Examkin

Problemler

415 soru

Soru 81Soru →

Arda 1818 yaşındadır. Babasının bugünkü yaşı, Arda'nın bugünkü yaşının 44 katına eşittir.

Buna göre, kaç yıl sonra babasının yaşı Arda'nın yaşının 33 katı olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Babasının yaşının Arda'nın yaşının 33 katı olması için 99 yıl geçmelidir.
Arda'nın yaşı 1818 ise babası 7272 yaşındadır. 99 yıl sonra Arda 2727, babası ise 8181 yaşında olur. 8181, 2727'nin tam 33 katı olduğu için doğru sürenin 99 yıl olduğu teyit edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Babanın bugünkü yaşını hesaplayalım.
Baba: 18×4=7218 \times 4 = 72 yaşındadır.
Babanın yaşının Arda'nın yaşının 44 katı olduğu belirtilmiştir.
2
xx yıl sonraki yaşlarını belirleyelim.
Arda: 18+x18 + x, Baba: 72+x72 + x.
Zaman geçtikçe her iki kişinin de yaşı aynı miktarda (xx kadar) artar.
3
Gelecekteki yaş ilişkisini denkleme dökelim.
72+x=3(18+x)72 + x = 3(18 + x)
xx yıl sonra babanın yaşı, Arda'nın yaşının 33 katı olmalıdır.
4
Denklemi çözelim.
72+x=54+3x⇒72−54=3x−x⇒18=2x⇒x=972 + x = 54 + 3x \Rightarrow 72 - 54 = 3x - x \Rightarrow 18 = 2x \Rightarrow x = 9.
Benzer terimleri bir araya getirerek bilinmeyeni yalnız bıraktık.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde temel ilke, geçen sürenin her birey için aynı olması ve yaş farkının asla değişmemesidir.

İpuçları

1
Önce babanın bugünkü yaşını bulmak için Arda'nın yaşını 44 ile çarpın.
2
Geçen süreye xx derseniz, Arda'nın yeni yaşı 18+x18 + x, babanınki 72+x72 + x olur.
3
72+x=3⋅(18+x)72 + x = 3 \cdot (18 + x) denklemini kurup xx değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

İki kişi arasındaki yaş farkının zamanla değişmediği problemleri çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme yapabilirsiniz: 99 yıl sonra yaşların 2727 ve 8181 olduğunu ve 81=27×381 = 27 \times 3 sağlandığını görebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 82Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan bir memur, gün içinde incelemesi gereken 8080 adet dosyanın 38\frac{3}{8}'ini öğleden önce tamamlamıştır.

Buna göre, bu memurun incelemesi gereken kaç dosyası kalmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Memurun incelemesi gereken dosya sayısı 50'dir.
Memur toplam 8080 dosyanın 38\frac{3}{8}'ini incelediğine göre, önce 8080 sayısını 88 eş parçaya bölüp 33 ile çarparız. Bu işlem sonucunda 3030 dosyanın incelendiği bulunur. Kalan dosyaları bulmak için toplam 8080 dosyadan incelenen 3030 dosyayı çıkardığımızda 5050 sonucuna ulaşırız.

Adım Adım Çözüm

1
Öğleden önce incelenen dosya sayısını hesaplayın.
80×38=3080 \times \frac{3}{8} = 30
Bir bütünün belirtilen kesir kadarını bulmak için bütün ile kesir çarpılır (80÷8=1080 \div 8 = 10 ve 10×3=3010 \times 3 = 30).
2
Kalan dosya sayısını bulmak için toplam sayıdan incelenen sayıyı çıkarın.
80−30=5080 - 30 = 50
Soruda memurun henüz incelemediği, yani geriye kalan dosyaların sayısı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bir çokluğun basit bir kesir kadarını bulma ve kalan miktarı hesaplama.

İpuçları

1
Önce 80 dosyanın 8'de 3'ünü bulmayı deneyin.
2
Bir sayının 3/8'ini bulmak için sayıyı 8'e bölüp 3 ile çarpabilirsiniz.
3
İncelenen dosya sayısını bulduktan sonra, bu sayıyı toplam dosya sayısı olan 80'den çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Bir bütünden parça çıkarıldığında kalanı bulmak için kesirlerin farkını alma yöntemini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kalan dosya miktarını doğrudan kesirle hesaplayabilirsiniz. Dosyaların 3/8'i bittiğine göre, tamamı 8/8 olduğu için geriye 5/8'i kalmıştır. 80'in 5/8'i: (80 / 8) * 5 = 50 olarak doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:45s
Soru 83Soru →

Üç basamaklı bir doğal sayının yüzler basamağı ile onlar basamağı arasındaki farkın mutlak değeri, onlar basamağı ile birler basamağı arasındaki farkın mutlak değerine eşitse bu sayıya "Dengeli Fark Sayısı" denir.

Örneğin; 357357 sayısı ∣3−5∣=∣5−7∣=2|3-5|=|5-7|=2 olduğundan bir Dengeli Fark Sayısıdır.

Buna göre, 100100 ile 200200 arasında kaç tane Dengeli Fark Sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

100 ile 200 arasında toplam 14 tane Dengeli Fark Sayısı bulunmaktadır.
Dengeli Fark Sayısı tanımı gereği ∣1−b∣=∣b−c∣|1-b| = |b-c| olmalıdır. b=0b=0 için 101101; b=1b=1 için 111111; b=2b=2 için 121,123121, 123; b=3b=3 için 131,135131, 135; b=4b=4 için 141,147141, 147; b=5b=5 için 151,159151, 159 sayıları bulunur. b≥6b \geq 6 durumunda ise sadece birler basamağının 11 olduğu durumlar (161, 171, 181, 191) sağlanır. Toplamda 14 sayı mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu matematiksel olarak ifade etme
∣1−b∣=∣b−c∣|1-b| = |b-c| denklemi elde edilir.
Sayılar 100 ile 200 arasında olduğu için yüzler basamağı (a) daima 1'dir.
2
Onlar basamağı (b) için 0'dan 9'a kadar olan rakamları deneme
b=0b=0 için ∣1−0∣=1⇒∣0−c∣=1⇒c=1|1-0|=1 \Rightarrow |0-c|=1 \Rightarrow c=1 (101), b=1b=1 için ∣1−1∣=0⇒∣1−c∣=0⇒c=1|1-1|=0 \Rightarrow |1-c|=0 \Rightarrow c=1 (111)
Her bir onlar basamağı değeri için birler basamağına gelebilecek rakamlar tespit edilir.
3
Tüm ihtimalleri listeleme
b=2 için (121, 123), b=3 için (131, 135), b=4 için (141, 147), b=5 için (151, 159), b=6 için (161), b=7 için (171), b=8 için (181), b=9 için (191)
Onlar basamağı 6 ve üzerinde olduğunda birler basamağı için sadece c=1 değeri koşulu sağlar (diğer değer rakam sınırını aşar).
4
Toplam adedi sayma
1+1+2+2+2+2+1+1+1+1=141 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14
Bulunan tüm sayılar toplandığında sonuç 14 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı Sayı Problemleri ve Sistematik Sayma

İpuçları

1
Yüzler basamağının 1 olduğu tüm durumları onlar basamağına göre tek tek inceleyin.
2
Onlar basamağı b ise, birler basamağı c için ya c=1c=1 olur ya da c=2b−1c = 2b - 1 olur.
3
Bulduğunuz c değerlerinin bir rakam (0-9 arası) olması gerektiğini unutmayın; b=6 olduğunda 2b−1=112b-1=11 bir rakam değildir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 200 ile 300 arasındaki dengeli fark sayılarını bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 84Soru →

Bir kuruyemiş toptancısı, kilogramını 120120 TL'den aldığı 3030 kg Antep fıstığı ile kilogramını 8080 TL'den aldığı 2020 kg kuru üzümü karıştırarak özel bir karışım hazırlamıştır. Toptancı, hazırladığı bu karışımın tamamını yarım kilogramlık paketlere doldurmuş ve her bir paketi 6565 TL'den satmıştır. Buna göre, toptancının bu satıştan elde ettiği kâr oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Toptancının bu satıştan elde ettiği kâr oranı %25'tir.
Doğru cevap, toplam maliyetin toplam ağırlığa bölünmesiyle bulunan gerçek birim maliyet (104104 TL) ile birim satış fiyatı (130130 TL) arasındaki farkın maliyete oranlanmasıyla bulunur. Bu oran 26104\frac{26}{104} yani 14\frac{1}{4}'tür, bu da yüzde 2525'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam maliyeti hesapla
30×120+20×80=3600+1600=520030 \times 120 + 20 \times 80 = 3600 + 1600 = 5200 TL
Karışımı oluşturan her bir ürünün toplam maliyete katkısını bulmak için.
2
Karışımın birim maliyetini (1 kg) hesapla
Toplam Ağırlık = 30+20=5030 + 20 = 50 kg. 1 kg Maliyeti = 5200/50=1045200 / 50 = 104 TL
Kâr oranını bulmak için referans alınacak birim maliyet değerine ihtiyaç vardır.
3
Satış fiyatını 1 kg cinsinden ifade et
0,5 kg (yarım paket) 6565 TL ise, 1 kg satış fiyatı 65×2=13065 \times 2 = 130 TL olur.
Maliyet ile kıyaslama yapabilmek için satış fiyatının da aynı birim (1 kg) üzerinden olması gerekir.
4
Kâr miktarını ve kâr yüzdesini hesapla
Kâr = 130−104=26130 - 104 = 26 TL. Kâr Oranı = 26104=14=\frac{26}{104} = \frac{1}{4} = %25
Kâr yüzdesi, elde edilen kârın maliyete oranlanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Kar-Zarar problemlerinde kâr oranı daima maliyet fiyatı üzerinden hesaplanır. Karışım problemlerinde ise önce karışımın ortalama birim maliyeti bulunmalıdır.

İpuçları

1
Önce karışımın toplam maliyetini ve toplam ağırlığını bulunuz.
2
Toplam maliyeti toplam ağırlığa bölerek 1 kg karışımın maliyetini hesaplayınız. Yarım kilonun satış fiyatından 1 kilonun satış fiyatına geçmeyi unutmayınız.
3
1 kg karışımın maliyeti 104104 TL, satış fiyatı ise 130130 TL'dir. Aradaki farkı maliyete oranlayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, fire veren (kuruyunca ağırlığı azalan) ürünlerin maliyet artışı üzerine kurulu bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Orantı Yöntemi: 50 kg ürünün toplam maliyeti 5200 TL'dir. Satıştan elde edilen toplam gelir ise 100 paket (50 kg / 0.5 kg) x 65 TL = 6500 TL'dir. Toplam Kâr = 6500 - 5200 = 1300 TL. Orantı: 5200 TL maliyette 1300 TL kâr varsa, 100 TL'de X vardır. X = (1300 x 100) / 5200 = 25.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 85Soru →

Geleneksel bir tatlı imalathanesinde, baklava yapımı için hazırlanan 5050 kilogramlık şerbetin ağırlıkça şeker oranı %24\%24 olarak ölçülmüştür. Usta, şerbetin kıvamını artırmak için karışımın şeker oranının %40\%40 olmasını hedeflemektedir.

Buna göre, hedeflenen orana ulaşmak için şerbete şeker eklemeden, sadece kaynatma işlemiyle kaç kilogram su buharlaştırılmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Karışımdan 20 kilogram su buharlaştırılmalıdır.
Karışım problemlerinde buharlaştırma işlemi yapıldığında, su miktarı azalırken içindeki çözünen madde (şeker) miktarı sabit kalır. Başlangıçta 50 kg şerbetin %24'ü şekerdir, yani 50⋅0,24=1250 \cdot 0,24 = 12 kg şeker vardır. İstenilen durumda bu 12 kg şekerin karışımın %40'ı olması gerekir. Orantı kurulursa: %40'ı 12 kg olan karışımın tamamı 12/0,40=3012 / 0,40 = 30 kg olur. Başlangıçta 50 kg olan karışımın 30 kg'a düşmesi için 50−30=2050 - 30 = 20 kg suyun buharlaşması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki karışımda bulunan saf şeker miktarını hesapla.
50⋅24100=1250 \cdot \frac{24}{100} = 12 kg şeker.
Buharlaşma işleminde sadece su eksilir, şeker miktarı sabit kalır. Bu nedenle sabit olan madde üzerinden işlem yapılır.
2
Yeni karışımda şeker oranının %40 olması için gereken toplam karışım miktarını bul.
Miktar ⋅%40=12\cdot \%40 = 12 kg ⇒\Rightarrow Miktar ⋅40100=12⇒\cdot \frac{40}{100} = 12 \Rightarrow Miktar =120040=30= \frac{1200}{40} = 30 kg.
Sabit kalan 12 kg şeker, yeni karışımın %40'ını oluşturmalıdır.
3
Başlangıç miktarı ile son miktar arasındaki farkı alarak buharlaşan su miktarını bul.
50−30=2050 - 30 = 20 kg su.
Azalan miktar, buharlaşan suya eşittir.

Anahtar Kavram

Buharlaştırma işlemlerinde çözünen madde miktarı (tuz, şeker vb.) değişmez, sadece çözücü (su) miktarı azalır.

İpuçları

1
Buharlaştırma işleminde su miktarı azalır ancak şerbetin içindeki şeker miktarı değişmez.
2
Başlangıçtaki şeker miktarını hesaplayın (5050 kg'ın %2424'ü). Bu şeker miktarı, son durumdaki karışımın %4040'ına eşit olacaktır.
3
Denklemi kurun: 50⋅24=(50−x)⋅4050 \cdot 24 = (50 - x) \cdot 40. Burada xx, buharlaşan su miktarıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, tuzlu su karışımına saf su eklenerek oranın düşürüldüğü (seyreltme) sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ters orantı mantığıyla da çözülebilir: Şeker oranı %24'ten %40'a çıkmaktadır. Oran 24/40=3/524/40 = 3/5 katına çıkıyorsa (yani artıyorsa), toplam miktar ters orantılı olarak 3/53/5 katına inmelidir. 50⋅(3/5)=3050 \cdot (3/5) = 30 kg son miktar. Fark 50−30=2050 - 30 = 20 kg.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 86Soru →

Bir tarımsal sulama barajındaki suyun önce 310\frac{3}{10}'u tarım arazilerinin sulanması için kanallara verilmiştir. Daha sonra, barajda kalan suyun 17\frac{1}{7}'sinin mevsim normallerinin üzerindeki sıcaklıklar nedeniyle buharlaştığı tespit edilmiştir. Son aşamada ise, geriye kalan suyun 13\frac{1}{3}'ü kentin içme suyu arıtma tesislerine yönlendirilmiştir.

Tüm bu işlemlerden sonra barajda 36 milyon m3m^3 su kaldığına göre, buharlaşma yoluyla kaybolan su miktarı kaç milyon m3m^3'tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Buharlaşan su miktarı 9 milyon metreküptür.
Soruda verilen adımlar sırasıyla takip edildiğinde; önce suyun 310\frac{3}{10}'u gider, geriye 710\frac{7}{10}'u kalır. Bu kalanın 17\frac{1}{7}'si buharlaştığında, buharlaşan miktar tüm suyun 110\frac{1}{10}'una denk gelir. Geriye kalan 610\frac{6}{10} (yani 35\frac{3}{5}) suyun 13\frac{1}{3}'ü içme suyuna ayrılınca 15\frac{1}{5} daha eksilir ve en son kalan su 25\frac{2}{5} olur. 25\frac{2}{5}'i 36 olan sayının tamamı 90'dır. Buharlaşan miktar toplamın 110\frac{1}{10}'u olduğundan cevap 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki su miktarına işlem kolaylığı sağlaması için paydaların (10, 7, 3) katı olan bir değer verilir.
Başlangıç miktarı = 210x210x olsun (veya sadeleştirme ile xx üzerinden gidilebilir, ancak tam sayı için paydalar çarpımı veya uygun kat seçilir). Daha pratik bir yol olarak ters işlem metodu veya kutu yöntemi kullanılabilir. Biz denklem kuralım: Başlangıç = AA.
Kesir problemlerinde bütüne paydaların ortak katını vermek işlemleri kolaylaştırır.
2
Birinci işlem (Tarımsal Sulama) ve kalan hesaplanır.
Kullanılan: 310A\frac{3}{10}A. Kalan: A−310A=710AA - \frac{3}{10}A = \frac{7}{10}A.
Kalan su üzerinden işlem yapılacağı için ilk kalanı bulmak şarttır.
3
İkinci işlem (Buharlaşma) hesaplanır.
Buharlaşan: (Kalanın 17\frac{1}{7}'si) = 710A×17=110A\frac{7}{10}A \times \frac{1}{7} = \frac{1}{10}A. Yeni Kalan: 710A−110A=610A=35A\frac{7}{10}A - \frac{1}{10}A = \frac{6}{10}A = \frac{3}{5}A.
Soruda sorulan 'buharlaşan miktar' burada 110A\frac{1}{10}A olarak bulunmuştur.
4
Üçüncü işlem (İçme Suyu) ve son kalan hesaplanır.
İçme Suyu: (Yeni kalanın 13\frac{1}{3}'ü) = 35A×13=15A\frac{3}{5}A \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}A. En Son Kalan: 35A−15A=25A\frac{3}{5}A - \frac{1}{5}A = \frac{2}{5}A.
Son kalan miktar soruda verilen sayısal değere eşitlenecektir.
5
Son kalan 36 milyon m3m^3'e eşitlenerek başlangıç miktarı (AA) bulunur.
25A=36⇒2A=180⇒A=90\frac{2}{5}A = 36 \Rightarrow 2A = 180 \Rightarrow A = 90 milyon m3m^3.
Bütünü bulduktan sonra istenen parça hesaplanabilir.
6
Soruda istenen 'buharlaşan miktar' hesaplanır.
Buharlaşan = 110A\frac{1}{10}A (3. adımda bulunmuştu). 90×110=990 \times \frac{1}{10} = 9 milyon m3m^3.
Sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde 'kalanın kesri' ifadesi geçtiğinde, her adımda bir önceki adımdan arta kalan miktar yeni bütün olarak kabul edilir.

Alternatif Yöntem

Ters İşlem Yöntemi: En son kalan 36. Ondan önceki adımda suyun 1/3'ü kullanılmış, demek ki 2/3'ü kalmış. 2/3'ü 36 ise tamamı 54'tür. Ondan önceki adımda (buharlaşma) kalanın 1/7'si gitmiş, 6/7'si kalmış. 6/7'si 54 ise tamamı 63'tür. 63'ten 54'e düşerken 9 azalmış, bu da buharlaşan miktardır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 87Soru →

Uzunluğu 140 metre olan bir tren, saatteki hızı 60 km olan sabit bir hızla ilerlemektedir. Bu tren, zıt yönden gelen ve saatteki hızı 84 km olan ikinci bir trenle karşılaştıktan sonra, birbirlerini tamamen geçmeleri 10 saniye sürmüştür.

Buna göre, ikinci trenin uzunluğu kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 260

Cevap

İkinci trenin uzunluğu 260 metredir.
İki tren zıt yönde hareket ettiğinden hızları toplanır (60+84=14460+84=144 km/sa). Birim çevrildiğinde saniyede 40 metre hızla birbirlerine yaklaştıkları bulunur. 10 saniyede toplam 400 metre yol katedilir. Bu mesafe iki trenin boyları toplamıdır. Birinci tren 140 m olduğundan, ikinci tren 400−140=260400-140=260 metredir.

Adım Adım Çözüm

1
Zıt yönlü hareketlerde bağıl hız (karşılaşma hızı) hesaplanır.
Vbag˘ıl=V1+V2=60+84=144V_{bağıl} = V_1 + V_2 = 60 + 84 = 144 km/sa
Zıt yönde giden araçların birbirini geçme hızları toplanır.
2
Hız birimi km/sa cinsinden m/sn cinsine dönüştürülür.
144 km/sa=144×10003600=40144 \text{ km/sa} = \frac{144 \times 1000}{3600} = 40 m/sn
Süre saniye, uzunluk metre cinsinden olduğu için hız birimi uyumlu hale getirilmelidir.
3
Toplam katedilen mesafe hesaplanır.
Yol = Hız ×\times Zaman = 40×10=40040 \times 10 = 400 metre
İki trenin birbirini tamamen geçmesi için toplam boyları kadar yol almaları gerekir.
4
Toplam mesafeden birinci trenin boyu çıkarılarak ikinci trenin boyu bulunur.
Ltoplam=L1+L2⇒400=140+L2⇒L2=260L_{toplam} = L_1 + L_2 \Rightarrow 400 = 140 + L_2 \Rightarrow L_2 = 260 metre
Toplam mesafe iki trenin uzunlukları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Zıt yönlü hareketlerde hızlar toplanır ve 'birbirini geçme' durumunda katedilen toplam mesafe araçların uzunlukları toplamına eşittir. Birimlerin (km/sa -> m/sn) uyumlu olması şarttır.

İpuçları

1
Zıt yönde hareket eden araçların birbirine göre hızı (bağıl hız), hızlarının toplamına eşittir.
2
Soruda hızlar km/sa, süre ise saniye cinsinden verilmiştir. İşlem yapmadan önce birim dönüşümü yapmalısınız (1 km/sa = 1000/3600 m/sn).
3
Trenlerin birbirini tamamen geçmesi için almaları gereken toplam yol, her iki trenin uzunlukları toplamıdır (L1+L2L_1 + L_2).

Daha Fazla Pratik

Aynı yönde giden trenlerin birbirini geçmesi durumunda hızların farkının alındığı bir soru çözerek farkı pekiştirin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 88Soru →

Bir fabrikadaki otomatik kalite kontrol robotu, üretim bandından geçen ürünleri sırasıyla 1'den başlayarak kontrol etmektedir. Robotun çalışma prensipleri ve süreleri aşağıdaki gibidir:

* Her bir ürünün standart kontrol süresi 4 saniyedir.
* 4'ün katı olan sıra numarasındaki ürünlerden sonra robot, 3 saniyelik bir *lens temizliği* yapar.
* 7'nin katı olan sıra numarasındaki ürünlerden sonra robot, 5 saniyelik bir *veri yedeklemesi* yapar.
* Eğer bir ürünün sıra numarası hem 4'ün hem de 7'nin katı ise, yukarıdaki işlemler yapılmaz; bunun yerine robot 10 saniye süren bir *sistem yeniden başlatma* işlemi gerçekleştirir.

Robot hiç durmadan çalıştırıldığında, 3 dakika (180 saniye) sonunda kontrol işlemini tamamladığı toplam ürün sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

180 saniye sonunda toplam 33 ürünün kontrolü tamamlanır.
Robotun çalışma döngüsü 4 ve 7'nin en küçük ortak katı olan 28 üründe bir tekrarlar. İlk 28 ürün için geçen toplam süre 155 saniyedir (112 sn standart + 18 sn temizlik + 15 sn yedekleme + 10 sn yeniden başlatma). Toplam 180 saniyeden geriye 25 saniye kalır. Bu sürede sırasıyla 29, 30, 31, 32 ve 33. ürünler kontrol edilir. 32. üründe 4'ün katı kuralı gereği ek 3 saniye harcanır. 33. ürün tamamlandığında geriye sadece 2 saniye kalır, bu da 34. ürünü tamamlamak için yetmez.

Adım Adım Çözüm

1
Döngüsel periyodu belirle
4 ve 7'nin en küçük ortak katı (OKEK) 28'dir. İşlem periyodu her 28 üründe bir tekrarlar.
Sistemdeki kurallar 4 ve 7 sayılarına bağlı olduğu için hesaplama kolaylığı açısından 28'lik bloklar incelenmelidir.
2
Bir tam periyodun (ilk 28 ürün) süresini hesapla
Standart süre: 28 x 4 = 112 sn. Ek süreler: 4'ün katları (4,8,12,16,20,24) için 6x3=18 sn; 7'nin katları (7,14,21) için 3x5=15 sn; 28. ürün (ortak kat) için 1x10=10 sn. Toplam: 112 + 18 + 15 + 10 = 155 saniye.
28 sayısı hem 4'ün hem 7'nin katı olduğu için özel kural (10 sn) uygulanır, diğer ek süreler bu sayıda uygulanmaz.
3
Kalan süreyi ve işlenebilecek ürün sayısını belirle
Kalan Süre: 180 - 155 = 25 saniye. İşlem 29. üründen devam eder.
155 saniye sonunda 28 ürün bitti. Şimdi kalan 25 saniye ile adım adım ilerlenmelidir.
4
Kalan süredeki ürünleri adım adım simüle et
29. ürün: 4 sn (Kalan: 21). 30. ürün: 4 sn (Kalan: 17). 31. ürün: 4 sn (Kalan: 13). 32. ürün: 4 sn + 3 sn (temizlik) = 7 sn (Kalan: 6). 33. ürün: 4 sn (Kalan: 2). 34. ürün için 4 sn gerekli ancak sadece 2 sn kaldı.
32. ürün 4'ün katı olduğu için ekstra 3 saniye eklenir. 33. ürün tamamlandıktan sonra 34. ürün için yeterli süre kalmaz.

Anahtar Kavram

Periyodik Olaylar ve OKEK Uygulamaları

İpuçları

1
4 ve 7 sayılarının en küçük ortak katını (OKEK) bularak, işlemlerin kaç üründe bir tekrar ettiğini (bir periyodu) belirleyin.
2
İlk 28 ürün için toplam süreyi hesaplarken; 4'ün katlarını, 7'nin katlarını ve her ikisinin katı olan 28'i ayrı ayrı değerlendirin. 28. üründe sadece 10 saniyelik kural geçerlidir.
3
28 ürünün 155 saniyede bittiğini bulduktan sonra, kalan 25 saniye için ürünleri (29, 30...) tek tek yazarak ilerleyin. 32. ürünün 4'ün katı olduğuna dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'Her 3. üründe A işlemi, her 5. üründe B işlemi' yapılan ve 200. saniyede hangi işlemin yapıldığını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplam süreyi (180 sn) doğrudan ürün başına ortalama süreye bölmek yerine, zaman çizelgesi üzerinde simülasyon yaparak (step-by-step) ilerlemek bu tür 'kesikli' problemlerde daha güvenilirdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 89Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin arşivleme sisteminde dosyalar, 'Sektör' olarak adlandırılan bölümlere belirli bir kurala göre yerleştirilmektedir. Dosyalar 1'den başlanarak kesintisiz şekilde ardışık numaralandırılır.

Sistemdeki kurallar şöyledir:

* nn. Sektör'ün dosya kapasitesi (6n−3)(6n - 3) adettir.
* Sektörler 1'den başlayarak sırasıyla doldurulur.
* Bir sektör dolmadan diğerine geçilmez.

Örnek dağılım aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Sektör NoKapasiteDosya Numaraları
1. Sektör31 - 3
2. Sektör94 - 12
3. Sektör1513 - 27

Buna göre, 1850 numaralı dosya hangi sektörde ve o sektörün kaçıncı sırasında yer alır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25. Sektör, 122. Sıra

Cevap

1850 numaralı dosyanın 25. Sektör'ün 122. sırasında olduğu bulunur.
Dosya dağılım kuralı incelendiğinde, nn. sektörün kapasitesinin aritmetik bir dizi oluşturduğu (3,9,15...3, 9, 15...) ve toplam dosya sayısının Sn=3n2S_n = 3n^2 formülüyle bulunduğu görülür. 1850 numaralı dosya için 3n2≈18503n^2 \approx 1850 denklemi çözüldüğünde, n=24n=24 için toplam 17281728, n=25n=25 için toplam 18751875 dosya olduğu belirlenir. Bu durumda dosya 24. sektörden sonraki, yani 25. sektörün içindedir. 25. sektördeki sırası ise 1850−1728=1221850 - 1728 = 122 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Her sektördeki dosya sayısını veren genel terimi kullanarak, kk. sektör sonuna kadar toplam kaç dosya olduğunu hesaplayacak bir formül türet.
nn. sektör kapasitesi an=6n−3a_n = 6n - 3. Toplam dosya sayısı Sk=∑n=1k(6n−3)=6k(k+1)2−3k=3k2+3k−3k=3k2S_k = \sum_{n=1}^{k} (6n - 3) = 6 \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 3k^2 + 3k - 3k = 3k^2.
Toplam formülü, aranan dosyanın hangi aralıkta (hangi sektörde) olduğunu bulmak için gereklidir.
2
1850 sayısına en yakın 3k23k^2 değerini bulmak için yaklaşık bir kk değeri hesapla.
3k2≈1850⇒k2≈616.63k^2 \approx 1850 \Rightarrow k^2 \approx 616.6. 242=57624^2 = 576 ve 252=62525^2 = 625 olduğu için k=24k=24 veya k=25k=25 civarındadır.
Tam kare değerlerinden yola çıkarak doğru sektör numarasını tahmin etmek için.
3
24. Sektör ve 25. Sektör sonunda toplam kaç dosya biriktiğini kesin olarak hesapla.
24. Sektör sonu: S24=3×242=3×576=1728S_{24} = 3 \times 24^2 = 3 \times 576 = 1728.
25. Sektör sonu: S25=3×252=3×625=1875S_{25} = 3 \times 25^2 = 3 \times 625 = 1875.
1850 sayısı 1728'den büyük ve 1875'ten küçük olduğu için dosya 25. Sektör'ün içindedir.
4
Dosyanın 25. Sektör içindeki sırasını bulmak için, önceki sektörlerin toplam dosya sayısını hedeflenen numaradan çıkar.
Sıra = 1850−S24=1850−1728=1221850 - S_{24} = 1850 - 1728 = 122.
Dosya numarası kümülatif olduğu için, o sektördeki yerini bulmak adına önceki birikim çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Aritmetik Dizilerin Toplamı ve Karesel Bağıntılar

İpuçları

1
Öncelikle verilen tablodaki 'Kapasite' değerlerinin nasıl arttığına dikkat edin. 3, 9, 15... şeklinde giden bu sayı dizisinin genel terimini ve toplam formülünü bulmaya çalışın.
2
nn. sektörün kapasitesi 6n−36n - 3'tür. 1'den kk'ya kadar olan sektörlerin toplam kapasitesi ise 3k23k^2 formülü ile hesaplanabilir.
3
3k23k^2 ifadesini 1850'ye en yakın olacak şekilde çözün. k=24k=24 ve k=25k=25 için toplam dosya sayılarını hesaplayıp 1850'nin hangi aralıkta kaldığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'Her katta oda sayısının n2n^2 olduğu bir otelde 2000. oda kaçıncı kattadır?' sorusunu çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Formül kurmakta zorlanırsanız, şıklardan giderek yaklaşık bir tahmin yapabilirsiniz. Örneğin 25. Sektör için ortalama kapasiteyi düşünüp (yaklaşık 150), 25 x 75 (ortalama) gibi kaba bir hesapla yaklaşmaya çalışabilirsiniz ancak bu yöntem tam sayı dizilerinde risklidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 90Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan Melih, Nil ve Ozan'ın yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Melih, Nil'den; Nil ise Ozan'dan büyüktür.
* Melih ile Nil'in yaşları farkı, Nil ile Ozan'ın yaşları farkının 22 katıdır.
* Ozan, Nil'in bugünkü yaşına geldiğinde üçünün yaşları toplamı 123123 olacaktır.
* Nil, Ozan'ın bugünkü yaşındayken Melih 3636 yaşındaydı.

Buna göre, Melih'in bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Melih'in bugünkü yaşı 51'dir.
Doğru yanıt olan 51 değeri, Melih'in bugünkü yaşını temsil eder. Kişiler arasındaki yaş farkları (30 ve 15) sabit kalmakta, Melih ile Nil arasındaki fark, Nil ile Ozan arasındakinin 2 katı olmaktadır. Nil'in yaşından Ozan'ın yaşına dönüldüğünde (15 yıl önce) Melih'in yaşı 36'ya düşmekte, Ozan Nil'in yaşına geldiğinde (15 yıl sonra) üçünün yaşları toplamı 123 (66+36+2166+36+21) olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması
Ozan: OO, Nil: NN, Melih: MM olsun. Yaş farkları; N−O=dN-O = d ise M−N=2dM-N = 2d olur. Buradan N=O+dN = O+d ve M=N+2d=O+3dM = N+2d = O+3d yazılır.
Kişiler arasındaki yaş ilişkisini ve fark sabitini cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Geçmiş zaman denkleminin kurulması
Nil, Ozan'ın bugünkü yaşındayken geçen süre N−O=dN-O=d yıldır. Bu durumda Melih'in yaşı M−d=36M-d = 36 olur. M=O+3dM=O+3d yerine yazılırsa: (O+3d)−d=36⇒O+2d=36(O+3d)-d = 36 \Rightarrow O+2d = 36.
Geçmişe gidildiğinde herkesin yaşı aynı miktarda azalır.
3
Gelecek zaman denkleminin kurulması
Ozan, Nil'in yaşına geldiğinde geçen süre N−O=dN-O=d yıldır. Herkes dd yaş büyüyecektir. Melih: M+dM+d, Nil: N+dN+d, Ozan: NN. Toplam: (O+3d+d)+(O+d+d)+(O+d)=123⇒3O+7d=123(O+3d+d) + (O+d+d) + (O+d) = 123 \Rightarrow 3O+7d = 123.
Geleceğe gidildiğinde herkesin yaşı aynı miktarda artar ve toplam yaş bu artıştan etkilenir.
4
Denklem sisteminin çözülmesi
O+2d=36⇒O=36−2dO+2d = 36 \Rightarrow O = 36-2d. İkinci denklemde yerine koyalım: 3(36−2d)+7d=123⇒108−6d+7d=123⇒d=153(36-2d) + 7d = 123 \Rightarrow 108-6d+7d = 123 \Rightarrow d=15 bulunur. Buradan O=36−2(15)=6O = 36-2(15) = 6 olur.
İki bilinmeyenli iki denklem yok etme veya yerine koyma yöntemiyle çözülür.
5
İstenen değerin hesaplanması
M=O+3d=6+3(15)=6+45=51M = O+3d = 6 + 3(15) = 6 + 45 = 51.
Melih'in bugünkü yaşını bulmak için başlangıçta kurulan ilişki kullanılır.

Anahtar Kavram

Yaş problemleri ve doğrusal denklem sistemleri

Daha Fazla Pratik

Yaş farkının sabitliği prensibi ile ilgili farklı kat oranları içeren sorular çözülmelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 91Soru →

Bir kimya laboratuvarındaki deney kabında, tuz oranı %20 olan belirli miktarda tuzlu su karışımı bulunmaktadır. Bu karışımdan önce 20 gram su buharlaştırıldığında, kaptaki karışımın tuz oranı %25'e yükselmektedir. Daha sonra, elde edilen son karışıma xx gram saf tuz eklendiğinde, yeni karışımın tuz oranı %40 olmaktadır.

Buna göre, son işlemde karışıma eklenen saf tuz miktarı (xx) kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Eklenen saf tuz miktarı 20 gramdır.
Problemi çözmek için işlem sırasını takip etmek gerekir. İlk adımda su buharlaştırma işlemiyle başlangıçtaki toplam karışım miktarını buluruz. Başlangıçta 100 gram karışım olduğunu tespit ederiz (20 gram su gidince 80 gram kalır, tuz miktarı sabittir). İkinci adımda, bu 80 gramlık karışıma xx gram tuz ekleriz. Tuz eklendiğinde hem çözünen madde artar hem de toplam karışım ağırlaşır. Doğru denklem SafMadde+xToplam+x=YeniOran\frac{Saf Madde + x}{Toplam + x} = Yeni Oran şeklinde kurulduğunda, x=20x=20 gram bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki karışım miktarını bulmak için birinci durumu analiz et.
Başlangıç karışımına AA diyelim. İçindeki tuz miktarı: A×20100A \times \frac{20}{100}.
Su buharlaşınca sadece su azalır, tuz miktarı değişmez. Yeni kütle (A−20)(A-20) olur.
Yeni oran: 20A100(A−20)=25100=14\frac{20A}{100(A-20)} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}.
Denklemi çözersek: 80A=100(A−20)⇒80A=100A−2000⇒20A=2000⇒A=10080A = 100(A-20) \Rightarrow 80A = 100A - 2000 \Rightarrow 20A = 2000 \Rightarrow A = 100 gram.
Değişmeyen madde (saf madde) üzerinden denklem kurarak bilinmeyen başlangıç kütlesine ulaşılır.
2
İkinci durum (su buharlaştıktan sonraki hal) için kütle ve tuz miktarını belirle.
Başlangıç 100 gr idi. 20 gr su gitti. Kalan karışım: 100−20=80100 - 20 = 80 gram.
İçindeki tuz miktarı (değişmedi): 100×0,20=20100 \times 0,20 = 20 gram.
İkinci adımdaki ekleme işlemi için baz alınacak mevcut durumu netleştirmek gerekir.
3
Saf tuz ekleme işlemi için denklemi kur ve xx değerini bul.
Mevcut karışım: 80 gr (20 gr tuz içeriyor).
xx gr tuz ekleniyor.
Yeni Tuz Miktarı = 20+x20 + x
Yeni Toplam Kütle = 80+x80 + x
Yeni Oran %40: 20+x80+x=40100=25\frac{20+x}{80+x} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}
İçler dışlar çarpımı: 5(20+x)=2(80+x)⇒100+5x=160+2x⇒3x=60⇒x=205(20+x) = 2(80+x) \Rightarrow 100 + 5x = 160 + 2x \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20.
Saf madde eklendiğinde hem paya (saf madde miktarı) hem de paydaya (toplam karışım) ekleme yapılır.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde su buharlaştırılması durumunda saf madde miktarı sabit kalırken, madde eklenmesi durumunda hem saf madde hem de toplam ağırlık artar.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 92Soru →

Bir kamu kurumu yemekhanesinde, öğle yemeği için hazırlanan 60 kg'lık üzüm hoşafının şeker oranı ağırlıkça %20\%20 olarak ölçülmüştür. Kurum diyetisyeni, lezzet standardını yakalamak için bu hoşafın şeker oranının %25\%25'e çıkarılması gerektiğine karar vermiştir. Mutfakta saf şeker bulunmadığı için, aşçı bu işlemi şeker oranı %40\%40 olan başka bir hazır hoşaf karışımını ekleyerek gerçekleştirecektir.

Buna göre, hedeflenen şeker oranına ulaşmak için mevcut hoşafa, şeker oranı %40\%40 olan karışımdan kaç kg eklenmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İstenilen orana ulaşmak için 20 kg ekleme yapılmalıdır.
Soruda iki farklı şeker oranına sahip karışımın birleştirilmesi istenmektedir. Birinci kapta 60 kg %20\%20'lik karışım vardır (12 kg şeker). İkinci kaptan xx kg %40\%40'lık karışım eklenecektir (0,40x0,40x kg şeker). Oluşan son karışımın toplam ağırlığı (60+x)(60+x) kg, toplam şeker miktarı ise (12+0,40x)(12 + 0,40x) kg olur. Bu oranın %25\%25 olması istendiğinden; saf madde miktarları üzerinden kurulan 12+0,40x=(60+x)⋅0,2512 + 0,40x = (60+x) \cdot 0,25 denklemi çözüldüğünde eklenmesi gereken miktar 20 kg bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Mevcut karışımdaki saf şeker miktarını hesapla.
60×20100=1260 \times \frac{20}{100} = 12 kg şeker.
Başlangıçtaki saf madde miktarını bilmek, yeni karışım denklemini kurmak için gereklidir.
2
Eklenecek karışım miktarına xx diyerek, oluşan yeni karışımdaki toplam madde ve şeker miktarını ifade et.
Eklenen şeker: x×40100=0,40xx \times \frac{40}{100} = 0,40x. Toplam Karışım: 60+x60 + x. Toplam Şeker: 12+0,40x12 + 0,40x.
Karışım problemlerinde korunan nicelik saf madde miktarıdır.
3
Hedeflenen yüzdeye (%25) göre eşitliği kur ve xx'i çöz.
12+0,40x60+x=25100⇒12+0,40x=0,25(60+x)\frac{12 + 0,40x}{60 + x} = \frac{25}{100} \Rightarrow 12 + 0,40x = 0,25(60 + x)
Yeni karışımın yüzdesi, (Toplam Saf Madde / Toplam Karışım) oranına eşittir.
4
Denklemi çöz.
12+0,40x=15+0,25x⇒0,15x=3⇒x=30,15=2012 + 0,40x = 15 + 0,25x \Rightarrow 0,15x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{0,15} = 20.
Matematiksel işlem sonucu.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde, karıştırılan maddelerin saf madde miktarları toplamı, elde edilen yeni karışımın saf madde miktarına eşittir.

İpuçları

1
Her iki karışımdaki saf şeker miktarlarını ayrı ayrı ifade etmeye çalışın.
2
Birinci karışımdan gelen şeker (60'ın %20'si) ile eklenen karışımdan gelecek şekerin toplamı, son karışımın toplam ağırlığının %25'ine eşit olmalıdır.
3
Denklemi kurun: 12+x⋅40100=(60+x)⋅2510012 + x \cdot \frac{40}{100} = (60 + x) \cdot \frac{25}{100}.

Daha Fazla Pratik

Şeker oranı yerine tuz oranı verilen ve buharlaştırma yapılan bir soru çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tahterevalli (Denge) Yöntemi: Yüzdeler arasındaki farklara bakılır. Başlangıç %20, Eklenen %40, Hedef %25. Başlangıç ile Hedef arası fark 5 birim (%25-%20). Eklenen ile Hedef arası fark 15 birim (%40-%25). Farklar oranı 5/15 = 1/3'tür. Miktarlar bu farklarla ters orantılı olmalıdır. Yani (Eklenen Miktar) / (Başlangıç Miktarı) = 5 / 15 = 1/3. Başlangıç 60 kg ise, eklenen onun 1/3'ü yani 20 kg olmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 93Soru →

Bir kuruyemiş deposunda bulunan toplam 720 kg ürünün çeşitlerine göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde, bu ürünlerin fırınlanma işlemi sırasındaki kütle kaybı yüzdeleri ise sütun grafiğinde verilmiştir.

[GÖRSEL BURADA]

Buna göre, fırınlanma işlemi sonunda depodaki ürünlerin toplam kütlesi kaç kilograma düşer?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 620

Cevap

Fırınlanma işlemi sonunda toplam kütle 620 kg olur.
Toplam 720 kg ürün, daire grafiğindeki açılara göre paylaştırıldığında; Badem 240 kg, Fındık 320 kg ve Fıstık 160 kg olur. Sütun grafiğindeki kayıp oranları (Badem %25, Fındık %10, Fıstık %5) uygulandığında kalan miktarlar sırasıyla 180 kg, 288 kg ve 152 kg bulunur. Bunların toplamı 620 kg'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Daire grafiğindeki açılara göre her bir ürünün başlangıç kütlesini hesapla.
Toplam 720 kg. Badem (120°): (120/360)*720 = 240 kg. Fındık (160°): (160/360)*720 = 320 kg. Fıstık (80°): (80/360)*720 = 160 kg.
Toplam kütle, daire grafiğindeki 360 derecelik tam açıya orantılanarak paylaştırılır.
2
Sütun grafiğindeki fire (kayıp) oranlarını kullanarak her ürünün kalan miktarını hesapla.
Badem (%25 kayıp): 240 * %75 = 180 kg. Fındık (%10 kayıp): 320 * %90 = 288 kg. Fıstık (%5 kayıp): 160 * %95 = 152 kg.
Kütle kaybı yüzdesi düşüldükten sonra geriye kalan miktar (100 - kayıp oranı) üzerinden bulunur.
3
Kalan miktarları toplayarak sonuca ulaş.
180 + 288 + 152 = 620 kg.
Toplam son kütle, her bir ürünün işlem sonrası kütlelerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Daire grafiğinde orantı kurma ve yüzde problemleri ile veri analizi.

İpuçları

1
Önce 360 derecelik daire grafiğinin tamamının 720 kg'a karşılık geldiğini düşünerek her bir dilimin kaç kg olduğunu bulun.
2
Her ürünün başlangıç miktarını bulduktan sonra, sütun grafiğindeki 'kayıp' yüzdesini değil, 'kalan' yüzdesini (%100 - kayıp) kullanarak işlem yapın.
3
Badem: 240 kg'ın %75'i, Fındık: 320 kg'ın %90'ı, Fıstık: 160 kg'ın %95'i kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, kalan ürün miktarları verilip başlangıçtaki toplam kütlenin sorulduğu tersten işlem problemleri çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Önce her ürünün ne kadar kayıp (fire) vereceğini kg cinsinden hesaplayıp (Badem 60kg, Fındık 32kg, Fıstık 8kg), bu toplam kaybı (100 kg) başlangıçtaki toplam kütleden (720 kg) çıkarabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 94Soru →

Bir kamu kurumu araç bakım istasyonunda, içerisinde %20\%20 oranında antifriz bulunan 3030 litrelik bir radyatör sıvısı mevcuttur. Kış şartlarına hazırlık amacıyla bu karışımdaki antifriz oranının %40\%40 seviyesine çıkarılması hedeflenmektedir. Buna göre, mevcut karışıma kaç litre saf antifriz eklenmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Karışıma 10 litre saf antifriz eklenmelidir.
Soruda karışıma saf antifriz eklendiği belirtilmiştir. Bu tür sorularda en güvenilir yöntem 'saf madde / toplam karışım' oranını kullanmaktır. Başlangıçta 30 litrenin %20'si yani 6 litresi antifrizdir. xx litre saf antifriz eklendiğinde, yeni saf madde miktarı (6+x)(6+x), yeni toplam karışım miktarı ise (30+x)(30+x) olur. Bu oranın %40 (yani 2/52/5) olması istendiğinden, kurulan 6+x30+x=25\frac{6+x}{30+x} = \frac{2}{5} denklemi çözüldüğünde x=10x=10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç karışımındaki saf antifriz miktarını hesapla.
30 litre×%20=30×20100=6 litre antifriz30 \text{ litre} \times \%20 = 30 \times \frac{20}{100} = 6 \text{ litre antifriz}.
Mevcut durumdaki saf madde miktarını bilmeden üzerine ekleme yapılamaz.
2
Eklenecek saf antifriz miktarına xx diyerek yeni karışım denklemini kur.
Eklenen xx litre, hem saf antifriz miktarını (6+x6+x) hem de toplam karışımı (30+x30+x) artırır. Denklem: 6+x30+x=%40=40100\frac{6+x}{30+x} = \%40 = \frac{40}{100}.
Saf madde eklendiğinde pay (saf madde) ve payda (toplam karışım) aynı miktarda artar.
3
Kurulan denklemi çöz.
6+x30+x=25⇒5(6+x)=2(30+x)⇒30+5x=60+2x⇒3x=30⇒x=10\frac{6+x}{30+x} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5(6+x) = 2(30+x) \Rightarrow 30 + 5x = 60 + 2x \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10.
İçler dışlar çarpımı ile bilinmeyen değer bulunur.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde saf madde eklendiğinde, bu miktar hem saf madde toplamına (pay) hem de toplam karışım ağırlığına (payda) eklenir.

İpuçları

1
Saf madde eklendiğinde, bu miktar hem antifriz miktarını hem de toplam sıvı miktarını artırır.
2
Başlangıçtaki antifriz miktarını bulun (30×%2030 \times \%20). Sonra ekleyeceğiniz xx litre saf antifrizi hem bu miktara hem de toplam 30 litreye ekleyerek yeni oranı %40\%40'a eşitleyin.
3
Denklem şöyledir: 6+x30+x=40100\frac{6 + x}{30 + x} = \frac{40}{100}. Buradan xx'i çekin.

Alternatif Yöntem

Terazi Yöntemi (Kaldıraç Kuralı): Karışım oranı %20, eklenen saf madde %100, hedef %40. Farklara bakalım: |100 - 40| = 60 birim, |40 - 20| = 20 birim. Oran 60/20 = 3/1'dir. Yani 3 birim karışıma 1 birim saf madde eklenmelidir. 30 litre karışım varsa, bunun 1/3'ü kadar (10 litre) saf madde eklenir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 95Soru →

Bir züccaciyeci, 600600 TL'ye satın aldığı bir yemek takımını %10\%10 kârla satmaktadır. Buna göre, bu yemek takımının satış fiyatı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 660660

Cevap

660660 TL
Satış fiyatı, ürünün alış (maliyet) fiyatına elde edilmek istenen kâr miktarının eklenmesiyle bulunur. Burada 600600 TL'nin %10\%10'u olan 6060 TL, maliyet fiyatı olan 600600 TL'ye eklendiğinde 660660 TL sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr miktarını hesapla
600×10100=60600 \times \frac{10}{100} = 60 TL
Kâr, maliyet fiyatı üzerinden belirlenen yüzde oranında hesaplanır.
2
Satış fiyatını bulmak için kârı maliyete ekle
600+60=660600 + 60 = 660 TL
Kârlı satışlarda satış fiyatı; maliyet ile kârın toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kâr ve Satış Fiyatı İlişkisi

İpuçları

1
Satış fiyatını bulmak için maliyetin üzerine kârı eklemelisin.
2
Önce 600600 TL'nin %10\%10'unu bulup kâr miktarını hesapla.
3
600600 TL'nin %10\%10'u 6060 TL'dir. Bu miktarı ana paraya ekle.

Daha Fazla Pratik

Eğer ürün %10\%10 zararla satılsaydı fiyat ne olurdu?

Alternatif Yöntem

Satış fiyatını doğrudan %110\%110 üzerinden hesaplayabilirsiniz: 600×1,10=660600 \times 1,10 = 660 TL.
Tahmini Süre:45s
Soru 96Soru →

Bir kamu kurumu, 'Tasarruf Tedbirleri Genelgesi' kapsamında envanterinde bulunan ihtiyaç fazlası binek ve ticari araçları ihale yoluyla satışa çıkarmıştır. İhale sonucunda her bir binek araç 400.000 TL, her bir ticari araç ise 250.000 TL sabit bedelle satılmıştır. Satıştan elde edilen toplam gelirin 8.350.000 TL olduğu ve satılan toplam araç sayısının 25'ten fazla, ticari araç sayısının ise 20'den az olduğu tutanaklara geçmiştir.

Buna göre, ihalede satılan binek araç sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İhalede satılan binek araç sayısı 9'dur.
Kurulan 8x + 5y = 167 denkleminin tam sayı çözümleri analiz edildiğinde, soruda verilen 'toplam araç sayısının 25'ten fazla olması' ve 'ticari araç (y) sayısının 20'den az olması' şartlarını aynı anda sağlayan tek çözüm x=9 (binek) ve y=19 (ticari) çiftidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri matematiksel denkleme dök
400.000x + 250.000y = 8.350.000 (x: Binek, y: Ticari)
Toplam gelir denklemini oluşturmak için.
2
Denklemi sadeleştir
Her tarafı 50.000'e böl: 8x + 5y = 167
Daha kolay işlem yapabilmek için katsayıları küçültmek.
3
y'yi x cinsinden ifade et ve tam sayı çözümlerini ara
5y = 167 - 8x. (167 - 8x) ifadesi 5'in katı olmalıdır. x = 4, 9, 14, 19... değerleri bu şartı sağlar.
Araç sayıları tam sayı (doğal sayı) olmak zorundadır (Diophantine denklem çözümü).
4
Olası çözüm kümelerini oluştur
x=4 için y=27; x=9 için y=19; x=14 için y=11; x=19 için y=3.
Hangi çiftlerin matematiksel olarak mümkün olduğunu görmek.
5
Kısıtlamaları (Toplam > 25 ve y < 20) uygula
x=4, y=27 (Toplam 31, fakat y>20 olduğu için ELENDİ). x=14, y=11 (Toplam 25, >25 şartını sağlamaz, ELENDİ). x=9, y=19 (Toplam 28, y<20 şartını SAĞLAR).
Sorudaki özel şartları sağlayan tek doğru çifti bulmak.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerde kısıtlar altında tam sayı çözümlerinin bulunması (Diophant Denklemleri).

İpuçları

1
Verilen fiyatları ve toplam geliri kullanarak iki bilinmeyenli bir denklem kurun (Örn: 400x + 250y = ...).
2
Denklemi sadeleştirerek 8x + 5y = 167 haline getirin ve x'e değer vererek y'nin tam sayı olduğu durumları inceleyin.
3
x'in alabileceği değerler 4, 9, 14... şeklinde ilerler. Bulduğunuz (x,y) çiftlerinden hangisinin 'Toplam > 25' ve 'y < 20' şartlarını sağladığını kontrol edin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 97Soru →

Bir fabrikadaki üç farklı otomasyon sistemi, belirli periyotlarla çalışmakta ve soğuma (dinlenme) molası vermektedir. Sistemlerin çalışma prensipleri şöyledir:

* A Sistemi: 3 dakika çalışıp 2 dakika mola vermektedir.
* B Sistemi: 4 dakika çalışıp 3 dakika mola vermektedir.
* C Sistemi: 5 dakika çalışıp 4 dakika mola vermektedir.

Her üç sistem de saat 09.00’da aynı anda çalışmaya başlamıştır. Buna göre, bu üç sistem ilk kez saat kaçta aynı anda mola durumunda olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 09.33

Cevap

Sistemler ilk kez saat 09.33'te aynı anda mola verir.
Üç sistemin periyotları sırasıyla 5, 7 ve 9 dakikadır. Mola anları incelendiğinde; 34. dakikanın (yani 09.33 ile 09.34 arasının) üç sistem için de ortak mola zamanı olduğu görülür. A sistemi 33. dakikada çalışmakta ancak 34. dakikada molaya girmektedir. B ve C sistemleri ise zaten 33. dakikada moladadır ve 34. dakikada da molaya devam etmektedirler. Dolayısıyla üçünün birden mola durumunda buluştuğu ilk an saat 09.33'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Her sistemin periyodunu (döngü süresini) ve mola aralıklarını belirle.
A (5 dk döngü: 3 çalış, 2 mola), B (7 dk döngü: 4 çalış, 3 mola), C (9 dk döngü: 5 çalış, 4 mola).
Periyodik problemlerde döngü süresi = çalışma süresi + mola süresidir.
2
Dakika bazında mola zamanlarını modüler aritmetik ile ifade et.
t zamanı için; A: t ≡ 4,0 (mod 5), B: t ≡ 5,6,0 (mod 7), C: t ≡ 6,7,8,0 (mod 9). (Burada 1. dakika t=1 olarak alınmıştır).
Her dakikanın döngü içindeki konumunu bulmak için mod işlemi kullanılır.
3
Ortak mola anını bulmak için C sisteminin mola dakikalarını (en uzun periyot) diğerleriyle karşılaştır.
C'nin mola dakikaları: 6, 7, 8, 9, 15, 16, 17, 18, 24, 25, 26, 27, 33, 34, 35, 36...
En uzun periyoda sahip sistem üzerinden gitmek deneme sayısını azaltır.
4
Aday dakikaların (C'nin molaları) A ve B sistemlerinde de mola olup olmadığını kontrol et.
33. dakika: A için 33≡3 (mod 5) → Çalışıyor. (OLMAZ). 34. dakika: A için 34≡4 (mod 5) → Mola. B için 34≡6 (mod 7) → Mola. C için 34≡7 (mod 9) → Mola. (HEPSİ MOLA).
İlk ortak anı bulmak için kesişim kümesine bakılır.
5
Bulunan dakika sırasını saate dönüştür.
34. dakika, saat 09.00'dan itibaren 33 dakika geçtikten sonra başlar. Yani saat 09.33'tür.
1. dakika 09.00-09.01 arasıdır. 34. dakika 09.33-09.34 arasıdır. Mola durumu 09.33'te başlar.

Anahtar Kavram

Periyodik Problemler ve Modüler Aritmetik Kesişimi

İpuçları

1
Her bir sistemin toplam döngü süresini (çalışma + mola) hesaplayarak işe başlayın.
2
Dakikaları 1, 2, 3... şeklinde sayarken her sistemin hangi dakikalarda mola verdiğini modüler aritmetik (kalan bulma) ile yazın. Örneğin A sistemi her 5 dakikalık döngünün son 2 dakikasında (4. ve 5.) moladadır.
3
En uzun döngüye sahip C sisteminin mola dakikalarını (6, 7, 8, 9, 15...) listeyip, bu dakikaların A ve B için de mola olup olmadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'ilk kez ne zaman hepsi birden yeniden çalışmaya başlar?' (EKOK sorusu) şeklinde çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Zaman çizelgesi (timeline) çizerek her sistemin durumunu dakika dakika işaretlemek, görsel olarak çakışmayı bulmayı kolaylaştırır.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 98Soru →

Bir kimya tesisinde, hacimce %20 asit oranına sahip 50 litrelik homojen bir asit-su karışımı bulunmaktadır. Bu karışımın 10 litresi dökülüyor ve yerine dökülen miktar kadar saf asit ekleniyor.

Buna göre, son durumda elde edilen karışımın asit oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Karışımın son asit oranı %36'dır.
Karışımdan bir miktar döküldüğünde kalan kısmın asit oranı değişmez. 40 litre kalan karışımın %20'si asittir (8 litre). Üzerine 10 litre saf asit eklendiğinde toplam asit 18 litreye, toplam karışım tekrar 50 litreye çıkar. 50 litrede 18 litre asit, %36'lık bir orana denk gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Dökülme işleminden sonra kalan karışım miktarını ve içindeki asit miktarını hesapla.
50 litreden 10 litre dökülünce 40 litre karışım kalır. Kalan karışımın asit oranı değişmez (%20). Asit miktarı = 40 x %20 = 8 litre.
Homojen karışımlarda miktar azalsa da oran değişmez.
2
Eklenen saf asit miktarını toplam asit miktarına ekle.
10 litre saf asit (%100) ekleniyor. Toplam asit = 8 (kalan) + 10 (eklenen) = 18 litre.
Saf asit eklendiğinde çözünen madde miktarı artar.
3
Son durumdaki toplam karışım miktarına göre yeni yüzdeyi hesapla.
Toplam karışım = 40 + 10 = 50 litre. Yeni oran = (18 / 50) = 36/100 -> %36.
Yüzde oranı, (Toplam Çözünen / Toplam Karışım) x 100 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde bir miktar karışım döküldüğünde kalan kısmın yüzdesi değişmez; ancak üzerine saf madde eklendiğinde çözünen madde oranı artar.

İpuçları

1
Önce dökülen karışımdan sonra kapta kaç litre madde kaldığını ve bu kalan maddenin içindeki asit miktarını hesaplayınız.
2
Kalan 40 litre karışımın asit oranı değişmemiştir (%20). Bu miktarın üzerine 10 litre saf asit (%100 asit) eklenmektedir.
3
Formül: (Kalan Hacim x Kalan Yüzde) + (Eklenen Hacim x Eklenen Yüzde) = Son Hacim x Son Yüzde. Yani: 40 x 20 + 10 x 100 = 50 x ?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, saf asit yerine saf su eklenseydi sonucun nasıl değişeceğini inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Saf madde eklendiği için karışım formülü yerine doğrudan madde miktarları üzerinden gidilebilir: Kalan asit (8L) + Eklenen asit (10L) = 18L. Toplam hacim 50L. Oran = 18/50 = %36.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 99Soru →

Bir bakanlığın proje dairesinde görevli uzmanlara dağıtılacak projelerle ilgili bir planlama yapılmaktadır. Bu planlamaya göre, her bir uzmana düşen proje sayısı, toplam uzman sayısının 3 katından 2 fazladır. Ancak, görevlendirme sürecinde 2 uzman yıllık izne ayrıldığı için projeler kalan uzmanlara eşit şekilde dağıtılmış ve kişi başına düşen proje sayısı ilk duruma göre 10 artmıştır.

Buna göre, dağıtımı yapılan toplam proje sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Toplam proje sayısı 120'dir.
Toplam proje sayısı her iki durumda da sabittir. İlk durumda uzman sayısı xx alındığında, kişi başı proje 3x+23x+2 olur. İkinci durumda uzman sayısı x−2x-2 olduğunda, kişi başı proje 3x+123x+12 olur. Bu iki durumun çarpımı eşitlenerek (x(3x+2)=(x−2)(3x+12)x(3x+2) = (x-2)(3x+12)) uzman sayısı x=6x=6 bulunur. Yerine konulduğunda toplam proje sayısı 120120 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve matematiksel ifadeye dök.
Uzman sayısı = x olsun. İlk durumda kişi başına düşen proje = 3x + 2. Toplam proje = x(3x + 2).
Soruda verilen 'uzman sayısının 3 katından 2 fazla' ilişkisini kurmak için.
2
İkinci durumu analiz et ve denklemi kur.
2 uzman ayrılınca kalan uzman = x - 2. Yeni düşen proje sayısı = (3x + 2) + 10 = 3x + 12. Toplam proje = (x - 2)(3x + 12).
Toplam proje sayısı değişmediği için iki durumu birbirine eşitlemek gerekir.
3
Eşitliği çözerek x değerini bul.
x(3x + 2) = (x - 2)(3x + 12) -> 3x² + 2x = 3x² + 12x - 6x - 24 -> 3x² + 2x = 3x² + 6x - 24 -> 4x = 24 -> x = 6.
Bilinmeyen uzman sayısını bulmak için.
4
Bulunan x değerini yerine koyarak toplam proje sayısını hesapla.
Toplam proje = 6 * (3*6 + 2) = 6 * 20 = 120.
Sorunun istediği nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde değişmeyen büyüklük (toplam proje sayısı) üzerinden iki farklı durumun eşitlenmesi.

İpuçları

1
Uzman sayısına 'x' diyerek başlayın. Kişi başına düşen proje sayısını x cinsinden ifade edin.
2
Toplam proje sayısı değişmediğine göre; (İlk Durumdaki Uzman Sayısı × Kişi Başı Proje) = (İkinci Durumdaki Uzman Sayısı × Yeni Kişi Başı Proje) eşitliğini kurun.
3
Denkleminiz şu şekilde olmalıdır: x · (3x + 2) = (x - 2) · (3x + 12).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 100Soru →

Bir kumaş tüccarı, metresini 4040 TL'den aldığı bir top kumaşın satış sürecini şu şekilde planlamıştır:

Kumaş DurumuToplam Kumaşa OranıSatış Koşulu
Defolu Kumaş%20\%20Maliyet üzerinden %10\%10 zarar
Sağlam Kumaş%80\%80?

Tüccar, tüm kumaşın satışından toplamda %26\%26 kâr elde etmeyi hedeflediğine göre, sağlam kumaşın metresini maliyet fiyatı üzerinden yüzde kaç kârla satmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3535

Cevap

Sağlam kumaşın maliyet fiyatı üzerinden %35\%35 kârla satılması gerekmektedir.
Toplam maliyet 40004000 TL iken %26\%26 kâr için 50405040 TL gelir gereklidir. Defolu kısmın getirdiği 720720 TL çıkarıldığında kalan 8080 metreden 43204320 TL elde edilmelidir; bu da metre başına 5454 TL satış fiyatı ve dolayısıyla %35\%35 kâr demektir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam kumaş miktarını 100100 metre varsayarak toplam maliyeti ve hedeflenen geliri belirle.
Maliyet: 100×40=4000100 \times 40 = 4000 TL. Hedeflenen toplam gelir: 4000×1,26=50404000 \times 1,26 = 5040 TL.
Yüzde problemlerinde 100100 birim üzerinden işlem yapmak hesaplamayı kolaylaştırır.
2
Defolu kumaşın satışından elde edilecek geliri hesapla.
Defolu miktar: 2020 metre. Satış fiyatı: 40×0,90=3640 \times 0,90 = 36 TL/m. Gelir: 20×36=72020 \times 36 = 720 TL.
%10\%10 zarar, maliyetin %90\%90'ına satış yapıldığı anlamına gelir.
3
Sağlam kumaştan elde edilmesi gereken geliri ve birim fiyatı belirle.
Kalan gelir ihtiyacı: 5040−720=43205040 - 720 = 4320 TL. Sağlam miktar: 8080 metre. Birim fiyat: 4320/80=544320 / 80 = 54 TL.
Toplam hedefe ulaşmak için defolu kısımdan eksik kalan tutar sağlam kısımdan karşılanmalıdır.
4
Sağlam kumaşın maliyet üzerinden kâr oranını hesapla.
54−40=1454 - 40 = 14 TL kâr. Kâr oranı: (14/40)×100=%35(14 / 40) \times 100 = \%35.
Kâr oranı, kâr miktarının maliyet fiyatına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Kar-zarar problemlerinde toplam maliyet ve toplam satış geliri arasındaki dengeyi kurarak bilinmeyen değişkeni bulma.

İpuçları

1
Toplam kumaş miktarını 100100 metre kabul ederek toplam maliyeti ve hedeflenen kârlı satış fiyatını bulun.
2
Defolu kumaştan gelen geliri hesaplayıp toplam hedef gelirden çıkarın; kalan tutar sağlam kumaşların satışından gelmelidir.
3
0,20×(−10)+0,80×x=260,20 \times (-10) + 0,80 \times x = 26 denklemini kurarak sağlam kısımdaki xx kâr oranını doğrudan bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, ürünlerin bir kısmının kırıldığı veya çöpe atıldığı (fire verildiği) durumlar için maliyet artışı hesaplaması yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ortalama kâr denklemi yöntemi: Satışın yapıldığı paylar ile kâr/zarar oranları çarpılıp toplandığında toplam kâr oranına eşit olur. 0,2×(−10)+0,8×x=26⇒−2+0,8x=26⇒0,8x=28⇒x=350,2 \times (-10) + 0,8 \times x = 26 \Rightarrow -2 + 0,8x = 26 \Rightarrow 0,8x = 28 \Rightarrow x = 35.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 5 / 21Sonraki
Problemler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 5 | Examkin