Kümeler ve Fonksiyonlar

Soru 201Soru →

55 kişilik bir toplulukta A, B ve C gazetelerinden en az birini okuyanlar bulunmaktadır. Bu toplulukla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A gazetesini okuyanların sayısı 25,
* B gazetesini okuyanların sayısı 26,
* C gazetesini okuyanların sayısı 26'dır.
* A ve B gazetelerini okuyanların sayısı 9,
* A ve C gazetelerini okuyanların sayısı 8,
* B ve C gazetelerini okuyanların sayısı 10'dur.

Buna göre, bu toplulukta yalnızca bir gazete okuyan kaç kişi vardır?

33

35

38

40

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Bu toplulukta yalnızca bir gazete okuyan 38 kişi vardır.

Üç kümenin birleşimi formülü kullanılarak önce her üç gazeteyi de okuyan kişi sayısı (

x=5

) bulunur. Daha sonra Venn şeması mantığıyla, ikili kesişimlerden bu değer çıkarılarak 'yalnızca iki gazete' okuyanların sayısı (12) bulunur. Son olarak, topluluk mevcudundan (55), birden fazla gazete okuyanların toplamı (

12+5=17

) çıkarıldığında geriye yalnızca bir gazete okuyan 38 kişi kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Üç kümenin birleşim formülünü kullanarak her üç gazeteyi de okuyan kişi sayısını (

x

) bulun.

s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - [s(A \cap B) + s(A \cap C) + s(B \cap C)] + s(A \cap B \cap C)

formülünden;

55 = 25 + 26 + 26 - (9 + 8 + 10) + x \Rightarrow 55 = 77 - 27 + x \Rightarrow x = 5

.

Yalnızca bir gazete okuyanları bulmak için öncelikle kesişimlerin merkezindeki sayıyı bilmemiz gerekir.

2

Verilen ikili kesişim sayılarından üçlü kesişimi çıkararak 'yalnızca iki gazete okuyan' kişi sayısını hesaplayın.

Yalnız A ve B:

9-5=4

. Yalnız A ve C:

8-5=3

. Yalnız B ve C:

10-5=5

. Toplam 'yalnızca iki' okuyanlar:

4+3+5=12

.

Soruda verilen ikili kesişimler (örneğin A ve B), üçlü kesişimi de kapsar. Sadece iki gazete okuyanları bulmak için üçlü kesişimi çıkarmalıyız.

3

Toplam kişi sayısından, iki veya üç gazete okuyanları çıkararak sonucu bulun.

Yalnızca Bir = Toplam - (Yalnızca İki + Üçü Birlikte) =

55 - (12 + 5) = 55 - 17 = 38

.

Evrensel küme (topluluk) üç ayrık grubun toplamıdır: Yalnızca 1 okuyanlar, Yalnızca 2 okuyanlar ve 3'ünü de okuyanlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri (Inclusion-Exclusion Prensibi)

İpuçları

1

Önce üç kümenin birleşim formülünü (

s(A \cup B \cup C)

) kullanarak, her üç gazeteyi de okuyanların sayısını bulmaya çalışın.

2

Her üç gazeteyi okuyan kişi sayısına

x

deyin. Verilen formülde yerine koyduğunuzda

55 = (25+26+26) - (9+8+10) + x

denklemini elde edersiniz.

3

x=5

bulduktan sonra, 'A ve B okuyan 9 kişi'nin içinde bu 5 kişinin de olduğunu unutmayın. Yani sadece A ve B okuyan 4 kişidir. Diğerleri için de aynısını yapıp toplamdan çıkarın.

Alternatif Yöntem

Cebirsel Yöntem: Yalnız 1, Yalnız 2 ve Yalnız 3 okuyanların sayılarına sırasıyla

n_1, n_2, n_3

diyelim.
1)

n_1 + n_2 + n_3 = 55

(Toplam kişi)
2)

n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 25+26+26 = 77

(Kümelerin toplamı, kesişimler mükerrer sayılır)
3)

n_2 + 3n_3 = 9+8+10 = 27

(Kesişimlerin toplamı)
Bu denklem sistemini çözerek

n_3=5

,

n_2=12

ve buradan

n_1=38

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 202Soru →

$A = \{ \emptyset, \{1\}, 2, \{1, 2\} \}$ kümesi veriliyor. Buna göre, $A$ kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

s(A) = 4

\{1\} \in A

\{1\} \subset A

\{1, 2\} \in A

\{\emptyset\} \subset A

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{1\} \subset A$

Cevap

\{1\} \subset A

ifadesi yanlıştır.

Seçeneklerde verilen ifadenin yanlış olmasının nedeni,

\{1\}

yapısının

A

kümesi içinde bir 'alt küme' olarak değil, doğrudan bir 'eleman' olarak bulunmasıdır.

\{1\} \subset A

yazabilmemiz için,

A

kümesinin içinde yalın halde bir

1

elemanı olması gerekirdi (yani

A = \{1, ...\}

şeklinde olmalıydı). Ancak

A

kümesinde yalın

1

yoktur, paketlenmiş

\{1\}

vardır. Bu yüzden

\{1\} \in A

doğrudur, ancak

\{1\} \subset A

yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını tek tek listele.

Elemanlar: 1)

\emptyset

, 2)

\{1\}

, 3)

2

, 4)

\{1, 2\}

. Toplam 4 eleman var.

Soruyu çözebilmek için kümenin içindeki nesneleri doğru tanımlamak gerekir.

2

Seçeneklerdeki 'elemanıdır' (

\in

) ve 'alt kümesidir' (

\subset

) sembollerini kontrol et.

Alt küme sembolü (

\subset

) kullanıldığında, soldaki kümenin içindeki elemanların ana kümede olup olmadığına bakılır.

\in

sembolü doğrudan varlığı,

\subset

sembolü ise kapsanmayı ifade eder.

3

Hatalı olduğu iddia edilen seçeneği analiz et.

\{1\} \subset A

denilebilmesi için, parantezin içindeki

1

'in

A

kümesinde eleman olarak bulunması gerekir (

1 \in A

). Ancak kümede çıplak halde bir

1

yoktur; süslü parantezli

\{1\}

vardır.

Eleman ile o elemanı içeren alt küme kavramları karıştırılmamalıdır.

Anahtar Kavram

Bir

x

nesnesi

A

kümesinde ise

x \in A

yazılır.

\{x\} \subset A

yazılabilmesi için ise

x \in A

olmalıdır.

Soru 203Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ birim fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyondur.

f\left( (g(x))^2 - 3 \right) + 4 \cdot g(5x^2 + 1) = 18

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

g(x)

fonksiyonunun alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

-21

-7

-4

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

g(x) fonksiyonunun alabileceği değerlerin toplamı -4'tür.

Sabit fonksiyonun çıktısı girdiden bağımsız bir c sabitidir (

g(x)=c

). Birim fonksiyonun çıktısı girdisine eşittir (

f(x)=x

). Verilen eşitlikte bu tanımlar yerine konulduğunda

c^2 - 3 + 4c = 18

denklemi elde edilir. Bu ikinci dereceden denklemin kökler toplamı

-4

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonların tanımlarını değişkene uygula.

g(x) sabit olduğu için g(x) = c diyelim. f birim olduğu için f(u) = u olur.

Sabit fonksiyon her girdi için aynı c değerini verir; birim fonksiyon girdiyi aynen çıkarır.

2

Eşitlikteki terimleri c cinsinden yaz.

f((g(x))^2 - 3) = f(c^2 - 3) = c^2 - 3 olur. İkinci terim 4·g(5x^2 + 1) = 4c olur.

Birim fonksiyonun içi dışına eşittir; sabit fonksiyonun içi ne olursa olsun sonuç c'dir.

3

Elde edilen denklemi düzenle.

c^2 - 3 + 4c = 18 ⇒ c^2 + 4c - 21 = 0

İkinci dereceden denklemi standart forma (ax² + bx + c = 0) getirmek için.

4

Denklemin kökler toplamını bul.

Kökler toplamı = -b/a = -4/1 = -4. (Veya çarpanlara ayırarak: (c+7)(c-3)=0 ⇒ c=-7 veya c=3. Toplam: -4)

Soruda g(x)'in alabileceği değerlerin (c değerlerinin) toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sabit ve birim fonksiyonların cebirsel özellikleri ile ikinci dereceden denklem çözümü.

İpuçları

1

Sabit fonksiyon her x değeri için aynı sonucu (örneğin 'c') verir. Birim fonksiyon ise parantez içindeki ifadeyi aynen dışarı çıkarır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 204Soru →

$A = \{-3, -1, 0, 2, 4\}$ kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif tam sayı ve en az bir pozitif tam sayı bulunur?

14

16

18

24

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18

Soruda istenen 'en az bir negatif ve en az bir pozitif' tam sayı bulundurma koşuludur. Bu tip sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en pratik yoldur. İstenmeyen durumlar: 'Hiç negatif sayı içermeyenler' veya 'Hiç pozitif sayı içermeyenler'dir. Tüm alt küme sayısı

2^5 = 32

'dir. Hiç negatif içermeyenler (sadece

\{0, 2, 4\}

ile oluşanlar) 8 tanedir. Hiç pozitif içermeyenler (sadece

\{-3, -1, 0\}

ile oluşanlar) 8 tanedir. Ancak bu iki grupta ortak olanlar (sadece

\{0\}

elemanını içerenler ve boş küme) iki kez sayılmıştır. Kesişim kümesi

\{0\}

'dır ve

2^1=2

alt kümesi vardır. İstenmeyen toplam durum:

8 + 8 - 2 = 14

. Sonuç:

32 - 14 = 18

.

Adım Adım Çözüm

1

Kümenin elemanlarını özelliklerine göre gruplandır.

Negatifler:

\{-3, -1\}

(2 eleman), Pozitifler:

\{2, 4\}

(2 eleman), Nötr:

\{0\}

(1 eleman). Toplam 5 eleman.

Soruda negatif ve pozitif olma durumu şart koşulduğu için elemanları bu gruplara ayırmak gerekir.

2

Tüm alt küme sayısını hesapla.

2^5 = 32

tane tüm alt küme vardır.

n

elemanlı bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

3

İstenmeyen durumları belirle ve sayılarını hesapla.

Durum 1 (Hiç negatif yok):

\{0, 2, 4\}

kümesinin alt kümeleri (

2^3=8

). Durum 2 (Hiç pozitif yok):

\{-3, -1, 0\}

kümesinin alt kümeleri (

2^3=8

).

'En az bir negatif ve en az bir pozitif' koşulunun tersi; 'hiç negatif yok' VEYA 'hiç pozitif yok' durumudur.

4

Kesişim kümesini belirle (hem negatif hem pozitif olmayanlar).

Hem negatif hem pozitif olmayan eleman sadece

\{0\}

'dır. Bunun alt kümeleri (

2^1=2

).

Ayrık olmayan kümeler prensibi (Inclusion-Exclusion) gereği, iki kez çıkarılan kesişim kümesi (sadece 0 ve boş küme) hesaplanmalıdır.

5

Tüm durumlardan istenmeyen durumların birleşimini çıkar.

İstenmeyenler =

8 + 8 - 2 = 14

. İstenen =

32 - 14 = 18

.

Tüm Durumlar - (Negatif Olmayan

\cup

Pozitif Olmayan) = İstenen Durum.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı (En az bir...)

İpuçları

1

Doğrudan istenen alt kümeleri saymak yerine, tüm alt kümelerden istenmeyenleri çıkarmayı deneyin.

2

İstenmeyen durumlar iki gruptur: 1) İçinde hiç negatif sayı olmayanlar. 2) İçinde hiç pozitif sayı olmayanlar.

3

Negatif olmayanların sayısı 8, pozitif olmayanların sayısı 8'dir. Ancak dikkat edin, {0} kümesi ve boş küme her iki grupta da vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için 'En az bir asal sayı ve en az bir çift sayı içeren alt küme sayısı' sorusu çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 205Soru →

Bir belediyeye ait spor merkezinde düzenlenen yüzme ve tenis kurslarına katılan toplam $40$ kişi bulunmaktadır. Bu kişilerden $25$ 'i yüzme kursuna, $18$ 'i ise tenis kursuna katılmaktadır. Her iki kursa da katılan $7$ kişi olduğuna göre, bu grupta kurslardan yalnızca birine katılan kaç kişi vardır?

11

18

29

36

43

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Kurslardan yalnızca birine katılanların sayısı 29'dur.

Yalnızca bir kursa katılanlar, sadece yüzme kursuna giden 18 kişi ile sadece tenis kursuna giden 11 kişinin toplamıdır (

18 + 11 = 29

).

Adım Adım Çözüm

1

Yalnızca yüzme kursuna katılanları hesaplayın.

25 - 7 = 18

Yüzme kursuna katılan toplam kişiden, her iki kursa da gidenleri çıkararak 'yalnızca yüzme' diyenleri buluruz.

2

Yalnızca tenis kursuna katılanları hesaplayın.

18 - 7 = 11

Tenis kursuna katılan toplam kişiden, ortak öğrencileri çıkararak 'yalnızca tenis' diyenleri buluruz.

3

Sonuçları toplayın.

18 + 11 = 29

Soru bizden 'yalnızca birine' katılanları istediği için her iki özel durumun toplamını alırız.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde 'yalnızca bir' ifadesi, kümelerin farklarının birleşimini (

A \setminus B \cup B \setminus A

) ifade eder.

İpuçları

1

Verilenleri bir Venn şeması üzerinde göstermek işinizi kolaylaştıracaktır.

2

'Yalnızca yüzme' ve 'yalnızca tenis' diyen kişileri ayrı ayrı hesaplamalısınız.

3

Yüzme katılanlarından kesişimi, tenis katılanlarından kesişimi çıkarıp çıkan sonuçları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu grupta hiçbir kursa katılmayanlar sorulsaydı, tüm gruptan birleşim kümesini (

40 - 36

) çıkarmamız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Toplam katılan sayısını bulup (Birleşim:

25 + 18 - 7 = 36

), bu sayıdan her iki kursa da katılanları (Kesişim:

7

) çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz:

36 - 7 = 29

.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 206Soru →

Ortak özellik yöntemiyle

A = \{ x \mid 40 \leq x \leq 100, \ x = 6k + 1, \ k \in \mathbb{Z} \}

şeklinde tanımlanan

A

kümesi veriliyor. Buna göre,

A

kümesinin eleman sayısı kaçtır?

9

10

11

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Kümenin eleman sayısı 10'dur.

Verilen ortak özellik yönteminde x'in 40 ile 100 arasında olması ve 6'nın bir katının 1 fazlası şeklinde tanımlanması, k tam sayısının 7'den 16'ya kadar (her iki değer dahil) tüm tam sayıları alabileceğini gösterir. Bu aralıkta toplam 10 adet tam sayı bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

x ifadesini eşitsizlikte yerine yazmak

40 \leq 6k + 1 \leq 100

Kümenin elemanlarının 40 ile 100 arasında olması gerektiği belirtilmiştir.

2

k değerini yalnız bırakmak

39 \leq 6k \leq 99

Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarılarak k'lı terim izole edilir.

3

Eşitsizliği 6'ya bölerek k'nın aralığını belirlemek

6,5 \leq k \leq 16,5

k'nın hangi sayısal aralıkta olduğu tespit edilir.

4

k'nın alabileceği tam sayı değerlerini listelemek

k \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}

Soruda k'nın bir tam sayı (

k \in \mathbb{Z}

) olduğu belirtilmiştir.

5

Terim sayısını hesaplamak

16 - 7 + 1 = 10

Ardışık tam sayılar arasındaki terim sayısı (Son Terim - İlk Terim + 1) formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Ortak özellik yöntemi ile verilen kümelerde eleman sayısını bulmak için değişkenin kısıtlamalarını sağlayan tam sayı değerleri doğru belirlenmelidir.

İpuçları

1

Küme elemanlarının hangi tam sayı kuralına (

6k+1

) göre değiştiğine odaklanın.

2

40 \leq 6k + 1 \leq 100

eşitsizliğini çözerek k tam sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulun.

3

k için bulduğunuz aralıktaki tam sayıların adedini 'Son Terim - İlk Terim + 1' formülü ile hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu mutlak değer içeren bir eşitsizlik ile çözerek kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kümenin elemanlarını liste yöntemiyle yazabilirsiniz:

x=6(7)+1=43

,

x=6(8)+1=49

, ...,

x=6(16)+1=97

. Bu listedeki terim sayısını

(97-43)/6 + 1

formülüyle de bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 207Soru →

$A = \{x \in \mathbb{Z} : -1 \leq x < 4\}$ kümesi ile $B$ ve $C$ kümeleri veriliyor.

$s(B) = 6$
$s(C) = 4$
$s(B \cap C) = 3$

olduğuna göre, $(A \times B) \setminus (A \times C)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

10

15

20

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İşlemin sonucu 15 olarak bulunur.

Verilen ifade kartezyen çarpımın fark işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılarak

A \times (B \setminus C)

şeklinde yazılabilir.

A

kümesinin eleman sayısı

-1, 0, 1, 2, 3

tam sayıları olmak üzere 5'tir.

B \setminus C

kümesinin eleman sayısı ise

B

kümesinin eleman sayısından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla (

6 - 3 = 3

) bulunur. Bu durumda sonuç

5 \times 3 = 15

olur.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin eleman sayısını belirle.

s(A) = 5

A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}

tam sayılarından oluştuğu için eleman sayısı 5'tir.

2

Kartezyen çarpımın özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştir.

(A \times B) \setminus (A \times C) = A \times (B \setminus C)

Kartezyen çarpım işleminin kümelerdeki fark işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

3

B \setminus C

kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(B \setminus C) = 3

s(B \setminus C) = s(B) - s(B \cap C)

formülünden

6 - 3 = 3

bulunur.

4

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bul.

s(A \times (B \setminus C)) = 5 \times 3 = 15

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın fark işlemi üzerine dağılma özelliği:

(A \times B) \setminus (A \times C) = A \times (B \setminus C)

İpuçları

1

İfadede ortak olan

A

kümesini dışarı alarak dağılma özelliğini kullanmayı deneyin.

2

B \setminus C

kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(B) - s(B \cap C)

işlemini yapın.

3

(A \times B) \setminus (A \times C) = A \times (B \setminus C)

eşitliğini kullanarak bulduğunuz eleman sayılarını çarpın.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpımın kesişim ve birleşim işlemleri üzerindeki dağılma özelliklerini de tekrar etmeniz konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 208Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesi veriliyor. $f: A \rightarrow A$ tanımlanan fonksiyonu birebir bir fonksiyondur.

f(1) + f(2) + f(3) = 15

f(4) = 2

olduğuna göre, $f(5) + f(6)$ toplamının değeri kaçtır?

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Birebir fonksiyon özelliğine göre geriye kalan elemanların toplamı 4'tür.

Fonksiyon birebir olduğu için her elemanın görüntüsü farklıdır. Değer kümesindeki tüm elemanların toplamı 21'dir.

f(1)+f(2)+f(3)=15

ve

f(4)=2

bilgileri kullanıldığında, tüm görüntülerin toplamı olan 21'den bu değerler çıkarılırsa (21 - 15 - 2 = 4) geriye kalan iki elemanın toplamı doğrudan bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun tanım ve değer kümesini analiz etme

f: A \rightarrow A

olduğu için görüntüler kümesi de

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

elemanlarından oluşmalıdır.

Birebir ve aynı kümeden aynı kümeye tanımlı fonksiyonlar örten olmak zorundadır.

2

Verilen

f(4)

değerini çıkarma

f(4) = 2

olarak verilmiştir. Geriye kalan

\{f(1), f(2), f(3), f(5), f(6)\}

değerleri

\{1, 3, 4, 5, 6\}

kümesinden seçilmelidir.

Birebir fonksiyon her elemanı farklı bir elemana eşler.

3

Toplamı 15 olan üçlü grubu belirleme

\{1, 3, 4, 5, 6\}

kümesinden toplamları 15 olan üç farklı sayı yalnızca

\{4, 5, 6\}

olabilir (

4+5+6=15

).

Diğer kombinasyonların toplamı 15'ten küçüktür.

4

Sonucu hesaplama

Geriye kalan görüntüler

\{1, 3\}

olmak zorundadır. Dolayısıyla

f(5) + f(6) = 1 + 3 = 4

bulunur.

Bütün elemanlar eşlendiğinde geriye kalan tek ihtimal budur.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda her tanım elemanı değer kümesinden farklı bir elemanla eşleşir.

İpuçları

1

Değer kümesindeki tüm elemanların toplamını hesaplamayı deneyin.

2

Fonksiyon birebir ve A'dan A'ya olduğu için görüntüler kümesi de A kümesinin kendisidir.

3

Tüm görüntülerin toplamı

1+2+3+4+5+6 = 21

olmalıdır. Verilen değerleri bu toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Eğer fonksiyon sabit olsaydı, verilen toplam bilgisinden hareketle f(5)+f(6) kaç olurdu?

Alternatif Yöntem

A kümesinin elemanları toplamı 21'dir. Fonksiyon birebir ve örten olduğu için görüntülerinin toplamı da 21 olmalıdır.

15 + 2 + (f(5)+f(6)) = 21

denkleminden

f(5)+f(6) = 4

sonucu kolayca bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 209Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan bir memur, masasındaki birbirinden farklı $5$ rapor arasından incelemek üzere istediği sayıda raporu seçerek bir dosya oluşturacaktır. Memurun en az bir rapor seçmesi gerektiğine göre, bu dosya için kaç farklı rapor grubu oluşturabilir?

5

16

31

32

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Memur, boş küme haricindeki tüm alt kümelerin sayısı olan 31 farklı rapor grubu oluşturabilir.

Verilen 5 raporun her biri için iki seçenek vardır: ya seçilir ya da seçilmez. Bu durum

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32

farklı alt küme oluşturur. Soruda 'en az bir' rapor seçilmesi istendiği için, bu 32 durumdan hiçbir raporun seçilmediği (boş küme) tek bir durum çıkarılır. Sonuç

32 - 1 = 31

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümenin eleman sayısını belirle.

n = 5

Masada 5 farklı rapor bulunduğu için seçimin yapılacağı küme 5 elemanlıdır.

2

Toplam alt küme sayısını hesapla.

2^5 = 32

n

elemanlı bir kümenin tüm seçimlerinin (alt kümelerinin) sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

3

"En az bir" koşulunu değerlendir.

32 - 1 = 31

"En az bir" ifadesi, hiçbir raporun seçilmediği durumu (boş kümeyi) dışarıda bırakmamız gerektiğini belirtir.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Boş Küme

İpuçları

1

Bir kümeden yapılabilecek tüm farklı gruplandırmalar, o kümenin alt kümelerini temsil eder.

2

5 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısını

2^n

formülünü kullanarak hesaplayın.

3

Toplam alt küme sayısından, 'hiç rapor seçmeme' (boş küme) durumunu çıkarmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Eleman sayısı 1 artırıldığında alt küme sayısının nasıl değiştiğini inceleyerek

2^n

ilişkisini pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 210Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f: \mathbb{R} \setminus \{a\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{b\}$ fonksiyonu,

f(x) = \frac{3x - 12}{5 - x}

şeklinde veriliyor. Bu fonksiyon birebir ve örten olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

-15

-2

2

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Doğru cevap -15'tir.

Fonksiyonun birebir ve örten olması için tanım kümesinden paydayı sıfır yapan değer (

a

), değer kümesinden ise fonksiyonun limit değeri (

b

) çıkarılmalıdır. Paydayı sıfır yapan değer

5-x=0

eşitliğinden

x=5

bulunur (

a=5

). Değer kümesinden çıkarılan değer ise

x

katsayılarının oranıdır:

3/(-1)=-3

(

b=-3

). Çarpımları

-15

eder.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesinden çıkarılan

a

değerini bul.

5 - x = 0 \Rightarrow x = 5

, yani

a = 5

.

Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olamaz. Bu yüzden paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

2

Değer kümesinden çıkarılan

b

değerini bul.

Pay ve paydadaki

x

terimlerinin katsayıları oranı:

\frac{3}{-1} = -3

, yani

b = -3

.

Birebir ve örten rasyonel fonksiyonlarda, değer kümesinden çıkarılan eleman, fonksiyonun yatay asimptotudur (veya ters fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerdir).

3

a

ve

b

değerlerini çarp.

a \cdot b = 5 \cdot (-3) = -15

.

Soruda istenen işlem çarpma işlemidir.

Anahtar Kavram

Birebir ve Örten Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Kümesi

İpuçları

1

Tanım kümesinden çıkarılan

a

sayısı, fonksiyonu tanımsız yapan (paydayı sıfır yapan) değerdir.

2

Değer kümesinden çıkarılan

b

sayısı, fonksiyonun tersini tanımsız yapan değerdir veya pratik olarak pay ve paydadaki

x

'li terimlerin katsayıları oranıdır.

3

Paydada

5-x

olduğuna dikkat edin; burada

x

'in katsayısı

-1

'dir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 211Soru →

Alt küme sayısı $16$ olan bir kümenin eleman sayısı $2$ artırıldığında, oluşan yeni kümenin alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

18

32

48

64

256

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Yeni kümenin alt küme sayısı 64'tür.

Doğru cevap 64 değeridir. Öncelikle kümenin ilk eleman sayısı bulunur:

2^n = 16

eşitliğinden

n=4

olduğu görülür. Eleman sayısı 2 artırıldığında yeni eleman sayısı

4+2=6

olur. 6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ise

2^6 = 64

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk durumdaki eleman sayısını (n) bul.

2^n = 16 olduğu için n = 4'tür.

Bir kümenin alt küme sayısı 2^n formülü ile hesaplanır.

2

Eleman sayısını 2 artırarak yeni eleman sayısını hesapla.

Yeni eleman sayısı = 4 + 2 = 6 olur.

Soruda eleman sayısının 2 artırıldığı belirtilmiştir.

3

Yeni eleman sayısı için alt küme sayısını hesapla.

2^6 = 64 bulunur.

Yeni kümenin alt küme formülünde n yerine 6 yazılır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı Formülü (2^n)

İpuçları

1

Bir kümenin alt küme sayısını veren formülü (

2^n

) hatırlayın.

2

2^n = 16

ise, bu kümenin kaç elemanı olduğunu bulun.

3

Bulduğunuz eleman sayısına 2 ekleyin ve formülü tekrar uygulayın (

2^{n+2}

).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'özalt küme sayısı' üzerinden çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Eleman sayısı 2 arttığında, alt küme sayısı

2^2 = 4

katına çıkar.

16 \times 4 = 64

.

Tahmini Süre:45s

Soru 212Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

2f(x) + f(-x) = 3x^2 + x + 6

eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre,

f(1)

değeri kaçtır?

3

4

5

6

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4

Soruda verilen fonksiyonel eşitlikte

f(1)

değerini bulmak için

x

yerine hem

1

hem de

-1

yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. İlk denklem

2f(1) + f(-1) = 10

, ikinci denklem

2f(-1) + f(1) = 8

olur. Bu sistem çözüldüğünde doğru cevap 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitlikte x yerine 1 yazarak f(1) ve f(-1) içeren birinci denklemi oluşturun.

2f(1) + f(-1) = 3(1)^2 + 1 + 6 \Rightarrow 2f(1) + f(-1) = 10

Fonksiyonun kuralı her x değeri için geçerli olduğundan, istenen değeri bulmak için x=1 kullanılır.

2

Eşitlikte x yerine -1 yazarak f(-1) ve f(1) içeren ikinci bir denklem oluşturun.

2f(-1) + f(1) = 3(-1)^2 + (-1) + 6 \Rightarrow 2f(-1) + f(1) = 3 - 1 + 6 = 8

Bilinmeyen f(-1) terimini bulmak veya yok etmek için x'in zıt işaretlisi (-1) kullanılır.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek f(1) değerini bulun.

1. Denklem:

2f(1) + f(-1) = 10

2. Denklem:

f(1) + 2f(-1) = 8

İkinci denklemi -2 ile çarpıp birinciyle toplayalım:

-2f(1) - 4f(-1) = -16

Yanlış yok etme yöntemi yerine f(-1)'i çekelim:

f(-1) = 10 - 2f(1)

.
İkinci denklemde yerine koyalım:

f(1) + 2(10 - 2f(1)) = 8

f(1) + 20 - 4f(1) = 8

-3f(1) = -12 \Rightarrow f(1) = 4

Sistem çözümü ile istenmeyen f(-1) yok edilerek f(1) bulunur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme ve denklem sistemi kurma.

İpuçları

1

Eşitlikte x gördüğünüz yere 1 yazarak f(1) ve f(-1) içeren bir denklem elde etmeyi deneyin.

2

Sadece x=1 yazmak yetmeyecektir; bilinmeyen f(-1)'i bulmak veya yok etmek için x gördüğünüz yere -1 yazarak ikinci bir denklem daha oluşturun.

3

Elde ettiğiniz iki denklemi (birinde 2f(1)+f(-1)=10, diğerinde f(1)+2f(-1)=8) bir denklem sistemi gibi düşünün ve yok etme metodunu kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen f(1/x) + 2f(x) = ... tipindeki soruları inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 213Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin 24'ü bilgisayar işletmenliği sertifikasına, 18'i ise yabancı dil sertifikasına sahiptir. Her iki sertifikaya da sahip olan 6 personel bulunduğuna göre, bu personellerden yalnızca bir sertifikaya sahip olan toplam kaç kişi vardır?

12

18

30

36

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Yalnızca bir sertifikaya sahip olan personel sayısı 30'dur.

Yalnızca bir sertifikaya sahip olan kişilerin sayısı, sadece bilgisayar sertifikası olanlar ile sadece yabancı dil sertifikası olanların toplamıdır. Bilgisayar sertifikası olan 24 kişiden 6'sı her iki sertifikaya sahip olduğu için 18 kişi sadece bilgisayar sertifikalıdır. Benzer şekilde, yabancı dil sertifikası olan 18 kişiden 6'sı her ikisine sahip olduğu için 12 kişi sadece yabancı dil sertifikalıdır. Bu iki grubun toplamı 30 kişiyi verir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi küme sembolleriyle modelleyelim.

Bilgisayar sertifikası kümesi

s(B) = 24

, Yabancı dil sertifikası kümesi

s(Y) = 18

ve her iki sertifika (kesişim)

s(B \cap Y) = 6

olarak belirlenir.

Sözel ifadeleri matematiksel verilere dönüştürmek çözüm sürecini netleştirir.

2

Sadece bilgisayar sertifikası olan personeli hesaplayalım.

24 - 6 = 18

kişi.

Toplam bilgisayar sertifikalı personelden, aynı zamanda yabancı dil sertifikası olan 6 kişiyi çıkararak 'yalnızca' bilgisayar sertifikalıları buluruz.

3

Sadece yabancı dil sertifikası olan personeli hesaplayalım.

18 - 6 = 12

kişi.

Toplam yabancı dil sertifikalı personelden, aynı zamanda bilgisayar sertifikası olan 6 kişiyi çıkarırız.

4

Yalnızca bir sertifikaya sahip olanların toplamını bulalım.

18 + 12 = 30

kişi.

Problemde 'yalnızca bir' sertifika istendiği için, her iki farklı 'yalnızca' grubunun toplamını almamız gerekir.

Anahtar Kavram

İki küme probleminde 'yalnızca bir' ifadesi, fark kümelerinin birleşimini temsil eder ve

(A \setminus B) + (B \setminus A)

şeklinde hesaplanır.

İpuçları

1

Verilen bilgileri bir Venn şeması üzerine yerleştirmeyi deneyin; her iki sertifikaya sahip olan 6 kişiyi kesişim bölgesine yazın.

2

Sadece bilgisayar sertifikası olanları bulmak için 24'ten 6'yı, sadece yabancı dil sertifikası olanları bulmak için 18'den 6'yı çıkarmalısınız.

3

İstediğimiz sonuç, her iki kümenin de sadece kendilerine ait olan (kesişim dışındaki) bölgelerinin toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

Kümelerde birleşim ve kesişim formülünü (

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

) pekiştirmek için 'en az birini yapanlar' konulu bir problem çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam kişi sayısından (birleşim) her iki sertifikaya da sahip olanları (kesişim) çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz:

(24 + 18 - 6) - 6 = 30

.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 214Soru →

$E$ evrensel kümesinin boştan farklı $A$ ve $B$ alt kümeleri için tanımlanan $(A \setminus B)' \cap (A \cup B)$ ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A

B

A \cap B

E

A \cup B

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $B$

Cevap

İfadenin en sade hali

B

kümesidir.

Verilen

(A \setminus B)' \cap (A \cup B)

ifadesinde öncelikle fark işlemi

A \cap B'

olarak yazılır. De Morgan kuralı ile

(A \cap B')'

ifadesi

A' \cup B

olur. Böylece tüm ifade

(A' \cup B) \cap (A \cup B)

şekline dönüşür. Burada

B

bileşeni ve birleşim işlemi ortaktır. İfade

B \cup (A' \cap A)

parantezine alınır. Bir küme ile tümleyeninin kesişimi boş küme (

A' \cap A = \emptyset

) olduğundan, sonuç

B \cup \emptyset = B

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden ifade et.

A \setminus B = A \cap B'

olduğu için ifade

(A \cap B')' \cap (A \cup B)

halini alır.

Küme işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için fark işlemi genellikle kesişime çevrilir.

2

De Morgan kuralını uygula.

(A \cap B')' = A' \cup (B')' = A' \cup B

olur.

Parantez dışındaki tümleme işlemini içeri dağıtmak için De Morgan kuralı kullanılır.

3

Elde edilen ifadeyi ana denklemde yerine yaz ve ortak paranteze al (Dağılma özelliğinin tersi).

İfade

(A' \cup B) \cap (A \cup B)

şekline dönüşür. Her iki tarafta da

\cup B

ortaktır. Bu ifadeyi

B \cup (A' \cap A)

şeklinde düzenleyebiliriz.

Sağdan dağılma özelliğinin tersini kullanarak ifade sadeleştirilir.

4

Tümleme özelliğini kullanarak sonucu bul.

A' \cap A = \emptyset

(boş küme) olduğundan işlem

B \cup \emptyset

haline gelir. Sonuç

B

olur.

Bir küme ile tümleyeninin kesişimi boş kümedir; boş küme ile bir kümenin birleşimi kümenin kendisidir.

Anahtar Kavram

Küme cebrinde fark işleminin

(A \setminus B = A \cap B')

dönüşümü, De Morgan kuralları ve dağılma özelliği kullanılarak sembolik sadeleştirme yapılması.

İpuçları

1

Öncelikle

A \setminus B

(A fark B) işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmayı deneyin.

2

A \setminus B = A \cap B'

eşitliğini kullanın ve ardından parantez dışındaki tümleme işlemi için De Morgan kuralını uygulayın.

3

İfadeyi

(A' \cup B) \cap (A \cup B)

haline getirdikten sonra, her iki tarafta ortak olan

B

kümesini dışarı alarak (dağılma özelliğinin tersi) sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla

(A \cup B)' \cup (A \cap B)

ifadesinin sadeleştirilmesi üzerine çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek de çözülebilir.

A \setminus B

sadece A'da olan kısımdır. Bunun tümleyeni (dışı), bu kısım hariç her yerdir. Bu alan ile

A \cup B

(iki kümenin tamamı) kesiştirildiğinde geriye sadece

B

kümesinin kaldığı görülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 215Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen "Dijital Dönüşüm" ve "Siber Güvenlik" seminerlerine toplam $60$ personel katılmıştır. Her bir personel bu seminerlerden en az birine katılmıştır. Sadece Dijital Dönüşüm seminerine katılanların sayısı, sadece Siber Güvenlik seminerine katılanların sayısının $2$ katıdır. Her iki seminere de katılan personel sayısı $12$ olduğuna göre, Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam personel sayısı kaçtır?

28

32

44

48

52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam personel sayısı 44'tür.

Soruda verilen bilgilere göre sadece Siber Güvenlik seminerine katılanlara

x

denildiğinde, sadece Dijital Dönüşüm seminerine katılanlar

2x

olur. Her iki seminere katılan

12

kişi ile birlikte tüm bu grupların toplamı (

3x + 12

), seminerlere katılan toplam

60

kişiyi vermelidir. Buradan

x = 16

bulunur. Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam kişi sayısı, sadece bu seminere katılan

32

(

2 \times 16

) kişi ile her iki seminere de katılan

12

kişinin toplamı olan

44

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri isimlendirin ve değişken atayın.

Sadece Siber Güvenlik seminerine katılanların sayısına

x

dersek, sadece Dijital Dönüşüm seminerine katılanların sayısı

2x

olur.

Soruda verilen oran ilişkisini matematiksel bir dile dökmek için.

2

Kesişim kümesini ve evrensel küme (toplam) bilgisini yerleştirin.

Her iki seminere katılanlar

12

kişidir. Toplam katılan sayısı

60

olduğuna göre:

2x + x + 12 = 60

.

Her personel en az bir seminere katıldığına göre, kümelerin birleşimi toplam personel sayısına eşittir.

3

Denklemi çözerek

x

değerini bulun.

3x + 12 = 60 \Rightarrow 3x = 48 \Rightarrow x = 16

.

Sadece bir seminere katılanların sayılarını bulmak için bilinmeyeni çözmemiz gerekir.

4

Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam sayıyı hesaplayın.

Dijital Dönüşüm seminerine katılanlar = (Sadece Dijital Dönüşüm) + (Her ikisi) =

2x + 12 = 2(16) + 12 = 32 + 12 = 44

.

Soruda sadece belli bir bölüm değil, o kümeye ait olan tüm elemanlar sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesim Problemleri

İpuçları

1

Şema çizerek Dijital Dönüşüm ve Siber Güvenlik kümelerini belirleyin.

2

Her iki seminere de katılan

12

kişiyi kesişim bölgesine yerleştirin ve geriye kalan bölgeler için bilinmeyenli bir denklem kurun.

3

Toplam personel sayısı olan

60

'dan her iki seminere katılan

12

kişiyi çıkarırsanız, sadece bir seminere katılanların toplam sayısını (

48

) bulursunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi, seminerlere hiç katılmayan bir grubun da olduğu (evrensel kümenin dış bölgesinin dolu olduğu) bir senaryo ile çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizdikten sonra kesişim bölgesine

12

yazılır. Kalan bölgelere

x

ve

2x

yazıldıktan sonra tüm bölgelerin toplamı olan

x + 2x + 12 = 60

denkleminden

x

bulunur. Şemadaki Dijital Dönüşüm dairesinin içindeki tüm sayıların toplamı sonucu verir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 216Soru →

Bir kamu kurumunun bekleme salonunda bulunan $40$ personelden $24$ 'ü $A$ gazetesini, $20$ 'si $B$ gazetesini okumaktadır. Personellerden $8$ 'i ise her iki gazeteyi de okuduğuna göre, bu personellerden kaçı bu iki gazeteden hiçbirini okumamaktadır?

4

8

12

28

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İki gazeteden hiçbirini okumayan personel sayısı 4'tür.

Doğru sonuç, toplam mevcut olan

40

kişiden, en az bir gazeteyi okuyan

36

kişinin çıkarılmasıyla elde edilir. Birleşim kümesi formülü (

n(A) + n(B) - n(A \cap B)

) kullanılarak okuyanlar hesaplandığında

24 + 20 - 8 = 36

sonucuna ulaşılır.

40 - 36 = 4

sayısı hiçbirini okumayanları temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

En az bir gazeteyi okuyan personellerin (birleşim kümesinin) sayısını hesaplayın.

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 24 + 20 - 8 = 36

Birleşim kümesini bulurken kesişim kümesini bir kez çıkarmalıyız, aksi halde her iki gazeteyi okuyanları iki kez saymış oluruz.

2

Toplam mevcuttan en az bir gazete okuyanları çıkarın.

40 - 36 = 4

Tüm personelden gazete okuyanları çıkardığımızda geriye hiçbirini okumayan personeller kalır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve evrensel küme arasındaki ilişki

İpuçları

1

Bir Venn şeması çizerek her iki gazeteyi de okuyan

8

kişiyi kesişim bölgesine yerleştirin.

2

Sadece

A

okuyanları bulmak için

24-8

, sadece

B

okuyanları bulmak için

20-8

işlemini yapın.

3

Okuyanların toplamını (birleşim kümesini) bulup

40

'tan çıkararak dışarıda kalanları bulun.

Daha Fazla Pratik

Kesişimin verilmediği ancak sadece birini okuyanların oranının verildiği daha karmaşık küme problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şemasında bölgeleri harflendirerek (

a, b, c, d

) çözebilirsiniz.

a+b=24

,

b+c=20

,

b=8

ve

a+b+c+d=40

denklemlerinden

d

(hiçbiri) değerini çekebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 217Soru →

E

evrensel kümesinin alt kümeleri olan

A

ve

B

için,

[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A \cap B

A \setminus B

B \setminus A

A

\emptyset

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A \cap B$

Cevap

İfadenin en sade hali

A \cap B

kümesidir.

Verilen ifadede köşeli parantez içi

A

ve

B

'nin simetrik farkıdır. Bunun tümleyeni alındığında, 'ya her ikisinde olan ya da hiçbirinde olmayan' elemanlar elde edilir. Bu küme

A

ile kesiştirildiğinde, geriye sadece her ikisinde de olan elemanlar, yani kesişim kümesi (

A \cap B

) kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Parantez içindeki ifadeyi tanımla.

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

ifadesi

A

ve

B

kümelerinin simetrik farkıdır (sadece

A

'da veya sadece

B

'de olan elemanlar).

İşlem önceliğine göre önce en içteki parantez yorumlanır.

2

Simetrik farkın tümleyenini al.

[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]'

ifadesi, simetrik farkın dışındaki bölgedir. Bu bölge, her iki kümede de olanlar (

A \cap B

) ile hiç birinde olmayanların (

A' \cap B'

) birleşimidir.

Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan elemanları kapsar.

3

Elde edilen kümeyi

A

ile kesiştir.

Bu birleşim kümesinin

A

ile ortak olan kısmı sadece

A \cap B

bölgesidir. Çünkü (

A' \cap B'

) kümesinin

A

ile ortak elemanı yoktur.

Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak bulunan elemanları seçer.

Anahtar Kavram

Kümelerde Simetrik Fark ve Tümleme

İpuçları

1

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

ifadesinin Venn şemasında nereleri taradığını düşünün.

2

Bu birleşim 'Simetrik Fark'tır. Tümleyeni alındığında geriye kesişim bölgesi ve her iki kümenin dışı kalır.

3

Elde ettiğiniz bölgeyi A kümesi ile kesiştirdiğinizde, A'nın dışında kalan kısımlar (evrenselin boşluğu) elenir, geriye sadece kesişim kalır.

Daha Fazla Pratik

De Morgan kuralları kullanılarak yapılan benzer sadeleştirme sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme:

A=\{1,2\}

,

B=\{2,3\}

,

E=\{1,2,3,4\}

olsun.

A \setminus B=\{1\}

,

B \setminus A=\{3\}

. Birleşim

\{1,3\}

. Tümleyeni

\{2,4\}

. Bu kümenin

A

(

\{1,2\}

) ile kesişimi

\{2\}

olur.

\{2\}

kümesi

A \cap B

'dir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 218Soru →

$f$ birim fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyon olmak üzere,

f(4x + a - 1) = (b - 2)x^2 + (c + 1)x + 5

ve

g(x) = a + b + c

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

g(f(\sqrt{2026}))

ifadesinin değeri kaçtır?

7

9

11

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Sabit fonksiyonun değeri olan 11

Birim fonksiyon tanımı gereği

f(4x+a-1)

ifadesi doğrudan

4x+a-1

değerine eşit olmalıdır. Eşitliğin diğer tarafındaki

(b-2)x^2 + (c+1)x + 5

ifadesiyle terim katsayıları karşılaştırıldığında

x^2

terimi olmadığı için

b-2=0

(yani

b=2

),

x

terimi için

c+1=4

(yani

c=3

) ve sabit terim için

a-1=5

(yani

a=6

) bulunur.

g(x)

fonksiyonu

a+b+c

toplamına eşit bir sabit fonksiyon olduğundan

g(x) = 6+2+3 = 11

olur. Sabit fonksiyon her girdiyi aynı sonuca götürdüğünden cevap 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim fonksiyon tanımını uygula

f(4x + a - 1) = 4x + a - 1

Birim (özdeş) fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen

f(x)=x

kuralına sahip fonksiyondur.

2

Verilen denklemdeki katsayıları eşle

(b - 2)x^2 + (c + 1)x + 5 = 4x + a - 1

Fonksiyonun kuralı gereği polinomların eşitliği prensibi uygulanır.

3

a, b, c

değerlerini çöz

b-2=0 \Rightarrow b=2

;

c+1=4 \Rightarrow c=3

;

5=a-1 \Rightarrow a=6

x^2

terimi bulunmadığı için katsayısı 0,

x

teriminin katsayısı 4 ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.

4

g(x)

fonksiyonunun değerini bul

g(x) = 6 + 2 + 3 = 11

g(x) = a + b + c

olarak verilmiştir.

5

Bileşke işleminin sonucunu belirle

g(f(\sqrt{2026})) = 11

g

fonksiyonu sabit fonksiyon olduğundan, içine yazılan her değer için aynı sonucu (11) verecektir.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon

f(x)=x

iken sabit fonksiyon

g(x)=c

şeklindedir ve girdi ne olursa olsun çıktı sabittir.

İpuçları

1

Birim fonksiyon içindeki her şeyi olduğu gibi dışarı çıkarır; yani

f(u) = u

olur.

2

f

fonksiyonunun sonucunu

x^2

,

x

ve sabit terimlerin katsayılarını eşitleyerek

a, b, c

sayılarını bulun.

3

g(x)

sabit bir sayıya eşit olduğundan, içindeki

f(\sqrt{2026})

ifadesinin değerini hesaplamanıza gerek yoktur.

Daha Fazla Pratik

Birim ve sabit fonksiyonların bileşke içindeki davranışlarını pekiştirmek için rasyonel ifadeli sabit fonksiyon sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Birim fonksiyon kuralını uyguladıktan sonra doğrudan

g(x) = a+b+c

ifadesini

x

yerine değer vermeden, sadece katsayı eşitliğinden gelen değerleri yerine koyarak çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 219Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde, belgeler "Gizli" ( $G$ ) ve "Süreli" ( $S$ ) olmak üzere iki farklı niteliğe göre tasnif edilmektedir. Bu belgelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece "Gizli" niteliğindeki belge sayısı, her iki niteliğe de sahip belge sayısının 4 katıdır.
* Sadece "Süreli" niteliğindeki belge sayısı, her iki niteliğe de sahip belge sayısından 2 fazladır.
* Bu iki nitelikten en az birine sahip toplam 44 belge bulunmaktadır.

Buna göre, arşivde "Gizli" niteliğine sahip toplam kaç belge vardır?

28

35

16

7

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Arşivde "Gizli" niteliğine sahip toplam 35 belge vardır.

Verilen bilgilere göre kesişim kümesine

x

dediğimizde, sadece Gizli olanlar

4x

, sadece Süreli olanlar

x+2

olur. Toplam birleşim

6x+2=44

denkleminden

x=7

bulunur. Gizli belge sayısı, sadece Gizli olanlar ile her ikisine sahip olanların toplamıdır (

5x

), bu da 35 eder.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ve verilenleri değişken cinsinden ifade etme

Kesişim kümesine

x

diyelim:

s(G \cap S) = x

. Bu durumda:

s(G \setminus S) = 4x

(Sadece Gizli) ve

s(S \setminus G) = x + 2

(Sadece Süreli).

Sorudaki kat ve fazlalık ilişkilerini matematiksel denkleme dökmek için.

2

Birleşim kümesi formülünü kullanarak denklem kurma

s(G \cup S) = s(G \setminus S) + s(S \setminus G) + s(G \cap S)

olduğundan,

44 = 4x + (x + 2) + x

denklemi elde edilir.

En az bir niteliğe sahip belge sayısı (Birleşim) toplamı verildiği için.

3

Denklemi çözerek

x

değerini bulma

44 = 6x + 2 \implies 42 = 6x \implies x = 7

.

Bilinmeyen kesişim eleman sayısını bulmak için.

4

İstenen kümenin eleman sayısını hesaplama

"Gizli" belgelerin tamamı sorulmuştur (

G

kümesi).

s(G) = s(G \setminus S) + s(G \cap S) = 4x + x = 5x

. Değeri yerine koyarsak:

5 \times 7 = 35

.

Sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim Formülü:

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

İpuçları

1

Soruda verilenleri bir Venn şeması çizerek yerleştirmeyi deneyin. Kesişim bölgesine 'x' diyerek başlayın.

2

Birleşim kümesi (

s(G \cup S)

), üç ayrık bölgenin toplamıdır: Sadece

G

, Sadece

S

ve Her ikisi (

G \cap S

).

3

4x + x + (x+2) = 44

denklemini kurup

x

'i bulun. Sonra

G

kümesinin tamamını (

4x + x

) hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu üç küme (A, B, C) içeren ve 'en çok birini bilenler' gibi ifadelerle kurgulayarak çözün.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 220Soru →

$E$ evrensel kümesinin alt kümeleri olan $A$ ve $B$ için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

s(E) = 35

s(A' \cap B') = 12

s([(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]') = 4 \cdot s(A \cap B)

s(A) = 2 \cdot s(B)

Buna göre, $s(A \setminus B)$ değeri kaçtır?

12

14

15

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14

Verilen karmaşık ifade, simetrik farkın tümleyenidir ve Venn şemasında hem kesişim bölgesini (

A \cap B

) hem de dış bölgeyi (

A' \cap B'

) kapsar. Denklem

s(A \cap B) + s(A' \cap B') = 4 \cdot s(A \cap B)

şeklinde kurulduğunda, kesişim kümesinin eleman sayısı 4 olarak bulunur.

s(A) = 2s(B)

bağıntısı ve evrensel küme toplamı kullanılarak yapılan denklem çözümü sonucunda

A \setminus B

kümesinin eleman sayısı 14 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri bölgelere ayırıp değişken ata

s(A \setminus B) = x

,

s(B \setminus A) = y

,

s(A \cap B) = z

,

s(A' \cap B') = t

olsun.

Karmaşık küme ifadelerini cebirsel denklemlere dönüştürmek çözümü kolaylaştırır.

2

Verilen basit eşitlikleri değişkenler cinsinden yaz

x + y + z + t = 35

ve

t = 12

.

Evrensel küme ve tümleyenlerin kesişimi doğrudan verilmiştir.

3

Karmaşık ifadeyi analiz et:

s([(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]')

Bu ifade

(A \Delta B)'

demektir. Bu bölge, hem kesişimi (

z

) hem de dış bölgeyi (

t

) kapsar. Yani:

z + t = 4z

.

Simetrik farkın tümleyeni, 'ya her ikisi ya hiçbiri' mantığıyla kesişim ve dış bölgenin birleşimidir.

4

z değerini bul

t = 3z \Rightarrow 12 = 3z \Rightarrow z = 4

.

t değeri bilindiği için z hesaplanabilir.

5

Geriye kalan x ve y değişkenlerini çöz

Toplam:

x + y + 4 + 12 = 35 \Rightarrow x + y = 19

. Denklem:

s(A) = 2s(B) \Rightarrow x + z = 2(y + z) \Rightarrow x + 4 = 2(y + 4) \Rightarrow x = 2y + 4

.

İki bilinmeyenli denklem sistemi elde edilir.

6

Denklem sistemini çözerek x'i bul

(2y + 4) + y = 19 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5

. Buradan

x = 2(5) + 4 = 14

.

İstenen değer

s(A \setminus B) = x

olduğu için sonuç 14'tür.

Anahtar Kavram

Simetrik Farkın Tümleyeni

İpuçları

1

Venn şeması çizerek bölgelere harfler (

x, y, z, t

) verin.

2

[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]'

ifadesi,

A

ve

B

'nin sadece birinde olanların dışındakilerdir. Yani hem ikisinde olanlar (

A \cap B

) hem de hiçbirinde olmayanlar (

A' \cap B'

).

Daha Fazla Pratik

De Morgan kurallarını içeren ve 3 kümeli (A, B, C) birleşim problemi çözün.

Tahmini Süre:3m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem