Examkin

Sayma ve Olasılık

293 soru

Soru 161Soru →

Bir halk eğitim merkezinde yıl sonu etkinlikleri kapsamında düzenlenen bir sergide; 33 farklı ebru sanatı tablosu ve 33 farklı hat sanatı tablosu bir duvar boyunca tek sıra halinde yan yana asılacaktır. Ebru sanatı tablolarının tamamının bir arada (yan yana) olması şartıyla, bu tablolar kaç farklı şekilde sergilenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Ebru sanatı tablolarının bir arada olduğu toplam sıralama sayısı 144'tür.
Doğru yanıt olan seçenek, ebru tablolarını tek bir paket olarak görüp 4 birimin sıralanışını (4!4!) hesapladıktan sonra, ebru tablolarının kendi içindeki yer değişimini (3!3!) çarpan olarak ekleyen mantığa dayanmaktadır (24×6=14424 \times 6 = 144).

Adım Adım Çözüm

1
Yan yana olması istenen nesneleri gruplandırın.
3 farklı ebru tablosu tek bir paket (1 birim) olarak kabul edilir.
Sorudaki 'bir arada olma' şartını sağlamak için bu nesneler birbirinden ayrılmaz bir bütün gibi düşünülmelidir.
2
Toplam birim sayısını belirleyin ve sıralayın.
1 ebru paketi + 3 ayrı hat tablosu = 4 birim. Bunlar 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır.
Paket artık diğer nesnelerle birlikte hareket eden tek bir nesne gibidir.
3
Paket içindeki nesnelerin kendi aralarındaki sıralanışını hesaplayın.
3 farklı ebru tablosu paket içinde 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Ebru tabloları bir arada kalmak kaydıyla kendi içlerinde yer değiştirebilirler.
4
Çarpma kuralını uygulayarak sonucu bulun.
24×6=14424 \times 6 = 144.
Genel sıralama ile grup içi sıralama bağımsız olaylar olduğu için sonuçlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Bağımlı permütasyonda (nesnelerin yan yana olması), yan yana gelecek nesneler tek bir birim kabul edilir ve toplam sıralama sayısı bu birimin kendi içindeki yer değişimiyle çarpılır.

İpuçları

1
Yan yana olması istenen 3 ebru tablosunu sanki birbirine bağlı tek bir büyük tabloymuş gibi düşünün.
2
Elinizde artık 1 adet 'ebru bloğu' ve 3 adet ayrı hat tablosu var. Toplam kaç nesneyi sıralamanız gerektiğini bulun.
3
Bulduğunuz genel sıralama sonucunu, ebru bloğunun içindeki tabloların kendi aralarındaki 3!3! kadar farklı dizilişi ile çarpmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı soruyu 'hiçbir ebru tablosunun yan yana olmaması' veya 'iki ebru tablosunun uçlarda olması' gibi farklı kısıtlamalarla çözerek permütasyon mantığını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 162Soru →

Bir Büyükşehir Belediye Meclisi gündeminde görüşülecek olan, birbirinden farklı içeriklere sahip 3 İmar, 2 Bütçe ve 2 Hukuk dosyası sıraya konulacaktır.

Dosyaların sıralanmasıyla ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
* Bütçe dosyaları art arda (peş peşe) görüşülecektir.
* Gündemin ilk ve son sırasında görüşülecek dosyalar aynı türden olacaktır.

Buna göre, bu 7 dosya gündem listesine kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 384

Cevap

Dosyalar toplam 384 farklı şekilde sıralanabilir.
Doğru cevap, problemin gerektirdiği tüm mantıksal durumların (İmar-İmar ve Hukuk-Hukuk uçları) ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla bulunur. Bütçe-Bütçe uç durumu, yan yana olma koşuluna aykırı olduğu için elenir. Her bir geçerli durumda, 'yan yana olma' koşulu için blok yöntemi (paketleme) ve uçlardaki elemanların kendi aralarındaki permütasyonu doğru şekilde uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Olası durumları belirle.
Gündemin ilk ve son sırasında aynı tür dosyalar olmalıdır. Bu durum 3 farklı senaryo oluşturur: 1) Uçlarda İmar dosyaları, 2) Uçlarda Hukuk dosyaları, 3) Uçlarda Bütçe dosyaları.
Problemde 'ilk ve son sırada görüşülecek dosyalar aynı türden olacaktır' koşulu verilmiştir.
2
Durum 1'i (Uçlarda İmar) incele ve hesapla.
Uçlara 3 İmar dosyasından 2'si seçilip sıralanır: P(3,2) = 6. Ortaya kalanlar: 1 İmar, 2 Bütçe, 2 Hukuk. Bütçe dosyaları yan yana olmalı, tek bir paket [BB] gibi düşünülür. Ortada sıralanacak nesneler: {İ, [BB], H, H} (4 nesne). Sıralama: 4! = 24. [BB] kendi içinde 2! = 2 yer değiştirir. Toplam: 6 x 24 x 2 = 288.
İmar dosyaları uçlara yerleştirildikten sonra kalanlar ve 'Bütçe yan yana' koşulu için blok yöntemi kullanılır.
3
Durum 2'yi (Uçlarda Hukuk) incele ve hesapla.
Uçlara 2 Hukuk dosyasından 2'si seçilip sıralanır: P(2,2) = 2. Ortaya kalanlar: 3 İmar, 2 Bütçe. Bütçe dosyaları yine [BB] paketi olarak düşünülür. Ortada sıralanacak nesneler: {İ, İ, İ, [BB]} (4 nesne). Sıralama: 4! = 24. [BB] kendi içinde 2! = 2 yer değiştirir. Toplam: 2 x 24 x 2 = 96.
Hukuk dosyaları uçlara yerleştirildikten sonra kalanlar ve blok yöntemi uygulanır.
4
Durum 3'ü (Uçlarda Bütçe) incele.
Uçlara Bütçe dosyaları gelirse (1. ve 7. sıra), bu dosyalar yan yana olamaz. Ancak soruda 'Bütçe dosyaları art arda görüşülecektir' koşulu vardır. Bu durum çelişki yaratır, bu yüzden gerçekleşme sayısı 0'dır.
Bütçe dosyalarının hem uçlarda (aralarında 5 dosya var) hem de yan yana olması imkansızdır.
5
Tüm geçerli durumları topla.
Toplam = Durum 1 + Durum 2 = 288 + 96 = 384.
Farklı ve ayrık durumların toplam sayısı permütasyonların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bu soru, kısıtlı permütasyon (tekrarsız sıralama), bloklama yöntemi (yan yana olma koşulu) ve durum analizi (ayrık olayların toplanması) becerilerini ölçmektedir.

İpuçları

1
Problemi parçalara ayırın: İlk ve son dosyanın aynı türden olması kaç farklı durumda gerçekleşebilir? (İmar-İmar, Bütçe-Bütçe, Hukuk-Hukuk)
2
Bütçe dosyalarının uçlarda (1. ve 7. sırada) olması durumunda, 'art arda olma' kuralı sağlanabilir mi? Bunu düşünerek olası durumları eleyin.
3
İki ana durumu hesaplayın: 1) Uçlarda İmar varken ortadaki 5 nesneyi (Bütçeler birleşik tek nesne sayılır) sıralayın. 2) Uçlarda Hukuk varken aynısını yapın. Bütçelerin kendi içindeki yer değişimini (2!) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '3 doktor ve 4 hemşirenin, uçlarda hemşireler olmak şartıyla yan yana sıralanması' sorusunu çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 163Soru →
(x2−2x)n \left( x^2 - \frac{2}{x} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan 5. terim sabit terimdir.

Buna göre, bu açılımdaki ortadaki terimin katsayısının sabit terime oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −23-\frac{2}{3}

Cevap

İstenen oran −23-\frac{2}{3} tür.
Doğru cevap, nn değerinin doğru bulunması, ortadaki terim ve sabit terim katsayılarının işaret ve kuvvetlere dikkat edilerek hesaplanıp oranlanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazarak sabit terim koşulunu sağlayan n değerini bul.
Genel terim: (nr)(x2)n−r(−2x−1)r\binom{n}{r}(x^2)^{n-r}(-2x^{-1})^r. Baştan 5. terim için r=4r=4 tür. xx'in kuvveti: 2(n−4)−1(4)=0⇒2n=12⇒n=62(n-4) - 1(4) = 0 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n=6.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü kullanılır.
2
Bulunan n değeri için ortadaki terimi belirle.
n=6n=6 (çift sayı) olduğu için n+1=7n+1=7 terim vardır. Ortadaki terim 4. terimdir, yani r=3r=3 tür.
Ortadaki terim için r=n/2r = n/2 alınır.
3
Ortadaki terimin katsayısını hesapla.
r=3r=3 için katsayı: (63)⋅(1)3⋅(−2)3=20⋅(−8)=−160\binom{6}{3} \cdot (1)^3 \cdot (-2)^3 = 20 \cdot (-8) = -160.
Katsayı hesaplanırken hem kombinasyon hem de terimlerin sayısal çarpanları alınır.
4
Sabit terimin katsayısını hesapla.
r=4r=4 (sabit terim) için katsayı: (64)⋅(1)2⋅(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} \cdot (1)^2 \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240.
Sabit terim x0x^0 lı terimdir.
5
İstenen oranı hesapla.
Oran = −160240=−1624=−23\frac{-160}{240} = -\frac{16}{24} = -\frac{2}{3}.
Sonuç sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim C(n,r)⋅an−r⋅brC(n,r) \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülüyle bulunur. Sabit terim için değişkenin üssü 0 olmalıdır.

İpuçları

1
Önce verilen ifadenin kaçıncı kuvvetinin (nn) alındığını bulmalısın. Bunun için genel terim formülünü (Tr+1T_{r+1}) kullan ve sabit terim olması için xx'in üssünü sıfıra eşitle.
2
Baştan 5. terim dendiği için r=4r=4 almalısın. Buradan n=6n=6 bulunacaktır. Şimdi n=6n=6 için ortadaki terimin kaçıncı terim olduğunu bul.
3
n=6n=6 açılımında 7 terim vardır, ortadaki terim 4. terimdir (r=3r=3). Katsayıları hesaplarken (−2/x)r(-2/x)^r ifadesindeki (−2)(-2) sayısının kuvvetini almayı unutma.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 164Soru →

Sonlu bir E={e1,e2,e3,e4,e5}E = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\} örnek uzayında tanımlı PP olasılık fonksiyonu, her k∈{1,2,3,4,5}k \in \{1, 2, 3, 4, 5\} değeri için

P(ek)=c⋅2kP(e_k) = c \cdot 2^k


eşitliğini sağlamaktadır (burada cc bir gerçel sayıdır).

Buna göre, bu örnek uzayda tanımlı A={e2,e4}A = \{e_2, e_4\} olayının gerçekleşme olasılığı P(A)P(A) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1031\frac{10}{31}

Cevap

A olayının olasılığı 10/31'dir.
Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği, örnek uzaydaki tüm elemanların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. Verilen P(ek)=c⋅2kP(e_k) = c \cdot 2^k bağıntısı kullanılarak toplam hesaplandığında c(2+4+8+16+32)=62c=1c(2+4+8+16+32) = 62c = 1 eşitliğinden c=1/62c=1/62 bulunur. İstenen A={e2,e4}A=\{e_2, e_4\} olayı için olasılıklar toplamı P(e2)+P(e4)=4c+16c=20cP(e_2) + P(e_4) = 4c + 16c = 20c olur. Değer yerine yazıldığında 20/6220/62, sadeleştirildiğinde ise 10/3110/31 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık aksiyomu gereği, örnek uzaydaki tüm basit olayların olasılıkları toplamının 1'e eşit olması kuralını uygula.
∑k=15P(ek)=1  ⟹  c(21+22+23+24+25)=1\sum_{k=1}^{5} P(e_k) = 1 \implies c(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) = 1
Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı daima 1'dir.
2
Parantez içindeki geometrik toplamı hesaplayarak sabiti (c) bul.
2+4+8+16+32=62  ⟹  62c=1  ⟹  c=1622 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 \implies 62c = 1 \implies c = \frac{1}{62}
Olasılık fonksiyonunun tam olarak tanımlanabilmesi için orantı sabiti bulunmalıdır.
3
İstenen A olayının olasılığını, kümeyi oluşturan elemanların olasılıklarını toplayarak hesapla.
P(A)=P(e2)+P(e4)=c⋅22+c⋅24=c(4+16)=20cP(A) = P(e_2) + P(e_4) = c \cdot 2^2 + c \cdot 2^4 = c(4 + 16) = 20c
Ayrık olayların birleşiminin olasılığı, olasılıkların toplamına eşittir.
4
Bulunan c değerini yerine yazarak sonucu sadeleştir.
P(A)=20⋅162=2062=1031P(A) = 20 \cdot \frac{1}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}
Sonuç en sade haliyle ifade edilmelidir.

Anahtar Kavram

Bir örnek uzayda tanımlı olasılık fonksiyonu için tüm çıktıların olasılıkları toplamı 1'dir (P(E)=1P(E)=1).
Soru 165Soru →

A=6!⋅7!⋅8!A = 6! \cdot 7! \cdot 8! sayısı veriliyor.

Buna göre, AA sayısını tam bölen en büyük faktöriyelli sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10!

Cevap

A sayısını tam bölen en büyük faktöriyelli sayı 10! ifadesidir.
Verilen A=6!⋅7!⋅8!A = 6! \cdot 7! \cdot 8! ifadesinin seçeneklerdeki faktöriyellere bölünebilirliği test edildiğinde; 10! seçeneği için ifadenin 6!⋅7!⋅8!10!=720⋅7!90=8⋅7!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10!} = \frac{720 \cdot 7!}{90} = 8 \cdot 7! şeklinde tam sayı olduğu görülür. Ancak bir sonraki seçenek olan 11! için sonuç 11 asal çarpanı sadeleşmediği için tam sayı çıkmaz. Bu nedenle tam bölen en büyük sayı 10!'dir.

Adım Adım Çözüm

1
A sayısının verilen faktöriyel seçeneklerine bölünebilirliği kontrol edilir. İstenen durum An!\frac{A}{n!} ifadesinin tam sayı olmasıdır.
İfade: 6!⋅7!⋅8!n!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{n!}
Bir sayının başka bir sayıya tam bölünmesi için bölümün tam sayı olması gerekir.
2
Önce seçenekler arasındaki en makul aday olan 10! denenir. 10! ifadesi 10⋅9⋅8!10 \cdot 9 \cdot 8! olarak açılır ve sadeleştirme yapılır.
6!⋅7!⋅8!10!=6!⋅7!⋅8!10⋅9⋅8!=6!⋅7!90\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10!} = \frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10 \cdot 9 \cdot 8!} = \frac{6! \cdot 7!}{90}
Büyük faktöriyelleri sadeleştirmek işlemi kolaylaştırır.
3
Kalan ifadenin 90'a bölünüp bölünmediği kontrol edilir. 6!=7206! = 720 olduğu hatırlanır.
720⋅7!90=8⋅7!\frac{720 \cdot 7!}{90} = 8 \cdot 7!
720 sayısı 90'a tam bölünür (Bölüm 8'dir). Sonuç bir tam sayıdır, yani 10! böler.
4
Daha büyük bir faktöriyel olan 11!'in bölüp bölmediği kontrol edilir.
6!⋅7!⋅8!11!=A10!⋅11=8⋅7!11\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{11!} = \frac{A}{10! \cdot 11} = \frac{8 \cdot 7!}{11}
Önceki adımda bulduğumuz sonucu 11'e bölerek ilerleyebiliriz.
5
11 sayısının asal olduğu ve pay kısmındaki çarpanlarda (8 ve 7!) 11 çarpanının bulunmadığı tespit edilir.
11 asal sayısı 7!=50407! = 5040 sayısını bölmez. Bu nedenle 11! A sayısını tam bölmez.
Asal çarpan kontrolü kesin sonuç verir. 11! bölünmüyorsa daha büyükleri de bölünmez.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli sayılarda bölünebilme ve sadeleştirme kuralları.

İpuçları

1
Bölme işlemini kesir olarak yazın: 6!⋅7!⋅8!n!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{n!}.
2
Paydadaki faktöriyeli, paydaki en büyük faktöriyel olan 8!8! cinsinden açarak sadeleştirme yapın (Örn: 10!=10⋅9⋅8!10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!).
3
Sadeleştirme sonrası kalan sayıların birbirine bölünüp bölünmediğini kontrol edin. 6!=7206! = 720 olduğunu hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

İçinde asal çarpan barındıran faktöriyel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 166Soru →

Aşağıdaki şekilde, bir şehrin birbirini dik kesen sokaklarının planı verilmiştir. A noktasında bulunan bir kişi, sadece sağa veya yukarı yönde hareket ederek en kısa yoldan B noktasına gidecektir.

Buna göre, bu kişi A noktasından B noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

A noktasından B noktasına giden toplam yol sayısı 35'tir.
En kısa yolu bulmak için toplamda 7 adım atılmalıdır. Bu adımların 4'ü sağa, 3'ü yukarı yöndedir. Bu durum, 4 tane 'S' ve 3 tane 'Y' harfinin yan yana kaç farklı şekilde dizilebileceği sorusuyla aynıdır. Tekrarlı permütasyon formülü olan 7!4!⋅3!\frac{7!}{4! \cdot 3!} işlemi yapıldığında 35 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Atılması gereken toplam adım sayısını ve yönleri belirleyin.
A'dan B'ye gitmek için 4 birim sağa (S) ve 3 birim yukarı (Y) olmak üzere toplam 4+3=74 + 3 = 7 adım atılmalıdır.
En kısa yoldan gitmek için sadece hedefe yaklaştıran sağ ve yukarı hamleler yapılmalıdır.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kurun.
7!4!×3! \frac{7!}{4! \times 3!}
Aynı yöndeki adımlar (4 tane S ve 3 tane Y) kendi aralarında özdeş oldukları için sıralama tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
3
İşlemi sonuçlandırın.
7×6×5×4!4!×(3×2×1)=7×6×56=35 \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35
Pay ve paydadaki 4!4! ve 66 değerleri sadeleştiğinde sonuç 35 olur.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin (veya adımların) farklı dizilimlerinin sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon kullanılır.

İpuçları

1
A noktasından B noktasına varmak için toplam kaç birim sağa ve kaç birim yukarı gitmeniz gerektiğini sayın.
2
Sağa adımları 'S', yukarı adımları 'Y' harfi gibi düşünürseniz, soru SSSSYYY diziliminin kaç farklı şekilde yapılabileceğine dönüşür.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü hatırlayın: Toplam Adım!Sag˘a Adım!×Yukarı Adım!\frac{\text{Toplam Adım!}}{\text{Sağa Adım!} \times \text{Yukarı Adım!}}

Daha Fazla Pratik

Eğer yol üzerinde uğranması zorunlu bir C noktası olsaydı, A'dan C'ye ve C'den B'ye giden yolları ayrı ayrı hesaplayıp çarpmanız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Izgara üzerindeki her bir köşe noktasına ulaşım yollarını toplayarak ilerleyebilirsiniz. Sol alt köşeden (A) başlayarak her noktaya solundaki ve altındaki noktaların değerlerini toplayarak yazın (Pascal üçgeni mantığı).
Tahmini Süre:45s
Soru 167Soru →

Bir KPSS kursundaki 5050 adayın mezuniyet durumlarına göre tercih ettikleri branş dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mezuniyet DurumuEğitim BilimleriGenel Kültür
Lisans10101010
Eğitim Fakültesi20201010

Bu gruptan rastgele seçilen bir adayın Eğitim Bilimleri branşını tercih ettiği bilindiğine göre, bu adayın Eğitim Fakültesi mezunu olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23\frac{2}{3}

Cevap

Eğitim Bilimleri tercih edenler arasından Eğitim Fakültesi mezunu seçilme olasılığı 2/3'tür.
Verilen soruda adayların Eğitim Bilimleri branşını tercih ettiği bilgisi, olasılık hesabındaki örnek uzayımızı sadece bu branşı seçen 3030 kişiyle sınırlandırır. Bu 3030 kişi arasından Eğitim Fakültesi mezunu olanların sayısı 2020 olduğundan, olasılık değeri bu iki sayının birbirine oranı olan 2/32/3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulun (yeni örnek uzayının) belirlenmesi
Eğitim Bilimleri tercih eden toplam aday sayısı =10+20=30= 10 + 20 = 30
Soruda branşın 'Eğitim Bilimleri olduğu bilindiğine göre' dendiği için örnek uzayımız sadece bu adaylardan oluşur.
2
İstenen durum sayısının belirlenmesi
Eğitim Bilimleri içindeki Eğitim Fakültesi mezunu sayısı =20= 20
Koşullu olasılıkta istenen durum, koşulun gerçekleştiği küme ile hedef kümenin kesişimidir.
3
Olasılığın hesaplanması
Olasılık =2030=23= \frac{20}{30} = \frac{2}{3}
Olasılık değeri, istenen durum sayısının tüm durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta, verilen bilgi (koşul) örnek uzayı daraltır. 'A bilindiğine göre B'nin olasılığı' ifadesi P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} formülüyle veya doğrudan sayıların oranlanmasıyla bulunur.

İpuçları

1
'Bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen branşı tablodan bulun ve sadece o sütuna odaklanın.
2
Eğitim Bilimleri branşını seçenlerin toplam sayısını (10+2010+20) hesaplayarak yeni toplam aday sayınız (payda) olarak belirleyin.
3
Şimdi sadece Eğitim Bilimleri sütunundaki Eğitim Fakültesi mezunu sayısını, bu sütunun toplamına oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir tablo üzerinde 'Lisans mezunu olduğu bilindiğine göre Genel Kültür tercih etme olasılığı' sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek 'Eğitim Bilimleri' kümesinin içindeki 'Eğitim Fakültesi' kesişimini görebilir ve oranlamayı bu şekilde görselleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 168Soru →

Bir şehir plancısı, dik koordinat düzlemi üzerinde kare parsellere ayrılmış bir mahallede A(0,0)A(0,0) noktasından B(4,4)B(4,4) noktasına sadece sağa (pozitif xx yönü) veya yukarı (pozitif yy yönü) hareket ederek en kısa yoldan ulaşacaktır. Yol üzerindeki C(2,2)C(2,2) kavşağında devam eden altyapı çalışması nedeniyle bu noktadan geçiş yapılamamaktadır. **Buna göre, bu şehir plancısı AA noktasından BB noktasına kaç farklı rota kullanarak gidebilir?**

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Şehir plancısı, C noktasını kullanmadan toplam 34 farklı rota üzerinden A'dan B'ye ulaşabilir.
Doğru çözüm için önce kısıtlama olmaksızın tüm yolların sayısı (7070) hesaplanır. Ardından, geçilmesi yasak olan noktadan (C noktası) geçen tüm yollar (6×6=366 \times 6 = 36) belirlenir. Toplam yoldan bu yasaklı yollar çıkarıldığında (70−36=3470 - 36 = 34), şartı sağlayan rota sayısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların hesaplanması
8!4!×4!=70 \frac{8!}{4! \times 4!} = 70
A(0,0) noktasından B(4,4) noktasına gitmek için 4 sağ ve 4 yukarı olmak üzere toplam 8 adım atılmalıdır. Bu durum tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
2
A noktasından yasaklı C noktasına giden yolların hesaplanması
4!2!×2!=6 \frac{4!}{2! \times 2!} = 6
A(0,0) noktasından C(2,2) noktasına ulaşmak için 2 sağ ve 2 yukarı adım gereklidir.
3
C noktasından B noktasına giden yolların hesaplanması
4!2!×2!=6 \frac{4!}{2! \times 2!} = 6
C(2,2) noktasından B(4,4) noktasına ulaşmak için yine 2 sağ ve 2 yukarı adım atılmalıdır.
4
C noktasından geçen toplam yol sayısının bulunması
6×6=36 6 \times 6 = 36
Bağımsız olayların çarpımı prensibine göre A'dan C'ye ve C'den B'ye giden yollar çarpılır.
5
Geçerli yolların hesaplanması
70−36=34 70 - 36 = 34
Tüm durumlardan, kısıtlamaya uymayan (C'den geçen) yollar çıkarılarak istenen sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve yol problemlerinde kısıtlamalı (yasaklı nokta) durumların analizi.

İpuçları

1
Bu tür ızgara (grid) sorularında toplam yol sayısı, atılan toplam adımın tekrarlı permütasyonuna eşittir.
2
C noktasından geçmemek için, tüm durumlardan C noktasından geçen durumları çıkarmayı deneyin.
3
Önce A(0,0)A(0,0)'dan B(4,4)B(4,4)'e tüm yolları, sonra AA'dan CC'ye ve CC'den BB'ye olan yolları hesaplayıp birbirinden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

C noktasından geçmek 'zorunlu' olsaydı cevap ne olurdu? (Cevap 36 olacaktı).

Alternatif Yöntem

Izgara üzerindeki köşe noktalarına A'dan başlayarak 1 yazıp, her noktanın değerini solundaki ve altındaki komşu noktaların toplamı olacak şekilde toplayarak ilerleyebilirsiniz (Pascal üçgeni mantığı). Yasaklı C noktasının değerini 0 alarak B noktasına ulaştığınızda sonuç yine 34 çıkacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 169Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!+n!+(n−1)!(n−2)!=48 \frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} + \frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = 48

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen ifadede her iki kesir de en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirilir. Birinci kesir 2n+12n+1, ikinci kesir ise n2−1n^2-1 sonucunu verir. Toplamları n2+2n=48n^2+2n=48 denklemini oluşturur. Bu denklemin pozitif kökü 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin birinci terimini sadeleştirin.
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!=(2n−1)!⋅[2n+1](2n−1)!=2n+1\frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{(2n-1)! \cdot [2n + 1]}{(2n-1)!} = 2n + 1
Paydaki ifade (2n−1)!(2n-1)! parantezine alınarak payda ile sadeleştirilir.
2
Eşitliğin ikinci terimini sadeleştirin.
n!+(n−1)!(n−2)!=(n−1)!⋅[n+1](n−2)!=(n−2)!(n−1)(n+1)(n−2)!=(n−1)(n+1)=n2−1\frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = \frac{(n-1)! \cdot [n + 1]}{(n-2)!} = \frac{(n-2)!(n-1)(n+1)}{(n-2)!} = (n-1)(n+1) = n^2 - 1
Paydaki ifade (n−1)!(n-1)! parantezine alınır, ardından (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! dönüşümü ile payda sadeleştirilir.
3
Bulunan sadeleşmiş ifadeleri toplayıp denklemi çözün.
(2n+1)+(n2−1)=48⇒n2+2n=48(2n + 1) + (n^2 - 1) = 48 \Rightarrow n^2 + 2n = 48
Sadeleşmiş terimlerin toplamı 48'e eşitlenir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulun.
n2+2n−48=0⇒(n+8)(n−6)=0n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0
Denklem çarpanlarına ayrılır.
5
Geçerli kökü belirleyin.
n=−8n = -8 veya n=6n = 6. nn pozitif tam sayı olduğu için n=6n=6 olmalıdır.
Negatif kök, faktöriyel tanımı ve sorudaki pozitif tam sayı koşulu gereği elenir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmeleri ve ikinci dereceden denkleme dönüşen ifadeler

İpuçları

1
Her kesirdeki pay ifadesini, o kesirdeki en küçük faktöriyel cinsinden paranteze alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
(2n)!=(2n)(2n−1)!(2n)! = (2n)(2n-1)! ve n!=n(n−1)!n! = n(n-1)! özelliklerini kullanın. Ayrıca (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! olduğunu hatırlayın.
3
Sadeleştirmeler sonucunda ifade n2+2n=48n^2 + 2n = 48 şeklinde ikinci dereceden bir denkleme dönüşür.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesini içeren ve sonucunda rasyonel ifade veya denklem çözümü gerektiren başka sorular çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklardaki değerleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yöntemiyle de çözüm bulunabilir, ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 170Soru →

0, 0, 1, 2, 2, 3 rakamlarının tamamı kullanılarak 6 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Verilen rakamlarla 120 farklı doğal sayı yazılabilir.
Verilen rakamlar kümesi {0,0,1,2,2,3}\{0, 0, 1, 2, 2, 3\} şeklindedir. Toplam 6 eleman vardır. Tekrarlı permütasyon formülü gereği tüm dizilimlerin sayısı 6!2!⋅2!=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = 180 olarak bulunur. Ancak bir doğal sayının basamak sayısı korunmak istendiğinde ilk basamağa 0 gelemez. 6 rakamdan 4 tanesi (1, 2, 2, 3) sıfırdan farklıdır. Dolayısıyla tüm dizilimlerin 46\frac{4}{6}'sı geçerli doğal sayılardır. Sonuç: 180⋅46=120180 \cdot \frac{4}{6} = 120 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam eleman sayısını ve tekrar eden elemanları belirle.
Toplam rakam sayısı n=6n=6. Tekrar edenler: iki adet 0, iki adet 2. (0,0,1,2,2,3)
Tekrarlı permütasyon formülünü doğru kurmak için n ve tekrar sayıları tespit edilmelidir.
2
Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm durumların sayısını hesapla.
6!2!⋅2!⋅1!⋅1!=7202⋅2=7204=180\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \cdot 2} = \frac{720}{4} = 180
Tüm dizilimleri bulup daha sonra kısıtlamayı uygulamak işlem kolaylığı sağlar.
3
Sıfırın başa gelememe kuralını uygula.
6 rakamdan 2 tanesi 0'dır, yani başa 0 gelme olasılığı 26\frac{2}{6}, gelmeme olasılığı 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
Bir doğal sayı 0 ile başlayamaz. Bu yüzden toplam dizilimlerin sadece sıfırla başlamayan oranı geçerlidir.
4
Toplam sayıyı uygun oranla çarp.
180⋅23=120180 \cdot \frac{2}{3} = 120
Tüm durumların 23\frac{2}{3}'ü geçerli doğal sayılardır.

Anahtar Kavram

Sıfır içeren tekrarlı permütasyon sorularında, toplam permütasyon sayısı hesaplandıktan sonra, (Toplam Rakam - Sıfır Sayısı) / Toplam Rakam oranı ile çarpılarak geçerli durum sayısı bulunur.

İpuçları

1
Önce 0'ın başa gelme kuralını önemsemeden, bu 6 rakamla kaç farklı dizilim yapılabileceğini hesaplayın.
2
Bulduğunuz toplam sayıdan, 0 ile başlayanları çıkarmanız veya toplam sayıyı (Sıfır Olmayan Rakam Sayısı / Toplam Rakam Sayısı) oranıyla çarpmanız gerekir.
3
Tüm durumlar 180'dir. Rakamların 6 tanesinden 2 tanesi 0'dır, yani dizilimlerin 2/6'sı 0 ile başlar ve geçersizdir. Geriye kalan 4/6'lık kısım geçerlidir.

Daha Fazla Pratik

İçinde 0 bulunan rakamlarla oluşturulabilecek 7 basamaklı çift sayıların sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Çıkarma Yöntemi: Tüm durumlar (180) - Sıfır ile başlayanlar. Sıfır ile başlayanlar için bir 0'ı başa sabitleyin, geriye {0,1,2,2,3} kalır. Bu 5 rakamın permütasyonu 5!/2! = 60'tır. Sonuç: 180 - 60 = 120.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 171Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için aşağıdaki olasılık eşitlikleri verilmiştir:

P(A∖B)=16P(A \setminus B) = \frac{1}{6}

P(B∖A)=14P(B \setminus A) = \frac{1}{4}

P(A∪B)=3⋅P(A∩B)P(A \cup B) = 3 \cdot P(A \cap B)

Buna göre, AA olayının gerçekleşme olasılığı (P(A)P(A)) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38\frac{3}{8}

Cevap

38\frac{3}{8}
Kümeler teorisine göre P(A∪B)P(A \cup B), üç ayrık kümenin olasılıkları toplamı olarak yazılabilir: P(A∖B)+P(B∖A)+P(A∩B)P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B). Verilen değerler ve P(A∪B)=3P(A∩B)P(A \cup B) = 3 P(A \cap B) eşitliği kullanıldığında, kesişim olasılığı 5/245/24 olarak bulunur. P(A)P(A) değeri, P(A∖B)P(A \setminus B) ile kesişimin toplamı olduğundan 1/6+5/24=3/81/6 + 5/24 = 3/8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeler teorisindeki birleşim formülünü ayrık parçalar cinsinden ifade etme
P(A∪B)=P(A∖B)+P(B∖A)+P(A∩B)P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B)
Birleşim kümesi; yalnızca A'da olanlar, yalnızca B'de olanlar ve her ikisinde olanların (kesişim) toplamından oluşur.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyarak kesişim olasılığını (xx) bulma
3x=16+14+x⇒2x=512⇒x=5243x = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + x \Rightarrow 2x = \frac{5}{12} \Rightarrow x = \frac{5}{24}
P(A∩B)=xP(A \cap B) = x denilirse, soruda verilen P(A∪B)=3xP(A \cup B) = 3x eşitliği kullanılarak denklem çözülür.
3
AA olayının olasılığını hesaplama
P(A)=P(A∖B)+P(A∩B)=16+524=424+524=924=38P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B) = \frac{1}{6} + \frac{5}{24} = \frac{4}{24} + \frac{5}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
AA olayı, A∖BA \setminus B fark kümesi ile A∩BA \cap B kesişim kümesinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Küme İşlemleri İlişkisi
Soru 172Soru →

Bir kamu kurumu tarafından düzenlenecek hizmet içi eğitim semineri için planlama yapılmaktadır. Organizasyon kapsamında seçilebilecek 3 farklı "Mekan", 4 farklı "Eğitimci" ve 3 farklı "Promosyon Materyal Seti" seçeneği bulunmaktadır. Ancak, mekan seçenekleri arasında yer alan "Büyük Konferans Salonu"nun teknik altyapısı, promosyon seçeneklerinden biri olan "Dijital İçerik Paketi"nin dağıtımı için uygun değildir.

Buna göre; bir mekan, bir eğitimci ve bir promosyon materyal setinin seçileceği bu seminer organizasyonu kaç farklı şekilde planlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Organizasyon toplam 32 farklı şekilde planlanabilir.
Toplam seçenek sayısı hesaplanırken çarpma kuralı kullanılır: 3×4×3=363 \times 4 \times 3 = 36. Kısıtlamaya göre 'Büyük Konferans Salonu' ve 'Dijital İçerik Paketi' aynı anda seçilemez. Bu ikilinin bir araya geldiği durumlar, 4 farklı eğitimci ile birleşebileceğinden 1×1×4=41 \times 1 \times 4 = 4 adettir. Toplam durumdan bu istenmeyen durumlar çıkarılır: 36−4=3236 - 4 = 32.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlama olmaksızın oluşabilecek tüm olası durumların sayısını hesapla.
3 Mekan x 4 Eğitimci x 3 Promosyon Seti = 36 farklı durum.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği, bağımsız seçimlerin sayıları çarpılır.
2
Teknik olarak uygun olmayan (yasaklı) durumların sayısını hesapla.
1 (Yasaklı Mekan) x 1 (Yasaklı Set) x 4 (Eğitimci) = 4 yasaklı durum.
Büyük Konferans Salonu ve Dijital İçerik Paketi'nin birlikte seçildiği durumda, eğitimci kim olursa olsun (4 seçenek) organizasyon yapılamaz.
3
Tüm durumlardan yasaklı durumları çıkararak geçerli plan sayısını bul.
36 - 4 = 32.
Tüm olasılıklardan istenmeyen durumlar çıkarıldığında geriye istenen durumlar kalır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Çarpma Prensibi ve Koşullu Sayma)

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'A şehrinden B şehrine 3, B'den C'ye 4 yol vardır. Gidişte kullanılan yolun dönüşte kullanılmaması şartıyla kaç farklı şekilde gidilip dönülebilir?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplama yoluyla sayma:
1. Durum (Büyük Konferans Salonu Seçilirse): Bu mekan için sadece 2 uygun promosyon seti vardır. 1 (Mekan)×4 (Eg˘itimci)×2 (Set)=81 \text{ (Mekan)} \times 4 \text{ (Eğitimci)} \times 2 \text{ (Set)} = 8 durum.
2. Durum (Diğer Mekanlar Seçilirse): Diğer 2 mekan için tüm promosyon setleri uygundur. 2 (Mekan)×4 (Eg˘itimci)×3 (Set)=242 \text{ (Mekan)} \times 4 \text{ (Eğitimci)} \times 3 \text{ (Set)} = 24 durum.
Toplam: 8+24=328 + 24 = 32.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 173Soru →
Tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olan E={x∈Z:∣x∣≤2}E = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\} örnek uzayı üzerinde tanımlı bir PP olasılık fonksiyonu, her x∈Ex \in E için aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere;
P({x})=a⋅∣x∣+bP(\{x\}) = a \cdot |x| + b

biçiminde veriliyor.

P({0})=19P(\{0\}) = \frac{1}{9} olduğuna göre, P({x∈E:x≥1})P(\{x \in E : x \ge 1\}) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49\frac{4}{9}

Cevap

49\frac{4}{9}
Olasılık fonksiyonunun en temel özelliği, örnek uzaydaki tüm elemanların olasılıkları toplamının 1 olmasıdır. E={−2,−1,0,1,2}E=\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi için toplam olasılık yazıldığında aa katsayısı bulunur. Daha sonra istenen durum olan x=1x=1 ve x=2x=2 için fonksiyon değerleri toplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayını liste yöntemiyle yaz
E={−2,−1,0,1,2}E = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
Mutlak değeri 2 veya 2'den küçük olan tam sayıları belirlemek için.
2
Verilen P({0})P(\{0\}) değerinden bb sabitini bul
P({0})=a⋅∣0∣+b=b=19P(\{0\}) = a \cdot |0| + b = b = \frac{1}{9}
Fonksiyondaki bilinmeyenlerden birini belirlemek için.
3
Olasılık aksiyomu gereği tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitle ve aa değerini bul
∑P(x)=1  ⟹  P(−2)+P(−1)+P(0)+P(1)+P(2)=1\sum P(x) = 1 \implies P(-2)+P(-1)+P(0)+P(1)+P(2) = 1. Simetriden yararlanarak: 2(2a+b)+2(a+b)+b=1  ⟹  6a+5b=12(2a+b) + 2(a+b) + b = 1 \implies 6a + 5b = 1. b=1/9b=1/9 yerine konulursa 6a=1−5/9=4/9  ⟹  a=2276a = 1 - 5/9 = 4/9 \implies a = \frac{2}{27}.
Fonksiyonu tam olarak tanımlamak için.
4
İstenen olayın (x≥1x \ge 1) olasılığını hesapla
P(x≥1)=P(1)+P(2)=(a+b)+(2a+b)=3a+2bP(x \ge 1) = P(1) + P(2) = (a+b) + (2a+b) = 3a + 2b. Değerleri yerine koy: 3(227)+2(19)=627+29=29+29=493(\frac{2}{27}) + 2(\frac{1}{9}) = \frac{6}{27} + \frac{2}{9} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir (P(E)=1P(E)=1).

İpuçları

1
Önce örnek uzayı EE'nin elemanlarını açıkça yazınız. ∣x∣≤2|x| \le 2 şartını sağlayan kaç tane tam sayı var?
2
Bir örnek uzayda tanımlı olasılık fonksiyonu için, tüm noktaların olasılıkları toplamı ∑P(x)=1\sum P(x) = 1 olmalıdır. Bu eşitliği kullanarak aa sayısını bulunuz.
3
Simetriyi kullanabilirsiniz: ∣−2∣=∣2∣|-2|=|2| ve ∣−1∣=∣1∣|-1|=|1| olduğu için P(−2)=P(2)P(-2)=P(2) ve P(−1)=P(1)P(-1)=P(1)'dir. Toplam denkleminde b=1/9b=1/9 değerini yerine koyup aa'yı çekiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu P(x)=k⋅x2P(x) = k \cdot x^2 fonksiyonu ile çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 174Soru →

Bir kamu kurumu, envanterindeki 99 farklı bilişim cihazından 33 tanesini yenilemek üzere teknik birime gönderecektir. Ancak, aynı seriye ait olan 22 cihazın her ikisinin birden aynı anda teknik birime gönderilmesi operasyonel aksaklık yaratacağı için uygun bulunmamıştır.

Buna göre, yenilenmek üzere gönderilecek 33 cihaz kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7777

Cevap

Yenilenecek cihazlar 7777 farklı şekilde seçilebilir.
Doğru yanıt olan yetmiş yedi, tüm olası üçlü seçimlerden (8484 durum), aynı serideki iki cihazın bir arada bulunduğu durumların (77 durum) çıkarılmasıyla elde edilir. Bu yaklaşım, 'ikisi birden seçilemez' kısıtlamasını tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam seçim sayısını hesapla
(93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
Hiçbir kısıtlama olmasaydı 99 cihaz arasından 33 tanesi bu kadar farklı şekilde seçilebilirdi.
2
İstenmeyen durum sayısını (iki özel cihazın birlikte seçilmesi) hesapla
(22)×(71)=1×7=7\binom{2}{2} \times \binom{7}{1} = 1 \times 7 = 7
Aynı serideki 22 cihazın ikisi de seçildiğinde, kalan 11 cihaz diğer 77 cihaz arasından seçilir.
3
İstenen durum sayısını bulmak için çıkarma işlemini yap
84−7=7784 - 7 = 77
Toplam durumlardan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılarak geçerli seçimlerin sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kısıtlı Seçim Problemleri

İpuçları

1
Soruda istenen durumu bulmak için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemini kullanabilirsin.
2
İstenmeyen durum, aynı serideki 2 cihazın her ikisinin de seçildiği durumdur. Bu 2 cihazı seçtikten sonra yanına 1 cihaz daha seçmen gerekir.
3
9'un 3'lü kombinasyonundan, 2'nin 2'li kombinasyonu ile 7'nin 1'li kombinasyonunun çarpımını çıkarmalısın.

Daha Fazla Pratik

Eğer 3 cihaz değil de 4 cihaz seçilseydi ve kısıtlama aynı kalsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Soruyu durumları ayrı ayrı toplayarak da çözebilirsin: (Özel cihazlardan hiç seçilmeyen durumlar: (20)×(73)=35\binom{2}{0} \times \binom{7}{3} = 35) + (Özel cihazlardan sadece biri seçilen durumlar: (21)×(72)=2×21=42\binom{2}{1} \times \binom{7}{2} = 2 \times 21 = 42). Toplam: 35+42=7735 + 42 = 77.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 175Öğrencilerin %0'i bunu doğru yanıtladıSoru →

Bir belediyenin festival süslemeleri için elinde özdeş 4 kırmızı, özdeş 3 beyaz ve özdeş 2 mavi bayrak bulunmaktadır. Bu bayrakların tamamı festival alanındaki düz bir ipe yan yana asılacaktır.

Buna göre, mavi bayrakların ipin ne başında ne de sonunda yer aldığı kaç farklı sıralama yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 735

Cevap

735
Soruda 9 bayrağın dizilişi sorulmaktadır ancak mavi bayrakların uçlarda (1. ve 9. sıra) olmaması istenmektedir. Bu durumu hesaplamanın en pratik yolu, önce mavi bayrakları güvenli bölgeye (iç kısımdaki 7 yere) yerleştirmek, ardından kalan bayrakları boşluklara dizmektir. Mavi bayraklar için 7 uygun yerden 2'si seçilir (C(7,2) = 21). Kalan 4 kırmızı ve 3 beyaz bayrak ise kendi aralarında tekrarlı permütasyon ile sıralanır (7!/(4!.3!) = 35). Sonuç bu iki değerin çarpımıdır: 21 × 35 = 735.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam bayrak sayısını ve diziliş pozisyonlarını belirle.
Toplam 9 bayrak (4K, 3B, 2M) ve 9 pozisyon vardır.
Sıralama yapılacak toplam nesne sayısını bulmak için.
2
Mavi bayraklar için uygun olan ve olmayan pozisyonları analiz et.
1. ve 9. pozisyonlar yasaktır. Mavi bayraklar kalan 7 iç pozisyondan (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) ikisine yerleştirilmelidir.
Sorudaki 'başta ve sonda olmama' kısıtlamasını matematiksel modele dökmek için.
3
Mavi bayrakların yerleşim sayısını hesapla.
7 uygun pozisyondan 2'si seçilir: C(7, 2) = (7×6)/2 = 21 farklı şekilde yerleştirilebilir.
Özdeş mavi bayrakların gelebileceği yerleri belirlemek için (Kombinasyon).
4
Kalan bayrakların (4 Kırmızı, 3 Beyaz) kendi aralarındaki sıralamasını hesapla.
Geriye kalan 7 boşluğa 7 bayrak dizilir: 7! / (4! × 3!) = 5040 / (24 × 6) = 35 farklı şekilde sıralanır.
Tekrarlı permütasyon formülü ile diğer özdeş nesnelerin sıralamasını bulmak için.
5
İki bağımsız durumun sonucunu çarp.
21 × 35 = 735.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Kısıtlı Sıralama
Soru 176Soru →

KAYMAKAMKAYMAKAM kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen 88 harfli anlamlı veya anlamsız kelimelerin kaç tanesinde her MM harfinden hemen sonra bir AA harfi gelir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Her MM harfinden sonra AA harfinin geldiği toplam 180180 farklı kelime yazılabilir.
KAYMAKAM kelimesinde her M harfinden sonra bir A harfi gelmesi istendiği için 2 tane (MA) paketi oluşturulur. Bu durumda elimizde sıralanacak 6 birim kalır: İki adet (MA), iki adet K, bir adet A ve bir adet Y. Bu birimlerin kendi içindeki tekrarları (2 tane MA ve 2 tane K) dikkate alınarak 6! / (2! * 2!) işlemi yapıldığında sonuç 180 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Harf sayılarının ve koşulun belirlenmesi
K:2,A:3,M:2,Y:1K: 2, A: 3, M: 2, Y: 1 adet harf bulunmaktadır. Koşul gereği her MM'den sonra bir AA gelmelidir.
Tekrarlı permütasyon hesabı için hangi harften kaç tane olduğu ve gruplandırma şartı tespit edilmelidir.
2
Paketlerin ve kalan harflerin oluşturulması
22 adet (MA)(MA) paketi, 22 adet KK, 11 adet YY ve boşta kalan 11 adet AA harfi elde edilir.
22 adet MM harfi olduğu için 22 tane (MA)(MA) grubu oluşturulur; toplamda 33 olan AA harflerinden biri dışarıda kalır.
3
Yeni birimlerin sıralanması
Toplam 66 birim: {(MA),(MA),K,K,A,Y}\{(MA), (MA), K, K, A, Y\}. Dizilim sayısı: 6!2!×2!\frac{6!}{2! \times 2!}
22 adet (MA)(MA) paketi ve 22 adet KK harfi kendi aralarında özdeş olduğu için tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
4
Hesaplamanın tamamlanması
7202×2=7204=180\frac{720}{2 \times 2} = \frac{720}{4} = 180
Faktöriyel değerleri oranlanarak kesin sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyonda belirli harflerin yan yana (veya belirli bir sırada) olması istendiğinde, bu harfler tek bir paket olarak kabul edilir ve bu paketin tekrarlanma durumu paydaya yazılır.

İpuçları

1
Kelime içindeki her M harfini sağındaki A harfi ile birleştirip tek bir sembol gibi düşünün.
2
Toplamda 2 adet 'MA' paketi oluşturduktan sonra, geriye kalan harfleri (K, K, A, Y) listelemeyi unutmayın.
3
Sıralayacağınız yeni birimler {(MA), (MA), K, K, A, Y} şeklindedir. Burada hem (MA) paketleri hem de K harfleri ikişer kez tekrar etmektedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'KELEBEK' kelimesinde tüm E harflerinin yan yana olduğu durumları hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce M ve A harflerinin yerlerini sabitleyip (M_A_M_A) boşluklara diğer harfleri yerleştirme yöntemi de kullanılabilir, ancak paketleme yöntemi tekrarlı permütasyon için en hızlı yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 177Soru →

Bir kamu kurumu giriş sınavı mülakatı için bekleyen 22 müfettiş ve 33 uzman yardımcısı, mülakat salonu önündeki yan yana bulunan 55 sandalyeye oturacaktır. Müfettişlerin yan yana oturmaması istendiğine göre, bu 55 kişi kaç farklı şekilde oturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7272

Cevap

Müfettişlerin yan yana oturmadığı toplam 7272 farklı oturma düzeni mevcuttur.
Toplam 55 kişinin herhangi bir kural olmadan sıralanışı 5!=1205! = 120 farklı yolla gerçekleşir. Müfettişlerin yan yana olduğu durumları bulmak için onları bir bütün olarak kabul ederiz; bu durumda 33 uzman yardımcısı ve 11 grup müfettiş toplam 44 birim eder. Bu birimlerin sıralanışı 4!=244! = 24 ve müfettişlerin kendi aralarındaki yer değişimi 2!=22! = 2 olduğundan, yan yana oldukları 24×2=4824 \times 2 = 48 durum vardır. Tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarıldığında (120−48120 - 48) geriye müfettişlerin yan yana olmadığı 7272 durum kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın toplam diziliş sayısını hesaplayın.
5!=1205! = 120
55 farklı kişinin bir sıraya dizilme sayısı n!n! formülü ile hesaplanır.
2
Müfettişlerin yan yana olduğu durumların sayısını hesaplayın.
4!×2!=24×2=484! \times 2! = 24 \times 2 = 48
22 müfettiş tek bir kişi gibi düşünülürse toplam 44 birim oluşur (4!4!). Müfettişler de kendi aralarında yer değiştirebilir (2!2!).
3
İstenmeyen durumları (yan yana olma) tüm durumlardan çıkarın.
120−48=72120 - 48 = 72
Tamamlayıcı sayma ilkesi gereği: İstenen Durum = Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar.

Anahtar Kavram

Permütasyonda 'Yan Yana Gelmeme' problemleri genellikle tüm durumlardan 'Yan Yana Gelme' durumlarının çıkarılmasıyla (Tamamlayıcı Sayma) çözülür.

İpuçları

1
Bu tür sorularda 'tüm durumlardan, istenmeyen durumları çıkarmak' genellikle en kısa yoldur.
2
Toplam sıralama sayısını (5!5!) bulun ve ardından müfettişleri 'bir kişiymiş gibi' düşünerek yan yana oldukları durumları hesaplayın.
3
Müfettişleri bir paket yaparsanız, toplam 44 kişi sıralıyormuş gibi oluruz (4!4!). Paketin içindeki müfettişlerin kendi aralarında yer değiştirmesini (2!2!) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer 33 müfettiş olsaydı ve hiçbirinin yan yana gelmemesi istenseydi 'Ayraç Metodu'nu kullanmak daha güvenli olurdu.

Alternatif Yöntem

Ayraç (Boşluk) Metodu: Önce 3 uzman yardımcısı yan yana dizilir (3!=63! = 6). Ardından bu kişilerin arasında ve yanlarında oluşan 4 boşluğa 2 müfettiş yerleştirilir (P(4,2)=12P(4,2) = 12). Sonuç: 6×12=726 \times 12 = 72.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 178Soru →

Bir bakanlık bünyesindeki Teftiş Kurulu, yıllık çalışma planı kapsamında 5 farklı hizmet birimini (Merkez, Arşiv, Lojistik, Teknik ve Personel) denetleyecektir. Bu birimlerin denetim sırasıyla ilgili aşağıdaki kurallar bilinmektedir:

* Denetimler sırasıyla yapılacak ve her birim yalnızca bir kez denetlenecektir.
* Merkez birimi, Arşiv biriminden daha önce denetlenecektir.
* Teknik ve Personel birimlerinin denetimi art arda (peş peşe) yapılmayacaktır.
* Lojistik birimi ilk sırada denetlenmeyecektir.

Buna göre, bu denetim programı kaç farklı sıralama ile oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Denetim sıralaması 30 farklı şekilde oluşturulabilir.
Soruda verilen üç farklı kısıtın (sıra önceliği, ayrıklık ve konum yasağı) aşamalı olarak uygulanması gerekir. Toplam 120 olasılıktan, önce Merkez-Arşiv sırası (60), sonra Teknik-Personel ayrıklığı (36), en son Lojistik konumu (30) süzüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm koşulsuz sıralamaları hesapla ve 'Merkez önce' kısıtını uygula.
5 birim için toplam 120 sıralama vardır. Simetri gereği yarısında Merkez, Arşiv'den öncedir: 120 / 2 = 60 durum.
Permütasyon formülü P(n,n) = n! ve simetri kuralı.
2
Teknik ve Personel birimlerinin yan yana olduğu istenmeyen durumları hesapla.
Teknik ve Personel birimini tek bir blok [TP] kabul edelim. Blok kendi içinde 2 farklı şekilde (TP veya PT) sıralanabilir. Kalan birimlerle (Merkez, Arşiv, Lojistik, [Blok]) toplam 4 nesne oluşur. 4! = 24 sıralama vardır. Toplam yan yana durumlar: 24 x 2 = 48. Bu 48 durumun yarısında Merkez, Arşiv'den öncedir: 24 durum.
İstenmeyen 'bitişik' durumları kümeleyerek (bloklama yöntemi) çıkarma işlemi yapmak için.
3
İlk iki kısıtı sağlayan küme sayısını bul (Adım 1 - Adım 2).
60 (Merkez önce) - 24 (Merkez önce VE TP bitişik) = 36 sıralama.
Kümelerde fark işlemi.
4
Lojistik biriminin 'ilk sırada' olduğu durumları bu 36 durumdan çıkar.
Lojistik'i 1. sıraya sabitleyelim. Kalan 4 birim (Merkez, Arşiv, Teknik, Personel) 2., 3., 4. ve 5. sıralara yerleşecektir. Bu alt problemde, Merkez yine Arşiv'den önce olmalı ve Teknik ile Personel yan yana gelmemelidir. 4 birim için: (Adım 1 ve 2 mantığıyla) Toplam 24, yarısında M önce (12). TP bloklu 3!x2=12, yarısında M önce (6). Yani Lojistik başta iken geçerli durum sayısı: 12 - 6 = 6.
Son kısıt olan 'Lojistik ilk olamaz' kuralını sağlamak için.
5
Sonuç hesaplaması.
36 (İlk iki kısıt sonucu) - 6 (Lojistik başta olanlar) = 30.
Nihai sonuç.

Anahtar Kavram

İçerme-Dışlama Prensibi ve Bloklama Yöntemi

İpuçları

1
Önce tüm kısıtlamaları yok sayarak toplam sıralama sayısını bulun, ardından 'Merkez Arşiv'den önce' şartı ile bu sayıyı yarıya indirin.
2
Teknik ve Personel birimlerini 'ayrılmaz bir paket' gibi düşünerek (bloklama yöntemi), bunların yan yana olduğu durumları hesaplayın ve toplamdan çıkarın.
3
Bulduğunuz sonuçtan, 'Lojistik' biriminin 1. sırada olduğu ve diğer tüm şartların sağlandığı durum sayısını da çıkarmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'yuvarlak masa etrafında oturma' kısıtlarını içeren dairesel permütasyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Lojistik biriminin olabileceği konumları (2, 3, 4 veya 5. sıra) baz alarak toplama yoluyla sayma yapılabilir, ancak bu yöntem çok daha fazla durum incelemesi gerektirir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 179Soru →

Pozitif tam sayılarda faktöriyel kavramı n!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅nn! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n şeklinde tanımlanır ve 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre,
5!+4!4!+0!\frac{5! + 4!}{4!} + 0!


işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemin sonucu 7 olarak bulunur.
İşlemde öncelikle kesirli ifade çözülmelidir. 5!5! ifadesi 5⋅4!5 \cdot 4! olarak açıldığında, pay kısmı 5⋅4!+4!=6⋅4!5 \cdot 4! + 4! = 6 \cdot 4! olur. Paydadaki 4!4! ile sadeleştiğinde kesrin değeri 66 çıkar. Son olarak bu değere 0!=10! = 1 eklendiğinde 6+1=76 + 1 = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirli ifadenin pay kısmındaki faktöriyelleri en küçük olanın (4!4!) cinsinden yazalım.
5!+4!=5⋅4!+4!=4!(5+1)=6⋅4!5! + 4! = 5 \cdot 4! + 4! = 4!(5 + 1) = 6 \cdot 4!
Faktöriyel içeren toplama ve bölme işlemlerinde ortak paranteze alma sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
Bulduğumuz değeri kesirde yerine koyarak sadeleştirme işlemini yapalım.
6⋅4!4!=6\frac{6 \cdot 4!}{4!} = 6
Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini sadeleştirir.
3
Kesrin sonucuna 0!0! değerini ekleyelim.
6+0!=6+1=76 + 0! = 6 + 1 = 7
0!0! matematiksel tanım gereği 11’e eşittir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanımı ve Temel Özellikler

İpuçları

1
0!0! değerinin kaça eşit olduğunu hatırlayarak başlayın.
2
Kesirli ifadede pay kısmındaki 5!5! değerini 5⋅4!5 \cdot 4! olarak yazıp ortak paranteze almayı deneyin.
3
Kesrin payını 6⋅4!6 \cdot 4! olarak bulduktan sonra paydadaki 4!4! ile sadeleştirin ve dışarıdaki 0!0! (yani 11) ile toplayın.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel içeren benzer bölme işlemlerinde büyük olan sayıyı küçük olana kadar açmayı alışkanlık haline getirin.

Alternatif Yöntem

Kesri parçalayarak da çözebilirsiniz: 5!4!+4!4!+0!\frac{5!}{4!} + \frac{4!}{4!} + 0!. Buradan 5+1+1=75 + 1 + 1 = 7 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 180Soru →

AA sayısı, 00’dan 20242024’e kadar olan doğal sayıların faktöriyellerinin toplamı olarak aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A=0!+1!+2!+3!+⋯+2024!A = 0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 2024!

Buna göre, AA sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

A sayısının birler basamağındaki rakam 4'tür.
Doğru cevap, faktöriyel fonksiyonunun büyüme özelliğinden kaynaklanır. 5!5! ve sonraki tüm faktöriyeller (6!,7!,…6!, 7!, \dots) çarpan olarak hem 2 hem de 5'i içerdiğinden 10 ile tam bölünürler, yani birler basamakları 0'dır. Bu nedenle AA sayısının birler basamağını belirleyen terimler sadece 0!,1!,2!,3!0!, 1!, 2!, 3! ve 4!4! terimleridir. Bu değerlerin toplamı 1+1+2+6+24=341+1+2+6+24=34 yapar. 34 sayısının birler basamağı ise 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk birkaç faktöriyel değerini ve birler basamağındaki rakamları hesapla.
0!=10! = 1
1!=11! = 1
2!=22! = 2
3!=63! = 6
4!=244! = 24 (Birler basamağı: 4)
Toplamın birler basamağını bulmak için her bir terimin birler basamağındaki değeri bilmemiz gerekir.
2
5! ve sonrasındaki terimlerin birler basamağını incele.
5!=1205! = 120 (Birler basamağı: 0)
6!=7206! = 720 (Birler basamağı: 0)
Genel olarak n≥5n \ge 5 için n!n! değerinin birler basamağı 0'dır.
5!=5×4×3×2×15! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 çarpımı içinde 2 ve 5 çarpanları bulunduğu için sayı 10'a tam bölünür ve sonu 0 ile biter.
3
Birler basamağı 0 olmayan terimlerin birler basamaklarını topla.
Toplam = 1+1+2+6+4=141 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14
5! ve sonrası 0 olduğu için toplama etki etmez. Sadece ilk 5 terim (0! ile 4! arası) sonucu belirler.
4
Elde edilen toplamın birler basamağını bul.
14 sayısının birler basamağı 4'tür.
Sonuç A sayısının birler basamağıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında n≥5n \ge 5 için n!n! sayısının birler basamağı daima 0'dır.

İpuçları

1
Büyük faktöriyelleri hesaplamaya çalışmayın. 5! ve sonrasındaki sayıların son basamağını düşünün.
2
5!=1205! = 120 dir. Bu sayıdan sonraki tüm faktöriyellerin (6!,7!…6!, 7! \dots) sonu hangi rakamla biter?
3
Sadece 0!+1!+2!+3!+4!0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının birler basamağını bulmanız yeterlidir, çünkü diğerleri 0 ile biter.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, toplamın 12 veya 15 ile bölümünden kalan soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 9 / 15Sonraki
Sayma ve Olasılık — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 9 | Examkin