Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 81Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3⋅a19−a6⋅a16=−39a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = -39

ve

a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
Verilen iki denklem çözüldüğünde ortak farkın karesi r2=1r^2 = 1 olarak bulunur. İkinci denklemden a1+10r=12a_1 + 10r = 12 bağıntısı elde edilir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif kalabilmesi için ortak farkın negatif olmaması (r=1r = 1) gerekir, çünkü negatif bir ortak fark diziyi bir noktadan sonra negatif terimli yapacaktır. r=1r = 1 için a1=2a_1 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ortak fark rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazalım.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a19=a1+18ra_{19} = a_1 + 18r, a6=a1+5ra_6 = a_1 + 5r ve a16=a1+15ra_{16} = a_1 + 15r olur.
Verilen çarpımları tek bir bilinmeyenli terimler cinsinden ifade etmek.
2
Çarpımların farkını hesaplayalım.
a3⋅a19−a6⋅a16=(a12+20a1r+36r2)−(a12+20a1r+75r2)=−39r2a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = (a_1^2 + 20a_1r + 36r^2) - (a_1^2 + 20a_1r + 75r^2) = -39r^2 elde edilir.
Ortak farkın karesini bulmak için cebirsel sadeleştirme yapmak.
3
Elde edilen farkı verilen −39-39 değerine eşitleyelim.
−39r2=−39  ⟹  r2=1  ⟹  r=1-39r^2 = -39 \implies r^2 = 1 \implies r = 1 veya r=−1r = -1 bulunur.
Dizinin ortak farkının alabileceği değerleri belirlemek.
4
a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile rr arasındaki ilişkiyi bulalım.
(a1+r)+(a1+19r)=24  ⟹  2a1+20r=24  ⟹  a1+10r=12(a_1 + r) + (a_1 + 19r) = 24 \implies 2a_1 + 20r = 24 \implies a_1 + 10r = 12 elde edilir.
İlk terim ile ortak farkı ilişkilendiren doğrusal denklemi kurmak.
5
Dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılar olma koşulunu iki rr durumu için inceleyelim.
Eğer r=−1r = -1 ise a1=22a_1 = 22 olur ancak bu durumda a23=22+22(−1)=0a_{23} = 22 + 22(-1) = 0 ve sonraki terimler negatif olur. Eğer r=1r = 1 ise a1=2a_1 = 2 olur ve tüm terimler (an=n+1a_n = n+1) pozitif kalır. Dolayısıyla a1=2a_1 = 2 olmalıdır.
Sonsuz elemanlı dizinin tüm terimlerinin pozitif olmasını sağlayan geçerli ilk terim değerini seçmek.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri ve tüm terimlerinin pozitif olma koşulunun ortak farkın işaretine etkisi.
Soru 82Soru →

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri

an=∑i=1nlog⁡3(1−2(i+1)(i+2))a_n = \sum_{i=1}^{n} \log_3\left(1 - \frac{2}{(i+1)(i+2)}\right)
bn=log⁡9(n2+A⋅n+B9n2+C⋅n+9)b_n = \log_9\left( \frac{n^2 + A \cdot n + B}{9n^2 + C \cdot n + 9} \right)

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Dizilerin eşitliği koşulundan yararlanılarak A + B + C toplamı 33 olarak bulunur.
Logaritmik terimlerin toplamı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirilip taban eşitlemesi uygulandığında genel terimi veren ifade elde edilir. Bu ifade diğer diziyle eşitlendiğinde katsayılar belirlenir ve toplamları hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimdeki logaritma argümanını rasyonel biçimde düzenleme.
i(i+3)(i+1)(i+2)\frac{i(i+3)}{(i+1)(i+2)}
Logaritmik toplamın sadeleştirilebilir bir çarpım yapısına dönüştürülmesi hedeflenir.
2
Teleskopik çarpım sadeleştirmesiyle toplamı hesaplama.
an=log⁡3(n+33n+3)a_n = \log_3\left(\frac{n+3}{3n+3}\right)
Logaritmaların toplamı, içlerinin çarpımına eşittir. Çarpım açılıp sadeleştirildiğinde genel terim tek bir logaritmik ifadeye indirgenir.
3
Taban eşitleme kuralı uygulanarak tabanın 9 yapılması.
an=log⁡9(n2+6n+99n2+18n+9)a_n = \log_9\left(\frac{n^2 + 6n + 9}{9n^2 + 18n + 9}\right)
bnb_n dizisinin logaritma tabanı 9 olduğu için ana_n dizisi ile doğrudan karşılaştırma yapılabilmesi amacıyla tabanlar eşitlenir.
4
İki dizinin eşitliğinden yararlanarak katsayıların karşılaştırılması.
A=6,B=9,C=18A = 6, B = 9, C = 18
Her n pozitif tam sayısı için iki ifadenin rasyonel kısımları özdeş olmalıdır.
5
Bilinmeyenlerin toplanması.
3333
Soru kökünde istenen A + B + C toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşit olması için tanım kümelerindeki her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin değerleri eşit olmalıdır.
Soru 83Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin tüm terimleri pozitif gerçek sayılardır. Bu dizinin ilk beş teriminin toplamı 3131 ve bu beş terimin her birinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 3116\frac{31}{16} olarak veriliyor.

Dizi artan olduğuna ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 eşitliği sağlandığına göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 128'dir.
Çözüm adımları takip edildiğinde, geometrik dizinin terimleri ile terslerinin toplamı arasındaki ilişkiden a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir. Verilen a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 bilgisi ve dizinin artan olması kullanılarak a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 olarak belirlenir. Bu değerler kullanılarak dizinin sekizinci terimi a8=a1⋅r7=128a_8 = a_1 \cdot r^7 = 128 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 5 terimin toplamı (S5S_5) ile bu terimlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı (T5T_5) arasındaki genel ili��kiyi kurmak.
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir.
Bir geometrik dizide terimler toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1} ve tersleri toplam�� Tn=1a11−(1/r)n1−(1/r)=Sna1⋅anT_n = \frac{1}{a_1} \frac{1-(1/r)^n}{1-(1/r)} = \frac{S_n}{a_1 \cdot a_n} şeklindedir. Buradan T5=S5a1⋅a5  ⟹  3116=31a1⋅a5  ⟹  a1⋅a5=16T_5 = \frac{S_5}{a_1 \cdot a_5} \implies \frac{31}{16} = \frac{31}{a_1 \cdot a_5} \implies a_1 \cdot a_5 = 16 bulunur.
2
Ortadaki terim olan a3a_3 değerini bulmak.
a3=4a_3 = 4 bulunur.
Geometrik dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir, yani a1⋅a5=a32a_1 \cdot a_5 = a_3^2. Buradan a32=16a_3^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a3=4a_3 = 4 olur.
3
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 denklem sistemini çözerek birinci ve beşinci terimleri belirlemek.
a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur.
Çarpımları 16, toplamları 17 olan sayılar 1 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için küçük olan terim birinci terim, büyük olan ise beşinci terim olmalıdır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 olur.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
a5=a1⋅r4  ⟹  16=1⋅r4  ⟹  r4=16a_5 = a_1 \cdot r^4 \implies 16 = 1 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Terimler pozitif olduğundan ortak çarpan r=2r = 2 olarak elde edilir.
5
Dizinin sekizinci terimini (a8a_8) hesaplamak.
a8=128a_8 = 128 bulunur.
a8=a1⋅r7a_8 = a_1 \cdot r^7 formülü kullanılarak a8=1⋅27=128a_8 = 1 \cdot 2^7 = 128 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler toplamı ile çarpmaya göre terslerinin toplamı arasındaki ilişki ve genel terim özellikleri.
Soru 84Soru →

Genel terimi an=2⋅3n−1a_n = 2 \cdot 3^{n-1} olan bir geometrik dizinin ilk 44 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve ortak çarpanı r=3r = 3 olarak bulunur. Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ifadesinde bu değerler ve n=4n = 4 yerine yazıldığında S4=2⋅34−13−1=80S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 80 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terimi ve ortak çarpanı belirleme
a1=2a_1 = 2 ve r=3r = 3
Dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} biçiminde yazıldığında ilk terim ve ortak çarpan doğrudan tespit edilebilir.
2
Toplam formülünü kurma
S4=2⋅34−13−1S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1}
Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülü ile hesaplanır.
3
Hesaplamayı gerçekleştirme
S4=80S_4 = 80
Üslü ifadenin değeri bulunarak sadeleştirme işlemleri tamamlanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü
Soru 85Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Her terimi pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ortak çarpanı r>1r > 1'dir. Bu dizide
a7−a1a5−a3=72\frac{a_7 - a_1}{a_5 - a_3} = \frac{7}{2}
a2⋅a8=32a_2 \cdot a_8 = 32
olduğuna göre, dizinin ortak çarpanının karesi r2=r^2 = ve dördüncü terimi a4=a_4 = olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak ��arpanının karesi r2=2r^2 = 2 ve dördüncü terimi a4=4a_4 = 4'tür.
Dizinin terimleri genel terim formülüyle ifade edilip oranlandığında r2+1+1/r2=7/2r^2 + 1 + 1/r^2 = 7/2 denklemi elde edilir. Bu denklemin r>1r > 1 koşulunu sağlayan kökü r2=2r^2 = 2'dir. Ardından a2⋅a8=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = a_4^2 \cdot r^2 = 32 eşitliğinde r2r^2 yerine 2 yazılarak a42=16a_4^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a4=4a_4 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri genel terim formülü kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden yazma.
a7−a1=a1(r6−1)a_7 - a_1 = a_1(r^6 - 1) ve a5−a3=a1(r4−r2)=a1r2(r2−1)a_5 - a_3 = a_1(r^4 - r^2) = a_1 r^2(r^2 - 1) elde edilir.
Orandaki terimleri sadeleştirebilmek için hepsini ortak bir tabanda ifade etmeliyiz.
2
Elde edilen ifadeleri oranlama ve çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirme.
a1(r6−1)a1r2(r2−1)=r6−1r2(r2−1)=(r2−1)(r4+r2+1)r2(r2−1)=r4+r2+1r2=r2+1+1r2\frac{a_1(r^6 - 1)}{a_1 r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^6 - 1}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1)}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^4 + r^2 + 1}{r^2} = r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} bulunur.
r6−1r^6 - 1 ifadesini iki kare farkı veya iki küp farkı mantığıyla (r2−1)(r4+r2+1)(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1) olarak çarpanlarına ayırarak paydadaki (r2−1)(r^2 - 1) ile sadeleştiririz.
3
Sadeleşmiş ifadeyi 72\frac{7}{2}'ye eşitleyip r2r^2 değerini bulma.
r2+1+1r2=72  ⟹  r2+1r2=52r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} = \frac{7}{2} \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = \frac{5}{2} olur. Buradan r2=2r^2 = 2 veya r2=12r^2 = \frac{1}{2} elde edilir.
u=r2u = r^2 değişken değiştirmesi yapıldığında u+1u=52  ⟹  2u2−5u+2=0  ⟹  (2u−1)(u−2)=0u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2} \implies 2u^2 - 5u + 2 = 0 \implies (2u - 1)(u - 2) = 0 denklemi çözülür.
4
r>1r > 1 koşulunu kullanarak uygun r2r^2 değerini seçme.
r2=2r^2 = 2 olur.
r>1r > 1 ise r2>1r^2 > 1 olmalıdır. Dolayısıyla r2=2r^2 = 2 değeri seçilir, 12\frac{1}{2} elenir.
5
İkinci denklem yardımıyla a4a_4 terimini hesaplama.
a2⋅a8=(a4⋅r−2)⋅(a4⋅r4)=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = (a_4 \cdot r^{-2}) \cdot (a_4 \cdot r^4) = a_4^2 \cdot r^2 = 32 olur. r2=2r^2 = 2 yazıldığında a42⋅2=32  ⟹  a42=16  ⟹  a4=4a_4^2 \cdot 2 = 32 \implies a_4^2 = 16 \implies a_4 = 4 bulunur.
Geometrik dizinin indis özellikleri gereği a2⋅a8=a4⋅a6=a42⋅r2a_2 \cdot a_8 = a_4 \cdot a_6 = a_4^2 \cdot r^2 yazılabilir. Tüm terimler pozitif olduğundan a4=4a_4 = 4 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin genel terim cinsinden yazılması, oranlanması ve indis özelliklerinin uygulanması
Soru 86Soru →

Bir sinema salonundaki koltuklar, ilk sırada belirli sayıda olmak üzere arkaya doğru her sırada sabit sayıda artarak yerleştirilmiştir. Bu salondaki ilk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı 102, ilk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı ise 250'dir.

Buna göre, bu sinema salonunun sadece 12. sırasında kaç adet koltuk vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Sinema salonunun 12. sırasında 51 adet koltuk vardır.
Verilen ilk 6 sıranın toplamı (S6=102S_6 = 102) ve ilk 10 sıranın toplamı (S10=250S_{10} = 250) aritmetik dizi toplam formülü ile 2a1+5d=342a_1 + 5d = 34 ve 2a1+9d=502a_1 + 9d = 50 denklemlerini verir. Bu sistem çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=7a_1 = 7 bulunur. 12. sıradaki koltuk sayısı ise genel terim formülünden a12=a1+11d=7+11×4=51a_{12} = a_1 + 11d = 7 + 11 \times 4 = 51 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülünü yazmak
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]
Soruda verilen toplam koltuk sayılarını modellemek için aritmetik dizi toplam formülüne ihtiyaç duyulmaktadır.
2
İlk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisisi ile birinci denklemi elde etmek
2a1+5d=342a_1 + 5d = 34
S6=102S_6 = 102 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
3
İlk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisi ile ikinci denklemi elde etmek
2a1+9d=502a_1 + 9d = 50
S10=250S_{10} = 250 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
4
Denklem sistemini ortak çözerek ilk terim a1a_1 ve ortak fark dd değerlerini bulmak
d=4d = 4 ve a1=7a_1 = 7
12. sıradaki koltuk sayısını hesaplamak için gerekli olan ilk terim ve ortak farkı elde etmek amacıyla.
5
Dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değerini hesaplamak
a12=51a_{12} = 51
Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesinde bulunan değerleri yerine yazarak istenen sıradaki koltuk sayısını bulmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülü ile bulunur.
Soru 87Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde, a2=4a_2 = 4 ve her n≥2n \geq 2 tam sayısı için
an+1=n+1n−1⋅ana_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n
indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Doğru cevap 180'dir.
Teleskopik çarpım yöntemiyle ardışık terimler taraf tarafa çarpılıp sadeleştirildiğinde a10=45⋅a2a_{10} = 45 \cdot a_2 elde edilir. a2=4a_2 = 4 değeri yerine konduğunda doğru sonuç 180 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen an+1=n+1n−1⋅ana_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n indirgeme ba��ıntısında nn yerine sırasıyla 2,3,4,…,92, 3, 4, \dots, 9 değerleri yazılır.
a3=31a2a_3 = \frac{3}{1} a_2, a4=42a3a_4 = \frac{4}{2} a_3, a5=53a4a_5 = \frac{5}{3} a_4, …\dots, a10=108a9a_{10} = \frac{10}{8} a_9 eşitlikleri elde edilir.
Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimler arasındaki geçiş bağıntıları listelenir.
2
Elde edilen tüm eşitlikler taraf tarafa çarpılır.
a3⋅a4⋯a10=(31⋅42⋅53⋯108)a2⋅a3⋯a9a_3 \cdot a_4 \cdots a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdots \frac{10}{8}\right) a_2 \cdot a_3 \cdots a_9 elde edilir.
Çarpımsal olarak verilen ardışık terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla taraf tarafa çarpım uygulanır.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak a3,a4,…,a9a_3, a_4, \dots, a_9 terimleri sadeleştirilir.
a10=(31⋅42⋅53⋅64⋯97⋅108)a2a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{4} \cdots \frac{9}{7} \cdot \frac{10}{8}\right) a_2 kalır.
İndirgemeli dizinin genel terimi ile başlangıç terimi arasındaki ilişkiyi yalnız bırakmak hedeflenir.
4
Kesirlerin çarpımındaki ardışık sadeleştirmeler yapılır.
Pay kısmında son iki terim (99 ve 1010), payda kısmında ise ilk iki terim (11 ve 22) kalır. Buradan a10=9⋅101⋅2a2=45a2a_{10} = \frac{9 \cdot 10}{1 \cdot 2} a_2 = 45 a_2 elde edilir.
Teleskopik çarpımın sadeleşme kuralına göre pay ve paydada kalan terimler belirlenir.
5
Başlangıç terimi a2=4a_2 = 4 değeri yerine yazılarak a10a_{10} hesaplanır.
a10=45⋅4=180a_{10} = 45 \cdot 4 = 180 bulunur.
Soruda verilen başlangıç değeri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpımsal İndirgemeli Dizilerde Teleskopik Çarpım ve Sadeleştirme Yöntemi
Soru 88Soru →

Bir sporcu antrenmanının ilk günü 1212 dakika koşmuş ve sonraki her gün günlük koşu süresini bir önceki güne göre 44 dakika artırmıştır.

Buna göre, bu sporcu antrenmanının 1010. günü kaç dakika koşmuştur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4848

Cevap

48 dakika
Doğru cevaba ulaşmak için aritmetik dizi modeli kurulur. İlk gün koşu süresi ilk terim a1=12a_1 = 12 ve her gün yapılan artış miktarı ortak fark d=4d = 4 olarak belirlenir. Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d şeklindedir. Sporcunun 1010. günkü koşu süresi a10a_{10} terimi ile temsil edilir. Formülde değerler yerine yazıldığında a10=12+(10−1)⋅4=12+9⋅4=48a_{10} = 12 + (10-1) \cdot 4 = 12 + 9 \cdot 4 = 48 dakika bulunur. Bu durum doğru seçenekte sunulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi bir aritmetik dizi olarak modelleme.
İlk terim a1=12a_1 = 12 ve ortak fark d=4d = 4 olarak belirlenir.
Sporcu her gün sabit bir miktarda artış yaptığı için günlük koşu süreleri bir aritmetik dizi oluşturur.
2
1010. günkü koşu süresini temsil eden terimi belirleme.
Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d olup, 1010. gün için a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d formülü kurulur.
1010. güne ulaşmak için ilk güne 99 kez günlük artış miktarı eklenmelidir.
3
Değerleri yerine yazarak sonucu hesaplama.
a10=12+9⋅4=48a_{10} = 12 + 9 \cdot 4 = 48 dakika bulunur.
Aritmetik işlemler tamamlanarak dizinin 1010. teriminin sayısal değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerin gerçek hayat uygulamalarında genel teriminin bulunması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 89Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a1⋅a11=128a3+a9=36 \begin{aligned} a_1 \cdot a_{11} &= 128 \\ a_3 + a_9 &= 36 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Bu dizinin ortak çarpanı r>1r > 1 olduğuna göre, a5+a7a_5 + a_7 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24
Geometrik dizinin terim çarpımı özelliğinden a3⋅a9=a1⋅a11=128a_3 \cdot a_9 = a_1 \cdot a_{11} = 128 bulunur. Toplamları 36 ve çarpımları 128 olan pozitif terimler 4 ve 32'dir. Ortak çarpan r>1r > 1 olduğundan dizi artandır, bu yüzden a3=4a_3 = 4 ve a9=32a_9 = 32 olmalıdır. Buradan a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2 bulunur. İstenen terimler a5=a3⋅r2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 8 ve a7=a3⋅r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 = 16 olup, bu terimlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İndisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği özelliğini uygulamak.
a1⋅a11=a3⋅a9=128a_1 \cdot a_{11} = a_3 \cdot a_9 = 128
Bir geometrik dizide p+q=r+sp + q = r + s ise ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s eşitliği geçerlidir.
2
a3a_3 ve a9a_9 terimlerini bulmak için toplam ve çarpım değerlerini kullanarak ikinci dereceden denklem kurmak.
x2−36x+128=0  ⟹  (x−4)(x−32)=0  ⟹  {a3,a9}={4,32}x^2 - 36x + 128 = 0 \implies (x-4)(x-32) = 0 \implies \{a_3, a_9\} = \{4, 32\}
Çarpımları 128 ve toplamları 36 olan terimleri bulmak için kökleri bu sayılar olan denklem çözülür.
3
Ortak çarpanın r>1r > 1 olma ko��ulunu kullanarak dizinin artan olduğunu belirlemek ve r2r^2 değerini hesaplamak.
a3=4a_3 = 4, a9=32a_9 = 32 ve a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2
Dizi artan olduğundan a3<a9a_3 < a_9 olmalıdır ve terimler arasındaki oran ortak çarpanın kuvvetini verir.
4
İstenen a5+a7a_5 + a_7 toplamını a3a_3 ve r2r^2 cinsinden yazıp hesaplamak.
a5=a3⋅r2=4⋅2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 4 \cdot 2 = 8 ve a7=a3⋅r4=4⋅4=16  ⟹  a5+a7=8+16=24a_7 = a_3 \cdot r^4 = 4 \cdot 4 = 16 \implies a_5 + a_7 = 8 + 16 = 24
Geometrik dizinin genel terim formülü kullanılarak istenen terimler bilinen terimler cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indisleri toplamı eşit olduğunda çarpımlarının eşit olması ve terimler arası oranların ortak çarpanın kuvvetlerine bağlı olması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 90Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=∑k=1n1k(k+1)(k+2)a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
olan (an)(a_n) dizisi ile genel terimi
bn=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16b_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16}
olan (bn)(b_n) dizisi eşit iki dizidir.

Buna göre, x+y+z+wx + y + z + w toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Dizilerin eşitliğinden katsayılar oranlandığında doğru cevap 40 değeridir.
İki dizinin eşit olabilmesi için her pozitif tam sayı teriminde eşit olmaları gerekir. Genel terimi verilen birinci dizinin toplamı teleskopik toplam yardımıyla sadeleştirildiğinde payı n2+3nn^2 + 3n, paydası 4n2+12n+84n^2 + 12n + 8 olan bir kesir elde edilir. Bu diziyi genel terimi verilen ikinci diziye eşitlemek için paydadaki sabit terim olan 8 sayısı, ikinci dizinin paydasındaki sabit terim olan 16 ile eşitlenecek şekilde kesir 2 ile genişletilir. Genişletme sonucunda elde edilen katsayılar toplandığında doğru cevap olan 40 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimdeki rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılması.
1k(k+1)(k+2)=12(1k(k+1)−1(k+1)(k+2))\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) eşitliği elde edilir.
Teleskopik toplam yardımıyla dizinin genel terimini sadeleştirmek.
2
Toplam sembolünün teleskopik yöntemle açılması.
an=12[(11⋅2−12⋅3)+(12⋅3−13⋅4)+⋯+(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))]a_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2\cdot 3} - \frac{1}{3\cdot 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right] ifadesinden ara terimler sadeleşir.
Birbirini götüren terimleri belirleyip toplamı basitleştirmek.
3
Kalan terimlerin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.
an=12(12−1(n+1)(n+2))=n2+3n4n2+12n+8a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} bulunur.
Dizinin genel terimini tek bir rasyonel ifade biçiminde yazmak.
4
ana_n ve bnb_n dizilerinin eşitliğinin kurulması.
n2+3n4n2+12n+8=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16\frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16} eşitliği kurulur. bnb_n dizisinin paydasındaki sabit terim 16 olduğundan, ana_n ifadesi 2 ile genişletilerek 2n2+6n8n2+24n+16\frac{2n^2 + 6n}{8n^2 + 24n + 16} elde edilir.
Dizilerin tüm pozitif tam sayılar için eşit olması gerektiğinden katsayıları eşitlemek.
5
Katsayıların karşılaştırılması ve istenen toplamın hesabı.
x=2x = 2, y=6y = 6, z=8z = 8, w=24w = 24 olarak bulunur. Toplamları ise 2+6+8+24=402 + 6 + 8 + 24 = 40 elde edilir.
Bilinmeyen katsayıların değerlerini belirleyip toplamlarını bulmak.

Anahtar Kavram

Eşit Diziler ve Teleskopik Toplamlar

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yol olarak, dizilerin eşitliğinden faydalanarak ilk birkaç terim hesaplanabilir. a1=11⋅2⋅3=16a_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6} ve a2=16+12⋅3⋅4=16+124=524a_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24} bulunur. Buradan b1=x+yz+w+16=16b_1 = \frac{x+y}{z+w+16} = \frac{1}{6} ve b2=4x+2y4z+2w+16=524b_2 = \frac{4x+2y}{4z+2w+16} = \frac{5}{24} denklemleri elde edilir. Bu denklemler çözülerek katsayılar bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 91Soru →

Terimleri arasında a1=3a_1 = 3 başlangıç koşulu ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için

an+1−an=1n2+na_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2 + n}

bağınt��sı bulunan bir (an)(a_n) dizisi verilmektedir.

Buna göre, a20a_{20} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7920\frac{79}{20}

Cevap

Dizinin 20. teriminin değeri olan \frac{79}{20} ifadesidir.
Verilen indirgeme bağıntısında 1n2+n\frac{1}{n^2+n} ifadesi 1n−1n+1\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} biçiminde basit kesirlere ayrıştırılır. Ardından n=1n=1 değerinden n=19n=19 değerine kadar terimler yazılıp taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir (teleskopik toplam) ve a20−a1=1−120=1920a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} elde edilir. a1=3a_1 = 3 değeri yerine yazılarak a20=3+1920=7920a_{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayırın.
1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
Teleskopik toplam oluşturarak aradaki terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla ifadeyi iki kesrin farkı olarak yazarız.
2
n değerlerini 1'den 19'a kadar yazarak taraf tarafa toplayın.
n=1  ⟹  a2−a1=1−12n = 1 \implies a_2 - a_1 = 1 - \frac{1}{2}
n=2  ⟹  a3−a2=12−13n = 2 \implies a_3 - a_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
⋮\vdots
n=19  ⟹  a20−a19=119−120n = 19 \implies a_{20} - a_{19} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20}
a20a_{20} terimine ulaşmak için n=1n=1 ile başlayıp en son n=19n=19 yazarak a20−a19a_{20} - a_{19} terimini elde etmemiz gerekir.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayarak sadeleştirme işlemini gerçekleştirin.
a20−a1=1−120=1920a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}
Sol taraftaki a2,a3,…,a19a_2, a_3, \dots, a_{19} terimleri birbirini götürür. Sağ tarafta ise ardışık olarak terimler sadeleşir ve geriye sadece ilk ve son terimler kalır.
4
Başlangıç koşulu olan a1=3a_1 = 3 değerini yerine yazarak a20a_{20} terimini hesaplayın.
a20=a1+1920=3+1920=7920a_{20} = a_1 + \frac{19}{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20}
Sadeleşme sonrası kalan denklemde bilinmeyen olan a20a_{20} değerini yalnız bırakıp bilinen başlangıç değerini ekleyerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak terimlerin belirlenmesi.
Soru 92Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi ile ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (bn)(b_n) aritmetik dizisi için
a3=b3a5=b7a7=b15\begin{aligned} a_3 &= b_3 \\ a_5 &= b_7 \\ a_7 &= b_{15} \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu diziler için b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 olduğuna göre, a11−b35a_{11} - b_{35} farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Dizilerin genel terimleri üzerinden yapılan hesaplamalar sonucu elde edilen 28 değeri doğrudur.
Doğru seçenek olan 28 değeri; geometrik dizide ortak çarpan karesinin r2=2r^2 = 2 ve aritmetik dizide ortak farkın d=1d = 1 bulunmasıyla, a11=64a_{11} = 64 ile b35=36b_{35} = 36 değerlerinin farkı alınarak doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin verilen eşitlikleri arasındaki fark ilişkisini kuralım.
a5−a3=b7−b3a_5 - a_3 = b_7 - b_3 ve a7−a5=b15−b7a_7 - a_5 = b_{15} - b_7 eşitlikleri yazılır.
Geometrik dizi terimleri ile aritmetik dizi terimleri arasındaki farkları ilişkilendirmek.
2
Aritmetik dizinin ortak farkını dd kabul edip indis farkları üzerinden oranlama yapalım.
b7−b3=4db_7 - b_3 = 4d ve b15−b7=8db_{15} - b_7 = 8d olur. Buradan a7−a5a5−a3=8d4d=2\frac{a_7 - a_5}{a_5 - a_3} = \frac{8d}{4d} = 2 elde edilir.
Ortak fark sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirme yaparak geometrik dizinin terimleri arasında bir bağıntı kurmak.
3
Geometrik dizinin terimlerini ortak çarpan rr cinsinden yazıp r2r^2 değerini bulalım.
a3r4−a3r2a3r2−a3=2  ⟹  a3r2(r2−1)a3(r2−1)=2\frac{a_3 r^4 - a_3 r^2}{a_3 r^2 - a_3} = 2 \implies \frac{a_3 r^2(r^2 - 1)}{a_3(r^2 - 1)} = 2 olur. r2≠1r^2 \neq 1 ve a3≠0a_3 \neq 0 olduğundan sadeleştirme ile r2=2r^2 = 2 bulunur.
Geometrik dizinin ardışık iki çift indisli terimi arasındaki oran ilişkisini çözmek.
4
b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 bilgisini kullanarak dizilerin terim değerlerini bulalım.
Aritmetik dizide b1+b17=b3+b15=20b_1 + b_{17} = b_3 + b_{15} = 20 olur. a3=b3a_3 = b_3 ve a7=b15a_7 = b_{15} olduğundan a3+a7=20a_3 + a_7 = 20 elde edilir. a7=a3r4=4a3a_7 = a_3 r^4 = 4a_3 yazılırsa, 5a3=20  ⟹  a3=45a_3 = 20 \implies a_3 = 4 ve a7=16a_7 = 16 bulunur.
Dizilerin başlangıç ve belirli indisli terimlerinin sayısal değerlerini tespit etmek.
5
Dizilerin ortak farkı dd ve aritmetik dizinin genel terimini elde edelim.
b3=4b_3 = 4, b7=a5=a3r2=8b_7 = a_5 = a_3 r^2 = 8 olur. b7−b3=4d  ⟹  8−4=4d  ⟹  d=1b_7 - b_3 = 4d \implies 8 - 4 = 4d \implies d = 1 bulunur. Buradan bn=n+1b_n = n + 1 genel terimi yazılır.
Soruda istenen aritmetik dizi teriminin sayısal değerini hesaplayabilmek.
6
a11a_{11} ve b35b_{35} terimlerini hesaplayıp farklarını alalım.
a11=a3r8=4×(r2)4=4×24=64a_{11} = a_3 r^8 = 4 \times (r^2)^4 = 4 \times 2^4 = 64 ve b35=35+1=36b_{35} = 35 + 1 = 36 olur. Farkları ise 64−36=2864 - 36 = 28 olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Geometrik ve Aritmetik Dizilerin Terimleri Arasındaki İndis İlişkileri
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 93Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a2⋅a10=64a_2 \cdot a_{10} = 64
a53+a73a5+a7=208\frac{a_5^3 + a_7^3}{a_5 + a_7} = 208
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a3+a9a_3 + a_9 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

İstenen toplamın değeri 65'tir.
Verilen geometrik dizide a2⋅a10=a5⋅a7=64a_2 \cdot a_{10} = a_5 \cdot a_7 = 64 ilişkisinden ve iki küp toplamı açılımından a52+a72=272a_5^2 + a_7^2 = 272 bulunur. Tam kare tamamlama yöntemiyle a5+a7=20a_5 + a_7 = 20 elde edilir. Çarpımları 64, toplamları 20 olan pozitif sayılar 4 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için a5=4a_5 = 4 ve a7=16a_7 = 16 olur. Buradan ortak çarpanın karesi r2=4r^2 = 4 olarak bulunur. İstenen terimler a3=a5/r2=1a_3 = a_5 / r^2 = 1 ve a9=a7⋅r2=64a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64 olduğundan, bunların toplamı 65 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımını ilişkilendirmek.
a5⋅a7=64a_5 \cdot a_7 = 64
Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (2+10=5+7=122 + 10 = 5 + 7 = 12).
2
Verilen rasyonel ifadeyi iki küp toplamı özdeşliği ile sadeleştirmek.
a52+a72=272a_5^2 + a_7^2 = 272
a53+a73=(a5+a7)(a52−a5a7+a72)a_5^3 + a_7^3 = (a_5 + a_7)(a_5^2 - a_5 a_7 + a_7^2) özdeşliği kullanılarak payda sadeleştirilir ve a5⋅a7=64a_5 \cdot a_7 = 64 değeri yerine yazılır.
3
Tam kare özdeşliğinden yararlanarak terimlerin toplamını bulmak.
a5+a7=20a_5 + a_7 = 20
(a5+a7)2=a52+a72+2a5a7(a_5 + a_7)^2 = a_5^2 + a_7^2 + 2a_5 a_7 eşitliğinde değerler yerine yazılıp karekök alınır.
4
Çarpımları 64 ve toplamları 20 olan terimleri belirlemek.
a5=4a_5 = 4 ve a7=16a_7 = 16
Dizi artan olduğundan küçük olan terim a5=4a_5 = 4, büyük olan terim a7=16a_7 = 16 olmalıdır.
5
Ortak çarpan rr'yi bularak a3a_3 ve a9a_9 terimlerini elde etmek.
a3=1a_3 = 1, a9=64a_9 = 64 ve toplamları 65
a7=a5⋅r2  ⟹  r2=4a_7 = a_5 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 bulunur. Buradan a3=a5/r2=1a_3 = a_5 / r^2 = 1 ve a9=a7⋅r2=64a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkisi ve ortak çarpan yardımıyla terimler arası geçiş yapılması.
Soru 94Soru →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi, f(x)f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, an=f(n)a_n = f(n) biçiminde tanımlanmıştır.

Bu dizi için,
a1+a3=20a_1 + a_3 = 20
f(a1)=25f(a_1) = 25

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ortak farkının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Ortak farkın alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Soruda verilen a1+a3=20a_1 + a_3 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 ve dolayısıyla a1=10−ra_1 = 10 - r bulunur. f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğinde genel terim f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x-1)r ifadesi kullanılarak (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 ikinci dereceden denkleme ulaşılır. Bu denklemin kökleri (ortak farkın alabileceği değerler) 3 ve 5 olup, toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon arasındaki ilişkiyi belirleme
f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x - 1)r
Genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r olup an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlandığı için fonksiyon da doğrusal yapıdadır.
2
Verilen terim toplamından a1a_1 terimini ortak fark rr cinsinden ifade etme
a1=10−ra_1 = 10 - r
a1+a3=2a2=20a_1 + a_3 = 2a_2 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 bulunur. a1=a2−ra_1 = a_2 - r bağıntısından a1=10−ra_1 = 10 - r elde edilir.
3
f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğini kullanarak rr parametresine bağlı bir denklem kurma
r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0
f(a1)=a1+(a1−1)r=25f(a_1) = a_1 + (a_1 - 1)r = 25 denkleminde a1=10−ra_1 = 10 - r yazıldığında (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 denklemine ulaşılır.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek ortak farkın alabileceği değerleri ve toplamını bulma
r=3r = 3 veya r=5r = 5; toplam = 8
r2−8r+15=(r−3)(r−5)=0r^2 - 8r + 15 = (r - 3)(r - 5) = 0 denkleminin kökleri r=3r = 3 ve r=5r = 5 olup, alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin doğrusal fonksiyon yapısı ve indis özellikleri
Soru 95Soru →
Tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve ortak çarpanı 11'den büyük olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a3⋅a9=1024a_3 \cdot a_9 = 1024
a5+a7=80a_5 + a_7 = 80
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin dördüncü terimi (a4a_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Geometrik dizilerde a3⋅a9=a62a_3 \cdot a_9 = a_6^2 özelliği kullanılarak a6=32a_6 = 32 elde edilir. Daha sonra a5+a7=80a_5 + a_7 = 80 denklemi a6r+a6⋅r=80\frac{a_6}{r} + a_6 \cdot r = 80 şeklinde yazılarak r=2r = 2 (veya r=1/2r = 1/2) bulunur. Ortak çarpan 1'den büyük dendiği için r=2r = 2 seçilir ve dördüncü terim a4=a6/r2=32/4=8a_4 = a_6 / r^2 = 32 / 4 = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kurma
a3⋅a9=a62=1024  ⟹  a6=32a_3 \cdot a_9 = a_6^2 = 1024 \implies a_6 = 32
Geometrik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (an−k⋅an+k=an2a_{n-k} \cdot a_{n+k} = a_n^2). Terimler pozitif olduğu için pozitif kök alınır.
2
Diğer terimleri altıncı terim ve ortak çarpan cinsinden yazma
a5=32ra_5 = \frac{32}{r} ve a7=32ra_7 = 32r
Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimler arasındaki oran ortak çarpana (rr) eşittir.
3
Verilen toplam eşitliğini kullanarak ortak çarpanı bulma
32r+32r=80  ⟹  2r2−5r+2=0  ⟹  r=2\frac{32}{r} + 32r = 80 \implies 2r^2 - 5r + 2 = 0 \implies r = 2 veya r=12r = \frac{1}{2}
Toplam eşitliği düzenlendiğinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir ve bu denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
4
Ortak çarpanı seçme ve dördüncü terimi hesaplama
r=2r = 2 seçilir. a4=a6r2=324=8a_4 = \frac{a_6}{r^2} = \frac{32}{4} = 8
Soruda ortak çarpanın 1'den büyük olduğu belirtildiğinden r=2r = 2 alınır. Altıncı terimden iki adım geriye gidilerek dördüncü terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler arası bağıntılar ve ortak çarpanın belirlenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 96Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=6a_1 = 6 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=nn+2⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+2} \cdot a_n
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, 1a15\frac{1}{a_{15}} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İstenen değer 20 olarak bulunur.
İndirgemeli dizide ardışık terimlerin oranı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirildiğinde, a1=6a_1 = 6 başlangıç koşulu yardımıyla a15=120a_{15} = \frac{1}{20} olarak elde edilir. Bu değerin çarpmaya göre tersi alındığında doğru sonuç 20 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,3,…,141, 2, 3, \dots, 14 yazarak terimler arasındaki ilişkileri belirleyin.
n=1n=1 için a2=13a1a_2 = \frac{1}{3} a_1, n=2n=2 için a3=24a2a_3 = \frac{2}{4} a_2, n=3n=3 için a4=35a3a_4 = \frac{3}{5} a_3, …\dots, n=14n=14 için a15=1416a14a_{15} = \frac{14}{16} a_{14} elde edilir.
Dizinin terimlerini birbirine bağlayan eşitlikleri taraf tarafa çarparak teleskopik sadeleştirme yapabilmek için.
2
Elde edilen 14 adet eşitliği taraf tarafa çarpın.
a2⋅a3⋅a4…a15=(13⋅24⋅35…1416)a1⋅a2⋅a3…a14a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \dots a_{15} = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{14}{16}\right) a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_{14} eşitliğinden a2,a3,…,a14a_2, a_3, \dots, a_{14} terimleri sadeleşerek a15=(1⋅215⋅16)a1a_{15} = \left(\frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 16}\right) a_1 elde edilir.
Ardışık terimlerin çarpım durumunda sadeleşmesini (teleskopik çarpım) sağlamak için.
3
Sadeleşme sonucunu düzenleyin ve a1=6a_1 = 6 başlangıç değerini yerine yazarak a15a_{15} değerini hesaplayın.
a15=2240⋅6=1120⋅6=120a_{15} = \frac{2}{240} \cdot 6 = \frac{1}{120} \cdot 6 = \frac{1}{20} bulunur.
a15a_{15} teriminin sayısal değerine ulaşmak için.
4
Bizden istenen 1a15\frac{1}{a_{15}} ifadesinin değerini bulun.
1a15=11/20=20\frac{1}{a_{15}} = \frac{1}{1/20} = 20 bulunur.
Soruda a15a_{15} yerine 1a15\frac{1}{a_{15}} değeri sorulduğu için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi kullanılarak genel veya belirli bir terimin başlangıç terimi cinsinden bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 97Soru →

Pozitif terimli ve artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde ilk terim a1=log⁡3xa_1 = \log_3 x ve ortak çarpan r=log⁡x27r = \log_x 27 olarak tanımlanıyor.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamı 1313 olduğuna göre, ilk beş teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 121

Cevap

İlk beş terimin toplamı 121'dir.
Logaritma özellikleri kullanılarak dizinin terimleri a1=log⁡3xa_1 = \log_3 x, a2=3a_2 = 3 ve a3=9log⁡3xa_3 = \frac{9}{\log_3 x} şeklinde elde edilir. Bu terimlerin toplamı 1313'e eşitlendiğinde log⁡3x=1\log_3 x = 1 ve log⁡3x=9\log_3 x = 9 olmak üzere iki kök bulunur. Dizinin artan olması için ortak çarpanın r>1r > 1 olması gerektiğinden a1=1a_1 = 1 ve r=3r = 3 durumunu sağlayan log⁡3x=1\log_3 x = 1 kökü kabul edilir. İlk 55 terimin toplamı ise S5=1⋅35−13−1=121S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 121 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terim tanımını kullanarak ikinci ve üçüncü terimleri xx cinsinden ifade etmek.
a2=a1⋅r=log⁡3x⋅log⁡x27=log⁡327=3a_2 = a_1 \cdot r = \log_3 x \cdot \log_x 27 = \log_3 27 = 3 ve a3=a2⋅r=3⋅log⁡x27=3⋅log⁡327log⁡3x=9log⁡3xa_3 = a_2 \cdot r = 3 \cdot \log_x 27 = 3 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x} = \frac{9}{\log_3 x}
Dizinin tüm terimlerini ortak bir logaritmik tabanda yazarak denklemi basitleştirmek.
2
İlk üç terimin toplamı olan S3=13S_3 = 13 eşitliğini kurmak.
a1+a2+a3=log⁡3x+3+9log⁡3x=13  ⟹  log⁡3x+9log⁡3x=10a_1 + a_2 + a_3 = \log_3 x + 3 + \frac{9}{\log_3 x} = 13 \implies \log_3 x + \frac{9}{\log_3 x} = 10
Bilinmeyen logaritmik ifadeyi belirlemek üzere bir denklem elde etmek.
3
log⁡3x=u\log_3 x = u dönüşümü yaparak oluşan rasyonel denklemi çözmek.
u+9u=10  ⟹  u2−10u+9=0  ⟹  (u−1)(u−9)=0  ⟹  u=1u + \frac{9}{u} = 10 \implies u^2 - 10u + 9 = 0 \implies (u-1)(u-9) = 0 \implies u = 1 veya u=9u = 9
İkinci dereceden denklemin köklerini bularak a1a_1 teriminin alabileceği değerleri tespit etmek.
4
Dizinin 'artan' olma koşulunu kullanarak uygun olan uu değerini seçmek.
u=9  ⟹  a1=9u = 9 \implies a_1 = 9 ve r=log⁡x27=3log⁡3x=39=13r = \log_x 27 = \frac{3}{\log_3 x} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} olur. Ortak çarpan r<1r < 1 olduğundan bu dizi azalandır.
u=1  ⟹  a1=1u = 1 \implies a_1 = 1 ve r=31=3r = \frac{3}{1} = 3 olur. Ortak çarpan r>1r > 1 olduğundan bu dizi artandır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve r=3r = 3 değerleri seçilir.
Soruda verilen 'artan geometrik dizi' şartını sağlayan tek durumu belirlemek.
5
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ifadesini n=5n = 5 için uygulamak.
S5=1⋅35−13−1=243−12=121S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = 121
Dizinin ilk beş teriminin toplam değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı ve logaritmik ifadelerde taban değiştirme kuralı.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 98Soru →
Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde ortak fark pozitif bir gerçel sayıdır. Bu dizinin terimleri arasında,
a5+a9=34a_5 + a_9 = 34
a32+a112=706a_3^2 + a_{11}^2 = 706
e��itlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 55 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerde simetrik indislerin aritmetik ortalaması ortadaki terimi verir (a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7). Buradan a7=17a_7 = 17 bulunur. a3a_3 ve a11a_{11} terimleri sırasıyla a7−4ra_7 - 4r ve a7+4ra_7 + 4r şeklinde yazılıp kareleri toplandığında çapraz terimler birbirini götürür ve 2(172+16r2)=7062(17^2 + 16r^2) = 706 denklemi elde edilir. Buradan r2=4r^2 = 4 ve pozitiflik şartından r=2r = 2 bulunur. Son olarak a1=a7−6r=17−12=5a_1 = a_7 - 6r = 17 - 12 = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İndis simetrisini kullanarak a7a_7 terimini belirleme
a7=17a_7 = 17
a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7 bağıntısı aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki simetriden kaynaklanır.
2
a3a_3 ve a11a_{11} terimlerini a7a_7 ve ortak fark rr türünden yazma
a3=17−4ra_3 = 17 - 4r ve a11=17+4ra_{11} = 17 + 4r
Bilinmeyen sayısını azaltmak için terimleri a7a_7 referans alınarak ifade etmek kolaylık sağlar.
3
Kareler toplamı eşitliğinde yerine yazarak ortak fark rr'yi bulma
r=2r = 2
(17−4r)2+(17+4r)2=2(289+16r2)=706(17-4r)^2 + (17+4r)^2 = 2(289 + 16r^2) = 706 denkleminden r2=4r^2 = 4 ve pozitif ortak fark şartından r=2r=2 elde edilir.
4
a1a_1 ilk terimini hesaplama
a1=5a_1 = 5
a7=a1+6ra_7 = a_1 + 6r genel terim formülünden yararlanılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması ve genel terim özellikleri.
Soru 99Soru →

Bir biyoloji laboratuvarında A ve B tüplerindeki bakteri popülasyonları gözlemlenmektedir. A tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri bir geometrik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin 3. terimi 12⋅10412 \cdot 10^4 ve 6. terimi 96⋅10496 \cdot 10^4 olarak ölçülmüştür. B tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri ise bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin ilk 8 teriminin toplamı 88⋅10488 \cdot 10^4 ve 4. terimi 10⋅10410 \cdot 10^4 olarak belirlenmiştir. Buna göre, A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı kaç adet 10410^4'tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı 12 adet 10410^4'tür.
A tüpündeki bakteri sayısı geometrik dizi (an=3⋅104⋅2n−1a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1}) ve B tüpündeki bakteri sayısı aritmetik dizi (bn=(2n+2)⋅104b_n = (2n + 2) \cdot 10^4) kurallarına uyar. an=4⋅bna_n = 4 \cdot b_n eşitliğinden n=5n = 5 saati elde edilir. 5. saatin sonunda B tüpünde 12⋅10412 \cdot 10^4 bakteri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A tüpünün geometrik dizisi (an)(a_n) için ortak çarpanı ve ilk terimi belirlemek.
a3=a1⋅r2=12⋅104a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 \cdot 10^4 ve a6=a1⋅r5=96⋅104a_6 = a_1 \cdot r^5 = 96 \cdot 10^4 eşitliklerinden r3=8  ⟹  r=2r^3 = 8 \implies r = 2 bulunur. Buradan a1=3⋅104a_1 = 3 \cdot 10^4 elde edilir. Genel terim an=3⋅104⋅2n−1a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1} olur.
Geometrik dizinin her bir saatin sonundaki değerlerini bulmak için genel terim formülünü oluşturmamız gerekir.
2
B tüpünün aritmetik dizisi (bn)(b_n) için ortak farkı ve ilk terimi belirlemek.
b4=b1+3d=10⋅104b_4 = b_1 + 3d = 10 \cdot 10^4 ve S8=4(2b1+7d)=88⋅104  ⟹  2b1+7d=22⋅104S_8 = 4(2b_1 + 7d) = 88 \cdot 10^4 \implies 2b_1 + 7d = 22 \cdot 10^4 denklem sistemi çözüldüğünde d=2⋅104d = 2 \cdot 10^4 ve b1=4⋅104b_1 = 4 \cdot 10^4 bulunur. Genel terim bn=(2n+2)⋅104b_n = (2n + 2) \cdot 10^4 olur.
Aritmetik dizinin her saatin sonundaki değerlerini hesaplayabilmek için ortak farkı ve ilk terimi bulmamız gerekir.
3
an=4⋅bna_n = 4 \cdot b_n denklemini çözerek nn değerini bulmak.
3⋅104⋅2n−1=4⋅(2n+2)⋅104  ⟹  3⋅2n−1=8(n+1)  ⟹  3⋅2n−4=n+13 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot (2n + 2) \cdot 10^4 \implies 3 \cdot 2^{n-1} = 8(n + 1) \implies 3 \cdot 2^{n-4} = n + 1 denklemini sağlayan pozitif tam sayı n=5n = 5 olarak bulunur.
İki popülasyon arasındaki oran şartını sağlayan saati belirlemek.
4
n=5n = 5 için B tüpündeki bakteri sayısını hesaplamak.
b5=(2⋅5+2)⋅104=12⋅104b_5 = (2 \cdot 5 + 2) \cdot 10^4 = 12 \cdot 10^4 bulunur.
İstenen saatin sonundaki bakteri miktarını bulmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri, toplam formülleri ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Soru 100Soru →

Aşağıda verilen geometrik dizi özelliklerine göre boş bırak��lan yeri uygun sayı ile doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin çarpımı PnP_n olmak üzere, P5=2432P_5 = 243^2 ve P9=2712P_9 = 27^{12} eşitlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı olmalıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 3'tür.
Geometrik dizideki indis simetrisi gereği tek sayıda terimin çarpımı, ortadaki terimin terim sayısı kadar kuvvetine eşittir. Buradan P5=a35P_5 = a_3^5 ve P9=a59P_9 = a_5^9 yazılır. Verilen değerler 3'ün kuvveti cinsinden düzenlendiğinde a3=9a_3 = 9 ve a5=81a_5 = 81 bulunur. İki terim arasındaki oran a5/a3=r2=9a_5 / a_3 = r^2 = 9 olduğundan ve terimler pozitif tanımlandığından ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim çarpımı formülünü geometrik dizinin indis simetrisi özelliğini kullanarak ifade edelim.
P5=a35P_5 = a_3^5 ve P9=a59P_9 = a_5^9 eşitlikleri elde edilir.
Geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir (terim sayısı tek ise). Bu durumda 5 terim için ortadaki terim a3a_3, 9 terim için ise a5a_5 olur.
2
Verilen P5=2432P_5 = 243^2 ve P9=2712P_9 = 27^{12} değerlerini 3 tabanında yazarak a3a_3 ve a5a_5 terimlerini bulalım.
a3=9a_3 = 9 ve a5=81a_5 = 81 bulunur.
P5=(35)2=310=(32)5=95P_5 = (3^5)^2 = 3^{10} = (3^2)^5 = 9^5 olduğundan a3=9a_3 = 9 olur. P9=(33)12=336=(34)9=819P_9 = (3^3)^{12} = 3^{36} = (3^4)^9 = 81^9 olduğundan a5=81a_5 = 81 olur.
3
Geometrik dizinin terimleri arasındaki genel ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplayalım.
r=3r = 3 elde edilir.
a5=a3⋅r2  ⟹  81=9⋅r2  ⟹  r2=9a_5 = a_3 \cdot r^2 \implies 81 = 9 \cdot r^2 \implies r^2 = 9 olur. Dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalı, dolayısıyla r=3r = 3 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin çarpım özellikleri ve indis ilişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 5 / 10Sonraki