Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 8

Soru 141Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 3\text{ birim}$ , $|AC| = 6\text{ birim}$ ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ dir. Bu üçgende $A$ açısının iç açıortay doğrusu $BC$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. Buna göre, $AD$ açıortay doğrusunun uzunluğu ( $|AD|$ ) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Açıortay doğrusunun uzunluğu 2 birimdir.

İç açıortay teoremi ile taban bölme oranları belirlendikten sonra, büyük üçgende

120^\circ

kullanılarak Kosinüs teoremiyle kenar uzunlukları tam olarak bulunur. Ardından

ABD

ve

ADC

üçgenlerinde

60^\circ

açıları kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla ortak uzunluk olan 2 birim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İç açıortay teoremini kullanarak tabandaki parçaların oranını bulunuz.

|BD| = k

ve

|DC| = 2k

(

|BC| = 3k

)

İç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.

2

ABC

üçgeninde

A

açısına göre Kosinüs teoremi uygulayarak

k

değerini hesaplayınız.

9k^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \cos(120^\circ) \implies 9k^2 = 63 \implies k = \sqrt{7}

BC

kenar uzunluğunu ve buna bağlı olarak tabandaki parçaların gerçek uzunluklarını bulmak için Kosinüs teoremi gereklidir.

3

ABD

üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak

|AD| = x

için bir denklem elde ediniz.

x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = 1

veya

x = 2

AD

açıortayı açıyı

60^\circ - 60^\circ

olarak ikiye böler, bu durum

ABD

üçgeninde Kosinüs teoremi yazmayı sağlar.

4

ADC

üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak elde edilen

x

değerlerini doğrulayınız.

x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2

veya

x = 4

. Ortak kök

x = 2

olarak bulunur.

Farklı iki üçgende de geçerli olan tek bir fiziksel uzunluk değeri bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoremi İlişkisi

Soru 142Soru →

$f(x) = \tan\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ fonksiyonunun esas periyodu $\frac{\pi}{3}$ olup, bu fonksiyon $\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right)$ açık aralığında artandır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur. Fonksiyonun esas periyodu

\frac{\pi}{3}

'tür ve

\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right)

açık aralığında daima artandır.

Doğru seçenekte belirtildiği üzere, tanjant fonksiyonunun katsayısına bağlı olarak periyodu

\frac{\pi}{3}

bulunur ve ardışık asimptotları olan

-\frac{\pi}{12}

ile

\frac{\pi}{4}

arasında fonksiyon grafiği daima yukarı doğru yöneldiğinden artandır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanjant fonksiyonunun periyodunu bulunuz.

Esas periyot

T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}

olarak hesaplanır.

y = \tan(ax+b)

fonksiyonunun esas periyot formülü

T = \frac{\pi}{|a|}

şeklindedir.

2

Fonksiyonun ardışık iki asimptotunu (tanımsızlık noktasını) tespit ediniz.

x = -\frac{\pi}{12}

ve

x = \frac{\pi}{4}

doğruları asimptotlardır.

Tanjant fonksiyonu, açısının

\frac{\pi}{2} + k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) olduğu durumlarda tanımsızdır. En yakın iki asimptot için

3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \implies x = -\frac{\pi}{12}

ve

3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}

eşitlikleri çözülür.

3

Asimptotlar arasında kalan bölgede artanlık/azalanlık durumunu değerlendiriniz.

\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı iki ardışık asimptot arası olduğundan fonksiyon bu aralıkta daima artandır.

Tanjant fonksiyonu tanımlı olduğu her bir açık periyot aralığında sürekli olarak artış gösterir.

Anahtar Kavram

Tanjant fonksiyonunun esas periyodu, asimptotları ve monotonluk aralığı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 143Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $m(\widehat{ABC}) = 30^\circ$ , $m(\widehat{ACB}) = 45^\circ$ ve $|AC| = 6\text{ cm}$ 'dir.

Buna göre, $|AB|$ uzunluğunun santimetre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

3\sqrt{2}

6

3\sqrt{3}

6\sqrt{2}

12\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6\sqrt{2}$

Cevap

6\sqrt{2}

Sinüs Teoremi'ne göre

\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})}

bağıntısı vardır. Burada

|AC| = 6

,

m(\widehat{ABC}) = 30^\circ

ve

m(\widehat{ACB}) = 45^\circ

değerleri yerine konulduğunda

\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 45^\circ}

elde edilir.

\sin 30^\circ = 1/2

ve

\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2

değerleri kullanılarak denklem çözüldüğünde

|AB| = 6\sqrt{2}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sinüs Teoremi formülünü

ABC

üçgeni için yazın.

\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})}

Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır.

2

Bilinen

|AC| = 6

,

m(\widehat{ABC}) = 30^\circ

ve

m(\widehat{ACB}) = 45^\circ

değerlerini formülde yerine yerleştirin.

\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 45^\circ}

Bilinmeyen

|AB|

değerini bulmak için verilen verileri teorem denklemine uygularız.

3

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

ve

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

değerlerini yazarak denklemi çözün.

\frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \implies 12 = \frac{2|AB|}{\sqrt{2}} \implies |AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}

Trigonometrik değerleri yerine koyup içler dışlar çarpımı yaparak

|AB|

uzunluğunu yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi

Soru 144Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\sin x = \frac{\sqrt{5}}{5}

olduğuna göre,

\cos(2x)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Doğru cevap 0.6'dır.

Verilen

\sin x

değerinin karesi alınarak

\sin^2 x = 0.2

bulunur.

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x

yarım açı formülünde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç 0.6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

\sin x

değerini kullanarak

\sin^2 x

ifadesini hesaplayın.

\sin^2 x = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} = 0.2

Kosinüsün yarım açı formülünde

\sin^2 x

terimi yer almaktadır.

2

Kosinüs yarım açı formülü olan

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x

eşitliğini uygulayın.

\cos(2x) = 1 - 2(0.2) = 1 - 0.4 = 0.6

\cos(2x)

ifadesinin değerini doğrudan

\sin x

cinsinden bulmak için bu yarım açı formülü tercih edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü

Soru 145Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 3\sin(2x) + 1$ fonksiyonunun esas periyodu $\pi$ radyandır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin esas periyodu

\pi

radyan olduğundan ifade doğrudur.

Verilen

f(x) = 3\sin(2x) + 1

fonksiyonunun periyodu hesaplanırken tek dereceli sinüs fonksiyonunun periyot formülü olan

T = \frac{2\pi}{|b|}

kullanılır.

x

değişkeninin katsayısı

b=2

olduğundan periyot

\pi

olur ve ifade doğru kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun periyodunu belirleyen katsayıları tespit edin.

f(x) = 3\sin(2x) + 1

fonksiyonunda esas periyodu etkileyen tek parametre

x

'in katsayısı olan

b = 2

değeridir.

Trigonometrik fonksiyonlarda dikey yönlü esnetmeler, daraltmalar ve dikey ötelemeler periyodu etkilemez; periyot sadece yatay yöndeki değişimlere bağlıdır.

2

Sinüs fonksiyonunun derece özelliğine göre periyot formülünü uygulayın.

Sinüsün kuvveti tek (

1

) olduğundan esas periyot formülü

T = \frac{2\pi}{|b|}

olur. Buradan

T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi

elde edilir.

Esas periyot, fonksiyonun kendini en küçük hangi aralıkta tekrar ettiğini bulmak amacıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonlarda Esas Periyot Bulma

Soru 146Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$ fonksiyonunun grafiği $x = \frac{3\pi}{8}$ düşey doğrusuna göre simetriktir ve $f$ fonksiyonunun $\left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right]$ aralığındaki grafiği azalandır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Verilen fonksiyonun maksimum noktasından geçen

x = \frac{3\pi}{8}

doğrusu simetri eksenidir ve fonksiyonun girdisi tanımlanan aralıkta sinüsün azalan olduğu bölgede yer almaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Simetri eksenini belirlemek için fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktayı bulun.

3\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1

fonksiyonunun maksimum değeri alması için

\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1

olmalıdır. Buradan

2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies 2x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{8}

bulunur.

Sinüs fonksiyonunun grafiği, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarından geçen düşey doğrulara göre simetriktir.

2

Verilen

x \in \left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right]

aralığı için argümanın değer aralığını belirleyin.

x \ge \frac{3\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \ge \frac{\pi}{2}

ve

x \le \frac{7\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}

olur. Dolayısıyla argüman

\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]

aralığındadır.

Bileşke fonksiyonun davranışını incelemek için içteki doğrusal ifadenin görüntü kümesi bulunur.

3

Elde edilen açı aralığında sinüs fonksiyonunun artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.

\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]

aralığı birim çemberde II. ve III. bölgelere karşılık gelir. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu 1'den -1'e sürekli azalır. Katsayı pozitif (

3 > 0

) olduğundan

f(x)

fonksiyonu bu aralıkta azalandır.

Pozitif katsayı ile çarpma ve dikey öteleme işlemleri fonksiyonun artanlık/azalanlık yönünü değiştirmez.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde simetri eksenleri ve monotonluk (artanlık-azalanlık) analizi.

Soru 147Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere $D(-1,0)$ noktasında teğet olan $x = -1$ doğrusu ile $C(0,-1)$ noktasında teğet olan $y = -1$ doğrusu çizilmiştir. Orijinden geçen ve pozitif $x$ -ekseniyle saat yönünün tersine $\theta$ açısı yapan bir ışın, bu iki teğet doğrusunu sırasıyla $T$ ve $K$ noktalarında kesmektedir. $\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ olduğuna göre; $x = -1$ doğrusu, $y = -1$ doğrusu ve bu ışın arasında kalan sınırlı bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}

\frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta}

\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}

\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta}

\frac{1 - \sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}$

Cevap

Dik kenar uzunluklarının doğru mutlak değer analiziyle hesaplanıp çarpılması sonucu elde edilen ve sadeleştirilmiş biçimi

\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}

olan seçenektir.

Köşe koordinatları belirlenen dik üçgenin dik kenar uzunlukları doğru işaret analiziyle mutlak değer dışına çıkarılarak çarpılmış ve yarısı alınmıştır. Elde edilen cebirsel ifade sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlendiğinde, pay kısmı

(\sin\theta - \cos\theta)^2

tam kare ifadesine eşit olur ve alan

\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}

olarak sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Işının denklemini belirleme

Orijinden geçen ve pozitif

x

-ekseniyle

\theta

açısı yapan ışının denklemi

y = (\tan\theta)x

olarak bulunur.

Işın üzerindeki noktaların koordinatlarını teğet doğruları üzerindeki izdüşümleriyle ilişkilendirmek için denklem gereklidir.

2

Kesişim noktalarının koordinatlarını hesaplama

T

noktasının koordinatları

T(-1, -\tan\theta)

ve

K

noktasının koordinatlar��

K(-\cot\theta, -1)

olarak elde edilir.

Sınırlı bölgeyi oluşturan üçgenin köşe noktalarını belirlemek için ışın ile teğet doğrularının kesişim noktaları bulunur.

3

Dik kenar uzunluklarını bulma

Üçüncü bölgede

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığında

\tan\theta > 0

ve

\cot\theta > 0

olduğundan; dikey kenar

|ST| = |-\tan\theta - (-1)| = |\tan\theta - 1|

ve yatay kenar

|SK| = |-\cot\theta - (-1)| = |\cot\theta - 1|

olur.

Dik üçgenin alanını hesaplayabilmek için kenar uzunluklarının mutlak değerce doğru uzunluklarını belirlemek gerekir.

4

Alan formülünü uygulama ve sadeleştirme

Alan =

\frac{1}{2} |\tan\theta - 1| |\cot\theta - 1| = \frac{\tan\theta + \cot\theta - 2}{2}

elde edilir.

Kenarlar çarpılıp ikiye bölünür.

\tan\theta + \cot\theta \ge 2

olduğundan mutlak değer dışına pozitif olarak çıkarılır.

5

İfadeyi sinüs ve kosinüs cinsinden yazma

Alan =

\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - 2}{2} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}

bulunur.

Seçeneklerdeki trigonometrik biçime ulaşmak için payda eşitleme ve tam kare özdeşliği uygulanır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki teğet doğruları ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ile geometrik uzunluk hesabı

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, köşe noktaları

S(-1,-1)

,

T(-1, -\tan\theta)

ve

K(-\cot\theta, -1)

olan dik üçgenin alanı, koordinat düzleminde

S

köşesindeki diklik dikkate alınarak doğrudan

|x_S - x_K| \cdot |y_S - y_T| / 2

formülüyle hesaplanabilir ve ardından

\tan\theta = s/c

,

\cot\theta = c/s

dönüşümleriyle seçeneklerdeki forma getirilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 148Soru →

Aşağıda üç farklı trigonometrik ifade verilmiştir:

x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right)

y = \sin\left(-675^\circ\right)

z = \cot\left(1020^\circ\right)

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama

x < z < y

şeklindedir.

Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup indirgeme kuralları uygulandığında

x = -\frac{\sqrt{3}}{2}

,

y = \frac{\sqrt{2}}{2}

ve

z = -\frac{\sqrt{3}}{3}

değerleri elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında en küçük değer

x

, sonra

z

, en büyük değer ise

y

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right)

ifadesinin değerini hesaplayın.

x = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{17\pi}{6}

açısının esas ölçüsü

\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}

radyandır. İkinci bölgedeki kosinüsün işareti negatif olduğundan

\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

elde edilir.

2

y = \sin\left(-675^\circ\right)

ifadesinin değerini hesaplayın.

y = \frac{\sqrt{2}}{2}

-675^\circ

açısına

2 \times 360^\circ = 720^\circ

eklendiğinde esas ölçü

45^\circ

bulunur. Birinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan

\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}

elde edilir.

3

z = \cot\left(1020^\circ\right)

ifadesinin değerini hesaplayın.

z = -\frac{\sqrt{3}}{3}

1020^\circ

açısının

360^\circ

ile bölümünden kalan (esas ölçü)

300^\circ

derecedir. Dördüncü bölgedeki kotanjantın işareti negatif olduğundan

\cot(300^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}

elde edilir.

4

Elde edilen değerleri sayı doğrusunda karşılaştırın.

x < z < y

-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866

,

-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577

ve

\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707

olduğundan küçükten büyüğe sıralama

x < z < y

olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların esas ölçü kullanılarak birinci bölgeye indirgenmesi ve bölgelere göre işaret analizi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 149Soru →

Birim çember üzerinde, pozitif yönlü bir $\theta$ açısının bitim kenarının çemberi kestiği nokta $A(a, b)$ 'dir. $\theta$ açısı analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olmak üzere, $a - b = 1.4$ ve $a > |b|$ olduğuna göre, $b$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.6

Cevap

İstenen ordinat değeri olan b sayısı -0.6 olarak bulunur.

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının kareleri

a^2 + b^2 = 1

bağıntısını sağlar. Verilen

a - b = 1.4

eşitliğinden yararlanarak elde edilen

b^2 + 1.4b + 0.48 = 0

denkleminin kökleri -0.6 ve -0.8 değerleridir.

a > |b|

koşulu yalnızca

b = -0.6

ve

a = 0.8

için sağlandığından doğru cevap -0.6 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim çember tanımını ve verilen denklemi kullanarak bir denklem sistemi oluşturma.

a^2 + b^2 = 1

ve

a - b = 1.4

denklem sistemi elde edilir.

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları

x^2 + y^2 = 1

denklemini sağlamak zorundadır.

2

a

değişkenini

b

cinsinden yazıp birinci denklemde yerine koyarak

b

değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi çözme.

b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 \implies (b + 0.6)(b + 0.8) = 0

denkleminden

b = -0.6

veya

b = -0.8

bulunur.

Sistemdeki ortak çözümü sağlayan olası ordinat değerlerini bulmak için.

3

Dördüncü bölge koşulu ile

a > |b|

eşitsizliğini kontrol ederek doğru

b

değerini seçme.

b = -0.6

için

a = 0.8

olur ve

0.8 > 0.6

şartı sağlanır. Diğer kök bu şartı sağlamaz.

Soruda verilen bölge ve büyüklük sınırlandırmalarını sağlayan tek bir doğru çözümün tespiti için.

Anahtar Kavram

Birim çember tanımı ve trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri ile büyüklük ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Verilen

a - b = 1.4

denkleminin her iki tarafının karesi alınarak

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1.96

yazılabilir.

a^2 + b^2 = 1

olduğu bilindiğinden

1 - 2ab = 1.96 \implies 2ab = -0.96 \implies ab = -0.48

elde edilir. Toplamları

a + (-b) = 1.4

ve çarpımları

a(-b) = 0.48

olan iki sayı

0.8

ve

0.6

'dır.

a > 0

ve

b < 0

olduğundan

a

ve

-b

pozitif sayılardır.

a > |b| \implies a > -b

olduğu için

a = 0.8

ve

-b = 0.6 \implies b = -0.6

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 150Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $BC$ kenarının uzunluğu $12\text{ cm}$ ve $A$ açısının sinüs değeri $\sin(\widehat{A}) = 0{}4$ olarak verilmiştir. Buna göre, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 15 cm'dir.

Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende

2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})}

bağıntısı geçerlidir. Verilen

a = 12

ve

\sin(\widehat{A}) = 0{}4

değerleri formülde yerine yazıldığında

2R = \frac{12}{0{}4} = 30

bulunur. Buradan yarıçap

R = 15\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Sinüs Teoremi bağıntısını yazıp verilen değerleri yerine yerleştirmek.

2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})}

formülünde

a = 12

ve

\sin(\widehat{A}) = 0{}4

yazılır.

Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunluğu ile o kenarın karşısındaki açının sinüs değeri arasındaki oranı çevrel çemberin çapına eşitler.

2

Çap değerini (2R) hesaplamak.

2R = \frac{12}{0{}4} = 30

elde edilir.

Kenar uzunluğu sinüs değerine bölünerek çap bulunur.

3

Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak.

R = 15

bulunur.

Soruda bizden çemberin çapı değil, yarıçapı (

R

) istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının bulunması.

Soru 151Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere $A(1,0)$ noktasında teğet olan $x = 1$ doğrusu çizilmiştir. Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir $P$ noktası için $[OP]$ yarıçap doğrusunun pozitif $x$ -ekseni ile yaptığı yönlü açının ölçüsü $\theta$ 'dır.

$P$ noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, $x = 1$ doğrusunu $K(1, -2)$ noktasında kesmektedir.

Buna göre, $P$ noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın ordinatı -0.8 değerine eşittir.

Teğet doğrusunun denklemi kurulup verilen kesişim noktası yerine yazıldıktan sonra elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, noktanın üçüncü bölgede yer alması nedeniyle ordinat değeri negatif olan -0.8 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun denklemini yazma

x\cos\theta + y\sin\theta = 1

doğrusu elde edilir.

Birim çember üzerindeki herhangi bir

(\cos\theta, \sin\theta)

noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi

x\cos\theta + y\sin\theta = 1

şeklindedir.

2

K(1, -2) noktasını doğru denkleminde yerine yazma

\cos\theta - 2\sin\theta = 1

bağıntısı elde edilir.

Teğet doğrusu

K(1, -2)

noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

3

Trigonometrik özdeşliği kullanarak tek bilinmeyenli denklem elde etme

5\sin^2\theta + 4\sin\theta = 0

denklemi elde edilir.

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

özdeşliğinde

\cos\theta = 1 + 2\sin\theta

yazılarak ortak çözüm yapılır.

4

Bölge şartına göre ordinat değerini belirleme

\sin\theta = -0.8

olarak bulunur.

Denklemin kökleri 0 ve -0.8'dir. Nokta üçüncü bölgede yer aldığından koordinatları negatif olmalıdır, bu yüzden sıfır değeri elenir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları ve teğet doğrusunun analitik denklemi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 152Soru →

Analitik düzlemde, $f(x) = \cos(2x)$ fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru $\frac{\pi}{4}$ birim ötelendiğinde $g(x)$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

-\sin(2x)

\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)

\sin(2x)

\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)

-\cos(2x)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sin(2x)$

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni fonksiyon

\sin(2x)

şeklindedir.

Verilen fonksiyon grafiğini yatay doğrultuda sağa doğru

\frac{\pi}{4}

birim ötelemek için

x

yerine

x - \frac{\pi}{4}

yazılır. Buradan

g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)

elde edilir. Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliği (

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

) kullanılarak ifade

\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)

şeklinde yazılabilir.

\frac{\pi}{2}

cinsinden yapılan indirgemelerde isim değişerek sinüse döner ve birinci bölgede işaret pozitif olduğundan sonuç

\sin(2x)

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay doğrultuda sağa öteleme için bağımsız değişkene uygulanacak dönüşümü belirleme.

Sağa doğru

\frac{\pi}{4}

birimlik öteleme için fonksiyondaki

x

değişkeni yerine

x - \frac{\pi}{4}

yazılmalıdır.

Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde, girdilerin aynı çıktıları daha geç vermesi için bağımsız değişkenden öteleme miktarı çıkarılır.

2

f(x) = \cos(2x)

kuralında dönüşümü yerine yazarak yeni fonksiyon kuralını elde etme.

g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)

Öteleme dönüşümü doğrudan bağımsız değişkene uygulanmalı ve parantez içi katsayı ile çarpılarak dağıtılmalıdır.

3

Elde edilen ifadeyi kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirme.

g(x) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)

Her

\theta

için

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

ve birbirini

90^\circ

ye tamamlayan (tümler) açıların kosinüsü sinüsüne eşittir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yatay öteleme dönüşümü ve indirgeme formülleri.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 153Soru →

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = \frac{1}{2}

olduğuna göre,

\cos x

değeri kaçtır?

\frac{2\sqrt{5}}{5}

-\frac{\sqrt{5}}{5}

-\frac{2\sqrt{5}}{5}

\frac{\sqrt{5}}{5}

-\frac{4}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Cevap

Kosinüs değerinin eksi iki kök beş bölü beş olması

Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde tanjant değeri bir bölü iki olarak bulunur. Açının üçüncü bölgede yer aldığı belirtildiğinden, bu bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olmalıdır. Karşı kenarı bir, komşu kenarı iki olan dik üçgende hipotenüs kök beş birimdir. Kosinüs tanımı gereği komşu bölü hipotenüsten değer eksi iki kök beş bölü beş olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yarım a��ı formüllerini kullanarak pay ve paydadaki sabit sayıları sadeleştirelim.

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x

ve

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

formüllerini kullanalım. Ayrıca

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

yazalım.
Pay kısmı:

1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x

Payda kısmı:

1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x

halini alır.

İfadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmeye uygun hale getirmek.

2

Elde edilen kesirli ifadeyi ortak paranteze alıp sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim.

\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

Buradan,

\tan x = \frac{1}{2}

elde edilir.

İfadenin en sade halini bularak trigonometrik oranlardan birine ulaşmak.

3

Açının bölgesini dikkate alarak dik üçgen yardımıyla kosinüs değerini bulalım.

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olduğundan açı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
Karşı kenarı 1, komşu kenarı 2 olan bir dik üçgende hipotenüs

\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

olur.
Bu durumda,

\cos x = -\frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}

bulunur.

Tanjant değerinden yararlanıp uygun bölge işareti ile kosinüs oranını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Soru 154Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

\sin x + \cos x = \frac{1}{5}

olduğuna göre, $\cos(2x)$ değeri kaçtır?

-\frac{7}{25}

\frac{7}{25}

-\frac{24}{25}

\frac{24}{25}

-\frac{12}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{7}{25}$

Cevap

-\frac{7}{25}

Verilen toplamın karesi alınarak

\sin(2x) = -24/25

bulunur. Ardından

\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1

özdeşliğinden

\cos(2x) = \pm 7/25

elde edilir.

x

açısının ikinci bölgede olması ve toplamlarının pozitif olması nedeniyle

x < 3\pi/4

olduğu anlaşılır. Böylece

2x

açısı üçüncü bölgede yer alır ve bu bölgede kosinüs negatif olduğundan doğru cevap

-\frac{7}{25}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alarak

\sin(2x)

değerini bulunuz.

(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2

\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}

1 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}

\sin(2x)

yarım açı formülünü elde etmek ve diğer trigonometrik fonksiyon değerlerine geçiş yapmak için.

2

\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1

özdeşliğini kullanarak

\cos(2x)

değerinin mutlak değerini bulunuz.

\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x)

\cos^2(2x) = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}

|\cos(2x)| = \frac{7}{25}

Kosinüs yarım açı değerinin sayısal büyüklüğünü belirlemek için.

3

Açının tanım aralığını kullanarak

\cos(2x)

değerinin işaretini belirleyiniz ve sonucu yazınız.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

aralığında

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

dır.

\sin x + \cos x = \frac{1}{5} > 0 \implies \sin x > |\cos x|

Bu durum,

x

açısının ikinci bölgenin ilk yarısında yani

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında olduğunu gösterir.

Buradan, ikiyle çarptığımızda

2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

elde edilir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan:

\cos(2x) = -\frac{7}{25}

Doğru işareti tespit edip kesin sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri ile Trigonometrik Bölge İşaret Analizi

Soru 155Soru →

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\sqrt{1 - \sin(2\theta)} - \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{6}{5}

olduğuna göre,

\sin(4\theta)

ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{336}{625}

-\frac{336}{625}

\frac{168}{625}

-\frac{168}{625}

-\frac{7}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{336}{625}$

Cevap

Üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş

Kareköklü ifadelerin tam kareye açılımı yapılıp verilen bölgede

\sin\theta - \cos\theta > 0

ve

\sin\theta + \cos\theta > 0

olduğu tespit edilerek mutlak değerden doğru çıkarıldığında

\cos\theta = -\frac{3}{5}

bulunur. Buradan iki kez yarım açı formülü uygulanarak ulaşılan üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Kareköklü ifadelerin içini tam kare formuna dönüştürün.

1 - \sin(2\theta) = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta - \cos\theta)^2

ve

1 + \sin(2\theta) = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^2

elde edilir. Buradan ifade

\sqrt{(\\sin\theta - \cos\theta)^2} - \sqrt{(\sin\theta + \cos\theta)^2} = \frac{6}{5}

halini alır.

1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta

özdeşliği ve sinüs yarım açı formülü olan

\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

kullanılarak ifadeler düzenlenir.

2

Açının bulunduğu aralığı dikkate alarak ifadeleri mutlak değer dışına çıkarın.

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında

\sin\theta > 0

ve

\cos\theta < 0

olduğundan

\sin\theta - \cos\theta > 0

olur ve mutlak değer dışına aynen çıkar:

\sin\theta - \cos\theta

. Aynı aralıkta

\sin\theta > |\cos\theta|

olduğundan

\sin\theta + \cos\theta > 0

olur ve dışarı aynen çıkar:

\sin\theta + \cos\theta

.

Kareköklü ifadelerin derecesi çift olduğundan dışarıya mutlak değer içinde çıkarlar ve işaret analizi yapılması gerekir.

3

Denklemi sadeleştirip

\cos\theta

değerini çekin.

(\sin\theta - \cos\theta) - (\sin\theta + \cos\theta) = \frac{6}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{6}{5} \implies \cos\theta = -\frac{3}{5}

bulunur.

Mutlak değerden çıkarılan terimler denklemde yerine yazılarak

\sin\theta

terimleri sadeleştirilir.

4

\sin\theta

değerini hesaplayın.

\theta

ikinci bölgede olduğundan sinüs değeri pozitiftir. Dik üçgen yardımıyla veya

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

özdeşliğinden

\sin\theta = \frac{4}{5}

bulunur.

2\theta

açısının yarım açı açılımı için hem sinüs hem de kosinüs değerlerine ihtiyaç vardır.

5

2\theta

açısının trigonometrik değerlerini yarım açı formülleriyle hesaplayın.

\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}

ve

\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25}

bulunur.

\sin(4\theta)

değerini hesaplamak için

\sin(2\theta)

ve

\cos(2\theta)

değerleri gereklidir.

6

\sin(4\theta)

değerini bulmak için yarım açı formülünü tekrar uygulayın.

\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) = 2 \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{336}{625}

elde edilir.

4\theta

açısı

2\theta

cinsinden yazılıp sinüs yarım açı açılımı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kareköklü trigonometrik ifadelerin sınır değerlerine göre mutlak değer dışına çıkarılması ve ardışık yarım açı formüllerinin uygulanması.

Soru 156Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çember üzerindeki bir

P

noktası üçüncü bölgededir. Bu

P

noktasının koordinatları

P\left(x, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right)

olarak verilmiştir.

P

noktasını orijine birleştiren doğrunun pozitif yönlü

x

ekseniyle yaptığı açı

\theta

olmak üzere,

\cos(\pi + \theta) - \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15}

\frac{10 + 6\sqrt{5}}{15}

\frac{-10 - 6\sqrt{5}}{15}

\frac{-10 + 6\sqrt{5}}{15}

\frac{4 - 3\sqrt{5}}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15}$

Cevap

İfadenin değeri \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} olarak bulunur.

İndirgeme formüllerine göre

\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta

ve

\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta

eşitlikleri geçerlidir. Birim çember üzerinde üçüncü bölgede koordinatları

P\left(-\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right)

olan nokta için

\cos\theta = -\frac{2}{3}

ve

\cot\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}

değerleri hesaplanır. Bu değerler

-\cos\theta - \cot\theta

ifadesinde yerine yazıldığında

\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15}

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

P noktasının apsisini bulmak için birim çember denklemini uygulayın.

P(x, y)

noktası birim çember üzerinde olduğundan

x^2 + y^2 = 1

eşitliği sağlan��r. Buradan

x^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 \implies x^2 + \frac{5}{9} = 1 \implies x^2 = \frac{4}{9}

elde edilir.

P

noktası üçüncü bölgede olduğundan apsisi negatif olmalıdır, yani

x = -\frac{2}{3}

olur.

Trigonometrik değerlerin hesaplanabilmesi için birim çember üzerindeki noktanın eksik olan koordinatını belirlemek gerekir.

2

Açının kosinüs ve kotanjant değerlerini belirleyin.

P

noktasının koordinatları

(\cos\theta, \sin\theta)

olduğundan

\cos\theta = -\frac{2}{3}

ve

\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}

bulunur. Buradan kotanjant değeri

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

olarak hesaplanır.

İndirgenmiş ifadede yerlerine yazılacak olan temel trigonometrik değerleri elde etmek için.

3

İfadeyi indirgeme formülleriyle sadeleştirip değerleri yerlerine yazın.

\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta

ve

\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta

eşitlikleri kullanılarak ifade

-\cos\theta - \cot\theta

haline getirilir. Değerler yerine yazıldığında

-\left(-\frac{2}{3}\right) - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15}

elde edilir.

İndirgeme formüllerini doğru uygulayarak ifadenin en sade halinin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki ve trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi.

Soru 157Soru →

Bir

ABC

üçgeninin kenar uzunlukları

a

,

b

ve

c

birimdir. Bu üçgenin kenarları arasında

a^2 - b^2 = c^2 + bc

bağıntısı bulunmaktadır.

$A$ köşesinden çizilen iç açıortay doğrusunun uzunluğu $\frac{30}{11}$ birim ve $b \cdot c = 30$ olduğuna göre, $a$ kenarının uzunluğu kaç birimdir?

\sqrt{91}

\sqrt{31}

11

\sqrt{151}

2\sqrt{19}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{91}$

Cevap

a kenarının uzunluğu \sqrt{91} birimdir.

Verilen bağıntı kosinüs teoremi ile karşılaştırıldığında tepe açısının

120^\circ

olduğu anlaşılır. Üçgenin alanlarının toplamı prensibinden iç açıortay uzunluk formülü

n_A = \frac{bc}{b+c}

olarak elde edilir. Bu formülde verilen değerler yerine konulduğunda

b+c = 11

bulunur.

(b+c)^2 = b^2+c^2+2bc

özdeşliğinden yararlanılarak

b^2+c^2 = 61

hesaplanır. Son olarak, baştaki bağıntıda değerler yerine yazıldığında

a = \sqrt{91}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kenar bağıntısını kosinüs teoremi ile karşılaştırarak A açısını belirlemek.

a^2 = b^2 + c^2 + bc

elde edilir. Kosinüs teoremi formülü olan

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)

ifadesi ile karşılaştırıldığında

-2\cos(A) = 1 \implies \cos(A) = -1/2

bulunur. Buradan

A = 120^\circ

elde edilir.

Üçgenin tepe açısının trigonometrik değerini saptamak.

2

Açıortay uzunluğu ile kenarlar arasındaki ilişkiyi alan paylaşımı yoluyla türetmek.

\text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(ACD) \implies \frac{1}{2}bc\sin(120^\circ) = \frac{1}{2}b \cdot n_A \sin(60^\circ) + \frac{1}{2}c \cdot n_A \sin(60^\circ)

yazılır.

\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ)

olduğundan sadeleşme ile

bc = n_A(b+c) \implies n_A = \frac{bc}{b+c}

bağıntısı bulunur.

Açıortay doğrusunun böldüğü alanlar üzerinden kenarlar arasında bir bağıntı kurmak.

3

Verilen değerleri yerine yazarak b + c toplamını hesaplamak.

bc = 30

ve

n_A = \frac{30}{11}

değerleri yerleştirildiğinde

\frac{30}{11} = \frac{30}{b+c} \implies b+c = 11

bulunur.

Kenarların toplam değerini elde ederek kareler toplamına geçiş yapmak.

4

Tam kare açılımı kullanarak

b^2+c^2

değerini bulmak.

(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc \implies 11^2 = b^2 + c^2 + 2(30) \implies 121 = b^2 + c^2 + 60 \implies b^2 + c^2 = 61

elde edilir.

Kosinüs teoremi bağıntısında kullanılacak kareler toplamını hesaplamak.

5

Bulunan değerleri ilk adımdaki bağıntıda yerine yazarak a değerini hesaplamak.

a^2 = b^2 + c^2 + bc \implies a^2 = 61 + 30 = 91 \implies a = \sqrt{91}

birim bulunur.

İstenen kenar uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi, Üçgende Alan Paylaşımı ve İç Açıortay İlişkisi

Soru 158Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çembere ikinci bölgedeki bir $P$ noktasından çizilen teğet doğrusu, $x$ -eksenini $A(-1.25, 0)$ noktasında kesmektedir. Buna göre, $P$ noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

P noktasının ordinatı 0.6 olarak bulunur.

Teğet doğrusunun denklemi yardımıyla

P

noktasının apsis değeri

\cos\theta = -0.8

olarak bulunur.

P

noktası ikinci bölgede olduğundan ordinat değeri olan

\sin\theta

pozitif olmalıdır. Buradan

\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun denklemini birim çember üzerindeki nokta cinsinden ifade etmek.

Teğet doğrusu

x \cdot \cos\theta + y \cdot \sin\theta = 1

olarak kurulur.

Birim çember üzerindeki

P(\cos\theta, \sin\theta)

noktasından çizilen teğetin denklemini elde etmek için.

2

Teğet doğrusunun

x

-eksenini kestiği A noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazmak.

-1.25 \cdot \cos\theta = 1 \implies \cos\theta = -0.8

elde edilir.

Verilen A noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak

\cos\theta

değerini bulmak için.

3

Trigonometrik özdeşlik ve bölge işareti yard��mıyla sinüs değerini hesaplamak.

\sin\theta = 0.6

bulunur.

İkinci bölgede yer alan P noktasının ordinatı (

\sin\theta

) pozitif olduğundan

\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6

hesabını yapmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin özellikleri ve trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri.

Alternatif Yöntem

OPA dik üçgeni oluşturulur. Burada

OP = 1

birim (yarıçap) ve

OA = 1.25

birimdir. Pisagor teoreminden teğet uzunluğu

AP = 0.75

birim bulunur. Öklid bağıntısı veya alan formülünden

P

noktasının x-eksenine olan uzaklığı (yüksekliği)

h = \frac{1 \cdot 0.75}{1.25} = 0.6

birim olarak hesaplanır. İkinci bölgede ordinat pozitif olduğundan cevap 0.6'dır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 159Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1$ fonksiyonunun grafiği, $g(x) = 3\sin(2x) + 1$ fonksiyonunun grafi��inin yatay doğrultuda sola doğru $\frac{\pi}{4}$ birim ötelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Öteleme sonucunda elde edilen fonksiyon

3\cos(2x) + 1

iken,

f(x)

fonksiyonu

-3\cos(2x) + 1

olarak sadeleşir; bu iki fonksiyonun grafikleri farklıdır.

Yapılan öteleme işlemi sonucunda oluşan fonksiyon

3\cos(2x) + 1

iken,

f(x)

fonksiyonunun sadeleşmiş biçimi

-3\cos(2x) + 1

şeklindedir. Bu iki fonksiyon özdeş olmadığından grafikler çakışmaz ve ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = 3\sin(2x) + 1

fonksiyonunun grafiğinin sola doğru

\frac{\pi}{4}

birim ötelenmesiyle oluşan yeni fonksiyon yazılır.

g\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 3\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1 = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1

Bir fonksiyonun grafiğini sola doğru

a

birim ötelemek, fonksiyonda

x

yerine

x+a

yazmak demektir.

2

Elde edilen

3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1

ifadesi indirgeme formülü kullanılarak sadeleştirilir.

3\cos(2x) + 1

\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\theta)

özdeşliği uyarınca, birinci bölgede veya eksen geçişlerinde sinüs kosinüse dönüşür ve ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan işaret değişmez.

3

f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1

fonksiyonunun ifadesi indirgeme formülü ile sadeleştirilir.

f(x) = -3\cos(2x) + 1

Kosinüs çift fonksiyon olduğundan

\cos(2x - \pi) = \cos(\pi - 2x)

olur. İndirgeme formüllerine göre

\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)

olduğundan, ifade

-3\cos(2x) + 1

biçimini alır.

4

Öteleme sonucu oluşan

3\cos(2x) + 1

fonksiyonu ile

f(x) = -3\cos(2x) + 1

fonksiyonu karşılaştırılır.

3\cos(2x) + 1 \neq -3\cos(2x) + 1

Fonksiyonların katsayıları farklı olduğundan grafikler aynı değildir ve verilen ifade yanlıştır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonlarda Yatay Öteleme ve İndirgeme Formülleri

Alternatif Yöntem

Öteleme ve sadeleştirme işlemlerini cebirsel olarak yapmak yerine, her iki fonksiyonda da

x = 0

değeri yerine yazılarak grafiklerin y-eksenini kestiği noktalar karşılaştırılabilir.

g(x)

sola

\frac{\pi}{4}

ötelenirse

x=0

noktasındaki değeri

g(\frac{\pi}{4}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 4

olur. Diğer yandan

f(0) = 3\cos(-\pi) + 1 = 3(-1) + 1 = -2

olur.

4 \neq -2

olduğundan grafiklerin çakışması mümkün değildir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 160Soru →

Bir

x

dar açısı için

0 < x < \frac{\pi}{4}

ve

\cos(2x) = \frac{3}{5}

olduğuna göre,

\tan x

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Kosinüs yarım açı form��lleri kullanılarak

\tan x

değeri

0.5

(veya

\frac{1}{2}

) olarak hesaplanır.

Verilen

\cos(2x) = \frac{3}{5}

eşitliğinde

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

yarım açı formülü uygulandığında

\cos^2 x = \frac{4}{5}

bulunur. Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan

\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}

ve buradan

\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}

elde edilir. Tanjant tanımı gereği

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{2} = 0.5

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüsün yarım açı formülünü yazma

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

2x

açısının trigonometrik oranından yararlanarak

x

açısına geçiş yapabilmek.

2

Elde edilen denklemden

\cos x

değerini çekme

\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında kosinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir.

3

\sin x

değerini bulup

\tan x

oranını hesaplama

\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} \implies \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 0.5

İstenen

\tan x

değerini elde etmek için temel trigonometrik özdeşlikleri uygulamak.

Anahtar Kavram

Kosinüsün yarım açı formülü yardımıyla bir açının iki katının değerinden açının kendisine ait trigonometrik oranların hesaplanması.

Trigonometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar