Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 121Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları ∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} dir. Buna göre, AA köşesindeki iç açının kosinüsü olan cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

A açısının kosinüs değeri 0,75'tir.
Kosinüs teoremi doğrudan uygulandığında, açının karşısındaki kenar olan 4 birimin karesi, diğer kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katının kosinüs değeriyle çarpımının çıkarılmasına eşittir. Bu denklem çözüldüğünde kosinüs değeri 0,75 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünde verilen kenar uzunluklarını yerleştirmek
42=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡(BAC^)4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{BAC})
Açının karşısındaki kenarın karesi, komşu kenarların kareleri toplamı ile bu kenarların çarpımının iki katının aradaki açının kosinüsüyle çarpımının farkına eşittir.
2
Üslü ifadeleri hesaplamak ve denklemi sadeleştirmek
16=61−60⋅cos⁡(BAC^)16 = 61 - 60 \cdot \cos(\widehat{BAC})
Sayısal işlemleri yaparak denklemi çözülebilir hale getirmek.
3
Bilinmeyen kosinüs ifadesini yalnız bırakmak
cos⁡(BAC^)=0,75\cos(\widehat{BAC}) = 0,75
Denklemi çözerek cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 122Soru →

a=sin⁡(200∘)a = \sin(200^\circ)
b=cos⁡(290∘)b = \cos(290^\circ)
c=tan⁡(130∘)c = \tan(130^\circ)

Yukarıda verilen trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışını oluşturunuz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Tanjant 130 derece < Sinüs 200 derece < Kosinüs 290 derece
Tanjant 130 derece ikinci bölgede negatif olup −1-1'den küçüktür. Sinüs 200 derece üçüncü bölgede negatif olup −1-1 ile 00 arasındadır. Kosinüs 290 derece dördüncü bölgede pozitif bir değer alır. Bu durumda en küçük değer tanjant 130 derece, ortanca değer sinüs 200 derece, en büyük değer ise kosinüs 290 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleme
200∘200^\circ açısı ü��üncü bölgede olup sinüs değeri negatiftir (a<0a < 0).
290∘290^\circ açısı dördüncü bölgede olup kosinüs değeri pozitiftir (b>0b > 0).
130∘130^\circ açısı ikinci bölgede olup tanjant değeri negatiftir (c<0c < 0).
Sıralama yaparken ilk adım olarak değerlerin pozitif veya negatif olduğunu belirlemek karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Negatif olan sinüs ve tanjant değerlerini kendi aralarında karşılaştırma
a=sin⁡(200∘)=−sin⁡(20∘)a = \sin(200^\circ) = -\sin(20^\circ) değer aralığı (−1,0)(-1, 0) arasındadır.
c=tan⁡(130∘)=−tan⁡(50∘)c = \tan(130^\circ) = -\tan(50^\circ) değerinde, tan⁡(50∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(50^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 olduğu için c<−1c < -1 olur.
Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini belirlemek için mutlak değerce kıyaslama yapılarak negatif işaretin etkisi incelenir.
3
Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama yapma
c<−1c < -1 ve −1<a<0-1 < a < 0 ve b>0b > 0 olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralamaya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değer aralıkları yardımıyla sıralanması

Alternatif Yöntem

Tüm açılar birim çember üzerinde çizilip eksenler üzerindeki izdüşümleri veya tanjant ekseni üzerindeki kesim noktaları görsel olarak kıyaslanarak da sıralama yapılabilir.
Tahmini Süre:50s
Soru 123Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−2sin⁡(x)cos⁡(x)a = \sqrt{1 - 2\sin(x)\cos(x)}
b=cos⁡4(x)−sin⁡4(x)sin⁡(x)−cos⁡(x)b = \frac{\cos^4(x) - \sin^4(x)}{\sin(x) - \cos(x)}
c=tan⁡(x)−cot⁡(x)sec⁡(x)csc⁡(x)c = \frac{\tan(x) - \cot(x)}{\sec(x)\csc(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

b<c<ab < c < a
Verilen tanım aralığında aa ifadesi sin⁡(x)−cos⁡(x)>1\sin(x) - \cos(x) > 1 olarak pozitif çıkar, bb ifadesi −(sin⁡(x)+cos⁡(x))<0-(\sin(x) + \cos(x)) < 0 olarak negatif çıkar, cc ifadesi ise sin⁡2(x)−cos⁡2(x)∈(0,1)\sin^2(x) - \cos^2(x) \in (0, 1) olarak pozitif fakat 11'den küçük çıkar. Bu durumda b<c<ab < c < a sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.
a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) ve a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2})
1−2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)=(sin⁡(x)−cos⁡(x))21 - 2\sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = (\sin(x) - \cos(x))^2 olur. Kareköklü ifade dışarıya mutlak değerle çıkar: a=∣sin⁡(x)−cos⁡(x)∣a = |\sin(x) - \cos(x)|. Verilen x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında (ikinci bölge) sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 ve cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 olduğundan sin⁡(x)−cos⁡(x)>0\sin(x) - \cos(x) > 0 olur. Bu yüzden mutlak değer dışına aynen çıkar. Bu aralıkta sin⁡(x)>−cos⁡(x)>0\sin(x) > -\cos(x) > 0 olduğundan sin⁡(x)−cos⁡(x)>1\sin(x) - \cos(x) > 1 olur.
2
bb ifadesini sadeleştirelim.
b=−(sin⁡(x)+cos⁡(x))b = -(\sin(x) + \cos(x)) ve b∈(−1,0)b \in (-1, 0)
cos⁡4(x)−sin⁡4(x)=(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))(cos⁡2(x)+sin⁡2(x))=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos^4(x) - \sin^4(x) = (\cos^2(x) - \sin^2(x))(\cos^2(x) + \sin^2(x)) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) olur. Paydadaki sin⁡(x)−cos⁡(x)\sin(x) - \cos(x) ile sadeleştiğinde başa eksi gelir: b=−(sin⁡(x)+cos⁡(x))b = -(\sin(x) + \cos(x)). İkinci bölgenin ilk yarısında sin⁡(x)>∣cos⁡(x)∣\sin(x) > |\cos(x)| olduğundan sin⁡(x)+cos⁡(x)>0\sin(x) + \cos(x) > 0 olur, dolayısıyla b<0b < 0 elde edilir.
3
cc ifadesini sadeleştirelim.
c=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)c = \sin^2(x) - \cos^2(x) ve c∈(0,1)c \in (0, 1)
Pay kısmında tan⁡(x)−cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) - \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} yazılır. Paydadaki sec⁡(x)csc⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} ile bölündüğünde paydalar sadeleşir ve c=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)c = \sin^2(x) - \cos^2(x) kalır. sin⁡(x)>∣cos⁡(x)∣\sin(x) > |\cos(x)| olduğundan sin⁡2(x)>cos⁡2(x)\sin^2(x) > \cos^2(x) olur ve c>0c > 0 bulunur. Değeri 11'den küçüktür.
4
Elde edilen değerleri karşılaştırarak sıralayalım.
b<c<ab < c < a
b<0b < 0, 0<c<10 < c < 1 ve a>1a > 1 olduğundan, doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesi ve belirli bir aralıkta trigonometrik değerlerin işaret ve büyüklük analizine göre sıralanması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 124Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb ve cc olmak üzere, bu üçgenin kenarları ve açıları arasında

a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc
sin⁡(B^)sin⁡(C^)=3+1\frac{\sin(\widehat{B})}{\sin(\widehat{C})} = \sqrt{3} + 1

bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, CC açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

C açısının ölçüsü 15 derecedir.
Kosinüs Teoremi ile tepe açısı 120 derece olarak bulunur. İç açılar toplamından diğer iki açının toplamı 60 derece olup sinüs fark formülü yardımıyla oran kotanjanta dönüştürülür. Elde edilen kotanjant değerinden aranan açı 15 derece olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısı olan A açısının değerini belirleyin.
a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A}) Kosinüs Teoremi formülü ile soruda verilen a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc eşitliği karşılaştırıldığında −2cos⁡(A^)=1  ⟹  cos⁡(A^)=−12-2\cos(\widehat{A}) = 1 \implies \cos(\widehat{A}) = -\frac{1}{2} elde edilir. Buradan üçgenin geniş açısı m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ bulunur.
Üçgenin bir iç açısını belirleyerek diğer iç açılar olan B ve C arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
Üçgenin iç açılar toplamını kullanarak B açısını C cinsinden ifade edin.
m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘  ⟹  120∘+B+C=180∘  ⟹  B+C=60∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \implies 120^\circ + B + C = 180^\circ \implies B + C = 60^\circ olur. Buradan B=60∘−CB = 60^\circ - C elde edilir.
İki bilinmeyenli açıyı tek bilinmeyenli açıya indirgemek.
3
Sinüs fark formülünü uygulayarak sin(B) ifadesini C cinsinden açın.
sin⁡(B)=sin⁡(60∘−C)=sin⁡60∘cos⁡C−cos⁡60∘sin⁡C=32cos⁡C−12sin⁡C\sin(B) = \sin(60^\circ - C) = \sin 60^\circ \cos C - \cos 60^\circ \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos C - \frac{1}{2}\sin C olarak yazılır.
Verilen sinüs oranını tek bir trigonometrik fonksiyon olan kotanjant cinsinden ifade edebilmek.
4
Verilen sinüsler oranını kullanarak kotanjant değerini elde edin.
sin⁡Bsin⁡C=32cos⁡C−12sin⁡Csin⁡C=32cot⁡C−12\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C - \frac{1}{2}\sin C}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cot C - \frac{1}{2} elde edilir. Bu ifadeyi verilen 3+1\sqrt{3} + 1 değerine eşitlersek: 32cot⁡C−12=3+1  ⟹  32cot⁡C=3+32  ⟹  cot⁡C=2+3\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C - \frac{1}{2} = \sqrt{3} + 1 \implies \frac{\sqrt{3}}{2}\cot C = \sqrt{3} + \frac{3}{2} \implies \cot C = 2 + \sqrt{3} bulunur.
C açısının ölçüsüne ulaşmak için kotanjant değerini bulmak.
5
Kotanjant değeri bilinen dar açının ölçüsünü belirleyin.
cot⁡15∘=2+3\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3} olduğu bilindiğinden, m(C^)=15∘m(\widehat{C}) = 15^\circ olarak elde edilir.
Kotanjantı verilen değere eşit olan açıyı derece cinsinden bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin Trigonometrik Fark Özdeşlikleri ile Ortak Çözümü
Soru 125Soru →

π<x<3π2\pi < x < \frac{3\pi}{2} olmak üzere,

sin⁡(5π−x)+cos⁡(7π2+x)tan⁡(x−5π2)⋅sin⁡(x−3π)−sin⁡x⋅sec⁡2(x−7π) \frac{\sin(5\pi - x) + \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}{\tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) \cdot \sin(x - 3\pi)} - \sin x \cdot \sqrt{\sec^2(x - 7\pi)}

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3tan⁡x3\tan x

Cevap

3tan⁡x3\tan x ifadesi
İfadenin birinci bölümünde pay 2sin⁡x2\sin x ve payda cos⁡x\cos x olarak sadeleşir, bu da 2tan⁡x2\tan x sonucunu verir. İkinci bölümde yer alan kareköklü ifade, sec⁡2(x−7π)=∣sec⁡x∣\sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} = |\sec x| şeklinde mutlak değer olarak dışarı çıkar. xx açısı üçüncü bölgede olduğundan sekant negatiftir ve ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x olur. Bu terim önündeki −sin⁡x-\sin x ile çarpıldığında tan⁡x\tan x değerini üretir. İki kısım birleştirildiğinde 2tan⁡x+tan⁡x=3tan⁡x2\tan x + \tan x = 3\tan x elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin birinci kısmındaki payı oluşturan terimleri indirgeyelim.
sin⁡(5π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(5\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin x ve cos⁡(7π2+x)=cos⁡(3π2+x)=sin⁡x\cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x olur. Dolayısıyla pay kısmı sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x olarak bulunur.
Büyük açıların esas ölçülerini alarak dar açı cinsinden sadeleştirmek.
2
İfadenin birinci kısmındaki paydayı oluşturan terimleri indirgeyelim.
tan⁡(x−5π2)=−tan⁡(5π2−x)=−tan⁡(π2−x)=−cot⁡x\tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = -\tan\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cot x ve sin⁡(x−3π)=sin⁡(x−π)=−sin⁡x\sin(x - 3\pi) = \sin(x - \pi) = -\sin x olur. Bu durumda payda çarpımı (−cot⁡x)⋅(−sin⁡x)=cot⁡x⋅sin⁡x=cos⁡xsin⁡x⋅sin⁡x=cos⁡x(-\cot x) \cdot (-\sin x) = \cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x elde edilir.
Paydadaki ifadelerin periyodik özelliklerini ve özdeşliklerini kullanarak sade halini bulmak.
3
Bulduğumuz pay ve payda değerlerini oranlayarak birinci kısmın en sade halini yazalım.
2sin⁡xcos⁡x=2tan⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x elde edilir.
Kesirli kısmı tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek.
4
İkinci kısmı oluşturan −sin⁡x⋅sec⁡2(x−7π)- \sin x \cdot \sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} ifadesini xx açısının bölgesine göre analiz edelim.
sec⁡(x−7π)=sec⁡(x−π)=−sec⁡x\sec(x - 7\pi) = \sec(x - \pi) = -\sec x olur. Buradan sec⁡2(x−7π)=∣−sec⁡x∣=∣sec⁡x∣\sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} = |-\sec x| = |\sec x| elde edilir. xx açısı üçüncü bölgede (π<x<3π2\pi < x < \frac{3\pi}{2}) olduğundan cos⁡x<0  ⟹  sec⁡x<0\cos x < 0 \implies \sec x < 0 olur. Dolayısıyla mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar: ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x. İkinci kısım ise −sin⁡x⋅(−sec⁡x)=sin⁡xsec⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x- \sin x \cdot (-\sec x) = \sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x olarak bulunur.
Karekök dışına çıkarma işleminde açının bölgesine göre mutlak değerin işaretini doğru belirlemek.
5
Elde ettiğimiz iki kısmı birleştirerek sonuca ulaşalım.
2tan⁡x+tan⁡x=3tan⁡x2\tan x + \tan x = 3\tan x bulunur.
Bulunan sadeleşmiş terimler arasındaki çıkarma ve toplama işlemlerini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin analizi ve indirgeme formüllerinde karekök/mutlak değer ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 126Soru →

Bir ABCABC üçgeninde m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ, m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ ve ∣AC∣=42|AC| = 4\sqrt{2} birimdir. Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 434\sqrt{3}

Cevap

İstenen uzunluk 434\sqrt{3} birimdir.
Sinüs Teoremi'ne göre kurulan ∣BC∣sin⁡(120∘)=42sin⁡(45∘)\frac{|BC|}{\sin(120^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} denkleminde bilinen değerler yerine yazılıp sadeleştirme yapıldığında doğru uzunluk 434\sqrt{3} birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi bağıntısını yazalım.
∣BC∣sin⁡(A^)=∣AC∣sin⁡(B^)\frac{|BC|}{\sin(\widehat{A})} = \frac{|AC|}{\sin(\widehat{B})}
Bir üçgende kenar uzunlukları karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle orantılıdır.
2
Verilen değerleri bağıntıda yerlerine yerleştirelim.
∣BC∣sin⁡(120∘)=42sin⁡(45∘)\frac{|BC|}{\sin(120^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}
Soruda verilen m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ, m(B^)=45∘m(\widehat{B}) = 45^\circ ve ∣AC∣=42|AC| = 4\sqrt{2} değerlerini kullanmak için.
3
Trigonometrik değerleri hesaplayarak denklemi çözelim.
sin⁡(120∘)=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡(60∘)=32\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(45∘)=22\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}

∣BC∣32=4222⇒2∣BC∣3=8⇒∣BC∣=43\frac{|BC|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow \frac{2|BC|}{\sqrt{3}} = 8 \Rightarrow |BC| = 4\sqrt{3}
İçler dışlar çarpımı yaparak ∣BC∣|BC| uzunluğunu yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Geniş Açıların Sinüs Değerleri
Soru 127Soru →
cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denkleminin belirtilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki gerçel kökleri genel çözümlerden elde edilen π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6} değerleridir. Bu aralıkta başka gerçel kök bulunmadığından toplam kök sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
2x=π3+2kπ2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi veya 2x=−π3+2kπ2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin genel çözümü θ=α+2kπ\theta = \alpha + 2k\pi veya θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi bağıntıları ile belirlenir.
2
xx değişkenini yalnız bırakmak için bölme yapma
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi veya x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
Eşitliklerin her iki tarafını xx'in katsayısı olan 2 ile bölerek köklerin genel formülüne ulaşırız.
3
[0,π][0, \pi] aralığına uygun kökleri belirleme
x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} ve x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6}
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=0k=0 için x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} aralığa dahildir. x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=1k=1 için x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6} aralığa dahildir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması
Tahmini Süre:50s
Soru 128Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
cos⁡(3x)cos⁡(π2−x)+sin⁡(3x)sin⁡(π2−x)cos⁡(5x)cos⁡(π−x)−sin⁡(5x)cos⁡(π2−x)\frac{\cos(3x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(3x)\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\cos(5x)\cos(\pi - x) - \sin(5x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -tan(4x); -\tan(4x); -tan4x; -\tan4x; tan(-4x); \tan(-4x); -tan(4*x); -\tan(4*x)

Cevap

İfadenin en sade şekli −tan⁡(4x)-\tan(4x) olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı kosinüs fark formülünden sin⁡(4x)\sin(4x) değerine, paydası ise indirgemeler yapıldıktan sonra −cos⁡(4x)-\cos(4x) değerine eşittir. Bu iki ifade oranlandığında −tan⁡(4x)-\tan(4x) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi toplam-fark formüllerini kullanarak sadeleştirin.
Pay kısmı: cos⁡(3x−(π2−x))=cos⁡(4x−π2)=sin⁡(4x)\cos\left(3x - \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(4x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(4x) olur.
cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)=cos⁡(A−B)\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) formülü uygulanmıştır. Ardından cos⁡(θ−π2)=sin⁡(θ)\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin(\theta) dönüşümü yapılmıştır.
2
Payda kısmındaki terimleri indirgeme formüllerini kullanarak dönüştürün.
cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x) ve cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) değerleri yerlerine yazıldığında payda: −cos⁡(5x)cos⁡(x)−sin⁡(5x)sin⁡(x)-\cos(5x)\cos(x) - \sin(5x)\sin(x) olur.
Paydadaki açıları xx cinsinden ifade etmek için trigonometrik indirgeme kuralları uygulanmıştır.
3
Dönüştürülen payda ifadesini kosinüs fark formülünü kullanarak sadeleştirin.
Payda kısmı: −[cos⁡(5x)cos⁡(x)+sin⁡(5x)sin⁡(x)]=−cos⁡(5x−x)=−cos⁡(4x)-[\cos(5x)\cos(x) + \sin(5x)\sin(x)] = -\cos(5x - x) = -\cos(4x) olur.
Paydadaki eksi parantezine alınan ifade kosinüsün fark formülü olan cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B yapısına uygundur.
4
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçimi bulun.
sin⁡(4x)−cos⁡(4x)=−tan⁡(4x)\frac{\sin(4x)}{-\cos(4x)} = -\tan(4x) elde edilir.
tan⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} tanımı kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam ve fark formülleri ile temel trigonometrik indirgeme kuralları.
Soru 129Soru →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,

sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

30⋅(tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b)30 \cdot \left( \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} \right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İfadenin doğru değeri 20'dir.
Verilen özdeşlikler kullanılarak sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)=sin⁡2a−sin⁡2b=1/5\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b = 1/5 ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)=cos⁡2a−sin⁡2b=3/10\cos(a+b)\cos(a-b) = \cos^2 a - \sin^2 b = 3/10 bulunur. Bu iki değer oranlandığında tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)=tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=2/3\tan(a+b)\tan(a-b) = \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = 2/3 elde edilir. Bu oranın 30 katı 20'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifade olan tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} kısmını sinüs ve kosinüs bileşenlerine ayıralım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2bcos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b}{\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b} elde edilir.
Tanjant fonksiyonu tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımı kullanılarak ortak paydada yazılmıştır.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri iki kare farkı ve toplam-fark formülleri yardımıyla çarpanlarına ayıralım.
Pay: sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=(sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b)(sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b)=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = (\sin a \cos b - \cos a \sin b)(\sin a \cos b + \cos a \sin b) = \sin(a-b)\sin(a+b). Payda: cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=(cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b)(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = (\cos a \cos b - \sin a \sin b)(\cos a \cos b + \sin a \sin b) = \cos(a-b)\cos(a+b).
Sinüs ve kosinüs toplam ve fark formülleri sırasıyla sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b ve cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b şeklindedir.
3
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin(a-b)\sin(a+b) ve cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos(a-b)\cos(a+b) ifadelerini verilen sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ve cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b değerleriyle ilişkilendirelim.
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=sin⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−sin⁡2a)sin⁡2b=sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin(a-b)\sin(a+b) = \sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = \sin^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\sin^2 a)\sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=cos⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−cos⁡2a)sin⁡2b=cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos(a-b)\cos(a+b) = \cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = \cos^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\cos^2 a)\sin^2 b = \cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}
Özdeşliklerin sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 kullanılarak sadeleştirilmesiyle verilen denklem sistemine doğrudan ulaşılır.
4
Elde ettiğimiz değerleri oranlayarak istenen çarpımı hesaplayalım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=1/53/10=23\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin(a-b)\sin(a+b)}{\cos(a-b)\cos(a+b)} = \frac{1/5}{3/10} = \frac{2}{3}
30⋅23=2030 \cdot \frac{2}{3} = 20
İstenen ifadenin değeri, elde ettiğimiz oranın 30 katıdır.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri kullanılarak tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)\tan(a+b)\tan(a-b) çarpımının sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)\sin(a+b)\sin(a-b) ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)\cos(a+b)\cos(a-b) oranına eşit olduğunun gösterilmesi ve bu ifadelerin sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ile cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b biçiminde sadeleştirilmesi.
Soru 130Soru →

α,β∈(0,π2)\alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,
cos⁡(3α+2β)−sin⁡(4α+5β)sin⁡(α+2β)\frac{\cos(3\alpha + 2\beta) - \sin(4\alpha + 5\beta)}{\sin(\alpha + 2\beta)}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2cot⁡α-2\cot\alpha

Cevap

−2cot⁡α-2\cot\alpha
Doğru cevap −2cot⁡α-2\cot\alpha ifadesidir. α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} ilişkisini kullanarak paydaki cos⁡(3α+2β)\cos(3\alpha + 2\beta) ifadesi cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha şeklinde, sin⁡(4α+5β)\sin(4\alpha + 5\beta) ifadesi ise sin⁡(2π+β)=sin⁡β=cos⁡α\sin(2\pi + \beta) = \sin\beta = \cos\alpha şeklinde indirgenir. Böylece pay kısmı −2cos⁡α-2\cos\alpha olur. Paydadaki sin⁡(α+2β)\sin(\alpha + 2\beta) ifadesi ise sin⁡(π2+β)=cos⁡β=sin⁡α\sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos\beta = \sin\alpha olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı −2cot⁡α-2\cot\alpha sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki cos⁡(3α+2β)\cos(3\alpha + 2\beta) ve sin⁡(4α+5β)\sin(4\alpha + 5\beta) ifadelerini α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} ilişkisini kullanarak α\alpha cinsinden yazmak.
cos⁡(3α+2β)=−cos⁡α\cos(3\alpha + 2\beta) = -\cos\alpha ve sin⁡(4α+5β)=cos⁡α\sin(4\alpha + 5\beta) = \cos\alpha bulunur. Buradan pay ifadesi −cos⁡α−cos⁡α=−2cos⁡α-\cos\alpha - \cos\alpha = -2\cos\alpha olur.
3α+2β=2(α+β)+α=π+α3\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) + \alpha = \pi + \alpha olur. Bu açı 3. bölgede olduğundan kosinüs negatiftir ve isim değişmez. 4α+5β=4(α+β)+β=2π+β4\alpha + 5\beta = 4(\alpha + \beta) + \beta = 2\pi + \beta olur. Esas ölçüsü β\beta olup sin⁡(2π+β)=sin⁡β\sin(2\pi + \beta) = \sin\beta elde edilir. Tümler açılardan sin⁡β=cos⁡α\sin\beta = \cos\alpha yazılır.
2
Payda kısmındaki sin⁡(α+2β)\sin(\alpha + 2\beta) ifadesini indirgemek.
sin⁡(α+2β)=sin⁡α\sin(\alpha + 2\beta) = \sin\alpha elde edilir.
α+2β=(α+β)+β=π2+β\alpha + 2\beta = (\alpha + \beta) + \beta = \frac{\pi}{2} + \beta olur. Bu açı 2. bölgede olduğundan sinüs pozitiftir, ancak π2\frac{\pi}{2} nedeniyle isim değiştirerek cos⁡β\cos\beta olur. Tümler açılardan cos⁡β=sin⁡α\cos\beta = \sin\alpha yazılır.
3
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadenin en sade halini elde etmek.
−2cos⁡αsin⁡α=−2cot⁡α\frac{-2\cos\alpha}{\sin\alpha} = -2\cot\alpha elde edilir.
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların π±x\pi \pm x, 2π±x2\pi \pm x ve π2±x\frac{\pi}{2} \pm x durumlarında bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve isim değiştirme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 131Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)+tan⁡(π4−x)=56\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} + \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{5}{6}
olduğuna göre, 25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri 77'dir.
Verilen trigonometrik eşitlik sadeleştirildiğinde tan⁡x\tan x değerinin 1/31/3 olduğu bulunur (1/21/2 kökü tanım aralığının dışındadır). tan⁡x=1/3\tan x = 1/3 değeri kullanılarak yarım açı formülleriyle cos⁡(2x)=4/5\cos(2x) = 4/5 ve cos⁡(4x)=7/25\cos(4x) = 7/25 elde edilir. Bu değer 2525 ile çarpıldığında 77 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} ifadesini sadeleştirmek için yarım açı formüllerini uygulayalım.
Pay: 1−(1−2sin⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x\cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)
Payda: 1+(2cos⁡2x−1)+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x\cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)
Oranlandığında ifade tan⁡x\tan x olur.
İfadeyi daha basit bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek.
2
tan⁡(π4−x)\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) ifadesini toplam-fark formülü kullanarak açalım.
tan⁡(π4−x)=tan⁡(π/4)−tan⁡x1+tan⁡(π/4)tan⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan x}{1 + \tan(\pi/4)\tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}
Tüm terimleri aynı trigonometrik değişken türünden yazmak.
3
tan⁡x=t\tan x = t dönüşümü yaparak denklemi rasyonel formda kuralım ve çözelim.
t+1−t1+t=56  ⟹  t2+1t+1=56  ⟹  6t2−5t+1=0t + \frac{1-t}{1+t} = \frac{5}{6} \implies \frac{t^2+1}{t+1} = \frac{5}{6} \implies 6t^2 - 5t + 1 = 0
Denklemin kökleri (2t−1)(3t−1)=0(2t-1)(3t-1)=0 eşitliğinden t=12t = \frac{1}{2} ve t=13t = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Değişken değiştirme yöntemiyle kök değerlerini elde etmek.
4
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) tanım aralığına uygun kökü seçelim.
tan⁡(π/8)=2−1≈0.414\tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1 \approx 0.414 olduğundan, t=12=0.5t = \frac{1}{2} = 0.5 aralık dışındadır. t=13≈0.333t = \frac{1}{3} \approx 0.333 aralığa uygundur. Buradan tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} seçilir.
Belirtilen dar açı aralık sınırını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
5
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} yardımıyla cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/91+1/9=8/10=45\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{8/10} = \frac{4}{5}
Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının kosinüsüne geçiş yapmak.
6
cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayıp istenen ifadeyi bulalım.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(45)2−1=3225−1=725\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25} olur. Buradan 25⋅cos⁡(4x)=25⋅725=725 \cdot \cos(4x) = 25 \cdot \frac{7}{25} = 7 bulunur.
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde yarım açı ve toplam-fark formüllerinin birlikte kullanımı ile tanım kümesi sınırlamalarına göre kök eleme analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 132Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)⋅tan⁡(x)1−cos⁡(2x)=1.2\frac{\sin(4x) \cdot \tan(x)}{1 - \cos(2x)} = 1.2
olduğuna göre, tan⁡2(x)\tan^2(x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.25

Cevap

Doğru cevap 0.25'tir.
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 2cos⁡(2x)=1.22\cos(2x) = 1.2 elde edilir. Buradan cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunur. cos⁡(2x)=1−tan⁡2(x)1+tan⁡2(x)\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} formülü uygulandığında tan⁡2(x)=0.25\tan^2(x) = 0.25 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Payda yer alan sin⁡(4x)\sin(4x) ve tan⁡(x)\tan(x) ifadelerine yarım açı ve trigonometrik özdeşlikler uygulanır.
sin⁡(4x)tan⁡(x)=4sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)⋅sin⁡(x)cos⁡(x)=4sin⁡2(x)cos⁡(2x)\sin(4x)\tan(x) = 4\sin(x)\cos(x)\cos(2x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 4\sin^2(x)\cos(2x)
Pay kısmını sade bir çarpım durumuna getirmek için yarım açı formüllerinden yararlanılır.
2
Paydada yer alan 1−cos⁡(2x)1 - \cos(2x) terimine cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) yarım açı formülü uygulanır.
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)
Pay kısmındaki sin⁡2(x)\sin^2(x) terimiyle sadeleşebilecek bir ifade elde etmek.
3
Elde edilen sadeleşmiş terimler birbirine oranlanarak verilen sayısal değere eşitlenir.
4sin⁡2(x)cos⁡(2x)2sin⁡2(x)=2cos⁡(2x)=1.2  ⟹  cos⁡(2x)=0.6\frac{4\sin^2(x)\cos(2x)}{2\sin^2(x)} = 2\cos(2x) = 1.2 \implies \cos(2x) = 0.6
Bilinmeyen açının yarım açı değerine ulaşmak.
4
cos⁡(2x)\cos(2x) ile tan⁡2(x)\tan^2(x) arasındaki ilişkiden faydalanılarak tan⁡2(x)\tan^2(x) değeri çekilir.
0.6=1−tan⁡2(x)1+tan⁡2(x)  ⟹  0.6+0.6tan⁡2(x)=1−tan⁡2(x)  ⟹  1.6tan⁡2(x)=0.4  ⟹  tan⁡2(x)=0.250.6 = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)} \implies 0.6 + 0.6\tan^2(x) = 1 - \tan^2(x) \implies 1.6\tan^2(x) = 0.4 \implies \tan^2(x) = 0.25
İstenen trigonometrik oranı elde etmek.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunduktan sonra dik üçgen çizilerek 2x2x açısı yerleştirilebilir. Buradan tan⁡(2x)=4/3\tan(2x) = 4/3 bulunur. Daha sonra tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan⁡2(x)\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} yarım açı formülü kullanılarak da tan⁡(x)\tan(x) ve oradan tan⁡2(x)=0.25\tan^2(x) = 0.25 değerine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 133Soru →
kk pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=3sin⁡2(2kx)−1f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1
g(x)=5cos⁡(k9x)+4g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4
fonksiyonlarının esas periyotları birbirine eşittir.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k'nin alabileceği pozitif gerçel sayı değeri 6'dır.
Çift dereceli olan birinci fonksiyonun periyodu Tf=kπ2T_f = \frac{k\pi}{2}, tek dereceli olan ikinci fonksiyonun periyodu ise Tg=18πkT_g = \frac{18\pi}{k} olarak elde edilir. Periyotların eşitliği kπ2=18πk  ⟹  k2=36\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} \implies k^2 = 36 bağıntısını verir. Pozitif kk gerçel sayısı buradan 66 olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=3sin⁡2(2kx)−1f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1 fonksiyonunun esas periyodunu (TfT_f) hesaplama.
Tf=kπ2T_f = \frac{k\pi}{2}
Sinüs fonksiyonunun derecesi çift (22) olduğundan, periyot T=π∣b∣T = \frac{\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Burada b=2kb = \frac{2}{k} ve k>0k > 0 olduğu için Tf=π2k=kπ2T_f = \frac{\pi}{\frac{2}{k}} = \frac{k\pi}{2} olur.
2
g(x)=5cos⁡(k9x)+4g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4 fonksiyonunun esas periyodunu (TgT_g) hesaplama.
Tg=18πkT_g = \frac{18\pi}{k}
Kosinüs fonksiyonunun derecesi tek (11) olduğundan, periyot T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Burada b=k9b = \frac{k}{9} ve k>0k > 0 olduğu için Tg=2πk9=18πkT_g = \frac{2\pi}{\frac{k}{9}} = \frac{18\pi}{k} olur.
3
Esas periyotların eşitliği koşulundan kk değerini bulma.
k=6k = 6
Tf=TgT_f = T_g eşitliğinden kπ2=18πk\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} denklemi elde edilir. Her iki taraf sadeleştirildiğinde k2=18k  ⟹  k2=36\frac{k}{2} = \frac{18}{k} \implies k^2 = 36 olur. k>0k > 0 koşulunu sağlayan değer k=6k = 6 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda sin⁡n(ax+b)\sin^n(ax+b) ve cos⁡n(ax+b)\cos^n(ax+b) ifadelerinin esas periyotları belirlenirken, kuvvetin tek veya çift olmasına bakılır. Derece çift (nn çift) ise periyot T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|}, derece tek (nn tek) ise periyot T=2π∣a∣T = \frac{2\pi}{|a|} formülüyle hesaplanır.
Soru 134Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−12))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{\sqrt{3}}{2}

Cevap

32\frac{\sqrt{3}}{2}
Ters sinüs fonksiyonunun değer aralığı [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] olduğundan arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} olur. Bu değer dıştaki kosinüs fonksiyonuna yazıldığında cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters sinüs fonksiyonunun değer kümesini belirleme
−π2≤arcsin⁡(x)≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2}
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun çıktısı [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığında olmalıdır.
2
arcsin⁡(−12)\arcsin(-\frac{1}{2}) ifadesinin değerini bulma
−π6-\frac{\pi}{6}
sin⁡(−π6)=−12\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} olduğundan ve bu değer [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığında kaldığından aranan açı −π6-\frac{\pi}{6} (veya −30∘-30^\circ) olur.
3
cos⁡(−π6)\cos(-\frac{\pi}{6}) değerini hesaplama
32\frac{\sqrt{3}}{2}
Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon özelliği (cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x)) kullanılarak cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer kümesi sınırları ve kosinüs çift fonksiyon özelliği.
Soru 135Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x) fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)

Cevap

g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Bir fonksiyonun grafiği sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde tanım kümesindeki elemanlar x−π2x - \frac{\pi}{2} şeklinde değişir. Buradan g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) elde edilir. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı cos⁡(x−π2)=cos⁡(π2−x)\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) yazılabilir. Son olarak, tümler açıların trigonometrik oranları ilişkisinden cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) eşitliği bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay öteleme kuralını uygulayarak ötelenmiş fonksiyonun ifadesini yazma.
g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)
Bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği sağa doğru aa birim ötelendiğinde f(x−a)f(x-a) fonksiyonu elde edilir. Burada sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim öteleme yapıldığı için xx yerine x−π2x - \frac{\pi}{2} yazılır.
2
Elde edilen fonksiyonu kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini kullanarak düzenleme.
g(x)=cos⁡(π2−x)g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla cos⁡(x−π2)=cos⁡(−(π2−x))=cos⁡(π2−x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos\left(-(\frac{\pi}{2} - x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) olur.
3
Trigonometrik indirgeme (tümler açı) kuralını uygulayarak fonksiyonu sadeleştirme.
g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Birbirini 90∘90^\circ ye (yani π2\frac{\pi}{2} radyana) tamamlayan açılardan birinin kosinüsü, diğerinin sinüsüne eşittir. Bu nedenle cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların yatay ötelemesi ve indirgeme formülleri
Soru 136Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 725\frac{7}{25}

Cevap

Yedi b��lü yirmi beş
Kosinüs yarım açı formüllerinden biri cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x şeklindedir. Verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değeri bu formüle yazıldığında, 1−2(35)2=1−1825=7251 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün bilinen sinüs değerini kullanan yarım açı formülünü seçme.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Verilen sin⁡x\sin x değerini doğrudan kullanabilmek için bu yarım açı formülü tercih edilir.
2
Soruda verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değerini formülde yerine yazma.
cos⁡(2x)=1−2(35)2\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2
Bilinenden bilinmeyene ulaşmak için sayısal değer yerine yerleştirilir.
3
Üslü işlemi yapıp rasyonel çıkarma işlemini tamamlama.
cos⁡(2x)=1−2⋅925=1−1825=725\cos(2x) = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}
Dört işlem basamakları uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formüllerini kullanarak bilinen bir trigonometrik değerden çift açının kosinüs değerini hesaplama.

Alternatif Yöntem

Verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değerine uygun bir dik üçgen çizilerek komşu dik kenar 44 bulunur ve cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5} elde edilir. Ardından cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülü kullanılarak (45)2−(35)2=1625−925=725\left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 137Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta α\alpha ve β\beta gerçel sayıları için,
α−β=3π2\alpha - \beta = \frac{3\pi}{2}
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
sin⁡(3π−α)+cos⁡(β−π)sin⁡(α+π2)−cos⁡(3π2−β)\frac{\sin(3\pi - \alpha) + \cos(\beta - \pi)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right)}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡(α)\tan(\alpha)

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.
İfadenin pay kısmı −2cos⁡(β)-2\cos(\beta), payda kısmı ise 2sin⁡(β)2\sin(\beta) olarak indirgenir. Oranlandığında −cot⁡(β)-\cot(\beta) ifadesi elde edilir. β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} ilişkisi yerine yazılıp cotangent fonksiyonunun tekliği ve üçüncü bölgedeki indirgeme kuralı uygulandığında sonuç tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikten açılar arasındaki geçiş bağıntısını elde etme
α=β+3π2\alpha = \beta + \frac{3\pi}{2} veya β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2}
İfadedeki farklı açılı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Pay kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(3π−α)=sin⁡(π−α)=sin⁡(α)=sin⁡(β+3π2)=−cos⁡(β)\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(\beta) ve cos⁡(β−π)=cos⁡(π−β)=−cos⁡(β)\cos(\beta - \pi) = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) olup, Pay = −2cos⁡(β)-2\cos(\beta)
Pay kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
3
Payda kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(α+π2)=sin⁡(β+3π2+π2)=sin⁡(β+2π)=sin⁡(β)\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\beta + 2\pi) = \sin(\beta) ve cos⁡(3π2−β)=−sin⁡(β)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right) = -\sin(\beta) olup, Payda = sin⁡(β)−(−sin⁡(β))=2sin⁡(β)\sin(\beta) - (-\sin(\beta)) = 2\sin(\beta)
Payda kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
4
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayıp α\alpha cinsinden karşılığını bulma
Oran: −2cos⁡(β)2sin⁡(β)=−cot⁡(β)\frac{-2\cos(\beta)}{2\sin(\beta)} = -\cot(\beta). β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} yazılırsa: −cot⁡(α−3π2)=cot⁡(3π2−α)=tan⁡(α)-\cot\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \tan(\alpha)
Sonucu seçeneklerde verilen α\alpha değişkeni türünden ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin analizi, co-fonksiyon (isim değiştirme) kuralları ve periyodik özellikler kullanılarak indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 138Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında ve yy-eksenini BB noktasında kesmektedir. PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) ve θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğuna göre, AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta

Cevap

sec(theta) + csc(theta) ifadesidir.
Birim çembere P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından teğet olan doğrunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir. Doğrunun eksenleri kestiği noktaların koordinatları A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta) olarak hesaplanır. Buradan AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Merkezil birim çember üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çembere çizilen teğet doğrusunun denklemi x⋅x0+y⋅y0=1x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = 1 formülüyle belirlenir.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği AA noktasının apsisini bulalım.
xA=sec⁡θx_A = \sec\theta
xx-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=0y = 0 yazılır. Buradan xcos⁡θ=1  ⟹  x=1cos⁡θ=sec⁡θx\cos\theta = 1 \implies x = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta elde edilir.
3
Teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği BB noktasının ordinatını bulalım.
yB=csc⁡θy_B = \csc\theta
yy-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=0x = 0 yazılır. Buradan ysin⁡θ=1  ⟹  y=1sin⁡θ=csc⁡θy\sin\theta = 1 \implies y = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta elde edilir.
4
Bulunan apsis ve ordinat değerlerini toplayalım.
xA+yB=sec⁡θ+csc⁡θx_A + y_B = \sec\theta + \csc\theta
AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eksen kesim noktalarının koordinatlarının bulunması.
Soru 139Soru →
a=sin⁡(190∘)a = \sin(190^\circ)
b=cos⁡(280∘)b = \cos(280^\circ)
c=tan⁡(100∘)c = \tan(100^\circ)

olmak üzere; aa, bb ve cc değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Açıların bölgelerine göre işaretleri belirlendiğinde; 280∘280^\circ IV. bölgede olduğundan kosinüs değeri pozitif (b>0b > 0), 190∘190^\circ III. bölgede olduğundan sinüs değeri negatif (a<0a < 0) ve 100∘100^\circ II. bölgede olduğundan tanjant değeri negatif (c<0c < 0) olur. Negatif olan iki değer karşılaştırıldığında, tan⁡(100∘)=−tan⁡(80∘)<−1\tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ) < -1 iken sin⁡(190∘)=−sin⁡(10∘)>−1\sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ) > -1 olduğundan c<ac < a elde edilir. Pozitif olan bb değeri ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c<a<bc < a < b olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik değerlerin açılarının hangi bölgelerde olduğunu belirleme.
190∘190^\circ açısı III. bölgededir. 280∘280^\circ açısı IV. bölgededir. 100∘100^\circ açısı II. bölgededir.
Sıralama yapabilmek için öncelikle açıların koordinat düzlemindeki bölgelerini saptamamız gerekir.
2
Belirlenen bölgelere göre her bir trigonometrik değerin işaretini bulma.
a=sin⁡(190∘)<0a = \sin(190^\circ) < 0 (III. bölgede sinüs negatiftir).
b=cos⁡(280∘)>0b = \cos(280^\circ) > 0 (IV. bölgede kosinüs pozitiftir).
c=tan⁡(100∘)<0c = \tan(100^\circ) < 0 (II. bölgede tanjant negatiftir).
İşaretler sayesinde pozitif olan değerin en büyük olduğunu doğrudan belirleyebiliriz. Bu durumda en büyük değer bb olacaktır.
3
Negatif olan aa ve cc değerlerini kendi aralarında karşılaştırma.
a=sin⁡(190∘)=−sin⁡(10∘)a = \sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ) olup sıfıra oldukça yakındır (−1<a<0-1 < a < 0).
c=tan⁡(100∘)=−tan⁡(80∘)c = \tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ) olup −1-1'den çok daha küçüktür (c<−1c < -1).
Buradan c<ac < a elde edilir.
Negatif değerlerin sıfıra olan uzaklıkları karşılaştırılarak hangisinin daha küçük olduğu bulunur.
4
Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama.
c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değerlerinin karşılaştırılması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 140Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Negatif değere sahip olan b=tan⁡(−27π/8)b = \tan(-27\pi/8) ifadesi en küçüktür. Pozitif olan aa ve cc değerleri indirgendiğinde sırasıyla a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=cos⁡(18∘)c = \cos(18^\circ) elde edilir. 1. bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan karakteri nedeniyle cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) olduğundan c>ac > a sıralaması bulunur. Böylece en küçükten büyüğe sıralama b<a<cb < a < c olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulunuz.
aa için 19π5−2π=9π5\frac{19\pi}{5} - 2\pi = \frac{9\pi}{5}, bb için −27π8+4π=5π8-\frac{27\pi}{8} + 4\pi = \frac{5\pi}{8} ve cc için 12π5−2π=2π5\frac{12\pi}{5} - 2\pi = \frac{2\pi}{5} esas ölçüleri elde edilir.
Trigonometrik oranları karşılaştırmak için öncelikle açıların [0,2π)[0, 2\pi) aralığındaki karşılıklarını bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüsü bulunan açıların bölgelerini ve işaretlerini belirleyiniz.
9π5\frac{9\pi}{5} açısı 4. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir (a>0a > 0). 5π8\frac{5\pi}{8} açısı 2. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir (b<0b < 0). 2π5\frac{2\pi}{5} açısı 1. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir (c>0c > 0). Bu durumda bb en küçük değerdir.
Bölgelere göre işaret analizi yapmak, negatif ve pozitif değerleri birbirinden ayırarak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini aynı cinsten ifade ederek karşılaştırınız.
a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=sin⁡(72∘)=cos⁡(18∘)c = \sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) olarak yazılır. 1. bölgede açı büyüdükçe kosinüs değeri küçüldüğünden (azalan fonksiyon) cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) yani c>ac > a olur.
1. bölgeye indirgenen pozitif trigonometrik değerler, aynı fonksiyon türüne dönüştürülerek açı büyüklüklerine göre sıralanabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin esas ölçü yardımıyla bölgelere göre indirgenmesi ve 1. bölgedeki değişim aralıklarına göre sıralanması.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 7 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin