Rastgele Blok Tasarımı Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir ziraat mühendisi, $4$ farklı gübre çeşidinin (muamele) buğday verimi üzerindeki etkisini araştırmak için homojen olmayan geniş bir tarlayı $5$ bloğa ayırarak Rastgele Blok Tasarımı (RBT) uygulamıştır. Varyans analizi (ANOVA) sonucunda muameleler arası fark istatistiksel olarak anlamsız bulunmuştur ( $p > 0,05$ ). Ancak model varsayımları incelendiğinde, artıkların (kalıntıların) tahmini değerlere ( $\hat{y}_{ij}$ ) karşı çizilen saçılım grafiğinde belirgin bir eğrisel (parabolik) desen gözlenmiştir. Bunun üzerine araştırmacı, "Tukey'in Toplanabilirlik Testi"ni (Tukey's Test for Non-additivity) uygulamış ve toplanabilmezlik için ayrılan $1$ serbestlik dereceli kareler toplamının istatistiksel olarak anlamlı olduğunu ( $p < 0,05$ ) tespit etmiştir.

Bu durumun istatistiksel doğası ve deneyin sonuçları üzerindeki etkisi dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi en doğru değerlendirmedir?

Bloklar ve muameleler arasında modelde yer almayan bir etkileşim mevcuttur; bu durum etkileşim varyansının hata terimine (

\varepsilon_{ij}

) karışarak hata kareler ortalamasını (

MS_E

) şişirmesine ve muamele testinin istatistiksel gücünün düşmesine yol açmıştır. Düzeltmek için uygun bir veri dönüşümü yapılmalıdır.

Blok ve muamele arasındaki anlamlı etkileşim, muamelelerin ana etkilerinin istatistiksel olarak tamamen geçersiz ve yorumlanamaz olduğunu kanıtlar; bu nedenle mevcut verilerle herhangi bir dönüşüm yapılamaz ve deney hücre başına çok gözlemli olacak şekilde yeniden tasarlanmalıdır.

Toplanabilmezlik durumunda genel kareler toplamı eşitliği bozulduğundan, hata kareler toplamından (

SS_E

) toplanabilmezlik kareler toplamı çıkarıldığında elde edilen yeni saf hata terimi daha büyük bir değere ulaşarak varyans analizi tablosunu tutarsız hale getirir.

Artıklardaki eğrisel desen ve anlamlı toplanabilmezlik, blok etkilerinin sabit (fixed) değil, şansa bağlı (random) bir yapıya sahip olduğunu kanıtlar; bu yüzden Beklenen Kareler Ortalaması kuralları gereği, F istatistiği muamele varyansının blok varyansına bölünmesiyle yeniden hesaplanmalıdır.

Toplanabilirlik varsayımının ihlal edilmesi, veri setindeki ortalama ile varyans arasında her zaman oransal bir ilişki bulunduğunu kesin olarak gösterir; bu nedenle artıkların dağılım desenine bakılmaksızın veriler doğrudan arksinüs dönüşümüne tabi tutulmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bloklar ve muameleler arasında modelde yer almayan bir etkileşim mevcuttur; bu durum etkileşim varyansının hata terimine ( $\varepsilon_{ij}$ ) karışarak hata kareler ortalamasını ( $MS_E$ ) şişirmesine ve muamele testinin istatistiksel gücünün düşmesine yol açmıştır. Düzeltmek için uygun bir veri dönüşümü yapılmalıdır.

Cevap

Toplanabilirlik varsayımının ihlalinin hata varyansını şişirdiği, muamele testinin gücünü düşürdüğü ve veri dönüşümü gerektirdiği ifade eden seçenektir.

Rastgele Blok Tasarımında (RBT) modelin en temel varsayımlarından biri muamele ve blok etkilerinin birbirine eklenebilir (toplanabilir) olmasıdır. Eğer toplanabilirlik yoksa (yani blok ve muamele arasında modelde gösterilemeyen bir etkileşim varsa), hücre başına tek gözlem olduğu için bu etkileşim varyansı Hata Kareler Toplamı (

SS_E

) içine dahil olur. Hata varyansının (

MS_E

) şişmesi, muameleler için hesaplanan F-istatistiğinin değerini düşürür ve aslında var olan anlamlı farklılıkların gizlenmesine (istatistiksel gücün düşmesine) neden olur. Artıklardaki parabolik desen ve Tukey testinin anlamlılığı bu durumu doğrular. Çözüm olarak veri setine uygun bir dönüşüm (logaritma, karekök vb.) uygulanarak modelin toplanabilirlik varsayımını sağlaması hedeflenir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele Blok Tasarımı'nın (RBT) model yapısını ve varsayımlarını değerlendirin.

RBT modeli

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

şeklindedir ve hücre başına tek gözlem olduğu için

\tau_i

(muamele) ile

\beta_j

(blok) arasında etkileşim olmadığı (toplanabilirlik) varsayılır.

Hücrede tek gözlem varken etkileşim terimi ayrı olarak tahmin edilemez ve zorunlu olarak hata terimi (

\varepsilon_{ij}

) ile birleşir (confounded).

2

Tukey'in Toplanabilirlik Testinin anlamlı çıkmasının (

p < 0,05

) sonuçlarını analiz edin.

Etkileşim mevcut olduğu için, bu varyans Hata Kareler Toplamını (

SS_E

) ve dolayısıyla Hata Kareler Ortalamasını (

MS_E

) gerçekte olduğundan daha büyük (şişkin) hesaplatır.

Varyans analizi tablosunda

MS_{Error}

şiştiğinde,

F = MS_{Treat} / MS_{Error}

hesaplamasındaki payda büyüyeceği için F değeri küçülür ve H0 hipotezini reddetmek zorlaşır (İstatistiksel güç düşer).

3

Artıklardaki parabolik desen ve güç kaybı için çözüm stratejisi belirleyin.

Gözlemler (muameleler ve bloklar) arasındaki ilişki toplanabilir değil de çarpımsal ise, logaritma veya karekök gibi istatistiksel veri dönüşümleri uygulanarak model toplanabilir hale getirilmelidir.

Toplanabilirlik, parametrik ANOVA'nın temel bir varsayımıdır ve veri dönüşümü ile düzeltilmeden yapılan analizler (örnekteki anlamsız

p > 0,05

sonucu gibi) Tip II hataya (fark varken yok bulma) sebebiyet verir.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Toplanabilirlik (Additivity) Varsayımı ve Tukey Testi

Soru 2Soru →

Bir klinik araştırmada, $3$ farklı tedavi yönteminin (muamele) etkililiği, $4$ farklı hastalık evresine (blok) sahip hastalar üzerinde araştırılmaktadır. Her bir hastalık evresi-tedavi kombinasyonunda sadece bir hastanın bulunduğu rastgele blok tasarımı kullanılmıştır. Araştırmacı, modelin en önemli varsayımlarından biri olan toplanabilirlik (additivity) varsayımını test etmek istemektedir.

Buna göre, araştırmacının kullanması gereken istatistiksel test ve toplanabilirlik varsayımının ihlal edilmesi (muamele ve blok arasında etkileşim olması) durumunda analizde ortaya çıkacak temel sorun aşağıdakilerden hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Tukey toplanabilmezlik testi / Etkileşim varyansının hata kareler ortalamasını (MSE) yapay olarak şişirmesi ve muamele etkilerine ilişkin testin gücünü düşürmesi

Tukey toplanabilmezlik testi / Genel kareler toplamının (SST), muamele ve hata kareler toplamlarına matematiksel olarak tam ayrılamaması ve toplanabilirlik denkleminin bozulması

Levene testi / Modelde bir etkileşim terimi şüphesi doğduğunda hata serbestlik derecesinin sıfıra eşitlenerek varyans analizinin yapılamaz duruma gelmesi

Bartlett testi / Muamele ve blok arasındaki olası etkileşimin doğrudan göz ardı edilip faktörlerin bağımsız ana etkiler olarak yorumlanmasının zorunlu olması

Tukey toplanabilmezlik testi / Varsayım ihlali nedeniyle blok değişkeninin tüm anlamını yitirmesi ve analizin tamamen rastgele tasarıma dönüştürülmesinin gerekmesi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tukey toplanabilmezlik testi / Etkileşim varyansının hata kareler ortalamasını (MSE) yapay olarak şişirmesi ve muamele etkilerine ilişkin testin gücünü düşürmesi

Cevap

Doğru seçenek, kullanılacak yöntemin Tukey toplanabilmezlik testi olduğunu ve ihlal durumunda etkileşim varyansının hata kareler ortalamasını (MSE) şişirerek muamele etkilerini saptama gücünü düşürdüğünü belirten ifadedir.

Rastgele blok tasarımında (her hücrede bir gözlem varken) bloklar ve muameleler arası etkileşim klasik ANOVA yöntemleriyle hata teriminden ayrılamaz. Toplanabilirlik varsayımı 'Tukey toplanabilmezlik testi' ile incelenir. Eğer bu varsayım ihlal edilirse (gerçekte etkileşim varsa), bu etkileşim varyansı hata kareler toplamının (SSE) içine dahil olur. Hata kareler ortalaması (MSE) yapay olarak şiştiği için,

F

istatistiği (

F = MSTr / MSE

) küçülür ve araştırmacının muameleler arasındaki gerçek farklılıkları tespit etme şansı (testin gücü) azalır.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele blok tasarımının yapısal modelini ve hücre içi gözlem sayısını belirlemek.

Tasarımda her hücrede (muamele-blok kombinasyonu) sadece bir gözlem bulunduğu için etkileşim terimi modelde bağımsız olarak ayrılamaz.

Etkileşimi ayrıştırabilmek için hücre başına birden fazla gözlem (tekrarlama) gereklidir.

2

Toplanabilirlik varsayımının hangi test ile sınandığını saptamak.

Bu varsayım, sadece bu amaca yönelik olarak geliştirilen

1

serbestlik dereceli Tukey toplanabilmezlik testi (Tukey's Test for Non-additivity) ile incelenir.

Varyans analizi varsayımlarından biri olan etkileşim yokluğunu (toplanabilirliği) matematiksel olarak test etmenin en uygun yolu budur.

3

Etkileşim olması durumunda varyans analizi tablosunda nelerin değişeceğini analiz etmek.

Hücre başına tek gözlem olduğundan, var olan ancak modelde ayrılamayan etkileşim varyansı doğrudan Hata Kareler Toplamına (SSE) eklenir.

Genel varyans matematiksel olarak parçalandığında, açıklanamayan tüm varyanslar (etkileşim dahil) zorunlu olarak hata terimi içinde toplanır.

4

Şişen hata teriminin muamele etkilerine yönelik F testine etkisini değerlendirmek.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) yapay olarak büyüyeceğinden, hesaplanan

F

değeri (

F = MSTr / MSE

) küçülür.

Paydadaki hata varyansının artması, muameleler arasındaki gerçek farklılıkları istatistiksel olarak anlamsızmış gibi gösterebilir; bu da testin gücünü zayıflatır.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Toplanabilirlik Varsayımı ve Tukey Testi

Soru 3Soru →

Tarımsal bir araştırmada, 4 farklı gübre çeşidinin (muamele) buğday verimi üzerindeki etkisi incelenecektir. Araştırmacı, deney alanının toprak verimliliği (eğim, nem vb.) açısından bölgeden bölgeye farklılık gösterdiğini bilmekte ve bu durumu istatistiksel olarak kontrol altına almak için "Tamamen Rastgele Tasarım" (TRT) yerine "Rastgele Blok Tasarımı" (RBT) uygulamaya karar vermektedir. Deney, 5 farklı toprak bölgesinin her birinin blok kabul edildiği ve her blokta 4 parselin bulunduğu toplam 20 deneme birimi ile planlanmıştır.

Rastgele Blok Tasarımının (RBT) temel amacı ve varyans analizi (ANOVA) üzerindeki matematiksel işleyişi göz önüne alındığında, araştırmacının TRT yerine RBT kullanmasının istatistiksel testin gücünü artırması (etkinliğin sağlanması) için aşağıdaki koşullardan hangisinin gerçekleşmesi kesinlikle zorunludur?

Bloklamanın hata kareler toplamında (SSE) sağlayacağı düşüşün, hata serbestlik derecesinde yaşanacak kaybın Hata Kareler Ortalaması (MSE) üzerindeki artırıcı etkisini telafi edecek büyüklükte olması.

Bloklama değişkeni olan toprak verimliliğinin, araştırmanın asıl amacı doğrultusunda ikinci bir ana faktör olarak modele alınıp gübre çeşitleriyle olan istatistiksel etkileşiminin test edilmesi.

Genel kareler toplamının (SST), bloklama işleminden dolayı yalnızca muamele kareler toplamı (SSTr) ve blok kareler toplamına (SSB) eşit olacak şekilde tam ayrışması ve hata varyansının sıfırlanması.

Deneydeki asıl bağımsız değişken olan 5 farklı toprak verimliliği düzeyinin faktör, 4 farklı gübre çeşidinin ise blok olarak değerlendirilip parsellere rastgele atanması.

Varyans analizindeki hata serbestlik derecesinin, TRT'de 16 iken RBT uygulandığında toplam gözlem sayısından blok sayısının çıkarılması (

N-b

) kuralı gereği 15'e düşerek F testinin duyarlılığını artırması.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bloklamanın hata kareler toplamında (SSE) sağlayacağı düşüşün, hata serbestlik derecesinde yaşanacak kaybın Hata Kareler Ortalaması (MSE) üzerindeki artırıcı etkisini telafi edecek büyüklükte olması.

Cevap

Bloklamanın hata kareler toplamında (SSE) sağlayacağı düşüşün, hata serbestlik derecesinde yaşanacak kaybın Hata Kareler Ortalaması (MSE) üzerindeki artırıcı etkisini telafi edecek büyüklükte olması gerektiğini ifade eden seçenektir.

Rastgele Blok Tasarımının (RBT) varlık amacı, deneme birimlerindeki bilinen bir heterojenliği (örneğin toprak verimliliği) 'bloklar arası farklılıklar' olarak izole edip modeldeki hata varyansını (SSE) küçültmektir. Ancak tasarım RBT'ye dönüştürüldüğünde, hata serbestlik derecesi TRT'ye göre mecburi olarak azalır (verilen senaryoda 16'dan 12'ye düşer). Hata Kareler Ortalaması (MSE), Hata Kareler Toplamının (SSE) hata serbestlik derecesine bölünmesiyle hesaplanır. İstatistiksel testin gücünün artması ve daha güvenilir bir F değeri elde edilmesi için MSE'nin küçülmesi şarttır. Bu durum matematiksel olarak, ancak ve ancak bloklamanın SSE'den söküp aldığı varyansın (SSB), azalan serbestlik derecesinin MSE'yi büyütme eğilimini telafi edecek ve aşacak büyüklükte olmasıyla mümkündür. Aksi durumda RBT kullanmak testin etkinliğini düşürür.

Adım Adım Çözüm

1

Tamamen Rastgele Tasarım (TRT) ile Rastgele Blok Tasarımının (RBT) hata serbestlik derecelerini hesaplayarak karşılaştırın.

TRT için hata serbestlik derecesi:

N - t = 20 - 4 = 16

'dır. RBT için hata serbestlik derecesi:

(b-1)(t-1) = (5-1)(4-1) = 12

'dir. Tasarım değişikliği ile 4 birimlik bir kayıp yaşanmıştır.

Varyans analizinde test istatistiği olan F değerini bulurken kullanılacak Hata Kareler Ortalamasının (MSE) paydasındaki değişimi görmek için.

2

Serbestlik derecesindeki (sd) bu azalmanın Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve F istatistiği üzerindeki etkisini değerlendirin.

MSE = SSE / sd

formülüne göre paydanın (sd) küçülmesi, eğer pay (SSE) aynı kalırsa MSE'nin büyümesine ve dolayısıyla

F = MSTr / MSE

oranının küçülmesine (gücün düşmesine) neden olur.

Bir istatistiksel tasarımın gücünün ve etkinliğinin, modelin açıkladığı varyans ile uygulanan serbestlik derecesi kısıtı arasındaki dengeye bağlı olduğunu göstermek için.

3

RBT'nin TRT'den daha etkin olma (gücü artırma) şartını temel prensipler ışığında türetin.

RBT'nin gücü artırabilmesi için bloklama işleminin, hata kareler toplamından (SSE) dışarı atacağı varyansın (Blok Kareler Toplamı - SSB), serbestlik derecesindeki azalmanın yarattığı bu MSE büyütücü etkiyi fazlasıyla dengelemesi zorunludur.

RBT'nin her zaman gücü artırmadığını; yalnızca bloklar arası farklılıkların anlamlı derecede büyük olduğu durumlarda MSE'yi gerçekten küçültebileceğini kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Göreli Etkinlik ve Serbestlik Derecesi - Varyans Dengesi

Soru 4Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, farklı gübre çeşitlerinin buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla rastgele blok tasarımı kullanılarak bir deney yürütülmüştür. Deneyde kullanılan blok sayısı, muamele (gübre çeşidi) sayısından 1 fazladır.

Verilerin analizi sonucunda elde edilen eksik ANOVA tablosunun bazı değerleri aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (SS)	Kareler Ortalaması (MS)
Muamele (Gübre)	120
Blok	80
Hata	20
Genel	920

Buna göre, bu deneyin Hata Serbestlik Derecesi aşağıdakilerden hangisidir?

12

16

28

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Hata serbestlik derecesi 12'dir.

Rastgele blok tasarımında, Genel Kareler Toplamı (

SST

) işlemi; Muamele, Blok ve Hata kareler toplamlarının bileşimidir. Tablodan alınan

MS

değerleri ile serbestlik dereceleri (

t-1

,

b-1

,

(t-1)(b-1)

) çarpıldığında herbirinin

SS

değeri elde edilir.

b = t+1

ilişkisi denklemde yerine konduğunda

20t^2 + 180t - 120 = 920

kuadratik denklemi ortaya çıkar. Buradan

t=4

ve

b=5

bulunur. Hata serbestlik derecesi

(4-1)(5-1) = 12

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik dereceleri (sd) ile ilgili denklemleri kur.

Muamele sayısı =

t

, Blok sayısı =

b

. Verilen bilgiye göre

b = t + 1

. Bu durumda

sd_{Muamele} = t - 1

,

sd_{Blok} = b - 1 = t

,

sd_{Hata} = (t - 1)(b - 1) = (t - 1)t

.

Kareler toplamlarını (

SS

) kareler ortalamaları (

MS

) cinsinden ifade edebilmek için her varyans kaynağının serbestlik derecesi bilinmelidir.

2

Kareler Toplamı formüllerini (

SS = MS \times sd

) oluştur.

SS_{Muamele} = 120(t - 1)

,

SS_{Blok} = 80t

,

SS_{Hata} = 20(t - 1)t

.

ANOVA tablosundaki eksik değerleri birbirine bağlayan temel eşitlik

SST = SS_{Muamele} + SS_{Blok} + SS_{Hata}

eşitliğidir.

3

Kareler toplamlarının toplanabilirliği ilkesini uygula ve denklemi çöz.

120(t - 1) + 80t + 20(t^2 - t) = 920

denklemi elde edilir. Her iki taraf 20'ye bölündüğünde

6(t - 1) + 4t + t^2 - t = 46

şeklini alır. Düzenlendiğinde

t^2 + 9t - 52 = 0

bulunur. Kökler

(t + 13)(t - 4) = 0

denkleminden

t = 4

olarak hesaplanır.

Genel kareler toplamı, diğer varyans kaynaklarının kareler toplamlarının toplamına eşittir. Negatif muamele sayısı olamayacağından

t=4

alınır.

4

Hata serbestlik derecesini hesapla.

t = 4

ise

b = 5

olur. Hata serbestlik derecesi:

sd_{Hata} = (t - 1)(b - 1) = (3)(4) = 12

.

Soruda istenen değer rastgele blok tasarımına ait hata serbestlik derecesidir.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında ANOVA Tablosu İlişkileri ve Toplanabilirlik

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 5Soru →

Bir araştırmacı, üç farklı gübre çeşidinin (A, B, C) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla rastgele blok tasarımı planlamıştır. Deney, toprak yapısındaki farklılıkları kontrol altına almak için 4 blok üzerinde yürütülmüştür. Elde edilen veriler (ton/hektar) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Blok	Gübre A	Gübre B	Gübre C	Toplam
1	3	2	4	9
2	2	5	5	12
3	6	5	4	15
4	1	4	7	12
Toplam	12	16	20	48

Bu verilere göre, deneyin Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

14

20

26

28

34

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Deneyin Hata Kareler Toplamı (SSE) 20'dir.

Rastgele blok tasarımında Hata Kareler Toplamı (SSE), Genel Kareler Toplamından (SST) Muamele (SSTr) ve Blok (SSB) Kareler Toplamlarının çıkarılmasıyla bulunur. Düzeltme faktörü

CF = 48^2 / 12 = 192

olarak bulunur. Genel kareler toplamı

SST = 226 - 192 = 34

, muamele kareler toplamı

SSTr = 800 / 4 - 192 = 8

ve blok kareler toplamı

SSB = 594 / 3 - 192 = 6

şeklinde hesaplanır. Son olarak,

SSE = 34 - 8 - 6 = 20

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Düzeltme Faktörünü (CF) hesaplama

CF = \frac{48^2}{12} = \frac{2304}{12} = 192

Kareler toplamı formüllerinde kullanmak için genel verinin düzeltme faktörüne ihtiyaç vardır.

2

Genel Kareler Toplamını (SST) hesaplama

SST = (3^2 + 2^2 + 4^2 + \dots + 1^2 + 4^2 + 7^2) - CF = 226 - 192 = 34

Sistemdeki tüm değişkenliğin ölçüsünü elde etmek içindir.

3

Muamele Kareler Toplamını (SSTr) hesaplama

SSTr = \frac{12^2 + 16^2 + 20^2}{4} - 192 = \frac{144 + 256 + 400}{4} - 192 = \frac{800}{4} - 192 = 200 - 192 = 8

Gübre çeşitlerinden kaynaklanan değişimi hesaplamak içindir (blok sayısı olan 4'e bölünür).

4

Blok Kareler Toplamını (SSB) hesaplama

SSB = \frac{9^2 + 12^2 + 15^2 + 12^2}{3} - 192 = \frac{81 + 144 + 225 + 144}{3} - 192 = \frac{594}{3} - 192 = 198 - 192 = 6

Bloklar arasındaki farklılıklardan kaynaklanan değişimi hesaplamak içindir (muamele sayısı olan 3'e bölünür).

5

Hata Kareler Toplamını (SSE) hesaplama

SSE = SST - SSTr - SSB = 34 - 8 - 6 = 20

Rastgele blok tasarımında toplanabilirlik kuralına göre açıklanamayan hata varyansı, toplam varyanstan açıklanan varyansların çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Kareler Toplamlarının Hesaplanması

Soru 6Soru →

Bir araştırmacı, yeni geliştirilen üç farklı öğretim yönteminin öğrencilerin istatistik dersindeki başarı puanları üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Öğrencilerin önceki dönem matematik notlarının istatistik başarısı üzerinde önemli bir bozucu etkiye (nuisance effect) sahip olduğu bilinmektedir. Araştırmacı, bu dışsal faktörün yaratacağı deneysel hatayı kontrol altına almak ve testin duyarlılığını (power) artırmak amacıyla 'Rastgele Blok Tasarımı' kullanmaya karar vermiştir.

Bu araştırmada blokların oluşturulması ve bloklama mantığı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Öğrenciler matematik notlarına göre gruplandırılmalı; bloklar kendi içinde olabildiğince homojen, bloklar arası ise olabildiğince heterojen olacak şekilde oluşturulmalıdır.

Bloklamanın temel amacı, öğretim yöntemleri ile öğrencilerin matematik notları arasındaki istatistiksel etkileşim (interaction) etkisini test etmektir.

Bloklama işlemi, öğrencilerin matematik özelliklerine bakılmaksızın deneme birimlerinin gruplara tamamen şansa bağlı olarak atanması kuralına dayanmalıdır.

Matematik notu bir faktör düzeyi olarak kabul edilmeli ve analizde öğretim yöntemlerinin bir alt kategorisiymiş gibi doğrudan modele dahil edilmelidir.

Matematik notlarındaki değişkenlik deneyin başlangıcında göz ardı edilmeli ve grupların varyanslarının homojen olduğu varsayılarak tamamen rastgele tasarım uygulanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Öğrenciler matematik notlarına göre gruplandırılmalı; bloklar kendi içinde olabildiğince homojen, bloklar arası ise olabildiğince heterojen olacak şekilde oluşturulmalıdır.

Cevap

Blokların kendi içinde homojen, bloklar arasında ise heterojen olacak şekilde oluşturulması gerektiğini belirten ifade doğrudur.

Rastgele blok tasarımında temel mantık, toplam varyans içinden bloklar arası varyansı (

SSB

) hesaplayarak bunu hata varyansından (

SSE

) düşmektir (

SST = SSTr + SSB + SSE

). Bu işlemin matematiksel olarak işe yaraması için, bir bloğun içindeki birimlerin inceleme konusu dışındaki özellikler (bu senaryoda matematik notu) bakımından birbirine olabildiğince benzemesi (homojen) gerekir. Böylece, blok içindeki başarı farklılıkları büyük ölçüde sadece 'farklı öğretim yöntemlerinden' kaynaklanmış olur. Aynı zamanda bloklar arası özelliklerin farklı (heterojen) olması, bloklamanın gerçekten işe yaradığını ve varyansın önemli bir kısmını açıkladığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma tasarımındaki bağımsız değişkeni, bağımlı değişkeni ve bozucu faktörü tanımlama.

Bağımsız değişken: Öğretim yöntemi. Bağımlı değişken: İstatistik başarısı. Bozucu faktör: Matematik notu.

Hangi değişkenin bloku oluşturacağını belirlemek için deneyin yapısını çözümlemek gerekir.

2

Rastgele blok tasarımında yerel kontrol (bloklama) ilkesinin temel amacını hatırlama.

Amaç, bozucu faktörün (matematik notunun) bağımlı değişken (başarı) üzerindeki etkisini toplam hata varyansından (

SSE

) ayıklamaktır.

Deneysel hatanın küçültülmesi, istatistiksel testin (F testi) duyarlılığını artırır.

3

Hata varyansını minimize edecek doğru bloklama stratejisini belirleme.

Matematik notu birbirine yakın (homojen) öğrencilerin aynı bloğa konması ve bloklar arası farkların (heterojenlik) maksimize edilmesi gerektiği sonucuna varılır.

Eğer blok içi heterojen olursa, bloklamanın hata varyansını düşürme etkisi ortadan kalkar ve tamamen rastgele tasarımdan bir farkı kalmaz.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Yerel Kontrol İlkesi (Homojen Bloklar)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunda görevli uzman, $5$ farklı elektronik belge yönetim sisteminin (muamele) evrak işlem süreleri üzerindeki etkisini, $4$ farklı genel müdürlükte (blok) rastgele blok tasarımına göre incelemektedir. Her genel müdürlükte her sistem sadece bir kez test edilmiş ve her hücre için tek bir gözlem ( $n=1$ ) elde edilmiştir. Uzman, sistemlerin performansının genel müdürlüklerin iş yoğunluğu profillerine göre değişiklik gösterebileceğini (sistemler ile genel müdürlükler arasında etkileşim olabileceğini) düşünmektedir.

Ancak uzman, bu şüphesini istatistiksel olarak kontrol etmek için Tukey toplanabilmezlik testini (Tukey's test for non-additivity) uygulamamış ve doğrudan standart toplanabilir rastgele blok tasarımı modeliyle analizi tamamlamıştır.

Gerçekte bu iki faktör arasında önemli bir etkileşim (toplanabilmezlik ihlali) olmasına rağmen bu durumun göz ardı edilmesi, varyans analizi (ANOVA) tablosunda ve sonuçlarında aşağıdakilerden hangisine yol açar?

Etkileşim varyansı hata terimine karışacağı için hata kareler ortalaması (MSE) olduğundan büyük hesaplanır ve muamele etkilerini tespit etmede kullanılan F testinin gücü azalır.

Hata kareler toplamı (SSE) yapay olarak küçülür ve bu durum muameleler arası farkların bulunmasında Tip I hata yapma olasılığını önemli ölçüde artırır.

Modelde etkileşim etkisi dışlandığı için, muamele kareler toplamı (SSTr) gerçek değerinden daha küçük tahmin edilerek muamele ana etkisi gizlenir.

Blok değişkeni ile muamele değişkeni arasındaki etkileşim tamamen blok ana etkisine karışır (confounding) ve bloklamanın yerel kontrol işlevi ortadan kalkar.

Etkileşim varsayımı ihlal edildiği için hata serbestlik derecesi

(b-1)(t-1)

yerine tamamen rastgele tasarımdaki gibi

N-t

kullanılarak hesaplanmak zorunda kalınır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim varyansı hata terimine karışacağı için hata kareler ortalaması (MSE) olduğundan büyük hesaplanır ve muamele etkilerini tespit etmede kullanılan F testinin gücü azalır.

Cevap

Etkileşim varyansının hata terimine karışarak hata kareler ortalamasını (MSE) şişirmesi ve muamele etkilerini test eden F istatistiğinin gücünün azalmasıdır.

Hücre başına tek gözlem bulunan rastgele blok tasarımında etkileşim için ayrı bir serbestlik derecesi yoktur. Bu nedenle toplanabilirlik varsayımı ihlal edildiğinde, bu etkileşimin yarattığı varyasyon doğrudan hata kareler toplamına (SSE) ve dolayısıyla hata kareler ortalamasına (MSE) yansır. MSE'nin beklentisi

E(MSE) = \sigma^2 + \sigma^2_{\tau\beta}

şekline dönüşerek şişer. Muamele etkilerini test etmek için kullanılan

F = MSTr / MSE

eşitliğinde paydanın büyümesi, elde edilen F değerini küçültür ve testin gerçek farklılıkları tespit etme istatistiksel gücünü düşürür (Tip II hata olasılığını artırır).

Adım Adım Çözüm

1

Hücre başına tek gözlem (

n=1

) olan rastgele blok tasarımının model yapısını incelemek.

Tasarımda her muamele-blok kombinasyonunda sadece bir gözlem olduğu için etkileşim terimini ölçecek (tahmin edecek) ayrı bir serbestlik derecesi kalmamıştır.

Etkileşim, modeldeki standart hata terimi (

\epsilon_{ij}

) ile matematiksel olarak iç içe geçmiştir.

2

Tukey toplanabilmezlik testi uygulanmadan etkileşimin göz ardı edilmesinin hata terimi üzerindeki etkisini değerlendirmek.

Etkileşim varyansı

(\sigma^2_{\tau\beta})

doğrudan hata varyansına

(\sigma^2)

eklenir ve hata kareler ortalamasının (MSE) beklenen değeri

E(MSE) = \sigma^2 + \sigma^2_{\tau\beta}

şekline dönüşerek şişer.

Toplanabilirlik varsayımı ihlal edildiğinde, açıklanamayan sapma olarak giren hata terimi, aslında içindeki etkileşim miktarını da kapsar.

3

Hata kareler ortalamasındaki (MSE) bu büyümenin F testine etkisini belirlemek.

F istatistiğinin formülü olan

F = MSTr / MSE

işleminde payda yapay olarak büyüyeceği için testin gücü azalır.

Daha büyük bir MSE, hesaplanan F değerini küçültür ve gerçekte var olan muamele farklılıklarının istatistiksel olarak bulunamamasına (H0'ın reddedilememesi / Tip II hata oranının artması) neden olur.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Toplanabilirlik Varsayımı ve İhlali

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Bir üretim mühendisi, 5 farklı makine ayarının (muamele) üretilen hatalı parça sayısı üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Deneyde, operatörler arasındaki farklılıkların sonuçları etkileyebileceğini düşünerek 4 farklı operatörü blok değişkeni olarak belirlemiş ve rastgele blok tasarımı kurmuştur.

Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda aşağıdaki değerler hesaplanmıştır:
- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ): 240
- Makine Ayarları (Muamele) Kareler Toplamı ( $SSTr$ ): 100
- Operatör (Blok) Kareler Toplamı ( $SSB$ ): 80

Buna göre, bu deney tasarımına ait Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) değeri kaçtır?

5

140

160

60

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Rastgele blok tasarımında Hata Kareler Toplamı (

SSE

) değeri 60'tır.

Rastgele blok tasarımında temel toplanabilirlik kuralı şöyledir: Genel Kareler Toplamı = Muamele Kareler Toplamı + Blok Kareler Toplamı + Hata Kareler Toplamı (

SST = SSTr + SSB + SSE

). Bu kurala göre hata kareler toplamını bulmak için genel toplamdan muamele ve blok toplamlarını çıkarmak gerekir. Denklem çözüldüğünde

240 - (100 + 80) = 60

olarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele blok tasarımı için kareler toplamlarının toplanabilirlik modelini yazın.

SST = SSTr + SSB + SSE

Genel kareler toplamı; muamele, blok ve hata kareler toplamlarının birleşiminden oluşur.

2

Soruda verilen değerleri modele yerleştirin.

240 = 100 + 80 + SSE

Genel toplamın (240) içinden açıklanabilen varyanslar (100 ve 80) çıkarılarak açıklanamayan hata varyansı bulunmalıdır.

3

Denklemi çözerek Hata Kareler Toplamını (

SSE

) hesaplayın.

SSE = 240 - 180 = 60

Toplam varyanstan muamele ve blok varyansları çıkarıldığında geriye kalan kısım hata varyansıdır.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması

Soru 9Soru →

Karayolları Genel Müdürlüğü kalite kontrol birimi, 5 farklı yol çizgi boyasının (muamele) aşınma sürelerini test etmektedir. Boyaların performansının uygulama yapılan güzergâhın trafik yoğunluğuna göre değişebileceği öngörüldüğünden, deney Türkiye'deki 4 farklı trafik yoğunluğu bölgesinde (blok) gerçekleştirilmiş ve elde edilen veriler rastgele blok tasarımı kullanılarak analiz edilmiştir.

Bu analize ait oluşturulan kısmi ANOVA tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Muamele (Boya Türü)	145,2
Blok (Bölge)	82,4
Hata	$X$	36,8
Genel	264,4

Buna göre, yukarıdaki varyans analizi tablosunda $X$ ile gösterilen hata serbestlik derecesi kaçtır?

3

4

12

15

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Hata serbestlik derecesi 12'dir.

Rastgele blok tasarımında hata serbestlik derecesi, muamele serbestlik derecesi ile blok serbestlik derecesinin çarpımına eşittir. Deneyde

t=5

farklı boya türü (muamele) ve

b=4

farklı bölge (blok) bulunmaktadır. Hata serbestlik derecesi

df_{hata} = (t - 1)(b - 1)

formülü ile hesaplanır. Buna göre

(5 - 1) \times (4 - 1) = 4 \times 3 = 12

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Deneydeki muamele (

t

) ve blok (

b

) sayılarının belirlenmesi

t = 5

(boya türü) ve

b = 4

(bölge)

Serbestlik derecelerini formüllerde yerine koyabilmek için tasarım parametrelerinin bilinmesi gerekir.

2

Rastgele blok tasarımı için hata serbestlik derecesi formülünün tespit edilmesi

df_{hata} = (t - 1)(b - 1)

Rastgele blok tasarımında hata varyansını tahmin edebilmek için gereken serbestlik derecesi bu formülle bulunur.

3

Değerlerin formülde yerine konularak hesaplanması

df_{hata} = (5 - 1) \times (4 - 1) = 4 \times 3 = 12

Tablodaki

X

değerini bulmak için gerekli nihai matematiksel işlemdir.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında ANOVA Tablosu Serbestlik Dereceleri

Soru 10Soru →

Bir kalite kontrol uzmanı, $4$ farklı boya markasının (muamele) metal yüzeylerdeki kuruma süresi üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Ortam sıcaklığının kuruma süresine olası etkisini kontrol altına almak amacıyla deney, rastgele blok tasarımı kullanılarak $6$ farklı sıcaklık seviyesinde (blok) yürütülmüştür.

Yapılan varyans analizi sonucunda; Genel Kareler Toplamı (Genel KT) $500$ , Muamele Kareler Ortalaması (Muamele KO) $60$ ve Blok Kareler Ortalaması (Blok KO) $40$ olarak elde edilmiştir.

Buna göre, bu deney tasarımına ait Hata Kareler Toplamı (Hata KT) kaçtır?

20

80

120

320

400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120

Doğru değer 120'dir. Rastgele blok tasarımında kareler toplamı ayrışımı

\text{Genel KT} = \text{Muamele KT} + \text{Blok KT} + \text{Hata KT}

şeklindedir. Verilen kareler ortalamaları ilgili serbestlik dereceleriyle çarpılarak kareler toplamlarına dönüştürülmelidir. Muamele serbestlik derecesi

4-1=3

, blok serbestlik derecesi

6-1=5

'tir. Buradan

\text{Muamele KT} = 60 \times 3 = 180

ve

\text{Blok KT} = 40 \times 5 = 200

bulunur. Bu iki değer Genel KT'den (500) çıkarıldığında,

\text{Hata KT} = 500 - 180 - 200 = 120

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Muamele ve blok serbestlik derecelerini (

sd

) hesapla.

sd_{\text{muamele}} = 4 - 1 = 3

ve

sd_{\text{blok}} = 6 - 1 = 5

Kareler ortalamasından kareler toplamına geçiş yapmak için doğru serbestlik dereceleri bulunmalıdır.

2

Muamele Kareler Toplamını (Muamele KT) hesapla.

\text{Muamele KT} = 60 \times 3 = 180

KT = KO \times sd

formülü uygulanmalıdır.

3

Blok Kareler Toplamını (Blok KT) hesapla.

\text{Blok KT} = 40 \times 5 = 200

KT = KO \times sd

formülü uygulanmalıdır.

4

Hata Kareler Toplamını (Hata KT) toplanabilirlik ilkesiyle bul.

\text{Hata KT} = 500 - 180 - 200 = 120

Rastgele blok tasarımında

\text{Genel KT} = \text{Muamele KT} + \text{Blok KT} + \text{Hata KT}

eşitliği geçerlidir.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması

Soru 11Soru →

Bir üretim tesisinde, üç farklı montaj yönteminin (muamele) işlem tamamlanma süresi üzerindeki etkisi incelenmektedir. İşçilerin el becerisi seviyelerindeki farklılıkların (deney birimleri arası heterojenlik) asıl sonuçları maskelemesini önlemek amacıyla, işçiler beceri puanlarına göre homojen bloklara ayrılmış ve her bir bloktaki işçilere tüm montaj yöntemleri rastgele sırayla uygulatılmıştır.

Kurulan bu rastgele blok tasarımı modelinin istatistiksel amacı, model varsayımları ve test edilen temel yokluk hipotezi ( $H_0$ ) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Tasarımın temel amacı, deney birimlerindeki heterojenliği kontrol altına alarak hata varyansını azaltmaktır; modelde blok ile muamele arasında etkileşim olmadığı varsayılır ve asıl test edilen

H_0

hipotezi montaj yöntemlerinin etkilerinin birbirine eşit olduğudur.

Blok değişkeni olan beceri seviyesi analize bağımsız bir faktör olarak dâhil edildiğinden, tasarımın öncelikli amacı montaj yöntemi ile beceri seviyesi arasındaki etkileşimi (interaksiyon) ölçmektir ve temel

H_0

hipotezi bu etkileşimin anlamsızlığı üzerine kurulur.

Deneyin istatistiksel odak noktası homojen bloklar arasındaki performans farklılıklarını saptamak olduğundan, sınanacak öncelikli

H_0

hipotezi tüm blok ortalamalarının istatistiksel olarak birbirine eşit olduğu üzerine inşa edilir.

Bloklama işlemi genel kareler toplamını (SST) artırarak muamele kareler ortalamasının yapay olarak büyümesini sağladığından, modelin

H_0

hipotezi işlem ve hata kareler toplamının eşitliği prensibine dayanır.

Blok içi homojenlik kesin olarak sağlandığı için muamelelerin deney birimlerine rastgele atanmasına gerek kalmamıştır; bu durum modelin

H_0

hipotezinin doğrudan serbestlik derecesine bağlı olarak kurulmasını sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tasarımın temel amacı, deney birimlerindeki heterojenliği kontrol altına alarak hata varyansını azaltmaktır; modelde blok ile muamele arasında etkileşim olmadığı varsayılır ve asıl test edilen $H_0$ hipotezi montaj yöntemlerinin etkilerinin birbirine eşit olduğudur.

Cevap

Doğru ifade, tasarımın amacının hata varyansını azaltmak olduğunu, blok-muamele etkileşiminin varsayılmadığını ve asıl test edilen

H_0

hipotezinin montaj yöntemleri (muamele) ortalamalarının eşitliği olduğunu belirten ifadedir.

Doğru seçenek; Rastgele Blok Tasarımının üç sacayağını eksiksiz ifade etmektedir: 1) Amaç, birimler arası heterojenliği (beceri seviyesi) modele dâhil ederek deneysel hata varyansını küçültmektir. 2) RBT, muamele ve blok arasında istatistiksel bir etkileşim olmadığı (toplanabilirlik) varsayımına dayanır. 3) Blok değişkeni bir kontrol aracı olduğundan, asıl test edilen ve ilgilenilen temel yokluk hipotezi (

H_0

), çalışmanın ana odak noktası olan muamele (montaj yöntemleri) ortalamaları arasında anlamlı bir fark olmadığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele Blok Tasarımının (RBT) temel istatistiksel amacını belirle.

Temel amaç yerel kontrol ilkesini kullanarak, deney birimlerinin (işçilerin becerileri) doğal farklılıklarından kaynaklanan varyasyonu deneysel hatadan ayırmak ve böylece hata varyansını küçültmektir.

Hata varyansının küçülmesi, F istatistiğinin (Muamele Kareler Ortalaması / Hata Kareler Ortalaması) duyarlılığını (testin gücünü) artırır.

2

Modelin matematiksel yapısını ve etkileşim varsayımını değerlendir.

Standart bir Rastgele Blok Tasarımında model toplanabilirdir (additive model). Yani blok değişkeni ile muamele değişkeni arasında etkileşim (interaksiyon) olmadığı varsayılır.

Eğer etkileşim test edilmek istenseydi, deneyin Çok Yönlü Faktöriyel Tasarım olarak kurgulanması ve her blok-muamele kombinasyonunda tekrarlı gözlemler alınması gerekirdi.

3

İlgilenilen temel yokluk hipotezini (

H_0

) tanımla.

Tasarımda bloklar sadece kontrol amaçlı 'rahatsız edici değişken' (nuisance variable) olduğundan, asıl sınanan

H_0

hipotezi

\tau_1 = \tau_2 = \tau_3 = 0

(muamele etkileri sıfırdır veya tüm muamele ortalamaları birbirine eşittir) şeklindedir.

Araştırmacının temel araştırma sorusu işçilerin becerileri arasındaki fark değil, montaj yöntemlerinin hız üzerindeki etkisidir.

4

Seçenekleri analiz ederek yanlış anlamaları (distraktörleri) ele.

Etkileşimi test ettiğini iddia eden, temel odağın blok ortalamaları olduğunu savunan, SST'nin arttığını söyleyen ve rastgeleliği gereksiz gören seçenekler istatistiksel olarak hatalıdır.

Yalnızca hata varyansının azaltılması ve doğru

H_0

formülasyonunun bulunduğu seçenek RBT'nin doğasına tam uygundur.

Anahtar Kavram

Yerel Kontrol (Bloklama) ile Hata Varyansının Azaltılması ve Toplanabilir Model Varsayımı

Soru 12Soru →

Bir tarım araştırmacısı, dört farklı gübre türünün (muamele) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemektedir. Tarladaki toprak verimliliği gradyanından kaynaklanabilecek varyansı kontrol altına almak için, tarla homojen bloklara ayrılmış ve her hücrede tek bir deneme biriminin yer aldığı 'rastgele blok tasarımı' uygulanmıştır. Bu tasarımın istatistiksel modeli $y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$ şeklinde tanımlanmaktadır.

Buna göre, kurulan bu standart istatistiksel model ve varsayımları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model, gübre türleri (muamele) ile toprak blokları arasında herhangi bir etkileşim olmadığını ve bu etkilerin toplanabilir nitelikte olduğunu varsayar.

Model, gübre türleri ve toprak blokları arasındaki etkileşim terimini açıkça içerir ve asıl amaç bu iki faktörün ortaklaşa etkisini test etmektir.

Modeldeki muamele etkileri (

\tau_i

) ve blok etkileri (

\beta_j

), araştırmanın doğası gereği istisnasız olarak şansa bağlı (tesadüfi) değişkenler olarak kabul edilir.

Modelde hata varyansının tahmin edilebilmesi için, her bir blok içerisinde aynı gübre türünün uygulandığı birden fazla deneme biriminin (tekrarlama) bulunması zorunludur.

Modelin hata serbestlik derecesi, tamamen rastgele tasarımda olduğu gibi toplam gözlem sayısından sadece gübre türü (muamele) sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model, gübre türleri (muamele) ile toprak blokları arasında herhangi bir etkileşim olmadığını ve bu etkilerin toplanabilir nitelikte olduğunu varsayar.

Cevap

Modelin gübre türleri (muamele) ile toprak blokları arasında herhangi bir etkileşim olmadığını ve bu etkilerin toplanabilir nitelikte olduğunu varsaydığını belirten seçenektir.

Rastgele blok tasarımının temel istatistiksel modeli

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

şeklinde tanımlanır. Bu modelde

\tau_i

(muamele etkisi) ve

\beta_j

(blok etkisi) birbirinden tamamen bağımsız olarak kabul edilir ve sonuç değişkenine doğrudan eklenir (toplanabilirlik varsayımı). Modelde bir

(\tau\beta)_{ij}

etkileşim terimi bulunmaz.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen matematiksel modeli (

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

) analiz et.

Modelin sadece genel ortalama (

\mu

), muamele ana etkisi (

\tau_i

) ve blok ana etkisinden (

\beta_j

) oluştuğu belirlenir.

Modelin yapısını anlamak, hangi faktörlerin test edilebileceğini ve varsayımlarını ortaya koymak için gereklidir.

2

Modelde bir etkileşim teriminin

(\tau\beta)_{ij}

olup olmadığını kontrol et.

Formülde etkileşim terimi yoktur. Bu durum, etkilerin toplanabilir (additive) olduğunu gösterir.

Hücre başına tek gözlem içeren rastgele blok tasarımlarında etkileşim ayrıştırılamaz ve yok varsayılır.

3

Seçenekleri toplanabilirlik varsayımı ve model özellikleri bağlamında değerlendir.

Sadece etkileşimin olmadığını ve toplanabilirliğin varsayıldığını belirten ifade matematiksel gerçeklikle eşleşmektedir.

Diğer ifadeler RBT'nin tasarım kuralları, varyans hesaplama mantığı veya serbestlik derecesi formülleri ile açıkça çelişmektedir.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında İstatistiksel Model ve Toplanabilirlik Varsayımı

Soru 13Soru →

Bir lojistik planlama uzmanı, şehir içi toplu taşımada kullanılacak $3$ farklı otobüs güzergâhının (muamele) sefer tamamlama sürelerini incelemektedir. Trafik yoğunluğunun günlere göre değişebileceğini dikkate alan uzman, ölçümleri $4$ farklı iş gününde (blok) gerçekleştirerek rastgele blok tasarımı uygulamıştır.

Elde edilen veriler üzerinden yapılan ön hesaplamalarda şu değerler bulunmuştur:
- Gözlem değerlerinin kareleri toplamı: $\sum X_{ij}^2 = 380$
- Genel toplam: $T_{..} = 60$
- Güzergâh (muamele) toplamları: $T_{1.} = 16, \; T_{2.} = 20, \; T_{3.} = 24$
- Gün (blok) toplamları: $T_{.1} = 9, \; T_{.2} = 12, \; T_{.3} = 15, \; T_{.4} = 24$

Buna göre, kurulan rastgele blok tasarımı modelinin Hata Kareler Toplamı (SSE) değeri kaçtır?

30

38

42

72

330

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kurulan rastgele blok tasarımı modelinin Hata Kareler Toplamı (SSE) değeri 30'dur.

Rastgele Blok Tasarımında Hata Kareler Toplamı (SSE), Genel Kareler Toplamı'ndan (SST) Muamele (SSTr) ve Blok (SSB) kareler toplamlarının çıkarılmasıyla elde edilir. Verilen değerlerle sırasıyla düzeltme terimi (DT) 300 bulunmuştur. Buradan SST = 80, SSTr = 8 ve SSB = 42 olarak hesaplanmıştır. Sonuç olarak SSE = 80 - 8 - 42 = 30 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlem sayısını (N) ve Düzeltme Terimini (DT) hesaplayın.

N = 3 \times 4 = 12

.

DT = \frac{T_{..}^2}{N} = \frac{60^2}{12} = \frac{3600}{12} = 300

.

Varyans analizi kareler toplamı hesaplamalarında ham verilerin düzeltilmesi için gereklidir.

2

Genel Kareler Toplamını (SST) hesaplayın.

SST = \sum X_{ij}^2 - DT = 380 - 300 = 80

.

Verideki toplam değişkenliği bulmak içindir.

3

Güzergâh (Muamele) Kareler Toplamını (SSTr) hesaplayın.

SSTr = \frac{\sum T_{i.}^2}{b} - DT = \frac{16^2 + 20^2 + 24^2}{4} - 300 = \frac{256 + 400 + 576}{4} - 300 = \frac{1232}{4} - 300 = 308 - 300 = 8

.

Farklı güzergâhların (muamelelerin) yarattığı değişkenliği izole etmek içindir. Her bir muamele toplamı blok sayısına (b=4) bölünür.

4

Gün (Blok) Kareler Toplamını (SSB) hesaplayın.

SSB = \frac{\sum T_{.j}^2}{k} - DT = \frac{9^2 + 12^2 + 15^2 + 24^2}{3} - 300 = \frac{81 + 144 + 225 + 576}{3} - 300 = \frac{1026}{3} - 300 = 342 - 300 = 42

.

Farklı günlerin (blokların) yarattığı değişkenliği izole etmek içindir. Her bir blok toplamı muamele sayısına (k=3) bölünür.

5

Hata Kareler Toplamını (SSE) bulun.

SSE = SST - SSTr - SSB = 80 - 8 - 42 = 30

.

Rastgele Blok Tasarımında toplanabilirlik kuralı gereği hata, genel değişkenlikten blok ve muamele etkilerinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması (

SST = SSTr + SSB + SSE

)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumu, farklı hizmet içi eğitim programlarının personel performansı üzerindeki etkisini incelemek amacıyla rastgele blok tasarımı planlamıştır. Deneyde eğitim programları "muamele", personelin görev yaptığı farklı şubeler ise "blok" olarak tanımlanmıştır. Deney sonucunda elde edilen verilerle oluşturulan kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )
Eğitim Programı (Muamele)	$180$	$60$
Şube (Blok)	$400$
Hata	$240$
Genel (Toplam)	$35$	$820$

Buna göre, bu deney tasarımına ait ANOVA tablosundaki hata serbestlik derecesi ( $sd_{Hata}$ ) kaçtır?

3

8

24

32

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Hata serbestlik derecesi 24'tür.

Verilen tabloda muamele kareler ortalaması (

KO = 60

) ve kareler toplamı (

KT = 180

) kullanılarak muamele serbestlik derecesi

180 / 60 = 3

bulunur. Formülden

t - 1 = 3

olduğu için muamele sayısı

t = 4

'tür. Genel serbestlik derecesi tablodan 35 olarak verilmiştir, bu da toplam gözlem sayısının

N = 36

olduğunu gösterir. Rastgele blok tasarımında (her hücrede tek gözlem varken)

N = t \times b

olduğundan,

36 = 4 \times b

denkleminden blok sayısı

b = 9

olarak elde edilir. Hata serbestlik derecesi formülü

(t - 1) \times (b - 1)

'dir. Bulunan değerler yerine konulduğunda

3 \times (9 - 1) = 3 \times 8 = 24

sonucuna ulaşılır. Aynı zamanda toplam, varyans kaynaklarının serbestlik derecelerinin toplamına eşit olduğu için

35 - 3 - 8 = 24

işlemiyle de aynı sonuca varılır.

Adım Adım Çözüm

1

Eğitim programlarına (muamele) ait serbestlik derecesini hesapla.

sd_{Muamele} = \frac{KT_{Muamele}}{KO_{Muamele}} = \frac{180}{60} = 3

Kareler ortalaması (KO), kareler toplamının (KT) serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

2

Uygulanan muamele (eğitim programı) sayısını (

t

) bul.

t - 1 = 3 \Rightarrow t = 4

Muamele serbestlik derecesi formülü

t - 1

'dir.

3

Deneydeki toplam gözlem sayısını (

N

) hesapla.

sd_{Genel} = N - 1 \Rightarrow 35 = N - 1 \Rightarrow N = 36

Genel serbestlik derecesi tablodan 35 olarak verilmiştir.

4

Deneydeki blok sayısını (

b

) ve blok serbestlik derecesini bul.

Rastgele blok tasarımında

N = t \times b

'dir.

36 = 4 \times b \Rightarrow b = 9

. Blok serbestlik derecesi ise

b - 1 = 9 - 1 = 8

'dir.

Her bir muamele her bir blokta tam olarak bir kez yer aldığı için toplam gözlem sayısı

t \times b

formülüyle bulunur.

5

Hata serbestlik derecesini hesapla.

sd_{Hata} = (t - 1)(b - 1) = 3 \times 8 = 24

Rastgele blok tasarımında hata serbestlik derecesi, muamele ve blok serbestlik derecelerinin çarpımına veya

sd_{Genel} - sd_{Muamele} - sd_{Blok}

formülüne eşittir (

35 - 3 - 8 = 24

).

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında ANOVA Tablosu ve Serbestlik Derecesi Ayrışımı

Soru 15Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, dört farklı egzersiz programının yetişkinlerdeki kolesterol düşüşü üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, katılımcıların yaşlarının kolesterol değişimi üzerinde önemli bir dışsal etken olduğunu bildiğinden, katılımcıları yaşlarına göre "genç", "orta yaş" ve "yaşlı" olmak üzere gruplara ayırmış ve her gruptaki deney birimlerine egzersiz programlarını tamamen rastgele atayarak bir Rastgele Blok Tasarımı (RBT) oluşturmuştur.

Buna göre, bu deney tasarımının temel istatistiksel amacı ve odaklandığı asıl sıfır hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Amaç: Deney birimlerini kendi içinde homojen bloklara ayırarak dışsal bir değişkenin yaratacağı değişkenliği izole etmek ve böylece hata varyansını azaltmaktır.

H_0

: Egzersiz programlarının ortalama etkileri birbirine eşittir.

Amaç: Egzersiz programları ile yaş grupları arasındaki ortaklaşa (sinerjik) etkiyi istatistiksel olarak ölçmektir.

H_0

: Yaş grupları ile egzersiz programları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim yoktur.

Amaç: Odaklanılan asıl bağımsız değişken olan yaş faktörünün, kolesterol düşüşü üzerindeki net etkisini belirlemektir.

H_0

: Farklı yaş gruplarının kolesterol düşüşü üzerindeki ortalama etkileri birbirine eşittir.

Amaç: Genel kareler toplamının, yalnızca muamele kareler toplamı ve hata kareler toplamı olarak iki bileşene ayrılmasını sağlamaktır.

H_0

: Egzersiz programlarının ortalamaları ile genel ortalama arasındaki fark sıfırdır.

Amaç: Deneme birimlerinin muamelelere tarafsız atanması kuralını esneterek, her bir yaş grubundaki tekrarlama (replikasyon) sayısını maksimize etmektir.

H_0

: Blok içi hata varyansları genel hata varyansına eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Amaç: Deney birimlerini kendi içinde homojen bloklara ayırarak dışsal bir değişkenin yaratacağı değişkenliği izole etmek ve böylece hata varyansını azaltmaktır. $H_0$ : Egzersiz programlarının ortalama etkileri birbirine eşittir.

Cevap

Doğru seçenek, rastgele blok tasarımının amacını 'hata varyansını azaltmak', asıl hipotezini ise 'muamele (egzersiz) etkilerinin eşitliği' olarak veren seçenektir.

Rastgele blok tasarımında (RBT) temel prensip, birbirine benzemeyen (heterojen) deney birimlerini kendi içlerinde homojen alt gruplara (bloklara) ayırmaktır. Bu işlem, birimler arası doğal farklılıklardan kaynaklanan değişkenliği (SST_blok) model içine alarak hata kareler toplamından (SSE) çıkarılmasını sağlar. Böylece hata varyansı (MSE) azalır ve F testinin istatistiksel gücü artar. Bloklar kontrol amaçlı modele dahil edildiğinden, araştırmacının ilgilendiği asıl sıfır hipotezi (

H_0

) muamele (egzersiz) ortalamalarının birbirine eşit olduğu hipotezidir.

Adım Adım Çözüm

1

Senaryodaki deney tasarımının bileşenlerini belirleme

Muamele = Egzersiz Programları, Blok = Yaş Grupları, Yanıt Değişkeni = Kolesterol Düşüşü.

Tasarımdaki faktörlerin rolünü anlamak, asıl amacın ve hipotezin ne olduğunu saptamak için ön koşuldur.

2

Bloklamanın teorik amacını değerlendirme

Araştırmacı yaş farklılıklarının getireceği değişkenliği (gürültüyü) hesaplayıp hata teriminden (SSE) çıkarmak için bloklama yapmıştır.

Bloklama yerel kontrol ilkesinin bir uygulamasıdır ve asıl amaç deney birimlerini homojen hale getirerek hata varyansını (MSE) küçültmektir.

3

Rastgele Blok Tasarımında test edilen asıl hipotezi formüle etme

H_0

:

\tau_1 = \tau_2 = \tau_3 = \tau_4 = 0

(Egzersiz programlarının etkileri arasında fark yoktur).

Deneyin odaklandığı asıl soru blokların etkisi değil, uygulanan muamelelerin etkisidir. İstatistiksel test asıl araştırma sorusuna yönelik kurulur.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Hata Varyansının Azaltılması ve İstatistiksel Model Hedefleri

Soru 16Soru →

Bir gıda mühendisi, $4$ farklı koruyucu katkı maddesinin (muamele) bir gıda ürününün bozulma süresi üzerindeki etkisini incelemektedir. Deney, ortamdaki nem farklılıklarını kontrol altına almak amacıyla $5$ farklı depo bölmesi (blok) kullanılarak rastgele blok tasarımına göre planlanmış ve her blok-muamele kombinasyonunda (hücrede) tek bir gözlem elde edilmiştir.

Mühendis, koruyucu katkı maddelerinin etkinliğinin depo bölmelerindeki nem durumuna göre yapısal bir farklılık gösterebileceğinden, yani muamele değişkeni ile blok değişkeni arasında bir etkileşim olabileceğinden şüphelenmektedir.

Rastgele blok tasarımında 'etkilerin toplanabilirliği' varsayımının ihlal edilmesi (etkileşim olması) durumunda modelde ortaya çıkacak teorik sonuç ve bu varsayımın geçerliliğini sınamak için kullanılması gereken istatistiksel test aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Etkileşim etkisi hata teriminin içine karışarak hata kareler ortalamasını (MSE) şişirir ve muamele etkisini tespit etme gücünü düşürür; bu durumu sınamak için Tukey toplanabilmezlik testi kullanılmalıdır.

Etkileşim varyansı genel kareler toplamından bağımsız bir bileşen olarak ayrılır ve muamele kareler ortalamasını yapay biçimde artırır; bu durumu sınamak için modeldeki hata serbestlik derecesi yeniden hesaplanmalıdır.

Muamele ile blok arasındaki etkileşim, faktörlerin ana etkilerini tamamen sıfırlayarak karşılaştırmaları geçersiz kılar; bu durumu sınamak için bağımsız iki örneklem t-testi uygulanmalıdır.

Toplanabilirlik varsayımının ihlali test sonuçlarını teorik olarak etkilemeyeceğinden standart varyans analizi geçerliliğini korur; bu durumu sınamak için ek bir teste gerek duyulmadan analiz tamamlanmalıdır.

Etkileşim varlığında bloklamanın hata varyansını küçültme işlevi kaybolur ve veriler tamamen rastgele tasarıma göre yeniden analiz edilmelidir; bu durumu sınamak için Bartlett testi kullanılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim etkisi hata teriminin içine karışarak hata kareler ortalamasını (MSE) şişirir ve muamele etkisini tespit etme gücünü düşürür; bu durumu sınamak için Tukey toplanabilmezlik testi kullanılmalıdır.

Cevap

Toplanabilirlik varsayımının ihlal edilmesi durumunda etkileşim varyansı hata terimine karışarak hata kareler ortalamasını büyütür, testin gücünü zayıflatır ve bu varsayımı sınamak için Tukey toplanabilmezlik testinden yararlanılır.

Rastgele blok tasarımında her hücrede yalnızca bir gözlem bulunduğundan, muamele ve blok arasındaki olası bir etkileşim bağımsız olarak ölçülemez ve doğrudan hata terimine (SSE) karışır. Bu durum, hata varyansının (MSE) olduğundan daha büyük (şişkin) hesaplanmasına yol açar ve muamele etkisini test eden F değerini küçülterek testin gücünü zayıflatır. Bu toplanabilmezlik durumunu 1 serbestlik derecesi ayırarak özel olarak sınayan yöntem 'Tukey toplanabilmezlik testi'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele blok tasarımının yapısal istatistiksel modelini ve varsayımlarını değerlendirme.

Hücre başına tek gözlem alındığından model

Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

biçimindedir. Modelde etkileşim terimi

(\tau\beta)_{ij}

yer almaz (toplanabilirlik varsayımı).

Toplanabilirlik varsayımının ne anlama geldiğini netleştirmek.

2

Varsayım ihlalinin (etkileşimin varlığının) matematiksel sonucunu belirleme.

Eğer gerçekte bir etkileşim varsa, bu etki modeldeki hata teriminin (

\varepsilon_{ij}

) içine dahil olur. Dolayısıyla hesaplanan Hata Kareler Toplamı (SSE) gerçekte hem rastgele hatayı hem de etkileşimi içerir.

Etkileşimin varyans analizindeki yerini tespit etmek.

3

Bu durumun F istatistiği ve testin gücü üzerindeki etkisini türetme.

Hata terimi şiştiği için Hata Kareler Ortalaması (MSE) olduğundan büyük hesaplanır.

F = MSTr / MSE

formülüne göre payda büyüyeceğinden F değeri küçülür,

H_0

hipotezini reddetme zorlaşır (Testin gücü azalır).

İstatistiksel analiz sonucundaki pratik yansımayı ortaya koymak.

4

Bu durumu kontrol etmek için literatürde uygun görülen varsayım testini seçme.

Hücre başına bir gözlem olduğunda etkileşimin anlamlılığını sınayabilen test 'Tukey Toplanabilmezlik Testi'dir (Tukey's Test for Non-additivity).

Varsayım kontrolü için spesifik ve doğru istatistiksel yöntemi eşleştirmek.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımında Toplanabilirlik Varsayımı ve Tukey Testi

Soru 17Soru →

Bir kamu kurumunda, üç farklı hizmet içi eğitim programının personelin performans puanları üzerindeki etkisi incelenmek istenmektedir. Personelin mesleki kıdem sürelerinin performans üzerinde etkili olabileceği düşünülmüş ve personel, kıdem yıllarına göre farklı homojen gruplara ayrılarak bir Rastgele Blok Tasarımı (Randomize Blok Deneme Tertibi) kurgulanmıştır.

Bu deney tasarımı için oluşturulacak doğrusal istatistiksel model ve bu modelin temel varsayımı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?
( $\mu$ : Genel ortalama, $\tau_i$ : Eğitim programının etkisi, $\beta_j$ : Kıdem grubunun etkisi, $\varepsilon_{ij}$ : Rastgele hata terimi)

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

biçimindedir ve modelde eğitim programı ile kıdem grupları arasında etkileşim olmadığı (toplanabilirlik) varsayılır.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau\beta)_{ij} + \varepsilon_{ij}

biçimindedir ve modelde eğitim programı ile kıdem grupları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim olduğu varsayılır.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}

biçimindedir ve bloklamanın temel amacı deneysel hatayı küçültmek olduğu için blok etkisinin modele parametre olarak dahil edilmesine gerek olmadığı varsayılır.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

biçimindedir ve modeldeki hata terimlerinin (

\varepsilon_{ij}

) normal dağılmadığı veya varyanslarının heterojen olduğu durumların analizi etkilemeyeceği varsayılır.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

biçimindedir ve şansa bağlı (tesadüfi) seçilen eğitim programlarının, sabit etkili model (Model I) varsayımlarıyla analiz edilmesi gerektiği varsayılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$ biçimindedir ve modelde eğitim programı ile kıdem grupları arasında etkileşim olmadığı (toplanabilirlik) varsayılır.

Cevap

Doğru cevap, doğrusal modelin

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

şeklinde olduğu ve toplanabilirlik varsayımını (etkileşim olmadığını) belirten seçenektir.

Rastgele Blok Tasarımı'nın genel doğrusal istatistiksel modeli

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

olarak ifade edilir. Standart bir Rastgele Blok Tasarımında her bir muamele-blok kombinasyonunda yalnızca bir deneme birimi bulunduğu için, muamele (faktör) ve blok değişkenleri arasında bir etkileşim olmadığı varsayılır. Bu durum literatürde 'toplanabilirlik varsayımı' (additivity) olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımının türünü belirleme

Araştırmada bir 'Rastgele Blok Tasarımı' kullanıldığı tespit edilmiştir.

Model parametrelerinin seçimi doğrudan kurgulanan deney tasarımına bağlıdır.

2

Model denklemini oluşturma

Bağımlı değişken değeri; genel ortalama (

\mu

), muamele etkisi (

\tau_i

), blok etkisi (

\beta_j

) ve hata (

\varepsilon_{ij}

) terimlerinin toplamından oluşur.

Rastgele Blok Tasarımında hem ilgilenilen ana faktör hem de kontrol edilmek istenen blok faktörü modeli oluşturan temel bileşenlerdir.

3

Modelin matematiksel varsayımlarını değerlendirme

Hücre başına tek gözlem bulunduğu için muamele ile blok arasında etkileşim olmadığı (toplanabilirlik) kabul edilir.

Tek gözlem olması durumunda, olası bir etkileşim terimi ile deneysel hata birbirinden matematiksel olarak ayrılamaz.

4

Yanlış varsayımları eleme

Etkileşim terimi içeren, blok etkisini dışlayan veya hata terimlerine dair temel ANOVA varsayımlarını reddeden seçenekler elenir.

Doğru bir istatistiksel yaklaşım hem matematiksel modeli hem de bu modelin dayandığı elzem varsayımları eksiksiz sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımı Doğrusal Modeli ve Toplanabilirlik Varsayımı

Soru 18Soru →

Bir üretim fabrikasında, $t$ adet farklı montaj yönteminin (muamele) işlem süresi üzerindeki etkisini incelemek için $b$ adet operatör (blok) kullanılarak bir rastgele blok tasarımı oluşturulmuştur. Deneyde montaj yöntemleri araştırmacı tarafından özel olarak belirlenmiş (sabit etkili faktör), operatörler ise fabrikadaki tüm operatörler arasından şansa bağlı olarak seçilmiştir (tesadüfi etkili faktör). Her bir operatör her montaj yöntemini bir kez uygulamıştır (hücre başına tek gözlem) ve yöntem ile operatör arasında istatistiksel bir etkileşim olmadığı varsayılmaktadır.

Bu deney tasarımında Beklenen Kareler Ortalaması ( $E(KO)$ ) kuralları dikkate alındığında; montaj yöntemlerinin (muamelelerin) ana etkisinin anlamlılığını test etmek için oluşturulacak F test istatistiğinin paydası ve muameleler için Beklenen Kareler Ortalaması $E(KO_{Muamele})$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?
(Not: $\tau_i$ sabit muamele etkisini, $\sigma^2_\tau$ tesadüfi muamele varyans bileşenini, $\sigma^2$ hata varyansını temsil etmektedir.)

Payda:

KO_{Hata}

, \quad

E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + b\sigma^2_\tau

Payda:

KO_{Blok}

, \quad

E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + \frac{b \sum \tau_i^2}{t-1}

Payda:

KO_{Blok}

, \quad

E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + b\sigma^2_\tau

Payda:

KO_{Hata}

, \quad

E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + \frac{b \sum \tau_i^2}{t-1}

Payda:

KO_{Hata}

, \quad

E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + \frac{t \sum \tau_i^2}{b-1}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Payda: $KO_{Hata}$ , \quad $E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + \frac{b \sum \tau_i^2}{t-1}$

Cevap

Montaj yöntemlerinin sabit etkili olduğu bu tasarımda test paydası Hata Kareler Ortalaması olup, muamele beklenen kareler ortalaması

E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + \frac{b \sum \tau_i^2}{t-1}

şeklindedir.

Soruda muamelelerin sabit etkili olduğu açıkça belirtilmiştir. Sabit etkili muamelelerin Beklenen Kareler Ortalaması hesaplanırken temel hata varyansına (

\sigma^2

) sabit muamele etkilerinin dağılımını ifade eden

\frac{b \sum \tau_i^2}{t-1}

terimi eklenir. İstatistiksel etkileşimin bulunmadığı bu tasarımda, muamelelerin farklılık yaratıp yaratmadığını (H0 hipotezi: Tüm

\tau_i

etkileri sıfırdır) test edebilmek için

E(KO_{Muamele})

'nin içindeki bu ek terimin izole edilmesi gerekir. Bu yalıtımı sağlamak amacıyla, beklenen değeri sadece hata varyansı (

\sigma^2

) olan Hata Kareler Ortalaması (

KO_{Hata}

) F testinin paydası olarak seçilmelidir. Bu koşulların her ikisini de sağlayan tek eşleştirme doğru yanıtta verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Muamele (montaj yöntemi) faktörünün model türünü ve formülünü belirleme

Muameleler sabit etkili olduğu için varyans bileşeni (

\sigma^2_\tau

) yerine sabit etkilerin kareleri toplamı kullanılır:

E(KO_{Muamele}) = \sigma^2 + \frac{b \sum \tau_i^2}{t-1}

.

Soruda araştırmacının yöntemleri özellikle belirlediği (sabit etkili) vurgulanmıştır.

2

Modeldeki etkileşim durumunu ve Hata Beklenen Kareler Ortalamasını tespit etme

Etkileşim varsayılmadığından ve hücre başına tek gözlem olduğundan

E(KO_{Hata}) = \sigma^2

'dir.

Standart rastgele blok tasarımlarında deneysel hata terimi, etkileşimin mevcut olmadığı durumlarda saf hata varyansını verir.

3

F test istatistiğinin kurgulanması

F testinde

E(KO)

kuralı gereği sadece test edilen etkiyi (

H_0

doğruyken sıfır olacak terim) fazladan içeren bir oran kurulur:

\frac{E(KO_{Muamele})}{E(KO_{Hata})}

. Dolayısıyla payda

KO_{Hata}

olmalıdır.

H_0: \tau_i = 0

iken

E(KO_{Muamele})

sadece

\sigma^2

değerine eşit olur ve

\frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1

beklenen değerine sahip F dağılımı elde edilir.

Anahtar Kavram

Karma model (Mixed Model) varsayımları altında rastgele blok tasarımında Beklenen Kareler Ortalaması hesaplamaları ve uygun F testinin kurgulanması

Soru 19Soru →

Bir devlet hastanesi laboratuvarında, üç farklı kan tahlili cihazının ölçüm hassasiyetleri karşılaştırılacaktır. Hastalardan alınan numunelerin bazal değerleri farklılık gösterdiği için, her bir hastadan alınan kan numunesi üçe bölünerek üç cihaza da okutulmuştur. Araştırmada hastalar blok faktörü, cihazlar ise muamele faktörü olarak belirlenerek Rastgele Blok Tasarımı (RBT) kurulmuştur.

Bu deneyin analizi için kullanılacak $y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$ doğrusal istatistiksel modeli ve varsayımları dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Modelin temel bir varsayımı olarak muamele ve blok etkilerinin toplanabilir olduğu kabul edilir ve model denkleminde bu iki faktör arasında bir etkileşim terimi bulunmaz.

Model denkleminde

\beta_j

parametresi, araştırmada temel olarak test edilmek istenen ve hipotezleri kurulan asıl faktörün (cihazların) etkisini temsil etmektedir.

Cihazların ölçüm hassasiyetinin hastadan hastaya değişebilme ihtimalinden dolayı, modelin geçerli olabilmesi için

(\tau\beta)_{ij}

etkileşim parametresi modele daima eklenmelidir.

Modelin hata serbestlik derecesi, tamamen rastgele tasarım prensibiyle toplam gözlem sayısından muamele sayısının çıkarılmasıyla (

N - t

) elde edilir.

Bu istatistiksel modelin kullanılabilmesi için, deneydeki hem muamele hem de blok faktörlerinin evrenden rastgele çekilmiş olmasını gerektiren tesadüfi model varsayımı zorunludur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin temel bir varsayımı olarak muamele ve blok etkilerinin toplanabilir olduğu kabul edilir ve model denkleminde bu iki faktör arasında bir etkileşim terimi bulunmaz.

Cevap

Rastgele blok tasarımında blok ve muamele etkilerinin toplanabilir olduğu varsayılır ve modele etkileşim terimi dahil edilmez.

Rastgele Blok Tasarımı (RBT) için yazılan standart istatistiksel model

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

biçimindedir. Bu denklemde blok (

\beta_j

) ve muamele (

\tau_i

) parametreleri bağımsız şekilde genel ortalamaya toplanarak eklenir. Her blok ve muamele kombinasyonunda sadece bir gözlem bulunduğu için etkileşim ayrı bir parametre olarak ölçülemez; dolayısıyla modelin toplanabilir (additive) olduğu varsayılır.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele Blok Tasarımının doğrusal modelini incelemek.

Model

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

şeklindedir.

Soruda verilen istatistiksel denklemin yapısını ve parametrelerin neyi ifade ettiğini anlamak için.

2

Modeldeki parametrelerin görevlerini belirlemek.

\mu

: genel ortalama,

\tau_i

: asıl ilgilenilen muamele (cihaz) etkisi,

\beta_j

: hatayı azaltmak için kurulan blok (hasta) etkisi,

\varepsilon_{ij}

: rastgele hata.

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu teyit edebilmek için.

3

Etkileşim varsayımını değerlendirmek.

Model denkleminde

(\tau\beta)_{ij}

gibi bir etkileşim terimi yoktur. Bu, etkilerin toplanabilir olduğu (additivity) varsayımına dayanır.

Rastgele Blok Tasarımında (her blok-muamele kombinasyonunda tek gözlem varken) temel kural toplanabilirliktir.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımı İstatistiksel Modeli ve Toplanabilirlik Varsayımı

Soru 20Soru →

Bir yazılım firması, geliştirdiği dört farklı arama algoritmasının (muamele) sorgu yanıt süreleri üzerindeki etkisini incelemektedir. Web sitesindeki trafik yoğunluğunun yanıt sürelerini etkileyebileceği bilindiğinden, deney günün beş farklı zaman diliminde (blok) tekrarlanmıştır. Her bir algoritma, her bir zaman diliminde tam olarak bir kez rastgele test edilmiştir.

Buna göre, bu deneyin analizi için kurulması gereken standart istatistiksel model ve bu modele ait temel varsayımlar aşağıdakilerden hangisinde doğru ve eksiksiz olarak ifade edilmiştir?

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

modelidir; burada

\tau_i

muamele etkisini,

\beta_j

blok etkisini gösterir. Model, muamele ile blok faktörleri arasında etkileşim olmadığını (toplanabilirlik) ve

\varepsilon_{ij} \sim NID(0, \sigma^2)

olduğunu varsayar.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau\beta)_{ij} + \varepsilon_{ij}

modelidir; modelin geçerliliği için blok ve muamele arasındaki etkileşim teriminin (

(\tau\beta)_{ij}

) istatistiksel olarak anlamlı olması zorunludur.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

modelidir; burada

\tau_i

ve

\beta_j

her zaman normal dağılıma sahip rastgele değişkenler (şansa bağlı model) olarak formüle edilir ve

\varepsilon_{ij}

hata terimi göz ardı edilebilir.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}

modelidir; bloklamanın amacı sadece rastgele gözlem sayısını (tekrarlamayı) artırmak olduğundan, model denklemine ek bir blok parametresi (

\beta_j

) eklenmesine gerek yoktur.

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

modelidir; ancak modelde hata serbestlik derecesini artırmak için muamele ve blok varyans unsurlarının birbirine tamamen eşit olduğu varsayımı yapılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$ modelidir; burada $\tau_i$ muamele etkisini, $\beta_j$ blok etkisini gösterir. Model, muamele ile blok faktörleri arasında etkileşim olmadığını (toplanabilirlik) ve $\varepsilon_{ij} \sim NID(0, \sigma^2)$ olduğunu varsayar.

Cevap

Model denkleminin

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

olduğu, faktörler arası etkileşimin bulunmadığı ve hata terimlerinin birbirinden bağımsız, sabit varyanslı normal dağılıma (

\varepsilon_{ij} \sim NID(0, \sigma^2)

) uyduğunun belirtildiği ifadedir.

Rastgele Blok Tasarımında (RBD) her bir gözlem

y_{ij}

; genel ortalama, muamele etkisi, blok etkisi ve rastgele hata bileşenlerinin toplamı ile ifade edilir (

y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}

). Her hücrede tek bir gözlem olduğu için faktörler arasında bir etkileşim olmadığı (toplanabilirlik varsayımı) kabul edilir. Ayrıca, varyans analizinin geçerli olabilmesi için rastgele hataların birbirinden bağımsız, normal dağılımlı, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı (

\varepsilon_{ij} \sim NID(0, \sigma^2)

) olması zorunludur. Doğru ifade bu bileşenleri eksiksiz içermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma tasarımı senaryosundan uygun deney türünü belirle.

Zaman dilimleri üzerinden bir engelleme yapıldığı için bu tasarım Rastgele Blok Tasarımıdır.

Değişkenliği kontrol altına almak için oluşturulan homojen alt gruplar (zaman dilimleri) 'blok' olarak adlandırılır.

2

Rastgele Blok Tasarımına ait doğrusal istatistiksel modeli oluştur.

Gözlem değeri (

y_{ij}

); genel ortalama (

\mu

), muamele etkisi (

\tau_i

), blok etkisi (

\beta_j

) ve şansa bağlı hata (

\varepsilon_{ij}

) toplamından oluşur.

Yapısal modele, deneyde ölçülmek istenen ana etki ve kontrol altına alınan blok etkisi ayrı parametreler olarak eklenmelidir.

3

Modelin toplanabilirlik ve hata varsayımlarını değerlendir.

Standart modelde muamele ve blok arasında etkileşim yoktur (toplanabilirlik varsayımı). Ayrıca parametrik analiz için

\varepsilon_{ij} \sim NID(0, \sigma^2)

varsayımı geçerli olmalıdır.

Her hücrede tek bir tekrar olduğu için etkileşim ayrı bir kaynak olarak tahmin edilemez, hata terimine karışır; bu yüzden etkileşim olmadığı varsayılır.

Anahtar Kavram

Rastgele Blok Tasarımı Doğrusal Modeli ve Varsayımları

Rastgele Blok Tasarımı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram