Problemler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Maaşına $\%20$ oranında zam yapılan bir kamu personelinin, bu zammın yapıldığı dönemde gerçekleşen yüksek enflasyon nedeniyle alım gücünün (reel ücretinin) $\%20$ oranında azaldığı belirlenmiştir. Buna göre, söz konusu dönemde gerçekleşen enflasyon oranı yüzde kaçtır?

25

40

50

0

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Enflasyon oranı %50'dir.

Alım gücü formülü

\text{Alım Gücü} = \frac{\text{Maaş}}{\text{Fiyatlar Genel Düzeyi}}

şeklindedir. Maaş

\%20

artarak 120 birim olurken, alım gücü

\%20

azalarak 0.80 birime düşmüştür. Denklem

0.80 = \frac{120}{F}

şeklinde kurulduğunda, yeni fiyat endeksi

F = 150

bulunur. 100'den 150'ye artış,

\%50

enflasyon anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerlerini belirle.

Başlangıçta Maaş = 100 TL ve Ürün Fiyatı = 100 TL olsun. Bu durumda Alım Gücü =

\frac{100}{100} = 1

birimdir.

Yüzde problemlerinde başlangıç değerini 100 almak işlem kolaylığı sağlar.

2

Zamlı maaşı hesapla.

Maaşa

\%20

zam yapıldığında yeni maaş:

100 + 20 = 120

TL olur.

Maaş artışı doğrudan başlangıç maaşına uygulanır.

3

Yeni alım gücünü hesapla.

Alım gücü

\%20

azaldığına göre, başlangıçtaki 1 birimlik alım gücü

1 - 0.20 = 0.80

birime düşmüştür.

Reel düşüş, başlangıç alım gücü üzerinden hesaplanır.

4

Yeni fiyat seviyesini (enflasyonu) bulmak için denklem kur.

Yeni Alım Gücü =

\frac{\text{Yeni Maaş}}{\text{Yeni Fiyat}}

formülünden:

0.80 = \frac{120}{\text{Yeni Fiyat}}

. Buradan Yeni Fiyat =

\frac{120}{0.80} = 150

TL bulunur.

Alım gücü, gelirin fiyatlar genel düzeyine oranıdır.

5

Enflasyon oranını hesapla.

Fiyatlar 100 TL'den 150 TL'ye çıktığına göre artış miktarı 50 TL'dir. Yüzde artış (enflasyon)

\%50

'dir.

Sonuç, başlangıç fiyatına göre oransal değişimdir.

Anahtar Kavram

Reel Alım Gücü

İpuçları

1

Başlangıçta maaşı 100 TL ve bir ürünün fiyatını 100 TL olarak kabul ederek işleme başlayın.

2

Maaş %20 arttığında 120 TL olur. Ancak alım gücü %20 azaldığına göre, bu 120 TL ile artık başlangıçtaki ürünün sadece %80'ini (0.80 katını) alabiliyorsunuz.

3

Şu denklemi kullanın:

\text{Yeni Maaş} = \text{Yeni Fiyat} \times \text{Yeni Alım Gücü Oranı}

. Yani

120 = \text{Yeni Fiyat} \times 0.80

.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, enflasyonun %50 olduğu bir yerde maaşına %20 zam yapılan birinin alım gücündeki değişimi soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi:

\text{Reel Artış Endeksi} = \frac{\text{Nominal Artış Endeksi}}{\text{Fiyat Artış Endeksi (Enflasyon)}}

. Burada Reel Endeks =

100-20=80

(0.80), Nominal Endeks =

100+20=120

(1.20).

\text{Enflasyon Endeksi} = \frac{1.20}{0.80} = 1.50

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 62Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan bir şube müdürü ve iki memurun yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Memurların bugünkü yaşları toplamı $35$ 'dir.
* Şube müdürünün bugünkü yaşı, memurların bugünkü yaşları farkının $4$ katına eşittir.
* Küçük memur, büyük memurun bugünkü yaşına geldiğinde şube müdürü $45$ yaşında olacaktır.

Buna göre, şube müdürünün bugünkü yaşı kaçtır?

31

35

36

40

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Şube müdürünün bugünkü yaşı 36'dır.

Şube müdürünün bugünkü yaşı memurların yaş farkının 4 katıdır. Küçük memur, büyük memurun yaşına geldiğinde aradan memurların yaş farkı kadar zaman geçer. Bu süre zarfında müdürün yaşı hem mevcut yaşının (farkın 4 katı) hem de geçen sürenin (farkın 1 katı) toplamı olan farkın 5 katına ulaşır.

5 \times \text{Fark} = 45

olduğundan yaş farkı 9'dur. Dolayısıyla müdürün bugünkü yaşı

4 \times 9 = 36

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve ilk denklemlerin kurulması

Küçük memur:

y

, Büyük memur:

b

, Müdür:

M

.

y + b = 35

ve

M = 4(b - y)

Problemdeki sözel ifadeleri matematiksel dile dökmek için.

2

Gelecekteki durumun denkleme dökülmesi

Küçük memur

b

yaşına geldiğinde aradan geçen süre

b - y

yıldır. Bu durumda müdürün yaşı

M + (b - y) = 45

olur.

Yaş problemlerinde zamanın herkes için aynı miktarda geçtiği kuralını uygulamak için.

3

Denklem sisteminin çözülerek yaş farkının bulunması

M

yerine

4(b - y)

yazıldığında:

4(b - y) + (b - y) = 45 \Rightarrow 5(b - y) = 45 \Rightarrow b - y = 9

bulunur.

Bilinmeyen sayısını azaltarak müdürün yaşını belirleyen temel çarpanı bulmak için.

4

Müdürün bugünkü yaşının hesaplanması

M = 4 \times (b - y) = 4 \times 9 = 36

İkinci maddede verilen orantı kullanılarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yaş Problemlerinde Zaman Değişimi ve Denklem Kurma

İpuçları

1

Memurların bugünkü yaşları farkına

k

diyerek müdürün yaşını bu

k

cinsinden ifade etmeyi deneyin.

2

Küçük memur büyük memurun yaşına geldiğinde aradan tam olarak yaşları farkı (

k

) kadar yıl geçer. Bu durumda müdürün yaşı

M+k

olur.

3

M=4k

olduğunu biliyoruz. Gelecekteki yaşı

4k+k=5k

olacaktır.

5k=45

ise

k

değerini bulup müdürün bugünkü yaşına geçiş yapabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, müdürün yaşını memurların yaşları toplamına oranlayarak kurgulayıp çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 63Soru →

Bir manavın toptancıdan satın aldığı limonların %20'si taşıma sırasında ezilerek çürümüştür. Manav, sağlam kalan limonların yarısını maliyet fiyatı üzerinden %20 kârla satmıştır. Tüm satış sonunda maliyet üzerinden %48 kâr elde etmeyi hedefleyen bu manav, elinde kalan son parti limonları maliyet fiyatı üzerinden yüzde kaç kârla satmalıdır?

60

76

100

124

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Manav kalan limonları %150 kârla satmalıdır.

Toplam maliyeti 100 birim, hedef geliri 148 birim olarak belirleyip, ilk satıştan elde edilen 48 birimi düştüğümüzde, kalan 40 birim maldan 100 birim gelir elde edilmesi gerektiği görülür. Bu da birim maliyeti 1 olan malın 2,5'e satılması, yani %150 kâr edilmesi anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerlerini belirle (Kolay hesaplama için 100 birim üzerinden)

Toplam Limon: 100 kg, Maliyet: 1 TL/kg. Toplam Maliyet = 100 TL.

Yüzde problemlerinde 100 sayısı üzerinden işlem yapmak kesirlerle uğraşmayı engeller.

2

Çürük miktarını düş ve sağlam kalanları bul

Çürük: 20 kg. Sağlam Kalan: 80 kg.

Satış yapılabilecek gerçek ürün miktarını belirlemek gerekir.

3

Hedeflenen toplam ciroyu hesapla

Hedef Kâr: %48. Hedeflenen Ciro = 100 TL + 48 TL = 148 TL.

Sorunun sonunda ulaşılması gereken toplam para miktarı budur.

4

İlk parti satışından elde edilen geliri hesapla

Satılan: 80 kg'ın yarısı = 40 kg. Fiyat: %20 kârla 1,2 TL. Gelir 1 = 40 x 1,2 = 48 TL.

Zaten kasaya giren parayı bilmeliyiz ki geri kalanı hesaplayabilelim.

5

Kalan miktar için gereken geliri ve birim fiyatı bul

Gereken Toplam: 148 TL. Mevcut: 48 TL. İhtiyaç: 100 TL. Kalan Ürün: 40 kg. Yeni Fiyat = 100 / 40 = 2,5 TL.

Kalan ürünlerin her birinin kaça satılması gerektiğini bulmak için.

6

Yeni satış fiyatını kâr yüzdesine çevir

Maliyet: 1 TL, Satış: 2,5 TL. Kâr: 1,5 TL. Yüzde Kâr = (1,5 / 1) x 100 = %150.

Sonuç, maliyet üzerinden yüzde olarak ifade edilmelidir.

Anahtar Kavram

Maliyet ve Satış Dengesi

İpuçları

1

Başlangıçta elinizde 100 kg limon olduğunu ve kilosunu 1 TL'den aldığınızı varsayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'enflasyon oranı' katarak çözmeyi deneyin: Paranın değer kaybettiği durumda kâr oranı nasıl değişir?

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 64Soru →

Ağırlıkça $\%15$ 'i tuz olan $20$ kg tuzlu su karışımı ile ağırlıkça $\%40$ 'ı tuz olan $30$ kg tuzlu su karışımı bir kapta karıştırılıyor. Buna göre, yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

25

28

30

35

55

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Yeni karışımın tuz oranı %30'dur.

Yeni karışımın tuz oranı hesaplanırken, her iki karışımdaki saf tuz miktarları toplanır ve bu toplam, yeni oluşan karışımın toplam ağırlığına bölünür. Birinci kaptan gelen

3

kg tuz ile ikinci kaptan gelen

12

kg tuz toplandığında

15

kg toplam tuz elde edilir. Toplam ağırlık olan

50

kg'a oranlandığında ise sonucun

\%30

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci karışımdaki tuz miktarını hesapla

20 \times \frac{15}{100} = 3

kg tuz

Karışımın ağırlığı ile yüzdesini çarparak içindeki saf madde miktarını buluruz.

2

İkinci karışımdaki tuz miktarını hesapla

30 \times \frac{40}{100} = 12

kg tuz

İkinci kaptaki saf madde miktarını belirlemek için aynı yöntemi uygularız.

3

Toplam tuz ve toplam karışım miktarını bul

Toplam Tuz:

3 + 12 = 15

kg, Toplam Karışım:

20 + 30 = 50

kg

İki karışım birleştiğinde maddeler ve toplam kütleler toplanır.

4

Yeni karışım yüzdesini hesapla

\frac{15}{50} \times 100 = 30

Saf madde miktarını toplam kütleye oranlayıp 100 ile çarparak son yüzdeyi elde ederiz.

Anahtar Kavram

Karışım Problemlerinde Temel Denklem (

m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2 = m_{top} \cdot p_{son}

)

İpuçları

1

Her iki karışımdaki ayrı ayrı tuz miktarlarını bularak işe başlayabilirsin.

2

20

kg'ın

\%15

'i ile

30

kg'ın

\%40

'ını toplarsan elindeki toplam tuz miktarını bulursun.

3

Toplam

15

kg tuzun,

50

kg'lık toplam karışım içindeki yüzde karşılığını hesaplamalısın.

Daha Fazla Pratik

Karışım miktarları eşit olsaydı sonucun ne olacağını düşünerek aritmetik ortalama mantığını kavrayabilirsin.

Alternatif Yöntem

Karışım denklemini kullanabilirsin:

20 \cdot 15 + 30 \cdot 40 = 50 \cdot x

. Buradan

300 + 1200 = 50x \Rightarrow 1500 = 50x

ve

x = 30

bulunur.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 65Soru →

Bir giyim mağazası, tüm ürünlerin etiket fiyatlarını maliyet fiyatı üzerinden sabit bir kâr oranıyla belirlemiştir. Mağaza, stoklarını eritmek amacıyla müşterilerine aşağıdaki iki kampanya seçeneğini sunmaktadır:

I. Kampanya: "3 Ürün Alana 1 Ürün Bedava" (Müşteri aldığı her 4 üründen sadece 3'ünün bedelini öder.)

II. Kampanya: Etiket fiyatı üzerinden $\%30$ indirim.

Bu mağazadan aynı üründen 4 adet alan bir müşteri I. kampanyayı tercih ettiğinde, mağazanın bu satıştan elde ettiği kâr oranı $\%20$ olmaktadır.

Buna göre, aynı müşteri bu alışveriş için II. kampanyayı tercih etseydi mağazanın elde edeceği kâr oranı yüzde kaç olurdu?

12

15

20

25

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Müşteri II. kampanyayı tercih etseydi mağazanın kâr oranı %12 olurdu.

Doğru yanıt olan 12 seçeneği, etiket fiyatının maliyetin %60 fazlası (

160x

) olarak saptanması ve bu fiyata uygulanan %30 indirimin sonucunda satışın maliyetin %12 üzerinde (

112x

) gerçekleşmesiyle doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve I. kampanya maliyetinin belirlenmesi

Bir ürünün maliyetine

100x

, etiket fiyatına

E

diyelim. I. kampanyada 4 ürün verildiği için toplam maliyet:

4 \times 100x = 400x

.

Kâr oranını hesaplamak için öncelikle toplam maliyetin bilinmesi gerekir.

2

I. kampanya gelirinin kâr oranına göre hesaplanması

Mağaza bu satıştan

\%20

kâr ediyorsa, gelir:

400x \times 1,20 = 480x

.

Kâr oranı toplam maliyet üzerinden hesaplanır.

3

Etiket fiyatının (

E

) maliyet cinsinden bulunması

Müşteri 4 üründen 3'ünün parasını ödediği için:

3E = 480x \Rightarrow E = 160x

.

Kampanya tanımına göre elde edilen gelir 3 ürünün etiket fiyatına eşittir.

4

II. kampanya satış fiyatının hesaplanması

Etiket fiyatı üzerinden

\%30

indirim uygulanırsa:

160x \times 0,70 = 112x

.

İkinci kampanya doğrudan etiket fiyatına uygulanan bir indirimdir.

5

Son kâr oranının belirlenmesi

Maliyet

100x

, satış

112x

ise kâr:

112x - 100x = 12x

. Bu da

\%12

kâr anlamına gelir.

Kâr oranı, satış fiyatı ile maliyet arasındaki farkın maliyete oranlanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Kar-zarar problemlerinde kâr oranı maliyet üzerinden hesaplanır; birden fazla ürün içeren kampanyalarda toplam maliyet ve toplam gelir ilişkisi kurulmalıdır.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı yoluyla da çözülebilir. I. kampanyada bir ürünün efektif satış fiyatı

3E/4 = 0,75E

olur. Bu fiyat maliyetin 1,2 katı ise (

0,75E = 1,2M

), buradan

E = 1,6M

bulunur. II. kampanyada satış fiyatı

0,7E

olacağından,

0,7 \times 1,6M = 1,12M

bulunur ki bu da %12 kâra karşılık gelir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 66Soru →

Bir tüccar, kilogramını belirli bir fiyattan aldığı yaş sabunları kurutarak satmayı planlamaktadır. Sabunlar kurutulduğunda ağırlıklarının %25'ini kaybetmektedir.

Tüccar, bu satıştan tüm maliyet üzerinden %35 kâr elde etmeyi hedeflediğine göre; kuru sabunun kilogram satış fiyatını, yaş sabunun kilogram alış fiyatına göre yüzde kaç artırarak belirlemelidir?

%50

%60

%70

%75

%80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %80

Cevap

Satış fiyatı %80 artırılmalıdır.

Doğru cevap %80 artışı gösteren seçenektir. Ürün miktarı azaldığında (%25 kayıp), maliyeti karşılamak için birim fiyat zaten artmalıdır (

100/75

oranında). Bunun üzerine bir de kâr eklendiğinde (

1.35

katı), toplam çarpan

1.35 / 0.75 = 1.8

olur. Bu da %80 artış demektir.

Adım Adım Çözüm

1

İşlem kolaylığı sağlaması için başlangıç değerlerini 100 üzerinden varsayalım.

Alınan yaş sabun miktarı:

100

kg
Yaş sabunun kilogram alış fiyatı:

100

TL

Yüzde problemlerinde taban değerleri 100 seçmek işlemleri sadeleştirir.

2

Toplam maliyeti hesaplayalım.

Toplam Maliyet =

100 \text{ kg} \times 100 \text{ TL} = 10.000

TL

Kâr hesabı toplam maliyet üzerinden yapılacaktır.

3

Kuruma sonrası kalan ağırlığı hesaplayalım.

Kayıp:

\%25

Kalan Ağırlık =

100 - 25 = 75

kg

Satış işlemi sadece kalan kuru sabun üzerinden yapılabilir.

4

Hedeflenen toplam geliri hesaplayalım.

Hedef Kâr:

\%35

Hedeflenen Gelir =

10.000 + (10.000 \times 0,35) = 13.500

TL

Tüccar maliyetin üzerine %35 kâr koymak istemektedir.

5

Kuru sabunun kilogram satış fiyatını bulalım.

Yeni Birim Fiyat =

\frac{13.500 \text{ TL}}{75 \text{ kg}} = 180

TL

Hedeflenen toplam gelire ulaşmak için kalan 75 kg sabunun her biri bu fiyattan satılmalıdır.

6

Fiyat artış yüzdesini hesaplayalım.

Eski Fiyat:

100

TL, Yeni Fiyat:

180

TL
Artış =

180 - 100 = 80

TL
Yüzde Artış =

\%80

Sonuç, başlangıç fiyatına göre kıyaslanarak bulunur.

Anahtar Kavram

Maliyet ve Satış Fiyatı İlişkisi (Firesiz/Fireli)

İpuçları

1

Soruyu çözmek için somut sayılar verin: Örneğin tüccar 100 kg sabunu kilosu 100 TL'den almış olsun.

2

Önce toplam maliyeti bulun, sonra hedeflenen %35 kârlı toplam satış tutarını hesaplayın.

3

Kurutma işleminden sonra elinizde 75 kg sabun kalacaktır. Hedeflediğiniz toplam parayı bu 75 kg'a bölerek yeni birim fiyatı bulun.

Alternatif Yöntem

Orantı Yöntemi: Maliyet sabittir.

Miktar \times Fiyat = Maliyet

. Miktar %25 azalırsa (3/4'üne düşerse), maliyeti korumak için fiyat 4/3 katına çıkmalıdır. Kâr için bunu 1.35 ile çarparız:

\frac{4}{3} \times \frac{135}{100} = \frac{4}{3} \times \frac{27}{20} = \frac{108}{60} = 1.8

. Yani %80 artış.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 67Soru →

Bir lojistik firmasının kullandığı akıllı dağıtım sisteminde, paketler üzerindeki barkod numarasının ( $n$ ) 5 ile bölümünden kalan değere ( $k$ ) göre A, B ve C bantlarına yönlendirilmektedir. Sistemin işleyiş kuralları şöyledir:

1. $k$ değeri tek sayı ise paket A bandına geçer ve bu bandın yükü $k$ birim artar.
2. $k$ değeri 0'dan farklı çift sayı ise paket B bandına geçer ve bu bandın yükü $k$ birim artar.
3. $k$ değeri 0 ise paket C bandına geçer ve bu bandın yükü 4 birim artar.
4. Herhangi bir paket eklendikten sonra B bandının yükü 10 birimi aşarsa, sistem otomatik olarak B bandındaki yükün 5 birimini siler ve C bandına 5 birim yük olarak aktarır.

Başlangıçta tüm bantların yükü sıfırdır. Sisteme sırasıyla barkod numaraları 24, 35, 14, 34, 24, 40 olan paketler giriş yapmıştır.

Buna göre, tüm paketler işlendikten sonra C bandındaki toplam yük kaç birim olur?

8

13

15

18

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

C bandının son yükü 18 birimdir

Doğru cevap, tüm paketlerin sırasıyla işlenmesi ve her adımda limit kontrolünün yapılmasıyla bulunur. Özellikle B bandındaki yükün iki kez 10 sınırını aşması (12 ve 11 değerlerinde) ve her seferinde C bandına 5 birim eklenmesi kritik noktadır. Toplamda C bandı: 4 (doğrudan) + 5 (1. aktarım) + 5 (2. aktarım) + 4 (doğrudan) = 18 birim yüke ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1

1. Paket (24) için işlem yapılır.

24 mod 5 = 4 (Çift, sıfırdan farklı). B bandına gider. B = 4.

k=4 olduğu için 2. kural uygulanır.

2

2. Paket (35) için işlem yapılır.

35 mod 5 = 0. C bandına gider. C = 0 + 4 = 4.

k=0 olduğu için 3. kural uygulanır.

3

3. Paket (14) için işlem yapılır.

14 mod 5 = 4. B bandına gider. B = 4 + 4 = 8.

B bandı henüz 10'u aşmadı (8 < 10).

4

4. Paket (34) için işlem yapılır ve kontrol sağlanır.

34 mod 5 = 4. B = 8 + 4 = 12. Limit aşıldı! (12 > 10). Aktarım yapılır: B = 12 - 5 = 7; C = 4 + 5 = 9.

B bandı 10'u aştığı için 4. kural devreye girer (1. Aktarım).

5

5. Paket (24) için işlem yapılır ve kontrol sağlanır.

24 mod 5 = 4. B = 7 + 4 = 11. Limit tekrar aşıldı! (11 > 10). Aktarım yapılır: B = 11 - 5 = 6; C = 9 + 5 = 14.

B bandı tekrar 10'u aştığı için 4. kural ikinci kez devreye girer (2. Aktarım).

6

6. Paket (40) için işlem yapılır.

40 mod 5 = 0. C bandına gider. C = 14 + 4 = 18.

k=0 olduğu için 3. kural uygulanır.

Anahtar Kavram

Bu problem, koşullu algoritmaların adım adım takip edilmesini ve durum güncellemelerinin (state update) bir sonraki adımı nasıl etkilediğinin analiz edilmesini gerektirir.

İpuçları

1

Paketleri sırasıyla sisteme dahil edin ve her eklemeden sonra B bandının yükünü kontrol edin.

2

B bandı 12 olduğunda kural gereği 5 azalır, yani 7'ye düşer. Sonraki ekleme bu yeni değer (7) üzerinden yapılmalıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 68Soru →

Bir yardım kuruluşu, hazırladığı erzak kolilerini ihtiyaç sahiplerine ulaştırmak üzere bir plan yapmıştır. Kolilerin önce $\frac{2}{9}$ 'u A bölgesine, daha sonra geriye kalan kolilerin $\frac{3}{7}$ 'si B bölgesine dağıtılmıştır. Son olarak C bölgesine 50 koli daha verildiğinde, ellerinde kalan koli sayısının başlangıçtaki tüm koli sayısının $\frac{1}{6}$ 'sına eşit olduğu görülmüştür. Buna göre, B bölgesine dağıtılan koli sayısı kaçtır?

40

45

50

60

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

B bölgesine 60 koli dağıtılmıştır.

Bölümler halinde yapılan dağıtımlarda kalan miktarı takip etmek esastır. A bölgesine

\frac{2}{9}

dağıtılınca geriye

\frac{7}{9}

kalır. B bölgesine bu kalanın

\frac{3}{7}

'si, yani

\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{3}

'ü dağıtılır. Geriye

\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9}

kalır. 50 koli daha verilince kalan

\frac{4}{9}x - 50 = \frac{1}{6}x

olur. Buradan toplam sayı 180, B bölgesi payı ise 60 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki toplam koli sayısına işlem kolaylığı sağlaması açısından paydaların (9, 7, 6) katı olan veya sadeleşebilecek bir değişken atayalım. Ancak burada doğrudan kesirler üzerinden gitmek daha pratik olacaktır. Toplam sayıya

x

diyelim.

Toplam =

x

Bilinmeyeni tanımlama.

2

A bölgesine dağıtılan miktarı ve kalanı bulalım. A bölgesine

\frac{2}{9}x

dağıtıldı.

Kalan =

x - \frac{2}{9}x = \frac{7}{9}x

İlk dağıtım sonrası kalanı bulma.

3

B bölgesine dağıtılan miktarı hesaplayalım. Kalanın (

\frac{7}{9}x

)

\frac{3}{7}

'si B bölgesine gitmiştir.

B Bölgesi =

\frac{7}{9}x \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{9}x = \frac{1}{3}x

Kesir problemlerinde 'kalanın kesri' ifadesini doğru uygulama.

4

B bölgesi dağıtıldıktan sonraki yeni kalanı bulalım.

Yeni Kalan =

\frac{7}{9}x - \frac{3}{9}x = \frac{4}{9}x

İkinci dağıtım sonrası kalanı bulma.

5

C bölgesine 50 koli verildikten sonraki durumu denklemleştirelim. Kalan

\frac{4}{9}x

'ten 50 çıkarıldığında, sonuç

\frac{1}{6}x

olmaktadır.

\frac{4}{9}x - 50 = \frac{1}{6}x

Problemdeki son koşulu denkleme dökme.

6

Denklemi çözelim. Bilinenleri ve bilinmeyenleri ayıralım.

\frac{4}{9}x - \frac{1}{6}x = 50 \Rightarrow \frac{8x - 3x}{18} = 50 \Rightarrow \frac{5x}{18} = 50 \Rightarrow x = 180

Toplam koli sayısını bulma.

7

Soruda istenen B bölgesi miktarını hesaplayalım (Adım 3'teki ifade).

B Bölgesi =

\frac{1}{3}x = \frac{180}{3} = 60

İstenen değeri bulma.

Anahtar Kavram

Bir bütünün ardışık kesirleri (kalanın kesri) hesaplanırken, her adımda kalan miktar üzerinden işlem yapılır. Sonuç, başlangıç miktarı ile ilişkilendirilerek denklem kurulur.

İpuçları

1

Soruda verilen kesirlerin paydalarına (9, 7 ve 6) dikkat edin. Toplam sayıya

x

diyerek adım adım kalanı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, kesir yerine yüzde ifadeleri kullanarak (%20'si, kalanın %40'ı gibi) çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 69Soru →

Bir mağaza, stokundaki ürünlerin $\frac{1}{3}$ 'ünü %30 kârla, $\frac{2}{5}$ 'ini ise %10 zararla satmıştır. Mağaza sahibinin tüm ürünlerin satışından toplamda %16 kâr elde edebilmesi için, geriye kalan ürünleri maliyet fiyatı üzerinden yüzde kaç kârla satması gerekir?

32,5

35

37,5

40

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37,5

Cevap

Geriye kalan ürünlerin %37,5 kârla satılması gerekir.

Doğru cevap, toplam ürün miktarını paydaların ortak katı (15x) olarak belirleyip, her bir parçanın (5x, 6x ve kalan 4x) kâr/zarar katkısını toplayarak hedeflenen toplama eşitlemekle bulunur. Kalan 4 birim maldan elde edilmesi gereken kârın maliyete oranı %37,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

İşlem kolaylığı için ürün sayısına değer verilir.

Paydalar 3 ve 5 olduğu için ürünlerin toplam maliyeti 1500 TL (veya 150 adet ürün her biri 10 TL) olarak varsayılabilir. Biz 15 birim mal diyelim, her biri 10 TL olsun. Toplam Maliyet = 150 TL.

Kesir problemlerinde paydaların ortak katını (EKOK) bütünü temsil eden sayı olarak seçmek işlemleri kolaylaştırır.

2

Birinci ve ikinci kısımların satış sonuçları hesaplanır.

1. Kısım: 15'in

\frac{1}{3}

'ü 5 birimdir. %30 kâr

\rightarrow

5 \times 10 \times \%30 = +15

TL kâr.
2. Kısım: 15'in

\frac{2}{5}

'i 6 birimdir. %10 zarar

\rightarrow

6 \times 10 \times \%10 = -6

TL zarar.

Her parçanın toplam kâr/zarar dengesine katkısı ayrı ayrı bulunmalıdır.

3

Hedeflenen toplam kâr hesaplanır.

Toplam Maliyet: 150 TL. Hedeflenen Kâr: %16.
Hedef Kâr Tutarı:

150 \times \%16 = 24

TL.

Problemin çözümüne gitmek için ulaşılması gereken nihai hedef belirlenmelidir.

4

Kalan kısımdan elde edilmesi gereken kâr bulunur ve oranlanır.

Şu anki durum:

15 - 6 = 9

TL kâr. Hedef 24 TL olduğuna göre, kalan kısımdan

24 - 9 = 15

TL kâr edilmelidir.
Kalan Mal:

15 - (5+6) = 4

birim. Maliyeti

4 \times 10 = 40

TL.
40 TL'de 15 TL kâr edilmesi gerekmektedir.

Eksik kalan kâr miktarının, kalan ürünlerin maliyetine oranı bize aradığımız yüzdeyi verir.

5

Yüzde hesabı yapılır.

\frac{15}{40} = \frac{3}{8} = \frac{37,5}{100} \rightarrow \%37,5

Sonuç yüzdelik dilime çevrilerek seçeneklerdeki değer bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Ortalama ve Kâr-Zarar Dengesi

İpuçları

1

Ürünlerin toplam sayısına, paydalar olan 3 ve 5'in ortak katı olan bir sayı (örneğin 15 veya 150) vererek işlemleri kolaylaştırabilirsiniz.

2

Her bir parçanın (satılan 1. kısım, satılan 2. kısım ve kalan kısım) kâr veya zarar tutarını ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.

3

Denklemi şöyle kurun: (1. Kısım Kârı) - (2. Kısım Zararı) + (Kalan Kısım Kârı) = (Toplam Hedef Kâr).

Daha Fazla Pratik

Karışım problemlerinde madde miktarı ve yüzdelerin ağırlıklı ortalaması sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Puan Yöntemi: 15 ürün var diyelim. Hedef 15 x 16 = 240 puan kâr.
1. Kısım (5 ürün): 5 x 30 = 150 puan.
2. Kısım (6 ürün): 6 x (-10) = -60 puan.
Şu anki toplam: 150 - 60 = 90 puan.
Hedef 240 puan olduğuna göre eksik: 240 - 90 = 150 puan.
Kalan ürün: 4 adet.
Her birinden ne kadar puan (yüzde) gelmeli? 150 / 4 = 37,5.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 70Soru →

Bir şirketin muhasebe departmanı, personelin aylık fazla çalışma sürelerine göre uyguladığı brüt saat ücretini ve bu ücretten yapılan kesinti oranlarını aşağıdaki gibi belirlemiştir:

Fazla Çalışma Süresi (Saat)	Brüt Saat Ücreti (TL)	Kesinti Oranı
İlk $10$ saat	$200$	$\%0$
$11$ ile $20.$ saatler arası	$250$	$\%20$
$20$ saati aşan kısım	$300$	$\%25$

Bu tarifeye göre hesaplanan fazla mesai ücreti, kümülatif olarak (dilimler halinde) toplanarak ödenmektedir.

Bir ayda yaptığı fazla çalışmalar sonucunda eline **net $5350$ TL** geçen bir personel, toplam kaç saat fazla mesai yapmıştır?

24

25

26

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Personel toplam 26 saat fazla mesai yapmıştır.

Doğru cevap, her ücret diliminin ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla bulunur. İlk 10 saatten 2000 TL, ikinci 10 saatten (kesinti sonrası) yine 2000 TL kazanılmıştır. Toplam 4000 TL eder. Geriye kalan 1350 TL'lik fark, 3. dilimdeki (kesinti sonrası 225 TL olan) saatlik ücretle kazanılmıştır. 1350 TL / 225 TL = 6 saatlik bir çalışma gerektirir. Toplam süre 10 + 10 + 6 = 26 saattir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk

10

saatlik dilimin net ücretini hesapla.

10 \times 200 = 2000

TL (Kesinti

\%0

olduğu için brüt = net).

Tarifede ilk 10 saat için herhangi bir kesinti uygulanmamaktadır.

2

İkinci dilim (

11-20

saat arası) için net ücreti hesapla. Bu dilim de

10

saat sürer (

20-10=10

).

Brüt:

250

TL. Kesinti:

\%20

. Net Saat Ücreti:

250 \times (1 - 0.20) = 200

TL. Toplam:

10 \times 200 = 2000

TL.

İkinci dilimdeki 10 saat için %20 kesinti sonrası ele geçen miktar hesaplanmalıdır.

3

İlk iki dilimden elde edilen toplam net ücreti bul ve hedeflenen

5350

TL'den çıkar.

Toplam:

2000 + 2000 = 4000

TL. Kalan İhtiyaç:

5350 - 4000 = 1350

TL.

Personelin kazandığı paranın ne kadarının 3. dilimden (20 saati aşan kısımdan) geldiğini bulmak için.

4

Üçüncü dilimdeki (

20

saati aşan) net saat ücretini hesapla.

Brüt:

300

TL. Kesinti:

\%25

. Net Saat Ücreti:

300 \times (1 - 0.25) = 225

TL.

Kalan tutarın kaç saate denk geldiğini bulmak için birim kazanç belirlenmelidir.

5

Kalan tutarı (

1350

TL), üçüncü dilimin net saat ücretine (

225

TL) bölerek ek süreyi bul.

1350 / 225 = 6

saat.

Son dilimdeki çalışma süresini belirlemek için.

6

Tüm süreleri toplayarak toplam çalışma saatini bul.

10

(1. dilim)

+ 10

(2. dilim)

+ 6

(3. dilim)

= 26

saat.

Soru toplam süreyi sormaktadır.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyon ve Vergi/Kesinti Problemleri

İpuçları

1

Önce ilk 20 saatlik çalışmanın (ilk iki dilimin) personeline net olarak ne kadar kazandırdığını hesaplayın.

2

İlk 10 saat:

10 \times 200 = 2000

TL. İkinci 10 saat:

10 \times 250

TL üzerinden

\%20

kesinti yapılırsa eline ne geçer? Bunları toplayın ve

5350

TL'den çıkarın.

3

İlk 20 saatten toplam

4000

TL net gelir elde edilir. Geriye kalan

1350

TL (

5350 - 4000

) için 3. dilimdeki saatlik net ücreti (

300

TL'nin

\%25

eksiği) kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, elektrik faturalarındaki kademeli tarife sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurarak çözüm: Toplam süreye

x

diyelim (

x > 20

olduğu açıktır). Denklem:

10(200) + 10(250 \cdot 0.80) + (x-20)(300 \cdot 0.75) = 5350

. Buradan

2000 + 2000 + (x-20)(225) = 5350

çözülerek

x

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 71Soru →

Bir kamu kurumunda uygulanan performans değerlendirme sistemine göre, personeller usulüne uygun tamamladıkları her dosya işlemi için 12 puan kazanmakta, eksik evrak nedeniyle iade ettikleri her işlem için ise 4 puan kaybetmektedir. Bir ay içerisinde toplam 60 dosya işlemi gerçekleştiren bir personelin, ay sonunda toplam 480 puan topladığı bilinmektedir. Buna göre, bu personel kaç dosyayı iade etmiştir?

10

15

30

40

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Personel toplam 15 dosyayı iade etmiştir.

Toplam dosya sayısı 60 olduğu için iade edilenlere

y

, tamamlananlara

(60-y)

diyebiliriz. Puan denklemi kurulduğunda: Tamamlananlardan kazanılan (

12 \times (60-y)

) - İade edilenlerden kaybedilen (

4 \times y

) = Toplam Puan (

480

). Denklemi çözdüğümüzde

720 - 12y - 4y = 480

ifadesinden

16y = 240

ve buradan

y = 15

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla.

Tamamlanan dosya sayısı =

x

, İade edilen dosya sayısı =

y

.

Problemi matematiksel bir denkleme dökmek için bilinmeyenleri belirlememiz gerekir.

2

Verilen bilgilerle denklemleri kur.

Toplam dosya sayısı:

x + y = 60

. Toplam puan:

12x - 4y = 480

.

Her başarılı işlem +12, her iade -4 puan getirmektedir.

3

Birinci denklemden

x

'i çekip ikinci denklemde yerine yaz (veya yok etme metodunu kullan).

x = 60 - y

olduğu için,

12(60 - y) - 4y = 480

.

İki bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene düşürerek çözüme ulaşmak.

4

Denklemi çöz.

720 - 12y - 4y = 480 \Rightarrow 720 - 16y = 480 \Rightarrow 16y = 240 \Rightarrow y = 15

.

y

değeri bize iade edilen dosya sayısını verir.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklemlerle problem çözme (Sayı Problemleri - Denklem Kurma).

İpuçları

1

Soruda iki tür işlem vardır: Puan kazandıranlar ve puan kaybettirenler. İade edilen dosya sayısına 'y' derseniz, tamamlanan dosya sayısı '60 - y' olur.

2

Toplam puanı hesaplarken, kazanılan puanlardan kaybedilen puanları çıkarmanız gerekir. Denklem: (Kazanılan Puan x Sayı) - (Kaybedilen Puan x Sayı) = Toplam Puan.

3

Denklemi şu şekilde kurmalısınız:

12 \cdot (60 - y) - 4 \cdot y = 480

. Bu denklemi çözerek y değerini (iade edilenleri) bulabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm dosyalar başarılı olsaydı:

60 \times 12 = 720

puan toplanırdı. Ancak toplanan puan

480

. Aradaki fark

720 - 480 = 240

puandır. Her bir iade işlemi, hem 12 puanın kazanılmasını engeller hem de 4 puan sildirir, yani toplamda 16 puanlık bir fark yaratır. O halde iade sayısı:

240 / 16 = 15

.

Soru 72Soru →

Bir tarihi çeşmenin restorasyon şantiyesinde; eşit kapasiteli 2 usta ve eşit kapasiteli 3 çırak, işin tamamını birlikte çalışarak 20 günde bitirebilmektedir. Bir ustanın günlük çalışma kapasitesi, bir çırağın günlük çalışma kapasitesinin 3 katıdır.

Ekip birlikte işe başladıktan 4 gün sonra, 1 usta işten ayrılmış ve yerine 2 yeni çırak işe başlamıştır.

Buna göre, kalan işi yeni oluşturulan ekip kaç günde tamamlar?

16

18

21

24

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Kalan iş 18 günde tamamlanır.

Doğru hesaplamada, çırağın kapasitesine

x

ve ustanın kapasitesine

3x

denir. Başlangıçtaki ekip gücü

2(3x)+3(x)=9x

olur. Toplam iş

20 \cdot 9x = 180x

birimdir. 4 gün çalışıldığında

36x

iş biter, geriye

144x

iş kalır. 1 usta ayrılıp 2 çırak gelince yeni güç

9x - 3x + 2x = 8x

olur. Kalan iş

144x / 8x = 18

günde biter.

Adım Adım Çözüm

1

Çalışma hızlarını birim cinsinden belirle.

Çırak hızı =

x

birim, Usta hızı =

3x

birim.

Soruda ustanın hızının çırağın hızının 3 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Başlangıçtaki ekibin toplam günlük iş gücünü ve toplam iş miktarını hesapla.

İlk Ekip Gücü =

2(3x) + 3(x) = 9x

. Toplam İş =

20 \text{ gün} \times 9x = 180x

.

İş = Hız x Zaman bağıntısı kullanılır.

3

İlk 4 günde yapılan işi ve kalan işi hesapla.

Yapılan İş =

4 \times 9x = 36x

. Kalan İş =

180x - 36x = 144x

.

4 gün boyunca tam kadro çalışılmıştır.

4

Ekip değişikliğinden sonraki yeni iş gücünü hesapla.

Ayrılan: 1 Usta (

-3x

), Gelen: 2 Çırak (

+2x

). Yeni Ekip Gücü =

9x - 3x + 2x = 8x

.

1 usta eksilip 2 çırak eklendiği için toplam hız değişmiştir.

5

Kalan işin yeni ekiple kaç günde biteceğini bul.

Süre =

\frac{144x}{8x} = 18

gün.

Süre = İş / Hız formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde, işçilerin kapasiteleri arasında oran kurarak 'Birim İş' üzerinden hesaplama yapmak, işçi sayısı veya niteliği değiştiğinde en güvenilir yöntemdir.

İpuçları

1

İşçilerin çalışma hızlarına değer verirken, ustanın hızı ile çırağın hızı arasındaki 3 kat ilişkisini kullanın (Usta =

3x

, Çırak =

x

).

2

Toplam iş miktarını, başlangıçtaki ekibin toplam gücü ile bitirme süresini çarparak 'birim iş' cinsinden bulun.

3

4 gün sonraki kalan işi hesaplayın. Ardından ekibin yeni toplam gücünü (1 usta eksiltip 2 çırak ekleyerek) bulun ve kalan işi bu yeni güce bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, işe ara verilmesi veya işçi sayısının her gün düzenli olarak değişmesi senaryosuyla çözün.

Alternatif Yöntem

Ters Orantı Yöntemi: Başlangıçtaki gücümüz

9x

ve kalan süre (değişiklik olmasaydı) 16 gündü. Yani

9x

güç ile 16 günde bitecek bir iş var. Yeni güç

8x

olduğuna göre;

9 \cdot 16 = 8 \cdot t

denklemi kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 73Soru →

Selim ve Caner'in bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Selim, Caner'in bugünkü yaşındayken Caner'in doğmasına $6$ yıl vardı.
* Caner, Selim'in bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı $78$ olacaktır.

Buna göre, Selim'in bugünkü yaşı kaçtır?

30

12

18

24

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Selim'in bugünkü yaşı 30'dur.

Verilen iki durumdan elde edilen

S - 2C = 6

ve

3S - C = 78

denklemleri birlikte çözüldüğünde Selim'in bugünkü yaşı olan

S

değeri 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin belirlenmesi ve yaş farkının tanımlanması

Selim'in yaşı

S

, Caner'in yaşı

C

olsun. Yaş farkı

x = S - C

olsun.

Yaş problemlerinde kişiler arasındaki yaş farkı zamanla değişmez, bu sabit fark üzerinden denklem kurmak çözümü kolaylaştırır.

2

Birinci bilginin denkleme dökülmesi

C - (S - C) = -6 \Rightarrow 2C - S = -6 \Rightarrow S - 2C = 6

Selim'in Caner'in yaşında olduğu zaman

x

yıl öncesidir. Bu tarihte Caner'in yaşı

C - x

olur ve doğmasına 6 yıl kalması yaşının -6 olması demektir.

3

İkinci bilginin denkleme dökülmesi

S + (S + (S - C)) = 78 \Rightarrow 3S - C = 78

Caner'in Selim'in yaşına gelmesi için

x

yıl geçmelidir. Bu tarihte Caner

S

yaşında, Selim ise

S + x = S + (S - C)

yaşında olur. Toplamları 78'e eşitlenir.

4

Denklem sisteminin çözülmesi

S = 30, C = 12

S = 2C + 6

ifadesi ikinci denklemde yerine yazılırsa:

3(2C + 6) - C = 78 \Rightarrow 6C + 18 - C = 78 \Rightarrow 5C = 60 \Rightarrow C = 12

. Buradan

S = 2(12) + 6 = 30

bulunur.

Anahtar Kavram

Yaş Problemlerinde Zaman Kayması ve Sabit Fark

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan üç kişilik yaş problemlerini çözerek zaman kayması mantığını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 74Soru →

Bir konfeksiyon atölyesinde alınan yüklü bir siparişi; bir usta tek başına $12$ saatte, kalfası ise aynı siparişi tek başına $20$ saatte dikebilmektedir. İkisi birlikte işe başladıktan $3$ saat sonra usta acil bir durum nedeniyle işi bırakmak zorunda kalıyor.

Buna göre, siparişin kalan kısmını kalfa tek başına kaç saatte tamamlar?

9

10

12

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kalfa kalan işi 12 saatte tamamlar.

İşin tamamına 60 birim dersek, usta saatte 5 birim, kalfa 3 birim iş yapar. Birlikte 3 saatte (5+3)x3 = 24 birim iş yaparlar. Geriye 60-24 = 36 birim iş kalır. Kalfa saatte 3 birim hızla kalan işi 36/3 = 12 saatte bitirir.

Adım Adım Çözüm

1

Yapılacak toplam iş miktarını belirlemek için sürelerin (12 ve 20) en küçük ortak katını (EKOK) hesapla.

EKOK(12, 20) = 60 birim iş.

İşçi problemlerinde işi birimlere ayırmak hesaplamayı kolaylaştırır.

2

Usta ve kalfanın saatlik çalışma hızlarını (kapasitelerini) bul.

Usta: 60 / 12 = 5 birim/saat
Kalfa: 60 / 20 = 3 birim/saat.

Her birinin bir saatte ne kadar iş ürettiğini bulmak gerekir.

3

Birlikte çalıştıkları 3 saatte yapılan iş miktarını hesapla.

(5 + 3) x 3 = 8 x 3 = 24 birim iş yapıldı.

İlk aşamada işin ne kadarının bittiğini belirlemek için.

4

Kalan iş miktarını bul.

60 - 24 = 36 birim iş kaldı.

Kalfanın tek başına yapacağı iş miktarını bulmak için.

5

Kalan işi kalfanın hızına bölerek süreyi bul.

36 / 3 = 12 saat.

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde 'Birim İş' veya 'Oran' yöntemi kullanılarak, yapılan işin zamana ve hıza göre parçalanması.

İpuçları

1

İşin tamamına, verilen saatlerin (12 ve 20) ortak katı olan bir sayı vererek (örneğin 60 birim) başlayabilirsiniz.

2

Usta ve kalfanın bir saatte kaç birim iş yaptığını bulun. Sonra 3 saatte toplam ne kadar iş yaptıklarını hesaplayın.

3

3 saatte yapılan toplam işi, işin tamamından çıkarın. Kalan miktarı kalfanın saatlik hızına bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, işçilerden birinin hızı değiştirilerek (örneğin kapasitesi %50 artırılarak) sorulan soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kesir yöntemi: Usta 1 saatte 1/12, Kalfa 1/20 iş yapar. 3 saatte 3(1/12 + 1/20) iş biter. Kalan iş miktarı (1 - Biten) hesaplanıp, kalfanın hızına (1/20) bölünür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 75Soru →

Bir unlu mamuller fabrikasında ekmek üretim süreci aşağıdaki aşamalardan oluşmaktadır:

1. Buğday temizlenip öğütüldüğünde, kabuk ve kepek ayrıştırıldığı için ağırlığının %20'sini kaybederek una dönüşmektedir.
2. Elde edilen un; su, maya ve tuz ile yoğrulup hamur haline getirildiğinde ağırlığı %25 artmaktadır.
3. Hazırlanan hamur pişirildiğinde ise içerdiği suyun buharlaşması nedeniyle ağırlığının %10'unu kaybetmektedir.

Fabrika, maliyet hesabında sadece buğdayın alış fiyatını dikkate almakta ve toplam maliyet üzerinden %35 kâr elde etmeyi hedeflemektedir.

Buna göre, üretilen ekmeğin kilogram satış fiyatı, buğdayın kilogram alış fiyatına göre yüzde kaç artırılmalıdır?

%35

%40

%45

%50

%60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %50

Cevap

Ekmeğin kilogram satış fiyatı, buğdayın alış fiyatına göre %50 artırılmalıdır.

Üretim zincirinde miktar 100 kg'dan başlayıp sırasıyla 80 kg, 100 kg ve son olarak 90 kg'a düşmüştür. Başlangıçta 100 birim maliyet varken, %35 kâr için 135 birim gelir hedeflenmiştir. 90 kg üründen 135 birim gelir elde etmek için birim fiyatın 1.5 katına, yani %50 fazlasına çıkması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değeri belirleme ve 1. Aşama (Buğday -> Un)

100 kg buğday olsun. %20 kayıp sonrası: 100 - (100 × 0.20) = 80 kg un kalır.

Yüzde problemlerinde başlangıç değerini 100 almak işlem kolaylığı sağlar.

2

2. Aşama (Un -> Hamur) hesaplaması

80 kg unun ağırlığı %25 artıyor: 80 + (80 × 0.25) = 80 + 20 = 100 kg hamur elde edilir.

Artış oranı, kalan un miktarı (80 kg) üzerinden hesaplanmalıdır.

3

3. Aşama (Hamur -> Ekmek) hesaplaması

100 kg hamurun ağırlığı %10 azalıyor: 100 - (100 × 0.10) = 90 kg ekmek elde edilir.

Pişirme firesi, elde edilen hamur miktarı üzerinden hesaplanmalıdır.

4

Maliyet ve Hedef Gelir analizi

Maliyet: 100 TL (100 kg buğday x 1 TL). Hedef Gelir (%35 kâr): 135 TL.

Kâr oranı toplam maliyet üzerinden hesaplanır.

5

Birim satış fiyatını bulma ve karşılaştırma

90 kg ekmek 135 TL etmeli. Kg fiyatı = 135 / 90 = 1.5 TL. Başlangıç fiyatı 1 TL idi, yeni fiyat 1.5 TL.

Satış Fiyatı / Alış Fiyatı oranı, artış yüzdesini verir. (1.5 - 1.0) / 1.0 = %50 artış.

Anahtar Kavram

Ardışık Yüzde Değişimleri ve Birim Maliyet Hesabı

İpuçları

1

Başlangıçta 100 kg buğday alındığını ve buğdayın kilogram fiyatının 100 TL olduğunu varsayarak işlem yapınız.

2

Her aşamadaki ağırlık değişimini sırasıyla hesaplayın: Önce %20 azaltın, sonra kalanı %25 artırın, en son kalanı %10 azaltın.

3

Sonuçta elinizde 90 kg ekmek kalacaktır. Maliyetiniz 100 birim, hedeflediğiniz toplam gelir 135 birimdir. 135'i 90'a bölerek birim fiyatı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla; 'Yaş sabun kuruyunca ağırlığının %40'ını kaybediyor' türündeki tek aşamalı soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantı Yöntemi: (Kalan Miktar Oranı) = 0.80 * 1.25 * 0.90 = 0.90 (Başlangıcın %90'ı). Fiyat Çarpanı = (1 + Kâr) / (Kalan Oranı) = 1.35 / 0.90 = 1.5. Yani %50 artış.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 76Soru →

Bir şirket, satış personeli için aşağıdaki gibi bir prim sistemi uygulamaktadır:

* Aylık yapılan cironun ilk $60.000$ TL'lik kısmı için prim verilmemektedir.
* Cironun $60.000$ TL ile $100.000$ TL arasındaki kısmı için $\%5$ oranında prim verilmektedir.
* Cironun $100.000$ TL'yi aşan kısmı için ise $\%8$ oranında prim verilmektedir.

Bir satış personelinin ay sonunda elde ettiği toplam prim tutarı, o ay yaptığı toplam cironun $\%5$ 'ine eşittir.

Buna göre, bu personelin o ay yaptığı toplam ciro kaç TL'dir?

160.000

180.000

200.000

220.000

240.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200.000

Cevap

Personelin toplam cirosu 200.000 TL'dir.

Toplam ciro

200.000

TL olduğunda:
- İlk

60.000

TL için prim:

0

TL
- Sonraki

40.000

TL için prim (60-100 bin arası):

40.000 \times \%5 = 2.000

TL
- Kalan

100.000

TL için prim (100-200 bin arası):

100.000 \times \%8 = 8.000

TL
- Toplam Prim:

10.000

TL
- Ortalama Oran:

10.000 / 200.000 = 1/20 = \%5

Bu hesaplama sorudaki koşulu sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi matematiksel olarak modellemek için değişken tanımla ve cironun

100.000

TL'yi aştığını varsay.

Toplam ciro

x

olsun. Cironun

100.000

TL üzerindeki kısmı

(x - 100.000)

TL olur.

Ortalama prim oranının

\%5

olması için cironun belirli bir seviyeyi aşması gerekir; çünkü ilk dilimde prim yok ve ikinci dilimde sadece

\%5

prim var.

2

Her bir dilim için elde edilen prim miktarını hesapla.

1. Dilim (0 - 60.000):

0

TL prim.
2. Dilim (60.000 - 100.000):

(100.000 - 60.000) \times 0,05 = 40.000 \times 0,05 = 2.000

TL prim.
3. Dilim (100.000 üzeri):

(x - 100.000) \times 0,08

TL prim.

Parçalı fonksiyon mantığıyla her aralığın katkısı ayrı hesaplanmalıdır.

3

Toplam prim miktarını toplam cironun

\%5

'ine eşitleyen denklemi kur ve çöz.

Toplam Prim =

2.000 + 0,08(x - 100.000)

Denklem:

2.000 + 0,08(x - 100.000) = 0,05x

2.000 + 0,08x - 8.000 = 0,05x

0,08x - 6.000 = 0,05x

0,03x = 6.000

x = 200.000

Soruda verilen 'toplam prim tutarı, toplam cironun %5'ine eşittir' bilgisi kullanılarak

x

değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyon ve Ağırlıklı Ortalama

İpuçları

1

Toplam ciroya

x

diyerek her bir aralıkta kazanılan primleri ayrı ayrı yazın.

2

Cironun

60.000

TL'ye kadar olan kısmı için prim

0

, sonraki

40.000

TL'lik kısmı için prim

2.000

TL'dir. Kalan kısım için oran

\%8

'dir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkta, gelir vergisi dilimleri (artan oranlı vergi) problemleri çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek de çözülebilir. Örneğin 200.000 TL için prim hesaplayıp oranının %5 olup olmadığı kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 77Soru →

Bir mobilya imalatçısı, maliyet fiyatı üzerinden $\%20$ kârla satışa sunduğu bir yemek masasından $300$ TL kâr elde etmektedir. Buna göre, bu yemek masasının satış fiyatı kaç TL'dir?

1200

1500

1800

2100

2400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1800

Cevap

Yemek masasının satış fiyatı 1800 TL'dir.

Verilen kâr miktarından yola çıkılarak önce maliyet hesaplanır (

300 / 0.20 = 1500

TL). Daha sonra maliyet ile kâr toplanarak satış fiyatına ulaşılır (

1500 + 300 = 1800

TL).

Adım Adım Çözüm

1

Kâr oranı ve kâr miktarını kullanarak maliyet fiyatını hesapla.

Maliyet x %20 = 300 TL => Maliyet x (1/5) = 300 => Maliyet = 1500 TL

Kâr, maliyet fiyatı üzerinden hesaplanır.

2

Bulunan maliyet fiyatına kâr miktarını ekleyerek satış fiyatını bul.

Satış Fiyatı = Maliyet + Kâr = 1500 + 300 = 1800 TL

Satış fiyatı, maliyet ve kârın toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kâr = Maliyet x Kâr Oranı ve Satış Fiyatı = Maliyet + Kâr ilişkisi.

İpuçları

1

Önce ürünün maliyet fiyatını bulmaya çalışın. Kâr, maliyetin %20'sidir.

2

Hangi sayının %20'si 300 eder? Bu sayı maliyettir.

3

Maliyet = 300 x 5 işlemini yapın, sonra buna 300 TL kârı ekleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, kâr oranı yerine zarar oranı verilmiş haliyle çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Kâr oranı %20 ise satış fiyatı maliyetin %120'sidir. Orantı kurarak: %20'si 300 TL ise, %120'si (satış fiyatı) kaç TL'dir? (300 x 6 = 1800).

Tahmini Süre:45s

Soru 78Soru →

Bir teknoloji firmasının ortakları olan Levent ve Mine'nin yaşları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Levent, Mine'nin bugünkü yaşındayken yıl 2013'tü.
* Mine, Levent'in bugünkü yaşına geldiğinde yıl 2039 olacaktır.
* Levent ve Mine'nin bugünkü yaşları toplamı $73$ 'tür.

Buna göre, Levent'in bugünkü yaşı kaçtır?

30

37

40

43

46

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

Levent'in bugünkü yaşı 43'tür.

Levent ile Mine arasındaki yaş farkı sabit kalır. Levent'in Mine'nin yaşındayken (geçmiş) ve Mine'nin Levent'in yaşına geldiğinde (gelecek) geçen toplam süre

2039 - 2013 = 26

yıldır. Bu süre, yaş farkının iki katına eşittir (

2 \times \text{fark} = 26 \Rightarrow \text{fark} = 13

). Yaşları toplamı

73

ve farkları

13

olan iki sayıdan büyüğü (Levent)

(73+13)/2 = 43

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve yaş farkını yıl farkıyla ilişkilendir.

Levent'in yaşı

L

, Mine'nin yaşı

M

olsun (

L > M

). Yaş farkı

L - M

'dir. Levent, Mine'nin yaşındayken (geçmişte), aradan geçen yıl sayısı yaş farkı kadardır.

Yaş problemleri zaman ekseninde yaş farkının sabit kalması ilkesine dayanır.

2

Verilen yıllar arasındaki farkı kullanarak yaş farkını (

L-M

) bul.

2013 yılından 2039 yılına kadar geçen süre:

2039 - 2013 = 26

yıldır. Bu süre, 'geçmişe gidilen süre' (Levent'in Mine'nin yaşında olduğu zaman) ile 'geleceğe gidilen süre'nin (Mine'nin Levent'in yaşına geleceği zaman) toplamıdır. Her iki durumda da değişim miktarı yaş farkı (

L-M

) kadardır. Yani

2 \times (L - M) = 26

olur. Buradan

L - M = 13

bulunur.

Geçmişteki tarih ile gelecekteki tarih arasındaki toplam yıl farkı, iki kişinin yaş farkının iki katına eşittir.

3

Yaşları toplamı denklemi ile yaş farkı denklemini ortak çöz.

Denklem sistemi:
1)

L - M = 13

2)

L + M = 73

Taraf tarafa toplarsak:

2L = 86

L = 43

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek Levent'in yaşını buluruz.

Anahtar Kavram

İki kişi arasındaki yaş farkı sabittir ve yıllar geçse de değişmez. 'Biri diğerinin yaşına geldiğinde' ifadesi, aradan yaş farkı kadar yıl geçtiğini belirtir.

İpuçları

1

İki tarih arasındaki farkı (2039 - 2013) bulun. Bu sürenin yaş farkıyla nasıl bir ilişkisi olabilir?

2

Biri diğerinin yaşına geldiğinde veya diğeri ötekinin yaşındayken geçen süre, daima iki kişinin yaş farkına eşittir. Toplam geçen süre (26 yıl), yaş farkının iki katıdır.

3

Yaş farkı

13

'tür.

L - M = 13

ve

L + M = 73

denklemlerini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, yaş farkı yerine doğum yılları farkı verilerek sorulan versiyonla pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Ortanca değer yöntemi: Levent ve Mine'nin yaşları aritmetik bir dizi oluşturur gibi düşünülebilir. (Mine'nin yaşı)

\rightarrow

(Bugünkü ortalama)

\rightarrow

(Levent'in yaşı). Ancak burada zaman çizelgesi simetriktir. 2013 ve 2039 yıllarının tam ortası

2026

yılıdır. Demek ki şu an

2026

yılındayız. 2013 yılında Levent, Mine'nin bugünkü yaşındaydı (

2026 - 2013 = 13

yıl önce). Demek ki Levent, Mine'den 13 yaş büyüktür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 79Soru →

Bir kamu görevlisi, aylık toplam maaşının $\frac{3}{10}$ 'unu konut kredisi taksiti olarak ödemektedir. Bu görevlinin aylık ödediği kredi taksiti $15.000$ TL olduğuna göre, aylık toplam maaşı kaç TL'dir?

35.000

45.000

50.000

60.000

4.500

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50.000

Cevap

Öğretmenin aylık toplam maaşı 50.000 TL'dir.

Maaşın 10 eşit parçaya bölündüğü ve bu parçalardan 3 tanesinin 15.000 TL olduğu ifade edilmiştir. Bir parçanın değerini bulmak için 15.000 sayısı 3'e bölünür (5.000 TL). Maaşın tamamı 10 parça olduğundan, 5.000 ile 10 çarpılarak 50.000 TL sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Maaşın tamamına

x

diyerek problemi matematiksel bir ifadeye dönüştürün.

x \times \frac{3}{10} = 15.000

Maaşın belirli bir kesri verildiğinde, bu kesir ile maaşın çarpımı verilen tutara eşittir.

2

Eşitliğin her iki tarafını kullanarak

x

değerini yalnız bırakın.

x = \frac{15.000 \times 10}{3}

Bütünü bulmak için verilen miktar paydayla çarpılır ve paya bölünür.

3

Gerekli sadeleştirme ve çarpma işlemlerini yapın.

x = 5.000 \times 10 = 50.000

15.000 sayısı 3'e tam bölünür, sonuç 5.000 olur. Bu sonucu 10 ile çarparak tamamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçası verilen bir bütünün tamamını bulma

İpuçları

1

Maaşın 10 parçaya bölündüğünü ve 3 parçasının kredi ödemesine gittiğini düşünün.

2

Eğer 3 parça 15.000 TL ise, 1 parçanın kaç TL olduğunu bulabilir misiniz?

3

15.000'i 3'e bölerek bir parçayı bulun, ardından maaşın tamamı olan 10 parça ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'kalan maaş' üzerinden giderek bütünü bulma alıştırması yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı yöntemiyle de çözülebilir: 3 parça 15.000 TL ise, 10 parça

x

TL'dir. Buradan

3x = 10 \times 15.000

denklemi kurulur.

Tahmini Süre:45s

Soru 80Soru →

Bir kamu kurumunun dijital arşiv biriminde yürütülen çalışmada, "Gizli", "Hizmete Özel" ve "Genel" nitelikli belgeler taranarak elektronik sisteme yüklenmektedir. Bu belge türlerinin birer adedinin sisteme yüklenme süreleri sırasıyla $40$ saniye, $20$ saniye ve $10$ saniyedir.

Bir personel, hiç ara vermeden toplam $80$ adet belgeyi $25$ dakikada sisteme yüklemiştir. Sisteme yüklenen "Genel" nitelikli belge sayısının, "Gizli" nitelikli belge sayısının $3$ katı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sisteme yüklenen "Hizmete Özel" belge sayısı kaçtır?

10

30

35

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Sisteme yüklenen Hizmete Özel belge sayısı 40'tır.

Doğru cevap, belge sayıları ve süreleri arasındaki ilişkinin matematiksel modellemesiyle bulunur. Toplam belge sayısı ve toplam süre kısıtları kullanılarak kurulan denklem sisteminde; Gizli belge sayısı 10, Genel belge sayısı 30 ve Hizmete Özel belge sayısı 40 olarak tespit edilir. Bu değerler hem toplam belge sayısını (80) hem de toplam süreyi (1500 saniye) sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Belge türleri için değişkenler atanır ve toplam belge sayısı denklemi kurulur.

Gizli:

x

, Hizmete Özel:

y

, Genel:

z

. Toplam belge:

x + y + z = 80

.

Üç bilinmeyenli denklem sisteminin ilk adımını oluşturmak için.

2

Soruda verilen kat ilişkisi değişkene dökülür.

"Genel" belge sayısı "Gizli"nin 3 katı ise:

z = 3x

.

Bilinmeyen sayısını azaltmak için.

3

Toplam belge denkleminde

z

yerine

3x

yazılarak

y

değişkeni

x

cinsinden ifade edilir.

x + y + 3x = 80 \Rightarrow 4x + y = 80 \Rightarrow y = 80 - 4x

.

Tek bir değişkene bağlı kalarak süreyi hesaplamak için.

4

Toplam süre dakika cinsinden saniyeye çevrilir ve süre denklemi kurulur.

Toplam süre:

25 \times 60 = 1500

saniye. Denklem:

40x + 20y + 10z = 1500

.

Birim tutarlılığını sağlamak ve ana denklemi kurmak için.

5

Süre denkleminde

y

ve

z

ifadeleri yerine yazılır ve

x

bulunur.

40x + 20(80 - 4x) + 10(3x) = 1500 \Rightarrow 40x + 1600 - 80x + 30x = 1500 \Rightarrow -10x = -100 \Rightarrow x = 10

.

Gizli belge sayısını bulmak için.

6

Bulunan

x

değeri kullanılarak istenen

y

(Hizmete Özel) değeri hesaplanır.

y = 80 - 4(10) = 80 - 40 = 40

.

Sorunun nihai cevabına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma ve Birim Çevirme)

İpuçları

1

İşlem süreleri saniye cinsinden verildiği için, toplam süreyi (25 dakika) saniyeye çevirmeyi unutmayın.

2

Belge sayılarına sırasıyla x, y, z diyerek;

x + y + z = 80

ve süre denklemini kurun. 'Genel = 3 * Gizli' bilgisini kullanarak bilinmeyen sayısını azaltın.

3

Gizli belge sayısına

k

derseniz, Genel belge sayısı

3k

olur. Hizmete Özel belge sayısı ise

80 - 4k

olacaktır. Bu ifadeleri süre denkleminde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, belge türlerinin her biri için farklı puanların verildiği ve toplam puanın hesaplandığı sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Ortalama süre yaklaşımıyla da çözülebilir. Ancak bu soruda denklem kurma yöntemi daha doğrudan sonuç verir.

Tahmini Süre:2m 30s

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar