Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 81Soru →
log⁡3(x+5)=2\log_3(x + 5) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {4}\{4\} elemanından oluşmaktadır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Logaritma tanımı kullanılarak denklem x+5=32x + 5 = 3^2 biçiminde yazılır ve buradan elde edilen x=4x = 4 değeri logaritmanın tanım kümesi şartını sağladığı için çözüm kümesi gerçekten {4}\{4\} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımını uygulayarak denklemi üstel biçimde ifade edin.
x+5=32x + 5 = 3^2
log⁡a(b)=c\log_a(b) = c denklemi, logaritma tanımı gereği b=acb = a^c şeklinde üstel formda yazılabilir.
2
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek bilinmeyeni bulun.
x=4x = 4
x+5=9x + 5 = 9 denkleminde eşitliğin her iki tarafından 55 çıkarıldığında x=4x = 4 elde edilir.
3
Bulunan değerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin.
4+5=9>04 + 5 = 9 > 0
Bir logaritma ifadesinin tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir. x=4x = 4 değeri bu koşulu sağladığı için geçerli bir köktür.

Anahtar Kavram

Temel logaritmik denklemlerin logaritma tanımı kullanılarak çözülmesi ve tanım kümesi kontrolünün yapılması.
Soru 82Soru →
f(x)=log⁡x2−5x+5(x3−8x2+15x)+log⁡5(9−x)f(x) = \log_{x^2 - 5x + 5}(x^3 - 8x^2 + 15x) + \log_5(9 - x)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayılar��n toplamı 21'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken hem argümanın pozitif olması (x3−8x2+15x>0x^3-8x^2+15x > 0 ve 9−x>09-x > 0) hem de tabanın pozitif ve 1'den farklı olması (x2−5x+5>0x^2-5x+5 > 0 ve x2−5x+5≠1x^2-5x+5 \neq 1) koşullarının tamamı sağlanmalıdır. Bu koşulları sağlayan tam sayılar 6, 7 ve 8 olup, toplamları 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma teriminin argümanının pozitif olma koşulu belirlenir.
x3−8x2+15x>0  ⟹  x(x−3)(x−5)>0x^3 - 8x^2 + 15x > 0 \implies x(x-3)(x-5) > 0. Bu ifadenin kökleri 00, 33 ve 55'tir. İşaret tablosu yapıldığında çözüm kümesi (0,3)∪(5,∞)(0, 3) \cup (5, \infty) aralığı olarak bulunur.
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci logaritma teriminin argümanının pozitif olma koşulu belirlenir ve birinci terimin argüman koşulu ile kesiştirilir.
9−x>0  ⟹  x<99 - x > 0 \implies x < 9. İlk adımda bulunan aralıkla kesiştirildiğinde, x∈(0,3)∪(5,9)x \in (0, 3) \cup (5, 9) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayı adayları {1,2,6,7,8}\{1, 2, 6, 7, 8\} kümesidir.
Her iki logaritma teriminin de aynı anda tanımlı olması için argüman koşullarının kesişimi alınmalıdır.
3
Birinci logaritma teriminin taban koşulları (tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması) incelenir.
Taban ifadesi x2−5x+5x^2 - 5x + 5 için:
1) x2−5x+5>0x^2 - 5x + 5 > 0 olmalıdır.
2) x2−5x+5≠1  ⟹  x2−5x+4≠0  ⟹  (x−1)(x−4)≠0  ⟹  x≠1x^2 - 5x + 5 \neq 1 \implies x^2 - 5x + 4 \neq 0 \implies (x-1)(x-4) \neq 0 \implies x \neq 1 ve x≠4x \neq 4 olmalıdır.
Logaritma tanımı gereği taban her zaman pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
4
Aday tam sayılar taban koşullarına göre kontrol edilerek elenir ve kalanların toplamı hesaplanır.
Aday kümemiz {1,2,6,7,8}\{1, 2, 6, 7, 8\} idi:
- x=1x = 1 için: Taban 12−5(1)+5=11^2 - 5(1) + 5 = 1 olur. Taban 1 olamayacağı için 11 elenir.
- x=2x = 2 için: Taban 22−5(2)+5=−1<02^2 - 5(2) + 5 = -1 < 0 olur. Taban pozitif olacağı için 22 elenir.
- x=6x = 6 için: Taban 11>011 > 0 ve 11≠111 \neq 1 (sağlar).
- x=7x = 7 için: Taban 19>019 > 0 ve 19≠119 \neq 1 (sağlar).
- x=8x = 8 için: Taban 29>029 > 0 ve 29≠129 \neq 1 (sağlar).
Tanım kümesindeki tam sayılar {6,7,8}\{6, 7, 8\} olup toplamları 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 olarak hesaplanır.
Bulunan tam sayı adaylarından taban şartlarını bozmayanlar seçilerek en geniş tanım kümesindeki tam sayılar netleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
Soru 83Soru →
log⁡2(x2−x)=log⁡2(3x−3)\log_2(x^2 - x) = \log_2(3x - 3) denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {3}\{3\}

Cevap

Çözüm kümesi yalnızca 3 elemanından oluşur.
Verilen denklemin cebirsel çözümü yapıldığında elde edilen köklerden yalnızca 3 değeri logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi olan x>1x > 1 koşulunu sağlar. Diğer aday kök olan 1 değeri logaritmanın içini sıfır yaparak tanımsızlığa yol açtığından çözüm kümesine dahil edilmez. Bu sebeple çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için gerekli olan tanım aralıklarını belirleyin.
x2−x>0⇒x(x−1)>0⇒x<0x^2 - x > 0 \Rightarrow x(x-1) > 0 \Rightarrow x < 0 veya x>1x > 1 ve 3x−3>0⇒x>13x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1 bulunur. Bu iki koşulun kesişimi alındığında denklemin tanım kümesi x>1x > 1 aralığı olarak belirlenir.
Logaritmanın tanımı gereği taban ve logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanları eşit olan logaritma ifadelerinin iç kısımlarını birbirine eşitleyerek cebirsel denklemi çözün.
x2−x=3x−3⇒x2−4x+3=0x^2 - x = 3x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 elde edilir. Bu ifade çarpanlarına ayrıldığında (x−3)(x−1)=0(x-3)(x-1) = 0 olur ve aday kökler x=3x = 3 veya x=1x = 1 olarak bulunur.
log⁡a(f(x))=log⁡a(g(x))⇒f(x)=g(x)\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \Rightarrow f(x) = g(x) kuralı uygulanarak logaritmik denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
3
Bulunan aday kökleri başlangıçta elde edilen tanım kümesi (x>1x > 1) ile karşılaştırarak doğruluğunu kontrol edin.
x=1x = 1 değeri tanım kümesinde yer almaz (1>11 > 1 sağlanmaz ve logaritmanın içini sıfır yaparak tanımsız kılar). x=3x = 3 değeri ise tanım kümesindedir (3>13 > 1). Bu nedenle çözüm kümesi sadece  3 \ {3\ } elemanından oluşur.
Elde edilen tüm cebirsel köklerin orijinal fonksiyonda tanımsızlık yaratıp yaratmadığı kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde cebirsel köklerin tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi
Soru 84Soru →
log⁡2(x+1)=log⁡4(9)\log_2(x + 1) = \log_4(9)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 2'dir.
Logaritmanın üs özellikleri kullanılarak log⁡4(9)\log_4(9) ifadesi log⁡2(3)\log_2(3) olarak sadeleştirilir. Tabanlar eşitlendikten sonra argümanların eşitliğinden x+1=3x + 1 = 3 denklemi çözülerek doğru sonuca (2) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sağ tarafında bulunan log⁡4(9)\log_4(9) ifadesini taban değiştirme ve üs kurallarını kullanarak sadeleştirin.
log⁡4(9)=log⁡22(32)=22log⁡2(3)=log⁡2(3)\log_4(9) = \log_{2^2}(3^2) = \frac{2}{2}\log_2(3) = \log_2(3) elde edilir.
Logaritmik denklemleri çözebilmek için her iki tarafın tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Sadeleştirilmiş ifadeyi denklemde yerine yazın ve logaritma fonksiyonunun bire bir özelliğini uygulayın.
log⁡2(x+1)=log⁡2(3)⇒x+1=3\log_2(x+1) = \log_2(3) \Rightarrow x + 1 = 3 olur.
Tabanları aynı olan iki logaritma ifadesi eşitse, argümanları da eşit olmalıdır.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün ve bulunan değerin logaritmanın tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=2x = 2 bulunur. x=2x = 2 için x+1=3>0x + 1 = 3 > 0 olduğundan bu değer tanım kümesini sağlar.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban eşitleme ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Soru 85Soru →
log⁡224−1log⁡32\log_{2} 24 - \frac{1}{\log_{3} 2}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşleminin sonucu 3'tür.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği kullanılarak ikinci terim log⁡23\log_{2} 3 olarak yazılır. Tabanları eşit olan iki logaritmanın farkı kuralı uygulandığında log⁡2(243)=log⁡28\log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8 elde edilir. 8=238 = 2^3 eşitliği kullanılarak sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
1log⁡32=log⁡23\frac{1}{\log_{3} 2} = \log_{2} 3
Paydadaki logaritma ifadesini pay kısmına taşımak ve tabanları eşitlemek için 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a kuralı uygulanır.
2
Logaritma farkı özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirme
log⁡224−log⁡23=log⁡2(243)=log⁡28\log_{2} 24 - \log_{2} 3 = \log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8
Aynı tabandaki iki logaritmanın farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right).
3
Logaritma değerini hesaplama
log⁡28=log⁡2(23)=3\log_{2} 8 = \log_{2}(2^3) = 3
8 sayısı 2 tabanında üstel biçimde yazılır ve log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme ve logaritma fark kuralı kullanılarak ifadelerin sadeleştirilmesi.
Soru 86Soru →
f(x)=log⁡x2−3x−3(16−x2)f(x) = \log_{x^2 - 3x - 3}(16 - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geni�� tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -5'tir.
Logaritmanın tanım kuralları uygulandığında 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliğinden x∈(−4,4)x \in (-4, 4) bulunur. Taban koşullarından x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 eşitsizliği ve x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1 şartı birlikte değerlendirildiğinde bu aralıkta sağlayan tam sayılar yalnızca −3-3 ve −2-2 olup, toplamları −5-5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Argümanın pozitif olması koşulunu (16−x2>016 - x^2 > 0) çözmek.
x∈(−4,4)x \in (-4, 4) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} kümesidir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın pozitif olması koşulunu (x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0) incelemek.
İlk adımdaki tam sayılardan bu koşulu sağlayanlar {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} olarak bulunur. x∈{0,1,2,3}x \in \{0, 1, 2, 3\} için taban negatif olur.
Logaritmanın tabanı daima pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.
3
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu (x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1) incelemek.
x2−3x−4≠0  ⟹  (x−4)(x+1)≠0  ⟹  x≠4x^2 - 3x - 4 \neq 0 \implies (x-4)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 4 ve x≠−1x \neq -1 elde edilir. Bu durumda {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} kümesinden x=−1x = -1 değeri elenerek {−3,−2}\{-3, -2\} bulunur.
Logaritmanın tabanı 1'e eşit olamaz.
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.
(−3)+(−2)=−5(-3) + (-2) = -5
Soruda tanım kümesindeki tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın pozitif ve tabanın 1'den farklı olması gerekir.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliklerin ortak çözüm kümesini işaret tablosu oluşturarak bulmak: 16−x2>016-x^2 > 0 için kökler −4-4 ve 44, işaret tablosu +−++ - + şeklinde incelenir ve (−4,4)(-4, 4) aralığı bulunur. x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 için kökler yaklaşık −0.79-0.79 ve 3.793.79'dur. Bu iki aralığın kesişimi (−4,−0.79)∪(3.79,4)(-4, -0.79) \cup (3.79, 4) olur. Bu kümedeki tam sayılar −3-3 ve −2-2 olup toplamları −5-5 yapar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 87Soru →
log⁡3(x2)⋅log⁡2(x)=4log⁡2(x)\log_3(x^2) \cdot \log_2(x) = 4\log_2(x)

denkleminin gerçel sayılardaki köklerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010

Cevap

Gerçel köklerin toplamı olan 10 sayısıdır.
Denklem, sol tarafa toplanıp ortak çarpan parantezine alındığında log⁡2(x)⋅(log⁡3(x2)−4)=0\log_2(x) \cdot (\log_3(x^2) - 4) = 0 halini alır. Buradan log⁡2(x)=0\log_2(x) = 0 eşitliğini sağlayan kök x=1x = 1 ve log⁡3(x2)=4\log_3(x^2) = 4 eşitliğini sağlayan köklerden tanım kümesine (x>0x > 0) uyan kök x=9x = 9 olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı 1+9=101 + 9 = 10 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemin sağ tarafındaki terimi sol tarafa atarak ortak çarpan parantezine alalım.
log⁡2(x)⋅(log⁡3(x2)−4)=0\log_2(x) \cdot (\log_3(x^2) - 4) = 0
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözüme ulaşmak için.
2
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyip tanım kümesine uygunluğunu denetleyelim.
log⁡2(x)=0⇒x=20=1\log_2(x) = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1. Bu değer logaritmanın tanım kümesi olan x>0x > 0 koşulunu sağlar.
Çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerektiğinden.
3
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyip elde edilen köklerin tanım kümesine uygunluğunu denetleyelim.
log⁡3(x2)−4=0⇒log⁡3(x2)=4⇒x2=34=81⇒x=9\log_3(x^2) - 4 = 0 \Rightarrow \log_3(x^2) = 4 \Rightarrow x^2 = 3^4 = 81 \Rightarrow x = 9 veya x=−9x = -9. Ancak logaritma tanım kümesi gereği x>0x > 0 olmalıdır, bu yüzden x=−9x = -9 elenir ve sadece x=9x = 9 geçerli bir kök olarak alınır.
Logaritmik fonksiyonların tanımlı olması için argümanların pozitif olması gerektiğinden.
4
Bulunan geçerli köklerin toplamını hesaplayalım.
1+9=101 + 9 = 10
Denklemin gerçel köklerinin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemlerin Çözüm Kümesi ve Tanım Kümesi Kontrolü
Soru 88Soru →
f(x)=log⁡x−19−x(x2−x−6)f(x) = \log_{\frac{x-1}{9-x}}(x^2 - x - 6)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 25 değerine eşittir.
Doğru cevaba ulaşmak için tabanın pozitiflik (1<x<91 < x < 9) ve 1'den farklı olma (x≠5x \neq 5) koşulları ile logaritma içinin pozitiflik (x<−2x < -2 veya x>3x > 3) koşullarının kesişimi alınır. Bu kesişimden (3,9)∖{5}(3, 9) \setminus \{5\} kümesi elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar 4, 6, 7, 8 olup toplamları 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının pozitif olması koşulunu incelemek.
x−19−x>0  ⟹  x∈(1,9)\frac{x-1}{9-x} > 0 \implies x \in (1, 9)
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritma tabanının 1'den farklı olması koşulunu incelemek.
x−19−x≠1  ⟹  x−1≠9−x  ⟹  2x≠10  ⟹  x≠5\frac{x-1}{9-x} \neq 1 \implies x - 1 \neq 9 - x \implies 2x \neq 10 \implies x \neq 5
Logaritma tanımı gereği taban 1'e eşit olamaz.
3
Logaritma içerisindeki ifadenin pozitif olması koşulunu incelemek.
x2−x−6>0  ⟹  (x−3)(x+2)>0  ⟹  x<−2 veya x>3x^2 - x - 6 > 0 \implies (x-3)(x+2) > 0 \implies x < -2 \text{ veya } x > 3
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini belirlemek.
x∈(3,9)∖{5}x \in (3, 9) \setminus \{5\}
Fonksiyonun tanımlı olması için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplamak.
4,6,7,8  ⟹  4+6+7+8=254, 6, 7, 8 \implies 4 + 6 + 7 + 8 = 25
İstenen tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için kümedeki elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 89Soru →
log⁡2(x2−1)−log⁡2(x−1)=3\log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 7'dir.
Logaritmanın fark özelliği kullanılarak denklem düzenlendiğinde log⁡2(x+1)=3\log_2(x + 1) = 3 elde edilir. Buradan x+1=23=8x + 1 = 2^3 = 8 ve x=7x = 7 bulunur. 7 değeri tanım kümesini (x>1x > 1) sağladığı için denklemi doğrulayan tek gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi belirlenir.
x2−1>0x^2 - 1 > 0 ve x−1>0x - 1 > 0 olmalıdır. Buradan ortak çözüm kümesi x>1x > 1 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın fark özelliği kullanılarak ifade tek bir logaritma altında birleştirilir.
log⁡2(x2−1x−1)=3\log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) = 3
log⁡b(A)−log⁡b(B)=log⁡b(AB)\log_b(A) - \log_b(B) = \log_b\left(\frac{A}{B}\right) özelliğini uygulamak için.
3
Logaritmanın içindeki rasyonel ifade çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.
x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olduğundan, x>1x > 1 için x−1x - 1 terimleri sadeleşir ve denklem log⁡2(x+1)=3\log_2(x + 1) = 3 halini alır.
Denklemi daha basit bir birinci dereceden denkleme indirgemek için.
4
Logaritma tanımı kullanılarak üslü ifadeye geçiş yapılır.
x+1=23  ⟹  x+1=8  ⟹  x=7x + 1 = 2^3 \implies x + 1 = 8 \implies x = 7 bulunur.
log⁡b(y)=a  ⟹  y=ba\log_b(y) = a \implies y = b^a tanımını uygulamak için.
5
Bulunan değerin tanım kümesine uygunluğu kontrol edilir.
x=7x = 7 değeri x>1x > 1 koşulunu sağladığından denklemin çözümüdür.
Bulunan kökün başlangıçtaki denklemi tanımsız yapmadığından emin olmak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin fark özelliğiyle düzenlenmesi ve tanım kümesi kontrolünün yapılması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 90Soru →
log⁡2(9x−3)=xlog⁡23+1\log_2(9^x - 3) = x\log_2 3 + 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 11 olarak bulunur.
Denklemin sağ tarafı \log_2(2 \cdot 3^x) olarak yazıldıktan sonra tabanların eşitliğinden 9^x - 3 = 2 \cdot 3^x elde edilir. Bu denklemde 3^x = t dönüşümü yapıldığında t^2 - 2t - 3 = 0 denklemi bulunur. Çarpanlarına ayrıldığında kökler t = 3 ve t = -1 gelir. Üstel ifade pozitif olmak zorunda olduğundan 3^x = 3 eşitliğinden tek geçerli gerçel kök x = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifade logaritma özellikleri kullanılarak düzenlenir.
xlog⁡23+1=log⁡2(3x)+log⁡22=log⁡2(2⋅3x)x\log_2 3 + 1 = \log_2(3^x) + \log_2 2 = \log_2(2 \cdot 3^x)
Eşitliğin her iki tarafını aynı tabanda logaritma içeren ifadelere dönüştürmek için.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma tabanları aynı (2) olduğundan, logaritması alınan ifadeler (argümanlar) birbirine eşitlenir.
9x−3=2⋅3x9^x - 3 = 2 \cdot 3^x
Logaritmik fonksiyonun birebir olmasından dolayı tabanlar eşitse argümanların da eşit olması gerekir.
3
Elde edilen denklemde 3x=t3^x = t değişken değiştirmesi uygulanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur ve çözülür.
t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0⇒t=3t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3 veya t=−1t = -1
9x=(3x)2=t29^x = (3^x)^2 = t^2 yazarak denklemi çözülebilir bir ikinci derece denklem formuna getirmek için.
4
3x=t3^x = t eşitliği ve logaritmanın tanımlı olma koşulları kontrol edilerek xx değeri bulunur.
3x=3⇒x=13^x = 3 \Rightarrow x = 1 (çünkü 3x>03^x > 0 olmalıdır, bu yüzden t=−1t = -1 kökü alınmaz). x=1x = 1 için 91−3=6>09^1 - 3 = 6 > 0 olup logaritma tanımlıdır.
Üstel fonksiyonların görüntü kümesinin pozitif gerçel sayılar olması ve orijinal logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları gereği elde edilen köklerin kontrol edilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma ve üstel denklemlerin çözümünde taban eşitleme, değişken değiştirme yöntemi ve logaritma tanım kümesi kontrollerinin uygulanması.
Soru 91Soru →
f(x)=log⁡x−12(x2−11x+24x2−13x+40)+log⁡12−x(x2−7x)f(x) = \log_{\frac{x-1}{2}}\left(\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 13x + 40}\right) + \log_{12-x}(x^2 - 7x)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 19'dur.
Doğru cevap olan 19 değeri, fonksiyonu oluşturan her iki logaritma teriminin tanımlı olduğu ortak aralıktaki tam sayıların (9 ve 10) toplamıdır. Bu aralık bulunurken tabanların pozitif ve 1'den farklı olması, logaritma içlerinin pozitif olması ve sadeleşen çarpanın (x=8x = 8) tanımsızlık yaratması nedeniyle kümeden çıkarılması koşullarının tamamı başarıyla uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma teriminin taban ve iç kısmının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulundan: g1(x)=x−12>0⇒x>1g_1(x) = \frac{x-1}{2} > 0 \Rightarrow x > 1 ve g1(x)≠1⇒x−12≠1⇒x≠3g_1(x) \neq 1 \Rightarrow \frac{x-1}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq 3 elde edilir.
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve birden farklı olmalıdır.
2
Birinci logaritmanın iç kısmındaki rasyonel ifadenin işaret incelemesini yapmak.
h1(x)=x2−11x+24x2−13x+40=(x−3)(x−8)(x−5)(x−8)>0h_1(x) = \frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 13x + 40} = \frac{(x-3)(x-8)}{(x-5)(x-8)} > 0 ifadesinde, paydanın sıfır olmaması gerektiğinden x≠5x \neq 5 ve x≠8x \neq 8 olmalıdır. x≠8x \neq 8 için ifade sadeleştiğinde x−3x−5>0\frac{x-3}{x-5} > 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,3)∪(5,∞)∖{8}(-\infty, 3) \cup (5, \infty) \setminus \{8\} olarak bulunur.
Logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır. Sadeleşen çarpanlar tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
3
İkinci logaritma teriminin taban ve iç kısmının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulundan: g2(x)=12−x>0⇒x<12g_2(x) = 12 - x > 0 \Rightarrow x < 12 ve g2(x)≠1⇒x≠11g_2(x) \neq 1 \Rightarrow x \neq 11 elde edilir. İç kısım koşulundan: h2(x)=x2−7x>0⇒x(x−7)>0⇒x∈(−∞,0)∪(7,∞)h_2(x) = x^2 - 7x > 0 \Rightarrow x(x-7) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) bulunur.
İkinci logaritma teriminin tanımlı olması için taban ve iç kısım kuralları uygulanmalıdır.
4
Elde edilen tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini ve bu kümedeki tam sayıları bulmak.
Tüm koşulların kesişimi alındığında:
- x>1x > 1 ve x<12⇒x∈(1,12)x < 12 \Rightarrow x \in (1, 12)
- x∈(−∞,0)∪(7,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) ile kesişimden ⇒x∈(7,12)\Rightarrow x \in (7, 12)
- Birinci iç kısmın tanımından ⇒x∈(7,12)∖{8}\Rightarrow x \in (7, 12) \setminus \{8\}
- Tabanların 1 olmama koşullarından (x≠3x \neq 3 ve x≠11x \neq 11) ⇒x∈(7,12)∖{8,11}\Rightarrow x \in (7, 12) \setminus \{8, 11\} elde edilir. En geniş tanım kümesi (7,12)∖{8,11}(7, 12) \setminus \{8, 11\} olup, bu aralıktaki tam sayılar 9 ve 10'dur. Toplamları ise 9+10=199 + 10 = 19'dur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki logaritmanın da aynı anda tanımlı olması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, logaritmanın içinin ise kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekir. Rasyonel ifadelerde sadeleşen çarpanlar paydada bulunuyorsa, bu çarpanların kökleri ifadenin asıl halinde tanımsızlık yaratacağı için çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 92Soru →
f(x)=log⁡x−3(10−x)+log⁡2(16+6x−x2)f(x) = \log_{x-3}(10 - x) + \log_2(16 + 6x - x^2) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.
Doğru cevap olan 18 değeri, her iki logaritma ifadesini de tanımlı kılan tam sayıların (5,65, 6 ve 77) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin tabanının tanım koşulların�� belirleyelim.
x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4
Bir logaritmanın tabanı sıfırdan büyük ve birden farklı olmak zorundadır. Dolayısıyla x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 ve x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4 olmalıdır.
2
İlk logaritma teriminin argümanının (içinin) tanım koşulunu belirleyelim.
x<10x < 10
Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır. Dolayısıyla 10−x>0  ⟹  x<1010 - x > 0 \implies x < 10 olmalıdır.
3
İkinci logaritma teriminin argümanının (içinin) tanım koşulunu belirleyelim.
−2<x<8-2 < x < 8
Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır: 16+6x−x2>016 + 6x - x^2 > 0. Bu eşitsizliği çözmek için ifadeyi eksi ile çarpıp çarpanlarına ayırırsak x2−6x−16<0  ⟹  (x−8)(x+2)<0x^2 - 6x - 16 < 0 \implies (x - 8)(x + 2) < 0 elde edilir. Kökler −2-2 ve 88 olup eşitsizlik tablosu incelendiğinde çözüm aralığı −2<x<8-2 < x < 8 bulunur.
4
Bulunan tüm koşulların kesişimini alarak fonksiyonun en geniş tanım kümesini oluşturalım.
3<x<83 < x < 8 ve x≠4x \neq 4
x>3x > 3, x≠4x \neq 4, x<10x < 10 ve −2<x<8-2 < x < 8 aralıklarının ortak kesişimi 3<x<83 < x < 8 aralığından 44 değerinin çıkarılmasıyla oluşur.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplayalım.
18
Tanım kümesindeki tam sayılar 5,65, 6 ve 77 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 5+6+7=185 + 6 + 7 = 18 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (içinin) ise pozitif olması gerekir.
Soru 93Soru →
f(x)=log⁡x+42x−2(x2−2x−8100−x2)f(x) = \log_{\frac{x+4}{2x-2}}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{100 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -6'dır.
Logaritma tanım kurallarına göre taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Bu koşullardan elde edilen eşitsizliklerin ortak çözüm kümesi olan (−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)(-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10) aralığındaki tam sayıların toplamı −6-6 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)
Logaritmanın tabanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu incele
x≠6x \neq 6
Logaritmanın tabanı 1 olamaz.
3
Argümanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−10,−2)∪(4,10)x \in (-10, -2) \cup (4, 10)
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Bulunan koşulların kesişimini al
x∈(−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)x \in (-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirle ve topla
Tam sayılar: −9,−8,−7,−6,−5,5,7,8,9-9, -8, -7, -6, -5, 5, 7, 8, 9; Toplam: −6-6
Tanım kümesi aralıklarındaki tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın ise pozitif olması şartları rasyonel eşitsizlik sistemleri yardımıyla çözülür.
Soru 94Soru →
2log⁡49+5log⁡25162^{\log_{4} 9} + 5^{\log_{25} 16}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemin sonucu 7'dir.
Verilen ifadede logaritma taban değiştirme ve üs özellikleri kullanılarak 2log⁡492^{\log_4 9} ifadesi 3'e, 5log⁡25165^{\log_{25} 16} ifadesi ise 4'e eşitlenir. Bu iki değerin toplamı 7 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
2log⁡492^{\log_{4} 9} terimini sadeleştirme
33
log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b özelliği kullanılarak log⁡49=log⁡23\log_{4} 9 = \log_{2} 3 yazılır, ardından alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralı ile 2log⁡23=32^{\log_{2} 3} = 3 bulunur.
2
5log⁡25165^{\log_{25} 16} terimini sadeleştirme
44
log⁡2516=log⁡54\log_{25} 16 = \log_{5} 4 eşitliği kullanılarak 5log⁡54=45^{\log_{5} 4} = 4 elde edilir.
3
Terimleri toplama
77
Bulunan sadeleşmiş değerler toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Özellikleri: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b ve log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b
Soru 95Soru →
f(x)=log⁡x−2(16x−x2−15x2−15x+44)f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{16x - x^2 - 15}{x^2 - 15x + 44}\right)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 39'dur.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu koşullardan x>2x > 2, x≠3x \neq 3 ve x∈(1,4)∪(11,15)x \in (1, 4) \cup (11, 15) elde edilir. Kesişim kümesi olan (11,15)(11, 15) aralığındaki tam sayılar 12,13,1412, 13, 14 olup toplamları 39'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban ifadesinin tanım koşullarını belirleme
x>2x > 2 ve x≠3x \neq 3
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın argümanının köklerini bulma
Payın kökleri x=1x = 1 ve x=15x = 15, paydanın kökleri x=4x = 4 ve x=11x = 11
Argümanın işaret tablosunu oluşturmak için pay ve paydanın sıfır yapan değerlerini belirlememiz gerekir.
3
Argümanın pozitif olduğu aralıkları bulmak için işaret tablosu yapma
x∈(1,4)∪(11,15)x \in (1, 4) \cup (11, 15)
Logaritmanın içi (argümanı) daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Taban ve argüman koşullarının kesişimini alarak tanım kümesindeki tam sayıları bulma ve toplama
Tanım kümesindeki tam sayılar 12,13,1412, 13, 14 ve toplamları 3939
En geniş tanım kümesi her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.
Soru 96Soru →
log⁡35=x\log_{3} 5 = x oldu��una göre, log⁡2515\log_{25} 15 ifadesinin xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+12x\frac{x+1}{2x}

Cevap

İfadenin xx türünden eşiti x+12x\frac{x+1}{2x} olarak bulunur.
Doğru cevaba ulaşmak için log⁡2515\log_{25} 15 ifadesi taban değiştirme kuralı yardımıyla 3 tabanına çevrilir. Elde edilen log⁡315log⁡325\frac{\log_3 15}{\log_3 25} ifadesinin pay kısmı log⁡3(3⋅5)=1+log⁡35=1+x\log_3 (3 \cdot 5) = 1 + \log_3 5 = 1 + x olarak, payda kısmı ise log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 (5^2) = 2 \log_3 5 = 2x olarak bulunur. Bu değerler oranlandığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi, elimizdeki tabana uygun şekilde 3 tabanında yazmak için taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25}
Soruda log⁡35\log_3 5 ifadesinin değeri verildiği için çözümü 3 tabanına indirgemek kolaylık sağlar.
2
Pay kısmındaki log⁡315\log_3 15 ifadesi, 15=3⋅515 = 3 \cdot 5 çarpımı kullanılarak toplam durumuna getirilir.
log⁡315=log⁡3(3⋅5)=log⁡33+log⁡35=1+x\log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + x
Logaritmanın içindeki çarpım işlemi, logaritmaların toplamı olarak yazılabilir.
3
Payda kısmındaki log⁡325\log_3 25 ifadesi, 25=5225 = 5^2 kuvveti kullanılarak düzenlenir.
log⁡325=log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 25 = \log_3(5^2) = 2 \log_3 5 = 2x
Logaritmanın içindeki ifadenin üssü, logaritmanın başına katsayı olarak çarpım durumunda geçer.
4
Elde edilen pay ve payda değerleri taban değiştirme formülünde yerine yazılır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325=x+12x\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25} = \frac{x+1}{2x}
İfadenin en sade ve xx cinsinden nihai biçimine ulaşmak için parçalar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Çarpım/Kuvvet Özellikleri
Soru 97Soru →
log⁡2(x+2)+log⁡2(x−1)=2\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{2\}

Cevap

Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi yalnızca 2 elemanından oluşan \{2\} kümesidir.
Doğru seçenekte verilen küme yalnızca 2 elemanını içerir. Denklemi çözerken logaritma özelliklerinden (x+2)(x−1)=4  ⟹  x2+x−6=0(x+2)(x-1) = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x=−3x = -3 ve x=2x = 2 bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği iç kısımlar pozitif olmalıdır. x=−3x = -3 için logaritmaların içi negatif olduğundan bu kök alınamaz, sadece x=2x = 2 kökü geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli koşulları (tanım kümesini) belirleyin.
x+2>0  ⟹  x>−2x + 2 > 0 \implies x > -2 ve x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 olup, ortak tanım kümesi x>1x > 1 olarak bulunur.
Logaritmanın tanım kümesi gereği taban ve argüman pozitif olmalıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini (log⁡a(b)+log⁡a(c)=log⁡a(b⋅c)\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)) kullanarak sol tarafı tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡2((x+2)(x−1))=2\log_2((x + 2)(x - 1)) = 2
Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir.
3
Logaritma tanımını kullanarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürün ve ��özün.
(x+2)(x−1)=22  ⟹  x2+x−2=4  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=0(x + 2)(x - 1) = 2^2 \implies x^2 + x - 2 = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0 Buradan kökler x=−3x = -3 ve x=2x = 2 elde edilir.
log⁡a(y)=b  ⟹  y=ab\log_a(y) = b \implies y = a^b özelliğinden yararlanarak logaritmayı kaldırıp cebirsel denklemi çözmek gerekir.
4
Elde edilen köklerin tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=−3x = -3 değeri x>1x > 1 koşulunu sağlamaz (tanımsızlık yaratır). x=2x = 2 değeri ise x>1x > 1 koşulunu sağlar. Dolayısıyla çözüm kümesi {2}\{2\} olur.
Bulunan köklerin orijinal denklemde tanımlı olup olmadığını denetlemek zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde logaritma özelliklerinin kullanılması ve bulunan köklerin tanım kümesi sınırlarına göre kontrol edilmesi.
Soru 98Soru →
log⁡x−2(2x2−12x+19)+2log⁡2x2−12x+19(x−2)=3\log_{x-2}(2x^2 - 12x + 19) + 2\log_{2x^2 - 12x + 19}(x-2) = 3 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 172\frac{17}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan geçerli köklerin toplamı 17/2 olur.
Denklemin doğru çözümü için değişken değiştirme yöntemi uygulanarak iki farklı durum elde edilir. Bu durumlardan elde edilen x=3x = 3 değeri logaritmanın tabanını 1 yaptığı için elenirken, geçerli olan x=72x = \frac{7}{2} ve x=5x = 5 köklerinin toplamı 172\frac{17}{2} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme tanımlamak
u=log⁡x−2(2x2−12x+19)u = \log_{x-2}(2x^2 - 12x + 19) seçilirse, taban değiştirme kuralı gereği log⁡2x2−12x+19(x−2)=1u\log_{2x^2 - 12x + 19}(x-2) = \frac{1}{u} elde edilir.
Denklemi çözebilmek amacıyla tek bir bilinmeyenli rasyonel bir denklem kurmak.
2
Oluşan u değişkenli denklemi çözmek
u+2u=3⇒u2−3u+2=0⇒(u−1)(u−2)=0u + \frac{2}{u} = 3 \Rightarrow u^2 - 3u + 2 = 0 \Rightarrow (u-1)(u-2) = 0 olup, buradan u=1u = 1 veya u=2u = 2 bulunur.
Dönüşüm sonucunda elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini tespit etmek.
3
Her iki durum için x değerlerini belirlemek
u=1⇒2x2−12x+19=x−2⇒2x2−13x+21=0⇒(2x−7)(x−3)=0⇒x=72u = 1 \Rightarrow 2x^2 - 12x + 19 = x - 2 \Rightarrow 2x^2 - 13x + 21 = 0 \Rightarrow (2x-7)(x-3) = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} veya x=3x = 3 bulunur. u=2⇒2x2−12x+19=(x−2)2⇒x2−8x+15=0⇒(x−5)(x−3)=0⇒x=5u = 2 \Rightarrow 2x^2 - 12x + 19 = (x-2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x-5)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 5 veya x=3x = 3 bulunur.
Orijinal bilinmeyen olan xx değişkeninin alabileceği değerleri bulmak.
4
Köklerin logaritma tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek
Taban x−2x-2 ifadesinin tanımı gereği x−2>0x-2 > 0 ve x−2≠1⇒x>2x-2 \neq 1 \Rightarrow x > 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Benzer şekilde, 2x2−12x+19>02x^2 - 12x + 19 > 0 ve 2x2−12x+19≠12x^2 - 12x + 19 \neq 1 olmalıdır. Bu şartlara göre x=3x = 3 değeri tabanı 1 yaptığı için elenir. x=72x = \frac{7}{2} ve x=5x = 5 değerleri ise tüm şartları sağlar.
Logaritma tanım kümesini ihlal eden sahte kökleri elemek.
5
Geçerli köklerin toplamını hesaplamak
72+5=172\frac{7}{2} + 5 = \frac{17}{2} bulunur.
Soruda istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve logaritmanın tanım kümesi kurallarına göre kök kontrolü.
Soru 99Soru →
log⁡x4+log⁡2x=3\log_x 4 + \log_2 x = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 8'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru (Köklerin çarpımı 8'dir)
Verilen denklem taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemleriyle çözüldüğünde kökler x=2x = 2 ve x=4x = 4 olarak bulunur. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin çözüm kümesi {2,4}\{2, 4\} olur. Bu köklerin çarpımı 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 olduğundan, ifadenin doğru olduğu bilgisi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemdeki logaritma terimlerinin tabanlarını eşitlemek için taban değiştirme özelliği uygulanır.
log⁡x4=log⁡24log⁡2x=2log⁡2x\log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x} elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabana indirgeyerek denklem çözümünü kolaylaştırmak gerekir.
2
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yapılarak denklem tek değişkene bağlı rasyonel bir denklem haline getirilir.
2t+t=3  ⟹  t2−3t+2=0\frac{2}{t} + t = 3 \implies t^2 - 3t + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Değişken de��iştirme yöntemiyle logaritmik denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürmek amaçlanır.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılarak tt değerleri bulunur.
(t−1)(t−2)=0  ⟹  t1=1 ve t2=2(t-1)(t-2) = 0 \implies t_1 = 1 \text{ ve } t_2 = 2 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini saptamak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan tt değerleri kullanılarak orijinal xx değişkeninin değerleri (x1x_1 ve x2x_2) hesaplanır ve tanımlılık kontrolü yapılır.
log⁡2x=1  ⟹  x1=21=2\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2 ve log⁡2x=2  ⟹  x2=22=4\log_2 x = 2 \implies x_2 = 2^2 = 4 bulunur. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi şartlarını (x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1) sağladığından çözüm kümesi {2,4}\{2, 4\}'tür.
Bulunan yardımcı değişkenlerin orijinal değişkene geri dönüştürülmesi ve bu değerlerin logaritma fonksiyonunun tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi gerekir.
5
Köklerin çarpımı hesaplanır.
x1⋅x2=2⋅4=8x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8 bulunur.
Soruda verilen ifadenin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla köklerin çarpım değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemler ve Değişken Değiştirme Yöntemi
Soru 100Soru →
(log⁡x(12−x)−1)⋅log⁡12−x(x4)=2log⁡x(12−x)−2(\log_x(12-x) - 1) \cdot \log_{12-x}(x^4) = 2\log_x(12-x) - 2

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Denklemi çözmek için öncelikle logaritma taban değiştirme özelliği kullanılarak değişken değiştirme yapılır. log_x(12-x) ifadesine t denildiğinde, diğer logaritmik ifade 4/t olur. Denklem ortak çarpan parantezine alınarak çözüldüğünde t değerleri 1 ve 2 olarak bulunur. Bu değerlerden elde edilen x değerleri sırasıyla 6 ve 3'tür (x = -4 değeri taban pozitifliği kuralı gereği elenir). Bu geçerli köklerin toplamı 9 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlama ve logaritma özelliklerinin uygulanması
log⁡x(12−x)=t\log_x(12-x) = t dönüşümü yapıldığında taban değiştirme kuralı gereğince log⁡12−x(x4)=4log⁡12−x(x)=4t\log_{12-x}(x^4) = 4\log_{12-x}(x) = \frac{4}{t} olur.
Denklemi tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözülebilir hale getirmek.
2
Dönüştürülmüş denklemin kurulması ve çözülmesi
(t−1)⋅4t=2(t−1)  ⟹  (t−1)(4t−2)=0(t-1) \cdot \frac{4}{t} = 2(t-1) \implies (t-1)\left(\frac{4}{t} - 2\right) = 0 denkleminden t=1t = 1 veya t=2t = 2 elde edilir.
Ortak çarpan parantezine alarak denklemin köklerini bulmak.
3
Bulunan t değerleri için x değişkeninin hesaplanması
t=1  ⟹  log⁡x(12−x)=1  ⟹  x=6t = 1 \implies \log_x(12-x) = 1 \implies x = 6. t=2  ⟹  log⁡x(12−x)=2  ⟹  12−x=x2  ⟹  x2+x−12=0  ⟹  (x+4)(x−3)=0  ⟹  x=3t = 2 \implies \log_x(12-x) = 2 \implies 12-x = x^2 \implies x^2 + x - 12 = 0 \implies (x+4)(x-3) = 0 \implies x = 3 veya x=−4x = -4 bulunur.
Logaritmik ifadeleri üstel biçime çevirerek orijinal değişkeni bulmak.
4
Tanım kümesi kontrolünün yapılması ve toplamın bulunması
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olması gerektiğinden x=−4x = -4 elenir. Geçerli kökler x=3x = 3 ve x=6x = 6 olup, toplamları 3 + 6 = 9 olur.
Logaritmanın tanımı gereği taban ve argümanın pozitif olması koşulunu test etmek.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme, değişken değiştirme ve tanım kümesi sınırlandırmaları.
ÖncekiSayfa 5 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin