Tek Yönlü Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir kamu bankasının teftiş kurulu, dört farklı coğrafi bölgedeki (Marmara, Ege, İç Anadolu ve Karadeniz) şubelerinin ticari kredi onay süreleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık olup olmadığını incelemek istemektedir. Araştırmacı, bu dört bölgenin tamamını çalışmasına dâhil etmiş ve her bölgeden rastgele seçilen eşit sayıdaki şubenin onay sürelerini kaydederek tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamaya karar vermiştir.

Kurulacak olan varyans analizi modelinde, bölgelerin kitle ortalamaları $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$ olmak üzere, sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezlerinin doğru gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

H_1:

En az iki kitle ortalaması birbirinden farklıdır.

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3 \neq \mu_4

H_0: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3 \neq \mu_4

H_1:

En az iki kitle ortalaması birbirine eşittir.

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

H_1: \sigma_{\tau}^2 > 0

H_0: \tau_1 = \tau_2 = \tau_3 = \tau_4 \neq 0

H_1: \tau_1 = \tau_2 = \tau_3 = \tau_4 = 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$
$H_1:$ En az iki kitle ortalaması birbirinden farklıdır.

Cevap

Sıfır hipotezinin tüm bölge ortalamalarının eşit olduğunu (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

), alternatif hipotezin ise en az iki bölge ortalamasının birbirinden farklı olduğunu gösteren seçenektir.

Tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamalarında, karşılaştırılacak belirli gruplar olduğunda (sabit etkili model), sıfır hipotezi (

H_0

) daima tüm grupların kitle ortalamalarının birbirine eşit olduğu (

\mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k

) şeklinde kurulur. Bu durumun mantıksal değili olan alternatif hipotez (

H_1

) ise, eşitliğin herhangi bir noktada bozulmasını ifade eder. Bu nedenle 'En az bir

\mu_i

farklıdır' veya 'En az iki kitle ortalaması birbirinden farklıdır' ifadesi istatistiksel olarak en doğru gösterimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma probleminin doğasını ve faktör yapısını belirleme

Araştırmacı belirli dört bölgeyi (Marmara, Ege, İç Anadolu, Karadeniz) özellikle seçtiği için analiz 'Sabit Etkili Model' (Model I) çerçevesinde yürütülmelidir.

Uygulanacak hipotezlerin ortalamalar (

\mu

) üzerinden mi yoksa varyans unsurları (

\sigma_{\tau}^2

) üzerinden mi kurulacağına karar vermek için model tipinin bilinmesi gerekir.

2

Sıfır hipotezini (

H_0

) matematiksel olarak ifade etme

Varyans analizinde sıfır hipotezi, incelenen faktörün (bölgenin) yanıt değişkeni üzerinde anlamlı bir etkisi olmadığını, dolayısıyla tüm kitle ortalamalarının eşit olduğunu savunur:

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

.

İstatistiksel testler, başlangıçta gruplar arasında fark olmadığını (yokluk durumu) varsayarak işler.

3

Alternatif hipotezi (

H_1

) matematiksel veya sözel olarak ifade etme

Tüm ortalamaların eşit olduğu varsayımının mantıksal karşıtı (değili), 'hepsinin birbirinden farklı olması' değil; 'en az birinin diğerlerinden farklı olması' veya 'en az iki ortalamanın birbirinden farklı olması' durumudur.

Eğer sadece bir bölgenin ortalaması diğer üçünden farklıysa bile sıfır hipotezi yanlışlanmış (reddedilmiş) olur.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'da Sabit Etkili Model Hipotezlerinin Doğru Kurulumu

Soru 62Soru →

Bir Çevre ve Şehircilik İl Müdürlüğü, sanayi bölgesindeki dört farklı filtrasyon sisteminin ( $S_1, S_2, S_3$ ve $S_4$ ) hava kirliliğini azaltma performanslarını karşılaştırmaktadır. Her bir sistem için $12$ 'şer ( $n=12$ ) gözlem yapılmış ve elde edilen verilerin normal dağılım sergilediği saptanmıştır. Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, filtrasyon sistemleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğu ( $p < 0,05$ ) belirlenmiştir. Ayrıca Levene testi sonucunda grup varyanslarının homojen olduğu ( $p > 0,05$ ) tespit edilmiştir. Araştırmacı, hangi filtrasyon sistemlerinin birbirinden farklı olduğunu belirlemek amacıyla tüm olası ikili karşılaştırmaları yapmak istemektedir.

Buna göre, bu araştırmacı için en uygun (en güçlü ve birinci tip hatayı kontrol altında tutan) çoklu karşılaştırma testi aşağıdakilerden hangisidir?

Dunnett Testi

Tukey HSD Testi

Games-Howell Testi

Scheffe Testi

Kruskal-Wallis Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tukey HSD Testi

Cevap

Varyansların homojen olduğu ve örneklem hacimlerinin eşit olduğu durumda, tüm ikili karşılaştırmalar için en uygun yöntem Tukey HSD testidir.

Tukey HSD testi, varyansların homojen olduğu varsayımı altında, tüm grupların birbirleriyle olan ikili farklarını test etmek için tasarlanmıştır. Özellikle örneklem hacimlerinin eşit olduğu durumlarda birinci tip hatayı (alfa) korurken en yüksek testi gücünü sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA sonucunun kontrolü

ANOVA anlamlı (

p < 0,05

)

Çoklu karşılaştırma testlerine (post-hoc) geçebilmek için öncelikle gruplar arası genel farkın anlamlı çıkması gerekir.

2

Varyans homojenliği ve örneklem hacmi analizi

Varyanslar homojen (Levene

p > 0,05

) ve

n_1=n_2=n_3=n_4=12

Post-hoc testinin seçiminde varyansların eşitliği ve örneklem büyüklükleri belirleyici kriterlerdir.

3

Karşılaştırma amacının belirlenmesi

Tüm ikili karşılaştırmalar

Eğer sadece bir kontrol grubu ile karşılaştırma yapılsaydı Dunnett, karmaşık hipotezler (örneğin iki grubun ortalamasının diğer ikisiyle kıyaslanması) olsaydı Scheffe seçilirdi.

4

Uygun testin seçimi

Tukey HSD

Belirtilen şartlar altında (homojen varyans, eşit

n

, tüm ikili farklar) Tukey HSD en yüksek istatistiksel gücü sağlar.

Anahtar Kavram

Varyans Analizi sonrası çoklu karşılaştırma testi seçim kriterleri (Varyans homojenliği, örneklem büyüklüğü ve karşılaştırma tipi).

Daha Fazla Pratik

Varyansların homojen olmadığı durumda hangi testin (örneğin Games-Howell) tercih edilmesi gerektiğini tekrar ediniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 63Soru →

Bir insan kaynakları uzmanı, 4 farklı motivasyon programının çalışan performansı üzerindeki etkisini incelemek amacıyla tamamen rastgele bir deney tasarımı kurmuştur. Toplam 36 çalışanın katıldığı bu araştırmada, genel kareler toplamı 1380 ve hata kareler ortalaması 15 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, motivasyon programlarının performans üzerindeki etkisini test etmek için kullanılacak olan işlemler (gruplar arası) kareler ortalaması kaçtır?

225

285

300

460

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

İşlemler (gruplar arası) kareler ortalaması 300'dür.

Verilen soruda

N = 36

ve

k = 4

'tür. Hata serbestlik derecesi

N - k = 36 - 4 = 32

olarak bulunur. Hata kareler ortalaması 15 verildiği için, Hata Kareler Toplamı

15 \times 32 = 480

olur. Varyans analizinde kareler toplamları toplanabilir özelliktedir (Genel KT = İşlemler KT + Hata KT). Bu nedenle İşlemler Kareler Toplamı

1380 - 480 = 900

olarak hesaplanır. İşlemler Kareler Ortalaması ise bu değerin işlemler serbestlik derecesine (

k - 1 = 3

) bölünmesiyle

900 / 3 = 300

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması

İşlemler sd = 3, Hata sd = 32

Varyans analizi tablosundaki kareler toplamlarını bulabilmek için k (grup sayısı) ve N (toplam gözlem) kullanılarak serbestlik dereceleri (

k-1

ve

N-k

) hesaplanmalıdır.

2

Hata Kareler Toplamının (HKT) bulunması

HKT = 480

Hata Kareler Ortalaması (

HKO = HKT / \text{Hata sd}

) formülünden yola çıkılarak

15 \times 32 = 480

işlemiyle Hata Kareler Toplamı elde edilir.

3

İşlemler Kareler Toplamının (İKT) bulunması

İKT = 900

Kareler toplamlarının toplanabilirliği ilkesi gereği (

Genel KT = İKT + HKT

), Genel KT'den Hata KT çıkarılarak İşlemler KT (

1380 - 480 = 900

) bulunur.

4

İşlemler Kareler Ortalamasının (İKO) hesaplanması

İKO = 300

İşlemler Kareler Ortalaması, İşlemler Kareler Toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle (

900 / 3

) bulunur.

Anahtar Kavram

Tamamen Rastgele Deney Tasarımında ANOVA Serbestlik Dereceleri ve Kareler Ortalamaları

Soru 64Soru →

Bir eğitim uzmanı, dört farklı okul türünde ( $O_1, O_2, O_3, O_4$ ) görev yapan öğretmenlerin motivasyon puanlarını karşılaştırmaktadır. Yapılan tek yönlü varyans analizi sonucunda elde edilen ANOVA tablosu aşağıdadır:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F
Gruplar Arası	3	450	150	6,25
Gruplar İçi	36	864	24
Toplam	39	1314

( $F_{0,05;(3, 36)} = 2,87$ )

Analiz sonucunda gruplar arasında anlamlı bir fark olduğu ( $p < 0,05$ ) görülmüştür. Uzman, sadece okulları ikişerli olarak karşılaştırmakla yetinmeyip; devlet okullarını temsil eden ( $O_1, O_2$ ) grubu ile özel okulları temsil eden ( $O_3, O_4$ ) grubu ortalamaları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını (kompleks kontrast) da test etmek istemektedir.

Varyansların homojenliği varsayımının sağlandığı bu çalışmada, araştırmacının tüm olası doğrusal kombinasyonları ve karmaşık karşılaştırmaları yapabilmesine olanak tanıyan en uygun çoklu karşılaştırma testi aşağıdakilerden hangisidir?

Tukey HSD Testi

Dunnett Testi

Scheffe Testi

Duncan Çoklu Aralık Testi

Games-Howell Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Scheffe Testi

Cevap

Araştırmacının kompleks kontrastları (grup kombinasyonlarını) test edebilmesi için kullanması gereken en uygun test Scheffe Testidir.

Varyans analizinde sıfır hipotezi reddedildikten sonra, araştırmacı sadece grupları ikişerli (pairwise) değil, aynı zamanda grupların ortalamalarının ağırlıklı kombinasyonlarını (kompleks kontrastları) karşılaştırmak istiyorsa en uygun yöntem Scheffe testidir. Bu test, Tip I hata oranını tüm olası karşılaştırmalar kümesi için sabit tutar ve en esnek karşılaştırma imkanını sunar.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA sonucunun değerlendirilmesi

Hesaplanan F değeri (6,25), tablo değerinden (2,87) büyüktür; bu nedenle gruplar arasında en az bir anlamlı fark vardır.

Çoklu karşılaştırma testlerine geçebilmek için öncelikle ana varyans analizinin anlamlı çıkması gerekir.

2

Karşılaştırma türünün belirlenmesi

Soruda sadece ikili (A vs B) karşılaştırmalar değil,

(O_1+O_2)/2

ile

(O_3+O_4)/2

gibi karmaşık (kompleks) karşılaştırmaların yapılacağı belirtilmiştir.

Test seçimi, karşılaştırmanın sadece ikili mi yoksa karmaşık mı olduğuna göre değişir.

3

En uygun post-hoc testin seçilmesi

Tüm olası doğrusal kombinasyonları ve kompleks kontrastları test edebilen tek post-hoc yöntemi Scheffe testidir.

Scheffe testi diğer testlere göre daha muhafazakar (conservative) olsa da, karmaşık hipotezleri test etme esnekliğine sahip tek yöntemdir.

Anahtar Kavram

Karmaşık Kontrastlar ve Scheffe Testi

Alternatif Yöntem

Eğer sadece belirli ve önceden planlanmış (a priori) karmaşık karşılaştırmalar yapılsaydı, Bonferroni düzeltmesi ile t-testleri de kullanılabilirdi; ancak tüm olası kombinasyonlar (post-hoc) söz konusu olduğunda Scheffe alternatifsizdir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 65Soru →

Bir kamu kurumunda 5 farklı hizmet içi eğitim programının etkinliğini karşılaştırmak amacıyla 45 memur üzerinde bir araştırma yapılmıştır. Elde edilen verilerin tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonuçlarına ilişkin tablonun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyasyon Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )	Kareler Ortalaması ( $KO$ )
İşlem (Gruplar Arası)	?	600	?
Hata (Gruplar İçi)	?	800	?
Toplam	?	1400

Bu verilere göre, ANOVA tablosundaki İşlem Kareler Ortalaması ( $\text{İKO}$ ) ve Hata Kareler Ortalaması ( $\text{HKO}$ ) değerleri aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

\text{İKO} = 150

;

\text{HKO} = 20

\text{İKO} = 120

;

\text{HKO} = 20

\text{İKO} = 150

;

\text{HKO} = 17,78

\text{İKO} = 150

;

\text{HKO} = 18,18

\text{İKO} = 120

;

\text{HKO} = 17,78

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{İKO} = 150$ ; $\text{HKO} = 20$

Cevap

İşlem Kareler Ortalaması 150 ve Hata Kareler Ortalaması 20 olarak hesaplanır.

Verilen problemde grup sayısı

k=5

ve toplam örneklem büyüklüğü

N=45

olarak tanımlanmıştır. İşlem serbestlik derecesi

5-1=4

olup

\text{İKO} = 600 / 4 = 150

bulunur. Hata serbestlik derecesi ise

45-5=40

olup

\text{HKO} = 800 / 40 = 20

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini belirleyin.

sd_{\text{İşlem}} = k - 1 = 5 - 1 = 4

ve

sd_{\text{Hata}} = N - k = 45 - 5 = 40

Kareler ortalamasını bulmak için ilgili kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesi gerekir.

2

İşlem Kareler Ortalamasını (

\text{İKO}

) hesaplayın.

\text{İKO} = \frac{\text{İKT}}{sd_{\text{İşlem}}} = \frac{600}{4} = 150

İşlem Kareler Ortalaması, İşlem Kareler Toplamının işlem serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

Hata Kareler Ortalamasını (

\text{HKO}

) hesaplayın.

\text{HKO} = \frac{\text{HKT}}{sd_{\text{Hata}}} = \frac{800}{40} = 20

Hata Kareler Ortalaması, Hata Kareler Toplamının hata serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

ANOVA tablosunda Kareler Ortalaması (KO), Kareler Toplamının (KT) ilgili Serbestlik Derecesine (sd) bölünmesiyle hesaplanır.

Soru 66Soru →

Orman Genel Müdürlüğü araştırmacıları, Türkiye'deki sarıçam ağaçlarının odun yoğunluğunun yetiştiği coğrafi bölgeye göre değişip değişmediğini incelemek istemektedir. Ülke genelindeki çok sayıdaki orman bölgesi arasından tamamen şansa bağlı olarak 6 bölge seçilmiş ve bu bölgelerden alınan eşit sayıdaki ağaç örneklerinin odun yoğunlukları laboratuvarda ölçülmüştür. Araştırmacıların temel amacı, sadece deneye dâhil edilen 6 bölgenin kendi aralarındaki farkları bulmaktan ziyade, genel anlamda 'orman bölgesi' faktörünün tüm kütlede (ülke genelinde) anlamlı bir değişkenlik yaratıp yaratmadığını belirlemektir.

Buna göre, bu araştırmada kullanılması gereken varyans analizi modeli ve test edilecek uygun sıfır hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Şansa bağlı etkili model (Model II) kullanılmalıdır ve sıfır hipotezi

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

şeklinde kurularak faktörün kitleye genellenebilir bir varyans bileşeni olup olmadığı test edilir.

Sabit etkili model (Model I) kullanılmalıdır ve sıfır hipotezi

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_6

şeklinde kurularak sadece bu 6 bölgenin ortalamaları karşılaştırılır.

Şansa bağlı etkili model (Model II) kullanılmalıdır ancak sıfır hipotezi

H_0: \tau_1 = \tau_2 = \dots = \tau_6 = 0

şeklinde kurularak örnekleme giren bölgelerin ana etkileri test edilir.

Sabit etkili model (Model I) kullanılmalıdır ve sıfır hipotezi

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

biçiminde ifade edilerek seçilen faktör düzeylerinden kitleye genelleme yapılır.

Araştırmadaki 6 bölge bağımlı değişken, ölçülen odun yoğunlukları ise faktör düzeyleri olarak alınmalı ve

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_n

hipotezi test edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Şansa bağlı etkili model (Model II) kullanılmalıdır ve sıfır hipotezi $H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0$ şeklinde kurularak faktörün kitleye genellenebilir bir varyans bileşeni olup olmadığı test edilir.

Cevap

Şansa bağlı etkili model (Model II) kullanılmalıdır ve sıfır hipotezi kütle varyans bileşeninin sıfıra eşit olduğu yönünde kurulmalıdır.

Verilen senaryoda orman bölgeleri araştırmacı tarafından kasıtlı olarak belirlenmemiş, mevcut büyük bir kütleden (ülke genelinden) şansa bağlı bir örneklem olarak seçilmiştir. Ayrıca amaç, bu faktörün tüm popülasyonda genellenebilir bir değişkenlik (varyans) kaynağı olup olmadığını görmektir. Bu iki şart, analizin Şansa Bağlı Etkili Model (Model II / Rastgele Model) olmasını gerektirir. Model II'de istatistiksel çıkarsama (inference) tek tek grup ortalamaları üzerinden değil, kütledeki faktör etkilerinin varyansı üzerinden yapılır; bu nedenle sıfır hipotezi '

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

' (bölgelerin yarattığı varyans bileşeni sıfırdır) olarak kurulur.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmacının faktör düzeylerini (orman bölgelerini) nasıl seçtiğini belirle.

6 bölge, ülke genelindeki çok sayıdaki bölge arasından rastgele seçilmiştir.

Varyans analizi modelinin tipini (Sabit veya Şansa Bağlı) belirleyen temel unsur faktör düzeylerinin seçiliş biçimidir.

2

Araştırmanın genelleme amacını (çıkarım hedefini) analiz et.

Araştırmacı sadece teste giren 6 bölgeyi değil, genel olarak 'bölge' faktörünün tüm kütlede varyans yaratıp yaratmadığını merak etmektedir.

Sonuçların çalışmaya dahil edilmeyen diğer düzeylere (tüm kütleye) genellenmek istenmesi Şansa Bağlı (Model II) etkili modeli zorunlu kılar.

3

Şansa bağlı etkili model için sıfır hipotezini (

H_0

) formüle et.

Sıfır hipotezi, kütledeki rastgele bölge etkilerinin varyansının sıfır olduğu, yani

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

şeklinde kurulur.

Model II'de ilgilenilen parametre tek tek grup ortalamaları değil, o faktörün popülasyonda yarattığı varyans bileşenidir.

Anahtar Kavram

Şansa Bağlı Etkili (Model II) ANOVA'da düzeylerin rastgele seçimi ve

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

hipotezinin kurulması

Soru 67Soru →

Bir araştırmacı, $k=3$ farklı vergi dairesinde (A, B ve C) mükelleflerin işlemlerinin sonuçlandırılma sürelerini (dakika) karşılaştırmak amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Yapılan ön incelemelerde, işlem sürelerinin normal dağılım sergilemediği ve grup varyanslarının homojen olmadığı saptanmıştır. Araştırmacı, bu kısıtlar altında gruplar arası farkın anlamlılığını test etmek için Kruskal-Wallis testini uygulamaya karar vermiştir.

Vergi dairelerine göre örneklem büyüklükleri şu şekildedir:

Vergi Dairesi	Örneklem Sayısı ( $n_i$ )
A Dairesi	12
B Dairesi	15
C Dairesi	13

Buna göre, uygulanan Kruskal-Wallis testi ve sonuçlarının değerlendirilmesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sıfır hipotezi (

H_0

), tüm grupların bağlı olduğu anakütle dağılımlarının özdeş olduğunu ifade eder ve test istatistiği (

H

), büyük örneklemlerde

2

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına yakınsar.

Örneklem büyüklüğü toplamda

N=40

olduğu için Merkezi Limit Teoremi gereği verilerin dağılımına bakılmaksızın her zaman Tek Yönlü ANOVA testi tercih edilmelidir.

Kruskal-Wallis testi sonucunda anlamlı bir fark (

p < 0,05

) bulunursa, hangi vergi dairelerinin birbirinden farklı olduğunu belirlemek için doğrudan Tukey HSD çoklu karşılaştırma testi uygulanmalıdır.

Test istatistiği (

H

), toplam gözlem sayısı

N

olmak üzere

N-k = 37

serbestlik derecesine sahip bir F dağılımı tablosu kullanılarak test edilmelidir.

Alternatif hipotez (

H_1

), karşılaştırılan üç vergi dairesinin de işlem süresi ortancalarının birbirinden farklı olduğunu belirtir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sıfır hipotezi ( $H_0$ ), tüm grupların bağlı olduğu anakütle dağılımlarının özdeş olduğunu ifade eder ve test istatistiği ( $H$ ), büyük örneklemlerde $2$ serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına yakınsar.

Cevap

Sıfır hipotezi (

H_0

), grupların bağlı olduğu anakütle dağılımlarının özdeş olduğunu ifade eder ve test istatistiği, büyük örneklemlerde

k-1=2

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına yakınsar.

Doğru yanıt, Kruskal-Wallis testinin temel mantığını ve istatistiksel dağılımını eksiksiz yansıtmaktadır. Test, verilerin sıralama (rank) değerleri üzerinden çalışır ve örneklem büyüklüğü yeterli olduğunda (genellikle her grupta

n_i > 5

), hesaplanan

H

istatistiği

k-1

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı gösterir. Bu senaryoda 3 grup (

k=3

) olduğu için serbestlik derecesi 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Varsayım kontrolü ve yöntem seçimi

Veriler normal dağılmadığı ve varyanslar homojen olmadığı için Tek Yönlü ANOVA yerine Kruskal-Wallis testi seçilir.

Parametrik test varsayımları sağlanmadığında nonparametrik alternatifler kullanılmalıdır.

2

Hipotezlerin belirlenmesi

H_0

: Grupların dağılımları özdeştir.

H_1

: En az bir grup dağılımı diğerlerinden farklıdır.

Testin amacına uygun istatistiksel sınama çerçevesi oluşturulur.

3

Serbestlik derecesinin hesaplanması

sd = k - 1 = 3 - 1 = 2

Kruskal-Wallis

H

istatistiğinin karşılaştırılacağı Ki-kare dağılım parametresi grup sayısına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testi Varsayımları ve Ki-Kare Yakınsaması

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testi sonrasında yapılan post-hoc analizlerde neden Bonferroni düzeltmesine ihtiyaç duyulduğunu inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 68Soru →

Makina ve Kimya Endüstrisi Kurumuna (MKE) bağlı bir tesiste görevli kalite denetim mühendisi, $4$ farklı zırh çeliği alaşımının balistik dayanımlarını karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele bir deney tasarımı kurmuştur. Her alaşım türü için $16$ 'şar adet test plakası (toplam $64$ gözlem) kullanılmıştır.

Yapılan tek yönlü varyans analizi sonucunda Genel Kareler Toplamı $6000$ ve Alaşım Türleri (İşlem) Kareler Toplamı $1200$ olarak bulunmuştur.
\Buna göre, bu analize ait Hata Kareler Ortalaması kaçtır?

20

75

80

100

400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Doğru yanıt

80

'dir. Hata Kareler Toplamı (

4800

), hata serbestlik derecesine (

60

) bölünerek Hata Kareler Ortalaması bulunur.

Varyans analizinde Hata Kareler Ortalamasını bulmak için öncelikle Hata Kareler Toplamının hesaplanması gerekir. Genel Kareler Toplamı (

6000

), İşlem Kareler Toplamı ile Hata Kareler Toplamının toplamına eşittir. Buradan

HKT = 6000 - 1200 = 4800

bulunur. Daha sonra hata serbestlik derecesi hesaplanır. Toplam

64

gözlem ve

4

farklı grup (alaşım türü) olduğuna göre,

sd_{hata} = 64 - 4 = 60

'tır. Hata Kareler Ortalaması, Hata Kareler Toplamının hata serbestlik derecesine bölünmesiyle (

4800 / 60 = 80

) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamını (HKT) hesapla.

HKT = GKT - İKT = 6000 - 1200 = 4800

Varyans analizinde kareler toplamları toplanabilir özelliğe sahiptir. Genel Kareler Toplamı, İşlem ve Hata Kareler Toplamlarının toplamına eşittir.

2

Hata serbestlik derecesini (

sd_{hata}

) belirle.

sd_{hata} = N - k = 64 - 4 = 60

Hata serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısından (

N

) grup sayısının (

k

) çıkarılmasıyla elde edilir.

3

Hata Kareler Ortalamasını (HKO) hesapla.

HKO = \frac{HKT}{sd_{hata}} = \frac{4800}{60} = 80

Bir varyans kaynağının kareler ortalaması, o kaynağın kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Serbestlik Dereceleri ve Kareler Ortalamalarının Bulunması

Soru 69Soru →

Bir kamu kurumunda, çalışanların verimliliğini artırmak amacıyla üç farklı fiziksel çalışma ortamı düzenlemesi (Düzen A, Düzen B ve Düzen C) test edilmektedir. Her bir düzenleme için rastgele seçilen 4'er personelin performans puanları kaydedilmiştir. Elde edilen verilere ilişkin özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Çalışma Ortamı	Gözlem Sayısı ( $n$ )	Puanlar Toplamı ( $\sum Y$ )	Kareler Toplamı ( $\sum Y^2$ )
Düzen A	4	20	110
Düzen B	4	24	160
Düzen C	4	16	80

Bu verilere göre, tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulandığında Hata Kareler Toplamı (SSE) değeri kaçtır?

42

8

50

308

350

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Hata Kareler Toplamı (SSE) 42 olarak hesaplanır.

Hata kareler toplamı (SSE), toplam değişkenlikten (SST = 50) işlem kaynaklı değişkenliğin (SStr = 8) çıkarılmasıyla elde edilir (

50 - 8 = 42

). Alternatif olarak, her grubun kendi içindeki kareler toplamından (

\sum Y^2 - T^2/n

) gidilerek de (

10 + 16 + 16 = 42

) aynı sonuca ulaşılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel toplam (

G

), toplam gözlem sayısı (

N

) ve düzeltme faktörünün (

CF

) hesaplanması

G = 20 + 24 + 16 = 60

,

N = 4 + 4 + 4 = 12

,

CF = \frac{G^2}{N} = \frac{60^2}{12} = 300

Varyans analizinde kareler toplamlarını hesaplamak için temel referans noktası olan düzeltme faktörünün bulunması gerekir.

2

Genel Kareler Toplamının (

SST

) hesaplanması

SST = \sum \sum Y_{ij}^2 - CF = (110 + 160 + 80) - 300 = 350 - 300 = 50

Verilerdeki toplam değişkenliği belirlemek için tüm gözlemlerin kareleri toplamından düzeltme faktörü çıkarılır.

3

İşlem (Gruplar Arası) Kareler Toplamının (

SStr

) hesaplanması

SStr = \sum \frac{T_i^2}{n_i} - CF = (\frac{20^2}{4} + \frac{24^2}{4} + \frac{16^2}{4}) - 300 = (100 + 144 + 64) - 300 = 308 - 300 = 8

Gruplar arasındaki farktan kaynaklanan değişkenliği ölçmek için grup toplamlarının kareleri, grup gözlem sayılarına bölünür ve toplamdan düzeltme faktörü çıkarılır.

4

Hata Kareler Toplamının (

SSE

) hesaplanması

SSE = SST - SStr = 50 - 8 = 42

Toplam değişkenlikten gruplar arası değişkenlik çıkarıldığında, deneme birimleri arasındaki tesadüfi farklılıklardan kaynaklanan hata kareler toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

ANOVA'da Kareler Toplamının Ayrıştırılması (

SST = SStr + SSE

)

Alternatif Yöntem

SSE değerini her grup için ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz: Düzen A için

110 - (20^2/4) = 10

, Düzen B için

160 - (24^2/4) = 16

, Düzen C için

80 - (16^2/4) = 16

. Toplam:

10 + 16 + 16 = 42

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 70Soru →

Bir bakanlık bünyesinde kullanılan $5$ farklı dijital arşivleme sisteminin verimlilik düzeylerini karşılaştırmak amacıyla bir araştırma planlanmıştır. Her bir sistem için rastgele seçilen $6$ farklı bölge müdürlüğü görevlendirilmiş ve verimlilik skorları kaydedilmiştir. Elde edilen veriler üzerinde yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda Genel Kareler Toplamı ( $KT_{\text{Genel}}$ ) $740$ ve Hata Kareler Toplamı ( $KT_{\text{Hata}}$ ) $500$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, bu deney için Gruplar Arası Kareler Ortalaması ( $KO_{\text{Gruplar}}$ ) değeri kaçtır?

20

48

60

185

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $60$

Cevap

Gruplar Arası Kareler Ortalaması (

KO_{\text{Gruplar}}

) değeri

60

olarak bulunur.

Gruplar arası kareler ortalaması, gruplar arası kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle hesaplanır. Bu soruda

KT_{\text{Gruplar}} = 740 - 500 = 240

ve

sd_{\text{Gruplar}} = 5 - 1 = 4

olduğundan,

240 / 4 = 60

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Grup sayısını (

k

) ve toplam gözlem sayısını (

N

) belirleyin.

k = 5

sistem ve

N = 5 \times 6 = 30

bölge müdürlüğü.

Serbestlik derecelerini hesaplamak için bu temel parametrelere ihtiyaç vardır.

2

Gruplar Arası Kareler Toplamını (

KT_{\text{Gruplar}}

) hesaplayın.

KT_{\text{Gruplar}} = KT_{\text{Genel}} - KT_{\text{Hata}} = 740 - 500 = 240

.

Varyans analizinde toplam değişkenlik, gruplar arası ve hata değişkenliği olarak ikiye ayrılır.

3

Gruplar Arası Serbestlik Derecesini (

sd_{\text{Gruplar}}

) hesaplayın.

sd_{\text{Gruplar}} = k - 1 = 5 - 1 = 4

.

Gruplar arası kareler ortalamasını bulmak için ilgili kareler toplamını kendi serbestlik derecesine bölmek gerekir.

4

Kareler ortalamasını hesaplayın.

KO_{\text{Gruplar}} = \frac{KT_{\text{Gruplar}}}{sd_{\text{Gruplar}}} = \frac{240}{4} = 60

.

Kareler ortalaması, kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilen bir varyans tahminidir.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunda Kareler Ortalaması ve Serbestlik Derecesi İlişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 71Soru →

Bir kamu araştırma merkezinde, 3 farklı buğday tohumu çeşidinin verimliliği tamamen rastgele tasarım planına göre test edilmektedir. Her bir tohum çeşidi için 5'er deneme yapılmış olup elde edilen özet istatistikler şu şekildedir:

Tohum Çeşidi	Gözlem Sayısı ( $n$ )	Grup Toplamı ( $Y_{i.}$ )
Tohum 1	5	20
Tohum 2	5	30
Tohum 3	5	40

Tüm gözlemlerin kareleri toplamı ( $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{5} y_{ij}^2$ ) 640 olduğuna göre, bu deneye ait hata kareler toplamı (SSE) kaçtır?

40

60

100

140

580

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Hata kareler toplamı 60 olarak hesaplanır.

Hata kareler toplamı, genel kareler toplamından (100) işlem kareler toplamının (40) çıkarılmasıyla 60 olarak bulunur. Bu değer, deneydeki kontrol edilemeyen hata payını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Genel toplam (

Y_{..}

) ve düzeltme faktörünün (

CF

) hesaplanması

Y_{..} = 20 + 30 + 40 = 90

ve

N = 3 \times 5 = 15

;

CF = \frac{90^2}{15} = 540

Tüm kareler toplamı hesaplamalarında kullanılacak temel değerlerin belirlenmesi gerekir.

2

Genel kareler toplamının (SST) hesaplanması

SST = 640 - 540 = 100

Genel değişkenliğin ölçüsü, tüm gözlemlerin kareleri toplamından düzeltme faktörünün çıkarılmasıyla bulunur.

3

İşlem (muamele) kareler toplamının (SSTr) hesaplanması

SSTr = \frac{20^2 + 30^2 + 40^2}{5} - 540 = \frac{2900}{5} - 540 = 580 - 540 = 40

Gruplar arası değişkenlik, grup toplamlarının kareleri üzerinden hesaplanır.

4

Hata kareler toplamının (SSE) hesaplanması

SSE = SST - SSTr = 100 - 40 = 60

ANOVA'da kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralına göre, genel kareler toplamı işlem ve hata kareler toplamının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Tek yönlü ANOVA'da kareler toplamlarının ayrıştırılması (

SST = SSTr + SSE

)

Daha Fazla Pratik

Elde edilen bu değerleri kullanarak ANOVA tablosundaki kareler ortalamalarını (MS) hesaplayıp F testini gerçekleştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 72Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, vatandaşların şikayetlerine geri dönüş sürelerini analiz etmek amacıyla, bünyesindeki çok sayıdaki hizmet birimi arasından rastgele $4$ farklı birim seçmiş ve her bir birimden rastgele $5$ başvurunun sonuçlandırılma süresini (saat) kaydetmiştir. Elde edilen verilerle yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonuçlarının bir kısmı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $SS$ )
İşlem (Birim)	?	$150$
Hata	?	$160$
Toplam	$19$

Bu çalışmada hizmet birimi etkisinin tesadüfi (şansa bağlı) olduğu kabul edildiğine göre, birimler arası değişkenliğe ait varyans unsuru ( $\hat{\sigma}_\tau^2$ ) tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

8

10

40

50

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8$

Cevap

Hizmet birimleri arasındaki değişkenliği temsil eden varyans unsuru tahmini

8

olarak hesaplanır.

Tesadüfi etkili tek yönlü varyans analizinde, gruplar arası (birimler arası) varyans unsuru tahmini

\hat{\sigma}_\tau^2 = (MS_{Tr} - MS_E) / n

formülü ile bulunur. Verilen değerlerden

MS_{Tr} = 150/3 = 50

ve

MS_E = 160/16 = 10

olarak hesaplanır. Gözlem sayısı

n=5

olduğuna göre

(50-10)/5 = 8

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (

sd

) belirle.

sd_{Tr} = 4 - 1 = 3

ve

sd_E = 19 - 3 = 16

.

Kareler ortalamalarını hesaplamak için toplam serbestlik derecesi ve grup sayısı kullanılmalıdır.

2

İşlem ve Hata Kareler Ortalamalarını (

MS

) hesapla.

MS_{Tr} = 150 / 3 = 50

ve

MS_E = 160 / 16 = 10

.

Varyans unsurları, kareler ortalamalarının beklenen değerleri üzerinden tahmin edilir.

3

Tesadüfi model için varyans unsuru formülünü uygula.

\hat{\sigma}_\tau^2 = (MS_{Tr} - MS_E) / n = (50 - 10) / 5 = 8

.

Beklenen kareler ortalaması

E(MS_{Tr}) = \sigma_e^2 + n\sigma_\tau^2

ve

E(MS_E) = \sigma_e^2

eşitliklerinden

\sigma_\tau^2

çekilir.

Anahtar Kavram

Tesadüfi Etkili Modellerde (Model II) Varyans Unsurlarının ANOVA Yöntemiyle Tahmini

Daha Fazla Pratik

Varyans unsurları tahmin edildikten sonra, toplam varyans içindeki payı belirlemek için Sınıf İçi Korelasyon Katsayısını (ICC) hesaplayabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 73Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde görevli bir veri analisti, dört farklı şifreleme algoritmasının sistem işlem yükü (milisaniye cinsinden yanıt süreleri) üzerindeki etkisini incelemek amacıyla eşit olmayan örneklem hacimlerine sahip bağımsız gruplarla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) gerçekleştirmiştir. Veri seti üzerinde yapılan ön incelemelerde, gözlemlerin bağımsız olduğu ve hataların normal dağıldığı Shapiro-Wilk testi ile doğrulanmıştır. Ancak grup varyanslarının homojenliğini incelemek için yapılan Levene testi sonucunda varyansların heterojen olduğu ( $p = 0.014$ ) belirlenmiştir.

Buna göre, analistin varyansların heterojenliği varsayım ihlalini dikkate almayarak standart ANOVA F-testi sonuçlarını yorumlaması ve ardından gruplar arası farklılıkları bulmak için Tukey HSD testini kullanması durumunda, istatistiksel sonuçlar üzerinde aşağıdakilerden hangisinin gerçekleşmesi en olasıdır?

Özellikle örneklem hacimlerinin eşit olmadığı durumlarda Tip I hata (yanlış red) oranının hedeflenen

\alpha

düzeyinin üzerine çıkması (şişmesi) ve algoritmalar arasında gerçekte fark yokken sahte anlamlılıklar elde edilmesi

Tukey HSD testinin yapısı gereği varyans heterojenliğine karşı dirençli (robust) olması nedeniyle, post-hoc karşılaştırmalarında hata oranlarının kontrol altında kalması ve sonuçların güvenilirliğini koruması

Standart F-testinin yalnızca hataların normal dağılımı varsayımına hassasiyet göstermesi sebebiyle, varyans eşitsizliğinin genel model anlamlılığı üzerinde hiçbir istatistiksel etkisinin olmaması

Varyans heterojenliğinin, işlem sürelerinin algoritmalara rastgele atanmadığının matematiksel bir kanıtı olması ve deneydeki rastgelelik ilkesinin tamamen ihlal edildiğini göstermesi

Standart F-testi yerine yalnızca kontrol grubuyla karşılaştırma yapan Dunnett testinin kullanılmasıyla varyans eşitsizliğinden kaynaklanan Tip I hata şişmesinin tamamen ortadan kaldırılması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Özellikle örneklem hacimlerinin eşit olmadığı durumlarda Tip I hata (yanlış red) oranının hedeflenen $\alpha$ düzeyinin üzerine çıkması (şişmesi) ve algoritmalar arasında gerçekte fark yokken sahte anlamlılıklar elde edilmesi

Cevap

Tip I hata oranının hedeflenen alfa düzeyinin üzerine çıkması ve sahte anlamlılıklar elde edilmesi.

Varyans analizi (ANOVA) ve Tukey HSD gibi standart post-hoc testler, grup varyanslarının eşit (homojen) olduğu varsayımına dayanır. Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinde ve özellikle gruplardaki örneklem büyüklükleri birbirine eşit olmadığında, F-testi sağlamlığını (robustness) yitirir. Bu durum, testin Tip I hata oranının (sıfır hipotezi doğruyken reddetme olasılığı) kontrol edilemez hale gelerek hedeflenen nominal alfa düzeyinin (örneğin

\alpha = 0.05

) üzerine çıkmasına (Tip I hata şişmesi) neden olur. Sonuç olarak, analist algoritmalar arasında gerçekte bir fark olmamasına rağmen hatalı bir şekilde anlamlı farklılıklar bulma (sahte anlamlılık) riskiyle karşı karşıya kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Senaryodaki varyans analizi varsayımlarının durumunu değerlendirmek.

Gözlemler bağımsız ve normal dağılımlı, ancak varyanslar heterojendir (Levene testi

p < 0.05

). Ayrıca grupların örneklem hacimleri eşit değildir.

Hangi ihlalin gerçekleştiğini tespit etmek, yanlış analiz yönteminin yaratacağı sonucu tahmin etmek için ilk adımdır.

2

Varyans heterojenliği durumunda standart F-testi ve Tukey HSD'nin davranışını analiz etmek.

Her iki test de varyansların homojenliği varsayımına sıkı sıkıya dayanır. Bu varsayım karşılanmadığında hata oranları hedeflenen seviyede sabit kalamaz.

Testlerin kuramsal varsayımlarını bilmek, uygulamanın sınırlarını ve olası hataları gösterir.

3

Eşit olmayan örneklem hacimlerinde heterojen varyansın etkisini belirlemek.

Tip I hata oranında (gerçekte fark yokken reddetme) şişme (enflasyon) meydana gelir ve araştırmacı sahte (yanıltıcı) anlamlılıklar bulmaya meyilli hale gelir.

Varsayım ihlallerinin Tip I ve Tip II hatalar üzerindeki spesifik etkisini belirlemek istatistiksel sonuçların güvenirliğini yorumlamak için kritiktir.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü Varyans Analizinde Varsayım İhlallerinin Sonuçları

Soru 74Soru →

Tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmadan önce verilerin belirli varsayımları sağlaması gerekmektedir. Bu varsayımlardan biri olan "grupların varyanslarının birbirine eşit olması" (homojenlik) durumunu denetlemek amacıyla yaygın olarak kullanılan istatistiksel test aşağıdakilerden hangisidir?

Shapiro-Wilk Testi

Levene Testi

Durbin-Watson Testi

Kruskal-Wallis Testi

Pearson Korelasyon Katsayısı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Levene Testi

Cevap

Varyansların homojenliği varsayımını test etmek için Levene Testi kullanılır.

Varyansların homojenliği varsayımı, karşılaştırılan grupların ana kütle varyanslarının birbirine eşit olduğunu varsayar. Bu durumun ihlal edilip edilmediğini belirlemek için en sık başvurulan yöntem Levene Testi'dir. Bu test, grup ortalamalarından olan sapmaların mutlak değerleri üzerinden bir varyans analizi yaparak gruplar arası yayılım farkını denetler.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda istenen varsayımı tanımlayın.

Analiz öncesinde grupların varyanslarının (

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = ... = \sigma_k^2

) eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Varyansların homojenliği, ANOVA'nın

F

testinin geçerli sonuçlar vermesi için kritik bir ön koşuldur.

2

Seçeneklerdeki testlerin hangi varsayımlara hizmet ettiğini eşleştirin.

Shapiro-Wilk normallik için, Levene varyans homojenliği için, Durbin-Watson ise bağımsızlık içindir.

Her istatistiksel varsayımın kendine özgü teşhis edici (diagnostic) testleri bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Varyansların Homojenliği ve Levene Testi

Soru 75Soru →

Bir kamu işletmesinde üretilen parçaların dayanıklılık sürelerini incelemek amacıyla, rastgele seçilen $4$ farklı üretim bandından $5$ 'er adet numune alınmıştır. Elde edilen veriler üzerinde yapılan tek yönlü varyans analizi sonucunda hesaplanan kareler ortalaması değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Ortalaması (KO)
Gruplar Arası (Bantlar)	$150$
Gruplar İçi (Hata)	$50$

Söz konusu üretim bantlarının ana kütleden rastgele seçildiği varsayıldığında (Tesadüfi Etkili Model), bantlar arasındaki varyans unsurunun ( $\sigma_{\tau}^2$ ) nokta tahmini kaçtır?

20

25

50

100

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Bantlar arasındaki varyans unsurunun nokta tahmini 20'dir.

Bantlar arası varyans unsuru tahmini, Gruplar Arası Kareler Ortalaması (

MSTR

) ile Hata Kareler Ortalaması (

MSE

) farkının her gruptaki gözlem sayısına (

n=5

) bölünmesiyle hesaplanır. Bu işlem sonucunda

(150 - 50) / 5 = 20

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerlerin ve model tipinin belirlenmesi

Grup sayısı (

k

) = 4, Her gruptaki gözlem sayısı (

n

) = 5,

MSTR = 150

,

MSE = 50

. Model: Tesadüfi Etkili Model (Model II).

Varyans unsuru tahmini için gerekli parametrelerin tespit edilmesi gerekir.

2

Varyans unsuru tahmin formülünün uygulanması

\hat{\sigma}_{\tau}^2 = \frac{MSTR - MSE}{n}

Tesadüfi etkili modellerde beklenen kareler ortalamaları

E(MSE) = \sigma_e^2

ve

E(MSTR) = \sigma_e^2 + n\sigma_{\tau}^2

şeklindedir.

3

Hesaplamanın yapılması

\hat{\sigma}_{\tau}^2 = \frac{150 - 50}{5} = \frac{100}{5} = 20

.

Gruplar arası farkın sistematik olmayan hata payından arındırılıp birim başına düşen etkisinin bulunması amaçlanır.

Anahtar Kavram

Tesadüfi etkili tek yönlü ANOVA modellerinde, gruplar arası varyans unsuru tahmini için Gruplar Arası Kareler Ortalaması ile Hata Kareler Ortalaması farkı, grup başına düşen gözlem sayısına bölünür.

Daha Fazla Pratik

Eğer model 'Sabit Etkili' (Fixed Effects) olsaydı, varyans unsuru tahmini yerine grup etkilerinin (

\tau_i

) tahmini üzerine odaklanılacağını hatırlayınız.

Tahmini Süre:45s

Soru 76Soru →

Bir gümrük müdürlüğünde, farklı muayene memurlarının beyanname onaylama sürelerini incelemek amacıyla yapılan bir çalışmada, tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda elde edilen varyans analizi tablosunun bir kısmı aşağıda sunulmuştur:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)	Serbestlik Derecesi (sd)
İşlemler (Memurlar)	160	4
Hata	240	30
Toplam	400	34

Bu verilere göre, modeldeki hata varyansının ( $\sigma^2$ ) yansız tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

8

40

7,06

11,76

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Modeldeki hata varyansının yansız tahmini 8'dir.

Varyans analizi (ANOVA) teorisine göre, hata kareler ortalaması (

MSE

), hata varyansının (

\sigma^2

) beklenen değerine eşittir (

E[MSE] = \sigma^2

). Verilen tabloda hata kareler toplamı

240

ve buna karşılık gelen serbestlik derecesi

30

olarak verilmiştir. Bu iki değerin birbirine oranı olan

8

, hata varyansının yansız tahminini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata kareler toplamı (

SSE

) ve hata serbestlik derecesi (

sd_{hata}

) değerlerini tablodan belirleyin.

SSE = 240

ve

sd_{hata} = 30

Varyans tahminleri için ilgili kaynağın kareler toplamı ve serbestlik derecesi gereklive yeterlidir.

2

Hata kareler ortalamasını (

MSE

) hesaplayın.

MSE = 240 / 30 = 8

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

3

İstatistiki teoriyi kullanarak hata varyansını tahmin edin.

\hat{\sigma}^2 = 8

Tek yönlü varyans analizinde hata kareler ortalaması (

MSE

), hata varyansının (

\sigma^2

) yansız bir tahmincisidir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), hata varyansının (sigma^2) yansız bir tahmincisidir.

Tahmini Süre:45s

Soru 77Soru →

Bir Karayolları Bölge Müdürlüğü, 4 farklı yol kaplama malzemesinin aşınma dirençlerini karşılaştırmak için tek yönlü varyans analizi yapmaktadır. Yapılan hesaplamalar sonucunda Genel Kareler Toplamı ( $GKT$ ) 450 ve İşlem (Gruplar Arası) Kareler Toplamı ( $İKT$ ) 270 olarak bulunmuştur. Buna göre, bu analize ait Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) değeri kaçtır?

180

720

270

90

450

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Hata Kareler Toplamı (

HKT

) değeri 180'dir.

Tek yönlü varyans analizinde toplam varyasyonu temsil eden Genel Kareler Toplamı (

GKT

), İşlem Kareler Toplamı (

İKT

) ve Hata Kareler Toplamı (

HKT

) şeklinde iki bileşene ayrılır. Bu ilişkide

GKT = İKT + HKT

eşitliği geçerlidir. Soruda verilen

450 = 270 + HKT

eşitliğinden

HKT

değeri

180

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kareler toplamı değerlerini belirleyin.

GKT = 450

ve

İKT = 270

Hesaplama yapabilmek için soruda verilen temel bileşenlerin tanımlanması gerekir.

2

Tek yönlü varyans analizindeki kareler toplamlarının toplanabilirlik (ayrıştırma) formülünü uygulayın.

GKT = İKT + HKT

Toplam değişkenlik, gruplar arası değişkenlik ile grup içi (hata) değişkenliğin toplamına eşittir.

3

HKT

değerini bulmak için çıkarma işlemini gerçekleştirin.

HKT = 450 - 270 = 180

Bilinmeyen bileşeni bulmak için toplam değerden bilinen bileşen çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Toplanabilirlik Özelliği

Tahmini Süre:45s

Soru 78Soru →

Bir bakanlığın strateji geliştirme başkanlığı; Marmara, Ege, İç Anadolu ve Akdeniz olmak üzere dört farklı bölge müdürlüğündeki evrak sonuçlandırma sürelerinin ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek istemektedir. Sabit etkili tek yönlü varyans analizi (ANOVA) modelinin kullanılacağı bu araştırmada, test edilmesi gereken sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezler aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

;

H_1: \text{En az bir kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır.}

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

;

H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3 \neq \mu_4

H_0: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3 \neq \mu_4

;

H_1: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

;

H_1: \text{En az iki kitle ortalaması birbirine eşittir.}

H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_4^2

;

H_1: \text{En az bir kitle varyansı diğerlerinden farklıdır.}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$ ;
$H_1: \text{En az bir kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır.}$

Cevap

Sıfır hipotezinin dört bölgenin kitle ortalamalarının eşitliğini (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

), alternatif hipotezin ise en az bir ortalamanın farklı olduğunu belirttiği ifade doğrudur.

Tek yönlü varyans analizinde (ANOVA) temel amaç, üç veya daha fazla grubun kitle ortalamaları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemektir. Bu nedenle sıfır hipotezi (

H_0

) her zaman tüm ortalamaların eşit olduğunu savunurken, alternatif hipotez (

H_1

) bu eşitliğin en az bir grup tarafından bozulduğunu (en az bir kitle ortalamasının farklı olduğunu) ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmadaki grup sayısını ve parametreleri belirlemek.

Dört bölge müdürlüğü (

k=4

) için karşılaştırılacak parametreler bölge ortalamalarıdır (

\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4

).

Varyans analizinde hipotezler, karşılaştırılan grupların kitle ortalamaları üzerine kurulur.

2

Sıfır hipotezini (

H_0

) tanımlamak.

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

Sıfır hipotezi her zaman başlangıçta gruplar arasında bir fark olmadığını, yani ortalamaların birbirine eşit olduğunu varsayar.

3

Alternatif hipotezi (

H_1

) tanımlamak.

H_1

: En az bir kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır.

Alternatif hipotez, sıfır hipotezinin reddedilme durumunu (eşitliğin bozulmasını) kapsar. Tek bir grubun ortalamasının farklı olması, eşitlik iddiasını çürütmek için yeterlidir.

Anahtar Kavram

ANOVA Hipotez Yapısı

Soru 79Soru →

Bir araştırmacı, beş farklı öğretim yönteminin öğrenci başarıları üzerindeki etkilerini tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelemiş ve gruplar arası farkın istatistiksel olarak anlamlı ( $p < 0,05$ ) olduğunu saptamıştır. Araştırmacı, hangi yöntemlerin birbirinden farklı olduğunu belirlemek amacıyla bir çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi kullanmak yerine, her grup çifti için ayrı ayrı bağımsız örneklem t-testi yapmaya karar vermiştir.

Araştırmacının bu yöntemi tercih etmesi durumunda karşılaşacağı en temel istatistiksel sorun aşağıdakilerden hangisidir?

Yapılan karşılaştırma sayısı arttıkça aile boyu (family-wise) Tip I hata oranının kontrolsüz şekilde artması

Karşılaştırmalarda alfa düzeyini sabit tutmanın testin gücünü (

1-\beta

) aşırı derecede artırarak yanıltıcı sonuçlar vermesi

F istatistiği anlamlı çıkmış olsa bile t-testleri sonucunda tüm grupların birbirine eşit olduğunun bulunması

Çoklu t-testi yaklaşımının sadece grupların varyansları heterojen olduğunda doğru sonuç vermesi

Bağımsız örneklem t-testlerinin serbestlik derecesi hesabında gruplar arası kareler toplamını kullanamaması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yapılan karşılaştırma sayısı arttıkça aile boyu (family-wise) Tip I hata oranının kontrolsüz şekilde artması

Cevap

Çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinin temel amacı, birden fazla karşılaştırma yapıldığında artan toplam Tip I hata (aile boyu hata) oranını kontrol altında tutmaktır.

Doğru yanıt olan 'aile boyu Tip I hata oranının artması', istatistikte 'çoklu karşılaştırma problemi' olarak bilinir. Beş grup için yapılabilecek 10 farklı t-testinde, toplam hata oranı yaklaşık olarak %40'a kadar çıkabilir. Post-hoc testler, bu oranı başlangıçtaki güven düzeyinde (%5) tutmak için geliştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Çoklu karşılaştırma durumunda hata birikimini analiz etme

Her bir bağımsız t-testinde %5 (

\alpha = 0,05

) yanılma payı vardır.

Olasılık kuralları gereği, test sayısı arttıkça 'en az bir' yanlış sonuç bulma ihtimali hızla yükselir.

2

Post-hoc testlerin işlevini değerlendirme

Tukey, Scheffe veya Bonferroni gibi yöntemler bu toplam hatayı başlangıçtaki alfa düzeyinde sabit tutar.

Böylece araştırmacı, bulduğu farkların tesadüf eseri değil, gerçek birer fark olduğundan emin olabilir.

Anahtar Kavram

Aile Boyu Hata Oranı (Family-wise Error Rate)

Tahmini Süre:45s

Soru 80Soru →

Tek yönlü varyans analizinde (ANOVA), araştırmacının faktör düzeylerini büyük bir kitleden tesadüfi olarak seçtiği ve amacın elde edilen sonuçları tüm kitleye genellemek olduğu şansa bağlı etkili modelde (Model II), faktörün etkisini belirlemek amacıyla kurulan temel (sıfır) hipotez aşağıdakilerden hangisidir?

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k

H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2

H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0

H_0: \alpha_i = 0

(tüm

i

'ler için)

H_1: \sigma_{\alpha}^2 > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0$

Cevap

Şansa bağlı etkili modelde (Model II) sıfır hipotezi, faktöre ait varyans bileşeninin sıfır olduğunu belirten

H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0

ifadesidir.

Şansa bağlı etkili modelde (Model II), analiz edilen faktörün düzeyleri daha geniş bir kitleden rastgele seçilir. Bu durumda araştırmacının amacı belirli düzeylerin ortalamalarını karşılaştırmak değil, faktörün kitle genelinde bir değişkenlik (varyasyon) yaratıp yaratmadığını anlamaktır. Bu nedenle sıfır hipotezi, faktöre bağlı varyans bileşeninin sıfır olduğunu ifade eden varyans terimi üzerinden kurulur.

Adım Adım Çözüm

1

Model türünü belirleme

Şansa bağlı etkili model (Model II)

Soruda faktör düzeylerinin kitle içinden tesadüfi seçildiği ve kitleye genelleme yapılacağı belirtilmiştir.

2

İlgili parametreyi seçme

Varyans bileşeni (

\sigma_{\alpha}^2

)

Model II'de bireysel ortalamalar yerine, bu ortalamaların kitledeki değişkenliği (varyans bileşeni) test edilir.

3

Sıfır hipotezini formüle etme

H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0

Temel hipotez her zaman 'etki yoktur' veya 'fark yoktur' durumunu yansıttığı için varyansın sıfıra eşit olduğu varsayılır.

Anahtar Kavram

Sabit ve Şansa Bağlı Modellerde Hipotez Farklılığı

Daha Fazla Pratik

Farklı modellerde Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) değerlerinin nasıl değiştiğini incelemek konuyu pekiştirecektir.

Tahmini Süre:45s

Tek Yönlü Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar