Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 161Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−(m−1)x+4y = x^2 - (m - 1)x + 4 parabolü y=x+3y = x + 3 doğrusuna teğettir. Buna göre, doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı −1-1 olur.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlendiğinde m=2m = 2 veya m=−2m = -2 elde edilir. Bu mm değerlerine karşılık gelen çift katlı kökler (teğet noktalarının apsisleri) sırasıyla 11 ve −1-1 olur. Bu değerlerin çarpımı ise −1-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−(m−1)x+4=x+3  ⟹  x2−mx+1=0x^2 - (m - 1)x + 4 = x + 3 \implies x^2 - mx + 1 = 0
Parabol ile doğrunun kesişme veya teğet olma durumlarını incelemek için ortak çözüm yapılması gerekir.
2
Parabol ile doğru birbirine teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantını sıfıra eşitleyin.
Δ=(−m)2−4⋅1⋅1=0  ⟹  m2−4=0  ⟹  m=2 veya m=−2\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \implies m^2 - 4 = 0 \implies m = 2 \text{ veya } m = -2
Bir doğru bir parabole teğet ise, ortak çözüm denkleminin tek bir kökü (çift katl�� kök) olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.
3
Her bir mm değeri için teğet noktasının apsisini bulun. İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminde Δ=0\Delta = 0 ise çift katlı kök (apsis) x=−b2ax = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
x=m2x = \frac{m}{2} olur. Buradan, m=2m = 2 için x1=1x_1 = 1 ve m=−2m = -2 için x2=−1x_2 = -1 elde edilir.
Teğet noktasının apsis değerlerini belirlemek için bulduğumuz parametre değerlerini kök formülünde yerine koymalıyız.
4
Elde edilen teğet noktalarının apsis değerlerini çarpın.
x1⋅x2=1⋅(−1)=−1x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-1) = -1
Soru bizden teğet noktalarının apsislerinin alabileceği farklı değerlerin çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfırdır (\Delta = 0) ve teğet noktasının apsisi bu denklemin çift katlı köküdür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 162Soru →

Koordinat düzleminde, ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için bu fonksiyonlar
f(x)−3⋅f(−x)+x2⋅g(−x)=x3−4x2−8f(x) - 3 \cdot f(-x) + x^2 \cdot g(-x) = x^3 - 4x^2 - 8
eqitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Fonksiyonların simetri özellikleri kullanılarak elde edilen f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8 ve f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16 denklem sistemi çözüldüğünde g(2)=−2g(2) = -2 bulunur.
Fonksiyonların simetri özellikleri kullanılarak elde edilen f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8 ve f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16 denklem sistemi çözüldüğünde g(2)=−2g(2) = -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri özelliklerini tanımlama
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
ff fonksiyonunun ordinat eksenine göre simetrik olması onun çift, gg fonksiyonunun orijine göre simetrik olması ise tek fonksiyon olduğunu gösterir.
2
Verilen eşitliği basitleştirme
−2f(x)−x2g(x)=x3−4x2−8-2f(x) - x^2 g(x) = x^3 - 4x^2 - 8
f(−x)f(-x) yerine f(x)f(x) ve g(−x)g(-x) yerine −g(x)-g(x) yazarak ifadeyi düzenleriz.
3
x=2x = 2 yazarak birinci denklemi bulma
f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8
x=2x=2 değeri denklemde yerine konur ve gerekli sadeleştirmeler yapılır.
4
x=−2x = -2 yazarak ikinci denklemi bulma
f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16
x=−2x=-2 değeri denklemde yerine konur, f(−2)=f(2)f(-2)=f(2) ve g(−2)=−g(2)g(-2)=-g(2) eşitlikleri kullanılarak sadeleştirilir.
5
Denklem sistemini çözme
g(2)=−2g(2) = -2
Elde edilen iki denklem taraf tarafa çıkarılarak g(2)g(2) değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları ve simetri özellikleri
Soru 163Soru →
Grafiği düşey eksene göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=(a−2)x3+2x2+(b+3)x+a⋅bf(x) = (a-2)x^3 + 2x^2 + (b+3)x + a \cdot b
eşitliğini sağlamaktadır.

g(x)=f(x−k)g(x) = f(x - k) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun grafiği x=3x = 3 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, g(a+b)g(a+b) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

26
Çift fonksiyon tanımından tek dereceli terimlerin katsayıları sıfıra eşitlenerek a=2a=2 ve b=−3b=-3 bulunur. Fonksiyonun kuralı f(x)=2x2−6f(x)=2x^2-6 olur. g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3) fonksiyonunun grafiği x=3x=3 doğrusuna göre simetrik olduğundan öteleme miktarı k=3k=3'tür. g(a+b)=g(−1)=f(−4)g(a+b) = g(-1) = f(-4) değeri, f(−4)=2(−4)2−6=26f(-4)=2(-4)^2-6=26 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun grafiği düşey eksene göre simetrik olduğundan ff çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların kuralında tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 ve b+3=0  ⟹  b=−3b + 3 = 0 \implies b = -3 elde edilir.
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğinin her xx için sağlanabilmesi için tek dereceli terimler bulunmamalıdır.
2
aa ve bb değerlerini yerine yazarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralını belirleyelim.
f(x)=2x2+2⋅(−3)=2x2−6f(x) = 2x^2 + 2 \cdot (-3) = 2x^2 - 6 olur.
Fonksiyonun tam kuralını bulup sonraki adımlarda kullanmak için.
3
g(x)=f(x−k)g(x) = f(x - k) fonksiyonunun simetri ekseninden yararlanarak kk değerini bulalım.
f(x)f(x) grafiği x=0x = 0 doğrusuna göre simetrik olduğundan, f(x−k)f(x-k) grafiği x=kx = k doğrusuna göre simetriktir. Buradan k=3k = 3 bulunur.
Grafiğin yatay olarak sağa ötelenmesi durumunda simetri ekseninin de aynı miktarda kayacağını kullanmak için.
4
g(a+b)g(a+b) ifadesinde aa ve bb değerlerini yerleştirelim.
a+b=2+(−3)=−1a+b = 2 + (-3) = -1 olduğundan, g(−1)=f(−1−3)=f(−4)g(-1) = f(-1-3) = f(-4) elde edilir.
İstenen fonksiyon değerini ff fonksiyonu cinsinden ifade etmek için.
5
f(x)f(x) kuralında x=−4x = -4 yazarak nihai sonucu hesaplayalım.
f(−4)=2(−4)2−6=32−6=26f(-4) = 2(-4)^2 - 6 = 32 - 6 = 26 bulunur.
Çift fonksiyon özelliğiyle f(−4)=f(4)=26f(-4) = f(4) = 26 değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Soru 164Soru →
Orijine göre simetrik bir grafiğe sahip olan ff fonksiyonu ile ordinat eksenine göre simetrik bir grafiğe sahip olan gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+g(−x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(-x) = x^3 - 3x^2 - x + 5
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, (f∘g)(1)(f \circ g)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Verilen fonksiyonların simetri özellikleri gereği f(x)+g(x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 5 olur. Polinomun tek dereceli terimleri tek fonksiyon olan f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x ifadesini, çift dereceli ve sabit terimleri ise çift fonksiyon olan g(x)=−3x2+5g(x) = -3x^2 + 5 ifadesini verir. Buradan g(1)=2g(1) = 2 ve (f∘g)(1)=f(2)=6(f \circ g)(1) = f(2) = 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini belirlemek.
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) ve g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)
ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur. gg fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur.
2
Verilen denklemde çift fonksiyon özelliğini kullanmak.
f(x)+g(x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 5
gg çift fonksiyon olduğundan g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) eşitliği denklemde yerine yazılır.
3
Tek ve çift dereceli terimleri ayrıştırarak fonksiyonların kurallarını bulmak.
f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x ve g(x)=−3x2+5g(x) = -3x^2 + 5
E��itliğin sol tarafındaki f(x)f(x) tek, g(x)g(x) çift fonksiyondur. Bir polinom fonksiyonunun tek kısmı tek dereceli terimlerin toplamına, çift kısmı ise çift dereceli terimlerin ve sabit sayının toplamına e��ittir.
4
g(1)g(1) değerini hesaplamak.
g(1)=−3(1)2+5=2g(1) = -3(1)^2 + 5 = 2
(f∘g)(1)=f(g(1))(f \circ g)(1) = f(g(1)) bileşke ifadesini bulmak için öncelikle en içteki fonksiyon hesaplanır.
5
f(g(1))f(g(1)) yani f(2)f(2) değerini hesaplamak.
f(2)=23−2=6f(2) = 2^3 - 2 = 6
g(1)=2g(1) = 2 olduğundan bileşke fonksiyonun değeri f(2)f(2) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların simetri kuralları ve cebirsel olarak ayrıştırılması

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme yöntemi: Eşitlikte x=1x=1 ve x=−1x=-1 yazılarak sırasıyla f(1)+g(1)=2f(1)+g(1)=2 ve −f(1)+g(1)=2-f(1)+g(1)=2 denklemleri kurulur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde g(1)=2g(1)=2 bulunur. Benzer şekilde x=2x=2 ve x=−2x=-2 değerleri yazılarak f(2)+g(2)=−1f(2)+g(2)=-1 ve −f(2)+g(2)=−13-f(2)+g(2)=-13 elde edilir. Bu denklemler taraf tarafa çıkarıldığında 2f(2)=12  ⟹  f(2)=62f(2)=12 \implies f(2)=6 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 165Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları, her xx gerçel sayısı için
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
eşitliklerini sağlamaktadır.
f(x)+(x−1)⋅g(x)=x3+2x2−x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2

olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Çift fonksiyonlarda her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve tek fonksiyonlarda her xx için g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitlikleri sağlanır. Verilen ana denklemde sırasıyla x=2x = 2 ve x=−2x = -2 yazıldığında elde edilen f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12 ve f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0 denklemleri ortak çözülürse f(2)=18f(2) = 18 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde x=2x = 2 yazarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) terimlerini içeren birinci bağıntıyı bulmak.
f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12
x=2x = 2 değeri için e��itliğin sağ tarafı 23+2(22)−2−2=8+8−4=122^3 + 2(2^2) - 2 - 2 = 8 + 8 - 4 = 12 değerine eşit olur.
2
Denklemde x=−2x = -2 yazarak f(−2)f(-2) ve g(−2)g(-2) terimlerini içeren ikinci bağıntıyı bulmak.
f(−2)−3g(−2)=0f(-2) - 3g(-2) = 0
x=−2x = -2 değeri için eşitliğin sağ tarafı (−2)3+2(−2)2−(−2)−2=−8+8+2−2=0(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0 değerine eşit olur.
3
Süreçteki tek ve çift fonksiyon tanımlarını kullanarak ikinci bağıntıyı f(2)f(2) ve g(2)g(2) cinsinden ifade etmek.
f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olduğundan f(−2)=f(2)f(-2) = f(2)'dir. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olduğundan g(−2)=−g(2)g(-2) = -g(2)'dir. Bu simetri özellikleri denklemde yerine yazıldığında f(2)−3(−g(2))=0  ⟹  f(2)+3g(2)=0f(2) - 3(-g(2)) = 0 \implies f(2) + 3g(2) = 0 elde edilir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözerek f(2)f(2) değerini hesaplamak.
f(2)=18f(2) = 18
f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0 denkleminden f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında 2g(2)=−12  ⟹  g(2)=−62g(2) = -12 \implies g(2) = -6 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında f(2)−6=12  ⟹  f(2)=18f(2) - 6 = 12 \implies f(2) = 18 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları olan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özelliklerinin denklem sistemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, verilen fonksiyon denkleminde f(x)f(x) ve g(x)g(x) polinom fonksiyonlar olarak elde edilebilir. Bunun için denklemde xx yerine −x-x yazılır ve f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x) özellikleri kullanılarak iki bilinmeyenli fonksiyon denklem sistemi çözülür. Buradan genel kuralları f(x)=x4+x2−2f(x) = x^4 + x^2 - 2 ve g(x)=−x3+xg(x) = -x^3 + x olarak bulunur. Sonrasında f(2)=24+22−2=18f(2) = 2^4 + 2^2 - 2 = 18 hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 166Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, grafiği yy-eksenine göre simetrik olan ve (0,∞)(0, \infty) aralığında artan bir ff fonksiyonu veriliyor.

ff fonksiyonunun grafiği; xx-ekseni boyunca sağa 4 birim, yy-ekseni boyunca yukarı 3 birim ötelendiğinde gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, gg fonksiyonu ile ilgili,

I. Grafiği x=−4x = -4 doğrusuna göre simetriktir.
II. (4,∞)(4, \infty) aralığında artandır.
III. (3,∞)(3, \infty) aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II
Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonun simetri ekseni x=0x=0 doğrusudur. Bu grafik sağa 4 birim ötelendiğinde simetri ekseni x=4x=4 doğrusu olur. Aynı şekilde, fonksiyonun (0,∞)(0, \infty) aralığındaki artanlığı sağa 4 birim ötelenerek (4,∞)(4, \infty) aralığına taşınır. Dikey öteleme bu özellikleri değiştirmediği için sadece ikinci öncül doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun simetri eksenini ve öteleme sonrası yeni simetri eksenini belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan başlangıçtaki simetri ekseni x=0x = 0 doğrusudur. Grafiğin sağa 4 birim ötelenmesiyle yeni simetri ekseni x=4x = 4 doğrusu olur. Dikey öteleme simetri eksenini etkilemez. Bu nedenle I. öncül yanlıştır.
yy-eksenine göre simetrik olan çift fonksiyonların simetri ekseni x=0x=0 doğrusudur ve yatay ötelemeler bu eksenin konumunu doğrudan kaydırır.
2
gg fonksiyonunun artan olduğu aralığı belirleme.
ff fonksiyonu (0,∞)(0, \infty) aralığında artandır. Grafik sağa 4 birim ötelendiğinde artan olduğu aralık da sağa 4 birim ötelenerek (4,∞)(4, \infty) aralığı olur. Dikey öteleme fonksiyonun artanlık/azalanlık karakterini ve bu karakterin geçerli olduğu tanım kümesi aralığını etkilemez. Bu nedenle II. öncül doğrudur.
Yatay öteleme işlemi, fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkların sınırlarını öteleme miktarı kadar kaydırır.
3
Dikey ötelemenin artanlık aralığı üzerindeki etkisini inceleme ve III. öncülü değerlendirme.
Yukarı 3 birimlik dikey öteleme sadece yy değerlerini etkiler, xx eksenindeki artanlık aralığını değiştirmez. Dolayısıyla fonksiyon (3,∞)(3, \infty) aralığında değil, (4,∞)(4, \infty) aralığında artandır. Ayrıca ff çift ve (0,∞)(0, \infty) aralığında artan olduğundan (−∞,0)(-\infty, 0) aralığında azalandır. Bu durumda gg fonksiyonu (3,4)(3, 4) aralığında azalan olacaktır. Bu nedenle III. öncül yanlıştır.
Dikey öteleme miktarı, fonksiyonun x eksenindeki artanlık/azalanlık aralığının başlangıç noktasını belirlemez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki değişimleri
Soru 167Soru →
Sıfırdan farklı her xx gerçel sayısı için
x⋅f(x)+2x⋅f(−x)=x3−6xx \cdot f(x) + 2x \cdot f(-x) = x^3 - 6x
eşitliğini sağlayan ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Fonksiyonun ordinat eksenine göre simetrik olması çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu durumda her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır. Verilen denklemde x=3x = 3 yazıldığında 3⋅f(3)+6⋅f(−3)=33−6(3)  ⟹  3f(3)+6f(−3)=93 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 3^3 - 6(3) \implies 3f(3) + 6f(-3) = 9 elde edilir. Çift fonksiyon özelliğinden dolayı f(−3)=f(3)f(-3) = f(3) yazılırsa 9f(3)=99f(3) = 9 ve buradan f(3)=1f(3) = 1 bulunur.
Doğru cevap 1'dir. Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğini sağlar. Denklemde x=3x = 3 yazılıp bu özellik kullanıldığında 9f(3)=99f(3) = 9 denklemi elde edilir ve buradan f(3)=1f(3) = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun simetri özelliğini belirleme
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve tanım kümesindeki her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) özelliğini sağlar.
2
Verilen denklemde x=3x = 3 değerini yerine yazma
3⋅f(3)+6⋅f(−3)=93 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 9
İstenen f(3)f(3) değerine ulaşmak amacıyla denklemdeki xx değişkenleri yerine 33 yazılır ve sağ taraf hesaplanır (33−6⋅3=27−18=93^3 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9).
3
Çift fonksiyon eşitliğini kullanarak denklemi çözme
f(3)=1f(3) = 1
f(−3)=f(3)f(-3) = f(3) eşitliği denklemde yerine yaz��ldığında 3f(3)+6f(3)=9  ⟹  9f(3)=93f(3) + 6f(3) = 9 \implies 9f(3) = 9 elde edilir. Her iki taraf 99 ile bölünerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Soru 168Soru →

Grafiği dik koordinat düzleminin düşey eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, P(1,4)P(1, 4) noktasından geçmektedir.

g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi gg fonksiyonunun grafiği üzerindeki noktalardan biridir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2, 6)

Cevap

Koordinatları (2, 6) olan nokta
Düşey eksene göre simetrik olan f fonksiyonu çift fonksiyondur, bu yüzden f(1) = 4 ise f(-1) = 4 olur. g(x) = f(x-3) + 2 fonksiyonunda x = 2 değeri yazıldığında g(2) = f(-1) + 2 = 6 elde edilir. Bu durum, koordinatları (2, 6) olan noktanın g fonksiyonunun grafiği üzerinde olduğunu kesinleştirir.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme
Her x gerçel sayısı için f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır.
Düşey eksene (y-eksenine) göre simetri çift fonksiyonların temel tanımıdır.
2
Verilen noktayı kullanarak f(-1) değerini bulma
f(-1) = f(1) = 4 elde edilir.
g(x) fonksiyonunda f(-1) değerine ihtiyaç duyulacaktır.
3
g(x) fonksiyonunun tanımından yararlanarak bir nokta belirleme
g(2) = f(2-3) + 2 = f(-1) + 2 = 4 + 2 = 6 bulunur.
Böylece g fonksiyonunun grafiği üzerinde yer alan (2, 6) noktası elde edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Çift fonksiyonların y-eksenine göre simetrik olması ve fonksiyon grafiklerinde öteleme dönüşümleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 169Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tan��mlı; grafiği dik koordinat düzleminin yy-eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu ile grafiği orijine göre simetrik olan bir gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için

f(x)−g(−x)=x2+3x+4f(x) - g(-x) = x^2 + 3x + 4

etkisini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

72
Verilen fonksiyonların simetri özellikleri (ff çift, gg tek) kullanılarak f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4 ve f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x kurallarına ulaşılır. İstenen f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) değeri ise 8⋅9=728 \cdot 9 = 72 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların grafik simetrilerinden cebirsel özelliklerini çıkarma
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, gg fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak verilen denklemi basitleştirme
f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4
gg tek fonksiyon olduğundan g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olur, dolayısıyla −g(−x)=g(x)-g(-x) = g(x) eşitliği elde edilir.
3
Denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir ilişki kurma
f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4
f(−x)+g(−x)=(−x)2+3(−x)+4f(-x) + g(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 4 denkleminde f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özellikleri yerine yazılır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözerek fonksiyonların kurallarını bulma
f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x
Bulunan iki denklem taraf tarafa toplanarak 2f(x)=2x2+8⇒f(x)=x2+42f(x) = 2x^2 + 8 \Rightarrow f(x) = x^2 + 4 elde edilir. Taraf tarafa çıkarılarak da 2g(x)=6x⇒g(x)=3x2g(x) = 6x \Rightarrow g(x) = 3x elde edilir.
5
İstenen değerleri hesaplama ve çarpma işlemini gerçekleştirme
f(2)⋅g(3)=72f(2) \cdot g(3) = 72
f(2)=22+4=8f(2) = 2^2 + 4 = 8 ve g(3)=3(3)=9g(3) = 3(3) = 9 değerleri çarpılarak sonuç 7272 bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri ile cebirsel kuralları arasındaki ilişki
Soru 170Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−ax+4f(x) = x^2 - ax + 4
fonksiyonunun [1,3][1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı ile
g(x)=x3−2x2+5g(x) = x^3 - 2x^2 + 5
fonksiyonunun [0,2][0, 2] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı birbirine eşittir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a değeri 4'tür.
Doğru cevap 4 değeridir. g(x)=x3−2x2+5g(x) = x^3 - 2x^2 + 5 fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı g(2)−g(0)2−0=0\frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = 0 olarak bulunur. f(x)=x2−ax+4f(x) = x^2 - ax + 4 fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı ise f(3)−f(1)3−1=4−a\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = 4 - a olarak elde edilir. Hızların eşitliği koşulundan 4−a=04 - a = 0 denklemi kurulur ve a=4a = 4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=x3−2x2+5g(x) = x^3 - 2x^2 + 5 fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki uç noktalardaki değerleri hesaplanır.
g(2)=23−2(22)+5=5g(2) = 2^3 - 2(2^2) + 5 = 5 ve g(0)=5g(0) = 5 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı hesaplanırken aralık uçlarındaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç duyulur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı hesaplanır.
g(2)−g(0)2−0=5−52=0\frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = \frac{5 - 5}{2} = 0 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü olan g(b)−g(a)b−a\frac{g(b) - g(a)}{b - a} ifadesi uygulanır.
3
f(x)=x2−ax+4f(x) = x^2 - ax + 4 fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki uç noktalardaki değerleri aa cinsinden hesaplanır.
f(3)=32−3a+4=13−3af(3) = 3^2 - 3a + 4 = 13 - 3a ve f(1)=12−a+4=5−af(1) = 1^2 - a + 4 = 5 - a olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülünde kullanılmak üzere fonksiyon değerleri aa parametresine bağlı olarak ifade edilir.
4
f(x)f(x) fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı aa cinsinden hesaplanır.
f(3)−f(1)3−1=(13−3a)−(5−a)2=8−2a2=4−a\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{(13 - 3a) - (5 - a)}{2} = \frac{8 - 2a}{2} = 4 - a olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü uygulanarak f(x)f(x) fonksiyonunun değişim hızı elde edilir.
5
Elde edilen iki ortalama değişim hızı birbirine eşitlenerek aa değeri çözülür.
4−a=0  ⟹  a=44 - a = 0 \implies a = 4 olarak bulunur.
Soruda her iki fonksiyonun ortalama değişim hızlarının eşit olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim oranını gösterir ve f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır. Geometrik olarak bu değer, fonksiyon grafiği üzerindeki (a,f(a))(a, f(a)) ve (b,f(b))(b, f(b)) noktalarından geçen kesen doğrunun eğimine eşittir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 171Soru →
Tepe noktası xx ekseni üzerinde olan
f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a
parabolünün tepe noktasının koordinatları (r,k)(r, k) olduğuna göre, r+ar + a toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü ile 33 olarak bulunur. Tepe noktası xx ekseni üzerinde olduğu için ordinatı k=0k = 0 olmalıdır. Buradan f(3)=0f(3) = 0 eşitliğinden a=9a = 9 elde edilir. Sonuç olarak r+a=3+9=12r + a = 3 + 9 = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisi olan rr değerini r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü yardımıyla bulunuz.
r=−−62⋅1=3r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
Parabolün simetri eksenini (tepe noktasının apsisini) belirlemek için.
2
Tepe noktası xx ekseni üzerinde olduğundan ordinatın k=0k = 0 olması gerektiğini kullanıp f(r)=0f(r) = 0 eşitliğinden aa değerini hesaplayınız.
f(3)=32−6(3)+a=0  ⟹  9−18+a=0  ⟹  a=9f(3) = 3^2 - 6(3) + a = 0 \implies 9 - 18 + a = 0 \implies a = 9
Tepe noktasının xx ekseni üzerinde olma özelliğini uygulayarak bilinmeyen aa parametresini bulmak için.
3
Elde edilen rr ve aa değerlerini toplayınız.
r+a=3+9=12r + a = 3 + 9 = 12
İstenen r+ar + a toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatları ve simetri ekseninin bulunması ile tepe noktasının eksenler üzerindeki konumunun yorumlanması.
Tahmini Süre:45s
Soru 172Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı, [2,4][2, 4] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızına eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Fonksiyonun [1,5][1, 5] ve [2,4][2, 4] kapalı aralıklarındaki ortalama değişim hızları birbirine eşit olup 22'dir.
Verilen f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki değişim hızı 10−24=2\frac{10 - 2}{4} = 2, [2,4][2, 4] aralığındaki değişim hızı ise 5−12=2\frac{5 - 1}{2} = 2 olarak elde edilir. Her iki aralıkta da ortalama değişim hızı 22 olduğundan ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak için f(1)f(1) ve f(5)f(5) değerlerini bulup formülde yerine yazın.
f(1)=12−4(1)+5=2f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2 ve f(5)=52−4(5)+5=10f(5) = 5^2 - 4(5) + 5 = 10 olur. [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı: f(5)−f(1)5−1=10−24=2\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \frac{10 - 2}{4} = 2 bulunur.
Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır.
2
Aynı fonksiyonun [2,4][2, 4] aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak için f(2)f(2) ve f(4)f(4) değerlerini bulup formülü uygulayın.
f(2)=22−4(2)+5=1f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 1 ve f(4)=42−4(4)+5=5f(4) = 4^2 - 4(4) + 5 = 5 olur. [2,4][2, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı: f(4)−f(2)4−2=5−12=2\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 bulunur.
İkinci aralıktaki ortalama değişim hızını bulup birinci aralıktakiyle karşılaştırmak için bu adım gereklidir.
3
Elde edilen ortalama değişim hızı değerlerini karşılaştırın.
Her iki aralıktaki ortalama değişim hızı da 22 olarak bulunmuştur. Dolayısıyla bu iki değer birbirine eşittir.
Soru kökündeki eşitlik iddiasının doğruluğunu teyit etmek için karşılaştırma yapılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir kapalı aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarını birleştiren doğrunun (kirişin) eğimine eşittir ve f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 173Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7
parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dir.

Buna göre, r+kr + k toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Parabolün tepe noktasının bileşenleri toplamı −3-3'tür.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−−122⋅3=2r = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2 ve ordinatı k=f(2)=−5k = f(2) = -5 olup bu iki değerin toplamı 2+(−5)=−32 + (-5) = -3 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisi olan rr değerini bulmak.
r=2r = 2
Tepe noktasının apsisi parabolün simetri eksenidir ve r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü ile bulunur. Değerler yerine yazıldığında r=−−122⋅3=2r = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2 elde edilir.
2
Tepe noktasının ordinatı olan kk değerini bulmak.
k=−5k = -5
Tepe noktasının ordinatını bulmak için elde edilen rr değeri fonksiyonda yerine yazılır. k=f(2)=3(2)2−12(2)+7=−5k = f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 7 = -5 olur.
3
r+kr + k toplamını hesaplamak.
−3-3
Bulunan r=2r = 2 ve k=−5k = -5 değerleri toplanarak 2+(−5)=−32 + (-5) = -3 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarının tepe noktası formülleriyle bulunması.
Soru 174Soru →
Dik koordinat düzleminde, kk bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=−x2+(k−2)x+2kf(x) = -x^2 + (k-2)x + 2k
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC'dir. CC noktası yy-ekseni üzerinde olup, parabol üzerinde CC noktasından farklı ve ordinatı CC ile aynı olan nokta DD olarak adlandırılıyor.

Köşeleri A,B,CA, B, C ve DD noktaları olan dörtgenin alanı 3232 birimkare olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

-16
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−2,0)A(-2, 0), B(k,0)B(k, 0), C(0,2k)C(0, 2k) ve ordinatı CC ile aynı olan diğer noktası D(k−2,2k)D(k-2, 2k) doğru şekilde belirlenmiştir. Bu noktaların oluşturduğu yamuğun alanı kk cinsinden ∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)=32|k|(|k+2| + |k-2|) = 32 olarak ifade edilir. Bu denklem çözüldüğünde kk sayısı 44 ve −4-4 değerlerini alabilir. Bu değerlerin çarpımı −16-16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme.
yy-eksenini kestiği nokta için x=0x=0 yazılırsa f(0)=2kf(0) = 2k olduğundan C(0,2k)C(0, 2k) olur. xx-eksenini kestiği noktalar için f(x)=0f(x)=0 denklemi çözülürse: −x2+(k−2)x+2k=0  ⟹  x2−(k−2)x−2k=0  ⟹  (x−k)(x+2)=0-x^2 + (k-2)x + 2k = 0 \implies x^2 - (k-2)x - 2k = 0 \implies (x-k)(x+2) = 0 elde edilir. Buradan kökler x1=−2x_1 = -2 ve x2=kx_2 = k bulunur. Yani A(−2,0)A(-2, 0) ve B(k,0)B(k, 0) noktaları elde edilir.
Dörtgenin köşelerini oluşturan AA, BB ve CC noktalarının koordinatlarını bulmak için.
2
DD noktasının koordinatlarını bulma.
DD noktasının ordinatı CC ile aynı olduğundan yD=2ky_D = 2k olmalıdır. −x2+(k−2)x+2k=2k  ⟹  −x2+(k−2)x=0  ⟹  −x(x−(k−2))=0-x^2 + (k-2)x + 2k = 2k \implies -x^2 + (k-2)x = 0 \implies -x(x - (k-2)) = 0 denklemi elde edilir. DD noktası CC'den farklı olduğundan x≠0x \neq 0 olmalıdır, bu yüzden xD=k−2x_D = k-2 bulunur. Dolayısıyla D(k−2,2k)D(k-2, 2k) noktası elde edilir.
Dörtgenin son köşesi olan DD noktasının yerini belirlemek için.
3
ABCDABCD dörtgeninin yapısını ve alan formülünü oluşturma.
A(−2,0)A(-2, 0) ve B(k,0)B(k, 0) noktaları y=0y=0 (xx-ekseni) doğrusu üzerindedir. C(0,2k)C(0, 2k) ve D(k−2,2k)D(k-2, 2k) noktaları y=2ky=2k doğrusu üzerindedir. Bu iki doğru birbirine paralel oldu��undan ABCDABCD bir yamuktur. Yamuğun alt taban uzunluğu ∣AB∣=∣k−(−2)∣=∣k+2∣|AB| = |k - (-2)| = |k+2|, üst taban uzunluğu ∣CD∣=∣(k−2)−0∣=∣k−2∣|CD| = |(k-2) - 0| = |k-2| ve yüksekliği h=∣2k−0∣=∣2k∣h = |2k - 0| = |2k| birimdir. Yamuğun alan formülü: Alan(ABCD)=∣AB∣+∣CD∣2⋅h=∣k+2∣+∣k−2∣2⋅∣2k∣=∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h = \frac{|k+2| + |k-2|}{2} \cdot |2k| = |k|(|k+2| + |k-2|) olur.
Dörtgenin bir yamuk olduğunu belirleyip alanını kk cinsinden ifade etmek için.
4
Alan denklemini çözerek kk değerlerini bulma.
∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)=32|k|(|k+2| + |k-2|) = 32 denklemini çözeriz:
- k≥2k \geq 2 ise: k(k+2+k−2)=32  ⟹  2k2=32  ⟹  k2=16  ⟹  k=4k(k+2 + k-2) = 32 \implies 2k^2 = 32 \implies k^2 = 16 \implies k = 4 (aralığa uygundur).
- 0≤k<20 \leq k < 2 ise: k(k+2+2−k)=32  ⟹  4k=32  ⟹  k=8k(k+2 + 2-k) = 32 \implies 4k = 32 \implies k = 8 (aralığa uygun değildir).
- −2≤k<0-2 \leq k < 0 ise: −k(k+2+2−k)=32  ⟹  −4k=32  ⟹  k=−8-k(k+2 + 2-k) = 32 \implies -4k = 32 \implies k = -8 (aralığa uygun değildir).
- k<−2k < -2 ise: −k(−k−2+2−k)=32  ⟹  2k2=32  ⟹  k2=16  ⟹  k=−4-k(-k-2 + 2-k) = 32 \implies 2k^2 = 32 \implies k^2 = 16 \implies k = -4 (aralığa uygundur).
Böylece kk sayısının alabileceği farklı değerler 44 ve −4-4 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı ise 4⋅(−4)=−164 \cdot (-4) = -16 olur.
Alanın 3232 birimkare olmasını sağlayan tüm gerçel kk değerlerini bulup çarpmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik şekiller oluşturacak şekilde kullanılması.
Soru 175Soru →

Bir kimya deneyinde, bir çözeltinin sıcaklığı (TT, °C) zamana (tt, dakika) bağlı olarak değişmektedir. Çözeltinin zamana göre s��caklık değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

tt (dakika)11335588
T(t)T(t) (°C)121224244040aa

Bu çözeltinin [1,5][1, 5] zaman aralı��ındaki ortalama sıcaklık değişim hızı, [5,8][5, 8] zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişim hızına eşittir.

Buna göre, çözeltinin 8. dakikadaki sıcaklığı (aa) kaç °C'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 61

Cevap

Çözeltinin 8. dakikadaki sıcaklığı 61 °C'dir.
Çözeltinin [1,5][1, 5] zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişim hızı 40−125−1=7\frac{40-12}{5-1}=7 °C/dakika olarak hesaplanır. Bu hız [5,8][5, 8] aralığındaki hıza eşit olduğundan, a−408−5=7\frac{a-40}{8-5}=7 eşitliği yazılır. Buradan a−40=21a-40=21 ve a=61a=61 °C bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
[1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak
Değişim hızı T(5)−T(1)5−1=40−124=284=7\frac{T(5) - T(1)}{5 - 1} = \frac{40 - 12}{4} = \frac{28}{4} = 7 °C/dakika olarak bulunur.
İlk aralıktaki ortalama sıcaklık artış hızın�� belirlemek için.
2
[5,8][5, 8] aralığındaki ortalama değişim hızını aa cinsinden ifade etmek
Değişim hızı T(8)−T(5)8−5=a−403\frac{T(8) - T(5)}{8 - 5} = \frac{a - 40}{3} °C/dakika olur.
Bilinmeyen sıcaklık değerini içeren aralıktaki ortalama değişim hızını modellemek için.
3
İki aralıktaki değişim hızlarını eşitleyerek aa değerini çözmek
a−403=7  ⟹  a−40=21  ⟹  a=61\frac{a - 40}{3} = 7 \implies a - 40 = 21 \implies a = 61 °C elde edilir.
Soruda verilen değişim hızlarının eşitliği bilgisini kullanarak bilinmeyen sıcaklığı bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [x1,x2][x_1, x_2] aralığındaki ortalama değişim hızı, fonksiyon değerlerindeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı olan f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} formülü ile hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 176Soru →

Aşağıda sol sütunda parametrik olarak verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktaların geometrik özellikleri karışık olarak verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki her bir parabolü, koordinat eksenlerini kestiği noktaların sağ sütunda verilen doğru özelliği ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−(a+3)x+3af(x) = x^2 - (a+3)x + 3a (a>3a > 3 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar
g(x)=x2−2bx+b2−9g(x) = x^2 - 2bx + b^2 - 9 (b>3b > 3 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar
h(x)=−x2+(c−1)x+ch(x) = -x^2 + (c-1)x + c (c>1c > 1 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci parabol, x-eksenini kesti��i noktalardan birinin orijine uzaklığının parametre değerinden bağımsız 3 birim olması özelliğiyle; ikinci parabol, x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığın parametre değerinden bağımsız 6 birim olması özelliğiyle; üçüncü parabol ise y-eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığının x-eksenini kestiği pozitif apsisli noktanın orijine uzaklığına eşit olması özelliğiyle eşleşir.
Verilen fonksiyonların her biri sıfıra eşitlenerek xx-eksenini kestikleri noktalar ve x=0x=0 yazılarak yy-eksenini kestikleri noktalar bulunmuştur. Elde edilen noktalar üzerinde yapılan geometrik uzaklık hesaplamaları, verilen özelliklerle birebir ve benzersiz bir şekilde eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−(a+3)x+3af(x) = x^2 - (a+3)x + 3a parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma.
yy-eksenini kestiği nokta (0,3a)(0, 3a)'dır. xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir: x2−(a+3)x+3a=0  ⟹  (x−a)(x−3)=0  ⟹  x1=3,x2=ax^2 - (a+3)x + 3a = 0 \implies (x-a)(x-3) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = a. Kesim noktaları (3,0)(3, 0) ve (a,0)(a, 0)'dır. (3,0)(3, 0) noktasının orijine uzaklığı ∣3∣=3|3| = 3 birim olup parametreden bağımsızdır. Bu durum ikinci özellik ile eşleşir.
Birinci parabolün eksen kesim noktalarını cebirsel olarak analiz etmek.
2
g(x)=x2−2bx+b2−9g(x) = x^2 - 2bx + b^2 - 9 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve aralarındaki uzaklığı hesaplama.
yy-eksenini kestiği nokta (0,b2−9)(0, b^2-9)'dur. xx-eksenini kestiği noktalar için (x−b)2−9=0  ⟹  (x−b)2=9  ⟹  x−b=±3  ⟹  x1=b−3,x2=b+3(x-b)^2 - 9 = 0 \implies (x-b)^2 = 9 \implies x-b = \pm 3 \implies x_1 = b-3, x_2 = b+3 bulunur. Eksenleri kestiği noktalar (b−3,0)(b-3, 0) ve (b+3,0)(b+3, 0)'dır. İki nokta arasındaki uzaklık ∣(b+3)−(b−3)∣=6|(b+3) - (b-3)| = 6 birimdir. Bu değer sabittir ve üçüncü özellik ile eşleşir.
İkinci parabolün eksen kesim noktalarının birbirine olan uzaklığını parametreden bağımsız olarak belirlemek.
3
h(x)=−x2+(c−1)x+ch(x) = -x^2 + (c-1)x + c parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve orijine olan uzaklıklarını karşılaştırma.
yy-eksenini kestiği nokta (0,c)(0, c) olup orijine uzaklığı ∣c∣=c|c| = c birimdir. xx-eksenini kestiği noktalar için −x2+(c−1)x+c=0  ⟹  x2−(c−1)x−c=0  ⟹  (x−c)(x+1)=0  ⟹  x1=−1,x2=c-x^2 + (c-1)x + c = 0 \implies x^2 - (c-1)x - c = 0 \implies (x-c)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = c bulunur. c>1c > 1 olduğundan pozitif apsisli kesim noktası (c,0)(c, 0)'dır ve orijine uzaklığı cc birimdir. Her iki uzaklık da eşit olup birinci özellik ile eşleşir.
Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarının ilişkisini belirlemek.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların cebirsel ve geometrik analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 177Soru →

Yüksekliği 5 cm5\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir metal bloğun hacmi, taban yarıçapına bağlı bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Bu bloğun taban yarıçapı 2 cm2\text{ cm}'den r cmr\text{ cm}'ye (r>2r > 2) çıkarıldığında, hacminin taban yarıçapına göre ortalama değişim hızı 45π cm3/cm45\pi\text{ cm}^3/\text{cm} olmaktadır. Buna göre, son durumdaki taban yarıçapı (rr) kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Son durumdaki taban yarıçapı 7 cm7\text{ cm} olarak bulunur.
Silindirin hacmi yarıçapına bağlı olarak V(r)=5πr2V(r) = 5\pi r^2 fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun [2,r][2, r] aralığındaki ortalama değişim hızı V(r)−V(2)r−2=5π(r2−4)r−2=5π(r+2)\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = \frac{5\pi(r^2 - 4)}{r - 2} = 5\pi(r + 2) olur. Bu ifadenin 45π45\pi değerine eşitlenmesiyle 5π(r+2)=45π  ⟹  r+2=9  ⟹  r=75\pi(r + 2) = 45\pi \implies r + 2 = 9 \implies r = 7 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hacim fonksiyonunu taban yarıçapına bağlı olarak yazma
V(r)=5πr2V(r) = 5\pi r^2
Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır (V=πr2hV = \pi r^2 h).
2
Ortalama değişim hızı denklemini kurma
V(r)−V(2)r−2=45π\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = 45\pi
[2,r][2, r] aralığındaki ortalama değişim hızı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı ile bulunur.
3
Fonksiyon değerlerini formülde yerine yazıp cebirsel sadeleştirme yapma
5π(r+2)=45π5\pi(r + 2) = 45\pi
V(r)=5πr2V(r) = 5\pi r^2 ve V(2)=20πV(2) = 20\pi değerleri formüle yerleştirildiğinde pay kısmında iki kare farkı yardımıyla (r−2)(r-2) ifadeleri birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen birinci dereceden denklemi rr için çözme
r=7r = 7
Denklemin her iki tarafı 5π5\pi ile sadeleştirilerek r+2=9r + 2 = 9 eşitliği elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} oranı ile hesaplanır.
Soru 178Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+kx+12f(x) = -x^2 + kx + 12 parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar AA ve BB, yy-eksenini kestiği nokta ise CC'dir.

AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları arasında ∣OB∣=3∣OA∣|OB| = 3|OA| bağıntısı vardır.

DD noktası, bu parabol üzerinde bulunan, ordinatı CC noktasının ordinatına eşit ve apsisi sıfırdan farklı olan bir noktadır.

Buna göre, köşeleri AA, BB, DD ve CC noktaları olan ACDBACDB yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Yamuğun alanı 72 birimkaredir.
Yamuğun alt taban uzunluğu |AB| = 8 birim, üst taban uzunluğu |CD| = 4 birim ve yüksekliği h = 12 birimdir. Alan formülü uygulandığında ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
A(-2, 0) ve B(6, 0) noktaları elde edilir.
f(x) = -x^2 + kx + 12 parabolünün y-eksenini kestiği nokta C(0, 12) olup, x-eksenini kestiği noktaların çarpımı x_1 * x_2 = -12'dir. Kökler zıt işaretlidir. Uzaklık ilişkisi |OB| = 3|OA| olduğundan pozitif kök, negatif kökün mutlak değerinin 3 katıdır. Buradan x_1 = -2 ve x_2 = 6 bulunur.
2
Parabolün k katsayısını ve D noktasını bulma
k = 4 ve D(4, 12) elde edilir.
Kökler toplamı x_1 + x_2 = -2 + 6 = 4'tür. Denklemden kökler toplamı k olduğundan k = 4 bulunur. D noktasının ordinatı C(0,12) ile aynı ve apsisi sıfırdan farklıdır. -x^2 + 4x + 12 = 12 denklemi çözüldüğünde x = 0 veya x = 4 bulunur. Apsisi sıfırdan farklı olduğu için D(4, 12) noktası elde edilir.
3
ACDB yamuğunun alanını hesaplama
Yamuğun alanı 72 birimkare olarak bulunur.
Yamuğun alt tabanı x-ekseni üzerinde olup [AB] segmentinin uzunluğu 6 - (-2) = 8 birimdir. Üst tabanı y = 12 doğrusu üzerinde olup [CD] segmentinin uzunluğu 4 - 0 = 4 birimdir. Yamuğun yüksekliği, iki paralel doğru arasındaki mesafe olan 12 birimdir. Yamuk alanı formülünden Alan = ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkaredir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve parabolün simetri özelliği kullanılarak koordinat düzleminde geometrik alan hesabı.
Soru 179Soru →

Aşağıda verilen parabol denklemleri ile bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3
g(x)=−x2−2x+8g(x) = -x^2 - 2x + 8
h(x)=x2−6xh(x) = x^2 - 6x

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci parabol alanı 3 birimkare olan üçgenle, ikinci parabol alanı 24 birimkare olan üçgenle, üçüncü parabol ise eksenleri yalnızca iki noktada kesme özelliğiyle eşleşir.
Verilen parabollerin her biri için eksenleri kestiği noktalar sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 yazarak bulunmuş, bu noktalar kullanılarak alan ve kesim noktası sayısı özellikleri doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 için yy-eksenini kestiği nokta (0,3)(0,3), xx-eksenini kestiği noktalar ise (1,0)(1,0) ve (3,0)(3,0)'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 22 birim, yüksekliği 33 birim olup alanı 2×32=3\frac{2 \times 3}{2} = 3 birimkaredir. Dolayısıyla ilk parabol birinci özellikle eşleşir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir.
2
İkinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
g(x)=−x2−2x+8g(x) = -x^2 - 2x + 8 için yy-eksenini kestiği nokta (0,8)(0,8), xx-eksenini kestiği noktalar ise (−4,0)(-4,0) ve (2,0)(2,0)'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 66 birim, yüksekliği 88 birim olup alanı 6×82=24\frac{6 \times 8}{2} = 24 birimkaredir. Dolayısıyla ikinci parabol ikinci özellikle eşleşir.
Eksen kesim noktalarının oluşturduğu geometrik şeklin alanını hesaplamak için taban ve yükseklik değerleri bulunur.
3
Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
h(x)=x2−6xh(x) = x^2 - 6x için eksenleri kestiği noktalar (0,0)(0,0) ve (6,0)(6,0)'dır. Parabol orijinden geçtiği için yy-eksenini kestiği nokta ile xx-eksenini kestiği noktalardan biri çakışır. Eksenleri yalnızca iki noktada kestiği için bu noktalarla bir üçgen oluşturulamaz. Dolayısıyla üçüncü parabol üçüncü özellikle eşleşir.
Orijinden geçen parabollerin eksenleri kestiği noktaların sayısını ve konumunu analiz etmek.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların geometrik yorumu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 180Soru →

Eksenleri kestiği noktalar sırasıyla A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,y0)C(0, y_0) olan bir y=f(x)y = f(x) parabolü için x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olduğu bilinmektedir.

Bu parabolle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:
* x2=−3x1x_2 = -3x_1
* ∣y0∣=−4x1|y_0| = -4x_1
* f(1)=−10f(1) = -10

Buna göre, köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı 3232 birimkaredir.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar kökleridir. x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve x2=−3x1x_2 = -3x_1 ilişkisinden kökler −r-r ve 3r3r (r>0r>0) olarak belirlenir. Bu durumda parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x+r)(x-3r) olur. y-eksenini kestiği noktanın ordinatı y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 olur. Orijine olan uzaklıklar kullanılarak ∣y0∣=−4x1  ⟹  3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=4/3|y_0| = -4x_1 \implies 3|a|r^2 = 4r \implies |a|r = 4/3 bulunur. f(1)=−10f(1) = -10 bilgisiyle a>0a > 0 ve r=2r = 2 elde edilir. Buradan a=2/3a = 2/3 bulunur. Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) olarak bulunur. Köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı ise 8⋅82=32\frac{8 \cdot 8}{2} = 32 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları ve kök ilişkilerini belirleme.
x1=−rx_1 = -r (r>0r > 0) ve x2=3rx_2 = 3r olmak üzere parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x + r)(x - 3r) olur.
Köklerin işaretleri x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve oranları x2=−3x1x_2 = -3x_1 olarak verildiği için kökleri tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp denklemi kurmak kolaylık sağlar.
2
y-eksenini kestiği noktanın ordinatını kökler cinsinden yazma ve uzaklık eşitli��ini kullanma.
y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 ve ∣y0∣=4r|y_0| = 4r olduğundan, 3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=433|a|r^2 = 4r \implies |a|r = \frac{4}{3} elde edilir.
y-eksenini kestiği nokta olan C(0,y0)C(0, y_0) noktasının orijine olan uzaklığı ile AA noktasının orijine olan uzaklığı arasındaki ilişkiyi kullanarak aa ile rr arasında bir bağıntı kurmak gerekir.
3
f(1)=−10f(1) = -10 bilgisini kullanarak parabolün katsayısı aa ve parametre rr değerlerini bulma.
a>0a > 0 durumu için ar=43  ⟹  a=43rar = \frac{4}{3} \implies a = \frac{4}{3r} olur. f(1)=a(1+r)(1−3r)=−10  ⟹  6r2−11r−2=0  ⟹  r=2f(1) = a(1+r)(1-3r) = -10 \implies 6r^2 - 11r - 2 = 0 \implies r = 2 ve a=23a = \frac{2}{3} bulunur.
Verilen fonksiyon değeri sayesinde aa ve rr bilinmeyenlerinin sayısal değerlerine ulaşılır. Temiz tam sayı veya rasyonel sonuçlar veren tek geçerli durum a>0a > 0 ve r=2r = 2 durumudur.
4
Köşe koordinatlarını belirleme ve üçgenin alanını hesaplama.
A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) noktaları elde edilir. Üçgenin alanı: Alan(ABC)=12⋅∣6−(−2)∣⋅∣−8∣=32\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |6 - (-2)| \cdot |-8| = 32 birimkaredir.
Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu tabana ait y��ksekliğin çarpımının yarısı formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile parabolün cebirsel denklemi arasındaki ilişkinin kurulması ve bunun geometrik uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 9 / 12Sonraki
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin