Tüm alıştırma soruları

Soru 3141Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde, $2\text{ kg}$ kütleli bir $K$ cismi doğu yönünde $6\text{ m/s}$ büyüklüğünde sabit hızla, $3\text{ kg}$ kütleli bir $L$ cismi ise kuzey yönünde $3\text{ m/s}$ büyüklüğünde sabit hızla hareket etmektedir. Bu iki cisim O noktasında çarpışarak kenetleniyor.

Buna göre, çarpışmadan hemen sonra kenetlenen ortak kütlenin hızının büyüklüğü kaç $\text{m/s}$ olur?

4,2

5

3

7,5

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortak kütlenin hızının büyüklüğü

3\text{ m/s}

'dir.

Çarpışmadan önce K cisminin çizgisel momentumu doğu yönünde

P_K = 2 \times 6 = 12\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, L cisminin çizgisel momentumu ise kuzey yönünde

P_L = 3 \times 3 = 9\text{ kg}\cdot\text{m/s}

büyüklüğündedir. Sürtünmesiz yatay düzlemde dış kuvvet olmadığından toplam momentum korunur. Doğu ve kuzey doğrultuları birbirine dik olduğundan, çarpışma sonrasındaki ortak momentumun büyüklüğü Pisagor teoremiyle

P_{\text{son}} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olarak bulunur. Kenetlenen cisimlerin toplam kütlesi

m_{\text{top}} = 2 + 3 = 5\text{ kg}

olduğuna göre, ortak hızın büyüklüğü

v_{\text{ort}} = 15 / 5 = 3\text{ m/s}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Cisimlerin çarpışmadan önceki çizgisel momentum vektörlerinin büyüklüklerini hesaplayınız.

P_K = 12\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(doğu yönünde) ve

P_L = 9\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(kuzey yönünde)

Bir cismin çizgisel momentumu, kütlesi ile hız vektörünün çarpımı ile bulunur (

P = m \cdot v

).

2

Çarpışma sonrasındaki toplam momentum vektörünün büyüklüğünü vektörel toplama ile bulunuz.

P_{\text{son}} = 15\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Sürtünmesiz yatay düzlemde sisteme etki eden net bir dış kuvvet bulunmadığından toplam çizgisel momentum korunur. Doğu ve kuzey yönleri birbirine dik olduğundan Pisagor bağıntısı (

P_{\text{son}}^2 = P_K^2 + P_L^2

) kullanılır.

3

Kenetlenen cisimlerin ortak hızının büyüklüğünü hesaplayınız.

v_{\text{ort}} = 3\text{ m/s}

Ortak hız, korunan toplam momentumun sistemin toplam kütlesine bölünmesiyle bulunur (

v_{\text{ort}} = P_{\text{son}} / m_{\text{top}}

).

Anahtar Kavram

Çizgisel Momentumun Korunumu ve İki Boyutta Esnek Olmayan Çarpışmalar

Soru 3142Soru →

Merkezlerinden geçen sabit eksenler etrafında dönebilen kasnak sisteminde; $2r$ yarıçaplı $A$ kasnağı ile $3r$ yarıçaplı $B$ kasnağı birbirine kayışla bağlanmıştır. $B$ kasnağı ile $4r$ yarıçaplı $C$ kasnağı ise eş merkezli olarak perçinlenmiştir. Sistem sabit süratle döndürülürken;

* $K$ noktası, $A$ kasnağı üzerinde dönme ekseninden $r$ uzaklıkta,
* $L$ noktası, $B$ kasnağının dış çeperinde,
* $M$ noktası ise $C$ kasnağının dış çeperinde yer almaktadır.

Buna g��re; $K$ , $L$ ve $M$ noktalarının çizgisel süratlerini ( $v_K$ , $v_L$ ve $v_M$ ) büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Çizgisel süratlerin büyükten küçüğe doğru sıralanışı

v_M > v_L > v_K

şeklindedir.

Çizgisel sürat, açısal sürat ile yarıçapın çarpımına eşittir (

v = \omega r

). Eş merkezli dönen kasnakların açısal süratleri eşit olduğundan

\omega_B = \omega_C = \omega

alınırsa

M

noktasının çizgisel sürati

v_M = 4\omega r

,

L

noktasının çizgisel sürati

v_L = 3\omega r

olur. Kayışla birbirine bağlı olan

A

ve

B

kasnaklarının dış çeperlerindeki süratler eşit olmalıdır (

v_{\text{çeperA}} = v_L = 3\omega r

). Buradan

A

kasnağının açısal sürati

\omega_A = 1.5\omega

olarak bulunur.

K

noktası

A

kasnağında

r

uzaklıkta olduğundan çizgisel sürati

v_K = 1.5\omega r

olur. Bu durumda sıralama

v_M > v_L > v_K

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kasnakların eş merkezlilik ve kayış bağlantılarına göre açısal sürat ilişkilerini belirleyin.

B

ve

C

kasnakları eş merkezli olduğundan açısal süratleri eşittir (

\omega_B = \omega_C = \omega

).

A

ve

B

kasnakları kayışla bağlı olduğundan dış çeperlerindeki çizgisel süratleri eşittir (

v_{\text{çeperA}} = v_L

). Buradan

2r \cdot \omega_A = 3r \cdot \omega_B \implies \omega_A = 1.5\omega

bulunur.

Eş merkezli cisimlerin birim zamandaki tarama açıları eşitken, kayışla bağlı çeperlerin birim zamanda aldıkları yollar eşittir.

2

K

,

L

ve

M

noktalarının dönme merkezlerine olan uzaklıklarını belirleyerek çizgisel sürat formülünü uygulayın.

L

noktası

B

üzerinde ve çeperdedir:

v_L = 3r \cdot \omega_B = 3\omega r

.

M

noktası

C

üzerinde ve çeperdedir:

v_M = 4r \cdot \omega_C = 4\omega r

.

K

noktası

A

üzerinde ve merkezden

r

uzaklıktadır:

v_K = r \cdot \omega_A = 1.5\omega r

.

Çizgisel sürat, açısal sürat ile dönme eksenine olan dik uzaklığın çarpımına eşittir (

v = \omega \cdot d

).

3

Elde edilen çizgisel sürat büyüklüklerini karşılaştırarak büyükten küçüğe sıralayın.

v_M = 4\omega r

,

v_L = 3\omega r

ve

v_K = 1.5\omega r

değerleri karşılaştırıldığında sıralama

v_M > v_L > v_K

şeklindedir.

Sürat değerlerinin katsayıları arasındaki ilişki doğrudan büyüklük sıralamasını belirler.

Anahtar Kavram

Düzgün çembersel harekette eş merkezli dönen sistemlerin açısal süratlerinin eşit olması ve kayışla bağlı sistemlerin dış çeper çizgisel süratlerinin eşit olması ilkeleri kullanılarak çizgisel sürat (

v = \omega r

) ilişkisi kurulur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3143Soru →

Primer (giriş) bobininin sarım sayısı $200$ , sekonder (çıkış) bobininin sarım sayısı $600$ olan ideal olmayan bir transformatörün primer ucuna etkin gerilimi $120\text{ V}$ olan alternatif akım kaynağı bağlanmıştır. Transformatörün verimi $\%80$ olup, sekonder ucuna bağlı olan direncin değeri $90\ \Omega$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, transformatörün primer (giriş) devresinden çekilen etkin akım şiddeti kaç amperdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Primer devreden çekilen etkin akım

15\text{ A}

'dir.

Transformatörün çıkış gerilimi sarım sayıları oranıyla doğru orantılıdır. Buna göre çıkış gerilimi

360\text{ V}

olur. Sekonder devredeki

90\ \Omega

'luk dirençten geçen akım Ohm kanunundan

4\text{ A}

ve sekonder devrenin gücü

1440\text{ W}

olarak bulunur. Transformatörün verimi

\%80

olduğundan, primer devreden çekilen güç

1800\text{ W}

olmalıdır. Bu güç değerine karşılık gelen primer akımı ise

15\text{ A}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Çıkış (sekonder) gerilimini hesaplamak.

V_S = 360\text{ V}

Transformatörlerde sarım sayısı oranı ile gerilim oranı doğru orantılıdır (

V_P/V_S = N_P/N_S

).

2

Sekonder devreden geçen akımı bulmak.

I_S = 4\text{ A}

Ohm Kanunu (

V = I \cdot R

) kullanılarak direnç üzerindeki gerilim ve direnç değerinden akım hesaplanır.

3

Çıkış (sekonder) gücünü hesaplamak.

P_S = 1440\text{ W}

Sekonder devrede harcanan elektriksel güç

P_S = V_S \cdot I_S

formülüyle bulunur.

4

Giriş (primer) gücünü verim bağıntısından bulmak.

P_P = 1800\text{ W}

Verim, çıkış gücünün giriş gücüne oranıdır (

\%80 = P_S / P_P

).

5

Primer devreden çekilen akımı hesaplamak.

I_P = 15\text{ A}

Giriş gücü

P_P = V_P \cdot I_P

bağıntısı kullanılarak primer akımı çekilir.

Anahtar Kavram

İdeal olmayan transformatörlerde güç ve verim ilişkisi

Soru 3144Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $3\text{ kg}$ kütleli bir cisim, iç patlama sonucu $1\text{ kg}$ , $1\text{ kg}$ ve $1\text{ kg}$ kütleli üç parçaya ayrılıyor. $1\text{ kg}$ kütleli parçalardan ikisi birbirine dik doğrultularda sırasıyla $12\text{ m/s}$ ve $16\text{ m/s}$ büyüklüğündeki hızlarla hareket ettiğine göre, üçüncü parçanın patlamadan hemen sonraki hızının b��yüklüğü kaç $\text{m/s}$ olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Üçüncü parçanın patlamadan hemen sonraki hızının büyüklüğü 20 m/s'dir.

Dış kuvvetlerin etkisinde olmayan sistemde çizgisel momentum korunur. Başlangıçta durmakta olan cismin çizgisel momentumu sıfırdır. Patlama sonucunda oluşan parçalardan ikisinin birbirine dik çizgisel momentumlarının bileşkesi

20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olduğundan, toplam momentumun sıfır kalabilmesi için üçüncü parçanın momentum büyüklüğü de

20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olmalıdır. Üçüncü parçanın kütlesi

1\text{ kg}

olduğundan patlama sonrası hızı

20\text{ m/s}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Patlamadan önceki toplam çizgisel momentumun belirlenmesi.

P_{ilk} = 0

Cisim patlamadan önce durduğu için başlangıç çizgisel momentumu sıfırdır.

2

İlk iki parçanın çizgisel momentumlarının büyüklüklerinin hesaplanması.

p_1 = 12\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve

p_2 = 16\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Her bir parçanın çizgisel momentumu

p = m \cdot v

bağıntısı kullanılarak ayrı ayrı hesaplanır.

3

Birbirine dik iki momentum vektörünün bileşkesinin bulunması.

p_{1+2} = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Aralarında

90^\circ

açı bulunan vektörlerin toplamı Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplanır.

4

Momentum korunumu ilkesi uygulanarak üçüncü parçanın momentumunun belirlenmesi.

p_3 = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Dış kuvvetlerin yokluğunda sistemin toplam çizgisel momentumunun korunması ve sıfır kalabilmesi için üçüncü parçanın momentumunun, diğer iki parçanın momentum bileşkesini dengelemesi gerekir.

5

Üçüncü parçanın hız büyüklüğünün hesaplanması.

v_3 = 20\text{ m/s}

p_3 = m_3 \cdot v_3

bağıntısında bilinen değerler yerine yazılarak hız bulunur.

Anahtar Kavram

Patlamalarda çizgisel momentumun vektörel korunumu

Soru 3145Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için
- $f(0) = 2$
- $f(1) = 7$
- $f(\pi/2) = 9$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \cdot f'(\sin^2 x) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

10

7

5

9

\frac{5}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

Değeri 5 olan seçenektir.

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak

u = \sin^2 x

seçildiğinde

du = \sin(2x) \, dx

olur. İntegral sınırları

x = 0

için

u = 0

ve

x = \pi/2

için

u = 1

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{0}^{1} f'(u) \, du = f(1) - f(0)

haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında

7 - 2 = 5

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İntegralde değişken değiştirme uygulamak için uygun bir dönüşüm seçilir.

u = \sin^2 x

dönüşümü yapılır.

İntegralin içindeki

f'(\sin^2 x)

ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyelini dışarıdaki trigonometrik ifadeyle ilişkilendirmek için bu dönüşüm seçilir.

2

Seçilen dönüşümün diferansiyeli alınır.

du = 2 \sin x \cos x \, dx

elde edilir. Yarım açı formülünden bu ifade

du = \sin(2x) \, dx

şekline dönüşür.

İntegraldeki

\sin(2x) \, dx

teriminin yerine

du

yazabilmek için diferansiyel hesabı tamamlanır.

3

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = \sin^2(0) = 0

olur. Üst sınır için

x = \pi/2 \implies u = \sin^2(\pi/2) = 1

olur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

4

Yeni değişkenler ve sınırlar integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.

\int_{0}^{1} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1} = f(1) - f(0)

Verilen değerler yerine yazıldığında:

7 - 2 = 5

sonucu elde edilir.

İntegral alma kuralları ve Analizin Temel Teoremi uygulanarak integralin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisinin kurulması ve sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi.

Soru 3146Soru →

Doğrusal bir otoyolda $24\text{ m/s}$ sabit hızla seyretmekte olan bir otomobil, yol kenarında durmakta olan bir polis motosikletinin yanından geçtiği anda, motosiklet otomobili yakalamak için aynı yönde $3\text{ m/s}^2$ büyüklüğündeki sabit ivmeyle hızlanmaya başlar. Buna göre, motosikletin hızı otomobilin hızına eşit olduğu anda, bu iki araç arasındaki uzaklık kaç metredir?

192

144

96

72

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Motosikletin hızı otomobilin hızına eşit olduğu anda aralarındaki uzaklık 96 metredir.

Araçların hızlarının eşitlendiği süre 8. saniyedir. Bu sürede sabit hızlı giden otomobil 192 metre yer değiştirirken, sabit ivmeli hızlanan motosiklet 96 metre yer değiştirir. Aralarındaki mesafe bu iki yer değiştirmenin farkı olan 96 metredir.

Adım Adım Çözüm

1

Araçların hızlarının eşitlendiği süreyi belirlemek.

t = 8\text{ s}

Motosikletin hızı durgun halden başladığı için

v_m = a_m \cdot t

formülüyle hesaplanır. Motosikletin hızının otomobilin sabit hızına (

24\text{ m/s}

) eşit olması için:

24 = 3 \cdot t \Rightarrow t = 8\text{ s}

geçmelidir.

2

Otomobilin bu süre zarfındaki yer değiştirmesini hesaplamak.

x_o = 192\text{ m}

Otomobil sabit hızlı hareket yaptığından yer değiştirmesi

x_o = v_o \cdot t

formülüyle bulunur:

x_o = 24 \cdot 8 = 192\text{ m}

.

3

Motosikletin bu süre zarfındaki yer değiştirmesini hesaplamak.

x_m = 96\text{ m}

Motosiklet ilk hızsız sabit ivmeli hareket yaptığından yer değiştirmesi

x_m = \frac{1}{2} a_m t^2

formülüyle bulunur:

x_m = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (8)^2 = 1.5 \cdot 64 = 96\text{ m}

.

4

İki araç arasındaki uzaklığı bulmak.

96\text{ m}

Başlangıçta yan yana olan araçların aralarındaki mesafe yer değiştirmelerinin farkıdır:

\Delta x = x_o - x_m = 192 - 96 = 96\text{ m}

.

Anahtar Kavram

Bir boyutta sabit ivmeli hareket ve sabit hızlı hareket yapan cisimlerin konum-zaman ve hız-zaman ilişkilerinin analizi.

Alternatif Yöntem

Hız-zaman grafiği yardımıyla da çözülebilir. Yatay eksen zaman, düşey eksen hız olacak şekilde bir grafik çizilir. Otomobil için 24 m/s değerinde yatay bir doğru, motosiklet için ise orijinden başlayıp 8. saniyede 24 m/s değerine ulaşan eğik bir doğru çizilir. 0-8 saniye aralığında bu iki grafik çizgisi arasında kalan bölge bir dik üçgendir. Bu üçgenin alanı iki araç arasındaki mesafeyi doğrudan verir: Alan = (Taban * Yükseklik) / 2 = (24 * 8) / 2 = 96 metredir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3147Soru →

x \neq 1

olmak üzere, pozitif gerçel sayılarda tanımlı

3^{\log_5 x} + x^{\log_5 3} = 18

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $\log_x 125$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{2}{3}

1

\frac{3}{2}

3

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{2}$

Cevap

\frac{3}{2}

Verilen denklemde logaritmanın

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliği kullanılarak

x^{\log_5 3}

terimi

3^{\log_5 x}

olarak yazılır. Denklem

2 \cdot 3^{\log_5 x} = 18

haline gelir ve buradan

3^{\log_5 x} = 9

elde edilir. Üstel ifadenin çözümünden

\log_5 x = 2

bulunur. Son olarak, taban değiştirme kuralı uygulanarak

\log_x 125 = \frac{\log_5 125}{\log_5 x} = \frac{3}{2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri düzenlemek.

x^{\log_5 3} = 3^{\log_5 x}

eşitliği elde edilir.

Denklemi tek bilinmeyenli üstel bir ifadeye dönüştürmek amacıyla bu kuraldan yararlan��lır.

2

Düzenlenen terimi denklemde yerine koyarak denklemi sadeleştirmek.

3^{\log_5 x} + 3^{\log_5 x} = 18 \implies 2 \cdot 3^{\log_5 x} = 18 \implies 3^{\log_5 x} = 9

elde edilir.

Bilinmeyen içeren üstel ifadenin tek başına bırakılması ve değerinin bulunması hedeflenir.

3

Elde edilen üstel denklemi çözerek

\log_5 x

değerine ulaşmak.

3^{\log_5 x} = 3^2 \implies \log_5 x = 2

bulunur.

İstenen logaritmik ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel logaritma değerine ulaşılması gerekir.

4

Taban değiştirme özelliğini kullanarak

\log_x 125

ifadesini

\log_5

tabanında yazmak ve hesaplamak.

\log_x 125 = \frac{\log_5 125}{\log_5 x} = \frac{3}{2}

elde edilir.

Soru kökünde bizden istenen ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru 3148Soru →

Belirli bir integral hesaplama sürecinde

u = \sqrt{x}

değişken değiştirmesi yapıldığında, elde edilen yeni belirli integral

\int_{1}^{3} f(u) \, du

olmaktadır.
Buna göre, bu değişken değiştirme işlemi uygulanmadan önceki orijinal belirli integral aşağıdakilerden hangisidir?

\int_{1}^{3} f(\sqrt{x}) \, dx

\int_{1}^{9} f(\sqrt{x}) \, dx

\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx

\int_{1}^{3} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx

\int_{1}^{9} 2\sqrt{x} \cdot f(\sqrt{x}) \, dx

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx$

Cevap

İntegral sınırları 1 ile 9 arasında olan ve içinde f(kök(x)) bölü (2 kök(x)) ifadesini barındıran integral ifadesi doğrudur.

Doğru cevap,

u = \sqrt{x}

dönüşümünün diferansiyeli olan

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx

bağıntısını ve sınırların

u = 1 \implies x = 1

ile

u = 3 \implies x = 9

şeklinde

x

değişkenine göre doğru güncellendiği integral ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm bağıntısı ve diferansiyel ilişkisini belirlemek.

u = \sqrt{x} \implies du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx

elde edilir.

Orijinal integraldeki

dx

ifadesinin yeni integraldeki

du

ile ilişkisini kurabilmek için diferansiyel alınmalıdır.

2

İntegral sınırlarını

u

değişkeninden

x

değişkenine geri güncellemek.

Alt sınır için:

u = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1

. Üst sınır için:

u = 3 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9

.

Belirli integral sınırlarının, dönüşüm yapılan bağıntı kullanılarak orijinal

x

değişkeni cinsinden değerleri bulunmalıdır.

3

Elde edilen ifadeleri yeni integralde yerine yazarak orijinal integrali oluşturmak.

\int_{1}^{3} f(u) \, du = \int_{1}^{9} f(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx

Dönüşüm ve sınır değerleri yerine konularak başlangıçtaki orijinal integral ifadesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternatif Yöntem

Orijinal integral seçeneklerinde sırasıyla

u = \sqrt{x}

dönüşümü uygulanarak hangisinin

\int_{1}^{3} f(u) \, du

integralini verdiğine bakılabilir. Doğru seçenek olan integralde

u = \sqrt{x}

denirse,

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx

olur. Sınırlar

x=1 \implies u=1

ve

x=9 \implies u=3

olacağından integral doğrudan

\int_{1}^{3} f(u) \, du

biçimine dönüşür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3149Soru →

Sürtünmelerin önemsenmediği dü��ey düzlemde, bir ucundan tavana sabitlenmiş $L$ uzunluğundaki hafif bir ipin ucuna bağlı noktasal bir cisim, ip yatay konumda tutulurken serbest bırakılmaktadır. Buna göre, cismin aşağı doğru hareketi sırasında ivme vektörünün tamamen yatay olduğu anda ipin düşey doğrultuyla yaptığı açının kosinüsünün $\frac{1}{\sqrt{3}}$ olduğu ifadesi doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. İvme vektörünün tamamen yatay olduğu anda ipin düşey doğrultuyla yaptığı açının kosinüsü

\frac{1}{\sqrt{3}}

olur.

İvmenin yatay olması, düşeydeki net kuvvetin sıfır olmasını gerektirir (

T\cos\theta = mg

). Enerji korunumu ve merkezcil kuvvet denklemleri birleştirildiğinde ip gerilmesi

T = 3mg\cos\theta

olarak bulunur. Bu iki ifadenin ortak çözümü bizi

\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}

sonucuna ulaştırır, dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Cismin yatay konumdan serbest bırakıldıktan sonra düşey doğrultuyla

\theta

açısı yaptığı andaki hızını bulmak için mekanik enerjinin korunumunu uygulayın.

mgL\cos\theta = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gL\cos\theta

Cisim aşağı doğru hareket ettikçe kaybettiği potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür.

2

Cisme merkez doğrultusunda etki eden net kuvveti yazarak çembersel hareket dinamiği denklemini oluşturun.

T - mg\cos\theta = m\frac{v^2}{L}

Çembersel yörüngede merkezcil ivmeyi sağlayan net kuvvet, ip gerilmesi ile ağırlığın bu doğrultudaki bileşeninin farkıdır.

3

Enerji korunumundan elde edilen

v^2

değerini dinamik denklemde yerine koyarak ip gerilmesi

T

'yi açıya bağlı olarak çekin.

T = mg\cos\theta + m\frac{2gL\cos\theta}{L} = 3mg\cos\theta

İp gerilmesini cismin konumunu belirten

\theta

açısının fonksiyonu olarak ifade etmek için.

4

Cismin ivme vektörünün tamamen yatay olması koşulunu düşey doğrultudaki kuvvet dengesini yazarak uygulayın.

T\cos\theta = mg

Net ivmenin yatay olması, düşey doğrultudaki net kuvvetin sıfır olmasını gerektirir (

F_{net,y} = 0

).

5

Elde edilen ip gerilmesi ifadesini düşey denge denkleminde yerine yazarak açının kosinüs değerini bulun.

(3mg\cos\theta)\cos\theta = mg \implies 3\cos^2\theta = 1 \implies \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}

İvmenin tamamen yatay olduğu andaki kosinüs değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Düşey düzlemde düzgün olmayan çembersel harekette enerji korunumu, dinamik denklemler ve ivme vektörünün bileşenlerinin analizi.

Soru 3150Soru →

Sayfa düzleminde bulunan, birbirine paralel ve aralarında $2d$ uzaklık bulunan sonsuz uzunluktaki iki iletken telden, sayfa düzlemine dik doğrultuda akımlar geçmektedir. Sol taraftaki $X$ telinden sayfa düzleminden içeriye doğru ( $\otimes$ ) $I$ şiddetinde, sağ taraftaki $Y$ telinden ise sayfa düzleminden dışarıya doğru ( $\odot$ ) $I$ şiddetinde akım geçmektedir. Tellerin tam ortasında bulunan $O$ noktasından, sayfa düzleminden dışarıya doğru ( $\odot$ ) $\vec{v}$ hızıyla fırlatılan $+q$ yüklü noktasal bir parçacığa, fırlatıldığı anda etki eden manyetik kuvvetin yönü aşağıdakilerden hangisidir?

Sayfa düzleminde sağa doğru (

Y

teline doğru)

Sayfa düzleminde sola doğru (

X

teline doğru)

Sıfır

Sayfa düzleminde yukarı doğru

Sayfa düzleminden içeriye doğru

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sayfa düzleminde sağa doğru ( $Y$ teline doğru)

Cevap

Sayfa düzleminde sağa doğru (

Y

teline doğru)

Tellerin tam ortasındaki noktada, sol telin içeri doğru olan akımı ve sağ telin dışarı doğru olan akımı sağ el kuralına göre sayfa düzleminde aşağı doğru yönlü manyetik alanlar üretir. Bu iki alan aynı yönlü olduğundan toplanarak aşağı doğru net bir manyetik alan oluşturur. Bu bölgeden sayfa dışına doğru fırlatılan pozitif yüklü parçacık için hız vektörü sayfa dışına, manyetik alan vektörü ise aşağı doğrudur. Sağ el kuralı uygulandığında avuç içi sayfa düzleminde sağa (yani diğer tele doğru) bakar. Parçacık artı yüklü olduğundan etki eden net manyetik kuvvet sayfa düzleminde sağa doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

tellerinin

O

noktasında oluşturduğu manyetik alanların yönleri sağ el kuralı ile belirlenir.

X

telindeki akım içeri (

\otimes

) doğru olduğundan

O

noktasındaki manyetik alanı aşağı doğru (

-y

);

Y

telindeki akım dışarı (

\odot

) doğru olduğundan

O

noktasındaki manyetik alanı da aşağı doğru (

-y

) yönlüdür.

Düz telin çevresinde oluşturduğu manyetik alanın yönü, başparmak akım yönünü gösterecek şekilde tel kavrandığında dolanan dört parmağın yönü ile bulunur.

2

O

noktasındaki bileşke manyetik alan vektör�� (

\vec{B}_{\text{net}}

) hesaplanır.

Her iki manyetik alan vektörü de aynı yönlü olduğundan toplanırlar ve bileşke manyetik alan sayfa düzleminde aşağı doğru olur.

Aynı yönlü vektörlerin toplamı, vektörel olarak aynı doğrultu ve yönde bir net vektör verir.

3

+q

yüklü parçacığa etki eden manyetik kuvvetin (

\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})

) yönü sağ el kuralı ile bulunur.

Başparmak hız yönünü (sayfa dışına,

\odot

), dört parmak manyetik alan yönünü (aşağı) gösterecek şekilde tutulduğunda avuç içi sağa doğru (yani

Y

teline doğru) bakar. Parçacık pozitif yüklü olduğu için kuvvet sayfa düzleminde sağa doğrudur.

Manyetik alanda hareket eden yüklü parçacıklara etki eden kuvvetin yönü, yük pozitif olduğunda avuç içi yönündedir.

Anahtar Kavram

Akım geçen düz tellerin çevresinde oluşturduğu manyetik alan vektörlerinin toplanması ve manyetik alanda hareket eden yüklü parçacıklara etki eden manyetik kuvvetin yönünün sağ el kuralı ile bulunması.

Soru 3151Soru →

Yalıtkan ve sürtünmesiz yatay düzlemde, aralarında $d$ uzaklığı bulunan noktasal $+q$ ve $+4q$ yükleri sabitlenmiştir. Bu yüklerin oluşturduğu sisteme, yüklerin arasındaki çizgi üzerinde serbestçe hareket edebilen noktasal bir $-q$ yükü bırakılıyor.

Buna göre;
I. $-q$ yükü, $+q$ yükünden $\frac{d}{3}$ uzaklıktaki bir noktaya bırakılırsa dengede kalır.
II. $-q$ yükünün dengede kalabileceği noktada, sabitlenmiş yüklerin oluşturduğu bileşke elektriksel alan sıfırdır.
III. Sabitlenmiş $+4q$ yükünün $+q$ yüküne uyguladığı elektriksel kuvvetin büyüklüğü, $+q$ yükünün $+4q$ yüküne uyguladığı elektriksel kuvvetin büyüklüğünden fazladır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci öncüllerin doğru, üçüncü öncülün ise yanlış olduğunu belirten 'I ve II' seçeneğidir.

Denge durumunda

-q

yüküne etki eden net kuvvet sıfır olmalıdır. Bu durum,

+q

yükünden

d/3

uzaklıkta gerçekleşir ve bu noktada bileşke elektriksel alan sıfırdır. İki yükün birbirine uyguladığı kuvvetler ise etki-tepki yasası gereği eşit büyüklüktedir.

Adım Adım Çözüm

1

-q

yükünün dengede kalabilmesi için üzerine etki eden net elektriksel kuvvetin sıfır olması gerekir.

+q

ve

+4q

yüklerinin

-q

yüküne uygulayacağı kuvvetlerin yönlerini belirleyelim.

-q

yükü her iki pozitif yük tarafından çekilecektir. Dolayısıyla yüklerin arasında bir noktada,

+q

yükünün uyguladığı kuvvet sola doğru,

+4q

yükünün uyguladığı kuvvet sağa doğru olur. Bu iki kuvvet zıt yönlü olduğu için birbirini sıfırlayabilir.

Denge durumunda zıt yönlü kuvvetlerin büyüklüklerinin eşit olması gerekir.

2

+q

yükünden

x

kadar uzaklıkta dengede olduğunu varsayalım. Bu durumda

+4q

yükünden uzaklığı

d-x

olur. Coulomb Yasası'nı kullanarak kuvvetlerin büyüklüklerini eşitleyelim:

k \frac{q \cdot q}{x^2} = k \frac{4q \cdot q}{(d-x)^2}

Her iki tarafın karekökü alındığında,

\frac{1}{x} = \frac{2}{d-x} \implies d-x = 2x \implies 3x = d \implies x = \frac{d}{3}

bulunur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Denge noktasının konumunu bulmak için iki kuvvetin büyüklüğünü eşitleyen denklemi çözmemiz gerekir.

3

Dengede olan

-q

yükü üzerindeki net kuvvet sıfırdır (

F_{net} = 0

). Elektriksel alan ile elektriksel kuvvet arasındaki

F = q \cdot E

ilişkisini inceleyelim.

Yük miktarı sıfırdan farklı (

q \neq 0

) olduğuna göre, net kuvvetin sıfır olması için o noktadaki bileşke elektriksel alanın da sıfır olması gerekir (

E = 0

). Dolayısıyla II. öncül doğrudur.

Elektriksel kuvvet ile elektriksel alan arasındaki temel ilişkiyi kurmak için.

4

+q

ve

+4q

yüklerinin birbirine uyguladığı elektriksel kuvvetlerin büyüklüğünü karşılaştıralım.

Newton'ın üçüncü hareket yasası (etki-tepki yasası) gereğince, iki yüklü cismin birbirine uyguladığı elektriksel kuvvetler her zaman eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür.

+4q

yükünün

+q

yüküne uyguladığı kuvvet ile

+q

yükünün

+4q

yüküne uyguladığı kuvvetin büyüklüğü

F = k \frac{4q^2}{d^2}

olup birbirine eşittir. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Etki-tepki prensibini elektriksel kuvvetlere uygulamak için.

Anahtar Kavram

Noktasal yükler arasındaki elektriksel kuvvet, elektriksel alan ve etki-tepki prensibi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3152Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan telefonların ekran boyutu ve batarya kapasitesi özelliklerine göre dağılımı incelenmektedir. Mağazadaki telefonlardan rastgele seçilen bir telefonun;
- Büyük ekranlı olma olayı $E$ ,
- Yüksek batarya kapasiteli olma olayı $B$
olarak tanımlanıyor.

Bu mağazadaki telefonların $\%50$ 'sinin büyük ekranlı, $\%40$ 'ının yüksek batarya kapasiteli ve $\%70$ 'inin büyük ekranlı veya yüksek batarya kapasiteli olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. $E$ ve $B$ olayları bağımsız olaylardır.
II. Seçilen bir telefonun büyük ekranlı olduğu bilindiğine göre, yüksek batarya kapasiteli olma olasılığı $\%20$ 'dir.
III. Seçilen bir telefonun yüksek batarya kapasiteli olduğu bilindiğine göre, büyük ekranlı olma olasılığı $\%50$ 'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri doğrudur.

I ve III ifadeleri doğrudur. Büyük ekranlı olma olayı ve yüksek batarya kapasiteli olma olayının kesişim olasılığı

0,20

olarak bulunur. Olayların kendi olasılıklarının çarpımı da

0,50 \cdot 0,40 = 0,20

olduğundan olaylar bağımsızdır (I. öncül doğru). Bağımsız olaylarda bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmediğinden, yüksek batarya kapasiteli olduğu bilinen telefonun büyük ekranlı olma olasılığı doğrudan büyük ekranlı olma olasılığına eşittir ve

\%50

olur (III. öncül doğru). İkinci öncülde verilen

\%20

değeri ise koşullu olasılık değil, sadece iki özelliğin bir arada bulunma (kesişim) olasılığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayların kesişim olasılığını (

P(E \cap B)

) hesaplamak için birleşim formülünü kullanın.

P(E \cup B) = P(E) + P(B) - P(E \cap B)

formülünden

0,70 = 0,50 + 0,40 - P(E \cap B) \implies P(E \cap B) = 0,20

elde edilir.

Kesişim olasılığı, olayların bağımsızlığını test etmek ve koşullu olasılıkları hesaplamak için gereklidir.

2

I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için bağımsızlık şartını test edin.

P(E) \cdot P(B) = 0,50 \cdot 0,40 = 0,20

bulunur.

P(E \cap B) = 0,20

olduğundan

P(E \cap B) = P(E) \cdot P(B)

eşitliği sağlanır.

Kesişim olasılığı, iki olayın olasılıklarının çarpımına eşitse bu iki olay bağımsızdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

3

II. öncüldeki koşullu olasılığı hesaplayın.

P(B|E) = \frac{P(E \cap B)}{P(E)} = \frac{0,20}{0,50} = 0,40

(yani

\%40

) bulunur. Öncülde

\%20

verildiği için bu öncül yanlıştır.

Büyük ekranlı olduğu bilindiği için örnek uzay birinci olayın olasılığına daraltılmalıdır. Olaylar bağımsız olduğundan doğrudan

P(B|E) = P(B) = \%40

olduğu da görülebilir.

4

III. öncüldeki koşullu olasılığı hesaplayın.

P(E|B) = \frac{P(E \cap B)}{P(B)} = \frac{0,20}{0,40} = 0,50

(yani

\%50

) bulunur. Öncülde

\%50

verildiği için bu öncül doğrudur.

Yüksek batarya kapasiteli olduğu bilindiği için örnek uzay ikinci olayın olasılığına daraltılmalıdır. Olaylar bağımsız olduğundan doğrudan

P(E|B) = P(E) = \%50

olduğu da görülebilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olaylar ve Koşullu Olasılık İlişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3153Soru →

Düzgün çembersel hareket yapan üç farklı pikap tablası üzerindeki $K$ , $L$ ve $M$ toz taneciklerinin konumları ve hareketlerine ait bazı değişkenler şu şekildedir:

* $K$ taneciği: Dönme eksenine olan dik uzaklı��ı $r$ olan ve $f$ frekansıyla dönen pikap üzerindedir.
* $L$ taneciği: Dönme eksenine olan dik uzaklığı $3r$ olan ve periyodu $2T$ ( $T = \frac{1}{f}$ ) olan pikap üzerindedir.
* $M$ taneciği: Dönme eksenine olan dik uzaklığı $2r$ olan ve açısal sürati $\omega$ ( $\omega = 2\pi f$ ) olan pikap üzerindedir.

Buna göre; $K$ , $L$ ve $M$ taneciklerinin çizgisel süratlerinin büyüklüklerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Çizgisel süratlerin küçükten büyüğe sıralaması K, L, M şeklindedir.

Çizgisel sürat formülü v = \omega r bağıntısıyla verilir. K, L ve M taneciklerinin açısal süratleri sırasıyla \omega, \omega/2 ve \omega olarak bulunur. Dönme eksenine uzaklıklar sırasıyla r, 3r ve 2r olduğundan çizgisel süratler sırasıyla v, 1,5v ve 2v değerlerine sahip olur. Dolayısıyla doğru sıralama küçükten büyüğe K, L, M şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm taneciklerin açısal süratlerini ortak bir değişken cinsinden ifade etmek.

K taneciği için \omega_K = 2\pi f = \omega; L taneciği için periyot 2T olduğundan frekans f/2 olur, buradan \omega_L = 2\pi(f/2) = \omega/2; M taneciği için doğrudan \omega_M = \omega olarak belirlenir.

Çizgisel süratleri doğru kıyaslayabilmek için açısal sürat değerlerini tek bir değişken olan \omega cinsinden yazmamız gerekir.

2

v = \omega r bağıntısını kullanarak çizgisel sürat büyüklüklerini hesaplamak.

v_K = \omega * r = \omega r; v_L = (\omega/2) * 3r = 1,5\omega r; v_M = \omega * 2r = 2\omega r olarak bulunur.

Çizgisel sürat, açısal sürat ile yörünge yarıçapının (dönme eksenine dik uzaklığın) çarpımına eşittir.

3

Elde edilen çizgisel sürat büyüklüklerini karşılaştırmak.

v_K < v_L < v_M ilişkisi kurulur. Bu da K, L, M sıralamasını verir.

Sürat katsayıları karşılaştırıldığında 1 < 1,5 < 2 olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Düzgün çembersel harekette periyot, frekans, açısal sürat ve çizgisel sürat arasındaki matematiksel ilişkiler.

Soru 3154Soru →

Alternatif akım kaynağına bağlı ideal bir transformatörün primer bobinine uygulanan alternatif gerilimin frekansı artırıldığında, sekonder bobininden elde edilen alternatif gerilimin frekansı da artar.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Transformatörlerin sekonder bobininden elde edilen gerilimin frekansı, primer bobine uygulanan gerilimin frekansına her zaman eşittir (

f_{primer} = f_{sekonder}

). Bu nedenle giriş frekansının artırılması çıkış frekansını da artırır.

Transformatörlerin sekonder bobininden elde edilen gerilimin frekansı, primer bobine uygulanan gerilimin frekansına her zaman eşittir. Bu nedenle giriş frekansı artırıldığında çıkış frekansı da artar.

Adım Adım Çözüm

1

Transformatörün primer bobininde oluşan manyetik akı değişimini analiz edin.

Primer bobine alternatif akım uygulandığında, çekirdekte zamana göre yönü ve büyüklüğü sürekli değişen bir manyetik akı oluşur. Bu akının değişim frekansı, primer akımının frekansı ile aynıdır.

Transformatörler elektromanyetik indüksiyon prensibine göre çalışır ve manyetik alanın değişim frekansı kaynağın frekansına bağlıdır.

2

Sekonder bobinde oluşan indüksiyon geriliminin frekansını primer frekansı ile ilişkilendirin.

Ortak demir çekirdekteki manyetik akı değişimi sekonder bobini de etkiler. Sekonder bobinde birim zamandaki akı değişim hızı, primer bobindeki ile aynı periyot ve frekansta gerçekleşir. Bu nedenle sekonder geriliminin frekansı primer geriliminin frekansına her zaman eşit olur (

f_{primer} = f_{sekonder}

).

Çıkış akısının değişim kaynağı giriş akısıdır, bu yüzden frekans korunur.

3

Primer frekansı artırıldığında sekonder frekansının nasıl etkileneceğini belirleyin.

Giriş geriliminin frekansı artırıldığında, çıkış geriliminin frekansı da artar ve yeni giriş frekansına eşit olur.

Çıkış frekansı her zaman giriş frekansını birebir takip eder.

Anahtar Kavram

Transformatörlerde frekansın korunumu ve giriş frekansı ile çıkış frekansı arasındaki ilişki

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3155Soru →

$A$ ve $B$ bağımsız kargo firmalarının kendilerine verilen birer paketi taahhüt edilen sürede teslim etme olasılıkları sırasıyla $\frac{4}{5}$ ve $\frac{3}{4}$ 'tür. Bu iki firma birer paketi teslim etmek üzere aynı anda yola çıkmıştır. Buna göre, bu paketlerden en az birinin taahhüt edilen sürede teslim edilme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{20}

\frac{7}{20}

\frac{3}{5}

\frac{11}{20}

\frac{19}{20}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{19}{20}$

Cevap

Paketlerden en az birinin taahhüt edilen sürede teslim edilme olasılığı

\frac{19}{20}

'dir.

Paketlerden en az birinin süresinde teslim edilmesi olayının olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) her iki paketin de süresinde teslim edilememe olasılığının çıkarılmasıyla bulunur. A firmasının teslim edememe olasılığı

1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

, B firmasının teslim edememe olasılığı ise

1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

'tür. Firmaların teslimat süreçleri bağımsız olaylar olduğundan, her ikisinin de teslim edememe olasılığı bu iki olasılığın çarpımı olan

\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}

'dir. Buradan en az birinin teslim edilme olasılığı

1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kargo firmalarının paketleri taahhüt edilen sürede teslim edememe (başarısızlık) olasılıklarını hesaplayın.

A firmasının teslim edememe olasılığı:

P(A') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

. B firmasının teslim edememe olasılığı:

P(B') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

.

En az bir paket teslimatının gerçekleşmesi olasılığını bulmak için tüm durumlardan her iki teslimatın da başarısız olduğu durumun çıkarılması yöntemi kolaylık sağlar.

2

Firmaların teslimat süreçleri bağımsız olduğundan, her iki paketin de teslim edilememe olasılığını çarpım kuralıyla bulun.

Her ikisinin de teslim edilememe olasılığı:

P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}

.

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

En az bir paketin teslim edilme olasılığını bulmak için elde edilen değeri tüm olasılıktan (1'den) çıkarın.

En az bir paketin teslim edilme olasılığı:

1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

.

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olayların Birlikte Gerçekleşme Olasılığı ve Tümleyen Olay Yöntemi

Soru 3156Soru →

Şekildeki transformatör devresinde primer (giriş) bobinine tek kutuplu iki konumlu $S$ anahtarı yardımıyla alternatif akım (AC) kaynağı ya da doğru akım (DC) kaynağı bağlanabilmektedir. Sekonder (çıkış) bobinine ise $X$ lambası bağlanmıştır. $S$ anahtarı $1$ konumundayken alternatif akım kaynağı, $2$ konumundayken doğru akım kaynağı devreye girmektedir.

Buna göre;

I. $S$ anahtarı $2$ konumuna getirilip kapatıldıktan uzun süre sonra $X$ lambası ışık vermez.

II. $S$ anahtarı $1$ konumundayken kaynağın frekansı artırılırsa, $X$ lambasının parlaklığı artar.

III. Lambanın parlaklığı sabit kalmak şartıyla, transformatörün verimi artırılırsa primer devreden çekilen güç azalır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

II ve III

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü yargılar doğrudur.

Transformatörlerin çalışabilmesi için primer bobindeki manyetik akının zamanla değişmesi gerekir. Doğru akım kaynağı (pil) bağlandığında akım kararlı hale geldikten sonra akı değişimi durur ve sekonder devrede gerilim indüklenmez. Alternatif akım devresinde ise sekonder çıkış gerilimi sarım oranlarına bağlı olup frekanstan bağımsızdır. Verim tanımı gereği, çıkış gücü sabitken verim artarsa giriş gücü azalır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru akım (DC) kaynağının transformatör üzerindeki etkisini analiz etmek.

S anahtarı 2 konumundayken primer devreye doğru akım uygulanır. Kararlı durumda manyetik akı değişimi sıfır olacağından sekonder devrede indüksiyon EMK'si oluşmaz ve lamba ışık vermez.

Transformatörler elektromanyetik indüksiyon (akı değişimi) esasına göre çalışır ve sabit doğru akımla sürekli çalışamazlar.

2

Alternatif akım (AC) frekansının çıkış gerilimi ve lamba parlaklığına etkisini değerlendirmek.

S anahtarı 1 konumundayken sekonder geriliminin etkin değeri frekanstan bağımsız olarak

V_2 = V_1 \cdot \frac{N_2}{N_1}

olur. Lambanın direnci de frekansa bağlı olmadığından lamba parlaklığı değişmez.

Transformatörün gerilim dönüştürme oranı sadece sarım oranlarına ve giriş geriliminin büyüklüğüne bağlıdır, frekansa bağlı değildir.

3

Verim ve güç ilişkisini incelemek.

Verim formülü

\eta = \frac{P_{sekonder}}{P_{primer}}

şeklindedir. Lambanın parlaklığı (çıkış gücü) sabitken verim artırılırsa primer devreden çekilen güç azalır.

Daha yüksek verimli bir transformatör, aynı çıkış gücünü sağlamak için girişten daha az güç çeker.

Anahtar Kavram

Transformatörlerin çalışma ilkeleri, AC/DC gerilimlerdeki davranışı ve verim bağıntısı.

Soru 3157Soru →

Yatay ve sürtünmeli bir düzlemde kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan $2\text{ kg}$ kütleli homojen bir silindirin kütle merkezinin çizgisel hızı $4\text{ m/s}$ 'dir. Silindirin eylemsizlik momenti $I = \frac{1}{2}MR^2$ olduğuna göre, silindirin toplam kinetik enerjisi kaç $\text{J}$ 'dür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Silindirin toplam kinetik enerjisi

24\text{ J}

'dür.

Toplam kinetik enerji, öteleme kinetik enerjisi (

16\text{ J}

) ile dönme kinetik enerjisinin (

8\text{ J}

) toplamı olan

24\text{ J}

'dür.

Adım Adım Çözüm

1

Öteleme kinetik enerjisini hesaplamak.

E_{\text{öt}} = 16\text{ J}

Öteleme hareketi yapan bir cismin sahip olduğu kinetik enerji çizgisel hızına bağlıdır ve

E = \frac{1}{2}mv^2

ile hesaplanır.

2

Dönme kinetik enerjisini eylemsizlik momenti ve açısal hız cinsinden yazıp hesaplamak.

E_{\text{dön}} = 8\text{ J}

Dönme kinetik enerjisi

E_{\text{dön}} = \frac{1}{2}I\omega^2

formülüyle hesaplanır. Kaymadan dönme durumunda

\omega = \frac{v}{R}

ve

I = \frac{1}{2}MR^2

kullanıldığında bu enerji öteleme enerjisinin yarısına eşit olur.

3

Öteleme ve dönme kinetik enerjilerini toplayarak toplam kinetik enerjiyi bulmak.

E_{\text{top}} = 24\text{ J}

Dönerek öteleyen bir cismin toplam kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Dönerek öteleme yapan cisimlerin toplam kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamıdır.

Soru 3158Soru →

Bir torbada $3$ sarı ve $7$ yeşil kart bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kart sarı ise tura gelme olasılığı $\%60$ olan $A$ parası, yeşil ise tura gelme olasılığı $\%40$ olan $B$ parası havaya atılıyor. Buna göre, bu işlemin sonucunda atılan paranın tura gelme olasılığı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Atılan paranın tura gelme olasılığı %46'dır.

Toplam olasılık formülü kullanılarak, sarı kart çekilip A parasının tura gelme olasılığı (

0,3 \times 0,6 = 0,18

) ile yeşil kart çekilip B parasının tura gelme olasılığı (

0,7 \times 0,4 = 0,28

) toplanır ve sonuç 0,46 (yani %46) olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kartların çekilme olasılıklarını hesaplama

P(S) = \frac{3}{10}

ve

P(Y) = \frac{7}{10}

Hangi paranın atılacağı çekilen kartın rengine bağlıdır.

2

Kart rengine bağlı olarak tura gelme koşullu olasılıklarını belirleme

P(T|S) = 0,6

ve

P(T|Y) = 0,4

Sarı kart çekilirse A parası (%60 tura), yeşil kart çekilirse B parası (%40 tura) kullanılmaktadır.

3

Toplam olasılık formülünü kullanarak tura gelme olasılığını hesaplama

P(T) = (0,3 \times 0,6) + (0,7 \times 0,4) = 0,18 + 0,28 = 0,46

Paranın tura gelmesi olayı, kart seçimi olayına bağımlı olduğundan her iki durumun olasılıkları çarpılarak toplanır.

Anahtar Kavram

Bağımlı olayların olasılıklarının toplam olasılık formülü ile hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3159Soru →

Düşey eksen etrafında sabit $\omega$ açısal süratiyle dönen içi boş bir koninin iç yüzeyinde bulunan $m$ kütleli bir K cismi, eksene göre $r$ yarıçaplı yörüngede koniye göre konumunu değiştirmeden düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Koninin yan yüzeyinin yatay düzlemle yaptığı açı $\theta$ , cisim ile koni yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı ise $k$ 'dir.

Buna göre;

I. $k \geq \tan\theta$ ise, koni dönmese bile K cismi aşağı doğru kaymaz.
II. $k < \tan\theta$ ise, cismin aşağı kaymadan dönebilmesi için koninin açısal süratinin büyüklüğü $\omega \geq \sqrt{\frac{g}{r} \left( \frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta} \right)}$ şartını sağlamalıdır.
III. Cismin çembersel hareket yapmasını sağlayan net kuvvet (merkezcil kuvvet), koni yüzeyinin cisme uyguladığı normal kuvvetin yatay bileşeni ile statik sürtünme kuvvetinin yatay bileşeninin vektörel toplamıdır.

yargılarından hangileri doğrudur? (g: yer çekimi ivmesidir)

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III öncüllerinin tamamının doğru olduğunu belirten seçenek

Her üç öncülün de yer aldığı seçenek doğrudur. Koni dönmediğinde cismin kaymama şartı yatay düzlemle yapılan açının tanjantı ile statik sürtünme katsayısı arasındaki

k \geq \tan\theta

ilişkisine bağlıdır. Cismin aşağı doğru kayma sınırında sürtünme kuvveti yukarı yönlü maksimum değerini alır ve bu durumdaki yatay-düşey kuvvet dengesinden minimum açısal sürat ifadesi elde edilir. Son olarak, düşey doğrultuda ivme sıfır olduğundan net kuvvet yatay doğrultudadır ve bu net kuvvet yüzey normal kuvveti ile sürtünme kuvvetinin yatay bileşenlerinin vektörel toplamına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Koni dönmediğinde cismin statik dengede kalma şartını belirlemek.

Cisme etki eden yer çekimi kuvvetinin yüzeye paralel bileşeni

mg \sin\theta

, statik sürtünme kuvvetinin maksimum değeri ise

f_{s,maks} = k N = k mg \cos\theta

'dir. Cismin kaymaması için

f_{s,maks} \geq mg \sin\theta

olmalıdır. Buradan

k mg \cos\theta \geq mg \sin\theta \implies k \geq \tan\theta

bulunur. Bu durum I. yargıyı doğrular.

Koni dönmediğinde sistemin eğik düzlemdeki bir blok gibi davrandığını göstererek statik denge sınırını bulmak.

2

Cismin aşağı kayma sınırındaki kuvvet dengesini yazmak.

Aşağı kayma sınırında sürtünme kuvveti koni yüzeyine paralel ve yukarı yönlüdür (

f_s = k N

). Düşey dengeden

N \cos\theta + f_s \sin\theta = mg \implies N(\cos\theta + k \sin\theta) = mg

elde edilir. Yatay doğrultudaki net kuvvet (merkezcil kuvvet) ise

N \sin\theta - f_s \cos\theta = m\omega_{min}^2 r \implies N(\sin\theta - k\cos\theta) = m\omega_{min}^2 r

olur.

Cismin çembersel hareket yörüngesindeki yatay ve düşey kuvvet bileşenlerini belirlemek.

3

Kuvvet denklemlerini oranlayarak minimum açısal sürati çekmek.

Yatay kuvvet denklemini düşey kuvvet denklemine oranladığımızda:

\frac{N(\sin\theta - k\cos\theta)}{N(\cos\theta + k\sin\theta)} = \frac{m\omega_{min}^2 r}{mg} \implies \frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta} = \frac{\omega_{min}^2 r}{g}

elde edilir. Buradan

\omega_{min} = \sqrt{\frac{g}{r} \left( \frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta} \right)}

bulunur. Bu değerin altında cisim aşağı kayacağından

\omega \geq \omega_{min}

olmalıdır. Bu durum II. yargıyı doğrular.

Minimum limit açısal sürat değerini matematiksel olarak elde etmek.

4

Net kuvvetin (merkezcil kuvvetin) fiziksel kaynağını analiz etmek.

Cisim yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yaptığından düşey yöndeki net kuvvet sıfırdır (

F_{net,y} = 0

). Bu durumda cisme etki eden net kuvvet tamamen yatay doğrultudadır ve merkezcil kuvvettir. Yatay doğrultuda kuvvet oluşturan bileşenler ise normal kuvvetin yatay bileşeni (

N_x

) ile sürtünme kuvvetinin yatay bileşenidir (

f_{s,x}

). Net kuvvet bu iki bileşenin vektörel toplamıdır:

\vec{F}_{net} = \vec{N}_x + \vec{f}_{s,x}

. Bu durum III. yargıyı doğrular.

Çembersel harekette net kuvvet tanımının doğruluğunu fiziksel yasalarla temellendirmek.

Anahtar Kavram

Dönen koni yüzeyinde sürtünmeli çembersel hareket ve limit durumlar

Alternatif Yöntem

Cismin üzerindeki kuvvetleri koni yüzeyine paralel ve dik bileşenler cinsinden yazıp eylemsiz referans sistemindeki hayali kuvvet dengesiyle çözmek mümkündür, fakat eylemli referans sisteminde doğrudan yatay ve düşey doğrultuda Newton'ın ikinci hareket yasasını uygulamak fiziksel olarak en doğru yöntemdir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 3160Soru →

Yerden düşey doğrultuda sabit $10\text{ m/s}$ hızla yükselmekte olan bir balon yerden $40\text{ m}$ yükseklikteyken, balondaki bir yolcu bir taşı balona göre yatay doğrultuda $15\text{ m/s}$ hızla fırlatıyor. Hava sürtünmesi ihmal edildiğine göre, taşın fırlatıldığı andan yere çarpana kadar geçen sürede aldığı yatay yol kaç metredir? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

30

40

60

80

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $60$

Cevap

Taşın yere çarpana kadar yatayda aldığı yol

60\text{ m}

'dir.

Taşın yere göre ilk hızının yatay bileşeni

15\text{ m/s}

, düşey yukarı bileşeni ise

10\text{ m/s}

'dir.

40\text{ m}

yükseklikten atılan cismin düşey hareket denklemi çözüldüğünde havada kalma süresi

4\text{ s}

bulunur. Yatayda sabit hızla hareket ettiği için bu sürede alacağı yol

15 \times 4 = 60\text{ m}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Taşın yere göre ilk hız bileşenlerinin bulunması

v_{0x} = 15\text{ m/s}

ve

v_{0y} = 10\text{ m/s}

(düşey yukarı)

Taş, yükselmekte olan balondan fırlatıldığı için balonun düşey hızını (

10\text{ m/s}

) aynen taşır. Balona göre yatay fırlatılma hızı

15\text{ m/s}

olduğundan, yere göre hız bileşenleri yatayda

15\text{ m/s}

ve düşey yukarı yönde

10\text{ m/s}

olur.

2

Taşın havada kalma süresinin (

t

) hesaplanması

t = 4\text{ s}

Taşın düşey doğrultudaki hareketi, yukarı düşey atış hareketidir. Yere göre konum denklemi yazılırsa:

y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2

olur. Taş yere çarptığında

y = 0

olacağından:

0 = 40 + 10t - 5t^2 \implies t^2 - 2t - 8 = 0

elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü

t = 4\text{ s}

olarak bulunur.

3

Taşın aldığı yatay yolun (

x

) hesaplanması

x = 60\text{ m}

Hava sürtünmesi önemsiz olduğundan taş yatay doğrultuda sabit hızlı hareket yapar. Yatayda alınan yol

x = v_{0x} \times t = 15\text{ m/s} \times 4\text{ s} = 60\text{ m}

bağıntısıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Hareketli referans sistemlerinden fırlatılan cisimlerin yere göre hız vektörlerinin belirlenmesi ve eğik atış hareketinin yatay/düşey bileşenlerine ayrıştırılarak çözülmesi.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem