Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1541Soru →

Analitik düzlemde, y=−x2+ax−3y = -x^2 + ax - 3 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu birbirine teğettir.

Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olmasını sağlayan farklı aa değerlerinin çarpımı −12-12 olur.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlendiğinde elde edilen aa değerleri −2-2 ve 66 olup, bu değerlerin çarpımı −12-12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde etmek.
x2+(2−a)x+4=0x^2 + (2-a)x + 4 = 0
Doğru ve parabolün ortak noktalarını incelemek amacıyla iki denklem birbirine eşitlenir.
2
Ortak çözüm denkleminin diskriminantını sıfıra eşitlemek.
(2−a)2−16=0(2-a)^2 - 16 = 0
Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit (Δ=0\Delta = 0) olması anlamına gelir.
3
Elde edilen denklemi çözerek aa sayısının alabileceği değerleri belirlemek.
a=−2a = -2 ve a=6a = 6
(2−a)2=16(2-a)^2 = 16 eşitliğinden 2−a2-a ifadesi 44 veya −4-4 olabilir.
4
Bulunan aa değerlerinin çarpımını hesaplamak.
−12-12
Soru kökünde bizden aa sayısının alabileceği değerlerin çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması (Δ=0\Delta = 0).
Soru 1542Soru →
log⁡2(x)+log⁡2(x−2)=3\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {4}\{4\}

Cevap

Denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {4}\{4\} şeklindedir.
Verilen denklemde logaritma özellikleri kullanıldığında x(x−2)=23=8x(x-2) = 2^3 = 8 eşitliği elde edilir. Buradan x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri 44 ve −2-2 olarak bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği logaritma içi pozitif olmalıdır. x>2x > 2 şartını sağlayan tek kök 44 olduğundan çözüm kümesi yalnızca bu elemanı içerir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
x>0x > 0 ve x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma özelliğini uygulayarak denklemi düzenleme
log⁡2(x⋅(x−2))=3\log_2(x \cdot (x-2)) = 3
Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımının logaritmasına eşittir: log⁡b(a)+log⁡b(c)=log⁡b(a⋅c)\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c).
3
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üslü biçimde yazma
x(x−2)=23⇒x2−2x=8x(x-2) = 2^3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8
log⁡b(y)=c⇒y=bc\log_b(y) = c \Rightarrow y = b^c özelliğinden yararlanılır.
4
İkinci dereceden denklemi çözme
x2−2x−8=0⇒(x−4)(x+2)=0⇒x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 4 veya x=−2x = -2
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Kökleri tanım kümesine göre kontrol etme
x=4x = 4 değeri x>2x > 2 şartını sağlar, ancak x=−2x = -2 değeri bu şartı sağlamaz. Bu yüzden çözüm kümesi yalnızca 44 elemanından oluşur.
Başlangıçta belirlenen tanım kümesi şartına uymayan değerler çözüm kümesine dahil edilemez.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve bulunan köklerin tanım kümesi şartlarına uygunluğunun denetlenmesi.
Soru 1543Soru →
x2−xy−y2=5x−2y=1\begin{aligned} x^2 - xy - y^2 &= 5 \\ x - 2y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer 28'dir.
Denklem sistemindeki birinci dereceden denklem kullanılarak x=2y+1x = 2y + 1 elde edilir. Bu değer ikinci dereceden denklemde yerine yazıldığında y2+3y−4=0y^2 + 3y - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (y+4)(y−1)=0(y + 4)(y - 1) = 0 olup kökleri y=1y = 1 ve y=−4y = -4'tür. Karşılık gelen xx değerleri sırasıyla 33 ve −7-7 olur. Çözüm ikililerinin çarpımları 3⋅1=33 \cdot 1 = 3 ve (−7)⋅(−4)=28(-7) \cdot (-4) = 28 olarak bulunur. Bu değerlerin en büyüğü 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci dereceden denklemden değişken çekme
x=2y+1x = 2y + 1
Yerine koyma metodunu uygulamak amacıyla linear denklemden xx yalnız bırakılır.
2
xx ifadesini ikinci dereceden denklemde yerine koyma
(2y+1)2−(2y+1)y−y2=5(2y + 1)^2 - (2y + 1)y - y^2 = 5
İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyenli bir denklem haline getirmek için.
3
Denklemi açma ve standart forma getirme
y2+3y−4=0y^2 + 3y - 4 = 0
Çarpanlarına ayırarak kökleri bulabilmek için denklemi sadeleştirip düzenlemek gerekir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulma
y=1y = 1 veya y=−4y = -4
(y+4)(y−1)=0(y + 4)(y - 1) = 0 çarpanlarına ayrılan denklemin köklerini bulmak için.
5
Bulunan yy değerlerine karşılık gelen xx değerlerini hesaplama
(3,1)(3, 1) ve (−7,−4)(-7, -4) çözüm ikilileri
Her bir yy değeri x=2y+1x = 2y + 1 eşitliğinde yazılarak çözüm kümesindeki ikililer oluşturulur.
6
Çarpımları hesaplayıp en büyüğünü belirleme
3⋅1=33 \cdot 1 = 3 ve (−7)⋅(−4)=28(-7) \cdot (-4) = 28 değerlerinden en büyüğü 28'dir.
Soruda istenen en büyük çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi.
Soru 1544Soru →
log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡56⋯log⁡n−1n=4\log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{n-1} n = 4

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Eşitliği sağlayan nn değeri 81'dir.
Verilen zincirleme çarpımda taban değiştirme kuralı uygulandığında iç terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca ilk terimin tabanı ile son terimin argümanı kalır. Bu durum log⁡3n=4\log_3 n = 4 eşitliğini verir. Logaritma tanımından n=34=81n = 3^4 = 81 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak çarpımı sadeleştirin.
log⁡3n=4\log_3 n = 4
log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c zincir kuralı gereğince ardışık taban ve argümanlar birbirini sadeleştirir.
2
Elde edilen logaritmik denklemi üstel fonksiyona dönüştürün.
n=34n = 3^4
log⁡ax=y⇔x=ay\log_a x = y \Leftrightarrow x = a^y tanımı gereğince logaritma tabanı karşı tarafa üs tabanı olarak geçer.
3
343^4 üslü ifadesinin değerini hesaplayın.
n=81n = 81
Dört adet 3 sayısının çarpımı (3⋅3⋅3⋅33 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) 81 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme özelliği ve zincir kuralı
Soru 1545Soru →
3x+1=9x−13^{x+1} = 9^{x-1} denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {3}\{3\} kümesidir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {3}\{3\} kümesidir.
Denklemin tabanları 33 sayısında eşitlendiğinde üslerin eşitliğinden x=3x = 3 kök değerine ulaşılır ve çözüm kümesi tek elemanlı olarak {3}\{3\} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafında bulunan 9x−19^{x-1} ifadesini 33 tabanında yazın.
9x−1=(32)x−1=32x−29^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x-2}
��slü denklemi çözebilmek amacıyla her iki tarafın tabanlarını eşitlemek için.
2
3x+1=32x−23^{x+1} = 3^{2x-2} denkleminde tabanlar eşit olduğundan üsleri birbirine eşitleyin.
x+1=2x−2x + 1 = 2x - 2
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin eşitliğinde üslerin de birbirine eşit olması gerektiği için.
3
x+1=2x−2x + 1 = 2x - 2 birinci dereceden denklemini çözün.
x=3x = 3
Bilinmeyen terimi yalnız bırakarak denklemin kökünü elde etmek için.

Anahtar Kavram

Üstel denklemlerde tabanların eşitlenmesi ve üslerin karşılaştırılması.
Soru 1546Soru →
f(x)=12πarctan⁡(x2−4x+5)f(x) = \frac{12}{\pi} \arctan(x^2 - 4x + 5)

fonksiyonunun g��rüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun görüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 12'dir.
Fonksiyonun görüntü kümesi [3,6)[3, 6) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 3, 4 ve 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki fonksiyonun en küçük değerini ve değer aralığını belirleme.
x2−4x+5x^2 - 4x + 5 ifadesinin alabileceği en küçük değer 1'dir ve değer aralığı [1,∞)[1, \infty) olur.
Arctan fonksiyonunun argümanının sınırlarını belirlemek için parabolün tepe noktasını kullandık.
2
Arctan fonksiyonunun değer sınırlarını hesaplama.
arctan⁡(x2−4x+5)\arctan(x^2 - 4x + 5) ifadesinin değer aralığı [π4,π2)[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) olur.
Arctan fonksiyonunun artan özelliğini ve sonsuzdaki limit değerini kullanarak sınırları belirledik.
3
Fonksiyonun katsayısını uygulayarak görüntü kümesini ve tam sayıların toplamını bulma.
Görüntü kümesi [3,6)[3, 6) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 12'dir.
Görüntü kümesindeki tam sayıları (3, 4 ve 5) belirleyip toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve limit değerlerinin parabolün tepe noktası ile birleştirilerek fonksiyonun görüntü kümesinin bulunması.
Soru 1547Soru →

3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi koşulunu sağlayan bir xx gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler tanımlanıyor:

a=1−2sin⁡xcos⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x}
b=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xb = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xsec⁡x⋅csc⁡xc = \frac{\tan x + \cot x}{\sec x \cdot \csc x}

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralaması küçükten büyüğe b < c < a şeklindedir.
Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=1c = 1 elde edilir. Verilen aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten daha büyük ve işareti negatif olduğundan, bu iki değerin toplamı olan bb ifadesi negatiftir (b<0b < 0). aa ifadesinde ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için sonuç 11'den büyüktür (a>1a > 1). cc değeri ise her durumda 11'e eşit olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla bb, cc ve aa şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip sinüs ve kosinüs de��erlerinin işaret ve büyüklük ilişkilerini analiz edin.
3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi aralığı birim çemberde ikinci bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 (pozitif) ve cos⁡x<0\cos x < 0 (negatif) olup, mutlak değerce ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x (yani −cos⁡x>sin⁡x-\cos x > \sin x) ilişkisi vardır.
Açının sinüs değeri 00 ile 22\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alırken, kosinüs değeri −1-1 ile −22-\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alır.
2
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını bulun.
a=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣a = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değerin içi pozitiftir: a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x. sin⁡x>0\sin x > 0 ve −cos⁡x>22-\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} olduğundan a>1a > 1 bulunur.
Tam kare özdeşliği ve kareköklü ifadelerin mutlak değer dışına çıkarılması kuralı uygulanmıştır.
3
bb ifadesini sadeleştirip işaretini belirleyin.
İki küp toplamı özdeşliğinden pay sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) olarak yazılır. Paydadaki 1−sin⁡xcos⁡x1 - \sin x \cos x terimi ile sadeleştirme yapıldığında b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğu için b<0b < 0 olur.
Çarpanlara ayırma kuralları ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliği kullanılmıştır.
4
cc ifadesini sadeleştirip değerini bulun.
c=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x1cos⁡x⋅1sin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = 1 bulunur.
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının temel tanımları yerine yazılarak rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılmıştır.
5
Elde edilen sonuçları büyüklüklerine göre sıralayın.
b<0b < 0, c=1c = 1 ve a>1a > 1 olduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a olur.
Negatif sayılar daima pozitif sayılardan küçüktür ve aa değeri cc sabitinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember yardımıyla değerlerin bölgelere göre sıralanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1548Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x−15)+arctan⁡(x−1)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) + \arctan\left(\sqrt{x-1}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, bileşenlerinin tanım kümelerinin kesişimidir. arcsin teriminden -2 <= x <= 3 ve köklü terimden x >= 1 koşulları elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan [1, 3] aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3 olup, bunların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(2x−15)\arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
−2≤x≤3-2 \le x \le 3
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanım kümesi [−1,1][-1, 1] aralığıdır. Dolayısıyla −1≤2x−15≤1-1 \le \frac{2x-1}{5} \le 1 olmalıdır. Buradan −5≤2x−1≤5⇒−4≤2x≤6⇒−2≤x≤3-5 \le 2x - 1 \le 5 \Rightarrow -4 \le 2x \le 6 \Rightarrow -2 \le x \le 3 elde edilir.
2
arctan⁡(x−1)\arctan\left(\sqrt{x-1}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
x≥1x \ge 1
arctan⁡(u)\arctan(u) fonksiyonu tüm gerçel sayılar için tanımlıdır. Ancak x−1\sqrt{x-1} ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içinin negatif olmaması, yani x−1≥0⇒x≥1x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 olması gerekir.
3
İki ifadenin tanım kümelerinin kesişimini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulma.
1≤x≤31 \le x \le 3
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu yüzden −2≤x≤3-2 \le x \le 3 ve x≥1x \ge 1 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
4
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleme.
1, 2 ve 3
[1,3][1, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3'tür.
5
Belirlenen tam sayıların toplamını hesaplama.
6
1, 2 ve 3 sayılarının toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 eder.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arcsin(x) fonksiyonunun tanım kümesinin [-1, 1] aralığı olması ve fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.
Soru 1549Soru →

Gerçel katsayılı f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dir. r>0r > 0 ve f(0)<0f(0) < 0 olduğu bilinmektedir. f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi boş kümeden farklı olduğuna göre, rr tepe noktasının apsisi f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin her zaman bir elemanıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme her zaman doğru olmadığından yanlıştır.
Verilen önerme yanlıştır çünkü a>0a > 0 olması durumunda f(0)=ar2+k<0f(0) = ar^2 + k < 0 koşulu f(r)=k<0f(r) = k < 0 olmasını zorunlu kılar. Bu durumda tepe noktasının apsisi olan rr değeri f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğini sağlamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktası formunu yazma ve başlangıç koşullarını belirleme
f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x-r)^2 + k şeklinde yazılır. Buradan f(0)=ar2+k<0f(0) = ar^2 + k < 0 ve r>0r > 0 olduğu bulunur.
f(0)f(0) değerini tepe noktası koordinatları cinsinden ifade ederek sınır şartını analiz etmek için.
2
Başkatsayı a>0a > 0 (kolları yukarı doğru olan parabol) durumunu inceleme
a>0a > 0 ise ar2>0ar^2 > 0 olur. ar2+k<0ar^2 + k < 0 eşitsizliğinden k<0k < 0 elde edilir. Bu durumda tepe noktasındaki değer f(r)=k<0f(r) = k < 0 bulunur.
Kolları yukarı doğru olan parabolde tepe noktasının x-ekseninin altında kalıp kalmadığını belirlemek için.
3
Başkatsayı a<0a < 0 (kolları aşağı doğru olan parabol) durumunu inceleme
a<0a < 0 ise en büyük değer tepe noktasında alınır. Çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması için f(r)=k≥0f(r) = k \ge 0 olmalıdır.
Kolları aşağı doğru olan parabolde eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayı bulunma koşulunu belirlemek için.
4
Genellemenin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla karşıt örnek oluşturma
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonu için r=1>0r = 1 > 0, f(0)=−3<0f(0) = -3 < 0'dır. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty) olup bu küme r=1r=1 elemanını kapsamaz.
a>0a > 0 durumu için ifadenin yanlışlığını somut bir örnekle doğrulamak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümelerinin, parabolün kollarının yönü (başkatsayının işareti) ve tepe noktasının konumu ile ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1550Soru →
f(x)=log⁡8−x(x2−4x−12x−1)f(x) = \log_{8 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı −1-1 olmalıdır.
Logaritma tanım kuralları gereği tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(6,8)∖{7}(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\} olur. Bu kümedeki tam sayılar −1-1 ve 00 olup toplamları −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban Koşulunun Belirlenmesi
x<8x < 8 ve x≠7x \neq 7
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve 11'den farklı olması gerekir. Bu durumda 8−x>0⇒x<88 - x > 0 \Rightarrow x < 8 ve 8−x≠1⇒x≠78 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 7 elde edilir.
2
Logaritma İçinin Pozitiflik Koşulu
x∈(−2,1)∪(6,∞)x \in (-2, 1) \cup (6, \infty)
Logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. x2−4x−12x−1>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1} > 0 eşitsizliğinde payın kökleri x=6x = 6 ve x=−2x = -2, paydanın kökü ise x=1x = 1'dir. Kökler tabloya yerleştirilip en sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulduğunda çözüm aralığı (−2,1)∪(6,∞)(-2, 1) \cup (6, \infty) bulunur.
3
Tanım Kümelerinin Kesiştirilmesi
(−2,1)∪(6,8)∖{7}(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\}
Taban koşulundan gelen x<8x < 8 ve x≠7x \neq 7 ko��ulları ile logaritma içinin pozitif olduğu (−2,1)∪(6,∞)(-2, 1) \cup (6, \infty) aralığı kesiştirilmelidir.
4
Tam Sayıların Belirlenmesi ve Toplanması
−1-1
Elde edilen tanım kümesindeki tam sayılar sadece −1-1 ve 00'dır (çünkü 66 ile 88 arasındaki tek tam sayı olan 77 kümeden çıkarılmıştır). Bu sayıların toplamı (−1)+0=−1(-1) + 0 = -1 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması koşullarını birlikte incelemek gerekir.
Soru 1551Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları a=5 birima = 5\text{ birim}, b=8 birimb = 8\text{ birim} ve üçgenin alanı 103 birimkare10\sqrt{3}\text{ birimkare} olarak verilmektedir.

m(ACB^)<90∘m(\widehat{ACB}) < 90^\circ ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olduğuna göre, R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri 7'dir.
Üçgenin sinüslü alan formülü kullanılarak CC açısının sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Açı dar açı olduğu için 60∘60^\circ olarak belirlenir. Ardından Kosinüs Teoremi ile cc kenarı 7 birim olarak hesaplanır. Son olarak Sinüs Teoremi kullanılarak 2R=csin⁡(C)2R = \frac{c}{\sin(C)} bağıntısından çevrel çemberin yarıçapı R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} elde edilir ve buradan R3=7R\sqrt{3} = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin alan formülünü uygulayarak CC açısının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(ACB^)=32\sin(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
Bir üçgenin alanı, iki kenarı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
2
CC açısının dar açı olma koşuluna göre açının ölçüsünü derece cinsinden bulma.
m(ACB^)=60∘m(\widehat{ACB}) = 60^\circ
0∘<ACB^<90∘0^\circ < \widehat{ACB} < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.
3
Kosinüs Teoremini uygulayarak cc kenarının uzunluğunu bulma.
c=7c = 7 birim
c2=a2+b2−2abcos⁡(ACB^)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{ACB}) formülünde bilinenler yerine yazılarak c2=25+64−2(5)(8)cos⁡(60∘)=89−40=49c^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)\cos(60^\circ) = 89 - 40 = 49 elde edilir.
4
Sinüs Teoremini uygulayarak çevrel çemberin yarıçapı RR değerini ve R3R\sqrt{3} ifadesini hesaplama.
R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} ve R3=7R\sqrt{3} = 7
Sinüs Teoremine göre csin⁡(ACB^)=2R\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})} = 2R bağıntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi, Kosinüs Teoremi ve Sinüslü Alan Formülünün bir arada kullanılması.
Soru 1552Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2}
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

0,96
Verilen cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2} ifadesi payda eşitleme ve yarım açı dönüşümleriyle 2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} biçimine getirilir. Buradan cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanımlanan bölgeye göre 2x2x açısı birinci bölgededir. Birinci bölgedeki bu açıya ait dik üçgen çizildiğinde sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülü uygulandığında sin⁡(4x)=2⋅45⋅35=0,96\sin(4x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0,96 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cot⁡x−tan⁡x\cot x - \tan x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak payda eşitleyin.
cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=32\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = \frac{3}{2}
cot⁡x−tan⁡x=cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x=cos⁡2x−sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=2cot⁡(2x)\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\cot(2x) özdeşliği geçerlidir.
2
Eşitlikten cot⁡(2x)\cot(2x) değerini yalnız bırakın.
cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4}
2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
2x2x açısının aralığını ve bu bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerini bulun.
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olduğundan 2x∈(0,π2)2x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olur. Birinci bölgede tüm trigonometrik oranlar pozitiftir. Kotanjantı 34\frac{3}{4} olan bir dik üçgende karşı kenar 4, komşu kenar 3 ve hipotenüs 5 birimdir.
4
sin⁡(4x)\sin(4x) değerini yarım açı formülüyle hesaplayın.
sin⁡(4x)=0,96\sin(4x) = 0,96
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2⋅45⋅35=2425=0,96\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} = 0,96 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

sin⁡(4x)\sin(4x) değerini, tan⁡(2x)=43\tan(2x) = \frac{4}{3} değerini bulduktan sonra doğrudan sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} formülünü kullanarak da hesaplayabiliriz. Bu durumda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)=2⋅431+169=83259=2425=0,96\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = \frac{24}{25} = 0,96 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1553Soru →
log⁡3(x−2)⋅log⁡x(x2−5)=log⁡3(x−2)\log_3(x-2) \cdot \log_x(x^2 - 5) = \log_3(x-2)

denklemini sağlayan xx gerçel say��larının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7+212\frac{7+\sqrt{21}}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı \frac{7+\sqrt{21}}{2} değeridir.
Denklemin sol tarafındaki ortak terim paranteze alındığında elde edilen iki ayrı denklemin kökleri bulunur. Bu köklerden logaritma tanım kümesini (tabanın 0'dan büyük ve 1'den farklı, argümanın 0'dan büyük olması) sağlayanlar sırasıyla 33 ve 1+212\frac{1+\sqrt{21}}{2} sayılarıdır. Bu iki sayının toplamı ise istenen sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki tüm terimleri sol tarafta toplayıp ortak çarpan parantezine alalım.
log⁡3(x−2)⋅[log⁡x(x2−5)−1]=0\log_3(x-2) \cdot [\log_x(x^2 - 5) - 1] = 0
Denklemi çarpanlarına ayırarak olası tüm kökleri belirlemek.
2
Eşitliğin sıfır olabilmesi için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyelim.
1. Durum: log⁡3(x−2)=0\log_3(x-2) = 0
2. Durum: log⁡x(x2−5)=1\log_x(x^2 - 5) = 1
Çarpımın sıfır olma özelliğini kullanmak.
3
Birinci durumu çözelim.
x−2=30⇒x−2=1⇒x=3x - 2 = 3^0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3
İlk çarpanı sıfır yapan xx değerini bulmak.
4
İkinci durumu ç��zelim.
x2−5=x1⇒x2−x−5=0x^2 - 5 = x^1 \Rightarrow x^2 - x - 5 = 0
İkinci çarpanı sıfır yapan xx değerini bulmak.
5
Elde edilen ikinci derece denklemi diskriminant yöntemiyle çözelim.
Δ=(−1)2−4(1)(−5)=21\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-5) = 21
x1,2=1±212x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}
İkinci derece denklemin gerçel köklerini bulmak.
6
Logaritma tanım k��mesi kurallarını (taban > 0, taban != 1, argüman > 0) uygulayalım.
Tanım kümesi: x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ve x2−5>0x^2 - 5 > 0. Dolayısıyla x>5≈2,24x > \sqrt{5} \approx 2,24 olmalıdır.
Bulunan köklerin logaritma fonksiyonunu tanımlı yapıp yapmadığını denetlemek.
7
Kök adaylarını tanım kümesi sınırlarına göre kontrol edelim.
- x=3x = 3 kökü 3>2,243 > 2,24 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
- x=1+212≈2,79x = \frac{1+\sqrt{21}}{2} \approx 2,79 kökü 2,79>2,242,79 > 2,24 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
- x=1−212≈−1,79x = \frac{1-\sqrt{21}}{2} \approx -1,79 kökü koşulu sağlamadığı için elenir.
Sadece geçerli olan gerçel kökleri belirlemek.
8
Geçerli köklerin toplamını bulalım.
3+1+212=7+2123 + \frac{1+\sqrt{21}}{2} = \frac{7+\sqrt{21}}{2}
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde ortak çarpan parantezine alma ve logaritmanın tanım kümesi sınırlamalarına göre köklerin kontrol edilmesi.

Alternatif Yöntem

Denklemde log⁡3(x−2)=A\log_3(x-2) = A ve log⁡x(x2−5)=B\log_x(x^2 - 5) = B değişken dönüşümleri yapıldığında denklem A⋅B=AA \cdot B = A şekline dönüşür. Buradan A(B−1)=0A(B-1) = 0 elde edilerek A=0A = 0 veya B=1B = 1 durumları ayrı ayrı incelenebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1554Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−12)+arccot(−3))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12-\frac{1}{2}

Cevap

İfadenin doğru değeri −12-\frac{1}{2} olarak bulunur.
Ters trigonometrik fonksiyonların standart değer kümelerine göre, sinüsü −12-\frac{1}{2} olan açı −π6-\frac{\pi}{6} ve kotanjantı −3-\sqrt{3} olan açı 5π6\frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu iki açının toplamı 2π3\frac{2\pi}{3} olup, bu açının kosinüs değeri −12-\frac{1}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(−12)\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−π6-\frac{\pi}{6}
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığıdır. Bu aralıkta sinüsü −12-\frac{1}{2} olan açı −π6-\frac{\pi}{6} radyandır.
2
arccot(−3)\text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
5π6\frac{5\pi}{6}
arccot(x)\text{arccot}(x) fonksiyonunun değer kümesi (0,π)(0, \pi) aralığıdır. Bu aralıkta kotanjantı −3-\sqrt{3} olan açı 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.
3
Elde edilen açı değerlerini toplamak.
2π3\frac{2\pi}{3}
−π6+5π6=4π6=2π3-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} işlemiyle toplam açı bulunur.
4
Bulunan toplam açının kosinüs değerini hesaplamak.
−12-\frac{1}{2}
cos⁡(2π3)=cos⁡(π−π3)=−cos⁡(π3)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} eşitliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Değer Kümeleri ve Özel Açı Değerleri
Soru 1555Soru →
f(x)=log⁡x−3(10x−x2−9)f(x) = \log_{x - 3}(10x - x^2 - 9) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Logaritma tanım kümesi kuralları uygulandığında en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 26 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması (10x−x2−9>0  ⟹  1<x<910x - x^2 - 9 > 0 \implies 1 < x < 9), tabanın sıfırdan büyük olması (x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3) ve tabanın 1'den farklı olması (x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4) gerekir. Bu üç koşulun kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (3,9)∖{4}(3, 9) \setminus \{4\} olarak elde edilir. Bu kümede yer alan tam sayılar 5,6,75, 6, 7 ve 88'dir. Bu sayıların toplamı ise 2626'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanımlı olması için argümanın (iç kısmının) sıfırdan büyük olma koşulu incelenir.
10x−x2−9>0  ⟹  x2−10x+9<0  ⟹  (x−1)(x−9)<0  ⟹  x∈(1,9)10x - x^2 - 9 > 0 \implies x^2 - 10x + 9 < 0 \implies (x-1)(x-9) < 0 \implies x \in (1, 9)
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade daima pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.
2
Logaritmanın tabanının pozitif olması ve 1'e eşit olmaması koşulları incelenir.
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 ve x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
3
Elde edilen tüm aralıkların kesişimi alınarak en geniş tanım kümesi bulunur.
x∈(1,9)∩(3,∞)∖{4}  ⟹  x∈(3,9)∖{4}x \in (1, 9) \cap (3, \infty) \setminus \{4\} \implies x \in (3, 9) \setminus \{4\}
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm bileşenlerinin aynı anda tanımlılık şartlarını sağlaması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Tanım kümesindeki tam sayılar: 5,6,7,85, 6, 7, 8. Toplamları: 5+6+7+8=265 + 6 + 7 + 8 = 26.
Soruda en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken hem tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması hem de argümanın sıfırdan büyük olması şartlarının kesişimi alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik sistemi çözmek yerine, argümanın kökleri bulunarak sınırlandırılan aralıktaki tam sayılar taban kurallarına göre tek tek denenebilir. Argümanı pozitif yapan aralık 1<x<91 < x < 9 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılardan x=2x=2 ve x=3x=3 değerleri tabanı negatif veya sıfır yaptığı için, x=4x=4 ise tabanı 1 yaptığı için elenir. Geriye kalan 5,6,7,85, 6, 7, 8 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1556Soru →
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) olmak üzere,
a=1csc⁡x−cot⁡x−1csc⁡x+cot⁡xa = \frac{1}{\csc x - \cot x} - \frac{1}{\csc x + \cot x}
b=sin⁡x1+cos⁡x+cot⁡xb = \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \cot x
c=cos⁡x1−sin⁡x−tan⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \tan x
olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Verilen aralıkta her bir ifade özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirildiğinde a=2cot⁡xa = 2\cot x, b=csc⁡xb = \csc x ve c=sec⁡xc = \sec x olarak bulunur. x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığında bb pozitif değer alırken, aa ve cc negatif değerler alır. Negatif değerlerden c=sec⁡x≤−2c = \sec x \le -2 aralığında yer alırken, a=2cot⁡xa = 2\cot x değeri −2-2 ile 00 arasında (yaklaşık olarak −1.15-1.15 ile 00 arasında) yer alır. Bu durumda c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin paydalarını eşitleyerek ortak paydada yazınız.
a=2cot⁡xa = 2\cot x
csc⁡2x−cot⁡2x=1\csc^2 x - \cot^2 x = 1 temel özdeşliği kullanılarak ifadenin paydası 11 yapılır ve sadeleşme sağlanır.
2
bb ifadesinde cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
b=csc⁡xb = \csc x
Pay kısmındaki sin⁡2x+cos⁡2x+cos⁡x=1+cos⁡x\sin^2 x + \cos^2 x + \cos x = 1 + \cos x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir ve tek bir fonksiyon elde edilir.
3
cc ifadesinde tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
c=sec⁡xc = \sec x
Pay kısmındaki cos⁡2x+sin⁡2x−sin⁡x=1−sin⁡x\cos^2 x + \sin^2 x - \sin x = 1 - \sin x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir.
4
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığı için sadeleştirilen fonksiyonların değer aralıklarını ve işaretlerini belirleyerek karşılaştırınız.
c<a<bc < a < b
İkinci bölgede 2cot⁡x2\cot x negatif ve −1.15-1.15 ile 00 arasında, csc⁡x\csc x pozitif ve 11 ile 1.1551.155 arasında, sec⁡x\sec x ise negatif ve −2-2 veya daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler Yardımıyla Sadeleştirme ve Bölgelere Göre Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1557Soru →
f(x)=log⁡∣x−2∣−1(x2−4x−12x2−9)f(x) = \log_{|x - 2| - 1}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 9}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunmayan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesinde bulunmayan tam sayıların toplamı 16'dır.
Doğru yanıt 16 değeridir. Logaritma tanımı gereği, taban ifadesi sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan rasyonel ifade ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu koşulların ortak kesişim kümesi olan (−∞,−3)∪(−2,0)∪(0,1)∪(6,∞)(-\infty, -3) \cup (-2, 0) \cup (0, 1) \cup (6, \infty) kümesinin dışında kalan tam sayılar -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olup, bu sayıların toplamı 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını belirleyelim.
∣x−2∣−1>0|x - 2| - 1 > 0 ve ∣x−2∣−1≠1|x - 2| - 1 \neq 1 olmalıdır.
İlk olarak, ∣x−2∣>1  ⟹  x−2>1|x - 2| > 1 \implies x - 2 > 1 veya x−2<−1  ⟹  x>3x - 2 < -1 \implies x > 3 veya x<1x < 1 bulunur.
İkinci olarak, ∣x−2∣≠2  ⟹  x−2≠2|x - 2| \neq 2 \implies x - 2 \neq 2 ve x−2≠−2  ⟹  x≠4x - 2 \neq -2 \implies x \neq 4 ve x≠0x \neq 0 bulunur.
Böylece taban koşulu: x∈(−∞,1)∪(3,∞)∖{0,4}x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \setminus \{0, 4\} olur.
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı olmak zorundadır.
2
Logaritması alınan rasyonel ifadenin pozitif olma koşulunu inceleyelim.
x2−4x−12x2−9>0  ⟹  (x−6)(x+2)(x−3)(x+3)>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 9} > 0 \implies \frac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0 eşitsizliğini çözmek için kökleri bulup işaret tablosu yapalım.
Kökler: x=−3,−2,3,6x = -3, -2, 3, 6.
İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin pozitif olduğu aralıklar: x∈(−∞,−3)∪(−2,3)∪(6,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 3) \cup (6, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
3
İki koşulun kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulalım.
Taban koşulu ile iç kısmın pozitiflik koşulunu kesiştirdiğimizde:
- (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığı taban koşulunu sağlar.
- (−2,3)(-2, 3) aralığı ile ((−∞,1)∪(3,∞))((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) kesişimi (−2,1)(-2, 1) olur, bu aralıktan x=0x = 0 çıkarılmalıdır. Yani (−2,0)∪(0,1)(-2, 0) \cup (0, 1) elde edilir.
- (6,∞)(6, \infty) aralığı taban koşulunu sağlar.
Böylece en geniş tanım kümesi: D=(−∞,−3)∪(−2,0)∪(0,1)∪(6,∞)D = (-\infty, -3) \cup (-2, 0) \cup (0, 1) \cup (6, \infty) olur.
Fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme, her iki şartın da sağlandığı ortak kümedir.
4
Tanım kümesinde bulunmayan tam sayıları tespit edip toplayalım.
Tanım kümesi DD dışında kalan tam sayılar şunlardır:
- x≤−3x \le -3 aralığının sınır değeri olan −3-3,
- −3<x<−2-3 < x < -2 aralığı tanım kümesinde olmadığından sınır değer olan −2-2,
- Çıkarılan 00 değeri,
- Taban tanımından dolayı kümede olmayan 1,21, 2 değerleri,
- İç kısmın negatif olduğu [3,6][3, 6] aralığındaki tam sayılar: 3,5,63, 5, 6,
- Tabanın 1 olmasını engellemek için çıkarılan 44 değeri.
Bu değerler kümesi {−3,−2,0,1,2,3,4,5,6}\{-3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} şeklindedir.
Toplamları: (−3)+(−2)+0+1+2+3+4+5+6=16(-3) + (-2) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 16 bulunur.
Tanım kümesinde yer almayan tam sayıları doğru belirlemek için eşitsizliklerin sınır değerleri ve çıkarılan tekil noktalar dikkatle incelenir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban b>0b > 0, b≠1b \neq 1 ve iç kısım f(x)>0f(x) > 0 koşullarının hepsi birlikte sağlanmalıdır.
Soru 1558Soru →
f(x)=log⁡∣x−3∣−1(18−3x−x2)f(x) = \log_{|x - 3| - 1}(18 - 3x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı −15-15 olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için taban ifadesi olan ∣x−3∣−1>0|x - 3| - 1 > 0 ve ∣x−3∣−1≠1|x - 3| - 1 \neq 1 olmalıdır. Buradan x<2x < 2 veya x>4x > 4 ile x≠1x \neq 1, x≠5x \neq 5 elde edilir. Ayrıca argüman ifadesi 18−3x−x2>018 - 3x - x^2 > 0 olmalıdır; bu ise (x+6)(x−3)<0(x + 6)(x - 3) < 0 yani −6<x<3-6 < x < 3 aralığını verir. Bu koşulların kesişiminden en geniş tanım kümesi (−6,2)∖{1}(-6, 2) \setminus \{1\} olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\} olup, toplamları −15-15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını (taban > 0 ve taban != 1) belirlemek.
x<2x < 2 veya x>4x > 4 ve aynı zamanda x≠1x \neq 1, x≠5x \neq 5.
Logaritma tanımı gereği taban daima pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Argümanın tanımlı olma koşulunu (argüman > 0) incelemek.
x∈(−6,3)x \in (-6, 3).
Logaritması alınan ifade daima pozitif olmalıdır.
3
Taban ve argüman koşullarının kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulmak.
T=(−6,2)∖{1}T = (-6, 2) \setminus \{1\}.
Fonksiyonun tanımlı olması için her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}; Toplamları: −15-15.
Kümedeki sınır değerleri ve çıkarılan 11 sayısı hariç tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.
Soru 1559Soru →
aa ve bb dar açılar olmak üzere, a+b<π2a + b < \frac{\pi}{2} eşitsizliği sağlanmaktadır.
sin⁡a⋅cos⁡b=2cos⁡a⋅sin⁡b\sin a \cdot \cos b = 2 \cos a \cdot \sin b
tan⁡(a−b)=13\tan(a - b) = \frac{1}{3}
olduğuna göre, tan⁡(a+b)\tan(a + b) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Verilen oranlar kullanılarak elde edilen tan⁡a=2tan⁡b\tan a = 2\tan b bağıntısı fark formülünde yerine yazıldığında 2tan⁡2b−3tan⁡b+1=02\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin köklerinden tan⁡b=1\tan b = 1 değeri a+b<π/2a+b < \pi/2 sınırını aştığından elenir ve tan⁡b=1/2\tan b = 1/2 ile tan⁡a=1\tan a = 1 değerleri seçilir. Bu değerlerle toplam formülü uygulandığında sonuç 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği tanjant cinsinden yazma
tan⁡a=2tan⁡b\tan a = 2 \tan b
Toplam-fark formüllerinde tanjant değerlerini kullanabilmek için verilen sinüslü ve kosinüslü ifadeyi tanjant oranlarına dönüştürmemiz gerekir.
2
Tanjant fark formülünü uygulama ve yerine yazma
tan⁡b1+2tan⁡2b=13\frac{\tan b}{1 + 2\tan^2 b} = \frac{1}{3}
tan⁡(a−b)\tan(a-b) fark formülünde tan⁡a\tan a yerine 2tan⁡b2\tan b yazarak tek değişkene bağlı bir rasyonel ifade elde ederiz.
3
İkinci dereceden denklemi çözme
tan⁡b=12\tan b = \frac{1}{2} veya tan⁡b=1\tan b = 1
Elde edilen içler dışlar çarpımıyla oluşan 2tan⁡2b−3tan⁡b+1=02\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle buluruz.
4
Dar açı ve bölge kontrolü yapma
tan⁡b=12\tan b = \frac{1}{2} ve tan⁡a=1\tan a = 1
a+b<π2a + b < \frac{\pi}{2} koşulunu sağlayan uygun tanjant değerlerini belirlemek için her iki durumu analiz ederiz. tan⁡b=1\tan b = 1 durumu bu koşulu ihlal eder.
5
Tanjant toplam formülü ile sonucu hesaplama
tan⁡(a+b)=3\tan(a+b) = 3
Bulunan tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b değerlerini tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} formülünde yerine koyarak nihai sonucu elde ederiz.

Anahtar Kavram

İki açının toplam ve farkının tanjant formülleri ile bu formüllerin cebirsel denklemlerde uygulanması.
Soru 1560Soru →

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=sec⁡x+csc⁡xc = \sec x + \csc x

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a < b < c
Verilen aralıkta a<2a < 2, b>2b > 2 ve c=a⋅b>bc = a \cdot b > b olduğundan doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların sınırlarını belirlemek.
x∈(π/4,π/2)x \in (\pi/4, \pi/2) aralığı için sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir. Ayrıca, 2x∈(π/2,π)2x \in (\pi/2, \pi) olduğundan 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 olur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını tespit ederek sıralama kriterlerini oluşturmak.
2
aa ve bb değerlerinin sınırlarını analiz etmek.
a=sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π/4)a = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4) yazılır. x+π/4∈(π/2,3π/4)x + \pi/4 \in (\pi/2, 3\pi/4) olduğundan sin⁡(x+π/4)∈(2/2,1)\sin(x+\pi/4) \in (\sqrt{2}/2, 1) ve buradan a∈(1,2]a \in (1, \sqrt{2}] elde edilir. b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=2sin⁡2xb = \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} olur. sin⁡2x<1\sin 2x < 1 olduğundan b>2b > 2'dir. Buradan a<ba < b sonucu çıkar.
İfadeleri sadeleştirerek net sayısal aralıklara ulaşmak.
3
cc değerini aa ve bb cinsinden yazıp karşılaştırmak.
c=sec⁡x+csc⁡x=1cos⁡x+1sin⁡x=sin⁡x+cos⁡xsin⁡xcos⁡x=a⋅bc = \sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = a \cdot b olur. a>1a > 1 ve b>2b > 2 olduğundan, c=a⋅b>bc = a \cdot b > b elde edilir.
Çarpımsal ilişkiyi kullanarak en büyük değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların belirli bölgelerde aldığı değer aralıklarının karşılaştırılması ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi.
ÖncekiSayfa 78 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin