Nokta Tahmini ve Özellikleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir ekolojist, belirli bir ormanlık alanda rastgele seçilen $n$ farklı gözlem noktasında ( $n > 1$ ) bulunan belirli bir bitki türünün yoğunluğunu ölçmektedir. Yoğunluk ölçümlerinin $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız rastgele değişkenleri olduğu ve her birinin $(0, \theta)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Ekolojist, bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için başlangıçta yansız bir tahmin edici olan $T = 2X_1$ istatistiğini kullanmayı önermiştir. Ancak, istatistiksel açıdan daha etkin bir tahmin edici elde etmek için $\theta$ parametresi için yeterli istatistik olan $Y = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ değerini dikkate alarak Rao-Blackwell teoremini uygulamaya karar verir.

Buna göre, Rao-Blackwellizasyon işlemi sonucunda elde edilecek yeni tahmin edici ( $T^*$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n}{n+1} Y

Y

\frac{n+1}{n} Y

2 Y

\frac{n+1}{2n} Y

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n+1}{n} Y$

Cevap

Rao-Blackwellizasyon işlemi sonucu elde edilen yeni yansız tahmin edici

\frac{n+1}{n} Y

formülü ile ifade edilir.

Rao-Blackwell teoremine göre yeni tahmin edici, başlangıçtaki yansız tahmin edicinin (

2X_1

) yeterli istatistik (

Y

) üzerindeki koşullu beklenen değeridir. Örneklemdeki tüm gözlemlerin simetrik yapısından faydalanarak

E[X_1 | Y] = \frac{1}{n} E[\sum X_i | Y]

eşitliği kurulur.

Y

(en büyük değer) bilindiğinde, bu gözlemlerden bir tanesi

Y

'ye eşittir ve geriye kalan

(n-1)

tanesi

(0, Y)

aralığında düzgün dağılır. Dolayısıyla koşullu toplamın beklenen değeri

Y + (n-1)\frac{Y}{2} = Y\frac{n+1}{2}

olur. Simetriden dolayı

E[X_1 | Y] = \frac{n+1}{2n} Y

bulunur. Son olarak, baştaki

T=2X_1

ifadesinde yerine konulduğunda yeni tahmin edici

2 \times \frac{n+1}{2n} Y = \frac{n+1}{n} Y

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Rao-Blackwell teoreminin koşullu beklenen değer kuralını uygulamak.

T^* = E[2X_1 | Y] = 2E[X_1 | Y]

şeklinde koşullu beklenen değer denklemini kurmak.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli istatistik bilindiğindeki koşullu beklenen değerinin daha iyi (veya eşit) bir yansız tahmin edici vereceğini belirtir.

2

Simetri prensibini kullanarak

E[X_1 | Y]

ifadesini toplam istatistik cinsinden yazmak.

E[X_1 | Y] = \frac{1}{n} E[\sum_{i=1}^n X_i | Y]

eşitliğini elde etmek.

Tüm

X_i

değişkenleri bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan, yeterli istatistik

Y

verildiğinde her bir gözlemin koşullu beklenen değeri birbirine eşittir.

3

Toplamın koşullu beklenen değerini hesaplamak.

E[\sum X_i | Y=y] = y + (n-1)\frac{y}{2} = y\frac{n+1}{2}

sonucunu bulmak.

Eğer en büyük değer

Y=y

ise, toplamın içinde bir adet

y

bulunur ve geriye kalan

(n-1)

adet değişken

(0, y)

aralığında düzgün dağılır (beklenen değerleri

y/2

olur).

4

E[X_1 | Y]

değerini hesaplamak ve

T^*

formülünde yerine koymak.

E[X_1 | Y] = \frac{1}{n} \left( Y \frac{n+1}{2} \right) = Y \frac{n+1}{2n}

ve böylece

T^* = 2 \left( Y \frac{n+1}{2n} \right) = \frac{n+1}{n} Y

elde etmek.

Başlangıç tahmin edicimiz

X_1

değil

2X_1

olduğu için bulduğumuz sonucu 2 ile çarpmalıyız.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Sıra İstatistikleri Üzerinden Koşullu Beklenen Değer

Soru 82Soru →

Bir kamu araştırma enstitüsü, belirli bir bölgedeki hanehalkı su tüketim miktarlarını modellemek amacıyla $n$ hacimli bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) derlemiştir. Bu tüketim miktarlarının dağılımına ait kitle ortalaması $\mu$ ve kitle varyansı $\sigma^2$ bilinmemektedir.

Süreci yürüten bir araştırmacı, $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T_1(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ fonksiyonunu tanımlamış ve toplanan mevcut veri setini kullanarak bu fonksiyonun sonucunu $120$ olarak hesaplamıştır. Aynı araştırmacı, $\sigma^2$ parametresinin tahmini için ise $T_2(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ fonksiyonunu bir alternatif olarak önermiştir.

Nokta tahmin edici, tahmin değeri ve istatistik kavramları bağlamında, bu modelleme süreciyle ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

T_1(X)

tahmin edicisinin yansız olması, onun Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerinin varyansına eşit olmasını engeller ve MSE değerinin her durumda sıfırdan farklı bir yan miktarı içermesine neden olur.

Elde edilen

120

değeri,

\mu

parametresinin yansız bir tahmin edicisi olduğundan, örneklem hacmi sonsuza giderken her zaman tutarlı bir şekilde gerçek kitle ortalamasına yakınsayacaktır.

T_2(X)

fonksiyonu, hesaplanabilmesi için bilinmeyen

\mu

parametresine ihtiyaç duyduğundan bir "istatistik" değildir; hesaplanan

120

değeri ise bir tahmin edici değil,

\mu

parametresinin örneklemden elde edilen bir "nokta tahmin değeri"dir.

T_2(X)

fonksiyonunun

\sigma^2

için en iyi tahmin edici (UMVUE) olabilmesi, ancak bu fonksiyonun tam (complete) bir yeterli istatistiğin fonksiyonu olduğu Lehmann-Scheffe teoremi ile ispatlandığında mümkündür.

T_1(X)

fonksiyonu tutarlı bir tahmin edici özelliğine sahip olduğu için, örneklem hacminden bağımsız olarak her durumda yansız olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T_2(X)$ fonksiyonu, hesaplanabilmesi için bilinmeyen $\mu$ parametresine ihtiyaç duyduğundan bir "istatistik" değildir; hesaplanan $120$ değeri ise bir tahmin edici değil, $\mu$ parametresinin örneklemden elde edilen bir "nokta tahmin değeri"dir.

Cevap

T_2(X)

fonksiyonu bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiğinden bir istatistik değildir; hesaplanan

120

sonucu ise tahmin edici değil, bir tahmin değeridir.

Doğru olan seçenekte matematiksel istatistiğin en temel kuralı vurgulanmıştır: Bir 'istatistik', yalnızca örneklem gözlemlerine ve bilinen sabitlere bağlı olan, bilinmeyen hiçbir parametre içermeyen bir fonksiyondur.

T_2(X)

fonksiyonu kitleye ait bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiği için istatistik tanımına uymaz ve pratikte tahmin edici olarak kullanılamaz. Ayrıca, 'tahmin edici' (estimator) örneklem değerlerinin bir fonksiyonu olan rassal bir değişkendir; 'tahmin değeri' (estimate) ise bu fonksiyonun belirli bir örneklem için aldığı sayısal sonuçtur (

120

gibi).

Adım Adım Çözüm

1

İstatistik ve tahmin edici kavramlarının tanımlarını değerlendirmek.

Bir fonksiyonun istatistik (ve tahmin edici) olabilmesi için kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi, yalnızca örneğe ve bilinen sabitlere bağlı olması gerekir.

T_2(X)

fonksiyonu bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiği için bu temel şartı sağlamaz.

Kavramsal ayrımın temeli, bir fonksiyonun elde edilen veriyle gerçekten hesaplanabilir olup olmadığıdır.

2

Tahmin edici (estimator) ile tahmin değeri (estimate) arasındaki farkı belirlemek.

T_1(X)

örneklem değerlerinin bir fonksiyonu (rassal değişken) olarak bir 'tahmin edici'dir. Örneklemden hesaplanan

120

sonucu ise bu tahmin edicinin belirli bir deneme için aldığı sayısal 'tahmin değeri'dir.

Sayısal değerler için asimptotik veya teorik özellikler (yansızlık, tutarlılık) tanımlanamaz; bu özellikler tahmin edici fonksiyonlara aittir.

Anahtar Kavram

Nokta Tahmin Edici, Tahmin Değeri ve İstatistik Kavramlarının Temel Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 83Soru →

Bir malzeme bilimi laboratuvarında, yeni geliştirilen bir kompozit malzemenin aşırı ısı altında dayanım süresi test edilmektedir. Malzemede mikro çatlakların oluşmasına kadar geçen sürenin, bilinmeyen $\theta$ ortalamasına sahip üstel dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bu malzemeden bağımsız olarak seçilen $4$ örneklem için çatlak oluşma süreleri $X_1, X_2, X_3, X_4$ olarak gözlemlenmiştir.

$\theta$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

$\hat{\theta}_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}$

$\hat{\theta}_2 = \frac{1}{8}X_1 + \frac{1}{8}X_2 + \frac{1}{4}X_3 + \frac{1}{2}X_4$
\Buna göre, $\hat{\theta}_1$ tahmin edicisinin $\hat{\theta}_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği $\text{eff}(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2)$ ile $\hat{\theta}_2$ tahmin edicisinin mutlak etkinliği sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
*(Not: Göreli etkinlik $\text{eff}(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}$ olarak tanımlanmıştır.)*

\frac{11}{8}

ve

\frac{8}{11}

\frac{8}{11}

ve

\frac{11}{8}

4

ve

\frac{1}{4}

\frac{11}{8}

ve

\frac{32}{11}

\frac{11}{8}

ve

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{11}{8}$ ve $\frac{8}{11}$

Cevap

\frac{11}{8}

ve

\frac{8}{11}

Verilen üstel dağılım için

Var(X)=\theta^2

'dir. Birinci tahmin edicinin varyansı

Var(\hat{\theta}_1) = \theta^2/4

'tür. İkinci tahmin edicinin varyansı katsayıların kareleri alınarak hesaplandığında

Var(\hat{\theta}_2) = \frac{11}{32}\theta^2

bulunur. Göreli etkinlik formülü gereği

Var(\hat{\theta}_2) / Var(\hat{\theta}_1) = 11/8

elde edilir. Mutlak etkinlik için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) hesaplanır. Fisher bilgisi

I(\theta) = 1/\theta^2

ve CRLB =

1/(n \cdot I(\theta)) = \theta^2/4

olur.

\hat{\theta}_2

'nin mutlak etkinliği ise CRLB /

Var(\hat{\theta}_2)

oranından

8/11

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üstel dağılımın temel özelliklerini ve tahmin edicilerin varyanslarını belirle.

X \sim Exp(1/\theta)

dağılımı için

E[X] = \theta

ve

Var(X) = \theta^2

dir.

Tahmin edicilerin varyanslarını hesaplamak için kitle varyansına ihtiyaç vardır.

2

Birinci tahmin edicinin (örneklem ortalaması) varyansını hesapla.

Var(\hat{\theta}_1) = Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\theta^2}{4}

Göreli etkinlik ve CRLB kıyaslaması için temel varyans değeri gereklidir.

3

İkinci tahmin edicinin (ağırlıklı ortalama) varyansını hesapla.

Var(\hat{\theta}_2) = (\frac{1}{8})^2 Var(X_1) + (\frac{1}{8})^2 Var(X_2) + (\frac{1}{4})^2 Var(X_3) + (\frac{1}{2})^2 Var(X_4) = (\frac{1}{64} + \frac{1}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4})\theta^2 = \frac{22}{64}\theta^2 = \frac{11}{32}\theta^2

Göreli etkinliğin pay kısmını oluşturacak değer bulunmalıdır.

4

Göreli etkinliği hesapla.

\text{eff}(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2) = \frac{Var(\hat{\theta}_2)}{Var(\hat{\theta}_1)} = \frac{11\theta^2/32}{\theta^2/4} = \frac{11}{32} \times \frac{4}{1} = \frac{11}{8}

Sorusunun ilk kısmındaki istenen değerdir.

5

Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesapla.

f(x;\theta) = \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}

için

\ln f = -\ln\theta - \frac{x}{\theta}

. Türev alınırsa

I(\theta) = -E[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}] = \frac{1}{\theta^2}

. CRLB =

\frac{1}{n \cdot I(\theta)} = \frac{1}{4 \cdot (1/\theta^2)} = \frac{\theta^2}{4}

Mutlak etkinlik hesaplaması için teorik en düşük varyans sınırı bulunmalıdır.

6

İkinci tahmin edicinin mutlak etkinliğini hesapla.

\text{Mutlak Etkinlik}(\hat{\theta}_2) = \frac{CRLB}{Var(\hat{\theta}_2)} = \frac{\theta^2/4}{11\theta^2/32} = \frac{1}{4} \times \frac{32}{11} = \frac{8}{11}

Sorunun ikinci kısmındaki istenen değerdir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği, Göreli Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Soru 84Soru →

Bir kamu araştırma kurumunda, bir dijital hizmetin kullanıcılar tarafından benimsenme oranı $p$ ( $0 < p < 1$ ) incelenmektedir. Rastgele seçilen $n$ ( $n \geq 2$ ) kullanıcıdan elde edilen veriler $X_1, X_2, \dots, X_n$ şeklinde olup, her bir gözlem $p$ parametreli Bernoulli dağılımına sahiptir. Araştırmacı, hizmetin iki farklı kullanıcı tarafından aynı anda benimsenme olasılığı olan $p^2$ parametresini tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla $W = X_1 X_2$ yansız tahmin edicisi tanımlanmıştır.

Rao-Blackwell teoremi ve $T = \sum_{i=1}^n X_i$ yeterli istatistiği kullanılarak elde edilen, $p^2$ için daha etkin (varyansı daha küçük veya eşit) olan yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{T(T-1)}{n(n-1)}

\frac{T^2}{n^2}

\frac{T(T-1)}{n^2}

\frac{T}{n}

\frac{T^2 - T}{n^2 - 1}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{T(T-1)}{n(n-1)}$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici

\frac{T(T-1)}{n(n-1)}

ifadesidir.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir

W

tahmin edicisinin yeterli bir

T

istatistiği üzerine koşullandırılmasıyla elde edilen

E[W|T]

değerinin hem yansız olduğunu hem de varyansının

Var(W)

'den küçük veya eşit olduğunu belirtir. Bernoulli örnekleminde

p^2

için seçilen

X_1 X_2

yansızdır. Bu ifadenin

\sum X_i = T

toplamı üzerine koşullandırılması, hipergeometrik dağılım prensibiyle

\frac{T(T-1)}{n(n-1)}

sonucunu verir. Bu sonuç aynı zamanda Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca UMVUE (En iyi yansız tahmin edici) olur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç tahmin edicisinin yansızlığını kontrol etme

E[W] = E[X_1 X_2] = E[X_1]E[X_2] = p \cdot p = p^2

X_i

gözlemleri bağımsız ve Bernoulli dağılımına sahip olduğundan beklenen değerleri

p

'dir.

2

Koşullu beklenen değeri tanımlama

\eta = E[X_1 X_2 | T = t]

hesaplanmalıdır.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli istatistik üzerine koşullu beklenen değerinin varyansının daha düşük olacağını garanti eder.

3

Koşullu olasılık hesabı yapma

E[X_1 X_2 | T = t] = P(X_1=1, X_2=1 | \sum X_i = t) = \frac{\binom{n-2}{t-2}}{\binom{n}{t}}

İki gözlemin 1 olduğu bilindiğinde, kalan

n-2

gözlemden

t-2

tanesinin 1 olması olasılığı hipergeometrik mantıkla hesaplanır.

4

Kombinasyon ifadelerini sadeleştirme

\frac{(n-2)!}{(t-2)!(n-t)!} \cdot \frac{t!(n-t)!}{n!} = \frac{t(t-1)}{n(n-1)}

Faktöriyel terimler sadeleştiğinde

p^2

için en küçük varyanslı yansız tahmin ediciye ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenen Değer

Alternatif Yöntem

Lehmann-Scheffe Teoremi kullanılarak da aynı sonuca varılabilir. Bernoulli dağılımı için

T = \sum X_i

tam (complete) ve yeterli bir istatistiktir. Bu istatistiğin bir fonksiyonu olan ve beklenen değeri

p^2

olan tek bir tahmin edici vardır, o da Rao-Blackwell ile bulunan bu sonuçtur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 85Soru →

Bir ölçüm cihazının hata payı, $\theta$ bilinmeyen bir konum parametresi olmak üzere $[\theta, \theta+1]$ aralığında düzgün (üniform) dağılım göstermektedir. Bu cihazla yapılan $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir şans örneklemi $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile temsil edildiğine göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(X_{(1)}, X_{(n)})

\sum_{i=1}^n X_i

X_{(n)}

X_{(1)}

\bar{X}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(X_{(1)}, X_{(n)})$

Cevap

\theta

parametresi için yeterli istatistik, örneklemin en küçük ve en büyük değerlerini içeren

(X_{(1)}, X_{(n)})

ikilisidir.

Düzgün dağılımın desteği

[\theta, \theta+1]

olarak verildiğinde, olabilirlik fonksiyonu

\theta \leq x_i

ve

x_i \leq \theta+1

koşullarının tüm gözlemler için sağlanmasını gerektirir. Bu durum

\theta \leq X_{(1)}

ve

X_{(n)} - 1 \leq \theta

eşitsizliklerine indirgenir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu sadece bu iki istatistik ve

\theta

içeren bir fonksiyon ile gözlemlere bağlı bir fonksiyonun çarpımı olarak yazılabildiği için

(X_{(1)}, X_{(n)})

yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve olabilirlik fonksiyonunu belirle.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n I(\theta \leq x_i \leq \theta+1)

Yeterli istatistiği bulmak için örneklemin birleşik dağılımını (olabilirlik) yazmak gerekir.

2

Gösterge (indicator) fonksiyonlarını düzenle.

L(\theta) = I(\theta \leq x_{(1)}) \cdot I(x_{(n)} \leq \theta+1)

Tüm

x_i

değerlerinin

\theta

ile

\theta+1

arasında olması, en küçük değerin

\theta

’dan büyük ve en büyük değerin

\theta+1

’den küçük olmasıyla eşdeğerdir.

3

İfadeleri

\theta

parametresini içerecek şekilde birleştir.

L(\theta) = I(x_{(n)}-1 \leq \theta \leq x_{(1)})

Neyman teoremine göre olabilirlik fonksiyonu

g(T(x), \theta) \cdot h(x)

şeklinde çarpanlarına ayrılmalıdır.

4

Yeterli istatistiği tanımla.

T(X) = (X_{(1)}, X_{(n)})

Parametreye bağlı olan fonksiyon sadece en küçük ve en büyük değerlere bağlıdır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Parametreye Bağlı Destek (Support)

İpuçları

1

Dağılımın tanım aralığının (desteğinin) parametreye nasıl bağlı olduğuna dikkat edin.

2

Olabilirlik fonksiyonunu yazarken her bir gözlem için

I(\theta \leq x_i \leq \theta+1)

gösterge fonksiyonlarını kullanın.

3

Tüm gözlemlerin aralıkta olması için minimumun

\theta

'dan büyük, maksimumun ise

\theta+1

'den küçük olması gerektiğini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için bu istatistiğin 'tamlık' (completeness) özelliğini inceleyerek Lehmann-Scheffe teoremini uygulamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 86Soru →

Bir sanayi tesisinde üretilen elektronik bileşenlerin kullanım ömürleri (saat cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile temsil edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ parametresi ile şu şekilde verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{x^2 e^{-x/\theta}}{2\theta^3}, \quad x > 0

Bu kitle içinden $n$ birimlik bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) seçildiği varsayıldığında, $\theta$ parametresi için tam (complete) ve yeterli (sufficient) olan istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^2

\prod_{i=1}^n X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n X_i$

Cevap

Gözlemlerin toplamı olan

\sum_{i=1}^n X_i

istatistiği

\theta

için tam ve yeterli istatistiktir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu Gamma dağılımı ailesine aittir. Üstel aile formuna sokulduğunda, parametreye (

\theta

) bağlı olan üstel terimin içinde gözlemlere bağlı olan kısmın

t(x)=x

olduğu görülür. Teorem gereği, gözlemlerin toplamı olan

\sum X_i

bu dağılım için yeterli bir istatistiktir. Ayrıca parametre uzayı

\theta > 0

olduğu için bu bir düzenli üstel ailedir ve bu istatistik aynı zamanda tamdır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile formunda düzenleyin.

f(x; \theta) = \exp[2\ln(x) - \ln(2) - 3\ln(\theta) - \frac{1}{\theta}x]

Üstel aile formuna dönüştürmek, yeterli ve tam istatistiği doğrudan görmeyi sağlar.

2

Fonksiyondaki bileşenleri (

h(x)

,

w(\theta)

,

t(x)

) tanımlayın.

h(x) = \frac{x^2}{2}

,

w(\theta) = -\frac{1}{\theta}

ve

t(x) = x

Üstel aile teoremi gereği

T = \sum t(X_i)

istatistiği yeterli istatistiktir.

3

Tamlık özelliğini ve parametre uzayını kontrol edin.

Parametre uzayı

\Theta = (0, \infty)

bir açık küme içerdiğinden

T = \sum X_i

tamdır.

Düzenli üstel ailelerde, parametre uzayı açık bir aralık içeriyorsa yeterli istatistik aynı zamanda tamdır.

Anahtar Kavram

Düzenli üstel ailelerde (Regular Exponential Families),

f(x; \theta) = h(x)c(\theta)\exp[w(\theta)t(x)]

formundaki dağılımlar için

T = \sum t(X_i)

istatistiği hem yeterli hem de tamdır.

Soru 87Soru →

Bir kamu kurumuna gelen günlük dilekçe sayısı $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uygun bir rastgele değişkendir. Bu kurumda $n$ günlük bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) toplanmıştır. Parametrenin $g(\lambda) = e^{-\lambda}$ (belirli bir günde hiç dilekçe gelmeme olasılığı) fonksiyonu için $T$ başlangıç tahmin edicisi ve $S$ yeterli istatistiği aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

T = \begin{cases} 1, & X_1 = 0 \\ 0, & X_1 > 0 \end{cases}

S = \sum_{i=1}^n X_i

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

(1 - \frac{1}{n})^S

e^{-S/n}

(\frac{n-1}{n})^n

1 - \frac{S}{n}

(\frac{1}{n})^S

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(1 - \frac{1}{n})^S$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uyarınca elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici

(1 - 1/n)^S

ifadesidir.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin (

T

), yeterli bir istatistik (

S

) üzerine koşullandırılmasıyla varyansı daha düşük veya eşit olan yeni bir yansız tahmin edici elde edileceğini belirtir. Poisson dağılımı için

X_1

gözleminin

0

olma durumunun, toplam

S

üzerindeki koşullu olasılığı

P(X_1=0 | S=s) = (1-1/n)^s

olarak hesaplanır. Bu tahmin edici aynı zamanda UMVUE (En iyi yansız tahmin edici) özelliğine sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç tahmin edicisinin yansızlığını kontrol etme

E[T] = P(X_1 = 0) = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = e^{-\lambda}

T

gösterge değişkeni olduğu için beklenen değeri, ilgili olayın gerçekleşme olasılığına eşittir.

2

Rao-Blackwell tahmin edicisini (

T^*

) kurma

T^* = E[T|S] = P(X_1 = 0 | \sum_{i=1}^n X_i = s)

Teorem gereği, yansız bir tahmin edicinin yeterli istatistik üzerindeki koşullu beklentisi daha küçük varyanslı bir yansız tahmin edici verir.

3

Koşullu olasılığı hesaplama

P(X_1=0 | S=s) = \frac{P(X_1=0) \cdot P(\sum_{i=2}^n X_i = s)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = s)}

Bağımsız Poisson değişkenlerinin toplamı da Poisson dağılımına uyar (

\sum_{i=2}^n X_i \sim \text{Poisson}((n-1)\lambda)

).

4

İfadeyi sadeleştirme

\frac{e^{-\lambda} \cdot \frac{[(n-1)\lambda]^s e^{-(n-1)\lambda}}{s!}}{\frac{(n\lambda)^s e^{-n\lambda}}{s!}} = \frac{(n-1)^s}{n^s} = (1 - \frac{1}{n})^s

Pay ve paydadaki faktöriyeller ve üstel terimler sadeleştiğinde geriye kalan oran sonucudur.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenti

İpuçları

1

Rao-Blackwell tahmin edicisini bulmak için

E[T|S]

değerini hesaplamanız gerekir.

2

P(X_1=0 | \sum X_i = s)

olasılığını hesaplarken paydada

\sum X_i \sim \text{Poisson}(n\lambda)

dağılımını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için

\lambda^2

parametresinin UMVUE tahmin edicisini türetmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 88Soru →

Bir kamu Ar-Ge laboratuvarında ölçülen bir fiziksel büyüklüğün, $\theta$ ortalamalı ve varyansı $1$ birim olan normal dağılıma ( $N(\theta, 1)$ ) sahip olduğu bilinmektedir. Bu laboratuvarda gerçekleştirilen iki bağımsız gözlem $X_1$ ve $X_2$ olarak kaydedilmiştir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla başlangıçta $T = X_1$ tahmin edicisi önerilmiştir. Rao-Blackwell Teoremi yardımıyla, $S = X_1 + X_2$ yeterli istatistiği kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{X_1 + X_2}{2}

X_1 + X_2

X_1

2(X_1 + X_2)

\frac{X_1 + X_2}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{X_1 + X_2}{2}$

Cevap

Rao-Blackwell Teoremi uygulanarak elde edilen iyileştirilmiş tahmin edici gözlemlerin ortalaması olan

\frac{X_1 + X_2}{2}

ifadesidir.

Verilen iki gözlem için toplamın yeterli istatistik olduğu normal dağılımda,

X_1

tahmin edicisinin

X_1+X_2

toplamı üzerindeki koşullu beklenen değeri

\bar{X} = (X_1+X_2)/2

sonucunu verir. Bu tahmin edici hala yansızdır ve varyansı (

1/2

), orijinal tahmin edicinin varyansından (

1

) daha küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç tahmin edicisinin yansızlığını kontrol etme.

E[T] = E[X_1] = \theta

Teoremin uygulanabilmesi için başlangıç tahmin edicisinin yansız olması gerekir.

2

Rao-Blackwell formülünü kurma.

T^* = E[T | S] = E[X_1 | X_1 + X_2]

Rao-Blackwell Teoremi, yeterli istatistik üzerine koşullandırma yaparak varyansı azaltır.

3

Koşullu beklenen değeri hesaplama.

E[X_1 | X_1 + X_2 = s] = \frac{s}{2} = \frac{X_1 + X_2}{2}

Normal dağılımın simetrisi ve bağımsız i.i.d. gözlemlerin toplamı verildiğinde, her bir gözlemin toplamdaki payı eşittir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi, yansız bir tahmin ediciyi yeterli bir istatistik üzerine koşullandırarak varyansı daha düşük (veya eşit) olan yeni bir yansız tahmin edici üretir.

İpuçları

1

Yeni tahmin edicinin de

\theta

için yansız olması gerektiğini unutmayın.

2

E[X_1 + X_2] = 2\theta

olduğunu kullanarak, hangi katsayının yansızlığı sağlayacağını düşünün.

3

Normal dağılımda

E[X_1 | X_1+X_2=s]

değeri, toplamın örneklem sayısına bölümüyle elde edilen örneklem ortalamasına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Bu tahmin edicinin varyansını

T=X_1

tahmin edicisinin varyansı ile kıyaslayarak iyileşme miktarını hesaplayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 89Soru →

Bir maliye müfettişi, belirli bir sektördeki işletmelerin yıllık beyan ettikleri vergi matrahlarını incelemektedir. Vergi matrahlarının $X \sim Lognormal(\mu, \sigma^2)$ dağılımına uygun olduğu varsayılmakta olup $\mu$ ve $\sigma^2$ parametrelerinin her ikisi de bilinmemektedir. Müfettişin rastgele seçtiği $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklem değerleri üzerinden tanımladığı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bir 'istatistik' (nokta tahmin edici) niteliği taşır?

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(X_i) - \mu

\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\frac{\bar{X} - e^{\mu + \sigma^2/2}}{\sqrt{Var(X)/n}}

E[X] = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}

L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \mu, \sigma^2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$

Cevap

Örneklem varyansı olarak bilinen ve sadece örneklem değerleri ile örneklem ortalamasına bağlı olan fonksiyon bir istatistiktir.

Doğru olan seçenek, örneklem varyansının formülüdür. Bir ifadenin 'istatistik' (ve dolayısıyla nokta tahmin edici) olabilmesi için temel şart, fonksiyonun değerinin bilinmeyen hiçbir parametreye bağlı olmamasıdır. Örneklem varyansı sadece örneklem gözlemleri (

X_i

) ve örneklem hacmi (

n

) kullanılarak hesaplanabildiği için bu şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

İstatistik (tahmin edici) kavramının tanımını değerlendir.

Bir fonksiyonun istatistik olabilmesi için örneklem değerlerine (

X_1, \dots, X_n

) bağlı olması ve bilinmeyen hiçbir kitle parametresini içermemesi gerekir.

Nokta tahmin ediciler, örneklemden elde edilen ve parametre tahmini için kullanılan istatistiklerdir.

2

Seçeneklerdeki ifadeleri bilinmeyen parametreler (

\mu, \sigma^2

) açısından incele.

İçinde

\mu

veya

\sigma^2

bulunan ifadeler (logaritmik toplamdan

\mu

çıkarılması, standartlaştırılmış değişken veya olabilirlik fonksiyonu gibi) istatistik tanımına uymaz.

Tahmin edici, parametre hakkında bilgi toplamak için kullanılır ancak kendisi parametreye bağımlı bir formülasyona sahip olamaz.

3

Örneklem varyansı formülünü analiz et.

\frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2

ifadesinde

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum X_i

olduğundan, tüm bileşenler sadece örneklem verilerine dayanır.

Bilinmeyen parametre içermeyen bu fonksiyon geçerli bir nokta tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

İstatistik ve Tahmin Edici Ayrımı

Daha Fazla Pratik

Tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özelliklerini inceleyerek, her istatistiğin neden iyi bir tahmin edici olmadığını araştırabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 90Soru →

Bir tekstil fabrikasında üretilen kumaşlardaki hata durumu, hata olasılığı $p$ olan bir Bernoulli dağılımına uymaktadır. Bu fabrikadan rastgele seçilen $3$ top kumaşın hata durumu $X_1, X_2, X_3$ değişkenleri ile takip edilmektedir. $p$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{2X_1 + X_2 + X_3}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8}{9}

\frac{9}{8}

\frac{3}{4}

\frac{4}{3}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{8}$

Cevap

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliği

\frac{9}{8}

'dir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda örneklem ortalaması olan

T_1

'in varyansı

p(1-p)/3

, ağırlıklı ortalama olan

T_2

'nin varyansı ise

3p(1-p)/8

olarak bulunmuştur. Göreli etkinlik tanımı gereği

Var(T_2) / Var(T_1)

oranı alındığında

9/8

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

T_1

ve

T_2

tahmin edicilerinin yansızlık durumlarını ve varyanslarını belirleyiniz.

E(X_i) = p

ve

Var(X_i) = p(1-p)

olmak üzere;

E(T_1) = p

ve

E(T_2) = p

olduğu görülür.

Var(T_1) = \frac{p(1-p)}{3}

ve

Var(T_2) = \frac{4Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)}{16} = \frac{6p(1-p)}{16} = \frac{3p(1-p)}{8}

olarak bulunur.

Göreli etkinlik hesaplaması için her iki tahmin edicinin de yansız olması gerekir ve varyans değerlerine ihtiyaç duyulur.

2

Göreli etkinlik formülünü uygulayınız.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{\frac{3p(1-p)}{8}}{\frac{p(1-p)}{3}}

T_1

'in

T_2

'ye göre etkinliği,

T_2

'nin varyansının

T_1

'in varyansına bölünmesiyle elde edilir.

3

Rasyonel ifadeleri sadeleştirerek sonucu bulunuz.

\frac{3}{8} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{8}

İfadedeki

p(1-p)

terimleri birbirini götürür ve katsayılar çarpılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

İki yansız tahmin edici arasındaki göreli etkinlik, varyanslarının ters oranı ile hesaplanır; varyansı küçük olan tahmin edici daha etkindir.

Daha Fazla Pratik

Cramer-Rao Alt Sınırını hesaplayarak

T_1

tahmin edicisinin mutlak etkinliğini bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 91Soru →

Bir iktisadi araştırmada, bir bölgedeki gelir dağılımı

x \geq 1

ve

\theta > 0

olmak üzere

f(x; \theta) = \theta x^{-(\theta+1)}

olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Pareto dağılımı ile modellenmektedir. Bu kitle içinden seçilen

n

birimlik bir rastgele örneklem için

\theta

parametresine ait tam (complete) yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n \ln X_i

\sum_{i=1}^n X_i

\bar{X}

X_{(1)}

\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n \ln X_i$

Cevap

\theta

parametresine ait tam yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n \ln X_i

ifadesidir.

Pareto dağılımı, alt sınır sabit olduğunda tek parametreli bir üstel ailedir. Fonksiyon

\exp(-\theta \ln x + \ln \theta - \ln x)

şeklinde yazıldığında,

\ln x

ifadesinin toplamı olan

\sum \ln X_i

doğal yeterli istatistik olur. Parametre uzayı açık bir küme olduğundan, bu istatistik üstel ailelerin genel özelliği gereği tamdır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile formunda yazın.

f(x; \theta) = \exp(\ln \theta - (\theta+1) \ln x) = \exp(\ln \theta - \ln x - \theta \ln x)

Bir dağılımın üstel aileye mensup olup olmadığını anlamak için genel forma getirilmesi gerekir.

2

Fonksiyonu

h(x) c(\theta) \exp(w(\theta) t(x))

formuna ayırın.

h(x) = \frac{1}{x}

,

c(\theta) = \theta

,

w(\theta) = -\theta

,

t(x) = \ln x

Yeterli istatistik

t(x)

bileşeninden türetilir.

3

Örneklem için yeterli istatistiği belirleyin ve tamlık özelliğini kontrol edin.

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i

. Parametre uzayı

(0, \infty)

açık bir aralık içerdiği için bu istatistik tamdır.

Düzenli üstel ailelerde doğal yeterli istatistikler aynı zamanda tamdır.

Anahtar Kavram

Üstel Ailelerde Tamlık Teoremi

Daha Fazla Pratik

Bu tam yeterli istatistiğin bir fonksiyonunu kullanarak Lehmann-Scheffe teoremi yardımıyla

\theta

için UMVUE tahmin edicisini bulmaya çalışın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 92Soru →

Bir üretim hattında üretilen parçaların kusurlu olup olmadığı incelenmektedir. İlk kusurlu parça bulunana kadar geçen kusursuz parça sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık fonksiyonu, $p$ parçanın kusurlu olma olasılığını göstermek üzere aşağıdaki gibidir:

f(x; p) = p(1-p)^x, \quad x = 0, 1, 2, \dots

Bu kitleden alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem için kitlenin ortalaması olan $g(p) = \frac{1-p}{p}$ ifadesinin yansız bir tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1-p}{np^2}

\frac{1-p}{np}

\frac{1}{np^2}

\frac{1-p}{p^2}

\frac{1-p}{n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1-p}{np^2}$

Cevap

\frac{1-p}{np^2}

ifadesi, verilen geometrik dağılım parametresi için Cramer-Rao alt sınırını temsil eder.

Verilen olasılık fonksiyonu için Fisher bilgisi

I(p) = 1/[p^2(1-p)]

olarak hesaplanır. Tahmin edilmek istenen kitle ortalamasının türevi

g'(p) = -1/p^2

olduğundan,

[g'(p)]^2 / [n I(p)]

işlemi sonucunda

\frac{1-p}{np^2}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık fonksiyonunun logaritmasının alınması ve parametreye göre türevinin hesaplanması.

\ln f(x; p) = \ln p + x \ln(1-p) \Rightarrow \frac{\partial \ln f}{\partial p} = \frac{1}{p} - \frac{x}{1-p}

Fisher bilgisi (Fisher Information) hesaplaması için skor fonksiyonunu elde etmek.

2

İkinci türevin alınması ve beklenen değerin hesaplanarak Fisher bilgisinin bulunması.

\frac{\partial^2 \ln f}{\partial p^2} = -\frac{1}{p^2} - \frac{x}{(1-p)^2} \Rightarrow I(p) = -E\left[ -\frac{1}{p^2} - \frac{X}{(1-p)^2} \right] = \frac{1}{p^2(1-p)}

Tek bir gözlem için birim bilgi miktarını belirlemek (

E[X] = \frac{1-p}{p}

olduğu kullanılmıştır).

3

Tahmin edilmek istenen

g(p) = \frac{1-p}{p}

fonksiyonunun türevinin hesaplanması.

g'(p) = \frac{-1(p) - (1-p)(1)}{p^2} = -\frac{1}{p^2}

Cramer-Rao eşitsizliğinin pay kısmındaki türev karesini bulmak.

4

Cramer-Rao alt sınır formülünün uygulanması.

CRLB = \frac{[g'(p)]^2}{n I(p)} = \frac{1/p^4}{n \cdot \frac{1}{p^2(1-p)}} = \frac{1-p}{np^2}

Yansız bir tahmin edicinin varyansı için teorik minimum sınırı belirlemek.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao eşitsizliği, yansız bir tahmin edicinin varyansının Fisher bilgisi ve tahmin edilen fonksiyonun türevi cinsinden alt sınırını belirler.

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için

p

parametresinin kendisi için Cramer-Rao alt sınırını hesaplayarak aradaki farkı gözlemleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 93Soru →

Bir yazılım firmasında geliştirilen modüllerin hata içerme durumu, parametresi $p$ olan bir Bernoulli dağılımına uymaktadır. Bu modüllerden rastgele seçilen bağımsız $X_1, X_2$ ve $X_3$ gözlemleri için $p$ parametresinin tahmininde kullanılmak üzere;

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{2X_1 + X_2 + 3X_3}{6}

tahmin edicileri önerilmiştir. Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) kaçtır?

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{6}{7}

1

\frac{7}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{6}$

Cevap

7/6

Her iki tahmin edici de

p

parametresi için yansızdır.

T_1

tahmin edicisinin varyansı

p(1-p)/3

ve

T_2

tahmin edicisinin varyansı

7p(1-p)/18

olarak hesaplanır. Göreli etkinlik formülü olan

Var(T_2)/Var(T_1)

uygulandığında

(7/18) / (1/3) = 7/6

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bireysel gözlemlerin varyansını belirle.

Var(X_i) = p(1-p)

Bernoulli dağılımı için varyans formülü

\sigma^2 = p(1-p)

şeklindedir.

2

T_1

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T_1) = \frac{p(1-p)}{3}

T_1

örneklem ortalamasıdır ve varyansı

\sigma^2/n

formülüyle bulunur.

3

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T_2) = \frac{14p(1-p)}{36} = \frac{7p(1-p)}{18}

Var(T_2) = \frac{1}{36}(2^2 Var(X_1) + 1^2 Var(X_2) + 3^2 Var(X_3))

özellikleri kullanılarak hesaplanır.

4

T_1

tahmin edicisinin

T_2

tahmin edicisine göre göreli etkinliğini hesapla.

RE(T_1, T_2) = \frac{7/18}{1/3} = \frac{7}{6}

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}

formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Göreli Etkinlik (Relative Efficiency)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 94Soru →

Bir kitleye ait $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele örnekleminin kitle ortalaması $\mu$ ve kitle varyansı $\sigma^2$ olarak bilinmektedir. $\mu^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla örneklem ortalamasının karesi olan $\hat{\theta} = \bar{X}^2$ tahmin edicisi kullanılmaktadır.

Buna göre, $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin $\mu^2$ parametresi için yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sigma^2}{n}

\frac{\sigma^2}{n^2}

\sigma^2

-\frac{\sigma^2}{n}

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sigma^2}{n}$

Cevap

Yan miktarı

\frac{\sigma^2}{n}

olarak hesaplanır.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

olarak bulunur. Yan miktarı tanımı gereği

E[\hat{\theta}] - \theta

işlemi yapıldığında

\mu^2

terimleri birbirini götürür ve geriye pozitif yan miktarı olan

\frac{\sigma^2}{n}

kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem ortalamasının beklenen değeri ve varyansını belirle.

E[\bar{X}] = \mu

ve

Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

Bağımsız ve aynı dağılımlı örneklemlerde örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına, varyansı ise kitle varyansının örneklem çapına bölümüne eşittir.

2

Varyans formülünü kullanarak tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

Var(T) = E[T^2] - (E[T])^2

temel istatistiksel özdeşliği kullanılarak ikinci moment elde edilir.

3

Yan (bias) miktarı tanımını uygula.

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta = (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) - \mu^2 = \frac{\sigma^2}{n}

Yan miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilen gerçek parametre arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerde Yanlılık ve İkinci Moment İlişkisi

Alternatif Yöntem

Eğer

\mu^2

için yansız bir tahmin edici istenirse,

\bar{X}^2

değerinden yan miktarının yansız bir tahmini (örneğin

S^2/n

) çıkarılarak

T = \bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}

tahmin edicisi oluşturulabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 95Soru →

Bir fabrikada üretilen parçaların ağırlıklarının ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitle dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n$ birimlik bir rastgele örneklem seçilmiş ve $T_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n+1}$ tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin asimptotik yansızlık özelliği ve yan (bias) miktarı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Tahmin edici her

n

değeri için yansız bir tahmin edicidir.

Tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansızlık özelliğini sağlamaz.

Tahmin edicinin asimptotik beklenen değeri sıfıra eşittir.

Tahmin edicinin yan miktarı örneklem hacmi (

n

) arttıkça artış gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Cevap

Önerilen tahmin edici sonlu örneklem hacimlerinde yanlı bir tahmin edicidir ancak örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değeri parametreye yakınsadığı için asimptotik yansızdır.

Doğru seçenek, tahmin edicinin her sonlu

n

değeri için beklenen değerinin

\mu

'den farklı olduğunu (yanlı) ancak

n

sonsuza giderken bu beklenen değerin

\mu

'ye eşitlendiğini (asimptotik yansız) ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayınız.

E(T_n) = E\left[ \frac{\sum X_i}{n+1} \right] = \frac{1}{n+1} \sum E(X_i) = \frac{n\mu}{n+1}

Beklenen değerin doğrusallık özelliği ve her bir

X_i

gözleminin beklenen değerinin

\mu

olması nedeniyle bu ifade elde edilir.

2

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını belirleyiniz.

Bias(T_n) = E(T_n) - \mu = \frac{n\mu}{n+1} - \mu = -\frac{\mu}{n+1}

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır. Sonuç sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır.

3

Asimptotik yansızlık için beklenen değerin limitini hesaplayınız.

\lim_{n \rightarrow \infty} E(T_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n\mu}{n+1} = \mu \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = \mu \cdot 1 = \mu

Örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değer

\mu

parametresine eşitlendiği için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik yansızlık, bir tahmin edicinin beklenen değerinin limit durumunda (n sonsuza giderken) hedef parametreye eşit olması durumudur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 96Soru →

Bir kitleye ait beklenen değer $E(X_i) = \theta$ ve varyans $Var(X_i) = \sigma^2 < \infty$ olmak üzere, bu kitleden çekilen $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı (iid) rassal örneklemi kullanılarak $\theta$ parametresi için aşağıdaki iki tahmin edici önerilmiştir:

I. $T_1 = X_1$
II. $T_2 = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i$

Buna göre, $n \to \infty$ durumunda bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

T_1

yansız ancak tutarsızdır;

T_2

ise yanlı ancak tutarlıdır.

T_1

tutarlı iken

T_2

tutarsızdır.

T_2

yanlı olduğu için tutarlı bir tahmin edici olamaz.

Her iki tahmin edici de yansız ve tutarlıdır.

T_1

yanlı ve tutarsız;

T_2

yansız ve tutarlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T_1$ yansız ancak tutarsızdır; $T_2$ ise yanlı ancak tutarlıdır.

Cevap

T_1

yansız ancak tutarsızdır;

T_2

ise yanlı ancak tutarlıdır.

T_1

tahmin edicisi kitle ortalamasına eşit bir beklenen değere sahip olduğu için yansızdır, ancak varyansı örneklem büyüklüğüne bağlı kalmaksızın sabit (

\sigma^2

) olduğundan tutarsızdır.

T_2

tahmin edicisi ise paydadaki

n+1

nedeniyle yanlıdır, ancak örneklem hacmi arttıkça hem yan miktarı hem de varyansı sıfıra yaklaştığı için tutarlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

T_1

tahmin edicisinin özelliklerini belirleyin.

E(T_1) = E(X_1) = \theta

(Yansız).

Var(T_1) = Var(X_1) = \sigma^2

.

Yansızlık için beklenen değerin parametreye eşit olması gerekir. Tutarlılık için ise

n \to \infty

iken tahmin edicinin parametreye olasılıkta yakınsaması (

Var \to 0

) gerekir.

2

T_1

için tutarlılık kontrolü yapın.

\lim_{n\to\infty} Var(T_1) = \sigma^2 \neq 0

.

Örneklem hacmi ne kadar artarsa artsın,

T_1

sadece ilk gözleme bağlı olduğundan varyansı azalmaz ve parametreye yakınsamaz, dolayısıyla tutarsızdır.

3

T_2

tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplayın.

E(T_2) = \frac{n}{n+1} \theta \neq \theta

(Yanlı).

T_2

tahmin edicisi

\frac{n}{n+1}\bar{X}

şeklinde ifade edilebilir. Katsayı 1'den farklı olduğu için yansız değildir.

4

T_2

için Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplayarak tutarlılığı kontrol edin.

MSE(T_2) = \frac{n\sigma^2}{(n+1)^2} + \left(\frac{-\theta}{n+1}\right)^2

.

\lim_{n\to\infty} MSE(T_2) = 0

.

Hata kareler ortalaması sıfıra gittiği için (hem varyans hem de yan miktarının karesi asimptotik olarak sıfır olur),

T_2

tutarlı bir tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Tutarlılık (Consistency) için yeterli koşul, Hata Kareler Ortalamasının (MSE) örneklem hacmi sonsuza giderken sıfıra yakınsamasıdır. Bir tahmin edicinin tutarlı olması için mutlaka yansız olması gerekmez; yanlı olup asimptotik olarak parametreye yakınsayabilir.

Soru 97Soru →

Bir kamu araştırma hastanesine gelen ardışık iki acil servis vakası arasındaki sürenin, parametresi $\theta$ olan Üstel dağılıma uygun olduğu saptanmıştır. Bu sürelere ilişkin $X_1$ ve $X_2$ gibi iki bağımsız gözlem sonucunda $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki yansız tahmin ediciler önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2}{2}

T_2 = \frac{X_1 + 3X_2}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) kaçtır?

1,25

0,80

0,625

1,56

1,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,25

Cevap

İki yansız tahmin edici arasındaki göreli etkinlik, varyanslarının ters oranlanmasıyla hesaplanır ve bu senaryo için sonuç 1,25'tir.

Doğru yanıt olan 1,25 değeri,

T_2

tahmin edicisinin varyansı (

0,625\theta^2

) ile

T_1

tahmin edicisinin varyansının (

0,5\theta^2

) oranlanmasıyla elde edilir (

0,625 / 0,5 = 1,25

). Bu durum, örneklem ortalamasının bu ağırlıklı ortalamaya göre daha etkin olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın istatistiksel özelliklerini belirleme

X \sim Exp(\theta) \Rightarrow E[X] = \theta

ve

Var(X) = \theta^2

Varyans hesaplamaları için temel kitle parametreleri gereklidir.

2

T_1

tahmin edicisinin varyansını hesaplama

Var(T_1) = Var(\frac{X_1 + X_2}{2}) = \frac{1}{4}(Var(X_1) + Var(X_2)) = \frac{2\theta^2}{4} = 0,5\theta^2

Örneklem ortalamasının varyansı

\frac{\sigma^2}{n}

formülüyle bulunur.

3

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesaplama

Var(T_2) = Var(\frac{X_1 + 3X_2}{4}) = \frac{1}{16}(Var(X_1) + 9Var(X_2)) = \frac{10\theta^2}{16} = 0,625\theta^2

Ağırlıklı ortalamanın varyansı, katsayıların kareleri toplamıyla kitle varyansının çarpımıdır.

4

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini hesaplama

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{0,625\theta^2}{0,5\theta^2} = 1,25

Göreli etkinlik, karşılaştırılan tahmin edicinin varyansının, hedef tahmin edicinin varyansına bölünmesiyle elde edilir.

5

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) ile mutlak etkinliği teyit etme

I(\theta) = \frac{1}{\theta^2} \Rightarrow CRLB = \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{\theta^2}{2} = 0,5\theta^2

Bu sonuç

T_1

'in mutlak etkinliğinin

1

(veya

\%100

) olduğunu ve en iyi yansız tahmin edici (UMVUE) olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

İki yansız tahmin edici karşılaştırılırken, varyansı daha küçük olan tahmin edici daha etkindir. Göreli etkinlik

RE(T_1, T_2) > 1

ise

T_1

daha etkindir.

Soru 98Soru →

Bir istatistikçi, $[0, \theta]$ aralığında düzgün (uniform) dağılım gösteren bir ana kütleden $n$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) almıştır. Bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla örneklem içindeki en büyük değer olan $Y = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ istatistiği kullanılmaktadır. Buna göre, $Y$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}

\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}

\frac{\theta^2}{(n+1)^2}

\frac{\theta^2}{(n+1)(n+2)}

\frac{n\theta^2}{(n+1)(n+2)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}$

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması

\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}

ifadesine eşittir.

Hata Kareler Ortalaması, bir tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yanlılık) ölçen kapsayıcı bir kriterdir. Örneklem maksimumu için hesaplanan varyans bileşeni ile yanlılık karesi toplandığında, payda eşitleme işlemleri sonucunda en sade haliyle pay kısmında

2\theta^2

ve payda kısmında

(n+1)(n+2)

terimlerini içeren ifade elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem maksimumunun (

Y

) beklenen değerini ve varyansını belirle.

E(Y) = \frac{n}{n+1}\theta

ve

Var(Y) = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}

[0, \theta]

aralığındaki düzgün dağılımda

n

-inci sıra istatistiğinin dağılım özellikleri kullanılmıştır.

2

Tahmin edicinin yanlılık (bias) miktarını hesapla.

Yan(Y) = E(Y) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = -\frac{\theta}{n+1}

Yanlılık, beklenen değer ile parametre arasındaki farktır.

3

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygula.

MSE(Y) = Var(Y) + [Yan(Y)]^2 = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)} + \frac{\theta^2}{(n+1)^2}

MSE, varyans ile yanlılık karesinin toplamıdır.

4

Cebirsel ifadeleri payda eşitleyerek sadeleştir.

MSE(Y) = \frac{\theta^2}{(n+1)^2} [\frac{n}{n+2} + 1] = \frac{\theta^2}{(n+1)^2} [\frac{2n+2}{n+2}] = \frac{2(n+1)\theta^2}{(n+1)^2(n+2)} = \frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}

Ortak paranteze alma ve sadeleştirme adımları uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Bileşenleri: Varyans ve Yanlılık Karesi

Soru 99Soru →

Bir ilçedeki marketlerin günlük müşteri yoğunluğunun $[0, \theta]$ aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılım gösterdiği bilinmektedir. Bu kitleden alınan $n$ birimlik bir rastgele örneklem için örneklem ortalaması $\bar{X}$ ve en büyük sıra istatistiği $X_{(n)}$ olarak tanımlanmıştır. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki tahmin edici önerilmiştir:

T = \bar{X} + \frac{1}{2} X_{(n)}

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{\theta}{2n+2}

\frac{\theta}{2n+2}

-\frac{\theta}{n+1}

0

-\frac{\theta}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{\theta}{2n+2}$

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı

-\frac{\theta}{2n+2}

olarak hesaplanır.

Tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında

E[T] = \frac{2n+1}{2n+2}\theta

elde edilir. Bu değer kitle parametresi olan

\theta

değerinden küçük olduğu için negatif bir yan oluşur ve aradaki fark

-\frac{\theta}{2n+2}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem istatistiklerinin beklenen değerlerini belirleyin.

E[\bar{X}] = \frac{\theta}{2}

ve

E[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta

[0, \theta]

aralığındaki düzgün dağılımın ortalaması

\theta/2

'dir ve en büyük sıra istatistiğinin beklenen değeri standart bir sonuçtur.

2

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.

E[T] = E[\bar{X} + \frac{1}{2}X_{(n)}] = \frac{\theta}{2} + \frac{n\theta}{2(n+1)}

Beklenen değer operatörünün lineerlik özelliği kullanılarak terimlerin beklenen değerleri toplanır.

3

Payda eşitleyerek ifadeyi sadeleştirin.

E[T] = \frac{\theta(n+1) + n\theta}{2(n+1)} = \frac{2n+1}{2n+2}\theta

Matematiksel işlemleri kolaylaştırmak için ortak payda kullanılır.

4

Yan (bias) miktarı formülünü uygulayın.

B(T) = E[T] - \theta = \frac{2n+1}{2n+2}\theta - \theta = \frac{2n+1 - (2n+2)}{2n+2}\theta = -\frac{\theta}{2n+2}

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Yan (Bias) miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değerinin tahmin edilmeye çalışılan parametreden sapmasıdır (

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta

).

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 100Soru →

Bir araştırma kapsamında incelenen değişkenin $k$ serbestlik dereceli Ki-kare $(\chi^2)$ dağılımına sahip olduğu bilinmektedir. Bu kitleden alınan $n$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem $(\bar{X}$ örneklem ortalaması olmak üzere $)$ yardımıyla $k^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = \bar{X}^2$ tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, önerilen $T$ tahmin edicisinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{k}{n}

\frac{2k}{n}

\frac{2k^2}{n}

\frac{4k}{n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2k}{n}$

Cevap

Yan miktarı

\frac{2k}{n}

olarak hesaplanır.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2

eşitliğinden

\frac{2k}{n} + k^2

olarak bulunur. Tahmin edilmek istenen hedef parametre

k^2

olduğundan, bu beklenen değerden

k^2

çıkarıldığında geriye kalan

\frac{2k}{n}

ifadesi yan miktarını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin temel istatistiklerini belirlemek.

E(X) = k

ve

Var(X) = 2k

.

k

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının teorik özellikleri gereği beklenen değer serbestlik derecesine, varyans ise bunun iki katına eşittir.

2

Örneklem ortalamasının beklenen değerini ve varyansını bulmak.

E(\bar{X}) = k

ve

Var(\bar{X}) = \frac{2k}{n}

.

Bağımsız ve aynı dağılımlı örneklemlerde örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına, varyansı ise kitle varyansının örneklem hacmine bölümüne eşittir.

3

Tahmin edicinin (

T = \bar{X}^2

) beklenen değerini hesaplamak.

E(T) = E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{2k}{n} + k^2

.

Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2

temel varyans tanımı kullanılarak ikinci moment hesaplanmıştır.

4

Yan (bias) miktarını tanımlamak ve hesaplamak.

B(T) = E(T) - k^2 = (\frac{2k}{n} + k^2) - k^2 = \frac{2k}{n}

.

Yan miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Yan miktarı, bir tahmin edicinin doğruluğunu ölçen temel bir özelliktir ve

E[\hat{\theta}] - \theta

formülüyle hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Nokta Tahmini ve Özellikleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram