Tabakalı Rastgele Örnekleme Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir halk kütüphanesine kayıtlı olan okuyucuların dijital arşiv kullanım oranını belirlemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Kütüphane kayıtlarına göre okuyucular; öğrenciler ve yetişkinler olarak iki tabakaya ayrılmıştır. Bu çalışmaya ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Tabaka Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Dijital Arşiv Kullanan Sayısı ( $a_h$ )
Öğrenciler	800	20	10
Yetişkinler	200	20	4

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemine göre kütüphane genelindeki dijital arşiv kullanım oranı tahmini ( $\hat{p}_{st}$ ) kaçtır?

0,44

0,35

0,26

0,50

0,70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,44

Cevap

Tabakalı kitle oranı tahmini 0,44 olarak hesaplanır.

Kütüphane genelindeki oran tahmini yapılırken, öğrenci tabakasının kitledeki ağırlığı (

800/1000 = 0,8

) ile bu tabakanın oranı (

10/20 = 0,5

) çarpılır; aynı işlem yetişkin tabakası için (

200/1000 = 0,2

ve

4/20 = 0,2

) tekrarlanır. Bu iki değerin toplamı (

0,40 + 0,04 = 0,44

) kitle genelindeki doğru oranı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle toplam büyüklüğünü (

N

) ve tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesaplayın.

N = 800 + 200 = 1000

;

W_1 = 800/1000 = 0,8

ve

W_2 = 200/1000 = 0,2

.

Tabakalı örneklemede her tabakanın kitle içindeki ağırlığı, o tabakanın oranının kitle geneline etkisini belirler.

2

Her tabaka için örneklem oranlarını (

\hat{p}_h

) hesaplayın.

\hat{p}_1 = 10/20 = 0,5

;

\hat{p}_2 = 4/20 = 0,2

.

Kitle oranını tahmin etmek için önce her tabaka içindeki başarı oranlarının belirlenmesi gerekir.

3

Tabakalı kitle oranı formülünü (

\hat{p}_{st} = \sum W_h \hat{p}_h

) uygulayın.

\hat{p}_{st} = (0,8 \times 0,5) + (0,2 \times 0,2) = 0,40 + 0,04 = 0,44

.

Genel kitle oranı, tabaka oranlarının tabaka ağırlıklarıyla çarpılmasıyla elde edilen ağırlıklı ortalamadır.

Anahtar Kavram

Tabakalı rastgele örneklemede kitle oranı tahmini, tabaka oranlarının kitledeki tabaka büyüklüklerine göre ağırlıklandırılmasıyla hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Tabaka büyüklükleri (Nh) ile örneklem büyüklükleri (nh) arasındaki oran her tabakada aynı olsaydı (orantılı dağıtım), doğrudan toplam başarı sayısını toplam örneklem sayısına bölerek de aynı sonuca ulaşabilirdiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 42Soru →

Bir belediye yönetimi, sınırları içerisindeki konutların aylık ortalama elektrik tüketimini %95 güven düzeyinde ve $d = 2$ kWh hata payı ile tahmin etmek amacıyla bir araştırma planlamaktadır. Belediye sınırları içinde toplam $N = 1200$ konut bulunmakta olup, bu konutlar tüketim özelliklerine göre iki tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Konut Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
1. Tabaka (Apartmanlar)	600	200
2. Tabaka (Müstakil Evler)	600	400

Orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanılacağına göre, istenen güven düzeyi ve hata payı kısıtları altında gereken toplam örneklem hacmi ( $n$ ) kaçtır? (%95 güven düzeyi için $Z = 2$ alınız.)

150

240

300

400

600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

İstenen güven düzeyi ve hata payını sağlayan toplam örneklem hacmi 240 birimdir.

Doğru yanıt olan 240 değeri, tabaka ağırlıkları (0.5 ve 0.5) ile varyanslar çarpılarak elde edilen 300 birimlik başlangıç hacminin, 1200 birimlik sonlu kitleye (1 + 300/1200) bölünmesiyle elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesapla.

W_1 = 600/1200 = 0.5

;

W_2 = 600/1200 = 0.5

Orantılı dağıtımda tabakaların kitle içindeki payları belirlenmelidir.

2

Tabaka varyanslarının ağırlıklı toplamını hesapla.

\sum W_h S_h^2 = (0.5 \times 200) + (0.5 \times 400) = 100 + 200 = 300

Örneklem hacmi formülünün pay kısmında yer alan toplam varyans bileşenini bulmak için gereklidir.

3

Hata payı kısıtını (

D^2

) belirle.

D = d/Z = 2/2 = 1 \Rightarrow D^2 = 1

Varyans sınırı, hata payının güven katsayısına oranının karesidir.

4

Sonsuz kitle varsayımıyla başlangıç örneklem hacmini (

n_0

) hesapla.

n_0 = \frac{\sum W_h S_h^2}{D^2} = \frac{300}{1} = 300

Kitle büyüklüğü dikkate alınmadan önceki ham örneklem sayısını bulmak için uygulanır.

5

Sonlu kitle düzeltmesini (SKD) uygulayarak nihai

n

değerini bul.

n = \frac{n_0}{1 + (n_0/N)} = \frac{300}{1 + (300/1200)} = \frac{300}{1.25} = 240

Kitle sonlu olduğunda örneklem hacminin kitle büyüklüğüne göre düzeltilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım altında kitle ortalaması tahmini için gereken örneklem hacmi, tabaka varyanslarının ağırlıklı ortalaması ve sonlu kitle düzeltmesi kullanılarak belirlenir.

İpuçları

1

Önce tabaka ağırlıklarını (

W_h = N_h/N

) belirleyerek işe başlayın.

2

Başlangıç örneklem hacmi

n_0

'ı bulduktan sonra kitlenin 1200 birim olduğunu unutmadan düzeltme formülünü uygulayın.

3

Düzeltme formülü

n = n_0 / (1 + n_0/N)

şeklindedir. Burada

n_0 = 300

ve

N = 1200

'dir.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle Neyman dağıtımı kullanılsaydı örneklem hacminin nasıl değişeceğini hesaplayarak etkinliği karşılaştırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam varyansı bulmak için

\sum N_h S_h^2

toplamını alıp doğrudan

n = \frac{N \sum N_h S_h^2}{N^2 D^2 + \sum N_h S_h^2}

formülünü kullanarak da sonuca gidebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 43Soru →

Bir araştırmacı, bir ilçedeki hanelerin aylık ortalama gıda harcamasını tahmin etmek amacıyla iki farklı örnekleme tasarımı üzerinde çalışmaktadır. Aynı örneklem hacmi için yapılan hesaplamalar sonucunda elde edilen varyans değerleri aşağıda verilmiştir:

Örnekleme Yöntemi	Tahmin Edicinin Varyansı
Tabakalı Rastgele Örnekleme	$V(\bar{y}_{st}) = 120$
Basit Rastgele Örnekleme	$V(\bar{y}_{bro}) = 150$

Bu verilere göre, tabakalı rastgele örnekleme yönteminin basit rastgele örnekleme yöntemine göre etkinlik düzeyi (Tasarım Etkisi - $Deff$ ) ve sağladığı hassasiyet kazancı aşağıdakilerden hangisidir?

Deff = 0,80

ve

\%20

hassasiyet kazancı

Deff = 1,25

ve

\%25

hassasiyet kaybı

Deff = 0,80

ve

\%80

hassasiyet kazancı

Deff = 1,25

ve

\%25

hassasiyet kazancı

Deff = 0,20

ve

\%80

hassasiyet kazancı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Deff = 0,80$ ve $\%20$ hassasiyet kazancı

Cevap

Deff = 0,80

ve

\%20

hassasiyet kazancı

Tasarım etkisi, tabakalı rastgele örnekleme varyansının basit rastgele örnekleme varyansına bölünmesiyle hesaplanır. Bu soruda

120 / 150 = 0,80

elde edilir. Bu değerin

1

birimden küçük olması, tabakalı örneklemenin daha hassas tahminler sunduğunu gösterir ve aradaki

0,20

farkı

\%20

hassasiyet kazancına karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım etkisi (

Deff

) formülünü belirleyiniz.

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{bro})}

Tasarım etkisi, kullanılan örnekleme yönteminin basit rastgele örneklemeye göre ne kadar etkin olduğunu ölçen bir orandır.

2

Verilen varyans değerlerini formülde yerine koyarak hesaplama yapınız.

Deff = \frac{120}{150} = 0,80

Tabakalı örnekleme varyansı

120

, basit rastgele örnekleme varyansı

150

olarak verilmiştir.

3

Hassasiyet kazancını hesaplayınız ve yorumlayınız.

1 - 0,80 = 0,20

(yani

\%20

kazanç)

Deff < 1

olması yöntemin daha etkin olduğunu gösterir ve

1

değerinden farkı bize kazanç oranını verir.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Örnekleme Etkinliği

Daha Fazla Pratik

Varyansların eşit olduğu durumda tasarım etkisinin kaç olacağını ve bunun ne anlama geldiğini düşününüz.

Tahmini Süre:45s

Soru 44Soru →

Bir kamu araştırma birimi, bir sanayi bölgesindeki işletmelerin yıllık enerji tüketim miktarlarını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmayı planlamaktadır. Bu amaçla işletmeler; faaliyet gösterdikleri sektörlere göre (tekstil, metal, gıda, kimya) dört farklı tabakaya ayrılmıştır. Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yönteminde tahmin edicinin varyansını minimize ederek etkinliği artırmak için tabakaların oluşturulmasında gözetilmesi gereken temel kriter aşağıdakilerden hangisidir?

Her bir tabakanın kendi içinde enerji tüketimi bakımından homojen, tabaka ortalamalarının ise birbirine göre heterojen olması

Tabaka içindeki işletmelerin enerji tüketimi bakımından heterojen, tabakalar arası enerji tüketimi ortalamalarının ise birbirine yakın olması

İşletmelerin enerji tüketimi ile ilişkisi bulunmayan alfabetik sıralama gibi tesadüfi bir kritere göre gruplandırılması

Tabaka içi varyansların kitle varyansına eşit olacak şekilde geniş tutulması ve tabakalar arası farkların minimize edilmesi

Her tabakadan seçilecek örneklem hacminin, tabakaların kitle içindeki ağırlıklarına bakılmaksızın eşitlenmesi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her bir tabakanın kendi içinde enerji tüketimi bakımından homojen, tabaka ortalamalarının ise birbirine göre heterojen olması

Cevap

Tahmin edicinin varyansını minimize etmek için tabakalar kendi içinde homojen, birbirleri arasında ise heterojen olmalıdır.

Tabakalı rastgele örneklemede tahmin edicinin varyansı, tabaka içi varyansların ağırlıklı toplamına bağlıdır. Birimlerin tabaka içinde birbirine benzer (homojen) olması tabaka içi varyansı küçültür. Tabakaların birbirlerinden farklı (heterojen) olması ise kitledeki değişkenliğin tabakalar tarafından başarıyla açıklandığını gösterir, bu da yöntemin etkinliğini maksimize eder.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalı örnekleme yönteminin temel amacını belirle.

Temel amaç, kitledeki heterojenliği tabakalara bölerek her tabaka içinde daha benzer (homojen) birimler elde etmek ve böylece toplam varyansı düşürmektir.

Varyansın düşmesi, tahminin duyarlılığının artması anlamına gelir.

2

Homojenlik ve heterojenlik kavramlarını tabaka yapısına uygula.

Tabaka içi varyans (

S_h^2

) ne kadar küçükse (homojen), tabakalı örnekleme o kadar etkin olur. Tabakalar arası farklar (heterojenlik) ise tabakalama işleminin anlamlı olduğunu gösterir.

Eğer tabakalar arası fark yoksa basit rastgele örnekleme yeterli olurdu.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede etkinlik, tabaka içi homojenlik ve tabakalar arası heterojenlik ile sağlanır.

Soru 45Soru →

Bir eğitim kurumu, bünyesindeki kurs merkezlerini "A" ve "B" olmak üzere iki tabakaya ayırmıştır. Kurs merkezlerindeki toplam öğrenci sayısını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle yapılan çalışmada elde edilen veriler şu şekildedir:

Tabaka	Toplam Merkez Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Tabaka Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	Tabaka Varyansı ( $s_h^2$ )
A	$100$	$20$	$50$	$100$
B	$200$	$40$	$80$	$400$

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle hesaplanan kitle toplamı tahmininin standart hatası kaçtır?

600

671

45

50

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $600$

Cevap

Kitle toplamı tahmininin standart hatası

600

olarak hesaplanır.

Doğru çözümde kitle toplamı varyans formülü olan

Var(\hat{\tau}) = \sum N_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} (1 - f_h)

kullanılmıştır. A tabakası için katkı

40.000

, B tabakası için

320.000

olup toplam varyans

360.000

bulunmuş, bunun karekökü olan

600

ise standart hatayı vermiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için örnekleme kesri (

f_h

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f_h

) hesaplayınız.

f_A = \frac{20}{100} = 0,2

ve

1-f_A = 0,8

;

f_B = \frac{40}{200} = 0,2

ve

1-f_B = 0,8

.

İadesiz örneklemede sonlu kitle düzeltme çarpanı varyans formülüne dahil edilmelidir.

2

Kitle toplamı tahmininin varyansını (

Var(\hat{\tau})

) hesaplayınız.

Var(\hat{\tau}) = \sum N_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} (1 - f_h)

formülünden;

Var_A = 100^2 \times \frac{100}{20} \times 0,8 = 40.000

ve

Var_B = 200^2 \times \frac{400}{40} \times 0,8 = 320.000

. Toplam Varyans =

360.000

.

Tabakalı örneklemede kitle toplamı varyansı, her tabakanın toplam varyansa katkısının toplamıdır.

3

Varyansın karekökünü alarak standart hatayı (

se(\hat{\tau})

) bulunuz.

\sqrt{360.000} = 600

.

Standart hata, varyansın pozitif kareköküdür.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede kitle toplamı varyansı hesaplanırken her tabaka için

N_h^2

çarpanı ve sonlu kitle düzeltme çarpanı

(1-f_h)

mutlaka dikkate alınmalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 46Soru →

Bir tekstil fabrikası, deposunda bulunan iki farklı tür kumaş rulosunun (Pamuklu ve Sentetik) toplam ağırlığını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmıştır. Tabakalara ait kitle büyüklükleri ( $N_h$ ) ve seçilen örneklemlerden hesaplanan ortalama rulo ağırlıkları ( $\bar{y}_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kumaş Türü	Toplam Rulo Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ - kg)
Pamuklu	$200$	$40$
Sentetik	$300$	$30$

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemine göre depodaki toplam ağırlık tahmini ( $\hat{\tau}_{st}$ ) kaç kg'dır?

17.000

17.500

70

500

8.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $17.000$

Cevap

Depodaki toplam ağırlık tahmini

17.000

kg'dır.

Tabakalı rastgele örneklemede kitle toplamı tahmini (

\hat{\tau}_{st}

), her bir tabakanın kitle büyüklüğü ile o tabakadan elde edilen örneklem ortalamasının çarpılması ve bu değerlerin toplanmasıyla elde edilir. Bu soruda: (

200 \times 40

) + (

300 \times 30

) =

8.000 + 9.000 = 17.000

kg sonucu doğru tahmindir.

Adım Adım Çözüm

1

Pamuklu kumaş tabakası için toplam ağırlığı hesaplayın.

\hat{\tau}_1 = N_1 \times \bar{y}_1 = 200 \times 40 = 8.000

kg

Bir tabakadaki toplam değer, o tabakadaki birim sayısı ile ortalamanın çarpımıdır.

2

Sentetik kumaş tabakası için toplam ağırlığı hesaplayın.

\hat{\tau}_2 = N_2 \times \bar{y}_2 = 300 \times 30 = 9.000

kg

İkinci tabakanın kitle toplamı tahmini aynı mantıkla hesaplanır.

3

Tabakalı kitle toplamı tahminini bulmak için tabaka toplamlarını toplayın.

\hat{\tau}_{st} = \hat{\tau}_1 + \hat{\tau}_2 = 8.000 + 9.000 = 17.000

kg

Tabakalı örneklemede genel toplam, tabaka toplamlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede kitle toplamı, her tabakanın kendi büyüklüğü (

N_h

) ile tabaka ortalamasının (

\bar{y}_h

) çarpımlarının toplamı (

∑ N_h \bar{y}_h

) ile tahmin edilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, kitle toplamı tahmininin standart hatasını (varyansın karekökü) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Tabakalı rastgele örnekleme yönteminde kitleyi tabakalara ayırma süreci ile ilgili;

I. Oluşturulan tabakalar kitledeki tüm birimleri kapsamalıdır.
II. Her bir kitle birimi aynı anda birden fazla tabakada yer alabilir.
III. Tabakaların kendi içindeki birimler, incelenen özellik bakımından mümkün olduğunca heterojen (farklı) yapıda olmalıdır.

ifadelerinden hangileri yanlıştır?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü ifadeler tabakalı örnekleme ilkelerine göre yanlıştır.

Doğru yanıt olan seçenek, yöntemin iki temel kuralının ihlal edildiğini belirtir: Birimlerin birden fazla tabakada yer alması (ayrıklık ilkesine aykırı) ve tabaka içinin heterojen olması (etkinlik/homojenlik ilkesine aykırı).

Adım Adım Çözüm

1

Birinci öncülü değerlendir (Kapsayıcılık).

Doğru

Tabakalı örneklemede kitle

N

birimden oluşuyorsa, tüm tabaka büyüklüklerinin toplamı kitle büyüklüğüne eşit olmalıdır (

\sum N_h = N

).

2

İkinci öncülü değerlendir (Ayrıklık).

Yanlış

Tabakalar birbirini dışlayan (ayrık) kümeler olmalıdır; bir birim yalnızca bir tabakada yer alabilir.

3

Üçüncü öncülü değerlendir (Homojenlik).

Yanlış

Yöntemin etkinliğini artırmak için tabakaların kendi içinde 'homojen' (benzer), tabakalar arasında ise 'heterojen' (farklı) olması gerekir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede temel amaç, kitleyi kendi içinde benzer (homojen) alt gruplara ayırarak tahminin varyansını düşürmektir.

Soru 48Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı, yeni bir sulama teşvik programının etkililiğini ölçmek amacıyla iki farklı bölgede tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma yapmıştır. Araştırmaya ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Bölge	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Teşvikten Yararlanan Çiftçi Sayısı ( $a_h$ )
1. Bölge	$1000$	$100$	$30$
2. Bölge	$3000$	$200$	$100$

Buna göre, tüm kitle için teşvikten yararlanan çiftçi oranının tahmini ( $\hat{p}_{st}$ ) kaçtır?

0,35

0,40

0,43

0,45

0,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,45$

Cevap

Teşvikten yararlanan çiftçi oranının tahmini

0,45

olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan değer, tabaka ağırlıkları (

0,25

ve

0,75

) ile tabaka oranlarının (

0,30

ve

0,50

) çarpımlarının toplamından elde edilen

0,45

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için örneklem oranlarını (

p_h

) hesaplayınız.

p_1 = 30 / 100 = 0,30

ve

p_2 = 100 / 200 = 0,50

Kitle oranının tahmini için öncelikle her tabakadaki gözlenen oranların belirlenmesi gerekir.

2

Tabaka ağırlıklarını (

W_h = N_h / N

) belirleyiniz.

Toplam kitle

N = 1000 + 3000 = 4000

. Buradan

W_1 = 1000 / 4000 = 0,25

ve

W_2 = 3000 / 4000 = 0,75

bulunur.

Tabakalı örneklemede her tabakanın kitle içindeki temsil payı, tahmin ediciye ağırlık olarak yansıtılmalıdır.

3

Tabakalı kitle oranı formülünü (

\hat{p}_{st} = \sum W_h p_h

) uygulayınız.

\hat{p}_{st} = (0,25 \times 0,30) + (0,75 \times 0,50) = 0,075 + 0,375 = 0,45

Kitle oranının genel tahmini, tabaka oranlarının ağırlıklı toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Oranı Tahmini

Soru 49Soru →

Bir ildeki sağlık kuruluşlarının hizmet kalitesini ölçmek amacıyla yapılacak bir araştırmada kuruluşlar; hizmet seviyelerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalardaki kuruluş sayıları ( $N_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka Seviyesi	Kuruluş Sayısı ( $N_h$ )
Birinci Basamak	600
İkinci Basamak	300
Üçüncü Basamak	100

Toplam $n = 200$ kuruluşun örnekleme seçilmesi planlandığına göre, orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemine göre her bir tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) sırasıyla aşağıdagilerden hangisidir?

120, 60, 20

67, 67, 66

60, 30, 10

100, 60, 40

80, 70, 50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120, 60, 20

Cevap

Her bir tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacimleri sırasıyla 120, 60 ve 20'dir.

Orantılı dağıtım yönteminde her tabakadan seçilecek birim sayısı, o tabakanın kitle içindeki ağırlığına (

N_h / N

) bağlıdır. Bu problemde toplam kitle 1000 birimdir. Tabaka ağırlıkları sırasıyla %60, %30 ve %10 olarak hesaplanır. Toplam 200 birimlik örneklem bu oranlara göre dağıtıldığında 120, 60 ve 20 değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle toplam hacmini (

N

) hesaplayınız.

N = 600 + 300 + 100 = 1000

Orantılı dağıtım formülünde tabaka ağırlıklarını bulmak için kitle toplamına ihtiyaç duyulur.

2

Birinci tabaka için örneklem hacmini (

n_1

) hesaplayınız.

n_1 = 200 \times (600 / 1000) = 200 \times 0,6 = 120

Orantılı dağıtım ilkesine göre tabaka hacmi, tabakanın kitle içindeki payı ile çarpılır.

3

İkinci tabaka için örneklem hacmini (

n_2

) hesaplayınız.

n_2 = 200 \times (300 / 1000) = 200 \times 0,3 = 60

Tabaka ağırlığı olan 0,3 oranı toplam örneklem hacmi olan 200 ile çarpılır.

4

Üçüncü tabaka için örneklem hacmini (

n_3

) hesaplayınız.

n_3 = 200 \times (100 / 1000) = 200 \times 0,1 = 20

Tabaka ağırlığı olan 0,1 oranı toplam örneklem hacmi olan 200 ile çarpılır.

5

Toplam örneklem hacminin doğruluğunu kontrol ediniz.

120 + 60 + 20 = 200

Seçilen tabaka hacimlerinin toplamı, planlanan toplam örneklem hacmi olan

n

değerine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation)

Daha Fazla Pratik

Tabakalı örneklemede varyansların verildiği durumda Neyman (Optimum) dağıtımını hesaplayarak orantılı dağıtım ile arasındaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

Bir bölgedeki tarımsal işletmelerin yıllık ortalama gelirlerini tahmin etmek isteyen bir araştırmacı, kitleyi 'işletme büyüklüğü' (küçük, orta, büyük) kriterine göre gruplandırarak tabakalı rastgele örnekleme yöntemini uygulamıştır.

Bu araştırmada, tabakalama işleminin örnekleme hatasını (tahminleyicinin varyansını) azaltmada başarılı olabilmesi için sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Tabakaların kendi içinde gelir bakımından homojen (benzer), tabakalar arasında ise heterojen (farklı) bir yapı sergilemesi.

Tabakaların kendi içinde heterojen, tabakalar arasında ise homojen özelliklere sahip olması.

Her bir tabakadan seçilecek örneklem birimi sayısının tüm tabakalarda eşit tutulması.

Tabaka içi varyansların (

S_h^2

), kitle varyansına (

S^2

) eşit veya ondan daha büyük olması.

İşletme büyüklüğü değişkeni ile yıllık gelir değişkeni arasında düşük veya negatif bir korelasyon olması.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tabakaların kendi içinde gelir bakımından homojen (benzer), tabakalar arasında ise heterojen (farklı) bir yapı sergilemesi.

Cevap

Tabakalı rastgele örneklemede etkinliği sağlamak için tabakaların kendi içinde homojen (benzer birimlerden oluşan), tabakalar arasında ise heterojen (birbirinden farklı ortalamalara sahip) olması gerekir.

Tabakalı rastgele örneklemenin temel mantığı, kitleyi kendi içinde benzer özellikler gösteren alt gruplara (tabakalara) ayırmaktır. Birimler tabaka içinde birbirine benzediğinde (homojenlik), bu tabakadan seçilecek küçük bir örneklem bile o tabakayı yüksek doğrulukla temsil edebilir. Tabakaların birbirlerinden farklı olması (heterojenlik) ise kitlenin sahip olduğu çeşitliliğin her bir tabaka aracılığıyla ayrı ayrı yakalanmasını sağlar. Bu durum, basit rastgele örneklemeye göre çok daha düşük varyanslı ve hassas tahminler elde edilmesine olanak tanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yöntemin amacını belirleme

Tabakalı rastgele örneklemede amaç, kitledeki heterojenliği kontrol altına alarak tahminleyicinin varyansını (hata payını) düşürmektir.

Varyans ne kadar düşükse, yapılan tahmin o kadar güvenilir ve hassas olur.

2

Tabaka oluşturma kriterlerini uygulama

Birimler tabaka içinde birbirine ne kadar çok benzerse (homojenlik), tabaka içi varyans (

S_h^2

) o kadar küçülür. Tabakalar birbirine ne kadar az benzerse (heterojenlik), tabakalama o kadar anlamlı hale gelir.

Matematiksel olarak, kitle varyansı tabaka içi ve tabakalar arası varyansın toplamı olarak düşünülebilir; tabakalar arası varyans arttıkça örnekleme hatası azalır.

Anahtar Kavram

Tabaka Oluşturma İlkesi: İçi Homojen, Arası Heterojen

Daha Fazla Pratik

Tabakalı örneklemede varyansın düşürülmesine yönelik Neyman dağıtımı ve orantılı dağıtım yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 51Soru →

Tabakalı rastgele örnekleme yönteminde, kitleyi tabakalara ayırma işlemi ve bu tabakaların yapısal özellikleri ile ilgili verilen;

I. Tabaka içindeki birimlerin incelenen değişken bakımından birbirine benzer (homojen) olması,
II. Oluşturulan tabakaların birbirleri arasında belirgin farklar (heterojenlik) göstermesi,
III. Tabaka sayısının kitledeki toplam birim sayısına ( $N$ ) eşit olması

ifadelerinden hangileri bu yöntemin temel özellikleri arasında yer alır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Tabakalı rastgele örneklemede beklenen temel özellikler, tabaka içi birimlerin homojen ve tabakaların kendi aralarında heterojen bir yapıda olmasıdır.

Tabakalı rastgele örnekleme yönteminde temel ilke, kitleyi incelenen özellik bakımından kendi içinde benzer (homojen) birimlerden oluşan alt gruplara ayırmaktır. Bu sayede her tabakadan seçilen örneklem, o tabakayı çok daha düşük bir hata payı ile temsil eder. Ayrıca, bu alt grupların (tabakaların) birbirlerinden farklı (heterojen) olması, kitlenin tüm çeşitliliğinin örnekleme yansıtılmasını sağlar. Tabaka sayısı ise pratik ve istatistiksel nedenlerle kitledeki birim sayısından çok daha küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka içi yapıyı değerlendir

Homojenlik

Tabakalı örneklemede temel amaç, kitleyi daha küçük varyansa sahip (birbirine benzeyen) alt gruplara bölerek tahminin kesinliğini artırmaktır.

2

Tabakalar arası ilişkiyi değerlendir

Heterojenlik

Eğer tabakalar birbirine çok benzeseydi, kitleyi bölmenin bir avantajı kalmazdı; bu yüzden tabakaların birbirinden farklı olması istenir.

3

Tabaka sayısını kontrol et

Tabaka sayısı

L < N

olmalıdır

Tabaka sayısı kitle birim sayısına eşit olursa her tabakada tek birim olur, bu da istatistiksel gruplandırma mantığına aykırıdır.

Anahtar Kavram

Tabaka içi homojenlik ve tabakalar arası heterojenlik ilkesi

İpuçları

1

Tabakalı örneklemede amacın, her grubun kendi içinde 'tek sesli' olması olduğunu düşünün.

2

Tabakalar arası fark ne kadar büyükse, bu yöntemi kullanmak basit rastgele örneklemeye göre o kadar avantajlıdır.

Daha Fazla Pratik

Tabakalı örneklemenin küme örneklemesi ile temel farklarını (iç homojenlik vs. iç heterojenlik) karşılaştıran soruları inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 52Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin aylık ortalama mesai ücretini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Kurumdaki personel "İdari" ve "Teknik" olmak üzere iki tabakaya ayrılmış olup tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Kitle Birim Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )
İdari	$60$	$4.000$ TL
Teknik	$40$	$5.000$ TL

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemine göre tüm kurum için tahmin edilen kitle ortalaması kaç TL'dir?

4.200

4.400

4.500

4.600

5.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4.400$

Cevap

Kurum için tahmin edilen kitle ortalaması

4.400

TL'dir.

Doğru cevap, tabaka büyüklüklerinin toplam kitleye oranlanmasıyla elde edilen ağırlıkların (

0,6

ve

0,4

), ilgili tabaka ortalamalarıyla (

4.000

ve

5.000

) çarpılıp toplanması sonucu bulunan değerdir. Bu işlem

0,6 \times 4.000 + 0,4 \times 5.000 = 4.400

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) ve her tabakanın ağırlığını (

W_h

) hesaplayın.

N = 60 + 40 = 100

W_{\text{İdari}} = \frac{60}{100} = 0,6

W_{\text{Teknik}} = \frac{40}{100} = 0,4

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması, tabaka ortalamalarının kitle büyüklüğündeki paylarına göre ağırlıklandırılmasıyla bulunur.

2

Tabakalı kitle ortalaması formülünü uygulayın:

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h

\bar{y}_{st} = (0,6 \times 4.000) + (0,4 \times 5.000)

Genel kitle ortalaması tahmini, her bir tabakanın kendi ortalamasının o tabakanın ağırlığıyla çarpımlarının toplamıdır.

3

Matematiksel işlemi sonuçlandırın.

2.400 + 2.000 = 4.400

İdari personelin ağırlıklı katkısı 2.400 TL, teknik personelin ağırlıklı katkısı ise 2.000 TL'dir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Ortalaması Tahmini

İpuçları

1

Önce kurumdaki toplam personel sayısını bulup her grubun kitle içindeki oranını hesaplayın.

2

İdari tabakanın ağırlığı

60/100

, teknik tabakanın ağırlığı ise

40/100

'dür.

Daha Fazla Pratik

Tabaka büyüklükleri eşit olsaydı sonucun nasıl değişeceğini hesaplayarak ağırlıklandırma mantığını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 53Soru →

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgedeki hizmet kalitesini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 120$ birimlik bir örneklem seçecektir. Bölgelere (tabakalara) ait bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
Bölge I	200	10
Bölge II	800	5

Buna göre, Neyman dağıtımı (Neyman allocation) kullanılarak örneklem birimleri paylaştırıldığında, Bölge I'den seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_1$ ) kaçtır?

24

40

60

80

96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Neyman dağıtımı kullanıldığında Bölge I'den seçilmesi gereken örneklem hacmi 40 birimdir.

Doğru seçenek olan 40 değeri, Neyman dağıtımı prensibine dayanmaktadır. Neyman dağıtımında her tabakaya düşen örneklem hacmi

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülü ile hesaplanır. Bölge I için

N_1 S_1 = 2000

ve toplam ağırlık

\sum N_h S_h = 6000

olduğundan, Bölge I'in ağırlığı toplamın 1/3'üdür. Bu oran 120 birimlik toplam örnekleme uygulandığında

120 / 3 = 40

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayın.

Bölge I:

200 \times 10 = 2000

; Bölge II:

800 \times 5 = 4000

.

Neyman dağıtımı, örneklem birimlerini tabaka büyüklüğü ile tabaka içi değişkenliğin (standart sapma) çarpımıyla orantılı olarak dağıtır.

2

Tabakalardan elde edilen çarpımların toplamını bulun.

\sum N_h S_h = 2000 + 4000 = 6000

.

Genel örneklem hacminin (n) paylaştırılmasında kullanılacak payda değerini belirlemek için gereklidir.

3

Bölge I için Neyman dağıtımı formülünü (

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) uygulayın.

n_1 = 120 \times \frac{2000}{6000} = 120 \times \frac{1}{3} = 40

.

Bölge I'in toplam ağırlık içindeki payına göre seçilecek birim sayısını belirlemek için kullanılır.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 54Soru →

Bir kamu kurumu, personelin hizmet içi eğitimlerden duyduğu memnuniyeti ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 100$ kişilik bir örneklem seçecektir. Kurumdaki iki farklı birime (tabakaya) ait bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Tabaka	200	10
2. Tabaka	300	20

Buna göre, Neyman dağıtımı (Neyman allocation) yöntemi kullanıldığında 1. tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_1$ ) kaçtır?

25

40

50

20

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre 1. tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacmi 25 birimdir.

Neyman dağıtımı formülüne göre, bir tabakaya ayrılacak örneklem sayısı

n_h = n \times (N_h S_h / \sum N_h S_h)

şeklinde hesaplanır. Verilen değerlerle 1. tabaka için

200 \times 10 = 2000

ve 2. tabaka için

300 \times 20 = 6000

değerleri elde edilir. Toplam değer

8000

olduğundan,

100 \times (2000 / 8000) = 25

sonucu 1. tabaka için seçilmesi gereken doğru birim sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için tabaka büyüklüğü (

N_h

) ile tabaka standart sapmasının (

S_h

) çarpımını hesaplayın.

1. Tabaka:

200 \times 10 = 2000

; 2. Tabaka:

300 \times 20 = 6000

Neyman dağıtımı, tabakalara örneklem hacmini tabaka büyüklüğü ve değişkenliği (standart sapma) ile doğru orantılı olarak dağıtır.

2

Hesaplanan bu değerlerin toplamını (

∑ N_h S_h

) bulun.

2000 + 6000 = 8000

Dağıtım oranını belirlemek için payda değerine ihtiyaç vardır.

3

n_1 = n \times \frac{N_1 S_1}{\sum N_h S_h}

formülünü uygulayın.

n_1 = 100 \times \frac{2000}{8000} = 100 \times 0,25 = 25

Genel örneklem hacminin 1. tabakaya düşen payını hesaplamak için ilgili tabaka ağırlığı kullanılır.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı (Neyman Allocation)

Soru 55Soru →

Bir eğitim kurumu, sunduğu dijital eğitim materyallerinin kullanım oranını belirlemek amacıyla öğrencileri ve öğretmenleri kapsayan iki farklı tabaka oluşturmuştur. Tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle yapılan çalışmaya ait veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Kullanan Sayısı ( $a_h$ )
Öğrenciler	700	50	35
Öğretmenler	300	50	45

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılarak tüm kitle için tahmin edilen kullanım oranı kaçtır?

0,70

0,76

0,80

0,84

0,90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,76

Cevap

Tahmin edilen kitle oranı 0,76'dır.

Tahmin edilen kitle oranı olan 0,76 değeri, kitledeki öğrenci ve öğretmen ağırlıkları (

0,7

ve

0,3

) ile bu grupların kendi içindeki kullanım oranlarının (

0,7

ve

0,9

) çarpılıp toplanmasıyla elde edilen doğru ağırlıklı ortalamadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesapla.

W_1 = 700 / 1000 = 0,7

ve

W_2 = 300 / 1000 = 0,3

Kitle oranını tahmin ederken her tabakanın kitle içerisindeki temsil payı belirlenmelidir.

2

Her tabaka için örneklem oranlarını (

\hat{p}_h

) hesapla.

\hat{p}_1 = 35 / 50 = 0,7

ve

\hat{p}_2 = 45 / 50 = 0,9

Tabakalara ait başarı oranları, kitle oranının tahmin edilmesinde temel bileşendir.

3

Tahmin edilen kitle oranını (

\hat{P}_{st}

) ağırlıklı toplam formülüyle hesapla.

\hat{P}_{st} = (0,7 \times 0,7) + (0,3 \times 0,9) = 0,49 + 0,27 = 0,76

Tabakalı örneklemede kitle oranı, tabaka oranlarının kitledeki büyüklüklerine göre ağırlıklandırılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Kitle Oranı Tahmini (

\hat{P}_{st} = \sum W_h \hat{p}_h

)

Soru 56Soru →

Bir kamu kurumu, sunduğu hizmetlere yönelik memnuniyeti ölçmek amacıyla 4 farklı bölgede çalışan personeli arasından toplam $n = 600$ kişilik bir örneklem seçecektir. Bölgelere göre kitle büyüklükleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bölge	Personel Sayısı ( $N_h$ )
1. Bölge	$1.000$
2. Bölge	$2.000$
3. Bölge	$3.000$
4. Bölge	$4.000$
Toplam ( $N$ )	$10.000$

Araştırmacı, her bir bölgeden örnekleme seçilecek birim sayısının birbirine eşit olmasını hedefleyen Eşit Dağıtım (Equal Allocation) yöntemini kullanmaya karar vermiştir. Buna göre, her bir bölgeden seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_h$ ) kaçtır?

60

100

150

240

600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $150$

Cevap

Her bir bölgeden seçilmesi gereken örneklem hacmi

150

birimdir.

Eşit dağıtım (Equal Allocation) yönteminde, toplam örneklem hacmi (

n

), tabaka sayısına (

L

) bölünerek her bir tabakadan çekilecek birim sayısı belirlenir (

n_h = n / L

). Bu problemde

600

birimlik toplam örneklem,

4

tabakaya eşit olarak paylaştırıldığında her tabakaya

150

birim düşer.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka sayısını (

L

) belirleyin.

L = 4

Soruda 4 farklı bölge (tabaka) olduğu belirtilmiştir.

2

Toplam örneklem hacmini (

n

) belirleyin.

n = 600

Araştırmanın toplamda 600 personelle yapılacağı ifade edilmiştir.

3

Eşit dağıtım formülünü (

n_h = n / L

) uygulayarak her tabaka için örneklem hacmini hesaplayın.

n_h = 600 / 4 = 150

Eşit dağıtım yönteminde tabaka büyüklükleri veya varyanslar dikkate alınmaz; toplam örneklem tabakalara eşit olarak paylaştırılır.

Anahtar Kavram

Eşit Dağıtım (Equal Allocation)

Soru 57Soru →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, bünyesindeki 4 farklı hastanede görev yapan sağlık personelinin tükenmişlik düzeylerini araştırmak amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmaya karar vermiştir. Hastanelerdeki toplam personel sayıları ( $N_h$ ) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Hastane	Personel Sayısı ( $N_h$ )
A Hastanesi	1200
B Hastanesi	800
C Hastanesi	600
D Hastanesi	1400
Toplam ( $N$ )	4000

Araştırma için belirlenen toplam örneklem hacmi $n = 400$ olup, örneklemin tabakalara dağıtımında eşit dağıtım (equal allocation) yöntemi kullanılacaktır. Buna göre, B Hastanesinden seçilmesi gereken örneklem birimi sayısı ( $n_h$ ) kaçtır?

60

80

100

120

140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Eşit dağıtım yöntemine göre B Hastanesinden seçilmesi gereken örneklem hacmi 100'dür.

Eşit dağıtım (equal allocation) yönteminin temel prensibi, toplam örneklem hacminin (

n

) tüm tabakalara (

L

) eşit olarak paylaştırılmasıdır. Soruda toplam örneklem hacmi 400, tabaka (hastane) sayısı ise 4 olarak verilmiştir. Dolayısıyla her bir tabakadan seçilecek örneklem sayısı

400 / 4 = 100

olarak hesaplanır. Bu yöntemde tabakalardaki birim sayıları (1200, 800, vb.) hesaplamayı değiştirmez.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam örneklem hacmi (

n

) ve tabaka sayısının (

L

) tespit edilmesi

n = 400

,

L = 4

Eşit dağıtım yönteminde hesaplama için toplam örneklem büyüklüğü ve kaç farklı tabaka olduğu bilgisine ihtiyaç duyulur.

2

Eşit dağıtım formülünün uygulanması

n_h = \frac{n}{L}

Eşit dağıtım yönteminde her bir tabakaya (hastaneye) düşen örneklem hacmi, tabaka büyüklüklerine bakılmaksızın birbirine eşittir.

3

Hesaplamanın tamamlanması

n_h = \frac{400}{4} = 100

Matematiksel bölme işlemi sonucunda her bir hastaneden (A, B, C ve D) yüzer kişilik örneklem seçilmesi gerektiği bulunur.

Anahtar Kavram

Eşit Dağıtım (Equal Allocation) yönteminde, toplam örneklem hacmi tabaka sayısına eşit olarak paylaştırılır; tabakaların kitle içindeki büyüklükleri veya varyansları bu dağıtımı etkilemez.

Tahmini Süre:45s

Soru 58Soru →

Bir kamu bankasında müşterilerin hizmet kalitesinden memnuniyet düzeyini tahmin etmek amacıyla yürütülen bir çalışmada, tabakalı rastgele örnekleme tasarımı kullanılmıştır. Tahmin edicinin varyansı tabakalı örnekleme ile $V(\bar{y}_{st}) = 105$ olarak hesaplanırken, aynı örneklem hacmi için basit rastgele örnekleme kullanılsaydı varyansın $V(\bar{y}_{bro}) = 150$ olacağı öngörülmüştür.

Buna göre, bu örnekleme tasarımı için hesaplanan tasarım etkisi ( $Deff$ ) değeri ve basit rastgele örneklemeye göre sağladığı hassasiyet kazancı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Deff = 0,70

;

\%30

hassasiyet kazancı

Deff = 1,43

;

\%43

hassasiyet kaybı

Deff = 0,30

;

\%70

hassasiyet kazancı

Deff = 0,70

;

\%30

hassasiyet kaybı

Deff = 0,50

;

\%50

hassasiyet kazancı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Deff = 0,70$ ; $\%30$ hassasiyet kazancı

Cevap

Tasarım etkisi 0,70 ve hassasiyet kazancı %30'dur.

Tasarım etkisi (

Deff

), tabakalı rastgele örnekleme varyansının (

105

) basit rastgele örnekleme varyansına (

150

) bölünmesiyle

0,70

olarak bulunur. Bu değerin 1'den küçük olması, tabakalı örneklemenin daha etkin olduğunu gösterir. Aradaki fark olan

\%30

(

1 - 0,70

) ise hassasiyet kazancını ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım Etkisi (Design Effect - Deff) formülünü belirleme

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{bro})}

Tasarım etkisi, belirli bir tasarımın varyansının basit rastgele örnekleme varyansına oranı olarak tanımlanır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapma

Deff = \frac{105}{150} = 0,70

Mevcut tasarımın (tabakalı) varyansı 105, kıyaslanan basit rastgele örnekleme varyansı 150'dir.

3

Basit rastgele örneklemeye göre elde edilen hassasiyet kazancını hesaplama

1 - 0,70 = 0,30

yani

\%30

Hassasiyet kazancı, basit rastgele örneklemeye göre varyansta meydana gelen azalma oranını temsil eder.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Göreli Etkinlik

Daha Fazla Pratik

Tasarım etkisinin 1'den büyük çıktığı (Deff > 1) durumların örnekleme etkinliği açısından ne anlama geldiğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 59Soru →

Bir sağlık araştırmasında, bireylerin günlük ortalama su tüketim miktarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Yapılan hesaplamalar sonucunda kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı $V(\bar{y}_{st}) = 140$ olarak bulunmuştur. Aynı örneklem hacmiyle basit rastgele örnekleme kullanılsaydı bu varyansın $V(\bar{y}_{bro}) = 200$ olacağı belirlenmiştir.

Buna göre, bu araştırma için tasarım etkisi ( $Deff$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,30

0,60

0,70

1,43

1,70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,70$

Cevap

Hesaplanan tasarım etkisi (

Deff

) değeri

0,70

olarak belirlenmiştir.

Tasarım etkisi (

Deff

), tabakalı rastgele örnekleme varyansının (

V_{st} = 140

), aynı örneklem hacmindeki basit rastgele örnekleme varyansına (

V_{bro} = 200

) bölünmesiyle hesaplanır.

140 / 200 = 0,70

sonucu, tabakalı örneklemenin basit rastgele örneklemeye göre %30 daha etkin olduğunu ve varyansı düşürdüğünü gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım etkisi (

Deff

) formülünü belirle.

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{bro})}

Tasarım etkisi, kullanılan örnekleme tasarımının varyansının, aynı büyüklükteki basit rastgele örnekleme varyansına oranıdır.

2

Soruda verilen varyans değerlerini formülde yerine koy.

Deff = \frac{140}{200}

Tabakalı örnekleme varyansı

140

ve basit rastgele örnekleme varyansı

200

olarak verilmiştir.

3

Bölme işlemini gerçekleştirerek sonucu hesapla.

0,70

Varyansların birbirine oranı tasarım etkisi katsayısını verir.

Anahtar Kavram

Tasarım etkisi (

Deff

), karmaşık bir örnekleme tasarımı (bu soruda tabakalı) altındaki varyansın, basit rastgele örnekleme altındaki varyansa oranıdır ve tasarımın etkinliğini ölçer.

Tahmini Süre:45s

Soru 60Soru →

Bir araştırmacı, bir şehirdeki hanehalklarının sosyo-ekonomik düzeylerini belirlemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmayı planlamaktadır. Bu yöntemle yapılan bir araştırmada, örnekleme hatasını minimize ederek daha etkin tahminler elde edebilmek için tabakaların oluşturulmasında gözetilmesi gereken temel kriter aşağıdakilerden hangisidir?

Tabaka içi birimlerin kendi içinde benzer (homojen), tabakaların ise birbirine göre farklı (heterojen) olması

Tabaka içi birimlerin heterojen, tabakaların ise kendi aralarında homojen bir yapıda olması

Hem tabaka içi birimlerin hem de tabakaların kendi aralarında tamamen heterojen olması

Tabaka içi birimlerin kitle varyansını tam olarak yansıtacak şekilde geniş bir çeşitliliğe (heterojenliğe) sahip olması

Hem tabaka içi birimlerin hem de tabakaların birbirine göre tamamen homojen özellikler taşıması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tabaka içi birimlerin kendi içinde benzer (homojen), tabakaların ise birbirine göre farklı (heterojen) olması

Cevap

Tabaka içi birimlerin kendi içinde homojen, tabakaların ise birbirine göre heterojen olması

Tabakalı rastgele örneklemede tahmin edicilerin varyansını küçültmek ve etkinliği artırmak için her bir tabakanın kendi içinde benzer birimlerden oluşması (homojenlik) ve tabakaların birbirlerinden farklı kitle kesimlerini temsil etmesi (heterojenlik) gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Yöntemin amacını belirleme

Tabakalı rastgele örneklemede amaç, kitledeki değişkenliği (varyansı) kontrol altına alarak daha kesin tahminler yapmaktır.

Varyansın kontrolü, birimlerin benzer özelliklere göre gruplandırılmasıyla sağlanır.

2

Homojenlik ve heterojenlik dengesini kurma

Etkin bir tabakalama için tabaka içindeki birimler birbirine mümkün olduğunca benzemeli (homojen), farklı tabakalar ise ölçülen özellik bakımından birbirinden farklı (heterojen) olmalıdır.

Tabaka içi varyans ne kadar küçük olursa, örneklemden elde edilen tahminin standart hatası o kadar düşük olur.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede tabaka içi homojenlik, tabakalar arası heterojenlik ilkesi

İpuçları

1

Tabakalı örneklemede amacımız grup içindeki farklılıkları azaltmaktır.

2

Varyansı düşürmek için her tabakanın 'tek tip' birimlerden oluşması gerekip gerekmediğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Tabaka içi varyansın kitle varyansına oranı ile tasarım etkisi (design effect) arasındaki ilişkiyi inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Tabakalı Rastgele Örnekleme

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram