Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 61Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105
S10=120S_{10} = 120

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ardışık bazı terimlerinin toplamını gösteren
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80

eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitliği sağlayan k pozitif tam sayısı 8'dir.
Verilen S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105 eşitliğinden ardışık üç terimin toplamı 3a17=105  ⟹  a17=353a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35 bulunur. İlk nn terim toplamı formülü kullanılarak S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2 bulunur. Ardışık 4 terimin toplamı olan ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)d=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d = 80 eşitliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında 8k+16=80  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies k = 8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
S18−S15S_{18} - S_{15} farkını dizi terimleri cinsinden yazıp a17a_{17} terimini bulmak.
a16+a17+a18=105  ⟹  3a17=105  ⟹  a17=35a_{16} + a_{17} + a_{18} = 105 \implies 3a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35. Buradan a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi elde edilir.
Bir dizinin ilk 18 teriminin toplamından ilk 15 teriminin toplamı çıkarıldığında geriye son 3 terim (16., 17. ve 18. terimler) kalır. Aritmetik dizilerde ardışık üç terimin toplamı, ortadaki terimin 3 katına eşittir.
2
S10=120S_{10} = 120 bilgisini ilk nn terim toplamı formülünü kullanarak yazmak.
S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 denklemi elde edilir.
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülü ile hesaplanır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak.
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3 olarak bulunur.
a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi 2 ile genişletilerek 2a1+32d=702a_1 + 32d = 70 elde edilir. Bu denklemden 2a1+9d=242a_1 + 9d = 24 çıkarılırsa 23d=46  ⟹  d=223d = 46 \implies d = 2 bulunur. dd değeri ilk denklemde yerine yazıldığında a1=3a_1 = 3 elde edilir.
4
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80 eşitliğini a1a_1 ve dd cinsinden yazıp kk değerini hesaplamak.
8k+16=80  ⟹  8k=64  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies 8k = 64 \implies k = 8 bulunur.
Verilen toplam ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)da_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d olarak ifade edilebilir. a1=3a_1 = 3 ve d=2d = 2 değerleri yerleştirildiğinde 4(3)+(4k+2)(2)=12+8k+4=8k+16=804(3) + (4k + 2)(2) = 12 + 8k + 4 = 8k + 16 = 80 eşitliğinden kk değeri 8 olarak çözülür.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler
Soru 62Soru →

Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

n⋅an+1−(n+2)⋅an=2n \cdot a_{n+1} - (n+2) \cdot a_n = 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, a30a_{30} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 929

Cevap

Doğru cevap 929'dur.
Verilen bağıntı her iki tarafı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek teleskobik bir fark bağıntısına dönüştürülür. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümüyle elde edilen bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} eşitliği n=1n=1 ile n=29n=29 arasında toplandığında aradaki terimler sadeleşir. Başlangıç koşulu a1=1a_1 = 1 kullanılarak genel terim an=n(n+1)−1a_n = n(n+1) - 1 olarak elde edilir. Buradan a30=30⋅31−1=929a_{30} = 30 \cdot 31 - 1 = 929 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ile bölerek teleskobik biçime hazırlamak
an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n(n+1)(n+2)\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Ardışık terimler arasında ortak paydalar oluşturarak sadeleştirme yapmak
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlamak
bn+1−bn=2n(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Bağıntıyı birinci dereceden doğrusal bir indirgemeli dizi biçimine indirgemek
3
Rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı olarak yazmak
bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}
Teleskobik toplam yöntemiyle sadeleşebilecek bir yapı elde etmek
4
n=1n=1 ile n=29n=29 arasındaki terimler için taraf tarafa toplama yapmak
b30−b1=12−130⋅31b_{30} - b_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{30 \cdot 31}
Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskobik sadeleşme) sağlamak
5
b1=12b_1 = \frac{1}{2} başlangıç değerini kullanarak b30b_{30} terimini bulmak
b30=1−130⋅31b_{30} = 1 - \frac{1}{30 \cdot 31}
a1=1a_1 = 1 olduğu için b1=a11⋅2=12b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} elde edilir ve yerine yazılır
6
b30b_{30} tanımından yararlanarak a30a_{30} değerini hesaplamak
a30=929a_{30} = 929
b30=a3030⋅31b_{30} = \frac{a_{30}}{30 \cdot 31} bağıntısında paydaları eşitleyip sadeleştirerek sonuca ulaşmak

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan/bölen (bütünleştirici faktör) kullanarak teleskobik toplam oluşturma
Soru 63Soru →
Her nn pozitif tam sayısı için genel terimi
an=3n+1(n+1)!a_n = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}
olan (an)(a_n) dizisi tanımlanıyor.

Buna göre, ak+1ak=15\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{1}{5} eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Eşitliği sağlayan kk pozitif tam sayısı 13'tür.
Ardışık terimlerin oranı alındığında üslü ifadeler ve faktöriyel çarpanları sadeleşerek 3k+2\frac{3}{k+2} sonucuna ulaşılır. Bu ifadenin 15\frac{1}{5}'e eşitlenmesiyle k+2=15k+2 = 15 ve k=13k = 13 pozitif tam sayısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aka_k ve ak+1a_{k+1} terimlerinin ifadelerini genel terim formülünü kullanarak yazarız.
ak=3k+1(k+1)!a_k = \frac{3^{k+1}}{(k+1)!} ve ak+1=3k+2(k+2)!a_{k+1} = \frac{3^{k+2}}{(k+2)!}
Ardışık iki terim arasındaki oranı hesaplayabilmek için bu terimlerin açık biçimlerini belirlememiz gerekir.
2
Elde edilen terimleri oranlayarak sadeleştirme işlemlerini uygularız.
ak+1ak=3k+2\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{3}{k+2}
Üslü sayılarda bölme kuralı (3k+2/3k+1=33^{k+2} / 3^{k+1} = 3) ve faktöriyel açılım özelliği ((k+2)!=(k+2)⋅(k+1)!(k+2)! = (k+2) \cdot (k+1)!) yardımıyla pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilir.
3
Sadeleşmiş oran�� 15\frac{1}{5} değerine eşitleyerek birinci dereceden denklemi çözeriz.
k=13k = 13
3k+2=15\frac{3}{k+2} = \frac{1}{5} denkleminde içler dışlar çarpımı yapıldığında k+2=15k+2 = 15 ve buradan k=13k = 13 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir dizinin genel teriminde değişken yerine indis yazarak terimleri belirleme ve faktöriyel içeren ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 64Soru →

Bir geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve beşinci terimi a5=162a_5 = 162 olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 18'dir.
Geometrik dizilerde her terimin karesi, kendisine eşit uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımına eşittir. Buradan a32=a1⋅a5=324a_3^2 = a_1 \cdot a_5 = 324 bulunur. a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 olduğundan ve a1=2a_1 = 2 pozitif, r2r^2 negatif olamayacağından üçüncü terim 18 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini uygulayın.
a32=a1⋅a5a_3^2 = a_1 \cdot a_5 eşitliği kurulur.
Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.
2
Verilen terim değerlerini denklemde yerine yazarak a32a_3^2 değerini hesaplayın.
a32=2⋅162=324a_3^2 = 2 \cdot 162 = 324 elde edilir.
Bilinmeyen terimin karesini bulmak için sayısal değerler çarpılır.
3
Karekök alıp terimin işaretini belirleyin.
a3=18a_3 = 18 bulunur.
a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 eşitliğinde a1=2>0a_1 = 2 > 0 ve r2≥0r^2 \ge 0 olduğundan a3a_3 pozitif olmalıdır, bu yüzden −18-18 değeri elenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve terimlerin işaret analizi.
Soru 65Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = 10
a3+a7=136a_3 + a_7 = 136

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

a62−a42a5−a3\frac{a_6^2 - a_4^2}{a_5 - a_3}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

160 değeri doğru cevaptır.
Dizinin artan olduğu koşulundan yola çıkılarak a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve beşinci terim a5=32a_5 = 32 elde edilir. İstenen ifadede terimlerin değerleri yerine yazıldığında veya cebirsel sadeleştirme yapıldığında sonuç 160 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma özelliğini kullanarak birinci ve dokuzuncu terimlerin çarpımını bulalım.
a1⋅a9=210=1024a_1 \cdot a_9 = 2^{10} = 1024
log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=log⁡2(a1⋅a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = \log_2(a_1 \cdot a_9) = 10 özelliğinden dolayı.
2
Geometrik dizinin terimleri arasındaki simetri özelliğini kullanarak beşinci terimi ve üçüncü ile yedinci terimlerin çarpımını bulalım.
a5=32a_5 = 32 ve a3⋅a7=1024a_3 \cdot a_7 = 1024
a1⋅a9=a3⋅a7=a52=1024a_1 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 1024 eşitliği geometrik dizinin tanımından gelir.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen üçüncü ve yedinci terimleri elde edelim.
a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128
x2−136x+1024=0  ⟹  (x−8)(x−128)=0x^2 - 136x + 1024 = 0 \implies (x - 8)(x - 128) = 0 denkleminin kökleri incelenir. Dizi artan olduğundan a3<a7a_3 < a_7 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanı olan rr değerini hesaplayalım.
r=2r = 2
a7=a3⋅r4  ⟹  128=8⋅r4  ⟹  r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 \implies 128 = 8 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Pozitif terimli artan dizi için r=2r = 2 bulunur.
5
İstenen ifadeyi sadeleştirerek veya terimlerin değerlerini yerine yazarak hesaplayalım.
160
a4=16a_4 = 16, a5=32a_5 = 32, a6=64a_6 = 64 değerleri yerine yazıldığında 642−16232−8=4096−25624=160\frac{64^2 - 16^2}{32 - 8} = \frac{4096 - 256}{24} = 160 elde edilir. (Alternatif olarak ifade a5(r2+1)a_5(r^2+1) şeklinde sadeleştirilebilir, buradan da 32⋅5=16032 \cdot 5 = 160 bulunur.)

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşit olması (ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s burada p+q=r+sp+q = r+s) ve terimler arası cebirsel sadeleştirmeler.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 66Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+3n−2a_{n+1} = a_n + 3n - 2
indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a20a_{20} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 536

Cevap

Dizinin yirminci terimi 536'dır.
Verilen indirgeme bağıntısında terimler an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 şeklinde düzenlenip 11'den 1919'a kadar olan nn değerleri için yazılıp toplandığında, sol tarafta a1a_1 dışındaki ara terimler birbirini götürür. Sağ taraftaki aritmetik toplam 532532 olarak hesaplanır ve başlangıç değeri olan a1=4a_1 = 4 eklendiğinde doğru sonuç 536 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme ve taraf tarafa toplama hazırlığı
an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 bağıntısında nn yerine 11 ile 1919 arasındaki tam sayıları yazarız.
Teleskobik (birbirini götüren) toplam elde etmek için.
2
Taraf tarafa toplama işlemini gerçekleştirme
a20−a1=∑n=119(3n−2)a_{20} - a_1 = \sum_{n=1}^{19} (3n - 2)
Dizinin terimlerinin birbirini sadeleştirmesiyle doğrudan a20a_{20} ve a1a_1 terimlerine ulaşmak için.
3
Toplam formülünü kullanarak sağ tarafı hesaplama
3⋅19⋅202−38=570−38=5323 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} - 38 = 570 - 38 = 532
Ardışık sayıların toplamı ve sabit terim toplamı kurallarını uygulamak için.
4
a1a_1 değerini yerine yazarak a20a_{20} terimini bulma
a20−4=532  ⟹  a20=536a_{20} - 4 = 532 \implies a_{20} = 536
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak bilinmeyen terimi yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskobik toplam yöntemi
Soru 67Soru →

x,yx, y ve kk birer tam sayı olmak üzere, genel terimi

an=x⋅n2+y⋅n+12n2−k⋅n+6a_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n + 12}{n^2 - k \cdot n + 6}

olan (an)(a_n) ifadesi sabit bir dizidir.

n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0

denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 16'dır.
Doğru yanıt, sabit dizi tanımından hareketle katsayılar oranını kurup x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k eşitliklerini elde eden, ardından paydanın pozitif tam sayılarda sıfır olmaması gerektiği bilgisini kullanarak kökleri pozitif tam sayılar olan durumları eleyen ve geriye kalan negatif köklü durumlardan toplamı 16 bulan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranını eşitleyin.
x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k olarak bulunur.
Sabit dizilerde genel terimin değeri nn değişkeninden bağımsız olmalıdır. Bu nedenle, rasyonel ifadelerde pay ve paydanın katsayıları orantılı olmak zorundad��r.
2
x+y+kx + y + k ifadesini tek bir değişken cinsinden ifade edin.
x+y+k=2−2k+k=2−kx + y + k = 2 - 2k + k = 2 - k elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak çözümü tek bir bilinmeyen olan kk parametresine indirgemek.
3
n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0 denkleminin köklerinin tam sayı olma koşulunu analiz edin.
Kökler çarpımı n1⋅n2=6n_1 \cdot n_2 = 6 olmalıdır. Buradan kökler toplamı kk için olası tam sayı değerleri 7,5,−7,−57, 5, -7, -5 olarak bulunur.
Köklerin birer tam sayı olması, çarpımlarının 6 sayısının tam sayı bölenleri olmasını gerektirir.
4
Dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde (Z+\mathbb{Z}^+) tanımlı olması kuralını uygulayarak tanımsızlık yaratan kk değerlerini eleyin.
k=5k = 5 ve k=7k = 7 değerleri elenir; geriye yalnızca k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 kalır.
k=5k = 5 için paydanın kökleri 22 ve 33, k=7k = 7 için paydanın kökleri 11 ve 66 olur. Bu pozitif tam sayı değerlerinde dizinin terimleri tanımsız kalacağı için bu durumlar bir dizi belirtmez. k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 için ise kökler negatif tam sayılar olduğundan dizide tanımsızlık oluşmaz.
5
Geçerli kk değerleri için 2−k2 - k ifadesinin alacağı değerleri hesaplayıp toplayın.
k=−5  ⟹  2−(−5)=7k = -5 \implies 2 - (-5) = 7 ve k=−7  ⟹  2−(−7)=9k = -7 \implies 2 - (-7) = 9 bulunur. Toplamları ise 7+9=167 + 9 = 16'dır.
Soruda istenen x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Dizilerin tanım kümesi gereği pozitif tam sayılarda her teriminin tanımlı olma zorunluluğu ve rasyonel sabit dizilerde katsayı ilişkisi
Soru 68Soru →

Bir aritmetik dizide baştan nn terimin toplamı SnS_n sembolüyle gösterilmektedir.

Bu dizide,
S12=−28S_{12} = -28
S28=−12S_{28} = -12

olduğuna göre, bu aritmetik dizinin baştan 4040 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Bu aritmetik dizinin baştan 40 teriminin toplamı 40'tır.
Verilen toplam formülleri açılıp sadeleştirildiğinde 2a1+11d=−1432a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve 2a1+27d=−672a_1 + 27d = -\frac{6}{7} denklemleri elde edilir. Bu sistemden ortak fark d=521d = \frac{5}{21} bulunur. İstenen S40=20(2a1+39d)S_{40} = 20(2a_1 + 39d) ifadesinde 2a1+39d2a_1 + 39d yerine (2a1+11d)+28d(2a_1 + 11d) + 28d yazılarak değerler yerine konduğunda parantez içi 2, toplam ise 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Baştan nn terim toplam formülünü kullanarak S12S_{12} ve S28S_{28} ifadelerini açalım.
S12=6(2a1+11d)=−28  ⟹  2a1+11d=−143S_{12} = 6(2a_1 + 11d) = -28 \implies 2a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve S28=14(2a1+27d)=−12  ⟹  2a1+27d=−67S_{28} = 14(2a_1 + 27d) = -12 \implies 2a_1 + 27d = -\frac{6}{7}
Verilen terim toplamları ile ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (dd) arasında ilişki kurmak.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa çıkararak dd değerini bulalım.
(2a1+27d)−(2a1+11d)=−67−(−143)  ⟹  16d=8021  ⟹  d=521(2a_1 + 27d) - (2a_1 + 11d) = -\frac{6}{7} - \left(-\frac{14}{3}\right) \implies 16d = \frac{80}{21} \implies d = \frac{5}{21}
Dizinin ortak farkını elde etmek.
3
Bulduğumuz ortak farkı kullanarak S40S_{40} formülünde yer alan 2a1+39d2a_1 + 39d ifadesinin değerini hesaplayalım.
2a1+39d=(2a1+11d)+28d=−143+28(521)=−143+203=22a_1 + 39d = (2a_1 + 11d) + 28d = -\frac{14}{3} + 28 \left(\frac{5}{21}\right) = -\frac{14}{3} + \frac{20}{3} = 2
a1a_1 terimini tek başına bulmaya gerek kalmadan işlemi sadeleştirmek.
4
Bulduğumuz 2a1+39d=22a_1 + 39d = 2 değerini S40S_{40} formülünde yerine koyarak sonucu hesaplayalım.
S40=20(2a1+39d)=20×2=40S_{40} = 20(2a_1 + 39d) = 20 \times 2 = 40
Bizden istenen baştan 40 terimin toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Alternatif Yöntem

Aritmetik dizilerde Sk=−mS_k = -m ve Sm=−kS_m = -k (k≠mk \neq m) ise baştan k+mk+m terim toplamının Sk+m=k+mS_{k+m} = k+m olduğu genel formülünden faydalanılabilir. Bu soruda k=12k=12 ve m=28m=28 olduğundan S40=12+28=40S_{40} = 12+28 = 40 bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 69Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n, bir (bn)(b_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı TnT_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
SnTn=7n+14n+27\frac{S_n}{T_n} = \frac{7n + 1}{4n + 27}
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizilerin 11. terimlerinin oranı olan a11b11\frac{a_{11}}{b_{11}} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Dizilerin 11. terimlerinin oranı 4/3 olarak bulunur.
İlk nn terim toplamı formüllerini oranladığımızda SnTn=a1+n−12d1b1+n−12d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1 + \frac{n-1}{2}d_1}{b_1 + \frac{n-1}{2}d_2} elde edilir. Bizden istenen 11. terimlerin oranı olan a1+10d1b1+10d2\frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için n−12=10\frac{n-1}{2} = 10 eşitliğinden n=21n = 21 bulunur. Verilen orantıda nn yerine 2121 yazıldığında 7⋅21+14⋅21+27=148111=43\frac{7 \cdot 21 + 1}{4 \cdot 21 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerin ilk nn terim toplamı formüllerini kullanarak SnS_n ve TnT_n ifadelerini yazmak.
Sn=n2[2a1+(n−1)d1]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1] ve Tn=n2[2b1+(n−1)d2]T_n = \frac{n}{2}[2b_1 + (n-1)d_2]
Dizilerin toplamlarını ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade etmek.
2
Bu toplamların oranını sadeleştirerek 11. terimlerle ilişkisini kurmak.
SnTn=2a1+(n−1)d12b1+(n−1)d2=a1+(n−12)d1b1+(n−12)d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2b_1 + (n-1)d_2} = \frac{a_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_1}{b_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_2}
Ortak çarpan olan n/2n/2 terimlerini sadeleştirip dizinin genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d yapısına benzetmek.
3
11. terimlerin oranı olan a11b11=a1+10d1b1+10d2\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için uygun nn değerini belirlemek.
n−12=10  ⟹  n−1=20  ⟹  n=21\frac{n-1}{2} = 10 \implies n - 1 = 20 \implies n = 21
İstenen terimlerin katsayısı olan 10'u elde etmek için gerekli terim sayısı olan nn değerini bulmak.
4
Bulunan n=21n = 21 değerini verilen toplam oranında yerine yazarak sonuca ulaşmak.
a11b11=7(21)+14(21)+27=148111=43\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}
n=21n = 21 için elde edilen oranın 11. terimlerin oranını doğrudan verdiğini bildiğimizden bu değeri hesaplamak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ile genel terim arasındaki ilişkinin kullanılması.
Soru 70Soru →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S9−S7=72S_9 - S_7 = 72
a3+a13=68a_3 + a_{13} = 68

olduğuna göre, bu dizinin ilk 20 teriminin toplamı (S20S_{20}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 880

Cevap

İlk 20 terim toplamı 880'dir.
İlk 9 terim toplamı ile ilk 7 terim toplamının farkı olan 72, dizinin 8. ve 9. terimlerinin toplamına eşittir. Genel terim formülü kullanılarak bu toplam 2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 şeklinde yazılır. Benzer şekilde, 3. ve 13. terimlerin toplamı olan 68 ifadesi 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68 olarak yazılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=6a_1 = 6 bulunur. İlk 20 terim toplamı formülü olan S20=10(2a1+19d)S_{20} = 10(2a_1 + 19d) ifadesinde bulunan değerler yerine yazıldığında doğru sonuç olan sekiz yüz seksen değeri hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
S9−S7S_9 - S_7 ifadesini terimler cinsinden yazmak.
S9−S7=a8+a9=72S_9 - S_7 = a_8 + a_9 = 72
İlk 9 terim toplamından ilk 7 terim toplamı çıkarıldığında geriye 8. ve 9. terimler kalır.
2
Verilen eşitlikleri dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) cinsinden ifade etmek.
2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 ve 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d genel terim formülü kullanılarak a8+a9=2a1+15da_8 + a_9 = 2a_1 + 15d ve a3+a13=2a1+14da_3 + a_{13} = 2a_1 + 14d denklemleri elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulmak.
d=4d = 4 ve a1=6a_1 = 6
İkinci denklem birinci denklemden çıkarılarak d=4d = 4 bulunur. Bu değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1=6a_1 = 6 elde edilir.
4
İlk 20 terim toplamını (S20S_{20}) hesaplamak.
S20=880S_{20} = 880
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=20n=20, a1=6a_1=6 ve d=4d=4 değerleri yerine yazılarak S20=10(12+19⋅4)=880S_{20} = 10(12 + 19 \cdot 4) = 880 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ile genel terim formülü arasındaki ilişki.
Soru 71Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S15=390S_{15} = 390
S5=30S_5 = 30

olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ortak farkı 4'tür.
Dizinin ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] bağıntısıyla verilir. S5=30S_5 = 30 için 5(a1+2d)=30  ⟹  a1+2d=65(a_1 + 2d) = 30 \implies a_1 + 2d = 6 elde edilir. S15=390S_{15} = 390 için 15(a1+7d)=390  ⟹  a1+7d=2615(a_1 + 7d) = 390 \implies a_1 + 7d = 26 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 5d=205d = 20 bağıntısından ortak fark d=4d = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülünü S5S_5 için yazıp sadeleştirmek
a1+2d=6a_1 + 2d = 6
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilk ilişkiyi elde etmek için.
2
İlk nn terim toplamı formülünü S15S_{15} için yazıp sadeleştirmek
a1+7d=26a_1 + 7d = 26
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ikinci ilişkiyi elde etmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek
d=4d = 4
Taraf tarafa çıkarma yöntemiyle a1a_1 terimini yok edip ortak farkı bulmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü: Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]
Soru 72Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+(−1)n⋅na_{n+1} = a_n + (-1)^n \cdot n
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 50. terimi olan a50a_{50} kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

-20
Verilen indirgeme bağıntısında terimler yalnız bırakılıp taraf tarafa toplandığında a50−a1=−25a_{50} - a_1 = -25 eşitliği elde edilir. Burada ilk terim olan 55 değeri yerine yazıldığında a50=−20a_{50} = -20 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını ardışık terimlerin farkı şeklinde yazın.
an+1−an=(−1)n⋅na_{n+1} - a_n = (-1)^n \cdot n
Teleskobik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimleri bir tarafa toplarız.
2
nn değişkenine 1'den 49'a kadar olan tam sayı değerlerini sırayla vererek denklemleri yazın.
n=1  ⟹  a2−a1=−1n=1 \implies a_2 - a_1 = -1
n=2  ⟹  a3−a2=2n=2 \implies a_3 - a_2 = 2
n=3  ⟹  a4−a3=−3n=3 \implies a_4 - a_3 = -3
n=4  ⟹  a5−a4=4n=4 \implies a_5 - a_4 = 4
...
n=49  ⟹  a50−a49=−49n=49 \implies a_{50} - a_{49} = -49
a50a_{50} terimine ulaşmak için nn'in sınır değerlerini belirleriz.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayın.
a50−a1=−1+2−3+4−5+6−⋯−49a_{50} - a_1 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \dots - 49
Sol taraftaki ara terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca a50a_{50} ve a1a_1 kalır.
4
Sağ taraftaki ardışık terimleri ikişerli gruplayarak toplamı hesaplayın.
(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−47+48)−49=24⋅1−49=−25(-1 + 2) + (-3 + 4) + \dots + (-47 + 48) - 49 = 24 \cdot 1 - 49 = -25
Toplamda 1'den 48'e kadar olan sayılardan oluşan 24 adet grup vardır ve her grubun toplamı 1'dir. Sondaki -49 terimi gruptan hariç tutulur.
5
a1=5a_1 = 5 değerini yerine yazarak a50a_{50} değerini bulun.
a50−5=−25  ⟹  a50=−20a_{50} - 5 = -25 \implies a_{50} = -20
Bulunan fark değerine ilk terim eklenerek hedef terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terim farklarının teleskobik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin değerinin bulunması.

Alternatif Yöntem

Dizinin genel terimini tek ve çift indisler için ayrı ayrı formülize ederek de sonuca ulaşabiliriz. nn tek sayı iken ana_n terimleri ile nn çift sayı iken ana_n terimleri arasındaki örüntü incelendiğinde, çift indisler için a2k=5−ka_{2k} = 5 - k genel terimi elde edilir. a50a_{50} için 2k=50  ⟹  k=252k = 50 \implies k = 25 yazılırsa, a50=5−25=−20a_{50} = 5 - 25 = -20 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 73Soru →

Bir aritmetik dizinin ilk 1010 teriminin toplamı 2525, ilk 2525 teriminin toplamı ise 1010 değerine eşittir.

Buna göre, bu aritmetik dizinin ilk 3535 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -35

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk 35 teriminin toplamı -35'tir.
Verilen ilk 10 terim toplamı ve ilk 25 terim toplamı denklemlerinden elde edilen ilk terim ve ortak fark değerleri aritmetik dizi toplam formülünde yerine konulduğunda ilk 35 terim toplamı -35 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp verilen değerleri yerine koyalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülünden; S10=5(2a1+9d)=25  ⟹  2a1+9d=5S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 25 \implies 2a_1 + 9d = 5 ve S25=252(2a1+24d)=10  ⟹  2a1+24d=45S_{25} = \frac{25}{2}(2a_1 + 24d) = 10 \implies 2a_1 + 24d = \frac{4}{5} elde edilir.
Dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri veren iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek dizinin ortak farkını (dd) ve ilk teriminin iki katını (2a12a_1) bulalım.
(2a1+24d)−(2a1+9d)=45−5  ⟹  15d=−215  ⟹  d=−725(2a_1 + 24d) - (2a_1 + 9d) = \frac{4}{5} - 5 \implies 15d = -\frac{21}{5} \implies d = -\frac{7}{25} olur. Buradan 2a1=5−9(−725)=188252a_1 = 5 - 9\left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{188}{25} bulunur.
İlk 35 terimin toplamını hesaplamak için gerekli olan 2a12a_1 ve dd değerlerini belirlemek amacıyla.
3
İlk 35 terimin toplamını (S35S_{35}) hesaplayalım.
S35=352[2a1+34d]=352[18825+34(−725)]=352[188−23825]=352[−5025]=−35S_{35} = \frac{35}{2} [2a_1 + 34d] = \frac{35}{2} \left[\frac{188}{25} + 34\left(-\frac{7}{25}\right)\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{188 - 238}{25}\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{-50}{25}\right] = -35 bulunur.
İstenen toplam değerini doğrudan formül yardımıyla elde etmek için.

Anahtar Kavram

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Alternatif Yöntem

Bir aritmetik dizide ilk mm terim toplamı Sm=kS_m = k ve ilk kk terim toplamı Sk=mS_k = m (m≠km \neq k) ise ilk m+km+k terim toplamı Sm+k=−(m+k)S_{m+k} = -(m+k) olur. Soruda m=10m = 10 ve k=25k = 25 alındığında S35=−(10+25)=−35S_{35} = -(10 + 25) = -35 doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 74Soru →

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için

an=cos⁡2(nπ2)+a⋅sin⁡2(nπ4)+b⋅(−1)na_n = \cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right) + a \cdot \sin^2\left(\frac{n\pi}{4}\right) + b \cdot (-1)^n
bn=c⋅n+62n−db_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d}

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit iki dizi olduğuna göre, a+b+c+da + b + c + d toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −232-\frac{23}{2}

Cevap

−232-\frac{23}{2}
Seçenekler arasında yer alan −232-\frac{23}{2} değeri doğrudur. Çünkü (an)(a_n) dizisinin her n≥1n \ge 1 için sabit kalmasını sağlayan yegane değerler a=0a = 0 ve b=−1/2b = -1/2'dir. Bu durumda dizi an=1/2a_n = 1/2 sabit dizisine dönüşür. (bn)(b_n) dizisinin bu diziye eşit olabilmesi için her n≥1n \ge 1 için bn=1/2b_n = 1/2 olmalıdır. Bu koşuldan c=1c = 1 ve d=−12d = -12 bulunur. Parametrelerin toplamı da −232-\frac{23}{2} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
(an)(a_n) dizisinin terimlerini nn değerlerine göre analiz edelim.
n=1n=1 için: a1=cos⁡2(π/2)+asin⁡2(π/4)−b=a2−ba_1 = \cos^2(\pi/2) + a \sin^2(\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=2n=2 için: a2=cos⁡2(π)+asin⁡2(π/2)+b=1+a+ba_2 = \cos^2(\pi) + a \sin^2(\pi/2) + b = 1 + a + b
n=3n=3 için: a3=cos⁡2(3π/2)+asin⁡2(3π/4)−b=a2−ba_3 = \cos^2(3\pi/2) + a \sin^2(3\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=4n=4 için: a4=cos⁡2(2π)+asin⁡2(π)+b=1+ba_4 = \cos^2(2\pi) + a \sin^2(\pi) + b = 1 + b
Dizinin sabit dizi olabilmesi için tüm terimlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu nedenle ilk birkaç terimi hesaplayarak parametreler arasındaki ilişkileri bulmalıyız.
2
Elde edilen terimlerin eşitliğini kullanarak aa ve bb değerlerini çözelim.
a2=a4  ⟹  1+a+b=1+b  ⟹  a=0a_2 = a_4 \implies 1 + a + b = 1 + b \implies a = 0
a1=a4  ⟹  a2−b=1+b  ⟹  0−b=1+b  ⟹  2b=−1  ⟹  b=−12a_1 = a_4 \implies \frac{a}{2} - b = 1 + b \implies 0 - b = 1 + b \implies 2b = -1 \implies b = -\frac{1}{2}
Sabit dizi tanımı gereği a1=a2=a3=a4a_1 = a_2 = a_3 = a_4 olmalıdır. Bu denklemler çözüldüğünde tek bir (a,b)(a, b) ikilisi elde edilir.
3
(an)(a_n) dizisinin sabit değerini belirleyelim.
an=12a_n = \frac{1}{2} (her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için)
Bulunan a=0a=0 ve b=−1/2b=-1/2 değerleri yerine yazıldığında, dizinin tüm terimlerinin 1/21/2 olduğu g��rülür.
4
(bn)(b_n) dizisinin de sabit değeri 1/21/2 olan bir dizi olması gerektiğini kullanarak cc ve dd değerlerini hesaplayalım.
bn=c⋅n+62n−d=12  ⟹  2cn+12=2n−d  ⟹  c=1b_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d} = \frac{1}{2} \implies 2cn + 12 = 2n - d \implies c = 1 ve d=−12d = -12
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin eşit olabilmesi için bnb_n dizisinin de her n≥1n \ge 1 için 1/21/2 değerine eşit olması gerekir. Buradan katsayılar eşitlenir.
5
Bulunan tüm parametrelerin toplamını hesaplayalım.
a+b+c+d=0+(−12)+1+(−12)=−232a + b + c + d = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 + (-12) = -\frac{23}{2}
Soru kökünde istenen a+b+c+da+b+c+d toplamını bulmak için elde edilen değerleri toplarız.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde tüm terimler birbirine eşittir ve eşit dizilerin her n≥1n \ge 1 indisi için genel terimleri aynı sonucu vermelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 75Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir. Her nn pozitif tam sayısı için,

S3n−S2n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = 5n^2 + 2n

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k}

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 230

Cevap

Dizinin genel teriminin belirlenmesi ve çift indisli terimlerin toplamının 230 olarak bulunması
Verilen S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} ifadesi, aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülüne göre açılıp düzenlendiğinde n2n^2 ve nn terimlerinin katsayıları polinom eşitliğiyle eşleştirilir. Buradan dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak belirlenir. Bu değerlerle dizinin genel terimi an=2n+1a_n = 2n + 1 ve dolayısıyla çift indisli terimler a2k=4k+1a_{2k} = 4k + 1 şeklinde elde edilir. k=1k = 1'den 1010'a kadar olan a2ka_{2k} terimlerinin toplamı hesaplandığında sonuç 230 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk kk teriminin toplam formülü olan Sk=k2[2a1+(k−1)d]S_k = \frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] ifadesi kullanılarak S3nS_{3n} ve S2nS_{2n} toplamları yazılır.
S3n=3n2[2a1+(3n−1)d]=3na1+9n2d−3nd2S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a_1 + (3n-1)d] = 3n a_1 + \frac{9n^2d - 3nd}{2} ve S2n=2n2[2a1+(2n−1)d]=2na1+4n2d−2nd2S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a_1 + (2n-1)d] = 2n a_1 + \frac{4n^2d - 2nd}{2} elde edilir.
Verilen eşitliği kullanarak dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri belirlemek.
2
S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} farkı hesaplanır ve verilen 5n2+2n5n^2 + 2n ifadesine eşitlenir.
S3n−S2n=na1+5n2d−nd2=(5d2)n2+(a1−d2)n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = n a_1 + \frac{5n^2d - nd}{2} = \left(\frac{5d}{2}\right)n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n = 5n^2 + 2n elde edilir.
Polinomların eşitliği ilkesini kullanarak katsayıları karşılaştırmak.
3
Katsayılar eşitlenerek ortak fark (dd) ve ilk terim (a1a_1) bulunur.
5d2=5  ⟹  d=2\frac{5d}{2} = 5 \implies d = 2 ve a1−d2=2  ⟹  a1−1=2  ⟹  a1=3a_1 - \frac{d}{2} = 2 \implies a_1 - 1 = 2 \implies a_1 = 3 bulunur.
Dizinin genel terimini oluşturmak için gerekli parametreleri elde etmek.
4
Dizinin genel terimi ana_n bulunur ve a2ka_{2k} ifadesi elde edilir.
an=a1+(n−1)d=3+(n−1)2=2n+1a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1 ve buradan a2k=2(2k)+1=4k+1a_{2k} = 2(2k) + 1 = 4k + 1 bulunur.
İstenen toplam sembolündeki terimleri tanımlamak.
5
∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k} toplamının değeri hesaplanır.
∑k=110(4k+1)=4(10×112)+10=220+10=230\sum_{k=1}^{10} (4k + 1) = 4 \left(\frac{10 \times 11}{2}\right) + 10 = 220 + 10 = 230 olarak bulunur.
İstenen toplamın sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve genel terim özellikleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 76Soru →

Bir geometrik dizinin ilk 3 teriminin toplamı S3S_3 ve ilk 6 teriminin toplamı S6S_6'dır.

S6S3=9\frac{S_6}{S_3} = 9

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak çarpan 2'dir.
Dizinin ilk 6 teriminin toplamının ilk 3 teriminin toplamına oranı yazıldığında a1a_1 terimleri ve paydadaki r−1r-1 ifadeleri sadeleşir. Kalan r6−1r3−1\frac{r^6-1}{r^3-1} ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde r3+1r^3 + 1 elde edilir. Bu ifade 9'a eşitlendiğinde r3=8r^3 = 8 ve dolayısıyla r=2r = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı formülünü tanımlamak
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
Geometrik dizide ilk terimlerin toplamını ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade etmek için.
2
Verilen oran ifadesini formül cinsinden yazmak
S6S3=r6−1r3−1\frac{S_6}{S_3} = \frac{r^6 - 1}{r^3 - 1}
Ortak çarpan rr değerini bulabilmek amacıyla ilk terim a1a_1 ve ortak payda olan r−1r-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
3
Çarpanlara ayırma özdeşliğini uygulamak
S6S3=r3+1\frac{S_6}{S_3} = r^3 + 1
r6−1=(r3−1)(r3+1)r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1) iki kare farkı açılımını kullanarak r3−1r^3-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
4
Oluşan denklemi çözerek ortak çarpanı bulmak
r=2r = 2
r3+1=9  ⟹  r3=8r^3 + 1 = 9 \implies r^3 = 8 eşitliğini sağlayan reel sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülünün kullanılması ve çarpanlara ayırma yardımıyla ortak çarpanın çekilmesi.
Soru 77Soru →

Ortak farkı pozitif bir tam sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a5=14a_5 = 14

olduğu bilinmektedir. Bu dizinin kk ve mm terimleri için (k>mk > m),

ak2−am2=480a_k^2 - a_m^2 = 480

ve bu terimlerin indisleri arasında

k+m=16k + m = 16

ilişkisi bulunmaktadır.

Buna göre, rr dizinin ortak farkı olmak üzere, r⋅k⋅mr \cdot k \cdot m çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

İstenen çarpımın değeri 110'dur.
İki kare farkı özdeşliğinden elde edilen (ak−am)(ak+am)=480(a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480 ifadesinde ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8=2(14+3r)a_k + a_m = 2a_8 = 2(14+3r) eşitlikleri yazılır. Elde edilen (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240 denkleminde k−mk-m farkının pozitif çift tam sayı olması gerektiği ve rr'nin pozitif tam sayı olduğu bilgisi kullanıldığında, bu koşulları sağlayan tek değer çiftinin k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 olduğu belirlenir. Buradan k=11k=11 ve m=5m=5 bulunarak, çarpım 110110 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
ak2−am2=(ak−am)(ak+am)=480a_k^2 - a_m^2 = (a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480
İfadeleri ortak fark ve terimler toplamı cinsinden analiz edebilmek için çarpanlara ayırmak gerekir.
2
Dizi terimlerinin farkını ve toplamını ortak fark ile indisler cinsinden yazın.
ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8a_k + a_m = 2a_8
Aritmetik dizide ardışık olmayan terimlerin farkı indis farkı ile ortak farkın çarpımına, terimlerin toplamı ise indislerinin aritmetik ortalamasının iki katına eşittir.
3
a8a_8 terimini bilinen a5a_5 terimi ve ortak fark cinsinden yazarak ana denklemi kurun.
a8=14+3ra_8 = 14 + 3r ve (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir denklem elde etmek için.
4
İndislerin tam sayı olma özelliklerini ve rr'nin pozitif tam sayı koşulunu kullanarak denklem sistemini çözün.
k−m=6k-m = 6 ve r=2r = 2
k+m=16k+m=16 çift olduğundan k−mk-m de çift olmalıdır. 240240 sayısının bölenleri arasında rr'yi pozitif tam sayı yapan tek durum k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 ikilisine aittir.
5
İndisleri bulun.
k=11k = 11 ve m=5m = 5
k+m=16k+m=16 ve k−m=6k-m=6 denklemlerinin ortak çözümünü yapmak için.
6
İstenen çarpım değerini hesaplayın.
2⋅11⋅5=1102 \cdot 11 \cdot 5 = 110
Soru kökünde talep edilen çarpıma ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indislerin aritmetik ortalama özelliği, terimler farkı ve ortak fark ilişkisi ile iki kare farkı özdeşliği.
Soru 78Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dizinin 10. terimi 24'tür.
Verilen S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n eşitliğinden yararlanarak dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n olarak belirlenir. Ardından 10. terim olan a10a_{10}, ilk 10 terim toplamı (S10=150S_{10} = 150) ile ilk 9 terim toplamının (S9=126S_9 = 126) farkı alınarak 24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının genel biçimini belirlemek
Sn=An2+BnS_n = An^2 + Bn (burada A=d/2A = d/2 ve B=a1−d/2B = a_1 - d/2)
Herhangi bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir polinomdur.
2
S2n−SnS_{2n} - S_n farkını genel formül cinsinden ifade etmek
S2n−Sn=3An2+BnS_{2n} - S_n = 3An^2 + Bn
S2nS_{2n} ve SnS_n ifadeleri genel formüle göre yazılarak birbirinden çıkarılır.
3
Verilen bağıntı ile genel ifadeyi karşılaştırarak katsayıları eşitlemek
A=1A = 1 ve B=5B = 5
3An2+Bn=3n2+5n3An^2 + Bn = 3n^2 + 5n eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
4
İlk nn terim toplamı formülünü (SnS_n) yazmak
Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n
Bulunan AA ve BB değerleri genel formülde yerine konur.
5
Dizinin 10. terimini (a10a_{10}) ilk nn terim toplamı cinsinden ifade etmek
a10=S10−S9a_{10} = S_{10} - S_9
Bir dizide nn. terim, ilk nn terimin toplamı ile ilk n−1n-1 terimin toplamının farkına eşittir (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}).
6
S10S_{10} ve S9S_9 değerlerini hesaplayarak sonucu bulmak
a10=150−126=24a_{10} = 150 - 126 = 24
S10=102+5(10)=150S_{10} = 10^2 + 5(10) = 150 ve S9=92+5(9)=126S_9 = 9^2 + 5(9) = 126 değerleri çıkarılarak 10. terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile genel terim ana_n arasındaki ilişki (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}) ve ilk nn terim toplamının ikinci dereceden polinom yapısıdır.
Soru 79Soru →

Ortak farkı pozitif bir gerçel sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizi için,
S15−S12=75S_{15} - S_{12} = 75
a9⋅a19−a7⋅a21=96a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = 96

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −1-1'dir.
Dizinin ardışık toplamı olan S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 eşitliğinde, indislerin ortalaması kullanılarak a14=25a_{14} = 25 değeri elde edilir. İkinci denklemde terimler a14a_{14} ve ortak fark olan rr türünden yazıldığında kareler farkı sadeleşerek 24r2=9624r^2 = 96 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur. Son olarak genel terim formülü a14=a1+13ra_{14} = a_1 + 13r eşitliğinde veriler yerine yazılarak ilk terim −1-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 15 terim toplamı ile ilk 12 terim toplamı arasındaki farkı terimler cinsinden ifade etme
S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 elde edilir.
SnS_n ifadesi ilk nn terim toplamını belirttiğinden, ilk 15 terimin toplamından ilk 12 terimin toplamı çıkarıldığında geriye kalan son üç terim (a13,a14,a15a_{13}, a_{14}, a_{15}) kalır.
2
Aritmetik dizilerde indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi hesaplama
a13+a15=2a14a_{13} + a_{15} = 2a_{14} olduğu için 3a14=75⇒a14=253a_{14} = 75 \Rightarrow a_{14} = 25 bulunur.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse, terimlerin toplamları da eşittir. Burada 13+15=2×1413 + 15 = 2 \times 14 bağıntısı kullanılmıştır.
3
Çarpım terimlerini ortanca terim (a14a_{14}) ve ortak fark (rr) cinsinden yazma
a9=a14−5ra_9 = a_{14} - 5r, a19=a14+5ra_{19} = a_{14} + 5r, a7=a14−7ra_7 = a_{14} - 7r, a21=a14+7ra_{21} = a_{14} + 7r şeklinde ifade edilir.
Terimlerin a14a_{14} terimine olan uzaklıkları indis farkları üzerinden simetrik olarak yazılmıştır.
4
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak ortak farkı (rr) bulma
a9⋅a19−a7⋅a21=(a142−25r2)−(a142−49r2)=24r2=96⇒r2=4⇒r=2a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = (a_{14}^2 - 25r^2) - (a_{14}^2 - 49r^2) = 24r^2 = 96 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 bulunur.
İki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve dizinin ortak farkının pozitif olduğu belirtildiği için r=2r = 2 olarak alınmıştır.
5
Genel terim formülüyle ilk terimi (a1a_1) hesaplama
a14=a1+13r⇒25=a1+13⋅2⇒a1=−1a_{14} = a_1 + 13r \Rightarrow 25 = a_1 + 13 \cdot 2 \Rightarrow a_1 = -1 bulunur.
Bir aritmetik dizide genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği, iki terimin aritmetik ortalaması ve genel terim özellikleri
Soru 80Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S8−S5=81S_8 - S_5 = 81
S6−S3=57S_6 - S_3 = 57

olduğuna göre, bu dizinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 210

Cevap

İlk 10 terim toplamı 210'dur.
Verilen eşitliklerden ardışık terimlerin toplam özellikleri kullanılarak yedinci terim 27, beşinci terim ise 19 olarak hesaplanır. Bu iki terim arasındaki farktan ortak fark 4, ardından ilk terim 3 olarak bulunur. Elde edilen bu değerler ilk n terim toplamı formülünde yerine yazılarak ilk 10 terimin toplamı 210 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık terimlerin toplamı farkından yararlanarak yedinci terimi bulma.
S8−S5=a6+a7+a8=3a7=81⇒a7=27S_8 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 = 3a_7 = 81 \Rightarrow a_7 = 27 olur.
İlk 8 terimin toplamından ilk 5 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 6., 7. ve 8. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan yedinci terimin 3 katına eşittir.
2
Benzer şekilde ardışık terimlerin toplamı farkından beşinci terimi bulma.
S6−S3=a4+a5+a6=3a5=57⇒a5=19S_6 - S_3 = a_4 + a_5 + a_6 = 3a_5 = 57 \Rightarrow a_5 = 19 olur.
İlk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan beşinci terimin 3 katına eşittir.
3
Dizinin ortak farkını hesaplama.
a7=a5+2d⇒27=19+2d⇒2d=8⇒d=4a_7 = a_5 + 2d \Rightarrow 27 = 19 + 2d \Rightarrow 2d = 8 \Rightarrow d = 4 bulunur.
Dizinin yedinci terimi ile beşinci terimi arasındaki fark, ortak farkın 2 katına eşittir.
4
Dizinin ilk terimini bulma.
a5=a1+4d⇒19=a1+4(4)⇒a1=3a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 19 = a_1 + 4(4) \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Dizinin beşinci terimi ve ortak farkı bilindiğinden genel terim tanımından yararlanılarak ilk terim hesaplanır.
5
İlk 10 terim toplamını hesaplama.
S10=102(2a1+9d)=5(2(3)+9(4))=5(6+36)=210S_{10} = \frac{10}{2} (2a_1 + 9d) = 5 (2(3) + 9(4)) = 5(6 + 36) = 210 bulunur.
Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesinde elde edilen değerler yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı ve terimler arasındaki indis ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 4 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin