Examkin

Sayma ve Olasılık

160 soru

Tüm türler160Çoktan seçmeli92Sayısal64Eşleştirme4
Soru 41Soru →

Bir tiyatro oyununun sahne duruşu provasında, boyları birbirinden farklı 33 kız ve 44 erkek oyuncu yan yana sıralanacaktır. Bu sıralama ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Kız oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru kısadan uzuna do��ru sıralanacaktır.
- Erkek oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru uzundan kısaya doğru sıralanacaktır.
- En kısa kız oyuncu ile en uzun erkek oyuncu yan yana duracaktır.

Buna göre, bu 77 oyuncu sahne üzerinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2020

Cevap

Doğru cevap 20'dir.
En kısa kız (K1K_1) ve en uzun erkeğin (E1E_1) kendi gruplarının en solundaki elemanlar olması sebebiyle oluşturdukları blok sadece ilk iki sırada yer alabilir. Bu durumda kalan 5 yere diğer 5 oyuncu, kendi içlerindeki sıralamaları sabit olduğundan (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yerleşir. Bloğun kendi içindeki 2 farklı durumu ile bu sayı çarpıldığında doğru sonuç olan 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Oyuncuları ve boy sıralaması kurallarını sembolik olarak ifade etme
Kız oyuncular boylarına göre kısadan uzuna K1,K2,K3K_1, K_2, K_3 ve erkek oyuncular uzundan kısaya E1,E2,E3,E4E_1, E_2, E_3, E_4 olarak adlandırılır. Bu durumda sıralamadaki konumları açısından pos(K1)<pos(K2)<pos(K3)pos(K_1) < pos(K_2) < pos(K_3) ve pos(E1)<pos(E2)<pos(E3)<pos(E4)pos(E_1) < pos(E_2) < pos(E_3) < pos(E_4) olmalıdır. En kısa kız K1K_1, en uzun erkek ise E1E_1 olur.
Sıralama kısıtlarını matematiksel olarak analiz edebilmek için her bir oyuncuyu tanımlamak gerekir.
2
K1K_1 ve E1E_1 oyuncularının oluşturduğu bloğun konumunu belirleme
K1K_1 ve E1E_1 yan yana duracağından bir blok oluştururlar. K1K_1 tüm kızların en solunda yer almalı, E1E_1 ise tüm erkeklerin en solunda yer almalıdır. Dolayısıyla bu bloğun solunda hiçbir oyuncu bulunamaz. Bu durum bloğun ancak ilk iki sırada (11 ve 22. pozisyonlar) yer alabileceğini gösterir.
Eğer blok daha sağda olsaydı, solundaki yerleri dolduracak hiçbir oyuncu sıralama şartını bozmadan yerleştirilemezdi.
3
Kalan pozisyonlara diğer oyuncuların yerleşim sayısını hesaplama
İlk iki pozisyon blok tarafından doldurulduktan sonra geriye 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 numaralı 55 pozisyon kalır. Bu 55 pozisyona yerleştirilecek oyuncular {K2,K3}\{K_2, K_3\} ve {E2,E3,E4}\{E_2, E_3, E_4\} gruplarıdır. Kalan 22 kız oyuncu için bu 55 pozisyondan 22 tanesi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde seçilebilir. Seçim yapıldıktan sonra kızlar kendi içinde, kalan 33 yere yerleşen erkekler de kendi içinde tek şekilde sıralanmak zorundadır.
Relative (bağıl) sıralaması sabit olan elemanların yerleşimi kombinasyon seçimiyle benzersiz şekilde belirlenir.
4
Bloğun kendi içindeki dizilim durumlarını hesaba katarak toplam sonucu bulma
Blok, K1E1K_1E_1 veya E1K1E_1K_1 şeklinde 22 farklı sıralamaya sahip olabilir. Buradan toplam durum sayısı 2×10=202 \times 10 = 20 olarak bulunur.
Blok içindeki iki farklı elemanın kendi arasındaki yer değişimi bağımsız bir çarpım durumudur.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyonda elemanların bağıl (relative) sıralamasının sabit olduğu durumlarda kombinasyon kullanarak sıralama hesaplama
Soru 42Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
(ax−2ax2)4\left(ax - \frac{2}{ax^2}\right)^4
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki x4x^4 lü terimin katsayısı AA, xx li terimin katsayısı BB ve x−2x^{-2} li terimin katsayısı CC dir.
8A+13B+12C=08A + 13B + 12C = 0

olduğuna göre, aa'nın alabileceği pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamı 5'tir.
Genel terim formülüyle elde edilen A=a4A = a^4, B=−8a2B = -8a^2 ve C=24C = 24 değerleri verilen denklemde yerine konulduğunda a4−13a2+36=0a^4 - 13a^2 + 36 = 0 biquadratik denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif gerçel kökleri 22 ve 33 olduğundan, toplamları 55 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
ifadenin açılımındaki genel terim: Tr+1=(4r)(ax)4−r(−2ax2)r=(4r)(−2)ra4−2rx4−3rT_{r+1} = \binom{4}{r} (ax)^{4-r} \left(-\frac{2}{ax^2}\right)^r = \binom{4}{r} (-2)^r a^{4-2r} x^{4-3r} şeklinde elde edilir.
İstenen terimlerin katsayılarını bulabilmek için genel terim ifadesine ihtiyaç duyulur.
2
x4x^4, xx ve x−2x^{-2} terimleri için rr değerleri belirlenir.
x4x^4 için 4−3r=4  ⟹  r=04-3r = 4 \implies r=0, x1x^1 için 4−3r=1  ⟹  r=14-3r = 1 \implies r=1 ve x−2x^{-2} için 4−3r=−2  ⟹  r=24-3r = -2 \implies r=2 olarak bulunur.
Katsayıları hesaplamak üzere her bir terimin açılımdaki konumunu (yani rr değerini) tespit etmek gerekir.
3
AA, BB ve CC katsayıları hesaplanır.
A=(40)(−2)0a4=a4A = \binom{4}{0} (-2)^0 a^{4} = a^4, B=(41)(−2)1a2=−8a2B = \binom{4}{1} (-2)^1 a^{2} = -8a^2 ve C=(42)(−2)2a0=24C = \binom{4}{2} (-2)^2 a^{0} = 24 olarak elde edilir.
Verilen denklemde yerine koymak üzere katsayılar aa parametresi cinsinden ifade edilir.
4
Katsayılar 8A+13B+12C=08A + 13B + 12C = 0 denklemine yerleştirilir.
8(a4)+13(−8a2)+12(24)=0  ⟹  8a4−104a2+288=08(a^4) + 13(-8a^2) + 12(24) = 0 \implies 8a^4 - 104a^2 + 288 = 0 denklemi elde edilir.
Soruda verilen katsayı ilişkisi kullanılarak aa değerini belirleyecek denklem kurulur.
5
Denklem sadeleştirilir ve çözülür.
Denklemin her iki tarafı 8'e bölündüğünde a4−13a2+36=0a^4 - 13a^2 + 36 = 0 elde edilir. u=a2u = a^2 dönüşümü yapılırsa, u2−13u+36=0  ⟹  (u−4)(u−9)=0u^2 - 13u + 36 = 0 \implies (u-4)(u-9) = 0 olur. Buradan u=4u = 4 veya u=9u = 9 bulunur. Dolayısıyla a2=4  ⟹  a=±2a^2 = 4 \implies a = \pm 2 ve a2=9  ⟹  a=±3a^2 = 9 \implies a = \pm 3 elde edilir.
Biquadratik denklemin kökleri değişken değiştirme yöntemiyle çözülür.
6
Pozitif aa değerlerinin toplamı bulunur.
Pozitif değerler 22 ve 33 olup, toplamları 2+3=52 + 3 = 5 olarak bulunur.
Soruda istenen pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı ve terimlerin bulunması
Soru 43Soru →

Bir restoranın menüsünde 4 farklı çorba, 3 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Bu restorandan yemek siparişi vermek isteyen bir müşteri; menüdeki her bir yemek türünden (çorba, ana yemek ve tatlı) en az birer tane bulunması şartıyla toplam 4 farklı yemek sipariş edecektir. Buna göre, bu müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

126 farklı şekilde sipariş oluşturulabilir.
Sorudaki koşullara göre seçilebilecek 4 yemek ancak (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı), (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı) ya da (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı) şeklinde gruplandırılabilir. Bu üç durumun kombinasyon değerleri sırasıyla 54, 36 ve 36 olup, bu değerlerin toplamı 126'dır. Dolayısıyla doğru cevap 126 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam 4 yemek seçilecektir ve her yemek türünden (çorba, ana yemek, tatlı) en az bir tane bulunmalıdır. Bu koşulu sağlayan olası grup dağılımları belirlenir.
Olası dağılımlar şunlardır: (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı), (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı) veya (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı).
Toplam seçilecek yemek sayısının 4 olması ve her gruptan en az 1 tane seçilmesi gerektiğinden, gruplardan birinden 2, diğerlerinden ise 1'er tane seçilmelidir.
2
Belirlenen ü�� durum için kombinasyon hesaplamaları yapılır.
1. Durum (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı): C(4,2) * C(3,1) * C(3,1) = 6 * 3 * 3 = 54.
2. Durum (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı): C(4,1) * C(3,2) * C(3,1) = 4 * 3 * 3 = 36.
3. Durum (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı): C(4,1) * C(3,1) * C(3,2) = 4 * 3 * 3 = 36.
Her bir gruptan yapılan seçimler birbirinden bağımsız olaylar olduğu için çarpma kuralı uygulanır.
3
Elde edilen durum sayıları toplanarak toplam olasılık sayısı bulunur.
Toplam seçim sayısı = 54 + 36 + 36 = 126.
Belirlenen üç durum birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğundan toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla kısıtlı seçim yapma ve toplama/çarpma kurallarını birlikte uygulama.
Soru 44Soru →

Analitik düzlemde, koordinatları x,y∈{1,2,3,4,5,6}x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olan 36 nokta arasından rastgele seçilen iki farklı noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin bir tam sayı olma olasılığı, en sade haliyle ab\frac{a}{b} kesri olarak ifade edilmektedir. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 473

Cevap

Seçilen iki noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin bir tam sayı olma olasılığı en sade halde 158315\frac{158}{315} olup, pay ve paydanın toplamı 473'tür.
Seçilen iki noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin tam sayı olması için y-koordinatları farkının, sıfırdan farklı olan x-koordinatları farkına tam bölünmesi gerekir. Bu durumlar her x farkı (d) için tek tek incelendiğinde 316 uygun durum bulunur. Toplam durum sayısı olan 630'a bölündüğünde en sade olasılık kesri 158/315 elde edilir. Buradan pay ve paydanın toplamı 473 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası nokta çiftlerinin sayısını hesaplama
Tüm olas�� durumların sayısı 630'dur.
36 nokta arasından 2 farklı nokta kombinasyon yöntemiyle seçilir.
2
Eğimi tam sayı yapan y-koordinatı farklarını analiz etme
x-koordinatları farkı d iken, y-koordinatları farkı d'nin katı olmalıdır.
Eğim formülü m = (y2 - y1)/(x2 - x1) olduğundan eğimin tam sayı olması bu farkların birbirini bölmesini gerektirir.
3
Her d değeri için uygun y çiftlerini bulup toplama
Toplam uygun durum sayısı 316'dır.
d = 1, 2, 3, 4, 5 durumları için olası y farklarını tek tek inceleyip topladık.
4
En sade olasılık değerinden a + b toplamını bulma
a + b = 473
Olasılık 316/630 = 158/315 olup en sade kesirdir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 45Soru →

Aşağıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin cinsiyetlerine ve gözlük kullanma durumlarına göre dağılımı verilmiştir:

GözlüklüGözlüksüz
Erkek661010
Kız4488

Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38\frac{3}{8}

Cevap

Seçilen öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 38\frac{3}{8}'dir.
Seçilen öğrencinin erkek olduğu bilindiği için örnek uzay yalnızca erkek öğrencilerden oluşur. Erkek öğrencilerin toplam sayısı 1616'dır. Bu öğrenciler arasından gözlüklü olanların sayısı 66 olduğundan, aranan olasılık 616=38\frac{6}{16} = \frac{3}{8} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul doğrultusunda daraltılmış örnek uzayın eleman sayısını bulma
Erkek öğrencilerin toplam sayısı: 6+10=166 + 10 = 16 kişi.
Öğrencinin erkek olduğu bilindiği için örnek uzay sadece erkek öğrencilerden oluşur.
2
İstenen olayın eleman sayısını belirleme
Gözlüklü erkek öğrencilerin sayısı: 66 kişi.
Seçilen erkek öğrencinin aynı zamanda gözlüklü olması istenmektedir.
3
Koşullu olasılık değerini hesaplama ve sadeleştirme
Olasılık = 616=38\frac{6}{16} = \frac{3}{8}
İstenen durum sayısının daraltılmış örnek uzay eleman sayısına oranı aradığımız olasılığı verir.

Anahtar Kavram

Bir AA olayının gerçekleştiği bilindiğinde bir BB olayının gerçekleşme olasılığına BB olayının AA koşullu olasılığı denir ve P(B∣A)=s(A∩B)s(A)P(B|A) = \frac{s(A \cap B)}{s(A)} şeklinde hesaplanır. Burada örnek uzay tüm evrensel kümeden AA kümesine indirgenir.
Tahmini Süre:45s
Soru 46Soru →

Bir torbada 11'den 1010'a kadar numaralandırılmış 1010 kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının asal sayı olduğu bilindiğine göre, bu sayının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Çekilen kartın üzerindeki sayının asal sayı olduğu bilindiğinde, bu sayının tek sayı olma olasılığı 0,75'tir.
Çekilen kartın asal sayı olduğu bilindiği için yeni örnek uzayımız 44 elemanlı {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} kümesidir. Bu kümedeki tek sayılar {3,5,7}\{3, 5, 7\} olmak üzere 33 tanedir. Dolayısıyla olasılık 34=0,75\frac{3}{4} = 0,75 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul kümesini (yeni örnek uzayı) belirleme
Asal sayılar kümesi: A={2,3,5,7}A = \{2, 3, 5, 7\} ve eleman sayısı s(A)=4s(A) = 4
Çekilen kartın asal sayı olduğu bilindiği için olası tüm durumlar sadece asal sayılardan oluşabilir.
2
İstenen olayın elemanlarını belirleme
Hem asal hem de tek olan sayılar kümesi: B={3,5,7}B = \{3, 5, 7\} ve eleman sayısı s(B)=3s(B) = 3
Koşul kümesi içinden tek sayı olan elemanlar seçilmelidir.
3
Koşullu olasılığ�� hesaplama
P(Tek∣Asal)=s(B)s(A)=34=0,75P(\text{Tek} | \text{Asal}) = \frac{s(B)}{s(A)} = \frac{3}{4} = 0,75
İstenen durum sayısının koşul durum sayısına bölünmesiyle koşullu olasılık elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 47Soru →
aa bir gerçel sayı ve nn bir pozitif çift tam sayı olmak üzere,
(x2−ax)n\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^n
ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı 11 ve sabit terim 240240'tır.

Buna göre, bu açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -160

Cevap

Açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 olur.
Katsayılar toplamı bağıntısı kullanılarak a=2a = 2 değeri saptanır. Ardından sabit terimin 240240 olması koşulundan n=6n = 6 ve r=4r = 4 değerlerine ulaşılır. Son adımda x3x^3 lü terimi veren r=3r = 3 değeri genel terim formülünde yerine yazılarak aranan katsayı −160-160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı formülünü uygulamak ve aa değerini belirlemek.
a=2a = 2 (çünkü a=0a = 0 durumunda sabit terim sıfır olurdu).
Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılarak (1−a)n=1(1-a)^n = 1 eşitliği elde edilir. nn çift olduğundan 1−a=±11-a = \pm 1 denklemi çözülür.
2
Genel terim formülünü yazarak değişkenin kuvvetini düzenlemek.
Genel terim: (nr)(−2)rx2n−3r\binom{n}{r} (-2)^r x^{2n - 3r} olarak bulunur.
Binom açılımının genel terim formülü uygulanarak üslü ifadeler sadeleştirilir.
3
Sabit terim bilgisini kullanarak nn ve rr değerlerini bulmak.
n=6n = 6 ve r=4r = 4 olarak elde edilir.
Sabit terim için 2n−3r=02n - 3r = 0 olmalıdır. nn çift olduğundan 66'nın katı olması gerektiği tespit edilir ve deneme yoluyla n=6n=6 için sabit terimin 240240 olduğu doğrulanır.
4
x3x^3 lü terimin katsayısını hesaplamak.
Katsayı −160-160 olarak hesaplanır.
2n−3r=32n - 3r = 3 eşitliğinde n=6n=6 yazıldığında r=3r=3 bulunur. Genel terimde r=3r=3 konularak katsayı değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı, Sabit Terim ve Belirli bir Terimin Katsayısını Bulma
Soru 48Soru →

Bir okulun basketbol takımında 5 oyun kurucu ve 6 pivot olmak üzere toplam 11 oyuncu bulunmaktadır. Bu oyuncular arasından 4 kişilik bir antrenman kadrosu seçilecektir.

Seçilecek bu kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması gerektiğine göre, bu kadro kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250

Cevap

Antrenman kadrosu 250 farklı şekilde oluşturulabilir.
Seçilecek 4 kişilik kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması koşulu, (1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot) durumlarının gerçekleşmesini gerektirir. Bu durumların kombinasyon sayıları hesaplanıp toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara uygun olası oyuncu da��ılımlarını belirlemek.
(1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot)
Toplam 4 oyuncu seçileceği, en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot gerektiği için bu iki durum dışında koşulları sağlayan başka bir dağılım yoktur.
2
1 oyun kurucu ve 3 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
100 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 1 kişi ve 6 pivot arasından 3 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 1) * C(6, 3) = 5 * 20 = 100 hesaplanır.
3
2 oyun kurucu ve 2 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
150 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 2 kişi ve 6 pivot arasından 2 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 2) * C(6, 2) = 10 * 15 = 150 hesaplanır.
4
Elde edilen seçim sayılarını toplamak.
250
Belirlenen iki durum ayrık olaylar olduğu için toplam seçim sayısı bu durumların ayrı ayrı kombinasyon değerlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) problemleri ve koşullu seçimler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 49Soru →

Kübra, elindeki 6 farklı renkteki boya kalemini kullanarak yan yana dizilmiş 6 bölmeli bir kutuyu boyayacaktır. Boyama işlemiyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Her bölme farklı bir renkle boyanacaktır.
* Mavi ve yeşil renkli bölmeler yan yana olmayacaktır.
* Sarı renkli bölme, kırmızı renkli bölmenin solunda yer alacaktır.
* Turuncu renkli bölme, mor renkli bölmenin hemen sağında yer alacaktır.

Buna göre, Kübra bu kutuyu kaç farklı şekilde boyayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Kübra bu kutuyu 36 farklı şekilde boyayabilir.
Mor ve turuncu bölmeler tek bir nesne olarak kabul edildiğinde toplam nesne sayısı 5 olur. Bu nesnelerin kendi aralarındaki diziliminde sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu 60 farklı durum vardır. Mavi ve yeşilin yan yana geldiği 24 durum bu 60 durumdan çıkarıldığında geriye koşullara uyan 36 farklı sıralama kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Mor ve turuncu bölmelerin yan yana olma durumunu tek bir blok olarak tanımlama.
Turuncu bölme mor bölmenin hemen sağında olacağı için bu iki bölme (Mor-Turuncu) şeklinde tek bir grup olarak düşünülür. Bu grubun kendi içinde yer değiştirme hakkı yoktur (sadece tek bir sıra mümkündür). Böylece elimizde 5 farklı nesne kalır: Mavi (M), Yeşil (Y), Sarı (S), Kırmızı (K) ve (Mor-Turuncu) grubu.
Koşullardan biri iki elemanın belirli bir sırada yan yana olmasını gerektirmektedir.
2
Sarı ve kırmızı bölmelerin konum ilişkisine göre olası tüm sıralamaları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu şimdilik göz ardı ederek, elimizdeki 5 nesnenin toplam sıralama sayısı 5!=1205! = 120 olur. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda yer aldığı durumlar, simetri gereği tüm durumların yarısı kadardır. Dolayısıyla 120/2=60120 / 2 = 60 farklı sıralama elde edilir.
İki nesnenin birbirine göre sağda veya solda olma durumlarının sayısı tüm durumların yarısına eşittir.
3
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olduğu durumları bulmak için bu iki bölmeyi de tek bir blok (Mavi-Yeşil) olarak gruplarız. Bu blok kendi içinde (Mavi-Yeşil) veya (Yeşil-Mavi) olmak üzere 2!=22! = 2 farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumda elimizde 4 nesne kalır: (Mavi-Yeşil) grubu, Sarı, Kırmızı ve (Mor-Turuncu) grubu. Bu 4 nesnenin sıralanma sayısı 4!=244! = 24'tür. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu durumlar yine simetri gereği yarısı kadardır: 24/2=1224 / 2 = 12. Mavi ve yeşil kendi arasında 22 farklı şekilde yer değiştirebileceği için istenmeyen durumların toplam sayısı 12×2=2412 \times 2 = 24 olur.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu sağlamak amacıyla, yan yana oldukları durumların sayısını tüm durumlardan çıkarmamız gerekir.
4
İstenmeyen durumları tüm durumlardan çıkararak sonucu bulma.
60−24=3660 - 24 = 36 farklı geçerli boyama şekli bulunur.
Kümelerdeki tümleme prensibi kullanılarak istenen koşulun sağlandığı durum sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu doğrusal permütasyon ve tümleme yöntemi
Soru 50Soru →

Bir teknoloji şirketinde çalışan 5 farklı yazılım mühendisi; Yapay Zeka, Siber Güvenlik ve Veri Analizi departmanlarından birine görevlendirilecektir.

Bu görevlendirmeyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Her mühendis yalnız bir departmana görevlendirilecektir.
- Yapay Zeka departmanına en az bir mühendis görevlendirilmelidir.
- Siber Güvenlik departmanına en fazla iki mühendis görevlendirilebilir.
- Veri Analizi departmanına görevlendirilecek mühendis sayısı ile ilgili bir sınırlandırma yoktur.

Buna göre, bu 5 mühendis departmanlara kaç farklı şekilde görevlendirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 176

Cevap

5 farklı yazılım mühendisinin belirtilen koşullar altında departmanlara görevlendirilebileceği farklı yolların sayısı 176'dır.
Koşullara uygun görevlendirme sayısı, tüm olası görevlendirmelerden (243243) kuralları ihlal eden istenmeyen durumların (6767) çıkarılmasıyla 176176 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam görevlendirme sayısını hesaplamak
35=2433^5 = 243
Hiçbir koşul olmadan 5 farklı mühendisin 3 farklı departmana dağıtılması çarpma yoluyla sayma ilkesine göre 3×3×3×3×3=353 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 farklı şekilde gerçekleşir.
2
Yapay Zeka departmanına hiç mühendis atanmadığı (A=0A = 0) istenmeyen durumları hesaplamak
25=322^5 = 32
Mühendislerin sadece Siber Güvenlik (BB) ve Veri Analizi (CC) departmanlarına atanması durumudur.
3
Siber Güvenlik departmanına en az 3 mühendis atandığı (B≥3B \geq 3) istenmeyen durumları hesaplamak
40+10+1=5140 + 10 + 1 = 51
B departmanına 3 mühendis atanırsa (53)×22=40\binom{5}{3} \times 2^2 = 40 durum; 4 mühendis atanırsa (54)×21=10\binom{5}{4} \times 2^1 = 10 durum; 5 mühendis atanırsa (55)×20=1\binom{5}{5} \times 2^0 = 1 durum oluşur. Toplamda 51 durumdur.
4
Hem Yapay Zeka departmanına hiç mühendis atanmayan hem de Siber Güvenlik departmanına en az 3 mühendis atanan (A=0A = 0 ve B≥3B \geq 3) kesişim durumlarını hesaplamak
10+5+1=1610 + 5 + 1 = 16
Mühendisler sadece B ve C'ye atanırken B'ye 3, 4 veya 5 mühendis gitmesi durumudur. B'ye 3 mühendis için (53)=10\binom{5}{3} = 10 durum, 4 mühendis için (54)=5\binom{5}{4} = 5 durum, 5 mühendis için (55)=1\binom{5}{5} = 1 durum bulunur.
5
Kümelerdeki birleşim formülü ile toplam istenmeyen durum sayısını hesaplamak
32+51−16=6732 + 51 - 16 = 67
İki istenmeyen durumun birleşiminin eleman sayısı ∣X∪Y∣=∣X∣+∣Y∣−∣X∩Y∣|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| formülüyle bulunur.
6
İstenen durum sayısını bulmak
243−67=176243 - 67 = 176
Tüm durumlardan kısıtlamaları ihlal eden tüm istenmeyen durumların çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

İstenmeyen durumların tüm durumlardan çıkarılması (tümleyen yöntemi) ve kümelerin birleşimi ilkesinin saymada kullanılması.
Soru 51Soru →

nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,

(2x−1x2)n\left(2x - \frac{1}{x^2}\right)^n

ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı 729729 dur.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Sabit terim 240 olarak bulunur.
Açılımdaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı (2+1)n=3n=729(2+1)^n = 3^n = 729 eşitliğinden n=6n=6 olarak bulunur. Genel terim ifadesinde sabit terimi elde etmek için xx'in kuvveti sıfıra eşitlenerek r=2r=2 elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında sabit terim 240240 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımdaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamını veren ifadeyi yazmak.
Genel terim (nr)(2x)n−r(−x−2)r=(nr)2n−r(−1)rxn−3r\binom{n}{r} (2x)^{n-r} (-x^{-2})^r = \binom{n}{r} 2^{n-r} (-1)^r x^{n-3r} şeklindedir. Katsayıların mutlak değerleri toplamı ∑r=0n(nr)2n−r∣−1∣r=(2+1)n=3n\sum_{r=0}^n \binom{n}{r} 2^{n-r} |-1|^r = (2+1)^n = 3^n olur.
Katsayılar��n mutlak değerlerinin toplamı, terimlerdeki negatif işaretlerin pozitif yapılmasıyla elde edilen binom açılımına eşittir.
2
nn değerini belirlemek.
3n=729  ⟹  n=63^n = 729 \implies n = 6 olarak bulunur.
729729 sayısı 33 tabanında 363^6 olarak ifade edilir.
3
Sabit terimi bulmak için değişkenin üssünü sıfıra eşitlemek.
n=6n=6 için genel terim (6r)26−r(−1)rx6−3r\binom{6}{r} 2^{6-r} (-1)^r x^{6-3r} olur. Sabit terimde xx'in kuvveti sıfır olmalıdır: 6−3r=0  ⟹  r=26 - 3r = 0 \implies r = 2 bulunur.
Sabit terim, değişken içermeyen yani değişkenin kuvvetinin sıfır olduğu terimdir.
4
r=2r=2 değerini genel terimde yerine yazarak sabit terimi hesaplamak.
Sabit terim: (62)26−2(−1)2=15⋅24⋅1=15⋅16=240\binom{6}{2} 2^{6-2} (-1)^2 = 15 \cdot 2^4 \cdot 1 = 15 \cdot 16 = 240 olarak hesaplanır.
Genel terim formülünde bulunan değerler yerine yazılarak sabit terim katsayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı, katsayıların mutlak değerleri toplamı ve sabit terim hesabı.
Soru 52Soru →

Bir çember üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş 12 nokta, bir düzgün onikigenin köşeleridir. Bu 12 nokta arasından rastgele seçilen üç farklı noktanın birleştirilmesiyle bir üçgen oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenin geniş açılı bir üçgen olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 611\frac{6}{11}

Cevap

Seçilen üçgenin geniş açılı olma olasılığı 6/11'dir.
Düzgün onikigenin köşeleriyle oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısı 220'dir. Geniş açılı üçgenlerin oluşabilmesi için üçgenin köşeleri arasındaki yaylardan birinin yarım çemberden uzun olması gerekir. Saat yönündeki sıralamayı kullanarak her bir köşeden başlayıp 5 birimlik yay içinde kalan diğer 2 köşeyi seçtiğimizde (toplam 10 durum), her köşe için 10 adet olmak üzere toplam 120 benzersiz geniş açılı üçgen elde edilir. Olasılık değeri de 120/220 sadeleştirilerek 6/11 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam olası üçgen sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
12 noktadan seçilen 3 nokta ile oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısı: (123)=12×11×103×2×1=220\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 adet.
Olasılık hesabında örnek uzayın eleman sayısını belirlemek gerekir.
2
Çember üzerindeki yay uzunlukları cinsinden geniş açılı üçgen olma koşulunu belirlemek.
Üçgenin köşeleri arasındaki yay segmentleri saat yönünde x,y,zx, y, z birim olsun (x+y+z=12x+y+z=12 ve x,y,z≥1x,y,z \ge 1). Üçgenin geniş açılı olması için köşelerden birinin gördüğü yayın yarım çemberden büyük olması gerekir. Bu da x,y,zx, y, z değerlerinden birinin 66'dan büyük (>6> 6) olması anlamına gelir.
Çemberde bir çevre açının geniş açı (>90∘>90^\circ) olması için gördüğü yayın ölçüsünün 180∘180^\circ'den (yani 6 birimlik yaydan) büyük olması şarttır.
3
Geniş açılı üçgenlerin sayısını benzersiz bir sıralama yöntemiyle saymak.
Bir köşe başlangıç noktası olarak seçildiğinde, üçgenin diğer iki köşesi bu noktadan sonraki saat yönündeki ilk 5 nokta arasından seçilirse, kalan geri dönüş yayı en az 12−5=712-5=7 birim olur ve 66'dan büyük kalır. Bu durum her zaman geniş açılı bir üçgen tanımlar. Bu seçim (52)=10\binom{5}{2} = 10 yolla yapılır. Toplam 12 köşe başlangıç noktası olabileceğinden, toplam geniş açılı üçgen sayısı 12×10=12012 \times 10 = 120 olarak bulunur.
Her geniş açılı üçgenin en uzun yayı gören benzersiz bir 'ilk' köşesi (saat yönünde en önde olan köşesi) vardır. Bu sayede her geniş açılı üçgeni tam olarak bir kez saymış oluruz.
4
İstenen olasılık değerini hesaplamak.
P(Genis¸ Ac¸ılı)=120220=611P(\text{Geniş Açılı}) = \frac{120}{220} = \frac{6}{11} olarak sadeleştirilir.
İstenen durum sayısı toplam durum sayısına bölünerek basit olasılık tanımı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir çember üzerinde seçilen noktalarla oluşturulan üçgenlerin açı özelliklerine göre kombinasyon ve olasılık hesabı.
Soru 53Soru →

AA ve BB, aynı örnek uzayda tanımlı iki olaydır.

P(B)=25P(B) = \frac{2}{5}
P(A∩B)=16P(A \cap B) = \frac{1}{6}

ve P(B)>0P(B) > 0 olduğuna göre, BB olayının gerçekleştiği bilindiğine göre AA olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 512\frac{5}{12}

Cevap

512\frac{5}{12}
B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A'nın gerçekleşme olasılığı, A ve B olaylarının ortak gerçekleşme olasılığının B olayının olasılığına oranlanmasıyla bulunur. Yani P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} formülüyle hesaplama yapıldığında 1/62/5=512\frac{1/6}{2/5} = \frac{5}{12} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu olasılık formülünü yazma
B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının gerçekleşme olasılığı P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} formülü ile hesaplanır.
Koşullu olasılık hesaplanırken örnek uzay sadece koşul olayının gerçekleştiği durumlarla sınırlandırılır.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyma
P(A∣B)=1625P(A|B) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{5}}
Soruda verilen P(A∩B)=16P(A \cap B) = \frac{1}{6} ve P(B)=25P(B) = \frac{2}{5} değerlerini formüle yerleştirmek gerekir.
3
Rasyonel sayılarda bölme işlemini gerçekleştirme
P(A∣B)=16×52=512P(A|B) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{12}
Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık formülü ve örnek uzayın daraltılması
Soru 54Soru →

4 fizikçi, 3 kimyager ve 1 matematikçiden oluşan 8 kişilik bir araştırmacı grubundan 4 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır.

Kurulacak ekipte matematikçinin bulunması, ayrıca en az bir fizikçi ve en az bir kimyagerin yer alması zorunludur.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Proje ekibi 30 farklı şekilde oluşturulabilir.
Matematikçi ekibe kesin olarak dahil edildikten sonra, kalan 3 üye 4 fizikçi ve 3 kimyager arasından seçilir. En az bir fizikçi ve en az bir kimyager şartı nedeniyle; 1 fizikçi ve 2 kimyager seçimi (41)×(32)=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 12 farklı şekilde, 2 fizikçi ve 1 kimyager seçimi ise (42)×(31)=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 18 farklı şekilde yapılabilir. Toplamda 12+18=3012 + 18 = 30 farklı şekilde ekip oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Matematikçinin ekipte yer alması zorunlu olduğundan, ekipteki 1 kişilik yer kesinleşir. Geriye kalan 3 kişi, 4 fizikçi ve 3 kimyager arasından seçilmelidir.
Geriye kalan 7 kişiden 3 kişi seçilecektir.
Matematikçi seçildikten sonra ekibin diğer üyelerinin belirlenmesi gerekir.
2
Ekipte en az bir fizikçi ve en az bir kimyager olması koşulunu inceleyelim. İki durum mevcuttur: (1) 1 fizikçi ve 2 kimyager seçilmesi, (2) 2 fizikçi ve 1 kimyager seçilmesi.
Durum 1: (41)×(32)=4×3=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 4 \times 3 = 12 yol. Durum 2: (42)×(31)=6×3=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 6 \times 3 = 18 yol.
Koşulları sağlayan tüm olası alt seçim durumlarının sayısı ayrı ayrı hesaplanır.
3
Bu iki durumun sonuçlarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını buluruz.
12+18=3012 + 18 = 30
Farklı seçim olasılıkları toplama yoluyla sayma prensibiyle birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Seçimler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 55Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, üç basamaklı abcabc doğal sayıları yazılacaktır.

Buna göre, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin de��erinin tek sayı olduğu kaç farklı abcabc doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 132

Cevap

Koşulları sağlayan abcabc doğal sayılarının toplam sayısı 132'dir.
Toplam sonucunun tek sayı olması için toplanan terimlerden birinin çift, diğerinin tek olması gerekir. Bu bağlamda, cc tek iken a⋅ba \cdot b çarpımının çift olduğu durumlar (96 adet) ile cc çift iken a⋅ba \cdot b çarpımının tek olduğu durumlar (36 adet) ayrı ayrı hesaplanarak toplanır ve 132 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cc sayısının tek, a⋅ba \cdot b çarpımının çift olduğu birinci durumu hesaplamak.
cc için 4 seçenek ve a⋅ba \cdot b çarpımının çift olması için 24 seçenek bulunarak bu durumdan 4×24=964 \times 24 = 96 farklı sayı elde edilir.
Toplama işleminin sonucunun tek sayı çıkması için toplanan iki ifadeden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
cc sayısının çift, a⋅ba \cdot b çarpımının tek olduğu ikinci durumu hesaplamak.
cc için 3 seçenek ve hem aa hem de bb sayısının tek olması için 12 seçenek bulunarak bu durumdan 3×12=363 \times 12 = 36 farklı sayı elde edilir.
a⋅ba \cdot b çarpımının tek sayı çıkması ancak ve ancak her iki çarpanın da tek sayı olmasıyla mümkündür.
3
Elde edilen durum sayılarını toplamak.
Toplamda 96+36=13296 + 36 = 132 farklı sayı yazılabilir.
Belirlenen iki durum birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma kurallarının ayrık durum analizleri ile birlikte basamaklı sayı oluşturma problemlerine uygulanması.
Soru 56Soru →

Analitik düzlemde A(0,0)A(0,0) noktasında bulunan bir hareketli, yalnızca 1 birim sağa veya 1 birim yukarı doğru hareket ederek en kısa yoldan B(4,4)B(4,4) noktasına ulaşmak istemektedir. Bu hareketli, yolculuğu boyunca üst üste en fazla iki kez aynı yönde adım atabilmektedir (yani güzergâhında yan yana 3 tane sağa veya 3 tane yukarı adımı bulunmamaktadır). Buna göre, bu hareketlinin AA noktasından BB noktasına gidebileceği kaç farklı yol vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

İstenen koşullara uygun yolların toplam sayısı 34'tür.
Doğru cevap, kısıtlamasız tüm yolların sayısından (70), en az 3 ardışık sağa adımı veya en az 3 ardışık yukarı adımı içeren istenmeyen yolların sayısının (36) kapsama-dışlama ilkesiyle çıkarılması sonucu 34 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam atılması gereken sağa (S) ve yukarı (Y) adım sayılarını belirleyip tüm olası yolların sayısını hesaplamak.
Toplam 8 adım (4 sağa, 4 yukarı) atılmalıdır. Kısıtlamasız yolların sayısı: 8!4!⋅4!=70\frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 olur.
Referans alınacak kısıtlamasız durum sayısını tekrarlı permütasyonla bulmak için.
2
Koşulları sağlamayan (istenmeyen) durumları tanımlamak ve küme sembollerini belirlemek.
En az bir tane 'SSS' içeren yolların kümesi AA, en az bir tane 'YYY' içeren yolların kümesi BB olsun. İstenen durum sayısı: 70−∣A∪B∣=70−(∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣)70 - |A \cup B| = 70 - (|A| + |B| - |A \cap B|) formül��yle modellenir.
Kural ihlallerini kapsama-dışlama ilkesiyle matematiksel olarak ifade etmek için.
3
Yalnızca S adımlarının kuralı ihlal ettiği durumların sayısı olan ∣A∣|A| değerini hesaplamak.
1) Tek blok 'SSSS' için 5!1!⋅4!=5\frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5 durum; 2) İki ayrı blok 'SSS' ve 'S' için (52)⋅2!=20\binom{5}{2} \cdot 2! = 20 durum vardır. Toplamda ∣A∣=25|A| = 25 olur. Simetriden dolayı ∣B∣=25|B| = 25 elde edilir.
Harfleri gruplandırarak istenmeyen durumların her birinin ayrı ayrı eleman sayılarını bulmak için.
4
Hem S hem de Y adımlarının kuralı ihlal ettiği ortak durumların sayısı olan ∣A∩B∣|A \cap B| kesişim kümesini hesaplamak.
Farklı blok tiplerinin alternatif dizilimleri analiz edilerek: 2 (Durum 1)+2 (Durum 2)+2 (Durum 3)+8 (Durum 4)=142 \text{ (Durum 1)} + 2 \text{ (Durum 2)} + 2 \text{ (Durum 3)} + 8 \text{ (Durum 4)} = 14 durum bulunur.
Kapsama-dışlama formülünde iki kez çıkarılan durumları geri eklemek amacıyla kesişim kümesini bulmak için.
5
Kapsama-dışlama formülünü uygulayarak nihai doğru cevaba ulaşmak.
∣A∪B∣=25+25−14=36|A \cup B| = 25 + 25 - 14 = 36 ve İstenen Yol Sayısı = 70−36=3470 - 36 = 34 olarak bulunur.
Tüm durumlardan istenmeyen durumların birleşimini çıkartıp sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Kapsama-Dışlama İlkesi
Soru 57Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin %60\%60'ı İngilizce, %50\%50'si Almanca ve %30\%30'u ise her iki dili de konuşabilmektedir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce konuşabildiği bilindiğine g��re, bu öğrencinin Almanca da konuşabiliyor olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

İngilizce konuşabildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da konuşabiliyor olma olasılığı 0,5'tir.
İngilizce konuşabildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da konuşabilmesi olasılığı, her iki dili de konuşanların oranının İngilizce konuşanların oranına bölünmesiyle bulunur. Buradan 0306=05\frac{0{}3}{0{}6} = 0{}5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıftaki öğrencilerin dil bilme oranlarını olasılık değerleri cinsinden yazalım.
İngilizce konuşanlar için P(I˙)=06P(\dot{I}) = 0{}6 ve her iki dili de konuşanlar için P(A∩I˙)=03P(A \cap \dot{I}) = 0{}3 elde edilir.
Soruda verilen yüzde oranlarını olasılık değerlerine dönüştürerek koşullu olasılık formülünü uygulamak için zemin hazırlarız.
2
Koşullu olasılık formülünü kullanarak istenen olasılığı hesaplayalım.
P(A∣I˙)=P(A∩I˙)P(I˙)=0306=05P(A | \dot{I}) = \frac{P(A \cap \dot{I})}{P(\dot{I})} = \frac{0{}3}{0{}6} = 0{}5 bulunur.
Öğrencinin İngilizce bildiği kesin olduğundan, örnek uzayımız İngilizce bilenler kümesiyle sınırlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Alternatif Yöntem

Kişi sayısı üzerinden de gidilebilir. Sınıf mevcudu 100 kişi kabul edilirse; İngilizce konuşan 60 kişi, Almanca konuşan 50 kişi ve her iki dili de konuşan 30 kişi olur. Seçilen öğrencinin İngilizce konuştuğu bilindiğine göre yeni örnek uzayımız İngilizce konuşan 60 kişidir. Bu 60 kişiden 30'u Almanca da bildiğinden, istenen olasılık 3060=12=05\frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0{}5 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 58Soru →

A torbasında 33 mavi ve 22 kırmızı bilye, B torbasında ise 22 mavi ve 44 kırmızı bilye bulunmaktadır. Önce A torbasından rastgele seçilen iki bilye B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından rastgele seçilen iki bilye A torbasına atılıyor. Son durumda A torbasındaki mavi bilye sayısının başlangıçtaki mavi bilye sayısı ile aynı olduğu bilindiğine göre, A torbasından B torbasına atılan bilyelerin farklı renklerde olma olasılığı en sade haliyle ab\frac{a}{b} (aa ve bb pozitif tam sayılar) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Son durumda A torbasında başlangıçtaki kadar mavi bilye kalması koşulu altında, ilk adımda farklı renkte bilyelerin aktarılmış olma olasılığı en sade şekliyle 30/41 olup, pay ve paydanın toplamı 71'dir.
Son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması koşulu, tüm olası durumların (2 mavi aktarılması, 1 mavi 1 kırmızı aktarılması veya 2 kırmızı aktarılması durumları) uygun geri dönüş olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilen 123/280 olasılığına sahip bir koşuldur. Bu koşul altında ilk aktarımda farklı renk bilyelerin (1 mavi, 1 kırmızı) seçilmiş olma olasılığı, bu duruma ait ortak olasılığın (90/280) toplam koşul olasılığına (123/280) bölünmesiyle 30/41 olarak bulunur. En sade haliyle yazılan bu kesrin pay ve paydanın toplamı 30 + 41 = 71 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A torbasından B torbasına bilye aktarımı için olası durumları ve bu durumların olasılıklarını hesaplama
2 mavi bilye aktarma olasılığı 3/10; 1 mavi, 1 kırmızı bilye aktarma olasılığı 6/10; 2 kırmızı bilye aktarma olasılığı 1/10 olarak bulunur.
İlk aktarımda A torbasından seçilebilecek bilye kombinasyonlarının olasılıklarını belirlemek için kombinasyon kullanılır.
2
Her bir aktarım durumu için, son durumda A'daki mavi bilye sayısının 3 olmasını sağlayacak geri aktarım olasılıklarını ve bu durumların ortak olasılıklarını hesaplama
2 mavi aktarıldığında A'da tekrar 3 mavi kalma ortak olasılığı 18/280; farklı renk aktarıldığında 90/280; 2 kırmızı aktarıldığında ise 15/280 olarak hesaplanır.
Koşulun gerçekleşmesini sağlayan tüm olası yolların ortak olasılıklarını elde etmek gerekir.
3
Koşulun (son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması) gerçekleşme olasılığını bulma
P(A'da 3 Mavi) = 18/280 + 90/280 + 15/280 = 123/280.
Koşullu olasılık formülündeki payda değerini (koşulun gerçekleşme olasılığını) bulmak için tüm ortak olasılıklar toplanır.
4
Koşullu olasılık formülüyle farklı renkte bilye aktarılmış olma olasılığını bulma
Olasılık = (90/280) / (123/280) = 30/41 olarak bulunur.
Verilen koşul altında istenen durumun olasılığını bulmak için Bayes teoremi / daraltılmış örnek uzay mantığı uygulanır.
5
Elde edilen en sade kesrin pay ve paydanın toplamını hesaplama
30 + 41 = 71.
Soruda istenen a + b toplamını bulmak için sadeleştirilmiş kesrin pay ve payda değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

İki yönlü bilye aktarımı içeren ve örnek uzayın daraltılmasını gerektiren koşullu olasılık hesabı
Soru 59Soru →

Bir yazılım firması, geliştirdiği bir uygulama için kullanıcılardan aşağıdaki kurallara uygun 4 basamaklı şifreler oluşturmalarını istemektedir:

* Şifrenin tüm basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan rakamlar soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
* Şifrede kullanılacak rakamlar {1,2,3,4,5,6,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları arasından seçilmelidir.

Bu şifrede yer alan rakamlardan en az iki tanesinin çift sayı olması istendiğine göre, bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Bu kurallara uygun 22 farklı şifre oluşturulabilir.
Kümedeki tek rakamlar {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet) ve çift rakamlar {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 adet) olarak ayrılır. Rakamlar soldan sağa doğru artan sırada yazılacağı için her 4 elemanlı seçim tek bir şifre üretir. En az 2 çift sayı koşulu için; 2 çift ve 2 tek rakam seçimi (32)⋅(42)=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 18 şekilde, veya 3 çift ve 1 tek rakam seçimi (33)⋅(41)=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 4 şekilde yapılabilir. Toplam şifre sayısı 18+4=2218 + 4 = 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 tane), Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 tane)
Şartlardaki tek ve çift sayı seçimlerini ayrı gruplardan yapabilmek için küme elemanlarını sınıflandırmamız gerekir.
2
Sıralama kısıtını analiz etme
Seçilen her 4 elemanlı küme için tek bir şifre yazılabilir.
��ifrenin basamaklarındaki rakamların soldan sağa doğru artan sırada olması istenmektedir. Seçilen her farklı 4 rakam grubu yalnızca tek bir şekilde (küçükten büyüğe) sıralanabileceğinden, sıralama hesabı (permütasyon) yapmaya gerek yoktur; sadece seçim (kombinasyon) yapmak yeterlidir.
3
En az iki çift sayı içerme durumlarını hesaplama
Toplam 22 farklı seçim yapılır.
En az 2 çift sayı seçilmesi koşulu iki alt durumda incelenir:
1) Tam 2 çift sayı ve 2 tek sayı seçilmesi: (32)⋅(42)=3⋅6=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 3 \cdot 6 = 18 durum.
2) Tam 3 çift sayı ve 1 tek sayı seçilmesi: (33)⋅(41)=1⋅4=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 1 \cdot 4 = 4 durum. Bu iki durumun toplamı 18+4=2218 + 4 = 22 olur.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Sıralama Bağımsız Seçimler

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Seçilebilecek tüm 4 elemanlı grupların sayısı (74)=35\binom{7}{4} = 35'tir. İstenmeyen durumlar, şifrede 2'den az çift sayı bulunmasıdır:
1) Hiç çift sayı bulunmaması (4 tek sayı seçilmesi): (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum.
2) Sadece 1 çift sayı bulunması (1 çift, 3 tek sayı seçilmesi): (31)⋅(43)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{3} = 3 \cdot 4 = 12 durum.
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 35−(1+12)=2235 - (1 + 12) = 22 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 60Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(x+1x3)n\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^n
ifadesinin açılımındaki rasyonel terimlerin (yani xx değişkeninin üssü tam sayı olan terimlerin) sayısı 4'tür.
Buna göre, nn sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

n sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı 43'tür.
Genel terim formülü ile xx'in üssü 3n−5r6\frac{3n-5r}{6} olarak bulunur. Bu üssün tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir. nn çift ise rr değerleri 0,6,12,180, 6, 12, 18 olup en küçük nn değeri 18'dir. nn tek ise rr değerleri 3,9,15,213, 9, 15, 21 olup en büyük nn değeri 25'tir. Bu iki değerin toplamı 18+25=4318 + 25 = 43 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim form��lünü yazıp xx değişkeninin üssünü bulunuz.
Genel terim Tr+1=(nr)(x1/2)n−r(x−1/3)r=(nr)x3n−5r6T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{1/2})^{n-r} (x^{-1/3})^r = \binom{n}{r} x^{\frac{3n-5r}{6}} şeklindedir.
Binom açılımındaki terimlerin kuvvetlerini bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
xx değişkeninin üssünün tam sayı olma koşulunu belirleyiniz.
3n−5r6\frac{3n-5r}{6} ifadesinin tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir.
Terimin rasyonel olması için xx'in kuvvetinin bir tam sayı olması gerekir.
3
nn sayısının tek ve çift olma durumlarına göre rr'nin alabileceği değerleri analiz ediniz.
Eğer nn çift ise r≡0(mod6)r \equiv 0 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{0,6,12,18}r \in \{0, 6, 12, 18\} olmalıdır, buradan 18≤n<2418 \le n < 24 elde edilir. Çift nn değerleri {18,20,22}\{18, 20, 22\} olur. Eğer nn tek ise r≡3(mod6)r \equiv 3 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{3,9,15,21}r \in \{3, 9, 15, 21\} olmalıdır, buradan 21≤n<2721 \le n < 27 elde edilir. Tek nn değerleri {21,23,25}\{21, 23, 25\} olur.
Terim sayısının tam olarak 4 olması koşulunu sağlayan sınırları tespit etmek için modüler analiz yapılır.
4
nn değerlerinin en büyüğünü ve en küçüğünü tespit edip toplayınız.
nn'nin alabileceği en küçük değer 18, en büyük değer ise 25'tir. Toplamları 18+25=4318 + 25 = 43 olur.
İstenen sonucu bulmak için belirlenen değer kümesindeki uç elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim bulma ve terimlerin rasyonellik şartı
ÖncekiSayfa 3 / 8Sonraki