Nokta Tahmini ve Özellikleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir araştırmacı, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitleye ait $n$ çaplı bağımsız rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) üzerinden $\mu$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki $T$ istatistiğini önermiştir:

T = \frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^n X_i

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

\frac{\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

\frac{4\mu^2}{(n+2)^2}

\frac{n\sigma^2 + \mu^2}{(n+2)^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}$

Cevap

Doğru cevap,

T

tahmin edicisinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

ifadesidir.

Verilen

T

tahmin edicisi için MSE hesaplaması

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

temel eşitliğine dayanır.

T

'nin varyansı

Var(T) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

olarak hesaplanır. Yan miktarı ise

E(T) - \mu = \frac{n\mu}{n+2} - \mu = \frac{-2\mu}{n+2}

bulunur ve bunun karesi alındığında

\frac{4\mu^2}{(n+2)^2}

elde edilir. Bu iki terimin toplanmasıyla doğru Hata Kareler Ortalaması

\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

biçiminde bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

MSE tanımını formülize etme.

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

eşitliği yazılır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), daima tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

2

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplama.

E(T) = \frac{1}{n+2} \sum E(X_i) = \frac{n\mu}{n+2}

. Buradan yan miktarı:

Bias(T) = E(T) - \mu = \frac{n\mu}{n+2} - \frac{(n+2)\mu}{n+2} = \frac{-2\mu}{n+2}

olarak bulunur.

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametrenin farkıdır.

3

Bulunan yan miktarının karesini alma.

[Bias(T)]^2 = \left(\frac{-2\mu}{n+2}\right)^2 = \frac{4\mu^2}{(n+2)^2}

MSE formülündeki ikinci terimi elde etmek için.

4

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplama.

Var(T) = Var\left(\frac{1}{n+2} \sum X_i\right) = \frac{1}{(n+2)^2} \sum Var(X_i) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

Sabit katsayının karesi alınarak varyans operatörü dışına çıkarılır ve bağımsız örneklem nedeniyle varyanslar toplanır.

5

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde etme.

MSE(T) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2} + \frac{4\mu^2}{(n+2)^2} = \frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

MSE tanımının gerektirdiği tüm bileşenlerin nihai birleşimi.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması'nın (MSE) varyans ve yanın karesi (bias squared) cinsinden ayrıştırılması.

Soru 62Soru →

Bir üretim sürecinde üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı $p$ 'dir. Bu süreçten birbirinden bağımsız olarak rastgele seçilen $n$ ( $n \geq 2$ ) adet parça için, $i$ . parçanın kusurlu olması durumunda $X_i = 1$ , aksi halde $X_i = 0$ değerini alan $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri tanımlanmıştır.

Rastgele seçilen herhangi iki parçanın her ikisinin de kusurlu olma olasılığı olan $\theta = p^2$ parametresi tahmin edilmek istenmektedir.

$T = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $p$ için tam ve yeterli (complete and sufficient) bir istatistik olduğu bilindiğine göre, $\theta = p^2$ parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{T(T-1)}{n(n-1)}

\frac{T^2}{n^2}

\frac{T(n-T)}{n(n-1)}

\frac{T}{n}

\frac{T^2 - T}{n^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{T(T-1)}{n(n-1)}$

Cevap

İstenen parametrenin UMVUE'si

\frac{T(T-1)}{n(n-1)}

ifadesidir.

Verilen soruda

T \sim Binomial(n, p)

dağılımına sahiptir. Bizden

\theta = p^2

parametresinin UMVUE'si istenmektedir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistik olan

T

'nin, beklenen değeri

p^2

'yi veren yansız bir fonksiyonunu bulmalıyız. Varyans tanımından yola çıkarak

E[T^2] = Var(T) + (E[T])^2 = np(1-p) + n^2p^2 = np - np^2 + n^2p^2 = np + p^2n(n-1)

eşitliği yazılır. Bu eşitlikte

np

terimi

E[T]

'ye eşittir. Dolayısıyla

E[T^2 - T] = p^2n(n-1)

sonucuna ulaşılır. Her iki taraf

n(n-1)

'e bölündüğünde,

E\left[\frac{T(T-1)}{n(n-1)}\right] = p^2

elde edilir. Bu ifade yansızdır ve tam-yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olduğu için UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1

T

'nin dağılımını ve temel momentlerini belirlemek

T = \sum X_i \sim Binomial(n, p)

olduğundan,

E[T] = np

ve

Var(T) = np(1-p)

'dir.

Lehmann-Scheffe teoremini kullanabilmek için

T

'ye bağlı yansız bir tahmin edici bulmamız gerekir.

2

E[T^2]

beklenen değerini varyans formülünden yola çıkarak hesaplamak

Var(T) = E[T^2] - (E[T])^2

formülünden

E[T^2] = np(1-p) + (np)^2 = np - np^2 + n^2p^2

elde edilir.

p^2

terimini elde etmek için

T^2

'nin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

3

İfadeyi

p^2

parametresini verecek şekilde düzenlemek ve yansızlaştırmak

E[T^2] = np + p^2n(n-1)

denkleminde her iki taraftan

E[T] = np

çıkarılırsa

E[T^2 - T] = p^2n(n-1)

bulunur. Her iki taraf

n(n-1)

'e bölündüğünde

E\left[\frac{T^2 - T}{n(n-1)}\right] = p^2

elde edilir.

Amacımız beklenen değeri tam olarak

p^2

'ye eşit olan, yani yansız olan bir fonksiyon oluşturmaktır.

4

Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak

T

istatistiği tam ve yeterli (complete and sufficient) olduğundan, yansız olan

\frac{T(T-1)}{n(n-1)}

tahmin edicisi

p^2

için UMVUE'dir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman tek ve en iyi yansız tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi, Tam ve Yeterli İstatistikler (Sufficient and Complete Statistics)

Soru 63Soru →

Bir makine öğrenmesi algoritmasının ürettiği güven skorları,

(0, 1)

aralığında değerler almaktadır. Bu skorların, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \theta x^{\theta - 1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

olan bir dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bu dağılımdan alınan

n

(

n > 1

) hacimli rastgele bir örneklem

X_1, X_2, \dots, X_n

olarak verilmiştir.

Buna göre, $\theta$ parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}

\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}

\frac{n-1}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}

-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n-1}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}$

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistiğin yansızlaştırılmış bir fonksiyonu olan

\frac{n-1}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}

ifadesidir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aileye aittir. Neyman çarpanlara ayırma teoreminden,

T = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

istatistiğinin parametre için tam ve yeterli olduğu görülür. Her bir

X_i

değişkeni için

Y_i = -\ln(X_i)

dönüşümü yapıldığında,

Y_i

'nin oran parametresi

\theta

olan üstel dağılıma (veya Gamma(1,

\theta

)) sahip olduğu bulunur. Bu değişkenlerin toplamı olan

T

istatistiği Gamma(

n

,

\theta

) dağılımına uyar.

\theta

parametresinin yansız bir tahmin edicisini bulmak için

T

'nin tersinin beklenen değeri

E[1/T]

hesaplanır. İntegral çözüldüğünde

E[1/T] = \frac{\theta}{n-1}

elde edilir. Her iki taraf

(n-1)

ile çarpılarak

E\left[\frac{n-1}{T}\right] = \theta

eşitliği sağlanır. Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu bulunduğu için, Lehmann-Scheffe teoremine göre bu ifade

\theta

'nın Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisidir (UMVUE).

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik fonksiyonunu yazarak yeterli istatistiği belirleme

L(\theta) = \theta^n (\prod X_i)^{\theta-1} = \theta^n e^{(\theta-1)\sum \ln(X_i)}

. Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre

T = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

tam ve yeterli istatistiktir.

Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için öncelikle dağılımın üstel ailesinden olduğunu gösterip tam ve yeterli istatistiği bulmak gerekir.

2

Yeterli istatistiğin olasılık dağılımını elde etme

Y_i = -\ln(X_i)

dönüşümü yapıldığında

Y_i \sim \text{Üstel}(\theta)

(oran parametresi

\theta

) olur. Bu durumda bağımsız toplamlar olan

T = \sum Y_i \sim \text{Gamma}(n, \theta)

dağılımına uyar.

Yeterli istatistiğin beklenen değerini hesaplayabilmek ve yansız bir tahmin edici formüle edebilmek için

T

'nin örneklem dağılımının bilinmesi şarttır.

3

\theta

için yansız bir fonksiyon oluşturmak adına

E[1/T]

değerini hesaplama

E[T^{-1}] = \int_0^\infty \frac{1}{t} \frac{\theta^n}{\Gamma(n)} t^{n-1} e^{-\theta t} dt = \frac{\theta}{(n-1)} \implies E\left[\frac{n-1}{T}\right] = \theta

Lehmann-Scheffe teoremine göre tam ve yeterli istatistiğin (

T

) yansız olan herhangi bir fonksiyonu tek ve benzersiz UMVUE'dir.

4

Lehmann-Scheffe teoremi ile sonucu kesinleştirme

\frac{n-1}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}

ifadesi tam ve yeterli istatistiğe bağlı yansız bir tahmin edici olduğundan

\theta

'nın UMVUE'sidir.

Teorem gereği, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu varyansı en küçük yapan tek tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi kullanılarak Üstel Aileden türetilen tam ve yeterli istatistiğin yansızlaştırılmasıyla UMVUE elde edilmesi.

Soru 64Soru →

Bir epidemiyolojik çalışmada, belirli bir hastalığın görülme oranını ( $p$ ) tahmin etmek amacıyla $n$ çaplı bağımsız bir rastgele örneklem alınmıştır. Örneklemde hastalığı taşıyan bireylerin sayısı $X$ ile ifade edilmektedir. Araştırmacılar, popülasyon varyansını veren $p(1-p)$ parametresini tahmin etmek için $\hat{\theta}_n = \frac{X}{n} \left(1 - \frac{X}{n}\right)$ tahmin edicisini kullanmışlardır.

Buna göre, $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

\hat{\theta}_n

,

p(1-p)

parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi olduğundan sonlu örneklemlerde tam yansızdır.

\hat{\theta}_n

tahmin edicisi asimptotik olarak yansızdır ancak sonlu örneklemlerdeki yan miktarı

+\frac{p(1-p)}{n}

olarak hesaplanır.

\hat{\theta}_n

, tutarlı bir tahmin edici olduğu için sonlu örneklem özellikleri dikkate alınmaz; bu nedenle asimptotik yansızlık kavramından söz edilemez.

\hat{\theta}_n

,

p(1-p)

için asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir ve sonlu örneklemlerdeki yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

'dir.

\hat{\theta}_n

tahmin edicisinin beklenen değeri

p(1-p) + \frac{1}{n}

olduğundan, tahmin edici ne sonlu örneklemlerde ne de asimptotik olarak yansızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{\theta}_n$ , $p(1-p)$ için asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir ve sonlu örneklemlerdeki yan miktarı $-\frac{p(1-p)}{n}$ 'dir.

Cevap

\hat{\theta}_n

,

p(1-p)

için asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir ve sonlu örneklemlerdeki yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

'dir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E(\hat{\theta}_n) = E(\hat{p}) - E(\hat{p}^2)

olarak yazılır. Örneklem oranının varyansı

\frac{p(1-p)}{n}

olduğundan

E(\hat{p}^2) = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

elde edilir. Bu terim yerine konulduğunda

E(\hat{\theta}_n) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n}

bulunur. Görüldüğü gibi sonlu örneklemlerde yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

olup tahmin edici yanlıdır. Ancak

n \to \infty

için

\lim E(\hat{\theta}_n) = p(1-p)

olduğundan asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin dağılımını belirlemek ve

\hat{p} = X/n

için beklenen değer ile varyansı yazmak.

X \sim Binom(n, p)

olup,

E(\hat{p}) = p

ve

Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}

bulunur.

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayabilmek için temel istatistiklerin bilinmesi gereklidir.

2

Varyans formülünden yararlanarak

E(\hat{p}^2)

değerini bulmak.

E(\hat{p}^2) = Var(\hat{p}) + [E(\hat{p})]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

elde edilir.

\hat{\theta}_n

tahmin edicisi içerisinde yer alan

\hat{p}^2

teriminin beklenen değerini hesaplamak için.

3

\hat{\theta}_n = \hat{p} - \hat{p}^2

tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplayarak yan miktarını (Bias) bulmak.

E(\hat{\theta}_n) = E(\hat{p}) - E(\hat{p}^2) = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n}

hesaplanır. Yan miktarı ise

E(\hat{\theta}_n) - p(1-p) = -\frac{p(1-p)}{n}

olur.

Tahmin edicinin sonlu örneklemlerdeki yansızlık durumunu test etmek için.

4

Örneklem çapı sonsuza giderken (

n \to \infty

) tahmin edicinin limitini hesaplamak.

\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \left[ p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} \right] = p(1-p)

olarak bulunur.

Asimptotik yansızlık şartının (

n \to \infty

için limitin gerçek parametreye eşit olması) sağlanıp sağlanmadığını görmek için.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve Beklenen Değer

Soru 65Soru →

Bir araştırmacı, normal dağılıma sahip bir kitleden $X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $n \geq 2$ ) şeklinde rastgele bir örneklem çekmiştir. Bu kitlenin beklenen değeri $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olup, iki parametre de araştırmacı tarafından bilinmemektedir.

Araştırmacı, kitlenin beklenen değerinin karesini (yani $\theta = \mu^2$ parametresini) tahmin etmek istemektedir. Örneklem ortalaması $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ ve örneklem varyansı $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremine dayalı olarak $\theta = \mu^2$ parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\bar{X}^2

\bar{X}^2 + \frac{S^2}{n}

\bar{X}^2 - S^2

\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}$

Cevap

Doğru cevap, örneklem ortalamasının karesinden varyans tahmin edicisinin n'e bölümünün çıkarılmasıyla elde edilen

\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}

ifadesidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiklerin bir fonksiyonu olan ve aynı zamanda yansız olan tahmin edici, o parametre için yegane UMVUE'dir. Normal dağılımda

(\bar{X}, S^2)

ortak tam ve yeterli istatistiklerdir.

\bar{X}

'in varyansı

\operatorname{Var}(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - \mu^2 = \frac{\sigma^2}{n}

olduğundan,

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

bulunur. Bu yanlılığı gidermek için, yansız varyans tahmin edicisi olan

S^2

'yi kullanırız.

E[S^2] = \sigma^2

olduğu bilindiğinden,

E[\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}] = (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) - \frac{\sigma^2}{n} = \mu^2

elde edilir. Bu istatistik hem

(\bar{X}, S^2)

fonksiyonudur hem de

\mu^2

için yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Normal dağılım için tam ve yeterli istatistikleri belirleme

Her iki parametre de bilinmediğinde,

(\bar{X}, S^2)

ikilisi ortak tam ve yeterli istatistiklerdir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE, tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmalıdır.

2

Örneklem ortalamasının karesinin beklenen değerini hesaplama

\operatorname{Var}(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2

eşitliğinden,

E[\bar{X}^2] = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

elde edilir.

Parametre olan

\mu^2

için kullanılabilecek ilk tahmin edicinin (MLE) yansız olup olmadığını kontrol etmek gereklidir.

3

Yanlılığı giderecek düzeltme terimini bulma

Örneklem varyansı

S^2

, kitle varyansı

\sigma^2

için yansızdır (

E[S^2] = \sigma^2

). Dolayısıyla

E[\frac{S^2}{n}] = \frac{\sigma^2}{n}

olur.

Beklenen değerdeki

\frac{\sigma^2}{n}

fazlalığını çıkarmak için

S^2

istatistiğinden yararlanılır.

4

UMVUE formunu oluşturma ve Lehmann-Scheffe teoremini uygulama

E[\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}] = (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) - \frac{\sigma^2}{n} = \mu^2

bulunur.

\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}

istatistiği tam ve yeterli istatistiklerin bir fonksiyonudur ve

\mu^2

için yansızdır; dolayısıyla teorem gereği UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE

Soru 66Soru →

Bir çağrı merkezinde birbirini izleyen iki müşteri çağrısı arasındaki bekleme süresi (dakika cinsinden), $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. Bu dağılımdan $n$ birimlik rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır.

Buna göre, kitle varyansının yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8\theta^4}{n}

\frac{2\theta^3}{n}

8\theta^4

\frac{2\theta^2}{n}

\frac{\theta^2}{2n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8\theta^4}{n}$

Cevap

Kitle varyansının yansız tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı

\frac{8\theta^4}{n}

değeridir.

Verilen dağılım parametreleri

\alpha=2

ve

\beta=\theta

olan bir Gamma dağılımıdır. Cramer-Rao alt sınırını bulmak için öncelikle tek bir gözlem için Fisher Bilgi miktarı olan

I(\theta)

hesaplanır.

\ln f(x; \theta)

'nın türevi

\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x; \theta) = -\frac{2}{\theta} + \frac{x}{\theta^2}

olur. Bunun varyansından

I(\theta) = \frac{2}{\theta^2}

elde edilir. Soru kitle varyansı için alt sınır istemektedir. Gamma dağılımının varyansı

\tau(\theta) = \alpha\beta^2 = 2\theta^2

'dir. Bu fonksiyonun türevi

\tau'(\theta) = 4\theta

olur. Genelleştirilmiş Cramer-Rao formülü olan

\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)}

uygulandığında sonuç

\frac{16\theta^2}{n \cdot (2/\theta^2)} = \frac{8\theta^4}{n}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunun parametreye göre türevini alarak Fisher Bilgi miktarını (

I(\theta)

) hesapla.

\ln f(x; \theta) = \ln x - 2\ln \theta - \frac{x}{\theta} \implies \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = -\frac{2}{\theta} + \frac{x}{\theta^2}

. Bunun varyansından veya ikinci türevin beklenen değerinin negatifinden

I(\theta) = \frac{2}{\theta^2}

elde edilir.

Cramer-Rao eşitsizliğinin paydasında yer alan örneklem Fisher bilgi miktarını (

n \cdot I(\theta)

) bulmak için gereklidir.

2

Tahmin edilecek olan fonksiyonu, yani kitle varyansını (

\tau(\theta)

) parametre cinsinden ifade et.

Verilen dağılım

\alpha=2

ve

\beta=\theta

parametreli bir Gamma dağılımıdır. Bu dağılımın varyansı

\alpha \cdot \beta^2 = 2\theta^2

olur. Yani

\tau(\theta) = 2\theta^2

aranmaktadır.

Soru

\theta

'nın kendisi için değil, kitle varyansı için Cramer-Rao alt sınırını istemektedir.

3

Varyans fonksiyonunun

\theta

parametresine göre türevini (

\tau'(\theta)

) al.

\tau'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(2\theta^2) = 4\theta

olarak bulunur.

Genelleştirilmiş Cramer-Rao alt sınırı formülünün pay kısmı, tahmin edilen fonksiyonun türevinin karesidir.

4

Bulunan değerleri genelleştirilmiş Cramer-Rao alt sınırı formülünde yerine koy.

CRLB = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{(4\theta)^2}{n \cdot (2/\theta^2)} = \frac{16\theta^2}{2n/\theta^2} = \frac{8\theta^4}{n}

elde edilir.

Kitle varyansı için minimum varyans (alt sınır) hesaplamasını tamamlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Genelleştirilmiş Cramer-Rao Alt Sınırı

Soru 67Soru →

Bir çağrı merkezine gelen günlük çağrı sayısı, ortalaması $\lambda$ olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu çağrı merkezinin $n$ günlük rassal örneklemi ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) gözlemlenmiştir.

İstatistik birimi, kitle ortalaması olan $\lambda$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki farklı tahmin ediciyi önermiştir:

T_A = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i + 1}{n}

T_B = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

(Örneklem çapının

n \ge 3

olduğu varsayıldığı durumlarda geçerlidir.)

Örneklem çapı sonsuza giderken ( $n \to \infty$ ), bu iki tahmin edicinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri incelendiğinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

T_A

yanlı olmasına rağmen tutarlı bir tahmin edicidir,

T_B

ise yansız olmasına rağmen tutarsız bir tahmin edicidir.

T_A

yanlı olduğu için otomatik olarak tutarsızdır,

T_B

ise yansız olduğu için tutarlıdır.

Her iki tahmin edici de asimptotik olarak yansız olduklarından dolayı, hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaşır ve tutarlıdırlar.

Her iki tahmin edici de parametrenin bilinen bir fonksiyonu olduğundan, değişmezlik (invariance) özelliği gereği tutarlıdır.

T_A

yansız bir tahmin edicidir ve bu nedenle tutarlıdır;

T_B

ise varyansı örneklem çapına bağlı olmadığı için yanlı ve tutarsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T_A$ yanlı olmasına rağmen tutarlı bir tahmin edicidir, $T_B$ ise yansız olmasına rağmen tutarsız bir tahmin edicidir.

Cevap

T_A

tahmin edicisi yanlı fakat tutarlıdır;

T_B

tahmin edicisi ise yansız fakat tutarsızdır.

Bir tahmin edicinin yansızlığı, sonlu örneklem çapı için beklenen değerinin bilinmeyen parametreye eşit olmasıdır.

T_A

tahmin edicisinin beklenen değeri

\lambda + \frac{1}{n}

olduğundan

\lambda

'dan farklıdır ve yanlıdır.

T_B

ise tam olarak

\lambda

beklenen değerini verdiği için yansızdır. Tutarlılık ise asimptotik bir kavram olup, tahmin edicinin varyansının ve yan miktarının

n \to \infty

iken sıfıra yaklaşmasını gerektirir (böylece Hata Kareler Ortalaması sıfıra gider).

T_A

'nın varyansı

\frac{\lambda}{n}

olup

n

sonsuza giderken sıfıra yakınsarken,

T_B

'nin varyansı

\frac{\lambda}{3}

'tür ve

n

'den bağımsız sabit bir değerdir. Bu nedenle yeni veriler eklendikçe belirsizliği daralmayan

T_B

tutarsız, asimptotik yansızlığa sahip olup varyansı sıfıra giden

T_A

ise tutarlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

T_A

tahmin edicisinin yansızlık durumunun incelenmesi

E(T_A) = E\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i + 1}{n}\right) = \frac{n\lambda + 1}{n} = \lambda + \frac{1}{n}

elde edilir.

Bir tahmin edicinin beklenen değeri doğrudan kitle parametresine (

\lambda

) eşitse yansızdır. Burada

\lambda + \frac{1}{n} \neq \lambda

olduğu için

T_A

yanlıdır.

2

T_A

tahmin edicisinin tutarlılık durumunun incelenmesi

Var(T_A) = Var\left(\frac{\sum X_i + 1}{n}\right) = \frac{n\lambda}{n^2} = \frac{\lambda}{n}

bulunur.

n \to \infty

için

E(T_A) \to \lambda

ve

Var(T_A) \to 0

olur.

Asimptotik olarak yansız olan ve varyansı sıfıra giden bir tahmin edicinin MSE değeri sıfıra gittiği için bu tahmin edici tutarlıdır. Bu nedenle

T_A

tutarlıdır.

3

T_B

tahmin edicisinin yansızlık durumunun incelenmesi

E(T_B) = E\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{\lambda + \lambda + \lambda}{3} = \lambda

elde edilir.

Beklenen değeri hesaplandığında kitle parametresine eşit olduğu için

T_B

yansız bir tahmin edicidir.

4

T_B

tahmin edicisinin tutarlılık durumunun incelenmesi

Var(T_B) = Var\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{\lambda + \lambda + \lambda}{9} = \frac{3\lambda}{9} = \frac{\lambda}{3}

bulunur.

n \to \infty

iken varyans sıfıra gitmez.

Tutarlılık için varyansın örneklem büyüdükçe daralması ve sıfıra yakınsaması gerekir. Sabit bir varyansa sahip olduğu için

T_B

tutarsızdır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerde Yansızlık ve Tutarlılık

Soru 68Soru →

İstatistiksel çıkarım teorisinde, bir kitle parametresinin nokta tahmini sürecinde kullanılan $T(X_1, X_2, \dots, X_n)$ fonksiyonunun bir "istatistik" olması temel şarttır. Bir rastgele değişkenin istatistik sayılabilmesi için örneklem değerleri dışında hiçbir bilinmeyen kitle parametresine bağlı olmaması gerekir.

Bir araştırmacı, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan (her iki parametre de bilinmemektedir) bir normal dağılımdan $n$ hacimli bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) çekmiş ve parametre tahmini üzerine çalışırken aşağıdaki dört farklı rastgele değişkeni tanımlamıştır:

I. $T_1 = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
II. $T_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$
III. $T_3 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
IV. $T_4 = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}$

Bu değişkenlerin kavramsal nitelikleri ve istatistiksel özellikleri göz önüne alındığında, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi teorik olarak kesinlikle doğrudur?

T_1

ve

T_3

fonksiyonları bilinmeyen parametre içermedikleri için birer istatistiktir ve sırasıyla

\mu

ile

\sigma^2

parametreleri için nokta tahmin edici olabilirler; ancak

T_2

ve

T_4

bilinmeyen parametreler içerdiğinden nokta tahmin edici olamazlar.

T_2

fonksiyonu

\sigma^2

için yansız bir tahmin edicidir ve büyük örneklem hacimlerinde asimptotik yansızlık sağladığı için aynı zamanda tutarlı bir tahmin edici özelliği taşır.

T_1

fonksiyonu

\mu

parametresi için yansız bir nokta tahmin edicisidir ve bu tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), her zaman kendi varyansından daha büyüktür.

T_3

fonksiyonu

\sigma^2

için yansız bir tahmin edici olup, yalnızca yeterli istatistiklerin bir fonksiyonu olmasından dolayı doğrudan Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) kabul edilir.

T_4

fonksiyonu

\mu

ve

\sigma

parametrelerini içermesine rağmen, dağılımı parametrelerden bağımsız olduğu için

\mu

'nün nokta tahmini sürecinde kullanılabilecek geçerli bir istatistiktir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T_1$ ve $T_3$ fonksiyonları bilinmeyen parametre içermedikleri için birer istatistiktir ve sırasıyla $\mu$ ile $\sigma^2$ parametreleri için nokta tahmin edici olabilirler; ancak $T_2$ ve $T_4$ bilinmeyen parametreler içerdiğinden nokta tahmin edici olamazlar.

Cevap

Doğru değerlendirme, yalnızca örneklem değerlerine bağlı olan fonksiyonların istatistik (ve nokta tahmin edici) olabileceğini, bilinmeyen parametre içeren fonksiyonların ise tahmin edici olamayacağını belirten ifadedir.

İstatistiksel çıkarımın temel kuralı uyarınca, bir örneklem fonksiyonunun (rastgele değişkenin) "istatistik" ve dolayısıyla "nokta tahmin edici" olabilmesi için kitleye ait hiçbir bilinmeyen parametreyi barındırmaması gerekir. Soruda

\mu

ve

\sigma^2

'nin bilinmediği açıkça verilmiştir. Bu nedenle

\mu

içeren

T_2

ve hem

\mu

hem

\sigma

içeren

T_4

fonksiyonları örneklemden hesaplanamazlar ve tahmin edici olamazlar. Sadece örneklem verisiyle hesaplanabilen

T_1

(örneklem ortalaması) ve

T_3

(örneklem varyansı) birer istatistiktir ve tahminde kullanılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen kitle parametrelerinin durumunu analiz etme.

Normal dağılıma ait

\mu

ve

\sigma^2

parametrelerinin her ikisinin de bilinmediği tespit edilir.

Bir fonksiyonun istatistik sayılabilmesi, mevcut bilinmeyen parametrelere bağlı olup olmadığına göre belirlenir.

2

Verilen I. (

T_1

) ve III. (

T_3

) fonksiyonların yapısını inceleme.

T_1 = \bar{X}

ve

T_3 = S^2

fonksiyonlarının yalnızca

X_i

örneklem değerlerinden oluştuğu ve

\mu

veya

\sigma

içermediği görülür.

Bilinmeyen parametre içermeyen fonksiyonlar birer istatistiktir ve nokta tahmin edici olarak kullanılabilirler.

3

Verilen II. (

T_2

) ve IV. (

T_4

) fonksiyonların yapısını inceleme.

T_2

'nin bilinmeyen

\mu

'yü,

T_4

'ün ise hem

\mu

hem de

\sigma

'yı içerdiği görülür.

Bilinmeyen parametre içeren rastgele değişkenler sadece örneklemden hareketle hesaplanamazlar, dolayısıyla istatistik veya tahmin edici olamazlar.

4

Seçeneklerdeki diğer teorik iddiaları Lehmann-Scheffe, yansızlık ve MSE kavramlarıyla test etme.

MSE'nin varyanstan büyük olduğu, yansızlığın tutarlılığı garanti ettiği ve tamlık ispatlanmadan UMVUE olunabileceği iddialarının tümünün teorik olarak hatalı olduğu kanıtlanır.

Nokta tahmin edicilerin özellikleri (MSE = Varyans + Yan^2) ve temel teoremlerin katı şartları gereğince bu genellemeler yanlıştır.

Anahtar Kavram

İstatistik ve Nokta Tahmin Edici Kavramı

Soru 69Soru →

Bir enerji şirketinde, rüzgâr türbinlerinin günlük enerji üretim miktarları rastgele değişkeni $X$ 'in beklenen değeri $E(X) = \mu$ ve varyansı $Var(X) = \sigma^2$ olarak bilinmektedir. Şirketin veri analisti, rastgele seçilmiş birbirinden bağımsız $n$ günlük üretim verisinden yola çıkarak hesapladığı günlük ortalama üretim miktarını $\bar{X}$ ile göstermektedir.

Analist,

\mu

parametresini tahmin etmek amacıyla,

T = \frac{n-1}{n}\bar{X}

şeklinde yeni bir tahmin edici tanımlamıştır.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3}

\frac{(n-1)^2 (\sigma^2 + n \mu^2)}{n^3}

\frac{(n-1)^2 \sigma^2 + n \mu^2}{n^3}

\frac{n \sigma^2 + \mu^2}{n^2}

\frac{(n-1)^2 \sigma^2 - n \mu^2}{n^3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(n-1)^2 \sigma^2 + n \mu^2}{n^3}$

Cevap

\frac{(n-1)^2 \sigma^2 + n \mu^2}{n^3}

ifadesidir. Hata Kareler Ortalaması, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Hata Kareler Ortalaması, tahmin edicinin varyansı ile yan (bias) miktarının karesinin toplamı formülüyle hesaplanır. Tahmin edicinin varyansı

\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3}

ve yan miktarı

-\frac{\mu}{n}

olarak bulunur. Yan miktarının karesi olan

\frac{\mu^2}{n^2}

ifadesi varyansa eklendiğinde ve paydalar eşitlendiğinde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesapla.

E(T) = E\left(\frac{n-1}{n}\bar{X}\right) = \frac{n-1}{n}E(\bar{X}) = \frac{n-1}{n}\mu

. Yan miktar:

Yan(T) = E(T) - \mu = \frac{n-1}{n}\mu - \mu = -\frac{1}{n}\mu

.

MSE formülünde kullanılacak olan yan (bias) miktarını bulmak için tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki fark alınmalıdır.

2

T

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var\left(\frac{n-1}{n}\bar{X}\right) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{(n-1)^2}{n^2} \frac{\sigma^2}{n} = \frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3}

.

MSE formülünün diğer bileşeni olan tahmin edicinin varyansına ihtiyaç vardır. Varyans operatörü dışına sabitler karesi alınarak çıkar.

3

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak Hata Kareler Ortalamasını (MSE) elde et.

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + \left(-\frac{\mu}{n}\right)^2 = \frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + \frac{\mu^2}{n^2}

.

Bir tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), her zaman tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

4

Bulunan ifadeyi ortak paydada birleştirerek sadeleştir.

\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + \frac{n \mu^2}{n^3} = \frac{(n-1)^2 \sigma^2 + n \mu^2}{n^3}

.

Seçeneklerdeki matematiksel formata uygun sonuca ulaşmak için cebirsel düzenleme yapılır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesaplaması

Soru 70Soru →

Bir elektronik bileşenin kullanım ömrü (yıl olarak) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. Bu bileşenlerin arızalanma süreleri $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}, & x \ge \theta \\ 0, & x < \theta \end{cases}

Bu üretim hattından rastgele $n$ adet bileşen test edilmiş ve arızalanma süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir. (Veri setindeki minimum değer $X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n)$ ve maksimum değer $X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n)$ olarak tanımlanmıştır.)

Neyman Çarpanlara Ayırma (Factorization) Teoremi dikkate alındığında, $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

X_{(1)}

\sum_{i=1}^n X_i

\left(X_{(1)}, \sum_{i=1}^n X_i\right)

\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)

\sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)})

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left(X_{(1)}, \sum_{i=1}^n X_i\right)$

Cevap

Olabilirlik fonksiyonunda

\theta

parametresi hem üstel terimde hem de tanım aralığı sınırında yer aldığından yeterli istatistik

\left(X_{(1)}, \sum_{i=1}^n X_i\right)

vektörüdür.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre bir

T(\mathbf{X})

istatistiğinin yeterli olabilmesi için olabilirlik fonksiyonunun

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde yazılabilmesi gerekir. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{e^n}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i} I(x_{(1)} \ge \theta)

şeklindedir. Burada

\theta

parametresini içeren

g

çarpanı hem

\sum x_i

toplamını hem de gösterge fonksiyonu (indicator) içindeki

x_{(1)}

(minimum) değerini barındırmaktadır. Bu iki bileşen birbirinden ayrılamaz ve ikisi de

\theta

tahmini için bilgi taşır. Dolayısıyla

\theta

için yeterli istatistik

\left(X_{(1)}, \sum_{i=1}^n X_i\right)

vektörüdür.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu yazmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i-\theta}{\theta}} I(x_i \ge \theta)

elde edilir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulamak için tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Olabilirlik fonksiyonunu düzenleyerek çarpanlara ayırmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n (x_i-\theta)} I(x_{(1)} \ge \theta) = \frac{e^n}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i} I(x_{(1)} \ge \theta)

bulunur.

Parametreye bağlı kısımları (

g(T(\mathbf{x}), \theta)

) ve sadece gözlemlere bağlı kısımları (

h(\mathbf{x})

) belirlemek için ifade basitleştirilmelidir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre yeterli istatistiği tanımlamak.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{e^n}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i} I(x_{(1)} \ge \theta)

ve

h(\mathbf{x}) = 1

olarak ayrılır.

\theta

parametresini içeren

g

fonksiyonu veri setinden sadece

\sum_{i=1}^n x_i

toplamına ve

x_{(1)}

minimum değerine ihtiyaç duyar. Bu nedenle bu iki değerin oluşturduğu vektör minimal yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem)

Soru 71Soru →

Bir otomotiv fabrikasında üretilen amortisörlerin dayanım süreleri normal dağılıma sahiptir. Üretim bandından rastgele seçilen $n$ adet amortisörün dayanım süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, kitle varyansı $\sigma^2$ 'yi tahmin etmek amacıyla aşağıdaki istatistik önerilmiştir:

T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2n-1}{n^2}\sigma^4

\frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4

\frac{1}{n^2}\sigma^4

\frac{2}{n-1}\sigma^4

\frac{2n+1}{n^2}\sigma^4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2n-1}{n^2}\sigma^4$

Cevap

\frac{2n-1}{n^2}\sigma^4

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı (

MSE = Var(T) + Bias^2(T)

) olarak tanımlanır. Verilen

T

istatistiği için varyans bileşeni

\frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4

ve yan miktarı bileşeni

-\frac{1}{n}\sigma^2

olarak hesaplanır. Yan miktarının karesi olan

\frac{1}{n^2}\sigma^4

ile varyans toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicinin beklenen değerini (

E(T)

) hesapla.

Yansız örneklem varyansı

S^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2

için

E(S^2) = \sigma^2

'dir. Verilen istatistik

T = \frac{n-1}{n}S^2

şeklinde yazılabileceğinden,

E(T) = \frac{n-1}{n}\sigma^2

olur.

Yan miktarını bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

2

Tahmin edicinin yan miktarını (

Bias(T)

) ve karesini hesapla.

Bias(T) = E(T) - \sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 - \sigma^2 = -\frac{1}{n}\sigma^2

bulunur. Karesi alındığında

Bias^2(T) = \frac{1}{n^2}\sigma^4

elde edilir.

MSE formülünün

[Bias(T)]^2

bileşenini belirlemek gereklidir.

3

Tahmin edicinin varyansını (

Var(T)

) hesapla.

Normal dağılımda

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

olduğundan

Var(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}

'dir. Buradan

Var(T) = Var(\frac{n-1}{n}S^2) = \frac{(n-1)^2}{n^2} \frac{2\sigma^4}{n-1} = \frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4

bulunur.

MSE formülünün

Var(T)

bileşenini elde etmek gereklidir.

4

MSE değerini elde etmek için varyans ile yan miktarının karesini topla.

MSE(T) = Var(T) + Bias^2(T) = \frac{2n-2}{n^2}\sigma^4 + \frac{1}{n^2}\sigma^4 = \frac{2n-1}{n^2}\sigma^4

sonucuna ulaşılır.

Bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) varyans ve yan (bias) bileşenlerine ayrılarak hesaplanması.

Soru 72Soru →

Bir tarım uzmanı, yeni geliştirilen bir buğday türünün hektar başına ortalama verimini ( $\mu$ ) tahmin etmek için bir çalışma yapmaktadır. Kitle varyansının $\sigma^2$ olduğu bilinmektedir. Uzman, geçmiş tecrübelerine dayanarak ortalama verimin $\mu_0$ civarında olacağını öngörmektedir. Rastgele seçilen $n$ farklı tarladan elde edilen verimlerin örneklem ortalaması $\bar{X}$ olarak hesaplanmıştır.

Uzman,

\mu

parametresini tahmin etmek için örneklem ortalaması ile kendi öngörüsünü,

0 < \alpha < 1

sabit bir ağırlık katsayısı olmak üzere,

\hat{\mu} = \alpha \bar{X} + (1-\alpha)\mu_0

şeklinde birleştirerek yeni bir tahmin edici tanımlamıştır.

Buna göre, $\hat{\mu}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}

\alpha \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha) (\mu - \mu_0)^2

\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 \mu^2

\alpha^2 \sigma^2 + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

Cevap

\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(\hat{\mu}) + [Bias(\hat{\mu})]^2

). Tahmin edicinin beklenen değeri

E(\hat{\mu}) = \alpha E(\bar{X}) + (1-\alpha)\mu_0 = \alpha \mu + (1-\alpha)\mu_0

olduğundan, yan miktarı

E(\hat{\mu}) - \mu = (1-\alpha)(\mu_0 - \mu)

olarak bulunur. Sabit bir tahmin değeri olan

\mu_0

'ın varyansı sıfır ve örneklem ortalaması

\bar{X}

'in varyansı

\sigma^2/n

olduğundan, tahmin edicinin varyansı

Var(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}

olur. Bu iki değer toplanarak doğru MSE elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicinin beklenen değerini (Expected Value) ve yan (Bias) miktarını hesaplamak

E(\hat{\mu}) = \alpha \mu + (1-\alpha)\mu_0

ve

Yan = (1-\alpha)(\mu_0 - \mu)

MSE hesaplaması için tahmin edicinin yansız olup olmadığını ve eğer yanlı ise yan miktarını belirlemek gereklidir.

2

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak

Var(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}

MSE formülünün ikinci bileşeni olan tahmin edici varyansını bulmak için, sabitlerin varyansının sıfır olduğu ve katsayıların karesinin alındığı varyans özellikleri kullanılır.

3

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulamak

MSE(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

MSE = Varyans + Yan^2

formülü ile iki bileşen toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE), Varyans ve Yan İlişkisi

Soru 73Soru →

Bir otomotiv parça üretim hattında, üretilen millerin standart çaptan sapma miktarları (mikron cinsinden) ölçülmektedir. Sapma miktarlarını temsil eden $X$ rassal değişkeninin, sıfır merkezli ve bilinmeyen bir $\theta > 0$ tolerans parametresi ile $-\theta \leq x \leq \theta$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Bu üretim hattından rastgele seçilen $n$ adet milin sapma miktarları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak ölçülmüştür.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında, bilinmeyen $\theta$ tolerans parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

(X_{(1)}, X_{(n)})

X_{(n)}

X_{(n)} - X_{(1)}

\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|$

Cevap

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

istatistiği bilinmeyen

\theta

parametresi için yeterli istatistiktir.

Düzgün dağılımın sınırları

[-\theta, \theta]

olduğunda, her bir gözlem için

-\theta \leq x_i \leq \theta

eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Bu durum mutlak değer kullanılarak

|x_i| \leq \theta

biçiminde ifade edilebilir. Tüm örneklem için bu koşulun aynı anda sağlanması, örneklemdeki mutlak değerce en büyük elemanın

\theta

'dan küçük ya da eşit olmasına bağlıdır. Olabilirlik fonksiyonu

L(\theta) = (2\theta)^{-n} I(\max|x_i| \leq \theta)

şeklinde yazıldığında, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca

T(X) = \max|X_i|

fonksiyonunun yeterli istatistik olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir gözlem için olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) ve olabilirlik fonksiyonunu yazın.

f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} I(-\theta \leq x \leq \theta)

. Rastgele örneklem için olabilirlik fonksiyonu:

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{2\theta} I(-\theta \leq x_i \leq \theta)

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayabilmek için öncelikle ortak dağılım (olabilirlik) fonksiyonunu elde etmek gerekir.

2

Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemini basitleştirin ve gösterge (indicator) fonksiyonlarını düzenleyin.

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{(2\theta)^n} \prod_{i=1}^n I(-\theta \leq x_i \leq \theta)

. Çarpım halindeki göstergeler, tüm

x_i

'lerin

-\theta

ile

\theta

arasında olmasını gerektirir.

Destek kümesi parametreye bağlı olduğunda, sınır koşullarını sıra istatistikleri (order statistics) yardımıyla ifade etmek şarttır.

3

Tüm

x_i

'lerin

-\theta \leq x_i \leq \theta

aralığında olma koşulunu minimum ve maksimum değerler cinsinden yazın.

Tüm

x_i \geq -\theta \implies \min(X_i) = X_{(1)} \geq -\theta

Tüm

x_i \leq \theta \implies \max(X_i) = X_{(n)} \leq \theta

Eşitsizliklerin tamamının aynı anda sağlanması ancak ekstrem (uç) değerlerin bu sınırlar içinde kalmasıyla mümkündür.

4

İki eşitsizliği birleştirerek tek bir yeterli istatistik elde edin.

-X_{(1)} \leq \theta

ve

X_{(n)} \leq \theta

koşulları birleştirildiğinde

\max(-X_{(1)}, X_{(n)}) \leq \theta

elde edilir. Bu ifade

\max_{i} |X_i| \leq \theta

ile eşdeğerdir.

Eşitsizliklerin her ikisinin de sağlanması, mutlak değerce en büyük olan gözlemin

\theta

'dan küçük veya eşit olmasını gerektirir.

5

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi formatına uygun olarak

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

ayrışımını yapın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \left[ \frac{1}{(2\theta)^n} I(\max |x_i| \leq \theta) \right] \cdot 1

. Burada

T(\mathbf{x}) = \max |X_i|

,

h(\mathbf{x}) = 1

dir.

Teoreme göre,

\theta

'ya bağlı olan kısım

g

fonksiyonudur ve bu fonksiyonun içindeki veri bağımlılığı yalnızca

T(\mathbf{x})

üzerinden gerçekleşmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Destek Kümesinin Parametreye Bağlı Olduğu Durumlar)

Soru 74Soru →

Bir üretim sürecinde, üretilen bilyelerin çaplarının hedef değerden sapmaları $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu sapmaların ortalaması sıfır ( $0$ ) ve varyansı $\theta$ olan normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Kalite kontrol birimi, sürecin standart sapmasını ( $g(\theta) = \sqrt{\theta}$ ) tahmin etmek için yansız bir tahmin edici kullanacaktır.

Buna göre, standart sapma için kullanılacak bu yansız tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2\theta^2}{n}

\frac{\theta}{n}

\frac{\theta}{2n}

\frac{\theta^2}{2n}

\frac{1}{2n\theta}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\theta}{2n}$

Cevap

Standart sapma tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı

\theta / (2n)

'dir.

Sıfır ortalamalı ve

\theta

varyanslı normal dağılım için tek bir gözlemin Fisher bilgi miktarı

1/(2\theta^2)

,

n

çaplı örneklem için ise

I_n(\theta) = n/(2\theta^2)

'dir. Soruda istenen tahmin edici,

\theta

'nın bir fonksiyonu olan

g(\theta) = \sqrt{\theta}

(standart sapma) içindir. Dönüştürülmüş parametre için Cramer-Rao alt sınırı formülü

[g'(\theta)]^2 / I_n(\theta)

şeklindedir. Türevin karesi

1/(4\theta)

olarak bulunur ve Fisher bilgi miktarına bölündüğünde doğru sınır

\theta/(2n)

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Log-olabilirlik fonksiyonunu yazıp

\theta

'ya göre birinci ve ikinci türevleri alma.

\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f(x;\theta) = \frac{1}{2\theta^2} - \frac{x^2}{\theta^3}

Fisher bilgi miktarını hesaplayabilmek için yoğunluk fonksiyonunun logaritmasının ikinci türevine ihtiyaç vardır.

2

Fisher bilgi miktarını (

I_n(\theta)

) hesaplama.

I_n(\theta) = -n E\left[\frac{1}{2\theta^2} - \frac{X^2}{\theta^3}\right] = \frac{n}{2\theta^2}

Orijinal dağılımın

N(0, \theta)

olması nedeniyle

E[X^2] = \theta

olduğu kullanılarak tüm örneklemin içerdiği bilgi miktarı belirlenir.

3

Standart sapma fonksiyonunun (

g(\theta) = \sqrt{\theta}

) türevini hesaplama.

g'(\theta) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}}

Tahmin edilen değer parametrenin kendisi değil bir fonksiyonu olduğu için Cramer-Rao formülüne dönüşüm faktörü eklenmelidir.

4

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) formülünü uygulama.

CRLB = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{1/(4\theta)}{n/(2\theta^2)} = \frac{\theta}{2n}

Herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansının alabileceği en küçük değer bu şekilde bulunur.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Parametre Fonksiyonlarının Tahmini

Soru 75Soru →

Bir hidroloji uzmanı, belirli bir havzadaki barajların günlük doluluk oranlarını (0 ile 1 arasında) $X$ rassal değişkeni ile modellemektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

Uzman, $n$ günlük rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alarak $\theta$ parametresi için Lehmann-Scheffe teoremini kullanıp düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin ediciyi (UMVUE) elde etmek istemektedir.

Buna göre, dağılımın üstel aile (exponential family) özellikleri dikkate alındığında, Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için gereken 'tam (complete) ve yeterli' istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

\sum_{i=1}^n X_i

X_{(n)}

-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}

\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n \ln(X_i)$

Cevap

İlgili olasılık dağılımının üstel aile formunda yazılması sonucunda elde edilen tam ve yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

ifadesidir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formunda

f(x; \theta) = \exp(\ln \theta + (\theta-1)\ln x)

olarak yazılabilir.

n

çaplı örneklem için ortak olabilirlik fonksiyonu

f(\mathbf{x}; \theta) = \theta^n \exp\left((\theta-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)

halini alır. Bu formda doğal parametre

\eta = \theta-1

ve buna eşlik eden istatistik

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i

'dir.

\theta \in (0, \infty)

olduğu için

\eta

'nın tanım kümesi

(-1, \infty)

açık aralığını kapsar. Üstel aile teoremlerine göre bu koşul sağlandığında elde edilen istatistik tam (complete) ve yeterli (sufficient) olur.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile (exponential family) formunda ifade edin.

f(x; \theta) = \exp(\ln \theta + (\theta-1)\ln x)

Üstel aile formu, tam ve yeterli istatistiği doğrudan belirlememizi sağlayan matematiksel yapıyı ortaya çıkarır.

2

n

birimlik örneklem için ortak yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu oluşturun.

f(\mathbf{x}; \theta) = \theta^n \exp\left((\theta-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)

Örneklem çapına bağlı olarak istatistiğin örneklemdeki tüm verileri nasıl kullandığını görmek gereklidir.

3

Üstel aile teoremine göre doğal parametreyi ve karşılık gelen istatistiği belirleyip tamlık şartını kontrol edin.

Doğal parametre

\eta = \theta-1

ve istatistik

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i

'dir.

\theta > 0

olduğundan

\eta \in (-1, \infty)

uzayı bir açık aralık içerir, bu da istatistiğin tam (complete) olduğunu kanıtlar.

Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için istatistiğin hem yeterli hem de tam olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Üstel Ailelerde Tamlık ve Yeterlilik (Completeness and Sufficiency in Exponential Families)

Soru 76Soru →

Bir sigorta şirketine belirli bir haftada gelen trafik kazası hasar ihbarlarının sayısı, bilinmeyen bir $\lambda > 0$ parametreli Poisson dağılımına uyan bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Şirket, rastgele seçilen $n$ haftalık bir örneklem olan $X_1, X_2, \dots, X_n$ gözlemlerine dayanarak, "herhangi bir haftada hiç hasar ihbarı gelmeme olasılığını" ( $e^{-\lambda}$ ) tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, $g(\lambda) = e^{-\lambda}$ fonksiyonunun herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}

\frac{e^{-2\lambda}}{n\lambda}

\frac{\lambda e^{-\lambda}}{n}

\lambda e^{-2\lambda}

\frac{e^{-\lambda}}{n\lambda}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}$

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) formülünün parametre fonksiyonları için genelleştirilmiş hali olan

\frac{[g'(\lambda)]^2}{n \cdot I(\lambda)}

uygulanarak

\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}

sonucu bulunur.

Doğru yanıt olan

\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}

, Poisson dağılımı için elde edilen tekil Fisher bilgisinin (

1/\lambda

) ve tahmin edilecek fonksiyonun türevinin karesinin (

e^{-2\lambda}

) genel formüldeki (

CRLB = \frac{[g'(\lambda)]^2}{n I(\lambda)}

) yerlerine doğru olarak yerleştirilmesiyle elde edilir. Paydadaki

1/\lambda

ters çevrilip paya çarpım olarak geçtiği için

\lambda

çarpanı oluşur.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson dağılımı için tek bir gözleme ait Fisher bilgi matrisi (

I(\lambda)

) hesaplanır.

f(x;\lambda) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}

\Rightarrow \ln f(x;\lambda) = -\lambda + x\ln\lambda - \ln(x!)

. Birinci türev:

-1 + \frac{x}{\lambda}

. İkinci türev:

-\frac{x}{\lambda^2}

.

I(\lambda) = -E\left[-\frac{X}{\lambda^2}\right] = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}

.

CRLB formülünün paydasında kullanılması gereken bilgi miktarına ulaşmak için.

2

Tahmin edilmek istenen

g(\lambda) = e^{-\lambda}

fonksiyonunun parametreye göre türevi alınır.

g'(\lambda) = -e^{-\lambda}

. CRLB formülünün pay kısmı için bu değerin karesi alınır:

[g'(\lambda)]^2 = (-e^{-\lambda})^2 = e^{-2\lambda}

.

Cramer-Rao alt sınırının, bir parametrenin kendisi yerine fonksiyonunun tahmin edilmesi durumundaki payını belirlemek için.

3

Genelleştirilmiş Cramer-Rao alt sınırı formülü uygulanır.

CRLB = \frac{[g'(\lambda)]^2}{n \cdot I(\lambda)} = \frac{e^{-2\lambda}}{n \cdot (1/\lambda)} = \frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}

.

n

çaplı örneklem için fonksiyon tahmini yapan yansız tahmin edicinin varyansının alt sınırını nihai olarak bulmak için.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) - Parametrenin Fonksiyonu

Soru 77Soru →

Bir finansal analist, bir yatırım fonunun günlük getiri oranlarını incelemektedir. Günlük getirilerin birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı olduğu; beklenen değerinin $\mu$ ve varyansının $\sigma^2$ olduğu varsayılmaktadır. Analist, $n$ günlük bir rastgele örneklemin ortalamasını ( $\bar{X}$ ) hesaplamış ve $\mu$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki tahmin ediciyi önermiştir:

\tilde{\mu} = \frac{n}{n+2}\bar{X} + \frac{m}{n+2}

Burada $m$ , analistin önceden belirlediği sabit bir değerdir.
Buna göre, $\tilde{\mu}$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

\frac{n\sigma^2 + m^2}{(n+2)^2}

\frac{n^2\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}

\frac{n\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}

\frac{n\sigma^2 + (m + 2\mu)^2}{(n+2)^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}$

Cevap

\frac{n\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Tahmin edicinin varyansı hesaplanırken, öncelikle

\bar{X}

'in katsayısı karesi alınarak dışarı çıkarılır ve örneklem ortalamasının varyansı (

\sigma^2/n

) ile çarpılır; bu işlem

n\sigma^2/(n+2)^2

sonucunu verir. Sabit terimin varyansı sıfırdır. İkinci aşamada, tahmin edicinin beklenen değerinden gerçek parametre (

\mu

) çıkarılarak yan miktarı hesaplanır ve

(m-2\mu)/(n+2)

değeri bulunur. Bulunan varyans değeri ile yan miktarının karesi toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplama

E[\tilde{\mu}] = \frac{n}{n+2}\mu + \frac{m}{n+2}

Yan miktarını (bias) bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerine ulaşılmalıdır. Beklenen değer operatörünün doğrusal özelliğinden yararlanılır.

2

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını bulma

Yan(\tilde{\mu}) = E[\tilde{\mu}] - \mu = \frac{n\mu + m}{n+2} - \mu = \frac{n\mu + m - (n+2)\mu}{n+2} = \frac{m - 2\mu}{n+2}

Tahmin edicinin gerçek parametreden sistematik olarak ne kadar saptığını belirlemek için bu fark hesaplanır.

3

Tahmin edicinin varyansını hesaplama

Var(\tilde{\mu}) = \left(\frac{n}{n+2}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+2)^2} \frac{\sigma^2}{n} = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

MSE denklemindeki varyans bileşenini elde etmek için hesaplanır. Sabit terimin varyansı sıfırdır ve değişkenin katsayısı varyans dışına karesi alınarak çıkar.

4

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplama

MSE(\tilde{\mu}) = Var(\tilde{\mu}) + [Yan(\tilde{\mu})]^2 = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2} + \left(\frac{m - 2\mu}{n+2}\right)^2 = \frac{n\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}

MSE, her zaman tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Yanlı Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 78Soru →

Bir ekosistem araştırmasında, belirli bir bitki türünün doğal yaşam alanındaki bireyleri arasındaki en yakın komşu mesafeleri ( $X$ , metre cinsinden) incelenmektedir. Bu mesafelerin dağılımının aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğu varsayılmaktadır:

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta (1+x)^{-(\theta+1)}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.
Bu yaşam alanından rastgele seçilen $n$ adet bitki bireyi için komşu mesafeleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\max_{1 \leq i \leq n} X_i

\sum_{i=1}^n \ln(1+X_i)

\sum_{i=1}^n (1+X_i)

\prod_{i=1}^n X_i

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n \ln(1+X_i)$

Cevap

Doğru istatistik

\sum_{i=1}^n \ln(1+X_i)

ifadesidir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde iki fonksiyonun çarpımı olarak yazılabilmelidir. Verilen dağılımın olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde,

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n \exp(-\theta \sum \ln(1+x_i))

ve

h(\mathbf{x}) = \prod (1+x_i)^{-1}

elde edilir. Parametre

\theta

ile örneklem

\mathbf{x}

sadece

\sum \ln(1+x_i)

terimi üzerinden bir arada bulunduğundan, yeterli istatistik bu toplam ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) yazma.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \theta (1+x_i)^{-(\theta+1)}

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulamak için tüm gözlemlerin ortak dağılımına ihtiyaç vardır.

2

Çarpım sembolünü dağıtarak olabilirlik fonksiyonunu düzenleme.

L(\theta; \mathbf{x}) = \theta^n \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-\theta} \cdot \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-1}

Parametreye (

\theta

) bağlı olan terimler ile sadece gözlemlere bağlı olan terimleri birbirinden ayırmak hedeflenir.

3

Parametreye bağlı çarpım ifadesini üstel fonksiyon (exp) ve logaritma kullanarak toplama dönüştürme.

L(\theta; \mathbf{x}) = \theta^n \exp\left(-\theta \sum_{i=1}^n \ln(1+x_i)\right) \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-1}

Üstel yapıya geçirildiğinde yeterli istatistik

T(\mathbf{x})

doğrudan görülebilir hale gelir.

4

Neyman teoremine göre

g(T(\mathbf{x}), \theta)

ve

h(\mathbf{x})

fonksiyonlarını belirleme.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n \exp\left(-\theta \sum_{i=1}^n \ln(1+x_i)\right)

ve

h(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-1}

olarak bulunur.

g

fonksiyonu içinde örneklem değerleri sadece

\sum_{i=1}^n \ln(1+x_i)

fonksiyonu aracılığıyla

\theta

ile etkileşime girmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem)

Soru 79Soru →

Bir trafik izleme merkezinde, bir kavşaktan geçen ardışık iki aracın geçişleri arasındaki bekleme süreleri $X_1$ ve $X_2$ olarak ölçülmektedir. Bu sürelerin, beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler olduğu bilinmektedir.

Bir veri analisti, $\theta$ parametresini tahmin etmek için sadece ilk aracın bekleme süresini dikkate alan $\hat{\theta}_1 = X_1$ tahmin edicisini kullanmayı önermiştir. Ancak bu tahmin edicinin varyansını düşürmek amacıyla, $\theta$ için yeterli (sufficient) bir istatistik olan $T = X_1 + X_2$ istatistiği üzerinden Rao-Blackwell teoremi uygulanmak istenmektedir.

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen yeni ve iyileştirilmiş $\hat{\theta}_2 = E(\hat{\theta}_1 \mid T)$ tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{X_1 + X_2}{2}

X_1 + X_2

\frac{(X_1 + X_2)^2}{2}

X_1

\frac{X_1}{X_1 + X_2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{X_1 + X_2}{2}$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uygulandığında elde edilen yeni tahmin edici

\frac{X_1 + X_2}{2}

olur.

Rao-Blackwell teoremine göre, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerindeki koşullu beklenen değeri, varyansı daha düşük (veya en azından eşit) olan yansız bir tahmin edici verir. Soru,

\hat{\theta}_2 = E(X_1 \mid T)

değerini bulmamızı istemektedir.

X_1

ve

X_2

bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan,

T = X_1 + X_2

toplamı verildiğinde koşullu beklentiler birbirine eşittir:

E(X_1 \mid T) = E(X_2 \mid T)

. Beklenen değerin doğrusallık özelliğinden

E(X_1 \mid T) + E(X_2 \mid T) = E(X_1 + X_2 \mid T) = E(T \mid T) = T

elde edilir. İki ifade birbirine eşit olduğuna göre

2E(X_1 \mid T) = T

olur ve buradan yeni tahmin edici

T / 2 = \frac{X_1 + X_2}{2}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu beklenen değerin simetri özelliğini belirleme

E(X_1 \mid T) = E(X_2 \mid T)

X_1

ve

X_2

bağımsız ve aynı üstel dağılıma sahip olduklarından, toplamları

T

bilindiğinde her iki değişkenin koşullu dağılımları tamamen simetriktir.

2

Koşullu beklenen değerin doğrusallık özelliğini uygulama

E(X_1 + X_2 \mid T) = E(T \mid T) = T

T

istatistiği verildiğinde,

T

'nin beklenen değeri yine kendisine eşit olmak zorundadır.

3

Simetri ve doğrusallığı birleştirerek denklemi çözme

E(X_1 \mid T) + E(X_2 \mid T) = 2 E(X_1 \mid T) = T \implies E(X_1 \mid T) = \frac{T}{2}

Simetri özelliğini doğrusallık denkleminde yerine koyarak, ilk tahmin edicinin yeterli istatistik üzerindeki koşullu beklenen değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bağımsız ve aynı dağılımlı örneklemlerde koşullu beklenen değerin simetri özelliği kullanılarak Rao-Blackwell teoreminin uygulanması

Soru 80Soru →

Bir kitle, bilinmeyen $\theta$ parametresi için $(\theta, \theta+1)$ aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir.

Bu kitleden alınan $n$ çaplı bağımsız rastgele örneklemin en küçük sıra istatistiği $X_{(1)}$ ile gösterilmektedir.

\theta

parametresini tahmin etmek için,

\hat{\theta} = X_{(1)} - \frac{1}{n}

tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{1}{n(n+1)}

\frac{1}{n(n+1)}

\frac{1}{n+1}

0

-\frac{1}{n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{1}{n(n+1)}$

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı

-\frac{1}{n(n+1)}

olarak bulunur.

Doğru yanıt, yan miktarının mutlak değerce

\frac{1}{n(n+1)}

ve negatif işaretli olduğunu gösteren ifadedir.

X_{(1)}

'in beklenen değeri

\theta + \frac{1}{n+1}

olarak bulunur. Tahmin edicide yer alan

-\frac{1}{n}

sabit terimi de eklendiğinde beklenen değer

\theta + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}

olur. Yan miktarı (bias) tanımı gereği bu değerden bilinmeyen gerçek parametre olan

\theta

'nın çıkarılmasıyla, rasyonel işlem sonucunda

-\frac{1}{n(n+1)}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

En küçük sıra istatistiğinin (

X_{(1)}

) olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleme.

g_1(x) = n(\theta + 1 - x)^{n-1}

Sıra istatistiğinin beklenen değerini bulmak için

U(\theta, \theta+1)

dağılımının

F(x) = x - \theta

ve

f(x) = 1

eşitlikleri kullanılarak

n[1-F(x)]^{n-1}f(x)

formülü uygulanmalıdır.

2

X_{(1)}

istatistiğinin beklenen değerini integral yardımıyla hesaplama.

E[X_{(1)}] = \theta + \frac{1}{n+1}

Beklenen değer integrali

\int_{\theta}^{\theta+1} x \cdot n(\theta + 1 - x)^{n-1} dx

,

u = \theta + 1 - x

dönüşümü ile çözülerek sonuca ulaşılır.

3

Önerilen

\hat{\theta}

tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplama.

E[\hat{\theta}] = \theta + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}

Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliği gereği

E[X_{(1)} - \frac{1}{n}] = E[X_{(1)}] - \frac{1}{n}

işlemi yapılır.

4

Tahmin edicinin yan miktarını (bias) çıkarma işlemi ile hesaplama.

Yan =

-\frac{1}{n(n+1)}

Yan miktarı formülü

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta

uygulanır ve payda eşitlenerek

\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)}

basitleştirmesi yapılır.

Anahtar Kavram

Nokta tahmin edicilerinde yan miktarı formülünün

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta

ve sıra istatistiklerinin beklenen değer hesabının kullanılması.

Tahmini Süre:3m 0s

Nokta Tahmini ve Özellikleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram