Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 41Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a1+a11=16a_1 + a_{11} = 16

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu aritmetik dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: an=2n−4a_n = 2n - 4

Cevap

Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan dizi
Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan seçenek doğrudur. Aritmetik dizilerin indis özelliğine göre, birinci terim ile on birinci terimin toplamı, altıncı terimin iki katına eşittir (a1+a11=2a6a_1 + a_{11} = 2a_6). Bize verilen toplam 16 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi 8 olmalıdır (a6=8a_6 = 8). Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan dizide nn yerine 6 yazıldığında a6=2(6)−4=8a_6 = 2(6) - 4 = 8 değeri elde edilir ve koşul sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizide indis özellikleri kullanılarak ortanca terim belirlenir.
a1+a11=2a6  ⟹  16=2a6  ⟹  a6=8a_1 + a_{11} = 2a_6 \implies 16 = 2a_6 \implies a_6 = 8 bulunur.
Bir aritmetik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Burada 1+11=6+61 + 11 = 6 + 6 olduğundan a1+a11=2a6a_1 + a_{11} = 2a_6 eşitliği geçerlidir.
2
Seçeneklerde verilen genel terim formüllerinde n=6n = 6 yazılarak hangisinin a6=8a_6 = 8 değerini verdiği kontrol edilir.
a6=2(6)−4=8a_6 = 2(6) - 4 = 8 eşitliğini sağlayan genel terim an=2n−4a_n = 2n - 4 olarak bulunur.
Soruda verilen koşulu sağlayan dizinin 6. terimi 8 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide indis özellikleri ve genel terim ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 42Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde a2=5a_2 = 5 ve a5=17a_5 = 17 olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Dizinin 10. teriminin değeri 37'dir.
Dizinin terimleri arasındaki sabit artış miktarı (ortak fark) r=4r = 4 olarak hesaplanır. 10. terimi bulmak için 5. terime 5 kez ortak fark eklenerek 37 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen terimler arasındaki farkı kullanarak dizinin ortak farkını (rr) belirleme
r=4r = 4
Aritmetik dizilerde herhangi iki terim arasındaki ilişki ak=ap+(k−p)ra_k = a_p + (k-p)r formülüyle ifade edilir. Burada a5=a2+3ra_5 = a_2 + 3r yazılarak ortak fark bulunur.
2
Bulunan ortak fark yardımıyla 10. terimi (a10a_{10}) hesaplama
a10=37a_{10} = 37
Dizinin 10. terimi, 5. terime ortak farkın 5 katı eklenerek (a10=a5+5ra_{10} = a_5 + 5r) hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki fark sabittir ve herhangi iki terim arasındaki fark, ortak farkın indis farkı katına eşittir.
Soru 43Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)⋅2n−1a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + (n+1)(n+2) \cdot 2^{n-1}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin beşinci terimi olan a5a_5 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 510

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 510'dur.
Verilen bağıntı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ile bölündüğünde an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = 2^{n-1} teleskopik yapısı elde edilir. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü ile b5=b1+15=17b_5 = b_1 + 15 = 17 bulunur. Buradan a5=30⋅b5=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 510 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen indirgemeli bağıntının her iki tarafı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek sadeleştirilir.
an+1(n+1)(n+2)=ann(n+1)+2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + 2^{n-1}
Bağıntıyı teleskopik (ardışık sadeleşen) bir toplamsal forma dönüştürmek amacıyla paydaları düzenlemek için.
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlanır ve başlangıç terimi b1b_1 hesaplanır.
bn+1=bn+2n−1b_{n+1} = b_n + 2^{n-1} ve b1=a11⋅2=42=2b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2 elde edilir.
Diziyi toplamsal indirgeme modeliyle ifade edip çözümü basitleştirmek için.
3
bn+1−bn=2n−1b_{n+1} - b_n = 2^{n-1} bağıntısında n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerleri yazılarak taraf tarafa toplanır.
b5−b1=20+21+22+23=1+2+4+8=15b_5 - b_1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 ve buradan b5=2+15=17b_5 = 2 + 15 = 17 bulunur.
Teleskopik toplam yöntemiyle b5b_5 değerini doğrudan bulmak için.
4
b5=a55⋅6b_5 = \frac{a_5}{5 \cdot 6} eşitliğinden faydalanılarak a5a_5 çekilir.
a5=30⋅b5=30⋅17=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 30 \cdot 17 = 510 elde edilir.
Dönüşüm tanımını kullanarak orijinal dizinin terimini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpanla bölme yoluyla teleskopik toplamsal form elde etme.
Soru 44Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisi, her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an1+4nana_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 4n a_n}
indirgeme bağıntısını sağlamaktadır.

a1=15a_1 = \frac{1}{5} olduğuna göre, 1a11\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İfadenin değeri 15'tir.
Verilen rasyonel indirgeme bağıntısında bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapıldığında ardışık terimler arasındaki fark bn+1−bn=4nb_{n+1} - b_n = 4n olarak elde edilir. Bu farkların n=1n=1'den 1010'a kadar olan toplamı teleskopik sadeleştirme ile b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 sonucunu verir. b1=5b_1 = 5 değeri yerine yazıldığında b11=225b_{11} = 225 bulunur. Buradan 1a11=b11=225=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = \sqrt{b_{11}} = \sqrt{225} = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizideki indirgeme bağıntısını do��rusal hale getirmek için çarpmaya göre ters dönüşüm yapılması
bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} tanımıyla bn+1=bn+4nb_{n+1} = b_n + 4n elde edilir.
Paydada ana_n terimi bulunan rasyonel bağıntıları daha kolay çözebilmek için bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapılarak doğrusal bir fark denklemi elde edilir.
2
Ardışık terimlerin farklarının n=1n=1'den n=10n=10'a kadar taraf tarafa toplanması
b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 elde edilir.
Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemiyle ara terimlerin birbirini götürmesini sağlamak ve b11b_{11} ile b1b_1 arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.
3
İlk terim yardımıyla b11b_{11} değerinin hesaplanması
b11=225b_{11} = 225 elde edilir.
a1=15a_1 = \frac{1}{5} olarak verildiğinden b1=5b_1 = 5 olur ve bu değer toplama eklenerek b11b_{11} bulunur.
4
İstenen kareköklü ifadenin değerinin bulunması
1a11=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = 15 elde edilir.
b11=1a11b_{11} = \frac{1}{a_{11}} olduğu bilindiğinden, bulduğumuz değerin karekökü alınır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (çarpmaya göre tersini alma) ve ardışık terim farklarının teleskopik toplamı yöntemi.
Soru 45Soru →

İlk terimi 33 ve ortak çarpanı 22 olan bir geometrik dizinin ilk 55 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 93

Cevap

İlk 5 terimin toplamı 93'tür.
İlk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak çarpanı r=2r = 2 olan geometrik dizinin ilk 55 teriminin toplamı S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5 - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında S5=3⋅25−12−1=3⋅31=93S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü yazalım.
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
Bu form��l, ilk terimi a1a_1 ve ortak çarpanı rr olan bir geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamını verir.
2
Soruda verilen ilk terim (a1=3a_1 = 3), ortak çarpan (r=2r = 2) ve terim sayısı (n=5n = 5) değerlerini formülde yerine yazalım.
S5=3⋅25−12−1S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1}
İlk 5 terimin toplamını bulmak için ilgili parametreleri formüle yerleştirmeliyiz.
3
Üslü ifadenin değerini hesaplayıp sadeleştirme işlemlerini yapalım.
S5=3⋅32−11=3⋅31=93S_5 = 3 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 3 \cdot 31 = 93
25=322^5 = 32 değerini yerine yazarak gerekli çarpma ve bölme işlemlerini tamamlarız.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Soru 46Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde her nn pozitif tam sayısı için
an+1−an=4a_{n+1} - a_n = 4
eşitliği sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4n−14n - 1

Cevap

Dizinin genel terimi olan 4n - 1 ifadesi
Dizinin tanımından ardışık terimlerin farkının ortak farkı verdiği bilinir; buradan ortak fark 4'tür. İlk terim 3 ve ortak fark 4 olduğunda, genel terim formülü uygulandığında sonuç 4n - 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin tanımından faydalanarak dizinin ortak farkını (rr) bulma.
an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r olduğundan, dizinin ortak farkı r=4r = 4 olarak belirlenir.
Bir aritmetik dizide ardışık herhangi iki terim arasındaki fark sabit olup dizinin ortak farkına eşittir.
2
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazma.
an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n - 1) \cdot r formülünde a1=3a_1 = 3 ve r=4r = 4 değerleri yerine yazıldığında an=3+(n−1)⋅4a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 elde edilir.
Aritmetik dizinin genel terimi, ilk terim ve ortak farka bağlı standart formül ile ifade edilir.
3
Elde edilen cebirsel ifadeyi sadeleştirerek genel terimi bulma.
an=3+4n−4⇒an=4n−1a_n = 3 + 4n - 4 \Rightarrow a_n = 4n - 1 elde edilir.
Parantez dağıtılarak benzer terimler toplandığında genel terimin n'e bağlı doğrusal yapısı ortaya çıkar.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki ilişkiden ortak farkın bulunması ve genel terim formülünün doğrusal fonksiyon yapısıyla ilişkilendirilmesi.
Soru 47Soru →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisidir.

an=n2−9n−102n−ka_n = \frac{n^2 - 9n - 10}{2n - k}

genel terimi ile verilen (an)(a_n) dizisinin negatif terimlerinin sayısı 4 olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Farklı k değerlerinin toplamı 40'tır.
Genel terimi verilen ifadenin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı için tanımlı olması gerekir. Bu sebeple paydanın kökü pozitif bir tam sayı olamaz, yani kk çift sayı olamaz. Payın kökleri ile paydanın işaret değiştirdiği sınır noktası incelendiğinde, dizinin negatif terimlerinin sayısını tam olarak 4 yapan kk tam sayı değerleri sadece 11 ve 29 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 40'tır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerinin tanımlı olma şartının belirlenmesi
2n−k≠0  ⟹  k≠2n2n - k \neq 0 \implies k \neq 2n
Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması gerekir. Bu yüzden payda sıfır olamaz. Dolayısıyla kk sayısı çift bir pozitif tam sayı olamaz.
2
Pay kısmının işaretinin incelenmesi
n2−9n−10=(n−10)(n+1)n^2 - 9n - 10 = (n-10)(n+1) ifadesinin kökleri n=−1n = -1 ve n=10n = 10'dur.
Dizi terimlerinin işaretini incelemek için pay ve paydanın işaret değişim noktalarını belirlememiz gerekir. Pozitif tam sayılar kümesinde pay 1≤n≤91 \leq n \leq 9 için negatif, n=10n = 10 için sıfır ve n≥11n \geq 11 için pozitif değerler alır.
3
Paydanın işaret durumuna göre negatif terim sayısının analiz edilmesi (Birinci durum)
k/2<10k/2 < 10 ise k=11k = 11 bulunur.
Payda n=k/2n = k/2 noktasında işaret değiştirir. Eğer k/2<10k/2 < 10 ise, negatif terimler (k/2,10)(k/2, 10) aralığında yer alır. Bu aralıktaki terim sayısının 4 olması için 9,8,7,69, 8, 7, 6 terimleri negatif olmalıdır. Buradan 5≤k/2<6  ⟹  10≤k<125 \leq k/2 < 6 \implies 10 \leq k < 12 elde edilir. kk çift olamayacağından k=11k = 11 bulunur.
4
Paydanın işaret durumuna göre negatif terim sayısının analiz edilmesi (İkinci durum)
k/2>10k/2 > 10 ise k=29k = 29 bulunur.
Eğer k/2>10k/2 > 10 ise, negatif terimler (10,k/2)(10, k/2) aralığında yer alır. Bu aralıktaki terim sayısının 4 olması için 11,12,13,1411, 12, 13, 14 terimleri negatif olmalıdır. Buradan 14<k/2≤15  ⟹  28<k≤3014 < k/2 \leq 15 \implies 28 < k \leq 30 elde edilir. kk çift olamayacağından k=29k = 29 bulunur.
5
Bulunan kk değerlerinin toplamının hesaplanması
11+29=4011 + 29 = 40
Koşulları sağlayan kk tam sayı değerleri 11 ve 29 olduğundan, bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi genel terimi olabilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olması gerekir. Dizi terimlerinin işaretleri eşitsizlik tablosu yöntemiyle incelenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 48Soru →

Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−3x - 3, 99 ve 2x+32x + 3 olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Bir aritmetik dizide ardışık terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir. Bu özellikten yararlanarak (x−3)+(2x+3)=2×9(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9 eşitliği elde edilir. Buradan benzer terimler toplanınca 3x=183x = 18 ve her iki taraf 3'e bölündüğünde x=6x = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizi özelliğini kullanarak denklem kurma
(x−3)+(2x+3)=2×9(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9
Bir aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabit olduğundan, birinci ve üçüncü terimin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri toplama ve denklemi sadeleştirme
3x=183x = 18
xx ile 2x2x toplanarak 3x3x elde edilir, −3-3 ile +3+3 birbirini götürür. Sağ taraftaki 2×92 \times 9 çarpımı ise 18 yapar.
3
Bilinmeyen xx değerini yalnız bırakma
x=6x = 6
Eşitliğin her iki tarafı 3'e bölünür.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki
Soru 49Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=34a_1 = \frac{3}{4} ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+1n3+3n2+2na_{n+1} = a_n + \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 2n}
bağıntısı sağlanmaktadır.
Buna göre, dizinin genel terimi ana_n olmak üzere,
∑k=11011−ak\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{1 - a_k}
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 880

Cevap

İstenen toplamın değeri 880'dir.
Ardışık terimlerin farkı teleskopik biçimde yazılıp taraf tarafa toplandığında genel terim an=1−12n(n+1)a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)} olarak elde edilir. İstenen toplamda genel terim yerine yazıldığında toplam 2k(k+1)2k(k+1) ifadesinin k=1k=1'den 1010'a kadar olan toplamına dönüşür. Formül uygulandığında sonuç 880 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki kesrin paydasını çarpanlarına ayırın.
n3+3n2+2n=n(n2+3n+2)=n(n+1)(n+2)n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2) elde edilir.
Kesirli ifadeyi daha basit terimlere ayırmak için öncelikle paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
İfadeyi teleskopik sadeleştirmeye uygun olacak şekilde basit kesirlere ayrıştırın.
1n(n+1)(n+2)=12(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) olarak yazılır.
Ardışık terimlerin farkı biçiminde yazarak taraf tarafa toplama işleminde sadeleşme sağlamak amacıyla bu ayrıştırma yapılır.
3
İndirgeme bağıntısını kullanarak dizinin genel terimi ana_n'i bulun.
an−a1=∑i=1n−1(ai+1−ai)=12∑i=1n−1(1i(i+1)−1(i+1)(i+2))a_n - a_1 = \sum_{i=1}^{n-1} (a_{i+1} - a_i) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{1}{i(i+1)} - \frac{1}{(i+1)(i+2)} \right)
an−a1=12(12−1n(n+1))=14−12n(n+1)a_n - a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2n(n+1)}
a1=34a_1 = \frac{3}{4} değeri yerine yazıldığında:
an=1−12n(n+1)a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)} elde edilir.
Başlangıç koşulunu kullanarak dizinin her nn pozitif tam sayısı için geçerli olan genel terim formülünü üretmek için.
4
İstenen toplam sembolündeki genel terimi yerine yazarak sonucu hesaplayın.
1−ak=12k(k+1)⇒11−ak=2k(k+1)1 - a_k = \frac{1}{2k(k+1)} \Rightarrow \frac{1}{1-a_k} = 2k(k+1)
∑k=1102k(k+1)=2∑k=110k(k+1)\sum_{k=1}^{10} 2k(k+1) = 2 \sum_{k=1}^{10} k(k+1)
Ardışık çarpım toplam formülü ∑k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} kullanılarak:
2⋅10⋅11⋅123=2⋅440=8802 \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3} = 2 \cdot 440 = 880 bulunur.
Elde edilen genel terimi istenen matematiksel ifadede yerine koyup bilinen toplam formülleri yardımıyla sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla genel terim bulma ve ardışık terimlerin toplam formüllerini uygulama.
Soru 50Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+2n−2n+1a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 2n - 2}{n+1}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.
Buna göre, bu dizinin otuzuncu terimi olan a30a_{30} değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81730\frac{817}{30}

Cevap

Dizinin otuzuncu terimi olan 817/30 değeridir.
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi (n+1)an+1−nan=2n−2(n+1)a_{n+1} - na_n = 2n-2 şeklinde yazıp taraf tarafa topladığımızda genel terim an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olarak bulunur. Bu genel terimde n=30n = 30 yazıldığında 81730\frac{817}{30} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenlemek için her iki tarafı n+1n+1 ile çarparız.
(n+1)an+1=nan+2n−2(n+1)a_{n+1} = n a_n + 2n - 2 elde edilir.
Ardışık terimleri birbiri cinsinden yazıp teleskopik toplam elde etmek için.
2
bn=nanb_n = n a_n değişken değiştirmesini tanımlarız.
bn+1=bn+2n−2b_{n+1} = b_n + 2n - 2 bağıntısı elde edilir.
Bağıntıyı daha basit bir birinci dereceden fark denklemine dönüştürmek için.
3
bnb_n dizisinin genel terimini bulmak için terimleri n=1n=1'den n−1n-1'e kadar yazar ve taraf tarafa toplarız.
bn=b1+∑k=1n−1(2k−2)b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 2) ve b1=1⋅a1=5b_1 = 1 \cdot a_1 = 5 olduğundan bn=5+n2−3n+2=n2−3n+7b_n = 5 + n^2 - 3n + 2 = n^2 - 3n + 7 bulunur.
Aritmetik toplam formüllerini uygulayarak bnb_n ifadesini kapalı formda yazmak için.
4
bn=nanb_n = n a_n tanımından faydalanarak ana_n genel terimini bulur ve n=30n=30 değerini yerine yazarız.
an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olduğundan a30=302−3(30)+730=81730a_{30} = \frac{30^2 - 3(30) + 7}{30} = \frac{817}{30} olarak elde edilir.
Bizden istenen 30. terimin değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme ve teleskopik toplam yöntemiyle genel terim bulma.
Soru 51Soru →
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=n2+5n+18n+1a_n = \frac{n^2 + 5n + 18}{n + 1}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre, (an)(a_n) dizisinin tam sayı olan terimlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Genel terimi tam sayı olan terimlerin toplamı 42'dir.
Dizinin genel terimi polinom bölmesi yapılarak an=n+4+14n+1a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1} biçiminde yazılır. nn değeri pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan n+1≥2n+1 \ge 2 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve 14'ü tam bölen n+1n+1 değerleri 2, 7 ve 14'tür. Buradan elde edilen terimler sırasıyla a1=12a_1 = 12, a6=12a_6 = 12 ve a13=18a_{13} = 18 olup, bu terimlerin toplamı 42'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimi oluşturan rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yardımıyla tam ve rasyonel kısımlarına ayırarak yazalım.
an=n+4+14n+1a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1}
İfadenin hangi nn değerleri için tam sayı olacağını daha rahat analiz edebilmek için.
2
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı (n≥1n \ge 1) olması gerektiğini göz önüne alarak, 14n+1\frac{14}{n+1} ifadesini tam sayı yapan nn değerlerini belirleyelim.
n+1n+1 ifadesi 14'ün 1'den büyük pozitif böleni olmalıdır. Yani n+1∈{2,7,14}n+1 \in \{2, 7, 14\} olmalıdır. Buradan n∈{1,6,13}n \in \{1, 6, 13\} elde edilir.
Dizilerin tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması nedeniyle n+1=1  ⟹  n=0n+1 = 1 \implies n=0 durumunun elenmesi için.
3
Belirlenen indis değerlerine karşılık gelen dizi terimlerini tek tek hesaplayalım.
a1=12a_1 = 12, a6=12a_6 = 12, a13=18a_{13} = 18
Tam sayı olan terimlerin kendi değerlerini elde etmek için.
4
Hesaplanan tam sayı terimlerin değerlerini toplayalım.
12+12+18=4212 + 12 + 18 = 42
Soruda bizden istenen tam sayı olan terimlerin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Dizi tanımı, genel terim kavramı ve rasyonel ifadeleri tam sayı yapan pozitif tam sayı indis değerlerinin belirlenmesi.
Soru 52Soru →
(an)(a_n) dizisi, genel terimi
an=2n2+k⋅n+12n2−m⋅n+6a_n = \frac{2n^2 + k \cdot n + 12}{n^2 - m \cdot n + 6}
olan bir sabit dizidir.

n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 24'tür.
Dizinin sabit olması için pay ve paydanın katsayıları oranından k=−2mk = -2m elde edilir. İfadenin her pozitif tam sayı için tanımlı (bir dizi) olması gerektiğinden, paydanın pozitif tam sayı kökü olmamalıdır. Kökler çarpımı 6 olan tam sayı kök çiftlerinden yalnızca negatif olanlar ({−1,−6}\{-1, -6\} ve {−2,−3}\{-2, -3\}) bu şartı sağlar. Buradan mm değerleri −7-7 ve −5-5 bulunur. Bu değerlere karşılık gelen kk değerleri 1414 ve 1010 olup, toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin sabit dizi olma koşulunu belirleme
k=−2mk = -2m bağıntısı elde edilir.
Rasyonel ifadenin nn değişkeninden bağımsız olması için katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Dizinin tanım kümesi şartını analiz etme
Payda olan n2−m⋅n+6n^2 - m \cdot n + 6 ifadesinin pozitif tam sayı kökü olmamalıdır.
Bir dizinin terimleri tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır; paydanın sıfır olduğu n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri diziyi tanımsız yapar.
3
Paydanın köklerinin tam sayı olma durumlarını listeleme
Kök çarpımı 66 olduğundan olası kök kümesi çiftleri: {1,6}\{1, 6\} (buradan m=7m = 7), {2,3}\{2, 3\} (buradan m=5m = 5), {−1,−6}\{-1, -6\} (buradan m=−7m = -7) ve {−2,−3}\{-2, -3\} (buradan m=−5m = -5)
n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri çarpımı c/a=6c/a = 6 ve kökleri tam sayıdır.
4
Pozitif tam sayı kökleri eleyerek geçerli mm ve kk değerlerini bulma
Geçerli kökler negatif olanlardır, yani m∈{−7,−5}m \in \{-7, -5\}. Buradan k=14k = 14 ve k=10k = 10 bulunur.
n=1,2,3,6n = 1, 2, 3, 6 değerleri pozitif tam sayı olup diziyi tanımsız yapacağından bu köklere sahip m=7m = 7 ve m=5m = 5 durumları elenir. Negatif köklere sahip olan m=−7m = -7 ve m=−5m = -5 durumlarında payda pozitif tam sayılarda sıfır olmaz.
5
Farklı kk değerlerinin toplamını hesaplama
14+10=2414 + 10 = 24
İstenen farklı kk değerlerinin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin sadeleşme koşulu ve dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması zorunluluğu.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 53Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a4=3a_4 = 3
a10=27a_{10} = 27
olduğuna göre, bu dizinin yedinci terimi (a7a_7) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Dokuz
Doğru cevap dokuzdur. Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği gereğince, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıkta olduğundan a72=a4⋅a10=3⋅27=81a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} = 3 \cdot 27 = 81 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizilerde eşit uzaklıktaki terimlerin çarpım özelliğini belirleyelim.
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir. Formül olarak: an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}
Dizinin verilen a4a_4 ve a10a_{10} terimleri ile istenen a7a_7 terimi arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Verilen terimlerin indislerinin ortalamasını bularak a7a_7 terimi ile ilişkisini kuralım.
4 ve 10 indislerinin aritmetik ortalaması (4+10)/2=7(4 + 10)/2 = 7 olduğundan, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla a72=a4⋅a10a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} eşitliği yazılır.
a7a_7 teriminin karesinin diğer iki terimin çarpımına eşit olduğunu göstermek için.
3
Verilen değerleri formülde yerine yazarak a7a_7 terimini hesaplayalım.
a72=3⋅27=81a_7^2 = 3 \cdot 27 = 81 bulunur. Buradan a7=9a_7 = 9 veya a7=−9a_7 = -9 elde edilir. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 olmalıdır.
Yedinci terimin değerini bulmak ve pozitif terimli olma şartını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide bir terimin kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalaması olması özelliği (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k})
Soru 54Soru →

(an)(a_n) gerçel sayı dizisinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 olup her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+2n+1n2(n+1)2a_{n+1} = a_n + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, genel terimi bn=13−anb_n = \frac{1}{3 - a_n} olan (bn)(b_n) dizisinin ilk 9 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 285

Cevap

285
Verilen indirgemeli dizinin genel terimi teleskopik toplam yöntemiyle an=3−1n2a_n = 3 - \frac{1}{n^2} olarak bulunur. Bu ifade bnb_n dizisinin tanımında yerine konulduğunda bn=n2b_n = n^2 elde edilir. İlk 9 terimin toplamı olan ∑n=19n2\sum_{n=1}^9 n^2 ifadesi de kareler toplamı formülüyle 285 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki terimi teleskopik toplam oluşturacak şekilde düzenleme
an+1−an=1n2−1(n+1)2a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
Ardışık terimler arasındaki farkı sadeleşebilir (teleskopik) biçimde yazarak ana_n genel terimine ulaşmak.
2
nn yerine 11 ve n−1n-1 arasındaki tam sayıları yazarak taraf tarafa toplama
an−a1=(112−122)+(122−132)+⋯+(1(n−1)2−1n2)=1−1n2a_n - a_1 = \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) = 1 - \frac{1}{n^2}
Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak ana_n ile a1a_1 arasındaki ilişkiyi bulmak.
3
Verilen a1=2a_1 = 2 ilk terim değerini yerine yazarak ana_n dizisinin genel terimini belirleme
an=3−1n2a_n = 3 - \frac{1}{n^2}
Dizinin genel terimini bularak bnb_n dizisini tanımlayabilmek.
4
bnb_n dizisinin genel terimini elde etme
bn=13−(3−1n2)=n2b_n = \frac{1}{3 - \left(3 - \frac{1}{n^2}\right)} = n^2
bnb_n dizisinin genel terimini nn cinsinden ifade etmek.
5
(bn)(b_n) dizisinin ilk 9 teriminin toplamını hesaplama
∑n=19bn=12+22+⋯+92=9⋅10⋅196=285\sum_{n=1}^{9} b_n = 1^2 + 2^2 + \dots + 9^2 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 285
İlk nn kare toplamı formülü olan n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ifadesini n=9n=9 için kullanmak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak genel terimin bulunması
Soru 55Soru →

Ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S27=3S18S_{27} = 3S_{18}

olduğuna göre, bu dizinin kaçıncı terimi sıfıra eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin 5. terimi sıfıra eşittir.
Verilen toplam eşitliği S27=3S18S_{27} = 3S_{18} formülize edilip sadeleştirildiğinde a1=−4da_1 = -4d bağıntısına ulaşılır. Aritmetik dizinin genel terim formülü am=a1+(m−1)da_m = a_1 + (m-1)d olduğundan, a5=a1+4d=−4d+4d=0a_5 = a_1 + 4d = -4d + 4d = 0 bulunur. Dolayısıyla dizinin 5. terimi kesinlikle sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü yazalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]
Verilen S27S_{27} ve S18S_{18} ifadelerini bu formül cinsinden ifade etmek için.
2
S27S_{27} ve S18S_{18} terimlerini formülde yerine koyalım.
S27=272[2a1+26d]=27(a1+13d)S_{27} = \frac{27}{2} [2a_1 + 26d] = 27(a_1 + 13d) ve S18=182[2a1+17d]=9(2a1+17d)S_{18} = \frac{18}{2} [2a_1 + 17d] = 9(2a_1 + 17d)
Denklemi kurabilmek ve ifadeleri sadeleştirmek amacıyla.
3
Verilen S27=3S18S_{27} = 3S_{18} eşitliğini kullanalım ve denklemi çözelim.
27(a1+13d)=3⋅9(2a1+17d)  ⟹  27(a1+13d)=27(2a1+17d)  ⟹  a1+13d=2a1+17d  ⟹  a1=−4d27(a_1 + 13d) = 3 \cdot 9(2a_1 + 17d) \implies 27(a_1 + 13d) = 27(2a_1 + 17d) \implies a_1 + 13d = 2a_1 + 17d \implies a_1 = -4d
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilişkiyi bulmak için.
4
Dizinin sıfıra eşit olan mm. terimini bulalım.
am=a1+(m−1)d=0  ⟹  −4d+(m−1)d=0  ⟹  (m−5)d=0a_m = a_1 + (m-1)d = 0 \implies -4d + (m-1)d = 0 \implies (m-5)d = 0. Ortak fark sıfırdan farklı (d≠0d \neq 0) olduğundan, m−5=0  ⟹  m=5m - 5 = 0 \implies m = 5 bulunur.
Sıfıra eşit olan terimin indisini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] ifadesinin uygulanması ve dizinin genel terimi an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ile ilişkilendirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 56Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S9−S5=64S_9 - S_5 = 64
S6=48S_6 = 48

olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Dizinin 10. terimi 21'dir.
Verilen toplam ve fark eşitliklerinden elde edilen 2a1+13d=322a_1 + 13d = 32 ve 2a1+5d=162a_1 + 5d = 16 denklem sistemi çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak bulunur. Bu değerlerle dizinin 10. terimi a10=a1+9d=3+18=21a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
S9−S5S_9 - S_5 ifadesinin terimler ve ortak fark cinsinden eşitini bulma
2a1+13d=322a_1 + 13d = 32
S9−S5=a6+a7+a8+a9S_9 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 eşitliğinde her terim a1a_1 ve dd cinsinden yazılarak toplanır.
2
S6S_6 terim toplamı formülünü kullanarak ikinci bir denklem elde etme
2a1+5d=162a_1 + 5d = 16
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=6n = 6 yazılıp toplam 48'e eşitlenir.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulma
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3
İki denklemin taraf tarafa çıkarılmasıyla dd bulunur, ardından elde edilen değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
4
Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değerini hesaplama
a10=21a_{10} = 21
a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d genel terim formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve genel terim özellikleri
Soru 57Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−3x-3, x+1x+1 ve x+9x+9 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak ��arpanı 2 olan seçenektir.
Dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabit olduğundan ortadaki terimin karesi komşu terimlerin çarpımına eşittir. (x+1)2=(x−3)(x+9)(x+1)^2 = (x-3)(x+9) denklemi çözüldüğünde x=7x = 7 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında terimler 4, 8 ve 16 olarak elde edilir. Ortak çarpan ise ardışık iki terimin oranı olan 8/4 = 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ardışık üç terimi a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 için geçerli olan a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3 özelliğini kullanarak bir denklem kurarız.
(x+1)2=(x−3)⋅(x+9)(x+1)^2 = (x-3) \cdot (x+9) denklemi elde edilir.
Geometrik dizide ardış��k terimlerin oranları birbirine eşittir.
2
Elde edilen denklemdeki ifadeleri açarak xx değerini buluruz.
x2+2x+1=x2+6x−27  ⟹  2x+1=6x−27  ⟹  4x=28  ⟹  x=7x^2 + 2x + 1 = x^2 + 6x - 27 \implies 2x + 1 = 6x - 27 \implies 4x = 28 \implies x = 7 bulunur.
Dizinin terimlerini sayısal olarak belirlemek için xx bilinmeyeninin çözülmesi gerekir.
3
Bulunan x=7x = 7 değerini terimlerin formüllerinde yerine yazarak dizinin ardışık üç terimini elde ederiz.
Terimler sırasıyla 7−3=47 - 3 = 4, 7+1=87 + 1 = 8 ve 7+9=167 + 9 = 16 olur.
Ortak çarpanı hesaplamak için terimlerin değerlerinin bilinmesi gerekir.
4
Ardışık terimlerden ikincisini birincisine bölerek dizinin ortak çarpanını (rr) hesaplarız.
r=84=2r = \frac{8}{4} = 2 elde edilir.
Geometrik dizide ortak çarpan, ardışık herhangi iki terimden sonrakinin öncekine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin ardışık terimlerinin oranı sabittir. Dizinin ardışık üç terimi için ortadaki terimin karesi, komşu terimlerin çarpımına eşittir.

Alternatif Yöntem

Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimlerin oranı eşit olduğundan doğrudan x+1x−3=x+9x+1\frac{x+1}{x-3} = \frac{x+9}{x+1} eşitliği yazılıp içler dışlar çarpımı yapılarak da aynı denklem elde edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 58Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+1n+2a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 1}{n+2}
indirgeme bağıntısı tan��mlanıyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6511\frac{65}{11}

Cevap

İlk 10 terimin toplamı olan 65/11 değeri
Verilen indirgemeli bağıntı düzenlenip her iki taraf n+1n+1 ile çarpıldığında, bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yardımıyla teleskopik bir fark bağıntısı elde edilir. Buradan genel terim ak=1/2+1/(k(k+1))a_k = 1/2 + 1/(k(k+1)) olarak bulunur. İlk 10 terim toplandığında ise sabit terimlerin toplamından 5, teleskopik toplamdan ise 1−1/11=10/111 - 1/11 = 10/11 gelir. Bu iki değerin toplamı 65/11 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleyip her iki tarafı n+1n+1 ile çarpmak.
(n+1)(n+2)an+1=n(n+1)an+(n+1)(n+1)(n+2)a_{n+1} = n(n+1)a_n + (n+1)
Eşitliğin sol ve sağ taraflarında benzer indis yapıları elde ederek teleskopik forma dönüştürmek.
2
bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yapmak.
bn+1=bn+n+1  ⟹  bn+1−bn=n+1b_{n+1} = b_n + n + 1 \implies b_{n+1} - b_n = n + 1
Karmaşık bağıntıyı daha kolay çözülebilen birinci dereceden bir fark denklemine indirgemek.
3
bn+1−bn=n+1b_{n+1} - b_n = n + 1 bağıntısında n=1n=1'den k−1k-1'e kadar değerler yazıp taraf tarafa toplamak.
bk=k(k+1)2+1b_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1
bkb_k genel terimini b1b_1 cinsinden hesaplamak.
4
aka_k terimini yalnız bırakıp ilk 10 terimin toplamını hesaplamak.
∑k=110ak=6511\sum_{k=1}^{10} a_k = \frac{65}{11}
Genel terimdeki kesirli ifadeyi basit kesirlere ayırarak teleskopik toplamı uygulamak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan yardımıyla teleskopik toplam veya çarpım formuna ulaşılarak genel terimin elde edilmesi.
Soru 59Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide ilk 8 terimin toplamı, ilk 4 terimin toplamının 4 katına eşittir.

Dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 57

Cevap

Dizinin 10. terimi 57'dir.
İlk nn terim toplamı formülünden elde edilen S8=4S4S_8 = 4S_4 eşitliği çözüldüğünde ortak fark ile ilk terim arasında d=2a1d = 2a_1 bağıntısı bulunur. a1=3a_1 = 3 olduğundan d=6d = 6 olur. Buradan dizinin 10. terimi a10=a1+9d=3+9⋅6=57a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 6 = 57 şeklinde doğru olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülün�� yazmak.
Sn=n2⋅[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]
Dizideki toplam ifadelerini ortak fark (dd) ve ilk terim (a1a_1) cinsinden ifade etmek için.
2
Soruda verilen S8=4S4S_8 = 4S_4 eşitliğini formüle uygulamak.
4(2a1+7d)=8(2a1+3d)  ⟹  2a1+7d=4a1+6d  ⟹  d=2a14(2a_1 + 7d) = 8(2a_1 + 3d) \implies 2a_1 + 7d = 4a_1 + 6d \implies d = 2a_1
İlk terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
Verilen a1=3a_1 = 3 değerini kullanarak ortak farkı (dd) hesaplamak.
d=2⋅3=6d = 2 \cdot 3 = 6
Dizinin terimlerini bulabilmek amacıyla ortak farkı sayısal olarak belirlemek için.
4
Aritmetik dizinin genel terim formülünü kullanarak 10. terimi hesaplamak.
a10=a1+9d=3+9⋅6=57a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 6 = 57
Bizden istenen 10. terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ve genel terim formülü an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d bağıntılarıyla bulunur.
Soru 60Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2'dir.

p<q<rp < q < r pozitif tam sayıları için SpS_p, SqS_q ve SrS_r toplamları sırasıyla bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre, p+q+rp + q + r toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Koşulu sağlayan p,q,rp, q, r değerlerinin en küçük toplamı 24'tür.
Aritmetik dizinin genel toplam formülü uygulandığında Sn=n(n+2)S_n = n(n+2) elde edilir. Sp,Sq,SrS_p, S_q, S_r toplamlarının geometrik dizi oluşturması için [q(q+2)]2=p(p+2)r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2)r(r+2) olmalıdır. Bu Diophantine denkleminin p<q<rp < q < r koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı çözümü p=2,q=6,r=16p=2, q=6, r=16 olup, bu değerlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü oluşturun.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülünde verilenler yerine yazılırsa; Sn=n2[2⋅3+(n−1)2]=n2[2n+4]=n(n+2)S_n = \frac{n}{2}[2 \cdot 3 + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2n + 4] = n(n+2) elde edilir.
Soruda verilen dizinin toplam fonksiyonunu bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü uygulamamız gerekir.
2
Geometrik dizi koşulunu uygulayın.
SpS_p, SqS_q, SrS_r terimleri geometrik bir dizinin ardışık üç terimi olduğundan Sq2=Sp⋅SrS_q^2 = S_p \cdot S_r olmalıdır. Buradan [q(q+2)]2=p(p+2)⋅r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2) \cdot r(r+2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ortanca terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir.
3
Değişken dönüşümü yaparak denklemi basitleştirin.
p(p+2)=(p+1)2−1p(p+2) = (p+1)^2 - 1 özdeşliği yardımıyla x=p+1x = p+1, y=r+1y = r+1 ve z=q+1z = q+1 dönüşümleri yapıldığında denklem: (z2−1)2=(x2−1)(y2−1)(z^2 - 1)^2 = (x^2 - 1)(y^2 - 1) halini alır. Burada p<q<rp < q < r olduğundan 1<x<z<y1 < x < z < y olmalıdır.
İfadeyi tam karelere benzeterek Diophantine (tam sayı) denklem çözümü yapmayı kolaylaştırmak için bu dönüşüm uygulanır.
4
Denklemin en küçük pozitif tam sayı çözümlerini analiz edin.
x=3x = 3 (p=2p = 2) için: 8(y2−1)=(z2−1)28(y^2 - 1) = (z^2 - 1)^2 olur. 8=2⋅228 = 2 \cdot 2^2 olduğundan y2−1y^2 - 1 ifadesinin 2⋅k22 \cdot k^2 biçiminde olması gerekir. Buradan y2−2k2=1y^2 - 2k^2 = 1 Pell denklemi elde edilir. Bu denklemin y>xy > x koşulunu sağlayan en küçük tam sayı çözümü y=17,k=12y = 17, k = 12 değerleridir. Bu durumda z2−1=2⋅2⋅12=48  ⟹  z2=49  ⟹  z=7z^2 - 1 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 48 \implies z^2 = 49 \implies z = 7 bulunur. Buradan p=2,q=6,r=16p = 2, q = 6, r = 16 elde edilir. Bu indisler için toplam 2+6+16=242 + 6 + 16 = 24 olur.
En küçük pozitif tam sayı indislerini bulmak için Pell denklemi teorisi ve çarpan analizi uygulanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının geometrik dizi özellikleri ile birleştirilerek Diophantine denklem analiziyle çözülmesi.
ÖncekiSayfa 3 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin