Regresyon Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir üniversitede yürütülen projede, hanehalkı tüketim harcamalarını ( $Y$ ) etkileyen faktörleri incelemek üzere $34$ haneden oluşan bir örneklem derlenmiştir. Bu analizde hanehalkı geliri ( $X_1$ ), hanehalkı büyüklüğü ( $X_2$ ) ve hanedeki çalışan sayısı ( $X_3$ ) olmak üzere üç açıklayıcı değişken sisteme dahil edilmiş ve sabit terimin de yer aldığı çoklu doğrusal regresyon modeli En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmiştir.

Elde edilen bulgulara göre;
- Modelin hata kareler ortalaması ( $s^2$ ) $20$ olarak hesaplanmıştır.
- Parametre tahmin vektörüne ait varyans-kovaryans matrisinin hesaplanmasında temel alınan $(X'X)^{-1}$ matrisinin asal köşegen elemanları sırasıyla (sabit terimden başlayarak) $0,15$ , $0,25$ , $0,20$ ve $0,40$ olarak bulunmuştur.
- Hanehalkı büyüklüğü ( $X_2$ ) değişkenine ait kısmi eğim katsayısı tahmini $\hat{\beta}_2 = 6,0$ olarak elde edilmiştir.

Bu bilgilere göre, hanehalkı büyüklüğü değişkeninin modeldeki istatistiksel anlamlılığını test etmek amacıyla hesaplanacak t-istatistiği ve bu testin serbestlik derecesi (sd) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

t = 1,5

ve

sd = 30

t = 3,0

ve

sd = 31

t = 3,0

ve

sd = 30

t = 1,5

ve

sd = 31

t = 30,0

ve

sd = 30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t = 3,0$ ve $sd = 30$

Cevap

Doğru yanıt, t-istatistiğinin 3,0 ve serbestlik derecesinin 30 olduğunu gösteren seçenektir.

Çoklu doğrusal regresyon analizinde bir katsayının varyansı, o modelin hata kareler ortalaması (MSE veya

s^2

) ile tasarım matrisinin tersinin (

(X'X)^{-1}

) katsayıya karşılık gelen köşegen elemanının çarpımıyla bulunur.

X_2

'ye ait köşegen elemanı 0,20 olduğundan varyans

20 \times 0,20 = 4,0

ve standart hata

\sqrt{4,0} = 2,0

çıkar. İlgili katsayı (

6,0

) standart hataya (

2,0

) bölündüğünde t-istatistiği 3,0 olur. Modele 3 açıklayıcı değişken ve 1 sabit terim olmak üzere toplam 4 parametre dahil edildiği için, hata serbestlik derecesi

34 - 4 = 30

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini hesapla

sd = 30

Gözlem sayısı

n = 34

ve modeldeki toplam parametre sayısı (üç açıklayıcı değişken + sabit terim)

p = 4

'tür. Regresyon modellerinde hata terimlerine ait serbestlik derecesi

n - p = 34 - 4 = 30

olarak bulunur.

2

İlgili katsayının varyansını hesapla

Var(\hat{\beta}_2) = 4,0

Çoklu regresyonda katsayıların varyans-kovaryans matrisi

Var(\hat{\beta}) = s^2(X'X)^{-1}

formülü ile elde edilir. İkinci değişken olan

X_2

'nin sabit terimden sonra gelen 3. parametre (indeks 2) olduğunu dikkate alarak, hata kareler ortalaması (

s^2 = 20

) ile 3. köşegen elemanı (

0,20

) çarpılır:

20 \times 0,20 = 4,0

.

3

Katsayının standart hatasını bul

S_{\hat{\beta}_2} = 2,0

Standart hata (SE), varyansın kareköküne eşittir. Bu nedenle, hesaplanan varyansın karekökü alınır:

\sqrt{4,0} = 2,0

.

4

Anlamlılık testi için t-istatistiğini hesapla

t = 3,0

t-istatistiği, tahmin edilen katsayı değerinin kendi standart hatasına bölünmesiyle elde edilir:

t = \frac{\hat{\beta}_2}{S_{\hat{\beta}_2}} = \frac{6,0}{2,0} = 3,0

.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Regresyon Modelinde Parametre Tahminlerinin Varyansı ve Anlamlılık Testleri

Soru 22Soru →

Yatay kesit verilerinin kullanıldığı bir ekonometrik çalışmada, regresyon modelinin hata terimlerine ait varyansın gözlemden gözleme farklılık gösterdiği (heteroscedasticity) tespit edilmiştir.

Modeldeki bu varsayım ihlalinin, parametre tahminleri ve istatistiksel testler üzerindeki doğrudan etkileriyle ilgili aşağıdaki yargılardan hangisi kesinlikle doğrudur?

Katsayı tahminleri yansızlık özelliğini yitirerek sapmalı bir yapıya dönüşür, bu durum parametrelerin kitledeki gerçek değerlerinden uzaklaşmasına neden olur.

Açıklayıcı değişkenler arasında ortaya çıkan yüksek korelasyon nedeniyle katsayı varyansları sonsuza yaklaşır ve değişkenlerin istatistiksel anlamlılığı kaybolur.

En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile elde edilen parametre tahminleri yansız olma ve tutarlılık özelliklerini sürdürür, ancak en düşük varyanslı (etkin) olma vasfını yitirir; standart hataların yanlış hesaplanması t ve F istatistiklerini geçersiz kılar.

Modele dahil edilen ardışık hata terimleri arasında güçlü bir ilişki oluşur ve bu durum belirlilik katsayısının (

R^2

) yapay biçimde yüksek çıkmasını sağlar.

Tahmin edicilerin minimum varyanslı olma özelliği korunur ancak standart hatalardaki küçülme eğilimi, güven aralıklarının anlamsız şekilde daralmasına yol açar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile elde edilen parametre tahminleri yansız olma ve tutarlılık özelliklerini sürdürür, ancak en düşük varyanslı (etkin) olma vasfını yitirir; standart hataların yanlış hesaplanması t ve F istatistiklerini geçersiz kılar.

Cevap

En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile elde edilen parametre tahminleri yansız olma ve tutarlılık özelliklerini sürdürür, ancak en düşük varyanslı (etkin) olma vasfını yitirir; standart hataların yanlış hesaplanması t ve F istatistiklerini geçersiz kılar.

Çoklu doğrusal regresyon modellerinde hata terimlerinin varyansının sabit olmaması (değişen varyans) durumu, Gauss-Markov varsayımlarından birini ihlal eder. Bu durumda En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicileri yansız (unbiased) ve tutarlı (consistent) kalmaya devam eder. Ancak, bu tahmin ediciler en küçük varyansa sahip (etkin/efficient) olma özelliklerini kaybederler. Standart hataların EKK ile sapmalı hesaplanması, bu hatalar üzerinden hesaplanan t ve F istatistiklerinin istatistiksel olarak yanıltıcı ve geçersiz sonuçlar üretmesine neden olur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişen varyansın EKK tahmin edicilerinin temel özellikleri (Gauss-Markov varsayımları) üzerindeki etkisini değerlendirmek.

EKK tahmin edicileri değişen varyans altında dahi yansız (unbiased) ve tutarlı (consistent) kalmaya devam eder, ancak minimum varyanslı olma (etkinlik/efficiency) özelliğini yitirir.

Yansızlık, varyansın sabit olmasına bağlı bir özellik değildir. Ancak tahmin edicilerin varyansının minimum olabilmesi için modelde sabit varyans (homoscedasticity) varsayımının sağlanması zorunludur.

2

Etkinliğin bozulmasının modeldeki istatistiksel çıkarsamalar (hipotez testleri) üzerindeki pratik sonucunu belirlemek.

Standart hatalar EKK formülleriyle sapmalı (yanlış) hesaplanacağı için değişkenlere ait t istatistikleri ve modelin geneli için F istatistikleri geçersiz hale gelir.

Güven aralıkları ve hipotez testleri doğrudan standart hatalara dayandığından, hatalı standart hata hesaplamaları istatistiksel kararların güvenirliğini ortadan kaldırır.

Anahtar Kavram

Değişen Varyansın (Heteroscedasticity) EKK Tahmin Edicileri ve İstatistiksel Çıkarsamalar Üzerindeki Teorik Sonuçları

Soru 23Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) verilerini kullanan bir ekonometrik çalışmada, hanehalkı tasarruf oranları modellenmektedir. Tasarruf oranını açıklamak üzere modele $k=5$ adet açıklayıcı değişken dahil edilmiş ve model $n=31$ birimlik bir yatay kesit verisi ile tahmin edilmiştir.

Tahmin sonucunda modelin bütünüyle anlamlılığını test eden varyans analizi (ANOVA) tablosundaki F-istatistiği $10$ olarak elde edilmiştir.

Buna göre, kurulan çoklu doğrusal regresyon modelinin düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) değeri kaçtır?

0,33

0,40

0,60

0,62

0,67

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,60

Cevap

Modelin düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) 0,60'tır.

Çoklu doğrusal regresyon modelinde F-istatistiği ile

R^2

arasındaki analitik ilişki

F = \frac{R^2 / k}{(1 - R^2) / (n - k - 1)}

şeklindedir. Verilen değerler yerine konulduğunda

\frac{R^2}{1 - R^2} = 2

eşitliği ve buradan standart

R^2 = 2/3

sonucu bulunur. Düzeltilmiş belirleme katsayısı formülü olan

\bar{R}^2 = 1 - (1 - R^2)\frac{n - 1}{n - k - 1}

uygulandığında, ceza terimi

(1/3) \times (30/25) = 0,4

olarak hesaplanır ve nihai sonuç

1 - 0,4 = 0,60

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyon modelinin genel anlamlılık testi olan F-istatistiği formülünü belirleme katsayısı (

R^2

) cinsinden ifade edin.

F = \frac{R^2 / k}{(1 - R^2) / (n - k - 1)}

Düzeltilmiş

R^2

değerini bulabilmek için öncelikle modelin standart belirleme katsayısını (

R^2

) bilmemiz gerekir. F-istatistiği bu iki değeri birbirine bağlar.

2

Verilen değerleri (

F = 10, k = 5, n = 31

) F-istatistiği formülünde yerine koyarak

R^2

değerini hesaplayın.

10 = \frac{R^2 / 5}{(1 - R^2) / (31 - 5 - 1)} \Rightarrow 10 = \frac{R^2 / 5}{(1 - R^2) / 25} \Rightarrow 10 = \frac{R^2}{1 - R^2} \times \frac{25}{5} \Rightarrow 10 = \frac{R^2}{1 - R^2} \times 5 \Rightarrow \frac{R^2}{1 - R^2} = 2 \Rightarrow 2 - 2R^2 = R^2 \Rightarrow 3R^2 = 2 \Rightarrow R^2 = \frac{2}{3}

Cebirsel işlemleri tamamlayarak standart belirleme katsayısının kesin değerini elde ediyoruz.

3

Düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) formülünü kullanarak serbestlik derecesi düzeltmesini uygulayın.

\bar{R}^2 = 1 - (1 - R^2)\frac{n - 1}{n - k - 1} = 1 - (1 - \frac{2}{3})\frac{31 - 1}{31 - 5 - 1} = 1 - (\frac{1}{3})\frac{30}{25} = 1 - (\frac{1}{3}) \times 1,2 = 1 - 0,4 = 0,60

Çoklu regresyon modellerinde, modele eklenen değişkenlerin yapay

R^2

artışını engellemek için gözlem ve parametre sayılarına dayalı bu ceza formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

F-Testi ve Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı İlişkisi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 24Soru →

Bir e-ticaret platformunda, aylık satış miktarını tahmin etmek amacıyla $5$ bağımsız değişkenin kullanıldığı bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurulmuştur. Analiz sonucunda elde edilen kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)
Regresyon	$5$	-	-
Hata (Artık)	-	-	$20$
Toplam	$20$	$1000$	-

Buna göre, kurulan modele ait belirleme katsayısı ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,70

ve

0,60

0,60

ve

0,70

0,30

ve

0,40

0,70

ve

0,58

0,98

ve

0,97

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,70$ ve $0,60$

Cevap

0,70

ve

0,60

değerlerini içeren seçenektir.

Modelin bağımlı değişkendeki varyansın ne kadarını açıkladığını gösteren belirleme katsayısı (

R^2

), Regresyon KT / Toplam KT formülü ile

\frac{700}{1000} = 0,70

olarak hesaplanır. Değişken sayısındaki yapay artışı cezalandıran düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) ise hata ve toplam kareler ortalamaları üzerinden

1 - \frac{KO_{Hata}}{KO_{Toplam}}

formülü ile

1 - (20/50) = 0,60

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hata serbestlik derecesinin (

sd_{Hata}

) bulunması

sd_{Hata} = 15

Varyans analizi tablosunda Toplam serbestlik derecesi (

20

) ile Regresyon serbestlik derecesi (

5

) arasındaki fark Hata serbestlik derecesini verir:

20 - 5 = 15

.

2

Hata kareler toplamının (

KT_{Hata}

) hesaplanması

KT_{Hata} = 300

Kareler ortalaması, kareler toplamının serbestlik derecesine bölümüdür. Dolayısıyla

KT_{Hata} = KO_{Hata} \times sd_{Hata} = 20 \times 15 = 300

olarak bulunur.

3

Regresyon kareler toplamının (

KT_{Regresyon}

) hesaplanması

KT_{Regresyon} = 700

Toplam kareler toplamı, regresyon ve hata kareler toplamlarının iditif birleşimidir.

KT_{Regresyon} = KT_{Toplam} - KT_{Hata} = 1000 - 300 = 700

.

4

Belirleme katsayısının (

R^2

) hesaplanması

R^2 = 0,70

R^2

, regresyon kareler toplamının toplam kareler toplamına oranıdır:

R^2 = \frac{700}{1000} = 0,70

.

5

Düzeltilmiş belirleme katsayısının (

\bar{R}^2

) hesaplanması

\bar{R}^2 = 0,60

\bar{R}^2 = 1 - \frac{KO_{Hata}}{KO_{Toplam}}

formülü kullanılır.

KO_{Toplam} = \frac{1000}{20} = 50

'dir. Buradan

\bar{R}^2 = 1 - \frac{20}{50} = 1 - 0,40 = 0,60

sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

ANOVA tablosu kullanılarak Belirleme Katsayısı (

R^2

) ve Düzeltilmiş Belirleme Katsayısının (

\bar{R}^2

) hesaplanması

Alternatif Yöntem

Düzeltilmiş belirleme katsayısı, standart belirleme katsayısı bulunduktan sonra serbestlik dereceleri oranlanarak da bulunabilir:

\bar{R}^2 = 1 - [(1 - R^2) \times \frac{sd_{Toplam}}{sd_{Hata}}]

. Değerleri yerine koyarsak:

\bar{R}^2 = 1 - [(1 - 0,70) \times \frac{20}{15}] = 1 - [0,30 \times \frac{4}{3}] = 1 - 0,40 = 0,60

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 25Soru →

Bir araştırmacı, bir şirketin aylık satış miktarını ( $Y$ ) tahmin etmek için 5 farklı bağımsız değişkenin yer aldığı bir çoklu doğrusal regresyon analizi yapmaktadır. Değişken seçimi (model selection) sürecinde ileriye doğru seçim (forward selection) yöntemi kullanılarak elde edilen iki farklı aday modele ait özet istatistikler ve artık (kalıntı) analizi sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

İstatistik / Test	Model I	Model II
Bağımsız Değişken Sayısı	2	5
Belirleme Katsayısı ( $R^2$ )	0.75	0.77
Düzeltilmiş $R^2$ ( $\bar{R}^2$ )	0.72	0.69
Shapiro-Wilk Testi ( $p$ -değeri)	0.145	0.021
White Testi ( $p$ -değeri)	0.231	0.042

(Not: Anlamlılık düzeyi $\alpha = 0.05$ olarak alınacaktır.)

Regresyon varsayımları ve model seçim kriterleri dikkate alındığında, bu iki modelle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Model I tercih edilmelidir; çünkü düzeltilmiş

R^2

değeri daha yüksektir ve artıkların normal dağılım ile sabit varyans varsayımları sağlanmaktadır.

Model II tercih edilmelidir; çünkü açıklayıcı değişken sayısı arttıkça artan belirleme katsayısı (

R^2

), modele eklenen her değişkenin anlamlı olduğunu gösterir.

Model II'deki artık testlerine ait

p

-değerlerinin

\alpha = 0.05

'ten küçük çıkması, bu modelde normallik ve sabit varyans varsayımlarının sağlandığını ifade eder.

Model II'de White testi sonucuna göre değişen varyans sorununun bulunması, EKK ile elde edilen parametre tahmin edicilerinin sapmalı (biased) hale gelmesine yol açar.

Model II'de düzeltilmiş

R^2

değerinin belirleme katsayısından (

R^2

) daha düşük çıkması, EKK tahmin edicileri hesaplanırken pay ve paydadaki serbestlik derecelerinin formülde yanlış kullanıldığını gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model I tercih edilmelidir; çünkü düzeltilmiş $R^2$ değeri daha yüksektir ve artıkların normal dağılım ile sabit varyans varsayımları sağlanmaktadır.

Cevap

Düzeltilmiş belirleme katsayısı daha yüksek olan ve varsayımları sağlayan Model I tercih edilmelidir.

Çoklu doğrusal regresyonda aday modeller arasından seçim yapılırken, açıklayıcı değişken sayısının etkisinden arındırılmış olan Düzeltilmiş R² değerinin yüksek olması istenir. Model I'de bu değer daha yüksektir. Ayrıca regresyon modelinin güvenilirliği için artıkların (kalıntıların) normal dağılması ve varyansının sabit olması gerekir. Varsayım testlerinde H0 hipotezleri 'uygunluk/sağlanma' durumunu ifade ettiği için p > 0.05 olması istenir. Model I'de her iki testin p-değeri 0.05'ten büyük olduğu için regresyon varsayımları eksiksiz şekilde sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Model seçim kriteri olan Düzeltilmiş R² değerlerinin karşılaştırılması.

Model I'in düzeltilmiş R² değeri (0.72), Model II'den (0.69) daha büyüktür.

Değişken sayısı farklı olan modeller karşılaştırılırken standart R² yerine ceza terimi içeren Düzeltilmiş R² dikkate alınır.

2

Shapiro-Wilk normallik testi sonuçlarının değerlendirilmesi.

Model I için p=0.145 > 0.05 olduğundan normallik varsayımı sağlanır. Model II için p=0.021 < 0.05 olduğundan varsayım ihlal edilmiştir.

Normallik testinde H0 hipotezi 'Artıklar normal dağılmaktadır' şeklindedir. Varsayımın sağlanması için H0 reddedilememelidir (p > 0.05).

3

White sabit varyans testi sonuçlarının değerlendirilmesi.

Model I için p=0.231 > 0.05 olduğundan sabit varyans varsayımı sağlanır. Model II için p=0.042 < 0.05 olduğundan varsayım ihlal edilmiştir.

White testinde H0 hipotezi 'Varyans sabittir' şeklindedir. Varsayımın sağlanması için H0 reddedilememelidir (p > 0.05).

Anahtar Kavram

Model Seçim Kriterleri ve Regresyon Varsayımlarının Sınanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 26Soru →

Bir makroekonomi araştırmacısı, Türkiye'nin 1990-2023 dönemine ait yıllık verilerini kullanarak ithalat hacmini; reel döviz kuru ve gayrisafi yurt içi hasıla değişkenleriyle açıklayan bir çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir. Analiz sonucunda, modele ait kalıntılar (artıklar) üzerinden hesaplanan Durbin-Watson (DW) test istatistiği $0.45$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, tahmin edilen modele ve En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin özelliklerine ilişkin aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

EKK tahmincileri sapmasızlık özelliğini korur ancak etkinlik (minimum varyans) özelliğini kaybettiği için modeldeki t ve F testleri geçersizdir.

Hata terimlerinin varyansı sabit kalmadığı için EKK tahmincileri sapmalı ve tutarsız hale gelmiştir.

Bağımsız değişkenler arasında tam doğrusal bağlantı sorunu ortaya çıkmış ve parametre tahminleri hesaplanamaz duruma gelmiştir.

Durbin-Watson test istatistiğinin

0.45

olması, modelde otokorelasyon sorununun bulunmadığını ve tahmincilerin en iyi doğrusal sapmasız tahminci (BLUE) olduğunu gösterir.

Modelde açıklayıcı değişken sayısına bağlı olarak belirlilik katsayısı (

R^2

) yapay biçimde düşmüş ve modelin açıklama gücü zayıflamıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: EKK tahmincileri sapmasızlık özelliğini korur ancak etkinlik (minimum varyans) özelliğini kaybettiği için modeldeki t ve F testleri geçersizdir.

Cevap

EKK tahmincileri sapmasızlık özelliğini korur ancak etkinlik (minimum varyans) özelliğini kaybettiği için modeldeki t ve F testleri geçersizdir.

Verilen senaryoda Durbin-Watson (DW) istatistiğinin

0.45

çıkması, ardışık hata terimleri arasında yüksek düzeyde pozitif bir korelasyon (otokorelasyon) bulunduğunu açıkça göstermektedir. Otokorelasyon sorunu varlığında, En Küçük Kareler (EKK) tahmincileri sapmasızlık ve doğrusallık özelliklerini korumaya devam eder. Ancak, bu tahminciler artık minimum varyansa sahip değildir (etkinlik kaybolur). Standart hataların EKK yöntemiyle hesaplanması genellikle gerçek değerinden daha küçük varyans tahminlerine yol açar; bu durum t ve F oranlarını büyüterek aslında anlamsız olan değişkenlerin istatistiksel olarak anlamlı bulunmasına neden olur. Sonuç olarak modeldeki hipotez testleri geçerliliğini ve güvenilirliğini yitirir.

Adım Adım Çözüm

1

Durbin-Watson (DW) test istatistiğinin değerini yorumlama

DW = 0.45 değeri 0'a oldukça yakındır. Bu durum hata terimleri arasında güçlü bir pozitif otokorelasyon olduğuna işaret eder.

DW istatistiği yaklaşık olarak

d \approx 2(1-\rho)

formülü ile hesaplanır ve 0 ile 4 arasında değer alır. 2 değeri otokorelasyon olmadığını, 0'a yakınlık pozitif otokorelasyonu gösterir.

2

Otokorelasyonun En Küçük Kareler (EKK) tahmincileri üzerindeki teorik etkisini belirleme

Otokorelasyon varlığında EKK tahmincileri doğrusal ve sapmasız olma özelliklerini korumaya devam eder, ancak minimum varyanslı olma (etkinlik) özelliğini yitirir.

Gauss-Markov varsayımlarından hata terimlerinin bağımsızlığı ihlal edildiğinde, tahminciler BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahminci) özelliğindeki 'En İyi' (minimum varyans) kısmını kaybeder.

3

Etkinlik kaybının hipotez testleri üzerindeki pratik sonucunu değerlendirme

Tahmincilerin varyansları (standart hataları) EKK formülleriyle genellikle olduğundan daha düşük hesaplandığı için t ve F istatistikleri yapay olarak büyük çıkar, bu da hipotez testlerini geçersiz (güvenilmez) kılar.

Standart hataların yanlış hesaplanması, test istatistiklerinin teorik dağılımlarından sapmasına ve Tip I hatanın artmasına yol açar.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon Sorunu ve EKK Tahmincileri Üzerindeki Etkileri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 27Soru →

Bir araştırmacı, belirli bir zaman dilimine ait ardışık gözlemler üzerinden doğrusal bir modeli En Küçük Kareler (EKK) tekniğiyle tahmin etmiştir. Tahmin sonuçları incelendiğinde, açıklayıcı değişkene ait katsayının standart hatasının beklenenden oldukça küçük hesaplandığı ve $t$ -istatistiğine göre parametrenin istatistiksel açıdan yüksek oranda anlamlı olduğu görülmüştür. Modelin kalıntıları kullanılarak hesaplanan Durbin-Watson $d$ test istatistiği ise $0,55$ olarak bulunmuştur. (Kullanılan anlamlılık düzeyi ve gözlem sayısı için tablo kritik değerleri $d_L = 1,18$ ve $d_U = 1,42$ şeklindedir).

Elde edilen bu test istatistiği ve tahmin sonuçlarına dayanarak, söz konusu model ve katsayı tahmincileri hakkında aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Modelde pozitif ardışık bağımlılık (otokorelasyon) bulunmaktadır; katsayı tahmincileri yansızlık özelliğini korusa da, standart hataların olduğundan daha küçük hesaplanması hipotez testlerini güvenilmez kılmaktadır.

Hesaplanan test istatistiği negatif otokorelasyona işaret etmektedir ve bu durum tahmin edilen katsayıların istatistiksel olarak tutarsız hale gelmesine neden olmuştur.

Değişen varyans problemi ortaya çıkmış olup, bu ihlal katsayı tahmincilerinin etkinlik özelliğini kaybetmesine ancak standart hataların doğru kalmasına yol açmıştır.

Açıklayıcı değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı bulunduğunu gösteren bu durum, parametre varyanslarının yapay olarak büyümesine sebep olmuştur.

Ardışık bağımlılığın varlığı nedeniyle katsayı tahmincileri yanlı (sistematik hatalı) hale gelmiştir, dolayısıyla modelin farklı bir tahmin edici ile çözülmesi zorunludur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelde pozitif ardışık bağımlılık (otokorelasyon) bulunmaktadır; katsayı tahmincileri yansızlık özelliğini korusa da, standart hataların olduğundan daha küçük hesaplanması hipotez testlerini güvenilmez kılmaktadır.

Cevap

Modelde pozitif ardışık bağımlılık bulunduğunu ve bunun standart hataları küçülterek hipotez testlerini yanıltıcı hale getirdiğini ifade eden seçenektir.

Verilen Durbin-Watson test istatistiği

d = 0,55

değeri, alt kritik değer olan

d_L = 1,18

'den küçük olduğu için modelde güçlü bir pozitif otokorelasyon (ardışık bağımlılık) bulunduğunu kanıtlar. Otokorelasyon durumunda EKK tahmincileri yansız (sapmasız) ve tutarlı olmaya devam eder, dolayısıyla parametre tahminlerinde sistematik bir hata oluşmaz. Ancak, tahminciler etkinlik (minimum varyans) özelliklerini kaybeder. Özellikle pozitif otokorelasyon varlığında kalıntıların varyansı ve buna bağlı olarak katsayıların standart hataları genellikle gerçekte olduğundan daha düşük tahmin edilir. Standart hataların küçülmesi,

t

-istatistiklerinin (

t = \frac{\hat{\beta}}{S_{\hat{\beta}}}

) yapay olarak büyük çıkmasına ve araştırmacının gerçekte anlamsız olan değişkenleri istatistiksel olarak anlamlı bulmasına (Tip I hata artışına) neden olur. Bu nedenle doğru değerlendirme, modelde pozitif otokorelasyon olduğunu ve yansızlığın korunmasına rağmen

t

-testlerinin yanıltıcı (güvenilmez) hale geldiğini belirten ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1

Durbin-Watson d istatistiğini kritik değerlerle karşılaştırarak modeldeki sorunu tespit etmek.

Hesaplanan d = 0,55 değeri alt sınır olan d_L = 1,18'den küçüktür (0 < d < d_L). Bu durum H0 hipotezinin (otokorelasyon yoktur) reddedilerek modelde kesin olarak pozitif otokorelasyon olduğuna karar verilmesini sağlar.

Durbin-Watson d istatistiği 0 ile 4 arasında değerler alır. Değer 2'ye yaklaştıkça otokorelasyon olmadığı, 0'a yaklaştıkça pozitif otokorelasyon olduğu, 4'e yaklaştıkça negatif otokorelasyon olduğu kabul edilir.

2

Pozitif otokorelasyonun EKK tahmincileri (katsayılar) üzerindeki etkisini değerlendirmek.

Otokorelasyon, parametrelerin beklenen değerini etkilemediği için katsayı tahmincileri yansız (sapmasız) ve tutarlı olmaya devam eder. Ancak, en küçük varyansa sahip olma (etkinlik) özelliğini kaybederler.

Gauss-Markov varsayımlarından hata terimlerinin birbirinden bağımsız olması kuralı ihlal edilmiştir; bu ihlal katsayıların yanlı olmasına değil, varyansların yanlış hesaplanmasına yol açar.

3

Otokorelasyonun standart hatalar ve anlamlılık testleri üzerindeki pratik etkisini yorumlamak.

Hata terimleri arasındaki pozitif ilişki, standart varyans formülü tarafından göz ardı edildiği için hata varyansı (ve dolayısıyla katsayıların standart hataları) olduğundan daha küçük tahmin edilir. Bu da t-istatistiklerini yapay olarak büyüterek anlamsız değişkenlerin anlamlıymış gibi görünmesine neden olur.

Katsayının t-değeri, katsayının standart hataya bölünmesiyle bulunur. Standart hata küçüldüğünde t-değeri matematiksel olarak büyüyecek ve sıfır hipotezini reddetme (Tip I hata) olasılığını artıracaktır.

Anahtar Kavram

Durbin-Watson Testi ve Otokorelasyonun EKK Tahmincilerine Etkisi

Soru 28Soru →

Doğrusal bir regresyon modelinde ardışık bağımlılık (otokorelasyon) sınaması için kullanılan Durbin-Watson ( $d$ ) test istatistiği ile birinci dereceden otokorelasyon katsayısı ( $\hat{\rho}$ ) arasında $d \approx 2(1 - \hat{\rho})$ şeklinde yaklaşık bir ilişki bulunmaktadır.

Bir regresyon modelinin kalıntıları (artıkları) üzerinden hesaplanan Durbin-Watson test istatistiği $d = 3,4$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, modeldeki otokorelasyonun durumu ve bu durumun En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin istatistiksel özellikleri üzerindeki etkisi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Modelde negatif yönlü otokorelasyon vardır ve EKK tahmincileri minimum varyans (etkinlik) özelliğini kaybetmiştir.

Modelde pozitif yönlü otokorelasyon vardır ve bu durum EKK tahmincilerinin sapmalı (yanlı) hale gelmesine neden olmuştur.

Otokorelasyon katsayısı yaklaşık

0,7

olarak hesaplandığı için pozitif otokorelasyon vardır, ancak EKK tahmincileri etkindir.

Test istatistiği en fazla

3

değerini alabildiği için, bu sonuç modelde değişen varyans (heteroskedastisite) sorunu bulunduğunu gösterir.

Modelde negatif yönlü otokorelasyon bulunmasına rağmen, bu durum tahmincilerin sapmasızlık özelliğini bozar, etkinlik özelliğini etkilemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelde negatif yönlü otokorelasyon vardır ve EKK tahmincileri minimum varyans (etkinlik) özelliğini kaybetmiştir.

Cevap

Modelde negatif yönlü otokorelasyon vardır ve EKK tahmincileri minimum varyans (etkinlik) özelliğini kaybetmiştir.

Durbin-Watson (

d

) test istatistiği

0

ile

4

arasında değerler alır. Verilen

d \approx 2(1 - \hat{\rho})

eşitliğinde

d = 3,4

değeri yerine konulduğunda, denklemin çözümü

\hat{\rho} = -0,7

sonucunu verir. Katsayının negatif olması, modelde negatif yönlü otokorelasyon olduğunu gösterir. Regresyon modellerinde (ister pozitif ister negatif olsun) otokorelasyon sorununun bulunması durumunda Gauss-Markov teoremi ihlal edilir; EKK tahmincileri doğrusal ve sapmasız kalmaya devam etseler de minimum varyans (etkinlik) özelliğini kaybederler. Bu nedenle standart hatalar yanlış hesaplanır ve t-istatistikleri güvenilirliğini yitirir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen Durbin-Watson formülünde d = 3,4 değerini yerine koyarak denklemi oluştur.

3,4 = 2(1 - \hat{\rho})

denklemi elde edilir.

Otokorelasyon katsayısının (

\hat{\rho}

) işaretini ve büyüklüğünü belirlemek.

2

Denklemi çözerek

\hat{\rho}

değerini hesapla.

1,7 = 1 - \hat{\rho} \implies \hat{\rho} = -0,7

bulunur.

Negatif bir otokorelasyon katsayısı, serideki ardışık hata terimleri arasında negatif yönlü bir ilişki (negatif otokorelasyon) olduğunu kesinleştirir.

3

Otokorelasyonun EKK tahmincileri üzerindeki teorik etkisini Gauss-Markov varsayımları çerçevesinde değerlendir.

Otokorelasyon varlığında (yönü fark etmeksizin) EKK tahmincileri doğrusal ve sapmasız olmaya devam ederken, en küçük varyanslı (etkin) olma özelliğini kaybeder.

Varsayım ihlallerinin temel sonuçlarını tespit ederek doğru çıkarıma ulaşmak.

Anahtar Kavram

Durbin-Watson Testi ve Otokorelasyonun Sonuçları

Soru 29Soru →

Bir kamu kurumunda veri analisti olarak çalışan uzman, iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi modellemek için klasik basit doğrusal regresyon modelini ( $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$ ) kurmuştur.

Analistin kurduğu bu modelin teorik altyapısı, EKK (En Küçük Kareler) tahmin edicilerinin özellikleri ve Gauss-Markov varsayımları dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Gauss-Markov teoremine göre EKK tahmin edicilerinin En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici (BLUE) olabilmesi için hata terimlerinin (

\varepsilon_i

) mutlaka normal dağılıma sahip olması gerekir.

Bağımlı değişkenin (

Y_i

) gözlemlenen her bir değeri; modelin bağımsız değişkeni ile açıklanan deterministik bir bileşen ile modele dahil edilmeyen dışsal etkenleri barındıran stokastik bir bileşenin toplamıdır.

EKK tahmin yöntemi, bağımlı değişkenin gerçek değerleri ile modelin tahmin ettiği değerler arasındaki farklar olan artıkların kareleri toplamını (

\sum e_i^2

) minimize etme prensibine dayanır.

Modelde otokorelasyon veya değişen varyans sorununun ortaya çıkması durumunda, EKK tahmin edicileri yansızlık özelliğini korumaya devam etse de minimum varyanslı olma (etkinlik) özelliğini kaybeder.

Hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması (

E(\varepsilon_i) = 0

) varsayımı, EKK yöntemi ile elde edilen sabit terim (

\beta_0

) tahmin edicisinin yansız bir tahmin edici olmasını sağlayan temel koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gauss-Markov teoremine göre EKK tahmin edicilerinin En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici (BLUE) olabilmesi için hata terimlerinin ( $\varepsilon_i$ ) mutlaka normal dağılıma sahip olması gerekir.

Cevap

Gauss-Markov teoremine göre EKK tahmin edicilerinin BLUE olabilmesi için hata terimlerinin normal dağılıma sahip olması gerektiğini belirten ifade yanlıştır.

Gauss-Markov teoremi; modelin doğrusal olması, hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması, sabit varyanslı olması ve ardışık hata terimleri arasında ilişki bulunmaması (otokorelasyon olmaması) durumunda EKK tahmin edicilerinin En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici (BLUE) olduğunu kanıtlar. Bu teoremin varsayımları arasında hata terimlerinin normal dağılıma sahip olması şartı yoktur. Normallik varsayımı, BLUE özelliklerini kazanmak için değil; regresyon katsayılarının istatistiksel anlamlılığını test etmek amacıyla uygulanan t ve F testlerinin geçerli olabilmesi için modelde aranan ek bir varsayımdır. Bu nedenle normalliği BLUE için zorunlu tutan ifade istatistiksel olarak yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Basit doğrusal regresyon modelinin deterministik ve stokastik bileşen yapısı ile EKK'nın temel amacını değerlendir.

Bağımlı değişkenin deterministik (

X

'e bağlı) ve stokastik (hata terimi) toplamından oluştuğu ve EKK'nın artık kareler toplamını minimize ettiği ifadelerinin teorik olarak doğru olduğu görülür.

Modelin yapısal tanımını ve EKK tahmincisinin optimizasyon problemini doğrulamak için.

2

Varsayım ihlallerinin (otokorelasyon ve değişen varyans) EKK tahmin edicileri üzerindeki etkilerini incele.

Bu sorunların varlığında katsayı tahminlerinin hala yansız olduğu, ancak varyanslarının artık minimum (en iyi) olmadığı sonucuna varılır.

BLUE özelliklerinin hangi durumlarda bozulduğunu tespit etmek için.

3

Gauss-Markov teoreminin koşullarını ve normallik varsayımının işlevini analiz et.

Gauss-Markov teoremi BLUE özelliği için normalliği şart koşmaz. Normallik, sadece hipotez testleri (t ve F testleri) ve güven aralıkları oluşturmak için gereklidir.

Normallik varsayımının teorideki gerçek amacını belirleyerek yanlış ifadeyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi ve Regresyon Varsayımları

Soru 30Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, bölgesel kalkınma endeksini tahmin etmek amacıyla $3$ bağımsız değişkenin kullanıldığı bir çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir.

Kurulan modele ait varyans analizi (ANOVA) sonuçları incelendiğinde; modelin genel anlamlılığını sınayan F-istatistiği $16$ ve düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) $0,75$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu regresyon modelinin tahmininde kullanılan gözlem sayısı ( $n$ ) kaçtır?

12

15

16

19

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16$

Cevap

Regresyon modelinin tahmininde kullanılan gözlem sayısı

16

'dır.

Varyans analizi (ANOVA) temel eşitliğinde (

SST = SSR + SSE

) terimleri kendi serbestlik derecelerine böldüğümüzde kareler ortalamalarını elde ederiz. Bu eşitliği

MSE

'ye bölersek

\frac{MST}{MSE}(n-1) = F \cdot k + (n-k-1)

bağıntısına ulaşırız. Düzeltilmiş R-kare formülü

\bar{R}^2 = 1 - \frac{MSE}{MST}

olduğundan,

\frac{MST}{MSE} = \frac{1}{1 - 0,75} = 4

bulunur. Değerler yerine konduğunda

4(n-1) = 16(3) + (n-4) \implies 4n-4 = 44+n \implies 3n=48 \implies n=16

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA tablosunun temel kareler toplamı eşitliğini serbestlik dereceleri ve ortalama kareler (MS) cinsinden yaz.

SST = SSR + SSE \implies MST(n-1) = MSR \cdot k + MSE(n-k-1)

F-istatistiği ve düzeltilmiş R-kare değerlerini aynı eşitlikte birleştirmek için temel varyans analiz eşitliğinden yararlanılmalıdır.

2

Elde edilen eşitliğin her iki tarafını Hata Kareler Ortalamasına (

MSE

) böl.

\frac{MST}{MSE}(n-1) = \frac{MSR}{MSE} \cdot k + (n-k-1)

Denklemde

F = \frac{MSR}{MSE}

ifadesini ve

\bar{R}^2

ile ilişkili olan

\frac{MST}{MSE}

oranını ortaya çıkarmak.

3

Düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) ile

\frac{MST}{MSE}

arasındaki ilişkiyi kur.

\bar{R}^2 = 1 - \frac{MSE}{MST} \implies \frac{MSE}{MST} = 1 - \bar{R}^2 \implies \frac{MST}{MSE} = \frac{1}{1 - \bar{R}^2}

Eşitlikteki

\frac{MST}{MSE}

terimini bilinen

\bar{R}^2

değeri cinsinden yazabilmek.

4

Verilen F,

\bar{R}^2

ve

k

değerlerini (

F=16

,

\bar{R}^2=0,75

,

k=3

) eşitlikte yerine koyarak

n

için çöz.

\frac{1}{1 - 0,75}(n-1) = 16 \cdot 3 + (n-3-1) \implies 4(n-1) = 48 + n - 4 \implies 4n - 4 = 44 + n \implies 3n = 48 \implies n = 16

Tek bilinmeyenli denklem çözülerek modeldeki gözlem sayısına (

n

) ulaşılır.

Anahtar Kavram

ANOVA Varyans Ayrışımı ve

\bar{R}^2

- F İstatistiği İlişkisi

Alternatif Yöntem

Standart

R^2

ile

\bar{R}^2

arasındaki

1 - R^2 = (1 - \bar{R}^2)\frac{n-k-1}{n-1}

ilişkisini,

F = \frac{R^2}{1-R^2}\frac{n-k-1}{k}

formülünde yerine koyarak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 31Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, illerin sosyo-ekonomik gelişmişlik endeksini tahmin etmek amacıyla iki farklı çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Modellerin performansını karşılaştırmak için bazı uyum iyiliği ve model seçim kriterleri hesaplanarak aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kriter	Model A (4 Bağımsız Değişken)	Model B (5 Bağımsız Değişken)
Belirleme Katsayısı ( $R^2$ )	0,82	0,84
Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı ( $\bar{R}^2$ )	0,80	0,77
Akaike Bilgi Kriteri (AIC)	115,4	128,6
Bayesian Bilgi Kriteri (BIC)	121,2	136,1

Not: Model B, Model A'daki 4 bağımsız değişkene ilave olarak 1 yeni bağımsız değişken daha içermektedir.

Bu tabloya göre, uzmanın model seçimi ve değişken ekleme süreciyle ilgili yapacağı en doğru değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

Model B'nin standart

R^2

değeri daha yüksek olduğundan, modele eklenen yeni değişken bağımlı değişkendeki varyansın daha büyük bir kısmını açıklamıştır ve koşulsuz olarak Model B seçilmelidir.

Bilgi kriterlerinin (AIC ve BIC) yükselmesi ve düzeltilmiş

R^2

'nin düşmesi, Model B'de değişen varyans veya çoklu doğrusal bağlantı gibi yapısal varsayım ihlallerinin başladığını kesin olarak gösterir.

Model B'ye eklenen ilave değişken, modelin açıklama gücüne anlamlı bir katkı sağlamamış ve serbestlik derecesindeki kaybı telafi edememiştir; bu nedenle daha sade olan Model A tercih edilmelidir.

Model B'ye yeni bir değişken eklendiğinde En Küçük Kareler (EKK) prensibi gereği Hata Kareler Toplamı (HKT) kesinlikle arttığı için AIC ve BIC değerleri yükselmiştir.

Standart

R^2

değerindeki matematiksel artış, Model B'ye eklenen yeni değişkenin istatistiksel olarak anlamlı bulunduğunu ve katsayısına ait güven aralığının sıfırı içermediğini garanti eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model B'ye eklenen ilave değişken, modelin açıklama gücüne anlamlı bir katkı sağlamamış ve serbestlik derecesindeki kaybı telafi edememiştir; bu nedenle daha sade olan Model A tercih edilmelidir.

Cevap

Model B'ye eklenen ilave değişken, modelin açıklama gücüne anlamlı bir katkı sağlamamış ve serbestlik derecesindeki kaybı telafi edememiştir; bu nedenle daha sade olan Model A tercih edilmelidir.

Bir modele yeni bir bağımsız değişken eklendiğinde standart

R^2

değeri matematiksel olarak her zaman artar veya sabit kalır. Ancak, eklenen değişkenin modele katkısı marjinalse, serbestlik derecesindeki kaybı hesaba katan düzeltilmiş

R^2

değeri düşer. Benzer şekilde, model karmaşıklığını cezalandıran Akaike (AIC) ve Bayesian (BIC) bilgi kriterlerinde daha düşük değerler istenir. Tabloda Model B'nin AIC ve BIC değerleri daha yüksek, düzeltilmiş

R^2

değeri ise daha düşüktür. Bu tablo, eklenen 5. değişkenin modelin açıklama gücüne anlamlı bir katkı sağlamadığını ve parsimoni (sadelik) ilkesi gereği Model A'nın tercih edilmesi gerektiğini açıkça göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Standart belirleme katsayısındaki (

R^2

) değişimi incelemek

Model B'nin

R^2

değeri (0,84), Model A'dan (0,82) yüksektir.

Modele yeni bir bağımsız değişken eklendiğinde

R^2

matematiksel olarak daima artar veya en kötü ihtimalle sabit kalır. Bu tek başına modelin iyileştiğini göstermez.

2

Düzeltilmiş belirleme katsayısındaki (

\bar{R}^2

) değişimi incelemek

\bar{R}^2

değeri 0,80'den 0,77'ye düşmüştür.

Düzeltilmiş

R^2

, model karmaşıklığını ve serbestlik derecesindeki kaybı cezalandırır. Değerin düşmesi, eklenen 5. değişkenin katkısının istatistiksel maliyetini karşılamadığını gösterir.

3

Bilgi kriterlerindeki (AIC ve BIC) değişimi değerlendirmek

Hem AIC hem de BIC değerleri Model B'de yükselmiştir.

Bilgi kriterlerinde (AIC, BIC, vb.) daha düşük değerler daha iyi uyumu ve parsimoniyi (sadelik) ifade eder. Değerlerin artması Model B'nin gereksiz karmaşıklaştığını doğrular.

4

Nihai kararı vermek

Model A tercih edilmelidir.

Tüm geçerli model seçim kriterleri (

\bar{R}^2

, AIC, BIC), açıklayıcılık ve sadelik dengesinde Model A'nın daha üstün olduğunu göstermektedir.

Anahtar Kavram

Model Seçim Kriterleri (

R^2

, Düzeltilmiş

R^2

, AIC, BIC) ve Parsimoni (Sadelik) İlkesi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 32Soru →

Bir emlak değerleme uzmanı, bir şehirdeki konut fiyatlarını ( $Y$ , bin TL), evlerin brüt kullanım alanına ( $X$ , $m^2$ ) ve ısınma tipine göre modellemektedir. Isınma tipi üç kategoriden oluşmaktadır: Kömür, Elektrik ve Doğalgaz.

Uzman, ısınma tipi için aşağıdaki kukla (dummy) değişkenleri tanımlamıştır:

$D_1 = \begin{cases} 1, & \text{ev doğalgaz ile ısınıyorsa} \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

$D_2 = \begin{cases} 1, & \text{ev elektrik ile ısınıyorsa} \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

Kömür ile ısınan evler baz (temel) kategori olarak alınmış ve En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile aşağıdaki regresyon modeli tahmin edilmiştir:

\hat{Y} = 150 + 5X + 120D_1 - 40D_2

Buna göre, kurulan model ve elde edilen sonuçlarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Kömür ile ısınan evleri temsil etmek üzere modele yeni bir

D_3

kukla değişkeni (Kömür ise 1, aksi halde 0) eklenirse, modelin açıklayıcılık gücü (

R^2

) artar.

Aynı kullanım alanına sahip evler karşılaştırıldığında, doğalgaz ile ısınan evler kömür ile ısınanlara göre ortalama 120 bin TL daha pahalıdır.

100

m^2

büyüklüğünde ve elektrik ile ısınan bir evin tahmini satış fiyatı 610 bin TL'dir.

Aynı kullanım alanına sahip evler karşılaştırıldığında, doğalgaz ile ısınan evler elektrik ile ısınan evlere göre ortalama 160 bin TL daha pahalıdır.

Kömür ile ısınan evler için regresyon modelinin sabit terimi (kesme noktası) 150 bin TL olarak tahmin edilmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kömür ile ısınan evleri temsil etmek üzere modele yeni bir $D_3$ kukla değişkeni (Kömür ise 1, aksi halde 0) eklenirse, modelin açıklayıcılık gücü ( $R^2$ ) artar.

Cevap

Kömür ile ısınan evleri temsil etmek üzere modele yeni bir kukla değişken eklenmesinin modelin açıklayıcılık gücünü artıracağını belirten ifade yanlıştır.

Modelde kesme noktası (sabit terim) bulunurken, bir kategorik değişkenin tüm sınıfları için ayrı birer kukla değişken modele dahil edilirse 'kukla değişken tuzağı' (tam çoklu doğrusal bağlantı) ortaya çıkar.

D_1 + D_2 + D_3 = 1

eşitliği sabit terimle mükemmel doğrusal ilişki yaratacağından EKK ile katsayılar benzersiz bir şekilde tahmin edilemez. Bu nedenle modelin açıklayıcılık gücünün artacağı ifadesi kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Baz kategori ve regresyon denkleminin temel bileşenlerini analiz etme.

Kömür ile ısınan evlerin baz kategori olduğu (

D_1=0, D_2=0

), bu durumda regresyon doğrusunun

\hat{Y} = 150 + 5X

olduğu belirlenir.

Kukla değişken katsayılarının doğru yorumlanabilmesi için baz kategorinin referans noktası olarak alınması gerekir.

2

Kukla değişken katsayılarının (120 ve -40) anlamsal karşılıklarını hesaplama.

Doğalgaz katsayısı 120, doğalgazlı evlerin kömürlülere göre 120 bin TL daha pahalı olduğunu; Elektrik katsayısı -40, elektrikli evlerin kömürlülere göre 40 bin TL daha ucuz olduğunu gösterir.

Kukla değişken katsayıları, sürekli değişkenler sabit tutulduğunda baz kategoriye göre meydana gelen ortalama farkları ifade eder.

3

Kategoriler arası karşılaştırmaları ve spesifik tahmin değerlerini doğrulama.

Doğalgazlı ve elektrikli evler arası ortalama fiyat farkı

120 - (-40) = 160

bin TL olarak bulunur. 100 metrekare elektrikli ev tahmini

\hat{Y} = 150 + 5(100) - 40 = 610

bin TL olarak hesaplanır.

Seçeneklerde verilen sayısal örneklerin ve çapraz karşılaştırmaların geçerliliğini test etmek gereklidir.

4

Kukla değişken tuzağını (Dummy Variable Trap) değerlendirme.

Modele kömür için de bir

D_3

kukla değişkeni eklendiğinde

D_1 + D_2 + D_3 = 1

eşitliği oluşur, bu durum sabit terimle tam çoklu doğrusal bağlantı yaratır ve model tahmin edilemez hale gelir.

Kategorik bir değişkenin tüm sınıflarının sabit terimli bir modele kukla değişken olarak eklenmesi temel bir varsayım ihlaline yol açar.

Anahtar Kavram

Kukla Değişken Katsayılarının Yorumlanması ve Kukla Değişken Tuzağı

Soru 33Soru →

Bir il sağlık müdürlüğü, ilçelerdeki aile sağlığı merkezlerinde görev yapan hekim sayısı ( $X$ ) ile aylık muayene edilen toplam ortalama hasta sayısı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon modeli ile incelemektedir. Rastgele seçilen $50$ ilçe için toplanan verilere ait bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

* $n = 50$
* $\sum_{i=1}^{n} X_i = 500$
* $\sum_{i=1}^{n} Y_i = 35000$
* $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = 250$
* $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 5000$

Gauss-Markov varsayımlarının sağlandığı kabul edildiğinde, $Y$ 'nin $X$ üzerine regresyonu için En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilen örneklem regresyon denklemi ( $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{Y} = 500 + 20X

\hat{Y} = 900 + 20X

\hat{Y} = -300 + 100X

\hat{Y} = 680 + 20X

\hat{Y} = 700 + 20X

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{Y} = 500 + 20X$

Cevap

Doğru denklem

\hat{Y} = 500 + 20X

şeklindedir.

Verilen özet istatistikler kullanılarak EKK formülleri eksiksiz uygulandığında model

\hat{Y} = 500 + 20X

olarak bulunur. Gauss-Markov varsayımları geçerli olduğundan, elde edilen bu tahminciler doğrusal, yansız ve en küçük varyanslı (BLUE) özellik taşır. Eğim katsayısı

\frac{5000}{250} = 20

, ortalamalar ise

\bar{X}=10

ve

\bar{Y}=700

'dür. Sabit terim

\hat{\beta}_0 = 700 - (20 \times 10) = 500

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsız ve bağımlı değişkenlerin örneklem ortalamalarını hesaplama

\bar{X} = \frac{500}{50} = 10

ve

\bar{Y} = \frac{35000}{50} = 700

Regresyon modelinin sabit terimini (

\hat{\beta}_0

) bulmak için her iki değişkenin ortalama değerine ihtiyaç vardır.

2

Eğim katsayısını (

\hat{\beta}_1

) EKK formülüyle hesaplama

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{5000}{250} = 20

Bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişkende yaratacağı ortalama değişimi belirlemek.

3

Sabit terimi (

\hat{\beta}_0

) formül ile hesaplama

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 700 - 20(10) = 700 - 200 = 500

Regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği noktayı, yani bağımsız değişken sıfır olduğunda Y'nin beklenen değerini bulmak.

4

Örneklem regresyon denklemini oluşturma

\hat{Y} = 500 + 20X

Hesaplanan parametre tahminlerini standart doğrusal model denkleminde yerine koymak.

Anahtar Kavram

EKK Yöntemi ile Basit Doğrusal Regresyon Katsayılarının Tahmini ve Gauss-Markov Teoremi

Soru 34Soru →

Bir araştırmacı, bir bağımlı değişkeni tahmin etmek için kurduğu çoklu doğrusal regresyon modeline ilişkin varyans analizi (ANOVA) tablosunun bazı değerlerini aşağıdaki gibi elde etmiştir:

Kaynak	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)
Regresyon	3
Artık (Hata)	5
Toplam	15	300

Buna göre, tahmin edilen bu regresyon modelinin düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,20

0,25

0,75

0,80

0,94

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,75$

Cevap

Düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) 0,75'tir.

Varyans analizi tablosundaki ilişkiler kullanılarak eksik değerler sırasıyla bulunmalıdır. Öncelikle

SD_{Hata} = 15 - 3 = 12

olarak hesaplanır. Buradan

KT_{Hata} = 12 \times 5 = 60

elde edilir. Formül gereği

KO_{Top}

değerine ihtiyacımız vardır:

KO_{Top} = 300 / 15 = 20

olur. Son olarak düzeltilmiş belirleme katsayısı formülü uygulanır:

\bar{R}^2 = 1 - (KO_{Hata} / KO_{Top}) = 1 - (5 / 20) = 0,75

doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Artık (Hata) serbestlik derecesini (

SD_{Hata}

) hesapla.

SD_{Hata} = 15 - 3 = 12

Varyans analizinde toplam serbestlik derecesi, regresyon ve artık serbestlik derecelerinin toplamına eşittir.

2

Artık (Hata) kareler toplamını (

KT_{Hata}

) hesapla.

KT_{Hata} = 12 \times 5 = 60

Bir kaynağın kareler toplamı, o kaynağın serbestlik derecesi ile kareler ortalamasının çarpımına eşittir (

KT = SD \times KO

).

3

Toplam kareler ortalamasını (

KO_{Top}

) hesapla.

KO_{Top} = \frac{300}{15} = 20

Düzeltilmiş belirleme katsayısı formülünde hata varyansını oranlamak için toplam varyansa (

KO_{Top}

) ihtiyaç vardır.

4

Düzeltilmiş belirleme katsayısını (

\bar{R}^2

) hesapla.

\bar{R}^2 = 1 - \frac{5}{20} = 1 - 0,25 = 0,75

\bar{R}^2

, 1 eksi hata kareler ortalamasının toplam kareler ortalamasına oranı formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Regresyonda Varyans Analizi ve Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı

Soru 35Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı'nda görevli bir uzman, belirli bir tarım bölgesindeki buğday verimini tahmin etmek amacıyla $4$ bağımsız değişkenin (ortalama sıcaklık, toplam yağış, gübre miktarı, toprak nemi) kullanıldığı bir çoklu doğrusal regresyon analizi yapmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)
Regresyon	-	$480$
Hata (Artık)	-	-
Genel	$24$	$600$

Buna göre, kurulan regresyon modelinin genel anlamlılığını test etmek için kullanılacak olan $F$ test istatistiğinin değeri ve Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı $(\bar{R}^2)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

20

ve

0,80

4

ve

0,76

20

ve

0,76

4

ve

0,80

16

ve

0,76

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$ ve $0,76$

Cevap

F test istatistiği

20

ve Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı

0,76

olmalıdır.

ANOVA tablosundaki eksik değerler tamamlandığında Hata Kareler Toplamı

600 - 480 = 120

olarak bulunur. Serbestlik dereceleri ise sırasıyla Regresyon için bağımsız değişken sayısı olan

4

, Hata için

24 - 4 = 20

'dir. Kareler Ortalamaları; Regresyon için

480/4=120

, Hata için

120/20=6

'dır. Buradan

F = 120 / 6 = 20

olarak hesaplanır. Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı

(\bar{R}^2)

ise

1 - (\text{Hata KO} / \text{Genel KO}) = 1 - (6 / (600/24)) = 1 - (6/25) = 1 - 0,24 = 0,76

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin (SD) bulunması.

Regresyon SD =

k = 4

, Genel SD =

24

, Hata SD = Genel SD - Regresyon SD =

24 - 4 = 20

.

Varyans analizi tablosunda eksik olan serbestlik derecelerini bulmak, kareler ortalamasını hesaplamak için gereklidir. Genel SD =

n-1

olduğundan,

n = 25

'tir.

2

Kareler Toplamlarının (KT) ve Kareler Ortalamalarının (KO) hesaplanması.

Hata KT =

600 - 480 = 120

. Regresyon KO =

480 / 4 = 120

. Hata KO =

120 / 20 = 6

. Genel KO =

600 / 24 = 25

.

F test istatistiği ve Düzeltilmiş R^2 hesaplamalarında kareler ortalamalarına ihtiyaç duyulur.

3

F test istatistiğinin hesaplanması.

F = \frac{\text{Regresyon KO}}{\text{Hata KO}} = \frac{120}{6} = 20

Modelin genel anlamlılığı, Regresyon Kareler Ortalamasının Hata Kareler Ortalamasına oranı olan F istatistiği ile test edilir.

4

Düzeltilmiş Belirleme Katsayısının

(\bar{R}^2)

hesaplanması.

\bar{R}^2 = 1 - \frac{\text{Hata KO}}{\text{Genel KO}} = 1 - \frac{6}{25} = 1 - 0,24 = 0,76

Standart

R^2

modeldeki değişken sayısını dikkate almaz. Düzeltilmiş

R^2

, serbestlik derecelerini hesaba katarak daha güvenilir bir açıklayıcılık oranı sunar.

Anahtar Kavram

Varyans Analizi Tablosunun Tamamlanması ve Modellerin Açıklayıcılık Oranları

Soru 36Soru →

Bir ekonometrik analizde, bağımlı değişken $Y$ ile bir bağımsız değişken $X_1$ arasındaki ilişki incelenirken, modele dahil olan diğer bir bağımsız değişken $X_2$ 'nin hem $Y$ hem de $X_1$ üzerindeki doğrusal etkisi arındırılmak istenmektedir.

Öte yandan, aynı modele bağımlı değişkeni açıklamada yetersiz olan (katsayısına ait t-istatistiğinin mutlak değeri 1'den küçük olan) yeni bir $X_3$ değişkeni eklenmiştir.

Buna göre; $X_2$ 'nin etkisi arındırıldığında hesaplanması gereken istatistiksel ölçü ile $X_3$ değişkeninin modele eklenmesi sonucunda standart belirleme katsayısı ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirleme katsayısında ( $\bar{R}^2$ ) gerçekleşmesi beklenen değişim yönü aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Kısmi korelasyon katsayısı / Artar / Azalır

Kısmi korelasyon katsayısı / Artar / Artar

Çoklu korelasyon katsayısı / Değişmez / Azalır

Yarı-kısmi korelasyon katsayısı / Azalır / Azalır

Basit korelasyon katsayısı / Artar / Değişmez

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kısmi korelasyon katsayısı / Artar / Azalır

Cevap

Hesaplanması gereken ölçü kısmi korelasyon katsayısıdır. R-kare artarken, düzeltilmiş R-kare azalır.

Üçüncü bir değişkenin etkisinin hem bağımlı hem de bağımsız değişkenden arındırılması kısmi korelasyonun tanımıdır. Regresyon modellerinde açıklayıcılığı ne kadar zayıf olursa olsun yeni bir değişken eklendiğinde standart R-kare artar. Ancak eklenen bu değişkenin t-istatistiği mutlak değerce 1'den küçükse, değişkenin modele getirdiği ek açıklayıcılık serbestlik derecesi cezasını karşılayamaz ve düzeltilmiş R-kare azalır.

Adım Adım Çözüm

1

Kontrol değişkeninin etkisini arındıran istatistiksel ölçüyü belirlemek.

Kısmi korelasyon katsayısı kullanılmalıdır.

Bir bağımsız değişkenin (X2) hem bağımlı değişken (Y) hem de diğer bağımsız değişken (X1) üzerindeki doğrusal etkisi eş anlı olarak sabit tutulduğunda hesaplanan ölçü kısmi korelasyon katsayısıdır.

2

Modele yeni bir değişken eklendiğinde standart R-kare değerinin nasıl değişeceğini analiz etmek.

Standart belirleme katsayısı (R-kare) artar.

En Küçük Kareler (EKK) yöntemi doğası gereği, modele eklenen her yeni değişken, hata kareler toplamını (HKT) azaltır veya aynı bırakır. Bu da R-kare'nin yapay olarak artmasına neden olur.

3

Eklenen yeni değişkenin açıklayıcılığının zayıf olmasının (t < 1) düzeltilmiş R-kare üzerindeki etkisini değerlendirmek.

Düzeltilmiş belirleme katsayısı (Düzeltilmiş R-kare) azalır.

Düzeltilmiş R-kare formülü, modele eklenen her değişken için serbestlik derecesi üzerinden bir ceza uygular. Eklenen değişkenin t-istatistiği mutlak değerce 1'den küçükse, değişkenin modele sağladığı marjinal katkı, serbestlik derecesi kaybından kaynaklanan cezadan daha küçük olur ve düzeltilmiş R-kare düşer.

Anahtar Kavram

Kısmi Korelasyon ve R-Kare Ölçütleri Karşılaştırması

Soru 37Soru →

Bir araştırmacı, zaman serisi verileri kullanarak oluşturduğu doğrusal bir regresyon modeline, bağımlı değişkenin bir dönem gecikmeli değerini ( $Y_{t-1}$ ) açıklayıcı değişken olarak dahil etmiştir. Yapılan varsayım kontrolleri sonucunda, modelin hata terimlerinin birinci mertebeden otoregresif, AR(1), bir süreç izlediği (otokorelasyon içerdiği) tespit edilmiştir.

Bu durumun En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin istatistiksel özellikleri üzerindeki etkisi ve otokorelasyon sorununun sınanmasında kullanılması gereken en uygun test yaklaşımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

EKK tahmincileri sapmalı ve tutarsızdır; otokorelasyonun sınanması için standart Durbin-Watson testi geçerliliğini yitirdiğinden Durbin

h

testi kullanılmalıdır.

EKK tahmincileri sapmasız ancak etkin değildir; otokorelasyonun tespiti için standart Durbin-Watson

d

testinin kullanılması uygun ve yeterlidir.

EKK tahmincileri sapmasız ve tutarlıdır ancak tahmin varyansları yanlıdır; bu nedenle otokorelasyon sınamasında Breusch-Godfrey LM testi tercih edilmelidir.

EKK tahmincileri sapmalı ancak büyük örneklemlerde asimptotik olarak tutarlıdır; ardışık bağımlılığın teşhisi için hata terimlerinin otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) grafiklerinin incelenmesi yeterlidir.

EKK tahmincileri tutarlı ancak etkin değildir; ardışık bağımlılık durumunda otokorelasyonu test etmek için Durbin-Watson

d

istatistiğinin sınır değerleri modele göre yeniden belirlenmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: EKK tahmincileri sapmalı ve tutarsızdır; otokorelasyonun sınanması için standart Durbin-Watson testi geçerliliğini yitirdiğinden Durbin $h$ testi kullanılmalıdır.

Cevap

EKK tahmincilerinin sapmalı ve tutarsız olduğu, otokorelasyon testi için ise standart Durbin-Watson testinin geçerliliğini yitirerek Durbin

h

testinin kullanılması gerektiğini belirten seçenektir.

Modelde bağımlı değişkenin gecikmeli değerinin (

Y_{t-1}

) açıklayıcı değişken olarak kullanılması modeli dinamik hale getirir. Eğer bu modelde hata terimleri ardışık bağımlıysa (otokorelasyon varsa),

Y_{t-1}

ile hata terimi (

u_t

) arasında matematiksel bir korelasyon oluşur. Bu durum içsellik problemine (

E(X,u) \neq 0

) yol açarak En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin hem sapmalı hem de asimptotik olarak tutarsız olmasına neden olur. Ayrıca, açıklayıcı değişkenler arasında gecikmeli bağımlı değişken bulunduğunda standart Durbin-Watson

d

istatistiği 2 değerine doğru yanlılık gösterir ve var olan otokorelasyonu tespit edemez. Bu özel durumda otokorelasyonun sınanması için Durbin'in

h

istatistiği veya Breusch-Godfrey LM testi kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin yapısını ve varsayım ihlalini tanımlama

Modelde açıklayıcı değişken olarak gecikmeli bağımlı değişken (

Y_{t-1}

) bulunmakta ve hata teriminde AR(1) tipi otokorelasyon yer almaktadır.

Sorunun tespiti ve EKK tahmincilerinin özelliklerinin doğru belirlenmesi için modelin statik mi dinamik mi olduğunun tespiti kritik bir başlangıç noktasıdır.

2

EKK tahmincilerinin istatistiksel özelliklerini değerlendirme

Hata terimlerindeki otokorelasyon (

u_t

ile

u_{t-1}

ilişkisi),

Y_{t-1}

'in

u_t

ile ilişkili (korelasyonlu) olmasına yol açar. Bu durum bir içsellik (endogeneity) sorunu yaratır ve EKK tahmincilerini küçük örneklemlerde sapmalı, büyük örneklemlerde ise tutarsız hale getirir.

Otokorelasyonun bilinen standart etkisinden (sadece etkinsizlik) farklı olarak, dinamik modellerde tahmincilerin tutarlılık özelliği de tamamen kaybolur.

3

Uygun istatistiksel sınama yöntemini belirleme

Gecikmeli bağımlı değişkenin varlığında standart Durbin-Watson

d

istatistiği yapısal olarak 2 değerine (otokorelasyon yok yönünde) sapma gösterdiğinden geçersizdir. Bu nedenle geçerliliğini koruyan Durbin

h

istatistiği veya Breusch-Godfrey LM testi kullanılmalıdır.

Yanlış test istatistiği kullanımının, modelde otokorelasyon varken yokmuş gibi hatalı bir sonuca (Tip II hata) yol açmasını engellemektir.

Anahtar Kavram

Dinamik Modellerde Otokorelasyonun Etkileri ve Durbin h Testi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 38Soru →

Bir araştırmacı, bir şehrin konut fiyatlarını tahmin etmek amacıyla kurduğu çoklu doğrusal regresyon modelinde, bağımsız değişkenler arasındaki ilişkileri incelemektedir. Araştırmacı, modele dâhil ettiği "evin metrekare cinsi büyüklüğü" değişkenine ait Tolerans (Tolerance) değerini $0,08$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, modelde karşılaşılan durum ve En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Değişkene ait VIF değeri

12,5

'tir ve bu yüksek değer, EKK tahmin edicilerinin sapmalı (yanlı) ve tutarsız olmasına neden olur.

VIF değeri

12,5

'tir. Çoklu doğrusal bağlantının varlığından söz edebilmek için VIF değerinin

1

'den küçük olması gerektiğinden, bu modelde tahmin ediciler hem sapmasız hem de etkindir.

Değişkene ait VIF (Varyans Şişme Faktörü) değeri

12,5

'tir ve bu durum ciddi bir çoklu doğrusal bağlantı sorununa işaret eder; EKK tahmin edicileri sapmasız kalmaya devam etse de etkinliklerini kaybederler (varyansları büyür).

VIF değeri

\left(1 - \text{Tolerans}\right)

formülüyle

0,92

olarak hesaplanır ve bu durum değişen varyans sorununa neden olarak tahmin edicilerin etkinliğini bozar.

Modeldeki düşük Tolerans değeri ciddi bir otokorelasyon sorunu olduğunu gösterir ve EKK tahmin edicileri sapmasız kalsa da varyansları minimum olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişkene ait VIF (Varyans Şişme Faktörü) değeri $12,5$ 'tir ve bu durum ciddi bir çoklu doğrusal bağlantı sorununa işaret eder; EKK tahmin edicileri sapmasız kalmaya devam etse de etkinliklerini kaybederler (varyansları büyür).

Cevap

Değişkene ait VIF (Varyans Şişme Faktörü) değeri

12,5

'tir ve bu durum ciddi bir çoklu doğrusal bağlantı sorununa işaret eder; EKK tahmin edicileri sapmasız kalmaya devam etse de etkinliklerini kaybederler (varyansları büyür).

Verilen soruda Tolerans (Tolerance) değeri

0,08

olarak verilmiştir. Varyans Şişme Faktörü (VIF) hesaplama formülü

\text{VIF} = \frac{1}{\text{Tolerans}}

şeklindedir. Buna göre hesaplanan

\text{VIF} = \frac{1}{0,08} = 12,5

değeri, kabul edilen eşik değer olan

10

'dan büyük olduğu için modelde ciddi bir çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) sorunu bulunduğunu gösterir. Bu durumun EKK tahmin edicileri üzerindeki en önemli etkisi, tahmin edicilerin 'sapmasızlık' (unbiasedness) özelliğini korumasına rağmen 'etkinlik' (efficiency - minimum varyans) özelliğini bozmasıdır. Katsayıların varyansları şişerek büyür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen Tolerans değerini kullanarak VIF değerini hesaplamak.

\text{VIF} = \frac{1}{\text{Tolerans}} = \frac{1}{0,08} = 12,5

olarak bulunur.

Bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı olup olmadığını test eden temel ölçüt VIF (Varyans Şişme Faktörü) değeridir.

2

Hesaplanan VIF değerini çoklu doğrusal bağlantı eşik değerleriyle karşılaştırmak.

12,5

değeri genel kabul gören

10

eşik değerinden büyük olduğu için modelde şiddetli çoklu doğrusal bağlantı olduğu sonucuna varılır.

VIF değerinin

10

'un üzerinde olması, ilgili bağımsız değişkenin diğer bağımsız değişkenlerle yüksek derecede ilişkili olduğunu kanıtlar.

3

Çoklu doğrusal bağlantı sorununun En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicileri üzerindeki teorik etkilerini belirlemek.

Tahmin ediciler 'sapmasızlık' (yanlılık olmaması) özelliklerini korurlar ancak varyansları büyüdüğü için 'etkinlik' (minimum varyans) özelliklerini yitirirler.

Gauss-Markov varsayımlarına göre, tam çoklu doğrusal bağlantı haricindeki bağlantı sorunları beklentiyi bozmaz ancak katsayıların varyans-kovaryans matrisindeki değerleri şişirir.

Anahtar Kavram

VIF (Varyans Şişme Faktörü) Hesaplaması ve Çoklu Doğrusal Bağlantının Tahmin Edicilere Etkisi

Soru 39Soru →

Bir makroekonomist, gelişmekte olan ülkelerin yıllık büyüme oranlarını ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla çoklu doğrusal regresyon analizi uygulamaktadır. Makroekonomist, başlangıçta modele temel makroekonomik göstergelerden oluşan 4 bağımsız değişken ekleyerek (Model I) tahmin yapmış ve belirtme katsayısını ( $R^2$ ) $0,72$ , düzeltilmiş belirtme katsayısını ( $\bar{R}^2$ ) ise $0,68$ olarak bulmuştur.

Daha sonra modele, teorik olarak ekonomik büyüme ile doğrudan ilişkisi zayıf olduğu düşünülen 'ülkedeki yıllık ortalama güneşli gün sayısı' ( $X_5$ ) değişkenini de ekleyerek yeni bir model (Model II) tahmin etmiştir. Elde edilen Model II sonucunda $R^2$ değerinin $0,73$ 'e yükseldiği, ancak $\bar{R}^2$ değerinin $0,65$ 'e düştüğü görülmüştür. Ayrıca, diğer 4 değişkenin etkisi sabit tutulduğunda $Y$ ile $X_5$ arasındaki kısmi korelasyon katsayısının mutlak değerce sıfıra çok yakın olduğu tespit edilmiştir.

Bu araştırma bulguları dikkate alındığında, modele $X_5$ değişkeninin eklenmesi ve sonuçları hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

X_5

değişkeninin modele eklenmesi hata kareler toplamını (HKT) artırmış, bu durum serbestlik derecesindeki azalmayla birleşerek

\bar{R}^2

değerinin düşmesine neden olmuştur.

X_5

değişkeninin modele sağladığı marjinal açıklayıcılık katkısı serbestlik derecesi kaybını telafi edememiştir ve bu değişkenin katsayısına ait t-istatistiğinin mutlak değeri 1'den küçüktür.

R^2

değerinin artmasına rağmen

\bar{R}^2

değerinin düşmesi, modele eklenen

X_5

değişkeninin diğer bağımsız değişkenlerle tam doğrusal ilişki (kusursuz çoklu doğrusal bağlantı) içinde olduğunu gösterir.

Diğer değişkenler sabit tutulduğunda hesaplanan kısmi korelasyonun sıfıra yakın olması,

X_5

değişkeninin modeldeki En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin sapmalı (biased) hale gelmesine yol açtığını kanıtlar.

\bar{R}^2

değerindeki düşüşün temel matematiksel nedeni, modele yeni değişken eklendiğinde formülün paydasında yer alan toplam serbestlik derecesinin

(n-1)

azalarak

(n-2)

olmasıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_5$ değişkeninin modele sağladığı marjinal açıklayıcılık katkısı serbestlik derecesi kaybını telafi edememiştir ve bu değişkenin katsayısına ait t-istatistiğinin mutlak değeri 1'den küçüktür.

Cevap

X_5

değişkeninin modele sağladığı marjinal açıklayıcılık katkısının serbestlik derecesi kaybını telafi edemediğini ve t-istatistiğinin mutlak değerinin 1'den küçük olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

), modele yeni bir değişken eklendiğinde yalnızca bu değişkenin marjinal katkısı, kaybedilen serbestlik derecesinin (1 birim) cezasını aştığında artar. Matematiksel olarak, modele tek bir değişken eklendiğinde

\bar{R}^2

'nin düşmesi, eklenen bu değişkenin t-istatistiğinin mutlak değerinin 1'den küçük (

|t| < 1

) olduğunu kesin olarak gösterir. Ayrıca, kısmî korelasyonun sıfıra çok yakın olması da bu değişkenin diğer değişkenler modeldeyken bağımlı değişkeni açıklama gücünün çok zayıf olduğunu ve serbestlik derecesi kaybını telafi edemediğini doğrulamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Model I ve Model II arasındaki belirtme katsayılarının değişimini analiz etme

R^2

değeri

0,72

'den

0,73

'e çıkarken,

\bar{R}^2

değeri

0,68

'den

0,65

'e düşmüştür.

Yeni bir değişken eklendiğinde standart

R^2

asla düşmez, ancak

\bar{R}^2

kaybedilen

(n-k)

serbestlik derecesini cezalandırır.

2

\bar{R}^2

'deki düşüşün ekonometrik anlamını değerlendirme

\bar{R}^2

'nin düşmesi, eklenen yeni değişkenin bağımlı değişken üzerindeki açıklayıcılık katkısının çok zayıf olduğunu ve t-istatistiğinin mutlak değerce 1'den küçük (

|t| < 1

) olduğunu gösterir.

Bir regresyon modeline tek bir değişken eklendiğinde

\bar{R}^2

'nin artması için o değişkenin F-istatistiğinin 1'den büyük, dolayısıyla t-istatistiğinin mutlak değerinin 1'den büyük olması matematiksel bir zorunluluktur.

3

Kısmi korelasyon katsayısı bulgusunu yorumlama

Kısmi korelasyonun sıfıra çok yakın olması,

X_5

değişkeninin modele anlamlı bir marjinal katkı sağlamadığını doğrular.

Kısmi korelasyon ile modele sonradan eklenen değişkenin t-istatistiği arasında doğrudan bir orantı vardır; kısmi korelasyon zayıfsa t-istatistiği de zayıftır.

Anahtar Kavram

Kısmi Korelasyon ve Düzeltilmiş R-Kare İlişkisi

Soru 40Soru →

Bir tarım araştırmacısı, buğday tarlalarında kullanılan gübre miktarı ( $X$ , kg/dekar) ile elde edilen ürün verimi ( $Y$ , ton/dekar) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $10$ farklı tarladan veri toplamıştır. Araştırmacı verilerden aşağıdaki özet istatistikleri hesaplamıştır:

$n = 10$
$\bar{X} = 5$
$\bar{Y} = 12$
$\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 = 40$
$\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 60$

Buna göre, bağımlı değişkenin ( $Y$ ) bağımsız değişken ( $X$ ) üzerine regresyonu için En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilen basit doğrusal regresyon denklemi ( $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X

\hat{Y} = 19,5 + 1,5 X

\hat{Y} = 8,67 + 0,67 X

\hat{Y} = 1,5 + 4,5 X

\hat{Y} = 7 + 1,5 X

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X$

Cevap

Doğru tahmin edilen regresyon denklemi

\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X

şeklindedir.

Verilen özet istatistikler kullanılarak eğim parametresi

\hat{\beta}_1 = \frac{60}{40} = 1,5

olarak bulunur. Sabit terim ise ortalamalar yardımıyla

\hat{\beta}_0 = 12 - (1,5 \times 5) = 4,5

olarak hesaplanır. Bu değerler denkleme yerleştirildiğinde

\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X

doğrusu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğim parametresinin (

\hat{\beta}_1

) hesaplanması

\hat{\beta}_1 = \frac{60}{40} = 1,5

EKK yönteminde eğim katsayısı, X ve Y arasındaki ortak değişimin (kovaryansın pay kısmı), X'in kendi içindeki değişimine (varyansın pay kısmı) bölünmesiyle bulunur:

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}

2

Sabit terimin (

\hat{\beta}_0

) hesaplanması

\hat{\beta}_0 = 12 - (1,5 \times 5) = 12 - 7,5 = 4,5

Regresyon doğrusu mutlaka değişkenlerin ortalamalarından (

\bar{X}

,

\bar{Y}

) geçmek zorundadır. Bu nedenle sabit terim

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}

formülüyle hesaplanır.

3

Regresyon denkleminin oluşturulması

\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X

Bulunan parametre değerleri genel model denklemi olan

\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X

ifadesinde yerine konur.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda EKK Tahmincilerinin Formülleri

Regresyon Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap