Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1501Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x ve y=3xy = 3x doğrularının y=mxy = mx doğrusu ile yaptığı dar açılar birbirine eşittir. Buna göre, mm’nin alabileceği farklı gerçek sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

m'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı 2'dir.
Verilen iki doğrunun arasındaki dar açıların eşitliği, doğruların eğimleri farkının çarpımlarına oranının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan elde edilen mutlak değerli denklem çözüldüğünde m2−2m−1=0m^2 - 2m - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı −ba=2-\frac{b}{a} = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların eğimleri arasındaki ilişkiyi tanjant fark formülü yardımıyla yazalım.
y=mxy=mx doğrusunun y=2xy=2x ve y=3xy=3x doğruları ile yaptığı dar açılar sırasıyla α\alpha ve β\beta olsun. İki doğru arasındaki dar açının tanjantı tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| formülüyle hesaplanır. Buradan tan⁡α=∣m−21+2m∣\tan\alpha = \left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| ve tan⁡β=∣3−m1+3m∣\tan\beta = \left|\frac{3 - m}{1 + 3m}\right| elde edilir.
Dar açılar eşit olduğundan bu iki tanjant değeri birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliği sağlayan mutlak değerli denklemi kuralım ve birinci durumu çözelim.
∣m−21+2m∣=∣3−m1+3m∣\left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| = \left|\frac{3 - m}{1 + 3m}\right| eşitliğinden iki durum ortaya çıkar. İlk durum: m−21+2m=3−m1+3m\frac{m - 2}{1 + 2m} = \frac{3 - m}{1 + 3m} dir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında: (m−2)(1+3m)=(3−m)(1+2m)⇒3m2−5m−2=−2m2+5m+3⇒5m2−10m−5=0⇒m2−2m−1=0(m - 2)(1 + 3m) = (3 - m)(1 + 2m) \Rightarrow 3m^2 - 5m - 2 = -2m^2 + 5m + 3 \Rightarrow 5m^2 - 10m - 5 = 0 \Rightarrow m^2 - 2m - 1 = 0 elde edilir.
Mutlak değerli ifadelerin doğrudan eşit oldu��u durumu incelemek için.
3
İkinci durumu yazalım ve çözelim.
İkinci durum: m−21+2m=−3−m1+3m=m−31+3m\frac{m - 2}{1 + 2m} = -\frac{3 - m}{1 + 3m} = \frac{m - 3}{1 + 3m} dir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında: (m−2)(1+3m)=(m−3)(1+2m)⇒3m2−5m−2=2m2−5m−3⇒m2=−1(m - 2)(1 + 3m) = (m - 3)(1 + 2m) \Rightarrow 3m^2 - 5m - 2 = 2m^2 - 5m - 3 \Rightarrow m^2 = -1 elde edilir. Bu denklemin gerçek sayılarda kökü yoktur.
Mutlak değerli ifadelerin ters işaretli eşit olduğu durumu incelemek için.
4
Gerçek sayılardaki mm değerlerinin toplamını bulalım.
Elde ettiğimiz tek geçerli denklem m2−2m−1=0m^2 - 2m - 1 = 0 olup, diskriminantı Δ=8>0\Delta = 8 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kökü vardır. Bu köklerin toplamı, ikinci derece denklem katsayıları ilişkisinden (kökler toplamı formülü −ba-\frac{b}{a}) veya kökleri doğrudan bularak (m=1±2m = 1 \pm \sqrt{2}) hesaplandığında (1+2)+(1−2)=2(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2 olarak bulunur.
mm değerlerinin toplamını bulmak için kökler toplamı özelliğini kullanırız.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı, toplam-fark formülleri yardımıyla tan⁡(θ1−θ2)=tan⁡θ1−tan⁡θ21+tan⁡θ1tan⁡θ2\tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{\tan\theta_1 - \tan\theta_2}{1 + \tan\theta_1\tan\theta_2} şeklinde ifade edilir ve yön bağımsızlığı için mutlak değer kullanılır.
Soru 1502Soru →

Bir limandan aynı anda hareket eden iki gemiden birincisi Kuzey 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 3 mil hızla, ikincisi ise Güney 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 5 mil hızla doğrusal olarak yol almaktadır. Buna göre, hareketlerinden 2 saat sonra bu iki gemi arasındaki en kısa uzaklık kaç mildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Gemiler arasındaki en kısa uzaklık 14 mildir.
Gemilerin aldıkları mesafeler 6 mil ve 10 mil olup aralarındaki açı 120∘120^\circ dir. Kosinüs Teoremi formülü uygulandığında d2=62+102−2⋅6⋅10⋅cos⁡(120∘)d^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) eşitliğinden d2=196d^2 = 196 ve buradan en kısa uzaklık 14 mil olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Gemilerin 2 saatlik süre sonunda ulaştıkları noktaların limana olan uzaklıklarını hesaplamak.
Birinci gemi 6 mil, ikinci gemi 10 mil yol almıştır.
Mesafe formülü (Mesafe = Hız x Zaman) kullanılarak gemilerin limandan olan uzaklıkları belirlenir.
2
İki geminin rotaları arasındaki açıyı belirlemek.
Rotalar arasındaki açı 120∘120^\circ dir.
Kuzey-Güney doğrusal hattından (180∘180^\circ) doğuya doğru yapılan 30∘30^\circ lik sapmalar çıkarılarak aradaki açı bulunur.
3
Kosinüs Teoremi yardımıyla gemiler arasındaki mesafeyi bulmak.
d2=196  ⟹  d=14d^2 = 196 \implies d = 14 mil.
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende bilinmeyen karşı kenar�� hesaplamak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 1503Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=34\frac{\sin(4x) - \sin(2x)}{\cos(4x) - \cos(2x) + 1} = \frac{3}{4}

olduğuna göre, cot⁡x\cot x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan yarım açı formülü yardımıyla tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} ve dolayısıyla cot⁡x=3\cot x = 3 bulunur.
Verilen ifade trigonometrik yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. tan⁡(2x)\tan(2x) yarım açı formülüyle açılıp çözüldüğünde tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} bulunur. Buradan cot⁡x=3\cot x = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi yarım açı formülü kullanarak ortak paranteze alma.
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)=sin⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\sin(4x) - \sin(2x) = \sin(2x)(2\cos(2x) - 1)
Sadeleştirme yapabilmek için terimleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
2
Payda kısmındaki cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini cos⁡(2x)\cos(2x) cinsinden yazarak düzenleme.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=cos⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\cos(4x) - \cos(2x) + 1 = \cos(2x)(2\cos(2x) - 1)
Pay ile benzer terimler oluşturarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
3
İfadeyi sadeleştirme ve tan⁡(2x)\tan(2x) değerini belirleme.
tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4}
x∈(0,π/8)x \in (0, \pi/8) aralığında 2cos⁡(2x)−1≠02\cos(2x) - 1 \neq 0 olduğu için sadeleştirme geçerlidir.
4
tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin yarım açı formülünü kullanarak tan⁡x\tan x değerini bulma.
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=34\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{3}{4} denkleminden pozitif kök seçilir.
5
tan⁡x\tan x değerinden yararlanarak cot⁡x\cot x değerini hesaplama.
cot⁡x=3\cot x = 3
cot⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{1}{\tan x} özdeşliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 1504Soru →

a,ba, b ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak ��zere,

ax2+bx+c≤0ax^2 + bx + c \le 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Buna göre,

I. a⋅c>0a \cdot c > 0
II. a+b+c>0a + b + c > 0
III. ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi R∖{−b2a}\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{b}{2a}\right\} kümesidir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri kesinlikle doğrudur.
Verilen eşitsizliğin tek elemanlı bir çözüm kümesine sahip olması, ifadenin disriminantının sıfır (Δ=0 \Delta = 0) ve baş katsayısının pozitif (a>0a > 0) olmasını gerektirir. Δ=0⇒b2=4ac\Delta = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac eşitliğinde bb sıfırdan farklı olduğundan a⋅c>0a \cdot c > 0 elde edilir (I. öncül doğrudur). Ayrıca, ifadenin tek kökü (çift katlı kök) −b2a-\frac{b}{2a} olduğundan, ifade bu değer hariç tüm gerçel sayılar için kesinlikle pozitiftir (III. öncül doğrudur). a+b+ca + b + c toplamı ise a=ca=c ve b<0b < 0 iken sıfıra eşit olabileceğinden kesinlikle sıfırdan büyük olmak zorunda değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin tek elemanlı olmasının grafiksel ve cebirsel şartlarını belirleme.
a>0a > 0 ve Δ=b2−4ac=0\Delta = b^2 - 4ac = 0 olmalıdır.
ax2+bx+c≤0ax^2 + bx + c \le 0 eşitsizliğinin yalnızca tek bir gerçel sayı için sağlanması, y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün xx eksenine teğet olması ve kollarının yukarı doğru (a>0a > 0) olması anlamına gelir. Eğer a<0a < 0 olsaydı, çözüm kümesi sonsuz elemanlı bir aralık olurdu.
2
I. öncülün doğruluğunu test etme.
a⋅c>0a \cdot c > 0 elde edilir.
b2−4ac=0⇒b2=4acb^2 - 4ac = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac olur. bb sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğundan b2>0b^2 > 0'dır. Dolayısıyla 4ac>04ac > 0 olmal��dır, bu da a⋅c>0a \cdot c > 0 olmasını gerektirir. I. öncül kesinlikle doğrudur.
3
II. öncülün doğruluğunu test etme.
a+b+c≥0a + b + c \ge 0 olup kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekmez.
a>0a > 0 ve ac>0ac > 0 olduğundan c>0c > 0'dır. b2=4ac⇒b=2acb^2 = 4ac \Rightarrow b = 2\sqrt{ac} veya b=−2acb = -2\sqrt{ac} olur. b=−2acb = -2\sqrt{ac} durumunda, a+b+c=a−2ac+c=(a−c)2≥0a + b + c = a - 2\sqrt{ac} + c = (\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 \ge 0 elde edilir. Eğer a=ca = c ise (örneğin a=1,b=−2,c=1a=1, b=-2, c=1) a+b+c=0a + b + c = 0 olur ve ifade sıfırdan büyük olmaz. II. öncül kesinlikle doğru değildir.
4
III. öncülün doğruluğunu test etme.
Çözüm kümesi R∖{−b2a}\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{b}{2a}\right\} kümesidir.
ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 eşitsizliğinde, ifademiz teğetlikten dolayı a(x−(−b2a))2>0a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 > 0 şeklinde yazılabilir. a>0a > 0 olduğundan, bu ifade tepe noktasının apsisi olan çift katlı kök x=−b2ax = -\frac{b}{2a} dışındaki tüm gerçel sayılar için pozitiftir. III. öncül kesinlikle doğrudur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli ifadelerin işaret incelemesi ve teğetlik (çift katlı kök) durumlarında çözüm kümesi analizi.
Soru 1505Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=(a2−2a)xf(x) = (a^2 - 2a)^x fonksiyonunun bir üstel fonksiyon belirtmesi için aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı (2,∞)∖{1+2}(2, \infty) \setminus \{1 + \sqrt{2}\} kümesidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı ((−∞,0)∪(2,∞))∖{1−2,1+2}((-\infty, 0) \cup (2, \infty)) \setminus \{1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\} kümesidir.
Üstel fonksiyonun tabanı olan a2−2aa^2 - 2a ifadesinin pozitif ve 1'den farklı olması şartı çözüldüğünde aa için hem pozitif hem de negatif bölgelerde uygun değerler bulunur. Verilen önerme negatif bölgeyi (a<0a < 0) tamamen dışarıda bıraktığı için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tabanının pozitif olma şartının incelenmesi
a(a−2)>0  ⟹  a∈(−∞,0)∪(2,∞)a(a - 2) > 0 \implies a \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)
Bir fonksiyonun bxb^x biçiminde üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif (b>0b > 0) olması gerekir.
2
Tabanın 1'den farklı olma şartının incelenmesi
a2−2a≠1  ⟹  a2−2a−1≠0  ⟹  a≠1±2a^2 - 2a \neq 1 \implies a^2 - 2a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1 \pm \sqrt{2}
Üstel fonksiyon tanımı gereği taban 1'e eşit olamaz (b≠1b \neq 1).
3
Elde edilen şartların birleştirilerek en geniş aralığın bulunması
a∈((−∞,0)∪(2,∞))∖{1−2,1+2}a \in ((-\infty, 0) \cup (2, \infty)) \setminus \{1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\}
Hem pozitiflik hem de 1'den farklı olma koşullarını sağlayan tüm gerçel sayılar kümesi belirlenir.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif (b>0b > 0) ve 1'den farklı (b≠1b \neq 1) olması kuralı ve bu kuralın değişken parametreler üzerindeki eşitsizlik analizlerine uygulanması.
Soru 1506Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin iç açılarının sinüs değerleri arasında
sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B)
bağıntısı bulunmaktadır.
Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R=6R = 6 birim ve a+c=18a + c = 18 birim olduğuna göre, sin⁡(B)\sin(B) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

0.75
Sinüs Teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdir ve orantı sabiti çevrel çemberin çapı olan 2R2R değerine eşittir. Verilen sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B) eşitliğinde her bir terim yerine sırasıyla a2R\frac{a}{2R}, c2R\frac{c}{2R} ve b2R\frac{b}{2R} yazıldığında paydalar sadeleşir ve a+c=2ba + c = 2b bağıntısı elde edilir. Soruda a+c=18a + c = 18 birim olarak verildiği için 2b=18  ⟹  b=92b = 18 \implies b = 9 birim bulunur. Çevrel çemberin yarıçapı R=6R = 6 birim olduğu için b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünden 9=12sin⁡(B)  ⟹  sin⁡(B)=0.759 = 12\sin(B) \implies \sin(B) = 0.75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların sinüs değerlerini Sinüs Teoremi ile kenar uzunlukları ve çevrel çember yarıçapı cinsinden ifade etmek.
sin⁡(A)=a2R\sin(A) = \frac{a}{2R}, sin⁡(B)=b2R\sin(B) = \frac{b}{2R} ve sin⁡(C)=c2R\sin(C) = \frac{c}{2R}
Sorudaki sinüslü ifadeyi kenar uzunluklarına bağlamak için Sinüs Teoremi bağınt��sı kullanılır.
2
Elde edilen sinüs değerlerini verilen denklemde yerine yazıp sadeleştirerek kenarlar arasındaki bağıntıyı bulmak.
a+c=2ba + c = 2b
a2R+c2R=2⋅b2R\frac{a}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \cdot \frac{b}{2R} denkleminde her iki tarafı da 2R2R ile çarparak sadeleştirme yapılır.
3
Verilen a+c=18a + c = 18 bağıntısını kullanarak bb kenar uzunluğunu hesaplamak.
b=9b = 9 birim
a+c=2ba + c = 2b ve a+c=18a + c = 18 olduğundan, 2b=182b = 18 eşitliği elde edilir.
4
Sinüs Teoremi formülünde bb ve RR değerlerini yazarak sin⁡(B)\sin(B) değerini hesaplamak.
sin⁡(B)=0.75\sin(B) = 0.75
b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünde b=9b = 9 ve R=6R = 6 yazıldığında 9=12sin⁡(B)9 = 12\sin(B) denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi kullanılarak üçgenin kenarları ile açılarının sinüsleri arasında doğru orantı kurulması.
Soru 1507Soru →
f:R→R+f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ olmak üzere, f(x)=(a2−4a−5a2−9)xf(x) = \left(\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9}\right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyondur. Buna göre, bu koşulu sağlayan en küçük iki farklı aa tam sayısının toplamının 6 olduğu ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, çünkü azalan üstel fonksiyon şartlarını sağlayan en küçük iki farklı aa tam sayısı 0 ve 6'dır ve toplamları 6'dır.
Üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının sıfır ile bir aralığında bulunması gerekir. Eşitsizlik sisteminin çözümünden elde edilen ortak aralıkta yer alan en küçük iki tam sayının toplamı doğrudan ifadeyle eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun tanım k��mesi ve azalan olma koşullarını belirleyin.
Bir g(x)=bxg(x) = b^x fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının 0<b<10 < b < 1 koşulunu sağlaması gerekir. Buradan, 0<a2−4a−5a2−9<10 < \frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} < 1 eşitsizlik sistemi elde edilir.
Üstel fonksiyonların tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır; azalan olması için ise taban 1'den küçük olmalıdır.
2
Tabanın sıfırdan büyük olması koşulunu (H(a)>0H(a) > 0) çözün.
a2−4a−5a2−9>0  ⟹  (a−5)(a+1)(a−3)(a+3)>0\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} > 0 \implies \frac{(a-5)(a+1)}{(a-3)(a+3)} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=−3,−1,3,5a = -3, -1, 3, 5 olup işaret tablosu incelendiğinde çözüm kümesi (−∞,−3)∪(−1,3)∪(5,∞)(-\infty, -3) \cup (-1, 3) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Üstel fonksiyon tanımı gereği taban daima sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Tabanın 1'den küçük olması koşulunu (H(a)<1H(a) < 1) çözün.
a2−4a−5a2−9<1  ⟹  a2−4a−5−(a2−9)a2−9<0  ⟹  4(1−a)(a−3)(a+3)<0\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} < 1 \implies \frac{a^2 - 4a - 5 - (a^2 - 9)}{a^2 - 9} < 0 \implies \frac{4(1-a)}{(a-3)(a+3)} < 0 eşitsizliğinin kökleri a=−3,1,3a = -3, 1, 3 olup işaret tablosu incelendiğinde çözüm kümesi (−3,1)∪(3,∞)(-3, 1) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Üstel fonksiyonun azalan karakterde olması için taban değerinin 1'den küçük olması gerekir.
4
Elde edilen iki çözüm kümesinin kesişimini bulun ve bu aralıktaki en küçük iki farklı tam sayıyı belirleyin.
Kesişim kümesi I=((−∞,−3)∪(−1,3)∪(5,∞))∩((−3,1)∪(3,∞))=(−1,1)∪(5,∞)I = \Big( (-\infty, -3) \cup (-1, 3) \cup (5, \infty) \Big) \cap \Big( (-3, 1) \cup (3, \infty) \Big) = (-1, 1) \cup (5, \infty) olur. Bu aralıktaki en küçük iki farklı tam sayı a=0a = 0 ve a=6a = 6'dır. Toplamları ise 0+6=60 + 6 = 6 bulunur. Dolayısıyla verilen ifade doğrudur.
Her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerektiğinden ortak çözüm kümesi alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonun tanım kümesi sınırları (b>0b > 0, b≠1b \neq 1) ile azalanlık koşulunun (0<b<10 < b < 1) eşitsizlik sistemleri yardımıyla incelenmesi.
Soru 1508Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−x+ky = x^2 - x + k parabolü ile y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkın mutlak değeri 1212 birim olduğuna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

k gerçek sayısı -1 olmalıdır.
Doğrunun eğimi 3 olduğundan, kesişim noktalarının ordinatları arasındaki fark, apsisleri arasındaki farkın 3 katına eşittir. Buradan apsisler farkının mutlak değeri 4 olarak bulunur. Kesişim noktalarının apsislerini veren ortak çözüm denklemi x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 olup, kökler farkı formülünden Δ=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  k=−1\sqrt{\Delta} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies k = -1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−x+k=3x−1  ⟹  x2−4x+k+1=0x^2 - x + k = 3x - 1 \implies x^2 - 4x + k + 1 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsisleri, bu ortak çözüm denkleminin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 değerleridir.
2
Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı, apsisler farkı cinsinden yazarak analiz edin.
Kesişim noktaları A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) olsun. Bu noktalar y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu üzerinde bulundu��undan, y1=3x1−1y_1 = 3x_1 - 1 ve y2=3x2−1y_2 = 3x_2 - 1 olur. Ordinatlar farkının mutlak değeri: ∣y1−y2∣=∣(3x1−1)−(3x2−1)∣=3∣x1−x2∣|y_1 - y_2| = |(3x_1 - 1) - (3x_2 - 1)| = 3|x_1 - x_2| olarak bulunur. Soruda bu fark 1212 birim verildiğinden, 3∣x1−x2∣=12  ⟹  ∣x1−x2∣=43|x_1 - x_2| = 12 \implies |x_1 - x_2| = 4 elde edilir.
Doğru üzerindeki iki noktanın dikey uzaklığı (ordinat farkı), yatay uzaklıklarının (apsis farkının) doğrunun eğimi ile çarpımına eşittir.
3
Ortak çözüm denkleminde kökler farkı formülünü (∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}) kullanarak kk değerini hesaplayın.
x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(−4)2−4(1)(k+1)=12−4k\Delta = (-4)^2 - 4(1)(k+1) = 12 - 4k şeklindedir. Kökler farkı ∣x1−x2∣=12−4k1=4  ⟹  12−4k=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  4k=−4  ⟹  k=−1|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{12 - 4k}}{1} = 4 \implies \sqrt{12 - 4k} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies 4k = -4 \implies k = -1 bulunur.
Apsisler arasındaki farkın 4 birim olmasını sağlayan k parametresi, ikinci dereceden ortak çözüm denkleminin diskriminant bağıntısı yardımıyla belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının koordinat ilişkileri ve ortak çözüm denklemi

Alternatif Yöntem

Kökler farkı ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 olarak belirlendikten sonra, (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 özdeşliği kullanılabilir. Ortak çözüm denkleminden kökler toplamı x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve kökler çarpımı x1x2=k+1x_1x_2 = k+1 değerleri yerine yazıldığında; 42=42−4(k+1)  ⟹  16=16−4(k+1)  ⟹  4(k+1)=0  ⟹  k=−14^2 = 4^2 - 4(k+1) \implies 16 = 16 - 4(k+1) \implies 4(k+1) = 0 \implies k = -1 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1509Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} ve ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} dir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣BD∣=3 birim|BD| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası alınıyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 333\sqrt{3}

Cevap

Doğru cevap 333\sqrt{3} birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi ile elde edilen cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2} değeri, ABDABD üçgeninde yerine yazıldığında x2=27x^2 = 27 denklemi elde edilir ve buradan doğru uzunluk 333\sqrt{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük üçgen olan ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak BB açısının kosinüs değerini bulma.
cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡B|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos B formülünden 72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡B  ⟹  49=34−30cos⁡B  ⟹  30cos⁡B=−15  ⟹  cos⁡B=−127^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos B \implies 49 = 34 - 30\cos B \implies 30\cos B = -15 \implies \cos B = -\frac{1}{2} elde edilir.
2
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak ∣AD∣=x|AD| = x uzunluğunu hesaplama.
x=33x = 3\sqrt{3}
∣AD∣2=∣AB∣2+∣BD∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BD∣⋅cos⁡B|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos B formülünden x2=32+32−2⋅3⋅3⋅(−12)  ⟹  x2=18+9=27  ⟹  x=33x^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \implies x^2 = 18 + 9 = 27 \implies x = 3\sqrt{3} birim bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 1510Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−45)+arctan⁡(512))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5665\frac{56}{65}

Cevap

İfadenin doğru değeri 5665\frac{56}{65}'tir.
Doğru yanıt olan değer, arcsin⁡(−45)\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) açısının 4. bölgede yer alması nedeniyle kosinüsünün pozitif (35\frac{3}{5}) olması ve kosinüs toplam formülünün doğru işaretlerle uygulanması sonucu 3665−(−2065)=5665\frac{36}{65} - \left(-\frac{20}{65}\right) = \frac{56}{65} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(−45)=x\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) = x dönüşümü yapılarak xx açısının trigonometrik değerleri belirlenir.
sin⁡(x)=−45\sin(x) = -\frac{4}{5} ve cos⁡(x)=35\cos(x) = \frac{3}{5} bulunur.
arcsin⁡\arcsin fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığıdır. Girdi negatif olduğundan, xx açısı 4. bölgededir (x∈[−π2,0]x \in [-\frac{\pi}{2}, 0]). Bu bölgede sinüs negatif, kosinüs ise pozitiftir.
2
arctan⁡(512)=y\arctan\left(\frac{5}{12}\right) = y dönüşümü yapılarak yy açısının trigonometrik değerleri belirlenir.
tan⁡(y)=512\tan(y) = \frac{5}{12}, sin⁡(y)=513\sin(y) = \frac{5}{13} ve cos⁡(y)=1213\cos(y) = \frac{12}{13} bulunur.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) aralığıdır. Girdi pozitif olduğundan, yy açısı 1. bölgededir (y∈(0,π2)y \in (0, \frac{\pi}{2})).
3
Kosinüs toplam formülü kullanılarak ifadenin değeri hesaplanır.
cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y)=(35)(1213)−(−45)(513)=3665+2065=5665\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65} bulunur.
İki açının toplamının kosinüsü cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y)\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) bağıntısı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıklarının belirlenmesi ve trigonometrik toplam formüllerinin uygulanması.
Soru 1511Soru →
Bir kenar uzunluğu 44 birim olan ABCDABCD karesinde, EE noktası [BC][BC] kenarının orta noktasıdır. [CD][CD] kenarı üzerinde alınan bir FF noktası için
∣CF∣=3∣FD∣|CF| = 3|FD|
eşitliği sağlanmaktadır.

[AE][AE] ve [BF][BF] doğru parçaları KK noktasında kesiştiğine göre, tan⁡(BKE^)\tan(\widehat{BKE}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 112\frac{11}{2}

Cevap

11/2
Kesişim noktasındaki BKE^\widehat{BKE} açısının ölçüsü 90∘−(β−α)90^\circ - (\beta - \alpha) olarak elde edilir. Bu açının tanjantı, tümler açı indirgemesiyle cot⁡(β−α)\cot(\beta - \alpha) değerine eşittir. Tanjant fark formülü kullanılarak tan⁡(β−α)=211\tan(\beta - \alpha) = \frac{2}{11} hesaplandığından, bunun çarpmaya göre tersi olan cot⁡(β−α)\cot(\beta - \alpha) değeri 112\frac{11}{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kare üzerindeki kenar uzunluklarını ve dik üçgenlerin kenarlarını belirleyelim.
ABCDABCD karesinin bir kenarı 44 birimdir. EE noktası [BC][BC]'nin orta noktası olduğundan ∣BE∣=∣EC∣=2|BE| = |EC| = 2 birimdir. ∣CF∣=3∣FD∣|CF| = 3|FD| ve ∣CD∣=4|CD| = 4 birim olduğundan ∣CF∣=3|CF| = 3 birim ve ∣FD∣=1|FD| = 1 birim olur.
Trigonometrik oranları yazabilmek için ilgili dik üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmamız gerekir.
2
Yardımcı açıları tanımlayarak tanjant değerlerini hesaplayalım.
BAE^=α\widehat{BAE} = \alpha olsun. ABEABE dik üçgeninde (dik köşe BB) tan⁡α=∣BE∣∣AB∣=24=12\tan \alpha = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} olur.
CBF^=β\widehat{CBF} = \beta olsun. BCFBCF dik üçgeninde (dik köşe CC) tan⁡β=∣CF∣∣BC∣=34\tan \beta = \frac{|CF|}{|BC|} = \frac{3}{4} olur.
Kesişim noktasındaki açıyı bu iki açının trigonometrik oranları yardımıyla ifade etmek amacıyla tanjant değerleri bulunur.
3
Kesişim açısı olan BKE^\widehat{BKE} açısını α\alpha ve β\beta açıları cinsinden ifade edelim.
ABCDABCD bir kare olduğundan ABC^=90∘\widehat{ABC} = 90^\circ ve dolayısıyla ABK^=90∘−β\widehat{ABK} = 90^\circ - \beta olur. ABKABK üçgeninin iç açılar toplamından:
AKB^+KAB^+KBA^=180∘  ⟹  AKB^+α+(90∘−β)=180∘\widehat{AKB} + \widehat{KAB} + \widehat{KBA} = 180^\circ \implies \widehat{AKB} + \alpha + (90^\circ - \beta) = 180^\circ
AKB^=90∘+(β−α)\widehat{AKB} = 90^\circ + (\beta - \alpha)
bulunur. A,K,EA, K, E noktaları doğrusal olduğundan, BKE^\widehat{BKE} ve AKB^\widehat{AKB} bütünler a��ılardır:
BKE^=180∘−AKB^=90∘−(β−α)\widehat{BKE} = 180^\circ - \widehat{AKB} = 90^\circ - (\beta - \alpha)
elde edilir.
Aranan açının ölçüs��nü, tanjant farkı bilinen açılarla ilişkilendirmek için üçgenin iç açılar toplamı ve bütünler açı kuralları uygulanır.
4
Tanjant fark formülünü uygulayarak tan⁡(BKE^)\tan(\widehat{BKE}) değerini hesaplayalım.
tan⁡(BKE^)=tan⁡(90∘−(β−α))=cot⁡(β−α)=1tan⁡(β−α)\tan(\widehat{BKE}) = \tan(90^\circ - (\beta - \alpha)) = \cot(\beta - \alpha) = \frac{1}{\tan(\beta - \alpha)} şeklindedir.
Öncelikle tan⁡(β−α)\tan(\beta - \alpha) fark formülünü uygulayalım:
tan⁡(β−α)=tan⁡β−tan⁡α1+tan⁡β⋅tan⁡α=34−121+34⋅12=141+38=14118=211\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \cdot \tan \alpha} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{8}} = \frac{2}{11}
Buradan,
tan⁡(BKE^)=1tan⁡(β−α)=1211=112\tan(\widehat{BKE}) = \frac{1}{\tan(\beta - \alpha)} = \frac{1}{\frac{2}{11}} = \frac{11}{2}
bulunur.
Tümler açıların indirgeme kuralı ve tanjant fark formülü yardımıyla sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki açının farkının tanjant ve kotanjant formülleri ile dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları.
Soru 1512Soru →

Osmanl�� Devleti’nde 1876 yılında ilan edilen Kanun-i Esasi, anayasal düzene geçişin ilk aşamasını oluşturmasına rağmen padişahın geleneksel ve mutlak otoritesini büyük ölçüde muhafaza eden hükümler barındırmaktaydı. Örneğin; hükûmet meclise karşı değil padişaha karşı sorumluydu, padişahın meclisi açma-kapama yetkisi vardı ve padişah idari kararlarla sürgün cezası verebiliyordu.

Bu bilgilere göre, 1876 Kanun-i Esasi’nin ilanıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ulus egemenliği ilkesi tam anlamıyla hayata geçirilememiş, monarşik yapı ağırlığını korumuştur.

Cevap

Ulus egemenliği ilkesinin tam anlam��yla hayata geçirilemediği ve monarşik yapının ağırlığını koruduğudur.
Doğru yanıt, ulus egemenliği ilkesinin tam anlamıyla hayata geçirilemediğini ve monarşik yapının ağırlığını koruduğunu ifade eden seçenektir. Çünkü 1876 Kanun-i Esasi'sinde hükûmet meclise değil padişaha sorumludur, meclisi feshetme yetkisi padişaha aittir ve padişahın sürgün yetkisi bulunur. Bu durum halk iradesinin padişahın mutlak otoritesi karşısında zayıf kaldığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Kanun-i Esasi'nin anayasal düzen içindeki ve padişah üzerindeki yetki dağılımını incelemek.
İlk Osmanlı anayasası olan 1876 Kanun-i Esasi'de padişaha yürütmenin başında geniş yetkiler verildiği görülür.
Anayasanın getirdiği kısıtlamaların mutlakiyeti ne ölçüde sınırlandırdığını belirlemek.
2
Verilen maddelerin ulus egemenliği kavramı üzerindeki etkilerini analiz etmek.
Meclisin feshi, hükûmetin padişaha karşı sorumlu olması ve sürgün yetkisi gibi maddelerin halk iradesinin üzerinde padişah iradesini üstün kıldığı tespit edilir.
Bu maddelerin demokratik bir anayasa yapısına uygun olup olmadığını değerlendirmek.
3
Seçenekleri analiz ederek padişahın mutlak otoritesini sürdürdüğünü gösteren en doğru yargıyı belirlemek.
Ulus egemenliğinin tam anlamıyla hayata geçirilemediği ve monarşik yapının ağırlığını koruduğu sonucuna ulaşılır.
Tarihsel veriler ışığında doğru çıkarımı netleştirmek.

Anahtar Kavram

1876 Kanun-i Esasi'nin yürütme-yasama ilişkileri ve padişahın mutlak otoritesinin korunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1513Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı bir ff fonksiyonunun yerel maksimum noktası A(6,12)A(6, 12), yerel minimum noktası ise B(−3,−6)B(-3, -6)'dır.

Buna göre,
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık 45 birimdir.
Yerel maksimum noktası A(6,12)A(6,12) ve yerel minimum noktası B(−3,−6)B(-3,-6) olan ff fonksiyonuna uygulanan g(x)=2⋅f(x/3)g(x) = 2 \cdot f(x/3) dönüşümü, grafiği yatayda 3 kat ve dikeyde 2 kat esnetir. Bu dönüşüm sonucunda yeni yerel ekstremum noktaları A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) olur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık analitik düzlemde (18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=45\sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 45 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun maksimum noktası olan A(6,12)A(6, 12) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası A′(18,24)A'(18, 24) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun maksimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin 66 olması gerekir. Buradan x3=6  ⟹  x=18\frac{x}{3} = 6 \implies x = 18 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅12=242 \cdot 12 = 24 olur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun minimum noktası olan B(−3,−6)B(-3, -6) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası B′(−9,−12)B'(-9, -12) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun minimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin −3-3 olması gerekir. Buradan x3=−3  ⟹  x=−9\frac{x}{3} = -3 \implies x = -9 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅(−6)=−122 \cdot (-6) = -12 olur.
3
Elde edilen A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) noktaları arasındaki uzaklık iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplanır.
Uzaklık 4545 birim olarak hesaplanır.
Uzaklık formülü ∣A′B′∣=(18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=9⋅32+42=9⋅5=45|A'B'| = \sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 9 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = 9 \cdot 5 = 45 birimdir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümlerinin koordinatlar üzerindeki etkisi.
Soru 1514Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡4x−cos⁡4xtan⁡x−cot⁡x=38\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\tan x - \cot x} = \frac{3}{8}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) olup, verilen eşitlikten sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifadenin pay ve paydası yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) ifadesi elde edilir. Bu ifade 38\frac{3}{8} değerine eşitlendiğinde sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak sadeleştirin.
sin⁡4x−cos⁡4x=−cos⁡(2x)\sin^4 x - \cos^4 x = -\cos(2x)
sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) olup sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazıp paydalarını eşitleyerek yarım açı formülleriyle sadeleştirin.
tan⁡x−cot⁡x=−2cos⁡(2x)sin⁡(2x)\tan x - \cot x = \frac{-2\cos(2x)}{\sin(2x)}
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} olup, pay için yarım açıdan −cos⁡(2x)-\cos(2x), payda için ise 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) yazılmıştır.
3
Pay ve payda ifadelerini oranlayarak denklemi çözün.
sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75
−cos⁡(2x)−cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=12sin⁡(2x)=38  ⟹  sin⁡(2x)=34=0.75\frac{-\cos(2x)}{\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)}} = \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{3}{8} \implies \sin(2x) = \frac{3}{4} = 0.75 elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometride iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme ve sinüs ile kosinüsün yarım açı formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Payda kısmında tan⁡x−cot⁡x=−2cot⁡(2x)\tan x - \cot x = -2\cot(2x) özdeşliği doğrudan kullanılabilir. Bu özdeşlik cot⁡(2x)=cot⁡2x−12cot⁡x\cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} formülünün ters çevrilip eksi ile çarpılmış halidir. Bu sayede payda doğrudan −2cot⁡(2x)-2\cot(2x) olarak yazılıp sadeleştirme daha hızlı yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1515Soru →
f(x)=log⁡x−1(36−x2x+3)f(x) = \log_{x - 1}\left(\frac{36 - x^2}{x + 3}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 12'dir.
Logaritmanın tanımlı olması için taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2). Argümanın pozitif olması için ise 36−x2x+3>0\frac{36-x^2}{x+3} > 0 eşitsizliği çözüldüğünde x∈(−∞,−6)∪(−3,6)x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 6) elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi olan (1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\} aralığındaki tam sayılar 3,4,53, 4, 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlılık şartlarını belirlemek
x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Argümanın pozitiflik şartını yazmak
36−x2x+3>0\frac{36 - x^2}{x + 3} > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı pozitif olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve işaret incelemesi yapmak
Kökler: x=−6x = -6, x=−3x = -3, x=6x = 6; Çözüm aralığı: (−∞,−6)∪(−3,6)(-\infty, -6) \cup (-3, 6)
Rasyonel ifadenin işaretini belirlemek amacıyla pay ve payda kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini elde etmek
(1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\}
Hem taban koşullarının hem de argümanın pozitiflik koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplamak
3,4,53, 4, 5 tam sayıları; Toplam: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12
Elde edilen aralıktaki tam sayılar tespit edilir ve toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonu log⁡g(x)f(x)\log_{g(x)}f(x) biçiminde tanımlandığında en geniş tanım kümesi için f(x)>0f(x) > 0, g(x)>0g(x) > 0 ve g(x)≠1g(x) \neq 1 şartlarının tamamı aynı anda sağlanmalıdır.

Alternatif Yöntem

Taban şartından dolayı x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2 olması gerektiği bilindiğinden, en geniş tanım kümesindeki tam sayı adayları 3,4,5,6,7,…3, 4, 5, 6, 7, \dots olarak sıralanabilir. Bu değerler fonksiyonda sırayla yerine yazılarak argümanın pozitif kalıp kalmadığı kontrol edilebilir: x=3x = 3 için 276>0\frac{27}{6} > 0 (sağlar), x=4x = 4 için 207>0\frac{20}{7} > 0 (sağlar), x=5x = 5 için 118>0\frac{11}{8} > 0 (sağlar). x=6x = 6 için pay 0 olur ve tanımsızlık oluşur. x>6x > 6 değerleri için pay negatif, payda ise pozitif olduğundan argüman daima negatif çıkar ve tanımlılık sağlanmaz. Buradan sadece 3,4,53, 4, 5 değerlerinin sağladığı görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1516Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=(a2+2a2+1)xf(x) = \left(\frac{a^2 + 2}{a^2 + 1}\right)^x
fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

I. aa parametresinin her gerçel sayı değeri için f(x)f(x) bir üstel fonksiyondur.
II. aa'nın bazı gerçel sayı değerleri için f(x)f(x) azalan bir fonksiyondur.
III. f(x)=2xf(x) = 2^x eşitliğini sağlayan benzersiz bir aa gerçel sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
I. ve III. ifadelerin doğru olduğunu gösteren analizler sırasıyla tabanın her zaman pozitif ve 1'den farklı olması ile tabanı 2 yapan tek bir a değerinin (a = 0) bulunmasına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanımını ve taban şartlarını hatırlama.
Taban olan bb ifadesinin b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olması gerektiğini belirledik.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için bu iki koşulu aynı anda sağlaması gerekir.
2
Tabanın pozitifliğini ve 1'den farklı olma durumunu analiz etme.
Her aa gerçel sayısı için a2≥0a^2 \ge 0 olduğundan tabanın daima pozitif ve 1'den farklı olduğunu bulduk.
I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek ve tanım kümesini belirlemek için.
3
Tabanın 1'den büyük olma durumunu inceleyerek artanlık/azalanlık analizi yapma.
Tabanın her aa gerçel sayısı için 1'den büyük olduğunu, dolayısıyla fonksiyonun daima artan olduğunu ve hiçbir zaman azalan olamayacağını bulduk.
II. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.
4
f(x)=2xf(x) = 2^x eşitliğini sağlayan aa değerlerini bulma.
Tabanı 2'ye eşitleyip çözdüğümüzde tek bir gerçel sayı kökü (a=0a = 0) elde ettik.
III. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Taban Özellikleri
Soru 1517Soru →
aa bir tam sayı olmak üzere,
x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının sayısı 55 olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Farklı aa tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Verilen x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0 eşitsizliği (x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4 şeklinde yazılabilir. Çözüm kümesi [a−a+4,a+a+4][a-\sqrt{a+4}, a+\sqrt{a+4}] kapalı aralığıdır. Merkez elemanı aa tam sayısı olan bu simetrik aralıkta tam olarak 5 tane tam sayı bulunabilmesi için bu sayıların a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olması gerekir. Bu durum 2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 koşulunu gerektirir. Buradan 4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5 elde edilir. aa'nın alabileceği tam sayı değerleri 0, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik ifadesini tam kareye tamamlayarak düzenleyin.
(x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4
Eşitsizliğin sınırlarını ve köklerin simetrisini aa parametresi cinsinden daha kolay analiz edebilmek için.
2
Eşitsizliğin çözüm kümesini aa cinsinden kapalı aralık olarak yazın.
a−a+4≤x≤a+a+4a - \sqrt{a+4} \le x \le a + \sqrt{a+4}
x2−2ax+a2=(x−a)2x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2 ifadesinin karekökü alınarak xx yalnız bırakılır. Eşitsizliğin gerçel sayılarda çözümünün olabilmesi için a+4≥0a+4 \ge 0 olmalıdır.
3
Çözüm aralığındaki tam sayı adedinin 5 olmasını sağlayan eşitsizlik koşulunu belirleyin.
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3
aa bir tam sayı olduğundan, aralık aa noktasına göre simetriktir. Aralıktaki 5 tam sayı a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olmalıdır. Bu durum, üst sın��r olan a+a+4a+\sqrt{a+4} değerinin a+2a+2 ile a+3a+3 arasında (alt sınıra eşit olabilir, üst sınıra eşit olamaz) olmasını gerektirir.
4
Elde edilen eşitsizliği çözerek aa tam sayısının alabileceği değerler kümesini bulun.
4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 eşitsizliğinde her iki tarafın karesi alınarak aa yalnız bırakılır.
5
Koşulu sağlayan farklı aa tam sayılarının toplamını bulun.
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
0≤a<50 \le a < 5 aralığındaki aa tam sayıları {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\} değerleridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde tam kareye tamamlama yöntemi ve çözüm aralığındaki tam sayıların simetri analizi.
Soru 1518Soru →
tan⁡(arcsin⁡(35)+arccot(2))\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) + \text{arccot}(2)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara eşitlendiğinde elde edilen trigonometrik değerler, dik üçgen bağıntıları yardımıyla tanjant değerlerine dönüştürülür. Ardından tanjant toplam formülü uygulanarak ifadenin sayısal değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonları açılara eşitleme
arcsin⁡(35)=α  ⟹  sin⁡α=35\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \alpha \implies \sin\alpha = \frac{3}{5} ve arccot(2)=β  ⟹  cot⁡β=2\text{arccot}(2) = \beta \implies \cot\beta = 2
Ters trigonometrik fonksiyonların temel tanımını kullanarak açısal karşılıklarını belirlemek için.
2
Açıların tanjant değerlerini hesaplama
tan⁡α=34\tan\alpha = \frac{3}{4} ve tan⁡β=12\tan\beta = \frac{1}{2}
Toplam formülünde kullanmak üzere dik üçgen tanımı ve trigonometrik özdeşliklerden yararlanmak için.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak sonucu bulma
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α⋅tan⁡β=2\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} = 2
İstenen toplam açısının tanjantını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda açı dönüşümü ve toplam formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, koordinat düzleminde eğimleri sırasıyla 3/43/4 ve 1/21/2 olan iki doğrunun eğim açılarının toplamı dikkate alınabilir. Bu doğruların oluşturduğu toplam açının tanjantı doğrudan iki doğrunun kesişim geometrisinden elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1519Soru →

Yukarıdaki dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+ax+bf(x) = -x^2 + ax + b parabolü ile bu parabole A(2,k)A(2, k) noktasında teğet olan dd doğrusu verilmiştir.

dd doğrusu koordinat eksenlerini (−1,0)(-1, 0) ve (0,3)(0, 3) noktalarında kesti��ine göre, a⋅ba \cdot b çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Çarpımın değeri -7 olarak bulunur.
Doğrunun eksenleri kestiği noktalardan denklemi y = 3x + 3 olarak bulunur. Teğet noktası olan A(2, k) doğrunun üzerinde olduğundan k = 9 elde edilir. A(2, 9) noktası parabol üzerinde yerine yazıldığında 2a + b = 13 bağıntısına ulaşılır. Parabol ile doğrunun ortak çözüm denklemi olan x^2 + (3-a)x + (3-b) = 0 denkleminin x = 2 noktasında teğetlikten ötürü çift katlı kökü vardır. Bu durumda ortak çözüm denklemi (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 = 0 olmalıdır. Buradan a = 7 ve b = -1 bulunur. Bu değerlerin çarpımı ise -7 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
d doğrusunun denkleminin yazılması.
d doğrusunun denklemi y = 3x + 3 olarak bulunur.
Eksenleri kestiği noktalar (-1, 0) ve (0, 3) olan doğrunun eğimi m = 3 olup denklemi y = 3x + 3 şeklindedir.
2
Teğet noktası A(2, k)'nin koordinatlarının belirlenmesi.
A(2, 9) noktası elde edilir.
A noktası d doğrusunun üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlar: k = 3(2) + 3 = 9 olur.
3
A(2, 9) noktasının parabol denkleminde yerine yazılması.
2a + b = 13 denklemi elde edilir.
A(2, 9) noktası parabol üzerinde olduğundan f(2) = 9 olmalıdır. Buradan 9 = -4 + 2a + b elde edilir.
4
Ortak çözüm denkleminden çift katlı kök koşulunun uygulanması.
a = 7 ve b = -1 olarak bulunur.
Parabol ve doğrunun ortak çözümü -x^2 + ax + b = 3x + 3 olup x^2 + (3-a)x + (3-b) = 0 denklemini verir. x = 2 noktasında teğetlik olduğundan bu denklemin (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 = 0 olması gerekir. Katsayıların eşitliğinden a = 7 ve b = -1 bulunur.
5
a ve b değerlerinin çarpılması.
a * b = -7 olarak hesaplanır.
Soruda istenen a * b değerine ulaşmak için bulunan a = 7 ve b = -1 değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğetlik durumu, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması (çift katlı kök) anlamına gelir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1520Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=24\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

İfade sadeleştirilip yarım açı formülleri uygulandığında aranan değer 1/2 olarak bulunur.
İki kare farkı özdeşliği yardımıyla verilen denklem düzenlendiğinde 22sin⁡(2x)=24\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4} elde edilir ve buradan sin⁡(2x)=12\sin(2x) = \frac{1}{2} bulunur. Kosinüsün yarım açı formülü olan cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) uygulandığında aranan sonuç 1/2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini ve sinüs toplam-fark formüllerini uygulayalım.
sin⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=sin⁡(2x)sin⁡(π4)=22sin⁡(2x)\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \sin(2x) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)
İki kare farkı açılımı ile terimlerin toplamı ve farkı çarpılarak ifade sadeleştirilir.
2
Sadeleşen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitleyerek sin⁡(2x)\sin(2x) değerini çekelim.
22sin⁡(2x)=24  ⟹  sin⁡(2x)=12\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}
Kosinüs çift kat açı formülüne geçiş yapabilmek için sinüs değeri bulunur.
3
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini hesaplayalım.
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)=1−2(12)2=12\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}
cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta özdeşliği yardımıyla doğrudan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

Terimlerin kareleri toplam-fark formülleri ile ayrı ayrı açılıp farkları alındıktan sonra da sadeleştirme yapılarak çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 76 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin