Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1521Soru →
cos⁡2(x)+cos⁡2(2x)+cos⁡2(3x)=1\cos^2(x) + \cos^2(2x) + \cos^2(3x) = 1

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π2\frac{5\pi}{2}

Cevap

Köklerin toplamı olan 5π2\frac{5\pi}{2} ifadesi
Denklemin derece düşürme ve toplam-çarpım formülleriyle çözümü sonucunda [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı kökleri π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4}, π2\frac{\pi}{2}, 3π4\frac{3\pi}{4} ve 5π6\frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu köklerin toplamı 5π2\frac{5\pi}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Derece düşürme formüllerini uygulamak.
cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

cos⁡2(3x)=1+cos⁡(6x)2\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}
Derecesi 2 olan terimleri daha kolay çarpanlarına ayırabilmek için birinci dereceden kosinüs ifadelerine dönüştürüyoruz.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine koyup sadeleştirmek.
1+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)+1+cos⁡(6x)2=1\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 1

1+cos⁡(6x)+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)=11 + \frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 1

cos⁡(6x)+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)=0\frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 0
Denklemin her iki tarafındaki 1 sayıları sadeleşir ve denklem daha yalın bir hale gelir.
3
Kosinüs toplam-çarpım formülünü uygulamak.
cos⁡(6x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(4x)cos⁡(2x)\cos(6x) + \cos(2x) = 2\cos(4x)\cos(2x)

Denklemde yerine koyulduğunda:

cos⁡(4x)cos⁡(2x)+cos⁡2(2x)=0\cos(4x)\cos(2x) + \cos^2(2x) = 0
Toplam durumundaki kosinüs terimlerini ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla çarpım biçimine dönüştürüyoruz.
4
Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma işlemini tamamlamak.
cos⁡(2x)(cos⁡(4x)+cos⁡(2x))=0\cos(2x)(\cos(4x) + \cos(2x)) = 0

cos⁡(4x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(3x)cos⁡(x)\cos(4x) + \cos(2x) = 2\cos(3x)\cos(x)

yazılarak nihai denklem:

2cos⁡(x)cos⁡(2x)cos⁡(3x)=02\cos(x)\cos(2x)\cos(3x) = 0
Denklemin sol tarafını tamamen çarpım biçimine getirerek her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip kökleri bulmayı kolaylaştırıyoruz.
5
[0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki kökleri bulmak.
1) cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

2) cos⁡(2x)=0  ⟹  x=π4,3π4\cos(2x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}

3) cos⁡(3x)=0  ⟹  x=π6,π2,5π6\cos(3x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}
Çarpanların sıfır olduğu değerleri [0,π][0, \pi] tanım aralığında hesaplıyoruz.
6
Kökleri listeleyip toplamak.
Farklı köklerin kümesi: {π6,π4,π2,3π4,5π6}\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\right\}

Köklerin toplamı:

Toplam=π6+π4+π2+3π4+5π6=5π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}
x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü iki farklı grupta da çıktığı için yalnızca bir kez toplanmalıdır. Bulunan farklı köklerin toplamını hesaplıyoruz.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin derece düşürme, toplam-çarpım formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü; belirli bir aralıktaki farklı köklerin tespiti.
Soru 1522Soru →

Analitik düzlemde, yarıçapı 11 birim olan başlangıç noktası merkezli çember üzerindeki bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çembere teğet olan doğru çiziliyor. Bu teğet doğrusu xx-eksenini AA, yy-eksenini ise BB noktasında kesmektedir.

π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2} olduğuna göre, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklığın θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡θ+cot⁡θ\tan\theta + \cot\theta

Cevap

A noktası ile B noktası arasındaki uzaklık tanjant ile kotanjant değerlerinin toplamına eşittir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta) olarak belirlenir. Eksenlerin dik kesişmesi sebebiyle oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında ∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} elde edilir. Bu ifade (tan⁡θ+cot⁡θ)2=∣tan⁡θ+cot⁡θ∣\sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta| şeklinde yazılabilir. θ\theta açısı üçüncü bölgede yer aldığından bu bölgede tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır, dolayısıyla mutlak değer içi pozitif olup dışarıya aynen tanjant ile kotanjantın toplamı olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminin yazılması
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çembere üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi x0x+y0y=1x_0 x + y_0 y = 1 formülüyle bulunur.
2
Eksenleri kestiği noktaların bulunması
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Eksenleri kestiği noktaları bulmak amacıyla teğet doğrusunun denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 yazılır. Buradan x=1cos⁡θ=sec⁡θx = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta ve y=1sin⁡θ=csc⁡θy = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta elde edilir.
3
Noktalar arasındaki uzaklığın hesaplanması
∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ=∣tan⁡θ+cot⁡θ∣|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} = |\tan\theta + \cot\theta|
Eksenler dik kesiştiğinden, dik üçgende Pisagor teoremi kullanılarak uzaklık ∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} şeklinde hesaplanır. sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta ve \csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta o¨zdes\clikleriyerineyazıldıg˘ındaifade özdeşlikleri yerine yazıldığında ifade \sqrt{\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2} = \sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta|$ halini alır.
4
Bölge analizi ile mutlak değerin açılması
∣AB∣=tan⁡θ+cot⁡θ|AB| = \tan\theta + \cot\theta
Açının bulunduğu üçüncü bölgede (π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}) hem tanjant hem de kotanjant fonksiyonları pozitif değerler alır. Bu nedenle toplamları da pozitif olup mutlak değer dışına aynen çıkar.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemi ve bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar yardımıyla trigonometrik özdeşliklerin bölgelere göre işaret analizi yapılarak çözülmesi.
Soru 1523Soru →
x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0
x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Birinci eşitsizlikten (−1,7)(-1, 7) aralığı elde edilir. İkinci eşitsizlikten ise payda kökü hariç tutularak (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] aralığı bulunur. İki kümenin kesişimi (3,5](3, 5] yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki xx tam sayıları 44 ve 55 olup toplamları 99'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizlik olan x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0 ifadesinin köklerini bulun.
Kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=7x_2 = 7 olarak bulunur.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve işaret değişim noktalarını belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
2
İkinci eşitsizlik olan x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0 ifadesinin pay ve paydasındaki kökleri bulun.
Payın kökleri x=−2x = -2 ve x=5x = 5, paydanın kökü ise x=3x = 3 olarak elde edilir.
Rasyonel ifadenin kritik noktalarını tespit ederek işaret tablosunu oluşturmak gerekir.
3
Eşitsizlikler için işaret tablosu oluşturup çözüm aralıklarını belirleyin.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi (−1,7)(-1, 7) açık aralığıdır. İkinci eşitsizlikte paydanın kökü olan x=3x = 3 ifadesi tanımsızlık oluşturduğundan dahil edilmeden elde edilen çözüm kümesi (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] yarı açık aralığıdır.
Her bir eşitsizliği sağlayan gerçel sayı bölgelerini net olarak ortaya koymak için.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini (ortak çözüm kümesini) alın.
Kesi��im kümesi (3,5](3, 5] yarı açık aralığı olarak bulunur.
Sistemdeki tüm eşitsizliklerin aynı anda sağlanması gerektiği için ortak bölgeyi bulmamız gerekir.
5
Çözüm kümesindeki xx tam sayılarını toplayın.
4+5=94 + 5 = 9 elde edilir.
Soru kökünde istenen nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu oluşturularak çözülmesi ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması.
Soru 1524Soru →
arcsin⁡(x)=arctan⁡(2x)\arcsin(x) = \arctan(2x)

denklemini sağlayan sıfırdan farklı xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −34-\frac{3}{4}

Cevap

Sıfırdan farklı gerçel köklerin çarpımı olan negatif rasyonel sayı doğru cevaptır.
Denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan kökler, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları dikkate alınarak 32\frac{\sqrt{3}}{2} ve −32-\frac{\sqrt{3}}{2} olarak bulunur. Bu iki gerçel sayının çarpılmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadelerin eşit olduğu açı değeri tanımlanır.
arcsin⁡(x)=θ\arcsin(x) = \theta ve arctan⁡(2x)=θ\arctan(2x) = \theta olsun. Burada θ∈(−π/2,π/2)\theta \in (-\pi/2, \pi/2) ve x∈[−1,1]x \in [-1, 1] aralığındadır.
Ters trigonometrik fonksiyonları ortak bir açı değişkenine bağlamak için.
2
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak trigonometrik denklemler yazılır.
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x ve tan⁡(θ)=2x\tan(\theta) = 2x
Denklemi çözmek için ters fonksiyon ifadelerini normal trigonometrik fonksiyonlara dönüştürmek gerekir.
3
İki denklemdeki ortak değişken kullanılarak tek bir trigonometrik denklem elde edilir.
tan⁡(θ)=2sin⁡(θ)\tan(\theta) = 2\sin(\theta)
Her iki eşitlikteki xx değişkeni birbiriyle ilişkilendirilerek tek bilinmeyenli bir denklem kurulur.
4
Trigonometrik denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
sin⁡(θ)cos⁡(θ)=2sin⁡(θ)  ⟹  sin⁡(θ)(1cos⁡(θ)−2)=0\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 2\sin(\theta) \implies \sin(\theta)\left(\frac{1}{\cos(\theta)} - 2\right) = 0
Tanjant fonksiyonunun sinüs/kosinüs açılımı yapılıp ortak terim parantezine alınması kökleri bulmayı sağlar.
5
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek olası açı değerleri belirlenir.
sin⁡(θ)=0  ⟹  θ=0  ⟹  x=0\sin(\theta) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = 0 veya cos⁡(θ)=12  ⟹  θ=±π3\cos(\theta) = \frac{1}{2} \implies \theta = \pm\frac{\pi}{3}
Denklemi sağlayan tüm θ\theta değerlerinin bulunması hedeflenir.
6
Sıfırdan farklı θ\theta açıları için xx kökleri hesaplanır.
θ=π3  ⟹  x=sin⁡(π3)=32\theta = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve θ=−π3  ⟹  x=sin⁡(−π3)=−32\theta = -\frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x eşitliği kullanılarak aranan sıfırdan farklı kökler elde edilir.
7
Elde edilen sıfırdan farklı köklerin çarpımı hesaplanır.
(32)⋅(−32)=−34\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4}
Soruda istenen sıfırdan farklı köklerin çarpımına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümelerine uygun olarak denklemlerin çözülmesi ve özel açıların kullanılması.
Soru 1525Soru →
xx tanımlı olduğu değerler için
tan⁡(2x)−tan⁡(x)1+tan⁡(2x)⋅tan⁡(x)\frac{\tan(2x) - \tan(x)}{1 + \tan(2x) \cdot \tan(x)}
ifadesinin en sade biçimi nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan(x) şeklindedir.
Verilen ifade, iki açının farkının tanjant formülü olan tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} ifadesinin a=2xa=2x ve b=xb=x için yazılmış halidir. Bu formül uygulandığında ifade doğrudan tan⁡(2x−x)=tan⁡(x)\tan(2x - x) = \tan(x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin pay ve paydasındaki terimleri inceleyerek toplam-fark formüllerinden hangisine benzediğini belirleyin.
İfade, iki açının farkının tanjantı formülü olan tan⁡(a−b)=tan⁡(a)−tan⁡(b)1+tan⁡(a)⋅tan⁡(b)\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)} yapısındadır.
Formülün yapısı ile verilen ifadenin yapısı birebir aynıdır.
2
Formüldeki aa ve bb açıları yerine ifadedeki karşılıkları olan 2x2x ve xx değerlerini yazın.
a=2xa = 2x ve b=xb = x olarak belirlenir.
Pay kısmında tan⁡(2x)−tan⁡(x)\tan(2x) - \tan(x) ve paydada 1+tan⁡(2x)⋅tan⁡(x)1 + \tan(2x)\cdot\tan(x) terimleri yer almaktadır.
3
Tanjant fark formülünü uygulayarak ifadeyi sadeleştirin.
tan⁡(2x−x)=tan⁡(x)\tan(2x - x) = \tan(x) elde edilir.
2x2x açısından xx açısı çıkarıldığında xx açısı kalır.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü
Tahmini Süre:45s
Soru 1526Soru →
f(x)=(a2−∣a∣−1)xf(x) = (a^2 - |a| - 1)^x
ve
g(x)=(9−a2)xg(x) = (9 - a^2)^x
fonksiyonları gerçel sayılar kümesinde tanımlı birer üstel fonksiyondur.

ff azalan bir fonksiyon, gg ise artan bir fonksiyon olduğuna göre, aa parametresinin alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−2,−1+52)∪(1+52,2)\left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

Cevap

a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)
Hem f fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 0 < a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğinden gelen (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığı, hem de g fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 9 - a^2 > 1 eşitsizliğinden gelen |a| < 2\sqrt{2} aralığı kesiştirildiğinde, aranan en geniş aralık (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olarak bulunur. Bu eşitsizlik çözüldüğünde iki parçalı birleşim kümesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme.
0 < a^2 - |a| - 1 < 1
Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Ayrıca fonksiyonun azalan olması için taban 0 ile 1 arasında yer almalıdır.
2
a^2 - |a| - 1 > 0 eşitsizliğini çözme.
∣a∣>1+52|a| > \frac{1+\sqrt{5}}{2}
a^2 = |a|^2 yazılıp |a| = t >= 0 dönüşümü yapıldığında t^2 - t - 1 > 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri (1 - \sqrt{5})/2 ve (1 + \sqrt{5})/2'dir. t >= 0 olduğundan pozitif kökten büyük olan kısım yani t > (1 + \sqrt{5})/2 alınir.
3
a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğini çözme.
|a| < 2
|a|^2 - |a| - 2 < 0 ifadesi (|a| - 2)(|a| + 1) < 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. |a| + 1 her zaman pozitif olduğundan |a| - 2 < 0 yani |a| < 2 olmalıdır. İki eşitsizlik birleştirildiğinde (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 elde edilir.
4
g(x) fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme ve çözme.
∣a∣<22|a| < 2\sqrt{2}
g(x) fonksiyonunun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekir. Buradan 9 - a^2 > 1 => a^2 < 8 => |a| < 2\sqrt{2} bulunur.
5
Elde edilen koşulların kesişimini alarak çözüm kümesini bulma.
a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)
(1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığındaki tüm a değerleri, 2 < 2\sqrt{2} olduğundan |a| < 2\sqrt{2} şartını da sağlar. Dolayısıyla ortak çözüm kümesi (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olur. Bu da mutlak değer tanımından dolayı iki parçalı birleşim kümesi olarak yazılır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların tanım kümesi ve taban özellikleri (tabanın pozitif ve 1'den farklı olması), artanlık (tabanın 1'den büyük olması) ve azalanlık (tabanın 0 ile 1 arasında olması) durumlarının analitik olarak incelenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1527Soru →
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1+2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} + \sin x
b=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xb = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x

ifadeleri veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<ac < b < a

Cevap

c<b<ac < b < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan aa ifadesi mutlak değer dışına −(sin⁡x+cos⁡x)-(\sin x + \cos x) olarak çıkar ve −cos⁡x-\cos x değerine sadeleşir. bb ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olur. c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinin değeri ise dördüncü bölgede −2-2 değerinden küçüktür. Bu durumda elde edilen aralıklar sırasıyla c<−2c < -2, −1.414<b<−1-1.414 < b < -1 ve −0.707<a<0-0.707 < a < 0 şeklinde olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) aralığına göre sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x fonksiyonlarının işaretlerini belirleme ve aa ifadesini sadeleştirme.
Bu aralıkta sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0 ve ∣sin⁡x∣>cos⁡x|\sin x| > \cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. a=(sin⁡x+cos⁡x)2+sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣+sin⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)+sin⁡x=−cos⁡xa = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} + \sin x = |\sin x + \cos x| + \sin x = -(\sin x + \cos x) + \sin x = -\cos x elde edilir. cos⁡x∈(0,22)\cos x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğundan a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) aralığındadır.
Kareköklü ifadenin mutlak değer dışına doğru işaretle çıkarılması ve ifadenin sınırlarının belirlenmesi için gereklidir.
2
bb ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirme ve sınırlarını belirleme.
b=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)⋅1sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xb = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \cdot 1}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x∈(−1,−22)\sin x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ve −cos⁡x∈(−22,0)-\cos x \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, bu iki değer toplandığında b=sin⁡x−cos⁡x∈(−2,−1)b = \sin x - \cos x \in (-\sqrt{2}, -1) aralığında yer alır.
İfadenin sade hali üzerinden büyüklük karşılaştırması yapabilmek için gereklidir.
3
cc ifadesini tanjant ve kotanjantın özelliklerini kullanarak analiz etme.
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinde, x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) için tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x∈(−1,0)\cot x \in (-1, 0) olur. u=∣tan⁡x∣>1u = |\tan x| > 1 dersek, c=−(u+1u)c = -\left(u + \frac{1}{u}\right) yazılabilir. Her u>1u > 1 için u+1u>2u + \frac{1}{u} > 2 olduğundan, c<−2c < -2 elde edilir.
cc ifadesinin alabileceği değerlerin üst sınırını belirlemek için gereklidir.
4
Elde edilen aa, bb ve cc aralıklarını karşılaştırarak nihai sıralamayı bulma.
c<−2c < -2, b∈(−2,−1)b \in (-\sqrt{2}, -1) ve a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, aralıklar kesişmez ve doğrudan c<b<ac < b < a sıralaması elde edilir.
Her üç ifadenin de sayı doğrusundaki konumlarını netleştirip sıralamayı tamamlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi, bölgelere göre işaret tespiti ve trigonometrik değerlerin sıralanması.

Alternatif Yöntem

Sıralamayı daha rahat görebilmek için verilen aralıktan özel bir açı seçilebilir. Örneğin x=300∘x = 300^\circ (x=5π3x = \frac{5\pi}{3}) için değerler hesaplanırsa: a=1+2sin⁡300∘cos⁡300∘+sin⁡300∘=∣sin⁡300∘+cos⁡300∘∣+sin⁡300∘=∣−32+12∣−32=−(−32+12)−32=−12=−0.5a = \sqrt{1 + 2\sin 300^\circ \cos 300^\circ} + \sin 300^\circ = |\sin 300^\circ + \cos 300^\circ| + \sin 300^\circ = |-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}| - \frac{\sqrt{3}}{2} = -(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5. b=sin⁡300∘−cos⁡300∘=−32−12≈−0.866−0.5=−1.366b = \sin 300^\circ - \cos 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \approx -0.866 - 0.5 = -1.366. c=tan⁡300∘+cot⁡300∘=−3−13≈−1.732−0.577=−2.309c = \tan 300^\circ + \cot 300^\circ = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -1.732 - 0.577 = -2.309. Bu değerler karşılaştırıldığında −2.309<−1.366<−0.5-2.309 < -1.366 < -0.5 olduğu için c<b<ac < b < a sıralaması kolayca doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1528Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff üstel fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayıları için
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x + y) = f(x) \cdot f(y)
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x+3)−f(x+2)−12f(x+1)=0f(x + 3) - f(x + 2) - 12f(x + 1) = 0

olduğuna göre, f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İstenen değer 32 olarak bulunur.
Üstel fonksiyonun tanımı gereği tabanı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır. Verilen fonksiyon denklemi çözüldüğünde tabanın a=4a = 4 olduğu görülür. Buradan f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonu elde edilir ve f(5/2)=45/2=32f(5/2) = 4^{5/2} = 32 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun genel formunu yazma
f(x)=axf(x) = a^x (a>0a > 0, a≠1a \neq 1)
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y) bağıntısı ve üstel fonksiyon tanımı gereği fonksiyon f(x)=axf(x) = a^x biçimindedir.
2
Denklemde fonksiyonları yerine koyma
ax+3−ax+2−12ax+1=0a^{x+3} - a^{x+2} - 12a^{x+1} = 0
Verilen fonksiyonel denklemde f(x)=axf(x) = a^x kuralını uygulamak için.
3
Denklemi ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
a2−a−12=0a^2 - a - 12 = 0
ax+1⋅(a2−a−12)=0a^{x+1} \cdot (a^2 - a - 12) = 0 ifadesinde ax+1>0a^{x+1} > 0 olduğu için bu terim sadeleştirilebilir.
4
Kökleri bulma ve taban şartını uygulama
a=4a = 4
(a−4)(a+3)=0(a-4)(a+3) = 0 denkleminden a=4a = 4 ve a=−3a = -3 gelir. Üstel fonksiyon tabanı pozitif (a>0a > 0) olmalıdır.
5
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(52)=32f\left(\frac{5}{2}\right) = 32
f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonunda xx yerine 52\frac{5}{2} yazarak sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif ve 1'den farklı olma zorunluluğu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1529Soru →

Bir toplumda felsefi düşünüşün yaygınlaşması, bireylerin kendi zihinsel kabullerinin sınırlarını fark etmelerini sağlar. Kendi inançlarını, değerlerini ve düşünce kalıplarını sorgulamaya başlayan insan, başkalarının da benzer bir hakka sahip olduğunu ve farklı yaşam biçimlerinin meşruiyetini kabul eder. Felsefenin bu yönü, bireyi dogmaların esaretinden kurtarırken, toplumsal düzeyde de çoğulcu bir yapının inşasına katkıda bulunur.

Bu parçadan hareketle felsefenin bireysel ve toplumsal işlevlerine dair aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bireyin kendi düşüncelerini sorgulayarak zihinsel özerklik kazanmasını, toplumsal düzeyde ise farklılıklara saygı duyan çoğulcu bir kültürün oluşmasını sağlar.

Cevap

Bireyin kendi düşüncelerini sorgulayarak zihinsel özerklik kazanmasını, toplumsal düzeyde ise farklılıklara saygı duyan çoğulcu bir kültürün oluşmasını sağlar.
Doğru seçenek felsefenin parçada vurgulanan iki temel işlevini de tam olarak açıklamaktadır: Bireysel düzeyde kişinin dogmalardan kurtulup özerk şekilde kendi düşüncelerini sorgulaması, toplumsal düzeyde ise çoğulculuğu ve farklılıklara saygıyı benimsemesi felsefenin temel işlevlerindendir.

Adım Adım Çözüm

1
Parçadaki bireysel vurguları analiz etmek
Parçada bireyin 'kendi inançlarını, değerlerini ve düşünce kalıplarını sorgulaması' ve 'dogmaların esaretinden kurtulması' ifadelerinin bireyin zihinsel özerkliği ve bağımsızlığı ile ilgili olduğu tespit edilir.
Soruda felsefenin bireysel işlevini belirlemek için parçadaki bireye yönelik ifadeleri bulmak gerekir.
2
Parçadaki toplumsal vurguları analiz etmek
Parçada 'başkalarının da benzer bir hakka sahip olduğunu ve farklı yaşam biçimlerinin meşruiyetini kabul etme' ve 'çoğulcu bir yapının inşasına katkıda bulunma' ifadelerinin toplumsal düzeyde farklılıklara hoşgörü ve çoğulculuk ile ilgili olduğu tespit edilir.
Soruda felsefenin toplumsal işlevini belirlemek için parçadaki topluma yönelik ifadeleri bulmak gerekir.
3
Bireysel ve toplumsal işlevlerin birleştirildiği seçeneği bulmak
Hem bireysel özerklik hem de toplumsal çoğulculuk/hoşgörü vurgusunu bir arada içeren doğru seçeneğe ulaşılır.
Seçenekler arasından parçadaki iki temel vurguyu da doğru şekilde karşılayan ifadeyi belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Felsefenin Bireysel ve Toplumsal İşlevleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1530Soru →

Şekildeki ABCABC ve CDECDE üçgenlerinin CC köşesi ortaktır. A,C,EA, C, E noktaları ile B,C,DB, C, D noktaları sırasıyla doğrusaldır.

∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}, ∣BC∣=6 birim|BC| = 6\text{ birim}, ∣AB∣=4 birim|AB| = 4\text{ birim}, ∣CD∣=5 birim|CD| = 5\text{ birim} ve ∣CE∣=8 birim|CE| = 8\text{ birim} olduğuna göre, ∣DE∣|DE| kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29\sqrt{29}

Cevap

29\sqrt{29}
Ortak CC köşesinde oluşan ters açıların kosinüs değerleri birbirine eşittir. İlk üçgende tüm kenar uzunlukları bilindiği için Kosinüs Teoremi yardımıyla ortak açının kosinüsü 34\frac{3}{4} olarak hesaplanır. Ardından ikinci üçgende bu kosinüs değeri ve verilen kenarlar kullanılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve bilinmeyen kenar uzunluğu 29\sqrt{29} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olan CC köşesindeki ters açılardan yola çıkarak m(ACB^)=m(DCE^)=αm(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha olduğunu belirleyelim.
İki üçgenin de tepe açısı eşittir ve kosinüs değerleri aynıdır.
Kosinüs Teoremi'ni her iki üçgende de uygulayabilmek için ortak açının belirlenmesi gerekir.
2
ABCABC üçgeninde ABAB kenarına göre Kosinüs Teoremi formülünü uygulayarak cos⁡(α)\cos(\alpha) değerini hesaplayalım.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\alpha)
42=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(α)4^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\alpha)
16=16+36−48cos⁡(α)16 = 16 + 36 - 48\cos(\alpha)
48cos⁡(α)=36  ⟹  cos⁡(α)=3448\cos(\alpha) = 36 \implies \cos(\alpha) = \frac{3}{4}
CDECDE üçgeninde bilinmeyen kenarı bulmak için bu ortak açının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
3
CDECDE üçgeninde DEDE kenarı için Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡(α)|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos(\alpha)
∣DE∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅34|DE|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=25+64−80⋅34|DE|^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=89−60=29  ⟹  ∣DE∣=29 birim|DE|^2 = 89 - 60 = 29 \implies |DE| = \sqrt{29}\text{ birim}
Kosinüs Teoremi yardımıyla bilinmeyen kenarın uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve Ters Açılar
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1531Soru →
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−2(m+1)x+m2+2m−3<0x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 < 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir negatif gerçel sayı var iken, bu eşitsizliği sağlayan hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmamaktadır.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,−3](-\infty, -3]

Cevap

Sonsuzdan −3-3 değerine kadar olan (ve −3-3'ü dahil eden) yarı açık aralıktır.
Sonsuzdan başlayıp −3-3 sınır değerine kadar giden (ve −3-3'ü dahil eden) yarı açık aralık doğrudur. Çünkü bu aralıktaki herhangi bir mm değeri için çözüm kümesi (m−1,m+3)(m-1, m+3) tamamen negatif bölgede kalır ve en az bir negatif sayı içerirken hiçbir pozitif sayı barındırmaz.

Adım Adım Çözüm

1
E��itsizliğin sol tarafındaki ifadenin köklerini çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemiyle bulalım.
x2−2(m+1)x+m2+2m−3=0x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 = 0 denkleminin kökleri tam kareye tamamlama yöntemiyle (x−(m+1))2−4=0(x - (m+1))^2 - 4 = 0 şeklinde yazılabilir. Buradan x−(m+1)=±2x - (m+1) = \pm 2 elde edilir. Kökler x1=m−1x_1 = m - 1 ve x2=m+3x_2 = m + 3 olarak bulunur.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için öncelikle sınır değerleri olan kökleri bulmamız gerekir.
2
İşaret tablosunu oluşturup eşitsizliğin çözüm kümesini ifade edelim.
x2x^2 teriminin katsayısı pozitif (1>01 > 0) olduğu için işaret tablosu en sağdan ++ ile başlar: +∣−∣++ \mid - \mid +. Eşitsizlik sıfırdan küçük (<0< 0) değerleri aradığından çözüm kümesi x1x_1 ve x2x_2 köklerinin arasındaki açık aralıktır: Ç.K. = (m−1,m+3)(m - 1, m + 3).
İkinci dereceden ifadenin işaret incelemesini yaparak negatif olduğu bölgeyi saptamak için.
3
Çözüm kümesinde en az bir negatif gerçel sayı bulunması ko��ulunu inceleyelim.
(m−1,m+3)(m - 1, m + 3) aralığında en az bir negatif sayı bulunabilmesi için aralığın sol ucunun sıfırdan küçük olması yeterlidir. Buradan m−1<0  ⟹  m<1m - 1 < 0 \implies m < 1 elde edilir. Aralık genişliği 44 birim sabit olduğundan, sol uç negatif olduğunda aralık içinde mutlaka negatif sayılar yer alır.
İlk koşulun mm parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.
4
Çözüm kümesinde hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmaması koşulunu inceleyelim.
(m−1,m+3)(m - 1, m + 3) aralığında hiçbir pozitif sayı bulunmaması için bu aralığın pozitif gerçel sayılar kümesi (0,∞)(0, \infty) ile kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum aralığın sağ ucunun sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olmasıyla sağlanır: m+3≤0  ⟹  m≤−3m + 3 \le 0 \implies m \le -3. Burada aralık açık aralık olduğu için sağ uç sıfır olduğunda çözüm kümesi (m−1,0)(m-1, 0) olur ve bu kümede yine pozitif sayı bulunmaz, bu yüzden eşitlik dahil edilir.
İkinci koşulun mm parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.
5
Bulunan iki koşulun kesişimini alarak mm parametresinin en geniş aralığını bulalım.
m<1m < 1 ve m≤−3m \le -3 eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan değerler kümesi m≤−3m \le -3 aralığıdır. Bu aralık aralık gösterimiyle (−∞,−3](-\infty, -3] şeklinde yazılır.
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için kesişim kümesini elde etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu oluşturma, köklerin bulunması ve sınır koşullarına göre çözüm kümesinin parametrik incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1532Soru →
f(x)=log⁡x−2(64−x2x+1)f(x) = \log_{x - 2}\left(\frac{64 - x^2}{x + 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, argümanının ise pozitif olması koşulları birlikte sağlanmalıdır. Bu koşulların kesişimi (2,8)∖{3}(2, 8) \setminus \{3\} aralığını verir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tabanının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
x>2x > 2 ve x≠3x \neq 3
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Logaritmanın argümanının (içinin) pozitif olma koşulunu belirlemek.
64−x2x+1>0\frac{64 - x^2}{x + 1} > 0
Logaritmanın tanımlı olması için argümanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulup işaret incelemesi yapmak.
Kökler x=−8x = -8, x=−1x = -1 ve x=8x = 8'dir. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−8)∪(−1,8)(-\infty, -8) \cup (-1, 8) olur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Taban ve argüman koşullarının kesişim kümesini bulmak.
x∈(2,8)∖{3}x \in (2, 8) \setminus \{3\}
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplamak.
Tam sayılar {4,5,6,7}\{4, 5, 6, 7\} ve toplamları 4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22'dir.
Elde edilen aralıktaki tam sayılar belirlenir ve bunların toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1533Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=3210\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{3\sqrt{2}}{10}
olduğuna göre, 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} ve sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} değerleri kullanılarak, yarım açı formülü yardımıyla 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen ifade iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)⋅cos⁡(π/4)=32/10\cos(2x) \cdot \cos(\pi/4) = 3\sqrt{2}/10 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(2x)=3/5\cos(2x) = 3/5 bulunur. Tanımlanan bölgede sin⁡(2x)=4/5\sin(2x) = 4/5 olup, yarım açı formülüyle sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=24/25\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 24/25 bulunur. Sonuç olarak 25⋅sin⁡(4x)=2425 \cdot \sin(4x) = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi iki kare farkı ve toplam-fark özdeşlikleri kullanarak sadeleştirmek
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
İfadedeki terimlerin açılımını yaparak cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşmak
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplamak
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5}
Yarım açı formülünde kullanılacak olan sinüs değerini elde etmek
3
Sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sin⁡(4x)\sin(4x) değerini hesaplamak
sin⁡(4x)=2425\sin(4x) = \frac{24}{25}
İstenen ifadenin çarpanı olan sin⁡(4x)\sin(4x) değerini bulmak
4
25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) işlemini gerçekleştirmek
24
Soruda sorulan nihai sayısal değere ulaşmak

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerinin trigonometrik sadeleştirmelerde ve değer hesaplamalarında uygulanması

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak, cos⁡(π8+x)\cos\left(\frac{\pi}{8} + x\right) ve sin⁡(π8−x)\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right) ifadeleri toplam-fark formülleriyle açılarak kareleri alınabilir. Kareler alındığında çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve geriye (cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2π8−sin⁡2π8)=cos⁡(2x)cos⁡π4(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}) = \cos(2x)\cos\frac{\pi}{4} kalır. Buradan da aynı şekilde çözüme ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1534Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1+cos⁡(2x)+cos⁡xsin⁡(2x)+sin⁡x=−43\frac{1 + \cos(2x) + \cos x}{\sin(2x) + \sin x} = -\frac{4}{3}
olduğuna göre,
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010\frac{\sqrt{10}}{10}

Cevap

1010\frac{\sqrt{10}}{10}
Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} elde edilir. xx açısı ikinci bölgede olduğundan cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur. Sorulan ifade yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)\cos(x/2) değerine eşittir. Yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)=1+cos⁡x2=1010\cos(x/2) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapınız.
cos⁡x(2cos⁡x+1)sin⁡x(2cos⁡x+1)=cot⁡x=−43\frac{\cos x(2\cos x + 1)}{\sin x(2\cos x + 1)} = \cot x = -\frac{4}{3}
Payda bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 2cos⁡2x−12\cos^2 x - 1 ve paydada bulunan sin⁡(2x)\sin(2x) yerine 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x yazılarak ortak paranteze alınır ve sadeleştirilir.
2
xx açısının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak cos⁡x\cos x değerini hesaplayınız.
cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5}
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığı ikinci bölgeye denk gelir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs ise pozitiftir. cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} olduğundan, dik üçgen bağıntıları yardımıyla cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} bulunur.
3
Sorulan ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla sadeleştiriniz.
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)=cos⁡(x2)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)
cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta özdeşliğinde θ=x4\theta = \frac{x}{4} yazıldığında sorulan ifadenin cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerine eşit olduğu görülür.
4
cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayınız.
cos⁡(x2)=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}
cos⁡2(x2)=1+cos⁡x2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2} formülünde cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} yazılırsa cos⁡2(x2)=110\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{10} elde edilir. x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan x2∈(π4,π2)\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur (birinci bölge). Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡(x2)=110=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} bulunur.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1535Soru →
x>1x > 1 olmak üzere,
arctan⁡(xx+1)−arctan⁡(x−1x)=arctan⁡(132) \arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) - \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right) = \arctan\left(\frac{1}{32}\right)
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel say�� değeri 4'tür.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere sırasıyla aa ve bb diyerek tanjant fark formülü uygulandığında tan⁡(a−b)=12x2\tan(a-b) = \frac{1}{2x^2} ifadesi elde edilir. Sağ tarafın tanjantı olan 132\frac{1}{32} değerine eşitlendiğinde 2x2=322x^2 = 32 denkleminden x2=16x^2 = 16 bulunur. x>1x > 1 koşulu altında bu denklemin tek çözümü 44 olur. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere değişken tanımlanır.
a=arctan⁡(xx+1)a = \arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) ve b=arctan⁡(x−1x)b = \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right) olsun. Buradan tan⁡(a)=xx+1\tan(a) = \frac{x}{x+1} ve tan⁡(b)=x−1x\tan(b) = \frac{x-1}{x} elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonları tanjant değerlerine dönüştürerek toplam-fark formülünü uygulayabilmek.
2
Tanjant fark formülü kurulur.
tan⁡(a−b)=tan⁡(a)−tan⁡(b)1+tan⁡(a)⋅tan⁡(b)\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)}
İki açının farkının tanjantını veren formülü uygulamak.
3
Tanjant fark formülünün pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.
tan⁡(a)−tan⁡(b)=xx+1−x−1x=x2−(x2−1)x(x+1)=1x(x+1)\tan(a) - \tan(b) = \frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x} = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}
Pay kısmını sadeleştirmek.
4
Tanjant fark formülünün payda kısmındaki çarpma ve toplama işlemleri yapılır.
1+tan⁡(a)⋅tan⁡(b)=1+xx+1⋅x−1x=1+x−1x+1=x+1+x−1x+1=2xx+11 + \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 + \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x} = 1 + \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1 + x-1}{x+1} = \frac{2x}{x+1}
Payda kısmını sadeleştirmek.
5
Pay ve payda birbirine oranlanarak tan⁡(a−b)\tan(a-b) ifadesi xx cinsinden bulunur.
tan⁡(a−b)=1x(x+1)2xx+1=1x(x+1)⋅x+12x=12x2\tan(a - b) = \frac{\frac{1}{x(x+1)}}{\frac{2x}{x+1}} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2x} = \frac{1}{2x^2}
İfadenin en sade halini elde etmek.
6
Bulunan tanjant değeri, eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin tanjantı olan 132\frac{1}{32} değerine eşitlenerek denklem çözülür.
12x2=132  ⟹  2x2=32  ⟹  x2=16\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{32} \implies 2x^2 = 32 \implies x^2 = 16 Buradan x>1x > 1 koşulu altında x=4x = 4 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini bulmak.

Anahtar Kavram

İki açının farkının tanjantı formülü ve ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1536Soru →
log⁡2(x+2)+log⁡2(x−4)=4\log_2(x+2) + \log_2(x-4) = 4 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 6'dır.
Logaritmanın tanım kümesi gereği x>4x > 4 olmalıdır. Denklemin çözümünden elde edilen x=6x = 6 ve x=−4x = -4 köklerinden yalnızca 66 bu koşulu sağlar. Bu nedenle denklemi sağlayan xx değerlerinin çarpımı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.
x>4x > 4 olmalıdır.
Logaritmanın tanımı gereği argümanlar pozitif olmalıdır. Buradan x+2>0  ⟹  x>−2x+2 > 0 \implies x > -2 ve x−4>0  ⟹  x>4x-4 > 0 \implies x > 4 elde edilir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü x>4x > 4 aralığıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirmek.
log⁡2((x+2)(x−4))=4\log_2((x+2)(x-4)) = 4
Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir: log⁡a(u)+log⁡a(v)=log⁡a(u⋅v)\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v).
3
Logaritma tanımını uygulayarak logaritmalı ifadeyi üstel ifadeye dönüştürmek ve ikinci dereceden denklemi elde etmek.
x2−2x−24=0x^2 - 2x - 24 = 0
log⁡2(A)=4  ⟹  A=24=16\log_2(A) = 4 \implies A = 2^4 = 16 olur. Buradan (x+2)(x−4)=16  ⟹  x2−2x−8=16  ⟹  x2−2x−24=0(x+2)(x-4) = 16 \implies x^2 - 2x - 8 = 16 \implies x^2 - 2x - 24 = 0 denklemi bulunur.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası kökleri bulmak.
x=6x = 6 veya x=−4x = -4.
x2−2x−24=0  ⟹  (x−6)(x+4)=0x^2 - 2x - 24 = 0 \implies (x-6)(x+4) = 0 olur. Buradan denklemin kökleri x=6x = 6 ve x=−4x = -4 olarak bulunur.
5
Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.
x=6x = 6 (tek geçerli kök).
x>4x > 4 koşulunu yalnızca x=6x = 6 değeri sağlar. x=−4x = -4 değeri logaritmanın içini negatif yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek değer 66'dır ve bu değerlerin çarpımı da 66 olur.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemler ile Logaritmanın Tanım Kümesi
Soru 1537Soru →

Dik koordinat düzleminde, OO başlangıç noktası olmak üzere, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası için [OP][OP] doğru parçası xx-ekseninin pozitif yönüyle θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} radyarlık açı yapmaktadır. y=3y = \sqrt{3} doğrusu üzerindeki bir QQ noktası için OO, PP ve QQ noktaları doğrusaldır. Buna göre, QQ noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısı üçüncü bölgede yer alır. Bu açının tanjant değeri tan⁡(7π6)=13\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} olduğundan, orijinden geçen doğrunun denklemi y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x olur. Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası bu doğru üzerinde bulunduğundan, yy yerine 3\sqrt{3} yazıldığında 3=13x\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
PP noktasını belirleyen θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısının tanjantını hesaplayarak OPOP doğrusunun eğimini bulmak.
Eğim m=tan⁡(7π6)=13m = \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}
Merkezil birim çember üzerindeki bir noktanın orijinle birleştirilmesiyle oluşan doğrunun eğimi, bu doğrunun xx-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına eşittir.
2
OO, PP ve QQ noktalarının doğrusallığını kullanarak Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası için doğru denklemini kurmak.
Doğru denklemi: y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x
Orijinden geçen ve eğimi mm olan doğrunun denklemi y=mxy = mx formundadır.
3
QQ noktasının yy-koordinatını (3\sqrt{3}) doğru denkleminde yerine yazarak xx-koordinatını (apsisini) bulmak.
x=3x = 3
QQ noktası bu doğru üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki geometrik yorumu, standart açıların indirgenmesi ve doğrunun analitik incelenmesi.

Alternatif Yöntem

PP ve QQ noktalarının koordinatları oranından benzerlik veya eğim eşitliği kullanılarak bulunabilir. PP noktası birim çember üzerinde θ=7π/6\theta = 7\pi/6 açısına karşılık geldiğinden koordinatları P(cos⁡(7π/6),sin⁡(7π/6))=P(−32,−12)P(\cos(7\pi/6), \sin(7\pi/6)) = P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}) olur. OO, PP ve QQ noktaları doğrusal olduğundan yPxP=yQxQ  ⟹  −1/2−3/2=3x  ⟹  13=3x  ⟹  x=3\frac{y_P}{x_P} = \frac{y_Q}{x_Q} \implies \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies x = 3 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1538Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb, cc birim ve çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin kenarları ve açıları arasında
b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4}
bağıntıları bulunduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanının R2R^2 cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34\frac{\sqrt{3}}{4}

Cevap

Üçgenin alanının R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} olarak bulunur.
Doğru olan değer, Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısının A=120∘A = 120^\circ ve dolayısıyla sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} bulunması, ardından Sinüs Teoremi ile bc=R2bc = R^2 bağıntısının elde edilip alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilen 34\frac{\sqrt{3}}{4} değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak AA açısının ölçüsünü belirleme.
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A Kosinüs Teoremi bağıntısıdır. Soruda verilen b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc ifadesi düzenlendiğinde a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc elde edilir. Bu iki eşitlik karşılaştırıldığında −2bccos⁡A=bc  ⟹  cos⁡A=−12-2bc \cos A = bc \implies \cos A = -\frac{1}{2} bulunur. ABCABC üçgeninin bir iç açısı olan AA açısı buradan 120∘120^\circ olarak belirlenir.
Üçgenin alan formülünde kullanılacak olan sin⁡A\sin A değerini elde etmek.
2
Sinüs Teoremi kullanılarak bcbc çarpımını çevrel çemberin yarıçapı RR cinsinden ifade etme.
Sinüs Teoremi gereği b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B ve c=2Rsin⁡Cc = 2R \sin C eşitlikleri geçerlidir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çarpıldığında bc=4R2sin⁡Bsin⁡Cbc = 4R^2 \sin B \sin C elde edilir.
Kenar uzunlukları ile çevrel ��emberin yarıçapı arasında ilişki kurarak alan hesaplamasını yarıçap cinsinden yapabilmek.
3
Soruda verilen sinüs değerleri çarpımını yerine yazarak bcbc ifadesinin değerini bulma.
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4} değeri yerine yazıldığında bc=4R2⋅14=R2bc = 4R^2 \cdot \frac{1}{4} = R^2 olarak bulunur.
bcbc çarpımının değerini netleştirmek.
4
Üçgenin alan formülünü uygulayarak sonucu bulma.
Alan(ABC)=12bcsin⁡A\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} bc \sin A formülünde elde edilen değerler yerine yazılır: Alan(ABC)=12⋅R2⋅sin⁡(120∘)=12R2⋅32=34R2\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 elde edilir. Buradan alanın R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} bulunur.
Üçgenin alanını nihai olarak hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs teoremlerinin birlikte kullanılması ile üçgen alanının çevrel çemberin yarıçapı cinsinden ifade edilmesi.
Soru 1539Soru →
log⁡3(x2−4)−log⁡3(x−2)=1\log_3(x^2 - 4) - \log_3(x-2) = 1 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∅\emptyset

Cevap

Boş küme
Doğru cevap, denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin boş küme olduğunu ifade eden seçenektir. Çözüm süreci izlendiğinde elde edilen x=1x = 1 değeri, başlangıçtaki denklemde yer alan logaritmik terimlerin içini negatif yaptığından tanımlılık şartlarını ihlal eder ve bir kök olarak kabul edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal denklemdeki logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan en geniş tanım kümesini belirleyin.
x2−4>0x^2 - 4 > 0 ve x−2>0x - 2 > 0 olmalıdır. Buradan x>2x > 2 veya x<−2x < -2 ve x>2x > 2 eşitsizliklerinin kesişimi alınarak x>2x > 2 elde edilir.
Logaritma tanımı gereği taban ve argüman sıf��rdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini kullanarak sol taraftaki ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡3(x2−4x−2)=1\log_3\left(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\right) = 1
log⁡a(b)−log⁡a(c)=log⁡a(bc)\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) kuralı uygulan��r.
3
Logaritmanın içindeki rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
(x−2)(x+2)x−2=x+2  ⟹  log⁡3(x+2)=1\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \implies \log_3(x+2) = 1
x>2x > 2 kabul edildiği için x−2≠0x - 2 \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
4
Logaritma tanımını uygulayarak denklemden xx değerini çekin.
x+2=31  ⟹  x=1x + 2 = 3^1 \implies x = 1
log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c tanımı kullanılır.
5
Elde edilen x=1x = 1 aday kökünün, birinci adımda belirlenen tanım kümesi şartını (x>2x > 2) sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=1x = 1 değeri x>2x > 2 şartını sağlamaz (1<21 < 2).
x=1x = 1 değeri orijinal denklemdeki logaritma argümanlarını negatif yaparak tanımsızlığa yol açar.
6
Bulunan aday kök elendiği için denklemin nihai çözüm kümesini yazın.
Çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset).
Denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde, elde edilen köklerin orijinal ifadelerin tanım kümelerini sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir.

Alternatif Yöntem

Denklem log⁡3(x2−4)=log⁡3(x−2)+1\log_3(x^2 - 4) = \log_3(x-2) + 1 şeklinde yazılabilir. Eşitliğin sağ tarafındaki 11 sayısı log⁡3(3)\log_3(3) olarak ifade edildiğinde, toplam özelliği kullanılarak log⁡3(x2−4)=log⁡3(3(x−2))\log_3(x^2 - 4) = \log_3(3(x-2)) denkliği elde edilir. Logaritma tabanları eşit olduğundan içler eşitlenir: x2−4=3x−6  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (x−2)(x−1)=0x^2 - 4 = 3x - 6 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-2)(x-1) = 0 olur. Buradan aday kökler x=1x=1 ve x=2x=2 bulunur. Orijinal denklemde yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı kalabilmesi için x>2x>2 olması gerektiğinden her iki aday kök de elenir ve çözüm kümesinin boş küme olduğu görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1540Soru →

Dik koordinat düzleminde verilen merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası ikinci bölgededir. Başlangıç noktası OO olmak üzere, [OP][OP] doğru parçasının yy-ekseninin pozitif kısmı ile yaptığ�� dar açının ölçüsü θ\theta olduğuna göre, PP noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta, \cos\theta)

Cevap

(−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta, \cos\theta)
Birim çemberde ikinci bölgedeki noktanın standart açısı 90∘+θ90^\circ + \theta olur. Bu açının koordinatları (cos⁡(90∘+θ),sin⁡(90∘+θ))(\cos(90^\circ + \theta), \sin(90^\circ + \theta)) olup indirgeme kurallarına göre bu koordinatlar (−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta, \cos\theta) ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
PP noktasının konumunu ve koordinatlarını belirlemek amacıyla standart konumdaki yönlü açıyı yazalım.
[OP][OP] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif kısmı ile yaptığı açı 90∘+θ90^\circ + \theta (yani π2+θ\frac{\pi}{2} + \theta radyan) olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, o noktayı belirleyen yarıçapın xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı (standart konum) cinsinden ifade edilir.
2
Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatlarını standart konumdaki açı cinsinden yazalım.
P(cos⁡(90∘+θ),sin⁡(90∘+θ))P(\cos(90^\circ + \theta), \sin(90^\circ + \theta)) koordinatları elde edilir.
Birim çember üzerinde α\alpha açısına karşılık gelen nokta (cos⁡α,sin⁡α)(\cos\alpha, \sin\alpha) biçimindedir.
3
Trigonometrik indirgeme formüllerini uygulayarak koordinatları θ\theta dar açısı cinsinden basitleştirelim.
P(−sin⁡θ,cos⁡θ)P(-\sin\theta, \cos\theta) elde edilir.
İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. 90∘90^\circ (veya π2\frac{\pi}{2}) kullanıldığında fonksiyonların isimleri değişerek cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta ve sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta olur.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların gösterimi ve indirgeme formülleri
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 77 / 437Sonraki