Tabakalı Rastgele Örnekleme Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir belediye, iki farklı mahalledeki ( $A$ ve $B$ ) konutların aylık ortalama su tüketim miktarlarını belirlemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi uygulamıştır. Mahallelerin büyüklükleri ve seçilen örneklemlerden elde edilen istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mahalle	Konut Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Örneklem Varyansı ( $s_h^2$ )
$A$	$100$	$10$	$100$
$B$	$200$	$20$	$400$

Buna göre, bu iki mahalledeki konutların toplam su tüketiminin tahmin edicisine ilişkin standart hata kaçtır?

900

949

67

71

810

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $900$

Cevap

900

Doğru yanıt olan

900

değeri, her tabaka için

N_h^2 \times \frac{s_h^2}{n_h} \times \frac{N_h - n_h}{N_h}

formülü uygulanıp tabaka sonuçları toplandıktan sonra toplam değerin (

810.000

) karekökü alınarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için ortalamanın varyansı hesaplanır (

V(\bar{y}_h) = \frac{s_h^2}{n_h} (1 - f_h)

).

V(\bar{y}_A) = \frac{100}{10} (1 - \frac{10}{100}) = 10 \times 0,9 = 9

;

V(\bar{y}_B) = \frac{400}{20} (1 - \frac{20}{200}) = 20 \times 0,9 = 18

.

Kitle toplamının varyansına ulaşmak için önce her tabakadaki ortalamanın varyans değerleri belirlenmelidir.

2

Kitle toplamının varyansı, tabaka toplamlarının varyanslarının toplamı olarak hesaplanır (

V(\hat{\tau}_{st}) = \sum N_h^2 V(\bar{y}_h)

).

V(\hat{\tau}_{st}) = (100^2 \times 9) + (200^2 \times 18) = (10.000 \times 9) + (40.000 \times 18) = 90.000 + 720.000 = 810.000

.

Kitle toplamı tahmin edicisinin varyansı, her bir tabaka toplamının varyansının ağırlıklı toplamıdır.

3

Tahmin edicinin standart hatası hesaplanır (

S_{\hat{\tau}_{st}} = \sqrt{V(\hat{\tau}_{st})}

).

\sqrt{810.000} = 900

.

Varyansın karekökü bize tahmin edicinin standart hatasını verir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede kitle toplamının tahmini ve varyansının hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 22Soru →

Bir bölgedeki buğday üreticilerinin yıllık ortalama verimini (ton/hektar) tahmin etmek amacıyla kitle "Sulu Tarım" ve "Kuru Tarım" olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ilişkin kitle ve örneklem bilgileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka ( $h$ )	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Tabaka Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )
Sulu Tarım	2000	100	80
Kuru Tarım	3000	400	70

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini ( $\bar{y}_{st}$ ) kaçtır?

72

73

74

75

76

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Tabakalı rastgele örnekleme yöntemi ile hesaplanan kitle ortalaması tahmini 74 ton/hektardır.

Doğru yanıt olan 74 değeri, kitledeki her tabakanın büyüklüğü (

N_h

) dikkate alınarak hesaplanmıştır. Toplam kitle hacmi

5000

iken birinci tabakanın ağırlığı

2000/5000 = 0,4

ve ikinci tabakanın ağırlığı

3000/5000 = 0,6

olarak bulunur. Bu ağırlıkların ilgili tabaka ortalamalarıyla (

80

ve

70

) çarpılıp toplanması (

0,4 \cdot 80 + 0,6 \cdot 70

) sonucunda

74

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesaplayınız.

N = N_1 + N_2 = 2000 + 3000 = 5000

Tabaka ağırlıklarının (

W_h

) hesaplanabilmesi için kitle toplam hacminin bilinmesi gerekir.

2

Tabaka ağırlıklarını (

W_h = \frac{N_h}{N}

) hesaplayınız.

W_1 = \frac{2000}{5000} = 0,4

W_2 = \frac{3000}{5000} = 0,6

Her tabakanın kitle ortalaması üzerindeki etkisi, kitle içindeki oransal büyüklüğü kadardır.

3

Tabakalı kitle ortalaması tahmin edicisi formülünü uygulayınız.

\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{L} W_h \bar{y}_h = (0,4 \times 80) + (0,6 \times 70) = 32 + 42 = 74

Kitle ortalaması tahmini, tabaka ortalamalarının ilgili tabaka ağırlıklarıyla çarpılmasıyla elde edilen ağırlıklı ortalamadır.

Anahtar Kavram

Tabakalı rastgele örneklemede kitle ortalamasının nokta tahmini, her tabakanın kendi ortalamasının kitledeki tabaka ağırlığı (

W_h = N_h / N

) ile çarpılıp toplanması esasına dayanır.

Soru 23Soru →

Bir araştırmacı, bir bölgedeki tarım işletmelerinin yıllık gelirlerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmayı planlamaktadır. Araştırmacı elindeki iki yardımcı değişkenden hangisinin daha iyi bir tabakalama kriteri olacağını belirlemek için bir ön çalışma yapmış ve şu bulgulara ulaşmıştır:

* İşletme Büyüklüğü: Bu değişkene göre oluşturulan grupların kendi içindeki gelir farkları oldukça azdır; ancak grupların ortalama gelirleri birbirlerinden çok farklıdır.
* İşletme Sahibinin Yaşı: Bu değişkene göre oluşturulan grupların kendi içindeki gelir farkları oldukça yüksektir; ancak grupların ortalama gelirleri birbirine çok yakındır.

Tabakalı rastgele örneklemede tahmin edicinin varyansını minimize etme ilkesi dikkate alındığında, araştırmacının izlemesi gereken strateji aşağıdakilerden hangisidir?

Tahmin edicinin etkinliğini artırmak için "işletme büyüklüğü" değişkeni tabakalama kriteri olarak seçilmelidir; çünkü bu değişken tabaka içi homojenliği sağlamaktadır.

Tahmin edicinin varyansını düşürmek için "işletme sahibinin yaşı" değişkeni tercih edilmelidir; çünkü tabaka içi heterojenlik örnekleme hatasını azaltır.

Gruplar arası farkların yüksek olması toplam hata payını artıracağından, tabakalar arası homojenliğin sağlandığı "işletme sahibinin yaşı" değişkeni kullanılmalıdır.

Tabakalı örneklemede temel amaç tabaka ortalamalarının birbirine yakın olması olduğundan "işletme sahibinin yaşı" değişkeni daha uygundur.

Her iki değişkenin de kitle ortalamasını tahmin etme gücü benzer olacağından, birimlerin kolayca sınıflandırılabildiği "işletme sahibinin yaşı" değişkeni seçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edicinin etkinliğini artırmak için "işletme büyüklüğü" değişkeni tabakalama kriteri olarak seçilmelidir; çünkü bu değişken tabaka içi homojenliği sağlamaktadır.

Cevap

Tahmin edicinin etkinliğini artırmak için tabaka içi homojenliği ve tabakalar arası heterojenliği en iyi sağlayan "işletme büyüklüğü" değişkeni seçilmelidir.

Tabakalı rastgele örneklemede temel amaç, kitleyi öyle gruplara ayırmaktır ki her bir grup (tabaka) kendi içinde mümkün olduğunca az değişkenlik göstersin (homojen olsun). Bu sayede her tabakadan seçilecek küçük örneklemler o tabakayı çok iyi temsil edebilir. Aynı zamanda tabakaların ortalamalarının birbirinden farklı (heterojen) olması, kitlenin farklı özelliklerinin tam olarak yansıtılmasını sağlar. Senaryoda 'işletme büyüklüğü' bu iki kriteri de sağladığı için en etkin tabakalama kriteridir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka içi varyans analizi yapılması

İşletme büyüklüğü için tabaka içi varyansın düşük (homojen), yaş değişkeni için yüksek (heterojen) olduğu tespit edilir.

Örnekleme hatasını azaltmak için tabaka içi birimlerin birbirine benzemesi gerekir.

2

Tabakalar arası varyans analizi yapılması

İşletme büyüklüğü grupları arasında farkların yüksek (heterojen), yaş grupları arasında ise düşük (homojen) olduğu tespit edilir.

Tabakalı örneklemenin etkinliği, tabakaların kitlenin farklı segmentlerini temsil etmesine bağlıdır.

3

Kriter seçimi ve karar verme

İşletme büyüklüğü değişkeninin ideal tabakalama ilkelerine (içi homojen, arası heterojen) uyduğu görülür.

Bu yapı, tahmin edicinin varyansını (

V(\bar{y}_{st})

) minimize ederek en etkin sonucu verir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede temel ilke: Tabaka içi birimlerin homojen (benzer), tabakaların kendi aralarında ise heterojen (farklı) olmasıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir ilçe tarım müdürlüğü, bölgesinde bulunan toplam $N = 800$ meyve üreticisinin yıllık ortalama rekoltesini tahmin etmek istemektedir. Üreticiler, arazi büyüklüklerine göre iki tabakaya ayrılmış olup tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Üretici Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
Küçük Ölçekli	500	64
Büyük Ölçekli	300	144

Kitle ortalamasını $\%95$ güven düzeyinde ( $z = 2$ ), $d = 2$ birim hata payı ile tahmin etmek amacıyla orantılı dağıtım yöntemi kullanılacaktır. Bu bilgilere göre, seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi ( $n$ ) kaçtır?

81

85

91

94

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 85

Cevap

Seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi 85 birimdir.

Kitle büyüklüğü

N=800

ve hata payı parametreleri

d=2, z=2

iken orantılı dağıtım altında örneklem hacmi

n = \frac{N \sum N_h S_h^2}{N^2 D + \sum N_h S_h^2}

formülüyle hesaplanır. Hesaplama sonucunda elde edilen

84,11

değeri, istatistiksel standartlar gereği

85

birime yuvarlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans sınırı değerini (

D

) hesaplayınız.

D = \frac{d^2}{z^2} = \frac{2^2}{2^2} = 1

Örneklem hacmi formülünde kitle ortalaması tahmini için tolerans payını normalize etmek gerekir.

2

Ağırlıklı tabaka varyans toplamını (

\sum N_h S_h^2

) hesaplayınız.

\sum N_h S_h^2 = (500 \times 64) + (300 \times 144) = 32.000 + 43.200 = 75.200

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi, tabaka büyüklükleri ve varyanslarının ağırlıklı toplamına bağlıdır.

3

Sonlu kitle düzeltmesi içeren orantılı dağıtım formülünü uygulayınız.

n = \frac{N \sum N_h S_h^2}{N^2 D + \sum N_h S_h^2} = \frac{800 \times 75.200}{800^2 \times 1 + 75.200}

Kitle büyüklüğü bilindiğinde örneklem hacmini belirlemek için standart tabakalı örnekleme formülü kullanılır.

4

İşlemi sonuçlandırıp yukarı yuvarlayınız.

n = \frac{60.160.000}{640.000 + 75.200} = \frac{60.160.000}{715.200} \approx 84,11 \rightarrow 85

Örneklem birim sayısı tam sayı olmalı ve belirlenen hata payını aşmamak için daima bir üst tam sayıya tamamlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Orantılı Dağıtım ile Örneklem Hacmi Belirlenmesi

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti için Neyman dağıtımı kullanıldığında örneklem hacminin nasıl değiştiğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

Bir ildeki sağlık hizmetlerinin kalitesini ölçmek amacıyla hastaneler 'Kamu Hastaneleri' ve 'Özel Hastaneler' şeklinde iki tabakaya ayrılmıştır. Hasta memnuniyet puanlarının ( $0-100$ arası) tahmin edilmesi planlanan bu çalışmaya ait veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Kitle Birim Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Birim Sayısı ( $n_h$ )	Tabaka Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )
Kamu Hastaneleri	150	40	72
Özel Hastaneler	50	10	84

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini kaçtır?

75,0

78,0

74,4

81,0

72,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75,0

Cevap

Tabakalı kitle ortalaması tahmini 75,0 olarak hesaplanır.

Doğru sonuç olan 75,0 değeri, kitle büyüklükleri oranında (Kamu: %75, Özel: %25) tabaka ortalamalarının ağırlıklandırılmasıyla hesaplanmıştır. Bu yöntem, her tabakanın kitledeki gerçek payını temsil etmesini sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesaplayınız.

N = N_1 + N_2 = 150 + 50 = 200

Tabaka ağırlıklarını bulmak için toplam kitle büyüklüğüne ihtiyaç duyulur.

2

Her bir tabaka için tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesaplayınız.

W_1 = \frac{150}{200} = 0,75

ve

W_2 = \frac{50}{200} = 0,25

Tabakalı örneklemede her tabakanın kitle içindeki temsil payı kendi büyüklüğüyle orantılıdır.

3

Tabakalı kitle ortalaması formülünü uygulayınız.

\bar{y}_{st} = (W_1 \times \bar{y}_1) + (W_2 \times \bar{y}_2) = (0,75 \times 72) + (0,25 \times 84) = 54 + 21 = 75,0

Kitle ortalaması, tabaka ortalamalarının tabaka ağırlıklarıyla çarpılarak toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı kitle ortalaması tahmini (

\bar{y}_{st}

), tabaka ortalamalarının tabaka ağırlıklarıyla (

W_h = N_h/N

) ağırlıklandırılmış toplamıdır.

İpuçları

1

Öncelikle kitledeki toplam birim sayısını (

N = N_1 + N_2

) bularak işe başlayın.

2

Her tabaka için ağırlık katsayısını (

W_h = N_h / N

) hesaplayın; bu değerler kitledeki payı gösterir.

3

Kitle ortalaması için

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h

formülünü kullanarak ağırlıklı toplamı bulun.

Daha Fazla Pratik

Tabaka ortalamalarının varyansı verildiğinde, kitle ortalamasının varyansını (

V(\bar{y}_{st})

) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak doğrudan

\bar{y}_{st} = \frac{\sum N_h \bar{y}_h}{N}

formülü kullanılabilir:

\frac{(150 \times 72) + (50 \times 84)}{200} = \frac{10800 + 4200}{200} = \frac{15000}{200} = 75

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 26Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan $N = 2000$ personelin aylık ortalama eğitim harcaması, %95 güven düzeyinde $d = 2$ TL hata payı ile tahmin edilmek istenmektedir. Personel, unvanlarına göre iki tabakaya ayrılmış olup bu tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Varyans ( $S_h^2$ )
1. Tabaka	1200	400
2. Tabaka	800	900

Bu araştırmada orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanılacağına göre, tahmin için gerekli minimum toplam örneklem hacmi ( $n$ ) kaçtır? ( $Z_{0.05} = 2$ alınız.)

448

462

576

600

787

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 462

Cevap

Gerekli minimum toplam örneklem hacmi 462 birimdir.

Doğru yanıt olan seçenek, ağırlıklı varyans toplamının (

Σ W_h S_h^2 = 600

) hedeflenen varyansa (

V=1

) bölünmesiyle elde edilen

n_0=600

değerinin, kitle büyüklüğü (

N=2000

) ile düzeltilmesi (600 / 1,3) sonucunda elde edilen yaklaşık 462 değerini temsil etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h

) ve ağırlıklı varyans toplamını (

Σ W_h S_h^2

) hesaplayınız.

W_1 = 1200 / 2000 = 0,6

ve

W_2 = 800 / 2000 = 0,4

. Ağırlıklı varyans:

(0,6 \times 400) + (0,4 \times 900) = 240 + 360 = 600

.

Orantılı dağıtımda örneklem varyansı bu ağırlıklı ortalama üzerinden belirlenir.

2

Tahmin edicinin izin verilen maksimum varyansını (

V

) hesaplayınız.

V = (d / Z)^2 = (2 / 2)^2 = 1

.

Hata payı ve güven düzeyi arasındaki ilişki varyans sınırını belirler.

3

İlk örneklem hacmini (

n_0

) hesaplayınız.

n_0 = (\sum W_h S_h^2) / V = 600 / 1 = 600

.

Kitle sonsuz varsayıldığında gerekli olan temel hacim budur.

4

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) uygulayarak nihai örneklem hacmini (

n

) bulunuz.

n = n_0 / (1 + n_0 / N) = 600 / (1 + 600 / 2000) = 600 / 1,3 \approx 461,53

.

Kitle sonlu (

N=2000

) olduğu için düzeltme yapılarak örneklem hacmi optimize edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım altında örneklem hacmi belirlenirken, tabaka varyanslarının kitledeki ağırlıklarıyla çarpımı ve kitle büyüklüğünün (N) etkisi (SKD) temel alınır.

İpuçları

1

Öncelikle her tabakanın kitle içindeki ağırlığını (

W_h = N_h / N

) bulun.

2

Orantılı dağıtımda pay kısmında tabaka varyanslarının ağırlıklı toplamını kullanmalısınız.

3

Kitle büyüklüğü

N=2000

verildiği için bulduğunuz ilk değeri

1 + (n_0/N)

ifadesine bölmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle Neyman dağıtımı kullanılsaydı örneklem hacminin nasıl değişeceğini hesaplayarak 'tasarım etkisi' kavramını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 27Soru →

Tabakalı rastgele örnekleme yönteminin teorik temelleri ve uygulama esasları düşünüldüğünde;

I. Tabakalar, kitledeki tüm birimleri kapsamalı ve bir birim birden fazla tabakada yer almamalıdır.
II. Yöntemin etkinliğini artırmak için tabaka içi varyansların mümkün olduğunca büyük, tabakalar arası varyansın ise mümkün olduğunca küçük tutulması gerekir.
III. Tabakalama kriteri olarak kullanılan yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki korelasyon arttıkça, tahmin edicilerin varyansı azalır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Tabakalı örneklemede tabakaların kitleyi tam kapsaması ve birimlerin tek bir tabakaya ait olması temel bir gerekliliktir; ayrıca yardımcı değişkenle olan yüksek korelasyon tahmin hassasiyetini artırırken, tabaka içi varyansın küçük (homojen) olması beklenir.

Doğru seçenek, tabakalı örneklemenin iki temel sütununa odaklanmaktadır: Birincisi, tabakaların kitleyi hatasız ve çakışmasız şekilde bölmesi (I); ikincisi ise tabaka oluşturma kriteri ile asıl değişken arasındaki güçlü ilişkinin (korelasyon) tahminin doğruluğunu ve hassasiyetini artırmasıdır (III).

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka yapısının tanımını kontrol etme

Tabakalar, kitleyi (N) birbirini dışlayan (mutually exclusive) ve kitleyi tam kapsayan (collectively exhaustive) alt gruplara bölmelidir. Yani

N = \sum_{h=1}^{L} N_h

olmalıdır.

Bu, tabakalı örneklemenin temel matematiksel tanımıdır ve I. öncülde doğru verilmiştir.

2

Yöntemin etkinliğini sağlayan varyans ilkesini analiz etme

Tabakalı örnekleme, tabaka içi (within-strata) varyansın küçük, tabakalar arası (between-strata) varyansın büyük olduğu durumlarda en yüksek etkinliği sağlar.

II. öncülde bu ilkenin tam tersi (içi büyük, arası küçük) verildiği için bu ifade hatalıdır.

3

Yardımcı değişken ve korelasyon ilişkisini değerlendirme

Tabakalar, ilgilenilen değişkenle yüksek korelasyona sahip bir yardımcı değişkene göre oluşturulursa, tabaka içi birimler daha benzer (homojen) hale gelir ve tahmin edicinin varyansı (

V(\bar{y}_{st})

) düşer.

III. öncül, korelasyon arttıkça varyansın azalacağını belirterek bu istatistiksel ilişkiyi doğru ifade etmiştir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede temel amaç, kitle varyansını tabakalar arası farklılıklara hapsederek tabaka içi varyansı minimize etmek ve tahmin hassasiyetini artırmaktır.

Alternatif Yöntem

Varyans analizi (ANOVA) mantığıyla düşünülürse; toplam kitle varyansı 'gruplar içi' ve 'gruplar arası' varyans olarak ikiye ayrılır. Tabakalı örneklemede örnekleme hatası sadece 'gruplar içi' varyanstan kaynaklanır. Dolayısıyla gruplar (tabakalar) arası farklar ne kadar çok açıklanırsa (arasındaki varyans ne kadar büyükse), hata o kadar azalır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgedeki tarımsal işletmelerin yıllık üretim miktarlarını incelemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmaya karar vermiştir. Toplamda $n = 160$ işletmeden oluşan bir örneklem seçilmesi planlanmaktadır. Bölgelere (tabakalara) ilişkin birim sayıları ve standart sapma değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka (Bölge)	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
I. Bölge	400	10
II. Bölge	600	20

Buna göre, Neyman dağıtımı (varyansla orantılı dağıtım) yöntemine göre II. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) kaçtır?

120

96

80

64

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre II. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi 120'dir.

Neyman dağıtımında, her tabakadan seçilecek birim sayısı

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülüyle belirlenir. Verilen verilere göre payda değeri

\sum N_h S_h = (400 \times 10) + (600 \times 20) = 16000

olarak bulunur. II. bölge için pay kısmı

600 \times 20 = 12000

olduğundan,

n_2 = 160 \times (12000 / 16000) = 120

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayın.

I. Bölge:

400 \times 10 = 4000

; II. Bölge:

600 \times 20 = 12000

Neyman dağıtımında tabaka örneklem hacimleri, tabaka büyüklüğü ve standart sapmanın çarpımı ile orantılıdır.

2

Hesaplanan değerlerin toplamını bulun.

\sum N_h S_h = 4000 + 12000 = 16000

Genel örneklem hacminin paylaştırılması için payda değerini oluşturmak gerekir.

3

Neyman dağıtımı formülünü (

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) II. Bölge için uygulayın.

n_2 = 160 \times \frac{12000}{16000} = 160 \times 0,75 = 120

İlgili tabakanın ağırlığına göre toplam örneklem hacmi dağıtılır.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı (Varyansla Orantılı Dağıtım)

Daha Fazla Pratik

Neyman dağıtımının orantılı dağıtıma göre ne zaman daha etkin (varyansı daha düşük) sonuçlar verdiğini incelemek için tabaka içi varyansların farklılığını analiz edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 29Soru →

Bir sanayi sitesinde bulunan toplam $N = 600$ işletmenin yıllık ortalama bakım giderlerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılacaktır. İşletmeler büyüklüklerine göre iki tabakaya ayrılmış olup tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
Küçük Ölçekli	200	100
Büyük Ölçekli	400	400

%95,44 güven düzeyinde ( $Z = 2$ ) kitle ortalamasını $d = 2$ TL hata payı ile tahmin etmek için, orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemine göre seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi ( $n$ ) kaçtır?

185

200

250

300

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi 200'dür.

Orantılı dağıtım yönteminde örneklem hacmi, kitledeki tabaka ağırlıkları ve varyansları dikkate alınarak hesaplanır.

n_0 = 300

olarak bulunduktan sonra sonlu kitle düzeltmesi (

N=600

) uygulandığında

n = 200

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h

) ve ağırlıklı varyans toplamını hesaplayın.

W_1 = 200/600 = 1/3

,

W_2 = 400/600 = 2/3

.

\sum W_h S_h^2 = (1/3 \times 100) + (2/3 \times 400) = 33,33 + 266,67 = 300

.

Orantılı dağıtımda örneklem varyansı, tabaka varyanslarının ağırlıklı ortalamasıdır.

2

İzin verilen hata varyansını (

D^2

) hesaplayın.

D^2 = (d / Z)^2 = (2 / 2)^2 = 1

.

Örneklem hacmi formülünde kullanılacak standart hata karesini belirlemek için gereklidir.

3

Sonlu kitle düzeltmesi olmayan örneklem hacmini (

n_0

) bulun.

n_0 = (\sum W_h S_h^2) / D^2 = 300 / 1 = 300

.

Kitle sonsuz varsayıldığında gereken başlangıç örneklem hacmidir.

4

Sonlu kitle düzeltmesini (SKD) uygulayarak nihai örneklem hacmini (

n

) hesaplayın.

n = n_0 / (1 + n_0/N) = 300 / (1 + 300/600) = 300 / 1,5 = 200

.

Kitle sonlu (

N=600

) olduğu için örnekleme oranının düzeltilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım (proportional allocation) altında örneklem hacmi belirleme.

Soru 30Soru →

Bir araştırmacı, bir ilçedeki hanelerin aylık ortalama internet kullanım sürelerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmaya karar vermiştir. Araştırmacı; haneleri gruplandırırken elindeki 'hane büyüklüğü', 'toplam hane geliri' ve 'konut tipi' değişkenlerinden birini tabakalama kriteri olarak kullanacaktır.

Örnekleme hatasını minimuma indirmek ve en etkin (en düşük varyanslı) tahmini elde etmek isteyen bu araştırmacının, tabakalama değişkeni seçimi ve tabakaların yapısal özellikleri hakkında izlemesi gereken temel ilke aşağıdakilerden hangisidir?

İnternet kullanımı ile en yüksek korelasyona sahip (tabaka içi varyansı en çok düşüren) değişken seçilmeli; tabaka içi birimler homojen, tabakalar arası heterojen bir yapı oluşturulmalıdır.

Değişkenler arasından en kolay ölçüleni seçilmeli; tabaka içi birimlerin heterojen, tabakalar arası farkların ise minimum (homojen) olması sağlanmalıdır.

Her bir tabaka, kitlenin tüm özelliklerini yansıtacak şekilde mümkün olduğunca heterojen bir yapıda kurgulanmalı ve kitlenin minyatürü niteliğinde olmalıdır.

Tabaka içi varyansın (

S_h^2

) mümkün olduğunca büyük tutulması, kitledeki tüm farklılıkların her tabaka içinde temsil edilmesini sağladığı için tercih edilmelidir.

Tahmin edilecek ana değişken ile tabakalama değişkeni arasında hiçbir ilişki (korelasyon) bulunmaması, yanlılığı önlemek adına en uygun yaklaşımdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İnternet kullanımı ile en yüksek korelasyona sahip (tabaka içi varyansı en çok düşüren) değişken seçilmeli; tabaka içi birimler homojen, tabakalar arası heterojen bir yapı oluşturulmalıdır.

Cevap

En etkin tahmin için ana değişkenle yüksek korelasyonlu bir değişken seçilmeli; birimler tabaka içinde homojen, tabakalar arasında ise heterojen olmalıdır.

Tabakalı rastgele örneklemede etkinlik, tabaka içi varyansın minimize edilmesiyle sağlanır. Bu durum, birimlerin tabaka içinde birbirine çok benzer (homojen) olması ve tabakaların ise birbirinden belirgin şekilde farklı (heterojen) olmasıyla mümkündür. Ayrıca, tabakalama için kullanılan yardımcı değişken ana değişkenle ne kadar ilişkili ise bu homojenlik o kadar iyi sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalı örneklemenin temel amacını analiz etme

Temel amaç, kitle içindeki değişkenliği (varyansı) tabakalar aracılığıyla kontrol altına alarak örnekleme hatasını azaltmaktır.

Varyansın azaltılması, daha dar güven aralıkları ve daha hassas tahminler sağlar.

2

Varyans bileşenlerini değerlendirme

Kitle varyansı, tabaka içi varyans ve tabakalar arası varyansın birleşimidir. Tabakalı örneklemede toplam varyansın küçük olması, tabaka içi varyansların (

{S_h^2}

) küçük olmasına bağlıdır.

Tabaka içi birimler birbirine ne kadar benzerse (homojen), o tabakadan seçilecek örneklem kitleyi o kadar az hata ile temsil eder.

3

Kriterleri belirleme

Etkin bir tabakalama için: 1) Yardımcı değişken ile ana değişken arasında yüksek korelasyon olmalı, 2) Tabaka içi homojenlik, 3) Tabakalar arası heterojenlik sağlanmalıdır.

Tabakalar arası fark (heterojenlik) ne kadar büyükse, kitleyi homojen parçalara ayırmak o kadar kolaylaşır.

Anahtar Kavram

Tabaka içi homojenlik ve tabakalar arası heterojenlik ilkesi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir belediye, şehir genelindeki hanehalklarının geri dönüşüm alışkanlıklarını belirlemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmıştır. Şehir, hanehalkı gelir düzeyine göre iki tabakaya ayrılmıştır. Bu çalışmaya ilişkin veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Geri Dönüşüm Yapan Hane Sayısı ( $a_h$ )
1. Tabaka (Düşük Gelir)	$2000$	$100$	$30$
2. Tabaka (Yüksek Gelir)	$8000$	$200$	$140$

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemine göre şehir genelindeki geri dönüşüm yapan hanehalkı oranının nokta tahmini kaçtır?

0,50

0,57

0,62

0,38

0,70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,62$

Cevap

Şehir genelindeki geri dönüşüm yapan hanehalkı oranının nokta tahmini

0,62

olarak hesaplanır.

0,62

değeri, kitledeki tabaka büyüklükleri (

N_1=2000

,

N_2=8000

) üzerinden hesaplanan ağırlıkların (

W_1=0,2

,

W_2=0,8

), her tabakanın kendi içindeki örneklem oranıyla (

p_1=0,3

,

p_2=0,7

) çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Bu yöntem, tabakalar arasındaki hacimsel farklılıkları doğru bir şekilde yansıtır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle toplam hacmini ve tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesaplayınız.

N = 2000 + 8000 = 10000

;

W_1 = 2000/10000 = 0,2

ve

W_2 = 8000/10000 = 0,8

Tabakalı örneklemede genel tahmine ulaşmak için her tabakanın kitle içindeki payı belirlenmelidir.

2

Her tabaka için örneklem oranlarını (

p_h

) hesaplayınız.

p_1 = 30 / 100 = 0,3

ve

p_2 = 140 / 200 = 0,7

Tabaka bazlı tahmin edicileri bulmak için örneklem verileri kullanılır.

3

Tabakalı kitle oranı formülünü uygulayınız:

\hat{p}_{st} = \sum W_h \hat{p}_h

\hat{p}_{st} = (0,2 \times 0,3) + (0,8 \times 0,7) = 0,06 + 0,56 = 0,62

Genel kitle tahmini, tabaka oranlarının tabaka ağırlıklarıyla çarpılarak toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı rastgele örneklemede kitle oranı tahmini, tabaka içi oranların kitledeki tabaka ağırlıklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 32Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından bir ildeki yıllık buğday verimi ortalamasını belirlemek amacıyla yürütülen bir çalışmada, arazilerin verimlilik düzeylerine göre tabakalı rastgele örnekleme yöntemi uygulanmıştır. Yapılan hesaplamalar sonucunda, kitle ortalaması tahmin edicisinin tabakalı örnekleme altındaki varyansı $V(\bar{y}_{st}) = 150$ ve basit rastgele örnekleme varsayımı altındaki varyansı $V(\bar{y}_{bro}) = 250$ olarak bulunmuştur. Buna göre, bu araştırmada elde edilen tasarım etkisi ( $Deff$ ) değeri ve basit rastgele örneklemeye göre sağlanan hassasiyet kazancı aşağıdakilerden hangisidir?

Deff = 0,60

; Hassasiyet Kazancı:

\%40

Deff = 1,67

; Hassasiyet Kazancı:

\%67

Deff = 0,40

; Hassasiyet Kazancı:

\%60

Deff = 0,60

; Hassasiyet Kazancı:

\%60

Deff = 1,25

; Hassasiyet Kazancı:

\%25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Deff = 0,60$ ; Hassasiyet Kazancı: $\%40$

Cevap

Tasarım etkisi

Deff = 0,60

ve hassasiyet kazancı

\%40

olarak hesaplanır.

Tasarım etkisi (

Deff

), tabakalı rastgele örnekleme altında elde edilen varyansın (

150

), basit rastgele örnekleme altındaki varyansa (

250

) bölünmesiyle bulunur (

150/250 = 0,60

). Bu oranın

1

'den çıkarılmasıyla elde edilen

0,40

değeri ise tabakalı örneklemenin basit rastgele örneklemeye göre sağladığı

\%40

'lık hassasiyet kazancını ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım Etkisi (

Deff

) formülünü belirle.

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{bro})}

Tasarım etkisi, karmaşık bir örnekleme planının varyansının, aynı örneklem hacmindeki basit rastgele örnekleme varyansına oranıdır.

2

Verilen varyans değerlerini formülde yerine koy.

Deff = \frac{150}{250} = 0,60

Soruda verilen

150

ve

250

değerleri kullanılarak oransal etkinlik ölçülür.

3

Hassasiyet kazancını (Gain in Precision) hesapla.

1 - 0,60 = 0,40 \rightarrow \%40

Tabakalı örneklemenin varyansı basit rastgele örneklemeye göre

\%40

daha düşük olduğu için hassasiyet bu oranda artmıştır.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Etkinlik Kıyaslaması

İpuçları

1

Tasarım etkisi (

Deff

), yeni yöntemin varyansının klasik yöntem olan basit rastgele örnekleme varyansına oranıdır.

2

Eğer

Deff

değeri

1

'den küçükse, tabakalı örnekleme daha etkindir. Aradaki fark kazancı gösterir.

Daha Fazla Pratik

Tabaka içi varyansların toplam varyansa oranı azaldıkça

Deff

değerinin nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 33Soru →

Bir araştırmacı, bir ildeki konutların aylık elektrik tüketim miktarlarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmayı planlamaktadır. Araştırmacının elinde tabakalama kriteri olarak kullanabileceği üç farklı yardımcı değişken ( $A, B$ ve $C$ ) bulunmaktadır. Bu değişkenlere ilişkin kitle özellikleri şu şekildedir:

- $A$ değişkenine göre oluşturulan gruplarda: Tabaka içi birimler arası farklar (varyans) çok yüksek, tabaka ortalamaları ise birbirine oldukça yakındır.
- $B$ değişkenine göre oluşturulan gruplarda: Tabaka içi birimler birbirine çok benzer (varyans düşük), tabaka ortalamaları arasındaki farklar ise oldukça yüksektir.
- $C$ değişkenine göre oluşturulan gruplarda: Hem tabaka içi varyans hem de tabakalar arası farklar orta düzeydedir.

Buna göre, araştırmacı örnekleme etkinliğini artırmak (tahmin edicinin varyansını düşürmek) için hangi değişkeni tabakalama kriteri olarak seçmelidir?

B

değişkeni; çünkü tabaka içi homojenlik ve tabakalar arası heterojenlik ilkeleri sağlanmıştır.

A

değişkeni; çünkü tabaka içi heterojenliğin yüksek olması kitledeki çeşitliliğin daha iyi temsil edilmesini sağlar.

C

değişkeni; çünkü her iki kriterin de uç değerlerde olmaması daha dengeli ve yansız bir örneklem yapısı sunar.

A

değişkeni; çünkü bu yapı küme örneklemesi prensiplerine uygun olup uygulama maliyetini düşürür.

B

değişkeni; çünkü tabaka içi varyansın düşük olması tabaka ortalamalarının birbirine yakın olduğunu garanti eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $B$ değişkeni; çünkü tabaka içi homojenlik ve tabakalar arası heterojenlik ilkeleri sağlanmıştır.

Cevap

Örnekleme etkinliğini artırmak için tabaka içi homojenliğin ve tabakalar arası heterojenliğin en yüksek olduğu değişken olan B seçilmelidir.

Tabakalı rastgele örneklemede temel amaç, kitleyi kendi içinde benzer (homojen) alt gruplara ayırarak kitle tahmin edicisinin varyansını azaltmaktır. B değişkeni, tabaka içi birimlerin birbirine benzemesini (düşük varyans) ve tabakaların birbirinden farklılaşmasını (yüksek heterojenlik) sağlayarak bu amaca en uygun yapıyı sunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalı örneklemenin temel ilkesini hatırla.

Tabaka içi varyans (

S_h^2

) küçük (homojen), tabakalar arası farklar (ortalamalar arası uzaklık) büyük (heterojen) olmalıdır.

Tabakalı örneklemede tahmin edicinin varyansı, tabaka içi varyansların ağırlıklı ortalamasına bağlıdır. Tabaka içi varyans ne kadar küçükse, toplam varyans o kadar düşük çıkar.

2

Verilen değişkenleri ilkelerle karşılaştır.

A değişkeni içi heterojen/arası homojen (verimsiz), B değişkeni içi homojen/arası heterojen (en verimli), C değişkeni ise orta düzeydedir.

En etkin değişken, tabaka içi homojenliği en iyi sağlayan değişkendir.

3

Sonucu belirle.

B değişkeni tabakalı örnekleme için idealdir.

B değişkeni, tabakalı örneklemeden beklenen kesinlik artışını (gain in precision) maksimize eder.

Anahtar Kavram

Tabaka Oluşturma İlkeleri: Tabaka İçi Homojenlik ve Tabakalar Arası Heterojenlik

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 34Soru →

Bir bakanlık, iki farklı bölgedeki sanayi işletmelerinin yıllık enerji tüketimlerini incelemek üzere tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 200$ birimlik bir örneklem seçmeyi planlamaktadır. Bölgelere ait kitle büyüklükleri ( $N_h$ ) ve tabaka standart sapmaları ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (Bölge)	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Bölge	1000	4
2. Bölge	2000	3

Buna göre, Neyman dağıtımı (optimum dağıtım) yöntemine göre 1. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_1$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

67

80

100

120

133

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre 1. Bölge için seçilmesi gereken örneklem hacmi 80 birimdir.

Neyman dağıtımı yönteminde, her tabakadan alınacak örneklem sayısı, o tabakanın kitledeki büyüklüğü ve standart sapmasının çarpımı ile doğru orantılıdır. Yapılan hesaplamada 1. bölge için

1000 \times 4 = 4000

ve 2. bölge için

2000 \times 3 = 6000

değerleri elde edilmiş, toplam payda ise

10.000

olarak bulunmuştur. Toplam örneklem büyüklüğü (

200

), 1. bölgenin payı olan

4000/10.000

oranıyla çarpıldığında

80

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için kitle büyüklüğü ve standart sapma çarpımını (

N_h S_h

) hesaplayın.

1. Bölge:

1000 \times 4 = 4000

; 2. Bölge:

2000 \times 3 = 6000

Neyman dağıtımında örneklem hacmi, tabaka büyüklüğü ve tabaka içi değişkenlik ile doğru orantılıdır.

2

Tabakalara ait çarpımların toplamını (

\sum N_h S_h

) bulun.

4000 + 6000 = 10.000

Bu toplam, örneklem hacminin tabakalara dağıtılmasında kullanılacak olan paydayı oluşturur.

3

Neyman formülünü (

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) kullanarak 1. Bölge'nin payını bulun.

n_1 = 200 \times \frac{4000}{10.000} = 200 \times 0,4 = 80

Toplam örneklem hacmi olan 200, 1. bölgenin ağırlığına göre dağıtılmıştır.

Anahtar Kavram

Neyman dağıtımı, tabakalı örneklemede maliyetlerin eşit olduğu varsayımı altında, toplam varyansı minimize etmek için örneklem hacminin tabakalara

N_h S_h

değerleriyle orantılı dağıtılmasıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 35Soru →

Bir eğitim araştırmasında, bir ildeki lise öğrencilerinin aylık ortalama kitap okuma sürelerini tahmin etmek amacıyla $n = 400$ birimlik bir örneklem seçilmesi planlanmaktadır. Yapılan ön çalışmalarda, Basit Rastgele Örnekleme (BRÖ) tasarımı için tahmin edicinin varyansı $V(\bar{y}_{BRÖ}) = 500$ dakika $^2$ olarak öngörülürken; öğrencilerin okul türlerine göre tabakalandırıldığı Tabakalı Rastgele Örnekleme (TRÖ) tasarımı için bu varyans $V(\bar{y}_{st}) = 350$ dakika $^2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, TRÖ yönteminin BRÖ yöntemine göre tasarım etkisi ( $Deff$ ) ve BRÖ yerine TRÖ kullanılmasıyla elde edilecek hassasiyet kazancı (varyans azalma oranı) aşağıdakilerden hangisidir?

Deff = 0,70

;

\%30

hassasiyet kazancı

Deff = 1,43

;

\%43

hassasiyet kaybı

Deff = 0,70

;

\%70

hassasiyet kazancı

Deff = 0,30

;

\%70

hassasiyet kazancı

Deff = 0,85

;

\%15

hassasiyet kazancı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Deff = 0,70$ ; $\%30$ hassasiyet kazancı

Cevap

Tasarım etkisinin 0,70 ve hassasiyet kazancının %30 olduğu seçenek doğrudur.

Tasarım etkisi (

Deff

), Tabakalı Rastgele Örnekleme varyansının (

350

), Basit Rastgele Örnekleme varyansına (

500

) oranlanmasıyla

0,70

olarak bulunur. Bu değerin 1'den küçük olması yöntemin daha etkin olduğunu gösterir.

1 - 0,70 = 0,30

işlemiyle de varyansta

\%30

'luk bir azalma (hassasiyet kazancı) sağlandığı sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım etkisi (Design Effect) formülünü uygulayın.

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{BRÖ})} = \frac{350}{500} = 0,70

Deff, seçilen örnekleme yönteminin varyansının, basit rastgele örnekleme varyansına oranıdır.

2

Hassasiyet kazancını (varyans azalma oranını) hesaplayın.

Kazanç

= 1 - Deff = 1 - 0,70 = 0,30

(yani

\%30

)

Hassasiyet kazancı, yeni yöntemin varyansta sağladığı yüzde bazlı düşüşü ifade eder.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Deff) ve Örnekleme Etkinliği

Alternatif Yöntem

Varyans azalma miktarını bulup orantı kurabilirsiniz: Azalma

= 500 - 350 = 150

. Azalma oranı

= 150 / 500 = 0,30

. Buradan

Deff = 1 - 0,30 = 0,70

sonucuna gidilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 36Soru →

Bir kamu araştırma merkezi, Türkiye'deki organize sanayi bölgelerinde faaliyet gösteren işletmelerin yıllık ihracat tutarı ortalamasını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapmayı planlamaktadır. Araştırmacı, tabakalama kriteri olarak kullanabileceği üç farklı yardımcı değişkeni (Değişken I, Değişken II ve Değişken III) incelemiş ve bu değişkenlere göre oluşan kitle yapısını aşağıdaki gibi özetlemiştir:

Değişken	Tabaka İçi Varyans Yapısı	Tabakalar Arası Ortalamaların Durumu
Değişken I	Çok Büyük (Birimler heterojen)	Birbirine çok yakın (Homojen)
Değişken II	Küçük (Birimler homojen)	Birbirinden anlamlı derecede farklı (Heterojen)
Değişken III	Küçük (Birimler homojen)	Birbirine çok yakın (Homojen)

Buna göre, örnekleme hatasını en aza indirmek ve en etkin tahmini elde etmek için hangi değişkenin tabakalama kriteri olarak seçilmesi en uygundur?

Değişken I; çünkü tabaka içi heterojenliğin yüksek olması kitlenin tüm özelliklerinin her tabakada temsil edilmesini sağlar.

Değişken II; çünkü tabaka içi birimlerin benzer, tabakaların ise birbirinden farklı olması örnekleme hatasını minimize eder.

Değişken III; çünkü tabaka ortalamalarının birbirine yakın olması tabakalar arasındaki değişkenliği ortadan kaldırarak hassasiyeti artırır.

Değişken I; çünkü tabaka içi varyansın büyük olması, her tabakadan seçilecek birimlerin kitleyi daha iyi yansıtmasına imkan tanır.

Değişken II veya III; her iki durumda da tabaka içi varyanslar küçük olduğu için hangi değişkenin seçildiği sonucu değiştirmez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişken II; çünkü tabaka içi birimlerin benzer, tabakaların ise birbirinden farklı olması örnekleme hatasını minimize eder.

Cevap

Örnekleme hatasını en aza indirmek için hem tabaka içi homojenliği sağlayan hem de tabakalar arası heterojenliği en üst düzeye çıkaran Değişken II seçilmelidir.

Tabakalı rastgele örneklemede tahmin edicinin varyansı, tabaka içi varyansların ağırlıklı toplamına bağlıdır. Hassas bir tahmin için birimlerin tabaka içinde birbirine çok benzemesi (homojen olması) istenir. Ayrıca tabakaların birbirinden farklı olması (heterojenlik), kitlenin heterojen yapısının tabakalara doğru bir şekilde yansıtıldığını gösterir. Değişken II, hem tabaka içi birimlerin homojenliğini hem de tabakalar arasındaki belirgin farkı (heterojenliği) sağladığı için en etkin tabakalama kriteridir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalı örnekleme ilkelerinin hatırlanması

Tabaka içi varyansın küçük (homojen), tabakalar arası varyansın büyük (heterojen) olması gerektiği saptandı.

Bu yapı, kitledeki toplam değişkenliğin önemli bir kısmının tabakalar arası farklarla açıklanmasını ve tabaka içi belirsizliğin azalmasını sağlar.

2

Verilen değişkenlerin bu ilkelere göre değerlendirilmesi

Değişken I hem içi heterojen hem arası homojen olduğu için en kötü tercihtir. Değişken III içi homojen olsa da arası heterojen değildir. Değişken II ise her iki kriteri de sağlamaktadır.

Değişken II kullanıldığında, kitledeki farklılıklar tabakalar tarafından yakalanır ve her tabaka içindeki birimler benzer olduğu için küçük örneklemlerle hassas tahminler yapılabilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede etkinlik; tabaka içi varyansın minimum, tabakalar arası varyansın (ortalamalar farkının) maksimum olmasıyla elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 37Soru →

Bir kamu araştırma birimi, bir üniversitedeki öğrencilerin aylık kitap harcaması ortalamasını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmayı planlamaktadır. Araştırmacı, kitleyi tabakalara ayırmak için üç farklı aday değişkeni (Fakülte, Sınıf ve Cinsiyet) incelemiş ve bu değişkenlere göre oluşan tabaka içi varyansların ağırlıklı ortalamalarını (tahmin edicinin varyansını doğrudan etkileyen $\sum W_h S_h^2$ değerlerini) aşağıdaki gibi hesaplamıştır:

Tabakalama Değişkeni	Tabaka İçi Varyans Ortalaması ( $\sum W_h S_h^2$ )
Fakülte	$15,4$
Sınıf	$32,8$
Cinsiyet	$48,2$

Buna göre, araştırmacı tahminin standart hatasını en aza indirerek en yüksek etkinliği sağlamak için hangi değişkeni tabakalama kriteri olarak seçmelidir?

Fakülte; çünkü tabaka içi varyansın en düşük olması, birimlerin kendi içinde en homojen yapıda olduğunu gösterir.

Cinsiyet; çünkü tabaka içi varyansın en yüksek olması, örneklemin kitledeki heterojenliği daha iyi yansıttığını gösterir.

Sınıf; çünkü orta düzeydeki varyans, aşırı uç değerlerin etkisini dengeleyerek daha kararlı bir tahmin sağlar.

Cinsiyet; çünkü tabaka sayısı en az olan değişkenin kullanılması örnekleme hatasını otomatik olarak azaltır.

Fakülte; ancak bu seçim sadece kitledeki toplam birim sayısı (

N

) çok büyük olduğunda istatistiksel olarak geçerlidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fakülte; çünkü tabaka içi varyansın en düşük olması, birimlerin kendi içinde en homojen yapıda olduğunu gösterir.

Cevap

En düşük tabaka içi varyansa sahip olan Fakülte değişkeni seçilmelidir; çünkü bu durum tabaka içi homojenliğin en yüksek olduğunu gösterir.

Tabakalı rastgele örneklemede tahminin standart hatası, tabaka içi varyansların (birimlerin kendi içindeki değişkenliği) ağırlıklı toplamına bağlıdır. Bir değişken kitleyi ne kadar homojen gruplara ayırıyorsa (yani tabaka içi varyansı ne kadar küçültüyorsa), o değişkenle yapılan tabakalama o kadar etkin olur. Fakülte değişkeni en düşük tabaka içi varyans değerini (

15,4

) verdiği için en doğru seçimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans bileşenlerinin analizi

Tabakalı örneklemede toplam varyans, tabaka içi ve tabakalar arası varyans olarak ikiye ayrılır. Tahminin varyansı doğrudan tabaka içi varyanslarla (

\sum W_h S_h^2

) ilişkilidir.

Yöntemin etkinliğini (precision) artırmak için tahmin edicinin varyansını minimize eden değişkenin belirlenmesi gerekir.

2

Aday değişkenlerin karşılaştırılması

Fakülte (

15,4

) < Sınıf (

32,8

) < Cinsiyet (

48,2

).

En küçük değer, ilgili değişkenin kitleyi en homojen alt gruplara (tabakalara) ayırdığını kanıtlar.

3

Karar verme

En düşük tabaka içi varyans değerini veren Fakülte değişkeni seçilir.

Tabaka içi homojenlik (küçük varyans) ve tabakalar arası heterojenlik (farklı ortalamalar) tabakalı örneklemenin temel verimlilik ilkesidir.

Anahtar Kavram

Tabaka içi homojenlik ilkesi

Daha Fazla Pratik

Tabakalı örneklemede Neyman dağıtımı ve orantılı dağıtım arasındaki farkları inceleyerek varyansın nasıl daha da optimize edilebileceğini çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 38Soru →

Bir kalkınma ajansı tarafından bölgedeki KOBİ'lerin yıllık ortalama ihracat tutarlarını tahmin etmek amacıyla $n$ birimlik bir örneklem tasarımı planlanmaktadır. Yapılan ön araştırmalar sonucunda, kitle ortalamasının tahmini için tabakalı rastgele örnekleme yönteminin varyansı $V(\bar{y}_{st}) = 48$ ve aynı örneklem hacmi için basit rastgele örnekleme yönteminin varyansı $V(\bar{y}_{bro}) = 60$ olarak öngörülmüştür. Buna göre, bu örnekleme tasarımı için Tasarım Etkisi ( $Deff$ ) değeri ve basit rastgele örneklemeye göre sağlanan hassasiyet kazancı aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Deff = 0,80

; hassasiyet kazancı

\%20

Deff = 1,25

; hassasiyet kaybı

\%25

Deff = 0,80

; hassasiyet kazancı

\%80

Deff = 0,20

; hassasiyet kazancı

\%80

Deff = 0,80

; hassasiyet kaybı

\%20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Deff = 0,80$ ; hassasiyet kazancı $\%20$

Cevap

Tasarım etkisi

Deff = 0,80

ve hassasiyet kazancı

\%20

olarak hesaplanır.

Tasarım Etkisi (

Deff

), tabakalı rastgele örnekleme varyansının (

48

), basit rastgele örnekleme varyansına (

60

) bölünmesiyle

0,80

olarak bulunur. Hassasiyet kazancı ise

1 - 0,80 = 0,20

(yani

\%20

) olarak hesaplanır. Bu durum, tabakalı örneklemenin basit rastgele örneklemeye göre daha düşük varyanslı ve dolayısıyla daha etkin bir tahmin sunduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım Etkisi (

Deff

) formülünü uygula

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{bro})} = \frac{48}{60} = 0,80

Tasarım etkisi, uygulanan örnekleme yönteminin basit rastgele örneklemeye göre ne kadar etkin olduğunu gösteren bir orandır.

2

Hassasiyet kazancını (Gain in Precision) hesapla

Kazanç

= 1 - Deff = 1 - 0,80 = 0,20

Eğer

Deff < 1

ise tasarım daha etkindir ve sağlanan hassasiyet kazancı

1 - Deff

ile bulunur.

3

Sonucu yüzdeye dönüştür

0,20 \times 100 = \%20

Hassasiyet kazancı genellikle yüzde cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Göreli Etkinlik

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 39Soru →

Bir hastane yönetimi, bünyesinde bulunan toplam $N = 500$ hastanın hastanede ortalama yatış süresini tahmin etmek amacıyla bir araştırma planlamaktadır. Hastalar "Dahiliye" ( $N_1 = 300$ ) ve "Cerrahi" ( $N_2 = 200$ ) olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Ön çalışmalar sonucunda tabakalardaki yatış sürelerinin standart sapmaları sırasıyla $S_1 = 4$ gün ve $S_2 = 6$ gün olarak hesaplanmıştır.

%95 güven düzeyinde ( $z = 2$ ) ve $d = 0,5$ gün hata payı ile orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemine göre kitle ortalamasını tahmin etmek için seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi ( $n$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

218

384

369

77

235

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 218

Cevap

Hesaplanan örneklem hacmi 218 birimdir.

Verilen bilgiler ışığında tabaka varyanslarının ağırlıklı toplamı (

\sum W_h S_h^2 = 24

) ve hata varyans sınırı (

V = 0,0625

) kullanılarak sonlu kitle düzeltmeli formül uygulandığında sonuç yaklaşık

217,19

çıkmaktadır. Örnekleme teorisinde bu tür sonuçlar daima bir üst tam sayıya yuvarlandığı için doğru yanıt 218'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h

) ve ağırlıklı varyans toplamını hesapla.

W_1 = \frac{300}{500} = 0,6

;

W_2 = \frac{200}{500} = 0,4

.

\sum W_h S_h^2 = (0,6 \times 4^2) + (0,4 \times 6^2) = (0,6 \times 16) + (0,4 \times 36) = 9,6 + 14,4 = 24

.

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi hesaplanırken tabaka ağırlıklı varyanslar toplamı temel bileşendir.

2

Hata varyansını (

V

) hesapla.

V = (\frac{d}{z})^2 = (\frac{0,5}{2})^2 = 0,25^2 = 0,0625

.

Hata payı ve güven düzeyi parametrelerinden hedeflenen varyans sınırını bulmak gerekir.

3

Sonlu kitle düzeltmeli (FPC) örneklem hacmi formülünü uygula.

n = \frac{\sum W_h S_h^2}{V + \frac{\sum W_h S_h^2}{N}} = \frac{24}{0,0625 + \frac{24}{500}} = \frac{24}{0,0625 + 0,048} = \frac{24}{0,1105} \approx 217,19

.

Kitle büyüklüğü bilindiğinde ve iadesiz seçim yapıldığında sonlu kitle düzeltmesi kullanılarak daha ekonomik bir örneklem hacmi belirlenir.

4

Sonucu yukarı yuvarla.

n = 218

.

Örneklem birim sayısı tam sayı olmalı ve hata payını aşmamak için daima yukarı yuvarlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım için örneklem hacmi (

n

) belirlenirken tabaka içi varyansların ağırlıklı ortalaması ve sonlu kitle düzeltmesi dikkate alınır.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle hata payını sabit tutup güven düzeyini %99'a çıkararak örneklem hacmindeki değişimi inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 40Soru →

Bir üniversite kütüphanesindeki kitapların ortalama sayfa sayısını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Kütüphanedeki kitaplar "Sosyal Bilimler" ve "Fen Bilimleri" olmak üzere iki tabakaya ayrılmış ve elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )
Sosyal Bilimler	1500	20	200
Fen Bilimleri	500	80	400

Buna göre, kütüphanedeki tüm kitaplar için kitle ortalamasının tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

250

300

350

360

400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250

Cevap

Kitle ortalamasının tahmini 250 sayfa olarak hesaplanır.

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması tahmini, her bir tabaka ortalamasının ilgili tabakanın kitledeki ağırlığıyla (

W_h = N_h/N

) çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Verilen değerlere göre toplam kitle

2000

, ağırlıklar ise

0,75

ve

0,25

olduğundan;

(0,75 \times 200) + (0,25 \times 400) = 250

sonucu doğru tahmindir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle büyüklüğü (

N

) ve tabaka ağırlıklarının (

W_h

) hesaplanması

N = 1500 + 500 = 2000

;

W_1 = 1500/2000 = 0,75

ve

W_2 = 500/2000 = 0,25

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması tahmini için her tabakanın kitledeki temsil oranının bilinmesi gerekir.

2

Tabakalı kitle ortalaması formülünün uygulanması

\bar{y}_{st} = \sum (W_h \times \bar{y}_h) = (0,75 \times 200) + (0,25 \times 400)

Genel ortalama, tabaka ortalamalarının kitle ağırlıklarıyla çarpılmasıyla elde edilir.

3

Sayısal işlemin tamamlanması

\bar{y}_{st} = 150 + 100 = 250

Kitle ortalamasının en iyi tahmini (nokta tahmini) bu değerdir.

Anahtar Kavram

Tabakalı rastgele örneklemede kitle ortalaması tahmini (

\bar{y}_{st}

), tabaka ortalamalarının (

\bar{y}_h

) kitledeki tabaka büyüklüklerine (

N_h

) göre ağırlıklandırılmasıyla hesaplanır.

Tabakalı Rastgele Örnekleme

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar