Examkin

Sayma ve Olasılık

160 soru

Tüm türler160Çoktan seçmeli92Sayısal64Eşleştirme4
Soru 61Soru →

Bir kurye A şehrinden D şehrine paket taşıyacaktır. Şehirler arası ulaşım alternatifleri şu şekildedir:
- A ile B arasında 3 farklı kara yolu ve 1 demir yolu,
- B ile C arasında 2 farklı kara yolu ve 2 farklı demir yolu,
- A ile C arasında doğrudan 2 farklı kara yolu,
- C ile D arasında 2 farklı kara yolu ve 1 demir yolu,
- B ile D arasında doğrudan 1 kara yolu
bulunmaktadır.

Kurye, A şehrinden D şehrine ulaşmak için aşağıdaki rotalardan birini tercih edecektir:
- A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D
- A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D
- A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D

Güvenlik protokolleri gereği kuryenin kullandığı rotada ardışık iki bağlantının ikisi birden demir yolu olamaz.

Buna göre, kurye A şehrinden D şehrine kaç farklı şekilde ulaşabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Kurye A şehrinden D şehrine 46 farklı şekilde ulaşabilir.
Doğru cevap 46'dır. Üç rota alternatifi ayrı ayrı hesaplanır: Birinci rota (A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D) ve üçüncü rota (A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D) kısıtlamalardan etkilenmez ve sırasıyla 4 ve 6 yol sunar. İkinci rota (A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D) için tüm durumlar olan 48'den, ardışık demir yollarının kullanıldığı 12 geçersiz durum çıkarılarak 36 geçerli yol elde edilir. Tüm rotaların toplamı 4+36+6=464 + 36 + 6 = 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olası tüm rotaları ve bu rotalardaki yol sayılarını belirlemek.
Üç rota mevcuttur: A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D (A-B: 4 yol, B-D: 1 yol), A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D (A-B: 4 yol, B-C: 4 yol, C-D: 3 yol), A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D (A-C: 2 yol, C-D: 3 yol).
Rotaları bağımsız olarak analiz edip toplama kuralını uygulamak için gruplandırma yapılır.
2
A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D ve A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D rotaları için geçerli yol sayılarını hesaplamak.
A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D rotasında 4×1=44 \times 1 = 4 yol; A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D rotasında 2×3=62 \times 3 = 6 yol bulunur.
Bu iki rotada ardışık iki demir yolu bağlantısı kullanılması mümkün olmadığından kısıtlamadan etkilenmezler.
3
A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D rotası için ardışık demir yolu kullanılmayan geçerli yol sayısını kapsama-dışlama ilkesiyle bulmak.
Toplam durum: 4×4×3=484 \times 4 \times 3 = 48. A-B ve B-C demir yolu olan durumlar: 1×2×3=61 \times 2 \times 3 = 6. B-C ve C-D demir yolu olan durumlar: 4×2×1=84 \times 2 \times 1 = 8. Her üçü de demir yolu olan durumlar: 1×2×1=21 \times 2 \times 1 = 2. Geçersiz durumlar: 6+8−2=126 + 8 - 2 = 12. Geçerli durumlar: 48−12=3648 - 12 = 36.
Yasaklı durumları tüm durumlardan çıkararak geçerli alternatifleri buluruz.
4
Tüm rotalardan elde edilen geçerli yol sayılarını toplamak.
Toplam geçerli yol sayısı: 4+36+6=464 + 36 + 6 = 46 bulunur.
Bağımsız alternatif rotalar toplama kuralı gereğince toplanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Prensipleri ile Kapsama-Dışlama İlkesi
Soru 62Soru →

Bir madeni para ile bir düzgün zar aynı anda havaya atılıyor. Paranın tura gelmesi olayı ile zarın üst yüzüne gelen sayının 44'ten küçük olması olayının birlikte gerçekleşme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan dörtte bir
Paranın tura gelmesi ve zarın 44'ten küçük gelmesi olayları bağımsız olaylardır. Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Paranın tura gelme olasılığı 12\frac{1}{2}, zarın 44'ten küçük gelme olasılığı ise 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2} olduğundan, birlikte gerçekleşme olasılığı 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paranın tura gelme olasılığını belirleyin.
P(A)=12P(A) = \frac{1}{2}
Madeni paranın tura veya yazı olmak üzere iki olası sonucu vardır ve tura gelme olasılığı ikide birdir.
2
Zarın üst yüzüne gelen sayının 44'ten küçük olma olasılığını belirleyin.
P(B)=12P(B) = \frac{1}{2}
Zarın üst yüzüne gelebilecek sayılar {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olmak üzere 6 tanedir. 44'ten küçük olanlar {1,2,3}\{1, 2, 3\} olmak üzere 3 tanedir. Olasılık 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2} olur.
3
Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığını çarpım kuralı ile hesaplayın.
P(A∩B)=14P(A \cap B) = \frac{1}{4}
Paranın gelme durumu ile zarın gelme durumu birbirini etkilemediğinden bu olaylar bağımsızdır. Birlikte gerçekleşme olasılığı: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=12⋅12=14P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Anahtar Kavram

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı (P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B))
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 63Soru →
(2x2+1x)n\left(2x^2 + \frac{1}{x}\right)^n ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında sabit terim baştan 5. terimdir. Buna göre, bu açılımdaki terimlerin katsayılar toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 729

Cevap

729
Açılımdaki baştan 5. terim r=4r=4 durumuna karşılık gelir. Genel terim ifadesinde xx'in üssü sıfıra eşitlendiğinde 2n−12=02n-12=0 denkleminden n=6n=6 bulunur. Katsayılar toplamını bulmak için açılımdaki değişken yerine x=1x=1 yazıldığında (2+1)6=36=729(2+1)^6 = 3^6 = 729 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
(nr)(2x2)n−r(1x)r=(nr)2n−rx2n−2rx−r=(nr)2n−rx2n−3r\binom{n}{r} (2x^2)^{n-r} \left(\frac{1}{x}\right)^r = \binom{n}{r} 2^{n-r} x^{2n-2r} x^{-r} = \binom{n}{r} 2^{n-r} x^{2n-3r}
Binom açılımındaki terimlerin değişken kuvvetini ve katsayısını belirlemek için genel terim ifadesi düzenlenir.
2
Baştan 5. terim için rr değeri belirlenir.
r=4r = 4 olmalıdır.
Baştan (r+1)(r+1). terim ifadesinden dolayı, 5. terim için r=5−1=4r = 5 - 1 = 4 alınır.
3
Sabit terim koşulu kullanılarak nn değeri bulunur.
2n−3r=0⇒2n−3(4)=0⇒2n=12⇒n=62n - 3r = 0 \Rightarrow 2n - 3(4) = 0 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n = 6
Sabit terimde xx değişkeninin üssü sıfıra eşit olmalıdır.
4
Katsayılar toplamı hesaplanır.
x=1x = 1 yazılarak (2(1)2+1)6=36=729(2(1)^2 + 1)^6 = 3^6 = 729 bulunur.
Bir açılımın katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü yardımıyla belirli bir terimin bulunması, sabit terim için değişken üssünün sıfıra eşitlenmesi ve katsayılar toplamı için değişken yerine 1 yazılması.
Soru 64Soru →

Bir moleküler biyolog, laboratuvarda sentezleyeceği yapay bir DNA zinciri için 4 adet AA (Adenin), 3 adet TT (Timin) ve 2 adet GG (Guanin) nükleotidinin tamamını yan yana dizerek sarmallar oluşturacaktır.

Sentezlenecek bu sarmallar ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Sarmalın iki ucunda (en başında ve en sonunda) yer alan nükleotidler aynı türdedir.
- Herhangi iki GG (Guanin) nükleotidi yan yana bulunmamaktadır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı DNA sarmalı sentezlenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 260

Cevap

Koşulları sağlayan 260 farklı DNA sarmalı sentezlenebilir.
Doğru cevap olan 260 değeri; uçların A-A (150 durum), T-T (75 durum) ve G-G (35 durum) olduğu tüm senaryoların ayrı ayrı analiz edilmesi ve G nükleotidlerinin yan yana gelmeyecek şekilde boşluklara yerleştirilerek kalan elemanların tekrarlı permütasyonla sıralanması sonucu elde edilen sayıların toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sarmalın iki ucundaki nükleotidlerin aynı olması kısıtlamasına göre durum analizi yapılır.
Sarmalın uçları A-A, T-T veya G-G olmak üzere 3 farklı durum mevcuttur. Bu durumlar birbirlerinden ayrıktır.
Sarmalın en başında ve en sonunda aynı türden nükleotid yer almalıdır.
2
Uçların A-A olması durumu (A…AA \dots A) hesaplanır.
Başta ve sonda birer AA sabitlendiğinden, ortadaki 7 pozisyona yerleştirilmek üzere 2 adet AA, 3 adet TT ve 2 adet GG kalır. G'lerin yan yana gelmemesi için ortadaki 7 pozisyonun iç kısmında kalan ve uçlarla sınırlanan 6 boşluktan 2'si (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde seçilir. Geriye kalan 5 pozisyona 2 adet AA ve 3 adet TT nükleotidi 5!2!3!=10\frac{5!}{2!3!} = 10 farklı şekilde dizilir. Bu durum için toplam sıralama sayısı 15×10=15015 \times 10 = 150 olur.
G'lerin yan yana gelmesini önlemek için boşluk seçimi yapılır ve kalan özdeş nükleotidler tekrarlı permütasyonla sıralanır.
3
Uçların T-T olması durumu (T…TT \dots T) hesaplanır.
Başta ve sonda birer TT sabitlendiğinden, geriye 4 adet AA, 1 adet TT ve 2 adet GG kalır. Benzer şekilde, G'lerin yan yana gelmeyeceği 6 boşluktan 2'si (62)=15\binom{6}{2} = 15 yolla seçilir. Kalan 5 pozisyona 4 adet AA ve 1 adet TT nükleotidi 5!4!1!=5\frac{5!}{4!1!} = 5 farklı şekilde yerleştirilir. Bu durum için toplam sıralama sayısı 15×5=7515 \times 5 = 75 olur.
G'lerin yan yana gelmemesi için boşluk yöntemi uygulanır ve kalan nükleotidler tekrarlı permütasyon formülüyle dizilir.
4
Uçların G-G olması durumu (G…GG \dots G) hesaplanır.
2 adet GG nükleotidinin ikisi de uçlarda sabitlendiği için sarmalın içinde başka GG kalmaz ve yan yana gelme ihtimalleri yoktur. Geriye kalan ortadaki 7 pozisyona 4 adet AA ve 3 adet TT nükleotidi 7!4!3!=35\frac{7!}{4!3!} = 35 farklı şekilde dizilir.
G'ler uçlarda sabitlendiğinden yan yana gelmeme koşulu doğrudan sağlanmış olur ve sadece kalan A ve T nükleotidleri sıralanır.
5
Tüm durumlardan elde edilen sıralama sayıları toplanır.
150+75+35=260150 + 75 + 35 = 260 bulunur.
Ayrık durumların toplamı, toplam olası sarmal sayısını verir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon, durum analizi ve elemanların yan yana gelmeme koşulunun gap (boşluk) yöntemiyle çözümü.
Soru 65Soru →
aa sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
(ax2−1ax)8\left(ax^2 - \frac{1}{ax}\right)^8
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında x7x^7 li terimin katsayıs�� −224-224 olduğuna göre, xx li terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -14

Cevap

x'li terimin katsayısı -14 olarak bulunur.
Genel terim formülü düzenlendiğinde x'in üssünü 7 yapan r değeri 3 bulunur. Buradan elde edilen katsayı denkleminden a'nın karesi 4 olarak hesaplanır. Ardından x'in üssünü 1 yapan r değeri 5 bulunur ve bu değerler katsayı formülünde yerine konulduğunda doğru sonuç olan -14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazıp düzenleme
Tr+1=(8r)(ax2)8−r(−1ax)r=(8r)(−1)ra8−2rx16−3rT_{r+1} = \binom{8}{r} (ax^2)^{8-r} \left(-\frac{1}{ax}\right)^r = \binom{8}{r} (-1)^r a^{8-2r} x^{16-3r}
Açılımdaki herhangi bir terimin katsayısını ve x'in üssünü belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
Verilen katsayı bilgisinden faydalanarak a değerini bulma
16−3r=7  ⟹  r=316-3r = 7 \implies r=3 ve buradan katsayı: (83)(−1)3a8−6=−56a2=−224  ⟹  a2=4\binom{8}{3} (-1)^3 a^{8-6} = -56a^2 = -224 \implies a^2 = 4
x^7'li terimin katsayısının -224 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen a parametresi elde edilir.
3
İstenen terimin indisini (r) belirleme
16−3r=1  ⟹  3r=15  ⟹  r=516-3r = 1 \implies 3r = 15 \implies r=5
x'li (yani x^1'li) terimi bulmak için genel terimdeki x'in üssü 1'e eşitlenir.
4
Belirlenen indis ve a değeriyle katsayıyı hesaplama
Katsayı=(85)(−1)5a8−10=56⋅(−1)⋅a−2=−56⋅1a2=−56⋅14=−14\text{Katsayı} = \binom{8}{5} (-1)^5 a^{8-10} = 56 \cdot (-1) \cdot a^{-2} = -56 \cdot \frac{1}{a^2} = -56 \cdot \frac{1}{4} = -14
Bulunan r=5 indisi ve a'nın karesinin 4'e eşit olması bilgisi genel terim katsayısında yerine yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısının ve değişken üslerinin belirlenmesi
Soru 66Soru →

Hileli bir madeni para havaya atıldığında tura gelme olasılığı 23\frac{2}{3}'tür. Bu para ile oynanan bir oyunda, her tura atışında oyuncu 11 puan kazanmakta, her yazı atışında ise 11 puan kaybetmektedir.

Oyuna 00 puanla başlayan bir oyuncunun puanı +2+2 veya −2-2 olduğunda oyun bitmektedir.

Oyunun en fazla 44 atışta bittiği bilindiğine göre, oyuncunun oyunu +2+2 puanla (kazanarak) bitirmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45\frac{4}{5}

Cevap

Oyuncunun oyunu kazanarak bitirmiş olma olasılığı 45\frac{4}{5}'tir.
Oyunun en fazla 4 atışta bittiği bilindiğine göre örnek uzayımız bu koşulu sağlayan durumlar ile sınırlanır. Bu durumların toplam olasılığı 6581\frac{65}{81}'dir. Bu durumlardan oyuncunun oyunu +2+2 puanla bitirdiği durumların olasılıkları toplamı ise 5281\frac{52}{81}'dir. İstenen koşullu olasılık bu iki değerin birbirine oranı olup 5265=45\frac{52}{65} = \frac{4}{5} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Oyunun en fazla 4 atışta bitmesini sağlayan tüm olası atış dizilimlerini (yolları) belirleyelim.
Oyunun bitmesi için oyuncunun puanının +2+2 veya −2-2 olması gerekir. Puan değişimi her atışta +1+1 veya −1-1 olduğundan, oyun yalnızca çift numaralı atışlarda (2. veya 4. atışta) bitebilir:
- 2. atışta +2+2 ile biten yol: TTTT
- 2. atışta −2-2 ile biten yol: YYYY
- 4. atışta +2+2 ile biten yollar: TYTTTYTT ve YTTTYTTT (İlk iki atışta oyun bitmemelidir, yani ilk iki atış TTTT veya YYYY olamaz. Bu nedenle TYTY veya YTYT ile başlayıp +2+2 ile biten yollar belirlenir.)
- 4. atışta −2-2 ile biten yollar: TYYYTYYY ve YTYYYTYY
Koşullu olasılık hesaplamasında örnek uzayı doğru şekilde daraltmak için koşulu sağlayan tüm durumları tespit etmemiz gerekir.
2
Belirlenen bu durumların gerçekleşme olasılıklarını tura gelme olasılığı P(T)=23P(T) = \frac{2}{3} ve yazı gelme olasılığı P(Y)=13P(Y) = \frac{1}{3} değerlerini kullanarak hesaplayalım.
- P(TT)=(23)2=49=3681P(TT) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} = \frac{36}{81}
- P(YY)=(13)2=19=981P(YY) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} = \frac{9}{81}
- P(TYTT)=23×13×23×23=881P(TYTT) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}
- P(YTTT)=13×23×23×23=881P(YTTT) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}
- P(TYYY)=23×13×13×13=281P(TYYY) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{81}
- P(YTYY)=13×23×13×13=281P(YTYY) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{81}
Her bir bağımsız atış diziliminin olasılığını bulmak için adım adım çarpma kuralı uygulanır.
3
Oyunun en fazla 4 atışta bitme olasılığını (koşul uzayının olasılığını) bu olasılıkları toplayarak bulalım.
P(Oyunun en fazla 4 atıs¸ta bitmesi)=P(TT)+P(YY)+P(TYTT)+P(YTTT)+P(TYYY)+P(YTYY)P(\text{Oyunun en fazla 4 atışta bitmesi}) = P(TT) + P(YY) + P(TYTT) + P(YTTT) + P(TYYY) + P(YTYY)
=3681+981+881+881+281+281=6581= \frac{36}{81} + \frac{9}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} + \frac{2}{81} + \frac{2}{81} = \frac{65}{81}
Koşullu olasılık formülündeki payda değerini (koşul olayının olasılığını) elde etmek için.
4
Oyunun en fazla 4 atışta bittiği durumlardan, oyuncunun oyunu +2+2 puanla (kazanarak) bitirdiği durumların olasılıkları toplamını (kesişim kümesini) hesaplayalım.
Oyunu +2+2 puanla bitiren yollar TTTT, TYTTTYTT ve YTTTYTTT durumlarıdır.
P(Kazanarak bitirme∩En fazla 4 atıs¸ta bitme)=P(TT)+P(TYTT)+P(YTTT)P(\text{Kazanarak bitirme} \cap \text{En fazla 4 atışta bitme}) = P(TT) + P(TYTT) + P(YTTT)
=3681+881+881=5281= \frac{36}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} = \frac{52}{81}
Koşullu olasılık formülündeki pay değerini (istenen olay ile koşul olayının kesişiminin olasılığını) elde etmek için.
5
Koşullu olasılık formülünü uygulayarak nihai olasılık değerine ulaşalım.
P(Kazanarak bitirme∣En fazla 4 atıs¸ta bitme)=P(Kazanarak bitirme∩En fazla 4 atıs¸ta bitme)P(Oyunun en fazla 4 atıs¸ta bitmesi)P(\text{Kazanarak bitirme} \mid \text{En fazla 4 atışta bitme}) = \frac{P(\text{Kazanarak bitirme} \cap \text{En fazla 4 atışta bitme})}{P(\text{Oyunun en fazla 4 atışta bitmesi})}
=52816581=5265=45= \frac{\frac{52}{81}}{\frac{65}{81}} = \frac{52}{65} = \frac{4}{5}
Daraltılmış örnek uzayında istenen olayın oranını bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık, bir A olayının gerçekleştiği bilindiğinde bir B olayının gerçekleşme olasılığıdır ve P(B∣A)=P(B∩A)P(A)P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} formülü ile hesaplanır. Bu soruda örnek uzay, oyunun en fazla 4 atışta bittiği durumlarla sınırlandırılmıştır.
Soru 67Soru →

Bir torbada 22 kırmızı ve 33 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekilip rengine bakıldıktan sonra torbaya geri atılıyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir bilye çekiliyor. Buna göre, çekilen ilk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.24

Cevap

İlk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 0,24'tür.
İlk bilyenin kırmızı olma olasılığı 2/5 (0,4) ve çekilen bilye torbaya geri atıldığı için ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 3/5 (0,6) olur. Olaylar bağımsız olduğundan bu iki olasılık çarpılarak doğru sonuç 0,24 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama
P(K_1) = 2/5 = 0,4
Torbada toplam 5 bilye olup bunlardan 2'si kırmızıdır.
2
İkinci çekilen bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama
P(M_2) = 3/5 = 0,6
İlk çekilen bilye geri atıldığı için torbadaki bilye sayısı ve renk dağılımı değişmemiştir, bu yüzden olaylar bağımsızdır.
3
İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulma
P(K_1 ve M_2) = 0,4 * 0,6 = 0,24
Bağımsız olayların kesişim olasılığı, her bir olayın olasılıklarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olayların Çarpım Kuralı
Soru 68Soru →
(x3−2x)8\left(x^3 - \frac{2}{x}\right)^8

ifadesi açılıp düzenlendiğinde x12x^{12}'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -448

Cevap

İfadenin açılımındaki x^12'li terimin katsayısı -448'dir.
Genel terim formülü kullanılarak x'in üssü 12'ye eşitlendiğinde r = 3 bulunur. r = 3 için katsayı hesaplandığında -448 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazmak
Genelterim:(8r)(x3)8−r(−2x)rGenel terim: \binom{8}{r} (x^3)^{8-r} \left(-\frac{2}{x}\right)^r
Açılımdaki herhangi bir terimi belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
Değişkenin üssünü düzenlemek
\binom{8}{r} (-2)^r x^{24-4r}
x'in kuvvetini tek bir üs olarak ifade etmek için üslü sayılar kuralları uygulanır.
3
x'in üssünü 12'ye eşitleyerek r değerini bulmak
24 - 4r = 12 \implies r = 3
İstenen terimin derecesi 12 olduğu için üs 12'ye eşitlenir.
4
Katsayıyı hesaplamak
\binom{8}{3} (-2)^3 = 56 \times (-8) = -448
Bulunan r değeri genel terimde yerine yazılarak katsayı elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim bulma ve belirli bir terimin katsayısını hesaplama.
Soru 69Soru →
kk bir gerçel sayı olmak üzere,
(x3−kx2)5\left(x^3 - \frac{k}{x^2}\right)^5
ifadesinin açılımındaki sabit terim −80-80 olduğuna göre, kk kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k gerçel sayısının değeri 2'dir.
Genel terim formülü düzenlendiğinde sabit terim için x'in üssünü sıfır yapan r değeri 3 olarak elde edilir. r = 3 için sabit terim -10 * k^3 olur. Bu ifade -80'e eşitlendiğinde k^3 = 8 denklemi kurulur ve k değeri 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımın genel terim formülü yazılır.
Tr+1=(5r)(x3)5−r(−kx2)rT_{r+1} = \binom{5}{r} (x^3)^{5-r} \left(-\frac{k}{x^2}\right)^r
Binom açılımındaki belirli bir terimi veya sabit terimi bulabilmek için genel terim formülünü oluşturmak gerekir.
2
Değişkenlerin ve katsayıların kuvvetleri düzenlenir.
T_{r+1} = \binom{5}{r} (-k)^r x^{15-3r} x^{-2r} = \binom{5}{r} (-k)^r x^{15-5r}
x değişkeninin net kuvvetini belirleyerek sabit terim koşulunu uygulayabilmek için üslü ifadeler düzenlenir.
3
Sabit terim için x'in kuvveti sıfıra eşitlenir.
15 - 5r = 0 \implies r = 3
Sabit terimde x değişkeni bulunmaz, bu nedenle x'in üssü 0 olmalıdır.
4
Bulunan r değeri genel terimde yerine yazılarak sabit terim katsayısı oluşturulur.
T_4 = \binom{5}{3} (-k)^3 = 10 \cdot (-k^3) = -10k^3
Sabit terimin sayısal değerini k cinsinden ifade etmek için kombinasyon ve üs işlemleri tamamlanır.
5
Elde edilen katsayı verilen sabit terim değerine eşitlenerek denklem çözülür.
-10k^3 = -80 \implies k^3 = 8 \implies k = 2
Soruda verilen sabit terim değeri yardımıyla k bilinmeyeni elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim yazma ve sabit terimi bulma kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 70Soru →
(x2+2y)n\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n

ifadesinin açılımında x6⋅y−5x^6 \cdot y^{-5}'li bir terim bulunduğuna göre, nn kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Aranan n sayısı 8'dir.
Verilen binom açılımının genel terimi yazıldığında y'nin üssünün -r olduğu görülür. Açılımdaki terimde y−5y^{-5} bulunduğundan r = 5 olmalıdır. x'in üssü ise 2n−2r=2n−102n-2r = 2n-10 olur. Terimdeki x6x^6 çarpanından ötürü 2n−10=62n-10 = 6 denklemi çözüldüğünde n = 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
(x2+2y)n\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n ifadesinin açılımındaki genel terim: Tr+1=(nr)(x2)n−r(2y)r=(nr)2rx2n−2ry−rT_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} \left(\frac{2}{y}\right)^r = \binom{n}{r} 2^r x^{2n-2r} y^{-r} şeklindedir.
Binom açılımında belirli bir terimin değişkenlerinin üslerini belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
y değişkeninin üssü eşitlenerek r değeri bulunur.
y−r=y−5  ⟹  r=5y^{-r} = y^{-5} \implies r = 5 olarak bulunur.
Açılımdaki terimin x6⋅y−5x^6 \cdot y^{-5} biçiminde olduğu belirtildiğinden, y'nin üssü -5 olmalıdır.
3
x değişkeninin üssü eşitlenerek n değeri bulunur.
x2n−2r=x6  ⟹  2n−2r=6x^{2n-2r} = x^6 \implies 2n - 2r = 6 elde edilir. Bulunan r=5r = 5 değeri yerine yazıldığında: 2n−2(5)=6  ⟹  2n−10=6  ⟹  2n=16  ⟹  n=82n - 2(5) = 6 \implies 2n - 10 = 6 \implies 2n = 16 \implies n = 8 elde edilir.
Terimdeki x'in üssü 6 olduğundan, genel terimdeki x'in üssü 6'ya eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı Genel Terim Formülü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 71Soru →

Bir okulun yıl sonu gösterisinde sunum yapacak olan 3 öğretmen (Aylin, Bülent, Ceyda) ve 4 öğrenci (Deniz, Elif, Fatih, Gizem) sahnedeki yan yana dizilmiş 7 sandalyeye oturacaklardır.

Oturma düzeniyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Her bir öğretmenin hem sağındaki hem de solundaki sandalyede birer öğrenci oturacaktır.
- Aylin Öğretmen ile Deniz isimli öğrenci yan yana oturmayacaktır.

Buna göre, bu öğretmen ve öğrenciler sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

72 farklı şekilde oturabilirler.
Doğru cevap 72'dir. Öğretmenlerin her birinin sağında ve solunda birer öğrenci olması koşuluyla oturma düzeni yalnızca Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen) biçiminde olabilir. Bu durumda 4 öğrenci 4! = 24, 3 öğretmen 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir ve toplam 144 durum oluşur. Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumlar incelendiğinde; Aylin Öğretmen'in oturabileceği 3 koltuk (2, 4, 6) vardır ve her biri için Deniz'in oturabileceği 2 yan koltuk bulunur. Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6, kalan 2 öğretmen kendi arasında 2! = 2 şekilde sıralanır. Böylece yan yana oturdukları durum sayısı 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur. Tüm durumlardan bu değer çıkarıldığında istenen durum sayısı 144 - 72 = 72 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Öğretmen ve öğrencilerin oturabileceği koltuk düzenini belirlemek.
Öğretmenler sadece 2, 4 ve 6. koltuklara; öğrenciler ise 1, 3, 5 ve 7. koltuklara oturabilir. Bu durum Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö şeklinde tek bir şablon oluşturur (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen).
Her öğretmenin sağında ve solunda birer öğrenci bulunması gerektiğinden, hiçbir öğretmen uçlardaki (1 ve 7) koltuklara oturamaz ve hiçbir iki öğretmen yan yana gelemez.
2
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın öğretmen ve öğrencilerin kendi aralarındaki tüm dizilim sayılarını hesaplamak.
4 öğrenci kendi arasında 4! = 24 farklı şekilde, 3 öğretmen kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir. Toplam dizilim sayısı: 24 * 6 = 144 olur.
Kişiler farklı olduğu için belirlenen koltuk tiplerine göre kendi aralarında permütasyon yapılır.
3
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumların sayısını hesaplamak.
Aylin Öğretmen 2, 4 veya 6. koltuklara oturabilir (3 durum). Aylin Öğretmen hangi öğretmen koltuğuna oturursa otursun, hemen sağında ve solunda olmak üzere yan yana gelebileceği 2 öğrenci koltuğu vardır. Deniz bu 2 koltuktan birine oturur (2 durum). Geriye kalan 3 öğrenci boşta kalan 3 öğrenci koltuğuna 3! = 6 şekilde, geriye kalan 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde yerleşir. Aylin ile Deniz'in yan yana olduğu toplam durum sayısı: 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur.
İstenmeyen durumların sayısını tüm durumlardan çıkararak istenen sonucu bulmak (tümleyen yöntemi) daha kolaydır.
4
İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan yan yana olunan durumları çıkarmak.
144 - 72 = 72 durum elde edilir.
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturmadığı durum sayısı, toplam dizilim sayısından yan yana oturdukları durum sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve tümleyen yöntemi kullanarak istenmeyen durumların elenmesi.

Alternatif Yöntem

Aylin Öğretmen'in 2, 4 ve 6 numaralı koltuklara oturduğu durumlar ayrı ayrı incelenerek doğrudan çözüme ulaşılabilir. Aylin Öğretmen 2 veya 6 numaralı koltuğa oturduğunda (2 durum), Deniz bu koltukların yanındaki tek öğrenci koltuğuna oturamaz, dolayısıyla Deniz için kalan 3 öğrenci koltuğundan biri seçilir (3 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 2 * 3 * 6 * 2 = 72 durum gelir. Aylin Öğretmen 4 numaralı koltuğa oturduğunda (1 durum), Deniz bu koltuğun her iki yanındaki (3 ve 5 numaralı) koltuklara oturamaz. Dolayısıyla Deniz için uçlardaki 1 ve 7 numaralı koltuklar kalır (2 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 1 * 2 * 6 * 2 = 24 durum gelir. Toplam istenen durum sayısı ise 48 + 24 = 72 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 72Soru →

Bir torbada 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele ve geri bırakılmaksızın art arda 33 top çekiliyor. Çekilen birinci, ikinci ve üçüncü topların üzerindeki sayılar sırasıyla aa, bb ve cc olarak kaydediliyor. Buna göre, (a+b)⋅c(a+b) \cdot c çarpımının bir çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.7

Cevap

Çekilen topların üzerindeki sayılarla oluşturulan (a+b)⋅c(a+b) \cdot c ifadesinin çift sayı olma olasılığı 0,7'dir.
Çarpımın tek sayı olma olasılığı hesaplanıp 1'den çıkarıldığında, (a+b)c(a+b)c çarpımının çift sayı olma olasılığı 0,7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların sayısını hesaplama
Tüm olası durumların sayısı P(6,3)=6×5×4=120P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120'dir.
Torbada 6 top olduğundan ve geri bırakılmaksızın sırasıyla 3 top çekildiğinden sıralı üçlü sayısı bulunmalıdır.
2
Çarpımın tek sayı olması (tümleyen durum) koşulunu belirleme
(a+b)⋅c(a+b) \cdot c çarpımının tek olması için hem a+ba+b toplamının hem de cc sayısının tek sayı olması gerekir.
İki tam sayının çarpımının tek olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması zorunludur.
3
cc sayısının tek olduğu durumları belirleme
c∈{1,3,5}c \in \{1, 3, 5\} olmak üzere 3 farklı seçim yapılabilir.
Torbadaki tek sayılar 1, 3 ve 5'tir.
4
a+ba+b toplamının tek olması için uygun (a,b)(a, b) çiftlerini sayma
cc seçildikten sonra kalan 5 sayıdan 1 tek ve 1 çift sayı sırasıyla 2×3×2!=122 \times 3 \times 2! = 12 farklı şekilde seçilebilir.
İki sayının toplamının tek olması için biri tek, diğeri çift olmalıdır. Başlangıçta 3 tek ve 3 çift sayı varken cc tek seçildiği için geriye 2 tek ve 3 çift sayı kalmıştır.
5
Tümleyen olayın olasılığını hesaplama
Çarpımın tek sayı olma olasılığı 3×12120=36120=0,3\frac{3 \times 12}{120} = \frac{36}{120} = 0,3'tür.
İstenmeyen durum sayısı olan 36, toplam durum sayısı olan 120'ye bölünür.
6
İstenen olayın (çarpımın çift sayı olması) olasılığını bulma
Çarpımın çift sayı olma olasılığı 1−0,3=0,71 - 0,3 = 0,7'dir.
Bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Tümleyen Olayın Olasılığı
Soru 73Soru →

Bir teknoloji firması, A ve B markaları altında eşit miktarda mikroçip üretmektedir. A marka çiplerin %2,5\%2,5'i, B marka çiplerin ise %10\%10'u üretim hatasından dolayı arızalıdır.

Üretilen tüm çipler, birbirlerinden bağımsız olarak çalışan iki farklı kalite kontrol testinden geçirilmektedir. Her iki test için de geçerli olan teknik özellikler şu şekildedir:
- Arızalı bir çip, test edildiğinde %90\%90 olasılıkla 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.
- Sağlam bir çip, test edildiğinde %10\%10 olasılıkla hatalı bir şekilde 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.

Depodan rastgele seçilen bir çip bu iki teste tabi tutulmuş ve her iki testten de 'arızalı' raporu almıştır.

Buna göre, bu çipin A marka bir çip olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.25

Cevap

Çipin A marka olma olasılığı 1/4'tür (veya ondalık olarak 0,25).
Çipin iki testten de arızalı raporu alması olayının toplam olasılığı hesaplandığında bu olasılık 0,06 bulunurken, bu çipin hem A marka olup hem de bu raporları alma olasılığı 0,015 olarak bulunur. Koşullu olasılık formülüyle bu iki değer birbirine oranlandığında sonuç 0,25 yani 1/4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları tanımlayalım ve temel olasılıkları belirleyelim.
A ve B markalarının seçilme olasılıkları: P(A)=0,5P(A) = 0,5 ve P(B)=0,5P(B) = 0,5.
Çiplerin arızalı olma (DD) ve sağlam olma (D′D') olasılıkları:
- A markası için: P(D∣A)=0,025P(D|A) = 0,025 ve P(D′∣A)=0,975P(D'|A) = 0,975
- B markası için: P(D∣B)=0,10P(D|B) = 0,10 ve P(D′∣B)=0,90P(D'|B) = 0,90
Koşullu olasılıkları hesaplamak için önce örnek uzaydaki tüm alt grupların olasılıklarını belirlemeliyiz.
2
Çipin her iki testten de 'arızalı' raporu alması (RR) durumunun, çipin gerçekte arızalı (DD) ya da sağlam (D′D') olması durumuna göre koşullu olasılıklarını hesaplayalım.
Testler bağımsız olduğundan:
- Arızalı çip için çift 'arızalı' raporu olasılığı: P(R∣D)=0,90×0,90=0,81P(R|D) = 0,90 \times 0,90 = 0,81
- Sağlam çip için çift 'arızalı' raporu olasıl��ğı: P(R∣D′)=0,10×0,10=0,01P(R|D') = 0,10 \times 0,10 = 0,01
Test sonuçları çipin gerçek durumuna bağlı olarak bağımsız olduğundan çarpım kuralı uygulanır.
3
Seçilen çipin A marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(A∩R)P(A \cap R)) hesaplayalım.
P(A∩R)=P(A∩D∩R)+P(A∩D′∩R)P(A \cap R) = P(A \cap D \cap R) + P(A \cap D' \cap R)
=P(A)⋅P(D∣A)⋅P(R∣D)+P(A)⋅P(D′∣A)⋅P(R∣D′)= P(A) \cdot P(D|A) \cdot P(R|D) + P(A) \cdot P(D'|A) \cdot P(R|D')
=0,5⋅0,025⋅0,81+0,5⋅0,975⋅0,01= 0,5 \cdot 0,025 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,975 \cdot 0,01
=0,010125+0,004875=0,0150= 0,010125 + 0,004875 = 0,0150
A markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.
4
Seçilen çipin B marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(B∩R)P(B \cap R)) hesaplayalım.
P(B∩R)=P(B∩D∩R)+P(B∩D′∩R)P(B \cap R) = P(B \cap D \cap R) + P(B \cap D' \cap R)
=P(B)⋅P(D∣B)⋅P(R∣D)+P(B)⋅P(D′∣B)⋅P(R∣D′)= P(B) \cdot P(D|B) \cdot P(R|D) + P(B) \cdot P(D'|B) \cdot P(R|D')
=0,5⋅0,10⋅0,81+0,5⋅0,90⋅0,01= 0,5 \cdot 0,10 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,90 \cdot 0,01
=0,0405+0,0045=0,0450= 0,0405 + 0,0045 = 0,0450
B markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.
5
Toplam olasılık formülünü kullanarak herhangi bir çipin çift 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(R)P(R)) ve ardından Bayes Teoremi ile istenen koşullu olasılığı (P(A∣R)P(A|R)) hesaplayalım.
P(R)=P(A∩R)+P(B∩R)=0,0150+0,0450=0,0600P(R) = P(A \cap R) + P(B \cap R) = 0,0150 + 0,0450 = 0,0600
P(A∣R)=P(A∩R)P(R)=0,01500,0600=1560=14=0,25P(A|R) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)} = \frac{0,0150}{0,0600} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0,25
Koşullu olasılık tanımı gereği, istenen durumun olasılığı, kısıtlanmış örnek uzayın (tüm çift arızalı raporu alanların) olasılığına bölünür.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık
Soru 74Soru →

Bir eğitim kurumunda bir günde yapılacak 7 ders saatlik bir seminer programında; 3 farklı kişisel gelişim semineri ve 4 farklı mesleki gelişim semineri verilecektir. Bu seminerlerin programlanmasıyla ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

- Her ders saatinde yalnızca bir seminer verilecektir.
- Kişisel gelişim seminerlerinin herhangi ikisi ardışık ders saatlerinde verilmeyecektir.
- Mesleki gelişim seminerleri, 1'den 4'e kadar numaralandırılmış olup bu seminerler numaralarına göre küçükten büyüğe doğru kronolojik sırada (yani 1. seminer 2.'den önce, 2. seminer 3.'den önce, 3. seminer de 4.'den önce olacak şekilde) verilecektir (aralarda kişisel gelişim seminerleri bulunabilir).

Buna göre, bu seminer programı kaç farklı şekilde hazırlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Seminer programı 60 farklı şekilde hazırlanabilir.
Mesleki gelişim seminerlerinin sırası numaralarına göre sabit olduğundan sıralamaya bir etkisi yoktur. Kişisel gelişim seminerlerinin ardışık olmaması için, mesleki gelişim seminerlerinin oluşturduğu 5 boşluktan 3'ü seçilir ve bu 3 seminer seçilen boşluklara sıralanır. Bu işlem (53)×3!=60\binom{5}{3} \times 3! = 60 farklı durum oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Mesleki gelişim seminerlerinin kendi aralarındaki sıralamasının sabit olduğunu belirleme.
4 mesleki gelişim seminerinin kendi içindeki sırası tektir (M1→M2→M3→M4M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow M_4).
Soruda bu seminerlerin numaralarına göre artan sırada (kronolojik olarak) verilmesi gerektiği belirtilmiştir.
2
Kişisel gelişim seminerlerinin ardışık olmaması için yerleştirilebileceği boşlukları tespit etme.
4 mesleki gelişim seminerinin arasında ve uçlarında toplam 5 boşluk bulunur: _ M1 _ M2 _ M3 _ M4 _\_ \, M_1 \, \_ \, M_2 \, \_ \, M_3 \, \_ \, M_4 \, \_.
Herhangi iki kişisel gelişim seminerinin yan yana gelmemesi için bu seminerlerin farklı boşluklara yerleştirilmesi gerekir.
3
Kişisel gelişim seminerleri için boşlukları seçme ve seminerleri sıralama.
5 boşluktan 3 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir ve 3 farklı kişisel gelişim semineri buralara 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Kişisel gelişim seminerleri birbirinden farklı olduğu için seçilen boşluklara dizilim sıraları önemlidir.
4
Toplam dizilim sayısını hesaplama.
10×6×1=6010 \times 6 \times 1 = 60 farklı dizilim elde edilir.
Yapılan bağımsız seçim ve sıralama işlemlerinin çarpım kuralı gereğince çarpılması gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve nesnelerin belirli bir sıraya göre dizilimi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 75Soru →
(x−2x)5\left(x - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^5

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki x2x^2'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

İfadenin açılımındaki x2x^2'li terimin katsayısı 40'tır.
İfadenin genel terimi Tr+1=(5r)x5−r(−2x)r=(5r)(−2)rx5−3r2T_{r+1} = \binom{5}{r} x^{5-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r = \binom{5}{r} (-2)^r x^{5 - \frac{3r}{2}} şeklindedir. x2x^2'li terim için 5−3r2=25 - \frac{3r}{2} = 2 denkleminden r=2r=2 bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında katsayı (52)(−2)2=10⋅4=40\binom{5}{2} (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü oluşturulur.
Tr+1=(5r)⋅x5−r⋅(−2x)rT_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot x^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r
Binom açılımındaki terimlerin katsayı ve derecelerini belirlemek için genel formül kullanılır.
2
xx değişkeninin kuvvetleri sadeleştirilir.
Tr+1=(5r)⋅(−2)r⋅x5−3r2T_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5 - \frac{3r}{2}}
1x=x−1/2\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} olduğundan, tabanları aynı olan üslü ifadelerin üsleri toplanır.
3
xx'in kuvveti aranan terimin kuvveti olan 2'ye eşitlenerek rr bulunur.
5−3r2=2  ⟹  3=3r2  ⟹  r=25 - \frac{3r}{2} = 2 \implies 3 = \frac{3r}{2} \implies r = 2
x2x^2'li terimi elde etmek için genel terimdeki xx'in üssü 2 olmalıdır.
4
r=2r = 2 değeri katsayı formülünde yerine yazılır.
Katsayı = (52)⋅(−2)2=10⋅4=40\binom{5}{2} \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40
Genel terimdeki katsayı kısmı olan (5r)⋅(−2)r\binom{5}{r} \cdot (-2)^r ifadesinde rr yerine 2 yazılıp hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında belirli bir kuvvete sahip terimin katsayısını genel terim formülü kullanarak hesaplama.
Soru 76Soru →

Katsayıları A={−3,−2,−1,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\} k��mesinden rastgele ve birbirinden farklı olarak seçilen aa, bb ve cc sayıları ile P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c parabolü oluşturuluyor. Buna göre, bu parabolün tepe noktasının koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

Parabolün tepe noktasının ikinci bölgede olma olasılığı 15\frac{1}{5}'tir.
Parabolün tepe noktasının ikinci bölgede bulunması için tepe noktasının apsisinin negatif (r<0r < 0) ve ordinatının pozitif (k>0k > 0) olması şarttır. Bu şartlar incelendiğinde, aa ve bb katsayılarının aynı işaretli olması gerektiği ve c>b24ac > \frac{b^2}{4a} eşitsizliğinin sağlanması gerektiği görülür. Kümenin elemanları arasından bu koşula uyan tüm durumlar sayıldığında toplam 24 uygun katsayı üçlüsü elde edilir. Tüm olası üçlülerin sayısı 120 olduğundan, istenen olasılık değeri 24120=15\frac{24}{120} = \frac{1}{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası durumların sayısını (örnek uzayın eleman sayısını) belirlemek.
Örnek uzayın eleman sayısı s(E)=P(6,3)=6×5×4=120s(E) = P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 olarak bulunur.
AA kümesinin 6 elemanı arasından sırasıyla ve birbirinden farklı 3 eleman seçilerek oluşturulabilecek (a,b,c)(a, b, c) sıralı üçlülerinin toplam sayısını bulmak gerekir.
2
Parabolün tepe noktasının koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olması için gereken koşulları tespit etmek.
Tepe noktası T(r,k)T(r, k) için r<0r < 0 ve k>0k > 0 olmalıdır. r=−b2a<0  ⟹  b2a>0r = -\frac{b}{2a} < 0 \implies \frac{b}{2a} > 0 olduğundan aa ve bb aynı işaretli olmalıdır. k=c−b24a>0  ⟹  c>b24ak = c - \frac{b^2}{4a} > 0 \implies c > \frac{b^2}{4a} koşulu sağlanmalıdır.
İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları pozitiftir.
3
aa ve bb katsayılarının her ikisinin de pozitif olduğu durumu (Durum 1) incelemek.
a,b∈{1,2,3}a, b \in \{1, 2, 3\} için (a,b)(a, b) ikilileri ve bunlara uygun c∈A∖{a,b}c \in A \setminus \{a, b\} değerleri şunlardır: (1,2)  ⟹  c>1  ⟹  c=3(1, 2) \implies c > 1 \implies c = 3 (1 durum); (1,3)  ⟹  c>2.25  ⟹  (1, 3) \implies c > 2.25 \implies uygun cc yok (0 durum); (2,1)  ⟹  c>0.125  ⟹  c=3(2, 1) \implies c > 0.125 \implies c = 3 (1 durum); (2,3)  ⟹  c>1.125  ⟹  (2, 3) \implies c > 1.125 \implies uygun cc yok (0 durum); (3,1)  ⟹  c>112  ⟹  c=2(3, 1) \implies c > \frac{1}{12} \implies c = 2 (1 durum); (3,2)  ⟹  c>13  ⟹  c=1(3, 2) \implies c > \frac{1}{3} \implies c = 1 (1 durum). Toplam 4 durum vardır.
Pozitif katsayı ikilileri için c>b24ac > \frac{b^2}{4a} eşitsizliğini sağlayan cc sayılarını belirlemek için.
4
aa ve bb katsayılarının her ikisinin de negatif olduğu durumu (Durum 2) incelemek.
a,b∈{−3,−2,−1}a, b \in \{-3, -2, -1\} için (a,b)(a, b) ikilileri ve bunlara uygun c∈A∖{a,b}c \in A \setminus \{a, b\} değerleri şunlardır: (−1,−2)  ⟹  c>−1  ⟹  c∈{1,2,3}(-1, -2) \implies c > -1 \implies c \in \{1, 2, 3\} (3 durum); (−1,−3)  ⟹  c>−2.25  ⟹  c∈{−2,1,2,3}(-1, -3) \implies c > -2.25 \implies c \in \{-2, 1, 2, 3\} (4 durum); (−2,−1)  ⟹  c>−0.125  ⟹  c∈{1,2,3}(-2, -1) \implies c > -0.125 \implies c \in \{1, 2, 3\} (3 durum); (−2,−3)  ⟹  c>−1.125  ⟹  c∈{−1,1,2,3}(-2, -3) \implies c > -1.125 \implies c \in \{-1, 1, 2, 3\} (4 durum); (−3,−1)  ⟹  c>−0.083  ⟹  c∈{1,2,3}(-3, -1) \implies c > -0.083 \implies c \in \{1, 2, 3\} (3 durum); (−3,−2)  ⟹  c>−0.333  ⟹  c∈{1,2,3}(-3, -2) \implies c > -0.333 \implies c \in \{1, 2, 3\} (3 durum). Toplam 3+4+3+4+3+3=203+4+3+4+3+3 = 20 durum vardır.
Negatif katsayı ikilileri için c>b24ac > \frac{b^2}{4a} eşitsizliğini sağlayan cc sayılarını belirlemek için.
5
İstenen olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak.
Olasılık değeri P=4+20120=24120=15P = \frac{4 + 20}{120} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} olarak bulunur.
Olasılık tanımı gereği, istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına bölünmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 77Soru →

Bir veri tabanı için 7 haneli bir güvenlik kodu oluşturulacaktır. Bu kodda 1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarının her biri tam olarak birer kez kullanılacaktır.

Güvenlik kodu oluşturulurken şu kurallara uyulacaktır:
- Tek rakamlar (1,3,5,71, 3, 5, 7), kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
- Çift rakamların (2,4,62, 4, 6) herhangi ikisi yan yana gelmemelidir.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı güvenlik kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Kurallara uygun oluşturulabilecek güvenlik kodu sayısı 60'tır.
Doğru cevap olan 60 seçeneği; tek rakamların kendi aralarındaki sıralanışının tek türlü (1 durum) olması, çift rakamların yan yana gelmemesi için 4 tek rakamın oluşturduğu 5 boşluktan 3 tanesinin seçilmesi (10 durum) ve seçilen bu boşluklara çift rakamların yerleştirilmesi (6 durum) işlemlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek rakamların dizilimini sembolik olarak yerleştirme
Tek rakamlar kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada (1,3,5,71, 3, 5, 7) olmak zorunda olduğundan, dizilimdeki yerleri belirlendiğinde bu sayıların kendi içindeki sırası tektir (1 durum).
Soruda tek rakamların kendi aralarında artan sırada olması istendiği için sıralama sabittir ve ekstra bir permütasyon işlemi gerektirmez.
2
Çift rakamların yerleştirilebileceği boşlukları belirleme
4 tek rakam yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarında toplam 5 adet boşluk oluşur: _T_T_T_T_\_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_
Çift rakamların herhangi ikisinin yan yana gelmemesi için bu boşluklardan seçilecek farklı yerlere yerleştirilmeleri gerekir.
3
Boşluk seçimi ve çift rakamların sıralanması
5 boşluktan çift rakamlar için 3 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir. Seçilen bu 3 yere 3 farklı çift rakam (2,4,62, 4, 6) kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Çift rakamlar birbirinden farklı olduğu için seçilen boşluklara farklı sıralamalarla yerleşebilirler.
4
Toplam durum sayısını hesaplama
Toplam durum sayısı: (53)×3!×1=10×6×1=60\binom{5}{3} \times 3! \times 1 = 10 \times 6 \times 1 = 60 olarak bulunur.
Bağımsız seçim ve sıralama adımlarının çarpım kuralı ile birleştirilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon problemlerinde belirli elemanların yan yana gelmemesi durumunda, diğer elemanların oluşturduğu boşluklara yerleştirme yöntemi kullanılır. Belirli elemanların kendi aralarında sıralanışının sabit olması durumunda ise sıralama sayısı 1 olarak alınır.
Soru 78Soru →
(x2−2x)6\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki terimlerden katsayısı en küçük olan terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −192-192

Cevap

En küçük katsayıya sahip terimin katsayısı −192-192 değeridir.
Genel terim formülü düzenlendiğinde katsayı ifadesi (6r)(−2)r\binom{6}{r} (-2)^r olur. Negatif terimler arasında en küçük değere ulaşmak için rr'nin tek sayı değerleri (r=1,3,5r=1, 3, 5) yerine yazılır. Bu değerler arasında en küçük sonuç r=5r=5 için −192-192 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülü kurulur.
(x2−2x)6\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6 ifadesinin açılımındaki genel terim: Tr+1=(6r)(x2)6−r(−2x)rT_{r+1} = \binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{2}{x}\right)^r şeklinde yazılır.
Açılımdaki herhangi bir terimin katsayısını rr parametresine bağlı olarak ifade edebilmek için.
2
Genel terim düzenlenerek katsayı ve değişken kısımları ayrıştırılır.
Tr+1=(6r)(−2)rx12−3rT_{r+1} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r} elde edilir. Buradan katsayıyı veren ifade C(r)=(6r)(−2)rC(r) = \binom{6}{r} (-2)^r olarak bulunur.
Katsayının değerini belirleyen cebirsel ifadeyi netleştirmek için.
3
Katsayının en küçük değerini bulmak için negatif değerler üreten tek rr değerleri (r=1,3,5r = 1, 3, 5) tek tek hesaplanır.
r=1r = 1 için: (61)(−2)1=6⋅(−2)=−12\binom{6}{1} (-2)^1 = 6 \cdot (-2) = -12
r=3r = 3 için: (63)(−2)3=20⋅(−8)=−160\binom{6}{3} (-2)^3 = 20 \cdot (-8) = -160
r=5r = 5 için: (65)(−2)5=6⋅(−32)=−192\binom{6}{5} (-2)^5 = 6 \cdot (-32) = -192
Tabandaki negatif işaret nedeniyle tek kuvvetlerin negatif sonuç vereceğini bilip bu seçenekleri karşılaştırmak için.
4
Hesaplanan katsayılar arasından en küçük olanı belirlenir.
−192<−160<−12-192 < -160 < -12 olduğundan en küçük katsayı −192-192 olarak bulunur.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının daha küçük olduğunu dikkate alarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı hesabı ve katsayıların karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 79Soru →

Bir düzgün zar art arda 3 kez havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımının 12 ile tam bölünebilme olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} rasyonel sayısı olarak ifade edilmektedir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 307

Cevap

307
Soruda istenen olasılık, zarların çarpımının 12'ye tam bölünmesidir. Bu olasılığı tümleyen yöntemiyle 12'ye bölünemeyen durumları tüm durumlardan çıkararak 91216\frac{91}{216} olarak buluruz. 91 ve 216 sayıları aralarında asal olduğundan pay ve payda toplamı 91+216=30791 + 216 = 307 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın eleman sayısını belirlemek.
Örnek uzayın eleman sayısı: 63=2166^3 = 216
Bir zarın 6 yüzü vardır ve zar 3 kez atıldığında toplam 6×6×6=2166 \times 6 \times 6 = 216 farklı sonuç oluşur.
2
Çarpımın 12 ile bölünebilme şartlarını analiz etmek.
Çarpımın 12 ile tam bölünebilmesi için asal çarpanlarında en az bir adet 3 ve en az iki adet 2 bulunmalıdır.
12 sayısı 22×32^2 \times 3 olarak asal çarpanlarına ayrılır.
3
Koşulu sağlamayan durumları tümleyen yöntemiyle belirlemek.
Çarpımın 3'e bölünmediği durum sayısı 64'tür. Çarpımın 4'e bölünmediği durum sayısı 81'dir. Hem 3'e hem 4'e bölünmeyen durum sayısı ise 20'dir.
Kümelerin birleşimi ilkesini (inclusion-exclusion) uygulayarak istenmeyen durumları daha kolay sayabiliriz.
4
İstenmeyen durumların toplam sayısını ve istenen durum sayısını hesaplamak.
İstenmeyen durum sayısı: 64+81−20=12564 + 81 - 20 = 125. İstenen durum sayısı: 216−125=91216 - 125 = 91.
İstenmeyen durum sayısı n(A′∪B′)=n(A′)+n(B′)−n(A′∩B′)n(A' \cup B') = n(A') + n(B') - n(A' \cap B') formülüyle bulunur. İstenen durum sayısı ise tüm durumlardan istenmeyenin çıkarılmasıyla elde edilir.
5
Olasılığı bulup pay ve payda toplamını hesaplamak.
Olasılık 91216\frac{91}{216} olup a+b=91+216=307a+b = 91 + 216 = 307 olur.
91 ile 216 sayıları aralarında asaldır, dolayısıyla kesir en sade haldedir.

Anahtar Kavram

Tümleyen Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim İlkesi
Soru 80Soru →

Bir restoranın vitrininde sergilenmek üzere 33 farklı çorba, 33 farklı ana yemek ve 22 farklı tatlı yan yana sıralanacaktır. Bu yemeklerin sıralanmasında;

* Çorbaların tamamının yan yana olması,
* Herhangi iki ana yemeğin yan yana gelmemesi

koşulları aranmaktadır. Buna göre, bu yemekler vitrinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 864

Cevap

Yemekler vitrinde 864 farklı şekilde sıralanabilir.
Çorbaların bir arada olduğu ve ana yemeklerin yan yana gelmediği durum sayısı, çorba bloğu ile tatlıların sıralanması olan 3!×3!=363! \times 3! = 36 ile ana yemeklerin yerleştirilebileceği boşlukların permütasyonu olan P(4,3)=24P(4,3) = 24 değerlerinin çarpılması sonucu 864864 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çorbaların yan yana olma koşulunu değerlendirmek amacıyla çorbaları tek bir nesne olarak gruplamak.
33 farklı çorba tek bir blok (C\c1C\c2C\c3)(Ç_1Ç_2Ç_3) haline getirilir. Bu blok ve 22 farklı tatlı ile birlikte sıralanacak toplam nesne sayısı 33 olur. Bu 33 nesne kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Yan yana bulunması zorunlu olan elemanlar tek bir eleman gibi düşünülerek genel dizilim hesaplanır.
2
Grup haline getirilen çorbaların kendi aralarındaki sıralanışını hesaplamak.
Blok içindeki 33 farklı çorba kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Grup içindeki elemanlar birbirinden farklı olduğundan kendi aralarında yer değiştirebilirler.
3
Ana yemeklerin yan yana gelmemesi koşulunu sağlamak için boşlukları belirlemek ve yerleştirmek.
İlk iki adımda sıralanan 33 nesnenin arasında ve uçlarında toplam 44 boşluk (_Nesne1_Nesne2_Nesne3_\_ \text{Nesne}_1 \_ \text{Nesne}_2 \_ \text{Nesne}_3 \_) oluşur. 33 farklı ana yemek bu 44 boşluğa P(4,3)=4×3×2=24P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24 farklı şekilde yerleştirilir.
Belirli elemanların yan yana gelmemesi için diğer elemanların oluşturduğu boşluklara dağıtılması gerekir.
4
Elde edilen tüm durumları çarparak toplam sıralama sayısını bulmak.
Toplam sıralama sayısı 3!×3!×P(4,3)=6×6×24=8643! \times 3! \times P(4, 3) = 6 \times 6 \times 24 = 864 olarak hesaplanır.
Birbirine bağlı sıralama aşamaları çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının boşluk yöntemiyle hesabı.
ÖncekiSayfa 4 / 8Sonraki