Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 321Soru →

Aşağıda verilen aa, bb, cc ve dd trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama d < b < c < a şeklindedir.
Kotanjantın negatif olması dd değerini en küçük yapar. Diğer pozitif terimlerin birinci bölgeye indirgenmiş halleri b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede sinüsün tanjanttan küçük olması ve yarım açı analizinden sin⁡(80∘)>tan⁡(40∘)\sin(80^\circ) > \tan(40^\circ) gelmesi nedeniyle doğru sıralama d<b<c<ad < b < c < a olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadelerin bölgelerini belirleyip işaret analizi yapma.
d=cot⁡(310∘)<0d = \cot(310^\circ) < 0 (IV. bölge), b=cos⁡(290∘)>0b = \cos(290^\circ) > 0 (IV. bölge), c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (III. bölge) ve a=sin⁡(100∘)>0a = \sin(100^\circ) > 0 (II. bölge) bulunur.
Negatif olan dd değerinin en küçük terim olduğunu saptamak için.
2
Pozitif değerleri I. bölgedeki dar açılara indirgeme.
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerleri elde edilir.
Birinci bölgede bilinen sıralama kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için.
3
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) ile c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerini karşılaştırma.
0<x<90∘0 < x < 90^\circ için sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x olduğundan sin⁡(20∘)<tan⁡(20∘)\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ)'dir. Tanjant fonksiyonu birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ) olur. Buradan b<cb < c elde edilir.
Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının birinci bölgedeki davranışlarını kıyaslamak için.
4
c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ile a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerlerini karşılaştırma.
sin⁡(80∘)=2sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\sin(80^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) yarım açı açılımı ile tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} kıyaslanır. İki ifade oranlandığında sin⁡(80∘)tan⁡(40∘)=2cos⁡2(40∘)\frac{\sin(80^\circ)}{\tan(40^\circ)} = 2 \cos^2(40^\circ) elde edilir. 40∘<45∘40^\circ < 45^\circ olduğundan cos⁡(40∘)>cos⁡(45∘)=22\cos(40^\circ) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ve dolayısıyla cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > \frac{1}{2} olur. Buradan 2cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > 1 yani a>ca > c elde edilir.
Yarım açı formülü yardımıyla iki pozitif değer arasındaki kesin büyüklük ilişkisini kurmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri, indirgeme formülleri ve birinci bölgedeki büyüklük ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 322Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=512\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{5}{12}

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1213-\frac{12}{13}

Cevap

Negatif on iki bölü on üç
Verilen ifade yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} bulunur. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüsün işareti negatiftir. Karşı dik kenarı 5, komşu dik kenarı 12 olan dik üçgenden komşu/hipotenüs oranı yardımıyla cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kesirli ifadeyi yarım açı formülleri kullanarak sadeleştirin.
2sin⁡xcos⁡x1+(2cos⁡2x−1)=2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=tan⁡x=512\frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \tan x = \frac{5}{12}
Payda kısmındaki 1 sayısını sadeleştirmek için cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülü, pay kısmında ise sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülü kullanılmıştır.
2
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik değerlerin işaretlerini belirleyin.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan açımız ��çüncü bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin doğru tespit edilmesi gerekmektedir.
3
Dik üçgen yardımıyla cos⁡x\cos x değerini hesaplayın.
cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13}
tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} oranına uygun çizilen dik üçgende karşı kenar 5, komşu kenar 12 ve hipotenüs 13'tür. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan sonuç eksi işaretli olmalıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik yarım açı formüllerinin uygulanması ve bölgelere göre işaret analizi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 323Soru →
tan⁡(12arccos⁡(−35))\tan\left(\frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İfadenin doğru değeri 22 olmalıdır.
Verilen ifade θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olarak tanımlandığında, arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan θ\theta açısı ikinci bölgededir ve cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} olur. Bu açının yarısı olan θ2\frac{\theta}{2} ise birinci bölgede yer alır ve tanjant değeri pozitif olmalıdır. Yarım açı formülü tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)=1−(−3/5)1+(−3/5)=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = \frac{1 - (-3/5)}{1 + (-3/5)} = 4 şeklinde işletildiğinde, karekök alındıktan sonra bölge gereği pozitif olan 22 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters kosinüs fonksiyonunun açısını bir değişkene atayarak değer aralığını belirlemek.
θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olsun. arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} eşitliğini sağlayan θ\theta açısı ikinci bölgededir (θ∈(π2,π)\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)).
Ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre açının hangi bölgede olduğunu tespit etmek, işlem yönünü belirlemek için ilk adımdır.
2
Yarım açının bulunduğu bölgeyi ve trigonometrik işaretini analiz etmek.
θ\theta açısı (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi) aralığında olduğundan, yarım açı olan θ2\frac{\theta}{2} açısı (π4,π2)(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) aralığında, yani birinci bölgede yer alır. Birinci bölgedeki tüm açılar için tanjant değeri pozitif olduğundan tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olmalıdır.
Yarım açının tanjant değerinin işaretini doğru saptamak, karekök dışına çıkacak değerin artı veya eksi olacağını belirler.
3
Yarım açı formülü kullanarak tanjant değerini hesaplamak.
tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} formülünden yararlanılarak, tan⁡2(θ2)=1−(−35)1+(−35)=8/52/5=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{8/5}{2/5} = 4 elde edilir. tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olduğu için tan⁡(θ2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 bulunur.
Yarım açının tanjant karesini bulup, bölge analizinden elde edilen pozitif kökü seçerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters kosinüs fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığı ile sınırlıdır. Negatif girdiler için bu açı ikinci bölgededir. İkinci bölgedeki bir açının yarısı birinci bölgeye düşer ve birinci bölgede tanjant pozitiftir.

Alternatif Yöntem

Bütünler açı yardımıyla dik üçgen çizerek çözmek için: θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) ise cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} ve θ\theta bir geniş açıdır. Bu açının bütünleri α=π−θ\alpha = \pi - \theta olsun, böylece cos⁡(α)=35\cos(\alpha) = \frac{3}{5} olur. Kenarları 3-4-5 olan bir dik üçgen çizelim (komşu kenar 3, karşı kenar 4). Komşu kenarı hipotenüs uzunluğu kadar (5 birim) dışarıya doğru uzatarak yeni bir dik üçgen oluşturduğumuzda, oluşan yeni açının tanjantı tan⁡(α2)=43+5=12\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4}{3+5} = \frac{1}{2} olur. θ2=π2−α2\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} olduğundan, tan⁡(θ2)=tan⁡(π2−α2)=cot⁡(α2)=1tan⁡(α/2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\tan(\alpha/2)} = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 324Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=∣AC∣=7 birim|AB| = |AC| = 7\text{ birim}
∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim}
∣BD∣=5 birim|BD| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

CD uzunluğu 8 birimdir.
Ardışık iki üçgende Kosinüs Teoremi uygulanıp, bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olduğu bilgisi doğru bir şekilde kullanıldığında ∣CD∣|CD| uzunluğu 88 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(ADB^)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\widehat{ADB})
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(ADB^)7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ADB})
49=9+25−30cos⁡(ADB^)49 = 9 + 25 - 30 \cos(\widehat{ADB})
15=−30cos⁡(ADB^)  ⟹  cos⁡(ADB^)=−1215 = -30 \cos(\widehat{ADB}) \implies \cos(\widehat{ADB}) = -\frac{1}{2}
ABDABD üçgeninin tüm kenar uzunlukları bilindiği için ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri doğrudan belirlenebilir.
2
BB, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, bütünler açılar kuralı kullanılarak ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−ADB^)=−cos⁡(ADB^)=−(−12)=12\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{ADB}) = -\cos(\widehat{ADB}) = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}
ADCADC üçgeninde işlem yapabilmek için bu üçgendeki ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri gereklidir.
3
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=32+x2−2⋅3⋅x⋅127^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2}
49=9+x2−3x49 = 9 + x^2 - 3x
x2−3x−40=0x^2 - 3x - 40 = 0
(x−8)(x+5)=0(x - 8)(x + 5) = 0
x=8 veya x=−5x = 8 \text{ veya } x = -5
Uzunluk negatif olamayacağı için x=8x = 8 değeri çözüm olarak kabul edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarlar arasındaki bağıntıyı kurmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüsleri birbirinin zıt işaretlisidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 325Soru →
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=1\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kπk\pi radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki gerçel köklerinin toplamı 4\pi radyan olup, k değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem payda eşitleme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirildiğinde cos(2x) = 1/4 denklemine indirgenir. Paydayı sıfır yapan sin(2x) = 0 değerleri elendikten sonra, cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki 4 farklı kökü simetri yardımıyla toplandığında 4π elde edilir. Bu nedenle k değeri 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanımlı olduğu kümeyi ve paydaları sıfır yapan değerleri belirleyin.
sin(x) ≠ 0 ve cos(x) ≠ 0 olmalıdır. Bu durum sin(2x) ≠ 0 olmasını gerektirir. Dolayısıyla x ≠ π/2, x ≠ π ve x ≠ 3π/2 olmalıdır.
Tanımsızlığa yol açan x değerleri çözüm kümesinden dışlanmalıdır.
2
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi payda eşitleyerek sadeleştirin.
Payda eşitleme sonucunda sol taraf [sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x)] / [sin(x)cos(x)] haline gelir. Toplam formülünden pay sin(4x), yarım açı formülünden payda (1/2)sin(2x) olur. Denklem 2sin(4x) / sin(2x) = 1 biçimine dönüşür. sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) açılımı yapılıp sin(2x) ≠ 0 koşulu altında sadeleştirme uygulandığında 4cos(2x) = 1 elde edilir.
Trigonometrik toplam ve yarım açı formülleri kullanılarak denklem en sade biçimine getirilir.
3
cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.
2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında u ∈ (0, 4π) olur. cos(u) = 1/4 denkleminin bu aralıkta 4 kökü vardır: u₁ = θ, u₂ = 2π - θ, u₃ = 2π + θ, u₄ = 4π - θ (burada θ ∈ (0, π/2) ve cos(θ) = 1/4). Buradan x değerleri sırasıyla x₁ = θ/2, x₂ = π - θ/2, x₃ = π + θ/2, x₄ = 2π - θ/2 olarak bulunur. Bu değerlerin hiçbiri dışlanan değerlerle çakışmaz.
cos(2x) = 1/4 denklemini sağlayan açıların simetrik konumları belirlenir.
4
Kökleri toplayıp k değerini elde edin.
Köklerin toplamı (θ/2) + (π - θ/2) + (π + θ/2) + (2π - θ/2) = 4π radyandır. Buradan k = 4 bulunur.
Tüm geçerli köklerin toplamı alınarak kπ ifadesine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde payda sınırlamalarının kontrolü ve simetri yoluyla kökler toplamının bulunması
Soru 326Soru →
Bir ABCABC üçgeninde, tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B değerleri
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0
denkleminin kökleridir.

Buna göre, tan⁡C\tan C değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Tanjant değeri beş b��lü iki olan seçenektir.
Üçgenin iç açılar toplamından tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) yazılır. Verilen denklemin kökleri tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B olduğundan, kökler toplamı 55, kökler çarpımı ise 33 olur. Tanjant toplam formülünden tan⁡(A+B)=51−3=−52\tan(A+B) = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2} bulunur. Buradan tan⁡C=−(−52)=52\tan C = -(-\frac{5}{2}) = \frac{5}{2} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamı bağıntısını kullanarak CC açısını AA ve BB türünden ifade etme
C=180∘−(A+B)C = 180^\circ - (A+B) ve buradan tan⁡C=tan⁡(180∘−(A+B))=−tan⁡(A+B)\tan C = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B)
ABCABC üçgeninde A+B+C=180∘A+B+C = 180^\circ olduğundan iki açının toplamının bütünleri olan açının tanjantı, toplamın tanjantının ters işaretlisine eşittir.
2
Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini (Vieta formülleri) uygulama
tan⁡A+tan⁡B=5\tan A + \tan B = 5 ve tan⁡A⋅tan⁡B=3\tan A \cdot \tan B = 3
tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B değerleri x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri olduğundan kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a bağıntıları kullanılır.
3
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(A+B)\tan(A+B) değerini hesaplama
tan⁡(A+B)=51−3=−52\tan(A+B) = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2}
tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} formülü kullanılır.
4
tan⁡C\tan C değerini bulma
tan⁡C=−(−52)=52\tan C = -\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2}
İlk adımda elde edilen tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) bağıntısında tan⁡(A+B)\tan(A+B) değeri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin iç açılarının toplamı ve tanjant toplam formülünün ikinci dereceden denklemlerin kök katsayı ilişkileriyle birlikte uygulanması
Soru 327Soru →

Analitik düzlemde A(2,6)A(2, 6) ve B(5,3)B(5, 3) noktaları ile xx-ekseni üzerinde yer alan bir P(x,0)P(x, 0) noktası veriliyor.

x>5x > 5 olmak üzere, APAP ve BPBP doğrularının xx-ekseniyle yaptıkları dar açılar sırasıyla α\alpha ve β\beta'dır.

tan⁡(α−β)=18\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{8}

olduğuna göre, PP noktasının apsisinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

31
Doğru cevap olan 31, analitik düzlemde doğruların eğimleri yardımıyla dar açıların tanjantlarının sırasıyla tan⁡α=6x−2\tan\alpha = \frac{6}{x-2} ve tan⁡β=3x−5\tan\beta = \frac{3}{x-5} şeklinde ifade edilmesi, ardından tanjant fark formülüyle elde edilen x2−31x+220=0x^2 - 31x + 220 = 0 denkleminin kökleri olan 11 ve 20 değerlerinin toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A(2, 6) ve B(5, 3) noktalarından x-ekseni üzerindeki P(x, 0) noktasına çizilen doğruların eğimlerini bulunuz.
mAP=6−02−x=−6x−2m_{AP} = \frac{6 - 0}{2 - x} = -\frac{6}{x - 2} ve mBP=3−05−x=−3x−5m_{BP} = \frac{3 - 0}{5 - x} = -\frac{3}{x - 5}
Bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın koordinat farkları oranı ile hesaplanır.
2
Doğruların x-ekseni ile yaptıkları dar açıların tanjant değerlerini yazınız.
tan⁡α=6x−2\tan\alpha = \frac{6}{x - 2} ve tan⁡β=3x−5\tan\beta = \frac{3}{x - 5}
x > 5 için doğruların eğimleri negatiftir. Bu doğruların x-ekseniyle yaptıkları dar açıların tanjantları, eğimlerin mutlak değerlerine eşittir.
3
Tanjant fark formülünü kullanarak denklemi kurunuz.
tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β⇒6x−2−3x−51+18(x−2)(x−5)=18\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} \Rightarrow \frac{\frac{6}{x - 2} - \frac{3}{x - 5}}{1 + \frac{18}{(x - 2)(x - 5)}} = \frac{1}{8}
Verilen tanjant fark değerini x cinsinden ifade etmek için iki açının farkının tanjant formülü kullanılır.
4
Denklemi sadeleştirip x değerlerini belirleyiniz ve toplamlarını hesaplayınız.
3x−24x2−7x+28=18⇒x2−31x+220=0⇒(x−11)(x−20)=0\frac{3x - 24}{x^2 - 7x + 28} = \frac{1}{8} \Rightarrow x^2 - 31x + 220 = 0 \Rightarrow (x - 11)(x - 20) = 0 Buradan x=11x = 11 veya x=20x = 20 elde edilir. Köklerin her ikisi de x>5x > 5 şartını sağlar. Toplamları: 11+20=3111 + 20 = 31.
Elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek x > 5 şartını sağlayan köklerin toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

İki doğrunun arasındaki açının veya x-ekseniyle yaptıkları dar açıların farkının tanjantını bulmak için tanjant fark formülünün analitik düzlemde uygulanması.
Soru 328Soru →
θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4
olduğuna göre, cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Soruda istenen cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri 0,50,5 olarak bulunur.
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 eşitliğinden sin⁡(2θ)=1/2\sin(2\theta) = 1/2 elde edilir. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2A)=1−2sin⁡2(A)\cos(2A) = 1 - 2\sin^2(A) bağıntısında A=2θA = 2\theta alınırsa, cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(1/2)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(1/2)^2 = 0,5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 ifadesinde trigonometrik özdeşlikleri yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θ⋅cos⁡θ=4  ⟹  sin⁡θ⋅cos⁡θ=14\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = 4 \implies \sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{4}
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpım durumuna getirmek için.
2
Elde edilen çarpımı 22 ile çarparak sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅14=12\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Açıyı iki katına çıkarıp yarım açı formülünü elde etmek için.
3
cos⁡(4θ)\cos(4\theta) ifadesini yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) cinsinden açıp değeri yerine koyun.
cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(12)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0,5
İstenen kosinüs değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yarım açı formülleri (sinüs ve kosinüs iki kat açı formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 329Soru →
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xb=sin⁡xtan⁡xc=cos⁡xcot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \cos x \\ b &= \frac{\sin x}{\tan x} \\ c &= \frac{\cos x}{\cot x} \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x elde edilir. Dördüncü bölgede cos⁡x\cos x pozitif, sin⁡x\sin x ise negatif değer alır. Bu nedenle b>0b > 0 olup en büyük değerdir. Negatif olan a=sin⁡xcos⁡xa = \sin x \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x değerlerini karşılaştırmak için, 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif bir sayı olan sin⁡x\sin x ile çarpılır. Bu işlem eşitsizliği yön değiştirerek sin⁡xcos⁡x>sin⁡x\sin x \cos x > \sin x yani a>ca > c haline getirir. Sonuç olarak doğru sıralama en küçükten büyüğe c<a<bc < a < b olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri temel kimlikleri kullanarak sadeleştirin.
b=sin⁡xtan⁡x=sin⁡xsin⁡xcos⁡x=cos⁡xb = \frac{\sin x}{\tan x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x ve c=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x olarak bulunur. a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x ifadesi ise aynı kalır.
İfadeleri birbiriyle kıyaslayabilmek adına en sade biçimlerine dönüştürmek gerekir.
2
Değişkenin tanımlı olduğu bölgeye göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz edin.
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) aralığı koordinat düzleminde 4. bölgeye aittir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0 (negatif) ve 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 (pozitif) olur.
İfadelerin işaret ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizi şarttır.
3
Bulunan işaret ve değer aralıklarını kullanarak değerleri sıralayın.
b=cos⁡x>0b = \cos x > 0 olduğundan en büyük değer bb olur. sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x zıt işaretli olduğundan çarpımları a=sin⁡x⋅cos⁡x<0a = \sin x \cdot \cos x < 0 olur. Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslamak için 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif olan sin⁡x\sin x ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir: sin⁡x⋅cos⁡x>sin⁡x⇒a>c\sin x \cdot \cos x > \sin x \Rightarrow a > c olur. Buradan c<a<bc < a < b sıralamasına ulaşılır.
Kosinüsün pozitif basit kesir olması ve sinüsün negatif olması özelliklerinden yararlanarak sıralamayı tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.
Soru 330Soru →
cos⁡(3x)cos⁡(x)=2sin⁡(x)\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 2\sin(x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: π\pi

Cevap

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı π\pi radyandır.
Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığında tanımlı ve geçerli olan iki kökü vardır. Bu kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} değerleridir. Bu iki kökün toplamı π10+9π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \pi radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenlemek ve tanımsızlık şartını belirlemek.
cos⁡(3x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\cos(3x) = 2\sin(x)\cos(x) elde edilir. Burada sağ tarafta yarım açı formülü uygulanırsa denklem cos⁡(3x)=sin⁡(2x)\cos(3x) = \sin(2x) biçimine dönüşür. Ancak başlangıçtaki rasyonel ifadede payda sıfırdan farklı olmak zorunda olduğundan, cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 yani x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) olmalıdır.
Denklemi standart trigonometrik denklem çözme formuna getirmek ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden elemek için.
2
Kosinüs ve sinüs ifadelerini aynı cinsten yazarak genel çözüm formüllerini oluşturmak.
cos⁡(3x)=cos⁡(π2−2x)\cos(3x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) olarak yazılır. Buradan iki farklı genel çözüm durumu ortaya çıkar:

1. Durum:
3x=(π2−2x)+2kπ  ⟹  5x=π2+2kπ  ⟹  x=π10+2kπ53x = \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}

2. Durum:
3x=−(π2−2x)+2kπ  ⟹  3x=−π2+2x+2kπ  ⟹  x=−π2+2kπ3x = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
Kosinüs denklemlerinin genel çözüm kurallarını uygulayarak tüm olası kökleri içeren formüllere ulaşmak için.
3
Genel çözümlerden (0,π)(0, \pi) açık aralığına düşen kökleri bulmak ve geçerliliğini denetlemek.
1. Durum için:
- k=0  ⟹  x1=π10k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x1)≠0\cos(x_1) \neq 0 şartını sağlar.)
- k=1  ⟹  x2=5π10=π2k=1 \implies x_2 = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} (Aralıktadır ancak başlangıçtaki denklemin paydasını sıfır yaptığı için geçersizdir.)
- k=2  ⟹  x3=9π10k=2 \implies x_3 = \frac{9\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x3)≠0\cos(x_3) \neq 0 şartını sağlar.)
- Diğer kk değerleri için kökler (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır.

2. Durum için:
- k=1  ⟹  x=3π2k=1 \implies x = \frac{3\pi}{2} değeri (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır ve bu durumdan aralığa uyan geçerli bir kök elde edilmez.
Belirtilen sınırlı aralıktaki kökleri tespit etmek ve paydanın sıfır olma durumunu inceleyerek hatalı kökleri ayıklamak için.
4
Bulunan geçerli köklerin toplamını hesaplamak.
Geçerli kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} olarak bulunmuştur. Toplamları:
π10+9π10=10π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \frac{10\pi}{10} = \pi radyandır.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemler ve Çözüm Kümelerinde Tanımsızlık Kontrolü
Soru 331Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=arcsin⁡(2x−75)+arccot(116−x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x - 7}{5}\right) + \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun her iki teriminin tanımlılık şartları kesiştirildiğinde elde edilen tanım kümesi [1,4)[1, 4) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1, 2, 3) toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin fonksiyonunun tanımlılık şartının uygulanması
1≤x≤61 \le x \le 6
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır. −1≤2x−75≤1⇒−5≤2x−7≤5⇒2≤2x≤12⇒1≤x≤6-1 \le \frac{2x-7}{5} \le 1 \Rightarrow -5 \le 2x - 7 \le 5 \Rightarrow 2 \le 2x \le 12 \Rightarrow 1 \le x \le 6 elde edilir.
2
Köklü ve rasyonel ifadenin tanımlılık şartının uygulanması
−4<x<4-4 < x < 4
Paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı olması ve tanımsızlık yaratmaması için kök içinin sıfırdan kesinlikle büyük olması gerekir: 16−x2>0⇒x2<16⇒−4<x<416 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 elde edilir.
3
Tanım kümelerinin kesişiminin bulunması
[1,4)[1, 4)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu nedenle elde edilen aralıkların kesişimi alınır: [1,6]∩(−4,4)=[1,4)[1, 6] \cap (-4, 4) = [1, 4).
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplanması
6
[1,4)[1, 4) yarı açık aralığındaki tam sayı değerleri 1, 2 ve 3'tür. Bu değerlerin toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 yapar.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım kümelerinin bulunması ve kesişim mantığı
Soru 332Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir.

Bu uzunluklar arasında
a2−c2=b2+b⋅ca^2 - c^2 = b^2 + b \cdot c

bağıntısı olduğuna göre, AA açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Açının ölçüsü 120 derecedir.
Verilen bağıntı düzenlenip Kosinüs Teoremi ile karşılaştırıldığında cos⁡(A)=−1/2\cos(A) = -1/2 eşitliği elde edilir. Üçgenin iç açısı olan AA için bu değeri sağlayan tek açı 120 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı düzenleyerek a2a^2 ifadesini yalnız bırakın.
a2=b2+c2+b⋅ca^2 = b^2 + c^2 + b \cdot c
Kosinüs Teoremi formülü ile doğrudan karşılaştırma yapabilmek amac��yla a2a^2 terimi yalnız bırakılmıştır.
2
Elde edilen bağıntıyı Kosinüs Teoremi formülüyle (a2=b2+c2−2bccos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)) karşılaştırın.
b2+c2+b⋅c=b2+c2−2bccos⁡(A)  ⟹  b⋅c=−2bccos⁡(A)b^2 + c^2 + b \cdot c = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \implies b \cdot c = -2bc \cos(A)
Her iki denklem de a2a^2 değerini verdiğinden sağ taraftaki ifadeler birbirine eşitlenir.
3
b⋅cb \cdot c ifadesini sadeleştirerek cos⁡(A)\cos(A) değerini yalnız bırakın.
cos⁡(A)=−12\cos(A) = -\frac{1}{2}
Üçgenin kenar uzunlukları olan bb ve cc sıfırdan büyük olduğundan sadeleştirme yapılabilir.
4
0∘<A<180∘0^\circ < A < 180^\circ aralığında kosinüs değeri −12-\frac{1}{2} olan açıyı bulun.
m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ
Kosinüsü negatif olan bir üçgen açısı geniş açıdır ve cos⁡(120∘)=−cos⁡(60∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -1/2 bağıntısı gereği AA açısı 120 derecedir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi: Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamından bu kenarların uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasıyla bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 333Soru →

Bir ABCDABCD paralelkenarında ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AD∣=6 birim|AD| = 6\text{ birim} ve m(BAD^)=120∘m(\widehat{BAD}) = 120^\circ dir.
[AB][AB] kenarı üzerinde ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası, [AD][AD] kenarı üzerinde ise ∣AF∣=5 birim|AF| = 5\text{ birim} olacak şekilde bir FF noktası belirleniyor.

Buna göre, EE ve FF noktaları arasındaki uzaklık (∣EF∣|EF|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

E ve F noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
E ve F noktaları arasındaki uzaklık Kosinüs Teoremi kullanılarak 7 birim olarak bulunur. Geniş açının kosinüsü olan cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değerinin işareti doğru uygulandığında ∣EF∣2=32+52−2(3)(5)(−1/2)=49|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-1/2) = 49 eşitliğinden doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AEFAEF üçgenindeki tepe açısının belirlenmesi
m(EAF^)=120∘m(\widehat{EAF}) = 120^\circ
EE ve FF noktaları sırasıyla [AB][AB] ve [AD][AD] kenarları üzerinde olduğundan EAF^\widehat{EAF} açısı, paralelkenarın BAD^\widehat{BAD} açısı ile aynıdır.
2
Kosinüs Teoremi formülünün yazılması ve değerlerin yerine konulması
∣EF∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
3
Hesaplamanın tamamlanarak ∣EF∣|EF| değerinin bulunması
∣EF∣=7|EF| = 7
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} değeri yerine yazılarak ∣EF∣2=49|EF|^2 = 49 elde edilir ve karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla iki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende üçüncü kenar uzunluğunun hesaplanması.
Soru 334Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡x1+cos⁡x+1+cos⁡x1−cos⁡x\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2csc⁡x-2\csc x

Cevap

−2csc⁡x-2\csc x ifadesini içeren seçenek doğrudur.
Verilen ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşleniklerle çarptığımızda paydada sin⁡2x\sin^2 x elde ederiz. Bu ifade kök dışına ∣sin⁡x∣|\sin x| olarak çıkar. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için sin⁡x\sin x negatif değer alır ve mutlak değerden −sin⁡x-\sin x olarak kurtulur. Pay kısmındaki mutlak değerli ifadeler ise pozitif olduklarından aynen çıkarlar. Toplama işlemi yapıldığında cos⁡x\cos x terimleri birbirini götürür ve pay kısmında 22 kalır. Paydada −sin⁡x-\sin x olduğu için sonuç −2csc⁡x-2\csc x olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Köklü ifadelerin paydalarını rasyonel yapmak için pay ve paydayı eşlenikleriyle genişletelim.
(1−cos⁡x)2(1+cos⁡x)(1−cos⁡x)+(1+cos⁡x)2(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=(1−cos⁡x)21−cos⁡2x+(1+cos⁡x)21−cos⁡2x\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}}
Paydaları ortak bir paydaya (yani sin⁡2x\sin^2 x ifadesine) dönü��türerek tek paydada yazabilmek için.
2
1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x özdeşliğini kullanalım ve ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
(1−cos⁡x)2sin⁡2x+(1+cos⁡x)2sin⁡2x=∣1−cos⁡x∣∣sin⁡x∣+∣1+cos⁡x∣∣sin⁡x∣\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{\sin^2 x}} = \frac{|1 - \cos x|}{|\sin x|} + \frac{|1 + \cos x|}{|\sin x|}
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadelerin mutlak değerli olarak yazılması gerektiği kuralını uygulamak için.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına (3. bölge) göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleyelim.
3. bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>01 - \cos x > 0 ve 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣1−cos⁡x∣=1−cos⁡x|1 - \cos x| = 1 - \cos x ve ∣1+cos⁡x∣=1+cos⁡x|1 + \cos x| = 1 + \cos x olarak çıkar. Yine 3. bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 olduğundan ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olarak çıkar.
Mutlak değerli ifadeleri aralığın işaret özelliklerine göre mutlak değer dışına çıkarmak için.
4
Belirlediğimiz işaretlerle ifadeleri yerlerine yazıp toplayalım.
1−cos⁡x−sin⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=1−cos⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=2−sin⁡x=−2csc⁡x\frac{1 - \cos x}{-\sin x} + \frac{1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{2}{-\sin x} = -2\csc x
İfadeyi en sade biçime getirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler, bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve köklü ifadelerin mutlak değer ile dışarı çıkarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 335Soru →
Her nn adedi pozitif tam sayı olmak üzere, ana_n dizisinin genel terimi
an=arctan⁡(1n2+n+1)a_n = \arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)
olarak tanımlanıyor.
Buna göre,
tan⁡(a1+a2+a3+a4)\tan\left(a_1 + a_2 + a_3 + a_4\right)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23\frac{2}{3}

Cevap

İfadenin doğru değeri 23\frac{2}{3} olarak bulunur.
Genel terim arctan⁡(n+1)−arctan⁡(n)\arctan(n+1) - \arctan(n) şeklinde açıldıktan sonra teleskopik toplam yöntemiyle aradaki terimler birbirini götürür ve geriye arctan⁡(5)−arctan⁡(1)\arctan(5) - \arctan(1) kalır. Bu ifadenin tanjantı alınırken tanjant fark formülü uygulandığında doğru cevap 23\frac{2}{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimin toplam-fark formülüne uyarlanması
an=arctan⁡((n+1)−n1+n(n+1))a_n = \arctan\left(\frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}\right)
Ters tanjant fark formülü olan arctan⁡x−arctan⁡y=arctan⁡(x−y1+xy)\arctan x - \arctan y = \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) özdeşliğini kullanabilmek için rasyonel ifade uygun biçimde yazılır.
2
Genel terimin fark biçiminde yazılması
an=arctan⁡(n+1)−arctan⁡(n)a_n = \arctan(n+1) - \arctan(n)
Ters tanjant fark özdeşliği uygulanarak genel terim ardışık iki terimin farkı cinsinden ifade edilir.
3
Terimlerin toplanması (Teleskopik toplam)
a1+a2+a3+a4=arctan⁡(5)−arctan⁡(1)a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \arctan(5) - \arctan(1)
n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerleri yazılıp taraf tarafa toplandığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.
4
Tanjant fark formülünün uygulanması
tan⁡(arctan⁡(5)−arctan⁡(1))=5−11+5⋅1=46=23\tan(\arctan(5) - \arctan(1)) = \frac{5 - 1}{1 + 5 \cdot 1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} formülünde tan⁡(arctan⁡(5))=5\tan(\arctan(5)) = 5 ve tan⁡(arctan⁡(1))=1\tan(\arctan(1)) = 1 değerleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadelerde tanjant fark formülünün teleskopik toplam yardımıyla uygulanması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 336Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen aralıkta bb ifadesi iki negatif sayının toplamı olup en küçük değeri alır (b≤−2b \le -2). cc ifadesi biri pozitif diğeri negatif iki sayının çarpımı olup negatif bir değerdir fakat −0.5-0.5 ile 00 arasındadır. aa ifadesinde ise sinüs mutlak değerce kosinüsten büyük olduğu için toplam pozitiftir (a>0a > 0). Bu nedenle en küçük değer bb, ardından cc ve en büyük değer aa olup doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu aralığa göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı 2. bölgenin ilk yarısına (90∘<x<135∘90^\circ < x < 135^\circ) karşılık gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 olur.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini ve birbirlerine kıyasla mutlak değer büyüklüklerini belirlemek sıralamanın ilk adımıdır.
2
Verilen ifadelerin değer aralıklarını analiz etme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ifadesinde sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan toplam pozitif olur (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan toplam negatiftir; ayrıca ∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣≥2|\tan x| + |\cot x| \ge 2 olduğundan b≤−2b \le -2 elde edilir. c=sin⁡x⋅cos⁡x=12sin⁡(2x)c = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) ifadesinde 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğundan üçüncü bölgedeki sinüs değerine bağlı olarak −0.5<c<0-0.5 < c < 0 bulunur.
Her bir ifadenin sayı doğrusundaki yerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler ve eşitsizlikler kullanılır.
3
Değerleri karşılaştırarak nihai sıralamaya ulaşma
b≤−2<c<0<ab \le -2 < c < 0 < a aralıkları birleştirildiğinde küçükten büyüğe sıralama b<c<ab < c < a olur.
Elde edilen değer aralıkları kesişmediği için kesin bir sıralama yapılmasına olanak tanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin İşaretleri ve Bölgeye Göre Sıralanması

Alternatif Yöntem

Verilen aralıktan özel bir değer seçilerek (örneğin x=120∘x = 120^\circ) değerler doğrudan hesaplanabilir: a=3−12≈0.366a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366, b=−3−13≈−2.31b = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -2.31, c=−34≈−0.433c = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433 bulunur ve buradan b<c<ab < c < a sıralaması kolaylıkla görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 337Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için
cos⁡(x−45∘)−sin⁡(x−45∘)cos⁡(x−45∘)+sin⁡(x−45∘)\frac{\cos(x - 45^\circ) - \sin(x - 45^\circ)}{\cos(x - 45^\circ) + \sin(x - 45^\circ)}
ifadesinin en sade eşiti nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x); cot(x); \cot x; cot x; cotx

Cevap

İfadenin en sade eşiti cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Toplam ve fark formülleri yardımıyla pay kısmındaki ifade 2cos⁡(x)\sqrt{2}\cos(x) ve payda kısmındaki ifade 2sin⁡(x)\sqrt{2}\sin(x) şeklinde sadeleşir. Bu iki değer birbirine oranlandığında cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b ve sinüsün fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ifadelerini kullanarak pay ve paydadaki terimleri açalım.
cos⁡(x−45∘)=cos⁡xcos⁡45∘+sin⁡xsin⁡45∘\cos(x - 45^\circ) = \cos x \cos 45^\circ + \sin x \sin 45^\circ ve sin⁡(x−45∘)=sin⁡xcos⁡45∘−cos⁡xsin⁡45∘\sin(x - 45^\circ) = \sin x \cos 45^\circ - \cos x \sin 45^\circ elde edilir.
Toplam ve fark formüllerini uygulamak için.
2
cos⁡45∘=sin⁡45∘=22\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini yerlerine yazarak ifadeleri düzenleyelim.
cos⁡(x−45∘)=22(cos⁡x+sin⁡x)\cos(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) ve sin⁡(x−45∘)=22(sin⁡x−cos⁡x)\sin(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) olur.
45∘45^\circ açısının bilinen trigonometrik değerlerini kullanmak için.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri ana kesirde yerlerine koyup sadeleştirelim.
Pay: 22[(cos⁡x+sin⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)]=2cos⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) - (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\cos x
Payda: 22[(cos⁡x+sin⁡x)+(sin⁡x−cos⁡x)]=2sin⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) + (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\sin x bulunur.
Kesirli ifadenin pay ve paydasını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmek için.
4
Bulduğumuz pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşalım.
2cos⁡x2sin⁡x=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{2}\cos x}{\sqrt{2}\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x elde edilir.
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs fark formüllerini kullanarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

İfadeyi daha hızlı çözmek için x−45∘=θx - 45^\circ = \theta dönüşümü yapılabilir. Bu durumda kesir cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ\frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} halini alır. Pay ve payda cos⁡θ\cos\theta ile bölünürse, 1−tan⁡θ1+tan⁡θ\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} elde edilir. tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 olduğundan bu ifade tan⁡45∘−tan⁡θ1+tan⁡45∘tan⁡θ=tan⁡(45∘−θ)\frac{\tan 45^\circ - \tan\theta}{1 + \tan 45^\circ \tan\theta} = \tan(45^\circ - \theta) fark formülüne eşittir. θ=x−45∘\theta = x - 45^\circ yerine yazıldığında tan⁡(45∘−(x−45∘))=tan⁡(90∘−x)=cot⁡x\tan(45^\circ - (x - 45^\circ)) = \tan(90^\circ - x) = \cot x elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 338Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları a,b,ca, b, c birimdir. Bu üçgende,
b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac
bağıntısı geçerlidir.

b=33 birimb = 3\sqrt{3}\text{ birim} ve sin⁡(A^)=12\sin(\widehat{A}) = \frac{1}{2} olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 3 birimdir.
Kosinüs Teoremi'nden elde edilen m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ açısı kullanılarak Sinüs Teoremi formülü uygulandığında çevrel çemberin yarıçapı doğru bir şekilde 3 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak BB açısının ölçüsü belirlenir.
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ
Bir üçgende b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\widehat{B}) bağıntısı vardır. Soruda verilen b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac bağıntısı ile karşılaştırıldığında −2cos⁡(B^)=1  ⟹  cos⁡(B^)=−12-2\cos(\widehat{B}) = 1 \implies \cos(\widehat{B}) = -\frac{1}{2} elde edilir. Buradan geniş açı olan BB açısı 120∘120^\circ olarak bulunur.
2
Sinüs Teoremi'nin çevrel çember yarıçapı ile ilişkili formülü yazılır.
bsin⁡(B^)=2R\frac{b}{\sin(\widehat{B})} = 2R
Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R2R) eşittir.
3
Bilinen değerler formülde yerine yazılarak yarıçap (RR) hesaplanır.
R=3R = 3
b=33b = 3\sqrt{3} ve sin⁡(120∘)=32\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri yerine yazıldığında: 3332=2R  ⟹  6=2R  ⟹  R=3\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ile çevrel çemberin yarıçapı (RR) ve kenar uzunlukları arasındaki ilişki: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.
Soru 339Soru →
cos⁡(2x)−1sin⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\cos(2x) - 1}{\sin(x)} = \tan(x) denkleminin (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2π2\pi

Cevap

2π2\pi
Denklemin sadeleştirilmesi ve tanım kümesi kısıtlamalarının (paydaları sıfır yapan değerlerin elenmesi) uygulanmasıyla gerçel köklerin iki adet olduğu ve bunların 120 ve 240 derecelere karşılık gelen kökler olduğu bulunur. Bu köklerin toplamı olan değer doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kısıtlamalarını belirlemek.
sin⁡(x)≠0⇒x≠π\sin(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi ve cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} (Verilen (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığı için).
Orijinal denklemdeki paydaların sıfır olmaması gerekir.
2
cos⁡(2x)−1\cos(2x) - 1 ifadesine yarım açı formülü uygulamak.
cos⁡(2x)−1=(1−2sin⁡2(x))−1=−2sin⁡2(x)\cos(2x) - 1 = (1 - 2\sin^2(x)) - 1 = -2\sin^2(x)
İfadeyi sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek.
3
Yarım açı sonucunu denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
−2sin⁡2(x)sin⁡(x)=tan⁡(x)⇒−2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{-2\sin^2(x)}{\sin(x)} = \tan(x) \Rightarrow -2\sin(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} (sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğu için).
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek.
4
Elde edilen denklemi çözerek temel trigonometrik denkleme ulaşmak.
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)⇒sin⁡(x)(2cos⁡(x)+1)=0-2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) \Rightarrow \sin(x)(2\cos(x) + 1) = 0. sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğundan cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Denklemin tüm terimlerini bir tarafa toplayıp çarpanlarına ayırmak.
5
cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulup toplamak.
x1=2π3x_1 = \frac{2\pi}{3} ve x2=4π3x_2 = \frac{4\pi}{3}. Toplam: 2π3+4π3=2π\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi.
(0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığında kosinüsü −1/2-1/2 olan açıları belirlemek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri, sadeleştirme kuralları ve tanım kümesi kısıtlamalarının uygulanması.
Soru 340Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=15\sin x + \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin de��eri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 247\frac{24}{7}

Cevap

yirmi dört bölü yedi
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} elde edilir. Buradan sin⁡(2x)=−2425\sin(2x) = -\frac{24}{25} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x2x açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25} olur. Buradan tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{24}{7} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
E��itliğin her iki tarafının karesini alma
1+sin⁡(2x)=125  ⟹  sin⁡(2x)=−24251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}
İki kat açının sinüs değerine ulaşmak için yarım açı formülünü kullanmak amacıyla kare alma işlemi yapılır.
2
İki kat açının aralığını belirleme
2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) (3. bölge)
xx açısının tanım aralığından yararlanılarak 2x2x açısının koordinat düzlemindeki bölgesi saptanır.
3
İki kat açının kosinüs değerini bulma
cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25}
3. bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan, sin⁡2(2x)+cos⁡2(2x)=1\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 özdeşliğinden yararlanılarak negatif değer seçilir.
4
İki kat açının tanjant değerini hesaplama
tan⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{24}{7}
Tanjant fonksiyonunun sinüsün kosinüse oranı olduğu tanımı kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
ÖncekiSayfa 17 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 17 | Examkin