Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 181Soru →
log⁡615=a\log_6 15 = a
log⁡610=b\log_6 10 = b

olduğuna göre, log⁡125\log_{12} 5 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \frac{a + b - 1}{b - a + 3}

Cevap

\frac{a + b - 1}{b - a + 3}
Logaritma ifadeleri açılıp taraf tarafa toplanarak ve çıkarılarak log⁡65\log_6 5 ve log⁡62\log_6 2 değerleri elde edilir. Ardından log⁡125\log_{12} 5 ifadesine 6 tabanında taban değiştirme uygulanıp bu değerler yerine konulduğunda a+b−1b−a+3\frac{a + b - 1}{b - a + 3} ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açın.
a=log⁡63+log⁡65a = \log_6 3 + \log_6 5 ve b=log⁡62+log⁡65b = \log_6 2 + \log_6 5
Toplamsal ilişkileri kurabilmek için sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmalarını ayırmak.
2
log⁡63\log_6 3 ifadesini log⁡62\log_6 2 cinsinden yazın.
log⁡63=1−log⁡62\log_6 3 = 1 - \log_6 2 olduğundan a=1−log⁡62+log⁡65a = 1 - \log_6 2 + \log_6 5
log⁡62+log⁡63=log⁡66=1\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1 temel özelliğini kullanarak bilinmeyen sayısını azaltmak.
3
Elde edilen iki denklemden log⁡65\log_6 5 ve log⁡62\log_6 2 ifadelerini çekin.
log⁡65=a+b−12\log_6 5 = \frac{a + b - 1}{2} ve log⁡62=b−a+12\log_6 2 = \frac{b - a + 1}{2}
İstenen log⁡125\log_{12} 5 ifadesinin bileşenlerini aa ve bb cinsinden ifade etmek.
4
log⁡125\log_{12} 5 ifadesine 6 tabanında taban değiştirme kuralı uygulayıp değerleri yerine yazın.
log⁡125=log⁡65log⁡612=log⁡651+log⁡62=a+b−1b−a+3\log_{12} 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 12} = \frac{\log_6 5}{1 + \log_6 2} = \frac{a + b - 1}{b - a + 3}
Taban değiştirme özelliğini kullanarak aranan ifadeyi bilinen tabana indirgemek ve sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 182Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, bir xx pozitif gerçel sayısı için
log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3x⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2x=log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x = \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Doğru cevap 30'dur.
Verilen denklemde her iki taraf logaritmik çarpımlara bölündüğünde elde edilen rasyonel ifadeler, taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1 biçimine dönüşür. Logaritma toplama özelliğinden log⁡x30=1\log_x 30 = 1 olur ve buradan x=30x = 30 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafını terimlerin çarpımı olan log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x ifadesine bölün.
1log⁡5x+1log⁡2x+1log⁡3x=1\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1
Logaritmik ifadeleri sadeleştirmek ve ortak tabana dönüştürülebilecek rasyonel terimler elde etmek için.
2
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a taban değiştirme kuralını uygulayarak her terimi xx tabanında yeniden yazın.
log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1
Tüm logaritma terimlerini aynı tabanda (yani xx tabanında) bir araya getirerek işlem kolaylığı sağlamak için.
3
Aynı tabandaki logaritma toplamlarını tek bir logaritma altında çarpım kuralı (log⁡am+log⁡an+log⁡ak=log⁡a(m⋅n⋅k)\log_a m + \log_a n + \log_a k = \log_a(m \cdot n \cdot k)) ile birleştirin.
log⁡x(5⋅2⋅3)=1  ⟹  log⁡x30=1\log_x(5 \cdot 2 \cdot 3) = 1 \implies \log_x 30 = 1
Denklemi tek bir logaritmik ifadeye indirgeyerek çözüme ulaşmak için.
4
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üstel biçimde yazın ve xx değerini bulun.
x1=30  ⟹  x=30x^1 = 30 \implies x = 30
Logaritma fonksiyonunu ortadan kaldırıp bilinmeyen olan xx gerçel sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Taban Değiştirme ve Logaritma Toplama Özelliği
Soru 183Soru →
x=log⁡23x = \log_2 3
y=log⁡35y = \log_3 5
olduğuna göre, log⁡30120\log_{30} 120 ifadesinin xx ve yy türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}

Cevap

\frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}
Logaritma taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡30120\log_{30} 120 ifadesi 3 tabanında yazıldığında log⁡3120log⁡330\frac{\log_3 120}{\log_3 30} elde edilir. Pay ve paydadaki ifadeler asal çarpanlarına ayrılıp log⁡32=1x\log_3 2 = \frac{1}{x} ve log⁡35=y\log_3 5 = y değerleri yerlerine yazıldığında rasyonel ifadelerin düzenlenmesiyle x+xy+3x+xy+1\frac{x + xy + 3}{x + xy + 1} ifadesi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve ortak tabana göre taban değiştirme uygulamak.
Verilen ifadelerde ortak sayı 3 olduğundan log⁡30120\log_{30} 120 ifadesi 3 tabanına göre yazılır: log⁡30120=log⁡3120log⁡330\log_{30} 120 = \frac{\log_3 120}{\log_3 30}
Soruda verilen xx ve yy değerleri 2 ve 3, 3 ve 5 tabanlarındadır. Ortak taban olan 3 tabanına geçi�� yapmak çözümü kolaylaştırır.
2
Pay ve paydadaki sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmanın çarpım özelliğini uygulamak.
Pay: log⁡3120=log⁡3(23⋅3⋅5)=3log⁡32+log⁡33+log⁡35=3log⁡32+1+log⁡35\log_3 120 = \log_3(2^3 \cdot 3 \cdot 5) = 3\log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = 3\log_3 2 + 1 + \log_3 5 ve Payda: log⁡330=log⁡3(2⋅3⋅5)=log⁡32+log⁡33+log⁡35=log⁡32+1+log⁡35\log_3 30 = \log_3(2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = \log_3 2 + 1 + \log_3 5
Logaritma içindeki çarpım durumundaki ifadeleri toplam biçiminde yazarak bilinen değişkenleri yerleştirebilmek.
3
Verilen x=log⁡23x = \log_2 3 ve y=log⁡35y = \log_3 5 değerlerini yerlerine yazmak.
log⁡32=1log⁡23=1x\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x} yazılır. Buradan Pay: 3(1x)+1+y=3x+1+y=x+xy+3x3\left(\frac{1}{x}\right) + 1 + y = \frac{3}{x} + 1 + y = \frac{x + xy + 3}{x} ve Payda: 1x+1+y=x+xy+1x\frac{1}{x} + 1 + y = \frac{x + xy + 1}{x} elde edilir.
Taban ile logaritması alınan sayının yer değiştirmesi durumunda logaritma değerinin çarpmaya göre tersi alınır.
4
Elde edilen pay ve payda rasyonel ifadelerini oranlamak.
log⁡30120=x+xy+3xx+xy+1x=x+xy+3x+xy+1\log_{30} 120 = \frac{\frac{x + xy + 3}{x}}{\frac{x + xy + 1}{x}} = \frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}
Ortak payda olan xx değerleri sadeleşir ve nihai rasyonel ifadeye ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 184Soru →
11'den farklı aa ve bb pozitif gerçel sayıları için,
log⁡ab−6log⁡ba=1\log_a b - 6\log_b a = 1
olduğu biliniyor.
Buna göre,
log⁡a(a⋅b)+log⁡b(a⋅b)\log_{\sqrt{a}} (a \cdot b) + \log_{\sqrt{b}} (a \cdot b)
ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 293\frac{29}{3}

Cevap

İfadenin alabileceği değerlerin toplamı yirmi dokuz bölü üçtür.
Verilen denklemde değişken değiştirme yapılıp ikinci dereceden denklem çözüldüğünde elde edilen kökler 3 ve -2'dir. İstenen ifade sadeleştirilip bu kökler yerine yazıldığında elde edilen 32/3 ve -1 değerlerinin toplamı olan 29/3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yapılması
log⁡ab=t  ⟹  log⁡ba=1t\log_a b = t \implies \log_b a = \frac{1}{t}
Verilen denklemde tabanları aynı hale getirmek ve çözülebilir bir yapı oluşturmak amacıyla değişken değiştirme yöntemi kullanılır.
2
İkinci dereceden denklemin kurulması ve çözülmesi
t−6t=1  ⟹  t2−t−6=0  ⟹  (t−3)(t+2)=0  ⟹  t=3 veya t=−2t - \frac{6}{t} = 1 \implies t^2 - t - 6 = 0 \implies (t - 3)(t + 2) = 0 \implies t = 3 \text{ veya } t = -2
Değişken değiştirme sonrası elde edilen rasyonel denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir denklem elde edilir ve çarpanlarına ayrılarak kökler bulunur.
3
İstenen ifadenin t cinsinden düzenlenmesi
log⁡a(a⋅b)=2(log⁡aa+log⁡ab)=2(1+t)\log_{\sqrt{a}} (a \cdot b) = 2(\log_a a + \log_a b) = 2(1 + t)
log⁡b(a⋅b)=2(log⁡ba+log⁡bb)=2(1t+1)\log_{\sqrt{b}} (a \cdot b) = 2(\log_b a + \log_b b) = 2\left(\frac{1}{t} + 1\right)
Toplam=2t+2t+4\text{Toplam} = 2t + \frac{2}{t} + 4
Logaritmanın taban üssü ve çarpım özellikleri kullanılarak sorulan ifade ortak değişken olan tt cinsinden ifade edilir.
4
Bulunan t değerlerinin yerine yazılarak ifadenin değerlerinin hesaplanması
t=3  ⟹  2(3)+23+4=323t = 3 \implies 2(3) + \frac{2}{3} + 4 = \frac{32}{3}
t=−2  ⟹  2(−2)+2−2+4=−1t = -2 \implies 2(-2) + \frac{2}{-2} + 4 = -1
Elde edilen tt değerlerinin her biri düzenlenmiş toplam ifadesinde yerine yazılarak ifadenin alabileceği olası iki değer bulunur.
5
Alınabilecek değerlerin toplamının bulunması
323+(−1)=293\frac{32}{3} + (-1) = \frac{29}{3}
Soruda istenen değerlerin toplamı, elde edilen iki sonucun toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 185Soru →
log⁡2(x+3x−2)≤1\log_2\left(\frac{x+3}{x-2}\right) \leq 1

eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri 77'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri gerçekten 7'dir.
Eşitsizliğin tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesi kesiştirildiğinde elde edilen [7,∞)[7, \infty) aralığındaki en küçük tam sayı 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.
x+3x−2>0  ⟹  x<−3 veya x>2\frac{x+3}{x-2} > 0 \implies x < -3 \text{ veya } x > 2
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliği üstel forma dönüştürerek çözmek.
x+3x−2≤21  ⟹  x+3x−2≤2\frac{x+3}{x-2} \leq 2^1 \implies \frac{x+3}{x-2} \leq 2
Logaritmanın tabanı 2>12 > 1 olduğundan üstel forma geçildiğinde eşitsizliğin yönü korunur.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizliği sıfıra eşitleyip işaret tablosunu oluşturmak.
x+3x−2−2≤0  ⟹  7−xx−2≤0  ⟹  x∈(−∞,2)∪[7,∞)\frac{x+3}{x-2} - 2 \leq 0 \implies \frac{7-x}{x-2} \leq 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup [7, \infty)
Rasyonel ifadelerde pay ve paydanın kökleri (x=7x=7 ve x=2x=2) bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Bulunan çözüm kümesi ile tanım kümesini kesiştirmek.
((−∞,2)∪[7,∞))∩((−∞,−3)∪(2,∞))=(−∞,−3)∪[7,∞)( (-\infty, 2) \cup [7, \infty) ) \cap ( (-\infty, -3) \cup (2, \infty) ) = (-\infty, -3) \cup [7, \infty)
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmayı tanımlı kılması gerekir.
5
Kesişim kümesindeki en küçük pozitif tam sayı değerini belirlemek.
Pozitif çözüm kümesi [7,∞)[7, \infty) olduğundan en küçük pozitif tam sayı 77'dir.
İfadeyi sağlayan pozitif tam sayılar 7,8,9,…7, 8, 9, \dots şeklindedir.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 186Soru →
log⁡0,2(x2−2x)≥log⁡0,2(x+4)\log_{0,2}(x^2 - 2x) \geq \log_{0,2}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 6'dır.
Verilen logaritmik eşitsizlikte taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmanın içi yön değiştirerek x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4 olur ve buradan [−1,4][-1, 4] aralığı elde edilir. Logaritmanın tanım kümeleri olan x2−2x>0x^2 - 2x > 0 ve x+4>0x + 4 > 0 şartları birleştirildiğinde x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty) bulunur. Bu iki kümenin kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −1,3-1, 3 ve 44 olup toplamları 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin logaritmasız halini yazma
x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4
Logaritma tabanı olan 0,20,2 değeri 00 ile 11 arasında olduğundan, logaritma fonksiyonu azaland��r ve eşitsizlik yön değiştirir.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çözme
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  x∈[−1,4]x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]
Eşitsizliğin sınırlarını belirleyerek değişkenin alabileceği temel aralığı bulmak için.
3
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleme
x2−2x>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2 ve x+4>0  ⟹  x>−4x + 4 > 0 \implies x > -4. Kesişimleri: x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty)
Gerçek sayılarda logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şarttır.
4
Çözüm aralığı ile tanım kümesini kesiştirme
[−1,4]∩((−4,0)∪(2,∞))=[−1,0)∪(2,4][-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]
Hem cebirsel eşitsizliği hem de logaritmanın tanım kümesini aynı anda sağlayan ortak bölgeyi bulmak için.
5
Aralıktaki tam sayıları belirleyip toplama
Tam sayılar: −1,3,4-1, 3, 4. Toplam: −1+3+4=6-1 + 3 + 4 = 6
Soruda istenen xx tam sayılarının toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (pozitiflik şartı) çözüm kümesiyle kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 187Soru →
1'den farklı aa ve bb pozitif tam sayıları için log⁡ab\log_a b bir tam sayıdır.
log⁡2a+log⁡4b=5\log_2 a + \log_4 b = 5
log⁡a2+log⁡b4=56\log_a 2 + \log_b 4 = \frac{5}{6}
olduğuna göre, log⁡ab\log_a b ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Logaritma taban değiştirme kuralları ve değişken dönüşümü uygulandığında, verilen koşulları sağlayan tek durum log⁡ab=3\log_a b = 3 değeridir.
Değişken dönüşümü yapılıp sistem çözüldüğünde elde edilen a=4a = 4 ve b=64b = 64 değerleri için log⁡464=3\log_4 64 = 3 tam sayı değerine ulaşılır. Diğer olası çözüm olan a=8a = 8 ve b=16b = 16 değerleri için log⁡816=4/3\log_8 16 = 4/3 tam sayı olmadığından elenir.

Adım Adım Çözüm

1
log⁡2a=x\log_2 a = x ve log⁡2b=y\log_2 b = y değişken dönüşümünü yapın ve birinci denklemi bu değişkenler cinsinden ifade edin.
x+12y=5  ⟹  y=10−2xx + \frac{1}{2}y = 5 \implies y = 10 - 2x elde edilir.
Birinci denklemi basitleştirerek değişkenler arasında bir bağıntı kurmak için.
2
İkinci denklemdeki terimleri taban değiştirme özelliklerini kullanarak xx ve yy cinsinden yazın.
log⁡a2=1x\log_a 2 = \frac{1}{x} ve log⁡b4=2y\log_b 4 = \frac{2}{y} olduğundan, 1x+2y=56\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{5}{6} elde edilir.
Tüm ifadeleri 2 tabanına indirgeyerek ortak bir denklem sistemi oluşturmak için.
3
y=10−2xy = 10 - 2x ifadesini ikinci denklemde yerine koyun ve oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.
1x+15−x=56  ⟹  x2−5x+6=0  ⟹  (x−2)(x−3)=0  ⟹  x=2\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x} = \frac{5}{6} \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2 veya x=3x = 3 bulunur.
Bilinmeyen sayısını bire indirgeyerek denklemin köklerini bulmak için.
4
Bulunan xx değerlerine karşılık gelen yy değerlerini hesaplayın ve log⁡ab=yx\log_a b = \frac{y}{x} oranının tam sayı olma koşulunu inceleyin.
x=2x = 2 için y=6y = 6 ve log⁡ab=3\log_a b = 3 (tam sayı) olur. x=3x = 3 için y=4y = 4 ve log⁡ab=43\log_a b = \frac{4}{3} (tam sayı değil) olur.
Soruda verilen tam sayı olma koşulunu sağlayan tek durumu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Logaritma Taban Değiştirme ve Özellikleri
Soru 188Soru →
log⁡12(x2−98−x)≥log⁡12(x+3)\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x^2 - 9}{8 - x}\right) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 3)

eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
Logaritmik eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğu için yön değiştirilir ve en geniş tanım kümesi ile kesiştirildiğinde elde edilen (3,5,5](3, 5,5] aralığındaki pozitif tam sayılar 4 ve 5 olup toplamları 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümelerinin belirlenmesi
T=(3,8)T = (3, 8)
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için içerisindeki ifadelerin sıfırdan büyük olması gerekir. x2−98−x>0\frac{x^2 - 9}{8 - x} > 0 eşitsizliğinden x∈(−∞,−3)∪(3,8)x \in (-\infty, -3) \cup (3, 8) ve x+3>0x + 3 > 0 eşitsizliğinden x>−3x > -3 elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi (3,8)(3, 8) aralığıdır.
2
Eşitsizliğin çözülmesi
x∈[−3,5,5]∪(8,∞)x \in [-3, 5,5] \cup (8, \infty)
Logaritmanın tabanı 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir: x2−98−x≤x+3  ⟹  (x+3)(2x−11)x−8≥0\frac{x^2 - 9}{8 - x} \leq x + 3 \implies \frac{(x+3)(2x-11)}{x-8} \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri −3-3, 5,55,5 ve 88'dir. İşaret tablosundan [−3,5,5]∪(8,∞)[-3, 5,5] \cup (8, \infty) aralığı bulunur.
3
Tanım kümesi ile çözüm kümesinin kesiştirilmesi
x∈(3,5,5]x \in (3, 5,5]
Elde edilen algebraic çözüm kümesi ile tanım kümesi olan (3,8)(3, 8) aralığının kesişimi (3,5,5](3, 5,5] aralığıdır.
4
Pozitif tam sayıların toplanması
9
(3,5,5](3, 5,5] yarı açık aralığındaki pozitif tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu değerlerin toplamı 4+5=94 + 5 = 9 olur.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 189Soru →
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayıları için,
log⁡a(b⋅c)=2\log_a(b \cdot c) = 2
log⁡b(a⋅c)=5\log_b(a \cdot c) = 5
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla tüm logaritmik ifadeler ortak bir tabana çevrildiğinde elde edilen doğrusal denklem sistemi çözülerek değişkenler arasındaki oranlar bulunur. Bu oranlar istenen ifadede yerine yazıldığında sadeleşme gerçekleşir ve sonuç 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak log⁡a(b⋅c)=2\log_a(b \cdot c) = 2 ve log⁡b(a⋅c)=5\log_b(a \cdot c) = 5 ifadelerini açın.
log⁡ab+log⁡ac=2\log_a b + \log_a c = 2 ve log⁡ba+log⁡bc=5\log_b a + \log_b c = 5 denklemleri elde edilir.
Çarpımın logaritmasını toplam şeklinde yazarak değişkenleri ayırmak için.
2
Taban değiştirme kuralını uygulayarak tüm ifadeleri doğal logaritma (ln) tabanına dönüştürün ve ln⁡a=x\ln a = x, ln⁡b=y\ln b = y, ln⁡c=z\ln c = z değişkenlerini tanımlayın.
y+z=2xy + z = 2x ve x+z=5yx + z = 5y denklem sistemi elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda birleştirip doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.
3
İkinci denklemden zz'yi çekip birinci denklemde yerine yazarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi bulun.
z=5y−x  ⟹  y+(5y−x)=2x  ⟹  6y=3x  ⟹  x=2yz = 5y - x \implies y + (5y - x) = 2x \implies 6y = 3x \implies x = 2y bulunur. Buradan z=3yz = 3y elde edilir.
Denklem sistemini çözerek tüm değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
4
İstenen log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesini ln tabanına dönüştürün ve bulduğunuz x=2yx = 2y ile z=3yz = 3y değerlerini yerine yazın.
log⁡c(a⋅b)=ln⁡a+ln⁡bln⁡c=x+yz=2y+y3y=1\log_c(a \cdot b) = \frac{\ln a + \ln b}{\ln c} = \frac{x + y}{z} = \frac{2y + y}{3y} = 1 bulunur.
Aranan ifadenin sayısal değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım ve taban değiştirme özellikleri
Soru 190Soru →
log⁡312=a\log_3 12 = a
log⁡25=b\log_2 5 = b

olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2}

Cevap

3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2}
İstenen ifade taban değiştirme kuralı ile 2 tabanına çevrildiğinde 3+log⁡23log⁡23+log⁡25\frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5} elde edilir. log⁡312=a\log_3 12 = a eşitliğinden bulunan log⁡23=2a−1\log_2 3 = \frac{2}{a-1} ve log⁡25=b\log_2 5 = b değerleri yerlerine yazılıp sadeleştirildiğinde 3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2} ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen log⁡312=a\log_3 12 = a eşitliğini logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirelim.
log⁡312=log⁡3(3⋅4)=log⁡33+log⁡3(22)=1+2log⁡32=a\log_3 12 = \log_3 (3 \cdot 4) = \log_3 3 + \log_3 (2^2) = 1 + 2\log_3 2 = a Buradan, 2log⁡32=a−1  ⟹  log⁡32=a−122\log_3 2 = a - 1 \implies \log_3 2 = \frac{a-1}{2} bulunur.
Verilen ifadeyi daha basit logaritmik terimlere indirgemek.
2
Elde edilen ifadeden taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡23\log_2 3 değerini elde edelim.
log⁡23=1log⁡32=2a−1\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2} = \frac{2}{a-1} olarak bulunur.
Diğer verilen değer olan log⁡25=b\log_2 5 = b ifadesinin tabanı 2 olduğundan, tüm terimleri 2 tabanında yazabilmek.
3
İstenen log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 2 tabanında yazalım.
log⁡1524=log⁡224log⁡215=log⁡2(23⋅3)log⁡2(3⋅5)=3+log⁡23log⁡23+log⁡25\log_{15} 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 15} = \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3)}{\log_2 (3 \cdot 5)} = \frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5} elde edilir.
İstenen ifadeyi bilinen değişkenlerin tabanında (2 tabanında) ifade etmek.
4
Bulduğumuz log⁡23=2a−1\log_2 3 = \frac{2}{a-1} ve log⁡25=b\log_2 5 = b değerlerini formülde yerine yazarak düzenleyelim.
log⁡1524=3+2a−12a−1+b=3a−3+2a−12+ab−ba−1=3a−1ab−b+2\log_{15} 24 = \frac{3 + \frac{2}{a-1}}{\frac{2}{a-1} + b} = \frac{\frac{3a-3+2}{a-1}}{\frac{2+ab-b}{a-1}} = \frac{3a-1}{ab-b+2} elde edilir.
Rasyonel ifadelerde payda eşitleme ve sadeleştirme işlemlerini yaparak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 191Soru →
log⁡12(x−3x+1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-3}{x+1}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı -1'dir.
Logaritmik eşitsizlik doğru çözüldüğünde ve logaritmanın tanımlı olma şartı (x−3x+1>0\frac{x-3}{x+1} > 0) uygulandığında çözüm kümesi (−∞,−5]∪(3,∞)(-\infty, -5] \cup (3, \infty) olarak bulunur. Bu aralıktaki en büyük negatif tam sayı −5-5, en küçük pozitif tam sayı ise 44'tür. Toplamları ise −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x−3x+1>0\frac{x-3}{x+1} > 0 olmalıdır. Bu rasyonel ifadenin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1'dir. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi T=(−∞,−1)∪(3,∞)T = (-\infty, -1) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliğin çözülmesi
log⁡12(x−3x+1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-3}{x+1}\right) \geq -1 eşitsizliğinde taban 12\frac{1}{2} (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x−3x+1≤(12)−1⇒x−3x+1≤2\frac{x-3}{x+1} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \Rightarrow \frac{x-3}{x+1} \leq 2 elde edilir.
Logaritma tabanı basit kesir (0 ile 1 arasında) olduğunda azalan fonksiyon özelliğinden dolayı eşitsizlik yön değiştirir.
3
Rasyonel eşitsizliğin çözülmesi ve köklerin bulunması
x−3x+1−2≤0⇒x−3−2(x+1)x+1≤0⇒−x−5x+1≤0\frac{x-3}{x+1} - 2 \leq 0 \Rightarrow \frac{x-3-2(x+1)}{x+1} \leq 0 \Rightarrow \frac{-x-5}{x+1} \leq 0 elde edilir. Payı −1-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: x+5x+1≥0\frac{x+5}{x+1} \geq 0 olur. Kökler x=−5x = -5 (pay kökü) ve x=−1x = -1 (payda kökü) şeklindedir. İşaret tablosundan eşitsizliğin çözüm aralığı C1=(−∞,−5]∪(−1,∞)C_1 = (-\infty, -5] \cup (-1, \infty) olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosu oluşturarak cebirsel çözüm kümesini belirlemek için tüm terimler tek bir tarafta toplanır ve payda eşitlenir.
4
Tanım kümesi ile çözüm kümesinin kesiştirilmesi
Tanım kümesi T=(−∞,−1)∪(3,∞)T = (-\infty, -1) \cup (3, \infty) ile rasyonel eşitsizlik çözümü C1=(−∞,−5]∪(−1,∞)C_1 = (-\infty, -5] \cup (-1, \infty) kesiştirilir: C=T∩C1=(−∞,−5]∪(3,∞)C = T \cap C_1 = (-\infty, -5] \cup (3, \infty) elde edilir.
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmanın tanım kümesinde yer alması zorunludur.
5
İstenen tam sayı değerlerinin bulunması ve toplanması
Çözüm kümesindeki en büyük negatif tam sayı x=−5x = -5'tir. En küçük pozitif tam sayı ise x=4x = 4'tür. Bu iki değerin toplamı: −5+4=−1-5 + 4 = -1 olarak hesaplanır.
Soru kökünde istenen koşulları sağlayan sınır tam sayı değerleri belirlenip toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin çözüm kümesine dahil edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 192Soru →
271log⁡23+161log⁡32−52log⁡2527^{\frac{1}{\log_2 3}} + 16^{\frac{1}{\log_3 2}} - 5^{\frac{2}{\log_2 5}} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 85

Cevap

Verilen logaritmik ifadenin sadeleştirilmiş değeri 85 olarak bulunur.
İfadedeki terimler tek tek taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanılarak düzenlenmiştir. Düzenlenen terimler sırasıyla 3log⁡383^{\log_3 8}, 2log⁡2812^{\log_2 81} ve 5log⁡545^{\log_5 4} haline getirilmiş, ardından alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralıyla 8+81−4=858 + 81 - 4 = 85 sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmalı terimleri pay kısmına geçirin.
1log⁡23=log⁡32\frac{1}{\log_2 3} = \log_3 2, 1log⁡32=log⁡23\frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3 ve 1log⁡25=log⁡52\frac{1}{\log_2 5} = \log_5 2
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a özelliği gereği taban ve argüman yer değiştirir.
2
Elde edilen ifadeleri yerlerine yazarak üslü tabanları logaritma tabanları cinsinden kuvvet olarak ifade edin.
(33)log⁡32+(24)log⁡23−52log⁡52(3^3)^{\log_3 2} + (2^4)^{\log_2 3} - 5^{2\log_5 2}
27=3327 = 3^3 ve 16=2416 = 2^4 yazarak sadeleşmeyi kolaylaştırmak hedeflenir.
3
Kuvvetlerin çarp��mı özelliğini ve k⋅log⁡ab=log⁡abkk \cdot \log_a b = \log_a b^k özelliğini kullanarak ifadeleri sadeleştirin.
3log⁡38+2log⁡281−5log⁡543^{\log_3 8} + 2^{\log_2 81} - 5^{\log_5 4}
(xm)n=xm⋅n(x^m)^n = x^{m \cdot n} ve logaritma katsayı kuralı uygulanmıştır.
4
alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini kullanarak her bir terimin değerini hesaplayın ve işlemi tamamlayın.
8+81−4=858 + 81 - 4 = 85
Logaritmik üslerin temel sadeleşme kuralı uygulanarak tam sayı değerleri elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme ve üslü sayı özellikleri ile ilişkilendirilmesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliği doğrudan kullanılabilir:
- 27log⁡32=2log⁡327=23=827^{\log_3 2} = 2^{\log_3 27} = 2^3 = 8
- 16log⁡23=3log⁡216=34=8116^{\log_2 3} = 3^{\log_2 16} = 3^4 = 81
- 52log⁡52=5log⁡54=4log⁡55=41=45^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 4} = 4^{\log_5 5} = 4^1 = 4
Buradan 8+81−4=858 + 81 - 4 = 85 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 193Soru →
log⁡12(11−xx−1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{11 - x}{x - 1}\right) \geq -1

e��itsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 45'tir.
Logaritmanın tanım kümesi olan (1, 11) aralığı ile tabanın 1/2 olmasından dolayı yön değiştiren cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesi olan (-inf, 1) U [13/3, inf) aralığı kesiştirildiğinde [13/3, 11) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9, 10 olup toplamları 45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.
1 < x < 11
Logaritmanın tanımlı olması için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma tabanına göre eşitsizliği düzenlemek.
(11 - x) / (x - 1) <= 2
Logaritmanın tabanı (1/2) 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Eşitsizliği sıfıra eşitleyip kökleri bulmak ve işaret incelemesi yapmak.
x < 1 veya x >= 13/3
(11 - x)/(x - 1) - 2 <= 0 ifadesi düzenlendiğinde (13 - 3x)/(x - 1) <= 0 elde edilir. Payın kök�� 13/3, paydanın kökü 1'dir. İşaret tablosu ile çözüm aralığı belirlenir.
4
Çözüm kümesi ile tanım kümesinin kesişimini bulmak.
[13/3, 11)
Bulunan çözümlerin logaritma tanımını da sağlaması gerektiğinden iki kümenin kesişimi alınır.
5
Aralıktaki tam sayıları bulup toplamak.
45
13/3 yaklaşık 4.33 olduğundan bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9 ve 10'dur. Toplamları 45 yapar.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 194Soru →
(4log⁡2144+2log⁡3144)log⁡327+5log⁡2564\left( \frac{4}{\log_{2} 144} + \frac{2}{\log_{3} 144} \right)^{\log_{3} 27} + 5^{\log_{25} 64}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İfadenin değeri 9 olarak bulunur.
Verilen ifadenin ilk kısmı taban değiştirme özelliği kullanılarak log⁡144(24⋅32)=log⁡144144=1\log_{144} (2^4 \cdot 3^2) = \log_{144} 144 = 1 olarak bulunur. 1log⁡327=13=11^{\log_3 27} = 1^3 = 1 elde edilir. İkinci kısım ise 5log⁡2564=5log⁡58=85^{\log_{25} 64} = 5^{\log_5 8} = 8 şeklinde sadeleşir. Bu iki kısmın toplamı 1+8=91 + 8 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralı olan 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a özelliğini kullanarak paydadaki logaritmaları pay kısmına taşıyın.
4log⁡2144=4log⁡1442\frac{4}{\log_2 144} = 4 \log_{144} 2 ve 2log⁡3144=2log⁡1443\frac{2}{\log_3 144} = 2 \log_{144} 3 ifadeleri elde edilir.
Logaritmik ifadeleri aynı tabanda birleştirebilmek için taban değiştirme özelliğinden yararlanılır.
2
nlog⁡ab=log⁡a(bn)n \log_a b = \log_a (b^n) özelliğini kullanarak katsayıları argümana üs olarak getirin.
4log⁡1442=log⁡144(24)=log⁡144164 \log_{144} 2 = \log_{144} (2^4) = \log_{144} 16 ve 2log⁡1443=log⁡144(32)=log⁡14492 \log_{144} 3 = \log_{144} (3^2) = \log_{144} 9 elde edilir.
Toplama işlemini yapabilmek için logaritmaların önünde katsayı bulunmaması gerekir.
3
Tabanları aynı olan logaritmaların toplamını, argümanların çarpımı şeklinde yazın: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y).
log⁡14416+log⁡1449=log⁡144(16⋅9)=log⁡144144=1\log_{144} 16 + \log_{144} 9 = \log_{144} (16 \cdot 9) = \log_{144} 144 = 1 elde edilir.
Çarpım özelliğini uygulayarak ifade tek bir sayıya indirgenir.
4
Birinci terimin üssü olan log⁡327\log_3 27 ifadesini hesaplayın ve taban değeri olan 11 ile birleştirin. Ardından ikinci terim olan 5log⁡25645^{\log_{25} 64} ifadesini alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini kullanarak sadeleştirin.
Birinci kısım için log⁡327=3\log_3 27 = 3 olup 13=11^3 = 1 bulunur. İkinci kısım için 5log⁡2564=5log⁡5282=5log⁡58=85^{\log_{25} 64} = 5^{\log_{5^2} 8^2} = 5^{\log_5 8} = 8 elde edilir.
Üstel logaritmik ifadeleri sadeleştirerek sayısal değerlerini bulmak amaçlanır.
5
Elde edilen iki terimin değerlerini toplayın.
1+8=91 + 8 = 9 elde edilir.
Soruda istenen toplam ifadesinin nihai sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve temel özellikleri yardımıyla üstel ifadelerin sadeleştirilmesi
Soru 195Soru →
Gökbilimde bir yıldızın dünyadan gözlemlenen görünür parlaklığı (ışık akısı) II olmak üzere, bu yıldızın görünür kadir derecesi mm şu formülle hesaplanmaktadır:
m=−2,5log⁡10(I)−19m = -2,5 \log_{10}(I) - 19
Buna göre, görünür kadir derecesi −1-1 olan bir yıldızın görünür parlaklığı, görün��r kadir derecesi 44 olan bir yıldızın görünür parlaklığının kaç katıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Görünür kadir derecesi -1 olan yıldızın görünür parlaklığı, kadir derecesi 4 olan yıldızın görünür parlaklığının 100 katıdır.
Kadir derecesi -1 ve 4 olan yıldızların parlaklık denklemleri yazılıp taraf tarafa çıkarıldığında elde edilen logaritmik oran 10^2 yani 100 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kadir derecesi formüllerini her iki yıldız için ayrı ayrı yazmak
−1=−2,5log⁡10(I1)−19-1 = -2,5 \log_{10}(I_1) - 19 ve 4=−2,5log⁡10(I2)−194 = -2,5 \log_{10}(I_2) - 19 denklemleri elde edilir.
Her iki yıldızın parlaklık değerleri ile kadir dereceleri arasındaki bağıntıyı kurmak için.
2
Denklemleri taraf tarafa çıkararak sabit terimi yok etmek ve logaritmaları ortak paranteze almak
−5=−2,5(log⁡10(I1)−log⁡10(I2))-5 = -2,5 \left(\log_{10}(I_1) - \log_{10}(I_2)\right) eşitliği elde edilir.
Yıldızların parlaklıkları oranını elde edebilmek için logaritmik ifadeleri yalnız bırakmak.
3
Eşitliği sadeleştirmek ve logaritmanın fark kuralını kullanarak tek bir logaritma altında yazmak
2=log⁡10(I1I2)2 = \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) elde edilir.
Bölümün logaritması kuralı gereğince iki parlaklığın oranını elde etmek.
4
Logaritma tanımını kullanarak üslü biçime dönüştürmek
I1I2=102=100\frac{I_1}{I_2} = 10^2 = 100 bulunur.
Kadir derecesi -1 olan yıldızın parlaklığının diğerinin kaç katı olduğunu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat modellerinde iki farklı durumun oranlanması ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 196Soru →

Bir ekosistem araştırmasında, bir adadaki kuş türü sayısı SS ile adanın yüz ölçümü AA (km2\text{km}^2 cinsinden) arasında CC ve zz pozitif sabitler olmak üzere,

log⁡S=log⁡C+z⋅log⁡A\log S = \log C + z \cdot \log A

bağıntısı olduğu modellenmiştir.

Bu araştırma kapsamında incelenen adalardan:
* Yüz ölçümü 100 km2100\text{ km}^2 olan birinci adada 5050 farklı kuş türü,
* Yüz ölçümü 10 000 km210\,000\text{ km}^2 olan ikinci adada 500500 farklı kuş türü

tespit edilmiştir.

**Buna göre, yüz ölçümü 400 km2400\text{ km}^2 olan benzer özelliklerdeki üçüncü bir adada kaç farklı kuş türü bulunması beklenir?**

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Üçüncü adada bulunması beklenen kuş türü sayısı 100'dür.
Üçüncü adanın yüz ölçümü modelde yerine yazıldığında, logaritma kuralları (alog⁡b=log⁡baa \log b = \log b^a ve log⁡x+log⁡y=log⁡(x⋅y)\log x + \log y = \log(x \cdot y)) doğru biçimde uygulandığında tür sayısı 100 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ve ikinci adaya ait verileri model denklemine yerleştirerek iki denklem elde etmek.
Birinci ada için: log⁡50=log⁡C+z⋅log⁡100⇒log⁡50=log⁡C+2z\log 50 = \log C + z \cdot \log 100 \Rightarrow \log 50 = \log C + 2z
İkinci ada için: log⁡500=log⁡C+z⋅log⁡10 000⇒log⁡500=log⁡C+4z\log 500 = \log C + z \cdot \log 10\,000 \Rightarrow \log 500 = \log C + 4z
Modeldeki bilinmeyen CC ve zz sabitlerini bulabilmek için iki farklı durumun verilerini kullanırız.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkararak zz sabitini hesaplamak.
(\log C + 4z) - (\log C + 2z) = \log 500 - \log 50
2z=log⁡(50050)=log⁡10=1⇒z=0,52z = \log\left(\frac{500}{50}\right) = \log 10 = 1 \Rightarrow z = 0,5 bulunur.
log⁡C\log C terimini yok etmek ve logaritmanın bölme özelliğini kullanarak zz değerini çekmek için çıkarma işlemi yapılır.
3
z=0,5z = 0,5 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak CC sabitini bulmak.
log⁡50=log⁡C+2(0,5)⇒log⁡50=log⁡C+1⇒log⁡C=log⁡50−log⁡10=log⁡5⇒C=5\log 50 = \log C + 2(0,5) \Rightarrow \log 50 = \log C + 1 \Rightarrow \log C = \log 50 - \log 10 = \log 5 \Rightarrow C = 5 bulunur.
Modeli tamamen belirlemek için diğer bilinmeyen sabiti de bulmamız gerekir.
4
Belirlenen C=5C = 5 ve z=0,5z = 0,5 değerlerini modelde yerine koyup A=400A = 400 için SS değerini hesaplamak.
log⁡S=log⁡5+0,5log⁡400⇒log⁡S=log⁡5+log⁡(4000,5)⇒log⁡S=log⁡5+log⁡20⇒log⁡S=log⁡(100)⇒S=100\log S = \log 5 + 0,5 \log 400 \Rightarrow \log S = \log 5 + \log(400^{0,5}) \Rightarrow \log S = \log 5 + \log 20 \Rightarrow \log S = \log(100) \Rightarrow S = 100 bulunur.
Üçüncü adadaki beklenen kuş türü sayısını elde etmek için güncel model kullanılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Soru 197Soru →
xlog⁡2x−1=64x^{\log_2 x - 1} = 64

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların çarpımı 2'dir.
Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alınır. Logaritmanın özelliği gereği üs başa çarpan olarak geçer: (log⁡2x−1)⋅log⁡2x=6(\log_2 x - 1) \cdot \log_2 x = 6. log⁡2x=u\log_2 x = u değişken değiştirmesi yapıldığında elde edilen u2−u−6=0u^2 - u - 6 = 0 denkleminin kökleri u1=3u_1 = 3 ve u2=−2u_2 = -2 olarak bulunur. Buradan x1=23=8x_1 = 2^3 = 8 ve x2=2−2=14x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} değerleri elde edilir. Bu iki kökün çarpımı 22 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki tarafın 2 tabanında logaritmasını alma
log⁡2(xlog⁡2x−1)=log⁡264\log_2(x^{\log_2 x - 1}) = \log_2 64
Üstel ifadeyi doğrusal hale getirip logaritma özelliklerini uygulayabilmek için.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak üssü başa çarpım olarak atma ve sağ tarafı sadeleştirme
(log⁡2x−1)⋅log⁡2x=6(\log_2 x - 1) \cdot \log_2 x = 6
log⁡b(mp)=p⋅log⁡bm\log_b(m^p) = p \cdot \log_b m özelliği ve log⁡264=log⁡2(26)=6\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6 eşitliği kullanılmıştır.
3
Değişken değiştirme ve ikinci dereceden denklem elde etme
log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümü ile u2−u−6=0u^2 - u - 6 = 0 denklemi elde edilir.
Denklemi çözülebilir ikinci dereceden bir formata getirmek için.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulma
(u−3)(u+2)=0  ⟹  u1=3(u - 3)(u + 2) = 0 \implies u_1 = 3 ve u2=−2u_2 = -2
−6-6 sayısının çarpanları olan −3-3 ve 22'nin toplamı −1-1'i (orta terimin katsayısını) verdiğinden çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Değişken değiştirmeyi geri alarak xx değerlerini ve bunların çarpımını bulma
log⁡2x=3  ⟹  x1=23=8\log_2 x = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8 ve log⁡2x=−2  ⟹  x2=2−2=14\log_2 x = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4}. Çarpımları: 8⋅14=28 \cdot \frac{1}{4} = 2 olur.
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini elde etmek ve soruda istenen çarpım değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, x=2ux = 2^u yazarak denklem doğrudan (2u)u−1=26  ⟹  2u2−u=26(2^u)^{u-1} = 2^6 \implies 2^{u^2-u} = 2^6 şeklinde üstel formda çözülebilir. Buradan tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir ve u2−u=6u^2-u=6 denklemi elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 198Soru →
4log⁡2(log⁡3x)+(log⁡3x)log⁡24=324^{\log_2(\log_3 x)} + (\log_3 x)^{\log_2 4} = 32

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Denklemi sa��layan tek xx gerçel sayısı 81'dir.
Verilen denklemde logaritma ve üslü sayı özellikleri kullanılarak 4log⁡2(log⁡3x)4^{\log_2(\log_3 x)} terimi (log⁡3x)2(\log_3 x)^2 olarak yazılabilir. Aynı şekilde, log⁡24=2\log_2 4 = 2 olduğundan (log⁡3x)log⁡24(\log_3 x)^{\log_2 4} terimi de (log⁡3x)2(\log_3 x)^2 değerine eşittir. Bu iki terimin toplamı 2(log⁡3x)2=322(\log_3 x)^2 = 32 denklemini verir. Buradan (log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 = 16 elde edilir. Logaritmanın tanım kümesi gereği log⁡3x>0\log_3 x > 0 olması gerektiğinden log⁡3x=4\log_3 x = 4 olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan tek gerçel sayı ise x=34=81x = 3^4 = 81'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
x>1x > 1 ve log⁡3x>0\log_3 x > 0 olmalıdır.
log⁡2(u)\log_2(u) ifadesinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın argümanı olan uu değerinin pozitif olması gerekir. Burada u=log⁡3xu = \log_3 x olduğundan, log⁡3x>0\log_3 x > 0 olmalıdır.
2
İlk terimi sadeleştirmek
(log⁡3x)2(\log_3 x)^2
4=224 = 2^2 yazılarak üslü sayı kuralları ve alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliği kullanılır. Böylece 4log⁡2(log⁡3x)=(2log⁡2(log⁡3x))2=(log⁡3x)24^{\log_2(\log_3 x)} = (2^{\log_2(\log_3 x)})^2 = (\log_3 x)^2 elde edilir.
3
İkinci terimi sadeleştirmek
(log⁡3x)2(\log_3 x)^2
log⁡24=2\log_2 4 = 2 olduğundan, terim doğrudan (log⁡3x)log⁡24=(log⁡3x)2(\log_3 x)^{\log_2 4} = (\log_3 x)^2 şeklinde yazılır.
4
Denklemi çözmek
(log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 = 16
Sadeleştirilmiş terimler denklemde toplanır: (log⁡3x)2+(log⁡3x)2=32  ⟹  2(log⁡3x)2=32  ⟹  (log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 + (\log_3 x)^2 = 32 \implies 2(\log_3 x)^2 = 32 \implies (\log_3 x)^2 = 16 bulunur.
5
Tanım kümesi kontrolü ile xx değerini bulmak
x=81x = 81
(log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 = 16 ise log⁡3x=4\log_3 x = 4 veya log⁡3x=−4\log_3 x = -4 olur. Ancak birinci adımda belirlenen log⁡3x>0\log_3 x > 0 koşulundan dolayı log⁡3x=4\log_3 x = 4 olmalıdır. Buradan x=34=81x = 3^4 = 81 bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini uygulama, üslü logaritmik denklemleri çözme ve logaritmanın tanımlı olma şartlarını sağlayan değerleri belirleme.
Soru 199Soru →

Bir hastaya enjekte edilen bir ilacın vücutta kalan miktarı miligram (mg) cinsinden, enjeksiyondan itibaren geçen süre tt saat olmak üzere,

M(t)=M0⋅(0,8)tM(t) = M_0 \cdot (0,8)^t

fonksiyonu ile modellenmektedir. Burada M0M_0, ilacın başlangıçtaki miktarıdır.

Hastaya enjekte edilen ilacın vücuttaki miktarının, başlangıçtaki miktarının %32'sine düştüğü tespit edilmiştir.

Buna göre, enjeksiyondan itibaren yaklaşık kaç saat geçmiştir? (Bu hesaplamada log⁡102≈0,3\log_{10} 2 \approx 0,3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Geçen süre yaklaşık 5 saattir.
İlacın vücutta kalan miktarı başlangıçtaki miktarın %32'sine eşitlendiğinde (0,8)t=0,32(0,8)^t = 0,32 denklemi elde edilir. Bu denklemin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alındığında log⁡(0,8)≈−0,1\log(0,8) \approx -0,1 ve log⁡(0,32)≈−0,5\log(0,32) \approx -0,5 değerleri bulunur. Buradan t⋅(−0,1)≈−0,5t \cdot (-0,1) \approx -0,5 eşitliği çözüldüğünde enjeksiyondan itibaren geçen süre yaklaşık 5 saat olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlacın kalan miktarının başlangıçtaki miktarın %32'si olmasına yönelik matematiksel denklem kurulur.
M0⋅(0,8)t=0,32⋅M0  ⟹  (0,8)t=0,32M_0 \cdot (0,8)^t = 0,32 \cdot M_0 \implies (0,8)^t = 0,32
Vücutta kalan ilacın oranını model denklemine eşitleyerek bilinmeyen süre parametresini yalnız bırakmaya başlamak.
2
Eşitliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alınır ve üs kuralı uygulanır.
log⁡(0,8t)=log⁡(0,32)  ⟹  t⋅log⁡(0,8)=log⁡(0,32)\log(0,8^t) = \log(0,32) \implies t \cdot \log(0,8) = \log(0,32)
Bilinmeyen üssel ifadeyi doğrusal bir çarpana dönüştürmek amacıyla logaritmanın log⁡(ab)=b⋅log⁡(a)\log(a^b) = b \cdot \log(a) özelliğini kullanmak.
3
Ondalık sayılar rasyonel sayılara çevrilerek logaritmanın bölme ve üs kuralları yardımıyla açılır.
log⁡(0,8)=log⁡(810)=log⁡8−log⁡10=3log⁡2−1\log(0,8) = \log\left(\frac{8}{10}\right) = \log 8 - \log 10 = 3\log 2 - 1 ve log⁡(0,32)=log⁡(32100)=log⁡32−log⁡100=5log⁡2−2\log(0,32) = \log\left(\frac{32}{100}\right) = \log 32 - \log 100 = 5\log 2 - 2
log⁡(ab)=log⁡a−log⁡b\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b ve log⁡(an)=nlog⁡a\log(a^n) = n\log a kurallarını uygulayarak terimleri verilen log⁡2\log 2 cinsinden ifade etmek.
4
Soruda verilen log⁡2≈0,3\log 2 \approx 0,3 değeri yerlerine yazılarak yaklaşık sayısal değerler hesaplanır.
log⁡(0,8)≈3(0,3)−1=0,9−1=−0,1\log(0,8) \approx 3(0,3) - 1 = 0,9 - 1 = -0,1 ve log⁡(0,32)≈5(0,3)−2=1,5−2=−0,5\log(0,32) \approx 5(0,3) - 2 = 1,5 - 2 = -0,5
Logaritmik ifadelerin yaklaşık ondalık karşılıklarını bularak bölme işlemine hazır hale getirmek.
5
Bulunan yaklaşık değerler ana denklemde yerine yazılarak süre hesaplanır.
t⋅(−0,1)≈−0,5  ⟹  t≈5t \cdot (-0,1) \approx -0,5 \implies t \approx 5
Bilinmeyen süre değişkenini elde etmek için basit doğrusal denklemi çözmek.

Anahtar Kavram

Üstel modellerin çözümünde logaritma özelliklerinin ve logaritmik yaklaşık değerlerin kullanımı
Soru 200Soru →
11'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡x(x2y)⋅log⁡y(xy2)=10\log_x(x^2 y) \cdot \log_y(xy^2) = 10
eşitliği verilmektedir.
Buna göre, log⁡xy\log_x y ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

52\frac{5}{2}
Verilen denklem logaritmik özellikler yardımıyla düzenlendiğinde (2+log⁡xy)(2+log⁡yx)=10(2 + \log_x y)(2 + \log_y x) = 10 halini alır. Burada log⁡yx=1log⁡xy\log_y x = \frac{1}{\log_x y} yazılarak log⁡xy=t\log_x y = t dönüşümü yapıldığında 2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin diskriminantı sıfırdan büyük olduğundan iki farklı reel kökü vardır. İkinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü (−ba-\frac{b}{a}) kullanılarak log⁡xy\log_x y ifadesinin alabileceği değerler toplamı 52\frac{5}{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma çarpım özelliğini kullanarak log⁡x(x2y)\log_x(x^2 y) ve log⁡y(xy2)\log_y(xy^2) ifadelerini açalım.
log⁡x(x2y)=log⁡x(x2)+log⁡xy=2+log⁡xy\log_x(x^2 y) = \log_x(x^2) + \log_x y = 2 + \log_x y ve log⁡y(xy2)=log⁡yx+log⁡y(y2)=log⁡yx+2\log_y(xy^2) = \log_y x + \log_y(y^2) = \log_y x + 2 elde edilir.
Çarpım durumundaki logaritma argümanları toplam olarak yazılabilir: log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c.
2
Taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡yx\log_y x ifadesini log⁡xy\log_x y cinsinden ifade edelim.
log⁡yx=1log⁡xy\log_y x = \frac{1}{\log_x y} olur.
Taban ve argüman yer değiştirdiğinde logaritma değeri çarpmaya göre tersine döner: log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}.
3
log⁡xy=t\log_x y = t dönüşümü yaparak denklemi tek bir değişken cinsinden yazalım.
(2+t)⋅(2+1t)=10(2 + t) \cdot \left(2 + \frac{1}{t}\right) = 10 denklemi elde edilir.
İfadeyi basitleştirip çözülebilir bir cebirsel denklem formuna getirmek için değişken değiştirme uygulanır.
4
Denklemdeki çarpım işlemini dağıtarak düzenleyelim.
4+2t+2t+1=10  ⟹  2t+2t+5=10  ⟹  2t+2t=54 + \frac{2}{t} + 2t + 1 = 10 \implies 2t + \frac{2}{t} + 5 = 10 \implies 2t + \frac{2}{t} = 5 elde edilir.
Parantezleri açarak terimleri gruplandırmak ve sadeleştirmek için cebirsel dağılma özelliği kullanılır.
5
Denklemin her iki tarafını tt ile çarparak ikinci dereceden bir denklem elde edelim.
2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Rasyonel terimi yok etmek ve standart ikinci dereceden denklem formuna (at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0) ulaşmak için payda eşitlenir.
6
Elde edilen denklemin diskriminantını kontrol ederek reel köklerin varlığını doğrulayalım ve kökler toplamını bulalım.
Δ=(−5)2−4⋅2⋅2=25−16=9>0\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0 olduğundan iki farklı reel kök vardır. Kökler toplamı −ba=−−52=52-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} olarak hesaplanır.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü −ba-\frac{b}{a}'dır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım ve taban değiştirme özelliklerini kullanarak verilen denklemleri ikinci dereceden denklemlere dönüştürme ve çözme.
ÖncekiSayfa 10 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 10 | Examkin