Examkin

Sayma ve Olasılık

160 soru

Tüm türler160Çoktan seçmeli92Sayısal64Eşleştirme4
Soru 81Soru →

mm sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak ��zere,

(x2−mx)6\left(x^2 - \frac{m}{x}\right)^6

ifadesinin açılımındaki x6x^6’lı terimin katsayısı, x3x^3’lü terimin katsayısının −3-3 katına eşittir.

Buna göre, mm kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri bir bölü dört olarak bulunur.
Doğru seçenekte verilen değer, binom açılımının genel terim formülü kullanılarak x6x^6 ve x3x^3 terimlerinin katsayıları oranlandığında elde edilen değerdir. Genel terim formülü (6r)(x2)6−r(−mx)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{m}{x}\right)^r şeklindedir. Burada x6x^6 terimi için r=2r=2 olup katsayı 15m215m^2 bulunur. x3x^3 terimi için r=3r=3 olup katsayı −20m3-20m^3 bulunur. Soruda verilen katsayı ilişkisi kurulduğunda 15m2=−3⋅(−20m3)15m^2 = -3 \cdot (-20m^3) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde sıfırdan farklı mm değeri bir bölü dört olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülünü yazmak.
Tr+1=(6r)(x2)6−r(−mx)rT_{r+1} = \binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{m}{x}\right)^r
İstenen terimlerin katsayılarını belirlemek için genel terim ifadesini oluşturmamız gerekir.
2
Genel terimdeki xx değişkeninin üssünü düzenlemek.
Tr+1=(6r)(−m)rx12−3rT_{r+1} = \binom{6}{r} (-m)^r x^{12-3r}
Terimlerin derecelerini rr cinsinden bulabilmek için tabanları aynı olan üslü ifadeleri birleştiririz.
3
x6x^6 ve x3x^3 terimlerini elde etmek için rr değerlerini bulmak.
x6x^6 için 12−3r=6  ⟹  r=212-3r=6 \implies r=2 ve x3x^3 için 12−3r=3  ⟹  r=312-3r=3 \implies r=3 bulunur.
Hangi terimlerin aradığımız kuvvetleri verdiğini saptamak amacıyla üsleri sırasıyla 6 ve 3'e eşitleriz.
4
Bulunan rr değerlerini genel terimde yerine yazarak katsayıları belirlemek.
x6x^6'lı terimin katsayısı (62)(−m)2=15m2\binom{6}{2} (-m)^2 = 15m^2 ve x3x^3'lü terimin katsayısı (63)(−m)3=−20m3\binom{6}{3} (-m)^3 = -20m^3 olarak elde edilir.
İlişkilendireceğimiz katsayı değerlerini mm cinsinden açıkça ifade etmek için kombinasyon ve üs işlemlerini yaparız.
5
Verilen katsayı ilişkisini kullanarak denklem kurmak ve mm değerini çözmek.
15m2=−3⋅(−20m3)  ⟹  15m2=60m3  ⟹  1=4m  ⟹  m=1415m^2 = -3 \cdot (-20m^3) \implies 15m^2 = 60m^3 \implies 1 = 4m \implies m = \frac{1}{4} (m≠0m \neq 0 olduğu için m2m^2 ile sadeleştirme yapılabilir).
Soruda belirtilen oran bağıntısını uygulayarak bilinmeyen mm parametresini buluruz.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı bulma
Soru 82Soru →

Bir üniversitenin kariyer günlerinde 3 farklı bilişim sunumu (B1,B2,B3B_1, B_2, B_3) ve 4 farklı mühendislik sunumu (M1,M2,M3,M4M_1, M_2, M_3, M_4) arka arkaya yapılacaktır. Bu sunumların sıralamasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Herhangi iki bilişim sunumu arka arkaya yapılmayacaktır.
- B1B_1 sunumu ile M1M_1 sunumu ardışık zaman dilimlerinde (biri diğerinin hemen ardından) yapılmayacaktır.

Buna göre, bu sunumlar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 864

Cevap

Bu sunumlar 864 farklı şekilde sıralanabilir.
Bilişim sunumlarının yan yana gelmediği tüm durumlardan, birinci bilişim sunumu ile birinci mühendislik sunumunun yan yana geldiği durumların çıkarılmasıyla 864 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Mühendislik sunumlarının kendi aralarındaki sıralanış sayısını hesaplama.
4!=244! = 24 farklı sıralama.
4 farklı mühendislik sunumu (M1,M2,M3,M4M_1, M_2, M_3, M_4) kendi aralarında serbestçe sıralanabilir.
2
Bilişim sunumlarının yerleştirilebileceği boşlukları belirleme ve herhangi iki bilişim sunumunun yan yana gelmediği toplam durum sayısını hesaplama.
P(5,3)=60P(5, 3) = 60 yerleşim. Toplamda 24×60=144024 \times 60 = 1440 durum.
Mühendislik sunumlarının aralarında ve uçlarında toplam 5 boşluk bulunur. 3 bilişim sunumunu bu boşluklara yerleştirerek yan yana gelmelerini önleriz.
3
B1B_1 ile M1M_1 sunumlarının ardışık (yan yana) olduğu durumları M1M_1'in konumuna göre gruplandırarak hesaplama.
M1M_1 başta/sonda iken 288 durum, M1M_1 ortada iken 288 durum olmak üzere toplam 576 durum.
M1M_1'in her konumu için ona komşu olan 2 boşluk bulunur. B1B_1 bu boşluklardan birine yerleştirildikten sonra diğer 2 bilişim sunumu kalan 4 boşluğa yerleştirilir.
4
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak nihai sonucu bulma.
1440−576=8641440 - 576 = 864 farklı sıralama.
Bilişim sunumlarının yan yana gelmediği durumlardan, ek olarak B1B_1 ve M1M_1'in yan yana geldiği durumları çıkardığımızda her iki koşul da sağlanmış olur.

Anahtar Kavram

Permütasyon
Soru 83Soru →
(2x2−1x)7\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki x2x^2'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 280

Cevap

Doğru cevap 280'dir.
Açılımın genel terimi yazılıp xx'in kuvveti 2'ye eşitlendiğinde r=4r=4 bulunur. Bu değer genel terimde yerine konduğunda katsayı 280 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülü kurulur.
Tr+1=(7r)(2x2)7−r(−1x)rT_{r+1} = \binom{7}{r} (2x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r
İstenen terimin derecesini belirleyecek genel ifadeyi elde etmek için.
2
xx değişkenine ait üsler düzenlenerek birleştirilir.
Tr+1=(7r)27−r(−1)rx14−3rT_{r+1} = \binom{7}{r} 2^{7-r} (-1)^r x^{14-3r}
xx'in toplam derecesini netleştirerek denklem kurmayı kolaylaştırmak için.
3
x2x^2'li terimi bulmak için üs 2'ye eşitlenir ve rr değeri hesaplanır.
14−3r=2  ⟹  3r=12  ⟹  r=414 - 3r = 2 \implies 3r = 12 \implies r = 4
İstenen terimin açılımdaki yerini (indisini) belirlemek için.
4
r=4r = 4 değeri katsayı ifadesinde yerine yazılarak sonuç hesaplanır.
(74)27−4(−1)4=35⋅8⋅1=280\binom{7}{4} 2^{7-4} (-1)^4 = 35 \cdot 8 \cdot 1 = 280
x2x^2'li terimin katsayı değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı
Soru 84Soru →

Bir mikroçip üzerindeki iletim hatları yatay ve dikey yollardan oluşmaktadır. Elektrik akımı, sol alt köşedeki S(0,0)S(0,0) giriş kapısından başlayıp sadece sağa (pozitif xx yönünde) veya yukarı (pozitif yy yön��nde) hareket ederek sağ üst köşedeki E(5,4)E(5,4) çıkış kapısına ulaşacaktır. Mikroçipteki üretim hatasından dolayı C(2,2)C(2,2) ve D(3,3)D(3,3) koordinatlarındaki bağlantı noktalarından akım geçememektedir. Buna göre, akım giriş kapısından çıkış kapısına kaç farklı en kısa yoldan ulaşabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Doğru cevap 42'dir. Tüm yolların sayısından, geçilemeyen noktalardan geçen yolların sayısı çıkarılarak bulunur.
Doğru cevap 42'dir. S(0,0)S(0,0) noktasından başlayıp sadece sağa ve yukarı hareket ederek E(5,4)E(5,4) noktasına ulaşan tüm yolların sayısı 126126 olarak bulunur. Yasaklı olan C(2,2)C(2,2) noktasından geçen yolların sayısı 6060, D(3,3)D(3,3) noktasından geçen yolların sayısı da 6060 adettir. Hem C(2,2)C(2,2) hem de D(3,3)D(3,3) noktalarından sırasıyla geçen yolların sayısı 3636'dır. Küme birleşim formülü (içerme-dışarma ilkesi) gereği, engelli noktalardan en az birinden geçen toplam yol sayısı 60+60−36=8460 + 60 - 36 = 84 olur. Bu durumda geriye kalan geçerli yolların sayısı 126−84=42126 - 84 = 42 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
S(0,0)S(0,0) noktasından E(5,4)E(5,4) noktasına olan tüm en kısa yolların sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplayın.
(5+4)!5!×4!=9!5!×4!=126 \frac{(5+4)!}{5! \times 4!} = \frac{9!}{5! \times 4!} = 126
Herhangi bir kısıtlama olmadan gidilebilecek tüm yolların toplam sayısını belirlemek için.
2
C(2,2)C(2,2) noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplay��n.
S(0,0)→C(2,2)S(0,0) \rightarrow C(2,2) için 22 sağ, 22 yukarı ⇒4!2!×2!=6\Rightarrow \frac{4!}{2! \times 2!} = 6 yol. C(2,2)→E(5,4)C(2,2) \rightarrow E(5,4) için 33 sağ, 22 yukarı ⇒5!3!×2!=10\Rightarrow \frac{5!}{3! \times 2!} = 10 yol. Toplam: 6×10=606 \times 10 = 60 yol.
İlk arızalı noktaya uğrayan tüm geçersiz yolların sayısını belirlemek için.
3
D(3,3)D(3,3) noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplayın.
S(0,0)→D(3,3)S(0,0) \rightarrow D(3,3) için 33 sağ, 33 yukarı ⇒6!3!×3!=20\Rightarrow \frac{6!}{3! \times 3!} = 20 yol. D(3,3)→E(5,4)D(3,3) \rightarrow E(5,4) için 22 sağ, 11 yukarı ⇒3!2!×1!=3\Rightarrow \frac{3!}{2! \times 1!} = 3 yol. Toplam: 20×3=6020 \times 3 = 60 yol.
İkinci arızalı noktaya uğrayan tüm geçersiz yolların sayısını belirlemek için.
4
Hem C(2,2)C(2,2) hem de D(3,3)D(3,3) noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplayın.
S(0,0)→C(2,2)S(0,0) \rightarrow C(2,2) için 66 yol. C(2,2)→D(3,3)C(2,2) \rightarrow D(3,3) için 11 sağ, 11 yukarı ⇒2!1!×1!=2\Rightarrow \frac{2!}{1! \times 1!} = 2 yol. D(3,3)→E(5,4)D(3,3) \rightarrow E(5,4) için 33 yol. Toplam: 6×2×3=366 \times 2 \times 3 = 36 yol.
Her iki engelli noktaya da sırasıyla uğrayan ortak yolların sayısını belirlemek için. Bu yollar hem adım 2'de hem de adım 3'te iki kez sayılmıştır.
5
İçerme-Dışarma İlkesi kullanarak en az bir engelli noktadan geçen toplam yol sayısını bulun.
60+60−36=8460 + 60 - 36 = 84 yol.
Kesişim kümesindeki ortak yolların mükerrer sayılmasını engellemek amacıyla.
6
Toplam yol sayısından engelli noktalardan geçen yolların sayısını çıkararak geçerli yolların sayısını bulun.
126−84=42126 - 84 = 42 yol.
Hiçbir engelli noktaya uğramayan geçerli iletim hatlarının sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon formülü ve İçerme-Dışarma İlkesi (Kümelerde Birleşim Formülü) kullanılarak kısıtlı ızgara yollarının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Nokta toplama yöntemi (veya köşegen toplama yöntemi) kullanılarak da sonuca ulaşılabilir. S(0,0)S(0,0) noktasından başlanarak her bir kesişim noktasındaki yolların sayısı, o noktanın solundaki ve altındaki noktaların yol sayılarının toplamı olarak yazılır. Bu işlem sırasında C(2,2)C(2,2) ve D(3,3)D(3,3) noktalarının üzerindeki yol sayıları arızalı oldukları için 00 kabul edilir ve toplama işlemine bu şekilde devam edilerek E(5,4)E(5,4) noktasına ulaşıldığında 4242 değeri elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 85Soru →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonlar arasından rastgele seçilen bir fonksiyonun bire bir fonksiyon olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 518\frac{5}{18}

Cevap

Beş bölü on sekiz
Seçilen fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan durum sayısı 360360, tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı ise 12961296'dır. Bu iki değer oranlandığında olasılık beş bölü on sekiz olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın eleman sayısını (tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısını) bulun.
Tüm fonksiyonların sayısı s(B)s(A)=64=1296s(B)^{s(A)} = 6^4 = 1296 olur.
A kümesindeki her bir eleman, B kümesindeki 6 farklı elemandan herhangi biriyle eşleşebilir.
2
İstenen olayın eleman sayısını (bire bir fonksiyon sayısını) hesaplayın.
Bire bir fonksiyon sayısı P(6,4)=6×5×4×3=360P(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 olur.
Bire bir fonksiyonda A kümesinin her elemanı B kümesinden farklı bir elemana gitmelidir. Birinci eleman için 6, ikinci için 5, üçüncü için 4 ve dördüncü için 3 seçenek vardır.
3
İstenen olayın olasılığını hesaplayın ve sadeleştirin.
Olasılık 3601296=518\frac{360}{1296} = \frac{5}{18} olarak bulunur.
Olasılık, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bire bir olma olasılığı, bire bir fonksiyon sayısının tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısına oranı ile hesaplanır.
Soru 86Soru →

Bir sinema salonunda izleyicilere sunulan bilet ve menü seçenekleri aşağıdaki gibidir:
- 33 farklı film türü (Aksiyon, Komedi, Dram)
- 44 farkl�� mısır boyutu (Küçük, Orta, Büyük, Mega)
- 33 farklı içecek türü (Gazoz, Meyve Suyu, Su)

Sinema yönetimi, izleyiciler için iki farklı kampanya paketi hazırlamıştır:
- 1. Paket: 11 film bileti ve 11 mısır
- 2. Paket: 11 mısır ve 11 içecek

Bir izleyici bu iki paketten yalnızca birini satın alacaktır. Ancak yönetmelik gereği, "Mega" boy mısır alan bir izleyici içecek olarak "Su" tercih edememektedir.

Buna göre, bir izleyici kampanya paketlerinden birini kaç farklı şekilde seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Doğru yanıt 23 seçeneğidir.
Doğru yanıt olan 23 seçeneği, 1. Paket için geçerli olan 12 farklı durum ile 2. Paket için kısıtlama düştükten sonra kalan 11 farklı durumun toplama yoluyla sayılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
1. Paket için seçenek sayısını hesaplama.
12 farklı seçenek.
1. Paket bir film bileti ve bir mısır içermektedir. 33 film ve 44 mısır çeşidi olduğundan, çarpma yoluyla sayma prensibine göre 3×4=123 \times 4 = 12 farklı durum oluşur.
2
2. Paket için seçenek sayısını hesaplama ve kısıtlamayı uygulama.
11 farklı seçenek.
2. Paket bir mısır ve bir içecek içermektedir. Kısıtlama olmasaydı 44 mısır ve 33 içecek ile 4×3=124 \times 3 = 12 farklı durum oluşurdu. Ancak 'Mega' boy mısır ile 'Su' seçeneğinin birlikte alınamayacağı belirtilmiştir. Bu yasaklı 11 durum çıkarıldığında 12−1=1112 - 1 = 11 geçerli durum kalır.
3
Toplam seçenek sayısını bulma.
23 farklı seçenek.
İzleyici bu iki paketten yalnızca birini seçeceği için (seçimler birbiriyle ayrık durumlardır), toplama yoluyla sayma prensibine göre iki paketin seçenek sayıları toplanır: 12+11=2312 + 11 = 23.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Soru 87Soru →

Analitik düzlemde, köşeleri A(0,3)A(0, 3), B(0,0)B(0, 0) ve C(4,0)C(4, 0) noktaları olan ABCABC üçgensel bölgesinin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve koordinatları tam sayı olan noktalardan rastgele iki farklı nokta seçiliyor.

Buna göre, seçilen bu iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 22 birim olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2955\frac{29}{55}

Cevap

Seçilen iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olma olasılığı 29/55'tir.
Üçgensel bölgedeki 11 tam sayı koordinatlı noktadan seçilen 55 farklı ikiliden, aralarındaki mesafe 1, karekök 2 veya 2 birim olan 29 çift bulunmaktadır. Bu nedenle aranan olasılık 29/55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgensel bölgedeki tam sayı koordinatlı noktaların belirlenmesi
x≥0x \ge 0, y≥0y \ge 0 ve 3x+4y≤123x + 4y \le 12 koşullarını sağlayan tam sayı ikilileri belirlenir: (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0),(4,0)(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0), (4,0) olmak üzere toplam 11 nokta vardır.
Olasılık hesabının yapılacağı örnek uzayı oluşturacak elemanların doğru tespit edilmesi gerekir.
2
Toplam olası durum sayısının hesaplanması
11 noktadan rastgele 2 farklı noktanın seçilme sayısı kombinasyon ile bulunur: s(E)=(112)=11×102=55s(E) = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55.
Seçim işleminde sıranın önemi olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.
3
İstenen durumların (uzaklığı en fazla 2 birim olan noktaların) sayılması
İki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olması için aralarındaki yatay mesafe dxdx ve dikey mesafe dydy olmak üzere dx2+dy2≤4dx^2 + dy^2 \le 4 olmalıdır. Bu durumları mesafelerine göre sınıflandırabiliriz:
- Uzaklığı 1 birim olanlar (yatay veya dikey komşu): 7 yatay + 6 dikey = 13 çift.
- Uzaklığı 2\sqrt{2} birim olanlar (çapraz komşu): 9 çift.
- Uzaklığı 2 birim olanlar (yatay veya dikeyde 2 birim uzaklıkta): 4 yatay + 3 dikey = 7 çift.
Toplam elverişli durum sayısı: 13+9+7=2913 + 9 + 7 = 29 çift.
Koşulu sağlayan durumların sayısı gruplandırılarak eksiksiz ve hatasız biçimde sayılır.
4
Olasılık değerinin bulunması
Olasılık = I˙stenen Durum SayısıTu¨m Durumların Sayısı=2955\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{29}{55}.
Olasılık tanımı gereği elverişli durumların sayısı tüm durumların sayısına bölünür.

Anahtar Kavram

Örnek uzay elemanlarının kombinasyon ile bulunması ve basit olayların olasılığı formülünün uygulanması.
Soru 88Soru →

Özdeş 3 mavi ve özdeş 3 kırmızı oyuncak, 3 çocuk arasında paylaştırılacaktır.

Buna göre, her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla bu paylaştırma işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla paylaştırma işlemi 55 farklı şekilde yapılabilir.
Tüm durumlar mavi oyuncakların çocuklara dağılımındaki sayı gruplarına göre analiz edilmiştir. Mavi oyuncaklar çocuklara (1,1,1), (2,1,0) veya (3,0,0) grupları şeklinde dağıtılabilir. Her bir grupta boşta kalan çocuklara kırmızı oyuncaklardan en az birer tane verilmesi garanti edilerek yapılan hesaplamaların toplamı 55 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Mavi oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon (ayraç yöntemi) ile bulma
10 farklı durum
3 özdeş mavi oyuncak ve çocukları ayırmak için kullanılan 2 özdeş ayraç toplam 5 eleman oluşturur. Bu elemanların dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
2
Kırmızı oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon ile bulma
10 farklı durum
Mavi oyuncaklarla aynı mantıkla, 3 özdeş kırmızı oyuncak ve 2 özdeş ayraç için dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
3
Hiçbir çocuğun oyuncaksız kalmaması koşulunu mavi oyuncakların dağılım durumlarına göre inceleme
3 farklı senaryonun toplamı: 10 + 36 + 9 = 55 durum
Mavi oyuncakların dağılımı (1, 1, 1), (2, 1, 0) veya (3, 0, 0) şeklinde olabilir. (1, 1, 1) dağılımında (1 yolla gerçekleşir) her çocukta zaten oyuncak olduğundan kırmızı oyuncaklar kısıtlamasız dağıtılır (1×10=101 \times 10 = 10 durum). (2, 1, 0) dağılımında (6 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 1 çocuğa garanti 1 kırmızı oyuncak verilir, kalan 2 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (6×(2+3−13−1)=366 \times \binom{2+3-1}{3-1} = 36 durum). (3, 0, 0) dağılımında (3 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 2 çocuğa garanti 1'er kırmızı oyuncak verilir, kalan 1 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (3×(1+3−13−1)=93 \times \binom{1+3-1}{3-1} = 9 durum).
4
Tüm senaryolardan elde edilen durum sayılarını toplama
55
Ayrık durumların toplamı bize genel kural gereği istenen tüm durumları verir.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin dağıtımında ayraç yöntemi kullanılarak tekrarlı permütasyon formülünün uygulanması ve koşullu durumların incelenmesi.
Soru 89Soru →

Bir şirketin yeni tasarladığı amblem, yan yana dizilmiş 5 kareden oluşmaktadır. Bu amblem; mavi, yeşil, sarı ve kırmızı renklerinden biriyle, aşağıdaki kurallara göre boyanacaktır:

* Her bir kare yalnızca bir renge boyanacaktır.
* Yan yana olan (ardışık) herhangi iki kare farklı renkte olacaktır.
* Amblemin en solundaki kare ile en sağındaki kare aynı renkte olacaktır.

Buna göre, bu amblem kaç farklı şekilde boyanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

Amblem toplam 84 farklı şekilde boyanabilir.
Amblem boyama işlemi iki ayrı duruma ayrılarak incelenir. İlk durumda ikinci ve dördüncü karelerin aynı renkte olduğu varsayılır ve çarpım kuralıyla 36 durum bulunur. İkinci durumda ise bu iki karenin farklı renklerde olduğu varsayılarak 48 durum elde edilir. Bu iki durum bağımsız ve ayrık olduğundan, toplama yoluyla sayma kuralı uygulanarak toplamda 84 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Karelerin adlandırılması ve durumların belirlenmesi
Kareler soldan sağa 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 olarak adlandırılır. 1.1. ve 5.5. karelerin renkleri aynı olmalıdır (c1=c5c_1 = c_5). Hesaplama, 2.2. ve 4.4. karelerin aynı renkte veya farklı renklerde olması durumlarına göre ikiye ayrılır.
Birbiriyle komşu olan karelerin renk seçimlerinin bağımlılığını yönetmek için durum analizi yapılmalıdır.
2
2.2. ve 4.4. karelerin aynı renkte olduğu durumun hesaplanması
4×3×1×3=364 \times 3 \times 1 \times 3 = 36 farklı durum.
1.1. kare için 44 renk, 2.2. kare için 33 renk seçilebilir. 4.4. kare 2.2. kare ile aynı olacağından 11 seçeneği vardır. 3.3. kare ise 2.2. kareden farklı olmalıdır (33 seçenek).
3
2.2. ve 4.4. karelerin farklı renklerde olduğu durumun hesaplanması
4×3×2×2=484 \times 3 \times 2 \times 2 = 48 farklı durum.
1.1. kare için 44, 2.2. kare için 33 renk seçilebilir. 4.4. kare hem 5.5. (yani 1.1.) kareden hem de 2.2. kareden farklı olacağından 22 seçeneğe sahiptir. 3.3. kare ise hem 2.2. hem de 4.4. kareden farklı olacağından 22 seçeneğe sahiptir.
4
Durumların toplanması
36+48=8436 + 48 = 84 farklı boyama.
İki durum birbirini dışlayan ayrık olaylar olduğundan, toplama yoluyla sayma ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri
Soru 90Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı tüm bire bir ve örten f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonları arasından rastgele bir ff fonksiyonu seçiliyor.

Seçilen bu fonksiyonun, her x∈Ax \in A için
(f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x
koşulunu sağlama olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} kesri ile ifade ediliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73

Cevap

En sade haldeki olasılık değerinin pay ve paydasının toplamı olan 73 sayısıdır.
Bire bir ve örten bir fonksiyonun kendi tersine eşit olması için elemanlarının ya kendilerine gitmesi ya da ikişerli yer değiştirmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan durumların sayısı 1+(52)+(51)⋅(42)2!=261 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 26 adettir. Tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı 5!=1205! = 120 olduğundan olasılık 26120=1360\frac{26}{120} = \frac{13}{60} olarak elde edilir. En sade biçimdeki pay ve paydanın toplamı ise 13+60=7313 + 60 = 73 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın eleman sayısını hesaplama
s(E)=120s(E) = 120
AA kümesinden AA kümesine tanımlanabilecek tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı 5!5! ile hesaplanır.
2
İstenen durumları sağlayan fonksiyon sayısını belirleme
26 farklı fonksiyon
(f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x koşulu, fonksiyonun kendi tersine eşit olması anlamına gelir. Bu durum elemanların ya kendileriyle eşleşmesini ya da ikili gruplar halinde karşılıklı eşleşmesini gerektirir. 5 elemanlı bir kümede bu durumların sayısı 1+(52)+(51)⋅(42)2!=1+10+15=261 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 1 + 10 + 15 = 26 olarak bulunur.
3
Olasılığı hesaplama ve sadeleştirme
Olasılık = 1360\frac{13}{60}
İstenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranı 26120=1360\frac{26}{120} = \frac{13}{60} olarak elde edilir.
4
Pay ve payda toplamını bulma
73
a=13a = 13 ve b=60b = 60 değerleri toplanarak istenen sonuç olan 13+60=7313 + 60 = 73 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bire bir ve örten fonksiyonların döngü yapıları kullanılarak permütasyon ve kombinasyon yardımıyla basit olayların olasılığının hesaplanması.
Soru 91Soru →

Ayrıt uzunlukları 2 birim olan bir küp, yüzeylerine paralel düzlemlerle kesilerek 8 adet birim küpe ayrılıyor. Elde edilen bu birim küplerden rastgele seçilen iki farklı birim küpün ortak bir yüze sahip olması olasılığı en sade haliyle ab\frac{a}{b} olduğuna göre, a+ba+b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Seçilen iki birim küpün ortak bir yüze sahip olma olasılığı en sade haliyle 3/7 olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+b değeri 10'dur.
Toplam 8 birim küpten seçilebilecek tüm ikililerin sayısı 28'dir. Ortak bir yüze sahip olan küp ikililerinin sayısı ise her bir ayrıt doğrultusunda 4'er tane olmak üzere toplam 12'dir. Olasılık 12/28 = 3/7 olup en sade haliyle pay ve payda toplamı 10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam küp sayısını ve bu küplerden rastgele seçilebilecek 2 farklı küpten oluşan ikililerin toplam sayısını bulun.
8 birim küpten 2 farklı küp seçmenin toplam sayısı (82)=28\binom{8}{2} = 28'dir.
Bu sayı, olasılık hesabındaki örnek uzayımızın eleman sayısıdır.
2
Seçilen iki birim küpün ortak bir yüze sahip (yan yana bitişik) olduğu durumların sayısını bulun.
Küpün üç doğrultusunun (x, y ve z eksenleri) her birinde 4'er adet bitişik çift olmak üzere toplam 4+4+4=124 + 4 + 4 = 12 durum vardır.
Ortak bir yüze sahip olmak için iki birim küpün aralarında bir yüz paylaşacak şekilde bitişik konumda olması gerekir.
3
İstenen olayın olasılığını hesaplayın ve en sade kesir biçiminde yazın.
P(A)=1228=37P(A) = \frac{12}{28} = \frac{3}{7} elde edilir.
Olasılık, istenen durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölünmesiyle bulunur.
4
Kesrin payı (aa) ve paydasını (bb) belirleyip bunları toplayın.
a=3a = 3, b=7b = 7 ve buradan a+b=10a + b = 10 olur.
Olasılık ab\frac{a}{b} formunda en sade biçimde ifade edildiği için pay ve payda doğrudan toplanır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Kombinasyon ile Sayma
Soru 92Soru →

Bir kütüphaneci; 3 özdeş Matematik, 3 özdeş Fizik ve 2 özdeş Kimya kitabını bir rafa yan yana dizecektir. Bu dizilimde Fizik kitaplarının herhangi ikisinin yan yana gelmediği ve Kimya kitaplarının da yan yana gelmediği bilindiğine göre, bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Kitapların istenen koşullara uygun olarak dizilebileceği farklı durumların sayısı 160'tır.
Fizik kitaplarının herhangi ikisinin yan yana gelmediği tüm durumlar (200 adet), Matematik ve Kimya kitaplarının dizilip aralarındaki boşluklara Fizik kitaplarının yerleştirilmesiyle bulunur. Bu durumlardan, Kimya kitaplarının yan yana geldiği durumlar (40 adet) çıkarıldığında hem Fizik hem de Kimya kitaplarının yan yana gelmediği 160 farklı durum elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fizik kitaplarının yan yana gelmeme durumunu incelemek için öncelikle Matematik ve Kimya kitaplarının yerleşimini hesaplayın.
Toplam 5 kitap (3 Matematik, 2 Kimya) vardır. Bu kitaplar ��zdeş olduğundan kendi aralarındaki tekrarlı permütasyon sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
Fizik kitaplarının yan yana gelmemesi için diğer kitapların oluşturduğu boşluklara yerleştirilmesi gerekir.
2
Matematik ve Kimya kitaplarının oluşturduğu boşluklara Fizik kitaplarını yerleştirerek Fizik kitaplarının yan yana gelmediği tüm durumları bulun.
5 kitabın oluşturduğu 6 boşluğa 3 özdeş Fizik kitabı (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu durumda toplam dizilim sayısı 10×20=20010 \times 20 = 200 olur.
Her boşluğa en fazla bir Fizik kitabı yerleştirildiğinde hiçbir Fizik kitabı yan yana gelmemiş olur.
3
Kimya kitaplarının yan yana geldiği (istenmeyen) durumların sayısını hesaplamak için Kimya kitaplarını bir blok olarak kabul edin.
İki özdeş Kimya kitabı yan yana olacağından tek bir blok [KK][KK] olarak düşünülür. Bu durumda elimizde 3 özdeş Matematik kitabı ve 1 adet [KK][KK] bloğu olmak üzere 4 nesne vardır. Bu nesnelerin kendi arasındaki tekrarlı permütasyon sayısı 4!3!⋅1!=4\frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 olur.
Birlikte olması gereken nesneler tek bir eleman gibi düşünülerek yerleştirilir.
4
Bu 4 nesnenin oluşturduğu boşluklara Fizik kitaplarını yerleştirerek Kimya kitaplarının yan yana, Fizik kitaplarının ise ayrı olduğu durumları bulun.
4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluğa 3 özdeş Fizik kitabı (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu durumların sayısı 4×10=404 \times 10 = 40 olur.
Fizik kitaplarının yine yan yana gelmemesini sağlarken Kimya kitaplarının yan yana olduğu durumları belirlemek gerekir.
5
Fizik kitaplarının yan yana gelmediği tüm durumlardan, Kimya kitaplarının yan yana olduğu durumları çıkararak nihai sonucu bulun.
200−40=160200 - 40 = 160 farklı dizilim elde edilir.
Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasıyla hedeflenen koşula ulaşılır.

Anahtar Kavram

Koşullu tekrarlı permütasyon problemlerinde istenen durumların sayısını bulmak için tüm durumlardan istenmeyen durumların (bloklama yöntemiyle) çıkarılması ve boşluklara yerleştirme yöntemlerinin birlikte kullanılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 93Soru →

Bir hastanede çalışan uzman doktorların uzmanlık alanları (Dahiliye veya Cerrahi) ve yabancı dil bilgileri (İngilizce bilen veya bilmeyen) ile ilgili dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

İngilizce Bilenİngilizce Bilmeyen
Dahiliye Uzmanı2x2xx+4x + 4
Cerrahi Uzmanıxx2x−22x - 2

Bu hastaneden rastgele seçilen bir doktorun Dahiliye uzmanı olduğu bilindiğine göre, bu doktorun İngilizce bilen biri olma olasılığı 35\frac{3}{5}'tir.

Buna göre, bu hastaneden rastgele seçilen bir doktorun İngilizce bilmediği bilindiğine göre, Cerrahi uzmanı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1119\frac{11}{19}

Cevap

İngilizce bilmediği bilinen bir doktorun Cerrahi uzmanı olma olasılığı 11/19'dur.
Seçilen doktorun İngilizce bilmediği bilindiği için örnek uzay sadece İngilizce bilmeyen doktorlarla sınırlandırılır. Tabloda x = 12 değeri yerine konduğunda İngilizce bilmeyen toplam doktor sayısı 38'dir. Bu doktorlar arasından Cerrahi uzmanı olanların sayısı 22 olduğundan, aranan olasılık 22/38 yani sadeleştirilmiş haliyle 11/19 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dahiliye uzmanı olduğu bilinen bir doktorun İngilizce bilme olasılığını veren denklemi kurmak.
Dahiliye uzmanı olan toplam doktor sayısı 2x+(x+4)=3x+42x + (x + 4) = 3x + 4 kişidir. Bu doktorlar arasından İngilizce bilenlerin sayısı 2x2x olduğundan, koşullu olasılık değeri 2x3x+4\frac{2x}{3x+4} olur.
Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşulu sağlayan alt kümeye (Dahiliye uzmanları) indirgenir.
2
Verilen olasılık değerini kullanarak x bilinmeyenini çözmek.
2x3x+4=35  ⟹  10x=9x+12  ⟹  x=12\frac{2x}{3x+4} = \frac{3}{5} \implies 10x = 9x + 12 \implies x = 12 bulunur.
Tablodaki tüm doktor gruplarının sayısal değerlerini bulmak için denklem çözülmelidir.
3
Bulunan x = 12 değerini tabloda yerine yazarak doktor sayılarını belirlemek.
İngilizce bilen Dahiliye uzmanı: 2(12)=242(12) = 24
İngilizce bilmeyen Dahiliye uzmanı: 12+4=1612 + 4 = 16
İngilizce bilen Cerrahi uzmanı: 1212
İngilizce bilmeyen Cerrahi uzmanı: 2(12)−2=222(12) - 2 = 22
Toplam doktor sayısı: 24+16+12+22=7424 + 16 + 12 + 22 = 74 kişi.
İkinci koşullu olasılık durumu için gerekli olan grupların eleman sayılarını bulmak.
4
İngilizce bilmediği bilinen bir doktorun Cerrahi uzmanı olma olasılığını hesaplamak.
İngilizce bilmeyen toplam doktor sayısı 16+22=3816 + 22 = 38 kişidir. Bu grup içerisindeki Cerrahi uzmanlarının sayısı 2222 kişidir. İstenen olasılık:
P(Cerrahi∣I˙ngilizce Bilmeyen)=2238=1119P(\text{Cerrahi} \mid \text{İngilizce Bilmeyen}) = \frac{22}{38} = \frac{11}{19} olarak elde edilir.
Seçilen doktorun İngilizce bilmediği bilindiği için yeni örnek uzayımız İngilizce bilmeyen doktorlar kümesidir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 94Soru →

Bir restoranda akşam yemeği menüsünde 3 farklı çorba, 4 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı alternatifi bulunmaktadır.

Sağlıklı beslenmek isteyen Aylin, bu menüden bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlı seçecektir. Ancak Aylin'in yapacağı seçimlerle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
* Çorbaların 1'i sebze çorbası, diğer ikisi ise mercimek ve tarhana çorbalarıdır.
* Ana yemeklerin 2'si et yemeği, diğer ikisi ise sebze yemeğidir.
* Tatlıların 1'i meyve tatlısı, diğer ikisi ise şerbetli tatlılardır.
* Seçilen ana yemek et yemeği ise çorba olarak sadece sebze çorbası tercih edilmelidir.
* Seçilen ana yemek sebze yemeği ise tatlı olarak sadece meyve tatlısı tercih edilmelidir.

Buna göre, Aylin bu koşullara uygun kaç farklı akşam yemeği menüsü oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Aylin bu koşullara uygun 12 farkl�� akşam yemeği menüsü oluşturabilir.
Doğru cevap 12'dir. Aylin'in seçeceği ana yemeğin türüne göre iki ayrı durum incelenir. İlk durumda, ana yemeğin et yemeği olması durumunda çorba seçeneği sadece 1 (sebze çorbası) olup tatlı seçeneği serbesttir (3 tatlı). Buradan 1×2×3=61 \times 2 \times 3 = 6 farklı menü elde edilir. İkinci durumda, ana yemeğin sebze yemeği olması durumunda tatlı seçeneği sadece 1 (meyve tatlısı) olup çorba seçeneği serbesttir (3 çorba). Buradan da 3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6 farklı menü elde edilir. Bu iki durum toplandığında toplamda 6+6=126 + 6 = 12 farklı menü oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ana yemeğin et yemeği seçildiği durumları belirlemek.
Et yemeği seçildiğinde çorba olarak yalnızca sebze çorbası (1 seçenek) tercih edilebilir. Tatlı seçimi için bir kısıtlama olmadığından 3 farklı tatlı seçilebilir. Bu durumda 1×2×3=61 \times 2 \times 3 = 6 farklı menü oluşturulur.
Kısıtlamaları ana yemek türüne göre ayırarak çarpma yoluyla sayma prensibini uygulamak.
2
Ana yemeğin sebze yemeği seçildiği durumları belirlemek.
Sebze yemeği seçildiğinde tatlı olarak yalnızca meyve tatlısı (1 seçenek) tercih edilebilir. Çorba seçimi için bir kısıtlama olmadığından 3 farklı çorba seçilebilir. Bu durumda 3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6 farklı menü oluşturulur.
İkinci ana yemek türü için de geçerli olan kısıtlamaları belirleyip çarpma yoluyla sayma prensibini uygulamak.
3
Bulunan durumları toplamak.
Toplam farklı menü sayısı 6+6=126 + 6 = 12 olarak bulunur.
İki durum birbirini dışlayan ayrık olaylar olduğu için toplama yoluyla sayma prensibi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 95Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen sayma problemlerini, sağ sütunda verilen matematiksel sayma ifadeleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Bir kütüphanede yan yana duran iki raftan birincisinde 44 farklı bilimkurgu romanı, ikincisinde ise 55 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bu raflardan sadece bir adet kitap seçmek isteyen bir öğrencinin yapabileceği farklı seçimlerin sayısı
Bir poligonda atış yapacak olan bir sporcunun önünde 44 farklı kısa namlulu ve 55 farklı uzun namlulu tüfek bulunmaktadır. Sporcu, bir adet kısa namlulu ve bir adet uzun namlulu tüfek seçerek birer atış yapacaktır. Bu tüfeklerin seçimlerinin sayısı
Bir öğretmen; 44 kız ve 55 erkek öğrenciden oluşan bir gruptan ya sadece 11 öğrenci seçecektir ya da biri kız diğeri erkek olmak üzere 22 kişilik bir çalışma ekibi kuracaktır. Bu seçimin yapılabilece��i farklı durumların sayısı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci raftan veya ikinci raftan sadece bir kitap seçme durumu 4+54 + 5 ifadesiyle, bir kısa ve bir uzun namlulu tüfek seçme durumu 4×54 \times 5 ifadesiyle, 1 öğrenci veya biri kız diğeri erkek 2 öğrenci seçme durumu ise 4+5+(4×5)4 + 5 + (4 \times 5) ifadesiyle eşleşir.
Soruda verilen durumlar incelendiğinde; birinci durum ayrık iki kümeden tek bir seçim yapılmasını gerektirdiğinden toplama ilkesine karşılık gelir. İkinci durum iki farklı gruptan birer elemanın birlikte seçilmesini gerektirdiğinden çarpma ilkesine karşılık gelir. Üçüncü durum ise bu iki durumun alternatifli olarak bir arada bulunmasından dolayı hem toplama hem de çarpma ilkelerinin birleşimine karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci durumdaki tekli kitap seçimini analiz etme
4+54 + 5
İki ayrı raftan yalnızca bir kitap seçilecektir. Ayrık olayların gerçekleşme sayısını bulmak için toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.
2
İkinci durumdaki ardışık tüfek seçimini analiz etme
4×54 \times 5
Bir kısa ve bir uzun tüfeğin birlikte seçilmesi gerektiğinden, ardışık bağımlı olayların sayısını bulmak için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.
3
Üçüncü durumdaki alternatifli öğrenci grubu seçimini analiz etme
4+5+(4×5)4 + 5 + (4 \times 5)
Seçim ya tek kişi (4+54 + 5 durum) ya da iki kişi (4×54 \times 5 durum) şeklinde yapılabilir. Bu iki farklı alternatif durumun toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Prensipleri
Soru 96Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan telefonların %60\%60'ı A markası, geri kalanı ise B markasıdır. Bu mağazadan satın alınan telefonların garanti süresi içinde arızalanma durumları incelenmiş ve şu sonuçlar elde edilmiştir:

* A markası telefonların arızalanma olasılığı, B markası telefonların arızalanma olasılığının 2 katıdır.
* Mağazadan rastgele seçilen bir telefonun garanti süresi içinde arızalanmadığı bilindiğine göre, bu telefonun A markası olma olasılığı %50\%50'dir.

Buna göre, B markası bir telefonun garanti süresi içinde arızalanma olasılığı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

B markası bir telefonun garanti süresi içinde arızalanma olasılığı %25'tir.
B markasının arızalanma olasılığı pp seçildiğinde, A markasının arızalanma olasılığı 2p2p olur. Arızasız telefonların toplam olasılığı 1−1,6p1 - 1,6p ve arızasız A marka telefon olasılığı 0,60(1−2p)0,60(1-2p) olarak bulunur. Koşullu olasılık formülünden 0,60(1−2p)1−1,6p=12\frac{0,60(1-2p)}{1-1,6p} = \frac{1}{2} denklemi çözüldüğünde p=0,25p = 0,25 yani %25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B marka telefonların oranlarını ve arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden yazın.
A marka oranı: P(A)=0,60P(A) = 0,60, B marka oranı: P(B)=0,40P(B) = 0,40. B markasının ar��zalanma olasılığı P(Arızalı∣B)=pP(\text{Arızalı} | B) = p ise A markasının arızalanma olasılığı P(Arızalı∣A)=2pP(\text{Arızalı} | A) = 2p olur.
Problemi cebirsel olarak ifade edebilmek için.
2
Telefonların arızalanmama olasılıklarını belirleyin.
P(Arızasız∣B)=1−pP(\text{Arızasız} | B) = 1 - p ve P(Arızasız∣A)=1−2pP(\text{Arızasız} | A) = 1 - 2p olur.
Koşul arızalanmama durumu üzerinden verildiği için.
3
Rastgele seçilen bir telefonun arızasız olma toplam olasılığını (P(Arızasız)P(\text{Arızasız})) hesaplayın.
P(Arızasız)=P(A)⋅P(Arızasız∣A)+P(B)⋅P(Arızasız∣B)=0,60(1−2p)+0,40(1−p)=1−1,6pP(\text{Arızasız}) = P(A) \cdot P(\text{Arızasız} | A) + P(B) \cdot P(\text{Arızasız} | B) = 0,60(1 - 2p) + 0,40(1 - p) = 1 - 1,6p olur.
Koşullu olasılığın paydasını oluşturmak için.
4
Arızasız olduğu bilinen telefonun A markası olma koşullu olasılığını yazıp verilen değere eşitleyin.
P(A∣Arızasız)=P(A∩Arızasız)P(Arızasız)=0,60(1−2p)1−1,6p=0,50⇒0,60(1−2p)=0,50(1−1,6p)⇒0,6−1,2p=0,5−0,8p⇒0,1=0,4p⇒p=0,25P(A | \text{Arızasız}) = \frac{P(A \cap \text{Arızasız})}{P(\text{Arızasız})} = \frac{0,60(1-2p)}{1 - 1,6p} = 0,50 \Rightarrow 0,60(1-2p) = 0,50(1-1,6p) \Rightarrow 0,6 - 1,2p = 0,5 - 0,8p \Rightarrow 0,1 = 0,4p \Rightarrow p = 0,25 yani %25\%25 bulunur.
B markasının arızalanma olasılığı olan pp'yi bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi uygulamaları
Soru 97Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} kümesinden rastgele iki farklı sayı seçiliyor. Seçilen bu sayılardan biri taban, di��eri üs olacak şekilde bir üslü sayı oluşturuluyor. Buna göre, oluşturulan bu üslü sayının bir tam kare sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2945\dfrac{29}{45}

Cevap

Oluşturulan üslü sayının bir tam kare sayı olma olasılığı 29/45'tir.
Üslü sayının tam kare olması için üssün çift olması veya tabanın bir tam kare sayı olması gerekir. Olası tüm 90 durumdan 58 tanesi bu şartı sağladığı için doğru olasılık değeri 29/45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek
Tüm durumlar��n sayısı 90'dır.
10 elemanlı kümeden 2 farklı sayı seçilip biri taban diğeri üs yapılacaktır. Bu durum, kümeden sırayla 2 farklı sayı seçmeye eş değerdir. Tüm durumlar P(10, 2) = 10 x 9 = 90 olarak bulunur.
2
İstenen durumları (elde edilen sayının tam kare olması) iki ayrı grupta incelemek
İstenen durumların toplam sayısı 45 + 13 = 58'dir.
1. grupta üssün çift olması durumları incelenir: Üs çift sayılardan (2, 4, 6, 8, 10) biri olduğunda taban kalan 9 sayıdan biri olabilir. Buradan 5 x 9 = 45 durum gelir. 2. grupta üssün tek olması durumları incelenir: Üs tek iken taban tam kare (1, 4, 9) olmalıdır. Taban 1 ise üs 1 dışındaki 4 tek sayı olabilir; taban 4 ise üs 5 tek sayı olabilir; taban 9 ise üs 9 dışındaki 4 tek sayı olabilir. Buradan 4 + 5 + 4 = 13 durum gelir.
3
Olasılık değerini hesaplamak
Olasılık 29/45 olarak elde edilir.
Olasılık = İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumların Sayısı formülünden 58/90 = 29/45 bulunur.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 98Soru →

Bir üniversite öğrencisi, haftalık ders programını oluşturmak amacıyla birer ders seçmek üzere Pazartesi ve Çarşamba günlerinde açılan seçmeli ders listelerini incelemektedir.

- Pazartesi günü için: 33 farklı fen bilimleri ve 22 farklı sosyal bilimler dersi,
- Çarşamba günü için: 22 farklı fen bilimleri ve 44 farklı sosyal bilimler dersi

açılmıştır. Bu öğrenci, biri Pazartesi diğeri Çarşamba günü olmak üzere toplam 22 ders seçecektir. Seçtiği bu iki dersin farklı alanlardan (biri fen bilimleri, diğeri sosyal bilimler) olmasını istemektedir.

Buna göre, bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1616

Cevap

16
Öğrencinin biri Pazartesi diğeri Çarşamba günü olmak üzere seçeceği iki dersin farklı alanlardan olması için iki ayrık durum vardır: Pazartesi günü fen bilimleri ve Çarşamba günü sosyal bilimler seçilmesi (3×4=123 \times 4 = 12 durum) ya da Pazartesi günü sosyal bilimler ve Çarşamba günü fen bilimleri seçilmesi (2×2=42 \times 2 = 4 durum). Bu ayrık durumlar toplandığında toplam 12+4=1612 + 4 = 16 farklı seçim yapılabileceği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Pazartesi gününden fen bilimleri, Çarşamba gününden sosyal bilimler dersi seçilme durumunu hesaplamak
3×4=123 \times 4 = 12 farklı durum
Pazartesi günü için 33 farklı fen bilimleri dersi ve Çarşamba günü için 44 farklı sosyal bilimler dersi olduğundan, çarpma kuralı gereği bu iki seçimin birlikte yapılma sayısı çarpılarak bulunur.
2
Pazartesi gününden sosyal bilimler, Çarşamba gününden fen bilimleri dersi seçilme durumunu hesaplamak
2×2=42 \times 2 = 4 farklı durum
Pazartesi günü için 22 farklı sosyal bilimler dersi ve Çarşamba günü için 22 farklı fen bilimleri dersi olduğundan, çarpma kuralı gereği bu iki seçimin birlikte yapılma sayısı çarpılarak bulunur.
3
Elde edilen bu iki ayrık durumun toplamını bulmak
12+4=1612 + 4 = 16 farklı durum
Seçimler farklı gün ve alan koşulunu sağlayan ayrık durumlar oluşturduğundan, toplama kuralı uygulanarak toplam seçim sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Çarpma ve Toplama Yoluyla Sayma kurallarının koşullu durumlarda birlikte uygulanması
Soru 99Soru →

Bir torbada 44 kırmızı ve 66 beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen bu top torbaya geri konulmayıp, yerine diğer renkten 22 top torbaya ekleniyor. Daha sonra torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı 0,75'tir.
İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğinden, örnek uzay sadece ikinci topun kırmızı geldiği durumlara kısıtlanır. İlk topun beyaz ve ikinci topun kırmızı gelme olasılığının (36/110), ikinci topun kırmızı gelme toplam olasılığına (48/110) oranı bize koşullu olasılığı 3/4 = 0,75 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk çekimde kırmızı top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.
İlk çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K1)=410P(K_1) = \frac{4}{10}'dur. Kırmızı top geri atılmayıp yerine 22 beyaz top konulduğunda torbada 33 kırmızı, 88 beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K2∣K1)=311P(K_2|K_1) = \frac{3}{11} olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı P(K1∩K2)=410×311=12110P(K_1 \cap K_2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{110}'dur.
Bayes teoreminde kullanılacak olan ilk durumun kesişim olasılığını bulmak.
2
İlk çekimde beyaz top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.
İlk çekimde beyaz gelme olasılığı P(B1)=610P(B_1) = \frac{6}{10}'dur. Beyaz top geri atılmayıp yerine 22 kırmızı top konulduğunda torbada 66 kırmızı, 55 beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K2∣B1)=611P(K_2|B_1) = \frac{6}{11} olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı P(B1∩K2)=610×611=36110P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{10} \times \frac{6}{11} = \frac{36}{110}'dur.
Bayes teoreminde kullanılacak olan ikinci durumun kesişim olasılığını bulmak.
3
İkinci çekilen topun kırmızı olma toplam olasılığını hesaplama.
P(K2)=P(K1∩K2)+P(B1∩K2)=12110+36110=48110P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{12}{110} + \frac{36}{110} = \frac{48}{110}'dur.
Koşullu olasılık formülünün paydasını (kısıtlanmış örnek uzayın olasılığını) bulmak.
4
İkinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk topun beyaz olma olasılığını hesaplama.
P(B1∣K2)=P(B1∩K2)P(K2)=36/11048/110=3648=34=0,75P(B_1|K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{36/110}{48/110} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0,75'tir.
Koşullu olasılık tanımını uygulayarak istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi
Soru 100Soru →

Bir yazılımcı, geliştirdiği bir güvenlik sistemi için 1,1,1,2,2,3,31, 1, 1, 2, 2, 3, 3 rakamlarının tamamını kullanarak 7 haneli bir şifre oluşturacaktır. Sistem güvenliği açısından şifrede bulunan aynı rakamların hiçbirinin yan yana gelmemesi gerekmektedir. Buna göre, bu yazılımcı belirtilen koşula uygun kaç farklı şifre oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Koşullara uygun oluşturulabilecek farklı şifre sayısı 38'dir.
Şifredeki hiçbir aynı rakamın yan yana gelmemesi koşulu için önce 11 rakamları dışındaki 2,2,3,32, 2, 3, 3 rakamları sıralanıp, oluşan boşluklara 11 rakamları yerleştirilerek 11'lerin yan yana gelmediği tüm durumlar (60 durum) bulunur. Daha sonra bu durumlar arasından yan yana gelen 22'ler ve 33'ler içerme-dışarma prensibiyle elenerek doğru sonuç olan 38'e ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
11 dışındaki 2,2,3,32, 2, 3, 3 rakamlarının tekrarlı permütasyon sayısını hesaplama
6 farklı sıralama elde edilir.
Önce 11 dışındaki elemanları yerleştirerek boşluklar elde etmek.
2
11 rakamlarının yan yana gelmeyeceği şekilde boşluklara yerleştirilme sayısını hesaplama
Toplam 6×(53)=606 \times \binom{5}{3} = 60 durum elde edilir.
Hiçbir 11 rakamının yan yana gelmediği şifre sayısını belirlemek.
3
Aynı olan diğer rakamların (22 veya 33) yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama
İki 22'nin yan yana geldiği durum sayısı 1212, iki 33'ün yan yana geldiği durum sayısı da 1212'dir.
İçerme-dışarma prensibini uygulamak üzere tekli istenmeyen durum kümelerini bulmak.
4
Hem iki 22'nin hem de iki 33'ün aynı anda yan yana geldiği durum sayısını hesaplama
2 durum elde edilir.
İçerme-dışarma prensibindeki kesişim kümesini bulmak.
5
İstenmeyen durumların toplam sayısını bulup tüm durumlardan çıkarma
60−(12+12−2)=3860 - (12 + 12 - 2) = 38 olarak bulunur.
Koşulları tam olarak sağlayan şifre sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde boşluk (gap) yöntemi ve içerme-dışarma prensibinin entegrasyonu.
ÖncekiSayfa 5 / 8Sonraki
Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin