Düzeltme ve Arındırma Yöntemleri (Hareketli Ortalamalar, Üstel Düzeltme) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Bir perakende mağazasının belirli bir ürüne ait ilk 4 aylık satış miktarları sırasıyla aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Dönem ( $t$ )	Gerçekleşen Satış ( $Y_t$ )
1	40
2	50
3	60
4	40

Mağaza yönetimi, gelecek dönem satışlarını öngörmek için düzeltme katsayısını $\alpha = 0,4$ alarak Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Başlangıç tahmini olarak 1. ayın gerçekleşen değeri alınmıştır ( $F_2 = Y_1$ ).

Buna göre, 2., 3. ve 4. aylar dikkate alınarak hesaplanan Ortalama Mutlak Hata (MAE) ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

MAE = 12,13 ; MSE = 154,72

MAE = 9,10 ; MSE = 116,04

MAE = 5,20 ; MSE = 154,72

MAE = 12,80 ; MSE = 167,79

MAE = 36,40 ; MSE = 464,16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: MAE = 12,13 ; MSE = 154,72

Cevap

Hesaplamalar sonucunda MAE değeri 12,13 ve MSE değeri 154,72 olarak bulunmalıdır.

Basit üstel düzeltme uygulamasında ilk olarak ilgili dönemler için formül dikkatlice uygulanıp sırasıyla 40, 44 ve 50,4 öngörüleri bulunmalıdır. İkinci adımda gerçek satışlar ile bu öngörüler arasındaki hatalar sırasıyla 10, 16 ve -10,4 olarak tespit edilir. Son olarak MAE için mutlak hataların toplamı (36,4) üçe bölünür ve 12,13 elde edilir. MSE içinse hataların kareleri toplamı (464,16) üçe bölünür ve 154,72 elde edilir. Her iki metriği de doğru hesaplayan değerler sadece bu seçenekte verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme yöntemi formülü olan

F_{t} = \alpha Y_{t-1} + (1-\alpha) F_{t-1}

kullanılarak öngörü değerlerinin hesaplanması.

F_2 = 40

(Başlangıç),

F_3 = 0,4(50) + 0,6(40) = 44

,

F_4 = 0,4(60) + 0,6(44) = 50,4

Öngörü hatalarını hesaplayabilmek için öncelikle gerçekleşen değerlerle kıyaslanacak olan öngörü değerlerinin tek tek bulunması gerekir.

2

Her bir dönemin hata miktarının (

e_t = Y_t - F_t

) bulunması.

e_2 = 50 - 40 = 10

,

e_3 = 60 - 44 = 16

,

e_4 = 40 - 50,4 = -10,4

MAE ve MSE metrikleri, gerçekleşen ile öngörülen arasındaki bu sapma (hata) değerleri üzerinden hesaplanır.

3

Ortalama Mutlak Hata (MAE) değerinin formüle edilmesi ve hesaplanması.

MAE

= (|10| + |16| + |-10,4|) / 3 = 36,4 / 3 \approx 12,13

MAE hesaplamasında tüm hataların mutlak değeri toplanmalı ve hata hesaplanan dönem sayısına (

n=3

) bölünmelidir.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerinin formüle edilmesi ve hesaplanması.

MSE

= (10^2 + 16^2 + (-10,4)^2) / 3 = (100 + 256 + 108,16) / 3 = 464,16 / 3 = 154,72

MSE hesaplamasında tüm hataların karesi toplanmalı ve hata hesaplanan dönem sayısına (

n=3

) bölünmelidir.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme ile Öngörü ve Hata Ölçütleri (MAE, MSE)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, hastanelerin acil servislerine yapılan haftalık başvuru sayılarını tahmin etmek amacıyla üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır.

Müdürlük, modeldeki düzeltme katsayısını ( $\alpha$ ) $0,30$ olarak belirlemiştir. Belirli bir hastane için $t$ haftasında gerçekleşen başvuru sayısı $200$ , aynı hafta için yapılan tahmin ise $180$ 'dir. Bir sonraki hafta olan $t+1$ haftasında ise acil servise $210$ başvuru gerçekleşmiştir.

Buna göre, bu hastane için $t+2$ haftasına ait acil servis başvuru tahmini ( $F_{t+2}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

186,0

189,0

193,2

195,0

205,2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 193,2

Cevap

Doğru tahmin değeri 193,2'dir.

t+2

dönemi tahminini bulmak için ardışık iki adımda üstel düzeltme formülü (

F_{t+1} = F_t + \alpha(A_t - F_t)

) uygulanmalıdır. İlk olarak

t+1

dönemi tahmini hesaplanır:

F_{t+1} = 180 + 0,30 \times (200 - 180) = 186

. Daha sonra bulunan bu güncel tahmin değeri kullanılarak

t+2

dönemi tahmini elde edilir:

F_{t+2} = 186 + 0,30 \times (210 - 186) = 186 + 7,2 = 193,2

.

Adım Adım Çözüm

1

t+1

haftası için başvuru tahmininin (

F_{t+1}

) hesaplanması

F_{t+1} = 180 + 0,3 \times (200 - 180) = 186,0

t+2

tahminini bulabilmek için öncelikle bir önceki dönemin güncel tahmin değerinin formül yardımıyla elde edilmesi gerekir.

2

t+2

haftası için başvuru tahmininin (

F_{t+2}

) hesaplanması

F_{t+2} = 186 + 0,3 \times (210 - 186) = 186 + 7,2 = 193,2

Bulunan

F_{t+1}

değeri ve

t+1

dönemindeki gerçek başvuru sayısı kullanılarak

t+2

dönemi için nihai öngörü elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Yöntemi ile Ardışık Tahmin

Soru 3Soru →

Bir il göç idaresi müdürlüğü, kuruma yapılan haftalık ikamet izni başvuru sayılarını tahmin etmek amacıyla üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Tahmin modelinde düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) $0,4$ olarak belirlenmiştir.

Müdürlüğün mayıs ayının ilk iki haftasına ait başvuru verileri ve birinci hafta için yaptığı tahmin aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta	Gerçekleşen Başvuru ( $Y_t$ )	Tahmin Edilen Başvuru ( $F_t$ )
1. Hafta	450	400
2. Hafta	480	-

Buna göre, müdürlüğün mayıs ayının üçüncü haftası için yapacağı ikamet izni başvuru sayısı tahmini ( $F_3$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

432

460

444

465

492

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 444

Cevap

Mayıs ayının üçüncü haftası için yapılacak olan ikamet izni başvuru sayısı tahmini 444'tür.

Üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin tahmini, formüle göre ardışık olarak hesaplanır:

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

. Tablodaki verilere göre ilk olarak 2. haftanın tahmini bulunur:

F_2 = 400 + 0,4 \times (450 - 400) = 420

. Daha sonra bu yeni değer kullanılarak 3. haftanın tahmini hesaplanır:

F_3 = 420 + 0,4 \times (480 - 420) = 420 + 0,4 \times 60 = 444

. Doğru hesaplama sonucu 444 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci hafta için tahmin değerinin (

F_2

) hesaplanması

F_2 = 420

Üstel düzeltme formülü

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

gereği, ilk olarak bilinen 1. hafta verileri kullanılarak 2. haftanın tahmini bulunmalıdır:

400 + 0,4 \times (450 - 400) = 420

.

2

Üçüncü hafta için tahmin değerinin (

F_3

) hesaplanması

F_3 = 444

Hesaplanan 2. hafta tahmini ve tabloda verilen 2. hafta gerçekleşen değeri formülde yerine konulur:

420 + 0,4 \times (480 - 420) = 444

.

Anahtar Kavram

Üstel Düzeltme Yöntemi ile Ardışık Öngörü

Soru 4Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğünde, haftalık olarak yapılan belirli bir işleme ait başvuru sayıları incelenmektedir. Müdürlük, 5. haftanın başvuru sayısını tahmin etmek için iki farklı yöntem kullanmış ve her iki yöntemde de aynı tahmin değerini elde etmiştir.

Kullanılan yöntemler şunlardır:
I. Yöntem: Son 3 haftanın verisine dayalı Basit Hareketli Ortalama.
II. Yöntem: Düzeltme katsayısı $\alpha = 0,5$ alınarak hesaplanan Basit Üstel Düzeltme.

İlk 4 haftaya ait gerçekleşen başvuru sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen Başvuru Sayısı ( $Y_t$ )
1	40
2	60
3	70
4	$X$

Basit üstel düzeltme yönteminde 2. hafta için başlangıç tahmini, 1. haftanın gerçekleşen değerine eşit alınmıştır ( $F_2 = Y_1 = 40$ ).

Buna göre, 4. haftada gerçekleşen başvuru sayısı ( $X$ ) kaçtır?

50

70

80

110

140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

4. haftada gerçekleşen başvuru sayısı 80'dir.

Doğru cevap, 3 dönemlik basit hareketli ortalama (

F_5 = \frac{130 + X}{3}

) ile basit üstel düzeltme tahmininin (

F_5 = 30 + 0,5X

) birbirine eşitlenmesiyle elde edilen doğrusal denklemin çözümünden 80 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Basit Hareketli Ortalama (BHO) yöntemiyle 5. hafta tahmininin (

F_5

)

X

cinsinden ifade edilmesi.

3 dönemlik BHO için son 3 veri (

Y_2, Y_3, Y_4

) kullanılır:

F_5 = \frac{60 + 70 + X}{3} = \frac{130 + X}{3}

Hareketli ortalama, tahmin edilecek dönemden hemen önceki n adet gözlemin aritmetik ortalamasıdır.

2

Basit Üstel Düzeltme yöntemiyle 5. hafta tahmininin (

F_5

) ardışık (iteratif) olarak hesaplanması.

F_2 = 40

F_3 = 40 + 0,5(60 - 40) = 50

F_4 = 50 + 0,5(70 - 50) = 60

F_5 = 60 + 0,5(X - 60) = 30 + 0,5X

Üstel düzeltme formülü

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

olup, serideki her yeni bilgi eklendiğinde tahmin güncellenerek 5. döneme ulaşılmalıdır.

3

Elde edilen iki tahmin denkleminin birbirine eşitlenerek

X

değerinin bulunması.

\frac{130 + X}{3} = 30 + 0,5X \implies 130 + X = 90 + 1,5X \implies 40 = 0,5X \implies X = 80

Soruda 5. hafta için iki farklı yöntemle elde edilen tahmin değerlerinin birbirine eşit olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinde Düzeltme Yöntemlerinin Karşılaştırmalı Uygulaması

Soru 5Soru →

Bir gümrük müdürlüğünden aylık olarak geçen ticari araç sayıları (bin adet) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay	Gerçekleşen Değer ( $Y_t$ )
Ocak	$12$
Şubat	$15$
Mart	$14$

Bu gümrük kapısının bağlı olduğu bölge müdürlüğü, Nisan ayı ticari araç trafiğini öngörebilmek için iki farklı yaklaşımı karşılaştırmak istemektedir:

I. Yaklaşım: Ağırlıkları en yakın dönemden en uzak döneme doğru sırasıyla $0{}5$ , $0{}3$ ve $0{}2$ olarak belirlenen 3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yöntemi.
II. Yaklaşım: Düzeltme parametresi $\alpha = 0{}4$ olan üstel düzeltme yöntemi (Mart ayı için bu yöntemle yapılmış olan öngörü değeri $13$ bin adettir).

Buna göre, I. ve II. yaklaşımlar kullanılarak Nisan ayı için hesaplanan öngörü değerleri (bin adet) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

13{}9

ve

13{}4

13{}9

ve

13{}6

13{}3

ve

13{}4

13{}3

ve

13{}6

13{}67

ve

13{}4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13{}9$ ve $13{}4$

Cevap

Nisan ayı için I. yaklaşımla

13{}9

, II. yaklaşımla ise

13{}4

öngörü değerleri bulunmuştur.

I. Yaklaşıma göre Nisan ayı öngörüsü, en yakın dönemden en uzak döneme doğru ağırlıklandırılarak

(0{}5 \times 14) + (0{}3 \times 15) + (0{}2 \times 12) = 13{}9

olarak bulunur. II. Yaklaşıma göre ise üstel düzeltme formülü kullanılarak

0{}4 \times 14 + 0{}6 \times 13 = 13{}4

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

I. Yaklaşım (Ağırlıklı Hareketli Ortalama) için ağırlıkları sırasıyla doğru aylara atayarak hesaplama yapın.

F_{\text{Nisan}} = (0{}5 \times 14) + (0{}3 \times 15) + (0{}2 \times 12)

= 7{}0 + 4{}5 + 2{}4 = 13{}9

Zaman serilerinde öngörü yapılırken, ağırlıklı hareketli ortalama yönteminde genellikle en yakın döneme (Mart) en yüksek ağırlık (

0{}5

), en uzak döneme (Ocak) en düşük ağırlık (

0{}2

) verilir.

2

II. Yaklaşım (Üstel Düzeltme) formülünü uygulayın.

F_{\text{Nisan}} = \alpha \times Y_{\text{Mart}} + (1 - \alpha) \times F_{\text{Mart}}

= 0{}4 \times 14 + (1 - 0{}4) \times 13

= 5{}6 + 0{}6 \times 13

= 5{}6 + 7{}8 = 13{}4

Üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin öngörüsü hesaplanırken; cari dönemin gerçekleşen değerine

\alpha

, cari dönemin öngörü değerine ise

(1-\alpha)

katsayısı uygulanarak toplanır.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde ağırlıklı hareketli ortalamalar ve üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemleri ile dönem tahmini.

Soru 6Soru →

Bir elektrik dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki haftalık trafo arıza bildirim sayılarını tahmin etmek için $3$ dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yöntemini kullanmaktadır. Şirket, tahminlerinde en güncel döneme $0{}5$ , bir önceki döneme $0{}3$ ve en eski döneme $0{}2$ ağırlık vermektedir.

Aşağıdaki tabloda son dört haftaya ait arıza bildirim sayıları verilmiştir:

Hafta	Arıza Sayısı ( $Y_t$ )
1	200
2	240
3	210
4	270

Buna göre, 5. hafta için beklenen arıza bildirim sayısı kaçtır?

217

237

240

246

249

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 246

Cevap

5. hafta için beklenen arıza bildirim sayısı 246'dır.

3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama ile 5. dönemi tahmin etmek için 4., 3. ve 2. dönemin verileri kullanılır. En güncel veriye en yüksek ağırlık verilerek

F_5 = 0{}5 \times Y_4 + 0{}3 \times Y_3 + 0{}2 \times Y_2

denklemi kurulur. Verilen değerler yerine konduğunda sonuç

(0{}5 \times 270) + (0{}3 \times 210) + (0{}2 \times 240) = 135 + 63 + 48 = 246

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edilecek dönem için kullanılacak geçmiş verileri ve ağırlıklarını belirleme.

5. haftayı tahmin etmek için 4., 3. ve 2. hafta verileri kullanılacaktır. Ağırlıklar:

W_1 = 0{}5

(4. hafta),

W_2 = 0{}3

(3. hafta),

W_3 = 0{}2

(2. hafta).

3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yönteminde, tahmin edilecek dönemden hemen önceki 3 dönem dikkate alınır.

2

Ağırlıklı hareketli ortalama formülünü uygulama.

F_5 = (0{}5 \times 270) + (0{}3 \times 210) + (0{}2 \times 240)

Her bir geçmiş dönem verisi, o döneme atanan ağırlık katsayısı ile çarpılarak toplanır.

3

Çarpma ve toplama işlemlerini gerçekleştirme.

F_5 = 135 + 63 + 48 = 246

Matematiksel işlemler sonucunda 5. dönemin öngörü değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalama

Soru 7Soru →

Bir liman işletmesinde aylık olarak elleçlenen konteyner sayıları (bin TEU) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen Değer ( $Y_t$ )
1	120
2	130
3	110
4	140
5	150

İşletme yönetimi, gelecek dönemin (6. ay) elleçleme miktarını tahmin etmek için $3$ dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yöntemini kullanmaya karar vermiştir. Tahmin modelinde kullanılacak ağırlıklar, en yakın dönemden en uzak döneme doğru sırasıyla $0{}5$ , $0{}3$ ve $0{}2$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, işletmenin 6. ay için beklediği konteyner elleçleme tahmini (bin TEU) aşağıdakilerden hangisidir?

127

129

133{}3

139

143

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $139$

Cevap

Hesaplamalar sonucunda işletmenin 6. ay için beklediği tahmini değer 139'dur.

Ağırlıklı hareketli ortalama yönteminde, tahmin edilecek döneme en yakın olan gözlemlere daha yüksek, uzak olanlara ise daha düşük ağırlık verilir.

6

. ayın tahmini için

3

dönemlik (

t=3, 4, 5

) veriler kullanılacaktır. Soruda verilen ağırlıklar en yakından en uzağa doğru sırasıyla

w_1 = 0{}5

,

w_2 = 0{}3

ve

w_3 = 0{}2

'dir. Formüle yerleştirdiğimizde:

F_6 = (w_1 \cdot Y_5) + (w_2 \cdot Y_4) + (w_3 \cdot Y_3)

F_6 = (0{}5 \cdot 150) + (0{}3 \cdot 140) + (0{}2 \cdot 110)

F_6 = 75 + 42 + 22 = 139

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tahminde kullanılacak en güncel

3

dönemin gerçekleşen değerlerini tespit etme.

Y_5 = 150

,

Y_4 = 140

,

Y_3 = 110

6

. ayı tahmin etmek için

3

dönemlik hareketli ortalama hesaplanacağından formüle

3.

,

4.

ve

5.

ay verileri dahil edilmelidir.

2

Verilen ağırlıkları ilgili dönemlerle eşleştirme.

w_1 = 0{}5

(

t=5

için),

w_2 = 0{}3

(

t=4

için),

w_3 = 0{}2

(

t=3

için)

Soruda belirtilen 'en yakın dönemden en uzak döneme doğru' kuralı gereği, en yakın geçmiş olan

5.

aya en yüksek ağırlık verilmelidir.

3

Ağırlıklı hareketli ortalama formülünü (

F_{t+1} = \sum w_i \cdot Y_{t-i+1}

) uygulama.

F_6 = (0{}5 \cdot 150) + (0{}3 \cdot 140) + (0{}2 \cdot 110) = 139

Belirlenen veriler ve ağırlıklar çarpılıp toplandığında

75 + 42 + 22 = 139

sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar (Weighted Moving Averages)

Soru 8Soru →

Bir e-ticaret platformunun müşteri hizmetleri merkezine ulaşan günlük iade talebi sayıları, basit üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemi kullanılarak tahmin edilmektedir. İlk üç güne ait gerçekleşen iade talepleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gün ( $t$ )	Gerçekleşen Talep ( $Y_t$ )
1	50
2	75
3	85

Sisteme kaydedilen verilere göre, 2. gün için yapılan başlangıç tahmini ( $F_2$ ) $50$ olarak alınmıştır.

Bu veriler kullanılarak 4. gün için yapılan iade talebi tahmini ( $F_4$ ) $70$ olarak hesaplandığına göre, tahmin modelinde kullanılan düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0.25

0.40

0.50

0.60

0.80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.40

Cevap

Doğru katsayı 0.40'tır.

4. günün tahmin değerine (

F_4 = 70

) ulaşabilmek için formülü 3. ve 4. gün için adım adım uygulamak gerekir. Önce

F_3 = 50 + 25\alpha

bulunur. Ardından

F_4 = \alpha Y_3 + (1-\alpha)F_3

formülünde yerine konulduğunda

50 + 60\alpha - 25\alpha^2 = 70

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 2 ve 0.40'tır. Katsayı

0 < \alpha < 1

sınırları içinde olması gerektiğinden doğru değer 0.40'tır.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme genel tahmin formülünü (

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha) F_t

) hatırlamak.

Gelecek dönem tahmini için formül altyapısı kurulur.

Zaman serisi tahminlerinde güncel gözlem ile güncel tahminin ağırlıklı ortalaması alınarak iteratif bir yol izlenir.

2

3. gün için tahmin değerini (

F_3

) bilinmeyen

\alpha

cinsinden elde etmek.

F_3 = \alpha(75) + (1-\alpha)(50) = 50 + 25\alpha

denklemi bulunur.

4. günün tahminine ulaşmak için ardışık olarak bir önceki günün (3. gün) tahmininin hesaplanması zorunludur.

3

4. gün için tahmin değerini (

F_4

) formülize etmek ve verilen 70 sonucuna eşitlemek.

F_4 = \alpha(85) + (1-\alpha)(50 + 25\alpha) = 70

eşitliği kurulur.

Soruda 4. gün tahmini 70 olarak verildiği için, iteratif denklemi bu değere eşitleyerek

\alpha

katsayısını veren ana denkleme ulaşılır.

4

Elde edilen

50 + 60\alpha - 25\alpha^2 = 70

denklemini düzenleyip köklerini bulmak.

25\alpha^2 - 60\alpha + 20 = 0 \implies 5\alpha^2 - 12\alpha + 4 = 0

. Denklemin kökleri

\alpha = 2

ve

\alpha = 0.40

olarak hesaplanır.

Matematiksel çözümü tamamlayarak olası katsayı değerlerini tespit etmemiz gerekir.

5

Düzeltme katsayısının teorik sınırlarına (

0 < \alpha < 1

) uygun olan kökü seçmek.

\alpha = 2

değeri sınırlar dışında kaldığından, geçerli düzeltme katsayısı

\alpha = 0.40

olarak belirlenir.

Üstel düzeltme katsayısı

\alpha

daima 0 ile 1 arasında bir olasılık / ağırlık değeri almak zorundadır.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme Yöntemi ile İteratif Parametre Hesaplama

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

Bir kamu kurumunda görevli veri analisti, aylık vergi tahsilat tutarlarını tahmin etmek için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Analist, elde ettiği tahminlerin seride son dönemde ortaya çıkan yapısal değişikliklere ve ani dalgalanmalara yeterince hızlı tepki veremediğini gözlemlemiştir.

Modelin güncel verilere daha duyarlı hale gelmesini sağlamak isteyen analistin, düzeltme parametresi ( $\alpha$ ) üzerinde yapması gereken değişiklik ve bu parametrenin teorik tanım aralığı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

\alpha

değerini,

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde büyütmelidir.

\alpha

değerini,

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde küçültmelidir.

\alpha

değerini,

-1 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde büyütmelidir.

\alpha

değerini,

-1 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde küçültmelidir.

\alpha

değerini,

1

'den büyük bir değere eşitleyerek son gözlemin etkisini artırmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\alpha$ değerini, $0 \leq \alpha \leq 1$ aralığında kalacak şekilde büyütmelidir.

Cevap

Tahminlerin güncel verilere daha hızlı tepki vermesi için

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında tanımlı olan düzeltme katsayısı (

\alpha

) büyütülmelidir.

Basit üstel düzeltme yönteminde

\alpha

parametresi

0

ile

1

arasında değerler alan bir ağırlıklandırma faktörüdür. Yeni tahmin değeri, mevcut dönemin gerçek değeri ile bir önceki dönemin tahmin değerinin ağırlıklı ortalaması alınarak hesaplanır.

\alpha

'nın büyük seçilmesi (1'e yaklaştırılması), son gerçekleşen gözleme verilen ağırlığı artırır ve böylece tahminlerin serideki ani dalgalanmalara veya şoklara daha hızlı tepki vermesini (duyarlı olmasını) sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme modelinin matematiksel formülü incelenir.

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha) F_t

Modelin işleyişini ve

\alpha

'nın mevcut gözlem ile geçmiş tahminler arasındaki ağırlıklandırma rolünü görmek için formüle ihtiyaç vardır.

2

\alpha

parametresinin teorik sınırları belirlenir.

\alpha

bir ağırlık oranı (yüzdesi) olduğu için her zaman

0

ile

1

arasında (

0 \leq \alpha \leq 1

) değer alır.

Ağırlıkların toplamının 1'e (

%100

) eşit olması gerektiğinden parametre negatif olamaz veya 1'i aşamaz.

3

\alpha

değerinin büyüklüğünün tahmin duyarlılığı üzerindeki etkisi analiz edilir.

\alpha

değerinin

1

'e yaklaşması (büyütülmesi), en son gerçekleşen gözleme (

Y_t

) tahminde verilen ağırlığı artırır;

0

'a yaklaşması ise geçmiş verilere (

F_t

) daha fazla ağırlık verir.

Analistin problemi, modelin son dönemdeki dalgalanmalara yeterince hızlı tepki vermemesidir, dolayısıyla son gözlemin ağırlığı artırılmalıdır.

4

Analistin yapması gereken eylem tanımlanır.

Güncel verilere duyarlılığı artırmak için

\alpha

değeri

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde büyütülmelidir.

En son gözlemin tahmindeki ağırlığı artırıldığında model, meydana gelen ani şoklara çok daha çabuk uyum sağlar.

Anahtar Kavram

Basit üstel düzeltmede düzeltme katsayısının (

\alpha

) özellikleri ve tahmin duyarlılığına etkisi

Soru 10Soru →

Bir turizm acentesi, bir tatil beldesine yönelik haftalık otel rezervasyon iptal sayılarını tahmin etmek için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır.

Acente kayıtlarına göre;
- $1.$ hafta için yapılan iptal tahmini $10$ , gerçekleşen iptal sayısı ise $15$ 'tir.
- $2.$ haftada gerçekleşen iptal sayısı $9$ 'dur.
- $3.$ hafta için hesaplanan iptal tahmini ise $10,8$ 'dir.

Buna göre, acentenin tahmin modelinde kullandığı düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) kaçtır?

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,4$

Cevap

Acentenin tahmin modelinde kullandığı düzeltme katsayısı (

\alpha

)

0,4

'tür.

Basit üstel düzeltme yönteminde her yeni tahmin, bir önceki tahmin ile o dönemin hata miktarının

\alpha

katsayısıyla düzeltilmesiyle bulunur. İki ardışık dönem için formül art arda uygulandığında, bilinen değerler yerine konulur ve bilinmeyen

\alpha

için

5\alpha^2 - 4\alpha + 0,8 = 0

denklemi elde edilir. Bu ikinci dereceden denklemin tam kare çözümü

\alpha = 0,4

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme yönteminin ardışık tahmin formülünün yazılması.

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

Her dönemin tahmini, bir önceki dönemin tahmini ile o dönemin tahmin hatasının

\alpha

katsayısıyla çarpımının toplamından elde edilir.

2

2.

hafta (

F_2

) için tahmin denkleminin

\alpha

'ya bağlı olarak oluşturulması.

F_2 = 10 + \alpha(15 - 10) = 10 + 5\alpha

1.

haftanın gerçekleşen (

Y_1 = 15

) ve tahmin edilen (

F_1 = 10

) değerleri kullanılarak bir sonraki dönemin tahmini formüle edilir.

3

3.

hafta (

F_3

) için tahmin denkleminin oluşturulması ve verilen değere eşitlenmesi.

F_3 = (10 + 5\alpha) + \alpha(9 - (10 + 5\alpha)) = 10,8

Aynı mantıkla

3.

hafta tahmini,

2.

haftanın formüle edilen tahmini ve gerçekleşen değeri (

Y_2 = 9

) üzerinden yazılarak bilinen

10,8

değerine eşitlenir.

4

Oluşan ikinci dereceden denklemin düzenlenerek çözülmesi.

10,8 = 10 + 5\alpha - \alpha - 5\alpha^2 \implies 5\alpha^2 - 4\alpha + 0,8 = 0 \implies (5\alpha - 2)^2 = 0 \implies \alpha = 0,4

Polinom genişletilip standart ikinci dereceden denklem formatına getirildiğinde tek bir çakışık kök elde edilir ve bu kök aranan düzeltme katsayısıdır.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing) Yönteminde Ardışık Tahmin Denklemleri

Soru 11Soru →

Bir lojistik firmasının haftalık taşıdığı kargo tonajını tahmin etmek için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemi kullanılmaktadır. Bu firmanın 15. hafta için kargo tonajı tahmini $400$ ton olarak hesaplanmış, ancak 15. haftanın gerçekleşen verileri sisteme girildikten sonra 16. hafta için yapılan tahmin $415$ ton olarak güncellenmiştir.

Tahmin modelinde kullanılan düzeltme katsayısı (düzleştirme parametresi) $\alpha = 0,25$ olduğuna göre, bu firmanın 15. haftada taşıdığı fiili kargo miktarı kaç tondur?

340

412

420

430

460

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 460

Cevap

Doğru cevap 460 tondur.

Basit üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin tahmini, mevcut dönemin tahmini ile mevcut dönemin tahmin hatasının

\alpha

ile çarpımının toplamına eşittir. Denklem

415 = 400 + 0,25 \times (Y_{15} - 400)

şeklinde kurulduğunda, hata payının

15 / 0,25 = 60

olduğu görülür. Bu hata payı 15. hafta tahminine eklendiğinde fiili değer

400 + 60 = 460

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme yönteminin genel formülünü yazınız.

F_{t+1} = F_t + \alpha (Y_t - F_t)

16. haftanın tahminini, 15. haftanın tahmini ve gerçekleşen değeri üzerinden ifade etmek için bu temel eşitlik kullanılır.

2

Soruda verilen bilinen değerleri formülde yerlerine koyunuz.

Verilenler:

F_{15} = 400

,

F_{16} = 415

,

\alpha = 0,25

. Formüle yerleştirildiğinde:

415 = 400 + 0,25 \times (Y_{15} - 400)

Bilinmeyen fiili değeri (

Y_{15}

) yalnız bırakabilmek için öncelikle mevcut verilerle denklemi oluşturmak gerekir.

3

Oluşturulan birinci dereceden denklemi

Y_{15}

için çözünüz.

415 - 400 = 0,25 \times (Y_{15} - 400) \implies 15 = 0,25 \times (Y_{15} - 400) \implies 15 / 0,25 = Y_{15} - 400 \implies 60 = Y_{15} - 400 \implies Y_{15} = 460

Basit cebirsel işlemlerle 15. haftanın gerçekleşen fiili kargo miktarı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing)

Alternatif Yöntem

Formülü

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha)F_t

şeklinde yazarak, ağırlıklı ortalama gibi düşünüp çözüme ulaşabilirsiniz:

415 = 0,25 Y_{15} + 0,75(400)

eşitliğinden

0,25 Y_{15} = 115

ve buradan

Y_{15} = 460

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Devlet Su İşleri (DSİ), tarımsal sulama amacıyla kullanılan bir barajın aylık doluluk hacimlerini (milyon $m^3$ ) izlemektedir. İlgili barajın son 5 aylık gerçekleşen doluluk hacimleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen Hacim ( $Y_t$ )
1	120
2	110
3	130
4	150
5	140

DSİ uzmanları, baraj doluluk hacmini öngörmek için 3 aylık ağırlıklı hareketli ortalama yöntemini kullanmaktadır. Bu modelde en güncel aya $0.5$ , bir önceki aya $0.3$ ve iki önceki aya $0.2$ ağırlık verilmektedir.

Buna göre, barajın 6. ay için öngörülen doluluk hacmi ( $F_6$ ) kaç milyon metreküptür?

122

136

138

140

141

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 141

Cevap

Barajın 6. ay için öngörülen doluluk hacmi 141 milyon metreküptür.

Ağırlıklı hareketli ortalama hesaplanırken, tahmin edilecek dönemden hemen önceki dönemlerin gerçekleşen değerleri belirlenen ağırlıklarla çarpılarak toplanır. 6. dönemi (

F_6

) öngörmek için 5., 4. ve 3. aylara ait veriler kullanılır. İşlem adımı:

(140 \times 0.5) + (150 \times 0.3) + (130 \times 0.2) = 70 + 45 + 26 = 141

milyar metreküp bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kullanılacak döneme ait verileri ve ağırlık formülünü belirleme.

F_{t+1} = w_1Y_t + w_2Y_{t-1} + w_3Y_{t-2}

genel formülünde

t=5

olarak alınır.

6. dönemi tahmin edebilmek için ona en yakın ve gerçekleşmiş olan geçmiş 3 dönemin (5, 4 ve 3. aylar) verilerine ihtiyaç vardır.

2

Ağırlıkları ilgili aylardaki gerçekleşen hacim değerleriyle eşleştirme.

5. ay değeri

Y_5=140

(ağırlık

0.5

), 4. ay değeri

Y_4=150

(ağırlık

0.3

) ve 3. ay değeri

Y_3=130

(ağırlık

0.2

) olarak eşleştirilir.

Soruda en güncel aya en yüksek ağırlık (

0.5

), geçmişe doğru gittikçe sırasıyla

0.3

ve

0.2

ağırlık verilmesi istenmiştir.

3

Formülde değerleri yerine koyarak matematiksel işlemi tamamlama.

F_6 = (0.5 \times 140) + (0.3 \times 150) + (0.2 \times 130) = 70 + 45 + 26 = 141

.

Ağırlıklı hareketli ortalama yöntemi gereği, her bir dönemin verisi kendi ağırlığı ile çarpılıp toplanarak bir sonraki dönemin tahmini elde edilir.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalama

Soru 13Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından yürütülen sertifikalı tohum desteği programına yapılan aylık başvuru sayıları basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemi ile takip edilmektedir. Düzeltme katsayısının ( $\alpha$ ) 0,2 olduğu bu modelde, Nisan ayı için yapılan öngörü ( $F_{\text{Nisan}}$ ) 1500 adet, gerçekleşen başvuru sayısı ( $A_{\text{Nisan}}$ ) ise 1700 adet olarak kaydedilmiştir.

Veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Ay	Gerçekleşen ( $A_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
Nisan	1700	1500
Mayıs	1600	?
Haziran	-	?

Buna göre, modelin Haziran ayı için üreteceği öngörü değeri ( $F_{\text{Haziran}}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

1528

1540

1552

1580

1600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1552

Cevap

Haziran ayı için öngörülen değer 1552 adettir.

Basit üstel düzeltme yöntemi,

F_{t+1} = F_t + \alpha(A_t - F_t)

formülü ile çalışır. Nisan ayı verileriyle Mayıs ayı tahmini

1500 + 0,2(1700 - 1500) = 1540

olarak bulunur. Ardından bu değer ve Mayıs ayı gerçekleşen değeri (

1600

) kullanılarak Haziran tahmini

1540 + 0,2(1600 - 1540) = 1552

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Mayıs ayı öngörü değerini (

F_{\text{Mayıs}}

) hesaplamak için Nisan verilerini formüle yerleştirin.

F_{\text{Mayıs}} = 1500 + 0,2 \times (1700 - 1500) = 1540

Basit üstel düzeltmede bir sonraki dönemin öngörüsü, mevcut dönemin öngörüsü ile gerçekleşen değer arasındaki hatanın düzeltme katsayısı ile ağırlıklandırılmasıyla bulunur.

2

Haziran ayı öngörü değerini (

F_{\text{Haziran}}

) hesaplamak için Mayıs ayı öngörüsü ve Mayıs ayı gerçekleşen değerini kullanın.

F_{\text{Haziran}} = 1540 + 0,2 \times (1600 - 1540) = 1540 + 12 = 1552

Haziran tahmini, Mayıs ayında gerçekleşen 1600 değeri ve Mayıs ayı için daha önce hesaplanan 1540 öngörüsü kullanılarak güncellenir.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing)

Soru 14Soru →

T.C. Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı, Ankara-İstanbul hattındaki aylık Yüksek Hızlı Tren (YHT) yolcu sayılarını düzeltmek ve gelecek dönem tahminleri oluşturmak için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Ocak ayı için yapılan yolcu sayısı tahmini ( $F_{Ocak}$ ) $240.000$ kişi, gerçekleşen yolcu sayısı ( $Y_{Ocak}$ ) ise $260.000$ kişi olarak kaydedilmiştir. Düzeltme katsayısının (smoothing constant) $\alpha = 0,25$ olduğu varsayıldığında, Şubat ayı için öngörülen yolcu sayısı ( $F_{Şubat}$ ) kaçtır?

245.000

255.000

250.000

240.000

260.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 245.000

Cevap

Şubat ayı için öngörülen yolcu sayısı 245.000 kişidir.

Basit üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin öngörüsü, mevcut dönemin gerçekleşen değeri ile mevcut dönemin öngörüsünün ağırlıklı ortalamasıdır. Hesaplama

0,25 \times 260.000 + 0,75 \times 240.000

şeklinde yapıldığında

245.000

değerine ulaşılır; bu durum son gözlemin %25, geçmiş bilgilerin ise %75 oranında yeni tahmine yansıdığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme formülünü tanımla.

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1 - \alpha) F_t

Yöntem, yeni tahminin eski tahmin ile son gözlemin ağırlıklı ortalaması olduğu varsayımına dayanır.

2

Ocak ayı verilerini ve düzeltme katsayısını formüle yerleştir.

F_{Şubat} = 0,25 \times 260.000 + (1 - 0,25) \times 240.000

Soruda verilen

\alpha=0,25

,

Y_{Ocak}=260.000

ve

F_{Ocak}=240.000

değerleri hesaplama için gereklidir.

3

Ağırlıklı bileşenleri hesapla.

65.000 + 180.000

Gerçekleşen değerin etkisini (

65.000

) ve mevcut tahminin korunma payını (

180.000

) ayrı ayrı belirlemek için.

4

Bileşenleri toplayarak nihai tahmini bul.

245.000

Şubat ayı için düzeltilmiş öngörüye ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing)

İpuçları

1

Yeni tahminin, eski tahmin ile son gerçekleşen değerin arasında bir yerde olması gerektiğini unutmayın.

2

Formülde

\alpha

katsayısını her zaman 'gerçekleşen' değer ile çarpmanız gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir belediyenin fen işleri müdürlüğü tarafından son üç ayda gerçekleştirilen asfalt serim miktarları (ton) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Ay	Asfalt Miktarı (Ton)
Haziran	$140$
Temmuz	$160$
Ağustos	$150$

Buna göre, 3 dönemlik basit hareketli ortalamalar (simple moving average) yöntemi kullanılarak Eylül ayı için öngörülen asfalt miktarı kaç tondur?

140

145

150

155

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $150$

Cevap

3 dönemlik basit hareketli ortalama yöntemiyle Eylül ayı için öngörülen asfalt miktarı

150

tondur.

Basit hareketli ortalamalar yöntemi, geçmişteki belirli sayıda (

n

) dönemin aritmetik ortalamasını alarak bir sonraki dönem için tahmin üretir. Bu soruda

3

dönemlik ortalama istendiği için Haziran (

140

), Temmuz (

160

) ve Ağustos (

150

) verileri toplanıp

3

'e bölünür. İşlem sonucunda

(140+160+150)/3 = 150

ton değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin için gerekli olan en güncel üç dönemin verilerini belirleyin.

Haziran:

140

, Temmuz:

160

, Ağustos:

150

.

3 dönemlik hareketli ortalamada, tahminden hemen önceki üç gözlem temel alınır.

2

Seçilen verilerin toplamını hesaplayın.

140 + 160 + 150 = 450

.

Ortalama hesaplamak için öncelikle tüm gözlemlerin toplamı bulunur.

3

Toplam değeri dönem sayısı olan

3

'e bölün.

450 / 3 = 150

.

Basit hareketli ortalama, ilgili dönemlerin aritmetik ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Basit Hareketli Ortalamalar (Simple Moving Average)

Tahmini Süre:45s

Soru 16Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv dairesine gelen aylık dosya sayıları son üç ay için sırasıyla $320$ , $350$ ve $380$ olarak kaydedilmiştir.

Buna göre, üç dönemlik basit hareketli ortalamalar yöntemi kullanılarak hesaplanan bir sonraki ayın tahmin değeri kaçtır?

320

350

365

380

1050

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 350

Cevap

Tahmin değeri son üç dönemin ortalaması olan 350 dosyadır.

Basit hareketli ortalamalar yönteminde, belirli bir

n

dönemi için tahmin değeri, o dönemden önceki son

n

gözlemin aritmetik ortalamasıdır. Bu soruda

n=3

olarak verildiği için son üç ayın verileri olan

320, 350

ve

380

toplanıp üçe bölünmüştür. İşlem sonucunda

1050 / 3 = 350

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen son üç döneme ait gözlem değerlerini toplayın.

320 + 350 + 380 = 1050

Basit hareketli ortalama hesaplamasının ilk adımı ilgili dönemlerin toplamını bulmaktır.

2

Elde edilen toplamı dönem sayısına (n=3) bölün.

1050 / 3 = 350

Ortalama değer, toplamın birim sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit Hareketli Ortalama (AHO)

İpuçları

1

Hareketli ortalama hesaplarken kaç dönemin ortalamasının istendiğine dikkat edin.

2

Son üç veriyi toplayıp veri sayısına bölün.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle iki dönemlik hareketli ortalama hesaplayarak farkı gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 17Soru →

Bir il halk kütüphanesine ait aylık yeni üyelik verileri basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemi ile analiz edilmektedir. Eylül ayı için kaydedilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Değişken	Değer
Eylül Ayı Öngörülen ( $F_t$ )	$480$
Eylül Ayı Gerçekleşen ( $Y_t$ )	$500$
Düzeltme Katsayısı ( $\alpha$ )	$0,2$

Buna göre, basit üstel düzeltme yöntemi kullanılarak hesaplanacak olan Ekim ayı öngörü değeri kaçtır?

476

484

490

496

504

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $484$

Cevap

Hesaplanan Ekim ayı öngörü değeri 484'tür.

Basit üstel düzeltme yönteminde yeni dönem tahmini, önceki dönem tahmini (

F_t

) ile o dönemin gerçek değeri (

Y_t

) arasındaki farkın (hata) düzeltme katsayısı (

\alpha

) ile çarpılarak eski tahmine eklenmesiyle bulunur. Burada

480 + 0,2 \times (500 - 480) = 484

sonucu doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin tanımlanması

F_t = 480

,

Y_t = 500

,

\alpha = 0,2

Hesaplamada kullanılacak olan Eylül ayı tahmin, gerçekleşme ve düzeltme katsayısı değerleri tablodan belirlenir.

2

Basit üstel düzeltme formülünün uygulanması

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

Bir sonraki dönem tahmini, mevcut dönem tahmini ile tahmin hatasının belirlenen katsayı oranında düzeltilmesiyle bulunur.

3

Sayısal hesaplamanın yapılması

480 + 0,2(500 - 480) = 480 + 0,2(20) = 480 + 4 = 484

Eylül ayı tahmin hatası olan 20 birimin %20'si mevcut tahmine eklenerek Ekim ayı öngörüsü elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing)

Alternatif Yöntem

Aynı sonuç, ağırlıklı ortalama yaklaşımıyla da elde edilebilir:

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1 - \alpha) F_t

. Değerler yerine konulduğunda;

0,2(500) + 0,8(480) = 100 + 384 = 484

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 18Soru →

Bir kamu hastanesinin acil servisine son üç günde yapılan başvuru sayıları aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Gün	Başvuru Sayısı
2 gün önce	$80$
1 gün önce	$100$
Bugün	$120$

Hastane yönetimi, gelecek günün başvuru sayısını tahmin etmek için 3 günlük ağırlıklı hareketli ortalamalar (weighted moving average) yöntemini kullanmaya karar vermiştir. En güncel veriye $0,5$ , bir önceki veriye $0,3$ ve en eski veriye $0,2$ ağırlık verileceğine göre, dördüncü gün için öngörülen başvuru sayısı kaçtır?

94

100

106

110

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $106$

Cevap

Dördüncü gün için öngörülen başvuru sayısı

106

olarak hesaplanmıştır.

Ağırlıklı hareketli ortalama hesaplanırken, her bir veri kendisine atanan ağırlık ile çarpılır ve toplanır. Bu soruda en güncel veri olan bugün (

120

) için

0,5

ağırlığı, bir önceki gün (

100

) için

0,3

ağırlığı ve en eski veri olan iki gün öncesi (

80

) için

0,2

ağırlığı kullanılarak yapılan

(120 \times 0,5) + (100 \times 0,3) + (80 \times 0,2) = 60 + 30 + 16 = 106

işlemi bizi doğru sonuca götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen her bir günün başvuru sayısını belirlenen ağırlıklar ile eşleştiriniz.

Bugün (

120

)

\times 0,5

; 1 gün önce (

100

)

\times 0,3

; 2 gün önce (

80

)

\times 0,2

Ağırlıklı hareketli ortalamalarda en güncel veri genellikle en yüksek ağırlığa sahiptir.

2

Her bir gün için ağırlıklı değerleri hesaplayınız.

120 \times 0,5 = 60

;

100 \times 0,3 = 30

;

80 \times 0,2 = 16

Tahmin değeri, gözlemlerin ağırlıklı toplamı ile bulunur.

3

Elde edilen tüm ağırlıklı değerleri toplayarak nihai öngörü sonucuna ulaşınız.

60 + 30 + 16 = 106

Ağırlıklar toplamı

1

(

0,5 + 0,3 + 0,2 = 1,0

) olduğu için sonuç doğrudan bu toplamdır.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı hareketli ortalamalar yönteminde, geçmiş gözlemlere önem derecelerine göre farklı ağırlıklar atanarak gelecek dönem tahmini yapılır.

Soru 19Soru →

Bir kamu kurumu, gelen evrak sayısını tahmin etmek için hem 3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama hem de üstel düzeltme yöntemlerini kullanmaktadır. Kuruma gelen evrak sayıları ilk dört ay için sırasıyla aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen Evrak Sayısı ( $Y_t$ )
1	100
2	150
3	125
4	140

Ağırlıklı hareketli ortalama yöntemi için en yakın döneme 0,5; bir önceki döneme 0,3 ve iki önceki döneme 0,2 ağırlık verilmektedir.

Üstel düzeltme yöntemi için ise düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) 0,4 olarak belirlenmiş olup, 1. ay için başlangıç tahmini ( $F_1$ ) 100 olarak alınmıştır.

Buna göre, 5. ay için ağırlıklı hareketli ortalama yöntemiyle elde edilen tahmin değeri ile üstel düzeltme yöntemiyle elde edilen tahmin değeri arasındaki mutlak fark kaçtır?

1,7

2,7

8,3

11,3

15,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8,3

Cevap

İki yöntemin sonuçları arasındaki mutlak fark 8,3 olarak hesaplanır.

Ağırlıklı hareketli ortalama ile 5. ay tahmini hesaplanırken son üç ayın (2., 3. ve 4. aylar) gerçekleşen verileri verilen ağırlıklarla çarpılıp toplanarak 137,5 değeri bulunur. Üstel düzeltme yönteminde ise ardışık olarak

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

formülü kullanılarak 5. ay tahmini 129,2 olarak hesaplanır. Bu iki tahminin mutlak farkı

|137,5 - 129,2| = 8,3

tür.

Adım Adım Çözüm

1

5. ay için 3 dönemlik Ağırlıklı Hareketli Ortalama (AHO) tahminini hesaplamak.

F_{AHO, 5} = (0,5 \times 140) + (0,3 \times 125) + (0,2 \times 150) = 70 + 37,5 + 30 = 137,5

AHO yönteminde en yakın verilere belirtilen ağırlıklar verilerek doğrusal bir kombinasyon oluşturulur. 5. ay için en yakın üç veri 4., 3. ve 2. aylara aittir.

2

2., 3. ve 4. aylar için Üstel Düzeltme (ÜD) tahminlerini sırasıyla hesaplamak.

F_2 = 100 + 0,4 \times (100-100) = 100

F_3 = 100 + 0,4 \times (150-100) = 120

F_4 = 120 + 0,4 \times (125-120) = 122

Üstel düzeltme yönteminde her dönemin tahmini, bir önceki dönemin tahmini ve gerçekleşen değeri kullanılarak ardışık şekilde (

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

) bulunur.

3

5. ay için Üstel Düzeltme (ÜD) tahminini hesaplamak.

F_5 = 122 + 0,4 \times (140 - 122) = 122 + 7,2 = 129,2

5. ay tahminini bulmak için 4. ayın gerçekleşen değeri (

Y_4

) ve tahmin değeri (

F_4

) kullanılır.

4

İki tahmin yöntemi arasındaki mutlak farkı bulmak.

|137,5 - 129,2| = 8,3

Soruda istenen iki farklı yöntemle bulunan 5. ay öngörü değerlerinin karşılaştırılmasıdır.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalama ve Üstel Düzeltme Yöntemleriyle Öngörü Hesaplaması

Soru 20Soru →

Bir belediyenin su işleri idaresi, ilçelerden birindeki günlük ortalama su tüketimini (ton) üstel düzeltme yöntemi ile tahmin etmektedir.

Ağustos ayı için öngörülen günlük ortalama su tüketimi $1200$ ton olarak belirlenmiş, ancak Ağustos ayında gerçekleşen fiili tüketim $1350$ ton olmuştur. Eylül ayı günlük ortalama su tüketimi tahminini yapmak için kullanılan düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) $0,4$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, Eylül ayı için günlük ortalama su tüketimi tahmini kaç ton olacaktır?

1140

1260

1275

1290

1350

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1260

Cevap

1260

Üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin tahmini, mevcut dönemin tahmini ile mevcut dönemdeki tahmin hatasının düzeltme katsayısı (

\alpha

) ile çarpımının toplamına eşittir. Alternatif olarak formül

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha)F_t

şeklinde de ifade edilebilir. Verilen değerler yerine konulduğunda hesaplama süreci şu şekilde olur:

1200 + 0,4 \times (1350 - 1200) = 1200 + 60 = 1260

. Doğru yanıt bu hesaplama sonucunda elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin tanımlanması

F_t = 1200

,

Y_t = 1350

,

\alpha = 0,4

Üstel düzeltme formülünde yerine koyulacak değerlerin belirlenmesi.

2

Üstel düzeltme formülünün uygulanması

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

formülüne göre:

F_{t+1} = 1200 + 0,4 \times (1350 - 1200)

Bir sonraki dönemin tahminini hesaplamak için mevcut tahmin ve hata payının düzeltme katsayısı ile ağırlıklandırılması.

3

Matematiksel işlemlerin tamamlanması

F_{t+1} = 1200 + 0,4 \times 150 = 1200 + 60 = 1260

Eylül ayına ait nihai tahmine ulaşılması.

Anahtar Kavram

Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Yöntemi ile Tahmin Güncellemesi

Düzeltme ve Arındırma Yöntemleri (Hareketli Ortalamalar, Üstel Düzeltme)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm