Tek Yönlü Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Karayolları Genel Müdürlüğü Ar-Ge birimi, otoyol yapımında kullanılmak üzere geliştirilen $4$ farklı asfalt karışım tipinin (A, B, C ve D) dayanım sürelerini karşılaştırmak istemektedir. Araştırmacılar, bu $4$ spesifik karışım tipini tamamen rastgele tasarıma uygun olarak test etmiş ve elde edilen verilerle tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamaya karar vermiştir.

Buna göre, karışım tiplerinin ortalama dayanım süreleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık olup olmadığını test etmek için kurulması gereken sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezler aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

H_1:

En az iki asfalt karışım tipinin kitle ortalaması birbirinden farklıdır.

H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

H_1: \mu_A \neq \mu_B \neq \mu_C \neq \mu_D

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

H_1: \sigma_{\tau}^2 > 0

H_0:

En az iki asfalt karışım tipinin kitle ortalaması birbirinden farklıdır.

H_1: \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

H_0: \mu_{\text{Asfalt}} = 0

H_1: \mu_{\text{Asfalt}} \neq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D$
$H_1:$ En az iki asfalt karışım tipinin kitle ortalaması birbirinden farklıdır.

Cevap

Doğru hipotez, sıfır hipotezinde tüm ortalamaların eşit olduğunu (

\mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

) ve alternatif hipotezde en az iki asfalt karışım tipinin kitle ortalamasının birbirinden farklı olduğunu belirten seçenektir.

Sabit etkili tek yönlü varyans analizinde (ANOVA) temel amaç,

k

adet bağımsız grubun kitle ortalamalarının birbirine eşit olup olmadığını test etmektir. Sıfır hipotezi (

H_0

), grupların kitle ortalamaları arasında fark olmadığını, yani tüm kitle ortalamalarının eşit olduğunu (

\mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

) ifade eder. Alternatif hipotez (

H_1

) ise bu eşitliği bozan durumu ifade eder; yani tüm ortalamaların birbirinden farklı olması gerekmez, en az iki grubun kitle ortalamasının birbirinden farklı olması (veya en az bir kitle ortalamasının diğerlerinden farklı olması) alternatif hipotezin kabulü için yeterlidir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma probleminin özelliklerini ve model tipini belirleme

Araştırmacı

4

'spesifik' asfalt karışımını karşılaştırdığı için analiz sabit etkili (Model I) tek yönlü ANOVA'dır.

Modelin sabit etkili mi yoksa şansa bağlı mı (tesadüfi) olduğunu belirlemek, doğru hipotez parametrelerini (

\mu

veya

\sigma_{\tau}^2

) seçmek için gereklidir.

2

Sıfır hipotezini (

H_0

) oluşturma

Sabit modelde

H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

olarak ifade edilir.

Sıfır hipotezi daima eşitlik durumunu, yani farklı asfalt tiplerinin dayanım süreleri arasında anlamlı bir fark olmadığını savunur.

3

Alternatif hipotezi (

H_1

) oluşturma

Sabit modelde

H_1:

'En az iki asfalt karışım tipinin kitle ortalaması birbirinden farklıdır' şeklinde ifade edilir.

ANOVA'da varyanslar oranlanarak genel bir test yapıldığı için, en az bir grubun ortalamasının diğerlerinden farklı olması

H_0

'ı reddetmek için yeterlidir; tüm ortalamaların birbirinden farklı olma zorunluluğu yoktur.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü Sabit Etkili Varyans Analizinde Hipotezlerin İfadesi

Tahmini Süre:45s

Soru 42Soru →

Bir gıda mühendisliği laboratuvarında, paketlenmiş bir ürünün raf ömrünü uzatmak amacıyla $4$ farklı koruyucu gaz atmosferi (A, B, C ve D) denenmiştir. Her bir gaz atmosferi için rastgele seçilen $10$ 'ar paket ürün üzerinde testler yapılmıştır.

Elde edilen veriler için normallik varsayımının sağlandığı görülmüştür. Varyansların homojenliğini sınamak için yapılan Levene testi sonucunda $p$ -değeri $0,02$ olarak bulunmuştur ( $\alpha = 0,05$ ). Ardından yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda $F$ test istatistiğine ait $p$ -değeri $0,18$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, tüm analiz adımlarından sonra gruplar arasında hangi gaz atmosferinin daha etkili olduğunu belirlemek amacıyla tüm ikili karşılaştırmalar için Tukey HSD testini uygulamış ve sonuçları raporlamıştır.

Bu araştırmacının izlediği analiz süreci ve test seçimleri ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel açıdan kesinlikle doğrudur?

Varyans analizinde

F

istatistiği anlamsız çıksa dahi araştırmacının gruplar arası gizli farklılıkları tespit edebilmek amacıyla Tukey HSD testi uygulaması doğru bir yaklaşımdır, zira post-hoc testler ANOVA'dan bağımsız bir şekilde ikili ortalama farklarını inceler.

Varyansların homojenliği varsayımı sağlanmadığında bile Tukey HSD testi bu duruma karşı oldukça dirençli olduğundan test seçimi isabetlidir; tek hata,

F

testi anlamsız çıktığında çoklu karşılaştırma testleri için alfa yanılma payının düzeltilmemiş olmasıdır.

Varyans analizinde genel

F

testi anlamsız (

p > 0,05

) çıktığı için herhangi bir post-hoc testinin uygulanması metodolojik olarak yanlıştır; üstelik varyansların heterojenliği (

p < 0,05

) nedeniyle, eğer

F

testi anlamlı çıksaydı bile Tukey HSD yerine Games-Howell veya Tamhane T2 gibi testler kullanılmalıydı.

Eğer araştırmacı deneyin başında sadece A gazı atmosferini kontrol grubu olarak belirleyip diğer üç gazı yalnızca bu grupla karşılaştırmayı hedefleseydi, kullandığı Tukey HSD testi veri yapısına en uygun ve güçlü sonuçları verirdi.

Verilerin normal dağılıma sahip olması parametrik testlerin uygulanması için yeterli bir şarttır; dolayısıyla araştırmacı varyansların heterojenliğini göz ardı ederek analizlerine devam edebilir, ancak bu durumda Tukey HSD yerine Fisher LSD testini kullanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyans analizinde genel $F$ testi anlamsız ( $p > 0,05$ ) çıktığı için herhangi bir post-hoc testinin uygulanması metodolojik olarak yanlıştır; üstelik varyansların heterojenliği ( $p < 0,05$ ) nedeniyle, eğer $F$ testi anlamlı çıksaydı bile Tukey HSD yerine Games-Howell veya Tamhane T2 gibi testler kullanılmalıydı.

Cevap

Araştırmacının ANOVA F testi anlamsız çıktığı için post-hoc test yapması temelden hatalıdır; ayrıca varyanslar heterojen olduğu için test olarak Tukey HSD seçilmesi de ikinci bir hatadır.

Genel varyans analizi sonucunda grup ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık bulunmadığı (

p = 0,18 > 0,05

) için çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerine geçilmesi Tip I hata olasılığını artırır ve istatistiksel olarak geçersizdir. Ek olarak, varyansların homojen olmadığı (

p = 0,02 < 0,05

) belirlenmiştir. Tukey HSD gibi homojen varyans varsayan testler böyle durumlarda güvenilir değildir; dolayısıyla ANOVA sonucu anlamlı çıksaydı dahi Games-Howell veya Tamhane T2 gibi varyansların heterojenliğine dirençli testler seçilmeliydi.

Adım Adım Çözüm

1

Levene testinin p-değerini anlamlılık düzeyi (

\alpha = 0,05

) ile karşılaştırmak.

p = 0,02 < 0,05

olduğundan grupların varyanslarının homojen olmadığı sonucuna varılır.

Varyansların homojen olup olmaması, analizde kullanılacak uygun post-hoc testinin (homojenlik varsayan Tukey vs. varsaymayan Games-Howell) seçiminde temel belirleyicidir.

2

Tek yönlü ANOVA

F

testinin p-değerini anlamlılık düzeyi (

\alpha = 0,05

) ile karşılaştırmak.

p = 0,18 > 0,05

olduğundan,

H_0

hipotezi (grup ortalamaları eşittir) reddedilemez.

Varyans analizinin genel F testinin anlamlı olup olmaması, gruplar arasında ikili karşılaştırmalar (post-hoc) yapmanın istatistiksel olarak haklı bir gerekçesi olup olmadığını gösterir.

3

Araştırmacının kararlarını istatistiksel prensipler ışığında eleştirmek.

Gruplar arası anlamlı bir fark olmamasına rağmen Tukey HSD yapılması yanlıştır. Ayrıca varyanslar homojen olmadığı için, bir farklılık bulunsaydı dahi seçilen Tukey HSD testi uygunsuzdur.

Post-hoc testler Tip I hatayı artırmamak için yalnızca anlamlı bir

F

istatistiği varlığında yapılır ve testin matematiksel varsayımları verinin özelliklerine uygun olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

ANOVA sonuçlarına ve varsayım (homojenlik) ihlallerine göre çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinin doğru seçimi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 43Soru →

Bir gıda mühendisi, yeni geliştirilen bir süt ürününün raf ömrü üzerinde saklama sıcaklığının etkisini incelemek amacıyla tamamen rastgele tasarıma dayalı tek yönlü bir deney planlamıştır. Araştırmacı, deneyde özellikle ilgilendiği $5$ farklı saklama sıcaklığını (sabit faktör) belirlemiş ve her bir sıcaklık seviyesi için $7$ adet bağımsız tekrar (gözlem) gerçekleştirmiştir.

Bu deney tasarımında, saklama sıcaklığı faktörüne ait Beklenen Kareler Ortalaması $E(MS_{Tr})$ aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\sigma^2$ genel deneysel hata varyansını, $\tau_i$ ilgili faktörün $i$ . seviyesine ait sabit etkiyi ve $\sigma_{\tau}^2$ ilgili faktör şansa bağlı olduğunda oluşan varyans unsurunu göstermektedir.)

\sigma^2 + \frac{7 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{4}

\sigma^2 + 7\sigma_{\tau}^2

\sigma^2 + 5\sigma_{\tau}^2

\sigma^2 + \frac{7 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{5}

\sigma^2 + \frac{\sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sigma^2 + \frac{7 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{4}$

Cevap

Sabit etkili tek yönlü varyans analizi modeli için beklenen kareler ortalaması

\sigma^2 + \frac{7 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{4}

şeklindedir.

Verilen senaryoda 5 farklı saklama sıcaklığı araştırmacı tarafından özel olarak seçildiği için bu deney bir 'sabit etkili model' (Model I) kapsamındadır. Sabit etkili tek yönlü varyans analizi modellerinde faktöre ait beklenen kareler ortalaması

E(MS_{Tr}) = \sigma^2 + \frac{n \sum_{i=1}^{a} \tau_i^2}{a-1}

bağıntısıyla ifade edilir. Senaryoda düzey sayısı

a=5

ve tekrar sayısı

n=7

olarak verilmiştir. Bu değerler formülde yerlerine konulduğunda doğru matematiksel yapı

\sigma^2 + \frac{7 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{4}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımı türünü ve modelin yapısını belirlemek

Soru metninde

5

farklı sıcaklık seviyesinin araştırmacı tarafından özel olarak belirlendiği belirtildiğinden, bu yapı 'sabit etkili' (Model I) tek yönlü varyans analizi modelidir.

Beklenen kareler ortalaması (E(MS)) katsayı ve formülleri, modelin sabit veya şansa bağlı (rastgele) etkili olmasına göre köklü şekilde değişiklik gösterir.

2

Sabit etkili tek yönlü ANOVA için

E(MS_{Tr})

genel formülünü yazmak

Sabit etkili modelde faktörün (işlemin) beklenen kareler ortalaması formülü:

E(MS_{Tr}) = \sigma^2 + \frac{n \sum_{i=1}^{a} \tau_i^2}{a-1}

şeklindedir.

Bu ifade, işlem kareleri ortalamasının ortalamada genel hata varyansına (

\sigma^2

) ek olarak spesifik sabit etkilerin karesel toplamını ne kadar içerdiğini gösterir.

3

Deneydeki değişken parametrelerini (

a

ve

n

) formüle uyarlamak

Faktör seviye sayısı

a=5

ve her seviyedeki tekrar sayısı

n=7

formüle yerleştirildiğinde:

\sigma^2 + \frac{7 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{5-1} = \sigma^2 + \frac{7 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{4}

eşitliği elde edilir.

Parametrelerin doğru serbestlik derecesi (

a-1

) ve katsayıyla (

n

) çarpılarak hesaplanması gerekmektedir.

Anahtar Kavram

Sabit Etkili Modellerde (Model I) Beklenen Kareler Ortalaması Hesaplanması

Soru 44Soru →

Bir tekstil mühendisi, 5 farklı sentetik iplik karışımının kopma dayanıklılığını karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarım planına göre bir deney yürütmüştür. Deneyde her bir iplik karışımından rastgele seçilen 6'şar numune test edilmiştir.

Verilerin analizi sonucunda, hata kareler ortalaması ( $MSE$ ) 12 ve genel kareler toplamı ( $SST$ ) 450 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, iplik karışımları arasındaki farklılıktan kaynaklanan işlem (muamele) kareler toplamı ( $SSTr$ ) kaçtır?

90

102

150

390

750

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Doğru yanıt 150'dir. Hata serbestlik derecesi 25 bulunarak hata kareler toplamı 300 elde edilmiş, ardından bu değer genel kareler toplamından çıkarılarak sonuç bulunmuştur.

Doğru yanıt, varyans analizindeki kareler toplamlarının toplanabilirlik kuralına (

SST = SSTr + SSE

) dayanarak elde edilir. Toplam gözlem sayısının (

N=30

) işlem sayısına (

k=5

) farkı alınarak hata serbestlik derecesi (

df_E = 25

) bulunur.

SSE

değeri,

MSE

ile

df_E

çarpılarak (

12 \times 25 = 300

) elde edildikten sonra genel kareler toplamından (

450

) çıkarılarak işlem kareler toplamına (

150

) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgilere göre hata serbestlik derecesini (

df_E

) hesaplamak.

Grup sayısı

k = 5

, grup başına gözlem sayısı

n = 6

, toplam gözlem sayısı

N = 30

'dur.

df_E = N - k = 30 - 5 = 25

bulunur.

Hata kareler toplamını (

SSE

) bulabilmek için hata serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

2

Hata kareler ortalaması (

MSE

) ve hata serbestlik derecesi (

df_E

) kullanılarak hata kareler toplamını (

SSE

) bulmak.

SSE = MSE \times df_E = 12 \times 25 = 300

olarak hesaplanır.

MSE

, hata kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölümüyle elde edildiğinden işlemi tersine çeviriyoruz.

3

Genel kareler toplamı (

SST

) denkleminden faydalanarak işlem kareler toplamını (

SSTr

) elde etmek.

SST = SSTr + SSE

eşitliğinden,

SSTr = 450 - 300 = 150

bulunur.

Varyans analizinde genel değişebilirlik, işlemlerden kaynaklanan değişebilirlik ile rastgele hatanın toplamından oluşur.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Hesaplanması ve Ayrıştırılması (Genel, İşlem, Hata)

Soru 45Soru →

Ülke çapında faaliyet gösteren büyük bir tekstil fabrikası, üretimde kullandığı iplikleri 80 farklı yerel tedarikçiden temin etmektedir. Fabrikanın kalite kontrol mühendisleri, tedarikçiler arasındaki üretim standardı farklılıklarının ipliklerin kopma mukavemeti üzerindeki etkisini incelemek üzere bir deney tasarlar. Bu amaçla, 80 tedarikçi havuzundan tamamen tesadüfi olarak 6 tedarikçi seçilmiş ve her birinden rastgele alınan 10'ar adet iplik bobininin kopma mukavemetleri ölçülerek tek yönlü varyans analizi uygulanmıştır. Araştırmacıların asıl amacı, deneyde yer alan bu 6 özel tedarikçiyi birbiriyle kıyaslamak değil, genel tedarikçi havuzundaki farklılıkların toplam varyansa ne ölçüde katkı sağladığını kestirmektir.

Buna göre, bu deney tasarımının istatistiksel modeli ve sınanacak yokluk (sıfır) hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Model II (Tesadüfi Etkiler) yapısındadır ve evren varyans bileşeni test edildiğinden

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

hipotezi sınanır.

Model I (Sabit Etkiler) yapısındadır ve belirli gruplar karşılaştırıldığı için

H_0: \tau_1 = \tau_2 = \dots = \tau_6 = 0

hipotezi sınanır.

Model II (Tesadüfi Etkiler) yapısındadır; ancak klasik grup ortalamaları karşılaştırması yapılacağı için

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_6

hipotezi sınanır.

Model I (Sabit Etkiler) yapısındadır ve örneklem varyansının kitle varyansına eşitliği araştırıldığından

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

hipotezi sınanır.

Model II (Tesadüfi Etkiler) yapısındadır; faktör etkilerinin toplam kısıtı test edileceğinden

H_0: \sum \tau_i = 0

hipotezi sınanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model II (Tesadüfi Etkiler) yapısındadır ve evren varyans bileşeni test edildiğinden $H_0: \sigma_\tau^2 = 0$ hipotezi sınanır.

Cevap

Model II (Tesadüfi Etkiler) yapısındadır ve evren varyans bileşeni test edildiğinden sıfır hipotezi H0: sigma^2_tau = 0 olmalıdır.

Soruda sunulan senaryoda faktör düzeyleri (tedarikçiler) araştırmacı tarafından özel olarak belirlenmemiş, büyük bir havuzdan şansa bağlı olarak çekilmiştir. Amacın sadece seçilenleri kıyaslamak değil, tüm havuzdaki varyansa dair çıkarım yapmak olduğu belirtilmiştir. Bu durum Şansa Bağlı (Tesadüfi / Model II) Etkili Modelin tanımıdır. Model II yapısında, faktör düzeyleri tesadüfi değişkenler olduğundan, yokluk hipotezi ortalamalar üzerinden değil, faktörün evren varyansının sıfır olup olmadığı (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

) üzerinden kurulur.

Adım Adım Çözüm

1

Deneydeki faktör düzeylerinin (tedarikçilerin) nasıl belirlendiğini incele.

Araştırmacı 80 kişilik bir popülasyondan 6 tedarikçiyi tamamen rastgele seçmiştir.

Faktör düzeylerinin seçiliş yöntemi, varyans analizi modelinin Sabit (Model I) mi yoksa Şansa Bağlı (Model II) mi olduğunu belirleyen temel kriterdir.

2

Araştırmacının amacı doğrultusunda modelin türünü kesinleştir.

Amaç 6 tedarikçiyi kıyaslamak değil, genel tedarikçi havuzundaki değişkenliği ölçmek olduğundan bu bir Şansa Bağlı (Model II / Tesadüfi) Etkili Modeldir.

Model II'de ilgi odağı özel düzeyler değil, faktörün düzeylerinin çekildiği yığının (kitlenin) varyansıdır.

3

Belirlenen modele ait yokluk (sıfır) hipotezini formüle et.

Model II için yokluk hipotezi, kitledeki faktör etkilerine ait varyansın sıfır olduğudur (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

).

Sabit etkili modellerde düzey ortalamalarının eşitliği (

H_0: \tau_i = 0

) test edilirken, şansa bağlı modellerde düzeylerin ait olduğu evren varyansının istatistiksel olarak sıfırdan farklı olup olmadığı (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

) test edilir.

Anahtar Kavram

Varyans analizinde şansa bağlı (tesadüfi) etkili model (Model II) ve bu modelin hipotez yapısı

Soru 46Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsü uzmanları, geliştirdikleri üç spesifik organik gübre formülasyonunun ( $G_1$ , $G_2$ ve $G_3$ ) sera koşullarında yetiştirilen domates fidelerinin ortalama büyüme miktarları üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Uzmanlar, bu üç belirli formülasyonu karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarıma dayalı bir deney kurgulamışlardır. Deney sonucunda elde edilecek veriler kullanılarak tek yönlü varyans analizi (ANOVA) yapılacaktır.

Buna göre, araştırmanın amacına uygun olarak kurulması gereken sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezler aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3

H_1:

En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3

H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

H_1: \sigma_{\tau}^2 > 0

H_0:

En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

H_1: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3

H_0: \bar{X}_1 = \bar{X}_2 = \bar{X}_3

H_1:

En az bir

i \neq j

için

\bar{X}_i \neq \bar{X}_j

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
$H_1:$ En az bir $i \neq j$ için $\mu_i \neq \mu_j$

Cevap

Doğru hipotez kurulumunda sıfır hipotezi kitle ortalamalarının eşitliğini (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3

), alternatif hipotez ise en az bir ortalamanın diğerlerinden farklı olduğunu (

H_1:

En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

) belirtmelidir.

Verilen problemde sabit etkili tek yönlü varyans analizi uygulanacaktır. Bu tasarımda sıfır hipotezi, tüm muamele gruplarının evren ortalamalarının birbirine eşit olduğunu (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k

) varsayar. Alternatif hipotez ise bu eşitliği bozan herhangi bir durumun varlığını savunur. Eşitliği bozmak için tüm grupların farklı olması gerekmez; gruplar içinden en az iki ortalamanın birbirinden farklı olması (

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

) alternatif hipotezi doğrulamak için yeterlidir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın istatistiksel model türünü belirleyin.

Uzmanlar 'üç spesifik' gübre seçtiği için bu bir Sabit Etkili Modeldir (Model I).

Modelin türü, hipotezlerin parametreler (

\mu

) üzerinden mi yoksa varyans unsurları (

\sigma^2

) üzerinden mi kurulacağını belirler.

2

Sıfır hipotezini (

H_0

) formüle edin.

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3

olarak yazılır.

Sıfır hipotezi daima gruplar arasında fark olmadığı (eşitlik) varsayımına dayanır ve evren parametreleri (

\mu

) kullanılır.

3

Alternatif hipotez (

H_1

) durumunu formüle edin.

H_1:

En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

olarak belirlenir.

Varyans analizi testinde

H_0

'ın reddedilmesi, tüm grupların farklı olduğu anlamına gelmez; sadece gruplardan en az birinin diğerlerinden istatistiksel olarak farklı bir ortalamaya sahip olduğu anlamına gelir.

Anahtar Kavram

ANOVA'da hipotezler, örneklem istatistikleri değil evren parametreleri kullanılarak kurulur. Alternatif hipotez tüm grupların farklılığını değil, en az bir farklılığı temsil eder.

Soru 47Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir fabrikada çalışan çok sayıdaki operatörün, belirli bir parçanın montaj süresi üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Mühendis, fabrikadaki operatörler arasından tamamen şansa bağlı olarak 4 operatör seçmiş ve bu operatörlerin montaj sürelerini ölçmüştür. Ancak vardiya planlamasındaki aksaklıklar nedeniyle her operatörden eşit sayıda ölçüm alınamamıştır. Operatörlerden sırasıyla 5, 3, 6 ve 6 adet montaj süresi ölçümü elde edilmiştir.

Bu deney tasarımı dikkate alındığında, tek yönlü varyans analizi modelinde operatör faktörüne ait beklenen kareler ortalaması ( $E(MS)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\sigma^2$ genel hata varyansını, $\sigma_\tau^2$ operatör etkilerinin varyansını ve $\tau_i$ operatörlerin sabit etkilerini göstermektedir.)

\sigma^2 + 4,9\sigma_\tau^2

\sigma^2 + 5\sigma_\tau^2

\sigma^2 + 14,7\sigma_\tau^2

\sigma^2 + \frac{\sum_{i=1}^{4} n_i \tau_i^2}{3}

\sigma^2 + \frac{5\sum_{i=1}^{4} \tau_i^2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sigma^2 + 4,9\sigma_\tau^2$

Cevap

Dengesiz tesadüfi model (Model II) formülüne göre doğru beklenen kareler ortalaması

\sigma^2 + 4,9\sigma_\tau^2

ifadesidir.

Araştırmada operatörler büyük bir popülasyondan şansa bağlı olarak seçildiği için Tesadüfi Model (Model II) geçerlidir, bu nedenle beklenen kareler ortalamasında sabit

\tau_i

etkileri yerine varyans bileşeni (

\sigma_\tau^2

) yer almalıdır. Gözlem sayıları eşit olmadığı için (dengesiz tasarım),

\sigma_\tau^2

'nin katsayısı basit

n

ortalaması ile değil, düzeltilmiş

n_0

formülü ile hesaplanmalıdır. Gözlem sayıları

n_1=5, n_2=3, n_3=6, n_4=6

iken genel toplam

N=20

ve kareler toplamı

\sum n_i^2 = 5^2 + 3^2 + 6^2 + 6^2 = 106

olur. Formüle göre

n_0 = \frac{20 - (106/20)}{4 - 1} = \frac{20 - 5,3}{3} = \frac{14,7}{3} = 4,9

olarak bulunur. Denklemde yerine konduğunda doğru yanıt

\sigma^2 + 4,9\sigma_\tau^2

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Deneyin yapısal modelini belirleme

Operatörler çok sayıdaki çalışan arasından şansa bağlı seçildiği için Tesadüfi Etkili Model (Model II) geçerlidir.

Model türü, beklenen kareler ortalaması formülünde varyans bileşeninin (

\sigma_\tau^2

) mi yoksa sabit etkilerin (

\tau_i

) mi yer alacağını belirler.

2

Veri yapısının dengesini kontrol etme

Gözlem sayıları eşit olmadığı için (

n_i

değerleri sırasıyla 5, 3, 6, 6) dengesiz bir tasarım söz konusudur.

Dengesiz tasarımlarda, tesadüfi etkinin katsayısını bulmak için aritmetik ortalama yerine

n_0

hesaplaması gereklidir.

3

n_0

düzeltme katsayısını hesaplama

Formül:

n_0 = \frac{N - \frac{\sum n_i^2}{N}}{k - 1}

. Veriler:

N=20, \sum n_i^2 = 106

. Buradan

n_0 = \frac{20 - \frac{106}{20}}{3} = \frac{20 - 5,3}{3} = 4,9

bulunur.

Dengesiz tesadüfi modellerde varyans bileşeni katsayısı, grupların örneklem büyüklükleri ve genel toplam gözlem sayısı arasındaki ilişkiye göre standardize edilmelidir.

4

Beklenen kareler ortalaması denklemini kurma

E(MS) = \sigma^2 + 4,9\sigma_\tau^2

elde edilir.

Tek yönlü tesadüfi modelde faktörün beklenen kareler ortalaması genel formülü

E(MS) = \sigma^2 + n_0\sigma_\tau^2

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Beklenen Kareler Ortalamaları (E(MS)) ve Dengesiz Tesadüfi Model

Soru 48Soru →

Bir Ticaret Bakanlığı müfettişi, $5$ farklı bölgedeki gümrük müdürlüklerinin ithalat beyannamesi onay süreleri (saat) arasında anlamlı bir fark olup olmadığını incelemektedir. Bu amaçla her bölgeden rastgele $9$ 'ar adet beyanname dosyası seçerek toplam $45$ gözlemden oluşan bir veri seti elde etmiştir.

Yapılan ön analizler sonucunda şu istatistikler hesaplanmıştır:
• Tüm veriler ( $N=45$ ) bir arada değerlendirildiğinde hesaplanan genel varyans (toplam varyans) $20 \text{ saat}^2$ 'dir.
• Her bir bölgenin kendi içindeki onay sürelerinin varyansları ayrı ayrı hesaplanmış ve bu $5$ grup içi varyansın aritmetik ortalaması $11 \text{ saat}^2$ olarak bulunmuştur.

Tek yönlü varyans analizi (ANOVA) varsayımlarının tam olarak sağlandığı kabul edildiğine göre, bölgeler arası farkın istatistiksel olarak anlamlılığını test etmek için oluşturulacak ANOVA tablosundaki hesaplanmış $F$ test istatistiği değeri kaçtır?

8

10

20

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

Doğru F test istatistiği değeri

10

'dur.

Varyans analizinde genel varyans formülü

S^2 = SST / (N - 1)

şeklindedir. Soruda

N = 45

ve

S^2 = 20

verildiğine göre

SST = 20 \times 44 = 880

olur. Örneklem hacimleri eşit olduğu için Hata Kareler Ortalaması (MSE) doğrudan grup içi varyansların ortalaması olan

11

'e eşittir. Hata Kareler Toplamı

SSE = MSE \times (N - k) = 11 \times 40 = 440

olarak bulunur. Toplanabilirlik kuralı gereği

SSTr = 880 - 440 = 440

olur. İşlem Kareler Ortalaması

MSTr = 440 / (5 - 1) = 110

'dur. Son olarak,

F = MSTr / MSE = 110 / 11 = 10

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini belirleme

df_{Toplam} = 45 - 1 = 44

,

df_{İşlem} = 5 - 1 = 4

,

df_{Hata} = 45 - 5 = 40

ANOVA tablosundaki bileşenleri hesaplayabilmek için öncelikle modelin serbestlik dereceleri bulunmalıdır.

2

Genel (Toplam) Kareler Toplamını (SST) hesaplama

SST = \text{Toplam Varyans} \times df_{Toplam} = 20 \times 44 = 880

Bir örneklemin varyansı, kareler toplamının serbestlik derecesine bölümüdür. Verilen genel varyanstan SST değerine geri dönülmelidir.

3

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) belirleme

MSE = 11

Örneklem büyüklükleri eşit olduğunda, Hata Kareler Ortalaması (MSE) doğrudan grup içi varyansların aritmetik ortalamasına eşittir (Havuzlanmış Varyans mantığı).

4

Hata Kareler Toplamını (SSE) hesaplama

SSE = MSE \times df_{Hata} = 11 \times 40 = 440

Kareler toplamı toplanabilirlik kuralını kullanabilmek için Hata Kareler Toplamı değerine ihtiyaç vardır.

5

İşlem Kareler Toplamını (SSTr) bulma

SSTr = SST - SSE = 880 - 440 = 440

Varyans analizinin temel kuralı olan

SST = SSTr + SSE

eşitliğinden faydalanılır.

6

İşlem Kareler Ortalamasını (MSTr) hesaplama

MSTr = SSTr / df_{İşlem} = 440 / 4 = 110

F istatistiğinin pay kısmını oluşturacak olan gruplar arası varyans (kareler ortalaması) hesaplanmalıdır.

7

F istatistiğini hesaplama

F = MSTr / MSE = 110 / 11 = 10

Test istatistiği, gruplar arası varyansın grup içi varyansa oranıdır.

Anahtar Kavram

Örneklem Varyanslarından ANOVA Kareler Toplamlarına Geçiş ve F İstatistiği

Soru 49Soru →

Bir tarım araştırmaları enstitüsü, $3$ farklı sulama rejiminin bir buğday türünün dekar başına verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla tamamen rastgele deney tasarımı ile tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen kısmi ANOVA tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Sulama Rejimi	$150$
Hata	$27$	$10$
Toplam

Tablodaki eksik bilgiler dikkate alındığında, bu analiz için hesaplanan $F$ test istatistiği ve Genel Kareler Toplamı (Genel KT) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

7,5

ve

420

5,0

ve

420

15,0

ve

420

7,5

ve

160

15,0

ve

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7,5$ ve $420$

Cevap

Doğru cevap

7,5

ve

420

değerlerini içeren seçenektir.

Sulama rejimi (muamele) sayısı 3 olduğu için gruplar arası serbestlik derecesi 3 - 1 = 2'dir. Buradan gruplar arası kareler ortalaması 150 / 2 = 75 bulunur. F istatistiği, gruplar arası kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle (75 / 10 = 7,5) hesaplanır. Hata kareler toplamı ise hata serbestlik derecesi ile hata kareler ortalamasının çarpımı (27 × 10 = 270) ile elde edilir. Genel kareler toplamı, toplanabilirlik ilkesi gereği gruplar arası ve hata kareler toplamlarının toplanmasıyla (150 + 270 = 420) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sulama rejimine ait (gruplar arası) serbestlik derecesini hesapla.

sd_{gruplar\ aras\i} = k - 1 = 3 - 1 = 2

Varyans analizinde gruplar arası serbestlik derecesi, uygulanan muamele sayısının bir eksiğine eşittir.

2

Sulama rejimine ait Kareler Ortalamasını (KO) bul.

KO_{gruplar\ aras\i} = \frac{150}{2} = 75

Kareler Ortalaması, Kareler Toplamının (KT) ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

F test istatistiğini hesapla.

F = \frac{KO_{gruplar\ aras\i}}{KO_{hata}} = \frac{75}{10} = 7,5

F test istatistiği, gruplar arası varyansın hata varyansına oranıdır.

4

Hata Kareler Toplamını (KT) bul.

KT_{hata} = 27 \times 10 = 270

Hata Kareler Ortalaması, Hata Kareler Toplamının hata serbestlik derecesine (

27

) bölümüdür. Bu nedenle ters işlemle çarpılarak toplam bulunur.

5

Genel Kareler Toplamını hesapla.

Genel\ KT = 150 + 270 = 420

Varyans analizinde toplanabilirlik ilkesi gereği Genel KT, gruplar arası KT ile Hata KT'nin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve F İstatistiğinin Hesaplanması

Soru 50Soru →

Bir Tarım İl Müdürlüğü, $5$ farklı organik gübre çeşidinin buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla tamamen rastgele deney tasarımı kullanarak toplam $25$ farklı tarım arazisinde bir araştırma yürütmüştür. Araştırma sonucunda elde edilen verilere ilişkin tek yönlü varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Gübre Çeşidi	$240$
Hata	$300$
Toplam	$24$	$540$

Buna göre, bu araştırmaya ait hesaplanan F test istatistiği değeri kaçtır?

0,25

0,8

3,2

4,0

4,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4,0$

Cevap

Hesaplanan F test istatistiği değeri

4,0

'dır.

F istatistiği, işlem (gruplar arası) kareler ortalamasının hata (grup içi) kareler ortalamasına bölünmesiyle elde edilir. İşlem serbestlik derecesi

5-1=4

ve hata serbestlik derecesi

25-5=20

'dir. Buradan işlem kareler ortalaması

240/4 = 60

ve hata kareler ortalaması

300/20 = 15

olarak hesaplanır. F değeri ise bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla

60/15 = 4,0

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması.

Gübre çeşidi serbestlik derecesi

sd_{Tr} = k - 1 = 5 - 1 = 4

, hata serbestlik derecesi

sd_E = N - k = 25 - 5 = 20

olarak bulunur.

Kareler ortalamasını bulmak için ilgili kareler toplamlarının serbestlik derecelerine bölünmesi gerekir.

2

Kareler ortalamalarının (KO) hesaplanması.

İşlem (Gübre) kareler ortalaması

KO_{Tr} = 240 / 4 = 60

, hata kareler ortalaması

KO_E = 300 / 20 = 15

olarak hesaplanır.

Varyans analizi tablosunda her bir varyans kaynağının kareler toplamı, kendi serbestlik derecesine bölünerek kareler ortalaması elde edilir.

3

F test istatistiğinin hesaplanması.

F = KO_{Tr} / KO_E = 60 / 15 = 4,0

elde edilir.

Tek yönlü ANOVA'da F istatistiği, modelin (gruplar arası) açıkladığı varyansın, açıklanamayan (grup içi/hata) varyansa bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunda F İstatistiği Hesaplaması

Soru 51Soru →

Türk Standardları Enstitüsü (TSE) uzmanları, belirli bir coğrafi bölgede faaliyet gösteren çok sayıdaki hazır beton santrali arasından rastgele 5 santral seçmiştir. Bu santrallerin ürettiği standart C30 sınıfı betonlardan rastgele numuneler alınarak 28 günlük basınç dayanımları ölçülmüştür.

Çeşitli lojistik kısıtlar nedeniyle her santralden alınan numune sayısı farklılık göstermiş olup veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Santral	Alınan Numune Sayısı ( $n_i$ )
1	2
2	2
3	6
4	6
5	8

Uzmanlar, toplanan verileri tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile inceleyecektir.

Şansa bağlı (tesadüfi) etkili modele göre, santraller arası varyans bileşeninin ( $\sigma_\tau^2$ ) yansız bir tahmin edicisini hesaplamak için kullanılması gereken formül aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $KO_{Santral}$ = Santral Kareler Ortalaması, $KO_{Hata}$ = Hata Kareler Ortalaması)

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,8}

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4}

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{5}

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}$

Cevap

Dengesiz tesadüfi etkili modelde varyans bileşeni tahmin edicisi

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}

formülü ile elde edilir.

Soruda çok sayıdaki santral arasından rastgele 5 santralin seçildiği belirtildiği için Tek Yönlü Tesadüfi Etkili Model (Model II) söz konusudur. Tesadüfi etkili modellerde Santral Kareler Ortalamasının Beklenen Değeri

E(KO_{Santral}) = \sigma^2 + n_0\sigma_\tau^2

eşitsizliği ile ifade edilir. Gözlem sayıları eşit olmadığı (dengesiz) için

n_0

değeri

\frac{N - (\sum n_i^2 / N)}{a-1}

formülü ile hesaplanmalıdır. Gözlem değerleri

N=24

ve

a=5

olarak verildiğinden;

\sum n_i^2 = 4 + 4 + 36 + 36 + 64 = 144

olur. Bu değerler formülde yerine konduğunda

n_0 = \frac{24 - (144/24)}{4} = \frac{24 - 6}{4} = 4,5

bulunur. Varyans bileşeni

\sigma_\tau^2

'yi tahmin etmek için

E(KO_{Santral}) - E(KO_{Hata})

farkı

n_0

'a bölünmelidir, bu da

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Model tipini ve deneme tasarımını belirleyin.

Araştırmada 'çok sayıdaki santral arasından rastgele 5 santral' seçildiği için Tek Yönlü Tesadüfi Etkili Model (Random Effects Model) söz konusudur. Numune sayıları farklı olduğu için tasarım dengesizdir (unbalanced).

Beklenen kareler ortalaması (E(MS)) formülleri, modelin sabit/tesadüfi olmasına ve tasarımın dengeli/dengesiz olmasına göre değişir.

2

Dengesiz tesadüfi etkili model için Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) denklemlerini yazın.

E(KO_{Santral}) = \sigma^2 + n_0\sigma_\tau^2

ve

E(KO_{Hata}) = \sigma^2

denklemleri geçerlidir.

Varyans bileşenini (

\sigma_\tau^2

) bulmak için

E(KO_{Santral})

denklemindeki yalnız bırakma işlemini kurgulamak gerekir:

\sigma_\tau^2 = \frac{E(KO_{Santral}) - E(KO_{Hata})}{n_0}

.

3

Toplam gözlem sayısını (

N

) ve numune kareleri toplamını (

\sum n_i^2

) hesaplayın.

N = 2 + 2 + 6 + 6 + 8 = 24

. Numune kareleri toplamı:

\sum n_i^2 = 2^2 + 2^2 + 6^2 + 6^2 + 8^2 = 4 + 4 + 36 + 36 + 64 = 144

.

n_0

katsayısını hesaplamak için formülün ihtiyaç duyduğu parametreleri bulmalıyız.

4

Dengesiz modeldeki

n_0

katsayısını formülüne uygun şekilde hesaplayın.

n_0 = \frac{1}{a-1} \left( N - \frac{\sum n_i^2}{N} \right) = \frac{1}{5-1} \left( 24 - \frac{144}{24} \right) = \frac{24 - 6}{4} = \frac{18}{4} = 4,5

.

E(MS) katsayısı dengeli modellerde standart n iken, dengesiz modellerde bu özel ağırlıklandırma formülü ile bulunur.

5

Varyans bileşeninin yansız tahmin edicisi için denklemi kurun.

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{n_0} = \frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}

formülü elde edilir.

İstatistiksel olarak popülasyon varyans bileşeninin yansız tahmin edicisi, örneklemden elde edilen kareler ortalamalarının beklenen değerleri yerine konmasıyla oluşturulur.

Anahtar Kavram

Dengesiz Tesadüfi Etkili Modellerde Beklenen Kareler Ortalamaları ve Varyans Bileşeni Tahmini

Soru 52Soru →

Sağlık Bakanlığı, ülke genelindeki binlerce akredite laboratuvar arasında, belirli bir kan enziminin ölçümündeki değişkenliği incelemek istemektedir. Bu amaçla, laboratuvarlar arasından tamamen şansa bağlı olarak $5$ laboratuvar seçilmiş ve seçilen her bir laboratuvara aynı hastaya ait $4$ 'er adet özdeş kan numunesi gönderilerek ölçüm yapmaları istenmiştir.

Elde edilen verilerle yapılan tek yönlü varyans analizi sonucunda; laboratuvarlar arası kareler toplamı (işlem kareler toplamı) $320$ ve genel kareler toplamı $440$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kan enzimi ölçümlerindeki toplam varyansın laboratuvarlar arası farklılıktan kaynaklanan kısmının oranı (sınıf içi korelasyon katsayısı) tahmini olarak aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8}{11}

\frac{9}{40}

\frac{9}{13}

\frac{10}{11}

\frac{29}{41}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{13}$

Cevap

Kan enzimi ölçümlerindeki toplam varyansın laboratuvarlar arası farklılıktan kaynaklanan oranının tahmini

\frac{9}{13}

'tür.

Bu araştırma, belirli seviyelerin (laboratuvarların) etkilerini test etmenin ötesinde, seçilen laboratuvarların bağlı olduğu büyük evrendeki (tüm laboratuvarlar) genel değişkenliğe katkılarını tahmin etmeyi amaçlayan tesadüfi etkili (Model II) varyans analizi problemidir. Verilen problemde serbestlik dereceleri

df_{Tr} = 4

ve

df_E = 15

olduğundan,

MSTr = 320/4 = 80

ve

MSE = 120/15 = 8

olarak bulunur. Beklenen kareler ortalaması kuralları uyarınca hata varyansı tahmini

\hat{\sigma}^2 = 8

, laboratuvarlar arası varyans tahmini ise

\hat{\sigma}_\tau^2 = (80 - 8)/4 = 18

olarak hesaplanır. Toplam varyansın laboratuvarlar arası farklılıktan kaynaklanan oranını gösteren sınıf içi korelasyon katsayısı ise

\frac{18}{18+8} = \frac{9}{13}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hata kareler toplamını (

SSE

) hesaplama

SSE = SST - SSTr = 440 - 320 = 120

Varyans analizinde genel kareler toplamı, işlem ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir.

2

Serbestlik derecelerini ve kareler ortalamalarını bulma

MSTr = \frac{320}{5-1} = 80

ve

MSE = \frac{120}{20-5} = 8

Kareler ortalamalarını bulmak için kareler toplamları ilgili serbestlik derecelerine (

a-1

ve

N-a

) bölünür.

3

Varyans unsurlarını tahmin etme

\hat{\sigma}^2 = 8

ve

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{80 - 8}{4} = 18

Tesadüfi etkili modelde beklenen kareler ortalamaları kuralına göre deney hatası varyans tahmini

\hat{\sigma}^2 = MSE

, laboratuvarlar arası varyans tahmini ise

\hat{\sigma}_\tau^2 = (MSTr - MSE)/n

formülüyle hesaplanır.

4

Sınıf içi korelasyon katsayısını hesaplama

\frac{18}{18 + 8} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}

Toplam varyans içindeki laboratuvar etkisinin payı, laboratuvarlar arası varyans unsurunun toplam varyans unsuruna (

\hat{\sigma}_\tau^2 + \hat{\sigma}^2

) bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Tesadüfi Etkili Modelde (Model II) Varyans Unsurlarının Tahmini ve Sınıf İçi Korelasyon Katsayısı

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 53Soru →

Sağlık Bakanlığı'nda görevli bir biyoistatistik uzmanı, ülke genelindeki devlet hastanelerinde uygulanan yeni bir randevu kabul sisteminin bekleme süreleri üzerindeki etkisini incelemektedir. Uzman, çalışmaya dâhil edilecek faktör düzeylerini belirlerken, sistemin uygulandığı yüzlerce devlet hastanesi arasından tamamen şansa bağlı olarak 10 hastane seçmiş ve bekleme sürelerine tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Uzmanın temel amacı, elde edeceği bulguları sadece örnekleme düşen bu 10 hastane ile sınırlı tutmayıp, kitleye genelleme yaparak tüm devlet hastanelerindeki durum hakkında istatistiksel çıkarımda bulunmaktır.

Bu çalışmada kullanılan varyans analizi modeli ve test edilecek temel sıfır hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Sabit Etkili Model (Model I);

H_0

: Seçilen 10 hastanenin bekleme süresi ortalamaları birbirine eşittir (

\mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_{10}

).

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II);

H_0

: Seçilen 10 hastanenin bekleme süresi ortalamaları birbirine eşittir (

\mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_{10}

).

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II);

H_0

: Hastanelerin yarattığı etkiye ait varyans bileşeni sıfıra eşittir (

\sigma_\tau^2 = 0

).

Sabit Etkili Model (Model I);

H_0

: Hastanelerin yarattığı etkiye ait varyans bileşeni sıfıra eşittir (

\sigma_\tau^2 = 0

).

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II);

H_0

: Tüm hastane ortalamaları birbirinden farklıdır (

\mu_1 \neq \mu_2 \neq \dots \neq \mu_{10}

).

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Şansa Bağlı Etkili Model (Model II); $H_0$ : Hastanelerin yarattığı etkiye ait varyans bileşeni sıfıra eşittir ( $\sigma_\tau^2 = 0$ ).

Cevap

Doğru model Şansa Bağlı Etkili Model'dir (Model II) ve bu modelin sıfır hipotezi kitleye ait varyans bileşeninin sıfır olmasıdır (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

).

Deney tasarımında araştırmacı faktör düzeylerini (hastaneleri) rastgele seçmiş ve elde ettiği istatistiksel bulguların tüm kitleye (ülkedeki tüm devlet hastanelerine) genellenmesini hedeflemiştir. Bu senaryo doğrudan Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) tanımına uymaktadır. Model II'de temel ilgi alanı, tesadüfi olarak seçilen grupların ortalamalarının birbirinden farkı değil, ilgili faktörün (hastane faktörünün) kitle düzeyinde bir varyans (değişim) oluşturup oluşturmadığıdır. Bu sebeple sıfır hipotezi, kitledeki hastaneler arası varyans bileşeninin sıfır olduğu (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

) varsayımıyla kurulur.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma amacından ve düzey seçim yönteminden model türünü belirleme.

Araştırmacı faktör düzeylerini (hastaneleri) şansa bağlı seçmiş ve sonuçları kitleye genellemek istemiştir. Bu Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) yapısıdır.

Sabit modellerde düzeyler bilinçli seçilir ve çıkarım sadece o düzeylerle sınırlı kalır. Kitle çıkarımı Model II'nin temel karakteristiğidir.

2

Belirlenen modele uygun sıfır hipotezini (

H_0

) tanımlama.

Model II'de grupların özel ortalamaları önemsizdir, asıl ilgilenilen kitledeki varyasyondur. Bu nedenle

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

şeklinde tanımlanır.

Eğer faktörün kitle düzeyinde bir etkisi yoksa, faktörün yarattığı varyans bileşeni sıfır olacaktır.

Anahtar Kavram

Sabit (Model I) ve Şansa Bağlı (Model II) Etkili Modellerin Varsayımları ve Hipotez Yapıları

Soru 54Soru →

Bir kamu kurumundaki müfettiş yardımcısı eğitim programlarının etkinliğini ölçmek isteyen bir araştırmacı, mevcut çok sayıdaki eğitim merkezinden rastgele $6$ tanesini seçerek bu merkezlerdeki sınav sonuçlarını analiz etmektedir. Araştırmanın temel amacı, sadece seçilen bu merkezlerin performansını karşılaştırmak değil, tüm eğitim merkezleri arasındaki değişkenliği ve genel program başarısını ana kütle düzeyinde değerlendirmektir.

Buna göre, bu araştırmada uygulanan şansa bağlı (Model II) etkili varyans analizi modeli için test edilmesi gereken temel sıfır hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5 = \mu_6

H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = \alpha_5 = \alpha_6 = 0

H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = ... = \sigma_6^2

H_1: \sigma_{\alpha}^2 > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0$

Cevap

Şansa bağlı etkili modelde (Model II) sıfır hipotezi, faktörün ana kütledeki varyans bileşeninin sıfır olduğunu savunan

H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0

şeklindedir.

Şansa bağlı etkili modelde (Model II), araştırmacı faktör düzeylerini mevcut tüm düzeyler arasından rastgele seçer. Bu durumda analizdeki amaç, belirli grup ortalamalarının farkını test etmek değil, faktörün ana kütledeki toplam değişkenlik üzerindeki etkisini (varyans bileşenini) araştırmaktır. Bu nedenle sıfır hipotezi, faktöre ait varyans bileşeninin sıfıra eşit olduğunu savunan

H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0

ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Model tipini belirle

Şansa Bağlı (Model II / Tesadüfi Etkili) Model

Faktör düzeylerinin (eğitim merkezleri) rastgele seçilmesi ve sonuçların ana kütleye genellenmek istenmesi modelin Model II olduğunu gösterir.

2

Modele uygun hipotez yapısını seç

H_0: \sigma_{\alpha}^2 = 0

Model I'de grup ortalamaları (

\mu

) veya etkiler (

\alpha

) test edilirken, Model II'de seçilen düzeylerin temsil ettiği ana kütledeki varyans bileşeni (

\sigma_{\alpha}^2

) test edilir.

Anahtar Kavram

Sabit ve Şansa Bağlı Modellerde Hipotez Farkı

Daha Fazla Pratik

Karma modellerde (Mixed Models) hangi faktörün sabit hangisinin şansa bağlı olduğuna göre beklenen kareler ortalamasının (EMS) nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 55Soru →

Bir tüketici davranışı araştırmacısı, dört farklı mağaza atmosferinin müşterilerin mağazada geçirdikleri süreler (dakika) üzerindeki etkisini incelemek amacıyla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) kurgulamıştır. Araştırma gruplarındaki müşteri sayıları birbirinden oldukça farklıdır. Verilerin analizi öncesinde yapılan varsayım kontrollerinde şu sonuçlara ulaşılmıştır:

- Deney tasarımı gereği gözlemler birbirinden bağımsızdır.
- Shapiro-Wilk testi sonucuna göre hataların normal dağılım varsayımı sağlanmaktadır.
- Levene testi sonucunda grup varyanslarının homojen olmadığı ( $p < 0.05$ ) tespit edilmiştir.

Araştırmacı, varyansların homojenliği varsayımındaki bu ihlali göz ardı ederek standart F-testi uygulamış, modelin istatistiksel olarak anlamlı çıkması üzerine hangi grupların birbirinden farklı olduğunu belirlemek için Tukey HSD çoklu karşılaştırma testini kullanmıştır.

Bu araştırma sürecinin değerlendirilmesiyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel açıdan en doğrudur?

F-testinde varsayım ihlali olduğundan I. Tip hata oranı azalacaktır; araştırmacı bu durumu telafi etmek için post-hoc aşamasında kontrol grubuyla karşılaştırma sağlayan Dunnett testini tercih etmeliydi.

Shapiro-Wilk testi ile normallik varsayımı sağlandığı için varyansların heterojen olması F-testinin gücünü ve geçerliğini bozmaz; araştırmacının analize mevcut testlerle devam etmesi uygun bir yaklaşımdır.

Eşit olmayan örneklem hacimlerinde varyansların heterojenliği, standart F-testinin gerçek I. Tip hata oranının nominal anlamlılık düzeyinden sapmasına neden olur; ayrıca post-hoc analizi için varyans homojenliğini varsayan Tukey HSD yerine Games-Howell gibi bir test seçilmeliydi.

Standart F-testinin kullanılması I. Tip hata oranını etkilese de, Tukey HSD testi heterojen varyanslara karşı oldukça dirençli (sağlam) bir yapıya sahip olduğundan ikili karşılaştırma sonuçları geçerliliğini korur.

Varyansların farklı çıkması deney tasarımında tekrarlama ilkesinin hatalı uygulandığını gösterir; araştırmacı gruplardaki gözlem sayılarını eşitleyerek veriyi yeniden toplamalı ve analizi baştan kurmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Eşit olmayan örneklem hacimlerinde varyansların heterojenliği, standart F-testinin gerçek I. Tip hata oranının nominal anlamlılık düzeyinden sapmasına neden olur; ayrıca post-hoc analizi için varyans homojenliğini varsayan Tukey HSD yerine Games-Howell gibi bir test seçilmeliydi.

Cevap

Varyansların heterojenliği, özellikle eşit olmayan örneklemlerde F-testinin I. Tip hata oranında ciddi sapmalara neden olur ve post-hoc aşamasında Tukey HSD yerine Games-Howell testinin kullanılmasını zorunlu kılar.

Eşit olmayan örneklem hacimlerine sahip gruplarda varyansların heterojen (birbirinden farklı) olması, klasik ANOVA F-testinin nominal

\alpha

düzeyinden saparak I. Tip hata oranının bozulmasına yol açar. Bu durumda araştırmacının, grup ortalamalarını karşılaştırmak için Welch veya Brown-Forsythe gibi düzeltilmiş yöntemlere başvurması gerekir. Ayrıca varyanslar farklıyken post-hoc analizi yapabilmek için, varyansların homojenliği varsayımını gerektiren Tukey HSD veya Duncan yerine; bu ihlali tolere etmek üzere geliştirilmiş Games-Howell veya Tamhane T2 gibi çoklu karşılaştırma testleri seçilmelidir. Doğru seçenek bu istatistiksel kuralları eksiksiz yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans heterojenliği varsayım ihlalinin standart ANOVA F-testi üzerindeki etkisini belirle.

Özellikle örneklem hacimlerinin birbirinden farklı olduğu durumlarda varyansların heterojen çıkması, F-testinin gerçek I. Tip hata oranının araştırmacının belirlediği nominal

\alpha

düzeyinden (örneğin

0.05

) sapmasına (büyük varyansın küçük veya büyük gruba denk gelmesine göre şişmesine veya daralmasına) yol açar.

F-istatistiğinin paydasındaki Hata Kareler Ortalaması (

MSE

), grup varyanslarının ortak bir tahminidir ve varyanslar farklılaştığında bu tahmin yanlı hale gelir.

2

Varyansların heterojen olduğu bir durumda Tukey HSD testinin uygunluğunu değerlendir.

Tukey HSD testi, çoklu karşılaştırmalar yaparken grup varyanslarının birbirine eşit (homojen) olduğu varsayımına dayanır. Bu varsayım ihlal edildiğinde I. Tip hata kontrolünü sağlayamaz.

Tukey formülündeki standart hata hesaplaması, tüm gruplar için ortak bir hata varyansı (

MSE

) üzerinden yapılır.

3

Levene testi

p < 0.05

(homojen değil) sonucunda doğru istatistiksel yaklaşımı belirle.

Standart F-testi yerine Welch ANOVA'sı ve Tukey HSD yerine varyans heterojenliğini hesaba katan Games-Howell veya Tamhane T2 gibi testler kullanılmalıdır.

İstatistiksel çıkarımların geçerli ve güvenilir olması için verinin yapısına ve sağladığı varsayımlara uygun testler seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Varyansların Homojenliği Varsayımının İhlali ve Test Seçimine Etkisi

Soru 56Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, yoğun bir kavşaktaki araçların ortalama bekleme sürelerini (saniye) azaltmak amacıyla 3 farklı sinyalizasyon programını (Program 1, Program 2 ve Program 3) test etmektedir. Her bir program, günün benzer saatlerinde rastgele seçilen 4'er farklı zaman diliminde uygulanmış ve kavşaktaki bekleme süreleri kaydedilmiştir.

Elde edilen verilere ilişkin özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sinyalizasyon Programı	Bekleme Süreleri Toplamı ( $T_i$ )	Uygulama Sayısı ( $n_i$ )
1. Program	200	4
2. Program	280	4
3. Program	120	4

Tüm gözlem değerlerinin kareleri toplamı ( $\sum\sum X_{ij}^2$ ) 33.800 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu deney tasarımı için hata kareler toplamı (HKT) kaçtır?

600

1600

3200

3800

7000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 600

Cevap

Hata kareler toplamı 600'dür.

Varyans analizinde toplanabilirlik kuralı uyarınca Genel Kareler Toplamı, İşlem Kareler Toplamı ile Hata Kareler Toplamının toplamına eşittir (

GKT = İKT + HKT

). GKT

3.800

ve İKT

3.200

olarak hesaplandıktan sonra, hata kareler toplamı

3.800 - 3.200 = 600

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Düzeltme Terimini (DT) hesapla.

DT = \frac{(\sum T_i)^2}{N} = \frac{(200 + 280 + 120)^2}{12} = \frac{600^2}{12} = \frac{360.000}{12} = 30.000

Varyans analizinde kareler toplamlarını bulmak için tüm gözlemlerin genel ortalamadan sapmalarını standartlaştıran düzeltme terimine ihtiyaç vardır.

2

Genel Kareler Toplamını (GKT) hesapla.

GKT = \sum\sum X_{ij}^2 - DT = 33.800 - 30.000 = 3.800

Veri setindeki toplam varyasyonu (genel kareler toplamını) bulmak için tüm gözlem değerlerinin kareleri toplamından düzeltme terimi çıkarılır.

3

İşlem Kareler Toplamını (İKT) hesapla.

İKT = \sum \frac{T_i^2}{n_i} - DT = (\frac{200^2}{4} + \frac{280^2}{4} + \frac{120^2}{4}) - 30.000 = (10.000 + 19.600 + 3.600) - 30.000 = 33.200 - 30.000 = 3.200

Sinyalizasyon programları (işlemler) arasındaki farklılığın yarattığı varyasyonu hesaplamak için her grubun toplamının karesi kendi gözlem sayısına bölünür, toplanır ve düzeltme terimi çıkarılır.

4

Hata Kareler Toplamını (HKT) hesapla.

HKT = GKT - İKT = 3.800 - 3.200 = 600

Toplanabilirlik kuralına (GKT = İKT + HKT) göre, genel kareler toplamından işlem kareler toplamı çıkarılarak rastgele hatalardan kaynaklanan hata kareler toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması ve Toplanabilirlik Kuralı

Soru 57Soru →

Bir tarım araştırmacısı, $k=4$ farklı organik gübre türünün ( $N=40$ , her grupta 10'ar gözlem) domates fidesi büyüme hızları üzerindeki etkisini karşılaştırmak istemektedir. Ön analizler sonucunda verilerin aşırı çarpık bir dağılım gösterdiği ve normallik varsayımının ciddi şekilde ihlal edildiği görülmüştür. Araştırmacı, gübre türlerinin büyüme hızı üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık yaratıp yaratmadığını belirlemek istemektedir.

Buna göre; araştırmacının kullanması gereken en uygun test yöntemi, bu testin sınadığı sıfır hipotezi ( $H_0$ ), test istatistiğinin asimptotik olarak yakınsadığı teorik dağılım ve bu dağılımın serbestlik derecesi (sd) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Tek Yönlü ANOVA /

H_0

: Grup ortalamaları eşittir / F dağılımı / sd = 3 ve 36

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: En az bir grubun medyanı diğerlerinden farklıdır / Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı / sd = 3

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: Grupların dağılımları (medyanları) eşittir / Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı / sd = 3

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: Grupların dağılımları (medyanları) eşittir / Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı / sd = 39

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: Grup ortalamaları eşittir / F dağılımı / sd = 3 ve 36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kruskal-Wallis Testi / $H_0$ : Grupların dağılımları (medyanları) eşittir / Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımı / sd = 3

Cevap

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: Grupların dağılımları (medyanları) eşittir / Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı / sd = 3

Verilerde normallik varsayımı ciddi şekilde ihlal edildiği için parametrik Tek Yönlü ANOVA yerine bunun nonparametrik karşılığı olan Kruskal-Wallis testi tercih edilmelidir. Kruskal-Wallis testinde sıfır hipotezi (

H_0

), bağımsız k grubun dağılımlarının (dolayısıyla medyanlarının) eşit olduğunu sınar. Büyük örneklemlerde hesaplanan test istatistiği (H istatistiği),

k-1

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar. Soru senaryosunda

k=4

grup (gübre türü) bulunduğundan, doğru serbestlik derecesi

4-1=3

olarak hesaplanır. Tüm bu özellikleri doğru birleştiren tek seçenek budur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısına uygun istatistiksel testin belirlenmesi.

Araştırmada normallik varsayımı ciddi şekilde ihlal edildiğinden parametrik Tek Yönlü ANOVA yerine nonparametrik Kruskal-Wallis testi kullanılmalıdır.

Parametrik test varsayımları (özellikle normallik) sağlanmadığında, verilerin sıralama (rank) değerlerine dayalı nonparametrik alternatiflere geçiş yapılır.

2

Testin sınadığı sıfır hipotezinin (

H_0

) kurulması.

Kruskal-Wallis testi,

k

bağımsız grubun aynı popülasyondan gelip gelmediğini sınar. Bu nedenle

H_0

: "Grupların dağılımları (merkezi eğilim olarak medyanları) eşittir" şeklinde ifade edilir.

Sıfır hipotezi her zaman gruplar arasında fark olmadığını, eşitlik olduğunu varsayar.

3

Test istatistiğinin teorik dağılımı ve serbestlik derecesinin belirlenmesi.

Kruskal-Wallis H istatistiği büyük örneklemlerde Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına asimptotik olarak yakınsar. Serbestlik derecesi ise grup sayısı üzerinden

sd = k - 1

formülü ile bulunur.

sd = 4 - 1 = 3

elde edilir.

Nonparametrik H istatistiğinin özellikleri gereği, her gruptaki gözlem sayısı yeterince büyük olduğunda teorik sınır dağılımı Ki-karedir.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'nın Nonparametrik Karşılığı, Varsayımlar ve Özellikleri

Soru 58Soru →

Bir kamu kurumunda 4 farklı birimin çalışma verimlilikleri arasındaki farkı incelemek amacıyla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) yapılmıştır. Toplam 32 personelin katıldığı bu araştırmada Genel Kareler Toplamı ( $GKT$ ) 400 ve Gruplar Arası Kareler Toplamı ( $GAKT$ ) 120 olarak hesaplanmıştır. Buna göre, bu analize ait Hata Kareler Ortalaması ( $HKO$ ) değeri kaçtır?

10

40

8,75

70

14,28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Hesaplamalar sonucunda Hata Kareler Ortalaması değeri 10 olarak bulunmuştur.

Hata Kareler Ortalaması (HKO), modeldeki açıklanamayan değişkenliği temsil eder ve Hata Kareler Toplamının (

HKT

) hata serbestlik derecesine (

N-k

) bölünmesiyle hesaplanır. Bu soruda

HKT = 400 - 120 = 280

ve

sd_{hata} = 32 - 4 = 28

olduğundan,

HKO = 280 / 28 = 10

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamını (

HKT

) hesaplayın

HKT = 400 - 120 = 280

Genel Kareler Toplamı, gruplar arası ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir (

GKT = GAKT + HKT

).

2

Hata Serbestlik Derecesini (

sd_{hata}

) hesaplayın

sd_{hata} = 32 - 4 = 28

Tek yönlü ANOVA'da hata serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısından grup sayısının çıkarılmasıyla bulunur (

N - k

).

3

Hata Kareler Ortalamasını (

HKO

) hesaplayın

HKO = 280 / 28 = 10

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunda Hata Kareler Ortalamasının Hesaplanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

Bir Sağlık Bakanlığı araştırmacısı, $4$ farklı poliklinik randevu sisteminin hastaların ortalama bekleme süreleri (dakika) üzerindeki etkisini incelemektedir. Tamamen rastgele tasarıma göre yürütülen bu çalışmada toplam $60$ hastanın bekleme süreleri kaydedilmiş ve tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmıştır.

Analiz sonucuna ait kısmi ANOVA tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi	Kareler Toplamı	Kareler Ortalaması	F Değeri
İşlem (Sistem)	$450$
Hata
Genel	$2130$

Buna göre, bu analiz için hesaplanan F test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,20

3,25

3,75

5,00

5,36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5,00$

Cevap

Hesaplanan F test istatistiği değeri

5,00

'dır.

Doğru cevap, eksik ANOVA tablosu bileşenlerinin adım adım bulunmasıyla hesaplanan

5,00

değeridir. Tabloda verilenlere göre önce Hata Kareler Toplamı (

2130 - 450 = 1680

) bulunur. Daha sonra

k=4

sistem için İşlem serbestlik derecesi (

4-1=3

) ve

N=60

gözlem için Hata serbestlik derecesi (

60-4=56

) hesaplanır. Kareler Ortalamaları sırasıyla

450 / 3 = 150

ve

1680 / 56 = 30

olarak bulunur. Son olarak F oranı

150 / 30 = 5,00

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (sd) hesaplayın.

İşlem sd =

k - 1 = 4 - 1 = 3

. Hata sd =

N - k = 60 - 4 = 56

.

Kareler ortalamalarını bulabilmek için her bir varyans kaynağının serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

2

Hata Kareler Toplamını (SSE) hesaplayın.

SSE = Genel Kareler Toplamı (SST) - İşlem Kareler Toplamı (SSTr) =

2130 - 450 = 1680

.

Varyans analizinde kareler toplamları toplanabilir özelliğe sahiptir (

SST = SSTr + SSE

).

3

Kareler Ortalamalarını (MS) hesaplayın.

İşlem MS =

450 / 3 = 150

. Hata MS =

1680 / 56 = 30

.

F test istatistiği, ortalama karelerin birbirine oranıdır ve her bir MS değeri ilgili kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

4

F test istatistiğini hesaplayın.

F = İşlem MS / Hata MS =

150 / 30 = 5,00

.

Tek yönlü ANOVA'da F değeri, gruplar arası varyansın (İşlem MS) grup içi varyansa (Hata MS) bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve Kareler Ortalamalarının F Testindeki Rolü

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 60Soru →

Kamu Denetçiliği Kurumu, vatandaşların kamu hizmetlerine erişim memnuniyetini ölçmek amacıyla 6 farklı bakanlığın ( $k=6$ ) il müdürlüklerinden gelen başvuru sonuçlandırma sürelerini (gün) analiz etmektedir. Yapılan ön incelemelerde, verilerin normal dağılım sergilemediği ve varyansların homojenliği varsayımının karşılanmadığı saptanmıştır. Bu doğrultuda, gruplar arasındaki farkı test etmek için Tek Yönlü ANOVA yerine Kruskal-Wallis testinin uygulanmasına karar verilmiştir.

Buna göre, söz konusu araştırmada uygulanacak Kruskal-Wallis testi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sıfır hipotezi (

H_0

), grupların anakütle ortalamalarının birbirine eşit olduğunu savunur ve test istatistiği

F

dağılımına uygunluk gösterir.

Kruskal-Wallis testi sonucunda anlamlı bir fark bulunduğunda, varyansların homojen olmaması nedeniyle çoklu karşılaştırmalarda mutlaka Tukey HSD testi kullanılmalıdır.

Testin sıfır hipotezi (

H_0

), incelenen grupların dağılımlarının (veya medyanlarının) özdeş olduğunu belirtir ve test istatistiği

5

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı ile test edilir.

Test istatistiği hesaplanırken veriler küçükten büyüye sıralanır ve toplam gözlem sayısı

N

olmak üzere

N-k

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı temel alınır.

Veriler normal dağılmasa bile örneklem büyüklüğü yeterli olduğu için normallik ihlali görmezden gelinmeli ve doğrudan parametrik F testi (ANOVA) uygulanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Testin sıfır hipotezi ( $H_0$ ), incelenen grupların dağılımlarının (veya medyanlarının) özdeş olduğunu belirtir ve test istatistiği $5$ serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı ile test edilir.

Cevap

Kruskal-Wallis testinin sıfır hipotezi grupların dağılımlarının özdeş olduğunu belirtir ve test istatistiği

k-1

(6-1=5) serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı ile test edilir.

Kruskal-Wallis testi, Tek Yönlü ANOVA'nın normallik ve varyans homojenliği varsayımları bozulduğunda kullanılan nonparametrik bir alternatiftir. Bu testte veriler sıralanır ve grupların dağılımlarının özdeş olduğu (genellikle medyanların eşitliği olarak ifade edilir) sıfır hipotezi test edilir. Test istatistiği,

k

grup sayısı olmak üzere

k-1

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına yakınsar. Soruda 6 bakanlık incelendiği için

k=6

ve serbestlik derecesi

6-1=5

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen senaryodaki kısıtları analiz etme.

Veriler normal dağılmıyor ve varyanslar homojen değil. Grup sayısı

k=6

.

Uygun testin (Kruskal-Wallis) seçilmesi ve parametrelerinin belirlenmesi için gereklidir.

2

Kruskal-Wallis testinin hipotez yapısını hatırlama.

H_0

: Grupların dağılımları (veya medyanları) özdeştir.

Nonparametrik testler ortalamalar yerine dağılım özellikleri veya sıralamalar üzerinden hipotez kurar.

3

Test istatistiğinin dağılımını ve serbestlik derecesini hesaplama.

df = k - 1 = 6 - 1 = 5

. Dağılım: Ki-kare (

\chi^2

).

Örneklem büyüklüğü arttıkça Kruskal-Wallis H istatistiği Ki-kare dağılımına yakınsar.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testinin Temel Varsayımları ve Ki-kare Yakınsaması

Tahmini Süre:1m 30s

Tek Yönlü Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm