Deney Tasarımı ve Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir eğitim ve araştırma hastanesinde, $4$ farklı fizik tedavi yönteminin (işlem) hastaların iyileşme süreleri (gün) üzerindeki etkisi incelenmek istenmektedir. Hastaların yaşlarının iyileşme süresi üzerinde etkili olabileceği düşünüldüğünden, hastalar yaşlarına göre $5$ farklı gruba (blok) ayrılmıştır. Her bir yaş grubundan rastgele seçilen hastalar $4$ farklı tedavi yöntemine atanmış ve toplam $20$ hasta ile rastgele bloklar deney tasarımı uygulanmıştır.

Elde edilen verilere göre oluşturulan varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi	Kareler Toplamı	Kareler Ortalaması	F
Yöntemler (İşlem)	?	$240$	?	?
Yaş Grupları (Blok)	?	$140$	?
Hata	?	?	?
Genel (Toplam)	?	$500$

Buna göre, fizik tedavi yöntemlerinin iyileşme süreleri üzerindeki etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken F test istatistiği değeri kaçtır?

8,00

6,00

4,92

3,50

2,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8,00$

Cevap

İşlem etkisini test eden F istatistiği

8,00

olarak hesaplanır.

Verilen tabloda işlemler kareler toplamı 240, blok kareler toplamı 140 ve genel kareler toplamı 500'dür. Hata kareler toplamı

500 - 240 - 140 = 120

olarak bulunur. İşlem sayısı (

k

) 4 olduğundan serbestlik derecesi 3, blok sayısı (

b

) 5 olduğundan serbestlik derecesi 4'tür. Hata serbestlik derecesi

(k-1)(b-1) = 3 \times 4 = 12

olur. İşlem kareler ortalaması

240 / 3 = 80

, hata kareler ortalaması ise

120 / 12 = 10

'dur. Yöntemlerin etkisini test eden F istatistiği

80 / 10 = 8,00

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (sd) hesapla.

İşlem sd =

4 - 1 = 3

, Blok sd =

5 - 1 = 4

, Toplam sd =

20 - 1 = 19

, Hata sd =

3 \times 4 = 12

.

Kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili varyans kaynaklarının serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Hata kareler toplamını (HKT) bul.

Genel KT = İşlem KT + Blok KT + Hata KT formülünden;

500 = 240 + 140 + Hata KT \Rightarrow Hata KT = 120

.

F istatistiğinin paydasında yer alan hata kareler ortalamasını hesaplamak için hata kareler toplamı bulunmalıdır.

3

Kareler ortalamalarını (KO) hesapla.

İşlem KO =

240 / 3 = 80

, Hata KO =

120 / 12 = 10

.

F test istatistiği, ilgili kaynağın kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla elde edilir.

4

F test istatistiğini hesapla.

F_{işlem} = \frac{\text{İşlem KO}}{\text{Hata KO}} = \frac{80}{10} = 8,00

.

Tedavi yöntemlerinin (işlemlerin) anlamlılığını test etmek için İşlem KO değeri Hata KO değerine bölünür.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında Varyans Analizi (ANOVA) Tablosu ve F Testi

Soru 102Soru →

Bir e-ticaret şirketi, mobil uygulamasındaki $n$ farklı ödeme sayfası tasarımının (muamele) satın alma dönüşüm oranları üzerindeki etkisini analiz etmek istemektedir. Kullanıcı davranışlarını etkileyebilecek iki önemli dışsal faktör olarak 'siteye giriş yapılan cihaz türü' ve 'haftanın günleri' tespit edilmiştir. Şirket, bu iki dışsal faktörün bozucu etkisini kontrol altına alarak deney hatasından arındırmak amacıyla her iki yönde bloklama yapmış; tasarım, cihaz türü ve gün seviyelerinin sayısını birbirine eşit ( $n$ adet) olarak belirlemiştir.

Buna göre, bu araştırmanın amacına en uygun deney tasarımı ile bu tasarımın varyans analizi (ANOVA) tablosunda yer alacak rastgele hata serbestlik derecesi aşağıdakilerin hangisinde doğru eşleştirilmiştir?

Latin Karesi Deney Tasarımı /

(n-1)(n-2)

Rastgele Bloklar Deney Tasarımı /

(n-1)^2

Latin Karesi Deney Tasarımı /

n-1

Grek-Latin Karesi Deney Tasarımı /

(n-1)(n-3)

Rastgele Bloklar Deney Tasarımı /

(n-1)(n-2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Latin Karesi Deney Tasarımı / $(n-1)(n-2)$

Cevap

Araştırmanın amacı için en uygun olan yöntem 'Latin Karesi Deney Tasarımı' olup, bu tasarımdaki rastgele hata serbestlik derecesi '

(n-1)(n-2)

' formülü ile ifade edilir.

Deneyde iki farklı dışsal faktörün (cihaz türü ve haftanın günleri) bloklanarak kontrol altına alınması ve muamele sayısı ile blok seviyelerinin eşit (

n

) tutulması, 'Latin Karesi Deney Tasarımı'nın kullanılması gerektiğini gösterir.

n \times n

boyutlarındaki bir Latin Karesi tasarımında toplam serbestlik derecesi

n^2-1

; satır, sütun ve muamele serbestlik dereceleri ise

(n-1)

'dir. Rastgele hata serbestlik derecesi ise toplam varyasyondan diğer etkilerin çıkarılmasıyla,

(n^2-1) - 3(n-1) = (n-1)(n-2)

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Deneyde kontrol edilen dışsal faktör (blok) sayısını ve muamele seviyelerini belirleme.

'Cihaz türü' ve 'haftanın günleri' olmak üzere iki ayrı yönde bloklama yapıldığı, tüm seviyelerin eşit (

n

) olduğu tespit edilir.

Doğru deney tasarımını seçebilmek için modele dahil edilen bozucu faktör (kısıt) sayısının bilinmesi esastır.

2

Amaca uygun deney tasarımını seçme.

İki farklı yönde bloklama yapıldığı için 'Latin Karesi Deney Tasarımı'nın en uygun model olduğu sonucuna varılır.

Latin Karesi, tam olarak iki dışsal değişkenin ana etkisini eşzamanlı olarak kontrol altına almak üzere geliştirilmiş bir

n \times n

tasarımıdır.

3

Seçilen tasarımın rastgele hata serbestlik derecesini hesaplama.

Toplam serbestlik derecesinden (

n^2-1

), satır, sütun ve muamele serbestlik dereceleri (her biri

n-1

) çıkarıldığında geriye

(n-1)(n-2)

kalır.

Varyans analizinde rastgele hata, hesaplanabilen diğer tüm sistematik değişim kaynaklarının toplam varyasyondan arındırılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Tasarımı Model Seçimi ve Serbestlik Derecesi Hesaplaması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 103Soru →

Bir kamu kurumunda 4 farklı arşivleme yazılımının (A, B, C, D) işlem süreleri karşılaştırılmak istenmektedir. Yazılım performansının; memurların kıdem yılı (4 farklı seviye) ve gün içindeki çalışma periyotları (4 farklı zaman dilimi) gibi iki farklı dışsal kaynaktan etkilendiği bilinmektedir. Bu iki değişkenin etkisini kontrol altında tutarak yazılımları test etmek amacıyla Latin Karesi Deney Tasarımı uygulanmasına karar verilmiştir. Bu deney tasarımı sonucunda elde edilecek varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata (artık) kaynağının serbestlik derecesi kaçtır?

3

6

9

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda hata serbestlik derecesi 6 olarak hesaplanır.

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda

n

adet muamele,

n

adet satır bloğu ve

n

adet sütun bloğu bulunur. Toplam gözlem sayısı

n^2

olduğu için toplam serbestlik derecesi

n^2-1=15

'dir. Satır, sütun ve muamelelerin her birinin serbestlik derecesi

n-1=3

'tür. Hata serbestlik derecesi ise

(n-1)(n-2) = 3 \times 2 = 6

formülü ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Deneydeki 'n' parametresini belirleme

n = 4

Soruda 4 farklı yazılım (muamele), 4 kıdem seviyesi (satır bloğu) ve 4 çalışma periyodu (sütun bloğu) verildiği için

n=4

olarak belirlenir.

2

Hata serbestlik derecesi formülünü uygulama

sd_{hata} = (4-1) \times (4-2) = 3 \times 2 = 6

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda hata serbestlik derecesi

(n-1)(n-2)

formülü ile hesaplanır.

3

Sonucu doğrulama

sd_{toplam} = 15

,

sd_{satir}=3

,

sd_{sutun}=3

,

sd_{muamele}=3

.

15 - (3+3+3) = 6

Toplam serbestlik derecesinden (

n^2-1

) diğer kaynakların serbestlik dereceleri çıkarıldığında kalan pay hataya aittir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda Serbestlik Derecesi Hesaplamaları

Daha Fazla Pratik

Latin karesinde

n

değeri arttıkça hata serbestlik derecesinin nasıl hızla arttığını gözlemlemek için

n=5

durumunu hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Toplam serbestlik derecesi olan

n^2-1=15

değerinden, kontrol edilen üç faktörün (satır, sütun, muamele) serbestlik dereceleri toplamı olan

3 \times (n-1) = 9

çıkarılarak da

15-9=6

sonucuna ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 104Soru →

Bir kamu denetim biriminde, müfettiş yardımcılarına yönelik uygulanan dört farklı denetim tekniğinin (Gözlemsel, Belgesel, Analitik ve Mülakat) hata yakalama performansları üzerindeki etkileri Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) ile araştırılmaktadır. Analiz öncesinde yapılan varsayım kontrollerinde, grupların varyans homojenliği Levene testi ile sınanmış ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir:

Test İstatistiği	$df1$	$df2$	Anlamlılık ( $p$ )
3,12	3	56	0,034

Araştırmacı anlamlılık düzeyini $\alpha = 0,05$ olarak belirlediğine göre, bu sonuç ve analizin devamı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Çalışmada sabit etkiler (fixed effects) modeli söz konusudur ve varyans homojenliği ihlal edildiği için standart

F

testi yerine Welch testi uygulanmalıdır.

Hesaplanan p-değeri 0,05'ten küçük olduğu için varyansların homojen olduğu kabul edilmeli ve analiz sabit etkiler modeli ile sürdürülmelidir.

Levene testi sonucunun anlamlı çıkması, denetim tekniklerinin performans ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğunu kanıtlar.

Varyans homojenliği sağlanmadığı için bağımlı değişkenin normal dağılım varsayımı da ihlal edilmiş sayılır; bu nedenle Kruskal-Wallis testi uygulanmalıdır.

Elde edilen sonuç rastgele etkiler (random effects) modeline işaret eder ve homojenlik ihlali nedeniyle model geçersiz sayılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çalışmada sabit etkiler (fixed effects) modeli söz konusudur ve varyans homojenliği ihlal edildiği için standart $F$ testi yerine Welch testi uygulanmalıdır.

Cevap

Çalışma sabit etkiler modeline dayanmaktadır ve varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiği için (p < 0,05) standart ANOVA yerine Welch ANOVA testi kullanılmalıdır.

Varyans Analizi'nin (ANOVA) en temel varsayımlarından biri grupların hata varyanslarının eşit olmasıdır (homojenlik). Levene testi bu varsayımı sınamak için kullanılır. Soruda verilen p-değeri (0,034), 0,05 anlamlılık düzeyinden küçük olduğu için 'varyanslar eşittir' şeklindeki yokluk hipotezi reddedilir. Bu durum varyansların homojen olmadığını gösterir. Standart ANOVA'daki F testi bu ihlale karşı hassastır. Dolayısıyla, varyans eşitliği gerektirmeyen Welch testi gibi daha dirençli yöntemlerin kullanılması gerekir. Ayrıca, çalışmada kullanılan teknikler (Gözlemsel, Belgesel vb.) araştırmacı tarafından belirlenen özel seviyeler olduğu için bu bir sabit etkiler modelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Model tipini belirle

Sabit Etkiler Modeli (Model I)

İncelenen denetim teknikleri (Gözlemsel, Belgesel vb.) araştırmacı tarafından spesifik olarak seçilmiş seviyelerdir.

2

Levene testi hipotezini ve sonucunu değerlendir

p = 0,034 < \alpha = 0,05

olduğu için

H_0

reddedilir.

Levene testinde yokluk hipotezi varyansların eşit olduğunu savunur; p-değerinin alfa'dan küçük olması varyansların homojen olmadığını gösterir.

3

Varsayım ihlali durumunda uygun analiz yöntemini seç

Welch ANOVA veya Brown-Forsythe testi

Varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiğinde standart F testi güvenilirliğini yitirir; bu nedenle varyansların farklılığını tolere edebilen dirençli (robust) testler kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

Varyans Analizinde Homojenlik Varsayımı ve İhlal Durumu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 105Soru →

Bir tekstil fabrikasında kumaşların yıkama sonrası çekme oranlarını incelemek için bir deney tasarlanmıştır. Deneyde ana parsel faktörü olarak 'yıkama sıcaklığı' ( $3$ farklı seviye) ve alt parsel faktörü olarak 'kurutma yöntemi' ( $4$ farklı seviye) belirlenmiştir. Araştırma $3$ bloklu tesadüf blokları planına göre yürütüldüğüne göre, varyans analizi (ANOVA) tablosunda 'Hata B' (alt parsel hatası) terimine ait serbestlik derecesi kaçtır?

4

6

12

18

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18$

Cevap

Varyans analizi tablosunda Hata B terimine ait serbestlik derecesi

18

olarak hesaplanır.

Bölünmüş parseller (Split-Plot) tasarımında iki farklı hata terimi bulunur. Ana parsel hatası (Hata A)

(r-1)(a-1)

serbestlik derecesine sahipken, alt parsel hatası (Hata B)

a(r-1)(b-1)

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

r=3

,

a=3

ve

b=4

değerleri yerine konulduğunda

3 \times 2 \times 3 = 18

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımındaki parametrelerin belirlenmesi

r = 3

(Blok sayısı),

a = 3

(Ana parsel seviye sayısı),

b = 4

(Alt parsel seviye sayısı)

Serbestlik derecesi formüllerinde kullanılacak değişkenleri tanımlamak için.

2

Hata B serbestlik derecesi formülünün uygulanması

sd(\text{Hata B}) = a \times (r-1) \times (b-1)

Bölünmüş parseller tasarımında alt parsel hatasının serbestlik derecesi bu formülle bulunur.

3

Sayısal hesaplamanın yapılması

3 \times (3-1) \times (4-1) = 3 \times 2 \times 3 = 18

Verilen değerleri formülde yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölünmüş parseller tasarımında hata terimlerinin serbestlik derecesi ayrımı

Daha Fazla Pratik

F testleri yapılırken ana parsel faktörü için Hata A kareler ortalamasının, alt parsel faktörü için ise Hata B kareler ortalamasının kullanıldığını unutmayın.

Alternatif Yöntem

Toplam serbestlik derecesinden (

rab-1 = 35

) diğer tüm kaynakların (Blok:

2

, Ana Parsel:

2

, Hata A:

4

, Alt Parsel:

3

, Etkileşim:

6

) toplamını çıkararak da bulunabilir:

35 - (2+2+4+3+6) = 18

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 106Soru →

Bir kamu kurumunda, $4$ farklı veri giriş yazılımının (işlem) hızı, $5$ farklı departmanda (blok) çalışan personel üzerinde test edilmiştir. Elde edilen verilerle hazırlanan varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Ortalaması (KO)	F-İstatistiği
Yazılımlar (İşlem)	$120$	?	?	?
Departmanlar (Blok)	$100$	?	?
Hata	?	?	?
Genel	$340$	?

Buna göre, yazılımlar arasındaki farkın anlamlılığını test etmek için kullanılacak olan $F_{hesap}$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

3,00

4,00

6,33

12,00

1,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4,00$

Cevap

Yazılımlar (İşlem) arasındaki farkı test etmek için hesaplanan F-istatistiği değeri

4,00

olarak bulunur.

Rastgele bloklar tasarımında F-istatistiği, test edilmek istenen faktörün (yazılımlar) kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle bulunur. Bu soruda işlem kareler ortalaması

120/3=40

, hata kareler ortalaması ise

120/12=10

olduğundan, oran

4,00

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini hesapla.

sd_{İşlem} = 4 - 1 = 3

,

sd_{Blok} = 5 - 1 = 4

,

sd_{Genel} = (4 \times 5) - 1 = 19

,

sd_{Hata} = 3 \times 4 = 12

.

Varyans analizi tablosunu tamamlamak için her bir varyans kaynağının serbestlik derecesi gereklidir.

2

Hata Kareler Toplamını (

KT_{Hata}

) hesapla.

KT_{Hata} = 340 - (120 + 100) = 120

.

Toplam kareler toplamı, işlem, blok ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir.

3

Kareler Ortalamalarını (

KO

) hesapla.

KO_{İşlem} = 120 / 3 = 40

ve

KO_{Hata} = 120 / 12 = 10

.

F-istatistiği, kareler ortalamalarının birbirine oranlanmasıyla hesaplanır.

4

F-istatistiği değerini (

F_{hesap}

) hesapla.

F_{hesap} = KO_{İşlem} / KO_{Hata} = 40 / 10 = 4

.

İşlem etkisinin anlamlılığı, işlem varyansının hata varyansına oranlanmasıyla test edilir.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında ANOVA tablosunun bileşenleri ve F-istatistiğinin hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 107Soru →

Bir kamu kurumunda veri işleme süreçlerini optimize etmek amacıyla kullanılan dört farklı yazılım paketinin ( $P_1, P_2, P_3, P_4$ ) işlem hızları saniye cinsinden ölçülmüştür. Her yazılım için 10'ar bağımsız gözlem yapılarak gerçekleştirilen Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) sonuçlarının bir kısmı aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )
Gruplar Arası	?	240
Gruplar İçi (Hata)	?	432
Toplam	39

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde $F_{tablo}(3, 36) = 2,87$ olduğu bilindiğine göre, bu analiz sonucunda yapılacak işlemler ve çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hesaplanan

F

istatistiği (

6,67

) kritik değerden büyük olduğu için yazılımların ortalama işlem hızları arasında en az bir anlamlı fark vardır ve farkın kaynağını belirlemek için post-hoc testleri uygulanmalıdır.

ANOVA tablosundaki hata serbestlik derecesi 39 olarak alınmalı ve hesaplanan

F

değeri anlamlı çıkmadığı için analize herhangi bir çoklu karşılaştırma testi yapılmadan son verilmelidir.

Örneklem hacimleri eşit (

n=10

) olduğu için sadece Scheffé testi kullanılabilir; çünkü Scheffé testi tüm post-hoc testleri arasında Tip I hatayı kontrol etmede en az muhafazakar olan yöntemdir.

Hesaplanan

F

değeri 1,80 olduğu ve kritik değerden küçük kaldığı için sıfır hipotezi reddedilemez; dolayısıyla çoklu karşılaştırma testlerine geçilmesi istatistiksel olarak hatalı bir yaklaşımdır.

En Küçük Önemli Fark (LSD) testi, karşılaştırma sayısı arttığında aile bazlı hata oranını (family-wise error rate) korumak ve Tip I hatayı minimize etmek için en güvenilir post-hoc yöntemidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $F$ istatistiği ( $6,67$ ) kritik değerden büyük olduğu için yazılımların ortalama işlem hızları arasında en az bir anlamlı fark vardır ve farkın kaynağını belirlemek için post-hoc testleri uygulanmalıdır.

Cevap

Hesaplanan

F

değerinin (

6,67

) tablo değerinden (

2,87

) büyük olması nedeniyle sıfır hipotezi reddedilir ve farkın kaynağını bulmak için post-hoc testleri uygulanır.

Yapılan hesaplamalar sonucunda

sd_{arası}=3

ve

sd_{hata}=36

olarak bulunur. Kareler ortalamaları sırasıyla

80

ve

12

olup,

F

istatistiği

80/12=6,67

çıkar. Bu değer, verilen

2,87

kritik değerinden büyük olduğu için gruplar arası fark anlamlıdır. ANOVA anlamlı çıktığı durumlarda farkın kaynağını tespit etmek için post-hoc testlerinin (Tukey, Scheffé vb.) kullanılması zorunludur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini belirlemek

sd_{arası} = k - 1 = 4 - 1 = 3

ve

sd_{hata} = sd_{toplam} - sd_{arası} = 39 - 3 = 36

Varyans analizi tablosunda kareler ortalamasını hesaplayabilmek için serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Kareler Ortalamasını (

KO

) hesaplamak

KO_{arası} = 240 / 3 = 80

ve

KO_{hata} = 432 / 36 = 12

F-istatistiği, gruplar arası varyansın hata varyansına oranıdır.

3

F-hesap değerini bulmak

F_{hesap} = 80 / 12 = 6,67

Hipotez testi için hesaplanan istatistiksel değer budur.

4

Karar vermek

F_{hesap} (6,67) > F_{tablo} (2,87)

olduğu için

H_0

reddedilir.

Hesaplanan değer ret bölgesine düştüğü için ortalamalar arası fark anlamlıdır ve post-hoc testlerine geçilmelidir.

Anahtar Kavram

ANOVA sonucunda sıfır hipotezi reddedildiğinde, hangi grup ortalamalarının birbirinden farklı olduğunu belirlemek için çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri uygulanır.

Daha Fazla Pratik

Farklı post-hoc testlerinin (LSD, Tukey, Scheffé) Tip I hata kontrolü ve istatistiksel güç açısından karşılaştırılmasını içeren soruları inceleyiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 108Soru →

Bir kamu hastanesinde uygulanan dört farklı tedavi protokolünün ( $T_1, T_2, T_3, T_4$ ) hastaların ortalama iyileşme süreleri üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Yapılan Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) sonucunda, grupların ortalamaları arasında en az bir fark olduğu ( $p < 0,05$ ) tespit edilerek sıfır hipotezi reddedilmiştir. Araştırmada kullanılan grup örneklem hacimlerinin birbirinden farklı ( $n_1=10, n_2=12, n_3=8, n_4=10$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre; tüm olası ikili karşılaştırmaların yanı sıra grupların kombinasyonlarından oluşan karmaşık karşılaştırmaların (kontrastların) da yapılmasına olanak tanıyan ve Tip I hata oranını en katı (muhafazakar) şekilde kontrol eden çoklu karşılaştırma testi aşağıdakilerden hangisidir?

Scheffé Testi

Tukey HSD Testi

Fisher’in LSD Testi

Duncan Çoklu Aralık Testi

Dunnett Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Scheffé Testi

Cevap

Karmaşık karşılaştırmalara izin veren ve örneklem hacimleri farklı olduğunda da en muhafazakar sonuçları veren Scheffé Testi doğru cevaptır.

Scheffé testi, çoklu karşılaştırma yöntemleri arasında en esnek olanıdır. Hem ikili karşılaştırmalara hem de grupların ortalamalarının ağırlıklı kombinasyonlarından oluşan karmaşık kontrastlara (örneğin;

T_1

ile

T_2

ortalamasının

T_3

ile karşılaştırılması gibi) izin verir. Ayrıca, Tip I hata yapma olasılığını en düşük seviyede tutan en muhafazakar testtir ve örneklem hacimlerinin eşit olmadığı durumlarda da geçerliliğini korur.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA sonucunun kontrol edilmesi

H_0

reddedilmiştir (

p < 0,05

).

Post-hoc (ardışıl) testlerin uygulanabilmesi için öncelikle varyans analizinde gruplar arası farkın anlamlı bulunması şarttır.

2

Kısıtların ve ihtiyaçların belirlenmesi

Eşit olmayan örneklem hacimleri (

n_i \neq n_j

) ve karmaşık kontrast (kompleks karşılaştırma) ihtiyacı.

Soru metninde hem örneklem hacimlerinin farklı olduğu hem de ikili karşılaştırmalar dışındaki kombinasyonların (kontrastların) test edilmek istendiği belirtilmiştir.

3

Uygun testin seçilmesi

Scheffé Testi.

Scheffé testi, tüm olası lineer kombinasyonları test edebilen tek post-hoc testtir ve Tip I hata oranını en güçlü (muhafazakar) şekilde korur.

Anahtar Kavram

Post-hoc testlerin seçim kriterleri: Örneklem hacmi eşitliği, karşılaştırma tipi (ikili vs. karmaşık) ve Tip I hata kontrol düzeyi.

Daha Fazla Pratik

Scheffé testinin kritik değerinin, ANOVA'daki F tablo değerinin

(k-1)

ile çarpılmasıyla elde edildiğini hatırlayarak hesaplamalı sorulara hazırlanın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 109Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, üç farklı öğretim yönteminin ( $k=3$ ) öğrencilerin başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, öğrencilerin önceki yıl sonu başarı ortalamalarını (ortak değişken/covariate) modele dahil ederek Kovaryans Analizi (ANCOVA) yapmaya karar vermiştir. Toplam 34 öğrencinin katıldığı bu araştırmada, ANCOVA modelinin temel amacı ve serbestlik dereceleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Ortak değişkenin modele dahil edilmesiyle hata kareler toplamı küçültülerek testin istatistiksel gücü artırılır ve hata serbestlik derecesi

30

olarak hesaplanır.

Ortak değişken kullanımı sadece grup ortalamalarını düzeltmek içindir; hata varyansı (hata kareler ortalaması) üzerinde herhangi bir azaltıcı etkisi bulunmaz.

Modele ortak değişken eklendiğinde hata serbestlik derecesi değişmez ve Tek Yönlü ANOVA'da olduğu gibi

31

olarak kalır.

ANCOVA'nın temel amacı, bağımsız değişkenler arasındaki çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) sorununu modelden tamamen temizlemektir.

Ortak değişken modele eklendiğinde, gruplar arası serbestlik derecesi ortak değişken için bir azalarak

1

olarak hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ortak değişkenin modele dahil edilmesiyle hata kareler toplamı küçültülerek testin istatistiksel gücü artırılır ve hata serbestlik derecesi $30$ olarak hesaplanır.

Cevap

Ortak değişkenin modele dahil edilmesiyle hata kareler toplamı küçültülerek testin istatistiksel gücü artırılır ve hata serbestlik derecesi

30

(

34 - 3 - 1

) olarak hesaplanır.

Kovaryans Analizi (ANCOVA), bağımlı değişken üzerindeki istenmeyen varyansı kontrol altına almak için kullanılır. Bu süreçte ortak değişken (covariate) modele eklendiğinde, hata kareler toplamı (

SSE

) küçülür ve bu da

F

-testinin paydasını küçülterek istatistiksel gücü artırır. Serbestlik derecesi hesaplanırken ise her bir ortak değişken için hata serbestlik derecesinden 1 eksiltilir; dolayısıyla

34 - 3 - 1 = 30

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ANCOVA'nın temel amacını belirleme

Hata varyansını azaltmak ve grup ortalamalarını düzeltmek

Bağımlı değişkenle ilişkili bir ortak değişkenin etkisini modelden arındırmak, gruplar içi değişkenliği (hata) azaltarak testin gücünü artırır.

2

Serbestlik derecesi formülünü uygulama

df_{hata} = N - k - 1

ANCOVA'da hata serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısından (

N

) grup sayısını (

k

) ve ortak değişken sayısını (burada 1 adet) çıkararak hesaplanır.

3

Verilen değerlerle hesaplama yapma

34 - 3 - 1 = 30

Gözlem sayısı

N=34

, grup sayısı

k=3

ve bir adet ortak değişken olduğu için sonuç 30 bulunur.

Anahtar Kavram

ANCOVA'da hata varyansının azaltılması ve serbestlik derecesi hesaplaması

İpuçları

1

ANCOVA'da serbestlik derecesi hesaplanırken hem grupların hem de ortak değişkenin etkisi dikkate alınmalıdır.

2

Ortak değişken modele eklendiğinde hata teriminde (

N-k

) bir azalma daha olur (

N-k-1

).

3

Gözlem sayısı 34, grup sayısı 3 ve ortak değişken sayısı 1 ise;

34 - 3 - 1

işlemini yapmalısınız.

Daha Fazla Pratik

ANCOVA'nın en önemli varsayımı olan 'regresyon doğrularının paralelliği' (homogeneity of regression slopes) konusuna çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 110Soru →

Bir ziraat mühendisi, üç farklı sulama sisteminin ( $k=3$ ) pamuk lif kalitesi üzerindeki etkisini araştırmaktadır. Mühendis, lif kalitesini etkileyebileceği düşünülen 'fide dikim boyu' değişkenini ortak değişken (covariate) olarak belirlemiş ve analizinde Kovaryans Analizi (ANCOVA) kullanmaya karar vermiştir.

Bu araştırmada ANCOVA modelinin geçerli bir şekilde kurulabilmesi için test edilen 'regresyon eğimlerinin homojenliği' varsayımının sağlanması aşağıdakilerden hangisini ifade eder?

Ortak değişken ile bağımlı değişken arasındaki regresyon katsayılarının (eğimlerinin) tüm gruplar için istatistiksel olarak aynı olması

Bağımlı değişkenin varyanslarının tüm sulama sistemleri için homojen (sabit) bir dağılım göstermesi

Sulama sistemleri (faktör) ile fide dikim boyu (ortak değişken) arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim etkisinin bulunması

Fide dikim boyu ile lif kalitesi arasındaki ilişkinin her grup içerisinde doğrusal değil, eğrisel bir yapıda olması

Ortak değişkenin modele eklenmesiyle elde edilen düzeltilmiş grup ortalamalarının, ham ortalamalardan her zaman daha yüksek değerler alması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ortak değişken ile bağımlı değişken arasındaki regresyon katsayılarının (eğimlerinin) tüm gruplar için istatistiksel olarak aynı olması

Cevap

Ortak değişken ile bağımlı değişken arasındaki regresyon eğimlerinin tüm gruplar için aynı olması varsayımın sağlandığını gösterir.

Kovaryans Analizi (ANCOVA), ANOVA modeline bir regresyon bileşeni ekler. Bu modelin geçerli olabilmesi için, ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin (regresyon doğrusunun eğiminin) tüm gruplarda aynı olması gerekir. Eğer eğimler gruplar arasında farklılık göstermiyorsa, doğrular birbirine paraleldir ve bu durum 'regresyon eğimlerinin homojenliği' olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

ANCOVA'nın amacını belirlemek

ANCOVA, bağımlı değişken üzerindeki varyansı açıklamak için bir veya daha fazla sürekli değişkeni (ortak değişken) modele dahil eder.

Bu süreçte, gruplar arasındaki farkların daha hassas ölçülmesi amaçlanır.

2

Eğim homojenliği varsayımını tanımlamak

Ortak değişken (

X

) ile bağımlı değişken (

Y

) arasındaki doğrusal ilişkinin şiddeti ve yönü (eğimi), incelenen tüm gruplarda benzer olmalıdır.

Eğer eğimler farklıysa, ortak değişkenin etkisi gruplara göre değişiyor demektir (etkileşim vardır).

3

Varsayımın ihlalinin sonucunu değerlendirmek

Eğimler homojen değilse, gruplar arası karşılaştırma yapmak için kullanılan 'düzeltilmiş ortalamalar' yanıltıcı olur ve ANCOVA yerine alternatif modeller düşünülmelidir.

Paralellik bozulduğunda modelin matematiksel yapısı geçersizleşir.

Anahtar Kavram

Kovaryans Analizinde (ANCOVA) Regresyon Eğimlerinin Homojenliği (Paralelliği) Varsayımı

Daha Fazla Pratik

ANCOVA'da serbestlik derecesi (degrees of freedom) hesaplamalarında ortak değişkenin etkisini inceleyen sorulara göz atabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 111Soru →

Bir kamu araştırma kurumunda yürütülen verimlilik projesinde, $5$ farklı çalışma yönteminin ( $p=5$ ) çıktı düzeyleri üzerindeki etkisi incelenmektedir. Deney birimlerindeki heterojenliği kontrol altına almak amacıyla; operatör farkı (satır), vardiya farkı (sütun) ve hammadde kaynağı (Grek harfleri) olmak üzere üç farklı blok faktörünün kullanıldığı bir Grek-Latin karesi tasarımı tercih edilmiştir. Bu deney tasarımı için varyans analizi (ANOVA) tablosu oluşturulduğunda, toplam gözlem sayısı ve hata terimine ait serbestlik derecesi ( $sd_{hata}$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Toplam Gözlem:

25

, Hata SD:

8

Toplam Gözlem:

25

, Hata SD:

12

Toplam Gözlem:

20

, Hata SD:

8

Toplam Gözlem:

25

, Hata SD:

4

Toplam Gözlem:

25

, Hata SD:

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Toplam Gözlem: $25$ , Hata SD: $8$

Cevap

Toplam gözlem sayısı

25

ve hata serbestlik derecesi

8

olmalıdır.

Grek-Latin karesi tasarımı, Latin karesine ek olarak Grek harfleriyle temsil edilen üçüncü bir dışsal faktörü (blok faktörünü) kontrol altına alır.

p

düzeyli bir tasarımda toplam gözlem sayısı

p^2

iken, ANOVA tablosunda hata serbestlik derecesi

sd_{toplam} - (sd_{satır} + sd_{sütun} + sd_{latin} + sd_{grek})

işleminin sonucu olan

(p-1)(p-3)

formülüyle bulunur.

p=5

için

25

gözlem ve

(4 \times 2) = 8

hata serbestlik derecesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısını hesapla

N = p^2 = 5^2 = 25

Grek-Latin karesi tasarımları

p \times p

boyutunda bir matris yapısındadır ve her hücrede bir gözlem bulunur.

2

Hata serbestlik derecesi formülünü belirle

sd_{hata} = (p-1)(p-3)

Grek-Latin karesinde üç blok faktörü (satır, sütun, Grek harfi) ve bir muamele faktörü (Latin harfi) bulunur; her birinin serbestlik derecesi

p-1

'dir.

3

Hata serbestlik derecesini hesapla

sd_{hata} = (5-1)(5-3) = 4 \times 2 = 8

Toplam serbestlik derecesinden (

p^2-1

) dört faktörün serbestlik derecelerinin toplamı (

4 \times (p-1)

) çıkarıldığında hata serbestlik derecesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Tasarımı Parametreleri

Daha Fazla Pratik

Grek-Latin karesinin kurulabilmesi için gereken ortogonallik şartını ve Latin karelerinden nasıl türetildiğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 112Soru →

Bir kamu araştırma enstitüsünde, üç farklı tohum türünün (Yerli, Hibrit ve GDO'suz) verimlilikleri arasındaki farklar incelenmektedir. Araştırmacı, sadece bu üç tohum türü arasındaki farkı test etmek istemekte ve sonuçları diğer tohum türlerine genelleme amacı taşımamaktadır. Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) kullanılacak olan bu araştırmada, modelin türü ve varsayımlar ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bu araştırma bir 'Sabit Etkiler Modeli' (Model I) olup, analiz öncesinde her gruptaki verilerin normal dağılıma uygunluğu ve gruplar arası varyansların homojenliği kontrol edilmelidir.

Bu bir 'Rastgele Etkiler Modeli' (Model II) örneğidir ve hata terimlerinin birbirine bağımlı olduğu varsayılır.

Varyans analizi uygulayabilmek için bağımlı değişkenin (verimlilik) mutlaka kategorik bir ölçekte ölçülmüş olması gerekir.

Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinde, Levene testi sonucu anlamlı çıksa dahi standart F-testi sonuçları her zaman en güvenilir yaklaşımdır.

Sabit etkiler modelinde temel amaç, incelenen faktörün evrendeki varyans bileşenlerini (variance components) tahmin etmektir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu araştırma bir 'Sabit Etkiler Modeli' (Model I) olup, analiz öncesinde her gruptaki verilerin normal dağılıma uygunluğu ve gruplar arası varyansların homojenliği kontrol edilmelidir.

Cevap

Bu araştırma bir 'Sabit Etkiler Modeli' (Model I) olup, analiz öncesinde her gruptaki verilerin normal dağılıma uygunluğu ve gruplar arası varyansların homojenliği kontrol edilmelidir.

Araştırmada kullanılan faktör düzeyleri (tohum türleri) araştırmacı tarafından spesifik olarak seçilmiş ve genelleyici bir amaç güdülmemiştir. Bu durum çalışmayı 'Sabit Etkiler Modeli' yapar. Ayrıca, parametrik bir test olan Tek Yönlü ANOVA'nın uygulanabilmesi için verilerin normal dağılım göstermesi (normallik) ve gruplar arası varyansların birbirine yakın olması (homojenlik) ön şarttır.

Adım Adım Çözüm

1

Model türünü belirleme

Sabit Etkiler Modeli (Model I)

Araştırmacı faktör düzeylerini (tohum türlerini) kendisi belirlediği ve sadece bu türleri karşılaştırmak istediği için bu bir Sabit Etkiler Modeli'dir.

2

ANOVA varsayımlarını kontrol etme

Normallik, Homojenlik ve Bağımsızlık

Parametrik bir test olan ANOVA'nın geçerli sonuçlar üretebilmesi için verilerin her grupta normal dağılması, varyansların gruplar arasında eşit olması ve gözlemlerin bağımsız olması gerekir.

3

Hipotez testi mantığını kurma

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3

Sabit etkiler modelinde temel amaç, grup ortalamaları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmektir.

Anahtar Kavram

Sabit Etkiler Modeli ve ANOVA Varsayımları

Daha Fazla Pratik

ANOVA'da 'Bağımsızlık' varsayımının ihlali durumunda verilerin analizinde ne gibi değişiklikler yapılması gerektiğini araştırınız.

Alternatif Yöntem

Varsayımlar sağlanmadığında (özellikle homojenlik ihlalinde), parametrik bir alternatif olarak Welch'in F-testi veya non-parametrik bir alternatif olarak Kruskal-Wallis testi kullanılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 113Soru →

Devlet Malzeme Ofisi (DMO) kalite kontrol birimi, kamu kurumlarına dağıtılacak standart ofis sandalyelerinin dayanıklılığını incelemektedir. Analiz için, kurumun tedarikçi havuzunda bulunan yüzlerce firma arasından rastgele seçilen 4 tedarikçiden yirmişer adet sandalye alınmış ve kırılma dirençleri ölçülmüştür. Elde edilen verilerle tek yönlü varyans analizi (ANOVA) yapılmadan önce varsayımlar kontrol edilmiş; anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ alınarak yapılan Shapiro-Wilk testi sonucunda p-değeri $0,145$ ve Levene testi sonucunda p-değeri $0,082$ olarak hesaplanmıştır. Gözlemlerin birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir.

Buna göre, araştırmaya uygun model türü ve varsayımların sağlanma durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

İhale havuzundan rassal seçim yapıldığı için araştırma "Rastgele Etkiler Modeli"ne uygundur; hesaplanan p-değerleri

\alpha = 0,05

anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için normallik ve varyansların homojenliği varsayımları sağlanmıştır.

Yalnızca dört firma incelendiği için araştırma "Sabit Etkiler Modeli"ne uygundur; hesaplanan p-değerleri

\alpha = 0,05

anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için normallik ve varyansların homojenliği varsayımları sağlanmıştır.

İhale havuzundan rassal seçim yapıldığı için araştırma "Rastgele Etkiler Modeli"ne uygundur; ancak hesaplanan p-değerleri

\alpha = 0,05

anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için normallik ve varyansların homojenliği varsayımları ihlal edilmiştir.

Tedarikçiler rassal, sandalye sayıları sabit olduğu için araştırma "Karma (Karışık) Etkiler Modeli"ne uygundur; varsayımlar sağlanmadığı için varyans analizine devam edilmeyip doğrudan çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerine geçilmelidir.

Tedarikçi firmalar belirli bir standartta üretici oldukları için araştırma "Sabit Etkiler Modeli"ne uygundur; normallik varsayımı sağlanmış olup Levene testine göre varyansların homojenliği varsayımı sağlanmamıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İhale havuzundan rassal seçim yapıldığı için araştırma "Rastgele Etkiler Modeli"ne uygundur; hesaplanan p-değerleri $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için normallik ve varyansların homojenliği varsayımları sağlanmıştır.

Cevap

Model türü Rastgele Etkiler Modeli olup, her iki varsayım testi için p-değeri 0,05'ten büyük olduğundan normallik ve varyansların homojenliği varsayımları sağlanmıştır.

Doğru seçenek; faktör düzeylerinin rastgele seçilmesi nedeniyle araştırma modelini doğru biçimde 'Rastgele Etkiler Modeli' olarak tanımlar. Ayrıca Shapiro-Wilk (normallik) ve Levene (varyans homojenliği) testlerinde kurulan yokluk (H0) hipotezleri varsayımların sağlandığını iddia eder. p-değerlerinin her ikisi de (

0,145

ve

0,082

) anlamlılık düzeyi olan

\alpha = 0,05

'ten büyük olduğu için bu hipotezler reddedilemez, yani her iki temel ANOVA varsayımı da sağlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Model türünün belirlenmesi.

Araştırmada faktör düzeyleri (tedarikçiler) özel olarak araştırmacı tarafından belirlenmemiş, ilgilenilen bir kitleden (yüzlerce firma arasından) rastgele seçilmiştir.

Varyans analizinde seçilen düzeyler evreni temsil etmek üzere rastgele çekilmişse Rastgele Etkiler Modeli (Model II) kullanılır.

2

Shapiro-Wilk test sonucunun yorumlanması.

H0: Veriler normal dağılıma uymaktadır.

p = 0,145 > 0,05

olduğundan H0 reddedilemez.

p-değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için normallik varsayımı sağlanmıştır.

3

Levene test sonucunun yorumlanması.

H0: Grup varyansları homojendir (eşittir).

p = 0,082 > 0,05

olduğundan H0 reddedilemez.

p-değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için varyansların homojenliği varsayımı da sağlanmıştır.

Anahtar Kavram

ANOVA Model Türleri ve Varsayım Testleri Yorumlaması

Soru 114Soru →

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığına bağlı bir araştırma birimi, dört farklı bölge müdürlüğünün yol bakım ve onarım taleplerini karşılama süreleri (gün) arasında anlamlı bir farklılık olup olmadığını Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) kullanarak incelemek istemektedir. Veriler rastgele seçilmiş bağımsız gözlemlerden elde edilmiştir.

Araştırmacının bu analizi gerçekleştirmeden önce sınaması gereken varsayımlar ve izleyeceği adımlarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bağımsız değişkenin kategorik (bölge müdürlükleri), bağımlı değişkenin ise sürekli (karşılama süresi) olması ANOVA'nın temel yapısal gereksinimidir.

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması varsayımı, veri toplama aşamasında birimlerin rastgele seçilmesiyle güvence altına alınır.

Grupların varyanslarının homojenliğini sınamak amacıyla uygulanan Levene testinde hesaplanan

p

-değerinin

0,05

'ten küçük bulunması, varyansların homojenliği varsayımının sağlandığını gösterir.

Her bir gruba ait karşılama sürelerinin normal dağılıma uygunluğu, Shapiro-Wilk veya Kolmogorov-Smirnov testleri ile incelenebilir.

Varyansların homojenliği varsayımının ihlal edildiği durumlarda, klasik ANOVA yerine Welch varyans analizi gibi alternatif yöntemlerin kullanılması daha uygundur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Grupların varyanslarının homojenliğini sınamak amacıyla uygulanan Levene testinde hesaplanan $p$ -değerinin $0,05$ 'ten küçük bulunması, varyansların homojenliği varsayımının sağlandığını gösterir.

Cevap

Levene testinde

p

-değerinin

0,05

'ten küçük çıkmasının, varyansların homojenliği varsayımının sağlandığını gösterdiğini iddia eden ifade yanlıştır.

Levene testi, gruplar arasındaki varyansların homojen olup olmadığını sınar. Bu testin sıfır hipotezi (

H_0

), 'grupların varyansları arasında anlamlı bir fark yoktur (varyanslar homojendir)' şeklindedir. İstatistiksel karar kurallarına göre hesaplanan

p

-değeri

0,05

'ten küçük olduğunda

H_0

hipotezi reddedilir. Bu durum varyansların homojen olmadığı anlamına gelir. Soruda aranan yanlış ifade, tam tersi bir yorumla

p < 0,05

durumunu varsayımın sağlandığı şeklinde sunan ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans analizinin (ANOVA) temel varsayımlarını (normallik, bağımsızlık, varyansların homojenliği) belirle.

Gözlemler bağımsız olmalı, bağımlı değişken normal dağılmalı ve grupların varyansları homojen olmalıdır.

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu değerlendirmek için kuralların hatırlanması gerekir.

2

Levene testinin çalışma mantığını ve hipotezlerini analiz et.

Levene testinde sıfır hipotezi (

H_0

): 'Grup varyansları birbirine eşittir (homojendir)' şeklindedir.

Test sonucunu (

p

-değerini) doğru yorumlayabilmek için

H_0

'ın neyi savunduğu bilinmelidir.

3

p < 0,05

durumunu istatistiksel olarak yorumla.

Hesaplanan

p

-değeri anlamlılık düzeyinden (

0,05

) küçükse, sıfır hipotezi (

H_0

) reddedilir.

Karar kuralını uygulamak.

4

Sıfır hipotezinin reddedilmesinin varsayım üzerindeki etkisini tespit et.

H_0

reddedildiğinden, grup varyanslarının eşit olmadığı, yani homojenlik varsayımının ihlal edildiği sonucuna varılır.

Seçenekte iddia edilen durumun aksine,

p < 0,05

varsayımın sağlandığını değil, bozulduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

ANOVA Varsayımları ve Levene Testi Yorumlaması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 115Soru →

Bir üretim mühendisi, $p=5$ farklı kesici takım kaplamasının (muamele) takım ömrü üzerindeki etkisini incelemektedir. Mühendis; kullanılacak CNC tezgahını (satır bloku), makine operatörünü (sütun bloku) ve soğutma sıvısı türünü (Grek harfleriyle gösterilen üçüncü blok) kontrol altına almak amacıyla bir Grek-Latin karesi deney tasarımı kurmuştur. Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda, modelin hata kareler toplamı (HKT) $56$ olarak hesaplanmıştır.

Bu deney tasarımı ve varyans analizi sonuçları dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Modelin hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-2)

formülü ile hesaplanarak

12

bulunur ve buna bağlı olarak hata kareler ortalaması (HKO) yaklaşık

4,67

olur.

Deney tasarımı, muamele faktörü haricinde iki yönlü kısıtlama yapısı içermektedir ve tam faktöriyel bir yapıya sahip olduğundan toplam

p^3=125

gözlem gerektirir.

Tasarımın hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

formülü üzerinden

8

olarak hesaplanır ve deneyin hata kareler ortalaması (HKO)

7

'dir.

Tasarımın kurulabilmesi için faktörler arasında ortogonallik (diklik) şartı aranmaz ve seviye sayısı

p

'nin en az

2

olması yeterlidir.

Üçüncü kısıt faktörü olan soğutma sıvısı türü analizden çıkarılıp standart Latin karesi tasarımı kurulsaydı, modelin hata serbestlik derecesi mevcut duruma göre daha düşük olurdu.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tasarımın hata serbestlik derecesi $(p-1)(p-3)$ formülü üzerinden $8$ olarak hesaplanır ve deneyin hata kareler ortalaması (HKO) $7$ 'dir.

Cevap

Doğru cevap, Grek-Latin karesinde hata serbestlik derecesinin

(p-1)(p-3)

formülüyle bulunup

8

olduğu ve buna bağlı olarak hata kareler ortalamasının (HKO)

7

olarak hesaplandığını belirten seçenektir.

Grek-Latin karesi deney tasarımında; satır, sütun ve Grek harfleri olmak üzere üç yönlü bloklama yapılır.

p=5

seviyeli bir tasarım için toplam gözlem sayısı

p^2=25

'tir. Hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

formülüyle hesaplanır ve

p=5

için bu değer

(5-1)(5-3) = 8

'dir. Soruda verilen hata kareler toplamı (HKT)

56

olduğundan, HKO değeri

56 / 8 = 7

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarımdaki kısıtlama yönlerini ve faktör seviyesini belirleme.

Deneyde

p=5

olup satır, sütun ve Grek harfleri olmak üzere

3

farklı blok faktörü (üç yönlü kısıtlama) bulunmaktadır. Toplam gözlem sayısı

p^2 = 25

'tir.

Grek-Latin karesi deney tasarımı özellikleri gereği

p^2

gözlem ile muamele dışındaki

3

dışsal faktörü ortogonal olarak kontrol eder.

2

Modelin hata serbestlik derecesini (SD) hesaplama.

Grek-Latin karesinde Hata SD

= (p-1)(p-3)

formülüyle bulunur.

p=5

için Hata SD

= (4)(2) = 8

elde edilir.

Latin karesinde

2

blok olduğu için Hata SD

= (p-1)(p-2)

iken, Grek-Latin tasarımında ek bir blok (Grek harfleri) daha olduğundan hata serbestlik derecesi

(p-1)

kadar daha azalır.

3

Hata Kareler Ortalamasını (HKO) hesaplama.

HKO = Hata Kareler Toplamı / Hata SD =

56 / 8 = 7

olarak hesaplanır.

Varyans analizinde herhangi bir varyans kaynağının kareler ortalaması, o kaynağa ait kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Özellikleri ve ANOVA Tablosu Serbestlik Derecesi Hesaplamaları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 116Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım koordinasyon merkezi, şehir içi trafik akışını iyileştirmek amacıyla $6$ farklı akıllı sinyalizasyon algoritmasını (muamele) test edecektir. Test sonuçlarının hem kavşakların geometrik yapısından (satır bloku) hem de haftanın farklı günlerinden (sütun bloku) etkileneceği bilindiğinden, bu iki dışsal değişkenliği eş zamanlı kontrol altına almak için $6 \times 6$ 'lık bir Latin Karesi deney tasarımı uygulanmıştır.

Buna göre, kurulan doğrusal modelin hata serbestlik derecesi ve modeldeki faktörler (satır, sütun, muamele) arasındaki etkileşim varsayımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Hata serbestlik derecesi

20

'dir ve faktörler arasında etkileşim olmadığı (etkilerin toplanabilir olduğu) varsayılır.

Hata serbestlik derecesi

25

'tir ve faktörler arasında etkileşim olmadığı varsayılır.

Hata serbestlik derecesi

20

'dir ve satır ile sütun blokları arasında anlamlı bir etkileşim bulunduğu varsayılır.

Hata serbestlik derecesi

30

'dur ve muamelelerin satır bloklarıyla güçlü bir etkileşim gösterdiği varsayılır.

Hata serbestlik derecesi

35

'tir ve tüm faktörlerin birbirleriyle tam etkileşim içinde olduğu varsayılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata serbestlik derecesi $20$ 'dir ve faktörler arasında etkileşim olmadığı (etkilerin toplanabilir olduğu) varsayılır.

Cevap

Hata serbestlik derecesi 20'dir ve faktörler arasında etkileşim olmadığı (etkilerin toplanabilir olduğu) varsayılır.

Doğru yanıt, hata serbestlik derecesinin

(n-1)(n-2)

formülü ile hesaplanarak

20

bulunduğu ve Latin Karesi modelinin sadece ana etkilerden oluşan (etkileşimsiz) toplanabilir bir model olduğunu belirten ifadedir. Modelde satır, sütun ve muamele faktörleri bağımsız kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Latin Karesi deney tasarımı için serbestlik derecesi formülünü belirleme

n \times n

'lık bir Latin Karesi tasarımında hata serbestlik derecesi

df_{hata} = (n-1)(n-2)

olarak hesaplanır.

Toplam serbestlik derecesinden (

n^2-1

), satır (

n-1

), sütun (

n-1

) ve muamele (

n-1

) serbestlik dereceleri çıkarıldığında

(n-1)(n-2)

kalır.

2

Verilen

n

değeri için hata serbestlik derecesini hesaplama

n=6

olduğundan,

df_{hata} = (6-1)(6-2) = 5 \times 4 = 20

bulunur.

Tasarım

6 \times 6

'lık bir matris yapısındadır.

3

Latin Karesi modelinin teorik varsayımını değerlendirme

Doğrusal model

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

şeklindedir ve bu model toplanabilirdir. Yani bloklar ile muameleler arasında etkileşim yoktur.

Eğer etkileşim varsa, bu etkileşimler hata terimine karışarak (confounded) hata kareler ortalamasını şişirir ve F-testinin gücünü düşürür. Bu nedenle temel varsayım etkileşimsizliktir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Tasarımında Serbestlik Dereceleri ve Toplanabilirlik Varsayımı

Soru 117Soru →

Bir diyetisyen, $3$ farklı diyet programının bireylerin toplam kilo kaybı üzerindeki etkilerini karşılaştırmak amacıyla toplam $15$ gönüllü katılımcı üzerinde tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Buna göre, bu analiz sonucunda düzenlenecek ANOVA tablosunda 'Gruplar Arası' varyans kaynağına ait serbestlik derecesi kaçtır?

2

3

12

14

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Gruplar arası serbestlik derecesi 2'dir.

Tek yönlü varyans analizinde 'Gruplar Arası' (veya Faktör) varyans kaynağının serbestlik derecesi, analizde karşılaştırılan grup sayısının (

k

) bir eksiği alınarak bulunur. Bu senaryoda

3

farklı diyet programı bulunduğu için

k=3

olup, serbestlik derecesi

3-1=2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen grup sayısını (

k

) ve toplam gözlem sayısını (

n

) tespit edin.

k = 3

(diyet programı sayısı) ve

n = 15

(toplam katılımcı sayısı).

ANOVA serbestlik derecesi hesaplamaları bu iki temel parametreye dayanır.

2

Gruplar arası (faktör) serbestlik derecesi formülünü uygulayın.

SD_{arası} = k - 1

Tek yönlü ANOVA'da gruplar arası varyasyonun serbestlik derecesi grup sayısının bir eksiğidir.

3

Hesaplamayı gerçekleştirin.

3 - 1 = 2

Soru kökünde istenen spesifik serbestlik derecesine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'da Serbestlik Derecesi Hesaplamaları

Daha Fazla Pratik

Gruplar içi (hata) serbestlik derecesini hesaplayarak toplam serbestlik derecesine ulaşıp ulaşmadığınızı kontrol edin (

2 + 12 = 14

).

Tahmini Süre:45s

Soru 118Soru →

Bir gıda işletmesinde "fırın sıcaklığı" ( $3$ farklı derece) ve "pişirme süresi" ( $4$ farklı süre) faktörlerinin keklerin kabarma miktarı üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Fırın sıcaklığının değiştirilmesi ve fırının istenen dereceye ulaşması uzun zaman aldığı için her fırınlama işleminde sıcaklık sabit tutulmakta; ancak fırın içindeki farklı tepsiler farklı sürelerde fırından çıkarılabilmektedir. Buna göre, bu deney kurgusunda "fırın sıcaklığı" faktörü aşağıdakilerden hangisi olarak adlandırılır?

Ana parsel faktörü

Alt parsel faktörü

Blok faktörü

Hata terimi (Hata A)

Kovaryans değişkeni

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ana parsel faktörü

Cevap

Fırın sıcaklığı, uygulanması daha zor ve zaman alıcı olduğu için ana parsel faktörü olarak tanımlanır.

Doğru yanıt olan seçenek, fırın sıcaklığının teknik kısıtlar (zaman ve enerji maliyeti) nedeniyle ana deneme birimi olarak ele alınması gerektiğini doğru tanımlamaktadır. Bölünmüş parseller (split-plot) tasarımlarında, değiştirilmesi zor olan faktör ana parsel (whole-plot), bu parsel içinde daha kolay değiştirilebilen faktör ise alt parsel (sub-plot) olarak atanır.

Adım Adım Çözüm

1

Faktörlerin uygulama kolaylığını karşılaştırın.

Sıcaklığı değiştirmek zor ve zaman alıcıdır, ancak pişirme süresini (tepsileri fırından çıkarma anını) değiştirmek kolaydır.

Bölünmüş parseller tasarımında hiyerarşi uygulama zorluğuna göre kurulur.

2

Zor uygulanan faktöre tasarım içindeki rolünü atayın.

Zor uygulanan 'fırın sıcaklığı' hiyerarşinin üst basamağında yer alır.

Büyük deneme birimlerine atanan bu faktöre 'Ana Parsel Faktörü' denir.

Anahtar Kavram

Bölünmüş parseller tasarımında, ana parsel (whole-plot) faktörü genellikle uygulanması daha zor, maliyetli veya daha geniş alan gerektiren faktörlerden seçilir.

İpuçları

1

Faktörlerden hangisinin değiştirilmesinin daha zahmetli olduğunu düşünün.

Tahmini Süre:45s

Soru 119Soru →

Bir iktisatçı, $5$ farklı bölgedeki hanehalkı aylık ortalama tüketim harcamaları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemek amacıyla her bölgeden rastgele $6$ hane seçerek tek yönlü varyans analizi ( $ANOVA$ ) yapmıştır. Buna göre, analiz sonucunda oluşturulacak $ANOVA$ tablosundaki hata (gruplariçi) serbestlik derecesi ( $sd_{Hata}$ ) kaçtır?

4

5

25

29

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Tek yönlü varyans analizinde hata (gruplariçi) serbestlik derecesi 25 olarak hesaplanır.

Tek yönlü varyans analizinde (ANOVA), toplam serbestlik derecesi (

n-1

) iki bileşene ayrılır: gruplararası (

k-1

) ve hata/gruplariçi (

n-k

). Soruda

5

grup ve her grupta

6

gözlem olduğu için toplam gözlem sayısı

n = 30

olur. Formül yerine koyulduğunda

30 - 5 = 25

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısını (

n

) hesaplayın.

n = 5 \text{ bölge} \times 6 \text{ hane} = 30

Varyans analizinde serbestlik dereceleri toplam örneklem büyüklüğüne bağlıdır.

2

Grup sayısını (

k

) belirleyin.

k = 5

Farklı bölgeler analizdeki grupları temsil eder.

3

Hata serbestlik derecesi formülünü uygulayın.

sd_{Hata} = n - k = 30 - 5 = 25

Tek yönlü ANOVA'da hata terimi için serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısı ile grup sayısı arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'da Serbestlik Dereceleri

Tahmini Süre:45s

Soru 120Soru →

Bir kamu kurumunda, personelin iş doyumunu etkileyen faktörleri belirlemek amacıyla iki farklı çalışma modeli ( $A$ faktörü: Uzaktan, Ofis) ve üç farklı yan hak paketi ( $B$ faktörü: Paket 1, Paket 2, Paket 3) içeren bir $2 \times 3$ tam faktöriyel deney tasarımı kurgulanmıştır. Bu araştırmada 'Çalışma Modeli $\times$ Yan Hak Paketi' ( $A \times B$ ) etkileşim etkisine ait serbestlik derecesi ( $sd$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

1

2

3

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

İki faktörlü bir faktöriyel tasarımda etkileşim etkisine (

A \times B

) ait serbestlik derecesi

2

olarak hesaplanır.

İki faktörlü bir faktöriyel deney tasarımında, faktörlerin seviye sayıları

a

ve

b

ise, etkileşim etkisine ait serbestlik derecesi

(a-1) \times (b-1)

formülü ile bulunur. Sorumuzda

a=2

ve

b=3

olduğu için

sd_{AB} = (2-1) \times (3-1) = 1 \times 2 = 2

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A

faktörü (Çalışma Modeli) için serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_A = a - 1 = 2 - 1 = 1

Ana etkilerin serbestlik derecesi, seviye sayısının bir eksiğidir.

2

B

faktörü (Yan Hak Paketi) için serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_B = b - 1 = 3 - 1 = 2

İkinci faktörün üç seviyesi olduğu için serbestlik derecesi

3-1

olur.

3

Etkileşim etkisi (

A \times B

) için serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_{AB} = (a - 1) \times (b - 1) = 1 \times 2 = 2

Etkileşim serbestlik derecesi, ilgili ana etkilerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Deney Tasarımlarında Serbestlik Derecesi Hesabı

İpuçları

1

Faktörlerin seviye sayılarını belirleyerek başlayın.

2

Her bir faktörün ana etkisi için serbestlik derecesini (

seviye\ sayısı - 1

) hesaplayın.

3

Etkileşim serbestlik derecesi, bu iki değerin çarpımıdır.

Daha Fazla Pratik

Üç faktörlü (

A \times B \times C

) bir tasarımda üçlü etkileşim serbestlik derecesinin nasıl hesaplandığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram