Examkin

Sayma ve Olasılık

293 soru

Soru 181Soru →

Bir kamu kurumu bünyesindeki tüm birimler, personel sayılarına göre A, B ve C olmak üzere üç farklı kategoriye ayrılmıştır. Kurumdaki birimlerin dağılımı ve bu birimlerin yıllık denetimlerden başarıyla geçme oranları aşağıdaki gibidir:

* A kategorisi: Tüm birimlerin %40'ını oluşturur ve denetimden geçme oranı %80'dir.
* B kategorisi: Tüm birimlerin %35'ini oluşturur ve denetimden geçme oranı %60'tır.
* C kategorisi: Tüm birimlerin %25'ini oluşturur ve denetimden geçme oranı %40'tır.

Yapılan denetimler sonucunda bir birimin denetimden geçemediği (başarısız olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, bu birimin C kategorisinde olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1537\frac{15}{37}

Cevap

Seçilen birimin C kategorisinde olma olasılığı 1537\frac{15}{37}'dir.
Soruda bir ön koşul (birimin denetimden geçemediği) verildiği için bu bir koşullu olasılık problemidir. Öncelikle tüm birimler içinde denetimden geçemeyenlerin toplam oranı bulunur: A'dan gelen başarısızlar (0,40×0,20=0,080,40 \times 0,20 = 0,08), B'den gelen başarısızlar (0,35×0,40=0,140,35 \times 0,40 = 0,14) ve C'den gelen başarısızlar (0,25×0,60=0,150,25 \times 0,60 = 0,15). Toplam başarısızlık olasılığı 0,08+0,14+0,15=0,370,08 + 0,14 + 0,15 = 0,37'dir. İstenen durum, bu başarısızlığın C grubundan kaynaklanmasıdır (0,150,15). Sonuç, istenen durumun toplam duruma oranıdır: 0,150,37=1537\frac{0,15}{0,37} = \frac{15}{37}.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen yüzdeleri ondalık sayıya veya kesre çevirerek olayları tanımla.
Olasılıklar: P(A)=0,40P(A)=0,40, P(B)=0,35P(B)=0,35, P(C)=0,25P(C)=0,25. Başarı oranları verildiği için 'Başarısızlık' (Geçememe) oranlarını bul: P(K′∣A)=1−0,80=0,20P(K'|A) = 1 - 0,80 = 0,20; P(K′∣B)=1−0,60=0,40P(K'|B) = 1 - 0,60 = 0,40; P(K′∣C)=1−0,40=0,60P(K'|C) = 1 - 0,40 = 0,60.
Soruda 'denetimden geçemediği' bilindiğine göre, ilgilenilen olay başarısızlık durumudur.
2
Her bir kategori için 'kategoriye ait olma VE başarısız olma' olasılıklarını (kesişim) hesapla.
A ve Başarısız: 0,40×0,20=0,080,40 \times 0,20 = 0,08
B ve Başarısız: 0,35×0,40=0,140,35 \times 0,40 = 0,14
C ve Başarısız: 0,25×0,60=0,150,25 \times 0,60 = 0,15
Bayes teoreminin pay ve paydasını oluşturmak için her yolun olasılığına ihtiyaç vardır.
3
Toplam başarısızlık olasılığını (Örnek Uzay) bulmak için hesaplanan değerleri topla.
Toplam Başarısızlık = 0,08+0,14+0,15=0,370,08 + 0,14 + 0,15 = 0,37
Koşullu olasılıkta payda, koşulun gerçekleşme olasılığıdır (burada denetimden geçememe durumu).
4
İstenen durumu (C kategorisi ve başarısız) toplam duruma bölerek koşullu olasılığı hesapla.
P(C∩K′)P(K′)=0,150,37=1537\frac{P(C \cap K')}{P(K')} = \frac{0,15}{0,37} = \frac{15}{37}
Koşullu olasılık formülü: P(C∣K′)=P(C∩K′)P(K′)P(C | K') = \frac{P(C \cap K')}{P(K')}.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Uygulaması)

İpuçları

1
Soruda 'denetimden geçemediği bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanızda örnek uzayı (paydayı) tüm birimler yerine sadece başarısız birimlerle sınırlamanız gerektiğini gösterir.
2
Önce her kategori (A, B, C) için 'o kategoride olma VE başarısız olma' olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayın. Başarısızlık oranlarını bulmak için başarı oranlarını 1'den çıkarmayı unutmayın (Örn: A için %100 - %80 = %20).
3
Payda = (A'nın başarısızlık payı) + (B'nin başarısızlık payı) + (C'nin başarısızlık payı). Pay = Sadece C'nin başarısızlık payı. Oran = Pay / Payda.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'başarılı olduğu bilinen bir birimin A kategorisinden olma olasılığı'nı hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 182Soru →
(x+2y)6(x + 2y)^6
ifadesinin binom açılımında kaç farklı terim bulunur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Verilen ifadenin binom açılımında 7 farklı terim bulunur.
Binom açılımının temel kuralına göre, (ax+by)n(ax + by)^n şeklindeki bir ifadenin açılımında bulunan terim sayısı, ifadenin üzerindeki nn kuvvetinin bir fazlasıdır (n+1n+1). Sorudaki ifadenin kuvveti 6 olduğu için terim sayısı 6+1=76 + 1 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin kuvvetini (nn) belirleyin.
(x+2y)6(x + 2y)^6
ifadesinde kuvvet n=6n = 6 dır.
Binom açılımı kurallarını uygulamak için öncelikle parantez dışındaki kuvveti tespit etmemiz gerekir.
2
Binom açılımındaki terim sayısı formülünü uygulayın.
Terim sayısı =n+1=6+1=7= n + 1 = 6 + 1 = 7.
Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin daima bir fazlasına eşittir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n ifadesinin açılımında n+1n+1 tane terim vardır.

İpuçları

1
Binom açılımında terim sayısı ile ifadenin üzerindeki kuvvet arasında sabit bir ilişki vardır.
2
Örneğin (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 açılımında kuvvet 2 iken terim sayısı 3'tür.
3
Genel kural olarak nn. dereceden bir binom açılımında n+1n+1 tane terim bulunur. Bu soruda n=6n=6 olarak verilmiştir.

Daha Fazla Pratik

Kuvveti farklı olan benzer ifadelerin terim sayılarını hesaplayarak kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgenini düşünürsek; 6. kuvvetin katsayılarının bulunduğu satırda (7. satır) kaç sayı olduğuna bakarak da terim sayısını bulabiliriz.
Tahmini Süre:30s
Soru 183Soru →

Bir bakanlığın teftiş kurulunda görevli 6 müfettiş arasından; Ankara, İstanbul ve İzmir illerinde görevlendirilmek üzere birer temsilci seçilecektir. Her il için farklı bir müfettişin görevlendirileceği bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Seçim 120 farklı şekilde yapılabilir.
Bu soruda 6 farklı müfettiş arasından 3 farklı şehre (Ankara, İstanbul, İzmir) atama yapılacaktır. Şehirler birbirinden farklı olduğu için seçilen kişilerin hangi şehre gittiği sonucu değiştirir, yani sıralama önemlidir.

Çözüm için çarpma yoluyla sayma ilkesi veya permütasyon formülü kullanılır:
- Ankara için: 6 seçenek
- İstanbul için: 5 seçenek (biri atandı)
- İzmir için: 4 seçenek (ikisi atandı)

Toplam durum: 6×5×4=1206 \times 5 \times 4 = 120 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin türünü belirle
Permütasyon (Sıralama)
Ankara, İstanbul ve İzmir birbirinden farklı görev yerleri olduğu için seçilen kişilerin hangi şehre gideceği önemlidir (Sıra önemlidir).
2
Olasılıkları hesapla
6 × 5 × 4
Ankara için 6 aday, İstanbul için kalan 5 aday, İzmir için kalan 4 aday vardır.
3
Sonucu bul
120
6 × 5 × 4 = 120 farklı görevlendirme yapılabilir.

Anahtar Kavram

Permütasyon (P(n,r) formülü veya Çarpma Yoluyla Sayma)

İpuçları

1
Şehirlerin isimlerinin farklı olması (Ankara, İstanbul, İzmir), seçilen kişilerin sırasının önemli olduğu anlamına gelir.
2
Birinci şehir için kaç müfettiş adayı var? Biri seçildikten sonra ikinci şehir için kaç aday kalır? Bu sayıları çarpmalısın.
3
P(6, 3) permütasyonunu veya 6×5×46 \times 5 \times 4 işlemini hesapla.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 10 atletin katıldığı bir yarışta ilk 3 derecenin kaç farklı şekilde oluşabileceğini hesaplayınız.
Tahmini Süre:45s
Soru 184Soru →

Bir yayınevi deposunda, dağıtıma hazırlanan özdeş 4 adet Matematik, özdeş 3 adet Tarih ve özdeş 2 adet Coğrafya soru bankası tek bir raf üzerinde yan yana dizilecektir. Tarih kitaplarının tamamının bir arada olması, ancak Coğrafya kitaplarının birbirine temas etmemesi koşuluyla bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Kitaplar verilen koşullara göre 75 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda iki temel kısıtlama vardır: Tarih kitaplarının ayrılmaması ve Coğrafya kitaplarının birleşmemesi. Önce Tarih kitapları (3 adet) tek bir paket (T) haline getirilir. Elimizde (T) paketi ve 4 adet Matematik (M) kitabı kalır. Coğrafya kitaplarını en son yerleştireceğimiz için kenara ayırırız. {T, M, M, M, M} kümesinin tekrarlı permütasyonu 5!4!1!=5\frac{5!}{4!1!} = 5 farklı şekilde sıralanır. Bu 5 nesne, aralarında ve uçlarında toplam 6 boşluk yaratır. Coğrafya kitaplarının yan yana gelmemesi için bu 6 boşluktan 2 tanesini seçip özdeş Coğrafya kitaplarını yerleştiririz: C(6,2)=15C(6,2) = 15. Çarpma kuralı gereği toplam dizilim 5×15=755 \times 15 = 75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tarih kitaplarını bloklama
Tarih kitapları (T, T, T) bir arada olacağı için bunları tek bir nesne (X) gibi düşünelim. Elimizde yerleştirmemiz gereken diğer nesneler: 4 adet özdeş Matematik (M) kitabı.
'Bir arada olma' koşulu için bloklama yöntemi kullanılır.
2
Coğrafya kitapları hariç temel dizilimi hesaplama
Nesnelerimiz: {X, M, M, M, M}. Toplam 5 nesne var, 4'ü (M) özdeş. Permütasyon sayısı: 5!4!1!=5\frac{5!}{4!1!} = 5.
Ayraç (boşluk) yöntemini uygulamadan önce, ayrılacak nesneler dışındaki iskelet dizilim hesaplanır.
3
Coğrafya kitapları için boşlukları belirleme
5 nesnenin (X ve 4M) oluşturduğu dizilimde, Coğrafya kitaplarının gelebileceği toplam boşluk sayısı: _N_N_N_N_N_\_ N \_ N \_ N \_ N \_ N \_ şeklindedir. Toplam 6 adet uygun boşluk vardır.
n tane nesne yan yana dizildiğinde n+1 tane boşluk oluşur.
4
Coğrafya kitaplarını boşluklara yerleştirme
2 özdeş Coğrafya kitabını 6 boşluğa yerleştirmek için kombinasyon kullanılır: C(6,2)=6×52=15C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2} = 15.
Kitaplar özdeş olduğu için sadece yer seçimi yapılır (Kombinasyon), sıralama yapılmaz.
5
Sonucu hesaplama
Temel dizilim sayısı ile yerleşim sayısının çarpımı: 5×15=755 \times 15 = 75.
Saymanın çarpma kuralı gereği bağımsız aşamaların sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde 'bir arada olma' koşulu için bloklama, 'yan yana gelmeme' koşulu için ise ayraç (boşluk) yöntemi birlikte kullanılır.
Soru 185Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde, dosyaları numaralandırmak için özel bir etiketleme sistemi kullanılmaktadır. Her bir dosya numarası için elimizde şu rakam etiketleri bulunmaktadır:

{0,0,1,1,2,2,3} \{ 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3 \}

Bu etiketlerin tamamı kullanılarak oluşturulabilecek 7 basamaklı ve çift kaç farklı doğal sayı (dosya numarası) yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 270

Cevap

Doğru cevap 270'tir.
Verilen kümede {0,0,1,1,2,2,3} rakamları vardır. Sayının çift olması için birler basamağı 0 veya 2 olmalıdır. Bu iki durum, kalan rakam havuzundaki 0 sayısını değiştirdiği için ayrı ayrı incelenmelidir. Birler basamağı 0 olduğunda hesaplanan 150 ihtimal ile birler basamağı 2 olduğunda hesaplanan 120 ihtimal toplanarak 270 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin kısıtlarını analiz et
Rakamlar: {0,0,1,1,2,2,3}. Toplam 7 rakam. Sayı 7 basamaklı olmalı (Başa 0 gelemez). Sayı çift olmalı (Son basamak 0 veya 2 olmalı).
Permütasyon hesabını doğru kurgulamak için durumları belirlememiz gerekir.
2
1. Durum: Sayının son basamağının 0 olduğu durumları hesapla
Son basamak 0 ise geriye {0,1,1,2,2,3} kalır. Toplam dizilim: 6!/(2!2!) = 180. Başa 0 gelenler (İstenmeyen): 0 başta, 0 sonda ise geriye {1,1,2,2,3} kalır: 5!/(2!2!) = 30. Geçerli durum: 180 - 30 = 150.
Tekrarlı permütasyon formülü ve başa 0 gelmeme kuralı uygulanır.
3
2. Durum: Sayının son basamağının 2 olduğu durumları hesapla
Son basamak 2 ise geriye {0,0,1,1,2,3} kalır. Toplam dizilim: 6!/(2!2!) = 180. Başa 0 gelenler (İstenmeyen): 0 başta, 2 sonda ise geriye {0,1,1,2,3} kalır: 5!/(2!) = 60. Geçerli durum: 180 - 60 = 120.
Burada havuzda iki adet 0 kaldığı için başa gelme olasılığı daha yüksektir, bu yüzden sonuç 1. duruma göre daha az çıkar.
4
Toplam geçerli sayı adedini bul
1. Durum (150) + 2. Durum (120) = 270.
Ayrık durumlar toplanır.

Anahtar Kavram

Bu soru, tekrarlı permütasyon konusundaki 'sıfırın başa gelememesi' kuralı ile 'çift sayı olma' kuralının, eldeki rakamların adetlerine göre asimetrik sonuçlar doğurduğu durumları analiz etmeyi gerektirir.

İpuçları

1
Sayının çift olabilmesi için son basamağına {0, 2} rakamlarından biri gelmelidir. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyiniz.
2
Son basamağa 0 koyduğunuzda elinizde kalan rakamlar ile, son basamağa 2 koyduğunuzda elinizde kalan rakamlar birbirinden farklıdır (özellikle kalan 0 sayısı açısından).
3
Sona 0 geldiğinde kalan küme {0,1,1,2,2,3}'tür. Sona 2 geldiğinde kalan küme {0,0,1,1,2,3}'tür. Her iki durumda da başa 0 gelen dizilimleri toplam permütasyondan çıkarmayı unutmayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için: {0,0,1,2,3,4,5} rakamları ile 7 basamaklı ve 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılabileceği sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm dizilimlerden (tekler dahil) istenmeyen durumları çıkarmak yerine, doğrudan istenen durumları inşa etmek (yapıcı metot) burada daha güvenlidir çünkü 'çift sayı' kısıtı çok belirleyicidir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 186Soru →

Aşağıda verilen ABC üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere belirli sayıda nokta işaretlenmiştir:

* AB kenarı üzerinde 4 nokta,
* AC kenarı üzerinde 5 nokta,
* BC kenarı üzerinde 6 nokta

bulunmaktadır.

Buna göre, köşeleri bu işaretli noktalardan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 186

Cevap

Köşeleri verilen noktalardan seçilen 186 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğru cevap, toplam 12 noktadan yapılabilecek tüm 3'lü seçimlerden (220), aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan 3'lü seçimlerin (34) çıkarılmasıyla elde edilen 186 sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını belirle.
Kenarlardaki nokta sayıları toplanırken köşe noktaları (A, B, C) ikişer kez sayılmıştır. Kümelerdeki birleşim mantığıyla: Toplam Nokta = (4 + 5 + 6) - 3 (ortak köşeler) = 12 nokta vardır.
Üçgenin köşeleri her iki komşu kenara da aittir, bu yüzden mükerrer sayımı düzeltmek gerekir.
2
Tüm üçlü seçimlerin sayısını hesapla (Örnek Uzay).
(123)=12⋅11⋅103⋅2⋅1=220\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 farklı seçim yapılabilir.
12 noktadan rastgele seçilen herhangi 3 nokta potansiyel bir üçgen adayıdır.
3
Üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları tespit et ve çıkar.
Aynı doğru üzerindeki noktalar üçgen oluşturmaz:
- AB kenarı (4 nokta): (43)=4\binom{4}{3} = 4
- AC kenarı (5 nokta): (53)=10\binom{5}{3} = 10
- BC kenarı (6 nokta): (63)=20\binom{6}{3} = 20
Toplam çıkarılacak: 4+10+20=344 + 10 + 20 = 34.
Bir üçgen oluşması için seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir.
4
Sonucu bul.
220−34=186220 - 34 = 186.
Tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma

İpuçları

1
Önce şekildeki toplam farklı nokta sayısını bulunuz. Köşelerin (A, B, C) her iki kenar için de sayıldığına dikkat ediniz.
2
Toplam nokta sayısı 12'dir. Tüm 3'lü kombinasyonları hesaplayınız ve bunlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkarınız.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. AB üzerindeki 4, AC üzerindeki 5 ve BC üzerindeki 6 noktanın kendi içindeki 3'lü kombinasyonlarını toplamdan çıkarınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, köşelerden birinin mutlaka A noktası olması şartıyla çözmeyi deneyiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgen oluşturmak için 3 nokta gerekir. Bu noktalar: (1 nokta AB'den, 1 nokta BC'den, 1 nokta AC'den) VEYA (2 nokta bir kenardan, 1 nokta diğer kenardan) şeklinde seçilebilir. Ancak bu yöntem daha uzun süreceği için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi tercih edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 187Soru →

Bir madeni para ile bir zarın birlikte havaya atılması deneyinde, paranın tura veya zarın üst yüzüne gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3/4

Cevap

3/4
İstenen durum 'Paranın tura gelmesi (A) VEYA zarın asal gelmesi (B)' dir. Bu iki olay birbirinden bağımsızdır ancak ayrık değildir (aynı anda gerçekleşebilirler). Bu nedenle P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülü kullanılır. P(A)=1/2, P(B)=3/6=1/2 ve P(A ∩ B)=1/4 olduğundan, sonuç 1/2 + 1/2 - 1/4 = 3/4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları ve örnek uzayı tanımla.
Örnek Uzay (E): Para (2 durum) x Zar (6 durum) = 12 durum.
A Olayı: Paranın Tura gelmesi.
B Olayı: Zarın Asal sayı gelmesi.
Olasılık hesabı için tüm durumların sayısı ve istenen durumların tanımlanması gerekir.
2
Ayrı ayrı olasılıkları hesapla.
P(A) = 1/2 (Para Tura).
Zardaki asallar {2, 3, 5} olduğundan, P(B) = 3/6 = 1/2.
Birleşim formülünü kullanmak için tekil olasılıklar gereklidir.
3
Kesişim olasılığını (A ve B) hesapla.
Olaylar bağımsız olduğundan P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 1/2 . 1/2 = 1/4.
Para ve zar atışı bağımsız olaylardır; 'veya' formülünde kesişim çıkarılmalıdır.
4
Birleşim formülünü uygula (P(A ∪ B)).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 1 - 1/4 = 3/4.
Ayrık olmayan olaylarda birleşim olasılığı, olasılıkların toplamından kesişimin çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olayların Birleşim Olasılığı

İpuçları

1
Para ve zar atılması olayları bağımsızdır ancak aynı anda gerçekleşebilirler (ayrık değildirler).
2
'Veya' bağlacı kullanıldığında birleşim kümesi formülünü (P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)) hatırlayınız.
3
Paranın tura gelme olasılığı 1/2, zarın asal (2,3,5) gelme olasılığı 1/2'dir. İkisinin aynı anda olma olasılığını (1/4) toplamdan çıkarınız.

Alternatif Yöntem

Tümleyen Yöntemi: İstenmeyen durum 'Paranın yazı VE zarın asal olmaması' durumudur. P(Yazı)=1/2, P(Asal Değil)=3/6=1/2. İstenmeyen durum olasılığı = 1/2 * 1/2 = 1/4. İstenen = 1 - 1/4 = 3/4.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 188Soru →

Bir kamu kurumunun kırtasiye deposunda bulunan özdeş kalem kutularının renklerine göre sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kalem Kutusu RengiSayısı
Kırmızı88
Mavi1212
Yeşil44

Buna göre, bu depodan rastgele seçilen bir kalem kutusunun yeşil renkli olmama olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56\frac{5}{6}

Cevap

Beş bölü altı (56\frac{5}{6})
Toplam 2424 adet kalem kutusu bulunmaktadır. Bu kutulardan yeşil olmayanların sayısı (kırmızı ve mavi kutuların toplamı) 8+12=208 + 12 = 20 adettir. Rastgele seçilen bir kutunun yeşil olmama olasılığı 2024\frac{20}{24} olarak bulunur. Bu kesir 44 ile sadeleştirildiğinde 56\frac{5}{6} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam kalem kutusu sayısını (örnek uzay) hesapla
8+12+4=248 + 12 + 4 = 24
Olasılık hesabında paydaya yazılacak olan tüm durumların sayısını belirlemek gerekir.
2
Yeşil olmayan kalem kutularının sayısını (istenen durum) hesapla
8+12=208 + 12 = 20 (veya 24−4=2024 - 4 = 20)
Yeşil olmama durumu, kutunun kırmızı veya mavi olması anlamına gelir.
3
Olasılık değerini bul ve sadeleştir
2024=56\frac{20}{24} = \frac{5}{6}
Olasılık, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Tümleyen Olay

İpuçları

1
Önce depoda bulunan tüm kalem kutularının toplam sayısını hesaplayarak işe başlayın.
2
"Yeşil olmama" durumu, seçilen kutunun ya kırmızı ya da mavi olması gerektiğini belirtir.
3
Bir olayın gerçekleşmeme olasılığını, 11 tamdan o olayın gerçekleşme olasılığını çıkararak da bulabilirsiniz: P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, bir zar atıldığında 'asal sayı gelmeme' olasılığını hesaplayarak tümleyen olay kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yeşil olma olasılığı P(Yes¸il)=424=16P(\text{Yeşil}) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} olarak bulunur. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 11 olduğu için, yeşil olmama olasılığı 1−16=561 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} şeklinde hesaplanabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 189Soru →

Bir devlet arşivi bünyesinde restorasyon çalışmaları tamamlanan birbirinden farklı 55 adet tarihi belge arasından 33 tanesi geçici bir sergi ünitesinde sergilenmek üzere seçilecektir.

Buna göre, bu sergi için kaç farklı belge grubu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Sergi için oluşturulabilecek farklı belge grubu sayısı 10'dur.
Seçilen nesnelerin sırasının önemli olmadığı gruplandırma problemlerinde kombinasyon kullanılır. 55 farklı belge arasından 33 tanesi C(5,3)C(5, 3) kadar farklı şekilde seçilebilir. Matematiksel olarak C(5,3)=5⋅4⋅33⋅2⋅1=10C(5, 3) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin türünü belirleyin.
Kombinasyon (Seçme)
Belgelerin kendi içindeki sıralaması değil, sadece hangi belgelerin seçildiği (grup oluşturulması) sorulduğu için kombinasyon kullanılır.
2
Kombinasyon formülünü uygulayın.
C(5,3)=5!3!⋅(5−3)!C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!}
nn farklı nesne arasından rr tanesinin seçimi C(n,r)C(n, r) formülü ile hesaplanır.
3
Faktöriyel işlemlerini sadeleştirerek hesaplayın.
5⋅4⋅3!3!⋅2!=202=10\frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{20}{2} = 10
Pay ve paydadaki 3!3! ifadeleri birbirini sadeleştirir, geriye kalan 20/220/2 işlemi sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) Mantığı

İpuçları

1
Soruda belgelerin diziliş sırası belirtilmemiş, sadece hangi belgelerin seçileceği sorulmuştur. Bu durum bizi kombinasyona yönlendirir.
2
nn elemanlı bir kümeden rr eleman seçmek için kullanılan C(n,r)=n!r!⋅(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} formülünü hatırlayın.
3
C(5,3)C(5, 3) ifadesini hesaplarken, bunun C(5,2)C(5, 2) ifadesine eşit olduğunu bilmek işleminizi kolaylaştırabilir: 5⋅42⋅1\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}

Daha Fazla Pratik

Bir kümenin alt kümelerini bulma ile kombinasyon arasındaki ilişkiyi inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kombinasyonun özelliklerinden biri olan C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n-r) eşitliği kullanılabilir. 55 belge arasından 33 tanesini seçmek, sergiye katılmayacak 22 belgeyi seçmekle aynıdır. C(5,2)=(5×4)/2=10C(5, 2) = (5 \times 4) / 2 = 10 olarak daha hızlı hesaplanabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 190Soru →

nn bir doğal sayı olmak üzere, n!n! sayısının sondan tam olarak 10 basamağı sıfırdır.

Buna göre, nn sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 235

Cevap

Sondan 10 basamağı sıfır olan nn değerlerinin toplamı 235'tir.
Sondan 10 basamağı sıfır olan en küçük doğal sayı 45'tir. Bu durum, bir sonraki 5 çarpanının eklendiği 50 sayısına kadar değişmez. Dolayısıyla şartı sağlayan sayılar 45, 46, 47, 48 ve 49'dur. Bu sayıların toplamı 45+46+47+48+49=23545+46+47+48+49=235 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sıfır sayısını belirleyen kuralı hatırla.
n!n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına eşittir.
Her 2 ve 5 çarpanı bir 10 çarpanı (yani bir sıfır) oluşturur; faktöriyelde 2 çarpanı 5'ten çok daha fazla olduğu için kısıtlayıcı olan 5 sayısıdır.
2
Sondan 10 basamağı sıfır olan en küçük nn değerini bul.
n=45n=45 için 45÷5=945 \div 5 = 9, 9÷5=19 \div 5 = 1 ve 9+1=109+1 = 10.
Ardışık bölme yöntemiyle toplam bölümün 10 olması sağlanır.
3
Sıfır sayısının değiştiği bir sonraki sınırı belirle.
n=50n=50 için 50÷5=1050 \div 5 = 10, 10÷5=210 \div 5 = 2 ve 10+2=1210+2 = 12.
50 sayısı 525^2 (25) ile tam bölündüğü için sıfır sayısı birden fazla artar (10'dan 11'e değil, 12'ye çıkar).
4
nn sayısının alabileceği tüm değerleri listele.
n∈{45,46,47,48,49}n \in \{45, 46, 47, 48, 49\}
45'ten 49'a kadar olan tüm sayıların faktöriyelindeki 5 çarpanı sayısı 10'dur.
5
Değerlerin toplamını hesapla.
45+46+47+48+49=23545 + 46 + 47 + 48 + 49 = 235
Ardışık 5 sayının toplamı ortanca sayı ile terim sayısının çarpımına eşittir (47×5=23547 \times 5 = 235).

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerinde sondaki sıfır sayısını bulmak için sayı sürekli 5'e bölünür.

İpuçları

1
Bir sayının faktöriyelinin sonundaki sıfır sayısını bulmak için o sayıyı sürekli 5'e bölmelisiniz.
2
Bölümlerin toplamı 10 olan en küçük sayıyı bulun. Bu sayı 45'tir.
3
45'ten sonraki sayılar (46, 47, 48, 49) da aynı sayıda sıfıra sahiptir. Ancak 50 sayısına ulaştığınızda sıfır sayısı 12'ye çıkar.

Daha Fazla Pratik

Sondan 12 basamağı sıfır olan n değerlerinin toplamını bularak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ardışık sayıların toplamı formülünü kullanabilirsiniz: Ortanca Terim×Terim Sayısı=47×5=235\text{Ortanca Terim} \times \text{Terim Sayısı} = 47 \times 5 = 235.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 191Soru →

Bir lojistik firmasının dağıtım ağı kapsamında; A merkezinden B aktarma noktasına 4 farklı yol, B aktarma noktasından C teslimat şubesine ise 3 farklı yol bulunmaktadır. Bir kurye A'dan C'ye gidip, gidişte kullandığı yolları dönüşte kullanmamak koşuluyla tekrar A'ya dönecektir. Buna göre, kurye bu gidiş-dönüş yolculuğunu kaç farklı şekilde tamamlayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Kurye bu yolculuğu 72 farklı şekilde tamamlayabilir.
İşlem A'dan C'ye gidiş ve C'den A'ya dönüş aşamalarından oluşur. A-B arası 4, B-C arası 3 yoldur. Gidiş için 4×3=124 \times 3 = 12 seçenek vardır. Dönüşte, gidişte kullanılan yollar (her aralıkta 1'er tane) kullanılamayacağı için; C-B arası (3−1)=2(3-1)=2, B-A arası (4−1)=3(4-1)=3 seçenek kalır. Dönüş için 2×3=62 \times 3 = 6 seçenek vardır. Tüm durumlar çarpma kuralı gereği 12×6=7212 \times 6 = 72 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gidiş (A → C) yol sayısını hesapla.
4 × 3 = 12 farklı yol.
A'dan B'ye 4, B'den C'ye 3 yol vardır. Olaylar sıralı gerçekleştiği için çarpma kuralı uygulanır.
2
Dönüş (C → A) için kullanılabilir yol sayısını belirle.
C'den B'ye (3-1)=2 yol, B'den A'ya (4-1)=3 yol kalır.
Gidişte kullanılan yollar dönüşte kullanılamayacağı için her aralıktan 1 seçenek eksilir.
3
Dönüş yol sayısını hesapla.
2 × 3 = 6 farklı yol.
Kalan yollar çarpma kuralı ile hesaplanır.
4
Tüm yolculuk (Gidiş-Dönüş) için toplam durumu hesapla.
12 × 6 = 72.
Gidiş 've' dönüş birbirine bağlı olaylar olduğu için gidiş ve dönüş sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Çarpma Prensibi)
Soru 192Soru →

Bir kütüphaneci, elinde bulunan özdeş 33 matematik, özdeş 22 türkçe ve 11 tarih kitabını bir rafa yan yana dizecektir. Bu kitaplar raf üzerinde kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6060

Cevap

Kitaplar raf üzerinde 6060 farklı şekilde dizilebilir.
Toplam 66 nesnenin dizilimi 6!6! kadardır. Ancak 33 matematik kitabı kendi arasında 3!3! kadar, 22 türkçe kitabı ise 2!2! kadar yer değiştirdiğinde dizilim değişmez. Bu nedenle 6!/(3!×2!)6! / (3! \times 2!) işlemi yapılarak 6060 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nesne (kitap) sayısını belirle.
n=3+2+1=6n = 3 + 2 + 1 = 6
Dizilecek toplam eleman sayısını bilmemiz gerekir.
2
Tekrarlayan (özdeş) nesne sayılarını gruplandır.
33 tane matematik, 22 tane türkçe kitabı özdeştir.
Tekrarlı permütasyon formülünde paydaya yazılacak değerleri belirlemek için gereklidir.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü uygula.
6!3!×2!×1!=7206×2×1=72012=60 \frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60
Aynı türden nesnelerin kendi aralarındaki yer değişimleri yeni bir dizilim oluşturmadığı için toplam durumu bu tekrarlara bölmeliyiz.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1
Toplam kaç kitap olduğunu ve bunlardan hangilerinin tamamen aynı (özdeş) olduğunu listeleyin.
2
Özdeş nesne sorularında toplam sayının faktöriyeli, özdeş olan grupların sayılarının faktöriyellerine bölünür.
3
Formülünüz şöyle olmalı: 6!6! değerini 3!3! ve 2!2! değerlerinin çarpımına bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'MATEMATİK' kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı kelime yazılabileceğini hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 193Soru →
(x2−1x)n \left( x^2 - \frac{1}{x} \right)^n
ifadesinin açılımında baştan 4. terimin binom katsayısı ile baştan 6. terimin binom katsayısı birbirine eşittir.

Buna göre, bu açılımdaki x7x^7 li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -56

Cevap

-56
Soruda verilen binom katsayılarının eşitliği ((n3)=(n5)\binom{n}{3} = \binom{n}{5}) kullanılarak n=8 bulunur. Genel terim formülü (8r)(x2)8−r(−x−1)r\binom{8}{r} (x^2)^{8-r} (-x^{-1})^r şeklinde yazılıp x'in kuvveti 16−3r=716-3r=7 eşitliğinden r=3r=3 olarak elde edilir. Yerine konulduğunda katsayı (83)(−1)3=−56\binom{8}{3}(-1)^3 = -56 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
n değerini bulmak için binom katsayılarının eşitliği özelliğini kullan.
Baştan 4. terim için r=3, baştan 6. terim için r=5 alınır. (n3)=(n5)\binom{n}{3} = \binom{n}{5} ise n=3+5=8n = 3 + 5 = 8 bulunur.
Binom açılımında (nr)=(nk)\binom{n}{r} = \binom{n}{k} ise ya r=kr=k ya da r+k=nr+k=n olmalıdır.
2
Genel terim formülünü yaz ve x'in kuvvetini düzenle.
Genel terim: (8r)(x2)8−r(−1x)r=(8r)x16−2r(−1)rx−r=(8r)(−1)rx16−3r\binom{8}{r} (x^2)^{8-r} (-\frac{1}{x})^r = \binom{8}{r} x^{16-2r} (-1)^r x^{-r} = \binom{8}{r} (-1)^r x^{16-3r}
İstenen kuvveti elde etmek için tüm x terimleri birleştirilmelidir.
3
x'in kuvvetini 7'ye eşitleyerek r değerini bul.
16−3r=7⇒3r=9⇒r=316 - 3r = 7 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
Soruda x7x^7 li terimin katsayısı sorulmaktadır.
4
Bulunan r değerini katsayı formülünde yerine koy.
Katsayı = (83)(−1)3=8⋅7⋅63⋅2⋅1⋅(−1)=56⋅(−1)=−56\binom{8}{3} (-1)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-1) = 56 \cdot (-1) = -56
Katsayı hem binom katsayısını hem de terimlerin sayısal çarpanlarını içerir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} simetrisi ve genel terim formülü Tr+1=(nr)an−rbrT_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r.
Soru 194Soru →
(2x3−1x2)n \left( 2x^3 - \frac{1}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında ortanca terimin derecesi 33 olduğuna göre, bu açılımın sondan üçüncü teriminin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Doğru cevap 60'tır.
Ortanca terim derecesi kullanılarak kuvvetin n=6n=6 olduğu bulunur. Bu açılımda sondan üçüncü terim, baştan beşinci terime (r=4r=4) karşılık gelir. Formülde yerine konulduğunda katsayı 60 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz ve ortanca terim şartını belirle.
Genel terim: C(n,r)(2x3)n−r(−x−2)rC(n,r) (2x^3)^{n-r} (-x^{-2})^r. Ortanca terim olması için nn çift sayı olmalı ve r=n/2r = n/2 alınmalıdır.
Binom açılımında ortanca terim, kuvvetin yarısı kadar adım gidildiğinde bulunur.
2
Verilen derece bilgisini kullanarak nn değerini bul.
xx'in kuvveti: 3(n−r)−2r=3n−5r3(n-r) - 2r = 3n - 5r. r=n/2r=n/2 için: 3n−5(n/2)=3⇒0,5n=3⇒n=63n - 5(n/2) = 3 \Rightarrow 0,5n = 3 \Rightarrow n=6.
Soruda ortanca terimin derecesinin (üs değerinin) 3 olduğu verilmiştir.
3
Sondan üçüncü terimin hangi rr değerine karşılık geldiğini bul.
Açılımda toplam n+1=7n+1 = 7 terim vardır. Sondan 1. (r=6r=6), sondan 2. (r=5r=5), sondan 3. terim için r=4r=4 olur.
Terimler r=0r=0'dan başlar. Sondan k. terim için r=n−(k−1)r = n - (k-1) formülü veya sayma yöntemi kullanılır.
4
Bulunan değerleri yerine koyarak katsayıyı hesapla.
Katsayı: C(6,4)⋅(2)6−4⋅(−1)4=15⋅22⋅1=15⋅4=60C(6,4) \cdot (2)^{6-4} \cdot (-1)^4 = 15 \cdot 2^2 \cdot 1 = 15 \cdot 4 = 60.
C(6,4)=15C(6,4) = 15 ve (−1)(-1)'in çift kuvveti pozitiftir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim C(n,r)xn−ryrC(n,r) x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sondan k. terim istendiğinde rr değeri baştan saymaya göre ayarlanmalıdır.

İpuçları

1
Önce nn değerini bulmak için genel terim formülünü (C(n,r)an−rbrC(n,r) a^{n-r} b^r) yazın ve ortanca terim için r=n/2r=n/2 olduğunu hatırlayın.
2
Ortanca terimin derecesi 3 olduğuna göre, xx'in kuvvetlerini eşitleyerek n=6n=6 olduğunu bulabilirsiniz.
3
n=6n=6 ise toplam 7 terim vardır. Sondan üçüncü terim, r=4r=4 alınarak hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Aynı ifade için sabit terimi (x'ten bağımsız terim) bulunuz.

Alternatif Yöntem

Sondan k. terim formülü: (x+y)n(x+y)^n açılımında sondan k. terim, (y+x)n(y+x)^n açılımında baştan k. terime eşittir. İfadeyi (−1x2+2x3)6(-\frac{1}{x^2} + 2x^3)^6 olarak yazıp baştan 3. terimi (r=2r=2) hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 195Soru →

Bir üniversitenin araştırma geliştirme merkezi, yeni dönemde desteklenecek bir araştırma projesi ve bu projeye tahsis edilecek bir bütçe fonu belirleyecektir. Seçenekler şu şekildedir:

- Desteklenebilecek 33 farklı 'Sosyal Bilimler' projesi ve 33 farklı 'Fen Bilimleri' projesi bulunmaktadır.
- Projelerin finansmanı için 44 farklı 'Ulusal Fon' ve 33 farklı 'Uluslararası Fon' kaynağı ayrılmıştır.

Merkez yönetimi, bir 'Sosyal Bilimler' projesi seçilmesi durumunda mevcut olan tüm fon kaynaklarından herhangi birini tercih edebilmektedir. Ancak bir 'Fen Bilimleri' projesi seçilmesi durumunda, etik kurul yönergesi gereği yalnızca 'Uluslararası Fon' kaynaklarından birinin kullanılması zorunludur.

Buna göre; merkez yönetimi desteklenecek projeyi ve fon kaynağını kaç farklı şekilde belirleyebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Üniversite yönetimi, projeyi ve fon kaynağını 30 farklı şekilde belirleyebilir.
Doğru cevap olan 30 değeri, projenin türüne göre değişen fon seçeneklerinin ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. Sosyal bilimler projeleri (33 adet) için fon kısıtlaması olmadığından toplam 77 fon seçeneği mevcuttur (3×7=213 \times 7 = 21). Fen bilimleri projeleri (33 adet) için sadece uluslararası fonlar (33 adet) seçilebildiğinden 3×3=93 \times 3 = 9 seçenek oluşur. Toplamda 21+9=3021 + 9 = 30 farklı plan yapılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sosyal Bilimler projeleri için seçim sayılarını belirle.
3×(4+3)=213 \times (4 + 3) = 21
Sosyal bilimler projeleri için hem ulusal hem de uluslararası fonlar kullanılabildiği için toplam 7 fon seçeneği mevcuttur.
2
Fen Bilimleri projeleri için seçim sayılarını belirle.
3×3=93 \times 3 = 9
Fen bilimleri projeleri için sadece 3 adet uluslararası fon kaynağı kullanılabileceği belirtilmiştir.
3
Toplama kuralını uygulayarak toplam durumu hesapla.
21+9=3021 + 9 = 30
Birbirinden ayrı (ayrık) olan bu iki temel durumun toplamı, tüm olası planların sayısını verir.

Anahtar Kavram

Koşullu Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma İlkelerinin Birlikte Kullanımı)
Soru 196Soru →

EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için P(A)=23P(A) = \frac{2}{3} ve P(B)=14P(B) = \frac{1}{4} olasılık değerleri verilmiştir.

Buna göre, A∪BA \cup B olayının gerçekleşme olasılığının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [23,1112][\frac{2}{3}, \frac{11}{12}]

Cevap

A \cup B olayının olasılığı [\frac{2}{3}, \frac{11}{12}] aralığındadır.
İki olayın birleşiminin olasılığı, kesişimlerinin büyüklüğüne bağlı olarak değişir. P(A∪B)P(A \cup B) ifadesinin en büyük olması için olayların mümkün olduğunca ayrık olması gerekir (P(A∩B)=0P(A \cap B)=0). Bu durumda toplam 1112\frac{11}{12} olur. En küçük olması için ise olayların mümkün olduğunca iç içe geçmesi gerekir (B, A'nın alt kümesi). Bu durumda birleşim büyük kümeye (P(A)=23P(A)=\frac{2}{3}) eşit olur. Dolayısıyla aralık [23,1112][\frac{2}{3}, \frac{11}{12}]'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşim formülünü ve değişkenleri tanımla.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=23+14−P(A∩B)=1112−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - P(A \cap B) = \frac{11}{12} - P(A \cap B)
Birleşim olasılığını bulmak için genel olasılık toplama kuralı kullanılır.
2
Kesişim olasılığının (P(A∩B)P(A \cap B)) alabileceği minimum ve maksimum değerleri belirle.
Minimum P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 (Ayrık olaylar), Maksimum P(A∩B)=14P(A \cap B) = \frac{1}{4} (B kümesi A'nın alt kümesi).
P(A)+P(B)=11/12<1P(A)+P(B) = 11/12 < 1 olduğundan olaylar ayrık olabilir (kesişim 0). Kesişim en fazla küçük küme kadar olabilir (P(B)P(B)).
3
Bulunan sınırları birleşim formülünde yerine koyarak aralığı hesapla.
Maksimum B için (kesişim 0 iken): 11/12−0=11/1211/12 - 0 = 11/12. Minimum B için (kesişim 1/41/4 iken): 11/12−3/12=8/12=2/311/12 - 3/12 = 8/12 = 2/3.
Birleşim olasılığı, kesişim en az olduğunda en büyük; kesişim en çok olduğunda en küçük değerini alır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Sınırları ve Kümeler Teorisi İlişkisi

İpuçları

1
Birleşim formülünü hatırlayın: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
2
Birleşimin en büyük olması için kesişimin en küçük (0); birleşimin en küçük olması için kesişimin en büyük olması gerekir.
3
P(A)+P(B)=11/12P(A) + P(B) = 11/12 değeri 1'den küçüktür, yani bu olaylar tamamen ayrık olabilir. Ayrıca P(B)<P(A)P(B) < P(A) olduğu için B kümesi tamamen A'nın içinde olabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 197Soru →

Bir kütüphanede bulunan birbirinden farklı 6 roman arasından, bir hafta sonu tatilinde okunmak üzere 2 roman seçilecektir. Bu seçim işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Kitap seçimi işlemi 15 farklı şekilde yapılabilir.
On beş sonucu doğrudur çünkü 6 farklı nesne arasından 2 tanesinin sırasız seçimi C(6,2)C(6, 2) kombinasyonu ile hesaplanır. Bu hesaplama 6⋅52⋅1=15\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin çözüm yöntemini belirleme
Kombinasyon (Seçme)
Soruda kitapların sıralanması değil, sadece belirli bir grup içinden seçilmesi istendiği için kombinasyon yöntemi kullanılır.
2
Kombinasyon formülünü kurma
C(6,2)=(62)C(6, 2) = \binom{6}{2}
6 farklı öğe arasından 2 tanesinin seçilmesi matematiksel olarak bu şekilde ifade edilir.
3
Hesaplama işlemini gerçekleştirme
6×52×1=15\frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
C(n,r)=n!r!⋅(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} formülüne göre sadeleştirme yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon, bir nesne topluluğu içerisinden sıra gözetmeksizin yapılan seçimlerdir.

İpuçları

1
Bu soruda kitapları hangi sırayla seçtiğinizin bir önemi var mı? (Örneğin A ve B kitaplarını seçmek ile B ve A kitaplarını seçmek farklı mıdır?)
2
Sıralama önemli değilse 'Kombinasyon' formülünü kullanmalısınız.
3
6'nın 2'li kombinasyonu için 6⋅52⋅1\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Seçilen kitap sayısı 2 yerine 4 olsaydı sonuç değişir miydi? (İpucu: C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n-r) özelliğini düşünün.)

Alternatif Yöntem

Kombinasyonun temel özelliğini hatırlayarak: C(n,r)C(n, r) ifadesini hesaplarken n'den geriye doğru r tane sayıyı çarpıp r! değerine bölebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 198Soru →

Bir kamu kurumunun teftiş kurulunda görev yapan 4 müfettiş, 5 uzman ve 3 daire başkanı arasından, bir çalışma grubu için rastgele iki personel seçilmiştir. Seçilen personellerin aynı unvana sahip oldukları bilindiğine göre, her ikisinin de uzman olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1019\frac{10}{19}

Cevap

Her ikisinin de uzman olma olasılığı 1019\frac{10}{19}'dur.
Soruda verilen 'seçilen personellerin aynı unvana sahip oldukları bilindiğine göre' ifadesi bir koşullu olasılık belirtir. Bu durumda tüm olası 2'li seçimler (C(12,2)=66) yerine, sadece aynı unvanlı seçimler örnek uzay kabul edilir. Müfettiş çiftleri (6), Uzman çiftleri (10) ve Daire Başkanı çiftleri (3) toplandığında payda 19 olur. İstenen durum olan Uzman çiftleri (10) paya yazılır. Sonuç 10/19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam personel sayısı ve grupların belirlenmesi.
4 Müfettiş, 5 Uzman, 3 Daire Başkanı. Toplam: 12 kişi.
Kombinasyon hesapları için grup mevcutlarının netleştirilmesi gerekir.
2
Koşulun belirlediği indirgenmiş örnek uzayın (E) hesaplanması.
Aynı unvanlı çiftler: C(4,2)+C(5,2)+C(3,2)=6+10+3=19C(4,2) + C(5,2) + C(3,2) = 6 + 10 + 3 = 19.
Soruda 'seçilen personellerin aynı unvana sahip olduğu bilindiğine göre' ifadesi, örnek uzayın sadece bu durumlardan oluştuğunu belirtir.
3
İstenen durumun (A) belirlenmesi.
İkisinin de uzman olduğu durumlar: C(5,2)=10C(5,2) = 10.
Koşulu sağlayan durumlar içinde hedeflenen (uzman olma) durum sayısını bulmak gerekir.
4
Olasılık hesabının yapılması.
P(A∣E)=s(A)s(E)=1019P(A|E) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{10}{19}.
Koşullu olasılık formülü gereği istenen durum sayısı, koşulun sağlandığı toplam durum sayısına oranlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık problemlerinde örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır. P(A∣B)=s(A∩B)s(B)P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)} formülü kullanılır.

İpuçları

1
Önce tüm olası durumları değil, sadece 'aynı unvana sahip olma' durumlarının sayısını hesaplayarak yeni örnek uzayınızı belirleyin.
2
Aynı unvana sahip olma durumları: İkisinin de Müfettiş, ikisinin de Uzman veya ikisinin de Daire Başkanı olmasıdır. Bu kombinasyonların toplamı paydada yer almalıdır.
3
Payda = C(4,2) + C(5,2) + C(3,2). Pay = C(5,2). Bu oran size cevabı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'çekilen toplar geri atılmaksızın' veya 'farklı renklerde olma koşuluyla' kurgusuyla çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 199Soru →

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilen Görevde Yükselme Sınavı'na A, B ve C birimlerinden personel katılmıştır. Sınav süreci, önce yazılı sınav ve ardından sadece yazılı sınavda başarılı olanlar için sözlü mülakat olmak üzere iki aşamadan oluşmaktadır.

Personelin birimlere göre dağılımı ve aşamalardaki başarı oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

BirimKatılım OranıYazılı Sınav Başarı OranıMülakat Başarı Oranı*
A%30%60%50
B%30%40%50
C%40%50%40

* *Not: Mülakat başarı oranı, yalnızca yazılı sınavı geçen personel üzerinden hesaplanmıştır.*

Buna göre, sınav sürecinin herhangi bir aşamasında elendiği (başarısız olduğu) bilinen rastgele seçilmiş bir personelin, A biriminden olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 311\frac{3}{11}

Cevap

Sınavda elenen birinin A biriminden olma olasılığı 311\frac{3}{11}'dir.
Soruda, halihazırda elendiği bilinen bir kişinin A biriminden olma olasılığı sorulmaktadır. Bu bir koşullu olasılık problemidir (Bayes). Öncelikle her birim için 'toplam elenme' oranlarını bulmalıyız. Bir personel ya yazılı sınavda elenir ya da yazılıyı geçip mülakatta elenir. A birimi için bu oran %70, B için %80 ve C için %80 olarak hesaplanır. Ağırlıklı genel elenme oranı (payda) %77 bulunur. A biriminin bu elenme içindeki payı %21'dir. Sonuç 2177\frac{21}{77} yani 311\frac{3}{11}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Her birim için 'Elenme' (Başarısız Olma) olasılıklarını hesapla.
Elenme = (Yazılıdan Kalma) VEYA (Yazılıyı Geçip Mülakattan Kalma)
Bir personel iki farklı aşamada elenebilir, bu iki durum ayrık olaylardır.
2
A birimi için elenme olasılığını (P(E∣A)P(E|A)) bul.
P(E∣A)=0,40+(0,60×0,50)=0,40+0,30=0,70P(E|A) = 0,40 + (0,60 \times 0,50) = 0,40 + 0,30 = 0,70
A'nın yazılıdan kalma oranı %40, yazılıyı geçip (%60) mülakattan kalma oranı %50'dir.
3
B birimi için elenme olasılığını (P(E∣B)P(E|B)) bul.
P(E∣B)=0,60+(0,40×0,50)=0,60+0,20=0,80P(E|B) = 0,60 + (0,40 \times 0,50) = 0,60 + 0,20 = 0,80
B'nin yazılıdan kalma oranı %60, yazılıyı geçip (%40) mülakattan kalma oranı %50'dir.
4
C birimi için elenme olasılığını (P(E∣C)P(E|C)) bul.
P(E∣C)=0,50+(0,50×0,60)=0,50+0,30=0,80P(E|C) = 0,50 + (0,50 \times 0,60) = 0,50 + 0,30 = 0,80
C'nin yazılıdan kalma oranı %50, yazılıyı geçip (%50) mülakattan kalma oranı %60'tır.
5
Toplam elenme olasılığını (P(E)P(E)) hesapla (Bayes Paydası).
P(E)=(0,30×0,70)+(0,30×0,80)+(0,40×0,80)=0,21+0,24+0.32=0,77P(E) = (0,30 \times 0,70) + (0,30 \times 0,80) + (0,40 \times 0,80) = 0,21 + 0,24 + 0.32 = 0,77
Her birimin katılım oranı ile o birimin elenme olasılığı çarpılıp toplanır.
6
Koşullu olasılığı (P(A∣E)P(A|E)) hesapla.
P(A∩E)P(E)=0,210,77=2177=311\frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{0,21}{0,77} = \frac{21}{77} = \frac{3}{11}
İstenen durum (A'dan katılıp elenenler) toplam duruma (tüm elenenler) oranlanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Ağaç Diyagramı Yöntemi

İpuçları

1
Öncelikle her bir birim (A, B, C) için personelin sınavı 'geçememe' (elenme) olasılığını ayrı ayrı hesaplayın. Unutmayın, elenmek için iki yol vardır: Yazılıdan kalmak VEYA Yazılıyı geçip mülakattan kalmak.
2
A birimi için elenme olasılığı: (Yazılıdan Kalma %40) + (Yazılıyı Geçme %60 × Mülakattan Kalma %50) şeklinde hesaplanır. Bunu B ve C için de yapın.
3
Bayes formülünü uygulayın: Pay kısmına 'A biriminden olup elenenlerin oranı' (0,30×0,700,30 \times 0,70), payda kısmına ise 'Tüm elenenlerin oranı' gelmelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'sınavı kazandığı bilinen birinin B biriminden olma olasılığı' şeklinde çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ağaç diyagramı çizerek 1000 kişilik hayali bir örneklem grubu üzerinden gidebilirsiniz. A(300 kişi) -> Yazılıyı geçen(180), Kalan(120). Geçenlerden Mülakatı geçen(90), Kalan(90). A'dan toplam elenen = 120+90=210. Tüm birimler için bunu yapıp oranlayın.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 200Soru →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemleri A, B ve C olmak üzere üç farklı birim tarafından yürütülmektedir. Kuruma gelen tüm evrakların %30'u A biriminde, %45'i B biriminde ve kalanı C biriminde işleme alınmaktadır. Yapılan denetimlerde; A birimindeki evrakların %5'inin, B birimindeki evrakların %4'ünün ve C birimindeki evrakların %8'inin usul yönünden hatalı olduğu belirlenmiştir.

Kurum arşivinden rastgele seçilen bir evrağın usul yönünden hatalı olduğu bilindiğine göre, bu evrağın C biriminde düzenlenmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2053\frac{20}{53}

Cevap

Seçilen hatalı evrağın C biriminden gelme olasılığı 2053\frac{20}{53}'tür.
Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' dendiği için örnek uzayımız tüm evraklar değil, sadece hatalı evraklardır. C biriminden gelen hatalı evrakların, toplam hatalı evraklara oranı hesaplanmalıdır. Toplam hatalı olasılığı 0,0530,053, C'den gelen hatalı olasılığı 0,0200,020 olduğundan sonuç 2053\frac{20}{53} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılıkları tanımla
P(A)=0,30; P(B)=0,45; P(C)=0,25 (Toplam %100). Hata oranları: P(H|A)=0,05; P(H|B)=0,04; P(H|C)=0,08.
Verilen yüzdeleri işlem yapılabilir ondalık veya kesirli olasılık değerlerine çevirmek gerekir.
2
Her birimden gelen hatalı evrak olasılığını (kesişim) hesapla
A ve Hatalı: 0,30×0,05=0,0150,30 \times 0,05 = 0,015. B ve Hatalı: 0,45×0,04=0,0180,45 \times 0,04 = 0,018. C ve Hatalı: 0,25×0,08=0,0200,25 \times 0,08 = 0,020.
Bir evrağın hem ilgili birimden gelip hem de hatalı olma olasılığı çarpma kuralı ile bulunur.
3
Toplam hatalı evrak olasılığını (örnek uzayı) hesapla
P(H) = 0,015+0,018+0,020=0,0530,015 + 0,018 + 0,020 = 0,053.
Koşullu olasılığın paydası, koşulun gerçekleşme durumlarının toplamıdır (Toplam Olasılık Teoremi).
4
Koşullu olasılığı hesapla P(C|H)
P(C∣H)=P(C∩H)P(H)=0,0200,053=2053P(C|H) = \frac{P(C \cap H)}{P(H)} = \frac{0,020}{0,053} = \frac{20}{53}.
İstenen durum (C'den gelen hatalı) toplam duruma (tüm hatalılar) oranlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Toplam Olasılık Teoremi (Bayes Teoremi Mantığı)
ÖncekiSayfa 10 / 15Sonraki
Sayma ve Olasılık — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 10 | Examkin