Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 16

Soru 301Soru →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

b = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x}

c = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

c < a < b

a = b < c

a < c < b

b < a < c

c < b < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < c < b$

Cevap

a < c < b sıralaması doğrudur.

Sadeleştirmeler yapıldığında

a = \sin x + \cos x

,

b = -(\sin x + \cos x)

ve

c = \tan x - \cot x

elde edilir. Verilen aralıkta

a < 0

,

c > 0

ve

b > 0

olduğu belirlenir.

b

ve

c

arasındaki fark incelendiğinde

b > c

olduğu görülür. Dolayısıyla en küçük negatif olan

a

, ardından

c

ve en büyük pozitif olan

b

şeklinde

a < c < b

sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

a ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme

a = \sin x + \cos x

ve

a < 0

Pay kısmındaki

\sin^3 x + \cos^3 x

ifadesi, küp toplamı formülüyle

(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

olarak çarpanlarına ayrılır. Paydadaki

1 - \sin x \cos x

ile sadeleştiğinde

a = \sin x + \cos x

kalır. Üçüncü bölgede

\sin x < 0

ve

\cos x < 0

olduğundan toplamları da negatiftir.

2

b ifadesini karekök dışına çıkarma ve işaretini belirleme

b = -(\sin x + \cos x)

ve

b > 0

1 + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

özdeşliğinden faydalanarak

b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

elde edilir. Üçüncü bölgede

\sin x + \cos x < 0

olduğundan, ifade mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar.

3

c ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme

c = \tan x - \cot x

ve

c > 0

c = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} = \tan x - \cot x

olur.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)

aralığında

x > \frac{5\pi}{4}

olduğundan

\tan x > \tan\frac{5\pi}{4} = 1

ve

\cot x = \frac{1}{\tan x} < 1

olur. Pozitif iki değerin farkından

c = \tan x - \cot x > 0

bulunur.

4

b ve c ifadelerini karşılaştırma

b > c

b - c = -(\sin x + \cos x) - \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -(\sin x + \cos x)\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}\right)

olur. Bu aralıkta

\sin x < \cos x < 0

olduğundan

\sin x \cos x > \cos x - \sin x > 0

eşitsizliği sağlanır. Buradan

b - c > 0

yani

b > c

elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaret analizi ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi

Alternatif Yöntem

Sıralamayı doğrulamak için aralıktan temsilî bir açı seçilebilir. Örneğin

x = 230^\circ

seçilerek fonksiyonların yaklaşık değerleri hesaplanabilir:

a \approx -0.77 - 0.64 = -1.41

,

b \approx 1.41

,

c = \tan 230^\circ - \cot 230^\circ \approx 1.19 - 0.84 = 0.35

. Buradan

a < c < b

sıralaması kolayca görülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 302Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretlenmiştir.

$[CD] \perp [BC]$ , $m(\widehat{ACD}) = 30^\circ$ ve $|AD| = 2|BD|$

olduğuna göre, $\frac{|AC|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen oran 4 olarak bulunur.

Ortak kenara sahip üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulanıp verilen oranlar yerine yazıldığında, büyük üçgendeki kenar oranının sinüs oranına eşit olduğu görülür ve sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

BCD

dik üçgeninde sinüs tanımı yazılır.

BD = \frac{CD}{\sin(B)}

[CD] \perp [BC]

olduğundan

m(\widehat{BCD}) = 90^\circ

dir.

BCD

dik üçgeninde

\sin(B) = \frac{CD}{BD}

olur.

2

ACD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.

\frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{CD}{\sin(A)} \implies AD = \frac{CD}{2\sin(A)}

ACD

üçgeninin

A

ve

C

açılarının karşılarındaki kenarlar sırasıyla

CD

ve

AD

olduğundan Sinüs Teoremi doğrudan uygulanabilir.

3

|AD| = 2|BD|

eşitliğinde elde edilen ifadeler yerine yazılır.

\frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4

\frac{CD}{2\sin(A)} = 2 \cdot \frac{CD}{\sin(B)} \implies \frac{1}{2\sin(A)} = \frac{2}{\sin(B)}

eşitliğinden oran elde edilir.

4

ABC

üçgeninin tamamında Sinüs Teoremi kullanılarak istenen oran hesaplanır.

\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4

ABC

üçgeninde Sinüs Teoremi gereği

\frac{|AC|}{\sin(B)} = \frac{|BC|}{\sin(A)}

bağ��ntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoreminin ortak kenar içeren alt üçgenlerde uygulanarak oran bulma amacıyla kullanılması.

Soru 303Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir.

$|AB| = 10\text{ birim}$
$|BC| = 7\text{ birim}$
$|CD| = 4\text{ birim}$
$|AD| = 5\text{ birim}$

olduğuna göre, $AC$ köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

\sqrt{79}

7

\sqrt{105}

\sqrt{149}

\sqrt{249}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7$

Cevap

K��şegen uzunluğu

7

birimdir.

C köşesinden AD kenarına paralel çizilerek oluşturulan EBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak B açısının kosinüsü

\frac{5}{7}

bulunur. Ardından ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak AC köşegen uzunluğu

7

birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

C köşesinden AD kenarına paralel olacak şekilde bir CE doğru parçası çizilir.

AECD bir paralelkenar olur. Buradan

|AE| = 4\text{ birim}

,

|CE| = 5\text{ birim}

ve

|EB| = 6\text{ birim}

elde edilir.

Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak B açısının kosinüsünü bulabileceğimiz bir üçgen elde etmek.

2

EBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak B açısının kosinüs değeri bulunur.

|CE|^2 = |EB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |EB| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{B}) \Rightarrow 25 = 36 + 49 - 84 \cos(\widehat{B}) \Rightarrow \cos(\widehat{B}) = \frac{5}{7}

olarak elde edilir.

ABC üçgeninde köşegen uzunluğunu hesaplarken kullanılacak ortak açının kosinüsünü bulmak.

3

ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi kullanılarak AC köşegen uzunluğu hesaplanır.

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{B}) \Rightarrow |AC|^2 = 100 + 49 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \frac{5}{7} = 49 \Rightarrow |AC| = 7\text{ birim}

olarak bulunur.

İstenen köşegen uzunluğuna doğrudan ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla yamukta köşegen uzunluğu bulma

Soru 304Soru →

24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos^3\left(\frac{\pi}{24}\right) - 24 \sin^3\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)

işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlemin sonucu 3'tür.

Verilen ifade ardışık olarak sinüs ve kosinüs yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde

6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)

haline gelir. Buradan

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

değeri kullanılarak doğru sonuç 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İfadeyi ortak çarpan parantezine alma

24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \left[ \cos^2\left(\frac{\pi}{24}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{24}\right) \right]

İfadeyi yarım a��ı formüllerine uygun çarpanlara ayırmak.

2

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerini uygulama

12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)

2 \sin x \cos x = \sin(2x)

ve

\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)

formüllerini uygulamak.

3

Elde edilen ifadeye tekrar sinüs yarım açı formülünü uygulama

6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)

12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = 6 \cdot \left[ 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \right] = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)

özdeşliğini kullanmak.

4

Bilinen trigonometrik açının değerini yerine yazma

3

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

değerini yerine yazarak işlemi tamamlamak.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri

Soru 305Soru →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)} = \frac{8}{5}

olduğuna göre,

\cos(2x)

değeri kaçtır?

-\frac{7}{25}

\frac{24}{25}

\frac{7}{25}

-\frac{24}{25}

\frac{12}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{25}$

Cevap

7/25 değeri doğrudur.

Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında

2 + 2|\cos(2x)| = 64/25

elde edilir. Buradan

|\cos(2x)| = 7/25

sonucuna ulaşılır.

x

açısı

(3\pi/4, \pi)

aralığında olduğundan,

2x

açısı

(3\pi/2, 2\pi)

aralığında (4. bölgede) bulunur. 4. bölgede kosinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığı için

\cos(2x) = 7/25

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.

\left(\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)}\right)^2 = \left(\frac{8}{5}\right)^2

Kareköklü terimleri sadeleştirmek ve bilinen yarım açı özdeşliklerini kullanabilmek için.

2

Kare alma işlemini uygulayarak ifadeyi açalım.

(1 - \sin(2x)) + (1 + \sin(2x)) + 2\sqrt{(1 - \sin(2x))(1 + \sin(2x))} = \frac{64}{25}

Tam kare açılımı kuralını (

(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

) uygulamak için.

3

İfadeyi sadeleştirip temel trigonometrik özdeşliği kullanalım.

2 + 2\sqrt{1 - \sin^2(2x)} = \frac{64}{25} \implies 2 + 2\sqrt{\cos^2(2x)} = \frac{64}{25}

1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta

özdeşliğini yerine koyarak kök içini basitleştirmek için.

4

Kareköklü ifadeyi mutlak değer dışına çıkarıp denklemi çözelim.

2 + 2|\cos(2x)| = \frac{64}{25} \implies 2|\cos(2x)| = \frac{14}{25} \implies |\cos(2x)| = \frac{7}{25}

Kök dışına çıkan çift dereceli terimlerin mutlak değer alması gerektiği kuralını uygulamak için.

5

2x

açısının bölgesine göre işareti belirleyelim.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) \implies 2x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

Bu aralık koordinat düzleminde 4. bölgedir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan

|\cos(2x)| = \cos(2x)

olur. Buradan

\cos(2x) = \frac{7}{25}

elde edilir.

Tanım kümesini kullanarak mutlak değerin işaretini belirlemek ve doğru sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri, tam kare açılımı ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi.

Soru 306Soru →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

b = \frac{\sin x}{1 - \cos x}

c = \tan x

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

c < a < b

b < a < c

a < b < c

b < c < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $c < b < a$

Cevap

c < b < a

sıralaması doğrudur.

Verilen aralık ikinci bölgede olduğu için sinüs pozitif, kosinüs ve tanjant negatiftir. Bu nedenle tanjantı temsil eden değer negatif olup en küçüktür. Diğer iki ifade ise pozitif terimlerden oluşur. Kosinüs negatif olduğu için çıkartma işlemi paydayı büyütür, toplama işlemi ise küçültür. Paydası büyük olan kesrin değeri daha küçük olacağından, çıkarma işlemi içeren kesirli ifade toplama işlemi içeren kesirli ifadeden daha küçüktür. Bu da aranan doğru sıralamayı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin işaretlerini belirleme

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığı birim çemberde ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede:

\sin x > 0

,

\cos x < 0

ve

\tan x < 0

'dır.

Sıralama yaparken pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

c

değerinin işaretini ve diğerleriyle ilişkisini inceleme

c = \tan x < 0

'dır. Diğer taraftan

a = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

ifadesinde pay (

\sin x > 0

) ve payda (

\cos x > -1

olduğundan

1 + \cos x > 0

) pozitiftir. Benzer şekilde

b = \frac{\sin x}{1 - \cos x}

ifadesinde de pay ve payda (

\cos x < 0

olduğundan

1 - \cos x > 0

) pozitiftir. Buradan

a > 0

ve

b > 0

olduğu görülür. Dolayısıyla, negatif olan

c

değeri en küçüktür:

c < a

ve

c < b

.

Hangi değişkenlerin pozitif hangi değişkenlerin negatif olduğunu saptayarak en küçük terimi belirlemek için.

3

a

ve

b

pozitif değerlerini karşılaştırma

\cos x < 0

olduğundan,

-\cos x > \cos x

yazılabilir. Her iki tarafa

1

eklersek

1 - \cos x > 1 + \cos x

elde edilir. Paydalar pozitif olduğundan, çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{1}{1 - \cos x} < \frac{1}{1 + \cos x}

. Her iki tarafı pozitif olan

\sin x

ile çarparsak:

\frac{\sin x}{1 - \cos x} < \frac{\sin x}{1 + \cos x}

yani

b < a

bulunur.

Pozitif iki kesirli ifadenin paydalarını karşılaştırarak büyüklük ilişkisini kurmak için.

4

Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirme

c < 0

,

b > 0

,

a > 0

ve

b < a

olduğundan, nihai sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Tüm adımlardan gelen sonuçları tek bir sıralama altında bir araya getirmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla sıralama yapılması

İpuçları

1

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

açısının birim çemberde hangi bölgede olduğunu ve bu bölgede sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının işaretlerini belirleyin.

2

Belirlediğiniz işaretlere göre

a

,

b

ve

c

sayılarının işaretlerini bulun. Negatif olan sayının en küçük olacağını unutmayın.

3

\cos x

değeri negatif bir sayı olduğundan,

1 + \cos x

ile

1 - \cos x

ifadelerinden hangisinin daha büyük olduğunu karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir sıralama sorusunu üçüncü bölge olan

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı için tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer vererek de sıralama yapılabilir. Örneğin, bu aralıkta bulunan

x = 150^\circ

(

\frac{5\pi}{6}

radyan) değerini seçelim.

\sin(150^\circ) = 0.5

,

\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866

ve

\tan(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577

olur. Bu değerler yerine yazıldığında;

a = \frac{0.5}{1 - 0.866} = \frac{0.5}{0.134} \approx 3.73

,

b = \frac{0.5}{1 - (-0.866)} = \frac{0.5}{1.866} \approx 0.27

ve

c \approx -0.58

elde edilir. Buradan

c < b < a

sıralaması doğrudan görülebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 307Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\sin(3x)}{\cos x} + \frac{\cos(3x)}{\sin x} = \frac{8}{3}

olduğuna göre, $\cos x$ değeri kaçtır?

-\frac{\sqrt{10}}{10}

-\frac{3\sqrt{10}}{10}

-\frac{\sqrt{5}}{5}

\frac{\sqrt{10}}{10}

\frac{3\sqrt{10}}{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{\sqrt{10}}{10}$

Cevap

-\frac{\sqrt{10}}{10}

Doğru olan değer, ifadenin payda eşitleme ve yarım açı formülleriyle sadeleştirilerek

2\cot(2x) = \frac{8}{3}

eşitliğinin elde edilmesi, ardından

2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığında

\cos(2x) = -\frac{4}{5}

değerinin bulunması ve son olarak yarım açı formülü yardımıyla 2. bölgede negatif olan kosinüs değeri olan

-\frac{\sqrt{10}}{10}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenerek tek bir kesir haline getirilir.

\frac{\sin(3x)\sin x + \cos(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = \frac{8}{3}

Trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için.

2

Pay kısmındaki kosinüs fark formülü (

\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

) ve payda kısmındaki sinüs yarım açı formülü (

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

) uygulanarak ifade sadeleştirilir.

\frac{\cos(3x - x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\cot(2x) = \frac{8}{3}

İfadeyi tek bir açın��n (

2x

) trigonometrik oranı cinsinden yazmak için.

3

2\cot(2x) = \frac{8}{3}

eşitliğinden

\cot(2x) = \frac{4}{3}

bulunur.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı kullanılarak

2x

açısının bölgesi belirlenir ve buna göre

\cos(2x)

değeri hesaplanır.

2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olduğundan,

2x

açısı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs ve sinüs değerleri negatiftir. Dolayısıyla,

\cot(2x) = \frac{4}{3}

ise

\cos(2x) = -\frac{4}{5}

elde edilir.

2x

açısının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik oranların işaretlerini doğru belirlemek için.

4

Kosinüs yarım açı formülü olan

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

kullanılarak

\cos^2 x

değeri hesaplanır.

-\frac{4}{5} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{1}{5} \implies \cos^2 x = \frac{1}{10}

2x

açısından

x

açısının kosinüs değerine geçiş yapmak için.

5

x

açısının bulunduğu aralık (

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

, 2. bölge) dikkate alınarak

\cos x

değerinin işareti belirlenir ve karekökü alınır.

2. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan

\cos x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}

bulunur.

x

açısının bulunduğu bölgeye göre nihai sonucun işaretini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Soru 308Soru →

Bir

ABC

üçgeninde

D

noktası

[BC]

kenarı üzerindedir.

[AD]

doğru parçası çizilerek oluşturulan açılar ve kenar uzunlukları için

m(\widehat{BAD}) = 45^\circ

m(\widehat{DAC}) = 30^\circ

|AB| = 4\sqrt{2}\text{ birim}

|AC| = 6\text{ birim}

bilgileri veriliyor.

Buna göre, $\frac{|BD|}{|CD|}$ oranı kaçtır?

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{2\sqrt{2}}{3}

\frac{4}{3}

\frac{4\sqrt{3}}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{3}$

Cevap

Oran 4/3 olarak bulunur.

Doğru cevap olan 4/3 değeri, ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarı kullanılarak yazılan sinüslü alan formüllerinin oranlanmasıyla elde edilir. Yükseklikleri aynı olan bu üçgenlerin alanları oranı, tabanları olan BD ve CD uzunluklarının oranına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarını kullanarak sinüslü alan formüllerini yazalım.

Alan(ABD) = (1/2) * |AB| * |AD| * sin(45°) ve Alan(ACD) = (1/2) * |AC| * |AD| * sin(30°)

Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşit olduğundan alan bağıntılarını kurmamız gerekir.

2

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranının tabanları oranına eşitliğini kullanarak oranlamayı yapalım.

|BD| / |CD| = Alan(ABD) / Alan(ACD) = (|AB| * sin(45°)) / (|AC| * sin(30°))

Ortak terimler olan (1/2) ve |AD| sadeleşir, geriye kenar uzunlukları ve sinüs değerleri kalır.

3

Verilen sayısal değerleri ve trigonometrik oranları formülde yerine yazalım.

|BD| / |CD| = (4\sqrt{2} * (\sqrt{2}/2)) / (6 * (1/2)) = 4 / 3

İşlemleri sadeleştirerek nihai oranı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak bir kenarı paylaştığı durumlarda Sinüs Teoremi veya Sinüslü Alan Formülü yardımıyla taban oranlarının bulunması.

Soru 309Soru →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere, aşağıda verilen

a

,

b

ve

c

değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı c < b < a şeklindedir.

Negatif olan tek ifade c olduğu için en küçüktür. Pozitif olan a ve b ifadeleri karşılaştırıldığında, a ifadesinin b ifadesinden farkı iki kat sinüs değeri olup bu değer de ikinci bölgede pozitif olduğundan a, b'den büyüktür. Bu durumda doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

a = \sin x - \cos x > 0

İki kare farkı özdeşliği kullanılarak pay kısmı

\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde yazılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğundan ifade

\sin^2 x - \cos^2 x

haline gelir. Bu da

(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

olarak çarpanlarına ayrılır ve paydadaki ifadeyle sadeleştiğinde geriye

a = \sin x - \cos x

kalır. İkinci bölgede

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan, bu fark pozitif bir değer alır.

2

b

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

b = -\sin x - \cos x > 0

1 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

özdeşliği kullanılır. İfade kök dışına mutlak değer içinde

|\sin x + \cos x|

olarak çıkar.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük ve kosinüs negatif olduğu için toplamları negatiftir. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek

b = -\sin x - \cos x

olarak çıkar.

3

c

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

c = \sin^2 x - \cos^2 x < 0

\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ve

\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x}

ifadeleri yerine yazılarak oranlandığında paydadaki

\sin x \cos x

terimleri sadeleşir ve

c = \sin^2 x - \cos^2 x

kalır. Verilen aralıkta

\cos^2 x > \sin^2 x

olduğundan fark negatiftir.

4

Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamayı yapınız.

c < b < a

c

negatif olduğundan en küçüktür. Pozitif olan

a

ve

b

değerleri kıyaslandığında ise,

a - b = (\sin x - \cos x) - (-\sin x - \cos x) = 2\sin x

elde edilir. Verilen aralıkta

\sin x > 0

olduğundan

a - b > 0 \implies a > b

olur. Buradan doğru sıralama

c < b < a

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Soru 310Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8\text{ birim}$ , $|AC| = 5\text{ birim}$ ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ dir.

$[AD]$ , $BC$ kenarına ait kenarortay olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 3.5 birimdir.

Kosinüs Teoremi yardımıyla paralelkenarın köşegeni hesaplanıp ikiye bölünerek kenarortay uzunluğu doğru şekilde 3.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

AD kenarortayını kendi uzunlu��u kadar uzatarak bir E noktası seçilmesi ve ABEC paralelkenarının oluşturulması.

ABEC bir paralelkenardır, bu nedenle BE kenarı AC kenarına paralel ve eşit uzunluktadır (|BE| = 5 birim).

Kenarortay uzunluğunu paralelkenar özellikleri ve Kosinüs Teoremi yardımıyla doğrudan hesaplayabilmek için geometrik bir ek çizim yapılır.

2

Paralelkenarın ardışık açılarının toplamı 180 derece olduğundan B açısının bulunması.

m(ABE) = 180° - 120° = 60°

Kosinüs Teoremi uygulayacağımız üçgenin iç açısını belirlemek.

3

ABE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak AE uzunluğunun bulunması.

|AE|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 * 8 * 5 * cos(60°) = 64 + 25 - 40 = 49, buradan |AE| = 7 birim.

Paralelkenarın köşegen uzunluğunu elde etmek.

4

AE uzunluğunun yarısı alınarak AD kenarortay uzunluğunun hesaplanması.

|AD| = 7 / 2 = 3.5 birim.

E noktasını AD = DE olacak şekilde seçtiğimiz için AE köşegeninin uzunluğu, AD kenarortayının iki katına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay uzunluğunu bulmak için paralelkenara tamamlama yöntemi veya kenarortay teoremi ile Kosinüs Teoremi'nin birlikte kullanılması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 311Soru →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \frac{\cos x}{\cot x}

b = \sqrt{\sec^2 x - 1}

c = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}

olarak veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < c < b şeklindedir.

Üçüncü bölgede sinüs negatif, tanjant ise pozitiftir. Bu nedenle pozitif olan b en büyük değerdir. Negatif olan a'yı basit kesir olan tanjant ile çarptığımızda sıfıra yaklaşacağından c değeri a'dan büyük olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştiriniz.

a = \sin x

,

b = \tan x

ve

c = \sin x \cdot \tan x

olarak bulunur.

İfadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırabilmek için en sade hallerine ulaşmak gerekir.

2

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyiniz.

Bu aralıkta (üçüncü bölge)

\sin x < 0

,

\cos x < 0

ve

0 < \tan x < 1

olur.

Açının bulunduğu bölge, trigonometrik değerlerin işaretini ve büyüklük ilişkisini belirler.

3

Bulunan değerleri ve işaretleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.

a < c < b

sıralaması elde edilir.

b > 0

olduğundan en büyüktür.

a

ve

c

negatif olup,

0 < \tan x < 1

olduğundan

a \cdot \tan x > a

yani

c > a

olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 312Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

a = \cos x - \sin x

b = \tan x - \cot x

c = \sec x - \csc x

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

c < a < b

a < c < b

b < c < a

c < b < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < c < b$

Cevap

Doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Verilen aralıkta sinüs kosinüsten büyük olduğu için

a = \cos x - \sin x

negatif bir değer alır. Sekant ve kosekant farkı olan

c = \sec x - \csc x

ile tanjant ve kotanjant farkı olan

b = \tan x - \cot x

ifadeleri ise pozitif değerler üretir. Bu iki pozitif değer rasyonel biçimde yazılıp birbirine oranlandığında,

b = c(\sin x + \cos x)

eşitliği elde edilir. Bu aralıkta

\sin x + \cos x > 1

olduğundan, pozitif bir sayı olan

c

değeri, 1'den büyük bir katsayı ile çarpılarak daha büyük olan

b

değerine ulaşır. Dolayısıyla en doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Aralıktaki temel trigonometrik fonksiyonların ilişkilerini belirleme

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür:

\sin x > \cos x > 0

. Benzer şekilde tanjant değeri 1'den büyük, kotanjant değeri ise 1'den küçüktür:

\tan x > 1 > \cot x > 0

.

Değişkenlerin işaretlerini ve bağıl büyüklüklerini analiz etmek için referans noktaları oluşturulur.

2

a

,

b

ve

c

değerlerinin işaretlerini tespit etme

\sin x > \cos x \implies a = \cos x - \sin x < 0

(negatif)

\tan x > \cot x \implies b = \tan x - \cot x > 0

(pozitif)

\sec x = \frac{1}{\cos x}

ve

\csc x = \frac{1}{\sin x}

ifadelerinde

\sin x > \cos x > 0 \implies \frac{1}{\cos x} > \frac{1}{\sin x} \implies \sec x > \csc x \implies c = \sec x - \csc x > 0

(pozitif)

Negatif olan terimi belirleyerek sıralamanın en küçük elemanını saptamak amaçlanır.

3

Pozitif olan

b

ve

c

ifadelerini cebirsel özdeşlikler yardımıyla karşılaştırma

b = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

c = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}

b

ifadesinin payındaki iki kare farkı açılırsa:

b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c \cdot (\sin x + \cos x)

elde edilir.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında

\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}

ve

\cos x > 0

olduğundan

\sin x + \cos x > 1

olur.

c > 0

olduğuna göre,

b = c \cdot (\text{1'den büyük bir sayı}) \implies b > c

bulunur.

Ortak paydalı rasyonel ifadeleri sadeleştirip karşılaştırmak için özdeşliklerden faydalanılır.

4

Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek sıralamayı tamamlama

a < 0

,

c > 0

,

b > 0

ve

b > c

olduğundan

a < c < b

sıralaması elde edilir.

Elde edilen tüm bölgesel ve cebirsel sonuçlar birleştirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre sıralanması ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel analizde kullanılması

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yöntem olarak, verilen aralıkta bulunan özel bir açı seçilerek sıralama yapılabilir. Örneğin,

x = 60^\circ

(

\frac{\pi}{3}

radyan) seçilsin:

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87

\cos 60^\circ = 0.5

\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73

\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58

\sec 60^\circ = 2

\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15

Bu değerler yerine yazıldığında:

a = 0.5 - 0.87 = -0.37

b = 1.73 - 0.58 = 1.15

c = 2 - 1.15 = 0.85

Değerler kıyaslandığında

-0.37 < 0.85 < 1.15 \implies a < c < b

sıralamasına doğrudan ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 313Soru →

\arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayısı kaçtır?

-\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Bir bölü iki

Denklemi sağlayan değer bulunurken, ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları (arcsin için

[-\pi/2, \pi/2]

ve arccot için

(0, \pi)

) dikkate alınmalıdır. Eşitliğin sağlanabilmesi için ortak değer aralığından dolayı her iki taraf da pozitif bir açıya eşit olmalıdır. Bu durum

x > 0

olmasını gerektirir. Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak elde edilen

12x^4 + x^2 - 1 = 0

denkleminden

x^2 = 1/4

bulunur.

x > 0

koşulunu sağlayan tek kök bir bölü iki değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemin her iki tarafını bir

\theta

açısına eşitleyip ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerini incelemek.

\theta = \arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

Burada

\arcsin(x) \in [-\pi/2, \pi/2]

ve

\text{arccot}(2\sqrt{3}x) \in (0, \pi)

olduğundan, eşitliğin sağlanması için ortak değer aralığı

\theta \in (0, \pi/2]

olmalıdır. Bu durum

\sin(\theta) = x > 0

olmasını gerektirir.

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlı oldukları değer aralıkları, bulunacak köklerin işaretini ve geçerliliğini belirler.

2

Trigonometrik tanımları kullanarak

\cos(\theta)

ifadesini

x

cinsinden yazmak.

\sin(\theta) = x

\cot(\theta) = 2\sqrt{3}x

\cos(\theta) = \cot(\theta) \cdot \sin(\theta) = (2\sqrt{3}x) \cdot x = 2\sqrt{3}x^2

Temel trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak tüm ifadeleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.

3

\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

temel kimliğini uygulamak ve

x

değişkenine bağlı denklemi elde etmek.

x^2 + (2\sqrt{3}x^2)^2 = 1

12x^4 + x^2 - 1 = 0

Sinüs ve kosinüs arasındaki temel Pisagor özdeşliğini kullanarak cebirsel bir denklem kurmak.

4

t = x^2

dönüşümü yaparak elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.

12t^2 + t - 1 = 0 \implies (4t - 1)(3t + 1) = 0

Burada

t \ge 0

olması gerektiğinden

t = \frac{1}{4}

bulunur. Buradan

x^2 = \frac{1}{4}

elde edilir.

Dördüncü dereceden bir denklemi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denkleme indirgeyerek çarpanlarına ayırmak.

5

x^2 = \frac{1}{4}

denkleminin köklerini bulmak ve tanım aralığına uygun olan kökü seçmek.

x = \frac{1}{2}

veya

x = -\frac{1}{2}

İlk adımda belirlenen

x > 0

koşulu nedeniyle yalnızca

x = \frac{1}{2}

değeri çözümdür.

Bulunan cebirsel köklerin, başlangıçtaki ters trigonometrik fonksiyon tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümeleri ile temel trigonometrik özdeşlikler arasındaki ilişki.

Soru 314Soru →

a = \cos(190^\circ)

b = \sin(290^\circ)

c = \tan(200^\circ)

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

b < a < c

a < c < b

b < c < a

c < a < b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < b < c$

Cevap

Doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Üçüncü bölgede yer alan

c = \tan(200^\circ)

ifadesinin değeri pozitiftir (

c > 0

). Negatif olan

a

ve

b

ifadeleri dar açıya indirgendiğinde

a = -\cos(10^\circ)

ve

b = -\cos(20^\circ)

olur. Birinci bölgede

\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ)

olduğundan, negatif işaretler eklendiğinde

-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ)

olur. Bu durumda

a < b

elde edilir. Pozitif olan

c

değeri en büyük olduğundan doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların bulundukları bölgeleri ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyelim.

190^\circ

açısı III. bölgede olduğundan

a = \cos(190^\circ) < 0

(negatif) olur.

290^\circ

açısı IV. bölgede olduğundan

b = \sin(290^\circ) < 0

(negatif) olur.

200^\circ

açısı III. bölgede olduğundan

c = \tan(200^\circ) > 0

(pozitif) olur.

Sıralama yaparken ilk olarak değerlerin işaretlerini belirlemek, pozitif ve negatif grupları ayırmamızı sağlar.

2

Negatif olan

a

ve

b

değerlerini kıyaslayabilmek için birinci bölgeye indirgeyelim.

a = \cos(190^\circ) = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos(10^\circ)

b = \sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ)

olur.

Farklı bölgelerdeki negatif değerleri karşılaştırmak için onları aynı türden dar açıların negatifleri olarak ifade etmemiz gerekir.

3

Birinci bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan olduğunu kullanarak

a

ve

b

değerlerini karşılaştıralım.

0^\circ < 10^\circ < 20^\circ < 90^\circ

olduğundan

\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) > 0

olur.
Eşitsizliği

-1

ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir:

-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ)

yani

a < b

elde edilir.

Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede açı büyüdükçe küçülen (azalan) bir fonksiyondur. Negatif sayılarda ise mutlak değerce büyük olan sayı daha küçüktür.

4

Elde edilen tüm karşılaştırmaları birleştirerek nihai sıralamayı yazalım.

a < b < 0

ve

c > 0

olduğundan, doğru sıralama

a < b < c

olur.

Negatif sayılar her zaman pozitif sayılardan küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 315Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen $[AD]$ doğru parçası $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir.

m(\widehat{BAD}) = 30^\circ

m(\widehat{DAC}) = 60^\circ

$ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları sırasıyla $R_1$ ve $R_2$ birimdir.

\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

olduğuna göre, $\frac{|BD|}{|CD|}$ oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.

Sinüs Teoremi gereği, her iki üçgende de taban uzunlukları karşısındaki açıların sinüsleri ve çevrel çember yarıçapları ile ifade edilir:

|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ

ve

|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ

. Bu ifadeler oranlandığında

\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}

elde edilir. Verilen

\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

oranı ile

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

ve

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

değerleri yerine yazıldığında aranan oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma

|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ

Bir üçgende bir kenar uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.

2

ADC üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma

|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ

Aynı Sinüs Teoremi bağıntısını ADC üçgeni için de kurarak

[CD]

kenarı ile karşısındaki açıyı ilişkilendirmek.

3

Elde edilen denklemleri oranlayarak

|BD|/|CD|

oranını oluşturma

\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}

Ortak terimleri sadeleştirmek ve verilen

R_1/R_2

yarıçap oranını kullanabilmek amacıyla denklemleri birbirine oranlamak.

4

Değerleri yerine yerleştirip sonucu hesaplama

\frac{|BD|}{|CD|} = 2

\sin 30^\circ = 1/2

,

\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2

ve

\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

değerlerini yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapmak.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve çevrel çember yarıçapı (

R

) ilişkisi:

\frac{a}{\sin A} = 2R

Soru 316Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\cos(4x) = 0,2

olduğuna göre,

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İfadenin değeri 0,8 olarak bulunur.

İstenen

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesi,

(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

şeklinde yazılıp düzenlendiğinde

1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)

ifadesine eşit olur. Diğer taraftan,

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

yarım açı formülünden yararlanarak

\cos(4x) = 0,2

değeri yerine yazıldığında

\sin^2(2x) = 0,4

elde edilir. Bu değer ilk eşitlikte yerine yazıldığında sonuç

1 - 0,2 = 0,8

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesini, bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek amacıyla

\sin^2(2x)

cinsinden ifade edin.

\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)

\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

özdeşliğinde

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

ve

\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}

eşitliklerini yerine yazmak için.

2

Verilen

\cos(4x) = 0,2

eşitliğini,

\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

yarım açı formülünü kullanarak

\sin^2(2x)

cinsinden açın ve çözün.

\sin^2(2x) = 0,4

0,2 = 1 - 2\sin^2(2x) \implies 2\sin^2(2x) = 0,8 \implies \sin^2(2x) = 0,4

elde edilerek ilk adımda ihtiyaç duyulan terimi bulmak için.

3

Elde edilen

\sin^2(2x) = 0,4

değerini, birinci adımda basitleştirdiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu hesaplayın.

0,8

İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Trigonometrik Özdeşlikler

Soru 317Soru →

Bir $ABCD$ karesinde $E$ noktası $[AB]$ kenarı üzerinde, $F$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir.

|AE| = |EB|

|BF| = 2|FC|

eşitlikleri sağlandığına ve

DE

ve

AF

doğruları kare içinde bir

P

noktasında kesiştiğine göre,

DE

ve

AF

doğruları arasında kalan dar açının tanjant değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Doğrular arasında kalan dar açının tanjant değeri 8'dir.

Doğrular arasındaki dar açıyı

\alpha = 90^\circ - (x - y)

olarak modelledikten sonra tanjant fark formülü yardımıyla

\tan(x-y) = -1/8

bulunur. Buradan

\tan\alpha = |\cot(x-y)| = 8

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Karenin kenar uzunluklarını ve üzerindeki noktaların konumlarını belirleme.

Karenin bir kenarı 6 birim seçilirse,

|AE| = 3

,

|EB| = 3

,

|BF| = 4

ve

|FC| = 2

olur.

Trigonometrik oranları hesaplamak için uygun kenar uzunlukları tanımlanmalıdır.

2

ADE

ve

ABF

dik üçgenlerini kullanarak ilgili açıların tanjant değerlerini bulma.

\tan(\angle ADE) = \frac{1}{2}

ve

\tan(\angle BAF) = \frac{2}{3}

olarak bulunur.

Toplam-fark formüllerinde kullanılacak temel açıların oranlarını elde etmek gerekir.

3

Doğrular arasındaki açıyı dik üçgenlerdeki açılar cinsinden ifade etme.

\alpha = 90^\circ - (x - y)

olduğundan

\tan\alpha = \cot(x - y) = \frac{1}{\tan(x - y)}

elde edilir.

Kesişen doğruların oluşturduğu dar açıyı bilinen açılarla ilişkilendirmek için.

4

Tanjant fark formülü yardımıyla sonucu hesaplama.

\tan(x-y) = -\frac{1}{8}

ve buradan

\tan\alpha = 8

bulunur.

Fark formülü uygulanarak aranan dar açının tanjant değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantını bulmak için tanjant fark formülünün kullanılması.

Soru 318Soru →

\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 2\cos(x)

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

\frac{4\pi}{9}

\frac{5\pi}{9}

\frac{8\pi}{9}

\frac{11\pi}{9}

\frac{4\pi}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{11\pi}{9}$

Cevap

\frac{11\pi}{9}

Doğru cevap olan

\frac{11\pi}{9}

değeri, verilen denklemin sol tarafının sinüs toplam formülü yardımıyla

\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

biçimine getirilmesiyle bulunur. Bu denklemin genel çözümlerinden

[0, \pi]

aralığına uygun olan farklı gerçel kökler

\frac{\pi}{9}

,

\frac{7\pi}{9}

ve

\frac{\pi}{3}

olarak elde edilir. Bu değerlerin toplamı

\frac{11\pi}{9}

radyandır.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemin sol tarafını doğrusal kombinasyon özelliğini kullanarak tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade edelim.

\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos(x)

Eşitliğin sol tarafı

2

parantezine alındığında,

2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)

elde edilir. Her iki taraf

2

'ye bölünerek denklem sadeleştirilir.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki kosinüs ifadesini tümler açı ilişkisini kullanarak sinüs cinsinden yazalım.

\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

özdeşliği sayesinde denklem çözülebilir sinüs eşitliği formuna getirilir.

3

Sinüs denkleminin çözüm kurallarını uygulayarak iki farklı genel çözüm durumunu belirleyelim.

Birinci durum:

x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}

İkinci durum:

x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

)

\sin(A) = \sin(B)

denkleminin genel çözümü

A = B + 2k\pi

ve

A = \pi - B + 2k\pi

durumlarından oluşur.

4

Genel çözümlerde

k

yerine tam sayı değerleri vererek

[0, \pi]

kapalı aralığındaki farklı gerçel kökleri bulalım ve toplayalım.

Kökler:

\frac{\pi}{9}

,

\frac{7\pi}{9}

ve

\frac{\pi}{3}

Toplam:

\frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{11\pi}{9}

Bulunan genel çözümlerden sadece verilen

[0, \pi]

aralığına düşen değerler belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde doğrusal kombinasyonların dönüşümü ve belirli bir aralıktaki köklerin periyodik olarak bulunması.

Soru 319Soru →

\cos\left(\arcsin(x) - \arctan(2)\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.6

Cevap

Denklemi sağlayan köklerin toplamı 1.6'dır.

Verilen denklemde ters trigonometrik fonksiyonlar açı dönüşümleriyle basitleştirilip kosinüs fark formülü uygulandığında

\sqrt{1-x^2} = 2 - 2x

cebirsel denklemine ulaşılır. Bu denklemin çözümü için

x \le 1

şartı altında karesi alındığında

5x^2 - 8x + 3 = 0

elde edilir. Çözüm kümesi

\{1, 0.6\}

olup her iki değer de tanımlı aralıktadır. Bu köklerin toplamı

1.6

yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken dönüşümü yapılması

\arcsin(x) = a \implies \sin(a) = x

ve

\arctan(2) = b \implies \tan(b) = 2

Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlenebilir açılara dönüştürmek için.

2

Açıların diğer trigonometrik değerlerinin bulunması

\cos(a) = \sqrt{1-x^2}

,

\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}}

ve

\cos(b) = \frac{1}{\sqrt{5}}

Kosinüs fark formülünde kullanılacak bileşenleri elde etmek için.

3

Kosinüs fark formülünün uygulanması

\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}}

Verilen

\cos(a-b)

ifadesini açıp değeriyle eşitlemek için.

4

Cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi ve denklemin kurulması

\sqrt{1-x^2} + 2x = 2 \implies \sqrt{1-x^2} = 2 - 2x

Kökleri bulabilmek amacıyla denklemi tek bir kareköklü ifadeye indirgemek için.

5

Karesinin alınması ve köklerin belirlenmesi

x_1 = 1

ve

x_2 = 0.6

kökleri bulunur. Köklerin toplamı

1 + 0.6 = 1.6

elde edilir.

İkinci dereceden denklemi çözüp koşullara uygun kökleri toplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile toplam-fark formüllerinin birlikte uygulanması.

Soru 320Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8\text{ birim}$ , $|AC| = 5\text{ birim}$ ve $|BC| = 7\text{ birim}$ 'dir. $BA$ kenarı $A$ köşesi yönünde uzatılarak bir $D$ noktası alınıyor. $|AD| = 3\text{ birim}$ olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu kaç birimdir?

\sqrt{19}

7

\sqrt{34}

8

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7

Kosinüs teoremi yardımıyla öncelikle dar açının kosinüsü yarım bulunarak

60

derece elde edilir. Doğrusallık nedeniyle geniş açı

120

derece olur. İkinci üçgende kosinüs teoremi uygulandığında, geniş açının kosinüsünün negatif işareti formüldeki eksi ile çarpılarak artıya dönüşür ve kenar uzunluğunun karesi 49, kendisi ise 7 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

BC

kenarını gören açının kosinüsünü bulmak için kosinüs teoremini yazın.

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{BAC})

A

açısının trigonometrik oranını elde etmek için.

2

Elde edilen denklemi çözerek

\cos(\widehat{BAC})

değerini hesaplayın ve açının ölçüsünü bulun.

49 = 64 + 25 - 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) = 40 \implies \cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

Komşu bütünler açıyı belirlemek üzere temel dar açıyı bulmak için.

3

B, A, D

noktalarının doğrusallığını kullanarak komşu bütünler olan

\widehat{DAC}

açısının ölçüsünü hesaplayın.

m(\widehat{DAC}) = 180^\circ - m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

DAC

üçgeninde kosinüs teoremini uygulayabilmek için aradaki açıyı bulmak.

4

DAC

üçgeninde

CD

kenarına göre kosinüs teoremini uygulayın.

|CD|^2 = |AD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{DAC}) \implies |CD|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)

İstenen

|CD|

uzunluğunu formülize etmek için.

5

İkinci bölgedeki kosinüs değerini yerine yazarak

|CD|

değerini hesaplayın.

\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}

olduğundan,

|CD|^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 \implies |CD| = 7\text{ birim}

Kosinüsün işaretini doğru kullanarak nihai uzunluğu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla üçgenlerde bilinmeyen kenar ve açıların ardışık hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Trigonometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm