Examkin

Tüm alıştırma soruları

842 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 121Soru →

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için ifadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=cos⁡(2x)c = \cos(2x) elde edilir. Bu aralıkta sec⁡x>1\sec x > 1 olduğundan en büyük değerdir. Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede azalan olduğundan açısı daha büyük olan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi, cos⁡x\cos x ifadesinden daha küçüktür. Bu durumda sıralama c<b<ac < b < a şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ifadenin özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilmesi
a=tan⁡x⋅csc⁡2x=tan⁡x⋅∣csc⁡x∣a = \tan x \cdot \sqrt{\csc^2 x} = \tan x \cdot |\csc x| elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında csc⁡x>0\csc x > 0 olduğundan ifade aynen çıkar: a=sin⁡xcos⁡x⋅1sin⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \sec x.
Karekök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi ve mutlak değer dışına işaret kontrolü yapılarak çıkarılması gerekir.
2
İkinci ifadenin sadeleştirilmesi
b=(cos⁡x−sin⁡x)2+sin⁡x=∣cos⁡x−sin⁡x∣+sin⁡xb = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sin x = |\cos x - \sin x| + \sin x elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan ifade pozitif olarak dışarı çıkar: b=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken terimlerin büyüklük sıralamasına göre mutlak değer içi kontrol edilmelidir.
3
Üçüncü ifadenin sadeleştirilmesi
c=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡(2x)⋅1=cos⁡(2x)c = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x) elde edilir.
İki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü kullanılarak ifade daha yalın hale getirilir.
4
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıkta karşılaştırılması
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) için sec⁡x>1\sec x > 1, cos⁡x<1\cos x < 1 ve cos⁡(2x)<1\cos(2x) < 1 olur. Ayrıca birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan x<2x  ⟹  cos⁡(2x)<cos⁡xx < 2x \implies \cos(2x) < \cos x yazılır. Buradan c<b<ac < b < a sıralamasına ulaşılır.
Açıların bölgelerine göre fonksiyonların monotonluk (artanlık/azalanlık) özellikleri ve değer aralıkları karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 122Soru →

θ\theta gerçel sayısı için 2π3<θ<3π4\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4} eşitsizliği verilmiştir. Buna göre, aşağıda tanımlanan aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir. İkinci bölgede yer alan açı için sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Dolayısıyla çarpımları olan cc ifadesi kesinlikle negatiftir. a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos(2\theta) yarım açı dönüşümüyle pozitif bir değer alır ve en fazla 0.50.5 olabilir. bb ifadesi sadeleştirildiğinde −tan⁡θ-\tan \theta değerine eşit olup, bu aralıkta 11'den büyük bir değer alır. Bu durum sıralamayı doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
A��ının bölgesini belirleyip temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini incelemek.
θ∈(2π3,3π4)\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) aralığı derece cinsinden (120∘,135∘)(120^\circ, 135^\circ) aralığına denk gelir ve II. bölgededir. Bu bölgede sin⁡θ>0\sin \theta > 0, cos⁡θ<0\cos \theta < 0, tan⁡θ<0\tan \theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot \theta < 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bölgelerdeki işaret kurallarını uygulamak gerekir.
2
cc ifadesinin işaretini ve değer aralığını bulmak.
c=sin⁡θcos⁡θc = \sin \theta \cos \theta ifadesinde sin⁡θ>0\sin \theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos \theta < 0 olduğundan çarpım negatiftir. Yarım açı formülüyle c=sin⁡(2θ)2c = \frac{\sin(2\theta)}{2} yazılır. 2θ∈(4π3,3π2)2\theta \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}) yani (240∘,270∘)(240^\circ, 270^\circ) aralığındadır. Bu aralıkta sin⁡(2θ)∈(−1,−32)\sin(2\theta) \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) olduğundan, c∈(−0.5,−34)c \in (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{4}) olur.
cc teriminin sıfırdan küçük olduğunu ve değer sınırlarını netleştirmek sıralamada kesinlik sağlar.
3
aa ifadesini yarım açı formülüyle analiz etmek.
a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta) olur. 2θ∈(240∘,270∘)2\theta \in (240^\circ, 270^\circ) aralığında kosinüs negatiftir ve cos⁡(2θ)∈(−0.5,0)\cos(2\theta) \in (-0.5, 0) aralığındadır. Önündeki eksi işaretiyle birlikte a=−cos⁡(2θ)∈(0,0.5)a = -\cos(2\theta) \in (0, 0.5) olur.
aa ifadesinin pozitif olduğunu ve üst sınırının 0.50.5 olduğunu saptayarak diğer terimlerle karşılaştırma altyapısını kurmak.
4
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirip aralığını bulmak.
b=1−tan⁡θ1−1tan⁡θ=1−tan⁡θtan⁡θ−1tan⁡θ=−tan⁡θb = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} = \frac{1 - \tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} = -\tan \theta elde edilir. θ∈(120∘,135∘)\theta \in (120^\circ, 135^\circ) aralığında tan⁡θ∈(−3,−1)\tan \theta \in (-\sqrt{3}, -1) olduğundan, b=−tan⁡θ∈(1,3)b = -\tan \theta \in (1, \sqrt{3}) aralığındadır.
bb ifadesinin sadeleşmiş halini bulup sayısal değer sınırlarını diğer ifadelerle kıyaslanabilir hale getirmek.
5
Elde edilen değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı oluşturmak.
c<0c < 0, 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>1b > 1 aralıkları birleştirildiğinde c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınırları sayı doğrusu mantığıyla dizerek nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 123Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
bb ifadesisinin değeri negatif, cc ifadesinin değeri 11 ve aa ifadesinin değeri 22'den büyüktür. Bu durumda küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin kareköklü terimlerini ortak paydaya getirerek veya eşlenik kullanarak sadeleştirme.
a=2tan⁡xa = 2\tan x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olduğundan a>2a > 2 bulunur.
Üçüncü bölgede sin⁡x∈(−1,0)\sin x \in (-1, 0) olduğundan 1−sin⁡x>01 - \sin x > 0 ve 1+sin⁡x>01 + \sin x > 0 olur. Ayrıca cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan kök dışına çıkarılırken işaretlere dikkat edilmelidir.
2
bb ifadesinin payındaki iki kare farkını uygulayarak sadeleştirme yapma.
b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan b<0b < 0 bulunur.
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesi (sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğu için pay (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) halini alır ve paydadaki terimle sadeleşir.
3
cc ifadesindeki fonksiyonları temel sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x cinsinden yazarak sadeleştirme.
c=1c = 1 elde edilir.
Paydaki tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} ve paydadaki sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri birbirini sadeleştirerek sabit 11 değerini verir.
4
Elde edilen a>2a > 2, b<0b < 0 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırarak sıralama.
b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Negatif bir değer (bb) her zaman 11'den (cc) ve 22'den büyük bir değerden (aa) küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 124Soru →
x=cos⁡(17π5)x = \cos\left(\frac{17\pi}{5}\right)
y=sin⁡(−23π10)y = \sin\left(-\frac{23\pi}{10}\right)
z=tan⁡(32π5)z = \tan\left(\frac{32\pi}{5}\right)
w=cot⁡(−13π5)w = \cot\left(-\frac{13\pi}{5}\right)

Yukarıda tanımlanan xx, yy, zz ve ww değerlerini artan sırada olacak şekilde sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik ifadeler indirgendiğinde oluşan sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri uygulandığında y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) negatif; w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) pozitif olmaktadır. Negatif değerler kendi aralarında kıyaslandığında mutlak değerce büyük olan yy en küçük olup y<xy < x elde edilir. Pozitif değerlerde ise tan⁡(72∘)>1\tan(72^\circ) > 1 iken tan⁡(18∘)<1\tan(18^\circ) < 1 olduğundan w<zw < z olur. Bu durumda artan sırada dizilim y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ)
17π5\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsü 17π5−2π=7π5\frac{17\pi}{5} - 2\pi = \frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olur. Bu açı 3. bölgede yer alır. 3. bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle: cos⁡(180∘+72∘)=−cos⁡(72∘)=−sin⁡(18∘)\cos(180^\circ + 72^\circ) = -\cos(72^\circ) = -\sin(18^\circ) elde edilir.
2
yy ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ)
−23π10-\frac{23\pi}{10} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 17π10\frac{17\pi}{10} (306∘306^\circ) olarak bulunur. 4. bölgede yer alan bu açının sinüsü negatiftir. İndirgeme formülüyle: sin⁡(360∘−54∘)=−sin⁡(54∘)\sin(360^\circ - 54^\circ) = -\sin(54^\circ) elde edilir.
3
zz ifadesinin esas ölçüsünü bulup değer aralığını belirleme
z=tan⁡(72∘)>1z = \tan(72^\circ) > 1
32π5\frac{32\pi}{5} açısının esas ölçüsü 32π5−6π=2π5\frac{32\pi}{5} - 6\pi = \frac{2\pi}{5} (72∘72^\circ) olur. 1. bölgede tanjant pozitiftir. 72∘>45∘72^\circ > 45^\circ olduğundan tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
ww ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme ve değer aralığını belirleme
w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) (0<w<10 < w < 1)
−13π5-\frac{13\pi}{5} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 7π5\frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olarak bulunur. 3. bölgede kotanjant pozitiftir. İndirgeme formülüyle: cot⁡(180∘+72∘)=cot⁡(72∘)=tan⁡(18∘)\cot(180^\circ + 72^\circ) = \cot(72^\circ) = \tan(18^\circ) elde edilir. 0∘<18∘<45∘0^\circ < 18^\circ < 45^\circ olduğundan 0<tan⁡(18∘)<10 < \tan(18^\circ) < 1 olur.
5
Elde edilen değerleri karşılaştırarak nihai sıralamayı oluşturma
y<x<w<zy < x < w < z
Negatif sayılardan y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) kıyaslandığında; sin⁡(54∘)>sin⁡(18∘)\sin(54^\circ) > \sin(18^\circ) olduğundan −sin⁡(54∘)<−sin⁡(18∘)-\sin(54^\circ) < -\sin(18^\circ), yani y<xy < x bulunur. Pozitif sayılardan w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) kıyaslandığında; w<1<zw < 1 < z olduğu için w<zw < z olur. Negatif sayılar pozitif sayılardan küçük olduğundan genel sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 125Soru →

3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi koşulunu sağlayan bir xx gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler tanımlanıyor:

a=1−2sin⁡xcos⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x}
b=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xb = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xsec⁡x⋅csc⁡xc = \frac{\tan x + \cot x}{\sec x \cdot \csc x}

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralaması küçükten büyüğe b < c < a şeklindedir.
Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=1c = 1 elde edilir. Verilen aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten daha büyük ve işareti negatif olduğundan, bu iki değerin toplamı olan bb ifadesi negatiftir (b<0b < 0). aa ifadesinde ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için sonuç 11'den büyüktür (a>1a > 1). cc değeri ise her durumda 11'e eşit olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla bb, cc ve aa şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip sinüs ve kosinüs de��erlerinin işaret ve büyüklük ilişkilerini analiz edin.
3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi aralığı birim çemberde ikinci bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 (pozitif) ve cos⁡x<0\cos x < 0 (negatif) olup, mutlak değerce ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x (yani −cos⁡x>sin⁡x-\cos x > \sin x) ilişkisi vardır.
Açının sinüs değeri 00 ile 22\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alırken, kosinüs değeri −1-1 ile −22-\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alır.
2
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını bulun.
a=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣a = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değerin içi pozitiftir: a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x. sin⁡x>0\sin x > 0 ve −cos⁡x>22-\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} olduğundan a>1a > 1 bulunur.
Tam kare özdeşliği ve kareköklü ifadelerin mutlak değer dışına çıkarılması kuralı uygulanmıştır.
3
bb ifadesini sadeleştirip işaretini belirleyin.
İki küp toplamı özdeşliğinden pay sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) olarak yazılır. Paydadaki 1−sin⁡xcos⁡x1 - \sin x \cos x terimi ile sadeleştirme yapıldığında b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğu için b<0b < 0 olur.
Çarpanlara ayırma kuralları ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliği kullanılmıştır.
4
cc ifadesini sadeleştirip değerini bulun.
c=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x1cos⁡x⋅1sin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = 1 bulunur.
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının temel tanımları yerine yazılarak rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılmıştır.
5
Elde edilen sonuçları büyüklüklerine göre sıralayın.
b<0b < 0, c=1c = 1 ve a>1a > 1 olduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a olur.
Negatif sayılar daima pozitif sayılardan küçüktür ve aa değeri cc sabitinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember yardımıyla değerlerin bölgelere göre sıralanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 126Soru →

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=sec⁡x+csc⁡xc = \sec x + \csc x

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a < b < c
Verilen aralıkta a<2a < 2, b>2b > 2 ve c=a⋅b>bc = a \cdot b > b olduğundan doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların sınırlarını belirlemek.
x∈(π/4,π/2)x \in (\pi/4, \pi/2) aralığı için sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir. Ayrıca, 2x∈(π/2,π)2x \in (\pi/2, \pi) olduğundan 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 olur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını tespit ederek sıralama kriterlerini oluşturmak.
2
aa ve bb değerlerinin sınırlarını analiz etmek.
a=sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π/4)a = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4) yazılır. x+π/4∈(π/2,3π/4)x + \pi/4 \in (\pi/2, 3\pi/4) olduğundan sin⁡(x+π/4)∈(2/2,1)\sin(x+\pi/4) \in (\sqrt{2}/2, 1) ve buradan a∈(1,2]a \in (1, \sqrt{2}] elde edilir. b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=2sin⁡2xb = \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} olur. sin⁡2x<1\sin 2x < 1 olduğundan b>2b > 2'dir. Buradan a<ba < b sonucu çıkar.
İfadeleri sadeleştirerek net sayısal aralıklara ulaşmak.
3
cc değerini aa ve bb cinsinden yazıp karşılaştırmak.
c=sec⁡x+csc⁡x=1cos⁡x+1sin⁡x=sin⁡x+cos⁡xsin⁡xcos⁡x=a⋅bc = \sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = a \cdot b olur. a>1a > 1 ve b>2b > 2 olduğundan, c=a⋅b>bc = a \cdot b > b elde edilir.
Çarpımsal ilişkiyi kullanarak en büyük değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların belirli bölgelerde aldığı değer aralıklarının karşılaştırılması ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi.
Soru 127Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−cos⁡x1+cos⁡x−1+cos⁡x1−cos⁡xa = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}
b=sin⁡x1−cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x}
c=cos⁡x1−sin⁡x−1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{\cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilen ifadelerin işaretleri ve değer aralıkları belirlendiğinde c < b < a sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=−2cot⁡xa = -2\cot x
Kök içindeki ifadeler eşlenikleriyle çarpılarak kareleri elde edilir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak sadeleştirme tamamlanır.
2
b ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
b=2cot⁡xb = 2\cot x
Paydalar eşitlenip ortak çarpan parantezine alındığında pay kısmında 2cos⁡x(1−cos⁡x)2\cos x(1 - \cos x) ve paydada sin⁡x(1−cos⁡x)\sin x(1 - \cos x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2cos⁡xsin⁡x\frac{2\cos x}{\sin x} olur.
3
c ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
c=2tan⁡xc = 2\tan x
Paydalar eşitlenip cos⁡2x−1=−sin⁡2x\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x özdeşliği kullanıldığında pay kısmında 2sin⁡x(1−sin⁡x)2\sin x(1 - \sin x) ve paydada cos⁡x(1−sin⁡x)\cos x(1 - \sin x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} olur.
4
Tanımlı xx açısının bulunduğu aralığa göre değerlerin işaret ve büyüklüklerini karşılaştırınız.
c<b<ac < b < a
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 dır. Buna göre c=2tan⁡x<−2c = 2\tan x < -2, b=2cot⁡x∈(−2,0)b = 2\cot x \in (-2, 0) ve a=−2cot⁡x∈(0,2)a = -2\cot x \in (0, 2) elde edilerek sıralama bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 128Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x

olarak tanımlanıyor. Buna göre; KK, LL ve MM değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın��z.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen aralıkta bulunan değerlerin do��ru sıralaması K < L < M şeklindedir.
Verilen açı aralığında sinüs ve kosinüs negatif değerler alırken, tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır. İki negatif değerin toplamı olan ilk ifade negatif, çarpımları olan ikinci ifade pozitif fakat yarım değerden küçük, tanjant ile kotanjantın toplamı olan üçüncü ifade ise 2'den büyüktür. Bu durum en küçük değerin negatif olan ifade, en büyük değerin ise 2'den büyük olan ifade olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Aç��nın bulunduğu bölgeyi belirleme ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz etme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde üçüncü bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bu bölgedeki işaretlerini ve sınır değerlerini belirlememiz gerekir.
2
K ifadesinin değer aralığını bulma
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan K<0K < 0 olur. Hatta bu aralıkta K∈(−2,−1)K \in (-\sqrt{2}, -1) aralığındadır.
Negatif iki sayının toplamının daima negatif olmasından yararlanılır.
3
L ifadesinin değer aralığını bulma
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x ifadesinde negatif iki sayının çarpımı pozitif olacağından L>0L > 0 olur. Yarım açı formülünden L=sin⁡(2x)2L = \frac{\sin(2x)}{2} yazılabilir. 2x∈(5π2,3π)2x \in \left(\frac{5\pi}{2}, 3\pi\right) yani ikinci bölgeye düştüğü için sin⁡(2x)∈(0,1]\sin(2x) \in (0, 1] olur. Buradan L∈(0,05]L \in (0, 0{}5] elde edilir.
Çarpım durumundaki sinüs ve kosinüs değerlerinin sınırlarını yarım açı formülüyle belirlemek kolaylık sağlar.
4
M ifadesinin değer aralığını bulma
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x ifadesinde, üçüncü bölgenin bu kısmında tan⁡x>1\tan x > 1 ve cot⁡x<1\cot x < 1'dir. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM) veya özdeşlikler kullanıldığında, pozitif bir sayı ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 olur (a+1a≥2a + \frac{1}{a} \ge 2). Dolayısıyla M≥2M \ge 2'dir.
Pozitif reel sayıların kendisi ile tersinin toplamının sınır değer özelliğini kullanarak M değerinin alt sınırını buluruz.
5
Elde edilen aralıkları karşılaştırma
K<0K < 0, 0<L≤050 < L \le 0{}5 ve M≥2M \ge 2 olduğundan K<L<MK < L < M sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınır değerleri birbiriyle çakışmadığı için kesin sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki bölgelere göre işaret ve değer aralıklarının belirlenmesi.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer seçilerek (örneğin x=240∘x = 240^\circ) yaklaşık değerler hesaplanabilir: sin⁡(240∘)=−32≈−086\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{}86, cos⁡(240∘)=−05\cos(240^\circ) = -0{}5. Buradan K≈−136K \approx -1{}36, L=043L = 0{}43, M=3+13≈23M = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2{}3 bulunur ve K<L<MK < L < M şeklinde sıralanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 129Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı c < b < a şeklindedir.
Negatif olan tek ifade c olduğu için en küçüktür. Pozitif olan a ve b ifadeleri karşılaştırıldığında, a ifadesinin b ifadesinden farkı iki kat sinüs değeri olup bu değer de ikinci bölgede pozitif olduğundan a, b'den büyüktür. Bu durumda doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0
İki kare farkı özdeşliği kullanılarak pay kısmı sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde yazılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan ifade sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x haline gelir. Bu da (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) olarak çarpanlarına ayrılır ve paydadaki ifadeyle sadeleştiğinde geriye a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x kalır. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, bu fark pozitif bir değer alır.
2
bb ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
b=−sin⁡x−cos⁡x>0b = -\sin x - \cos x > 0
1+2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 özdeşliği kullanılır. İfade kök dışına mutlak değer içinde ∣sin⁡x+cos⁡x∣|\sin x + \cos x| olarak çıkar. x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük ve kosinüs negatif olduğu için toplamları negatiftir. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek b=−sin⁡x−cos⁡xb = -\sin x - \cos x olarak çıkar.
3
cc ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
c=sin⁡2x−cos⁡2x<0c = \sin^2 x - \cos^2 x < 0
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} ve sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri yerine yazılarak oranlandığında paydadaki sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x terimleri sadeleşir ve c=sin⁡2x−cos⁡2xc = \sin^2 x - \cos^2 x kalır. Verilen aralıkta cos⁡2x>sin⁡2x\cos^2 x > \sin^2 x olduğundan fark negatiftir.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
c<b<ac < b < a
cc negatif olduğundan en küçüktür. Pozitif olan aa ve bb değerleri kıyaslandığında ise, a−b=(sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x−cos⁡x)=2sin⁡xa - b = (\sin x - \cos x) - (-\sin x - \cos x) = 2\sin x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0  ⟹  a>ba - b > 0 \implies a > b olur. Buradan doğru sıralama c<b<ac < b < a olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 130Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=cos⁡xcot⁡xa = \frac{\cos x}{\cot x}
b=sec⁡2x−1b = \sqrt{\sec^2 x - 1}
c=1−cos⁡2xcos⁡xc = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < c < b şeklindedir.
Üçüncü bölgede sinüs negatif, tanjant ise pozitiftir. Bu nedenle pozitif olan b en büyük değerdir. Negatif olan a'yı basit kesir olan tanjant ile çarptığımızda sıfıra yaklaşacağından c değeri a'dan büyük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştiriniz.
a=sin⁡xa = \sin x, b=tan⁡xb = \tan x ve c=sin⁡x⋅tan⁡xc = \sin x \cdot \tan x olarak bulunur.
İfadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırabilmek için en sade hallerine ulaşmak gerekir.
2
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyiniz.
Bu aralıkta (üçüncü bölge) sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olur.
Açının bulunduğu bölge, trigonometrik değerlerin işaretini ve büyüklük ilişkisini belirler.
3
Bulunan değerleri ve işaretleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.
a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
b>0b > 0 olduğundan en büyüktür. aa ve cc negatif olup, 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olduğundan a⋅tan⁡x>aa \cdot \tan x > a yani c>ac > a olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 131Soru →

Aşağıda verilen aa, bb, cc ve dd trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama d < b < c < a şeklindedir.
Kotanjantın negatif olması dd değerini en küçük yapar. Diğer pozitif terimlerin birinci bölgeye indirgenmiş halleri b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede sinüsün tanjanttan küçük olması ve yarım açı analizinden sin⁡(80∘)>tan⁡(40∘)\sin(80^\circ) > \tan(40^\circ) gelmesi nedeniyle doğru sıralama d<b<c<ad < b < c < a olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadelerin bölgelerini belirleyip işaret analizi yapma.
d=cot⁡(310∘)<0d = \cot(310^\circ) < 0 (IV. bölge), b=cos⁡(290∘)>0b = \cos(290^\circ) > 0 (IV. bölge), c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (III. bölge) ve a=sin⁡(100∘)>0a = \sin(100^\circ) > 0 (II. bölge) bulunur.
Negatif olan dd değerinin en küçük terim olduğunu saptamak için.
2
Pozitif değerleri I. bölgedeki dar açılara indirgeme.
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerleri elde edilir.
Birinci bölgede bilinen sıralama kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için.
3
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) ile c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerini karşılaştırma.
0<x<90∘0 < x < 90^\circ için sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x olduğundan sin⁡(20∘)<tan⁡(20∘)\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ)'dir. Tanjant fonksiyonu birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ) olur. Buradan b<cb < c elde edilir.
Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının birinci bölgedeki davranışlarını kıyaslamak için.
4
c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ile a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerlerini karşılaştırma.
sin⁡(80∘)=2sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\sin(80^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) yarım açı açılımı ile tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} kıyaslanır. İki ifade oranlandığında sin⁡(80∘)tan⁡(40∘)=2cos⁡2(40∘)\frac{\sin(80^\circ)}{\tan(40^\circ)} = 2 \cos^2(40^\circ) elde edilir. 40∘<45∘40^\circ < 45^\circ olduğundan cos⁡(40∘)>cos⁡(45∘)=22\cos(40^\circ) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ve dolayısıyla cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > \frac{1}{2} olur. Buradan 2cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > 1 yani a>ca > c elde edilir.
Yarım açı formülü yardımıyla iki pozitif değer arasındaki kesin büyüklük ilişkisini kurmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri, indirgeme formülleri ve birinci bölgedeki büyüklük ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 132Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen aralıkta bb ifadesi iki negatif sayının toplamı olup en küçük değeri alır (b≤−2b \le -2). cc ifadesi biri pozitif diğeri negatif iki sayının çarpımı olup negatif bir değerdir fakat −0.5-0.5 ile 00 arasındadır. aa ifadesinde ise sinüs mutlak değerce kosinüsten büyük olduğu için toplam pozitiftir (a>0a > 0). Bu nedenle en küçük değer bb, ardından cc ve en büyük değer aa olup doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu aralığa göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı 2. bölgenin ilk yarısına (90∘<x<135∘90^\circ < x < 135^\circ) karşılık gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 olur.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini ve birbirlerine kıyasla mutlak değer büyüklüklerini belirlemek sıralamanın ilk adımıdır.
2
Verilen ifadelerin değer aralıklarını analiz etme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ifadesinde sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan toplam pozitif olur (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan toplam negatiftir; ayrıca ∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣≥2|\tan x| + |\cot x| \ge 2 olduğundan b≤−2b \le -2 elde edilir. c=sin⁡x⋅cos⁡x=12sin⁡(2x)c = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) ifadesinde 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğundan üçüncü bölgedeki sinüs değerine bağlı olarak −0.5<c<0-0.5 < c < 0 bulunur.
Her bir ifadenin sayı doğrusundaki yerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler ve eşitsizlikler kullanılır.
3
Değerleri karşılaştırarak nihai sıralamaya ulaşma
b≤−2<c<0<ab \le -2 < c < 0 < a aralıkları birleştirildiğinde küçükten büyüğe sıralama b<c<ab < c < a olur.
Elde edilen değer aralıkları kesişmediği için kesin bir sıralama yapılmasına olanak tanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin İşaretleri ve Bölgeye Göre Sıralanması

Alternatif Yöntem

Verilen aralıktan özel bir değer seçilerek (örneğin x=120∘x = 120^\circ) değerler doğrudan hesaplanabilir: a=3−12≈0.366a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366, b=−3−13≈−2.31b = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -2.31, c=−34≈−0.433c = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433 bulunur ve buradan b<c<ab < c < a sıralaması kolaylıkla görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 133Soru →
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−tan⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \tan x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c<a<bc < a < b
Verilen aralık IV. bölgeyi temsil eder. Bu bölgede c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesi negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için kesinlikle negatiftir (c<0c < 0). a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinde tan⁡x<sin⁡x<0\tan x < \sin x < 0 olduğundan sonuç pozitiftir (a>0a > 0). b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinde ise cot⁡x<−1  ⟹  −cot⁡x>1\cot x < -1 \implies -\cot x > 1 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan b>1b > 1 olur. Bu durumda doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen xx açısının bölgesine göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etmek.
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığı birim çemberde IV. bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır. Daha spesifik olarak −22<sin⁡x<0-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0, 22<cos⁡x<1\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1, −1<tan⁡x<0-1 < \tan x < 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 aralıklarındadır.
Toplama ve çıkarma içeren ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirleyebilmek.
2
c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesinin işaretini incelemek.
Negatif bir değer olan sin⁡x\sin x ifadesinden pozitif bir değer olan cos⁡x\cos x çıkarıldığında sonuç negatif olur. Yani c<0c < 0 elde edilir.
cc değerinin negatif olduğunu bularak sıralamadaki en küçük eleman olduğunu belirlemek.
3
a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinin işaretini incelemek.
IV. bölgede 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 olduğundan tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ifadesi sin⁡x\sin x değerinden daha küçük (daha negatif) bir sayıdır. Dolayısıyla sin⁡x−tan⁡x>0\sin x - \tan x > 0 olur. Yani aa pozitiftir (a>0a > 0).
aa değerinin pozitif olduğunu bularak negatif olan cc değerinden büyük olduğunu belirlemek.
4
b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını incelemek.
IV. bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 dir. Buradan −cot⁡x>1-\cot x > 1 olur. Pozitif olan cos⁡x\cos x ile 11'den büyük olan −cot⁡x-\cot x toplandığında b>1b > 1 elde edilir.
bb değerinin 11'den büyük olduğunu göstererek 0<a<10 < a < 1 aralığında kalan aa değerinden büyük olduğunu doğrulamak.
5
Elde edilen tüm işaret ve aralık bilgilerini birleştirerek sıralamayı tamamlamak.
c<0c < 0, 0<a<10 < a < 1 ve b>1b > 1 olduğundan küçükten büyüğe sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Nihai sıralamayı oluşturmak.

Anahtar Kavram

IV. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralama yapma.
Soru 134Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅tan⁡xb=cos⁡x⋅cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x negatif iken tan⁡x>1\tan x > 1 ve 0<cot⁡x<10 < \cot x < 1 olmaktadır. Bu durumda cc ifadesi iki negatifin çarpımından pozitif olur ve en büyüktür. aa ve bb değerleri negatif olup, a−ba - b farkının negatif çıkmasından ötürü a<ba < b sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama en küçükten en büyüğe a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaret ve büyüklüklerini belirlemek.
Bu aralıkta açı koordinat düzleminin 3. bölgesindedir. Dolayısıyla sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur. Ayrıca bu alt aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 ve 0<cot⁡x<1<tan⁡x0 < \cot x < 1 < \tan x koşulları sağlanır.
Trigonometrik ifadelerin çarpımlarının yönünü ve işaretlerini tayin edebilmek için temel aralık özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini incelemek.
a=sin⁡x⋅tan⁡xa = \sin x \cdot \tan x ifadesi negatif bir say�� ile 1'den büyük pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (a<0a < 0). b=cos⁡x⋅cot⁡xb = \cos x \cdot \cot x ifadesi negatif bir sayı ile 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayının çarpımı oldu��undan negatiftir (b<0b < 0). c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi iki negatif sayının çarpımı olduğundan pozitiftir (c>0c > 0).
Pozitif olan cc değerinin en büyük olduğunu doğrudan görebilmek ve negatif olan aa ile bb değerlerini kendi arasında karşılaştırmak üzere gruplamak.
3
aa ve bb negatif sayılarının büyüklüklerini karşılaştırmak için a−ba - b farkını incelemek.
a−b=sin⁡2xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡x=sin⁡3x−cos⁡3xsin⁡xcos⁡xa - b = \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x \cos x} ifadesinde, sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan pay kısmı sin⁡3x−cos⁡3x<0\sin^3 x - \cos^3 x < 0 olur. Payda ise sin⁡xcos⁡x>0\sin x \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a−b<0a - b < 0 yani a<ba < b elde edilir.
Matematiksel olarak iki negatif ifadenin hangisinin daha küçük olduğunu fark yöntemiyle kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 135Soru →
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olmak üzere,
a=cos⁡4x−sin⁡4xb=tan⁡2x−cot⁡2xc=tan⁡x1+tan⁡2x\begin{aligned} a &= \cos^4 x - \sin^4 x \\ b &= \tan^2 x - \cot^2 x \\ c &= \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta bb ifadesi negatif bir değer alırken, aa ve cc ifadeleri pozitif değerler alır. a=cos⁡(2x)a = \cos(2x) değeri bu aralıkta 0.50.5 ile 11 arasında, c=12sin⁡(2x)c = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri ise 00 ile yaklaşık 0.4330.433 arasında olduğundan doğru sıralama en küçükten büyüğe doğru b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.
a=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)a = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) özdeşliği yazılır. cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 olduğundan a=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)a = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) elde edilir.
Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı özdeşliğiyle daha kolay analiz edilebilir yarım açı formülüne dönüştürmek için.
2
b ifadesinin değer aralığını belirleyiniz.
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) aralığında tan⁡x\tan x artan bir fonksiyondur ve 0<tan⁡x<130 < \tan x < \frac{1}{\sqrt{3}} aralığındadır. Bu durumda tan⁡2x<13\tan^2 x < \frac{1}{3} olur. Benzer şekilde cot⁡x>3\cot x > \sqrt{3} olduğundan cot⁡2x>3\cot^2 x > 3 elde edilir. Buradan b=tan⁡2x−cot⁡2x<13−3=−83b = \tan^2 x - \cot^2 x < \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} bulunur.
Terimin negatif bir değer aldığını ve sayısal sınırını belirlemek için.
3
c ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirip aralığını bulunuz.
1+tan⁡2x=sec⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} özdeşliği kullanıldığında; c=sin⁡xcos⁡x1cos⁡2x=sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) elde edilir. 2x∈(0,π3)2x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) aralığında sinüs fonksiyonu pozitif değerler alır ve sin⁡(2x)∈(0,32)\sin(2x) \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) olduğundan c∈(0,34)c \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) aralığındadır.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi sadeleştirip değer kümesini netleştirmek için.
4
Sadeleşen ifadelerin değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
b<−2.67b < -2.67, 0<c<0.4330 < c < 0.433 ve 0.5<a<10.5 < a < 1 aralıkları elde edilmiştir. Bu aralıklar birbirleriyle kesişmediği için b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Her bir değişken için bulunan kesin eşitsizlik aralıklarını birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 136Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=sin⁡x+cos⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sin x + \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büy��ğe doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
İkinci bölgenin (3π4,π)\left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) kısmında kosinüs negatif, sinüs ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı negatif olur. Kosinüs ile sinüsün farkı ise negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için daha da küçük bir negatif sayı verir. Tanjant ve kotanjant değerleri negatif olmakla birlikte, bu aralıkta kotanjant −1-1'den küçük, tanjant ise −1-1'den büyüktür. Dolayısıyla tanjant ile kotanjantın farkı pozitif bir değer üretir. Bu durum, kosinüs ile sinüsün farkını en küçük, tanjant ile kotanjantın farkını ise en büyük yapar. Sonuç olarak sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla kosinüs ve sinüsün farkı, sinüs ve kosinüsün toplamı, tanjant ve kotanjantın farkı şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralıktaki trigonometrik değerlerin işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığı ikinci bölgenin ikinci yarısını temsil eder. Bu aralıkta;
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve sin⁡x<22\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}
- cos⁡x<0\cos x < 0 ve cos⁡x<−22\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}
- tan⁡x∈(−1,0)\tan x \in (-1, 0)
- cot⁡x<−1\cot x < -1 olur.
Birim çember üzerindeki ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Açı 3π4\frac{3\pi}{4} değerini aştığında kosinüsün mutlak değeri büyürken sinüsün mutlak de��eri küçülür.
2
aa, bb ve cc ifadelerinin işaretlerini ve büyüklüklerini analiz etmek.
- a=cos⁡x−sin⁡x→a = \cos x - \sin x \rightarrow (Negatif) - (Pozitif) = Negatif bir değer alır.
- b=tan⁡x−cot⁡x→b = \tan x - \cot x \rightarrow tan⁡x>−1\tan x > -1 ve −cot⁡x>1-\cot x > 1 olduğundan toplamları pozitif bir değer alır (b>0b > 0).
- c=sin⁡x+cos⁡x→c = \sin x + \cos x \rightarrow Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x olduğundan, toplamları negatif bir değer alır (c<0c < 0).
İfadelerin genel işaret yapıları sıralamanın ana hatlarını belirler. Pozitif olan bb ifadesi en büyük değere sahiptir.
3
Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslayarak tam sıralamayı oluşturmak.
c−a=(sin⁡x+cos⁡x)−(cos⁡x−sin⁡x)=2sin⁡xc - a = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2\sin x elde edilir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan 2sin⁡x>02\sin x > 0 olur, yani c>ac > a bağıntısı bulunur.
İki negatif değer arasındaki farkın işareti incelenerek hangisinin daha büyük olduğu belirlenir. c>ac > a ve b>0b > 0 olduğundan, nihai sıralama a<c<ba < c < b olarak kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların ikinci bölgedeki işaretleri, değer aralıkları ve mutlak değerce büyüklük kıyaslamaları.
Soru 137Soru →

Hinduizm'in toplumsal yapısını şekillendiren kast (varna) sistemine ait aşağıdaki tabakaları, geleneksel hiyerarşik düzene göre en üst (en saygın) sınıftan en alt sınıfa doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Geleneksel kast hiyerarşisinde do��ru sıralama yukarıdan aşağıya doğru Brahmanlar, Kşatriyalar, Vaişyalar ve Şudralar şeklindedir.
Hinduizm'in kutsal metinlerinden Rigveda'da geçen yaratılış anlatısına göre, kast sınıfları (varnalar) kozmik varlık Puruşa'nın bedeninden türemiştir: Ağzından Brahmanlar, kollarından Kşatriyalar, uyluklarından Vaişyalar ve ayaklarından Şudralar yaratılmıştır. Bu kutsal hiyerarşiye göre doğru sıralama Brahmanlar, Kşatriyalar, Vaişyalar ve Şudralar şeklinde yukarıdan aşağıya doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
En üst kast seviyesini belirleme
Brahmanlar (Din adamları)
Dini bilgiye ve kutsal ritüellere sahip olan rahipler, kast hiyerarşisinin en tepesinde yer alır.
2
İkinci sıradaki kast seviyesini belirleme
Kşatriyalar (Askerler ve yöneticiler)
Toplumu korumak ve yönetmekle görevli olan yöneticiler ve askerler, Brahmanlardan hemen sonra gelir.
3
Üçüncü sıradaki kast seviyesini belirleme
Vaişyalar (Tüccarlar ve toprak sahipleri)
Ekonomik faaliyetleri yürüten tüccarlar ve çiftçiler, yönetici sınıfın altında yer alan üçüncü tabakayı oluşturur.
4
En alt sıradaki kast seviyesini belirleme
Şudralar (İşçiler ve hizmetkarlar)
Üstteki üç kasta hizmet etmekle yükümlü olan işçiler, resmi kast hiyerarşisinin en altında konumlandırılmıştır.

Anahtar Kavram

Hinduizm Kast (Varna) Sisteminin Yapısı ve Tabakaları
Soru 138Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < b < c şeklindedir.
Verilen üçüncü bölge aralığında sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatif, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise pozitiftir. Bu doğrultuda iki negatif değerin çarpımı olan üçüncü ifade pozitif; negatif ve pozitif değerlerin çarpımları olan birinci ve ikinci ifadeler ise negatif olur. Negatif ifadelerin mutlak değerleri karşılaştırıldığında, sinüsün mutlak değerinin kosinüsün mutlak değerinden büyük olmasından ötürü birinci ifade mutlak değerce daha büyük ve dolayısıyla daha küçüktür. Bu durum sıralamayı birinci ifade < ikinci ifade < üçüncü ifade biçiminde belirler.

Adım Adım Çözüm

1
Aralığa göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme.
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde ��çüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerinde üçüncü bölgedeki noktaların apsisleri (kosinüs) ve ordinatları (sinüs) negatif; bu değerlerin oranları olan tanjant ve kotanjant ise pozitiftir.
2
Tanımlanan a, b ve c ifadelerinin işaretlerini analiz etme.
a=sin⁡x⋅tan⁡x<0a = \sin x \cdot \tan x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), b=cos⁡x⋅cot⁡x<0b = \cos x \cdot \cot x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), c=sin⁡x⋅cos⁡x>0c = \sin x \cdot \cos x > 0 (iki negatifin çarpımı) olarak bulunur.
İşaret kurallarına göre zıt işaretli sayıların çarpımı negatif, aynı işaretli sayıların çarpımı ise pozitiftir.
3
Negatif olan a ve b ifadelerini mutlak değerce karşılaştırma.
5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} aralığında ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olduğundan, ∣a∣=sin⁡2x∣cos⁡x∣|a| = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|} ifadesinin payı daha büyük, paydası daha küçüktür. Dolayısıyla ∣a∣>∣b∣|a| > |b| elde edilir. Sayılar negatif olduğundan a<ba < b olur.
Negatif iki sayıdan mutlak değerce büyük olan sayı sayı doğrusunda daha solda yer alacağı için daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve büyüklüklerinin karşılaştırılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 139Soru →
a=sin⁡(19π12)b=cos⁡(11π10)c=tan⁡(13π9)d=cot⁡(23π18)\begin{aligned} a &= \sin\left(\frac{19\pi}{12}\right) \\ b &= \cos\left(\frac{11\pi}{10}\right) \\ c &= \tan\left(\frac{13\pi}{9}\right) \\ d &= \cot\left(\frac{23\pi}{18}\right) \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb, cc ve dd değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı a<b<d<ca < b < d < c şeklindedir.
Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde negatif olanlar a=−cos⁡(15∘)a = -\cos(15^\circ) ve b=−cos⁡(18∘)b = -\cos(18^\circ) olarak elde edilir. Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Buradan negatif halleri kıyaslandığında a<ba < b sonucu çıkar. Pozitif olan ifadeler ise d=tan⁡(40∘)d = \tan(40^\circ) ve c=tan⁡(80∘)c = \tan(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artan olduğundan ve tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 referans alındığında d<1<cd < 1 < c bulunur. Negatif değerler pozitiflerden daima küçük olduğundan sıralama a<b<d<ca < b < d < c olarak netleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyiniz.
19π12\frac{19\pi}{12} açısı 4. bölgededir, sinüs değeri negatiftir (a<0a < 0). 11π10\frac{11\pi}{10} açısı 3. bölgededir, kosinüs değeri negatiftir (b<0b < 0). 13π9\frac{13\pi}{9} açısı 3. bölgededir, tanjant değeri pozitiftir (c>0c > 0). 23π18\frac{23\pi}{18} açısı 3. bölgededir, kotanjant değeri pozitiftir (d>0d > 0).
Sıralama yaparken negatif ve pozitif değerleri kendi aralarında gruplandırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazınız.
a=sin⁡(3π2+π12)=−cos⁡(π12)=−cos⁡(15∘)a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos(15^\circ),
b=cos⁡(π+π10)=−cos⁡(π10)=−cos⁡(18∘)b = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = -\cos(18^\circ),
c=tan⁡(π+4π9)=tan⁡(4π9)=tan⁡(80∘)c = \tan\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \tan\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \tan(80^\circ),
d=cot⁡(π+5π18)=cot⁡(5π18)=cot⁡(50∘)=tan⁡(40∘)d = \cot\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{18}\right) = \cot(50^\circ) = \tan(40^\circ).
Tüm ifadeleri birinci bölgeye taşımak, büyüklük kıyaslaması yapmayı standartlaştırır.
3
Elde edilen dar açılı değerleri negatif ve pozitif gruplar halinde kendi aralarında sıralayınız.
Birinci bölgede açılar büyüdükçe kosinüs azaldığından cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Eksi ile çarptığımızda −cos⁡(15∘)<−cos⁡(18∘)-\cos(15^\circ) < -\cos(18^\circ) elde edilir, yani a<ba < b'dir.
Pozitif değerler için, birinci bölgede açılar büyüdükçe tanjant değeri artar. tan⁡(40∘)<tan⁡(45∘)=1<tan⁡(80∘)\tan(40^\circ) < \tan(45^\circ) = 1 < \tan(80^\circ) olduğundan d<1<cd < 1 < c elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanının daha küçük olduğu gerçeği ile birinci bölgedeki artan/azalan fonksiyon özelliklerini birleştirerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve açıların indirgenerek birinci bölgede sıralanması
Soru 140Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=cos⁡x−cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \cos x - \cot x \end{aligned}
ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Verilen aralık ikinci bölgede yer aldığından tanjant değeri kotanjant değerinden daha küçüktür, bu yüzden farkları olan ikinci ifade negatiftir. Üçüncü ifade çarpanlarına ayrıldığında iki negatif ifadenin çarpımı olarak pozitif fakat 1'den küçük bir değer verir. Birinci ifade ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için pozitif ve 1'den büyüktür. Bu durumda en küçük ikinci ifade, ardından üçüncü ifade ve en büyük birinci ifade şeklinde sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralığa göre temel fonksiyonların işaretlerini ve sınır değerlerini belirleyin.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 olur.
Sıralama yapılacak ifadelerdeki bileşenlerin sınırlarını saptamak için.
2
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadesinin işaretini belirleyin.
tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x>−1\cot x > -1 olduğundan tan⁡x<cot⁡x\tan x < \cot x yazılır. Dolayısıyla b=tan⁡x−cot⁡x<0b = \tan x - \cot x < 0 bulunur.
Küçük değerden büyük değer çıkarıldığında sonucun negatif olduğunu belirlemek için.
3
c=cos⁡x−cot⁡xc = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edin.
c=cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=cos⁡x(1−1sin⁡x)c = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \left(1 - \frac{1}{\sin x}\right) olarak yazılır. sin⁡x∈(22,1)\sin x \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 ve 1−1sin⁡x<01 - \frac{1}{\sin x} < 0 olur. Negatif olan cos⁡x\cos x ile bu negatif ifadenin çarpımı pozitif sonuç verir: c>0c > 0. Çarpanların sınırlarından c<2−22≈0.293c < \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293 olduğu görülür.
cc değerinin işaretini ve üst sınırını belirlemek için.
4
a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesini analiz edip cc değeriyle karşılaştırın.
a=sin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π4)a = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) şeklinde yazılabilir. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) için (x−π4)∈(π4,π2)\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur. Bu aralıkta sinüs değeri 22\frac{\sqrt{2}}{2}'den büyük olduğundan a>1a > 1 elde edilir. Bu durumda b<0<c<1<ab < 0 < c < 1 < a sıralaması kesinleşir.
Pozitif olan iki değerden hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 7 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin