Examkin

Limit ve Süreklilik

122 soru

Tüm türler122Çoktan seçmeli78Doğru / Yanlış23Sayısal21
Soru 101Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli iken gg fonksiyonu yalnızca x=3x = 3 noktasında süreksizdir. Buna göre, (g∘f)(x)(g \circ f)(x) bileşke fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların sayısı en fazla 1'dir ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü sürekli bir ff fonksiyonu için f(x)=3f(x) = 3 eşitliğini sağlayan birden fazla xx gerçel sayısı bulunabilir. Bu durumda, dıştaki gg fonksiyonunun süreksizlik noktası olan 33 değeri, bileşke fonksiyonda birden fazla süreksizlik noktasına yol açar.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun süreksizlik adaylarını belirleme
(g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonunun süreksiz olabileceği noktalar, dıştaki gg fonksiyonunun süreksiz olduğu değerleri üreten içteki f(x)f(x) değerlerinde veya ff fonksiyonunun kendisinin süreksiz olduğu noktalarda aranır.
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği, içteki fonksiyon sürekli olsa bile görüntüsü dıştaki fonksiyonun süreksizlik noktasına eşit olduğunda bileşke fonksiyon süreksiz olabilir.
2
f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözümlerini inceleme
ff fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olduğundan, f(x)=3f(x) = 3 eşitliğini sağlayan birden fazla xx değeri bulunabilir.
f(x)f(x) bire bir olmak zorunda değildir; dolayısıyla xx ekseni üzerindeki birden fazla nokta y=3y = 3 değerine gidebilir.
3
Karşıt örnek oluşturarak ifadenin doğruluğunu test etme
f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 sürekli fonksiyonunu ve g(x)={1,x≠30,x=3g(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 3 \\ 0, & x = 3 \end{cases} fonksiyonunu seçelim. Bu durumda (g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonu x=2x = 2 ve x=−2x = -2 noktalarında süreksiz olur.
f(2)=3f(2) = 3 ve f(−2)=3f(-2) = 3 olup, gg fonksiyonu 33 noktasında süreksiz olduğundan bileşke fonksiyon iki farklı noktada süreksiz olmuştur. Bu da ifadenin her zaman doğru olmadığını, yani yanlış olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve süreksizlik noktalarının belirlenmesi
Soru 102Soru →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax+3x−3,x<3b,x=3x2−9x2−3x,x>3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x < 3 \\ b, & x = 3 \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}, & x > 3 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, a+ba + b toplam�� kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı olan 6 sayısıdır.
Süreklilik tanımı gereği fonksiyonun x=3x=3 noktasındaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Soldan limitin varlığı için a=4a=4 ve limit değeri 2 bulunur. Sağdan limit de sadeleştirmeler yapıldığında 2 olarak elde edilir. Dolayısıyla b=2b=2 olmalıdır. Bu durumda toplam 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik koşulunu belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)=f(3)=b\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = b
Bir fonksiyonun bir noktada s��rekli olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit ve fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.
2
Soldan limit yardımıyla aa değerini bulma
a=4a = 4 ve lim⁡x→3−f(x)=2\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2
lim⁡x→3−x2−ax+3x−3\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3} limitinin bir gerçel sayı belirtmesi için x=3x=3 yazıldığında payın 0 olması gerekir (32−3a+3=0  ⟹  a=43^2 - 3a + 3 = 0 \implies a = 4). Değer yerine yazılıp limit alındığında lim⁡x→3−(x−3)(x−1)x−3=2\lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x-1)}{x-3} = 2 bulunur.
3
Sağdan limiti hesaplama
lim⁡x→3+f(x)=2\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2
lim⁡x→3+x2−9x2−3x\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x} ifadesinde 0/00/0 belirsizliği giderilirse lim⁡x→3+(x−3)(x+3)x(x−3)=lim⁡x→3+x+3x=63=2\lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{x+3}{x} = \frac{6}{3} = 2 elde edilir.
4
bb değerini ve toplamı bulma
b=2b = 2 ve a+b=6a + b = 6
Sağ ve sol limitlerin değeri 2 olduğundan süreklilik gereği f(3)=b=2f(3) = b = 2 olmalıdır. Buradan a+b=4+2=6a + b = 4 + 2 = 6 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde limit hesaplanırken belirsizlik durumları sadeleştirme yoluyla giderilir.
Soru 103Soru →

aa, bb ve cc gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax−3,x<32x+b,3≤x<62x+12x−c,x≥6f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 3}, & x < 3 \\ 2x + b, & 3 \le x < 6 \\ \frac{2x + 12}{x - c}, & x \ge 6 \end{cases}

fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

a + b + c toplamının değeri 13'tür.
Fonksiyonun her noktada sürekli olması için x = 3 ve x = 6 sınır noktalarında sağ ve sol limitlerin fonksiyonun o noktalardaki değerlerine eşit olması gerekir. x = 3 noktasındaki sol limitin varlığı için a = 9 olmalıdır. Buradan sol limit 6 çıkar ve süreklilik için f(3) = 6 olmalıdır, bu da b = 0 sonucunu verir. x = 6 noktasında ise sol limit 12'dir ve sağ limitin de 12 olması için c = 4 olmalıdır. c = 4 değeri x >= 6 aralığı dışında kaldığı için başka bir süreksizlik noktası oluşturmaz. Bu nedenle a + b + c = 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
x = 3 noktasında sol limitin varlığ��nı inceleyerek a parametresini bulunuz.
a = 9
Sol limit olan lim_{x -> 3^-} (x^2 - a)/(x - 3) ifadesinde payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayı çıkması için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Dolayısıyla 3^2 - a = 0 olmalıdır.
2
a = 9 değerini yerine koyarak x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayınız ve sürekli olması için b parametresini bulunuz.
b = 0
lim_{x -> 3^-} (x^2 - 9)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x + 3) = 6 olur. x = 3 noktasında süreklilik için sağ limit ve fonksiyon değeri de 6 olmalıdır. f(3) = 2(3) + b = 6 bağıntısından b = 0 elde edilir.
3
x = 6 sınır noktasındaki sürekliliği inceleyerek c parametresini bulunuz ve fonksiyonun diğer aralıklarda da sürekli olduğunu doğrulayınız.
c = 4
x = 6 noktasındaki sol limit lim_{x -> 6^-} (2x) = 12'dir. Sağ limit ise f(6) = (2(6) + 12)/(6 - c) = 24/(6 - c) olur. 24/(6 - c) = 12 eşitliğinden c = 4 bulunur. c = 4 değeri x >= 6 aralığının dışında kaldığından bu aralıkta herhangi bir tanımsızlık veya süreksizlik oluşturmaz.
4
Bulunan a, b ve c değerlerini toplayınız.
a + b + c = 9 + 0 + 4 = 13
İstenen a + b + c toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda (sınır değerlerinde) sağdan limit, soldan limit ve o noktadaki fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerin paydayı sıfır yapan köklerinin, ilgili tanım aralığının dışında kalması veya sadeleşerek limiti bozmaması gerekir.
Soru 104Soru →
f(x)={x2−9x−3,x<3a,x=3x2−bx+3,x>3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 3 \\ a, & x = 3 \\ x^2 - bx + 3, & x > 3 \end{cases} biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için süreklidir. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Doğru cevap 8'dir.
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=3x=3 noktasında sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Soldan limit lim⁡x→3−x2−9x−3=lim⁡x→3−(x+3)=6\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6 olarak bulunur. Dolayısıyla f(3)=a=6f(3) = a = 6 olmalıdır. Sağdan limit lim⁡x→3+(x2−bx+3)=12−3b\lim_{x \to 3^+} (x^2 - bx + 3) = 12 - 3b olur. Bu değerlerin eşitliğinden 12−3b=6  ⟹  b=212 - 3b = 6 \implies b = 2 elde edilir. Buradan a+b=6+2=8a+b = 6+2 = 8 bulunur. Bu nedenle doğru cevap 8 seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
x<3x < 3 için limit değerini hesaplamak amacıyla soldan limit alınır ve 00\frac{0}{0} belirsizliği sadeleştirme yoluyla giderilir.
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→3−(x+3)=6\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6.
Fonksiyonun x=3x=3 noktasında sürekli olması için bu noktadaki soldan limitinin var ve tanımlı olması gerekir.
2
Süreklilik tanımı gereği, fonksiyonun x=3x=3 noktasındaki değeri soldan limite eşitlenerek aa parametresi bulunur.
f(3)=a  ⟹  a=6f(3) = a \implies a = 6.
Sürekli bir fonksiyonun bir noktadaki değeri, o noktadaki limit değerine eşit olmalıdır.
3
x>3x > 3 için sağdan limit alınır ve bu limit değeri de 66 olarak bulunan limit değerine eşitlenerek bb parametresi hesaplanır.
lim⁡x→3+(x2−bx+3)=9−3b+3=12−3b\lim_{x \to 3^+} (x^2 - bx + 3) = 9 - 3b + 3 = 12 - 3b. 12−3b=6  ⟹  3b=6  ⟹  b=212 - 3b = 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2.
Sürekliliğin sağlanması için sağdan limitin de soldan limit ve fonksiyon değerine eşit olması şarttır.
4
Bulunan aa ve bb değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.
a+b=6+2=8a + b = 6 + 2 = 8.
Soruda bizden istenen toplamın değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 105Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu ve bir aa gerçel sayısı için lim⁡x→a∣f(x)∣=∣f(a)∣\lim_{x \to a} |f(x)| = |f(a)| eşitliği sağlanıyorsa ff fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.
Mutlak değerce limitin fonksiyonun mutlak değerine eşit olması, fonksiyonun limitinin varlığını veya sürekliliğini garanti etmez. Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği için o noktada limitinin var olması ve bu limitin doğrudan o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması şarttır.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik tanımını hatırlayalım.
Bir ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması için lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) eşitliği sağlanmalıdır.
Sürekliliğin tanımı gereği, limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
2
Verilen mutlak değerli koşulu inceleyelim.
Verilen lim⁡x→a∣f(x)∣=∣f(a)∣\lim_{x \to a} |f(x)| = |f(a)| eşitliği, f(x)f(x) fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olmasını veya sürekli olmasını garanti etmez.
Mutlak değer, farklı işaretli limitlerin (örneğin sağdan limit 11, soldan limit −1-1) mutlak değerini eşitleyerek limiti varmış gibi gösterebilir.
3
Karşıt örnek oluşturalım.
f(x)={1,x≥a−1,x<af(x) = \begin{cases} 1, & x \ge a \\ -1, & x < a \end{cases} fonksiyonunda lim⁡x→a∣f(x)∣=1\lim_{x \to a} |f(x)| = 1 ve ∣f(a)∣=1|f(a)| = 1 olur ancak fonksiyonun x=ax = a noktasında limiti yoktur.
Süreklilik şartının her durumda sağlanmadığını göstermek için karşıt bir örnek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun süreklilik tanımı ve mutlak değer içeren limit durumlarında süreksizlik incelemesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 106Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={5−x2,x<14,x=12x+1,x>1f(x) = \begin{cases} 5 - x^2, & x < 1 \\ 4, & x = 1 \\ 2x + 1, & x > 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2−f(f(x−1))+lim⁡x→2−f(f(3−x))\lim_{x \to 2^-} f(f(x-1)) + \lim_{x \to 2^-} f(f(3-x))
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Doğru cevap 16'dır.
Doğru yanıt olan 16 değeri, bileşke fonksiyon limitlerinde içten dışa doğru yönlü yaklaşım kuralları uygulanarak elde edilir. İlk terimde x→2−x \to 2^- yaklaşımı t=x−1→1−t = x-1 \to 1^- durumunu üretir. t<1t < 1 bölgesinden 11'e yaklaşırken f(t)=5−t2f(t) = 5-t^2 değerleri 44'e üstten (4+4^+) yaklaşır. Dolayısıyla dış limit lim⁡u→4+f(u)=9\lim_{u \to 4^+} f(u) = 9 olur. İkinci terimde x→2−x \to 2^- yaklaşımı s=3−x→1+s = 3-x \to 1^+ durumunu üretir. s>1s > 1 bölgesinden 11'e yaklaşırken f(s)=2s+1f(s) = 2s+1 değerleri 33'e üstten (3+3^+) yaklaşır. Dolayısıyla dış limit lim⁡v→3+f(v)=7\lim_{v \to 3^+} f(v) = 7 olur. Bu iki limitin toplamı 9+7=169 + 7 = 16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan lim⁡x→2−f(f(x−1))\lim_{x \to 2^-} f(f(x-1)) limitini hesaplamak için t=x−1t = x - 1 değişken değiştirmesi yapalım.
x→2−x \to 2^- iken x<2x < 2 olduğundan x−1<1x - 1 < 1 olur, yani t→1−t \to 1^- elde edilir. Limit lim⁡t→1−f(f(t))\lim_{t \to 1^-} f(f(t)) haline gelir.
Bileşke fonksiyonun limitini bulmak için öncelikle içteki fonksiyonun yaklaşma yönünü belirlemeliyiz.
2
t→1−t \to 1^- iken f(t)f(t) değerlerinin hangi değere ve hangi yönden yaklaştığını belirleyelim.
t<1t < 1 için f(t)=5−t2f(t) = 5 - t^2 fonksiyonunu kullanırız. t→1−t \to 1^- iken 5−t2→45 - t^2 \to 4 olur. t<1t < 1 iken t2<1  ⟹  −t2>−1  ⟹  5−t2>4t^2 < 1 \implies -t^2 > -1 \implies 5 - t^2 > 4 olduğundan, f(t)f(t) değerleri 44 değerine büyük değerlerden (sağdan) yaklaşır. Dolayısıyla f(t)→4+f(t) \to 4^+ olur.
Dıştaki fonksiyonun limitini hesaplarken içteki fonksiyonun limit değerine hangi yönden yaklaştığı önemlidir.
3
u=f(t)u = f(t) dersek limit lim⁡u→4+f(u)\lim_{u \to 4^+} f(u) olur. Bu limit değerini hesaplayalım.
u>1u > 1 için f(u)=2u+1f(u) = 2u + 1 tanımı geçerlidir. Buradan lim⁡u→4+(2u+1)=2(4)+1=9\lim_{u \to 4^+} (2u + 1) = 2(4) + 1 = 9 bulunur.
Dıştaki limit olan 44 noktasındaki sağdan limiti uygun fonksiyon parçasıyla hesaplamak için.
4
İkinci terim olan lim⁡x→2−f(f(3−x))\lim_{x \to 2^-} f(f(3-x)) limitini hesaplamak için s=3−xs = 3 - x değişken değiştirmesi yapalım.
x→2−x \to 2^- iken x<2  ⟹  −x>−2  ⟹  3−x>1x < 2 \implies -x > -2 \implies 3 - x > 1 olur, yani s→1+s \to 1^+ elde edilir. Limit lim⁡s→1+f(f(s))\lim_{s \to 1^+} f(f(s)) haline gelir.
İkinci bileşke limitin iç kısmını analiz etmek için.
5
s→1+s \to 1^+ iken f(s)f(s) değerlerinin yaklaşma yönünü belirleyelim.
s>1s > 1 için f(s)=2s+1f(s) = 2s + 1 tanımı geçerlidir. s→1+s \to 1^+ iken 2s+1→32s + 1 \to 3 olur. s>1  ⟹  2s>2  ⟹  2s+1>3s > 1 \implies 2s > 2 \implies 2s + 1 > 3 olduğundan f(s)→3+f(s) \to 3^+ elde edilir. v=f(s)v = f(s) dersek limit lim⁡v→3+f(v)\lim_{v \to 3^+} f(v) olur.
İkinci terimin dış fonksiyonunun limit yönünü belirlemek için.
6
lim⁡v→3+f(v)\lim_{v \to 3^+} f(v) limit değerini hesaplayalım.
v>1v > 1 için f(v)=2v+1f(v) = 2v + 1 olduğundan, lim⁡v→3+(2v+1)=2(3)+1=7\lim_{v \to 3^+} (2v + 1) = 2(3) + 1 = 7 bulunur.
İkinci terimin limit değerini bulmak için.
7
Bulunan iki limit değerini toplayalım.
9+7=169 + 7 = 16 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
Soru 107Soru →
f(x)=x2−kx+12x−4f(x) = \frac{x^2 - kx + 12}{x - 4}

fonksiyonunun x=4x = 4 noktasındaki limiti bir gerçel sayıya eşittir.

Buna göre, bu limitin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limitin değeri 1'dir.
Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için payda sıfıra giderken payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan k = 7 olarak bulunur. Fonksiyon f(x) = (x - 4)(x - 3) / (x - 4) şeklinde yazılıp x - 4 terimleri sadeleştirildiğinde, limit x -> 4 için x - 3 ifadesinin değeri 4 - 3 = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın sıfır olduğu durumda limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerektiği belirlenir.
x = 4 için x^2 - kx + 12 = 0 olmalıdır.
Eğer pay sıfırdan farklı bir sayı olsaydı, payda sıfır olduğundan limit tanımsız veya sonsuz olurdu. Limit değerinin gerçel sayı olabilmesi için 0/0 belirsizliği oluşmalıdır.
2
x = 4 değeri pay ifadesinde yerine yazılarak k parametresi hesaplanır.
4^2 - 4k + 12 = 0 => 16 - 4k + 12 = 0 => 28 - 4k = 0 => k = 7 olarak bulunur.
Fonksiyonun payındaki bilinmeyen k parametresini bularak belirsizliği gidermek üzere çarpanlara ayırma aşamasına geçebilmek için.
3
Bulunan k değeri fonksiyonda yerine yazılır ve pay ifadesi çarpanlarına ayrılır.
f(x) = (x^2 - 7x + 12) / (x - 4) = ((x - 4)(x - 3)) / (x - 4) = x - 3 (x != 4 için)
0/0 belirsizliğine neden olan x - 4 ortak çarpanını sadeleştirmek için.
4
Sadeleştirilmiş ifadede x yerine limit değeri olan 4 yazılarak limit hesaplanır.
limit x -> 4 (x - 3) = 4 - 3 = 1 olarak bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limitin nihai değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda payın sıfıra eşit olması ilkesinden yararlanarak bilinmeyen parametreyi bulma ve çarpanlara ayırma yöntemiyle belirsizliği giderme.
Tahmini Süre:50s
Soru 108Soru →
lim⁡x→3x2−2x−3x−3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limit değeri 4'tür.
Limit ifadesinde x = 3 yazıldığında oluşan 0/0 belirsizliğini gidermek için pay kısmındaki ifade (x - 3)(x + 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak (x - 3) terimleri sadeleştirildikten sonra limit değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değerini hesaplamak için x yerine 3 yazarak belirsizlik kontrolü yapmak.
Pay için: 3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0. Payda için: 3 - 3 = 0. Bu durumda 0/0 belirsizliği vardır.
Belirsizlik türünü tespit edip uygun hesaplama yöntemini seçmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
Payda bulunan ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak.
x^2 - 2x - 3 ifadesi (x - 3)(x + 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Payda sıfır değerini veren (x - 3) çarpanı ile paydaki ortak çarpanı sadeleştirebilmek için çarpanlara ayırma yapılır.
3
Ortak olan (x - 3) terimlerini sadeleştirmek ve kalan ifadede x yerine 3 yazmak.
lim (x -> 3) [(x - 3)(x + 1) / (x - 3)] = lim (x -> 3) (x + 1) = 3 + 1 = 4 bulunur.
Belirsizlik yaratan çarpan sadeleştiği için kalan fonksiyonda doğrudan yerine yazma yöntemi uygulanabilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.
Soru 109Soru →
f(x)=x2−4x2+3x+2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2}

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, lim⁡x→−2f(x)\lim_{x \to -2} f(x)

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Limit değeri 44 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadede x=−2x = -2 yazıldığında pay ve payda sıfır olmaktadır. Bu durumda 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Belirsizliği gidermek için pay x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) ve payda x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak olan (x+2)(x+2) terimleri sadeleştirildikten sonra geriye kalan x−2x+1\frac{x-2}{x+1} ifadesinde xx yerine −2-2 yazıldığında limit değeri −4−1=4\frac{-4}{-1} = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonda x=−2x = -2 değeri yerine yazılarak limitin durumu incelenir.
(−2)2−4(−2)2+3(−2)+2=00\frac{(-2)^2 - 4}{(-2)^2 + 3(-2) + 2} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limit hesaplamasında belirsizlik durumunun varlığını tespit etmek için.
2
Pay ve payda ifadeleri çarpanlarına ayrılır.
Pay için iki kare farkından x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) ve payda için x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) elde edilir.
Belirsizliğe yol açan ortak çarpanı belirlemek için.
3
x→−2x \to -2 iken x≠−2x \neq -2 olduğundan ortak olan x+2x+2 çarpanı sadeleştirilir.
f(x)=x−2x+1f(x) = \frac{x-2}{x+1} ifadesi elde edilir.
Belirsizliği ortadan kaldırmak için.
4
Sadeleşmiş ifadede x=−2x = -2 yazarak limit değeri hesaplanır.
lim⁡x→−2x−2x+1=−2−2−2+1=−4−1=4\lim_{x \to -2} \frac{x-2}{x+1} = \frac{-2-2}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limitin nihai değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda rasyonel ifadeleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yöntemiyle limit hesaplama.
Soru 110Soru →
lim⁡x→π4cos⁡(2x)cos⁡x−sin⁡x\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{\cos x - \sin x}

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2\sqrt{2}

Cevap

Limitin değeri 2\sqrt{2} olarak bulunur.
Limit ifadesinde xx yerine π4\frac{\pi}{4} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşmaktadır. Bu belirsizliği gidermek adına pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) terimi, iki kare farkı özdeşliği yardımıyla cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak (cos⁡x−sin⁡x)(\cos x - \sin x) çarpanları sadeleştirildiğinde geriye cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x kalır. Elde edilen bu sadeleşmiş ifadede x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri yerine yazıldığında cos⁡(π4)+sin⁡(π4)=22+22=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik kontrolü yapılması
00\frac{0}{0} belirsizliği tespit edilmiştir.
x yerine π4\frac{\pi}{4} yazıldığında pay ve paydanın her ikisinin de sıfır olduğu görülür.
2
İfadeyi çarpanlarına ayırma
cos⁡(2x)=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) özdeşliği uygulanır.
Payda ile ortak olan çarpanı sadeleştirerek belirsizliği gidermek.
3
Sadeleştirme ve limit hesaplama
Limit değeri 2\sqrt{2} bulunur.
cos⁡x−sin⁡x\cos x - \sin x ifadeleri sadeleştirildikten sonra kalan ifadede x yerine π4\frac{\pi}{4} yazılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limitlerde yarım açı ve iki kare farkı özdeşlikleri kullanılarak 0/0 belirsizliğinin giderilmesi.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 111Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için f(3)=6f(3) = 6 dır.
lim⁡x→3f(x)=4\lim_{x \to 3} f(x) = 4
lim⁡x→−1f(x)=−2\lim_{x \to -1} f(x) = -2
olduğuna göre,
lim⁡x→1f(x+2)\lim_{x \to 1} f(x+2)
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limitin değeri 4'tür.
Limit değişkeni 1'e yaklaşırken, f(x+2)f(x+2) ifadesinin iç kısmı olan x+2x+2 ifadesi 3'e yaklaşır. Dolayısıyla, bu limit lim⁡u→3f(u)\lim_{u \to 3} f(u) ifadesine eşittir. Soruda bu limit değeri 4 olarak verildiğinden, limitin doğru değeri 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkeninin dönüşümünü belirleme
x→1x \to 1 iken x+2→3x+2 \to 3 olur.
xx değişkeni 1'e yaklaşırken, x+2x+2 ifadesi 1+2=31+2 = 3 değerine yaklaşır.
2
Dönüşüm sonrası limit ifadesini yazma
lim⁡x→1f(x+2)=lim⁡u→3f(u)\lim_{x \to 1} f(x+2) = \lim_{u \to 3} f(u)$
Değişken değiştirme yöntemiyle limit ifadesini bilinen limit noktasına dönüştürmek gerekir.
3
Limit değerini yerine yazarak sonucu bulma
lim⁡u→3f(u)=4\lim_{u \to 3} f(u) = 4
Soruda fonksiyonun 3 noktasındaki limiti 4 olarak verildiğinden, limitin değeri 4 olur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun ötelenmiş halinin limitini alırken değişken değiştirme yöntemi uygulanır. x→ax \to a iken f(x+b)f(x+b) limitini bulmak için u=x+bu = x+b dönüşümü yapılarak u→a+bu \to a+b limitine bakılır.
Soru 112Soru →
f(x)=x−2x2−ax+a+3f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - ax + a + 3} fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde yalnızca bir noktada süreksizdir. Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Doğru cevap olan 4, paydanın tek bir gerçek kökünün olması için gereken Δ=0\Delta = 0 koşulundan elde edilen a=6a = 6 ve a=−2a = -2 değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Süreksizlik şartını belirleme
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, fonksiyonu tanımsız yapan yani paydasını sıfır yapan noktalardır. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması için, paydadaki ikinci dereceden ifadenin yalnızca bir gerçek kökü (çift katlı kök) olmalıdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda sürekli olamazlar.
2
Diskriminant hesabı yapma
Paydadaki x2−ax+a+3x^2 - ax + a + 3 ifadesinin çift katlı köke sahip olması için diskriminantı sıfıra eşitlenir: Δ=(−a)2−4⋅1⋅(a+3)=a2−4a−12=0\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 3) = a^2 - 4a - 12 = 0.
İkinci dereceden bir denklemin tek bir gerçek kökünün olması için diskriminant sıfır olmalıdır.
3
Denklemi çözme ve değerleri toplama
a2−4a−12=0  ⟹  (a−6)(a+2)=0a^2 - 4a - 12 = 0 \implies (a - 6)(a + 2) = 0 denkleminin kökleri a=6a = 6 ve a=−2a = -2 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 6+(−2)=46 + (-2) = 4 olur.
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak aa parametresinin alabileceği farklı değerleri ve bunların toplamını bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların sürekliliği ve paydanın kökleri ile ilişkisi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 113Soru →
lim⁡x→πcos⁡(3π2−x)−sin⁡(2x)sin⁡2x+sin⁡x\lim_{x \to \pi} \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - \sin(2x)}{\sin^2x + \sin x}

limitinin değeri aşa��ıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru seçenekte belirtilen 1 değeri; pay kısmındaki cos(3pi/2 - x) ifadesinin -sin(x) şeklinde indirgenmesi, sin(2x) ifadesinin yarım açı formülüyle açılması, paydadaki sin(x) parantezine alma işlemi ve ardından belirsizlik yaratan sin(x) terimlerinin sadeleştirilip x yerine pi yazılmasıyla elde edilen kesin sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek için indirgeme formülünü ve yarım açı formülünü uygulayınız.
cos⁡(3π2−x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x ifadeleri elde edilir. Pay ifadesi: −sin⁡x−2sin⁡xcos⁡x=−sin⁡x(1+2cos⁡x)-\sin x - 2\sin x \cos x = -\sin x(1 + 2\cos x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliği gidermek amacıyla pay ve paydadaki ortak çarpanları belirlemek için ifadeler çarpanlarına ayrılmalıdır.
2
Payda kısmını ortak çarpan parantezine alınız.
sin⁡2x+sin⁡x=sin⁡x(sin⁡x+1)\sin^2x + \sin x = \sin x(\sin x + 1) elde edilir.
Paydadaki sin⁡x\sin x çarpanını ortaya çıkararak pay kısmındaki sin⁡x\sin x ile sadele��mesini sağlamak amacıyla ortak paranteze alınır.
3
Elde edilen çarpanları limit ifadesinde yerine yazarak x→πx \to \pi için sıfıra yaklaşan ortak çarpanları sadeleştiriniz.
lim⁡x→π−sin⁡x(1+2cos⁡x)sin⁡x(sin⁡x+1)=lim⁡x→π−(1+2cos⁡x)sin⁡x+1\lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x(1 + 2\cos x)}{\sin x(\sin x + 1)} = \lim_{x \to \pi} \frac{-(1 + 2\cos x)}{\sin x + 1} elde edilir.
0/00/0 belirsizliğine neden olan sin⁡x\sin x terimleri sadeleştirilerek belirsizlik durumu ortadan kaldırılır.
4
Kalan ifadede x=πx = \pi değerini yerine yazarak limit değerini bulunuz.
−(1+2cos⁡π)sin⁡π+1=−(1+2(−1))0+1=−(−1)1=1\frac{-(1 + 2\cos \pi)}{\sin \pi + 1} = \frac{-(1 + 2(-1))}{0 + 1} = \frac{-(-1)}{1} = 1 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri, kalan sürekli fonksiyon parçasında doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik İfadelerde Belirsizlik Giderme ve Limit Özellikleri
Soru 114Soru →
f(x)=∣cos⁡(2x)+cos⁡x∣2cos⁡2x−cos⁡xf(x) = \frac{|\cos(2x) + \cos x|}{2\cos^2x - \cos x}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

lim⁡x→π3+f(x)−lim⁡x→π3−f(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) - \lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Sağdan limit değeri olan -3 ile soldan limit değeri olan 3'ün farkı alındığında sonuç -6 olarak bulunur.
Sağdan limit incelenirken kosinüs fonksiyonunun azalan olması nedeniyle mutlak değerin içi negatif olur ve ifade dışarıya işaret değiştirerek çıkar. Sadeleştirme sonucunda sağdan limit -3 bulunur. Soldan limit incelenirken kosinüsün değeri 1/2'den büyük olacağı için mutlak değer içi pozitif kalır ve limit 3 olarak hesaplanır. Bu iki limit değerinin farkı -3 - 3 = -6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak pay kısmındaki ifadeyi kosinüs cinsinden yazın.
cos⁡(2x)+cos⁡x=(2cos⁡2x−1)+cos⁡x=2cos⁡2x+cos⁡x−1\cos(2x) + \cos x = (2\cos^2x - 1) + \cos x = 2\cos^2x + \cos x - 1
Pay ve paydadaki ortak çarpanları belirlemek için ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırın.
Pay: (2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)(2\cos x - 1)(\cos x + 1), Payda: cos⁡x(2cos⁡x−1)\cos x(2\cos x - 1)
Belirsizliğe yol açan ortak çarpanı sadeleştirmek amacıyla çarpanlara ayırma işlemi uygulanır.
3
x, pi/3 değerine sağdan yaklaşırken limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→π3+f(x)=−3\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) = -3
x>π3x > \frac{\pi}{3} iken, birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan cos⁡x<12\cos x < \frac{1}{2} olur. Dolayısıyla 2cos⁡x−1<02\cos x - 1 < 0'dır. Mutlak değerin içi negatif olduğundan işaret değiştirerek çıkar ve sadeleşme sonrası limit −3-3 bulunur.
4
x, pi/3 değerine soldan yaklaşırken limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→π3−f(x)=3\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x) = 3
x<π3x < \frac{\pi}{3} iken cos⁡x>12\cos x > \frac{1}{2} olur. Dolayısıyla 2cos⁡x−1>02\cos x - 1 > 0'dır. Mutlak değerin içi pozitif olduğundan aynen çıkar ve sadeleşme sonrası limit 33 bulunur.
5
Sağdan ve soldan limitlerin farkını bulun.
lim⁡x→π3+f(x)−lim⁡x→π3−f(x)=−3−3=−6\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) - \lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x) = -3 - 3 = -6
Soruda istenen fark ifadesini hesaplamak için elde edilen limit değerleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limit hesaplama, mutlak değerli limitler ve sağdan/soldan limit kavramlarının analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 115Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için f(2)=5f(2) = 5 ve g(2)=2g(2) = 2 olmak üzere,
lim⁡x→2f(x)−3x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4
lim⁡x→2g(x)+1x2−4=3\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x^2 - 4} = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→2f(x)⋅g(x)+3x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) + 3}{x - 2}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Limit değeri 32'dir.
Soruda istenen limit ifadesinin pay kısmı, verilen limitlerin paylarındaki f(x)−3f(x) - 3 ve g(x)+1g(x) + 1 ifadeleri elde edilecek şekilde düzenlenmelidir. Bu cebirsel düzenleme sonucunda limit özellikleri doğrudan uygulanabilir hale gelir. x→2x \to 2 için f(x)f(x) ve g(x)g(x) limit değerleri sırasıyla 33 ve −1-1 olur. Ayrıca kare farkı açılımıyla lim⁡x→2g(x)+1x−2=12\lim_{x \to 2} \frac{g(x)+1}{x-2} = 12 olarak hesaplanır. Bu değerler yerlerine konduğunda limit değeri 3232 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit ifadelerinden f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının x→2x \to 2 iken limit değerlerini bulma
lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} f(x) = 3 ve lim⁡x→2g(x)=−1\lim_{x \to 2} g(x) = -1
x→2x \to 2 iken limitlerin paydaları sıfır olmaktadır. Limit değerleri birer gerçek sayı olduğuna göre, 0/00/0 belirsizliğinin oluşabilmesi için pay kısımlarının limitleri de sıfır olmalıdır. Buradan lim⁡x→2(f(x)−3)=0  ⟹  lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} (f(x) - 3) = 0 \implies \lim_{x \to 2} f(x) = 3 ve lim⁡x→2(g(x)+1)=0  ⟹  lim⁡x→2g(x)=−1\lim_{x \to 2} (g(x) + 1) = 0 \implies \lim_{x \to 2} g(x) = -1 elde edilir.
2
İkinci limit ifadesindeki payda çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirme limitinin değerini bulma
lim⁡x→2g(x)+1x−2=12\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} = 12
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) olduğundan, verilen ikinci limit ifadesi lim⁡x→2(g(x)+1x−2⋅1x+2)=3\lim_{x \to 2} \left( \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2} \right) = 3 şeklinde yazılabilir. Limit ��zelliklerinden, lim⁡x→2g(x)+1x−2⋅lim⁡x→21x+2=3  ⟹  lim⁡x→2g(x)+1x−2⋅14=3\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 2} = 3 \implies \lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \frac{1}{4} = 3 olur. Buradan içler dışlar çarpımı ile lim⁡x→2g(x)+1x−2=12\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} = 12 bulunur.
3
İstenen limit ifadesini, elde edilen bilinen limitleri kullanacak biçimde düzenleme
f(x)g(x)+3x−2=g(x)⋅f(x)−3x−2+3⋅g(x)+1x−2\frac{f(x)g(x) + 3}{x - 2} = g(x) \cdot \frac{f(x) - 3}{x - 2} + 3 \cdot \frac{g(x) + 1}{x - 2}
İstenen ifadenin payına 3g(x)3g(x) eklenip çıkarılarak gruplandırma yapılır: f(x)g(x)−3g(x)+3g(x)+3=g(x)(f(x)−3)+3(g(x)+1)f(x)g(x) - 3g(x) + 3g(x) + 3 = g(x)(f(x) - 3) + 3(g(x) + 1) şeklinde yazılır. Terimler paydaya bölünerek ayrı limitler halinde yazılmaya hazır hale getirilir.
4
Limit özelliklerini uygulayarak sonucu hesaplama
Limit değeri 32'dir.
Toplama ve çarpma limit özelliklerinden yararlanılarak limit dağıtılır: lim⁡x→2g(x)⋅lim⁡x→2f(x)−3x−2+3⋅lim⁡x→2g(x)+1x−2\lim_{x \to 2} g(x) \cdot \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} + 3 \cdot \lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} ifadesi elde edilir. Değerler yerine yazıldığında, (−1)⋅4+3⋅12=−4+36=32(-1) \cdot 4 + 3 \cdot 12 = -4 + 36 = 32 bulunur.

Anahtar Kavram

Limit özellikleri ve belirsizlik durumlarının cebirsel sadeleştirme yöntemleriyle çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 116Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
lim⁡x→1[f(x)+g(x)]=5\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = 5
lim⁡x→1[f(x)⋅g(x)]=6\lim_{x \to 1} [f(x) \cdot g(x)] = 6
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
I. lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) vardır.
II. f(1)+g(1)=5f(1) + g(1) = 5 tir.
III. lim⁡x→1[f(x)2+g(x)2]=13\lim_{x \to 1} [f(x)^2 + g(x)^2] = 13 tür.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Yalnızca üçüncü öncül kesinlikle doğrudur. f(x)2+g(x)2f(x)^2 + g(x)^2 ifadesi [f(x)+g(x)]2−2f(x)g(x)[f(x) + g(x)]^2 - 2f(x)g(x) özdeşliği olarak yazıldığında, limitin temel özellikleri (toplam, fark ve çarpım limitleri) gereği limit değeri 52−2⋅6=135^2 - 2 \cdot 6 = 13 olarak kesin bir şekilde bulunur. Birinci öncülde limitlerin ayrı ayrı varlığı garanti edilemez çünkü fonksiyonlar salınım yapıyor olabilir. İkinci öncülde ise fonksiyonların sürekliliği belirtilmediği için limit değerlerinin fonksiyon değerlerine eşit olması zorunlu değildir.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncülü analiz etmek.
İki fonksiyonun toplamının ve çarpımının limitinin var olması, fonksiyonların ayrı ayrı limitlerinin olmasını gerektirmez. Örneğin, f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonları x→1x \to 1 iken salınım yapıp limitleri olmayabilir, ancak toplamları sabit 5 ve çarpımları sabit 6 olan iki fonksiyon oluşturabilirler (örneğin biri x→1x \to 1 iken 2 ve 3 değerleri arasında salınım yaparken diğeri buna uygun olarak 3 ve 2 değerleri arasında salınım yapabilir). Bu nedenle I. öncül kesinlikle doğru değildir.
Toplam ve çarpım limitlerinin varlığının tekil limitlerin varlığını gerektirip gerektirmediğini belirlemek.
2
II. öncülü analiz etmek.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmak zorunda değildir. Fonksiyonların gerçek sayılar kümesinde tanımlı olması sürekliliklerini garanti etmez. Dolayısıyla f(1)+g(1)=5f(1) + g(1) = 5 eşitliği kesinlikle doğru değildir.
Limit değeri ile fonksiyonun o noktadaki değeri arasındaki farkı ve süreklilik ihtiyacını incelemek.
3
III. öncülü analiz etmek.
f(x)2+g(x)2f(x)^2 + g(x)^2 ifadesini [f(x)+g(x)]2−2f(x)g(x)[f(x) + g(x)]^2 - 2f(x)g(x) özdeşliği şeklinde yazabiliriz. lim⁡x→1[f(x)+g(x)]=5\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = 5 ve lim⁡x→1[f(x)g(x)]=6\lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] = 6 limitleri var olduğundan, limitin toplama, çıkarma ve çarpma özellikleri kullanılabilir. Buradan lim⁡x→1[f(x)2+g(x)2]=(lim⁡x→1[f(x)+g(x)])2−2lim⁡x→1[f(x)g(x)]=52−2⋅6=25−12=13\lim_{x \to 1} [f(x)^2 + g(x)^2] = (\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)])^2 - 2\lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] = 5^2 - 2 \cdot 6 = 25 - 12 = 13 elde edilir. Bu değer kesinlikle doğrudur.
Özdeşlik yardımıyla limit özelliklerini uygulayıp kesin değeri hesaplamak.

Anahtar Kavram

Limitin toplama, çıkarma ve çarpma özellikleri ile tekil limitlerin varlık koşulları.
Soru 117Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x=2x = 2 noktasında sürekli olan ff ve gg fonksiyonları için,
lim⁡x→2f(x)−g(x)x2−4=3\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - g(x)}{x^2 - 4} = 3
lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x2−4=1\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x^2 - 4} = 1
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→2f(x)⋅g(x)−16x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) - 16}{x - 2}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Limit değeri 16'dır.
Verilen fonksiyonların x=2x = 2 noktasındaki sürekliliği kullanılarak f(2)=g(2)=4f(2) = g(2) = 4 olduğu bulunur. Ardından limitin cebirsel özellikleri ve 0/00/0 belirsizliğini giderme yöntemleri uygulanarak aranan limitin değeri 16 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların x=2x = 2 noktasındaki limitlerinin varlığını ve süreklilik özelliğini kullanarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerini bulunuz.
f(2)=4f(2) = 4 ve g(2)=4g(2) = 4 olarak elde edilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı çıkabilmesi için payın limitinin sıfır olması gerekir. Fonksiyonlar sürekli olduğundan limit değerleri fonksiyon değerlerine eşittir.
2
İtenen lim⁡x→2f(x)⋅g(x)−16x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) - 16}{x - 2} limit ifadesinde payı, verilen limit bilgilerini kullanabileceğimiz biçimde çarpanlarına ayırınız.
f(x)⋅g(x)−16=f(x)(g(x)−4)+4(f(x)−4)f(x) \cdot g(x) - 16 = f(x)(g(x) - 4) + 4(f(x) - 4) düzenlemesiyle ifade lim⁡x→2[f(x)g(x)−4x−2+4f(x)−4x−2]\lim_{x \to 2} \left[ f(x) \frac{g(x) - 4}{x - 2} + 4 \frac{f(x) - 4}{x - 2} \right] haline gelir.
Verilen limitler f(x)−4f(x) - 4 ve g(x)−4g(x) - 4 ifadelerinin x−2x-2 ile bölümünün limitlerine dönüştürülebilir.
3
Süreklilikten gelen lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x \to 2} f(x) = 4 bilgisini yerine yazarak ve verilen limitleri düzenleyerek sonucu hesaplayınız.
Limit değeri 4lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x−2=4⋅4=164 \lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x - 2} = 4 \cdot 4 = 16 olarak hesaplanır.
lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x2−4=1\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x^2 - 4} = 1 eşitliğinden lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x - 2} = 4 olduğu bulunur.

Anahtar Kavram

Limit özelliklerinin ve sürekli fonksiyonların limit değerlerinin cebirsel işlemlerle hesaplanması.
Soru 118Soru →
lim⁡x→3x2−92x−6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{2x - 6}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limit değeri 3 olarak bulunur.
Limit değerinin bulunması için x=3 noktasındaki 0/0 belirsizliğinin giderilmesi gerekir. Pay iki kare farkı şeklinde (x-3)(x+3) olarak, payda ise ortak çarpan parantezine alınarak 2(x-3) şeklinde yazılır. x-3 terimleri sadeleştirildikten sonra elde edilen (x+3)/2 ifadesinde x yerine 3 yazıldığında limit değeri 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x yerine 3 yazarak belirsizlik kontrolü yapılması
32−92(3)−6=00\frac{3^2 - 9}{2(3) - 6} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limitte hangi yöntemin uygulanacağını belirlemek için öncelikle belirsizlik durumu tespit edilmelidir.
2
Pay ve paydanın çarpanlarına ayrılması
x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3) ve 2x−6=2(x−3)2x - 6 = 2(x-3) olarak çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliğe sebep olan sıfır çarpanını sadeleştirmek amacıyla ifadeler çarpanlarına ayrılır.
3
Sadeleştirme yapılması ve limitin hesaplanması
lim⁡x→3(x−3)(x+3)2(x−3)=lim⁡x→3x+32=3+32=3\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{2(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{2} = \frac{3+3}{2} = 3 bulunur.
Sadeleştirme sonrasında elde edilen yeni ifadede limit noktası yerine yazılarak limit değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda, belirsizliğe yol açan çarpanlar sadeleştirilerek limit değeri hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 119Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonu
f(x)={x2−4∣x−2∣+a,x<2b−x,2≤x<4∣x2−16∣x−4+1,x≥4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} + a, & x < 2 \\ b - x, & 2 \le x < 4 \\ \frac{|x^2 - 16|}{x - 4} + 1, & x \ge 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için limiti olduğuna göre, a+ba + b toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

a + b toplamının değeri 28'dir.
Fonksiyonun her noktada limitli olması için kritik noktalar olan x=2x=2 ve x=4x=4 noktalarında sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır. Yapılan incelemede sağdan ve soldan limitler eşitlendiğinde b=13b = 13 ve a=15a = 15 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2828 olur.

Adım Adım Çözüm

1
x = 4 noktasındaki limitin varlığını inceleyelim.
lim⁡x→4−f(x)=b−4\lim_{x \to 4^-} f(x) = b - 4 ve lim⁡x→4+f(x)=9\lim_{x \to 4^+} f(x) = 9 bulunur. Buradan b=13b = 13 elde edilir.
ff fonksiyonunun x=4x = 4 noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→4+x \to 4^+ için x>4x > 4 olduğundan x2−16>0x^2 - 16 > 0 olur ve mutlak de��er dışına aynen çıkar.
2
x = 2 noktasındaki limitin varlığını inceleyelim.
lim⁡x→2+f(x)=11\lim_{x \to 2^+} f(x) = 11 ve lim⁡x→2−f(x)=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = -4 + a bulunur. Buradan a=15a = 15 elde edilir.
ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan x−2<0x - 2 < 0 olur ve mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar.
3
Bulunan a ve b değerlerinin toplamını hesaplayalım.
a+b=15+13=28a + b = 15 + 13 = 28
Soruda bizden istenen a + b toplamı değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer fonksiyonlarının kritik noktalarındaki limit varlığı, sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile belirlenir. Mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanırken limit noktasına yaklaşım yönüne göre işaret analizi yapılmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 120Soru →
f(x)={∣x2−9∣x+3+a,x<−3x2−b∣x−1∣,x≥−3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x + 3} + a, & x < -3 \\ x^2 - b|x - 1|, & x \ge -3 \end{cases}

biçiminde tanımlı ff fonksiyonunun x=−3x = -3 noktasında limiti olduğuna göre, a+4ba + 4b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İstenen a+4ba + 4b toplamının değeri 15'tir.
Fonksiyonun x=−3x = -3 noktasında limitinin bulunması, bu noktadaki sağdan limitin (9−4b9 - 4b) soldan limite (a−6a - 6) eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlik düzenlendiğinde a+4b=15a + 4b = 15 bağıntısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=−3x = -3 noktasındaki soldan limitini hesaplamak için x<−3x < -3 kuralını uygulayalım.
lim⁡x→−3−f(x)=a−6\lim_{x \to -3^-} f(x) = a - 6
x<−3x < -3 iken x2>9x^2 > 9 olduğundan ∣x2−9∣=x2−9|x^2 - 9| = x^2 - 9 olarak dışarı çıkar. Bu durumda x2−9x+3+a=(x−3)(x+3)x+3+a=x−3+a\frac{x^2 - 9}{x + 3} + a = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} + a = x - 3 + a olur. Limit değeri ise −3−3+a=a−6-3 - 3 + a = a - 6 bulunur.
2
Fonksiyonun x=−3x = -3 noktasındaki sağdan limitini hesaplamak için x≥−3x \ge -3 kuralını uygulayalım.
lim⁡x→−3+f(x)=9−4b\lim_{x \to -3^+} f(x) = 9 - 4b
xx değeri −3-3'e sağdan yaklaşırken x−1x - 1 ifadesinin içi negatif olacağından (örneğin x=−2.9x = -2.9 için −3.9<0-3.9 < 0) ∣x−1∣=−(x−1)=1−x|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x olur. Fonksiyon bu bölgede x2−b(1−x)x^2 - b(1-x) biçimini alır ve x=−3x = -3 için limit 9−4b9 - 4b bulunur.
3
Limitin var olması için sağdan ve soldan limitleri birbirine eşitleyelim.
a+4b=15a + 4b = 15
Kritik noktada limitin varlığı lim⁡x→−3−f(x)=lim⁡x→−3+f(x)\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) eşitliğini gerektirir. Buradan a−6=9−4b  ⟹  a+4b=15a - 6 = 9 - 4b \implies a + 4b = 15 elde edilir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limiti incelenirken, sağdan ve soldan limitlerin ayrı ayrı hesaplanarak birbirine eşit olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.
ÖncekiSayfa 6 / 7Sonraki
Limit ve Süreklilik Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin