k Bağımsız Örneklem Testleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir araştırmacı, dört farklı öğretim yönteminin (Yöntem 1, Yöntem 2, Yöntem 3, Yöntem 4) öğrencilerin başarı puanları üzerindeki etkisini incelemek amacıyla Kruskal-Wallis $H$ testi uygulamış ve gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulmuştur ( $\chi^2(3) = 12,45; p < 0,05$ ). Gruplar arasındaki farkın kaynağını belirlemek amacıyla yapılan Dunn çoklu karşılaştırma testi sonucunda elde edilen düzeltilmemiş $p$ değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Karşılaştırma	Düzeltilmemiş $p$ Değeri
Yöntem 1 - Yöntem 2	0,012
Yöntem 1 - Yöntem 3	0,045
Yöntem 1 - Yöntem 4	0,620
Yöntem 2 - Yöntem 3	0,008
Yöntem 2 - Yöntem 4	0,035
Yöntem 3 - Yöntem 4	0,110

Bonferroni düzeltmesi kullanılarak $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde hangi yöntem çiftleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğu söylenebilir?

Yalnızca Yöntem 2 - Yöntem 3

Yöntem 1 - Yöntem 2 ve Yöntem 2 - Yöntem 3

Yöntem 1 - Yöntem 2, Yöntem 1 - Yöntem 3, Yöntem 2 - Yöntem 3 ve Yöntem 2 - Yöntem 4

Yöntem 2 - Yöntem 3 ve Yöntem 2 - Yöntem 4

Hiçbir yöntem çifti arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark yoktur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnızca Yöntem 2 - Yöntem 3

Cevap

Düzeltilmiş anlamlılık düzeyi olan

0,0083

değerinden daha küçük bir

p

değerine sahip olan tek çift 'Yöntem 2 - Yöntem 3' çiftidir.

Dört grup için yapılabilecek ikili karşılaştırma sayısı 6'dır (

4 \times 3 / 2

).

\alpha = 0,05

düzeyi Bonferroni yöntemiyle düzeltildiğinde yeni eşik değer

0,05 / 6 = 0,00833

olur. Verilen p değerleri arasında bu eşik değerden küçük olan tek değer

0,008

olup, bu değer Yöntem 2 ile Yöntem 3 arasındaki karşılaştırmaya aittir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam karşılaştırma sayısını (

m

) hesaplayınız.

m = \frac{k(k-1)}{2} = \frac{4(4-1)}{2} = 6

Bonferroni düzeltmesi için yapılacak tüm olası ikili karşılaştırma sayısının bilinmesi gerekir.

2

Bonferroni düzeltmesine göre yeni anlamlılık düzeyini (

\alpha'

) belirleyiniz.

\alpha' = \frac{\alpha}{m} = \frac{0,05}{6} \approx 0,00833

Çoklu karşılaştırmalarda Tip I hatayı kontrol altında tutmak için anlamlılık düzeyi karşılaştırma sayısına bölünür.

3

Tablodaki düzeltilmemiş

p

değerlerini

\alpha'

eşik değeri ile karşılaştırınız.

0,008 < 0,00833

olduğu için sadece Yöntem 2 - Yöntem 3 anlamlıdır.

Düzeltilmemiş bir

p

değerinin anlamlı kabul edilebilmesi için düzeltilmiş eşik değerinden küçük olması gerekir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis testi sonrasında yapılan çoklu karşılaştırmalarda, toplam Tip I hata oranını korumak için p-değerlerinin veya alfa düzeyinin Bonferroni gibi yöntemlerle düzeltilmesi zorunludur.

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testi anlamsız çıksaydı, bu çoklu karşılaştırma testlerinin yapılıp yapılamayacağını düşününüz.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 2Soru →

Bir araştırmacı, dört farklı gübre tipinin ( $k=4$ ) bitki boyu üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla toplam 32 bitki ( $N=32$ ) kullanarak bir deney tasarlamıştır. Verilerin normal dağılım varsayımını karşılamaması nedeniyle Kruskal-Wallis H testi uygulanmış ve test istatistiği $H = 9,420$ olarak hesaplanmıştır. %5 anlamlılık düzeyinde ( $\alpha = 0,05$ ) serbestlik derecesi 3 olan kritik tablo değeri $\chi^2_{0,05; 3} = 7,815$ olduğuna göre, araştırmacının varması gereken istatistiksel karar ve yorum aşağıdakilerden hangisidir?

H > \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir; en az bir gübre tipinin bitki boyu üzerindeki etkisi diğerlerinden farklıdır.

H > \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir; tüm gübre tiplerinin bitki boyu üzerindeki etkileri birbirinden tamamen farklıdır.

H < \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilemez; gübre tipleri arasında bitki boyu açısından istatistiksel olarak anlamlı bir fark yoktur.

Serbestlik derecesi

N - k = 28

olarak alınmalı ve bu değere karşılık gelen tablo değeri ile karşılaştırma yapılarak

H_0

reddedilmelidir.

Örneklem büyüklüğü

N=32

olduğu için Kruskal-Wallis testi sonuçları geçersizdir ve parametrik Tek Yönlü ANOVA sonuçları yorumlanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H > \chi^2_{tablo}$ olduğu için $H_0$ hipotezi reddedilir; en az bir gübre tipinin bitki boyu üzerindeki etkisi diğerlerinden farklıdır.

Cevap

Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için sıfır hipotezi reddedilir ve en az bir grubun diğerlerinden farklı olduğu yorumu yapılır.

Kruskal-Wallis testinde istatistiksel karar, hesaplanan

H

değerinin seçilen anlamlılık düzeyindeki kritik Ki-kare değerinden büyük olması durumunda

H_0

hipotezinin reddedilmesi esasına dayanır.

9,420 > 7,815

olduğu için fark anlamlıdır. Bu durumun yorumu ise 'en az bir grubun (gübre tipinin) medyanının diğerlerinden farklı olduğu' şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesinin belirlenmesi

sd = k - 1 = 4 - 1 = 3

Kruskal-Wallis testi, grup sayısı üzerinden hesaplanan serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımına yakınsar.

2

Hesaplanan değer ile kritik değerin karşılaştırılması

H_{hesap} (9,420) > \chi^2_{tablo} (7,815)

İstatistiksel karar vermek için hesaplanan değerin red bölgesinde (kritik değerin sağında) olup olmadığı kontrol edilir.

3

İstatistiksel kararın verilmesi

H_0

reddedilir.

Hesaplanan değer kritik değerden büyük olduğunda, gözlenen farkın şans eseri oluşma olasılığı anlamlılık düzeyinden (

\alpha

) küçüktür.

4

Sonucun yorumlanması

En az bir gübre tipi diğerlerinden farklı etkiye sahiptir.

Sıfır hipotezinin reddedilmesi, tüm grupların aynı olduğu iddiasının çürümesi anlamına gelir; ancak hangi grupların farklı olduğunu belirlemek için post-hoc testler gerekir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Karar Kuralı

İpuçları

1

Kruskal-Wallis testinde hesaplanan değer ile kritik tablo değerini büyüklük açısından karşılaştırın.

2

Eğer

H_{hesap} > \chi^2_{kritik}

ise sıfır hipotezi (

H_0

) reddedilir. Bu durumda gruplar arasında fark var mıdır yok mudur?

3

H_0

reddedildiğinde 'en az bir grup farklıdır' mı yoksa 'tüm gruplar farklıdır' mı denilir? Temel hipotez kurulumunu hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testinde anlamlı fark bulunduktan sonra hangi grubun farklı olduğunu bulmak için kullanılan Dunn testi gibi çoklu karşılaştırma yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir araştırmacı, üç farklı kamu kurumunda ( $A, B$ ve $C$ ) çalışan personelin motivasyon düzeylerinin medyanları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını $k$ -örneklem ortanca testi ile incelemektedir. Her bir kurumdan $10$ 'ar kişilik bağımsız örneklemler seçilmiştir ( $n_A=10, n_B=10, n_C=10$ ). Tüm veriler birleştirilerek hesaplanan ortak medyan değerine göre oluşturulan $2 \times 3$ boyutundaki çapraz tablo aşağıda verilmiştir:

Kurum	Ortak Medyanın Üzerinde	Ortak Medyanın Altında veya Eşit	Toplam
$A$	7	3	10
$B$	3	7	10
$C$	5	5	10
Toplam	15	15	30

Bu verilere göre, $k$ -örneklem ortanca testi için hesaplanan $\chi^2$ (ki-kare) test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,8

1,6

2,4

3,2

4,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,2

Cevap

Hesaplanan

\chi^2

test istatistiği değeri

3,2

olarak bulunur.

Verilen çapraz tabloda her hücre için beklenen frekans

5

olarak hesaplanır (

15 \times 10 / 30 = 5

). Ki-kare formülü olan

\sum \frac{(O-E)^2}{E}

uygulandığında;

A

kurumu için

(7-5)^2/5 + (3-5)^2/5 = 1,6

;

B

kurumu için

(3-5)^2/5 + (7-5)^2/5 = 1,6

;

C

kurumu için

(5-5)^2/5 + (5-5)^2/5 = 0

değerleri elde edilir. Bunların toplamı olan

1,6 + 1,6 + 0 = 3,2

doğru test istatistiğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E

) hesaplanması.

E = 5

Her bir hücre için beklenen frekans, ilgili satır toplamı ile sütun toplamının çarpımının genel toplama bölünmesiyle bulunur:

E = \frac{15 \times 10}{30} = 5

.

2

Her bir hücre için

\frac{(O-E)^2}{E}

değerlerinin hesaplanması.

A

kurumu için:

0,8 + 0,8

;

B

kurumu için:

0,8 + 0,8

;

C

kurumu için:

0 + 0

Gözlenen frekanslar (

O

) ile beklenen frekanslar (

E

) arasındaki farkın karesi beklenen frekansa bölünür. Örneğin

A

kurumu 'Üzerinde' hücresi için:

\frac{(7-5)^2}{5} = \frac{4}{5} = 0,8

.

3

Tüm hücre bileşenlerinin toplanarak

\chi^2

istatistiğinin bulunması.

\chi^2 = 3,2

\chi^2 = 0,8 + 0,8 + 0,8 + 0,8 + 0 + 0 = 3,2

.

Anahtar Kavram

k-örneklem ortanca testi, bağımsız grupların ortak bir medyan etrafındaki dağılımlarını ki-kare analizi ile karşılaştırır.

Daha Fazla Pratik

Bu testin anlamlılık düzeyini belirlemek için serbestlik derecesinin (

df = (2-1) \times (3-1) = 2

) nasıl kullanıldığını ve kritik değerle karşılaştırma sürecini gözden geçirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, üç farklı öğretim yönteminin ( $k=3$ ) öğrencilerin başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Toplam 18 öğrenci ( $N=18$ ) üzerinde yapılan Kruskal-Wallis testi sonucunda elde edilen veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Parametre	Değer
Grup Sayısı ( $k$ )	$3$
Toplam Gözlem Sayısı ( $N$ )	$18$
Hesaplanan $H$ İstatistiği	$7,24$
Kritik Değer ( $\chi^2_{0,05; 2}$ )	$5,99$

Buna göre, araştırmacının anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ için vardığı istatistiksel karar ve yorum aşağıdakilerden hangisidir?

H > \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

reddedilir; en az bir yöntemin başarı puanı dağılımı diğerlerinden farklıdır.

H > \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

reddedilemez; yöntemler arasında başarı puanı açısından anlamlı bir fark yoktur.

H > \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

reddedilir; tüm yöntemlerin başarı puanı dağılımları birbirinden farklıdır.

Serbestlik derecesi

df = N - k = 15

olarak alınmalı ve tablo değeri bu serbestlik derecesine göre yeniden belirlenmelidir.

H < \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

reddedilemez; yöntemlerin başarı puanı dağılımları benzerdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H > \chi^2_{tablo}$ olduğu için $H_0$ reddedilir; en az bir yöntemin başarı puanı dağılımı diğerlerinden farklıdır.

Cevap

Hesaplanan

H

istatistiği (

7,24

), kritik değerden (

5,99

) büyük olduğu için sıfır hipotezi reddedilir ve en az bir grubun diğerlerinden farklı olduğu yorumu yapılır.

Test istatistiği (

H = 7,24

), kritik tablo değerinden (

5,99

) büyük olduğu için istatistiksel olarak anlamlı bir fark vardır ve

H_0

reddedilir. Bu durum, araştırmaya konu olan yöntemlerden en az birinin başarı puanı dağılımının diğerlerinden farklı olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini kontrol etme

df = k - 1 = 3 - 1 = 2

Kruskal-Wallis testi Ki-kare dağılımına yaklaşır ve serbestlik derecesi grup sayısının bir eksiğidir.

2

Hesaplanan test istatistiği ile kritik tablo değerini karşılaştırma

H_{hesaplanan} (7,24) > \chi^2_{tablo} (5,99)

İstatistiksel karara varmak için hesaplanan değer ile sınır değer karşılaştırılır.

3

Karar verme

H_0

hipotezi reddedilir.

Hesaplanan değer kritik bölgeye (sağ kuyruk) düştüğü için sıfır hipotezi reddedilir.

4

Yorumlama

En az bir grubun dağılımı diğerlerinden farklıdır.

H_0

reddedildiğinde, grupların en az birinin farklı bir popülasyondan geldiği (medyanının farklı olduğu) sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testi Karar Kuralı

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testi sonucunda anlamlı bir fark bulunduğunda hangi grupların farklı olduğunu belirlemek için kullanılan Mann-Whitney U veya Dunn testi gibi çoklu karşılaştırma yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumunda yapılan performans değerlendirme çalışmasında, üç farklı birimde çalışan personelin verimlilik puanları Kruskal-Wallis H testi ile karşılaştırılmaktadır. Toplam $15$ personelin dahil edildiği bu araştırmada, puanlar küçükten büyüğe sıralandığında $3$ personelin $75$ puanına, $4$ personelin ise $82$ puanına sahip olduğu (diğer personelin puanlarının birbirinden farklı olduğu) saptanmıştır. Yapılan hesaplamalar sonucunda düzeltilmemiş H istatistiği $H = 7,80$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, bağlı gözlemler (eş değerler) için düzeltilmiş Kruskal-Wallis $H_c$ istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

7,61

7,80

8,00

8,15

8,53

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8,00

Cevap

Düzeltilmiş Kruskal-Wallis H istatistiği 8,00 olarak hesaplanır.

Veri setinde bağlı gözlemler (aynı puanlar) olduğunda, Kruskal-Wallis H istatistiği her zaman yukarı doğru revize edilir. Bu soruda düzeltme faktörü

C = 0,975

olarak hesaplanmıştır. Düzeltilmiş değer olan

8,00

, düzeltilmemiş değerin (

7,80

) bu katsayıya bölünmesiyle doğru şekilde elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri setindeki toplam gözlem sayısını (

N

) ve bağlı gözlem gruplarındaki tekrar sayılarını (

t_i

) belirleyin.

N = 15

,

t_1 = 3

(75 puanı için),

t_2 = 4

(82 puanı için).

Düzeltme faktörü (C) formülünde kullanılacak temel parametrelerin saptanması gerekir.

2

Bağlı gözlem düzeltme faktörü (C) formülünü kullanarak pay kısmındaki

\sum(t_i^3 - t_i)

değerini hesaplayın.

\sum(t_i^3 - t_i) = (3^3 - 3) + (4^3 - 4) = (27 - 3) + (64 - 4) = 24 + 60 = 84

.

Formülün pay kısmı, her bir bağlı gruptaki eleman sayısının küpü ile kendisi arasındaki farkın toplamıdır.

3

Formülün payda kısmındaki

N^3 - N

değerini hesaplayın.

15^3 - 15 = 3375 - 15 = 3360

.

Payda kısmı, toplam gözlem sayısının hacmine dayalı standart bir değerdir.

4

Düzeltme faktörünü (

C

) tam olarak hesaplayın.

C = 1 - \frac{84}{3360} = 1 - 0,025 = 0,975

.

Düzeltme faktörü, 1'den bağların yarattığı etkinin çıkarılmasıyla elde edilen bir orandır.

5

Düzeltilmiş H istatistiğini (

H_c

) elde etmek için düzeltilmemiş H değerini C'ye bölün.

H_c = \frac{H}{C} = \frac{7,80}{0,975} = 8,00

.

H istatistiği, bağlı gözlemlerin varyansı daraltması nedeniyle her zaman yukarı doğru düzeltilir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis testinde veri setinde aynı değere sahip gözlemler (bağlar) olduğunda, H istatistiği 'bağlı gözlem düzeltme faktörü' (C) ile bölünerek düzeltilmelidir.

Soru 6Soru →

Kruskal-Wallis H testi, tek yönlü varyans analizinin (ANOVA) parametrik olmayan karşılığı olarak kabul edilir ve üç veya daha fazla bağımsız grubun karşılaştırılmasında kullanılır.

Buna göre, Kruskal-Wallis H testinin varsayımları ve hipotez yapısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Yokluk hipotezi (

H_0

), karşılaştırılan

k

adet grubun evren aritmetik ortalamalarının (

\mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k

) birbirine eşit olduğunu ifade eder.

Verilerin aynı denekler üzerinde farklı zamanlarda yapılan ölçümlerden (bağımlı örneklemler) oluştuğu durumlarda test istatistiği geçerli sonuçlar üretir.

Gözlemlerin birbirinden bağımsız seçilmesi ve bağımlı değişkenin en az sıralama (ordinal) ölçeği düzeyinde ölçülmüş olması temel varsayımlardır.

Gruplar arasında önceden belirlenmiş hiyerarşik bir sıralama (artan veya azalan eğilim) mevcut olduğunda, bu test Jonckheere-Terpstra testinden daha güçlüdür.

Analizin uygulanabilmesi için her bir gruptaki birim sayısının (

n_i

) mutlaka 30'dan büyük olması ve normal dağılım varsayımının sağlanması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlemlerin birbirinden bağımsız seçilmesi ve bağımlı değişkenin en az sıralama (ordinal) ölçeği düzeyinde ölçülmüş olması temel varsayımlardır.

Cevap

Gözlemlerin birbirinden bağımsız seçilmesi ve bağımlı değişkenin en az sıralama (ordinal) ölçeği düzeyinde ölçülmüş olması testin temel varsayımlarıdır.

Kruskal-Wallis H testinin en temel iki varsayımı, örneklemlerin birbirinden bağımsız olması (bir gruptaki birimin diğer gruptaki birimi etkilememesi) ve verilerin nicel (sürekli) veya en azından sıralama (ordinal) düzeyinde ölçülmüş olmasıdır. Bu koşullar sağlandığında test istatistiği geçerli kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Testin parametrik olup olmadığını belirleyin.

Kruskal-Wallis parametrik olmayan (non-parametric) bir testtir.

Parametrik testlerin (ANOVA gibi) normallik ve varyans homojenliği varsayımları karşılanamadığında bu teste başvurulur.

2

Ölçek türü ve veri yapısını kontrol edin.

Veriler en az sıralama (ordinal) düzeyinde olmalı ve gruplar bağımsız olmalıdır.

Bu test, verileri sıra sayılarına (ranks) dönüştürerek analiz eder, bu nedenle en azından bir sıralama ilişkisi gereklidir.

3

Hipotez kurallarını gözden geçirin.

Hipotezler medyanlar veya dağılımın geneli üzerine kurulur.

Parametrik olmayan testlerde evren ortalaması (

\mu

) gibi parametreler üzerinden hipotez kurulmaz;

H_0

genellikle 'gruplar aynı dağılıma sahiptir' şeklindedir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis testi,

k

bağımsız grubun medyanlarını veya dağılımlarını karşılaştıran, normallik varsayımı gerektirmeyen bir sıralama testidir.

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testinde anlamlı fark bulunduğunda, hangi grupların birbirinden farklı olduğunu belirlemek için kullanılan çoklu karşılaştırma (post-hoc) yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Bir araştırmacı, bir ilacın doz miktarının (10 mg, 20 mg ve 30 mg) hastaların iyileşme süreleri üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, ilaç dozu arttıkça iyileşme süresinin tek düze bir azalma göstereceği ( $H_1: \theta_{10} \geq \theta_{20} \geq \theta_{30}$ ve en az bir eşitsizlik kesin) yönündeki sıralı alternatif hipotezi (ordered alternatives) test etmek istemektedir. Verilerin normal dağılım göstermediği ve grupların bağımsız olduğu bilindiğine göre, bu araştırmada kullanılması gereken en uygun test aşağıdakilerden hangisidir?

Jonckheere-Terpstra Testi

Kruskal-Wallis H Testi

Friedman Testi

Mann-Whitney U Testi

Cochran Q Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Jonckheere-Terpstra Testi

Cevap

Sıralı alternatif hipotezleri test etmek için kullanılması gereken en uygun test Jonckheere-Terpstra testidir.

Jonckheere-Terpstra testi, bağımsız

k

grup arasında medyanların belirli bir sıraya göre (örneğin artan veya azalan doz miktarı) değiştiğini öngören sıralı alternatif hipotezleri test etmek için tasarlanmıştır. Bu soruda araştırmacı ilacın doz seviyeleri arasında bir eğilim (trend) beklediği için en uygun seçim budur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve grup sayısını analiz etme

Üç bağımsız grup (10mg, 20mg, 30mg) bulunmaktadır (

k=3

).

Kullanılacak testin grup sayısına uygun olması gerekir.

2

Hipotez türünü belirleme

Araştırmacı 'sıralı alternatifler' (ordered alternatives) veya bir 'trend' hipotezi kurmuştur.

Kruskal-Wallis testi genel farkı test ederken, Jonckheere-Terpstra testi bu tür yönlü eğilimleri test eder.

3

Varsayımları değerlendirme

Veriler normal dağılmamaktadır ve parametrik olmayan bir test gereklidir.

Parametrik olmayan testler, dağılım varsayımı sağlanmadığında tercih edilir.

4

Uygun testi seçme

Jonckheere-Terpstra testi seçilmelidir.

Bağımsız

k

örneklem durumunda grupların doğal bir sıralaması varsa ve bu sıralamaya uygun bir değişim (eğilim) bekleniyorsa Jonckheere-Terpstra testi Kruskal-Wallis testinden daha güçlüdür.

Anahtar Kavram

Sıralı alternatiflerin (ordered alternatives) test edilmesinde Jonckheere-Terpstra testinin kullanımı.

İpuçları

1

Bağımsız grup sayısının 2'den fazla olduğuna ve verilerin normal dağılmadığına dikkat edin.

2

Araştırmacının hipotezi, sadece gruplar arasında fark aramıyor; aynı zamanda doz arttıkça bir eğilim (trend) bekliyor.

3

Kruskal-Wallis testi grupların sırasız olduğu durumlarda kullanılırken, bu sorudaki gibi 'sıralı alternatifler' söz konusu olduğunda hangi testin daha güçlü olduğunu hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testi ile Jonckheere-Terpstra testi arasındaki temel farkın 'sıralı alternatifler' (ordered alternatives) olduğunu unutmayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumunda, personelin deneyim düzeylerinin (Aday Memur, Asil Memur, Kıdemli Memur) iş tatmini üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Araştırmacı, deneyim düzeyi arttıkça iş tatmini puanlarının da sürekli bir artış (tek düze eğilim) göstereceğini öngören bir "sıralı alternatifler" (ordered alternatives) hipotezi kurmuştur. Elde edilen verilerin parametrik test varsayımlarını sağlamadığı bilinmektedir.

Buna göre, araştırmacının kurmuş olduğu bu hipotezi test etmek için kullanabileceği en uygun istatistiksel yöntem aşağıdakilerden hangisidir?

Jonckheere-Terpstra Testi

Kruskal-Wallis H Testi

Mann-Whitney U Testi

Friedman Testi

İşaret Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Jonckheere-Terpstra Testi

Cevap

Jonckheere-Terpstra Testi

Jonckheere-Terpstra testi, bağımsız

k

grubun ortancaları arasında önceden belirlenmiş bir sıralı düzen (eğilim) olup olmadığını test eden parametrik olmayan bir yöntemdir. Soruda belirtilen 'deneyim düzeyi arttıkça iş tatmininin artması' beklentisi tam olarak bu testin kullanım amacına (ordered alternatives) karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısının ve grup sayısının belirlenmesi

k = 3

(Aday, Asil, Kıdemli) bağımsız grup bulunmaktadır.

Test seçimi için öncelikle grup sayısı ve grupların bağımsız olup olmadığı belirlenmelidir.

2

Hipotezin niteliğinin incelenmesi

Hipotez, gruplar arasında sıralı bir artış eğilimi (

\theta_1 \leq \theta_2 \leq \theta_3

) öngörmektedir.

Sıralı alternatifler hipotezi, standart bir fark testinden ziyade yönlü bir trend testi gerektirir.

3

Uygun non-parametrik testin seçilmesi

Jonckheere-Terpstra testi seçilmelidir.

Bağımsız

k

örneklem durumunda, grupların doğal bir sıralaması varsa ve bu sıralamaya uygun bir eğilim test ediliyorsa Jonckheere-Terpstra testi en uygun ve güçlü (powerful) seçenektir.

Anahtar Kavram

Sıralı alternatifler (ordered alternatives) durumunda bağımsız k-örneklem testi seçimi.

Daha Fazla Pratik

Jonckheere-Terpstra test istatistiğinin (J), Mann-Whitney U istatistiklerinin toplamı cinsinden nasıl hesaplandığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir kamu araştırmasında, dört farklı bölgedeki hizmet memnuniyet düzeylerinin ( $1$ : Çok Düşük, ..., $5$ : Çok Yüksek) birbirinden farklı olup olmadığı incelenmek istenmektedir. Verilerin normal dağılım sergilemediği saptanmış ve Kruskal-Wallis H testi uygulanmasına karar verilmiştir.

Buna göre, Kruskal-Wallis H testi varsayımları ve hipotezleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması ve ölçümlerin en az sıralama ölçeğinde bulunması temel varsayımdır.

Her bir örneklemin normal dağılım gösteren bir kitleden gelmesi ve varyansların homojen olması gerekir.

Yokluk hipotezi (

H_0

), karşılaştırılan grupların aritmetik ortalamalarının birbirine eşit olduğunu savunur.

Analizin geçerli olabilmesi için her bir gruptaki örneklem hacminin (

n_i

) tam olarak birbirine eşit olması zorunludur.

Kruskal-Wallis testi, bağımsız gruplar yerine aynı denekler üzerinde yapılan tekrarlı ölçümler için tasarlanmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması ve ölçümlerin en az sıralama ölçeğinde bulunması temel varsayımdır.

Cevap

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması ve ölçümlerin en az sıralama ölçeğinde bulunması temel varsayımdır.

Kruskal-Wallis H testi, parametrik olmayan bir test olarak verilerin normal dağılmadığı durumlarda kullanılır. Bu testin geçerli olabilmesi için gözlemlerin hem grup içinde hem de gruplar arasında bağımsız olması ve değişkenin en az sıralama ölçeği düzeyinde ölçülmüş olması gerekir. Bu durum, gözlemlerin bağımsızlığı ve sıralama ölçeği gerekliliğini belirten seçenekte doğru olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Test tipini ve veri yapısını belirleme

Dört bağımsız bölge (

k=4

) ve memnuniyet puanları (sıralama ölçeği) mevcuttur.

Kruskal-Wallis, bağımsız

k

grubun karşılaştırılmasında kullanılan parametrik olmayan bir yöntemdir.

2

Varsayımları kontrol etme

Gözlemler bağımsız olmalı ve veriler en az sıralama ölçeğinde olmalıdır.

Parametrik olmayan testler normallik varsayımı gerektirmez ancak verilerin sıralanabilir olması zorunludur.

3

Hipotez yapısını tanımlama

H_0

: Grupların dağılımları (veya medyanları) aynıdır;

H_1

: En az bir grubun dağılımı (veya medyanı) farklıdır.

Test, sıra sayıları üzerinden çalıştığı için aritmetik ortalamaları test etmez.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis H Testi Uygulama Koşulları

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testi sonucunda anlamlı bir fark bulunduğunda, hangi grupların birbirinden farklı olduğunu belirlemek için kullanılan çoklu karşılaştırma (post-hoc) yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 10Soru →

Üç farklı departmanda çalışan personelin stres düzeylerini karşılaştırmak amacıyla yapılan bir araştırmada toplam $N=12$ gözlem yapılmıştır. Verilerin Kruskal-Wallis testi ile analizi sonucunda, bağlı gözlemler (eş değerler) dikkate alınmadan hesaplanan düzeltilmemiş test istatistiği $H = 8,35$ olarak bulunmuştur.

Araştırmadaki veri dağılımı şu şekildedir:

Departman	Ölçüm Değerleri
Departman A	10, 15, 15, 15
Departman B	12, 18, 20, 20
Departman C	22, 25, 28, 30

Veri setinde üç gözlemin aynı değeri (15) ve iki gözlemin başka bir aynı değeri (20) paylaştığı görüldüğüne göre, bağlı gözlemler için yapılacak düzeltme sonrası elde edilecek düzeltilmiş Kruskal-Wallis test istatistiği ( $H_c$ ) yaklaşık olarak kaçtır?

8,35

8,50

8,39

10,81

9,15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8,50

Cevap

Düzeltilmiş Kruskal-Wallis H istatistiği (

H_c

) yaklaşık 8,50'dir.

Düzeltilmiş Kruskal-Wallis istatistiği, düzeltilmemiş H değerinin bağlı gözlem düzeltme faktörüne bölünmesiyle bulunur.

N=12

için payda

12^3-12=1716

, pay ise

(3^3-3)+(2^3-2)=30

olup

C=1-(30/1716) \approx 0,9825

çıkar.

8,35 / 0,9825

işlemi sonucunda elde edilen yaklaşık 8,50 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Bağlı gözlem gruplarını ve sayılarını (

t

) belirleme

t_1 = 3

(15 değerleri) ve

t_2 = 2

(20 değerleri)

Düzeltme faktörünü hesaplamak için her bir bağlı gözlem grubundaki eleman sayısını bilmemiz gerekir.

2

Bağlı gözlem toplamını (

\sum (t_i^3 - t_i)

) hesaplama

(3^3 - 3) + (2^3 - 2) = (27 - 3) + (8 - 2) = 24 + 6 = 30

Düzeltme faktörü formülünün pay kısmında yer alan terimi bulmak için her grubun küpünden kendisini çıkarıp toplarız.

3

Düzeltme faktörünü (

C

) hesaplama

C = 1 - \frac{30}{12^3 - 12} = 1 - \frac{30}{1728 - 12} = 1 - \frac{30}{1716} \approx 1 - 0,0175 = 0,9825

C = 1 - \frac{\sum(t^3-t)}{N^3-N}

formülü ile verideki bağlılıkların istatistiği ne kadar küçülttüğünü belirleriz.

4

Düzeltilmiş

H

istatistiğini (

H_c

) hesaplama

H_c = \frac{H}{C} = \frac{8,35}{0,9825} \approx 8,4987 \approx 8,50

Bağlı gözlemler varken test istatistiği

H/C

işlemi ile yukarı doğru düzeltilir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis testinde bağlı gözlemler (aynı değere sahip veriler) olduğunda, hesaplanan H değeri gerçek değerinden daha küçük çıkar. Bu durumu düzeltmek için düzeltme faktörü (C) hesaplanır ve H değeri bu faktöre bölünerek düzeltilmiş

H_c

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumunda üç farklı bölge müdürlüğünün (A, B ve C) hizmet içi eğitim sınavı sonuçlarının karşılaştırılması amacıyla Kruskal-Wallis H testi uygulanmak istenmektedir. Gruplardaki personel sayıları ve elde edilen puanlar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bölge	Sınav Puanları
A Bölgesi	15, 22, 30
B Bölgesi	10, 10, 25
C Bölgesi	5, 8, 20

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde, bu veri seti için hesaplanan Kruskal-Wallis H istatistiğinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

3,20

3,45

2,90

33,20

4,10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,20

Cevap

Hesaplanan Kruskal-Wallis H istatistiği değeri 3,20'dir.

Veriler birleştirilip sıralandığında (10 değerleri için 3,5 sırası verilerek) grup sıra toplamları 21, 15 ve 9 olarak bulunur. Toplam gözlem sayısı

N=9

ve grup sayıları

n=3

için formül uygulandığında

\frac{12}{90} \times (147 + 75 + 27) - 30 = 33,2 - 30 = 3,20

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilerin birleştirilerek sıralanması ve sıra sayılarının atanması

Sıralı Veri (Sıra No): 5 (1), 8 (2), 10 (3,5), 10 (3,5), 15 (5), 20 (6), 22 (7), 25 (8), 30 (9)

Kruskal-Wallis testi için tüm grupların verileri tek bir havuzda birleştirilerek ortak bir sıralama yapılmalıdır. 10 değerleri aynı olduğu için 3. ve 4. sıraların ortalaması olan 3,5 atanır.

2

Her grup için sıra toplamlarının (

R_i

) hesaplanması

R_A = 5 + 7 + 9 = 21

;

R_B = 3,5 + 3,5 + 8 = 15

;

R_C = 1 + 2 + 6 = 9

H istatistiği formülünde kullanılmak üzere her bir grubun gözlemlerine düşen sıra sayıları toplanır.

3

Kruskal-Wallis H formülünün uygulanması

H = \frac{12}{9(9+1)} \left( \frac{21^2}{3} + \frac{15^2}{3} + \frac{9^2}{3} \right) - 3(9+1) = 3,20

H = \left[ \frac{12}{N(N+1)} \sum \frac{R_i^2}{n_i} \right] - 3(N+1)

formülü kullanılarak test istatistiği hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis testi, bağımsız k grubun medyanlarının eşitliğini test eden parametrik olmayan bir varyans analizidir ve verilerin ortak sıralaması üzerinden hesaplanır.

Soru 12Soru →

Bir eğitim araştırmasında üç farklı öğretim yönteminin (A, B ve C) öğrencilerin başarı puanları üzerindeki etkileri karşılaştırılmaktadır. Rastgele seçilen öğrencilerin sınavdan aldıkları puanlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Yöntem A	Yöntem B	Yöntem C
$2$	$4$	$6$
$4$	$6$	$8$
$4$	$6$	$10$

Verilerde bağlı gözlemler (aynı puanlar) bulunduğu göz önüne alındığında, bu veri seti için hesaplanması gereken düzeltilmiş Kruskal-Wallis H istatistiği ( $H_c$ ) değeri yaklaşık olarak kaçtır?

6,10

5,69

5,78

5,88

5,31

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6,10$

Cevap

Düzeltilmiş Kruskal-Wallis H istatistiği (

H_c

) değeri yaklaşık olarak

6,10

olarak hesaplanır.

Verilen veri setinde

4

ve

6

puanları için üçer adet bağlı gözlem bulunmaktadır. Bu durumda ham

H

istatistiği

5,69

olarak hesaplanır. Bağlı gözlem düzeltme faktörü

C = 1 - [\sum(t^3-t)/(N^3-N)]

formülüyle

0,9333

bulunur. Ham değerin bu faktöre bölünmesiyle (

5,69 / 0,9333

) düzeltilmiş

H_c

değeri olan

6,10

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilerin birleştirilip sıralanması ve sıra numaralarının verilmesi

Sıralı veriler ve sıra numaraları:

2

(Sıra:

1

),

4, 4, 4

(Sıralar:

2, 3, 4

→ Ort:

3

),

6, 6, 6

(Sıralar:

5, 6, 7

→ Ort:

6

),

8

(Sıra:

8

),

10

(Sıra:

9

)

Kruskal-Wallis testi sıra tabanlı bir testtir ve aynı değere sahip gözlemlere sıra numaralarının ortalaması verilir.

2

Grup sıra toplamlarının (

R_i

) hesaplanması

R_A = 1 + 3 + 3 = 7

;

R_B = 3 + 6 + 6 = 15

;

R_C = 6 + 8 + 9 = 23

Test istatistiği formülünde her bir grubun sıra toplamlarının kareleri kullanılacaktır.

3

Düzeltilmemiş

H

istatistiğinin hesaplanması

H = \frac{12}{9(10)} [\frac{7^2}{3} + \frac{15^2}{3} + \frac{23^2}{3}] - 3(10) \approx 5,69

Önce ham test istatistiği bulunur, ardından bağlı gözlem düzeltmesi yapılır.

4

Bağlı gözlem düzeltme faktörünün (

C

) hesaplanması

Ties (

t

):

4

değeri için

3

tane,

6

değeri için

3

tane.

\sum(t^3-t) = (3^3-3) + (3^3-3) = 48

.

C = 1 - \frac{48}{9^3-9} = 1 - \frac{48}{720} \approx 0,9333

Veri setinde aynı değere sahip gözlemler olduğunda

H

istatistiği olduğundan küçük çıkar, bu faktörle düzeltilmelidir.

5

Düzeltilmiş

H_c

değerinin bulunması

H_c = \frac{H}{C} = \frac{5,69}{0,9333} \approx 6,10

Ham

H

istatistiğinin düzeltme faktörüne bölünmesiyle nihai test istatistiği elde edilir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testinde Bağlı Gözlem Düzeltmesi

Daha Fazla Pratik

Bağlı gözlemlerin olmadığı bir durumda

H

ve

H_c

değerlerinin birbirine eşit çıkacağını doğrulamak için benzer bir hesaplama yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 13Soru →

Bir belediyede sunulan dört farklı hizmet birimine ( $k=4$ ) yönelik vatandaş memnuniyet puanları (1-100 arası) ölçülmüştür. Verilerin normal dağılım göstermediği belirlenmiş ve birimler arası farkın analizi için Kruskal-Wallis testi uygulanmıştır. Toplam 44 katılımcıdan elde edilen verilerle hesaplanan Kruskal-Wallis test istatistiği $H = 11,42$ olarak bulunmuştur.

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde $\chi^2_{0,05; 3} = 7,81$ olduğu bilindiğine göre, test sonucu ve yapılacak yorum aşağıdakilerden hangisidir?

H_0

reddedilir; en az bir birimin memnuniyet puanı dağılımı diğerlerinden farklıdır.

H_0

reddedilemez; birimlerin memnuniyet puanları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark yoktur.

H_0

reddedilir; tüm birimlerin memnuniyet puanları birbirinden farklıdır.

H_0

reddedilemez; serbestlik derecesi

N-1 = 43

olarak alınması gerektiğinden sonuç anlamsızdır.

H_0

reddedilir; hangi birimlerin farklı olduğunu belirlemek için parametrik t-testi uygulanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0$ reddedilir; en az bir birimin memnuniyet puanı dağılımı diğerlerinden farklıdır.

Cevap

H_0

reddedilir; en az bir birimin memnuniyet puanı dağılımı diğerlerinden farklıdır.

Hesaplanan test istatistiği (

11,42

), verilen serbestlik derecesindeki kritik değerden (

7,81

) büyük olduğu için sıfır hipotezi reddedilir. Bu durum, incelenen grupların (hizmet birimlerinin) memnuniyet puanı dağılımları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğunu ve bu farkın en az bir gruptan kaynaklandığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesinin belirlenmesi

sd = k - 1 = 4 - 1 = 3

Kruskal-Wallis testinde ki-kare yaklaşımı için serbestlik derecesi grup sayısının bir eksiğidir.

2

Test istatistiği ile kritik değerin karşılaştırılması

H_{hesap} = 11,42

ve

\chi^2_{tablo} = 7,81

.

11,42 > 7,81

Hesaplanan değer tablo değerinden büyükse

H_0

hipotezi reddedilir.

3

İstatistiksel yorumun yapılması

En az bir grubun dağılımı farklıdır.

Kruskal-Wallis testi alternatif hipotezi (

H_1

), gruplardan en az birinin diğerlerinden farklı olduğu şeklinde kurulur.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Karar Kuralı ve Alternatif Hipotez Yorumu

Daha Fazla Pratik

Farkın hangi gruptan kaynaklandığını belirlemek için kullanılan çoklu karşılaştırma testlerini (post-hoc) inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir araştırmacı, üç farklı bölgede (A, B ve C) yetiştirilen ürünlerin dekara verim miktarlarının medyanları arasında fark olup olmadığını test etmek amacıyla k-örneklem ortanca (medyan) testini kullanmaya karar vermiştir. Bölgelerden alınan rastgele örneklem verileri aşağıda sunulmuştur:

Bölge	Verim Değerleri
A Bölgesi	$10, 20, 30, 40$
B Bölgesi	$15, 25, 35, 45$
C Bölgesi	$5, 50, 55, 60$

Bu verilere k-örneklem ortanca testi uygulandığında; hesaplanacak olan ortak medyan değeri ve C bölgesi için çapraz tabloda medyanın üzerinde ( $>$ ortak medyan) kalan gözlem sayısı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

32{}5

ve

3

30{}0

ve

3

32{}5

ve

1

27{}5

ve

2

35{}0

ve

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $32{}5$ ve $3$

Cevap

Ortak medyan değeri

32{}5

ve C bölgesi için medyanın üzerinde kalan gözlem sayısı

3

olarak belirlenmelidir.

Doğru seçenekte, 12 gözlemden oluşan birleşik veri setinin medyanı doğru şekilde

32{}5

olarak hesaplanmış ve C grubundaki 4 değerden 3 tanesinin bu eşik değerinden büyük olduğu saptanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm verilerin birleştirilerek küçükten büyüğe sıralanması.

Sıralı dizi:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60

. Toplam gözlem sayısı

N = 12

.

k-örneklem ortanca testinde gruplar tek bir kitle gibi düşünülerek ortak bir kesim noktası (medyan) belirlenmelidir.

2

Birleştirilmiş verinin medyanının (ortak medyan) hesaplanması.

Ortak Medyan =

\frac{30 + 35}{2} = 32{}5

.

Çift sayıda gözlem içeren dizilerde medyan, ortadaki iki değerin (6. ve 7. değerler) aritmetik ortalamasıdır.

3

C bölgesi verilerinin ortak medyan ile karşılaştırılması ve medyanın üzerindeki değerlerin sayılması.

C bölgesi verileri:

5, 50, 55, 60

. Medyandan (

32{}5

) büyük olanlar:

50, 55, 60

. Sayı =

3

.

Ortanca testinde her grup için medyanın üstünde ve altında kalanların frekansları çapraz tabloya aktarılmalıdır.

Anahtar Kavram

k-örneklem ortanca testinde ortak medyan hesabı ve çapraz tablo oluşturma mantığı.

Daha Fazla Pratik

Bu verilerle elde edilen

2 \times 3

çapraz tablo üzerinden Ki-kare test istatistiğinin nasıl hesaplandığını tekrar edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Üç farklı ilde ( $A, B$ ve $C$ ) görev yapan öğretmenlerin mesleki doyum puanlarının medyanları arasında anlamlı bir fark olup olmadığı araştırılmaktadır. Toplam $60$ öğretmenden elde edilen verilerin birleştirilmesiyle hesaplanan ortak medyan ( $M$ ) değeri kullanılarak aşağıdaki $2 \times 3$ boyutlu çapraz tablo oluşturulmuştur:

Mesleki Doyum Puanı	İl A	İl B	İl C	Toplam
Ortak Medyanın Üstünde ( $> M$ )	12	7	11	30
Ortak Medyanın Altında veya Eşit ( $\leq M$ )	8	13	9	30
Toplam	20	20	20	60

Buna göre, bu verilerle gerçekleştirilecek " $k$ -Örneklem Ortanca Testi" için hesaplanması gereken Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği değeri kaçtır?

1,4

2,8

3,2

5,6

1,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2,8$

Cevap

Hesaplanması gereken Ki-kare (

\chi^2

) test istatistiği değeri

2,8

olarak bulunur.

Verilen çapraz tabloda her bir hücre için beklenen frekans

E = (30 \times 20) / 60 = 10

olarak hesaplanır. Test istatistiği

\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}

formülüyle hesaplandığında;

A

ili için

(12-10)^2/10 + (8-10)^2/10 = 0,8

,

B

ili için

(7-10)^2/10 + (13-10)^2/10 = 1,8

ve

C

ili için

(11-10)^2/10 + (9-10)^2/10 = 0,2

değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı

0,8 + 1,8 + 0,2 = 2,8

yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_{ij}

) hesaplanması

E_{ij} = 10

Her bir hücre için beklenen frekans, o hücrenin bulunduğu satır toplamı ile sütun toplamının çarpımının genel toplama bölünmesiyle bulunur. Burada tüm sütun toplamları 20 ve satır toplamları 30 olduğundan:

E = (30 \times 20) / 60 = 10

olur.

2

Hücre bazında Ki-kare bileşenlerinin hesaplanması

Bileşenler:

0,4; 0,4; 0,9; 0,9; 0,1; 0,1

Her hücre için

(Gözlenen - Beklenen)^2 / Beklenen

formülü uygulanır. İl A:

(12-10)^2/10 = 0,4

ve

(8-10)^2/10 = 0,4

. İl B:

(7-10)^2/10 = 0,9

ve

(13-10)^2/10 = 0,9

. İl C:

(11-10)^2/10 = 0,1

ve

(9-10)^2/10 = 0,1

.

3

Bileşenlerin toplanarak test istatistiğinin bulunması

\chi^2 = 2,8

Tüm hücrelerden elde edilen değerlerin toplamı test istatistiğini verir:

0,4 + 0,4 + 0,9 + 0,9 + 0,1 + 0,1 = 2,8

.

Anahtar Kavram

k-Örneklem Ortanca Testi, k bağımsız örneklemin aynı medyana sahip populasyonlardan gelip gelmediğini test eden parametrik olmayan bir yöntemdir ve Ki-kare dağılımına dayanır.

Soru 16Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin motivasyon düzeylerinin, mezun olunan fakülte türüne (İktisat, İşletme, Siyasal Bilgiler) göre farklılık gösterip göstermediği araştırılmaktadır. Toplam $N=30$ personelin katıldığı bu çalışma için Kruskal-Wallis H testi uygulanmış ve aşağıdaki bulgular elde edilmiştir:

- Hesaplanan test istatistiği ( $H$ ): $7,38$
- Serbestlik derecesi ( $sd$ ): $2$
- Anlamlılık düzeyi ( $\alpha$ ): $0,05$
- Kritik tablo değeri ( $\chi^2_{0,05; 2}$ ): $5,99$

Buna göre, araştırma sonucunda ulaşılan istatistiksel karar ve yorum aşağıdakilerden hangisidir?

H > \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir; en az bir fakülte türünden mezun olanların motivasyon düzeyleri diğerlerinden farklıdır.

H > \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir; tüm fakülte türlerinin motivasyon düzeyleri birbirinden tamamen farklıdır.

H < \chi^2_{tablo}

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilemez; fakülte türleri arasında motivasyon açısından anlamlı bir fark bulunmamıştır.

Serbestlik derecesi

N-k=27

olarak hesaplanması gerektiğinden, kullanılan tablo değeri yanlıştır ve analiz geçersizdir.

H

istatistiği sıfıra yakın olmadığı için örneklem büyüklüğü yetersizdir ve analiz sonuçları yorumlanamaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H > \chi^2_{tablo}$ olduğu için $H_0$ hipotezi reddedilir; en az bir fakülte türünden mezun olanların motivasyon düzeyleri diğerlerinden farklıdır.

Cevap

Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için sıfır hipotezi reddedilir ve en az bir grubun diğerlerinden farklı olduğu sonucuna varılır.

Verilen soruda hesaplanan H istatistiği (

7,38

),

\alpha=0,05

anlamlılık düzeyindeki kritik tablo değerinden (

5,99

) büyüktür. Bu durum, yokluk hipotezinin (

H_0

) istatistiksel olarak reddedildiği anlamına gelir. Kruskal-Wallis testi bir genel (omni-bus) test olduğundan, reddetme kararı bize karşılaştırılan grupların (fakültelerin) en az biri arasında motivasyon puanları açısından anlamlı bir fark olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Grupların dağılımları aynıdır.

H_1

: En az bir grubun dağılımı farklıdır.

Kruskal-Wallis testi

k

bağımsız örneklemin aynı anakütleden gelip gelmediğini test eder.

2

Karar kuralının uygulanması

H_{hesaplanan} = 7,38

ve

H_{tablo} = 5,99

.

7,38 > 5,99

durumu gerçekleşmiştir.

Hesaplanan değer tablo değerinden büyükse

H_0

hipotezi reddedilir.

3

İstatistiksel yorumun yapılması

H_0

reddedilir; en az bir fakülte türü motivasyon açısından farklıdır.

Test anlamlı çıktığında genel bir fark olduğu söylenir, ancak farkın hangi gruptan kaynaklandığını anlamak için çoklu karşılaştırma testleri yapılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testi Karar Kuralı

Daha Fazla Pratik

Kruskal-Wallis testinde anlamlı fark bulunduktan sonra hangi grupların farklı olduğunu belirlemek için kullanılan 'Dunn Testi' veya 'Bonferroni düzeltmeli Mann-Whitney U' gibi çoklu karşılaştırma yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir sosyal hizmetler uzmanı, farklı sosyo-ekonomik düzeylerdeki (Düşük, Orta, Yüksek) mahallelerde yaşayan ailelerin aylık ortalama kitap okuma sürelerini karşılaştırmaktadır. Uzman, sosyo-ekonomik düzey arttıkça kitap okuma süresinin de tek düze (monoton) bir artış göstereceği yönünde bir hipotez kurmuştur. Verilerin normal dağılım varsayımını karşılamadığı ve grupların birbirinden bağımsız olduğu belirlenmiştir. Bu durumda, uzman tarafından kurulan sıralı alternatif hipotezini ( $H_1: \theta_{Düşük} \leq \theta_{Orta} \leq \theta_{Yüksek}$ ) test etmek için kullanılması gereken en güçlü parametrik olmayan test aşağıdakilerden hangisidir?

Jonckheere-Terpstra Testi

Kruskal-Wallis H Testi

Mann-Whitney U Testi

Friedman Testi

k-Örneklem Ortanca Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Jonckheere-Terpstra Testi

Cevap

Sıralı alternatif hipotezlerinin (trend testi) test edilmesinde en uygun parametrik olmayan yöntem Jonckheere-Terpstra Testidir.

Jonckheere-Terpstra testi, bağımsız k grubun medyanları arasında monoton (tek düze) artan veya azalan bir eğilimin olup olmadığını test etmek amacıyla geliştirilmiştir. Soruda belirtilen 'sosyo-ekonomik düzey arttıkça okuma süresinin artması' beklentisi doğrudan bir sıralı alternatif hipotezidir ve bu durumda bu test en yüksek güce sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1

Grup yapısının ve bağımsızlık durumunun incelenmesi

Düşük, Orta ve Yüksek sosyo-ekonomik düzey olmak üzere 3 (

k > 2

) bağımsız grup bulunmaktadır.

Test seçiminde ilk adım grup sayısı ve gruplar arası ilişkinin belirlenmesidir.

2

Grupların doğal sıralamasının ve hipotez yönünün belirlenmesi

Gruplar arasında 'Düşük < Orta < Yüksek' şeklinde doğal bir sıralama vardır ve hipotez bu sıralamaya paralel bir artış (trend) öngörmektedir.

Jonckheere-Terpstra testi, sadece gruplar arası farkı değil, bu farkın belirli bir yönde (sıralı alternatif) olup olmadığını inceler.

3

Uygun istatistiksel testin seçilmesi

Normal dağılım sağlanmadığı ve

H_1

sıralı bir eğilim belirttiği için Jonckheere-Terpstra testi seçilir.

Kruskal-Wallis testi sıralı olmayan (genel fark) alternatifler için, Jonckheere-Terpstra ise sıralı alternatifler için en güçlü non-parametrik testtir.

Anahtar Kavram

Bağımsız k örneklem durumunda, grupların doğal bir sıralamaya sahip olması ve alternatif hipotezin bu sıralamaya uygun bir eğilim (trend) belirtmesi durumunda Jonckheere-Terpstra testi kullanılır.

Soru 18Soru →

Üç veya daha fazla ( $k > 2$ ) bağımsız grubun karşılaştırılmasında kullanılan Kruskal-Wallis H testinin varsayımları ve hipotez yapısı dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Testin temel amacı, karşılaştırılan grupların evren aritmetik ortalamaları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemektir.

Verilerin mutlaka normal dağılım göstermesi ve grupların varyanslarının homojen olması temel bir ön şarttır.

Örneklemlerin birbirinden bağımlı (eşleştirilmiş) olması durumunda da ANOVA'ya alternatif olarak uygulanabilir.

Yokluk hipotezi (

H_0

), incelenen

k

adet grubun evren dağılımlarının birbiriyle özdeş olduğunu ifade eder.

Bağımlı değişkenin sadece sınıflama (nominal) ölçeğinde ölçülmüş olması, testin geçerliliği için yeterli bir koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yokluk hipotezi ( $H_0$ ), incelenen $k$ adet grubun evren dağılımlarının birbiriyle özdeş olduğunu ifade eder.

Cevap

Yokluk hipotezi (

H_0

), incelenen grupların evren dağılımlarının özdeş olduğunu savunan ifadedir.

Doğru ifade, Kruskal-Wallis testinin yokluk hipotezinin grupların evren dağılımlarının özdeş olduğunu belirtmesidir. Bu test, parametrik olmayan bir yöntem olarak verilerin sıralarını analiz eder ve kitlelerin dağılım şekillerinin veya merkezi eğilimlerinin (konumlarının) farklı olup olmadığını denetler.

Adım Adım Çözüm

1

Testin niteliğini belirle

Kruskal-Wallis H testi, parametrik olmayan bir

k

bağımsız örneklem testidir.

Bu test, ANOVA'nın varsayımları (normallik, homojenlik) sağlanamadığında kullanılır.

2

Veri yapısını ve ölçeğini kontrol et

Veriler en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olmalıdır.

Parametrik olmayan testler, ham değerler yerine bu değerlerin sıra numaraları üzerinden işlem yapar.

3

Hipotezleri formüle et

H_0

: Grupların evren dağılımları aynıdır;

H_1

: En az iki grubun dağılımı (konumu) farklıdır.

Test, grupların aynı kitleden gelip gelmediğini veya benzer dağılımlara sahip olup olmadığını sorgular.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testi Varsayımları ve Hipotezleri

Soru 19Soru →

Bir araştırmacı, üç farklı kamu bankası şubesindeki ( $X, Y$ ve $Z$ ) müşteri bekleme sürelerinin medyanları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını $k$ -örneklem ortanca testi ile incelemektedir. Toplam $30$ müşteriden elde edilen verilerle hesaplanan ortak medyan değerine göre oluşturulan kontenjans tablosu aşağıdadır:

Bekleme Süresi	X Şubesi	Y Şubesi	Z Şubesi	Toplam
Ortak Medyandan Büyük	$6$	$4$	$5$	$15$
Ortak Medyandan Küçük veya Eşit	$4$	$6$	$5$	$15$
Toplam	$10$	$10$	$10$	$30$

Buna göre, bu veri seti için hesaplanacak Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği değeri kaçtır?

0,4

0,8

1,2

2,0

4,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,8$

Cevap

Hesaplanan Ki-kare test istatistiği değeri 0,8'dir.

Kontenjans tablosundaki her bir hücre için beklenen frekans

5

olarak hesaplanır. Gözlenen değerler ile beklenen değerler arasındaki farkların kareleri toplandığında

1+1+0+1+1+0=4

elde edilir. Bu toplam beklenen frekans olan

5

'e bölündüğünde test istatistiği

0,8

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E

) hesaplanması

E = \frac{15 \times 10}{30} = 5

Ki-kare testinde her bir hücre için beklenen frekans, o hücrenin bulunduğu satır toplamı ile sütun toplamının çarpımının genel toplama bölünmesiyle bulunur. Bu soruda tüm satır ve sütun toplamları orantılı olduğu için her hücre için

E=5

olur.

2

Gözlenen değerler (

O

) ve beklenen değerler (

E

) arasındaki farkların karelerinin hesaplanması

(6-5)^2=1

,

(4-5)^2=1

,

(5-5)^2=0

(ikişer kez)

Ki-kare formülü olan

\sum \frac{(O-E)^2}{E}

ifadesindeki pay kısmını oluşturmak için farkların karesi alınır.

3

Test istatistiğinin hesaplanması

\chi^2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{0}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{0}{5} = \frac{4}{5} = 0,8

Her hücre için hesaplanan değerler toplanarak nihai test istatistiği elde edilir.

Anahtar Kavram

k-Örneklem Ortanca Testi ve Ki-kare İstatistiği

İpuçları

1

Öncelikle her bir hücre için beklenen frekansı (

E

) hesaplayın.

2

Tüm hücreler için beklenen frekansın

5

olduğunu göreceksiniz. Şimdi

\frac{(O-E)^2}{E}

formülünü her hücreye uygulayın.

3

Tabloda farkı sıfır olmayan 4 hücre vardır ve her birinin katkısı

1/5 = 0,2

birimdir. Bu katkıları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Farklı örneklem büyüklükleri ve serbestlik dereceleri ile Ki-kare kritik değerlerini karşılaştırarak hipotez testi sonuçlarını yorumlayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Bir eğitim uzmanı, üç farklı öğretim yönteminin (Yöntem A, Yöntem B ve Yöntem C) öğrenci başarısı üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla rastgele seçilen öğrencilere uygulanan test sonuçlarını incelemektedir. Grupların örneklem büyüklükleri ve elde edilen puanlar aşağıda verilmiştir:

* Yöntem A ( $n_1=8$ ): $65, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85$
* Yöntem B ( $n_2=8$ ): $60, 62, 68, 71, 74, 76, 79, 81$
* Yöntem C ( $n_3=8$ ): $55, 58, 63, 64, 66, 67, 69, 73$

Bu verilere dayanarak yapılacak olan " $k$ -Örneklem Ortanca (Medyan) Testi" için hesaplanması gereken Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği değeri kaçtır?

7,0

70,5

2,0

14,0

5,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7,0$

Cevap

Verilen üç grubun ortak medyanı üzerinden oluşturulan çapraz tablo yardımıyla hesaplanan Ki-kare test istatistiği

7,0

değerine eşittir.

Veriler birleştirilip sıralandığında ortak medyan

70,5

olarak bulunur. Bu değere göre gruplardaki gözlemler 'medyanın üstü' ve 'medyanın altı' şeklinde ayrıldığında, tüm hücreler için beklenen frekans

4

olur. Gözlenen değerler ile beklenen değerler arasındaki farkların karelerinin beklenen değerlere oranlanıp toplanmasıyla elde edilen

\chi^2

değeri

7,0

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak medyanı hesapla

70,5

Tüm gruplardaki veriler (

N=24

) küçükten büyüğe sıralandığında 12. değer

70

ve 13. değer

71

olup; ortak medyan

\frac{70+71}{2} = 70,5

olur.

2

Çapraz tabloyu oluştur (Gözlenen Frekanslar)

A: (6 Üst, 2 Alt); B: (5 Üst, 3 Alt); C: (1 Üst, 7 Alt)

Her gruptaki değerlerin kaç tanesinin

70,5

değerinin üstünde ve kaç tanesinin altında/eşitinde olduğu sayılır.

3

Beklenen frekansları hesapla

E_{ij} = 4

Tüm hücreler için beklenen frekans

E = \frac{\text{Satır Toplamı} \times \text{Sütun Toplamı}}{\text{Genel Toplam}} = \frac{12 \times 8}{24} = 4

olarak hesaplanır.

4

Ki-kare istatistiğini hesapla

\chi^2 = 7,0

\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E} = \frac{(6-4)^2}{4} + \frac{(2-4)^2}{4} + \frac{(5-4)^2}{4} + \frac{(3-4)^2}{4} + \frac{(1-4)^2}{4} + \frac{(7-4)^2}{4} = 1 + 1 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 2,25 = 7,0

bulunur.

Anahtar Kavram

k-Örneklem Ortanca Testi, grupların ortak bir medyan değerine göre dağılımlarının farklılaşıp farklılaşmadığını

2 \times k

tipi çapraz tablo üzerinden Ki-kare analizi ile test eder.

Daha Fazla Pratik

Bu testin anlamlı çıkması durumunda, hangi grubun medyanının farklı olduğunu belirlemek için yapılacak post-hoc analizleri inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

k Bağımsız Örneklem Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap