Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 161Soru →
xx birden farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3(x2)⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2(x2)\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3(x^2) \cdot \log_5 x + \log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Denklemin çözümünden elde edilen xx değeri 60'tır.
Verilen denklemin her iki tarafı log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x çarpımına bölündüğünde ve taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) uygulandığında denklem ortak xx tabanında basit bir logaritmik toplama denklemine dönüşür. Logaritmaların toplama kuralı kullanılarak tek terim haline getirilen denklemden x=60x = 60 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki terimleri logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirmek.
log⁡3(x2)=2log⁡3x\log_3(x^2) = 2\log_3 x ve log⁡5x⋅log⁡2(x2)=12log⁡5x⋅2log⁡2x=log⁡5x⋅log⁡2x\log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2) = \frac{1}{2}\log_5 x \cdot 2\log_2 x = \log_5 x \cdot \log_2 x eşitlikleri elde edilir.
Logaritmanın log⁡a(bn)=nlog⁡ab\log_a(b^n) = n\log_a b özelliğini kullanarak ifadeleri en yalın biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.
2
Elde edilen sadeleşmiş terimleri orijinal denklemde yerine koymak.
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2x⋅log⁡3x+2log⁡3x⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + 2\log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x denklemi elde edilir.
Tüm terimleri ortak çarpanlar halinde görebilmek amacıyla yapılmıştır.
3
Denklemin her iki tarafını log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x çarpımına bölmek.
1=1log⁡5x+2log⁡2x+1log⁡3x1 = \frac{1}{\log_5 x} + \frac{2}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} eşitliği elde edilir.
Her bir terimi taban değiştirme özelliğine uygun kesirli biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.
4
Taban değiştirme kuralını uygulamak.
1=log⁡x5+2log⁡x2+log⁡x31 = \log_x 5 + 2\log_x 2 + \log_x 3 eşitliği elde edilir.
Farklı tabanlardaki ifadeleri ortak xx tabanında birle��tirebilmek amacıyla yapılmıştır.
5
Logaritma toplama özelliğini ve kat sayı kuralını uygulayarak sağ tarafı tek bir logaritma altında birleştirmek.
1=log⁡x5+log⁡x(22)+log⁡x3  ⟹  1=log⁡x(5⋅4⋅3)  ⟹  1=log⁡x601 = \log_x 5 + \log_x(2^2) + \log_x 3 \implies 1 = \log_x(5 \cdot 4 \cdot 3) \implies 1 = \log_x 60 eşitliği elde edilir.
Aynı tabandaki logaritmaların toplamının, argümanların çarpımına eşit olması kuralını uygulamak amacıyla yapılmıştır.
6
Logaritma tanımını kullanarak bilinmeyeni çekmek.
x1=60  ⟹  x=60x^1 = 60 \implies x = 60 elde edilir.
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b tanımından yararlanarak denklem çözülmüştür.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 162Soru →

aa ve bb birbirinden farklı, 11'den büyük gerçel sayılardır.

3log⁡ab+32log⁡ba=123^{\log_a b} + 3^{2\log_b a} = 12

olduğuna göre,

log⁡a2(b3)+log⁡b(a)\log_{a^2}(b^3) + \log_{\sqrt{b}}(a)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.
Verilen denklemde taban değiştirme özelliği kullanılarak log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b} yazılır ve değişken değiştirme yardımıyla log⁡ab=2\log_a b = 2 değeri bulunur. Bu değer hedef ifadede yerine yazılarak doğru sonuç olan 44 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralını uygulayarak denklemdeki terimleri aynı cins yazma.
log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b} yazılır. Denklem 3log⁡ab+32log⁡ab=123^{\log_a b} + 3^{\frac{2}{\log_a b}} = 12 haline gelir.
Denklemi tek bir değişken cinsinden çözebilmek için log⁡ab\log_a b ile log⁡ba\log_b a arasındaki ilişkiyi kullanırız.
2
Değişken değiştirme yöntemiyle denklemi çözme.
u=log⁡abu = \log_a b olsun. Denklem 3u+32u=123^u + 3^{\frac{2}{u}} = 12 olur. Pozitif gerçel sayılarda bu denklemi sağlayan uu değerleri u=1u = 1 ve u=2u = 2 olarak bulunur.
3u+91/u=123^u + 9^{1/u} = 12 denkleminin çözümü için u>0u > 0 aralığında inceleme yapıldığında, fonksiyonun tek bir yerel minimumu olduğu ve bu değerlerin denklemi sağladığı görülür.
3
Soruda verilen koşulu kullanarak doğru kökü belirleme.
a≠ba \neq b olduğundan log⁡ab≠1\log_a b \neq 1'dir. Dolayısıyla u=2u = 2 yani log⁡ab=2\log_a b = 2 (b=a2b = a^2) alınmalıdır.
Soruda aa ve bb'nin birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan değeri hedef ifadede yerine koyarak hesaplama yapma.
log⁡a2(b3)+log⁡b(a)=32log⁡ab+2log⁡ba\log_{a^2}(b^3) + \log_{\sqrt{b}}(a) = \frac{3}{2}\log_a b + 2\log_b a özellikleri kullanılarak log⁡ab=2\log_a b = 2 ve log⁡ba=12\log_b a = \frac{1}{2} değerleri yerine yazılır ve 32(2)+2(12)=3+1=4\frac{3}{2}(2) + 2(\frac{1}{2}) = 3 + 1 = 4 elde edilir.
Logaritmanın üs özelliklerini ve taban değiştirme kurallarını uygulayarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritma özelliklerinin denklemlere uygulanması
Soru 163Soru →
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(bc)=2\log_a(bc) = 2
log⁡b(a2c)=5\log_b(a^2 c) = 5
olduğuna göre, log⁡c(a4b2)\log_c(a^4 b^2) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.
Verilen iki logaritmik eşitlik taban değiştirme kuralı yardımıyla ln⁡\ln tabanına dönüştürülüp ln⁡a=u\ln a = u, ln⁡b=v\ln b = v ve ln⁡c=w\ln c = w değişken dönüşümleri yapıldığında, değişkenler arasında u=1.5vu = 1.5v ve w=2vw = 2v bağıntıları bulunur. İstenen log⁡c(a4b2)\log_c(a^4 b^2) ifadesi taban değiştirme kuralı ile 4u+2vw\frac{4u+2v}{w} şeklinde yazıldığında, değişkenlerin yerine konulmasıyla sonuç 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma taban değiştirme kuralını kullanarak denklemleri aynı tabanda yazmak.
ln⁡a=u\ln a = u, ln⁡b=v\ln b = v ve ln⁡c=w\ln c = w olmak üzere; v+w=2uv + w = 2u ve 2u+w=5v2u + w = 5v denklemleri elde edilir.
Değişkenler arasındaki ilişkileri kolayca analiz edebilmek için logaritmik ifadeleri ortak bir tabana dönüştürüyoruz.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
w=2u−vw = 2u - v ifadesini ikinci denklemde yerine koyarak u=32vu = \frac{3}{2}v ve w=2vw = 2v bulunur.
İstenen ifadedeki değişken oranlarını bulmak için ortak ç��züme ihtiyaç vardır.
3
İstenen log⁡c(a4b2)\log_c(a^4 b^2) ifadesini taban değiştirme kuralı ile açarak bulduğumuz değerleri yerine yazmak ve sadeleştirmek.
log⁡c(a4b2)=4u+2vw=4(32v)+2v2v=8v2v=4\log_c(a^4 b^2) = \frac{4u+2v}{w} = \frac{4(\frac{3}{2}v) + 2v}{2v} = \frac{8v}{2v} = 4 elde edilir.
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme özelliği ve logaritma özelliklerinin denklem sistemlerinde uygulanması.
Soru 164Soru →
Bir depremin b��yüklüğü MM ve bu depremde açığa çıkan sismik enerji EE (Joule cinsinden) arasındaki ilişki aşağıdaki formülle modellenmektedir:
log⁡10E=4,8+1,5M\log_{10} E = 4,8 + 1,5M
Aynı bölgede gerçekleşen iki depremden birincisinin büyüklüğü M1M_1, ikincisinin büyüklüğü M2M_2 olmak üzere bu depremlerde açığa çıkan sismik enerjiler sırasıyla E1E_1 ve E2E_2'dir.
Bu iki deprem için;
* Birinci depremde açığa çıkan enerji, ikinci depremde açığa çıkan enerjinin 101010\sqrt{10} katıdır.
* Depremlerin büyüklükleri arasında M12−M22=8M_1^2 - M_2^2 = 8 bağıntısı vardır.
Buna göre, daha büyük olan birinci depremin büyüklüğü (M1M_1) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,5

Cevap

Daha büyük depremin büyüklüğü 4,5'tir.
İki depremde açığa çıkan enerjilerin oranı E1/E2=1010=101,5E_1/E_2 = 10\sqrt{10} = 10^{1,5} olarak verilir. Logaritma fonksiyonunun çıkarma özelliği kullanılarak log⁡10(E1/E2)=1,5(M1−M2)\log_{10}(E_1/E_2) = 1,5(M_1-M_2) eşitliği elde edilir. Buradan 1,5=1,5(M1−M2)  ⟹  M1−M2=11,5 = 1,5(M_1-M_2) \implies M_1-M_2 = 1 bulunur. İki kare farkı özdeşliği (M12−M22=(M1−M2)(M1+M2)M_1^2-M_2^2 = (M_1-M_2)(M_1+M_2)) kullanılarak M1+M2=8M_1+M_2 = 8 elde edilir. İki bilinmeyenli denklem sistemi ortak çözüldüğünde daha büyük depremin büyüklüğü M1=4,5M_1 = 4,5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İki depremin enerjileri arasındaki E1=1010⋅E2E_1 = 10\sqrt{10} \cdot E_2 bağıntısı kullanılarak oran bulunur.
E1E2=101,5\frac{E_1}{E_2} = 10^{1,5} elde edilir.
Depremlerin açığa çıkardığı sismik enerjilerin oranını bulmak, logaritmik modelde büyüklüklerin farkına ulaşmayı sağlar.
2
Verilen log⁡10E=4,8+1,5M\log_{10} E = 4,8 + 1,5M modelinde iki deprem için denklemler yazılıp taraf tarafa çıkarılır.
log⁡10E1−log⁡10E2=1,5(M1−M2)  ⟹  log⁡10(E1E2)=1,5(M1−M2)\log_{10} E_1 - \log_{10} E_2 = 1,5(M_1 - M_2) \implies \log_{10}\left(\frac{E_1}{E_2}\right) = 1,5(M_1 - M_2) elde edilir.
Logaritma çıkarma kuralı olan log⁡(a)−log⁡(b)=log⁡(a/b)\log(a) - \log(b) = \log(a/b) özelliğini uygulamak gerekir.
3
E1E2=101,5\frac{E_1}{E_2} = 10^{1,5} değeri denklemde yerine yazılarak M1−M2M_1 - M_2 değeri hesaplanır.
log⁡10(101,5)=1,5(M1−M2)  ⟹  1,5=1,5(M1−M2)  ⟹  M1−M2=1\log_{10}(10^{1,5}) = 1,5(M_1 - M_2) \implies 1,5 = 1,5(M_1 - M_2) \implies M_1 - M_2 = 1 bulunur.
log⁡10(10x)=x\log_{10}(10^x) = x özelliğini kullanarak logaritmik ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
4
M12−M22=8M_1^2 - M_2^2 = 8 bağıntısına iki kare farkı özdeşliği uygulanır ve M1−M2=1M_1 - M_2 = 1 değeri yerine yazılır.
(M1−M2)(M1+M2)=8  ⟹  1⋅(M1+M2)=8  ⟹  M1+M2=8(M_1 - M_2)(M_1 + M_2) = 8 \implies 1 \cdot (M_1 + M_2) = 8 \implies M_1 + M_2 = 8 elde edilir.
Büyüklüklerin toplamını bulmak ve denklem sistemini çözmek için iki kare farkı özdeşliği kullanılır.
5
M1−M2=1M_1 - M_2 = 1 ve M1+M2=8M_1 + M_2 = 8 denklemleri ortak çözülerek M1M_1 değeri bulunur.
2M1=9  ⟹  M1=4,52M_1 = 9 \implies M_1 = 4,5 bulunur.
Yok etme metodu kullanılarak aranan birinci depremin büyüklüğü M1M_1 hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 165Soru →
log⁡12(x−3x+2)≥1\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x - 3}{x + 2} \right) \geq 1 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 30'dur.
Doğru cevap olan 30 değerine ulaşmak için, logaritmanın argümanının pozitif olması şartından gelen (−∞,−2)∪(3,∞)(-\infty, -2) \cup (3, \infty) aralığ�� ile logaritmik eşitsizlikten elde edilen (−2,8](-2, 8] aralığının kesişimi alınarak (3,8](3, 8] aralığı bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanım kümesini belirlemek için logaritmanın içinin pozitif olması koşulu incelenir.
x−3x+2>0\frac{x - 3}{x + 2} > 0 eşitsizliğinin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3'tür. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi D=(−∞,−2)∪(3,∞)D = (-\infty, -2) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının (içinin) daima sıfırdan b��yük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizlik çözülür. Logaritma tabanı 00 ile 11 arasında olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.
x−3x+2≤(12)1  ⟹  x−3x+2≤12\frac{x - 3}{x + 2} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^1 \implies \frac{x - 3}{x + 2} \leq \frac{1}{2} elde edilir.
Logaritmanın tabanı basit kesir (0<a<10 < a < 1) olduğunda, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizlik çöz��lür.
x−3x+2−12≤0  ⟹  2(x−3)−(x+2)2(x+2)≤0  ⟹  x−82(x+2)≤0\frac{x - 3}{x + 2} - \frac{1}{2} \leq 0 \implies \frac{2(x - 3) - (x + 2)}{2(x + 2)} \leq 0 \implies \frac{x - 8}{2(x + 2)} \leq 0 Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2 ve x=8x = 8'dir. Tablo incelendiğinde çözüm aralığı (−2,8](-2, 8] olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizlikleri çözmek için tüm terimler bir tarafa toplanıp paydalar eşitlenerek işaret tablosu oluşturulur.
4
Tanım kümesi ile eşitsizlikten gelen çözüm kümesi kesiştirilir.
S=((−∞,−2)∪(3,∞))∩(−2,8]=(3,8]S = ( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) ) \cap (-2, 8] = (3, 8] aralığı elde edilir.
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması gerekir.
5
Elde edilen en geniş çözüm aralığındaki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Bu aralıktaki tam sayılar 4,5,6,7,84, 5, 6, 7, 8'dir. Toplamları ise 4+5+6+7+8=304 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 olarak bulunur.
Soru kökünün bizden istediği, eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi kontrolü, tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel eşitsizliklerde işaret tablosunun doğru şekilde oluşturulması.
Soru 166Soru →
1'den farklı pozitif bir xx gerçel sayısı için,
log⁡3(x)⋅log⁡2(x)−log⁡3(x2)−log⁡2(x3)+6=0\log_3(x) \cdot \log_2(x) - \log_3(x^2) - \log_2(x^3) + 6 = 0
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Eşitliği sağlayan xx değerlerinin toplamı 3131'dir.
Verilen denklemde üs kuralı kullanılarak log⁡3(x2)=2log⁡3(x)\log_3(x^2) = 2\log_3(x) ve log⁡2(x3)=3log⁡2(x)\log_2(x^3) = 3\log_2(x) dönüşümleri yapıldığında denklem ortak çarpan parantezine alınabilecek duruma gelir. Gruplandırarak çarpanlara ayırma işlemiyle (log⁡3(x)−3)⋅(log⁡2(x)−2)=0(\log_3(x) - 3) \cdot (\log_2(x) - 2) = 0 denklemine ulaşılır. Buradan elde edilen log⁡3(x)=3  ⟹  x=27\log_3(x) = 3 \implies x = 27 ve log⁡2(x)=2  ⟹  x=4\log_2(x) = 2 \implies x = 4 değerlerinin toplamı 3131 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın üs özelli��ini (log⁡b(ak)=k⋅log⁡b(a)\log_b(a^k) = k \cdot \log_b(a)) uygulayarak denklemdeki üslü terimleri düzenlemek.
log⁡3(x2)=2log⁡3(x)\log_3(x^2) = 2\log_3(x) ve log⁡2(x3)=3log⁡2(x)\log_2(x^3) = 3\log_2(x) olarak yazılır. Denklem şu hali alır:
log⁡3(x)⋅log⁡2(x)−2log⁡3(x)−3log⁡2(x)+6=0\log_3(x) \cdot \log_2(x) - 2\log_3(x) - 3\log_2(x) + 6 = 0
Logaritma içerisindeki üsleri katsayı olarak başa alarak denklemi doğrusal logaritmik ifadeler cinsinden yazıp sadeleştirmek için.
2
Elde edilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmak.
log⁡3(x)⋅(log⁡2(x)−2)−3⋅(log⁡2(x)−2)=0\log_3(x) \cdot (\log_2(x) - 2) - 3 \cdot (\log_2(x) - 2) = 0
(log⁡3(x)−3)⋅(log⁡2(x)−2)=0(\log_3(x) - 3) \cdot (\log_2(x) - 2) = 0 elde edilir.
��arpım durumunda sıfıra eşit olan ifadeler yardımıyla her bir logaritmik terimin kökünü ayrı ayrı bulabilmek için.
3
Çarpanları sıfıra eşitleyip logaritma tanımını kullanarak xx değerlerini bulmak ve toplamak.
log⁡3(x)−3=0  ⟹  log⁡3(x)=3  ⟹  x=33=27\log_3(x) - 3 = 0 \implies \log_3(x) = 3 \implies x = 3^3 = 27
log⁡2(x)−2=0  ⟹  log⁡2(x)=2  ⟹  x=22=4\log_2(x) - 2 = 0 \implies \log_2(x) = 2 \implies x = 2^2 = 4
Bulunan xx değerlerinin toplamı: 27+4=3127 + 4 = 31
Logaritma fonksiyonunun tersini alarak gerçel xx değerlerine ulaşmak ve sorunun bizden istediği toplamı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda üs başa katsayı olarak atılır. Farklı tabanlardaki logaritma içeren ifadeler barındıran denklemler, ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle çarpanlarına ayrılarak çözülebilir.
Soru 167Soru →
log⁡0,5(x2−x−2)≥log⁡0,5(x+6)\log_{0,5}(x^2 - x - 2) \geq \log_{0,5}(x + 6) eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 55 tir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur; eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.
Logaritma tabanının 1'den küçük olması nedeniyle eşitsizlik yön değiştirir ve logaritmanın tanım kümesi gereği logaritması alınan ifadeler pozitif olmalıdır. Bu iki koşulun kesişimi alındığında tam sayı çözümlerin toplamı 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin tanım kümesi koşullarını belirleyin.
x2−x−2>0  ⟹  (x−2)(x+1)>0  ⟹  x<−1 veya x>2x^2 - x - 2 > 0 \implies (x - 2)(x + 1) > 0 \implies x < -1 \text{ veya } x > 2 ve x+6>0  ⟹  x>−6x + 6 > 0 \implies x > -6 olur. Bu iki koşulun kesişimi: x∈(−6,−1)∪(2,∞)x \in (-6, -1) \cup (2, \infty) aralığıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Taban özelliğine dikkat ederek eşitsizli��i çözün.
Taban 0,5<10,5 < 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x2−x−2≤x+6  ⟹  x2−2x−8≤0  ⟹  (x−4)(x+2)≤0x^2 - x - 2 \leq x + 6 \implies x^2 - 2x - 8 \leq 0 \implies (x-4)(x+2) \leq 0 Buradan çözüm aralığı x∈[−2,4]x \in [-2, 4] olarak bulunur.
Logaritma tabanı 00 ile 11 arasında olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır; bu yüzden eşitsizlik karşılaştırılırken yön değiştirir.
3
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesinin kesişimini bulun.
[−2,4]∩((−6,−1)∪(2,∞))=[−2,−1)∪(2,4][-2, 4] \cap ((-6, -1) \cup (2, \infty)) = [-2, -1) \cup (2, 4] elde edilir.
Bulunan cebirsel çözümlerin logaritma fonksiyonunu tanımsız yapmaması için her iki kümenin kesişimi alınmalıdır.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları belirleyin ve toplayın.
Tam sayılar: −2,3,4-2, 3, 4. Toplamları: −2+3+4=5-2 + 3 + 4 = 5 olur.
Belirlenen çözüm kümesindeki [−2,−1)[-2, -1) aralığından sadece −2-2, (2,4](2, 4] aralığından ise 33 ve 44 tam sayıları gelir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda yön değiştirme kuralı ve logaritma tanım kümesi sınırları
Soru 168Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve tabanları 1'den farklı olan aa, bb ve cc sayıları arasında
log⁡a(bc)=3\log_a(bc) = 3
log⁡ab(c)=12\log_{ab}(c) = \frac{1}{2}
bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, log⁡ba\log_b a ifadesinin eşiti kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

3/5
Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen iki bağıntının taban değiştirme kuralları yardımıyla a tabanına çevrilip birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemine dönüştürülmesi ve bu sistemin çözülmesiyle elde edilen değerin çarpmaya göre tersinin alınmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitlik olan log⁡a(bc)=3\log_a(bc) = 3 ifadesini logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak düzenleyin.
log⁡ab+log⁡ac=3\log_a b + \log_a c = 3 elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda (bu durumda a tabanında) yazarak sistem oluşturmak.
2
İkinci eşitlik olan log⁡ab(c)=12\log_{ab}(c) = \frac{1}{2} ifadesini a tabanında taban değiştirme kuralına göre açın.
log⁡ab(c)=log⁡aclog⁡a(ab)=log⁡ac1+log⁡ab=12  ⟹  1+log⁡ab=2log⁡ac\log_{ab}(c) = \frac{\log_a c}{\log_a(ab)} = \frac{\log_a c}{1 + \log_a b} = \frac{1}{2} \implies 1 + \log_a b = 2\log_a c elde edilir.
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak tabanı ab olan ifadeyi a tabanına dönüştürmek.
3
Elde edilen denklemleri log⁡ab=u\log_a b = u ve log⁡ac=v\log_a c = v değişken dönüşümüyle çözün.
u+v=3u + v = 3 ve 1+u=2v1 + u = 2v sisteminden u=3−vu = 3 - v yazılıp ikinci denklemde yerine konursa; 1+(3−v)=2v  ⟹  4=3v  ⟹  v=431 + (3 - v) = 2v \implies 4 = 3v \implies v = \frac{4}{3} ve u=3−43=53u = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3} olarak bulunur.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek logaritmik değerleri hesaplamak.
4
Hesaplanan u=log⁡ab=53u = \log_a b = \frac{5}{3} değerini kullanarak log⁡ba\log_b a değerini bulun.
log⁡ba=1log⁡ab=15/3=35\log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} elde edilir.
log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b} taban değiştirme özelliğini uygulamak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 169Soru →
log⁡3x−4log⁡x3=3\log_3 x - 4\log_x 3 = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 27'dir.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Değişken değiştirme yöntemiyle bu denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür ve çözülür. Elde edilen x=81x = 81 ve x=1/3x = 1/3 değerlerinin her ikisi de logaritma tanım kümesini sağladığından denklemin kökleridir. Bu köklerin çarpımı ise 27 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡x3\log_x 3 ifadesini log⁡3x\log_3 x cinsinden yazın.
log⁡x3=1log⁡3x\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}
Bilinmeyenleri aynı tabanda birleştirerek çözülebilir tek bir değişkenli denklem elde etmek.
2
log⁡3x=u\log_3 x = u değişken değiştirmesini uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürün.
u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0
Rasyonel ifade içeren denklemi standart ikinci dereceden denklem formuna getirmek.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak uu değerlerini bulun.
u=4u = 4 veya u=−1u = -1
Dönüşüm değişkeninin alabileceği kök değerlerini belirlemek.
4
Bulunan uu değerlerini log⁡3x=u\log_3 x = u eşitliğinde yerine yazarak xx değerlerini çözün.
x=34=81x = 3^4 = 81 ve x=3−1=13x = 3^{-1} = \frac{1}{3}
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini elde etmek.
5
Köklerin tanımlılık şartlarını kontrol edin ve çarpımlarını hesaplayın.
81⋅13=2781 \cdot \frac{1}{3} = 27
Bulunan köklerin logaritma tanım kümesine (taban pozitif ve 1'den farklı olmalı) uygunluğunu doğrulayıp istenen çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklem dönüşümüyle çözülmesi.
Soru 170Soru →
log⁡13(2x−1x+3)≥0\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2x - 1}{x + 3}\right) \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 10'dur.
Doğru yanıt 10'dur. Logaritma tabanı basit kesir olduğu için logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirerek rasyonel eşitsizliğe dönüşür. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi ile logaritmanın tanım kümesinin kesişiminden elde edilen yarım açık aralıktaki tam sayıların (1, 2, 3, 4) toplamı 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek için logaritmanın içinin sıfırdan büyük olması koşulu uygulanır.
2x−1x+3>0\frac{2x - 1}{x + 3} > 0 eşitsizliğinin kökleri x=12x = \frac{1}{2} ve x=−3x = -3 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi x∈(−∞,−3)∪(12,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (\frac{1}{2}, \infty) olarak elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Eşitsizliğin çözümü için logaritma tabanı göz önüne alınarak logaritma kaldırılır. Taban 13\frac{1}{3} (0 ile 1 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.
2x−1x+3≤(13)0  ⟹  2x−1x+3≤1\frac{2x - 1}{x + 3} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies \frac{2x - 1}{x + 3} \leq 1 eşitsizliği elde edilir.
Logaritmanın tabanı basit kesir olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır; bu yüzden logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizlik çözülür.
2x−1x+3−1≤0  ⟹  x−4x+3≤0\frac{2x - 1}{x + 3} - 1 \leq 0 \implies \frac{x - 4}{x + 3} \leq 0 eşitsizliğinin kökleri x=4x = 4 ve x=−3x = -3 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında çözüm kümesi (−3,4](-3, 4] olarak elde edilir.
Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılır ve köklerin işaret tablosu oluşturulur.
4
Tanım kümesi ile eşitsizliğin çözüm kümesinin kesişimi alınarak en geniş çözüm kümesi bulunur.
((−3,4])∩((−∞,−3)∪(12,∞))=(12,4]((-3, 4]) \cap ((-\infty, -3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)) = (\frac{1}{2}, 4] aralığı en geniş çözüm kümesidir.
Bulunan çözümlerin logaritma fonksiyonunu tanımsız yapmaması için tanım kümesi ile kesişiminin alınması zorunludur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
(12,4](\frac{1}{2}, 4] aralığındaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44'tür. Bu tam sayıların toplamı ise 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 olarak bulunur.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Logaritma tabanının basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın tanım kümesi sınırlandırılmasının eşitsizlik çözümüyle kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 171Soru →
Her biri 11'den büyük olan aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(b)−6log⁡b(a)=1\log_a(b) - 6\log_b(a) = 1
log⁡b(c2)−log⁡c(b)=3\log_b(c^2) - \log_{\sqrt{c}}(b) = 3
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Verilen logaritmik denklemler çözüldüğünde değişkenler arasında b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri bulunur. Bu ilişkiler istenen ifadede yerine koyulduğunda sonuç 14 olarak elde edilir.
Verilen denklemler logaritmanın taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak çözüldüğünde b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri elde edilir. Bu ilişkiler sorulan ifadede yerine yazıldığında taban ve argümanların kuvvetleri oranlanarak ifadenin sayısal değeri 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡a(b)=u\log_a(b) = u dönüşümü yapmak.
u−6u=1  ⟹  u2−u−6=0  ⟹  (u−3)(u+2)=0u - \frac{6}{u} = 1 \implies u^2 - u - 6 = 0 \implies (u-3)(u+2) = 0. a,b>1a, b > 1 olduğundan log⁡a(b)>0\log_a(b) > 0 olmalıdır. Buradan u=3u = 3, yani log⁡a(b)=3  ⟹  b=a3\log_a(b) = 3 \implies b = a^3 elde edilir.
bb ile aa arasındaki üssü ilişkiyi bularak değişken sayısını azaltmak.
2
İkinci denklemde logaritma özelliklerini uygulayarak log⁡b(c)=v\log_b(c) = v dönüşümü yapmak.
2log⁡b(c)−2log⁡c(b)=3  ⟹  2v−2v=3  ⟹  2v2−3v−2=0  ⟹  (2v+1)(v−2)=02\log_b(c) - 2\log_c(b) = 3 \implies 2v - \frac{2}{v} = 3 \implies 2v^2 - 3v - 2 = 0 \implies (2v+1)(v-2) = 0. b,c>1b, c > 1 olduğundan log⁡b(c)>0\log_b(c) > 0 olmalıdır. Buradan v=2v = 2, yani log⁡b(c)=2  ⟹  c=b2\log_b(c) = 2 \implies c = b^2 elde edilir. b=a3b = a^3 yazıldığında c=a6c = a^6 olur.
cc ile bb (ve dolayısıyla aa) arasındaki ilişkiyi kurmak.
3
Elde edilen b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkilerini istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)=log⁡a1/2(a6)+log⁡a6(a6⋅(a3)2)=61/2+log⁡a6(a12)=12+126=12+2=14\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2) = \log_{a^{1/2}}(a^6) + \log_{a^6}(a^6 \cdot (a^3)^2) = \frac{6}{1/2} + \log_{a^6}(a^{12}) = 12 + \frac{12}{6} = 12 + 2 = 14 bulunur.
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun log⁡x(y)=1log⁡y(x)\log_x(y) = \frac{1}{\log_y(x)} özelliği, log⁡xn(ym)=mnlog⁡x(y)\log_{x^n}(y^m) = \frac{m}{n}\log_x(y) kuralı ve taban/argüman sınırlamalarına göre logaritmanın işaretinin belirlenmesi.
Soru 172Soru →
log⁡0,25(x2−x−2)≥−1\log_{0,25}(x^2 - x - 2) \geq -1 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 1'dir.
Logaritma tanım kümesinden gelen x<−1x < -1 veya x>2x > 2 koşulu ile tabanın basit kesir olması sebebiyle eşitsizlik yön değiştirilerek elde edilen −2≤x≤3-2 \leq x \leq 3 aralığının kesişimi [−2,−1)∪(2,3][-2, -1) \cup (2, 3] olur. Bu aralıktaki tam sayılar −2-2 ve 33 olup, toplamları 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x2−x−2>0  ⟹  (x−2)(x+1)>0  ⟹  x∈(−∞,−1)∪(2,∞)x^2 - x - 2 > 0 \implies (x - 2)(x + 1) > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliğin çözülmesi
x2−x−2≤(0,25)−1  ⟹  x2−x−2≤4  ⟹  x2−x−6≤0x^2 - x - 2 \leq (0,25)^{-1} \implies x^2 - x - 2 \leq 4 \implies x^2 - x - 6 \leq 0
Logaritmanın tabanı olan 0,25 değeri 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Eşitsizlik sisteminin ortak çözümünün bulunması
x∈[−2,−1)∪(2,3]x \in [-2, -1) \cup (2, 3]
x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] olup, bu küme ile tanım kümesinin kesişimi alınmalıdır.
4
Koşulu sağlayan tam sayıların toplanması
Tam sayılar: −2-2 ve 33. Toplamları: −2+3=1-2 + 3 = 1.
Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayı değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler ve Tanım Kümesi Kısıtları
Soru 173Soru →
1'den farklı pozitif xx ve yy gerçel sayıları için,
log⁡2x+log⁡y4=3\log_2 x + \log_y 4 = 3
log⁡x2+log⁡4y=32\log_x 2 + \log_4 y = \frac{3}{2}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı 12'dir.
Verilen denklem sisteminde taban değiştirme kuralları uygulandığında a=log⁡2xa = \log_2 x ve b=log⁡2yb = \log_2 y için a=ba = b eşitliği ve a2−3a+2=0a^2 - 3a + 2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 11 ve 22 olup, buna karşılık gelen xx ve yy değerlerinden x+yx+y toplamı 44 veya 88 değerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 1212'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadeleri taban değiştirme özelliğini kullanarak aynı tabana getirmek.
log⁡y4=log⁡24log⁡2y=2log⁡2y\log_y 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 y} = \frac{2}{\log_2 y} , log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} ve log⁡4y=log⁡2ylog⁡24=log⁡2y2\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2} ifadeleri elde edilir.
Sistemdeki tüm logaritmaları 2 tabanında yazarak ortak değişkenler elde etmek amaçlanır.
2
log⁡2x=a\log_2 x = a ve log⁡2y=b\log_2 y = b değişken değiştirmelerini yaparak denklemleri düzenlemek.
Birinci denklem: a+2b=3  ⟹  ab+2=3ba + \frac{2}{b} = 3 \implies ab + 2 = 3b
İkinci denklem: 1a+b2=32  ⟹  2+ab2a=32  ⟹  ab+2=3a\frac{1}{a} + \frac{b}{2} = \frac{3}{2} \implies \frac{2+ab}{2a} = \frac{3}{2} \implies ab + 2 = 3a
denklemleri elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle logaritmik denklem sistemi cebirsel bir denklem sistemine dönüştürülür.
3
Elde edilen cebirsel denklem sistemini çözmek.
ab+2ab + 2 ifadeleri eşit olduğundan, 3a=3b  ⟹  a=b3a = 3b \implies a = b olur. Bu eşitlik birinci denklemde yerine yazılırsa: a2−3a+2=0  ⟹  (a−1)(a−2)=0a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a-1)(a-2) = 0 denklemi bulunur. Buradan a=1a = 1 veya a=2a = 2 elde edilir. a=ba = b olduğundan, (a,b)(a,b) ikilisi (1,1)(1,1) veya (2,2)(2,2) olabilir.
Denklemlerin ortak çözümü yapılarak aa ve bb değişkenlerinin alabileceği değerler belirlenir.
4
Değişken değiştirmeyi geri alarak xx ve yy değerlerini bulup x+yx+y toplamlarını hesaplamak.
Birinci durum: a=1,b=1  ⟹  log⁡2x=1  ⟹  x=2a = 1, b = 1 \implies \log_2 x = 1 \implies x = 2 ve log⁡2y=1  ⟹  y=2\log_2 y = 1 \implies y = 2 olur. Buradan x+y=2+2=4x+y = 2+2=4 bulunur.
İkinci durum: a=2,b=2  ⟹  log⁡2x=2  ⟹  x=4a = 2, b = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4 ve log⁡2y=2  ⟹  y=4\log_2 y = 2 \implies y = 4 olur. Buradan x+y=4+4=8x+y = 4+4=8 bulunur.
x+yx+y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı: 4+8=124 + 8 = 12 olur.
Bulunan değişken değerleri başlangıçtaki logaritma tanımlarında yerine yazılarak aranan toplamın alabileceği değerler hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 174Soru →
xx ve yy, 11'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡3(x⋅y)=5\log_3(x \cdot y) = 5
log⁡9(xy)=1\log_9\left(\frac{x}{y}\right) = 1
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, log⁡yx\log_y x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73\frac{7}{3}

Cevap

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özellikleri kullanılarak elde edilen oran yedi bölü üçtür.
Logaritmanın çarpım özelliğiyle birinci denklem log_3 x + log_3 y = 5 olarak yazılır. İkinci denklemde 9 tabanı 3^2 şeklinde yazılarak kuvvet başa 1/2 çarpanı olarak getirilir ve bölüm özelliğiyle 1/2(log_3 x - log_3 y) = 1, yani log_3 x - log_3 y = 2 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden log_3 x = 7/2 ve log_3 y = 3/2 bulunur. Taban değiştirme kuralına göre log_y x = (log_3 x) / (log_3 y) olduğundan, cevap yedi bölü üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın logaritması özelliğini kullanarak birinci denklemi düzenleme
log⁡3x+log⁡3y=5\log_3 x + \log_3 y = 5
log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c özelliği gereğidir.
2
Bölümün logaritması ve taban değiştirme özelliklerini kullanarak ikinci denklemi düzenleme
log⁡3x−log⁡3y=2\log_3 x - \log_3 y = 2
log⁡9(xy)=12log⁡3(xy)=12(log⁡3x−log⁡3y)=1\log_9\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}\log_3\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}(\log_3 x - \log_3 y) = 1 eşitliğinden elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme
log⁡3x=72\log_3 x = \frac{7}{2} ve log⁡3y=32\log_3 y = \frac{3}{2}
Denklemler taraf tarafa toplanarak 2log⁡3x=72\log_3 x = 7 elde edilir ve ardından yerine koyma yöntemi kullanılır.
4
Taban değiştirme kuralı yardımıyla istenen ifadeyi hesaplama
log⁡yx=73\log_y x = \frac{7}{3}
log⁡yx=log⁡3xlog⁡3y=7/23/2=73\log_y x = \frac{\log_3 x}{\log_3 y} = \frac{7/2}{3/2} = \frac{7}{3} taban değiştirme kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 175Soru →
log⁡13(x+2x−1)≥−1\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının [−3,5][-3, 5] kapalı aralığındaki değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğundan yön değiştirilerek x+2x−1≤3\frac{x+2}{x-1} \le 3 elde edilir. Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,1)∪[2.5,∞)(-\infty, 1) \cup [2.5, \infty) olur. Logaritmanın tanım kümesi olan (−∞,−2)∪(1,∞)(-\infty, -2) \cup (1, \infty) ile kesişim alındığında genel çözüm kümesi S=(−∞,−2)∪[2.5,∞)S = (-\infty, -2) \cup [2.5, \infty) olarak bulunur. [−3,5][-3, 5] kapalı aralığında bu kümeye ait tam sayılar −3,3,4,5-3, 3, 4, 5 olup toplamları 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tanım kümesini belirlemek.
x+2x−1>0\frac{x + 2}{x - 1} > 0

eşitsizliğinden kökler x=−2x = -2 ve x=1x = 1 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi D=(−∞,−2)∪(1,∞)D = (-\infty, -2) \cup (1, \infty) elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için içinin daima sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliği çözmek için logaritma tabanını dikkate alarak logaritmayı kaldırmak.
Taban 13\frac{1}{3} (basit kesir) olduğundan logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirir:
x+2x−1≤(13)−1  ⟹  x+2x−1≤3\frac{x + 2}{x - 1} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies \frac{x + 2}{x - 1} \leq 3
Logaritma tabanı 0<a<10 < a < 1 aralığında ise fonksiyon azalandır ve eşitsizliğin yönü tersine döner.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizliği düzenlemek ve çözmek.
x+2x−1−3≤0  ⟹  x+2−3(x−1)x−1≤0  ⟹  5−2xx−1≤0\frac{x + 2}{x - 1} - 3 \leq 0 \implies \frac{x + 2 - 3(x - 1)}{x - 1} \leq 0 \implies \frac{5 - 2x}{x - 1} \leq 0

Eşitsizliğin kökleri x=1x = 1 (payda kökü, açık) ve x=2.5x = 2.5 (pay kökü, kapalı) olur. İşaret tablosu yapıldığında cebirsel çözüm kümesi (−∞,1)∪[2.5,∞)(-\infty, 1) \cup [2.5, \infty) bulunur.
Rasyonel ifadeler içeren eşitsizlikler, tüm terimler tek bir tarafta toplanarak ve işaret tablosu yardımıyla çözülür.
4
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.
Genel çözüm kümesi:
S=((−∞,−2)∪(1,∞))∩((−∞,1)∪[2.5,∞))  ⟹  S=(−∞,−2)∪[2.5,∞)S = ((-\infty, -2) \cup (1, \infty)) \cap ((-\infty, 1) \cup [2.5, \infty)) \implies S = (-\infty, -2) \cup [2.5, \infty) olarak bulunur.
Eşitsizliğini sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmayı da tanımlı kılması gerekir.
5
Çözüm kümesinin [−3,5][-3, 5] kapalı aralığındaki tam sayı elemanlarını belirleyip toplamak.
(−∞,−2)∪[2.5,∞)(-\infty, -2) \cup [2.5, \infty) kümesinin [−3,5][-3, 5] aralığındaki tam sayı elemanları −3,3,4,5-3, 3, 4, 5 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı:
(−3)+3+4+5=9(-3) + 3 + 4 + 5 = 9 elde edilir.
Soru kökünde istenen aralıktaki çözüm kümesi elemanlarının toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözüm kümesi ve tanım kümesi analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 176Soru →
11'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡3x+log⁡xy=4\log_3 x + \log_x y = 4
log⁡y3+log⁡3y=103\log_y 3 + \log_3 y = \frac{10}{3}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitlikleri sağlayan tüm farklı xx gerçel sayılarının çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 383^8

Cevap

Eşitlikleri sağlayan tüm farklı xx değerlerinin çarpımı 383^8 olarak bulunur.
Sorudaki sistem çözüldüğünde log⁡3y\log_3 y değeri için 33 ve 1/31/3 olmak üzere iki farklı durum ortaya çıkar. Her iki durum için log⁡3x\log_3 x değişkenine bağlı elde edilen ikinci dereceden denklemlerin kökler toplamı Vieta formülünden 44 olarak bulunur. Köklerin toplamı 88 olduğundan, xx değerlerinin çarpımı 383^8 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemde değişken dönüşümü yapılması
w+1w=103  ⟹  3w2−10w+3=0w + \frac{1}{w} = \frac{10}{3} \implies 3w^2 - 10w + 3 = 0 denklemi elde edilir.
log⁡3y=w\log_3 y = w dönüşümü yapıldığında log⁡y3=1w\log_y 3 = \frac{1}{w} olur.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemin çözülmesi
(3w−1)(w−3)=0  ⟹  w=3 veya w=13(3w - 1)(w - 3) = 0 \implies w = 3 \text{ veya } w = \frac{1}{3} bulunur.
log⁡3y\log_3 y ifadesinin alabileceği olası değerleri bulmak amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
3
Birinci denklemde taban değiştirme kuralının uygulanması
log⁡xy=log⁡3ylog⁡3x=wu  ⟹  u+wu=4  ⟹  u2−4u+w=0\log_x y = \frac{\log_3 y}{\log_3 x} = \frac{w}{u} \implies u + \frac{w}{u} = 4 \implies u^2 - 4u + w = 0 denklemi elde edilir.
log⁡3x=u\log_3 x = u dönüşümü yapılarak denklem tek bir değişken cinsinden ifade edilir.
4
İki farklı ww durumu için kökler toplamının incelenmesi
w=3  ⟹  u2−4u+3=0  ⟹  u1+u2=4w = 3 \implies u^2 - 4u + 3 = 0 \implies u_1 + u_2 = 4
w=13  ⟹  3u2−12u+1=0  ⟹  u3+u4=4w = \frac{1}{3} \implies 3u^2 - 12u + 1 = 0 \implies u_3 + u_4 = 4
Toplam kökler toplamı: u1+u2+u3+u4=8u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 8 olur.
Vieta formüllerine göre x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 denkleminde kökler toplamı SS'dir. Her iki durumda da diskriminant sıfırdan büyük olduğundan tüm kökler gerçeldir.
5
xx değerlerinin çarpımının hesaplanması
x1⋅x2⋅x3⋅x4=3u1⋅3u2⋅3u3⋅3u4=3u1+u2+u3+u4=38x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 3^{u_1} \cdot 3^{u_2} \cdot 3^{u_3} \cdot 3^{u_4} = 3^{u_1 + u_2 + u_3 + u_4} = 3^8
u=log⁡3x  ⟹  x=3uu = \log_3 x \implies x = 3^u ilişkisi kullanılarak çarpım, tabanları aynı olan üslü sayıların üslerinin toplanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülerek çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 177Soru →

log⁡12(x2−3x)≥−2\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) \geq -2 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 33'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Logaritmik eşitsizliğin çözümü sürecinde hem tabanın basit kesir olması nedeniyle yön değiştirme kuralı hem de logaritmanın tanım kümesi kuralı doğru uygulanmış ve elde edilen tam sayıların toplamının 33 olduğu kesin olarak gösterilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için gereken tanım kümesi belirlenir.
x2−3x>0  ⟹  x(x−3)>0  ⟹  x<0x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0 veya x>3x > 3
Logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması zorunludur.
2
Logaritmik eşitsizlik çözülür. Taban 0<12<10 < \frac{1}{2} < 1 (basit kesir) olduğundan eşitsizlik yönü tersine çevrilir.
x2−3x≤(12)−2  ⟹  x2−3x≤4x^2 - 3x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x^2 - 3x \leq 4
Taban 11'den küçük olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlarına ayrılarak çözüm kümesi bulunur.
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  x∈[−1,4]x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x-4)(x+1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]
Kökler −1-1 ve 44 olup, başkatsayı pozitif olduğundan bu iki kök arasında ifade negatif veya sıfırdır.
4
Tanım kümesi koşulu ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimi alınarak gerçek çözüm kümesi oluşturulur.
([−1,4])∩((−∞,0)∪(3,∞))  ⟹  [−1,0)∪(3,4]([-1, 4]) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \implies [-1, 0) \cup (3, 4]
Çözüm kümesindeki tüm elemanların logaritma fonksiyonunu tanımlı kılması şarttır.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.
Tam sayılar: −1-1 ve 44. Toplam: −1+4=3-1 + 4 = 3
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı −1-1 ve (3,4](3, 4] aralığındaki tam sayı 44'tür. Bu değerlerin toplamı 33 olur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (f(x)>0f(x) > 0) çözüm kümesine dahil edilmesi.
Soru 178Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, pozitif bir xx gerçel sayısı için,
2log⁡3x+3log⁡2x−1log⁡12x=1\frac{2}{\log_3 x} + \frac{3}{\log_2 x} - \frac{1}{\log_{12} x} = 1

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayısı 6'dır.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak tüm logaritmalar x tabanına dönüştürülür. Katsayılar kuvvet olarak yazıldıktan sonra toplama ve çıkarma kuralları uygulanarak denklem log_x(6) = 1 biçimine sadeleştirilir. Buradan x = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
2log⁡x3+3log⁡x2−log⁡x12=12\log_x 3 + 3\log_x 2 - \log_x 12 = 1
Logaritmik terimlerin tabanlarını eşitleyerek işlem yapabilmek için rasyonel ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla düzenleriz.
2
Logaritma katsayılarını kuvvete taşıma
log⁡x9+log⁡x8−log⁡x12=1\log_x 9 + \log_x 8 - \log_x 12 = 1
Logaritma önündeki katsayılar, logaritması alınan sayıların üzerine üs olarak yazılır.
3
Toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak birleştirme
log⁡x6=1\log_x 6 = 1
Aynı tabandaki logaritma ifadelerinin toplamı çarpım, farkı ise bölüm şeklinde tek bir logaritma altında birleştirilir.
4
Bilinmeyeni çözme
x=6x = 6
Logaritma tanımına göre log_x(a) = b ifadesi x^b = a anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmanın temel özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 179Soru →
Birden büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = 7
log⁡c(ab)=2\log_c(ab) = 2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen iki denklem x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c dönüşümleriyle ortak bir tabana indirgendiğinde x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 bağıntıları elde edilir. İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesi xy+yx=x2+y2xy\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} olup, bu iki bağıntı yerine yazıldığında sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c değişken dönüşümlerini tanımlayınız.
Taban değiştirme kuralına göre log⁡ca=1x\log_c a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} elde edilir.
Verilen ifadeleri daha kolay işleyebilmek amacıyla tüm logaritma terimlerini cc tabanı ile ilişkilendirmek için.
2
İkinci denklemi tanımlanan değişkenler cinsinden ifade ediniz.
log⁡c(ab)=log⁡ca+log⁡cb=1x+1y=2  ⟹  x+yxy=2  ⟹  x+y=2xy\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \implies \frac{x+y}{xy} = 2 \implies x+y = 2xy bağıntısı elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğini ve taban değiştirme sonucunu uygulamak için.
3
Birinci denklemi çarpım özelliğini kullanarak düzenleyiniz ve değişkenler cinsinden yazınız.
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=log⁡ab+log⁡ac+log⁡ba+log⁡bc=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = \log_a b + \log_a c + \log_b a + \log_b c = 7 olur. log⁡ab=xy\log_a b = \frac{x}{y} ve log⁡ba=yx\log_b a = \frac{y}{x} olduğundan denklem xy+yx+x+y=7\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + x + y = 7 şekline gelir.
Denklemin terimlerini xx ve yy cinsinden ifade ederek tek bir cebirsel sistem oluşturmak için.
4
Cebirsel ifadeyi özdeşlikler yardımıyla düzenleyiniz.
x2+y2xy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2−2xyxy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2xy+(x+y)=9\frac{x^2+y^2}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2}{xy} + (x+y) = 9 elde edilir.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy özdeşliğini yerine yazarak ifadeyi x+yx+y ve xyxy cinsine dönüştürmek için.
5
xy=x+y2xy = \frac{x+y}{2} bağıntısını kullanarak x+yx+y değerini hesaplayınız.
(x+y)2x+y2+(x+y)=9  ⟹  2(x+y)+(x+y)=9  ⟹  3(x+y)=9  ⟹  x+y=3\frac{(x+y)^2}{\frac{x+y}{2}} + (x+y) = 9 \implies 2(x+y) + (x+y) = 9 \implies 3(x+y) = 9 \implies x+y = 3 bulunur. Buradan xy=32xy = \frac{3}{2} elde edilir.
xyxy terimini yok ederek denklemden doğrudan x+yx+y toplamına ulaşmak için.
6
İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesini hesaplayınız.
log⁡ab+log⁡ba=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=32−2(3/2)3/2=63/2=4\log_a b + \log_b a = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{3^2 - 2(3/2)}{3/2} = \frac{6}{3/2} = 4 bulunur.
Elde edilen x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 değerlerini nihai ifadede yerine yazmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım özelliğinin cebirsel özdeşliklerle ortak çözümü.
Soru 180Soru →
log⁡13(x−2x−4)≥−1\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x - 2}{x - 4}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 6'dır.
Eşitsizliğin doğru çözümü için öncelikle x−2x−4>0\frac{x-2}{x-4} > 0 tanım aralığı belirlenir, bu da bize (−∞,2)∪(4,∞)(-\infty, 2) \cup (4, \infty) aralığını verir. Ardından taban basit kesir olduğundan yön değiştirilerek x−2x−4≤3\frac{x-2}{x-4} \leq 3 eşitsizliği çözülür ve cebirsel aralık (−∞,4)∪[5,∞)(-\infty, 4) \cup [5, \infty) bulunur. İki kümenin kesişiminden elde edilen gerçek çözüm kümesi (−∞,2)∪[5,∞)(-\infty, 2) \cup [5, \infty) olur. Bu kümedeki en küçük pozitif tam sayılar 1 ve 5 olduğundan, toplamları 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek
x−2x−4>0\frac{x - 2}{x - 4} > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin kökleri x=2x = 2 ve x=4x = 4 olup, işaret tablosu yapıldığında tanım kümesi T=(−∞,2)∪(4,∞)T = (-\infty, 2) \cup (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliği logaritma kurallarına göre çözmek
Taban 13\frac{1}{3} (basit kesir) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x−2x−4≤(13)−1  ⟹  x−2x−4≤3\frac{x - 2}{x - 4} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies \frac{x - 2}{x - 4} \leq 3 olur.
Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
x−2x−4−3≤0  ⟹  −2x+10x−4≤0  ⟹  2x−10x−4≥0\frac{x - 2}{x - 4} - 3 \leq 0 \implies \frac{-2x + 10}{x - 4} \leq 0 \implies \frac{2x - 10}{x - 4} \geq 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=5x = 5 ve x=4x = 4'tür. Paydanın kökü (x=4x=4) hariç, payın kökü (x=5x=5) dahil edilerek cebirsel çözüm kümesi C1=(−∞,4)∪[5,∞)C_1 = (-\infty, 4) \cup [5, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerin çözümü için tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılır ve köklerin işaret tablosu incelenir.
4
Tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesinin kesişimini almak
C=T∩C1=((−∞,2)∪(4,∞))∩((−∞,4)∪[5,∞))=(−∞,2)∪[5,∞)C = T \cap C_1 = \big( (-\infty, 2) \cup (4, \infty) \big) \cap \big( (-\infty, 4) \cup [5, \infty) \big) = (-\infty, 2) \cup [5, \infty) elde edilir.
Bulunan çözümlerin geçerli olabilmesi için logaritmanın tanımlı olduğu aralıkta yer alması gerekir.
5
En küçük iki pozitif tam sayıyı belirlemek ve toplamak
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 1,5,6,7,…1, 5, 6, 7, \dots şeklindedir. En küçük iki tanesi 1 ve 5 olup, toplamları 1+5=61 + 5 = 6 olur.
Kümeye ait en küçük iki pozitif tam sayı belirlenerek soru kökündeki toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın durumuna göre eşitsizlik yönünün belirlenmesi ve tanım kümesi sınırlamalarının çözüm kümesine dahil edilmesi.
ÖncekiSayfa 9 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin