Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 141Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, log⁡12(5−x)>−2\log_{\frac{1}{2}}(5 - x) > -2 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 99'dur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Logaritmanın tanım kümesinden gelen x<5x < 5 sınırı ile eşitsizliğin yön değiştirmesinden elde edilen x>1x > 1 sınırı kesiştirildiğinde çözüm aralığı 1<x<51 < x < 5 olur. Bu aralıktaki tam sayıların (2,3,42, 3, 4) toplamı 99 olduğundan verilen ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.
5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
2
Eşitsizliği taban özelliğine göre çözmek.
5−x<(12)−2⇒5−x<4⇒x>15 - x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \Rightarrow 5 - x < 4 \Rightarrow x > 1
Logaritmanın tabanı 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Tanım kümesi ve eşitsizlik çözümünü kesiştirerek tam sayı değerlerini toplamak.
1<x<51 < x < 5 aralığındaki tam sayılar 2,32, 3 ve 44 olup, toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 eder.
Çözüm kümesindeki her değerin hem tanım kümesini hem de eşitsizliği aynı anda sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi sınırlaması ve tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi.
Soru 142Soru →
log⁡12(x2−x−12)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 12) \geq -3

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 11'dir.
Doğru cevap olan değer, tanım kümesi (x<−3x < -3 veya x>4x > 4) ile eşitsizlik çözümü olan [−4,5][-4, 5] aralığının kesişiminden elde edilen {−4,5}\{-4, 5\} kümesindeki tam sayıların toplamıdır. Bu toplam −4+5=1-4 + 5 = 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralını uygulayarak logaritmanın içinin pozitif olması gerektiğini belirtiriz.
x2−x−12>0  ⟹  (x−4)(x+3)>0  ⟹  x<−3x^2 - x - 12 > 0 \implies (x - 4)(x + 3) > 0 \implies x < -3 veya x>4x > 4 olur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının kesinlikle sıfırdan büyük olmas�� gerekir.
2
Eşitsizliğin tabanı 00 ile 11 arasında olduğundan, logaritmayı kaldırırken eşitsizliğin yönünü değiştiririz.
x2−x−12≤(12)−3  ⟹  x2−x−12≤8  ⟹  x2−x−20≤0x^2 - x - 12 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \implies x^2 - x - 12 \leq 8 \implies x^2 - x - 20 \leq 0 elde edilir.
Taban 0<b<10 < b < 1 olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır, bu nedenle eşitsizlik yön değiştirir.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.
x2−x−20≤0  ⟹  (x−5)(x+4)≤0  ⟹  −4≤x≤5x^2 - x - 20 \leq 0 \implies (x - 5)(x + 4) \leq 0 \implies -4 \leq x \leq 5 bulunur.
İkinci dereceden ifadenin kökleri −4-4 ve 55 olup, başkatsayısı pozitif olduğundan bu iki kök arasındaki bölge negatif veya sıfırdır.
4
Tanım kümesi ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimini alarak çözüm kümesini belirleriz.
[−4,5]∩((−∞,−3)∪(4,∞))=[−4,−3)∪(4,5][-4, 5] \cap ((-\infty, -3) \cup (4, \infty)) = [-4, -3) \cup (4, 5] elde edilir.
Bulunan xx değerlerinin hem e��itsizliği sağlaması hem de logaritmayı tanımlı kılması zorunludur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplarız.
Bu aralıktaki tam sayılar {−4,5}\{-4, 5\} olup, toplamları −4+5=1-4 + 5 = 1 olur.
[−4,−3)[-4, -3) aralığındaki tek tam sayı −4-4, (4,5](4, 5] aralığındaki tek tam sayı 55'tir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerin çözümü ve tanım kümesi sınırlandırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 143Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x−3)+1log⁡5(x2−4x)−1≤0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 1}{\log_5(x^2 - 4x) - 1} \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı tam sayının toplamı 13'tür.
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesi olan x>4x > 4 sınırları içinde, paydayı sıfır yapan x=5x = 5 değerinin elenmesiyle oluşan çözüm kümesindeki en küçük iki tam sayının (66 ve 77) toplamı doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şartını kullanarak tanım kümesini belirlemek.
Paydaki ifade için x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Paydadaki ifade için x2−4x>0  ⟹  x(x−4)>0  ⟹  x<0x^2 - 4x > 0 \implies x(x - 4) > 0 \implies x < 0 veya x>4x > 4 olmalıdır. Her iki koşulun kesişiminden en geniş tanım kümesi T=(4,∞)T = (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tanımlı olmadığı aralıklarda eşitsizlik çözümü aranamaz.
2
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini (ifadeyi sıfır yapan noktaları) bulmak.
Payın kökü: log⁡12(x−3)+1=0  ⟹  log⁡12(x−3)=−1  ⟹  x−3=2  ⟹  x=5\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = -1 \implies x-3 = 2 \implies x = 5. Paydanın kökü: log⁡5(x2−4x)−1=0  ⟹  log⁡5(x2−4x)=1  ⟹  x2−4x=5  ⟹  x2−4x−5=0  ⟹  (x−5)(x+1)=0  ⟹  x=5\log_5(x^2-4x) - 1 = 0 \implies \log_5(x^2-4x) = 1 \implies x^2-4x = 5 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0 \implies x=5 veya x=−1x=-1.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak veya işaret değişimi incelemek için kritik noktalar belirlenmelidir.
3
Tanım kümesi (x>4x > 4) sınırları dahilinde pay ve paydanın işaretlerini analiz ederek eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak.
Taban değerlerine göre; 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan pay kısmı x>5x > 5 için negatif, x<5x < 5 için pozitiftir. Payda ise 5>15 > 1 olduğundan x>5x > 5 için pozitif, x<5x < 5 için negatiftir. Buradan oranlandığında, x≠5x \neq 5 ve x>4x > 4 koşulları altında tüm değerler için oran negatif olur. Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (4,5)∪(5,∞)(4, 5) \cup (5, \infty) olarak elde edilir.
Pay ve paydanın işaret değişimi ile paydanın tanımsızlık yaptığı nokta belirlenerek çözüm kümesi oluşturulur.
4
Çözüm kümesindeki en küçük iki farklı tam sayıyı belirleyip toplamak.
Çözüm kümesindeki tam sayılar 6,7,8,…6, 7, 8, \dots şeklindedir. En küçük iki tam sayı 66 ve 77 olup, toplamları 6+7=136 + 7 = 13 bulunur.
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizliklerin Çözümü ve Tanım Kümesi Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 144Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır.
log⁡x(y2)+log⁡y(x9)=9\log_x(y^2) + \log_y(x^9) = 9
olduğuna göre,
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen denklem log⁡xy=u\log_x y = u dönüşümüyle 2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemine dönüşür. Bu denklemin kökleri 33 ve 1.51.5 değerleridir. Soruda log⁡xy\log_x y ifadesinin bir tam sayı olduğu belirtildiğinden log⁡xy=3\log_x y = 3 alınmalıdır. İstenen ifade ise log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡xy\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + \frac{6}{\log_x y} olarak sadeleşir. Burada log⁡xy=3\log_x y = 3 değeri yerine yazıldığında sonuç 23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki logaritmik ifadeleri aynı tabana dönüştürmek amacıyla log⁡xy\log_x y cinsinden yazarız.
log⁡x(y2)=2log⁡xy\log_x(y^2) = 2\log_x y ve log⁡y(x9)=9log⁡yx=9log⁡xy\log_y(x^9) = 9\log_y x = \frac{9}{\log_x y} ifadeleri elde edilir.
Taban değiştirme ve logaritma özelliklerini uygulayarak tek bir değişken üzerinden denklem kurabilmek.
2
log⁡xy=u\log_x y = u değişken değiştirmesini uygularız.
2u+9u=92u + \frac{9}{u} = 9 denklemi elde edilir.
Denklemin çözümünü daha kolay ve anlaşılır hale getirmek.
3
Elde edilen rasyonel denklemi, her iki tarafı uu ile çarparak ikinci dereceden bir denkleme dönüştürürüz.
2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden denklem çözme yöntemlerini uygulayabilmek.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırırız.
(2u−3)(u−3)=0(2u - 3)(u - 3) = 0 elde edilir, buradan u=32u = \frac{3}{2} veya u=3u = 3 bulunur.
Değişkenin alabileceği olası değerleri belirlemek.
5
Soruda verilen 'log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır' koşulunu kullanarak uygun uu değerini seçeriz.
u=3u = 3 seçilir.
Tam sayı olma koşulunu sağlayan tek kök 33 olduğu için.
6
İstenen ifadeyi logaritma özelliklerini kullanarak uu cinsinden yazarız.
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡yx=23u+6u\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + 6\log_y x = \frac{2}{3}u + \frac{6}{u} elde edilir.
Sorulan ifadeyi hesaplamaya uygun hale getirmek.
7
u=3u = 3 değerini elde ettiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu buluruz.
23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 hesaplanır.
İstenen ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} ve logaritmanın log⁡an(bm)=mnlog⁡ab\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n}\log_a b özelliğinin uygulanması.
Soru 145Soru →
log⁡a(b⋅c)=3\log_a(b \cdot c) = 3
log⁡b(a⋅c)=4\log_b(a \cdot c) = 4
eşitlikleri verilmiştir.
Buna göre, aa, bb ve cc sayıları 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 911\frac{9}{11}

Cevap

İfadenin doğru değeri 911\frac{9}{11}'dir.
Verilen iki denkleme sırasıyla log⁡aa=1\log_a a = 1 ve log⁡bb=1\log_b b = 1 eklendiğinde logaritmaların içleri abcabc çarpımına dönüşür. Taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡abca=1/4\log_{abc} a = 1/4 ve log⁡abcb=1/5\log_{abc} b = 1/5 bulunur. log⁡abc(abc)=1\log_{abc}(abc) = 1 toplamından log⁡abcc=11/20\log_{abc} c = 11/20 elde edilir. İstenen ifade log⁡c(ab)=log⁡abca+log⁡abcblog⁡abcc\log_c(ab) = \frac{\log_{abc} a + \log_{abc} b}{\log_{abc} c} şeklinde taban değiştirilerek oranlandığında doğru sonuç 911\frac{9}{11} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerinde çarpım özelliğini kullanarak ifadeleri toplam şeklinde yazalım.
log⁡ab+log⁡ac=3\log_a b + \log_a c = 3 ve log⁡ba+log⁡bc=4\log_b a + \log_b c = 4 elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğine göre log⁡x(y⋅z)=log⁡xy+log⁡xz\log_x(y \cdot z) = \log_x y + \log_x z kuralı geçerlidir.
2
Her iki eşitliğe sırasıyla log⁡aa=1\log_a a = 1 ve log⁡bb=1\log_b b = 1 ekleyerek argüman kısmında ortak a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c terimini elde edelim.
log⁡a(a⋅b⋅c)=4\log_a(a \cdot b \cdot c) = 4 ve log⁡b(a⋅b⋅c)=5\log_b(a \cdot b \cdot c) = 5 olur.
Tüm ifadeleri tek bir ortak tabanda birleştirebilmek için abcabc ortak çarpımını oluşturuyoruz.
3
Taban değiştirme kuralı yardımıyla elde ettiğimiz ifadeleri abcabc tabanına dönüştürelim.
log⁡abca=14\log_{abc} a = \frac{1}{4} ve log⁡abcb=15\log_{abc} b = \frac{1}{5} bulunur.
log⁡xy=1log⁡yx\log_x y = \frac{1}{\log_y x} özelliği sayesinde logaritmaların tabanlarını eşitlemiş oluruz.
4
Taban ile argümanı aynı olan logaritmanın değerinin 1 olmasından yararlanarak log⁡abcc\log_{abc} c değerini bulalım.
log⁡abc(a⋅b⋅c)=1  ⟹  log⁡abca+log⁡abcb+log⁡abcc=1  ⟹  14+15+log⁡abcc=1  ⟹  log⁡abcc=1−920=1120\log_{abc}(a \cdot b \cdot c) = 1 \implies \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \log_{abc} c = 1 \implies \log_{abc} c = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20} bulunur.
Ortak tabandaki bilinen iki terimi kullanarak üçüncü bilinmeyen terimin değerini denklemden çekeriz.
5
İstenen log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesini taban değiştirme kuralı ile ortak taban olan abcabc cinsinden yazarak hesaplayalım.
log⁡c(a⋅b)=log⁡abc(a⋅b)log⁡abcc=log⁡abca+log⁡abcblog⁡abcc=14+151120=9201120=911\log_c(a \cdot b) = \frac{\log_{abc}(a \cdot b)}{\log_{abc} c} = \frac{\log_{abc} a + \log_{abc} b}{\log_{abc} c} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}{\frac{11}{20}} = \frac{\frac{9}{20}}{\frac{11}{20}} = \frac{9}{11} elde edilir.
Taban değiştirme kuralı olan log⁡yx=log⁡zxlog⁡zy\log_y x = \frac{\log_z x}{\log_z y} formülü uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Eşitliklerde her iki tarafı abcabc tabanına çevirmek yerine doğrudan log⁡xy=ln⁡yln⁡x\log_x y = \frac{\ln y}{\ln x} yazarak doğal logaritma tabanına geçiş yapılabilir veya logaritmanın taban değiştirme kuralı herhangi bir ortak taban üzerinden de yürütülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 146Soru →
a<b<c<da < b < c < d olmak üzere,
log⁡13(log⁡2(x2−5))≥0\log_{\frac{1}{3}} \left( \log_2(x^2 - 5) \right) \geq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [a,b)∪(c,d][a, b) \cup (c, d] olduğuna göre, a2+b2+c2+d2a^2 + b^2 + c^2 + d^2 toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin sınır değerlerinin kareleri toplamı 26'dır.
Verilen nested (iç içe) logaritmik eşitsizlikte hem en içteki ifadenin pozitifliği (x2−5>0x^2-5 > 0) hem de dıştaki logaritmanın argümanının pozitifliği (log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2>6\log_2(x^2-5) > 0 \implies x^2 > 6) sağlanmalıdır. Eşitsizlik çözülürken taban 1/3<11/3 < 1 olduğundan yön değiştirilir ve log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2≤7\log_2(x^2-5) \leq 1 \implies x^2 \leq 7 bulunur. Koşulların kesişiminden 6<x2≤76 < x^2 \leq 7 elde edilir. Bu aralık [−7,−6)∪(6,7][-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}] biçiminde olup sınır değerlerinin kareleri toplamı 7+6+6+7=267 + 6 + 6 + 7 = 26 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
x2−5>0  ⟹  x2>5x^2 - 5 > 0 \implies x^2 > 5
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Dıştaki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2−5>20  ⟹  x2>6\log_2(x^2 - 5) > 0 \implies x^2 - 5 > 2^0 \implies x^2 > 6
Dıştaki logaritmanın argümanı olan log⁡2(x2−5)\log_2(x^2 - 5) ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Logaritmik eşitsizliği çözmek
log⁡2(x2−5)≤(13)0  ⟹  log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2−5≤21  ⟹  x2≤7\log_2(x^2 - 5) \leq (\frac{1}{3})^0 \implies \log_2(x^2 - 5) \leq 1 \implies x^2 - 5 \leq 2^1 \implies x^2 \leq 7
Logaritmanın tabanı 1'den küçük olduğundan dış logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir. İç logaritmanın tabanı 1'den büyük olduğundan yön değişmez.
4
Tanım kümesi ile çözüm kümesini kesiştirip sın��r değerlerin kareleri toplamını hesaplamak
6<x2≤7  ⟹  x∈[−7,−6)∪(6,7]6 < x^2 \leq 7 \implies x \in [-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}]. Buradan a=−7a = -\sqrt{7}, b=−6b = -\sqrt{6}, c=6c = \sqrt{6}, d=7d = \sqrt{7} elde edilir. Kareler toplamı: (−7)2+(−6)2+(6)2+(7)2=7+6+6+7=26(-\sqrt{7})^2 + (-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{7})^2 = 7 + 6 + 6 + 7 = 26 bulunur.
Bulunan tüm eşitsizlik koşullarının ortak kesişim kümesi alınarak en geniş çözüm aralığı belirlenir ve sınır değerlerin kareleri toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tabanın 1'den küçük veya büyük olmasına göre yön değiştirme kuralı ve logaritmanın tanımlı olma şartlarının kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 147Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡2(x−2)<log⁡12(x−4)+4\log_2(x - 2) < \log_{\frac{1}{2}}(x - 4) + 4
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Logaritma tanımlarından gelen x>4x > 4 kısıtlaması ile eşitsizlik çözümü olan x<3+17x < 3 + \sqrt{17} aralığının kesişimi (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığını verir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olup toplamları 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi: x>4x > 4
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifadeler pozitif olmalıdır. x−2>0x - 2 > 0 ve x−4>0x - 4 > 0 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
2
Logaritma tabanlarını eşitlemek ve düzenlemek
log⁡2((x−2)(x−4))<4\log_2((x - 2)(x - 4)) < 4
log⁡12(a)=−log⁡2(a)\log_{\frac{1}{2}}(a) = -\log_2(a) dönüşümü yapılıp logaritma toplam özelliği yardımıyla ifadeler tek bir logaritma altında çarpım olarak yazılır.
3
Logaritmayı kaldırmak ve cebirsel eşitsizliği elde etmek
x2−6x−8<0x^2 - 6x - 8 < 0
Taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmeden logaritmadan çıkarılır ve elde edilen ikinci dereceden ifade düzenlenir.
4
Cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
x∈(3−17,3+17)x \in (3 - \sqrt{17}, 3 + \sqrt{17})
x2−6x−8=0x^2 - 6x - 8 = 0 denkleminin kökleri 3±173 \pm \sqrt{17} olarak bulunur ve baş katsayı pozitif olduğu için kökler arası bölge negatif işaretlidir.
5
Tanım kümesiyle kesiştirip tam sayı çözümlerinin toplamını bulmak
5+6+7=185 + 6 + 7 = 18
x>4x > 4 koşulu altında (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığı elde edilir. 17≈4,12\sqrt{17} \approx 4,12 olduğundan aralıktaki tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde taban 1'den küçük olduğunda dönüşüm yaparken işaret değişimlerine dikkat edilmesi ve tanım kümesi sınırlarının her aşamada kontrol edilmesi.
Soru 148Soru →
log⁡13(x2−2x)≥log⁡13(x+4)\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{3}}(x + 4)

eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 6'dır.
Doğru yanıt 6 olan seçenektir. Taban basit kesir (1/31/3) olduğundan logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir ve x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4 elde edilir. Buradan x'in [−1,4][-1, 4] aralığında olması gerektiği bulunur. Ancak logaritmanın tanımlı olması için içlerinin pozitif olması koşuluyla kesişim alındığında geçerli tam sayılar yalnızca −1-1, 33 ve 44 olur. Bu değerlerin toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi kuralları uygulanır.
x2−2x>0x^2 - 2x > 0 ve x+4>0x + 4 > 0 olmalıdır. İlk eşitsizlikten x<0x < 0 veya x>2x > 2 elde edilir. İkinci eşitsizlikten x>−4x > -4 elde edilir. İki koşulun kesişimi alındığında tanım kümesi T=(−4,0)∪(2,∞)T = (-4, 0) \cup (2, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın içinin her zaman sıfırdan büyük olması gerektiğinden, çözüm kümesindeki elemanların bu aralıkta yer alması zorunludur.
2
Logaritma tabanına göre eşitsizlik çözülür.
Taban 13\frac{1}{3} (00 ile 11 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4.
Taban basit kesir olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır, bu yüzden eşitsizliğin yönü tersine döner.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik düzenlenerek çözülür.
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 elde edilir. Buradan kökler −1-1 ve 44 olup, eşitsizliğin çözüm aralığı [−1,4][-1, 4] olarak bulunur.
Cebirsel eşitsizliği sağlayan aralığı belirlemek için ikinci dereceden eşitsizlik çözümü yapılır.
4
Cebirsel çözüm aralığı ile logaritmanın tanım kümesi kesiştirilir.
[−1,4][-1, 4] aralığı ile (−4,0)∪(2,∞)(-4, 0) \cup (2, \infty) kümesinin kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] kümesini verir.
Hem cebirsel eşitsizliği sağlayan hem de logaritmayı tanımlı kılan ortak x değerlerini bulmak için kesişim al��nır.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı −1-1 ve (2,4](2, 4] aralığındaki tam sayılar 3,43, 4 olup, toplamları −1+3+4=6-1 + 3 + 4 = 6 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulmak için seçeneklerdeki toplamları elde edebilecek olası küçük tam sayılar doğrudan eşitsizlikte ve tanım kümelerinde tek tek yerine yazılarak da kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem zaman kaybettirebilir ve genel çözüm kümesini vermez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 149Soru →
Bir ses yalıtım malzemesinin kalınlığı ile bu malzemeden geçen sesin şiddet düzeyi arasındaki ilişkiyi inceleyen bir mühendis, x cmx\text{ cm} kalınlığındaki bir yalıtım duvarından geçen sesin şiddet düzeyini β(x)\beta(x) desibel (dB\text{dB}) cinsinden
β(x)=β0−10log⁡10(1+ax)\beta(x) = \beta_0 - 10 \log_{10}(1 + ax)
modeli ile hesaplamaktadır. Bu modelde β0\beta_0 sesin malzemeye çarpmadan önceki ilk şiddet düzeyini, aa ise malzemeye bağlı pozitif bir sabiti göstermektedir.
Aynı malzemeden yapılmış 3 cm3\text{ cm} kalınlığındaki bir duvar, 80 dB80\text{ dB} şiddetindeki bir sesi 70 dB70\text{ dB} düzeyine düşürmektedir.
Buna göre, aynı malzemeden yapılmış bir duvarın 80 dB80\text{ dB} şiddetindeki bir sesi 50 dB50\text{ dB} düzeyine düşürebilmesi için kalınlığı kaç cm\text{cm} olmalıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 333

Cevap

Duvarın kalınlığı 333 cm olmalıdır.
Ses yalıtım modeli kullanılarak ilk verilerden malzemenin a sabiti 3 olarak bulunur. Ardından, sesin 80 dB'den 50 dB'e düşmesi için gereken kalınlık x değeri modelde yerine yazıldığında log10(1 + 3x) = 3 denklemi elde edilir. Logaritma tanımı gereği 1 + 3x = 1000 olup buradan x = 333 cm olarak doğru şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki verileri (x = 3, ilk ses şiddeti 80 dB ve geçiş sonrası ses şiddeti 70 dB) denklemde yerine yazarak malzeme sabiti olan a değerini bulmak.
70 = 80 - 10 * log10(1 + 3a) denklemi elde edilir.
Malzemenin ses yutma katsayısını (a sabiti) belirlemek, ikinci durumdaki kalınlığı hesaplamak için gereklidir.
2
Elde edilen logaritmik denklemi çözerek a değerini hesaplamak.
log10(1 + 3a) = 1 => 1 + 3a = 10 => a = 3 bulunur.
Logaritma tanımı gereği log10(y) = 1 ise y = 10'dur.
3
Hesaplanan a = 3 değerini ve ikinci durumdaki verileri (ilk ses şiddeti 80 dB ve hedef ses şiddeti 50 dB) modelde yerine koymak.
50 = 80 - 10 * log10(1 + 3x) denklemi kurulur.
İstenen yalıtım düzeyini sağlayacak kalınlık (x) değerini belirlemek için yeni bir denklem oluşturulur.
4
Oluşturulan denklemi x için çözmek.
log10(1 + 3x) = 3 => 1 + 3x = 1000 => 3x = 999 => x = 333 bulunur.
Logaritma tanımı kullanılarak logaritmik ifade üstel ifadeye dönüştürülür ve x yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Logaritmik fonksiyonların gerçek hayat durumlarını modellemede kullanımı ve logaritma özelliklerini uygulayarak denklem çözme.
Soru 150Soru →
1'den büyük ve x<y<zx < y < z şartını sağlayan x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
log⁡2(x⋅y⋅z)=7\log_2(x \cdot y \cdot z) = 7
log⁡x2+log⁡y2+log⁡z2=74\log_x 2 + \log_y 2 + \log_z 2 = \frac{7}{4}
log⁡x2⋅log⁡y2⋅log⁡z2=18\log_x 2 \cdot \log_y 2 \cdot \log_z 2 = \frac{1}{8}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, 4(log⁡xy+log⁡yz+log⁡zx)4(\log_x y + \log_y z + \log_z x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

İstenen ifadenin değeri 17'dir.
Soruda verilen logaritmik ifadeler log⁡2\log_2 tabanına dönüştürülüp değişken değiştirme uygulandığında, köklerinin toplamı, ikişerli çarpımlarının toplamı ve çarpımları bilinen bir üçüncü derece denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri bulunup büyüklük sıralamasına göre değişkenlere atandıktan sonra taban değiştirme kuralı yardımıyla hedeflenen toplam tam olarak 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması ve sıralama şartının belirlenmesi
u=log⁡2xu = \log_2 x, v=log⁡2yv = \log_2 y, w=log⁡2zw = \log_2 z olmak üzere 0<u<v<w0 < u < v < w bağıntısı elde edilir.
Logaritmik ifadeleri daha kolay çözebilmek ve cebirsel denklemler elde etmek için.
2
Verilen logaritma denklemlerinin u,v,wu, v, w cinsinden ifade edilmesi
u+v+w=7u + v + w = 7, 1u+1v+1w=74\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = \frac{7}{4} ve uvw=8uvw = 8 denklemleri elde edilir.
Çarpım kuralı (log⁡2(xyz)=log⁡2x+log⁡2y+log⁡2z\log_2(xyz) = \log_2 x + \log_2 y + \log_2 z) ve taban değiştirme kuralının sonucu olan çarpmaya göre tersi özelliğinin (log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}) uygulanması amacıyla.
3
Payda eşitleyerek ikişerli çarpımların toplamının hesaplanması
uv+vw+wu=14uv + vw + wu = 14 bulunur.
İkinci denklemde payda eşitlendiğinde elde edilen uv+vw+wuuvw=74\frac{uv+vw+wu}{uvw} = \frac{7}{4} ifadesinde uvw=8uvw = 8 değerini yerine koymak için.
4
Kökleri u,v,wu, v, w olan üçüncü dereceden denklemin yazılması ve çözülmesi
t3−7t2+14t−8=0t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0 denkleminin kökleri t=1,2,4t = 1, 2, 4 olarak bulunur. Sıralamadan dolayı u=1,v=2,w=4u=1, v=2, w=4 olur.
Toplamları, ikişerli çarpımlarının toplamları ve çarpımları bilinen üç sayıyı belirlemek için Vieta formüllerinden yararlanılır.
5
İstenen ifadenin değerinin taban değiştirme kuralı yardımıyla hesaplanması
4(log⁡xy+log⁡yz+log⁡zx)=174(\log_x y + \log_y z + \log_z x) = 17 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡xy=log⁡2ylog⁡2x=vu\log_x y = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} = \frac{v}{u} vb. dönüşümleri yapıp bulunan değerleri yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinin (çarpım kuralı, taban değiştirme ve çarpmaya göre tersi özellikleri) cebirsel denklem sistemleriyle birleştirilerek uygulanması.
Soru 151Soru →

Bir radyoaktif elementin kalan kütlesi y(t)y(t) gram, başlangıçtaki kütlesi y0y_0 gram ve geçen süre tt gün olmak üzere, bu elementin zamana bağlı bozunma modeli

y(t)=y0⋅(12)t24y(t) = y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{24}}

formülüyle modellenmektedir.

Bu elementin başlangıçtaki kütlesinin %60\%60'ının bozunarak yok olması için geçen süre t1t_1 gün, %85\%85'inin bozunarak yok olması için geçen süre t2t_2 gündür.

Buna göre, t2−t1t_2 - t_1 farkı kaç gündür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3

Cevap

72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3 gün
Doğru yanıt olan 72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3 ifadesi, sırasıyla kalan kütle oranlarının %40\%40 ve %15\%15 olarak tespit edilip denklemlerin oranlanması ve ardından logaritma özelliklerinin doğru biçimde işletilmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
t1t_1 süresi için kalan k��tle oranını belirlemek.
Başlangıçtaki kütlenin %60\%60'ı bozunduğunda geriye kalan kütle %40\%40'ı olur. Buradan y(t1)=0,40⋅y0y(t_1) = 0,40 \cdot y_0 elde edilir.
Bozunma modelinde kalan kütle formülü kullanıldığından kalan oran tespit edilmelidir.
2
t2t_2 süresi için kalan kütle oranını belirlemek.
Başlangıçtaki kütlenin %85\%85'i bozunduğunda geriye kalan kütle %15\%15'i olur. Buradan y(t2)=0,15⋅y0y(t_2) = 0,15 \cdot y_0 elde edilir.
Zamana bağl�� kalan kütle oranını denklemde yerine yazmak için.
3
Elde edilen denklemleri birbirine oranlamak.
y(t2)y(t1)=y0⋅(12)t224y0⋅(12)t124⇒(12)t2−t124=0,150,40=38\frac{y(t_2)}{y(t_1)} = \frac{y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{24}}}{y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{24}}} \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{0,15}{0,40} = \frac{3}{8} denklemine ulaşılır.
Üstel ifadeleri ortak tabanda sadeleştirerek fark değişkenini çekmek için.
4
Üstel ifadeyi logaritma kullanarak çözmek.
2−t2−t124=38⇒2t2−t124=832^{-\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{3}{8} \Rightarrow 2^{\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{8}{3} olur. Buradan taban 2 alınarak logaritma uygulanırsa, t2−t124=log⁡2(83)\frac{t_2 - t_1}{24} = \log_2\left(\frac{8}{3}\right) elde edilir.
Bilinmeyen üssü logaritma yardımıyla yalnız bırakmak için.
5
Logaritma bölme özelliğini uygulayıp t2−t1t_2 - t_1 farkını yalnız bırakmak.
t2−t124=log⁡28−log⁡23=3−log⁡23⇒t2−t1=24⋅(3−log⁡23)=72−24log⁡23\frac{t_2 - t_1}{24} = \log_2 8 - \log_2 3 = 3 - \log_2 3 \Rightarrow t_2 - t_1 = 24 \cdot (3 - \log_2 3) = 72 - 24 \log_2 3 olarak bulunur.
İfadenin en sade halini elde etmek ve istenen farkı bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modellerde yarı ömür, yüzdesel bozunma oranları ve logaritma bölme özelliğinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 152Soru →
log⁡12(2x−4)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) \geq -3 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 18'dir ve bu ifade doğrudur.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesinden gelen x>2x > 2 şartı ile eşitsizliğin çözümünden gelen x≤6x \leq 6 şartı kesiştirildiğinde en geniş çözüm aralığı (2,6](2, 6] olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar olan 3,4,53, 4, 5 ve 66 değerlerinin toplamı 18 olduğundan verilen önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirleyin.
2x−4>0  ⟹  x>22x - 4 > 0 \implies x > 2
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliği çözün.
2x−4≤(12)−3  ⟹  2x−4≤8  ⟹  2x≤12  ⟹  x≤62x - 4 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \implies 2x - 4 \leq 8 \implies 2x \leq 12 \implies x \leq 6
Taban 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
3
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözümünü kesiştirerek en geniş çözüm kümesini bulun.
2<x≤62 < x \leq 6
Eşitsizliğin sağlanması için hem tanım kümesi şartının hem de eşitsizlik çözümünün aynı anda sağlanması gerekir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
3+4+5+6=183 + 4 + 5 + 6 = 18
Aralıktaki tam sayılar 3,4,5,63, 4, 5, 6'dır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerde tabanın durumuna göre eşitsizlik yönü belirleme ve tanım kümesi sınırlamalarını uygulama
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 153Soru →
1'den farklı pozitif xx gerçel sayısı için,
log⁡2(x)⋅log⁡x(4x)⋅log⁡4x(8x)=log⁡x(14)\log_2(x) \cdot \log_x(4x) \cdot \log_{4x}(8x) = \log_x\left(\frac{1}{4}\right)
eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitli��i sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel sayı yarım (1/2) değeridir.
Zincir kuralı kullanılarak sol taraf sadeleştirildiğinde log⁡2(8x)=3+log⁡2x\log_2(8x) = 3 + \log_2 x elde edilir. Sağ taraf ise −2log⁡2x\frac{-2}{\log_2 x} şeklinde yazılır. t=log⁡2xt = \log_2 x dönüşümü ile elde edilen t2+3t+2=0t^2 + 3t + 2 = 0 denkleminin kökleri t=−1t = -1 ve t=−2t = -2'dir. Buradan x=1/2x = 1/2 ve x=1/4x = 1/4 değerleri bulunur. Ancak x=1/4x = 1/4 değeri denklemdeki log⁡4x(8x)\log_{4x}(8x) teriminin tabanını 1 yaptığından tanımsızlığa neden olur ve elenir. Bu yüzden tek geçerli çözüm yarım (1/2) değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki logaritmik ifadeyi taban değiştirme kuralı yardımıyla sadeleştirin.
log⁡2(x)⋅log⁡x(4x)⋅log⁡4x(8x)=log⁡2(8x)=3+log⁡2x\log_2(x) \cdot \log_x(4x) \cdot \log_{4x}(8x) = \log_2(8x) = 3 + \log_2 x
Zincir kuralı ve taban değiştirme özellikleri sayesinde çarpım durumundaki ifadeler sadeleşir ve tek bir logaritma tabanına indirgenir.
2
Sağ taraftaki ifadeyi 2 tabanında yazın.
log⁡x(14)=log⁡x(2−2)=−2log⁡2x\log_x\left(\frac{1}{4}\right) = \log_x(2^{-2}) = \frac{-2}{\log_2 x}
Denklemi tek bir değişken cinsinden çözebilmek için tüm ifadeleri aynı logaritma tabanına dönüştürmek gerekir.
3
t=log⁡2xt = \log_2 x dönüşümü yaparak denklemi çözün.
3+t=−2t  ⟹  t2+3t+2=0  ⟹  (t+1)(t+2)=0  ⟹  t=−1 veya t=−23 + t = -\frac{2}{t} \implies t^2 + 3t + 2 = 0 \implies (t+1)(t+2) = 0 \implies t = -1 \text{ veya } t = -2
İkinci dereceden bir denklem elde ederek olası kök adaylarını belirlemek.
4
tt değerlerinden xx değerlerini bulun ve logaritmanın tanım kümesini kontrol edin.
t=−1  ⟹  x=12t = -1 \implies x = \frac{1}{2} (geçerli); t=−2  ⟹  x=14t = -2 \implies x = \frac{1}{4} (tabanı 1 yaptığı için geçersiz).
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. x=14x = \frac{1}{4} değeri log⁡4x(8x)\log_{4x}(8x) ifadesinin tabanını 4⋅14=14 \cdot \frac{1}{4} = 1 yaptığından çözüm kümesine alınamaz.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 154Soru →

Bir gölün suyunun berraklığını ve ışık geçirgenliğini inceleyen bir grup araştırmacı, göl yüzeyindeki ışık şiddeti I0I_0 lüks (lux) iken, yüzeyden dd metre derinlikteki ışık şiddetini I(d)I(d) lüks olarak ölçmektedir. Bu göl için derinliğe bağlı ışık şiddeti

I(d)=I0⋅e−0.08⋅dI(d) = I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d}

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık ��iddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik kaç metredir? ( ln⁡5≈1.6\ln 5 \approx 1.6 alınız. )

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik 20 metredir.
Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olan 0.20⋅I00.20 \cdot I_0 değerine ulaştığı derinliği bulmak amacıyla I0⋅e−0.08⋅d=0.20⋅I0I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0 denklemi kurulur. Buradan e−0.08⋅d=0.20=5−1e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = 5^{-1} elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında −0.08⋅d=ln⁡(5−1)=−ln⁡5-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) = -\ln 5 olur. Buradan 0.08⋅d=ln⁡50.08 \cdot d = \ln 5 elde edilir. Soruda verilen ln⁡5≈1.6\ln 5 \approx 1.6 değeri yerine yazıldığında 0.08⋅d=1.6  ⟹  d=200.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20 metre bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olması koşulunu matematiksel olarak ifade etme.
I(d)=0.20⋅I0I(d) = 0.20 \cdot I_0 elde edilir.
Yüzeydeki ışık şiddeti I0I_0 olarak tanımlandığı için, bu değerin %20'si 0.20⋅I00.20 \cdot I_0 değerine karşılık gelir.
2
Elde edilen bu koşulu verilen model fonksiyonunda yerine yazma.
I0⋅e−0.08⋅d=0.20⋅I0I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0 denklemi kurulur.
Belirli bir dd derinliğindeki ışık şiddeti formülü ile hedeflenen ışık şiddeti değeri eşitlenir.
3
Denklemdeki ortak terimleri sadeleştirerek üstel ifadeyi yalnız bırakma.
e−0.08⋅d=0.20=15e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = \frac{1}{5} bulunur.
Her iki taraftaki I0I_0 çarpanları sadeleştirilerek bilinmeyen derinlik dd değişkeninin çözümü kolayla��tırılır.
4
Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak üstel denklemi logaritmik denkleme dönüştürme.
−0.08⋅d=ln⁡(5−1)  ⟹  0.08⋅d=ln⁡5-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) \implies 0.08 \cdot d = \ln 5 elde edilir.
ee tabanındaki üstel ifadenin üssünü aşağı indirmek amacıyla doğal logaritma tanımı ve ln⁡(x−1)=−ln⁡x\ln(x^{-1}) = -\ln x özelliği kullanılır.
5
Soruda verilen yaklaşık logaritma değerini kullanarak derinliği hesaplama.
d=20d = 20 bulunur.
ln⁡5≈1.6\ln 5 \approx 1.6 değeri denklemde yerine yerleştirilerek 0.08⋅d=1.6  ⟹  d=200.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20 sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar içeren gerçek hayat modellerinde denklem kurma, logaritma özelliklerini kullanarak üstel denklemleri çözme.
Soru 155Soru →

1'den büyük aa ve bb gerçel sayıları için log⁡ab\log_a b bir tam sayıdır.

log⁡a(a2⋅b3)⋅log⁡b(a4⋅b)=24\log_a(a^2 \cdot b^3) \cdot \log_b(a^4 \cdot b) = 24

olduğuna göre,

log⁡a(b)+log⁡b(a3⋅b)\log_{\sqrt{a}}(b) + \log_b(a^3 \cdot \sqrt{b})

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin doğru değeri 6'dır.
Verilen denklemde logaritma özellikleri kullanılarak log⁡ab=2\log_a b = 2 elde edilir. Bu değer istenen ifadede yerine konulduğunda log⁡a(b)=4\log_{\sqrt{a}}(b) = 4 ve log⁡b(a3⋅b)=2\log_b(a^3 \cdot \sqrt{b}) = 2 değerleri bulunur ve bu iki değerin toplamı 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yapılması
log⁡ab=x\log_a b = x denilerek ifadeler basitleştirilir.
Çoklu terim içeren logaritmik denklemi çözülebilir bir cebirsel denkleme dönüştürmek için.
2
Denklem terimlerinin xx cinsinden yazılması
log⁡a(a2b3)=2+3x\log_a(a^2 b^3) = 2 + 3x ve log⁡b(a4b)=4x+1\log_b(a^4 b) = \frac{4}{x} + 1 ifadeleri bulunur.
Logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak tabanları ve argümanları ayrıştırmak için.
3
Denklemin çözülmesi
3x2−10x+8=03x^2 - 10x + 8 = 0 denkleminin kökleri x=2x = 2 ve x=43x = \frac{4}{3} olarak elde edilir.
İkinci dereceden denklemin kök bulma yöntemlerini uygulamak için.
4
Kökün elenmesi
x=2x = 2 seçilir.
xx'in bir tam sayı olması gerektiği soruda belirtildiği için.
5
İstenen ifadenin hesaplanması
Değer 6 olarak bulunur.
x=2x = 2 değerini hedef ifadede yerine yazıp logaritma özelliklerini uygulamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda çarpım, üs ve taban değiştirme özelliklerinin bir arada kullanılarak denklemlerin çözülmesi.
Soru 156Soru →
log⁡12(x−1x−5)≥−1\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x-1}{x-5} \right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,1)∪[9,∞)(-\infty, 1) \cup [9, \infty)

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en geniş çözüm kümesi (-\infty, 1) \cup [9, \infty) aralığıdır.
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için hem logaritmanın tanım kümesi kuralı (içinin pozitif olması) hem de taban basit kesir olduğundan yön değiştiren cebirsel eşitsizliğin çözümü birlikte ele alınmalıdır. Bu iki kümenin kesişimi alındığında doğru aralık elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanım kümesi belirlenir.
Logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır: \frac{x-1}{x-5} > 0. Kökler 1 ve 5'tir. İşaret tablosundan tanım kümesi T = (-\infty, 1) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için içinin pozitif olması zorunludur.
2
Tabanın basit kesir olması dikkate alınarak eşitsizlik çözülür.
Taban 1/2 (0 ile 1 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: \frac{x-1}{x-5} \leq (1/2)^{-1} \implies \frac{x-1}{x-5} \leq 2 olur.
Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde logaritma kaldırılırken yön değiştirilir.
3
Cebirsel eşitsizlik düzenlenerek kökler bulunur.
\frac{x-1}{x-5} - 2 \leq 0 \implies \frac{9-x}{x-5} \leq 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri x = 9 (payın kökü, eşitlikten dolayı dahil) ve x = 5 (paydanın kökü, tanımsızlıktan dolayı dahil değil) şeklindedir. İşaret tablosundan cebirsel çözüm kümesi A = (-\infty, 5) \cup [9, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerde tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılarak işaret tablosuna geçilmelidir.
4
Tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesi kesiştirilir.
T \cap A = ((-\infty, 1) \cup (5, \infty)) \cap ((-\infty, 5) \cup [9, \infty)) = (-\infty, 1) \cup [9, \infty) bulunur.
En geniş çözüm kümesi, hem fonksiyonun tanımlı olduğu hem de eşitsizliği sağlayan x değerlerinin ortak kümesidir.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 157Soru →

Bir fabrikada yeni işe başlayan bir işçinin günlük ürettiği ürün sayısı, işe başlamasından itibaren geçen tt (gün) süresine bağlı olarak

P(t)=L−(L−P0)e−k⋅tP(t) = L - (L - P_0)e^{-k \cdot t}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu modelde;
* LL, işçinin ulaşabileceği maksimum günlük ürün sayısını,
* P0P_0, işçinin işe başladığı andaki (başlangıçtaki) günlük ürün sayısını,
* kk ise öğrenme katsayısı olan pozitif bir sabiti

temsil etmektedir. Bu fabrikada işe yeni başlayan bir işçinin maksimum kapasitesi günlük 80 ürün, başlangıçtaki günlük ürün sayısı ise 20 üründür.

İşe başladıktan 5 gün sonra günlük 50 ürün üretebilen bu işçinin, günlük 70 ürün üretebilecek duruma gelmesi için işe başlamasından itibaren toplam kaç gün geçmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5log⁡265 \log_2 6

Cevap

İşçinin günlük 70 ürün üretebilmesi için işe başlamasından itibaren geçmesi gereken toplam süre 5log⁡265 \log_2 6 gündür.
Model denklemleri adım adım uygulandığında, işçinin üretim kapasitesinin 70'e ulaşması için geçen sürenin üstel denklemi 2t/5=62^{t/5} = 6 olarak bulunur. Bu denklemin çözümü logaritma tanımı gereği t=5log⁡26t = 5 \log_2 6 gün değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen başlangıç ve maksimum kapasite değerlerini modele yerleştirmek.
L=80L = 80 ve P0=20P_0 = 20 değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında model P(t)=80−(80−20)e−k⋅t=80−60e−k⋅tP(t) = 80 - (80 - 20)e^{-k \cdot t} = 80 - 60e^{-k \cdot t} halini alır.
Problemin sayısal verilerini modele uygulayarak fonksiyonu sadeleştirmek.
2
İşe başladıktan 5 gün sonraki kapasite değerini kullanarak modelin taban sabitini bulmak.
P(5)=50  ⟹  80−60e−5k=50  ⟹  60e−5k=30  ⟹  e−5k=12  ⟹  e−k=2−1/5P(5) = 50 \implies 80 - 60e^{-5k} = 50 \implies 60e^{-5k} = 30 \implies e^{-5k} = \frac{1}{2} \implies e^{-k} = 2^{-1/5} elde edilir.
Zamana bağlı üstel değişimi sağlayan temel sabiti belirlemek.
3
İşçinin günlük 70 ürün üreteceği hedef süreyi veren denklemi kurmak.
P(t)=70  ⟹  80−60e−k⋅t=70  ⟹  60e−k⋅t=10  ⟹  e−k⋅t=16P(t) = 70 \implies 80 - 60e^{-k \cdot t} = 70 \implies 60e^{-k \cdot t} = 10 \implies e^{-k \cdot t} = \frac{1}{6} bulunur.
İstenen hedef durumu matematiksel eşitliğe dökmek.
4
İkinci adımda bulunan e−ke^{-k} değerini yerine yazarak üstel denklemi logaritma yardımıyla çözmek.
(2−1/5)t=6−1  ⟹  2−t/5=6−1  ⟹  2t/5=6  ⟹  t5=log⁡26  ⟹  t=5log⁡26(2^{-1/5})^t = 6^{-1} \implies 2^{-t/5} = 6^{-1} \implies 2^{t/5} = 6 \implies \frac{t}{5} = \log_2 6 \implies t = 5 \log_2 6 olarak hesaplanır.
Bilinmeyen süre değişkenini logaritma kurallarıyla yalnız bırakıp sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme ve azalış modellerinde bilinmeyen süreyi logaritma kullanarak çözme
Soru 158Soru →
log⁡12(x2−2x−3)≥−5+log⁡12(x−3) \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x - 3) \geq -5 + \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 28 farklı x tam sayı değeri vardır.
Logaritmanın tanım kümesi olan x > 3 koşulu ile azalan fonksiyondan kaynaklanan yön değiştirme sonucu elde edilen 3 <= x <= 31 eşitsizliğinin kesişimi 3 < x <= 31 aralığını verir. Bu aralıkta 28 adet tam sayı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki logaritma ifadelerinin tanım kümelerini belirlemek.
x > 3
Logaritması alınan ifadelerin (x^2 - 2x - 3 ve x - 3) sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bu iki koşulun kesişimi x > 3 aralığını verir.
2
Eşitsizliğin sağ tarafını tek bir logaritma altında birleştirmek.
−5+log⁡12(x−3)=log⁡12(32(x−3))-5 + \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = \log_{\frac{1}{2}}(32(x-3))
-5 sayısı \log_{\frac{1}{2}}(32) olarak yazılabileceğinden logaritma toplama özelliği kullanılarak birleştirme yapılır.
3
Logaritma tabanının 1/2 olmasını dikkate alarak eşitsizliği çözmek.
3≤x≤313 \leq x \leq 31
Taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmalar kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x^2 - 2x - 3 \leq 32(x-3). Bu eşitsizlik düzenlendiğinde (x-3)(x-31) \leq 0 elde edilir.
4
Tan��m kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.
3 < x \leq 31 aralığındaki tam sayılar (28 tane)
Tanım kümesi olan x > 3 ile elde edilen 3 \leq x \leq 31 aralığının kesişimi 3 < x \leq 31 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların adedi 31 - 4 + 1 = 28 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 159Soru →

Bir video paylaşım platformuna aynı anda yüklenen A ve B videolarının tt saat sonraki toplam izlenme sayıları sırasıyla VA(t)V_A(t) ve VB(t)V_B(t) fonksiyonları ile modellenmiştir:

VA(t)=400001+3⋅2−0.1⋅tV_A(t) = \frac{40000}{1 + 3 \cdot 2^{-0.1 \cdot t}}
VB(t)=140001+5⋅3−0.1⋅tV_B(t) = \frac{14000}{1 + 5 \cdot 3^{-0.1 \cdot t}}

A videosunun izlenme sayısı 16000 olduğunda geçen süre t1t_1 saat, B videosunun izlenme sayısı 9000 olduğunda geçen süre t2t_2 saattir.

Buna göre, t1+t2t_1 + t_2 toplamı kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

A videosunun izlenme sayısının 16000'e ulaştığı süre olan 10 saat ile B videosunun izlenme sayısının 9000'e ulaştığı süre olan 20 saatin toplamı 30'dur.
Verilen fonksiyonlarda izlenme sayıları sırasıyla 16000 ve 9000 değerlerine eşitlenerek t1t_1 ve t2t_2 süreleri sırasıyla 10 ve 20 olarak bulunur. Bu iki sürenin toplamı olan 30 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
A videosunun izlenme sayısını veren denklemde VA(t1)=16000V_A(t_1) = 16000 yazarak t1t_1 süresini hesaplamak.
t1=10t_1 = 10 saat
A videosunun 16000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.
2
B videosunun izlenme sayısını veren denklemde VB(t2)=9000V_B(t_2) = 9000 yazarak t2t_2 süresini hesaplamak.
t2=20t_2 = 20 saat
B videosunun 9000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.
3
t1t_1 ve t2t_2 sürelerini toplamak.
t1+t2=30t_1 + t_2 = 30 saat
İstenen toplam süreyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Lojistik büyüme modelleri ve üstel/logaritmik denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 160Soru →
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için a<b<ca < b < c olmak üzere,
log⁡ab+log⁡bc=92\log_a b + \log_b c = \frac{9}{2}
log⁡ba+4log⁡cb=3\log_b a + 4\log_c b = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
log⁡b(a3⋅c)\log_b(a^3 \cdot c)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

52\frac{5}{2} değeri doğrudur.
Verilen denklem sisteminde a<b<ca < b < c sıralama koşulunu sağlayan tek çözüm x=log⁡ab=3x = \log_a b = 3 ve y=log⁡bc=32y = \log_b c = \frac{3}{2}'dir. Bu değerler yardımıyla log⁡b(a3⋅c)=3log⁡ba+log⁡bc\log_b(a^3 \cdot c) = 3\log_b a + \log_b c ifadesi hesaplandığında 3(1/3)+3/2=5/23(1/3) + 3/2 = 5/2 elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma özelliklerini kullanarak değişken dönüşümü yapılması
log⁡ab=x\log_a b = x ve log⁡bc=y\log_b c = y dönüşümleri yapıldığında, taban değiştirme kuralı gereği log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} olur. Böylece verilen denklemler x+y=92x + y = \frac{9}{2} ve 1x+4y=3\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 3 şeklinde iki bilinmeyenli bir sisteme dönüşür.
Logaritmik ifadeleri cebirsel olarak daha kolay çözebilmek için.
2
Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi
y=92−xy = \frac{9}{2} - x ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında 1x+89−2x=3\frac{1}{x} + \frac{8}{9-2x} = 3 elde edilir. Paydalar eşlenip düzenlenirse 2x2−7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0 ikinci dereceden denklemi bulunur. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (2x−1)(x−3)=0(2x - 1)(x - 3) = 0 olup kökleri x=3x = 3 veya x=12x = \frac{1}{2}'dir.
xx değişkeninin alabileceği değerleri bulmak için.
3
Sıralama koşuluna göre geçerli durumun belirlenmesi
x=3x = 3 için log⁡ab=3  ⟹  b=a3\log_a b = 3 \implies b = a^3 ve y=32  ⟹  c=b3/2=a9/2y = \frac{3}{2} \implies c = b^{3/2} = a^{9/2} olur. a>1a > 1 olduğundan a<a3<a9/2a < a^3 < a^{9/2} yani a<b<ca < b < c sıralaması sağlanır. x=12x = \frac{1}{2} için ise b=ab = \sqrt{a} olur ve a>1a > 1 iken b<ab < a olacağından verilen a<b<ca < b < c koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla x=3x = 3 ve y=32y = \frac{3}{2} olmalıdır.
Soruda verilen sıralama kısıtının hangi kök için geçerli olduğunu saptamak için.
4
İstenen logaritmik ifadenin hesaplanması
log⁡b(a3⋅c)=log⁡b(a3)+log⁡bc=3log⁡ba+log⁡bc\log_b(a^3 \cdot c) = \log_b(a^3) + \log_b c = 3\log_b a + \log_b c şeklinde ayrıştırılır. log⁡ab=3  ⟹  log⁡ba=13\log_a b = 3 \implies \log_b a = \frac{1}{3} ve log⁡bc=32\log_b c = \frac{3}{2} değerleri yerine yazıldığında, 3⋅(13)+32=1+32=523 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} bulunur.
Bizden istenen nihai ifadeye ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 8 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 8 | Examkin