Examkin

Sayısal Mantık

272 soru

Soru 101Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi,
x△y=2x−y+4x \triangle y = 2x - y + 4
biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre, 3△53 \triangle 5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İşlemin sonucu 5'tir.
Verilen işlem tanımında xx yerine 3 ve yy yerine 5 değerleri yazıldığında, 2⋅3−5+42 \cdot 3 - 5 + 4 ifadesi elde edilir. Bu ifadenin sonucu 6−5+4=56 - 5 + 4 = 5 olarak hesaplanır. Dolayısıyla 5 sonucunu veren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen işlemde değişkenlerin hangi sayılara karşılık geldiğini belirleyin.
x=3x = 3 ve y=5y = 5
3△53 \triangle 5 ifadesinde sembolün solundaki sayı xx değerini, sağındaki sayı ise yy değerini temsil eder.
2
Belirlenen değerleri işlem formülünde yerine koyun.
2⋅(3)−(5)+42 \cdot (3) - (5) + 4
Tanımlanan kuralda her değişkenin yerine kendisine karşılık gelen sayısal değer yazılmalıdır.
3
Aritmetik işlemleri işlem önceliğine göre tamamlayın.
6−5+4=1+4=56 - 5 + 4 = 1 + 4 = 5
Önce çarpma işlemi (2⋅3=62 \cdot 3 = 6) yapılır, ardından çıkarma ve toplama işlemleri sırasıyla uygulanır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler

İpuçları

1
İşlem sembolünün solundaki ve sağındaki sayıları formüldeki harflerle eşleştirin.
2
xx harfi yerine 3, yy harfi yerine 5 yazarak bir matematiksel ifade oluşturun.
3
2⋅3−5+42 \cdot 3 - 5 + 4 işlemini yaparken önce çarpmayı bitirip sonra soldan sağa ilerleyin.

Daha Fazla Pratik

İşlem tanımında parantez veya kare gibi ifadeler olduğunda işlem önceliğine daha fazla dikkat etmeniz gerekecektir.
Tahmini Süre:45s
Soru 102Soru →

Bir üniversitedeki beş farklı fakültede eğitim gören toplam öğrenci sayısının fakültelere göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir. Mühendislik fakültesindeki öğrenci sayısı, Tıp fakültesindeki öğrenci sayısından 120120 kişi daha fazladır. Buna göre, Eğitim fakültesinde eğitim gören öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 210

Cevap

Eğitim fakültesinde eğitim gören öğrenci sayısı 210'dur.
Mühendislik (100∘100^\circ) ve Tıp (60∘60^\circ) fakülteleri arasındaki fark 40∘40^\circ dir. Soruda bu farkın 120120 öğrenciye eşit olduğu verilmiştir. Buradan 120/40=3120 / 40 = 3 işlemiyle 1∘1^\circ lik açının 33 öğrenciye karşılık geldiği bulunur. Eğitim fakültesi 70∘70^\circ ile gösterildiğine göre öğrenci sayısı 70×3=21070 \times 3 = 210 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki fakülte arasındaki merkez açı farkını hesaplayın.
100∘−60∘=40∘100^\circ - 60^\circ = 40^\circ
Mühendislik ve Tıp fakülteleri arasındaki öğrenci sayısı farkı, bu iki fakültenin merkez açıları arasındaki farkla orantılıdır.
2
40∘40^\circ lik merkez açının temsil ettiği öğrenci sayısını kullanarak orantı kurun.
40∘→12040^\circ \rightarrow 120 öğrenci ise 1∘→31^\circ \rightarrow 3 öğrenci
Grafikteki her bir derecelik açının kaç öğrenciye karşılık geldiğini bulmak için toplam fark öğrenci sayısına bölünür.
3
Eğitim fakültesinin merkez açısını kullanarak öğrenci sayısını hesaplayın.
70×3=21070 \times 3 = 210
Eğitim fakültesi 70∘70^\circ ile temsil edildiği için, derece başına düşen öğrenci sayısı ile bu açı çarpılır.

Anahtar Kavram

Daire grafiğinde veriler, veri miktarı ile merkez açı ölçüsü doğru orantılı olacak şekilde dağıtılır.

İpuçları

1
Mühendislik ve Tıp fakültelerinin merkez açıları arasındaki farkın kaç derece olduğunu bulun.
2
Bulduğunuz bu derecelik farkın 120120 öğrenciye eşit olduğunu kullanarak 11 dereceye kaç öğrenci düştüğünü hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Fakültelerdeki toplam öğrenci sayısını bulmak için tüm açıların toplamı olan 360∘360^\circ ile orantı kurmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 103Soru →

Tam sayılardan oluşan bir (an)(a_n) dizisinin terimleri arasında aşağıdaki ilişki tanımlanmıştır:

a1=5a_1 = 5
an+1={an+4, n tek sayı isean−2, n c¸ift sayı isea_{n+1} = \begin{cases} a_n + 4 & , \text{ n tek sayı ise} \\ a_n - 2 & , \text{ n çift sayı ise} \end{cases}

Buna göre, bu dizinin 60. terimi (a60a_{60}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67

Cevap

Dizinin 60. terimi 67'dir.
Dizinin terimleri incelendiğinde, tek ve çift indisli terimlerin kendi içlerinde farklı aritmetik diziler oluşturduğu görülür. Çift indisli terimler (a2,a4,a6...a_2, a_4, a_6...) 9'dan başlayarak 2'şer artmaktadır. a60a_{60} terimi bu alt dizinin 30. terimine denk gelir. Aritmetik dizi formülü a2k=9+(k−1)2a_{2k} = 9 + (k-1)2 kullanıldığında, k=30k=30 için sonuç 67 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk birkaç terimini hesaplayarak örüntüyü analiz et.
a1=5a_1 = 5
n=1n=1 (tek) →a2=5+4=9\rightarrow a_2 = 5 + 4 = 9
n=2n=2 (çift) →a3=9−2=7\rightarrow a_3 = 9 - 2 = 7
n=3n=3 (tek) →a4=7+4=11\rightarrow a_4 = 7 + 4 = 11
n=4n=4 (çift) →a5=11−2=9\rightarrow a_5 = 11 - 2 = 9
n=5n=5 (tek) →a6=9+4=13\rightarrow a_6 = 9 + 4 = 13
Örüntünün genel kuralını görmek için somut örnekler oluşturulmalıdır.
2
Çift indisli terimlerin (a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \dots) kendi aralarındaki artış kuralını belirle.
a2=9a_2 = 9
a4=11a_4 = 11
a6=13a_6 = 13
Bu terimler 2'şer artan bir aritmetik dizi oluşturmaktadır.
Soruda a60a_{60} sorulduğu için sadece çift indisli terimlerin kuralına odaklanmak çözümü hızlandırır.
3
Çift indisli terimler için genel formülü oluştur (2k2k. terim için).
Çift indisli terimler dizisi (bk=a2kb_k = a_{2k}) olsun.
b1=a2=9b_1 = a_2 = 9
b2=a4=11b_2 = a_4 = 11
Artış miktarı (rr) = 2
Formül: bk=b1+(k−1)r→a2k=9+(k−1)2=2k+7b_k = b_1 + (k-1)r \rightarrow a_{2k} = 9 + (k-1)2 = 2k + 7
Aritmetik dizi formülü kullanılarak istenen adımdaki değere doğrudan ulaşılır.
4
a60a_{60} değerini hesapla.
a60a_{60} terimi, çift indisli dizinin 30. elemanıdır (2k=60⇒k=302k=60 \Rightarrow k=30).
a60=2(30)+7=60+7=67a_{60} = 2(30) + 7 = 60 + 7 = 67
Formülde k yerine 30 yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki Aşamalı Artışlı Sayı Dizileri

İpuçları

1
Dizinin ilk 6 terimini (a1a_1'den a6a_6'ya kadar) tek tek hesaplayıp yazınız.
2
Çift numaralı terimlere (a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \dots) özellikle dikkat edin; bu sayılar arasında sabit bir artış görebiliyor musunuz?
3
a60a_{60} terimi, çift sayılar dizisinin 30. elemanıdır. İlk elemanı a2=9a_2=9 ve artış miktarı 2 olan bir aritmetik dizi formülü kurunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurala sahip ancak nn sayısının 3'e bölümünden kalana göre değişen bir dizi sorusu çözerek modüler aritmetik ile dizi ilişkisini pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Toplam değişim yöntemi: a1a_1'den a60a_{60}'a kadar 59 geçiş vardır. Bu geçişlerin 30 tanesi tek nn (+4+4), 29 tanesi çift nn (−2-2) işlemidir. Toplam değişim: 30(4)+29(−2)=120−58=6230(4) + 29(-2) = 120 - 58 = 62. Sonuç: a1+62=5+62=67a_1 + 62 = 5 + 62 = 67.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 104Soru →

Bir araç kiralama şirketi, kiraladığı araçlar için günlük sabit kira bedeli ve günlük ücretsiz kilometre kotası uygulamaktadır. Kota aşımı durumunda ise kilometre başına ek ücret alınmaktadır. Ücret tarifesi aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Araç ModeliGünlük Kira Bedeli (TL)Günlük Ücretsiz Km KotasıKm Aşım Ücreti (TL/km)
Model A1.0001005,00
Model B1.6001003,00

Bir müşteri Model A aracını 3 günlüğüne, Model B aracını ise 2 günlüğüne kiralamıştır. Müşteri her iki araçla da eşit mesafe yol gitmiştir. Araçları teslim ederken her iki araç için hesaplanan toplam kiralama bedelleri birbirine eşit olduğuna göre, her bir araçla gidilen mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 550

Cevap

Her bir araçla gidilen mesafe 550 kilometredir.
Soruda verilen tabloya göre toplam maliyet; (Gün Sayısı × Günlük Kira) + [(Gidilen Yol - (Gün Sayısı × Günlük Kota)) × Aşım Ücreti] formülüyle hesaplanır. Model A için 3 gün, Model B için 2 gün kiralanmıştır. Bu değerler formülde yerine konulup iki maliyet birbirine eşitlendiğinde gidilen mesafe 550 km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki araç için toplam sabit kira bedelini ve toplam ücretsiz kilometre hakkını hesapla.
Model A (3 gün): Sabit = 3 × 1.000 = 3.000 TL, Ücretsiz Km = 3 × 100 = 300 km.
Model B (2 gün): Sabit = 2 × 1.600 = 3.200 TL, Ücretsiz Km = 2 × 100 = 200 km.
Toplam maliyet denklemini kurabilmek için sabit maliyetlerin ve kotaların belirlenmesi gerekir.
2
Gidilen mesafeye 'x' diyerek, her iki araç için toplam maliyet denklemlerini oluştur.
Model A Maliyeti: 3.000 + (x - 300) × 5
Model B Maliyeti: 3.200 + (x - 200) × 3
Maliyet = Sabit Ücret + (Toplam Mesafe - Ücretsiz Kota) × Aşım Ücreti formülü kullanılır.
3
İki maliyet denklemini birbirine eşitle ve x değerini çöz.
3.000 + 5x - 1.500 = 3.200 + 3x - 600
1.500 + 5x = 2.600 + 3x
2x = 1.100
x = 550
Soruda her iki araç için ödenen tutarın eşit olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan sonucun mantıksal kontrolünü yap (kotaları aşıyor mu?).
550 km > 300 km (A kotası) ve 550 km > 200 km (B kotası). Sonuç geçerlidir.
Denklemin geçerli olması için gidilen mesafenin ücretsiz kotalardan fazla olması gerekir, aksi halde aşım ücreti oluşmaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal Denklem Kurma ve Tablo Yorumlama

İpuçları

1
Her bir araç için ödenecek toplam sabit ücreti (gün sayısı ile çarparak) ve toplam ücretsiz kilometre hakkını belirleyerek başlayın.
2
Gidilen yola 'x' deyin. Eğer x, ücretsiz kotayı geçerse ödenecek tutar: Toplam Sabit Ücret + (x - Toplam Ücretsiz Kota) * Aşım Bedeli olur.
3
Model A için: 3000 + (x-300)*5 ve Model B için: 3200 + (x-200)*3 denklemlerini kurup birbirine eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'Elektrik Faturaları' bağlamında, kademeli tarife (belirli bir tüketimden sonra birim fiyatın artması) kurgusuyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Fark Analizi Yöntemi: Model A'nın sabit maliyeti 3000 TL, B'nin 3200 TL'dir (Fark -200 TL). Model A'nın aşım maliyeti km başına 5 TL, B'nin 3 TL'dir (Fark +2 TL/km). Ancak kotalar farklıdır (300 vs 200). 300. km'den sonra A her km için 2 TL daha fazla yazar. Başlangıçtaki farkları ve 200-300 km arasındaki farkı manuel hesaplayarak denge noktası bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 105Soru →

Bir teknoloji firmasının yıllık Ar-Ge bütçesinin üç farklı projeye (Yapay Zeka, Siber Güvenlik ve Veri Bilimi) göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir. Siber Güvenlik projesine ayrılan payın merkez açısı 100∘100^\circ, Veri Bilimi projesine ayrılan payın merkez açısı ise 120∘120^\circ'dir. Yapay Zeka projesine ayrılan bütçe 210.000210.000 TL olduğuna göre, Veri Bilimi projesine ayrılan bütçe Siber Güvenlik projesine ayrılan bütçeden kaç TL fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30.000

Cevap

Veri Bilimi projesine ayrılan bütçe, Siber Güvenlik projesine ayrılan bütçeden 30.00030.000 TL fazladır.
Yapay Zeka projesinin açısı 140∘140^\circ olarak bulunur. 140∘140^\circ için 210.000210.000 TL bütçe ayrılmışsa, her 1∘1^\circ için 1.5001.500 TL ayrılmış demektir. Veri Bilimi (120∘120^\circ) ve Siber Güvenlik (100∘100^\circ) arasındaki fark 20∘20^\circ olduğuna göre, bu fark 20×1.500=30.00020 \times 1.500 = 30.000 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yapay Zeka projesine ait merkez açıyı hesaplayın.
360∘−(100∘+120∘)=140∘360^\circ - (100^\circ + 120^\circ) = 140^\circ
Daire grafiğinin tamamı 360∘360^\circ olduğu için eksik açıyı bulmamız gerekir.
2
1∘1^\circ'ye karşılık gelen bütçe miktarını bulun.
210.000/140=1.500210.000 / 140 = 1.500 TL
140∘140^\circ'lik kısmın 210.000210.000 TL olduğu verildiği için orantı kurularak birim açı değeri hesaplanır.
3
Veri Bilimi ve Siber Güvenlik projeleri arasındaki açı farkını hesaplayın.
120∘−100∘=20∘120^\circ - 100^\circ = 20^\circ
İki bütçe arasındaki fark sorulduğu için açılar arasındaki farkı bulmak işlemi kolaylaştırır.
4
Açı farkını bütçe değerine dönüştürün.
20×1.500=30.00020 \times 1.500 = 30.000 TL
Bulunan 20∘20^\circ'lik farkın TL karşılığı, birim açı değeriyle çarpılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Daire grafiğinde veriler merkez açılarla doğru orantılıdır.

İpuçları

1
Grafikteki tüm dilimlerin merkez açılarının toplamı 360∘360^\circ olmalıdır.
2
Yapay Zeka projesinin açısını bulduktan sonra, bu açının 210.000210.000 TL'ye olan oranını kullanarak diğer miktarları bulabilirsiniz.
3
İki proje arasındaki bütçe farkını bulmak için önce bu projelerin merkez açılarının farkını bulup sonra TL değerine çevirmek daha hızlıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam bütçe verildiğinde belirli bir projenin merkez açısını bulacak şekilde kurgulayarak pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Veri Bilimi bütçesini (120×1.500=180.000120 \times 1.500 = 180.000 TL) ve Siber Güvenlik bütçesini (100×1.500=150.000100 \times 1.500 = 150.000 TL) ayrı ayrı hesaplayıp farklarını (180.000−150.000=30.000180.000 - 150.000 = 30.000 TL) alarak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 106Soru →

Bir lojistik firmasının deposunda, ağırlıkları 120, 130, 140, 150 ve 160 kg olan beş farklı koli, üst üste dizilmiş beş raftan oluşan bir bölüme yerleştirilecektir. Raflar aşağıdan yukarıya doğru 1'den 5'e kadar numaralandırılmıştır (en alt raf 1, en üst raf 5). Yerleşimle ilgili bilinenler şunlardır:

* 2. ve 4. raflardaki kolilerin ağırlıkları toplamı 280 kg'dır.
* 120 kg'lık koli, 150 kg'lık kolinin hemen üstündeki raftadır.
* 140 kg'lık koli, ne 1. ne de 5. raftadır.
* 160 kg'lık koli, 130 kg'lık kolinin daha altındaki bir raftadır.

Buna göre, 3. rafta bulunan kolinin ağırlığı kaç kilogramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

3. rafta bulunan kolinin ağırlığı 140 kg'dır.
Verilen kısıtlar altında sadece iki olası yerleşim düzeni vardır. Birinci düzende raflar (1'den 5'e): 150-120-140-160-130 şeklindedir. İkinci düzende ise: 160-130-140-150-120 şeklindedir. Her iki durumda da 3. rafa denk gelen koli 140 kg ağırlığındadır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamı 280 kg olan çiftleri belirle.
Mevcut ağırlıklar: {120, 130, 140, 150, 160}. Toplamı 280 olan ikililer: (120 + 160) veya (130 + 150).
2. ve 4. rafları doldurmak için olası senaryoları kısıtlamak gerekir.
2
Senaryo 1: 2. ve 4. raflarda 120 ve 160 kg olduğunu varsay ve '120, 150'nin hemen üstünde' kuralını uygula.
Eğer 4. raf 120 ise, 3. raf 150 olmalı (120, 150'nin hemen üstünde). 2. raf 160 olur. Geriye 130 ve 140 kalır. 140 kg kuralı (1. veya 5. raf olamaz) nedeniyle 140, 1. veya 5. rafa gelemez. Bu senaryoda 3. raf dolu (150) olduğu için 140'a yer kalmaz. GEÇERSİZ.
120 kg 4. raftaysa çelişki oluşur. Peki 2. raf 120 olabilir mi? Hayır, çünkü o zaman 1. raf 150 olur, 4. raf 160 olur. Geriye 130, 140 kalır. 140, 3. veya 5. rafa gelebilir. Eğer 140 3. raftaysa, 130 5. raf olur. Kontrol: 160 (raf 4), 130 (raf 5)'un altında mı? Evet. BU GEÇERLİ BİR DURUM. (Sıralama: 150, 120, 140, 160, 130). 3. Raf = 140.
3
Senaryo 2: 2. ve 4. raflarda 130 ve 150 kg olduğunu varsay.
Durum A: 4. raf 150 ise, '120 hemen üstünde' kuralı gereği 5. raf 120 olur. 2. raf 130 olur. Geriye 140, 160 kalır. 140, 1. veya 5. olamaz, yani 3. raf olmak zorundadır. 1. raf 160 olur. Kontrol: 160 (raf 1), 130 (raf 2)'un altında mı? Evet. BU DA GEÇERLİ. (Sıralama: 160, 130, 140, 150, 120). 3. Raf = 140.
Diğer alt durumları da kontrol edelim. Eğer 2. raf 150 olsaydı, 3. rafın 120 olması gerekirdi (120 üstte). Bu durumda 4. raf 130 olurdu. Geriye 140, 160 kalırdı. 140, 1. veya 5. olamaz, yer kalmadı. GEÇERSİZ.
4
Tüm geçerli senaryoların ortak sonucunu bul.
Her iki geçerli senaryoda da 3. rafta 140 kg'lık koli bulunmaktadır.
Sorunun kesin cevabı tüm geçerli durumların kesişimidir.

Anahtar Kavram

Sayısal Mantık ve Kısıt Analizi

İpuçları

1
Önce ağırlıkları toplamı 280 kg olan iki koli çiftini belirleyerek başlayın.
2
Toplamı 280 olan çiftler (120, 160) ve (130, 150)'dir. Bu çiftlerin 2. ve 4. raflara yerleştiği senaryoları, '120, 150'nin hemen üstünde' kuralıyla test edin.
3
140 kg'lık koli 1. ve 5. rafta olamıyorsa, geriye kalan 2, 3 ve 4. raflardan hangileri doludur? Boş kalan tek yer 140'ın yeri olacaktır.

Alternatif Yöntem

Tablo yöntemi yerine, 140 kg'lık kolinin konumu üzerinden giderek de çözülebilir. 140; 1 ve 5 olamaz. 2 ve 4 dolu (toplam kuralı). Geriye sadece 3. raf kalır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 107Soru →

Bir halk kütüphanesinde üç farklı türdeki kitabın üç günlük ödünç alınma sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kitap TürüPazartesiSalıÇarşamba
Roman252530302020
Tarih151510101818
Bilim121215151313

Tabloya göre, Salı günü ödünç alınan toplam kitap sayısı, Çarşamba günü ödünç alınan toplam kitap sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Salı günü toplam 5555 kitap, Çarşamba günü ise toplam 5151 kitap ödünç alınmıştır. İki gün arasındaki fark 44 adettir.
Salı gününe ait tüm kitap türleri toplandığında 30+10+15=5530 + 10 + 15 = 55 sonucuna ulaşılır. Çarşamba gününe ait tüm kitap türleri toplandığında ise 20+18+13=5120 + 18 + 13 = 51 sonucu bulunur. Bu iki toplam arasındaki fark 55−51=455 - 51 = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Salı günü ödünç alınan toplam kitap sayısını hesapla
30(Roman)+10(Tarih)+15(Bilim)=5530 (Roman) + 10 (Tarih) + 15 (Bilim) = 55
Soru, Salı günündeki tüm türlerin toplamını temel almaktadır.
2
Çarşamba günü ödünç alınan toplam kitap sayısını hesapla
20(Roman)+18(Tarih)+13(Bilim)=5120 (Roman) + 18 (Tarih) + 13 (Bilim) = 51
Kıyaslama yapabilmek için Çarşamba gününün toplam verisine ihtiyaç vardır.
3
İki günün toplamları arasındaki farkı bul
55−51=455 - 51 = 4
Salı gününün Çarşamba gününden ne kadar fazla olduğunu bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Tablodaki sütun verilerini doğru seçerek toplama ve karşılaştırma yapma.

İpuçları

1
Soru bizden Salı ve Çarşamba günlerini karşılaştırmamızı istiyor. Önce bu günlerin sütunlarına odaklanın.
2
Her iki gün için de tabloda verilen üç farklı kitap türünün (Roman, Tarih, Bilim) sayılarını ayrı ayrı toplayın.
3
Salı günü toplamı 5555, Çarşamba günü toplamı 5151 çıkacaktır. Bu iki değer arasındaki farkı bulun.

Daha Fazla Pratik

Tablodaki en yüksek günlük kitap ödünç alma sayısının hangi gün ve hangi türde olduğunu bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Kitap türlerinin farklarını tek tek hesaplayıp toplayarak da sonuca ulaşabilirsiniz: Roman farkı (30−20=1030-20=10), Tarih farkı (10−18=−810-18=-8), Bilim farkı (15−13=215-13=2). Toplam fark: 10+(−8)+2=410 + (-8) + 2 = 4.
Tahmini Süre:45s
Soru 108Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x−3y+x⋅(y△x)x \triangle y = 2x - 3y + x \cdot (y \triangle x)
eșitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 2△32 \triangle 3 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İşlemin sonucu 1'dir.
İşlem kuralı kendi tersine (y△xy \triangle x) bağlı olduğu için, x=2,y=3x=2, y=3 ve x=3,y=2x=3, y=2 durumları için iki denklem yazılıp sistem çözüldüğünde sonuç 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen eşitlikte istenen değerler için (x=2,y=3x=2, y=3) ve bunların yer değiştirmiş hali için (x=3,y=2x=3, y=2) iki ayrı denklem oluşturulur.
2△3=2(2)−3(3)+2⋅(3△2)2 \triangle 3 = 2(2) - 3(3) + 2 \cdot (3 \triangle 2) ve 3△2=2(3)−3(2)+3⋅(2△3)3 \triangle 2 = 2(3) - 3(2) + 3 \cdot (2 \triangle 3)
İşlem kendi tersi cinsinden tanımlandığı için (y△xy \triangle x), bir denklem sistemi kurulmalıdır.
2
Değişken ataması yapılarak denklem sistemi sadeleştirilir. A=2△3A = 2 \triangle 3 ve B=3△2B = 3 \triangle 2 olsun.
(1) A=4−9+2B⇒A=−5+2BA = 4 - 9 + 2B \Rightarrow A = -5 + 2B
(2) B=6−6+3A⇒B=3AB = 6 - 6 + 3A \Rightarrow B = 3A
Sistemi daha kolay çözebilmek için karmaşık ifadeler yerine harf sembolleri kullanılır.
3
İkinci denklemde bulunan BB değeri, birinci denklemde yerine yazılır.
A=−5+2(3A)⇒A=−5+6AA = -5 + 2(3A) \Rightarrow A = -5 + 6A
Yok etme veya yerine koyma metoduyla bilinmeyenlerden biri bulunur.
4
Elde edilen tek bilinmeyenli denklem çözülerek AA değeri bulunur.
5=5A⇒A=15 = 5A \Rightarrow A = 1
Soruda istenen 2△32 \triangle 3 değeri AA'ya eşittir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde, işlemin kuralı x△yx \triangle y ifadesini y△xy \triangle x cinsinden içeriyorsa, xx ve yy değerleri yer değiştirilerek elde edilen iki denklem ortak çözülür.

İpuçları

1
İfade içinde y△xy \triangle x terimi geçtiği için, sadece sayıları yerine koymak yetmez; ikinci bir denkleme ihtiyacınız var.
2
xx ve yy harflerinin yerlerini değiştirerek (x=3,y=2x=3, y=2) ikinci bir eşitlik yazın.
3
2△32 \triangle 3 ifadesine AA, 3△23 \triangle 2 ifadesine BB diyerek iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda ancak katsayıların sabit olduğu (x△y=2x+y−3(y△x)x \triangle y = 2x + y - 3(y \triangle x) gibi) sorular çözülerek pekiştirilebilir.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm formülü üretilebilir: A(1−xy)=(2x−3y)+x(2y−3x)A(1-xy) = (2x-3y) + x(2y-3x) formülü türetilip değerler yerine yazılabilir, ancak bu sınav anında daha uzun sürer.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 109Soru →

Ardışık tek doğal sayılar, 1'den başlanarak aşağıdaki gibi soldan sağa ve yukarıdan aşağıya artacak şekilde sıralanıp bir sayı piramidi oluşturulmuştur:

1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
...

Buna göre, bu piramidin 11. basamağındaki en büyük sayı ile 12. basamağındaki en küçük sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 264

Cevap

Piramidin 11. basamağındaki son terim ile 12. basamağındaki ilk terimin toplamı 264'tür.
Piramitteki her n. basamak n adet sayı içerir. 11. basamağın sonuna kadar olan toplam sayı adedi Gauss toplamı formülüyle 11×12/2=6611 \times 12 / 2 = 66 olarak bulunur. Sayılar tek sayı olduğundan (1,3,5...1, 3, 5...), genel terim formülü 2n−12n-1'dir. 11. basamağın en büyük sayısı 66. tek sayı olan 2(66)−1=1312(66)-1 = 131'dir. 12. basamağın en küçük sayısı ise 67. tek sayı olan 2(67)−1=1332(67)-1 = 133'tür. Bu iki sayının toplamı 131+133=264131 + 133 = 264 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Her basamaktaki terim sayısını ve toplam terim sayısını analiz etme
n. basamakta n adet sayı vardır. 11. basamağın sonuna kadar toplam terim sayısı: 1 + 2 + ... + 11 = (11 × 12) / 2 = 66 terimdir.
Piramitteki sayıların konumunu bulmak için önceki tüm basamaklardaki sayı adedini toplamak gerekir.
2
11. basamağın en büyük sayısını (son terim) bulma
Dizi ardışık tek sayılardan oluştuğu için genel terim (2n - 1)'dir. 11. basamağın son sayısı 66. terimdir: 2(66) - 1 = 131.
11. basamağın en büyük sayısı, o basamağın en sağındaki, yani dizinin 66. elemanıdır.
3
12. basamağın en küçük sayısını (ilk terim) bulma
12. basamağın ilk sayısı, dizinin 67. terimidir: 2(67) - 1 = 133.
12. basamak, 11. basamaktan hemen sonra başladığı için 67. sıradaki tek sayıyı içerir.
4
Bulunan değerleri toplama
131 + 133 = 264.
Soruda istenen iki değerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik Diziler ve Sayı Piramitleri

İpuçları

1
Her basamakta kaç adet sayı olduğunu ve 11. basamağın sonuna gelene kadar toplam kaç sayı yazıldığını hesaplayın.
2
1'den n'ye kadar olan ardışık sayıların toplam formülü: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}. Bu formülü kullanarak 11. basamağın son sayısının dizideki kaçıncı terim olduğunu bulun.
3
11. basamağın son sayısı 66. tek sayıdır. 12. basamağın ilk sayısı 67. tek sayıdır. n. tek sayıyı bulmak için 2n−12n-1 formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir piramidin çift sayılarla (2, 4, 6...) kurulduğu bir senaryoda belirli bir basamaktaki sayıların toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Ardışık iki tek sayının toplamı sorulduğu için, aslında bu iki sayı piramitte art arda gelen sayılardır. 11. basamağın sonu (n=66) ve 12. basamağın başı (n=67) arasındaki ilişkiyi, 66. ve 67. tek sayıları doğrudan toplayarak da kurabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 110Soru →

Aşağıdaki karma grafikte, bir belediyeye bağlı geri dönüşüm merkezinde yılın ilk beş ayında toplanan toplam atık miktarı (sütun grafiği) ve bu atıkların türlerine göre ayrıştırılıp geri dönüştürülme yüzdeleri (çizgi grafiği) gösterilmiştir.

Buna göre, geri dönüştürülen atık miktarının ton cinsinden en fazla olduğu ay aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Nisan

Cevap

Nisan ayında geri dönüştürülen atık miktarı 3535 ton ile diğer aylardan daha fazladır.
Nisan ayında toplanan toplam atık miktarı 100100 ton, geri dönüşüm oranı ise %35\%35 olarak verilmiştir. Bu iki değerin çarpımı (100×0,35100 \times 0,35) 3535 ton geri dönüştürülmüş atık verir ki bu, diğer aylar için hesaplanan 2424, 2525 ve 3030 tonluk değerlerden daha büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik verilerini oku ve aylık toplam atık ile geri dönüşüm oranlarını eşleştir.
Ocak: 6060 ton / %40\%40, Şubat: 8080 ton / %30\%30, Mart: 5050 ton / %50\%50, Nisan: 100100 ton / %35\%35, Mayıs: 120120 ton / %25\%25.
Geri dönüştürülen net miktarı bulmak için toplam miktar ile oran çarpılmalıdır.
2
Her bir ay için geri dönüştürülen miktarı (ton) hesapla.
Ocak: 60×40100=2460 \times \frac{40}{100} = 24, Şubat: 80×30100=2480 \times \frac{30}{100} = 24, Mart: 50×50100=2550 \times \frac{50}{100} = 25, Nisan: 100×35100=35100 \times \frac{35}{100} = 35, Mayıs: 120×25100=30120 \times \frac{25}{100} = 30.
Miktar = Toplam Atık ×\times Geri Dönüşüm Oranı formülü uygulanır.
3
Hesaplanan değerleri karşılaştırarak en büyüğünü belirle.
En büyük değer olan 3535 ton Nisan ayına aittir.
35>30>25>2435 > 30 > 25 > 24 olduğu için sonuç Nisan olur.

Anahtar Kavram

Sütun ve Çizgi Grafiği Verilerinin Kombinasyonu

İpuçları

1
Geri dönüştürülen net miktarı bulmak için sütundaki değer ile çizgideki yüzdeyi çarpmanız gerekir.
2
Örneğin Mayıs ayında 120120 tonun %25\%25'ini hesaplayın. Bu değerin Nisan ayındaki 100100 tonun %35\%35'inden büyük olup olmadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda verilmeyen 'atık olmayan' miktarı sorsaydı, yüzdeyi %100\%100’den çıkararak hesaplama yapmanız gerekirdi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 111Soru →

Aşağıdaki tabloda bir manavda üç gün boyunca satılan meyve miktarları (kg) gösterilmiştir.

Meyve / GünPazartesiSalıÇarşamba
Elma151218
Armut101512
Portakal5810

Buna göre, toplamda en fazla meyve satılan gün aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çarşamba

Cevap

Toplamda en fazla meyve satılan gün Çarşamba günüdür.
Çarşamba günü yapılan satışların toplamı (18 + 12 + 10 = 40 kg), diğer günlerin toplamlarından (Pazartesi: 30 kg, Salı: 35 kg) daha fazladır. Bu nedenle en fazla satışın yapıldığı gün Çarşamba'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Pazartesi günü satılan tüm meyveleri toplayın.
15+10+5=3015 + 10 + 5 = 30 kg
Günün toplam satış miktarını belirlemek için her meyve türünün miktarını birleştirmeliyiz.
2
Salı günü satılan tüm meyveleri toplayın.
12+15+8=3512 + 15 + 8 = 35 kg
İkinci günün performansını ölçmek için sütundaki değerleri toplarız.
3
Çarşamba günü satılan tüm meyveleri toplayın.
18+12+10=4018 + 12 + 10 = 40 kg
Üçüncü günün toplam satış miktarını hesaplarız.
4
Bulunan toplam değerleri (30, 35, 40) karşılaştırın.
40>35>3040 > 35 > 30
En yüksek değeri (maksimum) belirleyerek doğru güne ulaşırız.

Anahtar Kavram

Tablodaki verileri sütun bazında toplayarak karşılaştırma yapma.

İpuçları

1
Her bir gün (sütun) için ayrı ayrı toplama işlemi yapmalısınız.
2
Pazartesi, Salı ve Çarşamba sütunlarındaki elma, armut ve portakal miktarlarını kendi içinde toplayın.
3
Pazartesi için 30, Salı için 35 ve Çarşamba için 40 sonucuna ulaşmalısınız. Şimdi bu sayıların en büyüğünü seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'toplamda en az satılan meyve türünü' bulmak için satır bazında toplama yapmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 112Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=2x+2y−xy−2x \Delta y = 2x + 2y - xy - 2
eşitliği ile veriliyor.

Buna göre, bu işlem altında tersi kendisine eşit olan farklı gerçel sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 4'tür.
İşlemin birim elemanı e=1e=1 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan sayılar için xΔx=1x \Delta x = 1 denklemi çözüldüğünde x=1x=1 ve x=3x=3 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birim (etkisiz) elemanı (ee) bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kullan.
2x+2e−xe−2=x⇒e(2−x)=2−x⇒e=12x + 2e - xe - 2 = x \Rightarrow e(2-x) = 2-x \Rightarrow e=1
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce işlemin birim elemanının bilinmesi gerekir.
2
Tersi kendisine eşit olan eleman şartını (xΔx=ex \Delta x = e) uygula.
xΔx=1⇒2x+2x−x2−2=1x \Delta x = 1 \Rightarrow 2x + 2x - x^2 - 2 = 1
Bir xx sayısının tersi x−1x^{-1} ise, xΔx−1=ex \Delta x^{-1} = e olmalıdır. Soruda x−1=xx^{-1} = x olması istenmiştir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenle ve çöz.
4x−x2−2=1⇒x2−4x+3=04x - x^2 - 2 = 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0. Çarpanları: (x−3)(x−1)=0(x-3)(x-1)=0. Kökler: x1=3,x2=1x_1=3, x_2=1.
Denklemin kökleri, tersi kendisine eşit olan sayıları verir.
4
Bulunan değerleri topla.
3+1=43 + 1 = 4.
Soruda bu sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde birim eleman (ee) x∗e=xx \ast e = x kuralıyla, ters eleman (x−1x^{-1}) ise x∗x−1=ex \ast x^{-1} = e kuralıyla bulunur.

İpuçları

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee için xΔe=xx \Delta e = x eşitliği sağlanmalıdır.
2
Birim elemanı e=1e=1 bulduktan sonra, bir xx sayısının tersinin kendisine eşit olması için xΔx=1x \Delta x = 1 denklemini kurmalısın.
3
xΔx=2x+2x−x2−2x \Delta x = 2x + 2x - x^2 - 2 ifadesini 1'e eşitleyip oluşan x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denklemini çözmelisin.

Daha Fazla Pratik

Aynı işlem için 'Hangi sayının tersi yoktur?' sorusu çözülebilir (x=2x=2 için tanımsızlık durumu).

Alternatif Yöntem

Kökler toplamı formülü (x1+x2=−b/ax_1 + x_2 = -b/a) kullanılarak, x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denkleminden kökleri tek tek bulmadan doğrudan toplamın −(−4)/1=4-(-4)/1 = 4 olduğu görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 113Soru →

Bir kamu kurumunun evrak yönetim sisteminde, dosyalara verilen barkod numaraları bir algoritma ile işlenerek birimlere yönlendirilmektedir. Sistem şu kurallara göre çalışır:

1. 1. Birim: Barkod numarası 3’e tam bölünen dosyalar buraya gelir. İşlem sonunda numara 3’e bölünerek güncellenir.
2. 2. Birim: Barkod numarası 3’e bölünmeyen ancak 2’ye tam bölünen (çift) dosyalar buraya gelir. İşlem sonunda numara 5 artırılarak güncellenir.
3. 3. Birim: Diğer tüm dosyalar (3’e bölünmeyen ve tek olanlar) buraya gelir. İşlem sonunda numara 2 ile çarpılıp 1 eklenerek güncellenir.

Bir dosya sisteme girdikten sonra ilk işlem görüp yeni numarasını alır ve bu yeni numara ile tekrar yönlendirmeye tabi tutulur (toplam iki işlem).

Buna göre, başlangıç barkod numarası aşağıdakilerden hangisi olan bir dosya, ikinci işleminde 2. Birim’e yönlendirilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Başlangıç numarası 24 olan dosya, ikinci adımda 2. Birim'e yönlendirilir.
Başlangıç değeri 24 alındığında; ilk adımda 24 sayısı 3'e tam bölündüğü için 1. Birim'e gider ve numarası 24/3 = 8 olur. İkinci adımda, elimizdeki sayı artık 8'dir. 8 sayısı 3'e bölünmez ancak çift sayıdır, bu nedenle 2. Birim kurallarına uyar ve 2. Birim'e yönlendirilir. İstenen koşul (2. adımda 2. Birim) sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Seçenekleri tek tek algoritmaya göre analiz et.
Her bir sayının 1. adımdaki hedef birimini ve yeni numarasını bul.
Soruda istenen durumun (2. adımda 2. Birim) sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek için.
2
C seçeneği (24) için işlemi uygula.
24 sayısı 3'e tam bölünür → 1. Birim'e gider. Yeni numara: 24 / 3 = 8.
1. Birim kuralı: Sayı 3'e bölünürse, sayı/3 işlemi uygulanır.
3
Yeni numara (8) için 2. adım yönlendirmesini yap.
8 sayısı 3'e bölünmez ama çifttir → 2. Birim'e gider.
2. Birim kuralı: 3'e bölünmeyen çift sayılar buraya yönlendirilir. Hedef (2. adımda 2. Birim) sağlanmıştır.

Anahtar Kavram

Algoritmik Takip ve Koşullu Önermeler

İpuçları

1
Soruyu sondan başa doğru (tersten) düşünmek yerine, seçenekleri tek tek denemek daha güvenli olabilir.
2
İkinci adımda 2. Birim'e gidilebilmesi için, birinci işlem sonucunda elimize geçen sayının '3'e bölünmeyen çift sayı' olması gerekir.
3
Hangi seçenekteki sayı ilk işlemden sonra 8, 14, 16 gibi (3'ün katı olmayan çift) bir sayıya dönüşüyor? (Not: 1. Birim sayıyı 3'e böler).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 114Soru →

A, B, C, D ve E harfleriyle isimlendirilmiş beş farklı kutunun ağırlıkları, kilogram cinsinden birbirinden farklı ardışık tam sayılardır. Bu kutuların ağırlıklarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A kutusu, tüm kutular arasında en hafif olandır.
* E kutusunun ağırlığı bir asal sayıdır.
* A ve B kutularının ağırlıkları toplamı, C ve D kutularının ağırlıkları toplamına eşittir (A+B=C+DA + B = C + D).
* C ve D kutularının ağırlıkları toplamı, E kutusunun ağırlığının 5 kg fazlasına eşittir.

Buna göre, B kutusunun ağırlığı kaç kilogramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

B kutusunun ağırlığı 7 kilogramdır.
Ardışık sayı kümesinin başlangıç değeri (kk) denenerek çözüme gidildiğinde, sadece k=3k=3 durumu (yani sayılar 3, 4, 5, 6, 7 iken) tüm koşulları sağlar. Bu durumda A=3A=3 ve E=5E=5 (asal) olur. Denklemler gereği B=7B=7 olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve denklemleri kur.
Kutuların ağırlıkları ardışık tam sayılar olduğu için en küçük olan A'ya kk dersek küme: {k,k+1,k+2,k+3,k+4}\{k, k+1, k+2, k+3, k+4\} olur. Verilen eşitliklerden: (1) A+B=C+DA+B = C+D ve (2) C+D=E+5C+D = E+5. Buradan A+B=E+5A+B = E+5 elde edilir.
Sorudaki sözel ilişkileri matematiksel denklemlere dönüştürmek gerekir.
2
A ve B arasındaki ilişkiyi analiz et.
A=kA=k (en küçük) olduğu için denklem k+B=E+5k + B = E + 5 yani B−E=5−kB - E = 5 - k haline gelir. BB ve EE, {k+1,...,k+4}\{k+1, ..., k+4\} kümesinden seçilmelidir.
B ve E arasındaki fark, k değerini (başlangıç sayısını) belirlememize yardımcı olacaktır.
3
Olası k değerlerini test et.
Kümeyi {k,...,k+4}\{k, ..., k+4\} olarak düşünelim. Maksimum fark (k+4)−(k+1)=3(k+4)-(k+1)=3 olabilir. Yani 5−k≤3⇒k≥25-k \le 3 \Rightarrow k \ge 2. Olası k değerleri denenmelidir:
- k=2 için: Küme {2,3,4,5,6}\{2,3,4,5,6\}. B−E=3B-E = 3. Bu farkı veren çift (6,3)(6,3)'tür. B=6,E=3B=6, E=3. E=3E=3 asaldır (uygun). Ancak kalan C,DC,D elemanları {4,5}\{4,5\} olur ve toplamları 99'dur. Denklem C+D=E+5⇒9=3+5⇒9=8C+D = E+5 \Rightarrow 9 = 3+5 \Rightarrow 9=8 (YANLIŞ).
- k=3 için: Küme {3,4,5,6,7}\{3,4,5,6,7\}. B−E=2B-E = 2. Bu farkı veren çiftler: (6,4)(6,4) veya (7,5)(7,5).
- (6,4)(6,4) ise E=4E=4 asal değil (elendi).
- (7,5)(7,5) ise B=7,E=5B=7, E=5. E=5E=5 asaldır (uygun). Kalan C,DC,D elemanları {4,6}\{4,6\}, toplam 1010. Denklem C+D=E+5⇒10=5+5C+D = E+5 \Rightarrow 10 = 5+5 (DOĞRU).
Tüm koşulları (E'nin asallığı ve toplam eşitlikleri) sağlayan tek küme ve dizilimi bulmak.
4
Sonucu doğrula.
Bulunan çözümde A=3,B=7,E=5,C=4,D=6A=3, B=7, E=5, C=4, D=6 (veya tam tersi). Küme {3,4,5,6,7}\{3,4,5,6,7\}. A en küçük (3). E asal (5). 3+7=4+6=103+7 = 4+6 = 10. Her şey tutarlı. B'nin değeri 7'dir.
Çözümün sağlamasını yapmak.

Anahtar Kavram

Sayısal mantık problemlerinde ardışık sayı kümeleri ve denklem sistemlerinin birlikte analizi.
Soru 115Soru →

Karşılıklı yüzlerindeki sayıların toplamı 77 olan özdeş standart zarlar kullanılarak, aralarında boşluk kalmayacak şekilde 3×3×33 \times 3 \times 3 boyutlarında büyük bir küp oluşturuluyor.

Oluşturulan bu büyük küpün dış yüzeyine denk gelen yüzlerdeki sayıların toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Dış yüzeydeki sayıların toplamının alabileceği en küçük değer 90'dır.
3x3x3'lük küpün dış yüzeyindeki toplamı en aza indirmek için zarların konumuna göre görünen yüz sayısı belirlenir: Köşeler (3 yüz), Ayrıtlar (2 yüz), Göbekler (1 yüz). Her konum için zarlar, görünen yüzlere en küçük sayılar (1, 2, 3) gelecek şekilde yerleştirilir. Hesaplama: 8 köşe x (1+2+3) + 12 ayrıt x (1+2) + 6 göbek x (1) = 90 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük küpü oluşturan birim küplerin (zarların) konumlarını analiz et.
3x3x3 küpte toplam 27 zar vardır. Dış yüzeyde bulunanlar: 8 köşe, 12 ayrıt ortası ve 6 yüzey ortası zarıdır. (Merkezdeki 1 zar görünmez.)
Toplamı minimize etmek için her pozisyondaki zarın dışa bakan yüz sayısını ve bu yüzlere gelebilecek en küçük değerleri belirlememiz gerekir.
2
Köşelerdeki 8 zar için minimum toplamı hesapla.
Her köşe zarı 3 yüz gösterir. Standart bir zarda kesişen üç yüzün alabileceği en küçük değerler 1, 2 ve 3'tür. Bir köşe için toplam: 1+2+3=61+2+3=6. Tüm köşeler: 8×6=488 \times 6 = 48.
Köşeler 3 dış yüzeye sahiptir. En küçük toplam için zarların 1, 2 ve 3 numaralı yüzlerinin köşede buluşması sağlanır.
3
Ayrıt ortalarındaki 12 zar için minimum toplamı hesapla.
Her ayrıt ortası zarı 2 yüz gösterir. Komşu iki yüzün alabileceği en küçük değerler 1 ve 2'dir. Bir ayrıt için toplam: 1+2=31+2=3. Tüm ayrıtlar: 12×3=3612 \times 3 = 36.
Ayrıt ortaları 2 dış yüzeye sahiptir. En küçük komşu yüz çifti 1 ve 2'dir.
4
Yüzey ortalarındaki 6 zar için minimum toplamı hesapla.
Her yüzey ortası zarı 1 yüz gösterir. Bir yüzün alabileceği en küçük değer 1'dir. Tüm yüzey ortaları: 6×1=66 \times 1 = 6.
Yüzey ortaları sadece 1 dış yüzeye sahiptir.
5
Tüm grupların toplamını al.
Toplam = 48+36+6=9048 + 36 + 6 = 90.
Bulunan minimum değerlerin toplanmasıyla sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Küp Yüzey Analizi ve Optimizasyon
Soru 116Soru →

Birim küplerle oluşturulan bir yapının üstten, önden ve sağdan görünümleri aşağıda verilmiştir.

Buna göre, bu yapının oluşturulması için en az kaç birim küp kullanılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1414

Cevap

Verilen görünümleri sağlayan en az küp sayısı 1414 birimdir.
Verilen görünümlere göre yapının minimum küp sayısına sahip olması için yüksek blokların her iki yönün şartını da aynı anda sağlaması gerekir. 3×33 \times 3'lük bir zeminde, önden gelen 3,2,33, 2, 3 yükseklik şartları ile sağdan gelen 2,3,12, 3, 1 yükseklik şartları en verimli şekilde eşleştirildiğinde (iki adet 33'lük ve bir adet 22'lik blok kullanarak) ve boş kalan hücrelere de tabanı doldurmak için 11'er küp yerleştirildiğinde toplam 1414 küpe ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstten görünümü analiz etme
3×33 \times 3 toplam 9 hücrenin tamamı dolu
Üstten görünüm tam bir kare olduğu için tabanda boşluk yoktur, her hücrede en az 1 küp bulunmalıdır.
2
Önden ve sağdan görünümdeki yükseklik şartlarını belirleme
Önden: 3,2,33, 2, 3; Sağdan: 2,3,12, 3, 1
Bu değerler her bir satır ve sütundaki en yüksek küp sayısını temsil eder.
3
En büyük yükseklikleri kesişim noktalarına yerleştirme
Merkez satıra (yükseklik 3) iki adet 3'lük blok, ön satıra (yükseklik 2) bir adet 2'lik blok
Minimum sayı için büyük değerleri ortak noktalarda kullanmalıyız: (Satır 2, Sütun 1) = 33, (Satır 2, Sütun 3) = 33, (Satır 1, Sütun 2) = 22.
4
Diğer hücreleri doldurma ve toplamı hesaplama
3+3+2+6×1=143+3+2 + 6 \times 1 = 14
Kalan 6 hücreye, üstten görünümü sağlamak için en az 1'er küp konulur. Toplam: 3+3+2+1+1+1+1+1+1=143+3+2+1+1+1+1+1+1 = 14.

Anahtar Kavram

Üç boyutlu yapıların farklı yönlerden görünümlerini kullanarak hacim (küp sayısı) tahmini yapma.

Alternatif Yöntem

Hücreleri bir 3×33 \times 3 matris olarak düşünüp, her hücreye hi,jh_{i,j} yüksekliğini vererek max⁡(hi,j)\max(h_{i,j}) değerlerini satır ve sütun bazlı kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 117Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde □\square işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a□b=(a+2)⋅(b−1)a \square b = (a + 2) \cdot (b - 1)
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, 3□53 \square 5 işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İşlemin sonucu 20'dir.
Verilen işlem tanımında aa sembolü birinci sayıyı, bb sembolü ise ikinci sayıyı temsil eder. 3□53 \square 5 ifadesinde birinci sayı 3, ikinci sayı 5 olduğundan; bu sayılar formülde yerine koyulduğunda (3+2)⋅(5−1)(3+2) \cdot (5-1) elde edilir. Bu da 5⋅4=205 \cdot 4 = 20 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin yerine sayısal değerleri yazılır.
3□5=(3+2)⋅(5−1)3 \square 5 = (3 + 2) \cdot (5 - 1)
Soruda verilen 3□53 \square 5 ifadesine göre aa harfi yerine 3, bb harfi yerine 5 yazılması gerekir.
2
Parantez içindeki aritmetik işlemler tamamlanır.
5⋅45 \cdot 4
Matematikte işlem önceliği gereği önce parantez içindeki toplama (3+2=53+2=5) ve çıkarma (5−1=45-1=4) işlemleri yapılır.
3
Elde edilen sonuçlar çarpılır.
2020
Parantezlerden gelen 5 ve 4 değerleri çarpılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin yerine verilen sayıları yazarak temel dört işlem kurallarını uygulama.

İpuçları

1
İşlem tanımında soldaki aa harfi yerine 3, sağdaki bb harfi yerine 5 yazarak başlayın.
2
Önce her iki parantezin içindeki sayıların değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.
3
İlk parantezden 5, ikinci parantezden 4 elde edeceksiniz. Bu iki değeri çarparak cevabı bulun.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin hem toplandığı hem de karesinin alındığı daha karmaşık tek adımlı işlemleri deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 118Soru →

Bir tarım işletmesinde yetiştirilen K, L, M, N ve P ürünlerinin ekim alanlarının dağılımı 1. grafikte (dairesel grafik), bu ürünlerin birim alandan elde edilen verim katsayıları ise 2. grafikte (sütun grafiği) gösterilmiştir.

1. Grafik: Ürünlerin Ekim Alanı Dağılımı
(Veriler: K: 72∘72^\circ, L: 54∘54^\circ, M: 108∘108^\circ, N: 36∘36^\circ, P: 90∘90^\circ)

2. Grafik: Ürünlerin Birim Alan Verim Katsayıları
(Veriler: K: 10, L: 20, M: 10, N: 30, P: 4)

Buna göre, bu işletmede elde edilen toplam üretim miktarları bir daire grafiği ile gösterildiğinde, K ürününe ait daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

K ürününe ait merkez açı 60 derecedir.
Toplam üretim miktarını bulmak için her bir ürünün ekim alanı (derece cinsinden) ile birim alan verimi çarpılır. K ürünü için 72×10=72072 \times 10 = 720 birim üretim, toplam üretim ise 4320 birimdir. Orantı kurulduğunda (720/4320720/4320) K ürününün toplamın 6'da 1'i olduğu görülür. 360360 derecenin 6'da 1'i 6060 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Ekim alanı dağılımındaki dereceleri birim (katsayı) olarak kabul edip, her ürünün 'Alan x Verim' formülüyle üretim miktarını hesapla.
K: 72×10=72072 \times 10 = 720, L: 54×20=108054 \times 20 = 1080, M: 108×10=1080108 \times 10 = 1080, N: 36×30=108036 \times 30 = 1080, P: 90×4=36090 \times 4 = 360 birim.
Toplam üretim dağılımını bulmak için her bir ürünün miktarının hesaplanması gerekir.
2
Tüm ürünlerin üretim miktarlarını toplayarak toplam üretimi bul.
Toplam = 720+1080+1080+1080+360=4320720 + 1080 + 1080 + 1080 + 360 = 4320 birim.
Daire grafiğindeki oranı kurmak için paydaya (bütüne) ihtiyaç vardır.
3
K ürününün toplam üretimdeki payını oranlayarak merkez açıyı hesapla: K U¨retimiToplam U¨retim×360∘\frac{\text{K Üretimi}}{\text{Toplam Üretim}} \times 360^\circ.
7204320=16\frac{720}{4320} = \frac{1}{6}. 16×360∘=60∘\frac{1}{6} \times 360^\circ = 60^\circ.
K ürününün daire grafiğindeki dilimini bulmak için orantı kurulur.

Anahtar Kavram

Bileşik Değişkenli Grafik Dönüşümü (Alan x Verim = Üretim)

İpuçları

1
Üretim Miktarı = Ekim Alanı ×\times Verim Katsayısı formülünü kullanın.
2
Ekim alanı için doğrudan grafikteki açı değerlerini (örn. K=72, L=54...) miktar gibi kullanabilirsiniz.
3
K ürününün üretimi 72×10=72072 \times 10 = 720 birimdir. Tüm ürünlerin üretimlerini bu şekilde hesaplayıp toplayın, ardından 360 dereceye oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti ile 'Hangi ürünün üretim miktarı merkez açısı en büyüktür?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplam açı (360) yerine, toplam verim puanı üzerinden gidilerek sadeleştirme yapılabilir: K(72x10), L(54x20)... şeklinde yazıp 360 parantezine alarak oranlar daha hızlı görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 119Soru →

3,7,15,31,63,x3, 7, 15, 31, 63, x

Yukarıda belirli bir kurala göre dizilmiş olan sayı dizisinde xx yerine gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 127

Cevap

Dizideki kurala göre xx yerine 127 gelmelidir.
Verilen sayı dizisinde terimler arasındaki farklar incelendiğinde 4,8,16,324, 8, 16, 32 şeklinde ilerlediği görülür. Bu farklar dizisi, her adımda kendisinin 2 katına çıkmaktadır. Dolayısıyla 6363 sayısından sonra gelecek fark 32×2=6432 \times 2 = 64 olmalıdır. 63+64=12763 + 64 = 127 sonucu bulunur. Alternatif olarak, her terim bir önceki terimin 2 katının 1 fazlasıdır (63×2+1=12763 \times 2 + 1 = 127).

Adım Adım Çözüm

1
Terimler arasındaki farkları hesaplayın.
7 - 3 = 4, 15 - 7 = 8, 31 - 15 = 16, 63 - 31 = 32
Örüntünün artış kuralını belirlemek için ardışık terimler arasındaki farklara bakılır.
2
Farklar arasındaki ilişkiyi belirleyin.
4, 8, 16, 32...
Farkların her adımda 2 katına çıktığı görülmektedir (4×2=84 \times 2 = 8, 8×2=168 \times 2 = 16 vb.).
3
Bir sonraki artış miktarını bulun.
32×2=6432 \times 2 = 64
Kurala göre bir sonraki fark, son farkın 2 katı olmalıdır.
4
Eksik olan xx terimini hesaplayın.
63 + 64 = 127
Son terime bulunan fark eklenerek bir sonraki terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde terimler arasındaki farkların geometrik olarak (katlanarak) artması.

İpuçları

1
Sayılar arasındaki artış miktarlarını (farkları) yan yana yazarak inceleyin.
2
Farkların 4,8,16,324, 8, 16, 32 olduğunu göreceksiniz. Bu farkların kendi içindeki kuralı nedir?
3
Farklar her adımda 2 katına çıkıyor. Bir sonraki farkı 64 olarak alıp son terime ekleyin veya her terimi 2 ile çarpıp 1 eklemeyi deneyin.

Daha Fazla Pratik

Farkların katlanarak arttığı benzer diziler üzerinde pratik yapabilirsiniz; örneğin farkların 3 katına çıktığı dizileri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Her terimi nn ile ifade edersek, kural an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 şeklindedir. Yani 3×2+1=73 \times 2 + 1 = 7, 7×2+1=157 \times 2 + 1 = 15 vb. Bu durumda 63×2+1=12763 \times 2 + 1 = 127 olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 120Soru →

Bir enerji üretim tesisinde bulunan Doğalgaz (D), Hidroelektrik (H) ve Rüzgar (R) santrallerinin kurulu güçlerinin dağılımı aşağıdaki dairesel grafikte gösterilmiştir. Bu santrallerin yıllık kapasite kullanım oranları ise tabloda verilmiştir.

Santral TürüKapasite Kullanım Oranı (%)
Doğalgaz (D)60
Hidroelektrik (H)45
Rüzgar (R)xx

Bir santralin yıllık ürettiği enerji miktarı, o santralin kurulu gücü ile kapasite kullanım oranının çarpımıyla hesaplanmaktadır.

Rüzgar santralinden elde edilen yıllık enerji miktarı, Hidroelektrik santralinden elde edilen yıllık enerji miktarına eşit olduğuna göre, Rüzgar santralinin kapasite kullanım oranı (xx) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Rüzgar santralinin kapasite kullanım oranı %60'tır.
Rüzgar ve Hidroelektrik santrallerinin ürettikleri enerjiler eşittir. Hidroelektrik santrali 120∘120^\circ kurulu güce ve %45 kapasiteye sahiptir, bu da 120×0.45=54120 \times 0.45 = 54 birimlik bir enerji üretimine denk gelir. Rüzgar santrali ise 90∘90^\circ kurulu güce sahiptir. 90×(x/100)=5490 \times (x/100) = 54 denkleminden x=60x = 60 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Daire grafiğindeki açılara göre kurulu güç değerlerini belirle.
Doğalgaz (D): 150∘150^\circ, Rüzgar (R): 90∘90^\circ. Dairenin tamamı 360∘360^\circ olduğundan, Hidroelektrik (H) açısı: 360∘−(150∘+90∘)=120∘360^\circ - (150^\circ + 90^\circ) = 120^\circ. Kurulu güçleri açılarla orantılı olarak KD=150kK_D = 150k, KH=120kK_H = 120k, KR=90kK_R = 90k seçelim.
Daire grafiğindeki dilimlerin merkez açıları, temsil ettikleri büyüklüklerle doğru orantılıdır.
2
Verilen formüle göre her bir santralin ürettiği enerji miktarını ifade et.
Enerji = Kurulu Güç ×\times Kapasite Oranı.
EH=120k×45100=54kE_H = 120k \times \frac{45}{100} = 54k
ER=90k×x100=0.9kxE_R = 90k \times \frac{x}{100} = 0.9kx
Problemde enerji üretiminin formülü tanımlanmıştır.
3
Verilen eşitliği kullanarak denklemi kur ve xx değerini bul.
Soruda ER=EHE_R = E_H olduğu belirtilmiş.
0.9kx=54k0.9kx = 54k
0.9x=540.9x = 54
x=540.9=60x = \frac{54}{0.9} = 60
İki santralin üretim miktarlarının eşit olduğu bilgisi çözüm için anahtardır.

Anahtar Kavram

Grafik verilerini (derece) sayısal değerlere dönüştürme ve ağırlıklı hesaplama yapma.

İpuçları

1
Önce dairesel grafikte verilmeyen Hidroelektrik (H) santralinin merkez açısını hesaplayınız. Tam açı 360∘360^\circ'dir.
2
Her bir santralin ürettiği enerjiyi bulmak için, o santralin açısını (kurulu güç temsili) tablodaki kapasite yüzdesiyle çarpınız.

Alternatif Yöntem

Oran-Orantı Yöntemi: Hidroelektrik/Rüzgar kurulu güç oranı 120/90=4/3120/90 = 4/3'tür. Enerjilerin eşit olması için kapasite oranlarının ters orantılı olması gerekir. Yani x/45=4/3x / 45 = 4 / 3 olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 6 / 14Sonraki