ifade edelim.
B∖A=B∩A′B \setminus A = B \cap A'
Küme farkı tanımı gereği X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' eşitliği kullanılır.
2
Ana ifadedeki fark işlemini (∖\setminus) dönüştürelim.
(A∪B)∖(B∩A′)=(A∪B)∩(B∩A′)′(A \cup B) \setminus (B \cap A') = (A \cup B) \cap (B \cap A')'
Dışarıdaki fark işlemi de kesişim ve tümleme cinsine çevrilir.
3
De Morgan kuralını uygulayarak sağdaki parantezin tümleyenini alalım.
(B∩A′)′=B′∪A(B \cap A')' = B' \cup A
İfade şu hale gelir: (A∪B)∩(A∪B′)(A \cup B) \cap (A \cup B')
Kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimine eşittir.
4
Dağılma özelliğini tersten (ortak paranteze alma) uygulayalım.
(A∪B)∩(A∪B′)=A∪(B∩B′)(A \cup B) \cap (A \cup B') = A \cup (B \cap B')
B∩B′=∅B \cap B' = \emptyset olduğundan sonuç A∪∅=AA \cup \emptyset = A bulunur.
Her iki parantezde de A∪A \cup ifadesi ortaktır.
5
En dıştaki tümleyen işlemini uygulayalım.
[A]′=A′[A]' = A'
Soruda köşeli parantezin dışında bir tümleyen işareti (') bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' dönüşümü ve De Morgan kuralları kullanılarak sadeleştirme yapılır.

İpuçları

1
Fark işlemini (X∖YX \setminus Y) kesişim ve tümleme cinsinden (X∩Y′X \cap Y') yazarak başlayın.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 189Soru →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={x,y}B = \{x, y\} olmak üzere, AA kümesinden BB kümesine tanımlı bir ff fonksiyonunun eşleşme şeması aşağıda verilmiştir. Şemada görüldüğü gibi, değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanla eşleşmiştir. Buna göre, değer kümesinde (B kümesi) açıkta eleman kalmayan bu fonksiyonun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örten

Cevap

Örten fonksiyon
Verilen şemada BB kümesindeki her iki eleman (xx ve yy) da en az bir okla eşleşmiştir. Tanım gereği, değer kümesinde (sağdaki küme) boşta eleman kalmıyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon denir.

Adım Adım Çözüm

1
Değer kümesindeki (B kümesi) elemanları incele.
Değer kümesinde xx ve yy olmak üzere iki eleman bulunmaktadır.
Fonksiyonun çeşidini belirlemek için değer kümesinde açıkta eleman kalıp kalmadığına bakılmalıdır.
2
Her bir elemana tanım kümesinden ok gelip gelmediğini kontrol et.
xx elemanına 11 ve 22 sayılarından, yy elemanına ise 33 ve 44 sayılarından ok gelmektedir.
Okların ulaştığı elemanlar fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
3
Değer kümesi ile görüntü kümesini karşılaştır.
B kümesindeki tüm elemanlar eşleşmiştir, yani görüntü kümesi değer kümesine eşittir.
Değer kümesinde eşleşmemiş (açıkta) eleman kalmadığında fonksiyon 'örten' olarak adlandırılır.

Anahtar Kavram

Örten Fonksiyon: Değer kümesinde açıkta eleman kalmayan, yani görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyondur.

İpuçları

1
Sağdaki kümeye (B kümesi) dikkatlice bak. Boşta kalan, hiçbir okla eşleşmeyen bir eleman var mı?
2
Eğer B kümesindeki her elemana en az bir tane ok gelmişse, bu fonksiyonun değer kümesini tamamen 'örttüğünü' söyleyebiliriz.
3
Görüntü kümesi {x, y} olup değer kümesine (B) eşittir. Bu özellik örten fonksiyonun temel tanımıdır.

Daha Fazla Pratik

Değer kümesine bir 'z' elemanı ekleyip hiçbir sayıyla eşlemeseydik, fonksiyon örtenlikten çıkıp 'içine fonksiyon' olurdu.
Tahmini Süre:45s
Soru 190Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={4,5,6,7}B = \{4, 5, 6, 7\} kümeleri veriliyor. Aşağıda şeması verilen f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonunda tanım kümesindeki her bir eleman, değer kümesindeki 55 elemanı ile eşleşmektedir.

Buna göre, ff fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sabit Fonksiyon

Cevap

Sabit Fonksiyon
Verilen şemada tanım kümesi olan A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} kümesinin tüm elemanları, değer kümesindeki tek bir eleman olan 55 ile eşleşmiştir. Matematiksel olarak f(1)=f(2)=f(3)=5f(1)=f(2)=f(3)=5 durumu söz konusudur. Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı sabit elemana götüren bu tür fonksiyonlara 'Sabit Fonksiyon' denir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki elemanların görüntülerini belirleyin.
f(1)=5,f(2)=5,f(3)=5f(1) = 5, f(2) = 5, f(3) = 5
Fonksiyonun çeşidini belirlemek için elemanların hangi değerlerle eşleştiğine bakılmalıdır.
2
Görüntü kümesini analiz edin.
Görüntü kümesi tek elemanlıdır: {5}\{5\}
Tanım kümesindeki tüm elemanlar aynı sonuca ulaşıyorsa fonksiyonun davranışı sabittir.
3
Fonksiyon çeşidini tanımlayın.
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki her xx için f(x)=cf(x) = c (cc bir sabit) şartını sağlayan fonksiyonlar sabit fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyonlarda tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesinde tek bir elemanla eşleşir.

İpuçları

1
Tanım kümesindeki 1,21, 2 ve 33 sayılarının her birinin hangi sayıya gittiğine dikkat edin.
2
Bütün elemanların aynı sonuca ulaştığı (örneğin hep aynı kapıya çıktığı) fonksiyon türünü hatırlayın.
3
f(x)=cf(x) = c şeklindeki, yani sonucu hiç değişmeyen fonksiyonlara ne ad verilir?

Daha Fazla Pratik

Değer kümesindeki tüm elemanların eşleştiği (hiç elemanın artmadığı) durumlar için 'Örten Fonksiyon' kavramını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu liste yöntemiyle yazarsak: f={(1,5),(2,5),(3,5)}f = \{(1, 5), (2, 5), (3, 5)\}. İkinci bileşenlerin hepsinin aynı olması fonksiyonun sabit olduğunu kanıtlar.
Tahmini Süre:45s
Soru 191Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümeleri veriliyor.

AA'dan BB'ye tanımlı ff fonksiyonunun birebir olduğu bilinmektedir.

Buna göre, f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olduğu kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Şartı sağlayan 24 farklı birebir fonksiyon vardır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği her eleman farklı bir yere gitmelidir. Çarpımın tek olması için f(1)f(1) ve f(2)f(2)'nin her ikisi de tek sayı olmalıdır (BB kümesindeki {1,3,5}\{1, 3, 5\} elemanlarından seçilmelidir). Bu iki değer için 3×2=63 \times 2 = 6 farklı durum vardır. Geriye kalan f(3)f(3) değeri için, BB kümesindeki kullanılmayan 4 elemandan biri seçilebilir. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım koşulunu analiz et
f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olması için, hem f(1)f(1) hem de f(2)f(2) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı yalnızca her iki çarpan da tek ise tek sayıdır.
2
Görüntü kümesindeki uygun elemanları belirle
B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesindeki tek sayılar {1,3,5}\{1, 3, 5\} kümesidir (3 eleman).
Fonksiyonun alabileceği tek sayı değerleri bunlardır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için seçim sayısını hesapla
ff birebir olduğu için f(1)f(1) ve f(2)f(2) farklı olmalıdır. 3 tek sayıdan 2'si seçilip sıralanır: P(3,2)=3×2=6P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 farklı seçim.
Permütasyon kuralı uygulanır.
4
f(3)f(3) için kalan seçenekleri hesapla
BB kümesinde toplam 6 eleman vardır. 2 tanesi f(1)f(1) ve f(2)f(2) için kullanıldı. Geriye 6−2=46 - 2 = 4 eleman kalır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği, kullanılan elemanlar tekrar kullanılamaz.
5
Toplam fonksiyon sayısını bul
6×4=246 \times 4 = 24 fonksiyon.
Çarpma kuralı (saymanın temel ilkesi) uygulanır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda her tanım kümesi elemanı farklı bir görüntüye gitmelidir. Belirli koşullar (tek/çift gibi) alt kümeler üzerinde permütasyon hesabı gerektirir.

İpuçları

1
İki sayının çarpımının tek sayı olması için, bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
BB kümesindeki tek sayıları belirleyin ve f(1)f(1) ile f(2)f(2)'nin sadece bu değerleri alabileceğini düşünün. Fonksiyon birebir olduğu için bu değerler birbirinden farklı olmalıdır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için BB'deki 3 tek sayıdan 2'sini seçip sıralayın (3×23 \times 2). Ardından f(3)f(3) için BB'de kalan (tek veya çift fark etmez) 4 elemandan birini seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kümelerle, f(1)<f(2)f(1) < f(2) şartını sağlayan kaç fonksiyon olduğunu sorarak sıralama mantığını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar üzerinden gitmek yerine kombinasyon ile düşünün: f(1)f(1) ve f(2)f(2) için 3 tek sayıdan 2'si seçilir (C(3,2)=3C(3,2)=3). Bu iki sayı kendi arasında yer değiştirir (2!2!). f(3)f(3) için kalan 4 sayıdan 1'i seçilir (C(4,1)=4C(4,1)=4). Sonuç: 3×2×4=243 \times 2 \times 4 = 24.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 192Soru →

ff gerçek sayılarda tanımlı doğrusal bir fonksiyondur.

f(2x)+f(x+1)=9x−1f(2x) + f(x+1) = 9x - 1

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Fonksiyonun kuralı f(x) = 3x - 2 bulunduğundan, f(3) değeri 7'dir.
Doğrusal fonksiyon tanımı gereği f(x)=ax+bf(x) = ax + b alındığında, verilen denklemde xx'li terimlerin katsayıları a=3a=3'ü, sabit terimler ise b=−2b=-2'yi verir. Böylece f(x)=3x−2f(x)=3x-2 fonksiyonunda x=3x=3 yazıldığında sonuç 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun genel tanımını yaz.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b (burada aa ve bb birer gerçek sayıdır)
Soruda fonksiyonun 'doğrusal' olduğu belirtilmiştir, bu nedenle ax+bax+b formatı kullanılmalıdır.
2
Verilen eşitlikteki terimleri genel tanıma göre oluştur.
f(2x)=a(2x)+b=2ax+bf(2x) = a(2x) + b = 2ax + b ve f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+bf(x+1) = a(x+1) + b = ax + a + b
Fonksiyonun içine 2x2x ve x+1x+1 değerlerini yazarak ifadeleri genişletmek gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri topla ve verilen eşitliğe eşitle.
(2ax+b)+(ax+a+b)=3ax+(a+2b)=9x−1(2ax + b) + (ax + a + b) = 3ax + (a + 2b) = 9x - 1
Polinom eşitliği ilkesi gereği, xx'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.
4
Katsayıları karşılaştırarak aa ve bb değerlerini bul.
3a=9⇒a=33a = 9 \Rightarrow a = 3. Sabit terimler için: a+2b=−1⇒3+2b=−1⇒2b=−4⇒b=−2a + 2b = -1 \Rightarrow 3 + 2b = -1 \Rightarrow 2b = -4 \Rightarrow b = -2.
Bilinmeyen katsayıları bularak fonksiyonun kuralını oluşturmak.
5
Bulunan fonksiyon kuralında x=3x=3 değerini yerine yaz.
f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 olduğundan, f(3)=3(3)−2=9−2=7f(3) = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7.
Sonuç değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Polinom Eşitliği

İpuçları

1
Soruda fonksiyonun 'doğrusal' olduğu belirtilmiştir. Doğrusal bir fonksiyonun genel matematiksel ifadesi f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklindedir.
2
f(x)=ax+bf(x) = ax + b ifadesini kullanarak f(2x)f(2x) ve f(x+1)f(x+1) ifadelerini aa ve bb cinsinden yazıp toplayın.
3
Bulduğunuz toplam (3ax+a+2b)(3ax + a + 2b) ifadesini, eşitliğin sağ tarafındaki 9x−19x - 1 ile karşılaştırın. xx'in katsayısı 99'a, sabit terim ise −1-1'e eşit olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki f(x2)=3x2+5f(x^2) = 3x^2 + 5 gibi değişken değiştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek eleme yöntemi: x=1x=1 için eşitlik f(2)+f(2)=9(1)−1⇒2f(2)=8⇒f(2)=4f(2) + f(2) = 9(1)-1 \Rightarrow 2f(2)=8 \Rightarrow f(2)=4 olur. Seçeneklerdeki değerlerin oluşturduğu doğrunun (3, yy) noktasından ve (2, 4) noktasından geçip geçmediği kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 193Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin teknik hizmetler dairesinde görev yapan toplam 5252 personel; Netcad, AutoCAD ve ArcGIS paket programlarından en az birini kullanabilmektedir.

Bu personelin program kullanım durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca Netcad bilenlerin sayısı, her üç programı da bilenlerin sayısının 33 katıdır.
* Yalnızca AutoCAD bilenlerin sayısı, her üç programı da bilenlerin sayısının 22 katıdır.
* Yalnızca ArcGIS bilenlerin sayısı, her üç programı da bilenlerin sayısına eşittir.
* Yalnızca iki program bilen üç alt grubun her birindeki personel sayıları birbirine eşit olup; yalnızca iki program bilenlerin toplam sayısı, yalnızca bir program bilenlerin toplam sayısına eşittir.

Buna göre, bu programlardan en az ikisini kullanabilen personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Programlardan en az ikisini kullanabilen personel sayısı 28'dir.
Soruda verilen bilgilere göre her bölgeyi xx cinsinden ifade ettiğimizde; yalnızca bir program bilenler 3x+2x+x=6x3x+2x+x=6x, yalnızca iki program bilenler de bu toplama eşit olduğundan 6x6x olur. Her üçünü bilenler xx'tir. Toplam 13x=5213x = 52 denkleminden x=4x=4 bulunur. 'En az iki program bilenler', yalnızca iki program bilenler (6x6x) ile her üçünü bilenlerin (xx) toplamıdır: 7x=7×4=287x = 7 \times 4 = 28.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki bölge eleman sayılarını değişkenler cinsinden ifade et.
Her üçünü bilen = x olsun. Yalnızca Netcad = 3x, Yalnızca AutoCAD = 2x, Yalnızca ArcGIS = x.
Soruda verilen kat ilişkilerini matematiksel ifadeye dökmek için.
2
Yalnızca bir program bilenlerin toplam sayısını bul.
Toplam (Yalnızca 1) = 3x + 2x + x = 6x.
Diğer koşulu kullanabilmek için ara toplam gereklidir.
3
'Yalnızca iki program bilenler' grubunu analiz et.
Yalnızca iki program bilenlerin toplam sayısı, yalnızca bir program bilenlere (6x) eşittir. Üç alt grup eşit olduğundan, her bir ikili kesişim grubu (örn. sadece Netcad ve AutoCAD) = 6x / 3 = 2x olur.
Eşitlik şartını sağlayarak tüm bölgeleri x cinsinden ifade etmek için.
4
Toplam personel sayısı üzerinden x değerini hesapla.
Toplam = (Yalnızca 1) + (Yalnızca 2) + (Her 3'ü). Denklem: 6x + 6x + x = 52 => 13x = 52 => x = 4.
Bilinmeyen değişkenin değerini bulmak için.
5
İstenen 'en az iki program bilen' sayısını hesapla.
En az iki = (Yalnızca iki bilenler) + (Her üçünü bilenler) = 6x + x = 7x. Sonuç: 7 * 4 = 28.
Sorunun kökündeki şartı (en az iki) doğru bölgeleri toplayarak cevaplamak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı Problemleri (Venn Şeması)

İpuçları

1
Bu tür sorularda Venn şeması çizmek ve en içteki kesişimden (her üçünü bilenler) başlayarak değişken vermek çözümü kolaylaştırır.
2
Her üçünü bilenlerin sayısına xx diyerek başlayın. 'Yalnızca bir program bilenlerin' toplamını xx cinsinden bulup, 'yalnızca iki program bilenlerin' toplamına eşitleyin.
3
Toplam personel sayısı = (Yalnızca 1 bilenler) + (Yalnızca 2 bilenler) + (Her 3'ünü bilenler). Bu toplamı xx cinsinden yazıp 52'ye eşitleyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 194Soru →

Bir yabancı dil okulunda İngilizce (II), Almanca (AA) ve Fransızca (FF) kurslarına kayıtlı toplam 60 öğrenci bulunmaktadır. Her öğrenci bu kurslardan en az birine kayıtlıdır. Kursların mevcut öğrenci sayıları şöyledir:

s(I)=30,s(A)=28,s(F)=26s(I) = 30, \quad s(A) = 28, \quad s(F) = 26

Sadece iki kursa kayıtlı olan öğrenci sayısı, herhangi iki kurs çifti için birbirine eşittir (örneğin sadece İngilizce ve Almanca alanların sayısı, sadece İngilizce ve Fransızca alanlara eşittir).

Buna göre, yalnızca bir kursa kayıtlı olan öğrenci sayısı en çok kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Yalnızca bir kursa kayıtlı öğrenci sayısı en çok 48'dir.
Soruda 'yalnızca bir' kursa gidenlerin sayısının en çok olması istenmektedir. Toplam öğrenci sayısı 60'tır. Yalnızca bir kursa gidenleri bulmak için, birden fazla kursa gidenleri (sadece iki kursa gidenler + üç kursa da gidenler) toplamdan çıkarmalıyız.

Kümelerin eleman sayıları toplamı: 30+28+26=8430 + 28 + 26 = 84
Gerçek öğrenci sayısı: 6060
Fark (Mükerrer sayımlar): 84−60=2484 - 60 = 24

Bu 24 sayılık fark, sadece iki kursa gidenlerin 1'er kez, üç kursa gidenlerin 2'şer kez fazladan sayılmasından kaynaklanır.
Sadece iki kursa gidenlerin her bir ikili grup için sayısı kk, üç kursa gidenlerin sayısı mm olsun. Toplam 'sadece iki' kursa giden sayısı 3k3k olur.

Denklem: 1⋅(3k)+2⋅m=24⇒3k+2m=241 \cdot (3k) + 2 \cdot m = 24 \Rightarrow 3k + 2m = 24

Bizden istenen: 60−(3k+m)60 - (3k + m) ifadesinin maksimum olması.
Bu ifadenin maksimum olması için çıkarılan (3k+m)(3k + m) toplamının minimum olması gerekir.

Elimizdeki 3k+2m=243k + 2m = 24 denkleminden 3k=24−2m3k = 24 - 2m yazarız. Bunu minimize edilecek ifadede yerine koyalım:
Minimize edilecek: (24−2m)+m=24−m(24 - 2m) + m = 24 - m

24−m24 - m ifadesinin en küçük olması için mm (üç kursa da gidenler) mümkün olan en büyük değeri almalıdır. 3k=24−2m3k = 24 - 2m ve k≥0k \ge 0 olduğundan 24−2m≥0⇒m≤1224 - 2m \ge 0 \Rightarrow m \le 12 olmalıdır.

m=12m = 12 seçersek 3k=0⇒k=03k = 0 \Rightarrow k = 0 olur.
Bu durumda çıkarılan miktar: 3(0)+12=123(0) + 12 = 12.

Sonuç: 60−12=4860 - 12 = 48.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman sayıları toplamı ile birleşim kümesi arasındaki ilişkiyi kur.
s(I)+s(A)+s(F)=84s(I) + s(A) + s(F) = 84. Toplam öğrenci sayısı 6060. Fark 84−60=2484 - 60 = 24.
Her bir öğrencinin kaç kez sayıldığını belirlemek için toplam kayıt sayısından gerçek kişi sayısını çıkarmalıyız.
2
Fazladan sayılan 24 kaydın, ikili ve üçlü kesişimlerden nasıl oluştuğunu denklemle ifade et.
Fazlalık = 1⋅s(Sadece 2)+2⋅s(Hepsi)1 \cdot s(\text{Sadece 2}) + 2 \cdot s(\text{Hepsi}). s(Sadece 2)=3ks(\text{Sadece 2}) = 3k (her çift için kk) ve s(Hepsi)=ms(\text{Hepsi}) = m olsun. Denklem: 3k+2m=243k + 2m = 24.
Sadece iki kursa gidenler toplama işleminde 1 kez fazladan, üç kursa gidenler ise 2 kez fazladan sayılır.
3
Yalnızca bir kursa gidenleri maksimize etmek için optimizasyon yap.
Yalnızca 1 kursa gidenler = 60−(3k+m)60 - (3k + m). Bu ifadeyi maksimize etmek için (3k+m)(3k + m) toplamını minimize etmeliyiz.
Toplam öğrenci sayısından birden fazla kursa gidenleri çıkarırsak, sadece tek kursa gidenleri buluruz.
4
3k+2m=243k + 2m = 24 şartını sağlayan ve 3k+m3k+m değerini en küçük yapan (k,m)(k, m) çiftini bul.
m=12m=12 seçilirse 3k=0⇒k=03k=0 \Rightarrow k=0 olur. Bu durumda çıkarılacak miktar 3(0)+12=123(0) + 12 = 12 olur. Sonuç 60−12=4860 - 12 = 48.
mm katsayısı denklemde daha büyük olduğu için, mm'yi mümkün olduğunca büyük seçmek toplam çıkarılan miktarı (3k+m3k+m) küçültür.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Prensipleri
Soru 195Soru →

A={x∣x∈Z,−4<x≤6}A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -4 < x \le 6 \} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin elemanları çarpımı negatif olan kaç tane alt kümesi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 256

Cevap

Elemanları çarpımı negatif olan 256 farklı alt küme vardır.
Çarpımın negatif olması için kümede 00 bulunmamalı ve negatif sayıların adedi tek (1 veya 3) olmalıdır. 3 negatif sayıdan tek sayıda seçim yapmak için (31)+(33)=4\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 4 yol vardır. Kalan 6 pozitif sayıdan herhangi bir alt küme seçmek için 26=642^6 = 64 yol vardır. Bu iki durumun çarpımı 4×64=2564 \times 64 = 256 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
A={−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Toplam 10 eleman vardır.
Eşitsizlik −4<x≤6-4 < x \le 6 aralığındaki tam sayıları kapsar.
2
Elemanları işaretlerine göre gruplandır.
Negatifler (NN): {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} (3 tane)
Pozitifler (PP): {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} (6 tane)
Sıfır (ZZ): {0}\{0\} (1 tane)
Çarpım işaretini belirlemek için sayıların işaretleri önemlidir.
3
Çarpımın negatif olması için gereken koşulları belirle.
1. Alt küme 00 elemanını İÇERMEMELİDİR (yoksa çarpım 0 olur).
2. Alt küme TEK SAYIDA negatif eleman içermelidir (1 veya 3 tane).
Sıfır yutan elemandır. Negatif sayıların adedi tek ise çarpım negatif, çift ise pozitiftir.
4
Kombinasyon hesabını yap.
Negatiflerden seçim: (31)+(33)=3+1=4\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = 4 durum.
Pozitiflerden seçim: 26=642^6 = 64 durum (hiç seçmemek dahil her durum olabilir).
Toplam: 4×64=2564 \times 64 = 256.
Negatif ve pozitif seçimler bağımsız olaylardır, çarpılarak sayılır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanları çarpımının işaretini belirlerken, kümedeki negatif sayıların adedinin tek veya çift oluşu ve 0'ın varlığı incelenir.

İpuçları

1
Önce A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazınız ve kaç tanesinin negatif, kaç tanesinin pozitif olduğunu belirleyiniz.
2
Bir çarpımın sonucunun negatif olması için, çarpılan sayılardan kaç tanesinin negatif olması gerekir? Ayrıca kümede 0 bulunursa çarpım ne olur?
3
Kümede 0 bulunmamalıdır. Negatif sayıların adedi tek (1 veya 3) olmalıdır. Pozitif sayıların ise olup olmaması sonucu etkilemez.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 196Soru →
ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
f(x−1)+f(2x)=9x−2f(x-1) + f(2x) = 9x - 2

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 252\frac{25}{2}

Cevap

Fonksiyonun kuralı f(x)=3x+12f(x) = 3x + \frac{1}{2} olarak bulunur ve buradan f(4)=252f(4) = \frac{25}{2} elde edilir.
Doğrusal fonksiyonun genel formu f(x)=ax+bf(x) = ax + b olarak kabul edilip verilen eşitlikte yerine yazıldığında, 3ax−a+2b=9x−23ax - a + 2b = 9x - 2 özdeşliği elde edilir. Burada xx li terimlerin katsayılarından a=3a=3 ve sabit terimlerin eşitliğinden b=1/2b=1/2 bulunur. Sonuç olarak f(4)=3⋅4+1/2=12,5f(4) = 3 \cdot 4 + 1/2 = 12,5 yani 25/225/2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ff doğrusal bir fonksiyon olduğu için kuralı f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde tanımlanır.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b
Doğrusal fonksiyonlar her zaman birinci dereceden bir polinom şeklindedir.
2
f(x−1)f(x-1) ve f(2x)f(2x) ifadeleri xx cinsinden yazılır.
f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+bf(x-1) = a(x-1) + b = ax - a + b ve f(2x)=a(2x)+b=2ax+bf(2x) = a(2x) + b = 2ax + b
Verilen eşitlikte yerine koyabilmek için temel fonksiyon değerleri oluşturulur.
3
Bu iki ifade toplanarak verilen 9x−29x - 2 ifadesine eşitlenir.
(ax−a+b)+(2ax+b)=3ax−a+2b=9x−2(ax - a + b) + (2ax + b) = 3ax - a + 2b = 9x - 2
Eşitliğin her iki tarafındaki katsayıların birbirine eşit olması gerekir.
4
Katsayı eşitlemesi yapılarak aa ve bb değerleri bulunur.
3a=9⇒a=33a = 9 \Rightarrow a = 3 ve −3+2b=−2⇒2b=1⇒b=12-3 + 2b = -2 \Rightarrow 2b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}
xx li terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşitlenir.
5
Fonksiyon kuralında x=4x = 4 yazılır.
f(4)=3(4)+12=12+0,5=12,5=252f(4) = 3(4) + \frac{1}{2} = 12 + 0,5 = 12,5 = \frac{25}{2}
İstenen değer fonksiyon kuralında yerine konularak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Doğrusal fonksiyonlarda katsayı eşitleme yöntemi ile değer bulma.

İpuçları

1
Doğrusal fonksiyonların f(x)=ax+bf(x) = ax + b biçiminde olduğunu hatırlayın.
2
f(x−1)f(x-1) ifadesini bulmak için ax+bax + b kalıbında xx gördüğünüz yere (x−1)(x-1) yazın.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki xx li terimleri ve sabit sayıları birbirine eşitleyerek aa ve bb bilinmeyenlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla f(x)+f(x+1)=4x+6f(x) + f(x+1) = 4x + 6 eşitliğini sağlayan fonksiyon için f(2)f(2) değerini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşitlikte xx yerine farklı değerler vererek ff değerleri arasında bir sistem kurulabilir. Örneğin x=1x=1 için f(0)+f(2)=7f(0) + f(2) = 7 ve x=0x=0 için f(−1)+f(0)=−2f(-1) + f(0) = -2 denklemleri elde edilir, ancak doğrusal fonksiyon tanımını kullanmak daha hızlı sonuç verir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 197Soru →
Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi,
A={x∈Z∣−2≤x<5} A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 5 \}

biçiminde verilmiştir. AA kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan BB kümesi ise ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
B={k∈N∣k=∣x2−2x−3∣, x∈A} B = \{ k \in \mathbb{N} \mid k = |x^2 - 2x - 3|, \ x \in A \}

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

BB kümesinin eleman sayısı 4'tür.
Doğru cevap, AA kümesindeki elemanların fonksiyonda yerine konulması ve elde edilen sonuçların küme mantığıyla (tekrarsız) sayılmasıyla bulunur. Parabolik fonksiyon simetrik olduğundan farklı xx değerleri aynı sonuçları üretmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile belirle.
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (Toplam 7 eleman)
−2≤x<5-2 \le x < 5 aralığındaki tam sayılar tespit edilmelidir.
2
AA kümesindeki her bir xx değeri için k=∣x2−2x−3∣k = |x^2 - 2x - 3| ifadesini hesapla.
Değerler: x=−2→5x=-2 \to 5, x=−1→0x=-1 \to 0, x=0→3x=0 \to 3, x=1→4x=1 \to 4, x=2→3x=2 \to 3, x=3→0x=3 \to 0, x=4→5x=4 \to 5.
BB kümesini oluşturacak aday elemanların bulunması gerekir.
3
Bulunan değerlerden tekrar edenleri eleyerek BB kümesini yaz ve eleman sayısını bul.
B={0,3,4,5}B = \{0, 3, 4, 5\}, s(B)=4s(B) = 4.
Kümelerde her eleman yalnızca bir kez yazılır.

Anahtar Kavram

Bir küme tanımlanırken, aynı değere sahip elemanlar küme içine birden fazla kez yazılmaz (Tekrarlı elemanların tek sayılması ilkesi).

İpuçları

1
Öncelikle AA kümesinin elemanlarını tek tek listeleyiniz.
2
Her bir elemanı ∣x2−2x−3∣|x^2 - 2x - 3| ifadesinde yerine koyarak sonuçları bulunuz.
3
Bulduğunuz sonuçlarda aynı olan sayıları küme içinde sadece bir kez saymanız gerektiğini unutmayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu f(x)=x3f(x) = x^3 gibi birebir bir fonksiyonla deneyerek küme eleman sayısının değişip değişmediğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun tepe noktasının x=1x=1 olduğu ve grafiğin x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğu fark edilirse, x=1x=1'e eşit uzaklıktaki sayıların (00 ve 22, −1-1 ve 33 gibi) aynı sonucu vereceği doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 198Soru →
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x)+2f(1x)=3xf(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1 değeridir
Verilen fonksiyonel denklemde xx ve 1/x1/x birbirine bağlı olduğu için, x=2x=2 ve x=1/2x=1/2 değerleri için iki ayrı denklem kurulur. Bu denklemler ortak çözüldüğünde doğru cevap olan -1 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte önce istenen değer olan x=2x=2 yazılır.
f(2)+2f(1/2)=3(2)⇒f(2)+2f(1/2)=6f(2) + 2f(1/2) = 3(2) \Rightarrow f(2) + 2f(1/2) = 6 (I. Denklem)
Fonksiyonun değerini bulmak için ilk adımda doğrudan değişken yerine koyma işlemi yapılır.
2
Eşitlikte bilinmeyen diğer terim olan f(1/2)f(1/2)'yi yok etmek için bu sefer x=1/2x=1/2 yazılır.
f(1/2)+2f(2)=3(1/2)⇒f(1/2)+2f(2)=1,5f(1/2) + 2f(2) = 3(1/2) \Rightarrow f(1/2) + 2f(2) = 1,5 (II. Denklem)
İki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturmak için x yerine tersi olan değer yazılır.
3
II. Denklemden f(1/2)f(1/2) çekilir veya yok etme metodu uygulanır.
II. denklemi -2 ile çarpalım: −2f(1/2)−4f(2)=−3-2f(1/2) - 4f(2) = -3. Bunu I. denklemle toplayalım: (f(2)−4f(2))+(2f(1/2)−2f(1/2))=6−3(f(2) - 4f(2)) + (2f(1/2) - 2f(1/2)) = 6 - 3.
Sistem çözümü yapılarak istenmeyen terimden kurtulunur.
4
Elde edilen son denklem çözülerek f(2)f(2) bulunur.
−3f(2)=3⇒f(2)=−1-3f(2) = 3 \Rightarrow f(2) = -1
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bu soru tipinde f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x) içeren denklemlerde, xx yerine bir değer ve onun çarpmaya göre tersi yazılarak bir denklem sistemi elde edilir ve çözülür.

İpuçları

1
Eşitlikte önce xx gördüğünüz yere 22 yazarak birinci denklemi oluşturun.
2
Oluşan denklemde f(1/2)f(1/2) ifadesi karşınıza çıkacaktır. Bunu bulmak veya yok etmek için, bu sefer başlangıçtaki eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazın.
3
Elinizde f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) bilinmeyenlerine sahip iki denklem oldu. Yok etme metodunu kullanarak f(2)f(2)'yi yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

f(x)+f(−x)=x2+2xf(x) + f(-x) = x^2 + 2x gibi simetrik ilişki içeren fonksiyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için xx ve 1/x1/x yazılarak genel f(x)f(x) kuralı bulunabilir: f(x)=2x−xf(x) = \frac{2}{x} - x. Buradan f(2)=1−2=−1f(2) = 1 - 2 = -1 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 199Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:x2−3x−4≤0}A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 3x - 4 \le 0\}

B={x∈Z:x,12 sayısının bir tam sayı bo¨lenidir}B = \{x \in \mathbb{Z} : x, 12 \text{ sayısının bir tam sayı bölenidir}\}

Buna göre, (A∪B)×(A∩B)(A \cup B) \times (A \cap B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımı olan 65'tir.
Verilen AA kümesi {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} elemanlarından oluşur (s=6s=6). BB kümesi 12 sayısının tüm tam sayı bölenlerini içerir ve 12 elemanlıdır. İki kümenin kesişiminde {−1,1,2,3,4}\{-1, 1, 2, 3, 4\} olmak üzere 5 eleman bulunur. Birleşim kümesi ise ortak elemanların yalnızca bir kez sayılmasıyla 13 elemana ulaşır. Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı gereği 13×5=6513 \times 5 = 65 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek
A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} ve s(A)=6s(A) = 6
x2−3x−4≤0x^2 - 3x - 4 \le 0 eşitsizliğinin kökleri x1=4x_1 = 4 ve x2=−1x_2 = -1 olduğundan, tam sayı çözümleri bu aralıktaki sayılardır.
2
BB kümesinin elemanlarını belirlemek
B={−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}B = \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\} ve s(B)=12s(B) = 12
12 sayısının tam sayı bölenleri hem pozitif hem de negatif değerleri içerir.
3
Kesişim ve birleşim kümelerinin eleman sayılarını bulmak
s(A∩B)=5s(A \cap B) = 5 ve s(A∪B)=13s(A \cup B) = 13
A∩B={−1,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 1, 2, 3, 4\} kümesinde 5 eleman vardır. Birleşim kümesi ise s(A)+s(B)−s(A∩B)=6+12−5=13s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 6 + 12 - 5 = 13 formülüyle hesaplanır.
4
Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak
s((A∪B)×(A∩B))=13×5=65s((A \cup B) \times (A \cap B)) = 13 \times 5 = 65
s(X×Y)=s(X)⋅s(Y)s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y) kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpanı olan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

İpuçları

1
Önce AA ve BB kümelerinin elemanlarını listeleyin. Tam sayı bölenleri derken negatif sayıları da dahil etmeyi unutmayın.
2
AA kümesi x2−3x−4≤0x^2-3x-4 \le 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardır. Bu aralığı [−1,4][-1, 4] olarak bulmalısınız.
3
Birleşim kümesinin eleman sayısını s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülüyle bulun. Sonrasında bu sonucu kesişim kümesinin eleman sayısı ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpım kümesinin grafik üzerinde gösterimi ve bu noktaları kapsayan en küçük dikdörtgenin alanını bulma sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 200Soru →

Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣x+2∈Z ve x<65}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid \sqrt{x+2} \in \mathbb{Z} \text{ ve } x < 65 \}

Buna göre, AA kümesinin elemanları arasından seçilen 2 elemanın toplamının 5 ile tam bölünebildiği kaç farklı alt küme oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Toplamda 8 farklı alt küme oluşturulabilir.
Doğru cevap için AA kümesinin 9 elemanı eksiksiz belirlenmeli (özellikle −2-2 ve 6262), elemanlar 5 ile bölümünden kalanlara göre gruplanmalı ve toplamı 5'in katı olan 'Kalan 2' ve 'Kalan 3' grupları arasındaki eşleşme sayısı (4×2=84 \times 2 = 8) hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek için x+2=k\sqrt{x+2} = k eşitliğini kullanın. Burada kk, sonucu tam sayı yapan bir değerdir (k≥0k \ge 0).
x=k2−2x = k^2 - 2 formülü elde edilir.
Kareköklü bir ifadenin tam sayı olabilmesi için kök içinin tam kare olması gerekir.
2
x<65x < 65 şartını sağlayan kk değerlerini ve karşılık gelen xx elemanlarını listeleyin.
k2−2<65  ⟹  k2<67k^2 - 2 < 65 \implies k^2 < 67. kk değerleri 0,1,...,80, 1, ..., 8 olabilir.
A={−2,−1,2,7,14,23,34,47,62}A = \{-2, -1, 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62\}.
Küme listesi oluşturulurken k=0k=0 için x=−2x=-2 gibi negatif değerler ve sınırdaki x=62x=62 değeri unutulmamalıdır.
3
Her bir elemanın 5 ile bölümünden kalanını (mod 5) bulun.
Mod 5 Kalanları:
-2 ≡\equiv 3
-1 ≡\equiv 4
2, 7, 47, 62 ≡\equiv 2
14, 34 ≡\equiv 4
23 ≡\equiv 3
Toplamın 5'e bölünebilmesi için kalanlar üzerinden işlem yapmak en pratik yoldur.
4
Kalan sınıflarını gruplayın ve toplamı 5'in katı olan ikilileri belirleyin.
Kalan 2: {2,7,47,62}\{2, 7, 47, 62\} (4 eleman)
Kalan 3: {−2,23}\{-2, 23\} (2 eleman)
Kalan 4: {−1,14,34}\{-1, 14, 34\} (3 eleman)

İstenen durum: (Kalan 2) + (Kalan 3) ≡5≡0\equiv 5 \equiv 0.
Diğer eşleşmeler (örn. 2+2=4, 3+4=7) 5'e tam bölünmez.
5
Uygun gruplardan seçim yaparak toplam kombinasyon sayısını hesaplayın.
4 (Kalan 2’den)×2 (Kalan 3’ten)=84 \text{ (Kalan 2'den)} \times 2 \text{ (Kalan 3'ten)} = 8 farklı alt küme.
Sayma kuralları gereği seçenekler çarpılır.

Anahtar Kavram

Kümeler ve Modüler Aritmetik

İpuçları

1
AA kümesinin elemanlarını bulmakla başlayın. x+2\sqrt{x+2} bir tam sayı ise x+2x+2 bir tam kare olmalıdır (0,1,4,9...0, 1, 4, 9...). Negatif xx değerlerini unutmayın.
2
x<65x < 65 şartına uyan tüm xx değerlerini listeleyin. Daha sonra her bir elemanın 5 ile bölümünden kalanını bulun.
3
Elemanları kalanlarına göre (Kalan 2, Kalan 3, Kalan 4...) gruplayın. İki sayının toplamının 5'e bölünmesi için kalanların toplamı 0 veya 5 olmalıdır. Hangi grupları eşleştirmelisiniz?

Daha Fazla Pratik

Aynı küme üzerinde, çarpımları 5 ile bölünebilen 2 elemanlı kaç alt küme olduğunu bulunuz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm 2'li kombinasyonları (C(9,2)=36C(9,2)=36) yazıp tek tek 5'e bölünüp bölünmediğini kontrol edebilirsiniz, ancak bu yöntem çok zaman alıcıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 10 / 15Sonraki
Kümeler ve Fonksiyonlar — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 10 | Examkin