Examkin

Limit ve Süreklilik

122 soru

Tüm türler122Çoktan seçmeli78Doğru / Yanlış23Sayısal21
Soru 81Soru →
g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1)
f(x)=1x2−mx+9f(x) = \frac{1}{x^2 - mx + 9}

fonksiyonları tanımlanıyor.

(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonu her xx gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, mm parametresinin [−10,10][-10, 10] kapalı aralığında alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -40

Cevap

Doğru yanıt −40-40 değeridir.
Bileşke fonksiyonun her yerde sürekli olması için dıştaki fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerlerin, içteki fonksiyonun alabileceği değerler kümesinde bulunmaması gerekir. İçteki logaritmik fonksiyonun en küçük değeri 00 olduğundan, paydanın [0,∞)[0, \infty) aralığında kökü olmamalıdır. Bu durum diskriminantın negatif olması veya köklerin her ikisinin de negatif olması (m<6m < 6) durumunda gerçekleşir. Belirtilen aralıktaki tam sayıların toplamı ise −40-40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonunun süreklilik şartını belirleme
(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için sürekli olması için, her yerde tanımlı ve sürekli olan g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1) altındaki görüntüler için f(u)=1u2−mu+9f(u) = \frac{1}{u^2 - mu + 9} fonksiyonunun paydası olan u2−mu+9u^2 - mu + 9 ifadesinin hiçbir zaman sıfır olmaması gerekir.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarını sıfır yapan değerlerde tanımsızdır ve bu noktalarda süreksiz olurlar.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun görüntü kümesini bulma
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için x2≥0  ⟹  x2+1≥1x^2 \geq 0 \implies x^2 + 1 \geq 1 olur.
Logaritma fonksiyonunun artanlık özelliğinden,
u=ln⁡(x2+1)≥ln⁡(1)=0u = \ln(x^2 + 1) \geq \ln(1) = 0 elde edilir.
Yani u∈[0,∞)u \in [0, \infty) aralığındadır.
İçteki fonksiyon olan g(x)g(x) ifadesinin alabileceği değerler kümesi, dıştaki ff fonksiyonunun tanım kümesi ile eşleşmelidir.
3
Paydayı sıfır yapan denklem için koşulları belirleme
u2−mu+9=0u^2 - mu + 9 = 0 denkleminin [0,∞)[0, \infty) aralığında hiçbir gerçek kökünün olmaması gerekir.
Bunun gerçekleşmesi için iki durum mevcuttur:
Durum 1: Denklemin hiçbir gerçek kökü yoktur (diskriminant negatiftir).
Durum 2: Denklemin gerçek kökleri vardır fakat bu köklerin ikisi de negatiftir.
Eğer denklemin kökleri negatifse veya gerçek kökü yoksa, negatif olmayan uu değerleri için payda hiçbir zaman sıfır olamaz.
4
Belirlenen durumlar için eşitsizlikleri çözme
Durum 1: Δ=m2−36<0  ⟹  −6<m<6\Delta = m^2 - 36 < 0 \implies -6 < m < 6 olur.
Durum 2: Δ≥0  ⟹  m≤−6\Delta \geq 0 \implies m \leq -6 veya m≥6m \geq 6 olmalıdır.
Köklerin ikisinin de negatif olması için kökler toplamı u1+u2=m<0u_1 + u_2 = m < 0 ve kökler çarpımı u1⋅u2=9>0u_1 \cdot u_2 = 9 > 0 (zaten sağlanır) olmalıdır.
Bu koşulların kesişiminden m≤−6m \leq -6 elde edilir.
Her iki durumun birleşiminden m<6m < 6 aralığı bulunur.
Her iki durum da paydanın sıfır olmasını engellediği için bu iki koşulun birleşimi alınır.
5
[−10,10][-10, 10] aralığındaki tam sayıların toplamını hesaplama
m<6m < 6 koşulunu sağlayan [−10,10][-10, 10] aralığındaki tam sayılar:
−10,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerleridir.
Bu sayıların toplamı:
(−10)+(−9)+(−8)+(−7)+(−6)+(−5)+⋯+5=−40(-10) + (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + \dots + 5 = -40 olarak bulunur.
−5-5 ile 55 arasındaki sayılar birbirini sadeleştirir ve geriye sadece −10-10 ile −6-6 arasındaki sayıların toplamı kalır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve ikinci dereceden denklemlerin köklerinin işaret incelemesi
Soru 82Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2x3−ax−2x2−4=b\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - ax - 2}{x^2 - 4} = b
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 214\frac{21}{4}

Cevap

Toplamın değeri 214\frac{21}{4}'tür.
Limitin gerçel sayı çıkması için paydanın sıfır olduğu noktada pay da sıfır olmalıdır. Buradan a=3a = 3 elde edilir. Payda bulunan x3−3x−2x^3 - 3x - 2 ifadesi (x−2)(x+1)2(x-2)(x+1)^2 şeklinde çarpanlarına ayrılarak paydadaki (x−2)(x-2) ile sadeleştirilir. Kalan ifadede x=2x=2 yazılarak limit değeri b=94b = \frac{9}{4} bulunur. Bu iki değer toplandığında 214\frac{21}{4} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleme ve belirsizlik durumunu belirleme
lim⁡x→2(x2−4)=0\lim_{x \to 2} (x^2 - 4) = 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir. Yani, lim⁡x→2(x3−ax−2)=0\lim_{x \to 2} (x^3 - ax - 2) = 0 olmalıdır.
0/00/0 belirsizliği oluşmalıdır, aksi takdirde limit gerçel bir sayı olamaz.
2
aa değerini bulma
23−a(2)−2=0  ⟹  8−2a−2=0  ⟹  6=2a  ⟹  a=32^3 - a(2) - 2 = 0 \implies 8 - 2a - 2 = 0 \implies 6 = 2a \implies a = 3 bulunur.
Polinomların limitinde doğrudan yerine yazma özelliği kullanılır.
3
Belirsizliği gidermek için payı çarpanlarına ayırma
a=3a = 3 için pay x3−3x−2x^3 - 3x - 2 olur. Bu polinomun bir kökü x=2x = 2 olduğundan (x−2)(x - 2) çarpanına tam bölünür. Polinom bölmesi yapıldığında x3−3x−2=(x−2)(x2+2x+1)=(x−2)(x+1)2x^3 - 3x - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 1) = (x - 2)(x + 1)^2 elde edilir.
Ortak çarpanları sadeleştirerek belirsizliği ortadan kaldırmak hedeflenir.
4
Limit değerini (bb) hesaplama
lim⁡x→2(x−2)(x+1)2(x−2)(x+2)=lim⁡x→2(x+1)2x+2=(2+1)22+2=94\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 1)^2}{x + 2} = \frac{(2 + 1)^2}{2 + 2} = \frac{9}{4} bulunur. Buradan b=94b = \frac{9}{4} olur.
Pay ve paydadaki (x−2)(x-2) çarpanları sadeleştikten sonra kalan ifadede x=2x = 2 yazılır.
5
a+ba + b toplamını hesaplama
a+b=3+94=12+94=214a + b = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12 + 9}{4} = \frac{21}{4} elde edilir.
İstenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde, belirsizliğe yol açan çarpanlar sadeleştirilerek limit hesaplanır. Limitin gerçel sayı olması koşuluyla bilinmeyen parametreler belirlenir.
Soru 83Soru →
lim⁡x→−1x2+3+2xx3+1\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2x}{x^3 + 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Limitin değeri 1/2 (veya 0,5) olarak bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra fonksiyona doğrudan limit değeri yazıldığında pay kısmı 66, payda kısmı ise 1212 değerini alır. Bu iki değerin oranı bize limit değerini 1/21/2 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktasını (x=−1x = -1) pay ve paydada yerine yazarak belirsizliği kontrol edin.
Pay: (−1)2+3+2(−1)=2−2=0\sqrt{(-1)^2 + 3} + 2(-1) = 2 - 2 = 0, Payda: (−1)3+1=0(-1)^3 + 1 = 0 olduğundan 0/00/0 belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik durumunun varlığını doğrulamak gerekir.
2
Payı köklü ifadeden kurtarmak için limit ifadesinin pay ve paydasını payın eşleniği olan x2+3−2x\sqrt{x^2 + 3} - 2x ile çarpın.
(x2+3+2x)(x2+3−2x)(x3+1)(x2+3−2x)=(x2+3)−4x2(x3+1)(x2+3−2x)=3−3x2(x3+1)(x2+3−2x)\frac{(\sqrt{x^2 + 3} + 2x)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{(x^2 + 3) - 4x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{3 - 3x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
Köklü ifadelerde 0/00/0 belirsizliğini gidermek için genellikle eşlenik çarpımı yapılarak fark çarpanı oluşturulur.
3
Paydaki 3−3x23 - 3x^2 ifadesini ve paydadaki x3+1x^3 + 1 ifadesini çarpanlarına ayırın, ardından ortak olan x+1x + 1 terimlerini sadeleştirin.
Pay: 3(1−x2)=3(1−x)(1+x)3(1 - x^2) = 3(1 - x)(1 + x), Payda: x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) olduğundan limit ifadesi şuna dönüşür:
lim⁡x→−13(1−x)(1+x)(x+1)(x2−x+1)(x2+3−2x)=lim⁡x→−13(1−x)(x2−x+1)(x2+3−2x)\lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)(1 + x)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)}{(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
x→−1x \to -1 iken sıfır değerini alan ve belirsizliğe yol açan x+1x + 1 çarpanlarını yok etmek gerekir.
4
Sadeleşmiş ifadede xx yerine −1-1 yazarak limiti hesaplayın.
3(1−(−1))((−1)2−(−1)+1)((−1)2+3−2(−1))=3(2)(1+1+1)(4+2)=63×4=612=12\frac{3(1 - (-1))}{((-1)^2 - (-1) + 1)(\sqrt{(-1)^2 + 3} - 2(-1))} = \frac{3(2)}{(1 + 1 + 1)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, yani 0.50.5 elde edilir.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren köklü ve rasyonel ifadelerde eşlenik çarpımı ve çarpanlara ayırma teknikleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.

Alternatif Yöntem

L'Hospital kuralı kullanılarak payın ve paydanın türevi ayrı ayrı alınabilir. Payın türevi: ddx(x2+3+2x)=xx2+3+2\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+3} + 2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} + 2, Paydanın türevi: ddx(x3+1)=3x2\frac{d}{dx}(x^3+1) = 3x^2 olur. x→−1x \to -1 için payın türevi −12+2=32\frac{-1}{2} + 2 = \frac{3}{2} ve paydanın türevi 3(−1)2=33(-1)^2 = 3 olur. Oranlandığında 3/23=12\frac{3/2}{3} = \frac{1}{2} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 84Soru →
lim⁡x→π21−sin⁡3xcos⁡2x\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin^3 x}{\cos^2 x}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

32\frac{3}{2}
Verilen limit işleminde x=π2x = \frac{\pi}{2} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Paydadaki cos⁡2x\cos^2 x terimi 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x şeklinde yazılıp iki kare farkı olarak, paydaki 1−sin⁡3x1 - \sin^3 x terimi ise iki küp farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak (1−sin⁡x)(1 - \sin x) çarpanları sadeleştirildikten sonra belirsizlik ortadan kalkar ve kalan ifadede değişken yerine yazıldığında doğru limit değeri olan 32\frac{3}{2} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x=π2x = \frac{\pi}{2} değeri ifadede yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.
x→π2x \to \frac{\pi}{2} için sin⁡x→1\sin x \to 1 ve cos⁡x→0\cos x \to 0 olur. Dolayısıyla pay 1−13=01 - 1^3 = 0 ve payda 02=00^2 = 0 olup 00\frac{0}{0} belirsizliği mevcuttur.
Limit hesaplamasında ilk adım olarak belirsizliğin türünü tespit etmek gerekir.
2
Paydadaki cos⁡2x\cos^2 x ifadesi yerine sin⁡x\sin x cinsinden eşiti olan 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x yazılır, ardından pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılır.
Paydadaki ifade cos⁡2x=1−sin⁡2x=(1−sin⁡x)(1+sin⁡x)\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x) ve paydaki ifade 1−sin⁡3x=(1−sin⁡x)(1+sin⁡x+sin⁡2x)1 - \sin^3 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x + \sin^2 x) şeklinde yazılır.
Belirsizliği yaratan ortak çarpanı (1−sin⁡x1 - \sin x) sadeleştirebilmek amacıyla çarpanlara ayırma yapılır.
3
Ortak olan 1−sin⁡x1 - \sin x çarpanları sadeleştirilir ve geriye kalan ifadenin limit değeri hesaplanır.
lim⁡x→π2(1−sin⁡x)(1+sin⁡x+sin⁡2x)(1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=lim⁡x→π21+sin⁡x+sin⁡2x1+sin⁡x=1+1+121+1=32\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x + \sin^2 x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x + \sin^2 x}{1 + \sin x} = \frac{1 + 1 + 1^2}{1 + 1} = \frac{3}{2} bulunur.
Sadeleşme sonrasında belirsizlik ortadan kalktığı için doğrudan yerine koyma yöntemi uygulanabilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren trigonometrik limitlerde, temel trigonometrik özdeşlikler kullanılarak tüm ifadeler aynı değişkene çevrilir ve cebirsel çarpanlara ayırma yöntemleriyle belirsizliğe yol açan ortak çarpanlar sadeleştirilir.
Soru 85Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 limitleri geçerlidir. Buna göre, lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} limitinin sonucunun her zaman bir gerçel sayıya eşit olduğu iddiası doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen iddia yanlıştır. Sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limit her zaman bir gerçel sayıya eşit olmak zorunda değildir, limit mevcut olmayabilir.
İddia yanlıştır çünkü sıfır bölü sıfır belirsizliğinde limitin varlığı garanti edilmez. Karşıt örnekte gösterildiği gibi, limit mevcut olmayabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunun analiz edilmesi
lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 limit değerleri pay ve paydanın sıfıra yaklaştığını gösterir, bu da bir 00\frac{0}{0} belirsizliğidir.
Belirsizlik durumunun türünü netleştirerek hangi limit kurallarının uygulanacağını belirlemek gerekir.
2
Belirsizliğin kesin bir gerçel sayı üretmediğini göstermek için karşıt örnek seçilmesi
f(x)=xf(x) = x ve g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonları ile a=0a = 0 noktası ele alınır. lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} x = 0 ve lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0 koşulları sağlanır.
Genel bir iddianın yanlışlığını kanıtlamak için tek bir karşıt örnek yeterlidir.
3
Seçilen karşıt örnekte limitin hesaplanması
lim⁡x→0xx2=lim⁡x→01x\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} elde edilir. Bu limitin sağdan değeri +∞+\infty, soldan değeri ise −∞-\infty olduğundan limit mevcut değildir.
Paydadaki sıfır yapan çarpanın derecesi paydakinden büyük olduğundan sadeleştirme sonrası ifade tanımsızlığa gider ve limit bir gerçel sayı olamaz.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren limitlerin değeri her zaman bir gerçel sayıya eşit olmak zorunda değildir; belirsizlik durumunda limit mevcut olmayabilir veya sonsuz değerler alabilir.
Soru 86Soru →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,

lim⁡x→3x2−ax+6x2−2x−3=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax + 6}{x^2 - 2x - 3} = b

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+8ba + 8b toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen toplamın değeri 7'dir.
Limit değerinin bir gerçel sayıya eşit olması, paydanın limitinin sıfır olduğu durumda payın da limitinin sıfır olmasını gerektirir. Buradan a=5a = 5 bulunur. Fonksiyon çarpanlarına ayrılıp belirsizlik giderildiğinde limit değeri b=1/4b = 1/4 olarak hesaplanır. Bu durumda a+8ba + 8b toplamı 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyip belirsizlik durumunu belirlemek
Limit x→3x \to 3 için payda sıfıra yaklaşmaktadır (32−2(3)−3=03^2 - 2(3) - 3 = 0).
Payda sıfıra yaklaşırken limitin bir gerçel sayı (bb) olabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Bu durum 0/00/0 belirsizliğidir.
2
Payın limitinin sıfır olmasından yararlanarak aa parametresini bulmak
32−a(3)+6=0  ⟹  15−3a=0  ⟹  a=53^2 - a(3) + 6 = 0 \implies 15 - 3a = 0 \implies a = 5 olarak bulunur.
Limitin var olması için payın x=3x=3 noktasındaki değeri sıfır olmalıdır.
3
a=5a = 5 değerini yerine yazarak limit ifadesini sadeleştirmek ve bb değerini hesaplamak
lim⁡x→3x2−5x+6x2−2x−3=lim⁡x→3(x−2)(x−3)(x−3)(x+1)=lim⁡x→3x−2x+1=3−23+1=14=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 2x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+1} = \frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} = b elde edilir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için pay ve payda çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe yol açan (x−3)(x-3) terimleri sadeleştirilir.
4
a+8ba + 8b ifadesinin değerini hesaplamak
a+8b=5+8⋅14=5+2=7a + 8b = 5 + 8 \cdot \frac{1}{4} = 5 + 2 = 7 bulunur.
Bulunan aa ve bb değerleri toplam formülünde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

0/00/0 belirsizliği durumunda limitin varlığı için pay ve paydanın ortak çarpan barındırması gerekir. Bu belirsizlik çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilir.

Alternatif Yöntem

L'Hopital Kuralı kullanılarak pay ve paydanın limit noktasındaki türevleri alınabilir. lim⁡x→32x−a2x−2=b\lim_{x \to 3} \frac{2x - a}{2x - 2} = b eşitliğinde a=5a = 5 yazıldığında b=6−54=14b = \frac{6-5}{4} = \frac{1}{4} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 87Soru →
lim⁡x→4xx−8x−2x\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Limit değeri 6 olarak bulunur.
Limit noktasında ortaya çıkan 0/00/0 belirsizliği, pay kısmındaki xx−8x\sqrt{x}-8 ifadesi (x)3−23(\sqrt{x})^3-2^3 şeklinde iki küp farkı olarak açılıp, paydadaki ifade de x\sqrt{x} parantezine alınarak sadeleştirildiğinde giderilmektedir. Kalan ifadenin limit değeri yerine koyma yöntemiyle 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktasını (x=4x = 4) ifadede yerine koyarak belirsizlik durumunu incelemek.
44−84−24=8−84−4=00\frac{4\sqrt{4} - 8}{4 - 2\sqrt{4}} = \frac{8 - 8}{4 - 4} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limiti hesaplayabilmek için öncelikle belirsizliğin türünü belirlememiz gerekir.
2
Pay kısmındaki xx−8x\sqrt{x} - 8 ifadesini iki küp farkı özdeşliği (a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)) yardımıyla çarpanlarına ayırmak; payda kısmındaki x−2xx - 2\sqrt{x} ifadesini ise ortak çarpan parantezine almak.
Pay: xx−8=(x)3−23=(x−2)(x+2x+4)x\sqrt{x} - 8 = (\sqrt{x})^3 - 2^3 = (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4) ve Payda: x−2x=x(x−2)x - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Pay ve paydadaki belirsizliğe yol açan ortak (x−2)(\sqrt{x} - 2) çarpanını ortaya çıkarmak.
3
Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanlarını sadeleştirmek ve ardından limiti doğrudan hesaplamak.
lim⁡x→4(x−2)(x+2x+4)x(x−2)=lim⁡x→4x+2x+4x=4+24+44=4+4+42=6\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x + 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \frac{4 + 2\sqrt{4} + 4}{\sqrt{4}} = \frac{4 + 4 + 4}{2} = 6 elde edilir.
x→4x \to 4 iken x≠4x \neq 4 olduğundan x−2≠0\sqrt{x} - 2 \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir. Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine koyma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/00/0 belirsizliği durumunda, pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemiyle de çözüm yapılabilir: x=t\sqrt{x} = t dönüşümü yapılırsa x=t2x = t^2 olur. x→4x \to 4 iken t→2t \to 2 olur. Limit ifadesi lim⁡t→2t3−8t2−2t\lim_{t \to 2} \frac{t^3 - 8}{t^2 - 2t} haline gelir. Bu ifade lim⁡t→2(t−2)(t2+2t+4)t(t−2)=lim⁡t→2t2+2t+4t=122=6\lim_{t \to 2} \frac{(t-2)(t^2+2t+4)}{t(t-2)} = \lim_{t \to 2} \frac{t^2+2t+4}{t} = \frac{12}{2} = 6 şeklinde çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 88Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı en geniş kümede
f(x)=x−2x2−ax+9f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - ax + 9}
fonksiyonu tanımlanıyor.

f(x)f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların sayısı 11 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarp��mı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −36-36

Cevap

Süreksiz olduğu nokta sayısını 1 yapan farklı aa değerlerinin çarpımı −36-36 olur.
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar paydayı sıfır yapan değerlerdir. x2−ax+9=0x^2 - ax + 9 = 0 denkleminin tek bir gerçel kökü olması için diskriminantı sıfır olmalıdır (Δ=0\Delta = 0). Buradan a=6a = 6 veya a=−6a = -6 bulunur. Eğer a=13/2a = 13/2 seçilirse payda x=2x=2 için sıfır olur ve paydaki x−2x-2 ile sadeleşen bir çarpan içerir. Ancak sadeleşmeye rağmen fonksiyon başlangıçta x=2x=2 noktasında tanımsız olduğu için bu noktada süreksiz kalır ve diğer kök olan x=9/2x=9/2 ile birlikte toplamda 2 süreksizlik noktası oluşur. Dolayısıyla a=13/2a = 13/2 değeri koşulu sağlamaz. Bu durumda aa'nın alabileceği değerler çarpımı 6⋅(−6)=−366 \cdot (-6) = -36 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktaların tanımsızlık kaynaklı olduğunu belirleyin.
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan x2−ax+9=0x^2 - ax + 9 = 0 denkleminin gerçel kökleridir.
Rasyonel fonksiyonlar tanımlı olmadıkları noktalarda süreksizdir.
2
Paydadaki denklemin tek gerçel kökünün olması koşulunu diskriminant yardımıyla inceleyin.
Δ=a2−4⋅1⋅9=a2−36=0  ⟹  a=6\Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36 = 0 \implies a = 6 veya a=−6a = -6 bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin tam olarak bir gerçel kökünün olması için diskriminantının sıfır olması gerekir.
3
Payı sıfır yapan x=2x=2 değerinin paydayı da sıfır yapması durumunu (sadeleşme ihtimalini) kontrol edin.
22−2a+9=0  ⟹  a=13/22^2 - 2a + 9 = 0 \implies a = 13/2 olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=x−212(2x−9)(x−2)f(x) = \frac{x-2}{\frac{1}{2}(2x-9)(x-2)} halini alır. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyon x=2x=2 noktasında başlangıçta tanımsız olduğundan bu noktada da süreksizdir. Dolayısıyla x=2x=2 ve x=9/2x=9/2 olmak üzere 2 süreksizlik noktası oluşur ve bu durum elenir.
Pay ile paydanın sadeleşmesi fonksiyonu o noktada sürekli kılmaz; fonksiyon o noktada tanımsız kalmaya devam eder.
4
Koşulu sağlayan aa değerlerinin çarpımını hesaplayın.
6⋅(−6)=−366 \cdot (-6) = -36 elde edilir.
Sadece a=6a = 6 ve a=−6a = -6 değerleri için fonksiyonun süreksiz olduğu nokta sayısı 1'dir.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun süreksizlik noktaları, paydasını sıfır yapan gerçel sayılardır. Pay ile paydanın sadeleşmesi, tanımsızlığı ortadan kaldırmaz ve o nokta süreksizlik noktası olmaya devam eder.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 89Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2cos⁡(πx)+acos⁡(π2x)+bsin⁡2(π2x)=3\lim_{x \to 2} \frac{\cos(\pi x) + a\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) + b}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2} x\right)} = 3
eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Limitin varlığı için pay ve paydanın 0/0 belirsizliği oluşturması gerekir. Buradan b = a - 1 bağıntısı elde edilir. Trigonometrik özdeşlikler kullanılıp belirsizlik sadeleştirildiğinde limit değeri (a - 4) / 2 olarak bulunur. Bu değer 3'e eşitlendiğinde a = 10 ve dolayısıyla b = 9 bulunur. Toplamları 19 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Payın limitinin 0 olması koşulunu belirleme
b = a - 1
x = 2 için paydanın limiti 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın limitinin de 0 olması (0/0 belirsizliği) gerekir. cos(2*pi) + a*cos(pi) + b = 0 bağıntısından 1 - a + b = 0 elde edilir.
2
Yarım açı formülü ve değişken değiştirme uygulama
((t + 1)(2t - 2 + a)) / (1 - t^2)
cos(pi*x) = 2*cos^2(pi*x/2) - 1 ve sin^2(pi*x/2) = 1 - cos^2(pi*x/2) özdeşlikleri kullanılır. t = cos(pi*x/2) değişken değiştirmesi yapıldığında, x -> 2 iken t -> -1 olur. b = a - 1 yerine yazıldığında pay ifadesi 2t^2 + at + a - 2 = (t + 1)(2t - 2 + a) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
Belirsizliği giderme ve limiti hesaplama
a = 10
Pay ve paydadaki (t + 1) terimleri sadeleştirilerek belirsizlik giderilir. Kalan ifadenin t -> -1 iken limiti (a - 4) / 2 olur. Bu değer 3'e eşitlenerek a = 10 bulunur.
4
b değerini ve toplamı bulma
a + b = 19
b = a - 1 olduğundan b = 9 bulunur. Buradan a + b = 10 + 9 = 19 elde edilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda trigonometrik özdeşlikler ve çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılarak limit hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 90Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarının her ikisi de x=ax = a noktasında süreksiz ise, (f+g)(f + g) toplam fonksiyonu da x=ax = a noktasında kesinlikle süreksizdir. Bu ifade matematiksel olarak doğru bir önerme midir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır (doğru bir önerme değildir).
Verilen önerme yanlıştır, çünkü bir noktada süreksiz olan iki fonksiyonun toplamı o noktada sürekli olabilir. Zıt yönlü sıçramalara sahip iki fonksiyonun toplamı bu sıçramaları birbirini sıfırlayacak şekilde nötrleyebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik ve süreksizlik tanımlarını belirlemek.
Bir fonksiyonun x=ax = a noktasında sürekli olması için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Bu koşullardan en az birini sağlamayan fonksiyon süreksizdir.
Süreksiz iki fonksiyonun toplamının süreklilik durumunu incelemek için temel kriterleri belirlemek.
2
İfadenin her zaman doğru olmadığını göstermek için karşı örnek oluşturacak fonksiyonlar tasarlamak.
f(x)={1,x≥a−1,x<af(x) = \begin{cases} 1, & x \geq a \\ -1, & x < a \end{cases} ve g(x)={−1,x≥a1,x<ag(x) = \begin{cases} -1, & x \geq a \\ 1, & x < a \end{cases} fonksiyonları tanımlanır. Her iki fonksiyonun da x=ax = a noktasında sağ ve sol limitleri farklı olduğundan bu noktada süreksizdirler.
Her iki fonksiyonun da belirtilen noktada süreksiz olduğunu doğrulamak.
3
Bu iki fonksiyonun toplamını alarak toplam fonksiyonunun sürekliliğini incelemek.
(f+g)(x)=0(f+g)(x) = 0 sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyonlar tüm gerçek sayılar kümesinde sürekli olduğundan, toplam fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.
Süreksiz iki fonksiyonun toplamının sürekli olabileceğini göstererek önermenin yanlış olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Süreksiz iki fonksiyonun toplamının süreklilik durumu
Soru 91Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu her xx gerçel sayısı için

2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2

eşitsizliğini sağlamaktadır.

Buna göre,

lim⁡x→1f(x)−1x2−1\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limitin değeri 1'dir.
Verilen eşitsizlikten 1 çıkarılıp x2−1x^2-1 ifadesine bölündüğünde, x→1+x \to 1^+ ve x→1−x \to 1^- durumları için Sıkıştırma Teoremi uygulandığında limit 1 olarak bulunur. Dolayısıyla limit değeri 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Sıkıştırma Teoremi yardımıyla fonksiyonun x = 1 noktasındaki limitini belirlemek.
lim⁡x→1f(x)=1\lim_{x \to 1} f(x) = 1
Her xx için 2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2 verildiğinden, x→1x \to 1 için limit alındığında lim⁡x→1(2x−1)=1\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1 ve lim⁡x→1x2=1\lim_{x \to 1} x^2 = 1 olur. Bu durumda sıkıştırma teoremi gereği lim⁡x→1f(x)=1\lim_{x \to 1} f(x) = 1 olur. Dolayısıyla aranan limit ifadesinde 00\frac{0}{0} belirsizli��i vardır.
2
Eşitsizliği aranan limit ifadesinin pay kısmını elde edecek şekilde düzenlemek.
2(x−1)≤f(x)−1≤(x−1)(x+1)2(x - 1) \leq f(x) - 1 \leq (x - 1)(x + 1)
2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2 eşitsizliğinin her tarafından 1 çıkarıldığında 2x−2≤f(x)−1≤x2−12x - 2 \leq f(x) - 1 \leq x^2 - 1 elde edilir. Çarpanlara ayırma yapıldığında 2(x−1)≤f(x)−1≤(x−1)(x+1)2(x - 1) \leq f(x) - 1 \leq (x - 1)(x + 1) yazılabilir.
3
x→1+x \to 1^+ ve x→1−x \to 1^- durumları için sağdan ve soldan limitleri incelemek.
Sağdan limit: lim⁡x→1+f(x)−1x2−1=1\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1} = 1, Soldan limit: lim⁡x→1−f(x)−1x2−1=1\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1} = 1
x→1+x \to 1^+ için x2−1>0x^2 - 1 > 0 olduğundan eşitsizlik her tarafı x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ile bölündüğünde yön değiştirmez ve 2x+1≤f(x)−1x2−1≤1\frac{2}{x+1} \leq \frac{f(x)-1}{x^2-1} \leq 1 olur; x→1+x \to 1^+ iken 2x+1→1\frac{2}{x+1} \to 1 olduğundan limit 1'dir. x→1−x \to 1^- için x2−1<0x^2 - 1 < 0 olduğundan bölme işleminde eşitsizlik yön değiştirir ve 1≤f(x)−1x2−1≤2x+11 \leq \frac{f(x)-1}{x^2-1} \leq \frac{2}{x+1} olur; x→1−x \to 1^- iken de limit 1'dir. Sağ ve sol limitler eşit olduğundan limit 1'dir.

Anahtar Kavram

Sıkıştırma (Sandviç) Teoremi ve limit hesaplama teknikleri
Soru 92Soru →

aa bir gerçel sayı parametresi olmak üzere,

f(x)={x2−9x−3,x<4ax−5,x≥4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 4 \\ ax - 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonu yalnızca bir noktada süreksiz olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

a parametresinin değeri 3'tür.
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında tanımsız olmasından dolayı süreksiz olduğu belirlendikten sonra, yalnızca bir süreksizlik noktası olması için x=4x = 4 noktasında sürekli olması gerektiği görülür. x=4x = 4 noktasındaki sol ve sağ limitlerin eşitliğinden 4a−5=74a - 5 = 7 denklemi elde edilir ve buradan aa değeri 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk dal olan rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değeri belirleyin.
x=3x = 3 için payda sıfır olur. 3<43 < 4 olduğundan bu nokta fonksiyonun tanım kümesindedir ancak fonksiyon bu noktada tanımsızdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve dolayısıyla süreksizdir.
2
x=3x = 3 noktasındaki süreksizliği ve sorunun koşulunu analiz edin.
Fonksiyon x=3x = 3 noktasında kesinlikle süreksizdir. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması istendiğinden, diğer kritik nokta olan x=4x = 4 sınır noktasında sürekli olması gerekir.
Eğer x=4x = 4 noktasında da süreksizlik olsaydı, fonksiyonun süreksiz olduğu iki farklı nokta bulunurdu.
3
x=4x = 4 noktasında süreklilik şartını uygulayarak aa değerini bulun.
Sol limit: lim⁡x→4−x2−9x−3=16−94−3=7\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{16 - 9}{4 - 3} = 7
Sağ limit ve fonksiyon değeri: f(4)=4a−5f(4) = 4a - 5
Eşitlikten: 4a−5=7  ⟹  4a=12  ⟹  a=34a - 5 = 7 \implies 4a = 12 \implies a = 3 elde edilir.
Bir fonksiyonun sınır noktasında sürekli olması için o noktadaki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılsa bile paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesine dahil edilmediği için süreksizlik noktalarıdır.
Soru 93Soru →
f(x)={x2−ax−8x−4,x<4bx−2,4≤x<7log⁡2(x−3)+c,x≥7f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax - 8}{x - 4}, & x < 4 \\ bx - 2, & 4 \leq x < 7 \\ \log_2(x - 3) + c, & x \geq 7 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde süreklidir.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktaları olan x=4x = 4 ve x=7x = 7 noktalarında da sürekli olması gerekir. x=4x = 4 noktasındaki sol limitin var olması için payda sıfırken payın da sıfır olması gerektiğinden a=2a = 2 bulunur. Sadeleşen limit değeri 6'dır. Süreklilik için sağ limit de 6 olmalıdır, buradan b=2b = 2 elde edilir. x=7x = 7 noktasındaki sol limit 7(2)−2=127(2) - 2 = 12 olur. Sağ limitin de 12 olması için log⁡2(4)+c=12  ⟹  2+c=12  ⟹  c=10\log_2(4) + c = 12 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10 bulunur. Değerlerin toplamı 14 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
x=4x = 4 noktasındaki sol limitin varlığını incelemek
a=2a = 2 ve lim⁡x→4−f(x)=6\lim_{x \to 4^-} f(x) = 6
x<4x < 4 için tanımsızlık olmaması ve limitin reel sayı çıkması için pay sıfır olmalıdır. Buradan 16−4a−8=0  ⟹  a=216 - 4a - 8 = 0 \implies a = 2 bulunur. İfade sadeleştirildiğinde (x−4)(x+2)x−4=x+2\frac{(x-4)(x+2)}{x-4} = x + 2 olur ve limit 4+2=64 + 2 = 6 çıkar.
2
x=4x = 4 noktasındaki süreklilik şartını uygulamak
b=2b = 2
Sol limit ile sağ limit eşit olmalıdır: lim⁡x→4+(bx−2)=4b−2=6  ⟹  b=2\lim_{x \to 4^+} (bx - 2) = 4b - 2 = 6 \implies b = 2 bulunur.
3
x=7x = 7 noktasındaki süreklilik şartını uygulamak
c=10c = 10
Sol limit ile sağ limit eşit olmalıdır: lim⁡x→7−(2x−2)=12\lim_{x \to 7^-} (2x - 2) = 12 ve lim⁡x→7+(log⁡2(x−3)+c)=log⁡2(4)+c=2+c\lim_{x \to 7^+} (\log_2(x-3) + c) = \log_2(4) + c = 2 + c. Buradan 2+c=12  ⟹  c=102 + c = 12 \implies c = 10 elde edilir.
4
a+b+ca + b + c toplamını hesaplamak
2+2+10=142 + 2 + 10 = 14
Bulunan parametrelerin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limiti, sol limiti ve fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 94Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için aa bir gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→a[f(x)+g(x)]=L1\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L_1
lim⁡x→a[f(x)⋅g(x)]=L2\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L_2
limitleri birer gerçel sayıya eşittir.

Buna göre,
I. lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) limiti bir gerçel sayıya eşittir.
II. lim⁡x→a[f2(x)+g2(x)]\lim_{x \to a} [f^2(x) + g^2(x)] limiti bir gerçel sayıya eşittir.
III. L12≥4L2L_1^2 \geq 4L_2 dir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü öncüllerin yer aldığı seçenek doğrudur.
Toplam ve çarpım limitleri bilindiğinde, limit özellikleri kullanılarak kareler toplamı olan ifadenin limiti doğrudan hesaplanabilir. Ayrıca reel sayıların karesel özellikleri limit koruma teoremiyle birleştiğinde üçüncü öncüldeki eşitsizlik her zaman sağlanır. Ancak bireysel fonksiyonların limitlerinin bulunması zorunlu değildir.

Adım Adım Çözüm

1
f2(x)+g2(x)f^2(x) + g^2(x) ifadesini limitleri bilinen toplam ve çarpım fonksiyonları cinsinden düzenleyin.
f2(x)+g2(x)=(f(x)+g(x))2−2f(x)g(x)f^2(x) + g^2(x) = (f(x) + g(x))^2 - 2f(x)g(x) özdeşliği elde edilir. Limit özellikleri gereği, bu ifadenin limiti L12−2L2L_1^2 - 2L_2 olarak hesaplanır ve bu da bir gerçel sayıdır.
Limit toplama, çıkarma, çarpma ve kuvvet özelliklerini uygulayabilmek için ifadeyi limit değerleri bilinen ifadelere dönüştürmek gerekir.
2
Gerçel sayılarda her zaman geçerli olan (f(x)−g(x))2≥0(f(x) - g(x))^2 \geq 0 eşitsizliğini kullanarak limitlerin sınırlarını belirleyin.
(f(x)+g(x))2−4f(x)g(x)≥0(f(x)+g(x))^2 - 4f(x)g(x) \geq 0 eşitsizliğine ulaşılır. Her iki tarafın limiti alındığında L12−4L2≥0L_1^2 - 4L_2 \geq 0 yani L12≥4L2L_1^2 \geq 4L_2 elde edilir.
Limitin eşitsizlikleri koruma özelliğini kullanarak limit değerleri arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.
3
Bireysel limitlerin varlığını sorgulamak için sağ ve sol limitleri farklı olan ancak toplam ve çarpımları limitli olan bir karşıt örnek kurgulayın.
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının x→ax \to a limitleri mevcut olmasa bile toplam ve çarpımlarının limitlerinin mevcut olabileceği gösterilir.
Birinci öncülün her zaman doğru olmadığını ispatlamak için limit varlık koşulu olan sağ ve sol limit eşitliğini kullanan bir örnek gerekir.

Anahtar Kavram

Limit özellikleri, limitin aritmetik işlemleri ve limit koruma teoremi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 95Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu yalnızca x=ax = a noktasında süreksiz ise ∣f∣|f| fonksiyonu da x=ax = a noktasında kesinlikle süreksizdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. x=ax = a noktasında süreksiz olan bir fonksiyonun mutlak değerinin fonksiyonu o noktada sürekli olabilir.
İfade yanlıştır çünkü x=ax = a noktasında sıçrama tipi süreksizliğe sahip bir fonksiyonun mutlak değeri alındığında, sağ ve sol limitlerin mutlak değerleri birbirine eşit olabilir ve bu durum sürekliliği sağlayabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik tanımını hatırlayalım.
ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması için lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) ��artının sağlanması gerekir. Eğer bu şart sağlanmıyorsa fonksiyon süreksizdir.
Süreksizliğin hangi koşullarda gerçekleştiğini belirlemek.
2
Mutlak değer fonksiyonu ∣f(x)∣|f(x)| için süreklilik durumunu inceleyelim.
∣f(x)∣|f(x)| fonksiyonunun x=ax = a noktasındaki limitleri lim⁡x→a−∣f(x)∣=∣lim⁡x→a−f(x)∣\lim_{x \to a^-} |f(x)| = |\lim_{x \to a^-} f(x)| ve lim⁡x→a+∣f(x)∣=∣lim⁡x→a+f(x)∣\lim_{x \to a^+} |f(x)| = |\lim_{x \to a^+} f(x)| olur.
Mutlak değer limitinin özelliklerini uygulamak.
3
Karşıt bir örnek (aksine örnek) kuralım.
f(x)={3,x≥1−3,x<1f(x) = \begin{cases} 3, & x \geq 1 \\ -3, & x < 1 \end{cases} fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun x=1x = 1 noktasında sağ limiti 33, sol limiti −3-3 olduğundan limiti yoktur ve süreksizdir. Ancak ∣f(x)∣=3|f(x)| = 3 sabit fonksiyonu elde edilir ve bu fonksiyon her xx gerçel sayısı için süreklidir.
İfadenin her zaman doğru olmadığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada süreksiz olması, o noktanın mutlak değer fonksiyonu için de süreksizlik noktası olmasını gerektirmez.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 96Soru →
Bir ff fonksiyonu için
lim⁡x→2f(x)−3x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
lim⁡x→2f2(x)−9x2−4\lim_{x \to 2} \frac{f^2(x) - 9}{x^2 - 4}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
İstenen limit ifadesinde iki kare farkı özdeşliği kullanılarak belirsizliğe yol açan çarpanlar gruplandırılır. lim⁡x→2f(x)−3x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-3}{x-2} = 4 değeri ve payın sıfıra gitme koşulundan elde edilen lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} f(x) = 3 değeri kullanılarak limit özellikleri yardımıyla doğru yanıt olan 6 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit bilgisinden faydalanarak f(x)f(x) fonksiyonunun x→2x \to 2 iken limit değerini belirlemek.
lim⁡x→2(x−2)=0\lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya (4) eşit olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir:
lim⁡x→2(f(x)−3)=0  ⟹  lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} (f(x) - 3) = 0 \implies \lim_{x \to 2} f(x) = 3
Payda sıfıra yaklaşırken limitin var olabilmesi için 0/00/0 belirsizliği oluşmalıdır.
2
İstenen limit ifadesini çarpanlarına ayırmak.
f2(x)−9=(f(x)−3)(f(x)+3)f^2(x) - 9 = (f(x) - 3)(f(x) + 3) ve x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) iki kare farkı açılımları kullanılır.
Bu durumda limit ifadesi:
lim⁡x→2(f(x)−3)(f(x)+3)(x−2)(x+2)\lim_{x \to 2} \frac{(f(x) - 3)(f(x) + 3)}{(x - 2)(x + 2)} şekline dönüşür.
Belirsizliği oluşturan çarpanları belirlemek ve ifadeyi sadeleştirebilir hale getirmek.
3
Limit özelliklerini kullanarak ifadeyi parçalamak ve değerleri yerine yazmak.
İfadeyi çarpım durumunda iki limite ayırabiliriz:
lim⁡x→2(f(x)−3x−2⋅f(x)+3x+2)=(lim⁡x→2f(x)−3x−2)⋅(lim⁡x→2f(x)+3x+2)\lim_{x \to 2} \left( \frac{f(x) - 3}{x - 2} \cdot \frac{f(x) + 3}{x + 2} \right) = \left( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) + 3}{x + 2} \right)
Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
4⋅3+32+2=4⋅64=64 \cdot \frac{3 + 3}{2 + 2} = 4 \cdot \frac{6}{4} = 6
Çarpım limitinin, limitlerin çarpımına eşit olması özelliğini kullanıp sonucu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Limit özelliklerini uygulama ve iki kare farkı özdeşliği yardımıyla belirsizlik içeren limitleri hesaplama.
Soru 97Soru →

Gerçek sayılar kümesinin belirli alt kümelerinde tanımlı

f(x)=x2−4x+3x−3f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3}

ve

g(x)={x−1,x≠35,x=3g(x) = \begin{cases} x - 1, & x \neq 3 \\ 5, & x = 3 \end{cases}

fonksiyonları veriliyor.

Buna göre,

I. lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3g(x)\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} g(x) eşitliği sağlanır.

II. ff fonksiyonu x=3x = 3 noktasında süreklidir.

III. gg fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde süreklidir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Doğru cevap 'Yalnız I' seçeneğidir. Çünkü f ve g fonksiyonlarının her ikisinin de x = 3 noktasındaki limiti 2'ye eşittir. Ancak f fonksiyonu x = 3'te tanımsız olduğundan, g fonksiyonu ise x = 3'teki limit değeri ile fonksiyon değeri birbirine eşit olmadığından sürekli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki fonksiyonun x = 3 noktasındaki limitlerini belirleyin.
f(x) fonksiyonu x ≠ 3 için x - 1 olarak sadeleşir, bu yüzden limiti 2'dir. g(x) fonksiyonu x ≠ 3 için x - 1 kuralına sahip olduğundan onun da limiti 2'dir. Dolayısıyla limitler eşittir ve I. öncül doğrudur.
Limit varlığını ve eşitliğini doğrulamak için x değerinin 3'e sağdan ve soldan yaklaşırken aldığı değerleri analiz etmek gerekir.
2
f fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edin.
f(3) ifadesi tanımsızdır çünkü payda sıfır olmaktadır.
Sürekliliğin ilk şartı fonksiyonun o noktada tanımlı olmasıdır. f(3) tanımlı olmadığından f fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli olamaz. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
3
g fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edin.
g(3) = 5 iken limit değeri 2'dir. Limit değeri ile fonksiyon değeri eşit değildir.
Süreklilik için limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. 2 ≠ 5 olduğundan g fonksiyonu sürekli değildir. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
Soru 98Soru →
lim⁡x→π3sin⁡(3π2−x)−4cos⁡(π+x)tan⁡(3π4)⋅cos⁡(2x)\lim_{x \to \pi} \frac{3\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - 4\cos(\pi + x)}{\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos(2x)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limit değerlerinin doğrudan yerine yazılması ve trigonometrik sadeleştirmelerin yapılmasıyla doğru cevap 1 olarak bulunur.
Limit özellikleri gereğince pay ve paydadaki ifadelerin limitleri ayrı ayrı hesaplanıp oranlanır. Değişken yerine pi yazıldığında pay kısmında sin(pi/2) = 1 ve cos(2pi) = 1 değerleri elde edilir, böylece pay -1 olur. Payda kısmında ise tan(3pi/4) = -1 ve cos(2pi) = 1 değerleri çarpılarak -1 elde edilir. Bu iki değerin oranı olan 1 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit özellikleri gereğince, pay ve paydadaki ifadelerin limitleri ayrı ayrı hesaplanır. Sürekli fonksiyonlarda limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemi ile hesaplanabildiğinden x yerine pi yazılır.
Pay ve payda limitleri ayrı ayrı limit kurallarına göre değerlendirilir.
Bölümün limitini hesaplamak için pay ve paydanın limit değerlerinin bulunması gerekir.
2
Pay kısmında bulunan ifadeler için x yerine pi yazılarak değerler hesaplanır: sin(3pi/2 - pi) = sin(pi/2) = 1 ve cos(pi + pi) = cos(2pi) = 1. Buradan pay kısmının limit değeri 3(1) - 4(1) olarak bulunur.
Pay limit değeri: -1
Payda yer alan fonksiyonların pi noktasındaki limit değerlerini belirlemek.
3
Payda kısmında bulunan ifadeler için limit değerleri hesaplanır: tan(3pi/4) = -1 ve cos(2pi) = 1. Buradan payda kısmının limit değeri (-1) * 1 olarak bulunur.
Payda limit değeri: -1
Paydada yer alan fonksiyonların pi noktasındaki limit değerlerini belirlemek.
4
Elde edilen pay ve payda limit değerleri birbirine oranlanır: (-1) / (-1) işlemi yapılır.
Limit değeri: 1
Bölümün limit kuralını uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limitlerin hesaplanmasında limit özelliklerinin ve trigonometrik indirgeme kurallarının doğru uygulanması.
Soru 99Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x−2,x<2ax+b,2≤x≤5x2−3x−10x−5,x>5f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x < 2 \\ ax + b, & 2 \le x \le 5 \\ \frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}, & x > 5 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

f fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda limitlerinin ve fonksiyon değerlerinin eşit olması gerekir. Buradan elde edilen denklem sisteminin çözümünden a = 1 ve b = 2 bulunur. Dolayısıyla a * b çarpımının değeri 2'dir.
Fonksiyonun x = 2 noktasındaki sol limiti 4 ve x = 5 noktasındaki sağ limiti 7'dir. Süreklilik tanımı gereği, bu noktalardaki fonksiyon değerleri de sırasıyla bu limit değerlerine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklemleri çözüldüğünde a = 1 ve b = 2 bulunur. Çarpımları ise 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 2 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sol limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
2a + b = 4 denklemi elde edilir.
x = 2 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x < 2 için f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) ifadesi x - 2 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sol limit 4 olarak bulunur.
2
x = 5 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sağ limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
5a + b = 7 denklemi elde edilir.
x = 5 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x > 5 için f(x) = (x^2 - 3x - 10)/(x - 5) ifadesi x - 5 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sağ limit 7 olarak bulunur.
3
Elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklem sistemini çözerek a ve b değerlerini bulun.
a = 1 ve b = 2 olarak bulunur. Buradan a * b = 2 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak a'yı, ardından yerine yazarak b'yi bulup çarpım değerini hesaplarız.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarında tanımlı olması, bu noktalarda limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerde tanımsızlık oluşturan sadeleşebilir çarpanlar limit hesabında dikkate alınmalıdır.
Soru 100Soru →
f(x)={x2−ax+4x2−3x+2,x>2bx−1,x≤2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 4}{x^2 - 3x + 2}, & x > 2 \\ bx - 1, & x \leq 2 \end{cases} biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde süreklidir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Çarpımın doğru değeri 22 olmalıdır.
Süreklilik gereği, x=2x=2 noktasında sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Sağdan limitin sonlu bir gerçel sayı olması için paydasındaki x−2x-2 çarpanının sadeleşmesi gerekir, bu da a=4a=4 olmasını gerektirir. Sadeleşme sonrasında sağdan limit 00 olur. Soldan limitin de 00 olması için 2b−1=0  ⟹  b=1/22b-1=0 \implies b=1/2 olmalıdır. Buradan doğru çarpım sonucu 22 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x>2x > 2 aralığındaki rasyonel ifadenin paydasını çarpanlarına ayırarak tanımsızlık durumunu analiz etmek.
x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) olur. Bu ifadenin kökleri x=1x=1 ve x=2x=2'dir. Fonksiyon x>2x > 2 aralığında tanımlandığından, x=1x=1 kökü bu aralıkta değildir ve süreksizliğe yol açmaz. Ancak sınır noktası olan x=2x=2 paydanın köküdür.
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik sınır noktası olan x=2x=2'de sağdan limitinin var ve sonlu olması şarttır.
2
x→2+x \to 2^+ için sağdan limitin mevcut olması amacıyla pay ifadesinin alması gereken değeri bulmak.
lim⁡x→2+x2−ax+4(x−1)(x−2)\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - ax + 4}{(x-1)(x-2)} limitinde payda sıfıra yaklaşmaktadır. Limitin sonlu bir gerçel sayı olabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir (0/00/0 belirsizliği). Buradan, 22−a(2)+4=0  ⟹  8−2a=0  ⟹  a=42^2 - a(2) + 4 = 0 \implies 8 - 2a = 0 \implies a = 4 elde edilir.
Pay sıfırdan farklı olsaydı, limit ±∞\pm\infty olurdu ve fonksiyon x=2x=2 noktasında sürekli olamazdı.
3
a=4a = 4 değeri için sağdan limit değerini hesaplamak.
lim⁡x→2+x2−4x+4(x−1)(x−2)=lim⁡x→2+(x−2)2(x−1)(x−2)=lim⁡x→2+x−2x−1=2−22−1=01=0\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)^2}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{x-1} = \frac{2-2}{2-1} = \frac{0}{1} = 0 bulunur.
Süreklilik şartı gereği sağdan limitin tam değerini bulup soldan limit değeriyle eşitlemek gerekir.
4
x=2x=2 noktasındaki soldan limiti sağdan limite eşitleyerek bb parametresini ve ardından a⋅ba \cdot b çarpımını bulmak.
Soldan limit lim⁡x→2−(bx−1)=2b−1\lim_{x \to 2^-} (bx - 1) = 2b - 1 olur. Süreklilik için lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)  ⟹  2b−1=0  ⟹  b=12\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies 2b - 1 = 0 \implies b = \frac{1}{2} elde edilir. Buradan a⋅b=4⋅12=2a \cdot b = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 bulunur.
Süreklilik tanımı uyarınca kritik noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun parçalı tanımlı kritik noktalarda ve rasyonel ifadelerde süreklilik şartı, limitin varlığı ve 0/00/0 belirsizliğinin giderilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 5 / 7Sonraki
Limit ve Süreklilik Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin