Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 101Soru →
log⁡550−1log⁡25\log_{5} 50 - \frac{1}{\log_{2} 5} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşleminin sonucu 2'dir.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği uygulanarak 1log⁡25\frac{1}{\log_{2} 5} ifadesi log⁡52\log_{5} 2 olarak yazılır. Ardından, tabanları aynı olan logaritmik ifadelerin farkı bölme kuralı yardımıyla log⁡5(502)=log⁡525\log_{5}\left(\frac{50}{2}\right) = \log_{5} 25 haline getirilir. Son olarak, 25=5225 = 5^2 olduğundan log⁡552=2\log_{5} 5^2 = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci terim üzerinde taban değiştirme kuralını uygulayın.
1log⁡25=log⁡52\frac{1}{\log_{2} 5} = \log_{5} 2
log⁡ab=1log⁡ba\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} taban değiştirme özelliği gereğidir.
2
Elde edilen fark işlemini logaritma bölme özelliğine dönüştürün.
log⁡550−log⁡52=log⁡5(502)\log_{5} 50 - \log_{5} 2 = \log_{5}\left(\frac{50}{2}\right)
Aynı tabandaki logaritmaların farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)
3
Argümanı sadeleştirip logaritma değerini hesaplayın.
log⁡525=log⁡5(52)=2\log_{5} 25 = \log_{5}(5^2) = 2
log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve logaritmik ifadelerin farkını bölme şeklinde yazma özelliği.
Tahmini Süre:45s
Soru 102Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=log⁡12−x(x2−4x−12x−3)f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3}\right)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 36'dır.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için iki temel şart sağlanmalıdır: Taban pozitif ve 1'den farklı olmalı (12−x>0  ⟹  x<1212 - x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112 - x \neq 1 \implies x \neq 11), logaritması alınan rasyonel ifade sıfırdan büyük olmalıdır (x2−4x−12x−3>0\frac{x^2-4x-12}{x-3} > 0). Bu rasyonel ifadenin kökleri −2,3,6-2, 3, 6 olup yapılan işaret tablosunda ifadenin (−2,3)∪(6,∞)(-2, 3) \cup (6, \infty) aralığında pozitif olduğu görülür. İki şartın kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (−2,3)∪(6,11)∪(11,12)(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12) olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar −1,0,1,2,7,8,9,10-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 olup toplamları 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının pozitif olma ve 1'e eşit olmama şartlarını belirlemek.
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Logaritmanın tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır (12−x>0  ⟹  x<1212-x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112-x \neq 1 \implies x \neq 11).
2
Logaritmanın içinin pozitif olması koşulu için rasyonel ifadenin pay ve paydasının köklerini bulmak.
Payın kökleri: x=−2,6x = -2, 6 ve paydanın kökü: x=3x = 3
Rasyonel ifadenin işaretini incelemek için tüm çarpanların köklerini bulmamız gerekir.
3
İşaret tablosu oluşturarak x2−4x−12x−3>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3} > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini belirlemek.
x∈(−2,3)∪(6,∞)x \in (-2, 3) \cup (6, \infty)
En sağdaki aralık pozitif işaretle (+) başlar ve her köke gelindiğinde işaret değişir. İfadenin pozitif olduğu bölgeler taranır.
4
Bulunan iki koşulun kesişimini alarak fonksiyonun en geniş tanım kümesini yazmak.
En geniş tanım kümesi: (−2,3)∪(6,11)∪(11,12)(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12)
Hem taban hem de iç kısım şartlarının aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları listelemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: −1,0,1,2,7,8,9,10-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 ve toplamları: 3636
(−2,3)(-2, 3) aralığındaki tam sayılar −1,0,1,2-1, 0, 1, 2 iken (6,11)(6, 11) aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10'dur. x=11x = 11 taban şartından ötürü hariç tutulmuştur. Bu sayıların toplamı −1+0+1+2+7+8+9+10=36-1 + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 = 36 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalı, logaritması alınan ifade ise sıfırdan büyük olmalıdır.
Soru 103Soru →
f(x)=log⁡x−4(18+7x−x2)f(x) = \log_{x-4}(18 + 7x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 21'dir.
Doğru cevap olan 21 değeri; logaritmanın içinin pozitif olması (−2<x<9-2 < x < 9), tabanının pozitif olması (x>4x > 4) ve tabanının 1'den farklı olması (x≠5x \neq 5) koşullarının kesişim kümesi olan (4,9)∖{5}(4, 9) \setminus \{5\} aralığındaki tam sayıların (6,7,86, 7, 8) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın (logaritmanın içinin) pozitif olması gerekir. Bu doğrultuda 18+7x−x2>018 + 7x - x^2 > 0 eşitsizliği çözülür.
Eşitsizlik −(x2−7x−18)>0  ⟹  (x−9)(x+2)<0- (x^2 - 7x - 18) > 0 \implies (x-9)(x+2) < 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Kökler x=−2x = -2 ve x=9x = 9 olup, başkatsayı negatif olduğundan aralık −2<x<9-2 < x < 9 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesinde argümanın pozitif gerçel sayı olması zorunludur.
2
Logaritmanın tabanının pozitif olması gerektiğinden x−4>0x - 4 > 0 eşitsizliği çözülür.
x>4x > 4 elde edilir.
Logaritma tabanı her zaman pozitif bir sayı olmalıdır.
3
Logaritmanın tabanının 1'den farklı olması gerektiğinden x−4≠1x - 4 \neq 1 koşulu incelenir.
x≠5x \neq 5 elde edilir.
Logaritma tabanı 1 olamaz.
4
Elde edilen üç koşulun kesişimi alınarak fonksiyonun en geniş tanım kümesi belirlenir.
−2<x<9-2 < x < 9 ve x>4x > 4 koşulları birleştirildiğinde 4<x<94 < x < 9 elde edilir. x≠5x \neq 5 koşulu da eklendiğinde en geniş tanım kümesi (4,9)∖{5}(4, 9) \setminus \{5\} olur. Bu kümedeki tam sayılar 6,7,86, 7, 8 olup, toplamları 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm kısıtlamaların aynı anda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 104Soru →
log⁡2(x2−∣x∣)⋅log⁡∣x∣(x2+∣x∣)=log⁡2(x4−x2)\log_2(x^2 - |x|) \cdot \log_{|x|}(x^2 + |x|) = \log_2(x^4 - x^2) denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen denklemin tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde hiçbir çözümü yoktur, dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.
Denklem logaritmik tanım aralığı olan ∣x∣>1|x| > 1 üzerinde analiz edildiğinde cebirsel olarak sadeleşerek log⁡∣x∣(∣x∣−1)⋅log⁡∣x∣(∣x∣+1)=1\log_{|x|}(|x|-1) \cdot \log_{|x|}(|x|+1) = 1 halini alır. Bu denklem ise ∣x∣∈(1,2]|x| \in (1, 2] için negatif veya sıfır değerler ürettiğinden, ∣x∣>2|x| > 2 için ise logaritmanın konkavlık özellikleri ve AM-GM eşitsizliği gereği çarpım daima 1'den küçük kaldığından hiçbir gerçel sayı tarafından sağlanamaz. Dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleyin.
log⁡2(x2−∣x∣)\log_2(x^2 - |x|) için x2−∣x∣>0  ⟹  ∣x∣>1x^2 - |x| > 0 \implies |x| > 1. log⁡∣x∣(x2+∣x∣)\log_{|x|}(x^2 + |x|) için taban ∣x∣>0,∣x∣≠1|x| > 0, |x| \neq 1 ve argüman x2+∣x∣>0x^2 + |x| > 0 (her x≠0x \neq 0 için doğrudur). log⁡2(x4−x2)\log_2(x^4 - x^2) için x4−x2>0  ⟹  x2(x2−1)>0  ⟹  ∣x∣>1x^4 - x^2 > 0 \implies x^2(x^2 - 1) > 0 \implies |x| > 1. Ortak tanım kümesi ∣x∣>1|x| > 1 aralığıdır.
Logaritmik denklemlerde elde edilen köklerin geçerliliğini kontrol etmek için öncelikle en geniş tanım kümesi belirlenmelidir.
2
Denklemin sağ tarafındaki argümanı çarpanlarına ayırın ve logaritma özelliklerini uygulayın.
x4−x2=x2(x2−1)=∣x∣2(∣x∣2−1)=(∣x∣2−∣x∣)(∣x∣2+∣x∣)=(x2−∣x∣)(x2+∣x∣)x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = |x|^2(|x|^2 - 1) = (|x|^2 - |x|)(|x|^2 + |x|) = (x^2 - |x|)(x^2 + |x|) yazılabilir. Buradan sağ taraf log⁡2(x4−x2)=log⁡2(x2−∣x∣)+log⁡2(x2+∣x∣)\log_2(x^4 - x^2) = \log_2(x^2 - |x|) + \log_2(x^2 + |x|) haline gelir.
Çarpım durumundaki argümanı toplam biçiminde yazarak sol taraftaki terimlerle ortak çarpanlar elde etmek amaçlanır.
3
a=∣x∣>1a = |x| > 1 değişken değiştirmesi yapın ve taban değiştirme kuralını uygulayın.
Denklem log⁡2(a2−a)⋅log⁡a(a2+a)=log⁡2(a2−a)+log⁡2(a2+a)\log_2(a^2 - a) \cdot \log_a(a^2 + a) = \log_2(a^2 - a) + \log_2(a^2 + a) olur. log⁡2(a2+a)=log⁡a(a2+a)⋅log⁡2a\log_2(a^2 + a) = \log_a(a^2 + a) \cdot \log_2 a ve log⁡2(a2−a)=log⁡a(a2−a)⋅log⁡2a\log_2(a^2 - a) = \log_a(a^2 - a) \cdot \log_2 a dönüşümleri yapıldığında, a>1a > 1 için log⁡2a≠0\log_2 a \neq 0 olduğundan her iki taraf log⁡2a\log_2 a ile bölünebilir. Sadeleşmiş denklem: log⁡a(a2−a)⋅log⁡a(a2+a)=log⁡a(a2−a)+log⁡a(a2+a)\log_a(a^2 - a) \cdot \log_a(a^2 + a) = \log_a(a^2 - a) + \log_a(a^2 + a) olur.
Değişken değiştirme ve taban değiştirme kuralları ile denklemi daha basit bir cebirsel forma indirgemek gerekir.
4
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
log⁡a(a2−a)=1+log⁡a(a−1)\log_a(a^2 - a) = 1 + \log_a(a-1) ve log⁡a(a2+a)=1+log⁡a(a+1)\log_a(a^2 + a) = 1 + \log_a(a+1) yazılırsa, denklem (1+log⁡a(a−1))(1+log⁡a(a+1))=(1+log⁡a(a−1))+(1+log⁡a(a+1))(1 + \log_a(a-1))(1 + \log_a(a+1)) = (1 + \log_a(a-1)) + (1 + \log_a(a+1)) şeklini alır. Bu ifade düzenlendiğinde log⁡a(a−1)⋅log⁡a(a+1)=1\log_a(a-1) \cdot \log_a(a+1) = 1 elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğini tersten kullanarak denklemi en yalın çarpım formuna getirmek amaçlanır.
5
a>1a > 1 için elde edilen log⁡a(a−1)⋅log⁡a(a+1)=1\log_a(a-1) \cdot \log_a(a+1) = 1 denkleminin çözümlerini inceleyin.
1) a∈(1,2)a \in (1, 2) için a−1<1  ⟹  log⁡a(a−1)<0a-1 < 1 \implies \log_a(a-1) < 0 ve a+1>2>a  ⟹  log⁡a(a+1)>1a+1 > 2 > a \implies \log_a(a+1) > 1. Çarpım negatif olacağından 1 olamaz. 2) a=2a = 2 için log⁡21⋅log⁡23=0≠1\log_2 1 \cdot \log_2 3 = 0 \neq 1. 3) a>2a > 2 için doğal logaritma tabanında ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)(ln⁡a)2=1\frac{\ln(a-1)\ln(a+1)}{(\ln a)^2} = 1 durumu incelenir. ln⁡t\ln t fonksiyonunun kesin konkavlığından dolayı ln⁡(a−1)+ln⁡(a+1)2<ln⁡a\frac{\ln(a-1) + \ln(a+1)}{2} < \ln a ve AM-GM eşitsizliğinden ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)≤ln⁡(a−1)+ln⁡(a+1)2\sqrt{\ln(a-1)\ln(a+1)} \le \frac{\ln(a-1) + \ln(a+1)}{2} yazılır. Buradan ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)<(ln⁡a)2\ln(a-1)\ln(a+1) < (\ln a)^2 elde edilir ki bu da çarpımın her zaman 1'den küçük olduğunu gösterir. Sonuç olarak denklemin gerçel kökü yoktur.
Sınır durumları ve logaritma fonksiyonlarının analitik özellikleri yardımıyla denklemin çözüm kümesinin boş küme olduğu gösterilir.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme, taban değiştirme kuralları ve logaritma tanım kümesi sınırlandırmaları altında üstel/logaritmik denklemlerin çözümü ve analitik incelenmesi.
Soru 105Soru →
f(x)=log⁡x−1(−x2+11x−24x2−2x−3)f(x) = \log_{x-1}\left(\frac{-x^2 + 11x - 24}{x^2 - 2x - 3}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.
Doğru seçenekteki değer, tabanın pozitif ve 1'den farklı olması (x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2) ile logaritma içindeki ifadenin pozitif olması (x∈(−1,8)x \in (-1, 8) ve x≠3x \neq 3) koşullarının ortak kesişiminden elde edilen 4, 5, 6 ve 7 tam sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban koşullarının belirlenmesi
x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır: x−1>0  ⟹  x>1x-1 > 0 \implies x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2.
2
Argüman (logaritma içi) ifadesinin sadeleştirilmesi ve tanımsızlık noktalarının belirlenmesi
x≠−1x \neq -1, x≠3x \neq 3 ve x≠8x \neq 8
Argüman ifadesi −(x−3)(x−8)(x−3)(x+1)\frac{-(x-3)(x-8)}{(x-3)(x+1)} olarak çarpanlarına ayrılır. İfadenin tanımlı olması için payda sıfır olmamalıdır (x≠−1x \neq -1 ve x≠3x \neq 3). Ayrıca sınır değerlerin incelenmesi için payı sıfır yapan x=8x = 8 noktası belirlenir.
3
Argümanın işaret tablosunun oluşturulması ve eşitsizlik çözümü
x∈(−1,8)∖{3}x \in (-1, 8) \setminus \{3\}
Payda ve paydaki ortak çarpan (x−3)(x-3) sadeleştirildiğinde, x≠3x \neq 3 koşuluyla argüman 8−xx+1>0\frac{8-x}{x+1} > 0 eşitsizliğine indirgenir. İşaret tablosu yapıldığında bu eşitsizlik (−1,8)(-1, 8) aralığında sağlanır. Tanımsızlık noktası olan 33 bu aralıktan çıkarılmalıdır.
4
Taban ve argüman koşullarının kesiştirilmesi ve tam sayı değerlerinin bulunması
Tanım kümesi: (1,8)∖{2,3}(1, 8) \setminus \{2, 3\}, Toplam: 22
Taban koşulu olan x∈(1,∞)∖{2}x \in (1, \infty) \setminus \{2\} ile argüman koşulu olan x∈(−1,8)∖{3}x \in (-1, 8) \setminus \{3\} kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (1,8)∖{2,3}(1, 8) \setminus \{2, 3\} olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar 4, 5, 6, 7 olup toplamları 4+5+6+7=224+5+6+7=22 bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.
Soru 106Soru →
log⁡x−1(2x2−10x+13)=2\log_{x-1}(2x^2 - 10x + 13) = 2

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Verilen logaritmik denklem üstel forma dönüştürüldüğünde 2x2−10x+13=(x−1)22x^2 - 10x + 13 = (x-1)^2 eşitliği elde edilir. Bu eşitlik düzenlendiğinde x2−8x+12=0x^2 - 8x + 12 = 0 denklemine ve buradan da x=2x = 2 veya x=6x = 6 kök adaylarına ulaşılır. Logaritmanın tanımı gereği taban olan x−1x-1 ifadesi pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. x=2x = 2 için taban 2−1=12 - 1 = 1 olduğundan bu değer tanımsızlığa yol açar ve çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek gerçel sayı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tanımından yararlanarak denklemi üstel forma dönüştürürüz.
2x2−10x+13=(x−1)22x^2 - 10x + 13 = (x-1)^2
log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c özelliğini uygulamak için.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki tam kareyi açıp denklemi düzenleriz.
2x2−10x+13=x2−2x+1  ⟹  x2−8x+12=02x^2 - 10x + 13 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 8x + 12 = 0
İkinci dereceden denklemi standart forma getirmek için.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kök adaylarını buluruz.
(x−2)(x−6)=0  ⟹  x1=2 veya x2=6(x-2)(x-6) = 0 \implies x_1 = 2 \text{ veya } x_2 = 6
Denklemi sağlayan kök adaylarını belirlemek için.
4
Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesi şartlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol ederiz.
Taban olan x−1x-1 ifadesi için: x>1x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2 olmalıdır. Bu durumda x=2x=2 elenir ve geriye yalnızca x=6x=6 kalır.
Logaritmanın tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerektiği kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözüm kümesi ve logaritma tanım kümesi kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 107Soru →
log⁡13(x−2)≥−1\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin sayısı 3'tür.
Logaritma tabanı 1/31/3 (0<1/3<10 < 1/3 < 1) olduğundan, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir ve x−2≤3  ⟹  x≤5x - 2 \leq 3 \implies x \leq 5 elde edilir. Diğer yandan logaritma tanım kümesinden x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 olması gerekir. Bu iki şart birleştirildiğinde çözüm kümesi 2<x≤52 < x \leq 5 olur ve bu aralıktaki tam sayılar 3,4,53, 4, 5 olmak üzere 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için gerekli olan tanım kümesi koşulunu belirleyin.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 olmalıdır.
Logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmik eşitsizliği tabanın durumuna göre çözün.
Taban 13\frac{1}{3} basit kesir (0<13<10 < \frac{1}{3} < 1) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x−2≤(13)−1  ⟹  x−2≤3  ⟹  x≤5x - 2 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies x - 2 \leq 3 \implies x \leq 5 olur.
Logaritma tabanı 0 ile 1 arasında ise eşitsizlik çözülürken yön değiştirir.
3
Tanım kümesi koşulu ile eşitsizlik çözümünü kesiştirin.
2<x≤52 < x \leq 5 aralığı elde edilir.
Çözüm kümesindeki x değerleri hem eşitsizliği sağlamalı hem de logaritmayı tanımlı kılmalıdır.
4
Bu aralıkta yer alan xx tam sayılarını listeleyin ve sayısını bulun.
xx tam sayıları 3,4,53, 4, 5 olup toplamda 3 tanedir.
Belirlenen yarı açık aralıktaki tam sayı değerleri sayılır.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerde eşitsizlik yönünün değiştirilmesi ve logaritma tanım kümesinin (f(x)>0f(x) > 0) çözüm kümesine dahil edilmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 108Soru →
log⁡53⋅log⁡32+log⁡52,5\log_{5} 3 \cdot \log_{3} 2 + \log_{5} 2,5

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen işlemde taban değiştirme kuralı uygulanarak birinci kısım log⁡52\log_{5} 2 olarak bulunur. Ardından aynı tabandaki logaritmaların toplama kuralı gereği içler çarpılır ve log⁡5(2⋅2,5)=log⁡55\log_{5} (2 \cdot 2,5) = \log_{5} 5 elde edilir. Bu ifade de 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım durumundaki logaritmik ifadeleri taban değiştirme özelliğine göre sadeleştirin.
log⁡53⋅log⁡32=log⁡52\log_{5} 3 \cdot \log_{3} 2 = \log_{5} 2
log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c taban değiştirme kuralı gereğince tabanlar birbirini götürür.
2
Elde edilen ifadeyi diğer terimle toplayın.
log⁡52+log⁡52,5=log⁡5(2⋅2,5)\log_{5} 2 + \log_{5} 2,5 = \log_{5} (2 \cdot 2,5)
Aynı tabandaki logaritma toplamı, içlerin çarpımına eşittir: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x \cdot y)
3
Çarpım sonucunu bulup logaritma değerini hesaplayın.
log⁡55=1\log_{5} 5 = 1
log⁡aa=1\log_{a} a = 1 kuralı gereği taban ile iç eşit olduğunda logaritmanın değeri 1 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme (zincir kuralı) ve toplama özelliklerinin uygulanması.
Soru 109Soru →
f(x)=log⁡6−x(x2−4xx2−7x+10)+x+3f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 7x + 10}\right) + \sqrt{x+3}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

En geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı -3'tür.
Kareköklü ifadenin tanımlı olması için x≥−3x \geq -3, logaritma tabanı için x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır. Rasyonel ifadenin pozitif olduğu aralıklar işaret tablosuyla (−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)(-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty) olarak bulunur. Tüm bu aralıkların kesişiminden en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve 33 olup toplamları −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma aralığını bulma
x≥−3x \geq -3
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
2
Logaritma tabanının tanımlı olma şartlarını belirleme
x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5
Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerekir: 6−x>06 - x > 0 ve 6−x≠16 - x \neq 1.
3
Logaritma argümanının pozitif olma şartını belirleme
x∈(−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty)
Logaritmanın tanımlı olması için içerideki rasyonel ifadenin pozitif olması gerekir. x(x−4)(x−2)(x−5)>0\frac{x(x-4)}{(x-2)(x-5)} > 0 eşitsizliğinin kökleri 0,2,4,50, 2, 4, 5 olup işaret tablosunda sağdan sola doğru +,−,+,−,++ , - , + , - , + şeklinde dizilir.
4
Eşitsizliklerin kesişimini alma ve tam sayı değerlerini toplama
Tam sayılar: −3,−2,−1,3-3, -2, -1, 3. Toplam: −3-3
Bulunan tüm şartlar (x≥−3x \geq -3, x<6x < 6, x≠5x \neq 5 ve rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeler) kesiştirilerek en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir şartın ortak kesişim kümesi alınır.
Soru 110Soru →
xlog⁡2x−3=16x^{\log_2 x - 3} = 16 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16.5

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının toplamı 16,5'tir.
Verilen denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alındığında denklem (log⁡2x−3)⋅log⁡2x=4(\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4 biçimine dönüşür. Buradan log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümüyle u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri u=4u = 4 ve u=−1u = -1'dir. Bu değerlere karşılık gelen xx kökleri ise sırasıyla 1616 ve 0,50,5 olup toplamları 16,516,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.
log⁡2(xlog⁡2x−3)=log⁡216⇒(log⁡2x−3)⋅log⁡2x=4\log_2\left(x^{\log_2 x - 3}\right) = \log_2 16 \Rightarrow (\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4
Üstel değişkeni logaritma yardımıyla tabana indirgemek için.
2
log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümü uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denklem olarak yazmak ve çözmek.
u(u−3)=4⇒u2−3u−4=0⇒(u−4)(u+1)=0⇒u1=4 ve u2=−1u(u - 3) = 4 \Rightarrow u^2 - 3u - 4 = 0 \Rightarrow (u - 4)(u + 1) = 0 \Rightarrow u_1 = 4 \text{ ve } u_2 = -1
İkinci dereceden denklemin kök bulma yöntemlerini kullanabilmek için.
3
uu değerlerinden xx değerlerine geçiş yapmak ve bulunan kökleri toplamak.
log⁡2x=4⇒x1=24=16\log_2 x = 4 \Rightarrow x_1 = 2^4 = 16 ve log⁡2x=−1⇒x2=2−1=0,5\log_2 x = -1 \Rightarrow x_2 = 2^{-1} = 0,5. Kökler toplamı: 16+0,5=16,516 + 0,5 = 16,5
Logaritma tanımını uygulayarak orijinal değişkenin değerlerini bulmak ve soruda istenen toplam işlemini gerçekleştirmek için.

Anahtar Kavram

Üstel ifadelerin üssünde logaritma barındıran denklemleri her iki tarafın logaritmasını alarak ve değişken değiştirerek çözme yöntemi.
Soru 111Soru →
f(x)=log⁡x−2(x2−12x+325−x)f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{x^2 - 12x + 32}{5 - x}\right)

kuralı ile verilen f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Logaritma tanım kuralları uygulandığında fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar 6 ve 7'dir, toplamları ise 13'tür.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu şartlar kesiştirildiğinde elde edilen (2,4)∖{3}∪(5,8)(2, 4) \setminus \{3\} \cup (5, 8) tanım kümesindeki tam sayılar sadece 66 ve 77'dir. Bu sayıların toplamı 1313 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Taban şartlarının belirlenmesi
x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ve x−2≠1⇒x≠3x - 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 3
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve birden farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın içinin pozitif olma şartının belirlenmesi
x2−12x+325−x>0⇒(x−4)(x−8)5−x>0\frac{x^2 - 12x + 32}{5 - x} > 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x-8)}{5-x} > 0
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Rasyonel eşitsizliğin işaret tablosunun yapılması
İşaret tablosu için kökler x=4x = 4, x=5x = 5 ve x=8x = 8 olarak bulunur. En büyük dereceli terimlerin işaretleri oranı negatif olduğundan tablo en sağda eksi (-) ile başlar: (8,∞)(8, \infty) aralığında (−)(-), (5,8)(5, 8) aralığında (+)(+), (4,5)(4, 5) aralığında (−)(-) ve (−∞,4)(-\infty, 4) aralığında (+)(+) olur. Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,4)∪(5,8)(-\infty, 4) \cup (5, 8) aralığıdır.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olduğu x aralıklarını belirlemek için işaret tablosu oluşturulur.
4
Elde edilen tüm şartların kesiştirilmesi
x>2x > 2, x≠3x \neq 3 ve x∈(−∞,4)∪(5,8)x \in (-\infty, 4) \cup (5, 8) şartlarının kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (2,4)∖{3}∪(5,8)(2, 4) \setminus \{3\} \cup (5, 8) olarak bulunur.
Logaritmanın hem taban hem de iç şartlarını aynı anda sağlayan en geniş tanım kümesini bulmak için aralıklar kesiştirilir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
(2,4)∖{3}(2, 4) \setminus \{3\} aralığında hiçbir tam sayı yoktur. (5,8)(5, 8) aralığındaki tam sayılar ise 66 ve 77'dir. Toplamları: 6+7=136 + 7 = 13 olur.
Tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamını bulmak amacıyla değerler belirlenir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve birden farklı, içinin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Bu şartlar altındaki eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi en geniş tanım kümesini verir.
Soru 112Soru →
f(x)=log⁡x−2(x2−10x+21)+log⁡11−x(x2−7x)f(x) = \log_{x - 2}(x^2 - 10x + 21) + \log_{11 - x}(x^2 - 7x)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 17'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi (7,10)∪(10,11)(7, 10) \cup (10, 11) aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar sadece 88 ve 99 olup, toplamları 1717'dir. Dolayısıyla doğru yanıt 1717 değerini veren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma terimi olan log⁡x−2(x2−10x+21)\log_{x - 2}(x^2 - 10x + 21) ifadesinin tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulu: x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 ve x−2≠1  ⟹  x≠3x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3 olmalıdır. İçi koşulu: x2−10x+21>0  ⟹  (x−3)(x−7)>0  ⟹  x<3x^2 - 10x + 21 > 0 \implies (x - 3)(x - 7) > 0 \implies x < 3 veya x>7x > 7 olmalıdır. Bu koşulların kesişiminden birinci terimin tanım kümesi D1=(2,3)∪(7,∞)D_1 = (2, 3) \cup (7, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, içinin ise pozitif olması gerekir.
2
İkinci logaritma terimi olan log⁡11−x(x2−7x)\log_{11 - x}(x^2 - 7x) ifadesinin tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulu: 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 ve 11−x≠1  ⟹  x≠1011 - x \neq 1 \implies x \neq 10 olmalıdır. İçi koşulu: x2−7x>0  ⟹  x(x−7)>0  ⟹  x<0x^2 - 7x > 0 \implies x(x - 7) > 0 \implies x < 0 veya x>7x > 7 olmalıdır. Bu koşulların kesişiminden ikinci terimin tanım kümesi D2=(−∞,0)∪(7,10)∪(10,11)D_2 = (-\infty, 0) \cup (7, 10) \cup (10, 11) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, içinin ise pozitif olması gerekir.
3
İki terimin toplamının tanımlı olabilmesi için ortak tanım kümesini bulmak amacıyla D1D_1 ve D2D_2 kümelerinin kesişimini almak.
D1∩D2=((2,3)∪(7,∞))∩((−∞,0)∪(7,10)∪(10,11))D_1 \cap D_2 = ((2, 3) \cup (7, \infty)) \cap ((-\infty, 0) \cup (7, 10) \cup (10, 11)) kesişiminden en geniş tanım kümesi D=(7,10)∪(10,11)D = (7, 10) \cup (10, 11) olarak elde edilir.
Bir fonksiyon toplamının tanımlı olabilmesi için her iki fonksiyonun da aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
En geniş tanım kümesine dahil olan tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
D=(7,10)∪(10,11)D = (7, 10) \cup (10, 11) kümesindeki tam sayılar 88 ve 99 dur (1010 ve 1111 hariçtir). Bu değerlerin toplamı ise 8+9=178 + 9 = 17 olarak hesaplanır.
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamını bulmak için bu aralıklara düşen tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve birden farklı, logaritma alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Toplam şeklindeki fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, terimlerin tanım kümelerinin kesişimidir.
Soru 113Soru →
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡9−x(36−x2)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{9-x}(36 - x^2)

fonksiyonunu tanımlı yapan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonu tanımlı yapan x tam sayılarının toplamı 12'dir.
Fonksiyonun birinci terimi x>2x > 2 için, ikinci terimi ise −6<x<6-6 < x < 6 için tanımlıdır. Her iki aralığın kesişimi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 olduğundan, toplamları 1212 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma terimi olan log⁡x−1(x2−4)\log_{x-1}(x^2 - 4) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2.
Argüman şartı: x2−4>0  ⟹  (x−2)(x+2)>0  ⟹  x>2x^2 - 4 > 0 \implies (x - 2)(x + 2) > 0 \implies x > 2 veya x<−2x < -2.
Bu şartların kesişimi alındığında birinci terimin tanım aralığı (2,∞)(2, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci logaritma terimi olan log⁡9−x(36−x2)\log_{9-x}(36 - x^2) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: 9−x>0  ⟹  x<99 - x > 0 \implies x < 9 ve 9−x≠1  ⟹  x≠89 - x \neq 1 \implies x \neq 8.
Argüman şartı: 36−x2>0  ⟹  (6−x)(6+x)>0  ⟹  −6<x<636 - x^2 > 0 \implies (6 - x)(6 + x) > 0 \implies -6 < x < 6.
Bu şartların kesişimi alındığında (çünkü (−6,6)(-6, 6) aralığı hem x<9x < 9 şartını sağlar hem de 88 değerini içermez) ikinci terimin tanım aralığı (−6,6)(-6, 6) olarak bulunur.
İlk adımda olduğu gibi taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Her iki terimin de aynı anda tanımlı olması için elde edilen tanım aralıklarının kesişimini alalım ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplayalım.
İki tanım kümesinin kesişimi: (2,∞)∩(−6,6)=(2,6)(2, \infty) \cap (-6, 6) = (2, 6) elde edilir.
Bu açık aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 sayılarıdır.
Bu sayıların toplamı: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12 bulunur.
İki fonksiyonun toplamından oluşan bir fonksiyonun tanım kümesi, toplanan her bir fonksiyonun tanım kümelerinin ara kesitidir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi bulunurken hem tabanın hem de argümanın bağımsız olarak pozitif olma şartları incelenir; ayrıca taban 1'e eşit olamaz. Toplam biçimindeki fonksiyonlarda ise her bir terimin tanım kümelerinin kesişim kümesi alınır.
Soru 114Soru →
log⁡2(x2−x)−2log⁡x2−x2=1\log_2(x^2 - x) - 2\log_{x^2 - x} 2 = 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların çarpımı 2'dir.
Verilen denklemde log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapılarak elde edilen ikinci dereceden denklemin kökleri t=2t = 2 ve t=−1t = -1 bulunur. Buradan türetilen x2−x=4x^2 - x = 4 ve x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} denklemlerinin tüm köklerinin logaritma tanım kümesini sağladığı görülür. Bu iki denklemin köklerinin çarpımları sırasıyla −4-4 ve −12-\frac{1}{2} olup, tüm köklerin çarpımı 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi koşullarının belirlenmesi
x2−x>0x^2 - x > 0 ve x2−x≠1x^2 - x \neq 1
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın ise pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Değişken değiştirme uygulanması
t−2t=1t - \frac{2}{t} = 1
log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapıldığında taban değiştirme özelliği gereği log⁡x2−x2=1t\log_{x^2 - x} 2 = \frac{1}{t} olur.
3
t değişkenine bağlı denklemin çözülmesi
t1=2t_1 = 2 veya t2=−1t_2 = -1
t2−t−2=0  ⟹  (t−2)(t+1)=0t^2 - t - 2 = 0 \implies (t - 2)(t + 1) = 0 denkleminden kökler elde edilir.
4
x değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemlerin oluşturulması
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 ve 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0
log⁡2(x2−x)=2  ⟹  x2−x=4\log_2(x^2 - x) = 2 \implies x^2 - x = 4 ve log⁡2(x2−x)=−1  ⟹  x2−x=12\log_2(x^2 - x) = -1 \implies x^2 - x = \frac{1}{2} eşitlikleri düzenlenir.
5
Köklerin varlığı, tanımlılık kontrolü ve kökler çarpımının bulunması
Köklerin çarpımı 2'dir.
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=17>0\Delta = 17 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=4x^2 - x = 4 olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x1⋅x2=−4x_1 \cdot x_2 = -4'tür. 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=12>0\Delta = 12 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x3⋅x4=−12x_3 \cdot x_4 = -\frac{1}{2}'dir. Tüm köklerin çarpımı (−4)⋅(−12)=2(-4) \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme özelliği, değişken değiştirme yöntemi ve köklerin tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi.
Soru 115Soru →
log⁡69+2log⁡26\log_{6} 9 + \frac{2}{\log_{2} 6}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritma ifadesi paya taşınmış, katsayı özelliği ile logaritma argümanının üssü olarak yazılmış ve logaritma toplama kuralı uygulanarak sonuç 2 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki logaritma ifadesine taban değiştirme kuralı uygulanır.
2log⁡26=2⋅log⁡62\frac{2}{\log_{2} 6} = 2 \cdot \log_{6} 2 elde edilir.
Toplama işlemini yapabilmek için tüm logaritma ifadelerinin tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Katsayı durumundaki 2 sayısı argümanın üzerine üs olarak taşınır.
2log⁡62=log⁡622=log⁡642\log_{6} 2 = \log_{6} 2^2 = \log_{6} 4 elde edilir.
Logaritma toplama özelliğini doğrudan uygulayabilmek için katsayıyı yok etmek gerekir.
3
Aynı tabana sahip logaritmaların toplama özelliği uygulanır.
log⁡69+log⁡64=log⁡6(9⋅4)=log⁡636\log_{6} 9 + \log_{6} 4 = \log_{6} (9 \cdot 4) = \log_{6} 36 elde edilir.
Toplama durumundaki iki logaritma ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
4
Elde edilen logaritma ifadesinin değeri hesaplanır.
log⁡636=log⁡662=2\log_{6} 36 = \log_{6} 6^2 = 2 bulunur.
Logaritmanın tanımı gereği taban ile argüman arasındaki kuvvet ilişkisini sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme ve toplama özellikleri
Soru 116Soru →
log⁡2(x2−4x+3)−log⁡x−3(x−1)=1\log_2(x^2 - 4x + 3) - \log_{x-3}(x-1) = 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7+27 + \sqrt{2}

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı 7+27 + \sqrt{2} olur.
Denklemin doğru çözümünde x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 tanım kümesi koşulları altında değişken değiştirme yapılarak (a−1)(a+b)=0(a-1)(a+b)=0 elde edilir. Buradan x=5x=5 ve x=2+2x=2+\sqrt{2} kökleri bulunur. Bu iki kök tanım kümesini sağladığından toplamları 7+27+\sqrt{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesini belirleriz.
x2−4x+3>0  ⟹  (x−3)(x−1)>0  ⟹  x>3x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-3)(x-1) > 0 \implies x > 3 veya x<1x < 1.
x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3.
x−3≠1  ⟹  x≠4x-3 \neq 1 \implies x \neq 4.
x−1>0  ⟹  x>1x-1 > 0 \implies x > 1.
Bu koşulların ortak kesişimi: x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 aralığıdır.
Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması zorunluluğundan dolayı denklemin geçerli tanım aralığ�� belirlenmelidir.
2
Denklemi aynı logaritma tabanına indirgeriz.
x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) olduğundan, log⁡2(x2−4x+3)=log⁡2(x−3)+log⁡2(x−1)\log_2(x^2 - 4x + 3) = \log_2(x-3) + \log_2(x-1) yazılır.
İkinci terim için taban değiştirme kuralı uygulanarak log⁡x−3(x−1)=log⁡2(x−1)log⁡2(x−3)\log_{x-3}(x-1) = \frac{\log_2(x-1)}{\log_2(x-3)} elde edilir.
Değişken değiştirmeyi kolaylaştırmak amacıyla tüm ifadeler 2 tabanına dönüştürülmüştür.
3
a=log⁡2(x−3)a = \log_2(x-3) ve b=log⁡2(x−1)b = \log_2(x-1) değişken değiştirmelerini yaparak denklemi çözülebilir bir cebirsel forma getiririz.
a+b−ba=1a + b - \frac{b}{a} = 1 elde edilir. Payda eşitlendiğinde:
a2+ab−b=a  ⟹  a2−a+b(a−1)=0  ⟹  (a−1)(a+b)=0a^2 + ab - b = a \implies a^2 - a + b(a - 1) = 0 \implies (a - 1)(a + b) = 0 denklemine ulaşılır.
Logaritmik denklemi çarpanlarına ayırarak olası kök durumlarını incelemek kolaylaştırılmıştır.
4
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kök adaylarını buluruz.
1. Durum: a−1=0  ⟹  a=1  ⟹  log⁡2(x−3)=1  ⟹  x−3=2  ⟹  x=5a - 1 = 0 \implies a = 1 \implies \log_2(x-3) = 1 \implies x - 3 = 2 \implies x = 5.
2. Durum: a+b=0  ⟹  b=−a  ⟹  log⁡2(x−1)=−log⁡2(x−3)  ⟹  log⁡2(x−1)=log⁡2(1x−3)  ⟹  (x−1)(x−3)=1  ⟹  x2−4x+2=0  ⟹  x=2±2a + b = 0 \implies b = -a \implies \log_2(x-1) = -\log_2(x-3) \implies \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{1}{x-3}\right) \implies (x-1)(x-3) = 1 \implies x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2} bulunur.
Her bir cebirsel çarpanın sıfır olması durumu ayrı kökler üretir.
5
Elde edilen kök adaylarını başlangıçta belirlenen tanım kümesi (x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4) ile karşılaştırırız.
x=5x = 5 değeri tanım kümesindedir.
x=2+2≈3.414x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 değeri tanım kümesindedir.
x=2−2≈0.586<3x = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586 < 3 olduğundan tanım kümesi dışındadır ve elenir.
Geçerli köklerin toplamı: 5+(2+2)=7+25 + (2 + \sqrt{2}) = 7 + \sqrt{2} olarak bulunur.
Bulunan tüm cebirsel köklerin logaritma kurallarına göre tanımlı birer sayı üretip üretmediği test edilerek yalancı kökler ayıklanmalıdır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemler
Soru 117Soru →
log⁡12(x−2)+2log⁡2(9−x)−2≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 2}{\log_2(9 - x) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 28'dir.
Eşitsizliğin çözümü için logaritma tanım kuralları gereği 2<x<92 < x < 9 olmalıdır. Payın kökü x=6x = 6 ve paydanın kökü x=5x = 5'tir. İşaret tablosu yapıldığında 2<x<52 < x < 5 ve 6≤x<96 \leq x < 9 aralıklarında eşitsizlik sağlanır. Bu aralıklardaki tam sayılar 3,4,6,7,83, 4, 6, 7, 8 olup toplamları 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
2<x<92 < x < 9
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için logaritması alınan ifadelerin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Pay kısmının kökünü ve işaretini bulmak
Kök x=6x = 6, x<6x < 6 için pozitif, x>6x > 6 için negatif
Payı sıfır yapan değeri bulup, taban 00 ile 11 arasında olduğu için azalanlık özelliğine göre işaretini belirleriz.
3
Payda kısmının kökünü ve işaretini bulmak
Kök x=5x = 5, x<5x < 5 için pozitif, x>5x > 5 için negatif
Paydayı sıfır yapan değeri bulup, taban 11'den büyük olduğu için artanlık/azalanlık durumuna göre işaretini belirleriz.
4
İşaret tablosunu oluşturmak ve çözüm kümesini yazmak
Çözüm Kümesi = (2,5)∪[6,9)(2, 5) \cup [6, 9)
Pay ve paydanın işaretlerinin bölümünün pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri tanım kümesi sınırları içinde belirleriz.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplamak
3+4+6+7+8=283 + 4 + 6 + 7 + 8 = 28
Eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesi sınırlarının çözüm kümesine etkisi.
Soru 118Soru →
f(x)=log⁡x−3(64−x2x−3)f(x) = \log_{x-3}\left(\frac{64-x^2}{x-3}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için üç temel koşul uygulanır: Taban pozitif olmalıdır (x−3>0⇒x>3x-3 > 0 \Rightarrow x > 3), taban 1 olmamalıdır (x−3≠1⇒x≠4x-3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4) ve logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır (64−x2x−3>0\frac{64-x^2}{x-3} > 0). x>3x > 3 olduğu için payda pozitif olup, ifadenin pozitif olması için payın da pozitif olması gerekir (64−x2>0⇒−8<x<864-x^2 > 0 \Rightarrow -8 < x < 8). Bu koşulların ortak kesişimi (3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar 5, 6 ve 7 olduğundan, toplamları 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının tanım koşullarını belirleme
x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4
Logaritmanın tabanı daima pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır. Dolayısıyla x−3>0⇒x>3x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 ve x−3≠1⇒x≠4x-3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4 olmalıdır.
2
Logaritması alınan rasyonel ifadenin pozitif olma koşulunu belirleme
64−x2x−3>0\frac{64-x^2}{x-3} > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade daima pozitif olmalıdır.
3
Eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturma ve koşulları sadeleştirme
64−x2>0⇒−8<x<864-x^2 > 0 \Rightarrow -8 < x < 8 (çünkü x>3x > 3 olduğundan payda daima pozitiftir)
1. adımda taban koşulundan x>3x > 3 olduğunu bulmuştuk. Bu durumda paydadaki x−3x-3 ifadesi daima pozitif olur. Dolayısıyla rasyonel ifadenin pozitif olması için pay kısmının da pozitif olması gerekir, yani 64−x2>064-x^2 > 0 olmalıdır. Buradan (8−x)(8+x)>0⇒−8<x<8(8-x)(8+x) > 0 \Rightarrow -8 < x < 8 elde edilir.
4
Bulunan tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini belirleme
x∈(3,8)∖{4}x \in (3, 8) \setminus \{4\}
x>3x > 3, x≠4x \neq 4 ve −8<x<8-8 < x < 8 koşullarının ortak çözüm kümesi (3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} aralığıdır.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulma ve toplama
5, 6, 7 sayılarının toplamı olan 18
(3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} kümesindeki tam sayılar 5, 6 ve 7'dir. Bu sayıların toplamı 5+6+7=185 + 6 + 7 = 18 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.
Soru 119Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
log⁡12(x−3)+3log⁡2(15−x)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 3}{\log_2(15 - x) - 3} \geq 0
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı 65'tir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi, pay ve paydanın tanım kümeleri olan x>3x > 3 ve x<15x < 15 aralığında incelenmelidir. Paydanın kökü x=7x = 7 (açık aralık olmalıdır) ve payın kökü x=11x = 11 (dahil edilmelidir) kullanılarak işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif olan bölgeler (3,7)(3, 7) ve [11,15)[11, 15) aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı 65 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım Kümesinin Belirlenmesi
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritma içleri pozitif olmalıdır:
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3
15−x>0  ⟹  x<1515 - x > 0 \implies x < 15
Ayrıca payda sıfır olamaz:
log⁡2(15−x)−3≠0  ⟹  15−x≠8  ⟹  x≠7\log_2(15 - x) - 3 \neq 0 \implies 15 - x \neq 8 \implies x \neq 7
Buradan genel tanım kümesi: D=(3,7)∪(7,15)D = (3, 7) \cup (7, 15) olarak elde edilir.
Logaritmik eşitsizliklerin çözüm kümesi, fonksiyonların en geniş tanım kümesiyle kesiştirilmelidir.
2
Payın Kökünün ve İşaretinin Bulunması
Payın kökü:
log⁡12(x−3)+3=0  ⟹  log⁡12(x−3)=−3  ⟹  x−3=(12)−3=8  ⟹  x=11\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 3 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) = -3 \implies x - 3 = (\frac{1}{2})^{-3} = 8 \implies x = 11
Taban 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan, x>11x > 11 için pay negatif, x<11x < 11 için pay pozitif değerler alır.
Payın işaret değişim noktalarını belirlemek için kök bulunur ve taban basit kesir olduğu için azalanlık özelliği dikkate alınır.
3
Paydanın Kökünün ve İşaretinin Bulunması
Paydanın kökü:
log⁡2(15−x)−3=0  ⟹  log⁡2(15−x)=3  ⟹  15−x=8  ⟹  x=7\log_2(15 - x) - 3 = 0 \implies \log_2(15 - x) = 3 \implies 15 - x = 8 \implies x = 7
Taban 2>12 > 1 ve logaritma içi azalan (15−x15-x) olduğundan, x>7x > 7 için payda negatif, x<7x < 7 için payda pozitif değerler alır.
Paydanın işaret değişim noktalarını belirlemek için kök bulunur ve 15−x15-x ifadesinin azalanlığı dikkate alınır.
4
İşaret Tablosunun Yapılması ve Çözüm Kümesinin Bulunması
Kritik noktalar olan 3,7,11,153, 7, 11, 15 değerlerine göre işaret tablosu oluşturulur:
- 3<x<73 < x < 7 aralığında: Pay (+)(+), Payda (+)  ⟹  (+) \implies Oran (+)(+)
- 7<x<117 < x < 11 aralığında: Pay (+)(+), Payda (−)  ⟹  (-) \implies Oran (−)(-)
- 11≤x<1511 \leq x < 15 aralığında: Pay (−)(-), Payda (−)  ⟹  (-) \implies Oran (+)(+)
Eşitsizlikte sıfıra eşitlik ve büyüklük istendiği için çözüm kümesi: S=(3,7)∪[11,15)S = (3, 7) \cup [11, 15) olarak bulunur.
Pay ve paydanın işaretlerinin bölümleri incelenerek eşitsizliği sağlayan aralıklar belirlenir.
5
Tam Sayı Değerlerinin Toplanması
(3,7)(3, 7) aralığındaki tam sayılar: 4,5,64, 5, 6
[11,15)[11, 15) aralığındaki tam sayılar: 11,12,13,1411, 12, 13, 14
Tüm bu tam sayıların toplamı:
4+5+6+11+12+13+14=654 + 5 + 6 + 11 + 12 + 13 + 14 = 65 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tabanın 1'den büyük veya 0-1 arasında (basit kesir) olması durumuna göre eşitsizlik yönünün incelenmesi, payda köklerinin hariç tutulması ve tanım kümesi sınırlamalarının eşitsizlik tablosuna entegre edilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 120Soru →
1'den büyük xx, yy ve zz gerçel sayıları için
log⁡xy+log⁡zy=132\log_x y + \log_z y = \frac{13}{2}
log⁡yz+log⁡xz=12\log_y z + \log_x z = \frac{1}{2}
olduğuna göre,
log⁡zx+log⁡yx\log_z x + \log_y x
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen denklem sistemine göre, istenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde değişken değiştirme yöntemi uygulanmış, taban değiştirme kuralları yardımıyla tüm bilinmeyenler tek bir değişken cinsinden ifade edilerek çözülmüştür. Elde edilen değerlerin toplamı 4 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümünün tanımlanması
log⁡xy=a\log_x y = a, log⁡yz=b\log_y z = b ve log⁡zx=c\log_z x = c olsun. Buradan a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı gereğince farklı tabanlardaki logaritmaların çarpımı sadeleşerek 1 değerini verir.
2
İfadelerin çarpmaya göre terslerinin bulunması
log⁡zy=1b\log_z y = \frac{1}{b}, log⁡xz=1c\log_x z = \frac{1}{c} ve log⁡yx=1a\log_y x = \frac{1}{a} olarak yazılır.
Bir logaritmik ifadede taban ile argüman yer değiştirdiğinde ifadenin çarpmaya göre tersi alınır.
3
Denklem sisteminin değişkenler cinsinden ifade edilmesi
a+1b=132a + \frac{1}{b} = \frac{13}{2} ve b+1c=12b + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İstenen ifade ise c+1ac + \frac{1}{a} toplamıdır.
Verilen denklemlerdeki logaritmik ifadelerin yerine tanımladığımız değişkenler yazılmıştır.
4
Değişkenlerin birbirleri cinsinden yazılması
c=21−2bc = \frac{2}{1-2b} ve a=1−2b2ba = \frac{1-2b}{2b} bağıntıları elde edilir.
İkinci denklemden cc çekilerek a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 eşitliğinde yerine yazılmış ve aa elde edilmiştir.
5
Bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması
b=15b = \frac{1}{5}, a=32a = \frac{3}{2} ve c=103c = \frac{10}{3} bulunur.
Bulunan aa bağıntısı birinci denklemde yerine yazılarak bb çözülmüş, ardından bu değerle aa ve cc hesaplanmıştır.
6
İtenen ifadenin hesaplanması
c+1a=103+23=4c + \frac{1}{a} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = 4 bulunur.
Hesaplanan aa ve cc değerleri istenen toplam formülünde yerine yerleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
ÖncekiSayfa 6 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin