Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 121Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=6a_1 = 6 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için

an+1−an=12n+1+2n−1a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a41a_{41} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dizinin 41. teriminin değeri 10'dur.
Bağıntıda paydanın eşleniğiyle genişletilmesi sonucunda an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2} elde edilir. n=1n=1'den 4040'a kadar taraf tarafa toplama yapıldığında aradaki terimler birbirini yok eder ve geriye a41−a1=9−12=4a_{41} - a_1 = \frac{9-1}{2} = 4 kalır. a1=6a_1 = 6 başlangıç koşulu eklendiğinde a41=10a_{41} = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısının sağ tarafındaki terimi paydadan kurtarmak için eşleniği olan (2n+1−2n−1)(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) ile çarpalım.
an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}
Eşlenik çarpımı yapıldığında payda (2n+1)−(2n−1)=2(2n+1) - (2n-1) = 2 olur ve sadeleştirme kolaylaşır.
2
nn yerine sırasıyla 11 ve 4040 arasındaki tam sayı değerlerini yazalım.
n=1  ⟹  a2−a1=3−12n=1 \implies a_2 - a_1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}
n=2  ⟹  a3−a2=5−32n=2 \implies a_3 - a_2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
…\dots
n=40  ⟹  a41−a40=81−792n=40 \implies a_{41} - a_{40} = \frac{\sqrt{81} - \sqrt{79}}{2}
Teleskobik toplam yöntemiyle aradaki terimleri birbirini götürecek şekilde düzenlemek hedeflenir.
3
Elde edilen 40 adet eşitliği taraf tarafa toplayalım.
a41−a1=81−12a_{41} - a_1 = \frac{\sqrt{81} - 1}{2}
Sol taraftaki a2,a3,…,a40a_2, a_3, \dots, a_{40} terimleri birbirini sadeleştirir; sağ tarafta ise ardışık köklü ifadelerden sadece ilk terimin negatif kökü ile son terimin pozitif kökü kalır.
4
Kök dışına çıkarma işlemini yapalım ve a1=6a_1 = 6 değerini yerine koyarak a41a_{41} terimini yalnız bırakalım.
a41−6=9−12=4  ⟹  a41=10a_{41} - 6 = \frac{9 - 1}{2} = 4 \implies a_{41} = 10
a1a_1 değeri bilindiğinden denklem çözülerek istenen terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Teleskobik toplam yöntemi ve köklü ifadelerde eşlenik çarpımı kullanarak indirgemeli dizileri çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 122Soru →
Artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, bu dizinin terimleri arasında
a2⋅a8=a52−36a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 36
ve
a10=r⋅a2a_{10} = r \cdot a_2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Dizinin ilk terimi 14'tür.
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisinden a2⋅a8=a52−9r2a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 9r^2 elde edilir. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında r=2r = 2 bulunur. İkinci denklemde rr yerine 2 yazılıp çözüldüğünde a1=14a_1 = 14 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
a2a_2 ve a8a_8 terimlerini ortadaki terim olan a5a_5 ve ortak fark rr cinsinden ifade edip çarpım eşitliğinden ortak farkı hesaplamak.
r=2r = 2
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark r>0r > 0 olmalıdır. 9r2=369r^2 = 36 denkleminden r=2r = 2 elde edilir.
2
İkinci denklemde r=2r = 2 yazarak terimleri a1a_1 cinsinden ifade edip denklemi çözmek.
a1=14a_1 = 14
a10=2a2  ⟹  a1+9r=2(a1+r)a_{10} = 2a_2 \implies a_1 + 9r = 2(a_1 + r) denkleminde r=2r = 2 yazıldığında a1=14a_1 = 14 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre dönüştürülmesi ve genel terim formülünün uygulanması.
Soru 123Soru →

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için an>0a_n > 0 olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a1+a2+a3=7a_1 + a_2 + a_3 = 7
a12+a22+a32=21a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 21

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap 5 değeridir. Çarpanlara ayırma ve denklem sisteminin çözümünden dizinin ilk terimi 1, ortak çarpanı ise 2 olarak bulunur. Buradan dizinin 11. terimi 2102^{10} olur ve bunun 4 tabanındaki logaritması 5'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ilk terim a1=aa_1 = a ve ortak çarpan rr cinsinden ifade etmek.
a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 ve a2(1+r2+r4)=21a^2(1 + r^2 + r^4) = 21 denklemleri elde edilir.
Terimleri ortak parametrelere bağlayarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.
2
1+r2+r41 + r^2 + r^4 ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırmak.
1+r2+r4=(1+r+r2)(1−r+r2)1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2) özdeşliği kullanılarak ikinci denklem a2(1+r+r2)(1−r+r2)=21a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2) = 21 şeklinde yazılır.
Birinci denklemde verilen toplam ifadesini ikinci denklem içinde bulup yerine yazabilmek.
3
Birinci denklemdeki a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 değerini ikinci denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
7⋅a(1−r+r2)=21  ⟹  a(1−r+r2)=37 \cdot a(1 - r + r^2) = 21 \implies a(1 - r + r^2) = 3 denklemi elde edilir.
Denklem sistemini daha sade ve çözülebilir bir doğrusal forma getirmek.
4
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ve çıkararak aa ve rr değerlerini belirlemek.
Taraf tarafa çıkarma ile 2ar=4  ⟹  ar=22ar = 4 \implies ar = 2 ve toplama ile a(1+r2)=5a(1+r^2) = 5 bulunur. Buradan r=2r=2 ve a1=1a_1=1 elde edilir.
Dizinin temel parametreleri olan ilk terim ve ortak çarpanı bularak diziyi tamamen tanımlamak.
5
Dizinin genel terim formülünü oluşturup a11a_{11} terimini hesaplamak.
an=2n−1a_n = 2^{n-1} genel teriminden a11=210a_{11} = 2^{10} olarak bulunur.
Logaritması alınacak terimin değerini üslü biçimde elde etmek.
6
İstenen log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesini hesaplamak.
log⁡4(210)=log⁡22(210)=5\log_4(2^{10}) = \log_{2^2}(2^{10}) = 5 sonucu bulunur.
Soruda sorulan nihai değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Geometrik dizi terimleri arasındaki ilişkiler ve çarpanlara ayırma yöntemlerinin uygulanması
Soru 124Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a5−a1=15a_5 - a_1 = 15
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin altıncı terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Dizinin altıncı terimi 32'dir.
Verilen denklem sisteminde terimler geometrik dizi tanımına uygun olarak ilk terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında, ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=1a_1 = 1 olarak elde edilir. Bu bilgilerle dizinin altıncı terimi a6=a1⋅r5=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 32 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a5=a1⋅r4a_5 = a_1 \cdot r^4, a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3, a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r ifadelerini elde ederiz.
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir.
2
Verilen denklemleri ortak çarpan parantezine alarak taraf tarafa oranlayalım.
Taraf tarafa oranlama sonucunda a1(r4−1)a1r(r2+1)=1510  ⟹  (r2−1)(r2+1)r(r2+1)=32\frac{a_1(r^4-1)}{a_1 r(r^2+1)} = \frac{15}{10} \implies \frac{(r^2-1)(r^2+1)}{r(r^2+1)} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan r2−1r=32\frac{r^2-1}{r} = \frac{3}{2} olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek a1a_1 terimini yok etmek ama��lanır.
3
Elde edilen r'ye bağlı denklemi çözelim.
2r2−3r−2=0  ⟹  (2r+1)(r−2)=02r^2 - 3r - 2 = 0 \implies (2r + 1)(r - 2) = 0 olur. Terimler pozitif olduğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır, dolayısıyla r=2r = 2 seçilir.
Geometrik dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılardan oluştuğu belirtilmiştir.
4
İlk terim olan a1a_1 değerini hesaplayalım.
a1⋅2⋅(22+1)=10  ⟹  10a1=10  ⟹  a1=1a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 10 \implies 10 a_1 = 10 \implies a_1 = 1 bulunur.
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10 denkleminde r=2r = 2 yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
5
Dizinin altıncı terimi olan a6a_6 değerini bulalım.
a6=a1⋅r5=1⋅25=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 1 \cdot 2^5 = 32 elde edilir.
Bulunan ilk terim ve ortak çarpan değerleri genel terim formülünde yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim özellikleri ve terimler arasındaki cebirsel ilişkiler.
Soru 125Soru →

Pozitif terimli ve artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için aşağıdaki eşitlikler verilmektedir:

a2+a6=102a_2 + a_6 = 102
a2⋅a6=576a_2 \cdot a_6 = 576

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanını ve ilk terimini bularak aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Dizinin ortak çarpanı ve ilk terimi olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 3 olarak bulunur.
Verilen toplam ve çarpım değerleri kullanılarak kurulan x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin çözümüyle a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 terimleri belirlenir. Bu değerler geometrik dizi formülünde yerine yazıldığında ortak çarpan 2 ve ilk terim 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ve çarpım eşitliklerini kullanarak a2a_2 ve a6a_6 terimlerini bulmak üzere ikinci dereceden bir denklem kuralım.
x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin kökleri a2a_2 ve a6a_6 değerlerini verir.
Toplamları SS ve çarpımları PP olan iki sayı x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 denkleminin kökleridir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım.
(x−96)(x−6)=0  ⟹  x1=96(x - 96)(x - 6) = 0 \implies x_1 = 96 ve x2=6x_2 = 6 elde edilir. Dizi artan olduğundan a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 olur.
Artan dizilerde indis büyüdükçe terimlerin değeri de artar, bu nedenle a2<a6a_2 < a_6 olmalıdır.
3
Geometrik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplayalım.
a6=a2⋅r4  ⟹  96=6⋅r4  ⟹  r4=16  ⟹  r=2a_6 = a_2 \cdot r^4 \implies 96 = 6 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır (r>0r > 0).
4
İlk terim olan a1a_1 değerini bulalım.
a2=a1⋅r  ⟹  6=a1⋅2  ⟹  a1=3a_2 = a_1 \cdot r \implies 6 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide her terim, bir önceki terimin ortak çarpanla çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} olup, dizinin herhangi iki terimi arasındaki ilişki an=ak⋅rn−ka_n = a_k \cdot r^{n-k} formülü ile ifade edilir.
Soru 126Soru →

Azalan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a10+a16=45a_4 + a_{10} + a_{16} = 45
a6⋅a14−a8⋅a12=−108a_6 \cdot a_{14} - a_8 \cdot a_{12} = -108

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Dizinin ilk terimi 42'dir.
Verilen birinci eşitlikten indislerin aritmetik ortalaması kullanılarak onuncu terim 15 olarak hesaplanır. İkinci eşitlikte terimler onuncu terim cinsinden yazıldığında kareler farkı sadeleşmesiyle ortak farkın karesi 9 elde edilir. Dizinin azalan olması nedeniyle ortak fark -3 seçilir. Genel terim formülüyle birinci terim 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde indis simetrisi özelliğini kullanarak onuncu terimi bulunuz.
a4+a16=2a10a_4 + a_{16} = 2a_{10} olduğundan, 2a10+a10=3a10=45⇒a10=152a_{10} + a_{10} = 3a_{10} = 45 \Rightarrow a_{10} = 15 elde edilir.
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.
2
İkinci denklemdeki terimleri onuncu terim ve ortak fark olan rr cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.
a6=a10−4ra_6 = a_{10} - 4r, a14=a10+4ra_{14} = a_{10} + 4r, a8=a10−2ra_8 = a_{10} - 2r ve a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r olarak yazılır. Buradan,
(a10−4r)(a10+4r)−(a10−2r)(a10+2r)=−108(a_{10} - 4r)(a_{10} + 4r) - (a_{10} - 2r)(a_{10} + 2r) = -108
(a102−16r2)−(a102−4r2)=−108(a_{10}^2 - 16r^2) - (a_{10}^2 - 4r^2) = -108
−12r2=−108⇒r2=9-12r^2 = -108 \Rightarrow r^2 = 9 bulunur.
Terimleri merkezi bir terime göre simetrik yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Dizinin azalan olma koşulunu dikkate alarak ortak fark değerini belirleyiniz.
Dizi azalan olduğundan ortak fark negatif olmalıdır. Dolayısıyla r=−3r = -3 olur.
Azalan aritmetik dizilerde ortak fark sıfırdan küçüktür.
4
Bulunan onuncu terim ve ortak fark değerlerini genel terim formülünde yerine yazarak birinci terimi hesaplayınız.
a10=a1+9r⇒15=a1+9(−3)⇒15=a1−27⇒a1=42a_{10} = a_1 + 9r \Rightarrow 15 = a_1 + 9(-3) \Rightarrow 15 = a_1 - 27 \Rightarrow a_1 = 42 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terimi an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı
Soru 127Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a5−a1=30a_5 - a_1 = 30
a4+a2=20a_4 + a_2 = 20
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Dizinin 6. terimi 64 olarak bulunur.
Verilen geometrik dizi denklemleri ortak paranteze alınıp birbirine oranlandığında ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=2a_1 = 2 olarak elde edilir. Bu değerlerle dizinin 6. terimi a6=a1r5=2⋅32=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 32 = 64 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazma
a5=a1r4a_5 = a_1 r^4, a4=a1r3a_4 = a_1 r^3 ve a2=a1ra_2 = a_1 r
Tüm terimleri aynı değişkenler türünden ifade ederek ortak çarpanı ve ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Terimleri denklemlerde yerine koyup ortak paranteze alarak oranlama
a1(r4−1)=30a_1(r^4 - 1) = 30 ve a1r(r2+1)=20a_1 r(r^2 + 1) = 20 ifadeleri oranlandığında r2−1r=32\frac{r^2 - 1}{r} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2r2−3r−2=02r^2 - 3r - 2 = 0 denkleminin pozitif kökü r=2r = 2 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek tek değişkenli bir denkleme indirgemek ve pozitif terimli dizi koşuluna uygun olan pozitif rr değerini belirlemek için bu işlem gerçekleştirilir.
3
Ortak çarpan r=2r = 2 değerini kullanarak ilk terim a1a_1'i bulma
a1⋅2⋅(22+1)=20  ⟹  10a1=20  ⟹  a1=2a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 20 \implies 10a_1 = 20 \implies a_1 = 2
Elde edilen ortak çarpan değerini ikinci denklemde yerine yazarak dizinin başlangıç terimini hesaplarız.
4
Geometrik dizinin genel terim formülü yardımıyla 6. terimi hesaplama
a6=a1r5=2⋅25=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 2^5 = 64
Genel terim formülü olan an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} bağıntısında n=6n = 6 yazılarak istenen terimin değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim formülü ve terimler arası cebirsel ilişkiler
Soru 128Soru →
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için
an=cos⁡(nπ)⋅(2x−y)+x+3ya_n = \cos(n\pi) \cdot (2x - y) + x + 3y
bn=sin⁡((2n+1)π2)⋅(x+2)+6b_n = \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) \cdot (x + 2) + 6
genel terimleriyle verilmektedir.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit iki dizi olduğuna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizilerin eşitlik koşulu ve trigonometrik sadeleştirmeler kullanılarak elde edilen x = 3 ve y = 1 değerlerinin toplamı olan 4 sayısı doğru cevaptır.
Doğru cevabın 4 olmasının nedeni, her iki dizinin genel terimlerindeki (−1)n(-1)^n katsayılarının eşitliğinden x−y=2x - y = 2 ve sabit terimlerin eşitliğinden x+3y=6x + 3y = 6 denklemlerinin elde edilmesidir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde x=3x = 3 ve y=1y = 1 bulunur, toplamları ise 4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeleri sadeleştirin.
cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n ve sin⁡((2n+1)π2)=cos⁡(nπ)=(−1)n\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = \cos(n\pi) = (-1)^n eşitlikleri elde edilir.
Her iki dizideki nn'e bağlı periyodik ifadeleri ortak bir tabanda yazmak için.
2
Dizilerin genel terimlerini (−1)n(-1)^n türünden yeniden yazın.
an=(−1)n(2x−y)+(x+3y)a_n = (-1)^n(2x - y) + (x + 3y) ve bn=(−1)n(x+2)+6b_n = (-1)^n(x + 2) + 6 olur.
Dizilerin terimlerini karşılaştırılabilir hale getirmek için.
3
Eşit dizilerin tanımını kullanarak katsayıları eşitleyin.
2x−y=x+2  ⟹  x−y=22x - y = x + 2 \implies x - y = 2 ve x+3y=6x + 3y = 6 denklem sistemi elde edilir.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için an=bna_n = b_n eşitliğinin sağlanması, (−1)n(-1)^n teriminin katsayılarının ve sabit terimlerin karşılıklı eşit olmasını gerektirir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen toplamı bulun.
y=1y = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Buradan x+y=3+1=4x + y = 3 + 1 = 4 elde edilir.
Bilinmeyen xx ve yy parametrelerinin değerlerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşit olması için her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 129Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri
an=log⁡2(2n2+xn+y)−log⁡2(n2+3n+2)a_n = \log_2(2n^2 + xn + y) - \log_2(n^2 + 3n + 2)
bn=zb_n = z
olarak tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.
Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit dizilerin tanımını kullanarak a_n ve b_n dizileri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Her n pozitif tam sayısı için a_n = b_n = z olmalıdır. Bu durum a_n dizisinin de sabit bir dizi olduğunu gösterir.
Eşit dizilerin tüm karşılıklı terimleri birbirine eşittir ve b_n dizisi sabit bir z değerine sahiptir.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini uygulayarak a_n ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
a_n = log_2((2n^2 + xn + y) / (n^2 + 3n + 2)) elde edilir.
Logaritma tabanları aynı olduğundan log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N) kuralı uygulanabilir.
3
Logaritmanın içerisindeki rasyonel ifadenin sabit olması koşulunu uygulamak ve katsayıları oranlamak.
2/1 = x/3 = y/2 oranından x = 6 ve y = 4 değerleri elde edilir. Rasyonel ifadenin sabit değeri C = 2 olur.
Dereceleri aynı olan iki polinomun bölümünün sabit bir fonksiyon belirtmesi için katsayılarının orantılı olması gerekir.
4
Bulunan sabit değeri logaritma içine yerleştirerek dizinin sabit terimini (z) bulmak.
z = log_2(2) = 1 elde edilir.
a_n dizisinin sabit değeri b_n dizisinin sabit terimi olan z'ye eşittir.
5
Bilinmeyen değerleri toplayarak nihai sonucu elde etmek.
x + y + z = 6 + 4 + 1 = 11 bulunur.
Soruda bizden x, y ve z değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sabit ve Eşit Dizilerde katsayılar oranı ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 130Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8−S6=4⋅(S4−S2)S_8 - S_6 = 4 \cdot (S_4 - S_2)

ve bu dizinin ilk iki teriminin toplamı 33 olduğuna göre, ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2121

Cevap

İlk 6 terim toplamı olan 21
Dizinin terimlerinin toplamı formülü kullanılarak S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 eşitlikleri yazılır. Buradan ortak çarpan r=2r = \sqrt{2} olarak bulunur. a1+a2=a1(1+r)=3a_1 + a_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinden a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) elde edilir. Son olarak S6=a1r6−1r−1S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} formülünde değerler yerine yazıldığında toplam 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
S8−S6S_8 - S_6 ve S4−S2S_4 - S_2 farklarını dizinin terimleri cinsinden yazınız.
S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 ifadeleri elde edilir.
İlk nn terim toplamının tanımı gereği, ardışık toplamlar arasındaki fark o aralıktaki terimlerin toplamını verir.
2
Elde edilen terimleri ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulunuz.
a1r6(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^6(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğinden r4=4r^4 = 4 ve pozitif terimli olduğu için r=2r = \sqrt{2} elde edilir.
Dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan a1(1+r)≠0a_1(1+r) \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
3
a1+a2=3a_1 + a_2 = 3 bilgisini kullanarak a1a_1 değerini bulunuz.
a1(1+2)=3  ⟹  a1=3(2−1)a_1(1+\sqrt{2}) = 3 \implies a_1 = 3(\sqrt{2}-1) bulunur.
İlk terimi bulmak, ilk 6 terim toplamını hesaplamak için gereklidir.
4
Geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamını (S6S_6) hesaplayınız.
S6=a1r6−1r−1=3(2−1)(2)6−12−1=3⋅(8−1)=21S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} = 3(\sqrt{2}-1) \frac{(\sqrt{2})^6 - 1}{\sqrt{2}-1} = 3 \cdot (8 - 1) = 21 bulunur.
r=2r = \sqrt{2} ve a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) değerleri geometrik dizi ilk nn terim toplam formülünde yerine koyulur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülü ve terimler arası geçişlerin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 131Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6=21⋅S2S_6 = 21 \cdot S_2

ve bu dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olduğuna göre, dizinin ilk 55 teriminin toplamı (S5S_5) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 155

Cevap

Dizinin ilk 5 teriminin toplamı 155'tir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S6/S2S_6 / S_2 oranı sadeleştirilmiş, elde edilen r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0 denkleminden dizinin pozitif terimli olması şartıyla ortak çarpan r=2r = 2 olarak bulunmuştur. Daha sonra a1=5a_1 = 5 ve r=2r = 2 değerleri S5S_5 formülünde yerine yazılarak doğru sonuç olan 155 elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
S6S_6 ve S2S_2 toplamlarını geometrik dizi toplam formülüyle oranlama
S6S2=r4+r2+1\frac{S_6}{S_2} = r^4 + r^2 + 1
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1} formülünü uygulayarak ortak terimleri sadeleştirmek.
2
Verilen oranı kullanarak r2r^2 cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde etme
r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0
S6S2=21\frac{S_6}{S_2} = 21 eşitliğini denklemde yerine koymak.
3
Denklemi çözerek ortak çarpan rr'yi bulma
r=2r = 2
(r2−4)(r2+5)=0(r^2-4)(r^2+5)=0 çarpanlara ayırmasından r2=4r^2=4 ve pozitif terimli dizi şartından r=2r=2 elde edilir.
4
İlk terim a1=5a_1=5 ve r=2r=2 değerleriyle S5S_5 toplamını hesaplama
S5=155S_5 = 155
S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5-1}{r-1} formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve sadeleştirme yöntemleri
Soru 132Soru →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=x⋅n−122n−ya_n = \frac{x \cdot n - 12}{2n - y}
biçiminde tanımlanıyor.

(an)(a_n) dizisi bir sabit dizi olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -24

Cevap

Farklı değerlerin toplamı -24'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dizinin sabit dizi olma şartı olan katsayılar oranının eşitliği (x⋅y=24x \cdot y = 24) ile dizinin tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması şartının (paydayı sıfır yapan n=y/2n = y/2 değerinin pozitif tam sayı olmaması, yani yy'nin pozitif çift tam sayı olmaması) birlikte uygulanmasıyla elde edilen farklı x+yx+y değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi koşulunu uygulamak için pay ve paydadaki dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranlanır.
x2=−12−y⇒x⋅y=24\frac{x}{2} = \frac{-12}{-y} \Rightarrow x \cdot y = 24 elde edilir.
Dizinin genel teriminin sadeleşerek nn'den bağımsız bir sabit değer alabilmesi için.
2
Dizinin tüm pozitif tam sayılarda (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) tanımlı olabilmesi için paydayı sıfır yapan nn değerinin pozitif bir tam sayı olmaması gerektiği belirlenir.
2n−y=0⇒n=y22n - y = 0 \Rightarrow n = \frac{y}{2} olur. Buradan yy sayısının pozitif bir çift tam sayı olamayacağ�� sonucuna varılır.
Tanım kümesinde tanımsız eleman kalmaması ve ifadenin bir dizi belirtebilmesi için.
3
x.y = 24 denklemini sağlayan tam sayı bölen çiftlerinden yy'nin pozitif çift tam sayı olmadığı durumlar listelenir ve her durum için x+yx+y değerleri hesaplanır.
yy değerleri: 1,3,−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−241, 3, -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24 olabilir. Bu değerlere karşılık gelen x+yx+y toplamları sırasıyla: 25,11,−25,−14,−11,−10,−10,−11,−14,−2525, 11, -25, -14, -11, -10, -10, -11, -14, -25 olarak bulunur.
Koşulları sağlayan tüm olası tam sayı çiftlerini tek tek değerlendirmek için.
4
Elde edilen farklı x+yx+y değerleri kümesi yazılır ve elemanları toplanır.
Farklı x+yx+y değerleri kümesi {25,11,−25,−14,−11,−10}\{25, 11, -25, -14, -11, -10\} olup, bu elemanların toplamı 25+11+(−25)+(−14)+(−11)+(−10)=−2425 + 11 + (-25) + (-14) + (-11) + (-10) = -24 elde edilir.
Soru kökünde istenen farklı toplam değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve tanım kümesi koşulu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 133Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için
a4⋅a9a7=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = 12
a4+a6=15a_4 + a_6 = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin beşinci terimi (a5a_5) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin beşinci terimi 6'dır.
Birinci eşitlik sadeleştirildiğinde dizinin altıncı terimi olan 12 elde edilir. Bu değer ikinci eşitlikte yerine yazıldığında dördüncü terim 3 olarak bulunur. Geometrik dizinin özelliği gereği, beşinci terimin karesi dördüncü terim ile altıncı terimin çarpımına eşittir. Buradan beşinci terim 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak ilk eşitlikteki terimler düzenlenir.
a4⋅a9a7=(a1r3)⋅(a1r8)a1r6=a1r5=a6=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = \frac{(a_1 r^3) \cdot (a_1 r^8)}{a_1 r^6} = a_1 r^5 = a_6 = 12 elde edilir.
Birinci eşitliği daha sade bir terim cinsinden ifade etmek amacıyla sadeleştirme yapılmıştır.
2
Bulunan a6=12a_6 = 12 değeri, ikinci eşitlik olan a4+a6=15a_4 + a_6 = 15 ifadesinde yerine yazılır.
a4+12=15⇒a4=3a_4 + 12 = 15 \Rightarrow a_4 = 3 bulunur.
Dizinin dördüncü terimini (a4a_4) elde etmek için.
3
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki geometrik ortalama özelliği (a52=a4⋅a6a_5^2 = a_4 \cdot a_6) kullanılır.
a52=3⋅12=36⇒a5=6a_5^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow a_5 = 6 (dizi pozitif terimli olduğundan a5>0a_5 > 0 olmalıdır) bulunur.
Beşinci terimi (a5a_5) hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} veya ardışık terimler için an2=an−1⋅an+1a_{n}^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}).
Soru 134Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S5−S3=12⋅a2S_5 - S_3 = 12 \cdot a_2
S4=45S_4 = 45

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

İlk terim 33 olarak bulunur.
İlk 5 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5a_4 + a_5 kalır. Bu terimler ve a2a_2 ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazıldığında r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denklemi elde edilir. Pozitif terimli dizi koşulundan r=2r = 2 bulunur. S4=a124−12−1=15a1=45S_4 = a_1 \frac{2^4-1}{2-1} = 15 a_1 = 45 eşitliğinden dizinin ilk terimi 33 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
S5−S3S_5 - S_3 farkını dizinin terimleri cinsinden ifade etmek.
S5−S3=a4+a5S_5 - S_3 = a_4 + a_5 elde edilir.
SnS_n ilk nn terimin toplamı olduğundan, ilk 5 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4. ve 5. terimler kalır.
2
a4a_4, a5a_5 ve a2a_2 terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazıp denklemde yerine koymak.
a1⋅r3+a1⋅r4=12⋅a1⋅r⇒a1⋅r3(1+r)=12⋅a1⋅ra_1 \cdot r^3 + a_1 \cdot r^4 = 12 \cdot a_1 \cdot r \Rightarrow a_1 \cdot r^3 (1 + r) = 12 \cdot a_1 \cdot r elde edilir.
Geometrik dizide her terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklinde ifade edilir.
3
Elde edilen denklemden ortak çarpanı (rr) çözmek.
r2(1+r)=12⇒r=2r^2 (1 + r) = 12 \Rightarrow r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılar olduğundan a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olmalıdır. r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denkleminin tek pozitif gerçel kökü r=2r = 2 sayısıdır.
4
S4=45S_4 = 45 bilgisini ve r=2r = 2 değerini kullanarak geometrik dizinin ilk terimini (a1a_1) bulmak.
S4=a1⋅r4−1r−1⇒45=a1⋅24−12−1⇒45=15⋅a1⇒a1=3S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \Rightarrow 45 = a_1 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \Rightarrow 45 = 15 \cdot a_1 \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve ardışık terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
Soru 135Soru →

kk ve pp birer tam sayı olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi

an=k⋅n+242n−pa_n = \frac{k \cdot n + 24}{2n - p}

olan (an)(a_n) ifadesi bir sabit dizi belirtmektedir.

Buna göre, pp sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Dizinin genel teriminin sabit olması için pay ve paydanın sadeleşerek sabit bir sayı vermesi gerekir, bu da k⋅p=−48k \cdot p = -48 eşitliğini gerektirir. Dizi tanımı gereği her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için tanımlı olmalıdır. Paydayı sıfır yapan p=2np = 2n değerleri pozitif çift tam sayılar olduğundan, 48'in pozitif çift bölenleri olan 8 değer elenir. Kalan 12 adet bölen tanımlılık şartına uyar.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için pay ve paydadaki değişkenlerin katsayıları oranını sabit terimlerin oranına eşitleriz.
k2=24−p  ⟹  k⋅p=−48\frac{k}{2} = \frac{24}{-p} \implies k \cdot p = -48 eşitliği elde edilir.
Bir dizinin terimlerinin indis nn'ye bağlı olmaksızın sabit kalması için pay ile paydanın sadeleşebilir ve sabit bir orana eşit olması gerekir.
2
kk ve pp tam sayı olduğundan, pp parametresinin alabileceği değerler 48 sayısının tam sayı bölenleri olmalıdır. 48'in tüm tam sayı bölenleri bulunur.
48'in pozitif bölenleri: {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (10 adet).
48'in negatif bölenleri: {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\} (10 adet).
Toplamda 20 farklı tam sayı böleni vardır.
Çarpımları −48-48 olan iki tam sayının çarpanları, 48 sayısının bölenleri arasından seçilmelidir.
3
Dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar (Z+\mathbb{Z}^+) olduğundan, genel terimin paydası hiçbir n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sıfır olmamalıdır. Bu tanımlılık koşuluna göre pp'nin sınırları belirlenir.
2n−p≠0  ⟹  p≠2n2n - p \neq 0 \implies p \neq 2n (burada n∈{1,2,3,… }n \in \{1, 2, 3, \dots\}).
Bu koşul, pp parametresinin pozitif çift tam sayılar olamayacağını gösterir.
Eğer pp bir pozitif çift tam sayı olursa (örneğin p=2mp=2m), n=mn=m pozitif tam sayısı için payda sıfır olur ve dizinin mm. terimi tanımsız hale gelir.
4
Bulunan 20 tam sayı böleninden pozitif çift olanlar elenerek kalanların sayısı hesaplanır.
Elenen değerler: {2,4,6,8,12,16,24,48}\{2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (8 adet).
Kalan değerler: {1,3}\{1, 3\} ve tüm negatif bölenler olan {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\}.
Toplam uygun değer sayısı: 2+10=122 + 10 = 12 adettir.
Tanımlılık koşulunu sağlayan ve çarpımları −48-48 olan tüm olası pp tam sayı değerleri bunlardır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin katsayılar oranı ve dizilerin pozitif tam sayılarda tanımlı olma zorunluluğu (tanımsızlık durumları).
Soru 136Soru →

Ortak çarpanı 11’den farklı olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Her n≥1n \ge 1 için
Sn+2−4Sn+1+3Sn=0S_{n+2} - 4S_{n+1} + 3S_n = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin üçüncü terimi a3=36a_3 = 36 olduğuna göre, dizinin ilk 44 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri 160'tır.
Verilen yinelemeli bağıntıda geometrik dizinin ilk nn terim toplam formülü yerine yazıldığında, ortak çarpan rr değerini belirleyen r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. r≠1r \neq 1 olduğu için r=3r = 3 bulunur. Ardından a3=36a_3 = 36 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır. Son adımda S4S_4 formülüyle dizinin ilk 44 teriminin toplamı 160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplam formülünü tanımlama
Sn=C(rn−1)S_n = C(r^n - 1) (burada C=a1r−1C = \frac{a_1}{r-1})
Verilen denklemde terim toplamlarını ortak çarpan cinsinden ifade etmek için
2
Formülü verilen yinelemeli bağıntıda yerine yazarak sadeleştirme yapma
C⋅rn(r2−4r+3)=0C \cdot r^n (r^2 - 4r + 3) = 0
Ortak çarpan rr değerini belirleyecek olan denklemi elde etmek için
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak çarpanı bulma
r=3r = 3
r≠1r \neq 1 ve r≠0r \neq 0 koşullarını değerlendirerek doğru ortak çarpanı seçmek için
4
Verilen a3a_3 terimini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulma
a1=4a_1 = 4
Dizinin terimlerinin değerini belirlemek için
5
İlk 4 terim toplamı S4S_4'ü hesaplama
160
İstenen toplam değerine ulaşmak için

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} bağıntısı ve bu bağıntının cebirsel uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 137Soru →
(an)(a_n) terimleri gerçel sayı olan sabit bir dizi olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=m⋅n2−(k−3)n+15n2−8n+pa_n = \frac{m \cdot n^2 - (k-3)n + 15}{n^2 - 8n + p}
biçiminde tanımlanıyor.

m,km, k ve pp birer tam sayı olduğuna göre, mm'nin alabileceği en büyük değer için k+pk + p toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olup, bu değer için k = 123 ve p = 1'dir. Buradan k + p toplamı 124 olarak bulunur.
Sabit dizi koşulu gereğince değişkenlerin katsayıları oranlanarak m, k, p arasındaki ilişkiler bulunur. Ayrıca dizinin her n pozitif tam sayısı için tanımlı olabilmesi amacıyla paydanın köklerinin pozitif tam sayı olmaması gerektiği tespit edilir. Bu koşulları sağlayan en büyük m tam sayısı 15 olarak belirlenir ve bu değer için k = 123, p = 1 bulunarak toplam 124 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki terimlerin katsayılarını oranlama.
m1=−(k−3)−8=15p=C\frac{m}{1} = \frac{-(k-3)}{-8} = \frac{15}{p} = C eşitliği elde edilir. Buradan m=Cm = C, k=8m+3k = 8m + 3 ve p=15mp = \frac{15}{m} bağıntıları bulunur.
Bir rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranının sabit bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.
2
Tam sayı koşullarını inceleyerek m'nin alabileceği olası değerleri listeleme.
mm ve pp tam sayı olduğundan mm, 1515'in bir tam sayı böleni olmalıdır. O halde m∈{−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}m \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\} olabilir.
p=15mp = \frac{15}{m} ifadesinde pp ve mm tam sayı olduğundan, mm değeri 1515'i tam bölmelidir.
3
Tanım kümesi koşulunu inceleyerek paydayı sıfır yapan pozitif tam sayıları belirleme.
Payda D(n)=n2−8n+pD(n) = n^2 - 8n + p ifadesidir. D(n)=0D(n) = 0 denkleminin kökleri pozitif tam sayılar ise, kökler toplamı n1+n2=8n_1 + n_2 = 8 ve kökler çarpımı n1n2=pn_1 n_2 = p olur. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı kök çiftleri ve bunlara karşılık gelen pp değerleri şunlardır:
- n∈{1,7}  ⟹  p=7n \in \{1, 7\} \implies p = 7
- n∈{2,6}  ⟹  p=12n \in \{2, 6\} \implies p = 12
- n∈{3,5}  ⟹  p=15n \in \{3, 5\} \implies p = 15
- n∈{4,4}  ⟹  p=16n \in \{4, 4\} \implies p = 16
Dolayısıyla p∈{7,12,15,16}p \in \{7, 12, 15, 16\} durumlarında dizi bazı n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımsız olur.
Dizinin terimlerinin birer gerçel sayı belirtebilmesi için paydanın hiçbir pozitif tam sayı nn değeri için sıfır olmaması gerekir.
4
Bulunan olası mm değerlerini kontrol etme ve en büyük geçerli mm'yi belirleme.
mm değerlerinin en büyüğü olan m=15m = 15 için p=1p = 1 olur. 1∉{7,12,15,16}1 \notin \{7, 12, 15, 16\} olduğundan m=15m = 15 geçerlidir. (Eğer en büyük bölen olarak m=1m = 1 seçilseydi p=15p = 15 olurdu ve bu durum diziyi n=3n=3 ile n=5n=5 değerlerinde tanımsız yapardı).
mm'nin alabileceği en büyük değeri bulmak için bölenler büyükten küçüğe doğru test edilir.
5
Seçilen m=15m = 15 değeri için kk ve pp değerlerini bulup toplamı hesaplama.
m=15m = 15 için:
p=1515=1p = \frac{15}{15} = 1
k=8(15)+3=123k = 8(15) + 3 = 123
Buradan k+p=123+1=124k + p = 123 + 1 = 124 elde edilir.
Soruda istenen k+pk + p toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve rasyonel dizilerde paydanın pozitif tam sayılar kümesinde sıfırdan farklı olması (tanımlılık) koşulu.
Soru 138Soru →
Ortak ��arpanı 11'den büyük ve tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36
a5+a9=15a_5 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 1313. terimi olan a13a_{13} kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Dizinin 13. terimi olan a13a_{13} değeri 48'dir.
Verilen a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36 eşitliğinden a72=36  ⟹  a7=6a_7^2 = 36 \implies a_7 = 6 bulunur. Buradan a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 ve a5+a9=15a_5 + a_9 = 15 denklemleri çözüldüğünde, ortak çarpanı 1'den büyük olan bu artan dizi için a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12 olarak bulunur. a9=a5⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olur. Dizinin 13. terimi a13=a9⋅r4=12⋅4=48a_{13} = a_9 \cdot r^4 = 12 \cdot 4 = 48 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisini kullanarak a7a_7 terimini bulun.
a7=6a_7 = 6
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir: a4⋅a10=a72=36a_4 \cdot a_{10} = a_7^2 = 36. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=6a_7 = 6 olur.
2
a5⋅a9a_5 \cdot a_9 çarpımını a7a_7 cinsinden yazın.
a5⋅a9=36a_5 \cdot a_9 = 36
5+9=7+75 + 9 = 7 + 7 olduğundan geometrik dizinin özelliğinden a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 elde edilir.
3
Verilen toplam ve çarpım bilgilerini kullanarak a5a_5 ve a9a_9 terimlerini belirleyin.
a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12
Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar 3 ve 12'dir. Ortak çarpan 11'den büyük olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim olan a5=3a_5 = 3 ve büyük indisli terim olan a9=12a_9 = 12 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanının dördüncü kuvvetini (r4r^4) bulun.
r4=4r^4 = 4
a9=a5⋅r4  ⟹  12=3⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies 12 = 3 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olarak bulunur.
5
a13a_{13} terimini ortak çarpan yardımıyla hesaplayın.
a13=48a_{13} = 48
a13=a9⋅r4a_{13} = a_9 \cdot r^4 bağıntısından a13=12⋅4=48a_{13} = 12 \cdot 4 = 48 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası ilişkiler
Soru 139Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayı olmak üzere,
S8S4=9781\frac{S_8}{S_4} = \frac{97}{81}
ve
S4=65S_4 = 65
olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 12 olarak bulunur.
Dizinin terimlerinin pozitif olmasından yola çıkılarak ilk nn terim toplamı oranından ortak çarpan r=23r = \frac{2}{3} olarak bulunur. Ardından S4=65S_4 = 65 eşitliği kullanılarak dizinin ilk terimi a1=27a_1 = 27 olarak elde edilir. Bu iki değer geometrik dizi terim formülünde yerine yazıldığında üçüncü terim 12 değerini alır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r} bağıntısını kullanarak S8S_8 ve S4S_4 oranını ortak çarpan rr cinsinden ifade ediniz.
S8S4=a1⋅1−r81−ra1⋅1−r41−r=1−r81−r4=1+r4\frac{S_8}{S_4} = \frac{a_1 \cdot \frac{1-r^8}{1-r}}{a_1 \cdot \frac{1-r^4}{1-r}} = \frac{1-r^8}{1-r^4} = 1 + r^4 elde edilir.
Bu oranlama işlemi sayesinde dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpan paydası (1−r1-r) sadeleşerek doğrudan ortak çarpanı veren bağıntıya ulaşmamızı sağlar.
2
Elde edilen 1+r41 + r^4 ifadesini soruda verilen orana eşitleyerek ortak çarpan rr değerini bulunuz.
1+r4=9781  ⟹  r4=16811 + r^4 = \frac{97}{81} \implies r^4 = \frac{16}{81} olur. Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır. Buradan r=16814=23r = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3} elde edilir.
Dizinin genel terimini ve diğer terimlerini bulabilmek için ortak çarpanın belirlenmesi şarttır.
3
Bulunan r=23r = \frac{2}{3} değerini S4S_4 toplam formülünde yerine yazarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayınız.
S4=a1⋅1−(2/3)41−2/3=a1⋅1−168113=a1⋅6581⋅3=a1⋅6527S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - (2/3)^4}{1 - 2/3} = a_1 \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}} = a_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = a_1 \cdot \frac{65}{27} elde edilir. S4=65S_4 = 65 olduğu bilindiğine göre, a1⋅6527=65  ⟹  a1=27a_1 \cdot \frac{65}{27} = 65 \implies a_1 = 27 bulunur.
Dizinin herhangi bir spesifik terimine ulaşabilmek için dizinin başlangıç terimi (a1a_1) hesaplanmalıdır.
4
İlk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) değerlerini geometrik dizinin genel terim formülünde yerine koyarak üçüncü terimi (a3a_3) hesaplayınız.
a3=a1⋅r2=27⋅(23)2=27⋅49=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 27 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12 elde edilir.
Soruda istenen üçüncü terim değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 140Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için terimleri tanımlı olan (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin genel terimleri
an=n2+an−12n−ba_n = \frac{n^2 + an - 12}{n - b}
bn=n+cb_n = n + c
olarak verilmiştir.

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri eşit diziler (an=bna_n = b_n) olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -56

Cevap

-56 olan seçenek doğrudur.
Dizilerin eşitliği kuralına göre paydanın sıfır olamayacağı ve n≥1n \ge 1 pozitif tam sayı değerleri için tanımlı kalması gerektiği şartı altında bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan bb negatif tam sayılarının tüm durumları incelenmiş ve toplam −56-56 olarak doğru bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin eşitliği tanımını kullanarak genel terimleri eşitleyin.
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2+an−12n−b=n+c\frac{n^2 + an - 12}{n - b} = n + c eşitliği sağlanmalıdır.
Eşit dizilerin her bir terimi birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitlikte içler dışlar çarpımı yaparak polinom eşitliği elde edin.
n2+an−12=(n−b)(n+c)=n2+(c−b)n−bcn^2 + an - 12 = (n - b)(n + c) = n^2 + (c - b)n - bc elde edilir. Katsayıların eşitliğinden a=c−ba = c - b ve bc=12bc = 12 bulunur.
İki polinomun eşit olabilmesi için aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
3
Dizinin tanım kümesi şartını uygulayın.
ana_n dizisinin her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olmas�� gerektiğinden payda sıfır olamaz. Yani n−b≠0  ⟹  b∉Z+n - b \neq 0 \implies b \notin \mathbb{Z}^+ olmalıdır. bb tam sayı olduğundan bb negatif tam sayı olmalıdır (b<0b < 0).
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır ve bu kümede genel terim tanımsız olamaz.
4
bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan negatif tam sayı çiftlerini bulun ve a+b+ca + b + c değerlerini hesaplayın.
Negatif çarpan çiftleri şunlardır:
- b=−1,c=−12  ⟹  a=−12−(−1)=−11  ⟹  a+b+c=−24b = -1, c = -12 \implies a = -12 - (-1) = -11 \implies a+b+c = -24
- b=−2,c=−6  ⟹  a=−6−(−2)=−4  ⟹  a+b+c=−12b = -2, c = -6 \implies a = -6 - (-2) = -4 \implies a+b+c = -12
- b=−3,c=−4  ⟹  a=−4−(−3)=−1  ⟹  a+b+c=−8b = -3, c = -4 \implies a = -4 - (-3) = -1 \implies a+b+c = -8
- b=−4,c=−3  ⟹  a=−3−(−4)=1  ⟹  a+b+c=−6b = -4, c = -3 \implies a = -3 - (-4) = 1 \implies a+b+c = -6
- b=−6,c=−2  ⟹  a=−2−(−6)=4  ⟹  a+b+c=−4b = -6, c = -2 \implies a = -2 - (-6) = 4 \implies a+b+c = -4
- b=−12,c=−1  ⟹  a=−1−(−12)=11  ⟹  a+b+c=−2b = -12, c = -1 \implies a = -1 - (-12) = 11 \implies a+b+c = -2
bb negatif tam sayısı için bc=12bc=12 eşitliğini sağlayan tüm durumları belirlemek gerekir.
5
Elde edilen farklı a+b+ca + b + c değerlerini toplayın.
(−24)+(−12)+(−8)+(−6)+(−4)+(−2)=−56(-24) + (-12) + (-8) + (-6) + (-4) + (-2) = -56 bulunur.
Soruda istenen tüm farklı durumların toplamını bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşitliği için genel terimlerinin tanım kümesi olan pozitif tam sayılarda eşit ve tanımlı olması gerekir.
ÖncekiSayfa 7 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin