Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6

Soru 101Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) + \cos(900^\circ + x)}{\cos\left(\frac{9\pi}{2} + x\right) - \sin(540^\circ - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

\cot(x)

-\cot(x)

\tan(x)

-\tan(x)

-1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x)

Cevap

İfadenin en sade hâli cot(x) değeridir.

Verilen trigonometrik ifadelerin esas ölçüleri bulunup indirgeme formülleri doğru bir şekilde uygulandığında, pay kısmında -2cos(x) ve payda kısmında -2sin(x) ifadeleri elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı cos(x)/sin(x) olup, bu da cot(x) ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki terimlerin esas ölçülerini bularak indirgeme formüllerini uygulayın.

sin(11pi/2 - x) = sin(3pi/2 - x) = -cos(x) ve cos(900° + x) = cos(180° + x) = -cos(x) elde edilir.

Büyük açıların esas ölçülerini belirlemek ve bölgelere göre işaret analizi yapmak için.

2

Payda kısmındaki terimlerin esas ölçülerini bularak indirgeme formüllerini uygulayın.

cos(9pi/2 + x) = cos(pi/2 + x) = -sin(x) ve sin(540° - x) = sin(180° - x) = sin(x) elde edilir.

Payda kısmındaki trigonometrik oranları en sade hâle getirmek için.

3

Bulunan ifadeleri ana kesirde yerine yerleştirip sadeleştirme işlemini tamamlayın.

[-cos(x) - cos(x)] / [-sin(x) - sin(x)] = -2cos(x) / -2sin(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x) bulunur.

İfadenin en sade biçimini bulmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi sürecinde açıların esas ölçüleri bulunur. Açı, yatay eksene (pi veya 180 derece) göre yazıldığında fonksiyonun ismi değişmez; düşey eksene (pi/2 veya 3pi/2) göre yazıldığında ise fonksiyon eş fonksiyonuna (sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant) dönüşür. Her iki durumda da elde edilen yeni terimin işareti, orijinal fonksiyonun o bölgedeki işaretine göre belirlenir.

Soru 102Soru →

$x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)$ olmak üzere tanımlanan aşağıdaki $a$ , $b$ ve $c$ ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe sıralama c < a < b şeklindedir.

Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde; en küçük değerin negatif ve

-1

'den küçük olan toplam ifadesi, ortanca değerin negatif ancak sıfıra daha yakın olan rasyonel ifade, en büyük değerin ise pozitif olan fark ifadesi olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

İlk ifadenin (

a

) sadeleştirilmesi

a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x}

Paydadaki

\tan x - \cot x

ifadesi

\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

olarak yazılır. Pay ile payda oranlandığında ortak çarpan olan

\sin x - \cos x

sadeleşir.

2

İkinci ifadenin (

b

) sadeleştirilmesi

b = \cos x - \sin x

1 - 2\sin^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x

özdeşliği kullan��lır. Bu ifade iki kare farkı olarak

(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

şeklinde yazılıp paydadaki terimle sadeleştirilir.

3

Üçüncü ifadenin (

c

) sadeleştirilmesi

c = \sin x + \cos x

Pay kısmındaki

\sin^4 x - \cos^4 x

ifadesi iki kare farkı olarak

(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğundan pay

\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

olur ve paydadaki terimle sadeleşir.

4

İfadelerin işaretlerinin ve büyüklüklerinin bölgelere göre analizi

c < a < b

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı 3. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta

-1 < \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0

bağıntısı geçerlidir. Buradan

b = \cos x - \sin x > 0

bulunur.

c = \sin x + \cos x < -1

ve

a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x} \in (-0.354, 0)

olduğundan

c < a < b

sıralaması elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.

Soru 103Soru →

Bir $x$ dar açısı $0 < x < \frac{\pi}{4}$ eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre, aşağıda tanımlanan trigonometrik değerleri en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.

İfadeler en sade hallerine indirgendiğinde

a = -\sin x

,

b = \sin x

,

c = \tan x

ve

d = -\tan x

olarak bulunur.

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında tüm değerler pozitif olup

\sin x < \tan x

ilişkisi vardır. Buradan hareketle pozitif değerler için

b < c

ve negatif değerler için eşitsizlik yön değiştireceğinden

d < a

sıralaması bulunur. Negatif değerler pozitiflerden her zaman küçük olduğundan genel sıralama

d < a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Derece cinsinden verilen

a

ve

c

ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.

900^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 180^\circ

olduğundan esas ölçü

180^\circ

’dir. Buradan

a = \sin(180^\circ + x) = -\sin x

bulunur.

c = \tan(x - 540^\circ)

ifadesinde tanjantın periyodu

180^\circ

(veya

\pi

) olduğundan

c = \tan(x - 3 \cdot 180^\circ) = \tan x

elde edilir.

Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini veya periyodik karşılıklarını belirlemek gerekir.

2

Radyan cinsinden verilen

b

ve

d

ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.

\frac{13\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}

olduğundan esas ölçü

\frac{\pi}{2}

’dir. Dolayısıyla

b = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x

olur.

\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}

olduğundan esas ölçü

\frac{3\pi}{2}

’dir. Dolayısıyla

d = \cot\left(\frac{3\pi}{2} + x

\right) = -\tan x$ olur.

Radyan cinsinden açıların

\frac{\pi}{2}

veya

\frac{3\pi}{2}

katlarına göre indirgenmesinde fonksiyonların isim değiştireceğini ve açının bulunduğu bölgedeki işaretini belirlemek gerekir.

3

Elde edilen ifadeleri

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığındaki değerlerine göre sıralayınız.

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında

\sin x

ve

\tan x

değerleri pozitiftir ve

\sin x < \tan x

eşitsizliği geçerlidir.
Pozitif olan terimler karşılaştırıldığında:

0 < b < c

yani

0 < \sin x < \tan x

elde edilir.
Negatif olan terimler karşılaştırıldığında:

\sin x < \tan x

eşitsizliği

-1

ile çarpıldığında yön değiştirir ve

-\tan x < -\sin x

yani

d < a < 0

elde edilir.
Tüm değerler birleştirildiğinde doğru sıralama

d < a < b < c

olur.

Dar açılarda farklı trigonometrik fonksiyonların büyüklük ilişkilerini ve negatif sayıların sıralama kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılarda sıralama

Soru 104Soru →

Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir $P(a, b)$ noktası, başlangıç kenarı pozitif $x$ -ekseni olan $\theta$ yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, $\tan\theta - \cot\theta = 1{}5$ eşitliği sağlandığına göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

P(a, b) noktasının koordinatları çarpımı olan a ve b değerlerinin çarpımı 0,4 olarak elde edilir.

Birim çember tanımına göre çember üzerindeki her

P(a,b)

noktası için

a^2+b^2=1

ilişkisi geçerlidir. Ayrıca bu koordinatlar

a=\cos\theta

ve

b=\sin\theta

değerlerine karşılık gelir. Verilen denklemin çözümünden elde edilen

\tan\theta = 2

değeri, koordinatlar arasında

b = 2a

bağıntısını kurmamızı sağlar. Üçüncü bölgede her iki koordinat da negatif olduğundan

a = -1/\sqrt{5}

ve

b = -2/\sqrt{5}

bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise

0,4

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

özdeşliğini yerine yazarak denklemi tek bir değişken cinsinden düzenleyin.

\tan\theta - \frac{1}{\tan\theta} = \frac{3}{2}

eşitliğinin her iki tarafı

2\tan\theta

ile çarpılarak payda eşitlendiğinde

2\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları arasındaki çarpmaya göre tersi olma ilişkisini kullanarak denklemi çözülebilir bir forma getirmek.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemin çarpanlarına ayırarak

\tan\theta

değerini belirleyin.

2\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0 \implies (2\tan\theta + 1)(\tan\theta - 2) = 0

denkleminin kökleri

\tan\theta = -0{}5

ve

\tan\theta = 2

olarak bulunur.

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı üçüncü bölgeyi temsil ettiğinden bu bölgede tanjant fonksiyonu pozitif değer alır. Dolayısıyla

\tan\theta = 2

olmalıdır.

İkinci dereceden denklemi çözmek ve açının bulunduğu bölgeyi göz önüne alarak doğru işarete sahip kökü belirlemek.

3

Birim çember tanımını kullanarak koordinatlar arasındaki ilişkiyi kurun ve koordinatları hesaplayın.

Birim çember üzerindeki bir

P(a, b)

noktası için

a = \cos\theta

ve

b = \sin\theta

yazılabilir. Buradan

\tan\theta = \frac{b}{a} = 2 \implies b = 2a

elde edilir. Birim çember denklemi olan

a^2 + b^2 = 1

eşitliğinde yerine yazıldığında

a^2 + (2a)^2 = 1 \implies 5a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{5}

bulunur. Üçüncü bölgede apsis değeri negatif olduğundan

a = -\frac{1}{\sqrt{5}}

ve buna bağlı olarak ordinat değeri

b = 2a = -\frac{2}{\sqrt{5}}

bulunur.

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının kareleri toplamının 1 olması kuralını ve bölgeye göre koordinatların işaretlerini uygulamak.

4

Bulunan

a

ve

b

koordinat değerlerini birbiriyle çarpın.

a \cdot b = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{5} = 0{}4

bulunur.

Soruda istenen

a \cdot b

çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik koordinat gösterimleri ile bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.

Soru 105Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $|AB| = 5\text{ birim}$ , $|AC| = 3\text{ birim}$ ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

BC kenarının uzunluğu 7 birimdir.

Kosinüs teoremi denkleminde

120^\circ

'lik açının kosinüsü

-1/2

olarak yerine yazıldığında, iki negatif işaret birbirini artıya dönüştürür ve

|BC|^2 = 49

elde edilir. Karekökü alındığında kenar uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs teoremi formülünü kurma

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC})

İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilen bir üçgende karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.

2

Değerleri formüle yerleştirme ve trigonometrik değeri belirleme

|BC|^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-1/2)

|AB|=5

,

|AC|=3

,

m(\widehat{BAC})=120^\circ

ve

\cos(120^\circ) = -1/2

değerleri yerine yazılır.

3

İşlemleri tamamlayarak uzunluğu hesaplama

|BC|^2 = 25 + 9 + 15 = 49 \implies |BC| = 7

Negatif işaretlerin çarpımından artı işareti elde edilir ve karekök alınarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 106Soru →

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ olmak üzere,

a = \frac{\cos(x) \tan(x) \csc^2(x) - \sin(x)}{\csc^2(x) - 1}

b = \frac{\tan(x) - \sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}

c = \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{1 - \sin(x)\cos(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

b < a < c

a < c < b

c < a < b

b < c < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < b < c$

Cevap

a < b < c

(sinüs değerinin tanjant değerinden, tanjant değerinin de sinüs ile kosinüs toplamından küçük olduğu sıralama)

Verilen cebirsel trigonometrik ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sin(x)

,

b = \tan(x)

ve

c = \sin(x) + \cos(x)

değerleri bulunur.

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında,

\sin(x) < \tan(x) < 1

eşitsizliği geçerlidir. Diğer taraftan, aynı aralıkta yer alan açıların sinüs ve kosinüs toplamları daima

1

den büyük bir değere sahip olduğundan en büyük değer

c

olur. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe doğru

a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.

a = \sin(x)

a

ifadesinin payındaki

\cos(x) \tan(x) = \sin(x)

yazımı kullanılır. Buradan pay kısmı

\sin(x) \csc^2(x) - \sin(x) = \csc(x) - \sin(x) = \frac{1}{\sin(x)} - \sin(x) = \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}

olur. Paydada ise

\csc^2(x) - 1 = \cot^2(x) = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}

özdeşliği yerine konulur. İfadeler birbirine oranlandığında

\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \sin(x)

elde edilir.

2

b

ifadesini sadeleştirelim.

b = \tan(x)

b

ifadesinin payındaki

\tan(x) - \sin(x)\cos(x)

terimi

\sin(x)

parantezine alınırsa

\sin(x)\left(\frac{1}{\cos(x)} - \cos(x)\right) = \sin(x)\left(\frac{1 - \cos^2(x)}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin^3(x)}{\cos(x)}

elde edilir. Bu ifade paydadaki

\sin^2(x)

terimine bölündüğünde

\frac{\sin^3(x)}{\cos(x) \sin^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)

sonucuna ulaşılır.

3

c

ifadesini sadeleştirelim.

c = \sin(x) + \cos(x)

c

ifadesinin payındaki iki küp toplamı ifadesi

\sin^3(x) + \cos^3(x) = (\sin(x) + \cos(x))(\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) + \cos^2(x))

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

olduğu bilindiğinden, pay kısmı

(\sin(x) + \cos(x))(1 - \sin(x)\cos(x))

halini alır. Paydadaki

1 - \sin(x)\cos(x)

terimiyle sadeleşme yapıldığında geriye sadece

\sin(x) + \cos(x)

kalır.

4

Sadeleşen

a = \sin(x)

,

b = \tan(x)

ve

c = \sin(x) + \cos(x)

değerlerini

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı için karşılaştıralım.

a < b < c

Birinci bölgenin ilk yarısında (

0 < x < 45^\circ

) kosinüs değeri sinüs değerinden büyüktür (

0 < \sin(x) < \cos(x) < 1

).

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

tanımında payda

1

den küçük pozitif bir sayı olduğundan

\tan(x) > \sin(x)

yani

b > a

olur. Ayrıca bu aralıkta

\tan(x) < \tan(45^\circ) = 1

iken

\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\sin(x + 45^\circ) > 1

(çünkü

45^\circ < x + 45^\circ < 90^\circ

aralığında sinüs değeri

\frac{\sqrt{2}}{2}

den büyüktür) sağlanır. Buradan

c > 1

ve

b < 1

olduğundan

a < b < c

sıralaması kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Dar Açılarda Sıralama

Soru 107Soru →

$a = \sin(100^\circ)$

$b = \cos(220^\circ)$

$c = \tan(315^\circ)$

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

c < b < a

c < a < b

b < a < c

a < b < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c < b < a

Cevap

c < b < a

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir. Çünkü a değeri pozitif iken, b değeri -1 ile 0 arasında negatif bir değer alır ve c değeri tam olarak -1'e eşittir. Bu durumda en küçük değer c, ardından b ve en büyük değer a olur.

Adım Adım Çözüm

1

Açılarının bölgelerini ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleme.

a = \sin(100^\circ) > 0

(II. bölgede sinüs pozitiftir),

b = \cos(220^\circ) < 0

(III. bölgede kosinüs negatiftir),

c = \tan(315^\circ) < 0

(IV. bölgede tanjant negatiftir).

Sıralama yaparken ilk adım olarak değerlerin işaretlerini belirlemek karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

Negatif olan

b

ve

c

değerlerinin büyüklüklerini kıyaslama.

c = \tan(315^\circ) = -1

ve

b = \cos(220^\circ) = -\cos(40^\circ)

olur.

0 < \cos(40^\circ) < 1

olduğundan,

-1 < -\cos(40^\circ) < 0

yani

-1 < b < 0

elde edilir. Buradan

c < b

bulunur.

Her iki değer de negatif olduğundan, sayı doğrusundaki konumlarına göre hangisinin daha küçük olduğunu belirlemek gerekir.

3

Tüm değerleri birleştirerek sıralamayı tamamlama.

c < b < a

a

değeri pozitif,

b

ve

c

değerleri ise negatif olduğundan, en büyük değerin

a

olduğu açıktır. Negatif değerler arasındaki sıralama da eklendiğinde nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve sınır değerleri yardımıyla sıralanması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 108Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 3$ birim, $|BC| = 5$ birim ve $|AC| = 7$ birimdir. $BC$ doğrusu üzerinde, $C$ noktası $B$ ile $D$ arasında kalacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor.

$|AD| = \sqrt{97}$ birim olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu kaç birimdir?

8

6

3

5

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru yanıt 3 birimdir.

Kosinüs Teoremi'nin iki farklı üçgende ardışık olarak doğru işaretlerle uygulanmasıyla elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde pozitif kök 3 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

C

açısına göre Kosinüs Teoremi yazılır.

|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{ACB})

formülü oluşturulur.

C

açısının kosinüs değerini bularak bütünler açısının kosinüsüne geçiş yapmak.

2

Verilen uzunluklar formülde yerine koyulur.

3^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ACB}) \implies 9 = 74 - 70 \cos(\widehat{ACB}) \implies \cos(\widehat{ACB}) = \frac{13}{14}

bulunur.

C

açısının kosinüs değerini hesaplamak.

3

B, C, D

noktaları doğrusal olduğundan,

\widehat{ACB}

ile

\widehat{ACD}

açılarının bütünler olduğu belirlenir ve

\cos(\widehat{ACD})

değeri yazılır.

\cos(\widehat{ACD}) = -\cos(\widehat{ACB}) = -\frac{13}{14}

elde edilir.

Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olmasından faydalanarak yan taraftaki üçgende Kosinüs Teoremi'ni kullanıma hazırlamak.

4

ACD

üçgeninde

|CD| = x

kabul edilerek Kosinüs Teoremi uygulanır.

|AD|^2 = |AC|^2 + x^2 - 2 \cdot |AC| \cdot x \cdot \cos(\widehat{ACD}) \implies 97 = 49 + x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x \cdot \left(-\frac{13}{14}\right) \implies 97 = 49 + x^2 + 13x

denklemi elde edilir.

x

değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek.

5

Elde edilen

x^2 + 13x - 48 = 0

denklemi çözülür.

(x + 16)(x - 3) = 0 \implies x = 3

veya

x = -16

bulunur. Uzunluk negatif olamayacağından

x = 3

birimdir.

CD

uzunluğunu kesin olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Bütünler açıların kosinüs değerleri arasındaki zıt işaret ilişkisi ve Kosinüs Teoremi'nin ardışık olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

ABC

üçgeninde

B

açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak

\cos(\widehat{B}) = -1/2

bulunur. Buradan

ABD

üçgeninde

|BD| = 5+x

yazılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve

x = 3

elde edilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 109Soru →

Bir lunaparktaki dönme dolap daire şeklinde olup üzerindeki 12 adet kabin, saat kadranındaki sayılar gibi 1'den 12'ye kadar saat yönünde ardışık olarak dizilmiştir. Bu dönme dolap çalıştırıldığında saat yönünde (negatif yönde) dönmektedir.

Başlangıçta en tepede 12 numaralı kabin bulunmaktadır. Dönme dolap çalışmaya başlayıp toplamda $-\frac{35\pi}{3}$ radyanlık bir dönüş gerçekleştirdiğinde, 12 numaralı kabin başlangıçtaki konumuna göre hangi numaralı kabinin yerinde bulunur?

2

4

8

10

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 numaralı kabin

Dönme dolabın saat yönünde dönmesi negatif yönlü bir hareket olduğunu gösterir.

-\frac{35\pi}{3}

radyanlık açının esas ölçüsü

\frac{\pi}{3}

radyan, yani

60^\circ

olarak bulunur. Bu da saat yönünün tersine

60^\circ

'lik bir harekete eş değerdir. Kabinler arası açı

30^\circ

olduğundan, en tepedeki 12 numaralı kabin pozitif yönde 2 kabin ilerleyerek 10 numaralı kabinin başlangıçtaki yerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1

Dönme dolabın dönüş yönü ve açısı belirlenir.

Dönme dolap saat yönünde döndüğü için dönme açısı

-\frac{35\pi}{3}

radyandır.

Saat yönü, trigonometride negatif yön olarak kabul edilir.

2

Negatif yönlü açının esas ölçüsü hesaplanır.

-\frac{35\pi}{3}

açısının esas ölçüsü

\frac{\pi}{3}

radyandır.

Negatif açının üzerine

2\pi

'nin tam katları (bu durumda

12\pi

) eklenerek

0

ile

2\pi

aralığında bir pozitif açı elde edilir.

3

Bulunan esas ölçü derece cinsine çevrilir.

\frac{\pi}{3}

radyan

= 60^\circ

olur.

Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek için

\pi

yerine

180^\circ

yazılır.

4

Kabinin yeni konumu belirlenir.

En tepedeki (12 numaralı) kabin saat yönünün tersine (pozitif yönde)

60^\circ

döner ve 10 numaralı kabinin yerine gelir.

12 kabin eşit aralıklarla yerleştirildiği için ardışık iki kabin arası açı

30^\circ

'dir.

60^\circ

'lik pozitif yönlü (saat yönünün tersine) dönüş, kabini 2 adım geriye (12'den 11'e ve 10'a) götürür.

Anahtar Kavram

Yönlü Açılar ve Esas Ölçü Hesaplama

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 110Soru →

$\theta$ bir dar açı olmak üzere,

\frac{\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) \cdot \tan(13\pi + \theta)}{\sin(5\pi - \theta) \cdot \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

-\tan^2\theta

1

-1

-\cot^2\theta

\tan^2\theta

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-1$

Cevap

İfadenin en sade şekli

-1

olarak bulunur.

Verilen ifadeyi sadeleştirmek için her bir trigonometrik fonksiyon ayrı ayrı indirgenir. Kosinüs çift fonksiyon olduğundan

\cos(\theta - 7\pi/2) = \cos(7\pi/2 - \theta)

yazılabilir.

7\pi/2

açısının esas ölçüsü

3\pi/2

olup, üçüncü bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirerek

-\sin\theta

olur. Tanjantın periyodu

\pi

olduğundan

\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta

olur. Paydadaki

5\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

olup, ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan

\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta

olur. Son olarak

9\pi/2

açısının esas ölçüsü

\pi/2

olup, birinci bölgede kotanjant pozitif ve isim değiştirerek

\tan\theta

olur. Değerler kesirde yerine yazıldığında pay

(-\sin\theta) \cdot \tan\theta

, payda ise

\sin\theta \cdot \tan\theta

olur ve sadeleştirme sonucunda

-1

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki kosinüs terimini esas ölçü ve indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.

\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = -\sin\theta

Kosinüs fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan

\cos(x) = \cos(-x)

eşitliği geçerlidir. Buradan

\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right)

elde edilir.

\frac{7\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{3\pi}{2}

radyandır.

\frac{3\pi}{2} - \theta

açısı üçüncü bölgede yer alır. Üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan ve

\frac{3\pi}{2}

referans alındığından isim değişerek

-\sin\theta

olur.

2

Pay kısmındaki tanjant teriminin esas ölçüsünü bularak sadeleştirmek.

\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta

Tanjant fonksiyonunun periyodu

\pi

radyandır. Dolayısıyla

13\pi

açısının içindeki tüm

\pi

katları atıldığında ifadenin değeri değişmez ve doğrudan

\tan\theta

olarak sadeleşir.

3

Payda kısmındaki sinüs ve kotanjant terimlerini indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.

\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta

ve

\cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta

5\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

radyandır.

\pi - \theta

açısı ikinci bölgede yer alır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan

\sin(\pi - \theta) = \sin\theta

olur.

\frac{9\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{\pi}{2}

radyandır.

\frac{\pi}{2} - \theta

açısı birinci bölgede yer alır. Birinci bölgede tüm fonksiyonlar pozitif olup

\frac{\pi}{2}

referans alındığından isim değişerek

\tan\theta

olur.

4

Elde edilen sadeleşmiş terimleri ana kesirde yerine yazarak sadeleştirme işlemini tamamlamak.

\frac{(-\sin\theta) \cdot \tan\theta}{\sin\theta \cdot \tan\theta} = -1

Payda ve pay kısmında yer alan

\sin\theta

ve

\tan\theta

terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye yalnızca pay kısmından gelen eksi işareti kalır, böylece sonuç

-1

olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra, açının bölgesine göre fonksiyonun işaretinin belirlenmesi ve eksen referansına (

\pi

veya

\frac{\pi}{2}

) göre isim değiştirip değiştirmeyeceğine karar verilmesi.

Soru 111Soru →

Analitik düzlemdeki birim çember üzerinde, koordinatları $P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ olan bir $P$ noktası veriliyor. $P$ noktasını orijine birleştiren ışının, $x$ ekseninin pozitif yön��yle yaptığı açı $\alpha$ dır.

Buna göre,

\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \tan(\pi + \alpha)}{\sin(3\pi - \alpha)}

ifadesinin değeri kaçtır?

-\frac{4}{3}

-1

\frac{3}{4}

\frac{4}{3}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{3}$

Cevap

İfadenin değeri dört bölü üçtür.

Birim çember üzerindeki

P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)

noktası koordinat düzleminin 2. bölgesindedir. Burada

\cos\alpha = -\frac{3}{5}

ve

\sin\alpha = \frac{4}{5}

olup

\tan\alpha = -\frac{4}{3}

değerine ulaşılır. Soruda verilen ifadedeki terimler indirgendiğinde:

\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha

,

\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha

ve

\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha

elde edilir. Bu değerler kesirde yerine koyulduğunda sinüs terimleri sadeleşir ve geriye

-\tan\alpha

kalır. Tanımlanan

\tan\alpha = -\frac{4}{3}

değeri yerine yazıldığında sonuç dört bölü üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatlarından trigonometrik oranları belirlemek

\cos\alpha = -\frac{3}{5}

,

\sin\alpha = \frac{4}{5}

ve buradan

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}

bulunur.

Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.

2

Pay ve paydadaki ifadeleri bölgelere göre indirgemek

\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha

,

\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha

ve

\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha

elde edilir.

\frac{3\pi}{2}

kullanıldığında isim değişir ve 3. bölgede kosinüs negatiftir.

\pi

ve

3\pi

kullanıldığında isim değişmez; bölgelere göre işaret tespiti yapılır.

3

İndirgenen ifadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapmak

\frac{(-\sin\alpha) \cdot \tan\alpha}{\sin\alpha} = -\tan\alpha

elde edilir.

Pay ve paydadaki

\sin\alpha

ifadeleri birbirini sadeleştirir.

4

Sayısal değeri yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak

-\tan\alpha = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}

bulunur.

İlk adımda elde edilen

\tan\alpha

değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Soru 112Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten b��yüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Verilen trigonometrik ifadeler aynı cinsten yazıldığında sıralama kolayca yapılabilir.

b = \cos(55^\circ) = \sin(35^\circ)

ve

c = \tan(45^\circ) = 1

olduğu bilinmektedir. Birinci bölgede açısı büyüdükçe sinüs değeri artacağından

\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < 1

sıralaması elde edilir. Bu durumda doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs ifadesini sinüs cinsinden yazınız.

b = \cos(55^\circ) = \sin(90^\circ - 55^\circ) = \sin(35^\circ)

elde edilir.

Farklı trigonometrik fonksiyonları aynı türden yazarak daha kolay karşılaştırmak için tümler açı özdeşliği kullanılır.

2

Tanjant değerini belirleyiniz.

c = \tan(45^\circ) = 1

elde edilir.

45^\circ

açısının tanjantı özel bir değerdir ve karşılaştırma için referans noktası sağlar.

3

Elde edilen tüm değerleri birbiriyle karşılaştırarak sıralayınız.

Birinci bölgede sinüs fonksiyonu artandır. Dolayısıyla

15^\circ < 35^\circ

olduğundan

\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < \sin(90^\circ) = 1

olur. Buradan

a < b < c

sıralamasına ulaşılır.

Birinci bölgedeki dar açıların sinüs değerleri daima

1

’den küçük olduğundan

\tan(45^\circ) = 1

değeri en büyükt��r.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 113Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a = \cos(2026^\circ)

b = \sin\left(\frac{43\pi}{6}\right)

c = \tan\left(-\frac{17\pi}{5}\right)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

K��çükten büyüğe doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Doğru sıralama küçükten büyüğe doğru

c < a < b

şeklindedir. İndirgeme formülleri uygulandığında

c = -\tan(72^\circ) < -1

,

a = -\cos(46^\circ) \approx -0,69

ve

b = -0,5

değerleri elde edilir. Sayı doğrusu üzerinde bu değerler soldan sağa sırasıyla

c

,

a

ve

b

olarak sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1

2026^\circ

açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.

2026^\circ = 5 \times 360^\circ + 226^\circ

olduğundan esas ölçü

226^\circ

olur. III. bölgede kosinüs negatif olduğundan

a = \cos(226^\circ) = \cos(180^\circ + 46^\circ) = -\cos(46^\circ)

elde edilir.

Büyük açların trigonometrik değerlerini karşılaştırmak için öncelikle esas ölçülerini bulup dar açı cinsinden ifade etmeliyiz.

2

\frac{43\pi}{6}

açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.

\frac{43\pi}{6} = 6\pi + \frac{7\pi}{6} = 3 \times 2\pi + \frac{7\pi}{6}

olduğundan esas ölçü

\frac{7\pi}{6}

radyandır. III. bölgede sinüs negatif olduğundan

b = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -0,5

elde edilir.

Radyan cinsinden verilen açıyı dar açı cinsinden yazarak değerini doğrudan bulabiliriz.

3

-\frac{17\pi}{5}

açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.

-\frac{17\pi}{5} + 4\pi = \frac{3\pi}{5}

(

108^\circ

) olup esas ölçü II. bölgededir. II. bölgede tanjant negatif olduğundan

c = \tan(108^\circ) = \tan(180^\circ - 72^\circ) = -\tan(72^\circ)

elde edilir.

Negatif radyanlı açıların üzerine

2\pi

'nin katları eklenerek esas ölçü bulunur ve ardından dar açıya indirgenir.

4

Bulunan

a

,

b

ve

c

değerlerini karşılaştırınız.

\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1

olduğundan

c = -\tan(72^\circ) < -1

olur.

\cos(46^\circ)

değeri ise

0,5

ile

0,707

arasındadır, bu yüzden

a = -\cos(46^\circ)

değeri

-0,707

ile

-0,5

arasındadır.

b = -0,5

olduğundan, sıralama

c < a < b

şeklinde olur.

Negatif sayıların sıralanmasında mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 114Soru →

Bir $KLM$ üçgeninde $L$ köşesindeki iç açının ölçüsü $120^\circ$ dir. Bu köşeyi oluşturan kenarların uzunlukları $|KL| = 7\text{ birim}$ ve $|LM| = 8\text{ birim}$ olduğuna göre, $KM$ kenarının uzunluğu kaç birimdir?

\sqrt{57}

\sqrt{113}

13

\sqrt{141}

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

KM kenarının uzunluğu 13 birimdir.

Kosinüs teoremi gereği, bilinmeyen kenarın karesi, bilinen kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşittir.

\cos(120^\circ) = -1/2

değeri yerine yazılarak yapılan hesaplamada

x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot (-1/2) = 169

eşitliğinden

x = 13

birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs teoremi formülünü yazıp verilen değerleri yerleştirmek.

x^2 = |KL|^2 + |LM|^2 - 2 \cdot |KL| \cdot |LM| \cdot \cos(m(\widehat{KLM}))

Üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.

2

Verilen kenar uzunluklarını ve açının kosinüs değerini yerine yazmak.

x^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)

Soruda verilen

|KL| = 7

,

|LM| = 8

ve açı değeri

120^\circ

bağıntıda yerlerine konur.

3

120^\circ

açısının kosinüs değerini hesaplamak.

\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}

120^\circ

açısı ikinci bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatiftir.

4

İşlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak.

x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169 \Rightarrow x = 13

Elde edilen denklemin karekökü alınarak uzunluk değeri pozitif olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 115Soru →

Ölçüsü $-23450''$ olan negatif yönlü bir açının esas ölçüsü $a^\circ\ b'\ c''$ olarak ifade edilmektedir. Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 392

Cevap

Esas ölçünün derece, dakika ve saniye bileşenlerinin toplamı 392'dir.

Verilen saniye cinsinden negatif açının mutlak değeri derece, dakika ve saniyeye dönüştürüldüğünde

6^\circ 30' 50''

elde edilir. Bu açının esas ölçüsünü bulmak için

360^\circ

değerinden bu açı çıkarılır.

360^\circ

açısı

359^\circ 59' 60''

biçiminde yazılarak çıkarma işlemi gerçekleştirildiğinde esas ölçü

353^\circ 29' 10''

olarak bulunur. Bileşenlerin toplamı ise

353 + 29 + 10 = 392

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Negatif açının mutlak değerini derece, dakika ve saniyeye çevirme

-23450'' = -(6^\circ 30' 50'')

Saniyeyi dereceye çevirmek için 3600'e, kalan saniyeyi dakikaya çevirmek için 60'a böleriz.

2

Açının esas ölçüsünü hesaplama

353^\circ 29' 10''

Negatif açının esas ölçüsünü bulmak için açıya

360^\circ

(veya

359^\circ 59' 60''

) ekleriz.

3

Bileşenlerin toplamını hesaplama

392

Soruda istenen

a + b + c

toplamını elde etmek için

353

,

29

ve

10

değerlerini toplarız.

Anahtar Kavram

Negatif yönlü açıların esas ölçüsü ve derece-dakika-saniye dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Saniye cinsinden verilen

-23450''

açısının üzerine saniye cinsinden

360^\circ

değeri olan

1296000''

eklenerek doğrudan esas ölçünün saniye cinsinden değeri (

1272550''

) bulunabilir. Ardından bu değer sırasıyla 3600 ve 60 sayılarına bölünerek derece, dakika ve saniye cinsine dönüştürülür.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 116Soru →

Aşağıda verilen $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı

z < y < x

şeklindedir.

Pozitif olan x değeri en büyüktür. Negatif olan y ve z değerlerinden mutlak değerce daha büyük olan z en küçük değerdir, dolayısıyla doğru sıralama z < y < x şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

x

değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.

760^\circ

açısının esas ölçüsü,

760^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 40^\circ

eşitliğinden

40^\circ

olarak bulunur. Dolayısıyla

x = \sin(40^\circ)

olur. Bu değer birinci bölgede olduğundan pozitiftir.

Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini bulmamız gerekir.

2

y

değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.

y = \cos\left(-\frac{13\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{13\pi}{5}\right)

olur.

\frac{13\pi}{5} = 2\pi + \frac{3\pi}{5}

olduğundan esas ölçü

\frac{3\pi}{5}

radyandır. Derece cinsinden

\frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ

olur. İkinci bölgede kosinüs negatif olduğundan

y = \cos(108^\circ) = -\cos(72^\circ)

olarak elde edilir.

Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve ikinci bölgedeki işaret durumunu kullanırız.

3

z

değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.

\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}

olduğundan esas ölçü

\frac{5\pi}{6}

radyandır. Derece cinsinden

\frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ

olur. İkinci bölgede kotanjant negatif olduğundan

z = \cot(150^\circ) = -\cot(30^\circ) = -\sqrt{3}

olarak elde edilir.

Kotanjant fonksiyonunun ikinci bölgedeki işaretini ve indirgeme kuralını kullanırız.

4

Elde edilen ifadeleri işaretlerine ve mutlak değer büyüklüklerine göre sıralayın.

x = \sin(40^\circ) > 0

,

y = -\cos(72^\circ) < 0

ve

z = -\sqrt{3} \approx -1,73 < 0

bulunur. Negatif değerler karşılaştırıldığında,

\cos(72^\circ) < 1 < \sqrt{3}

olduğundan

-\sqrt{3} < -\cos(72^\circ)

olur. Buradan

z < y < x

sıralamasına ulaşılır.

Pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür. Negatif sayılarda ise mutlak değerce daha büyük olan sayı daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre işaret analizi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.

Soru 117Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $[AD]$ doğru parçası $A$ açısının açıortayıdır. $ABD$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $R_1 = \sqrt{3}$ birim, $ACD$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $R_2 = 2\sqrt{3}$ birim ve $AD = 2\sqrt{3}$ birimdir. Buna g��re, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3

Sinüs Teoremi iki farklı alt üçgende (

ABD

ve

ACD

) uygulanarak önce üçgenin iç açıları (

B = 90^\circ

,

C = 30^\circ

ve

A = 60^\circ

) belirlenir. Ardından açıortay özelliği ve Sinüs Teoremi kullanılarak

BC

kenar uzunluğu

3\sqrt{3}

olarak hesaplanır. Son adımda, ana üçgende Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı

R = 3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak

B

açısı bulunur.

\sin B = 1 \implies m(\widehat{B}) = 90^\circ

ABD

üçgeninde

\frac{AD}{\sin B} = 2R_1

eşitliğinden

\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1

elde edilir.

2

ACD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak

C

açısı bulunur.

\sin C = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{C}) = 30^\circ

ACD

üçgeninde

\frac{AD}{\sin C} = 2R_2

eşitliğinden

\sin C = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}

elde edilir.

B

açısı dik açı olduğundan

C

açısı dar açı olmalıd��r, dolayısıyla

m(\widehat{C}) = 30^\circ

olur.

3

ABC

üçgeninin iç açılar toplamından

A

açısı bulunur.

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

ABC

üçgeninde iç açılar toplamı

180^\circ

olduğundan,

m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ

bulunur.

4

AD

açıortay olduğundan ve Sinüs Teoremi yardımıyla

BD

ve

CD

uzunlukları bulunur.

BC = 3\sqrt{3}

birim

AD

açıortay olduğu için

m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) = 30^\circ

olur.

ABD

üçgeninde

\frac{BD}{\sin 30^\circ} = 2R_1 \implies BD = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}

ve

ACD

üçgeninde

\frac{CD}{\sin 30^\circ} = 2R_2 \implies CD = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}

elde edilir. Buradan

BC = BD + CD = 3\sqrt{3}

birim bulunur.

5

ABC

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı

R

bulunur.

R = 3

birim

ABC

üçgeninde

\frac{BC}{\sin A} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı çevrel çemberin çapına (

2R

) eşittir.

Soru 118Soru →

Analitik düzlemin birinci bölgesinde yer alan ve köşeleri; orijin $O(0,0)$ noktası, merkezil birim çember üzerindeki bir $P$ noktası ve $P$ noktasının $x$ -ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan $H$ noktası olan bir $OPH$ dik üçgeni oluşturuluyor. Bu dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı $0{}1$ birim olduğuna göre, $P$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.2

Cevap

P noktasının koordinatları toplamı 1,2'dir.

Birim çember üzerindeki

P(\cos\theta, \sin\theta)

noktasından oluşturulan

OPH

dik üçgeninin kenarları

\cos\theta

,

\sin\theta

ve

1

birimdir. Dik üçgenin iç teğet çember yarıçap formülü

r = \frac{a+b-c}{2}

kullanılarak

0{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}

bağıntısından koordinatlar toplamı

1{}2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

P ve H noktalarının koordinatlarını trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade etme

P(\cos\theta, \sin\theta)

ve

H(\cos\theta, 0)

Birim çember üzerindeki her nokta, başlangıç doğrusuyla yaptığı

\theta

açısı cinsinden

(\cos\theta, \sin\theta)

olarak yazılır.

2

OPH dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirleme

Dik kenarlar

\cos\theta

ve

\sin\theta

, hipotenüs

1

O(0,0)

ile

H

arasındaki uzaklık

\cos\theta

,

P

ile

H

arasındaki uzaklık

\sin\theta

ve

P

birim çember üzerinde olduğundan

OP = 1

'dir.

3

İç teğet çemberin yarıçapı ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurma

r = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}

Bir dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.

4

Verilen yarıçap değerini denklemde yerine yazarak çözme

\cos\theta + \sin\theta = 1{}2

0{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} \Rightarrow 0{}2 = \sin\theta + \cos\theta - 1 \Rightarrow \sin\theta + \cos\theta = 1{}2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisi ve dik üçgen geometrisi yardımıyla analizi.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{\text{Alan}}{\text{Yarıçevre}}

formülünden de bulunabilir. Alan

A = \frac{\sin\theta \cos\theta}{2}

ve yarıçevre

s = \frac{\sin\theta + \cos\theta + 1}{2}

olup,

r = \frac{\sin\theta \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta + 1}

yazılır.

\sin\theta + \cos\theta = u

dönüşümüyle,

\sin\theta \cos\theta = \frac{u^2 - 1}{2}

elde edilir. Formülde yerine yazıldığında

r = \frac{u^2 - 1}{2(u + 1)} = \frac{u - 1}{2}

sadeleşmesi elde edilir ve buradan

u = 1{}2

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 119Soru →

$x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$ olmak üzere,

a = \frac{\cos(2x)}{\cos(x) + \sin(x)}

b = \frac{2\tan(x)\cos(x)}{\csc(x)}

c = \frac{1 - \tan^2(x)}{\sec^2(x)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a, b ve c değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı a < b < c şeklindedir.

Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıktaki değerleri incelendiğinde; a negatif, b sıfır ile bir bölü iki aralığında pozitif, c ise bir bölü iki ile bir aralığında pozitif değerler alır. Bu durumda en küçük değer a, ortanca değer b ve en büyük değer c olur.

Adım Adım Çözüm

1

a ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

a = \cos(x) - \sin(x)

\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))

iki kare farkı özdeşliği pay kısmında yerine yazılır ve payda ile sadeleştirilir.

2

b ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

b = 2\sin^2(x)

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

ve

\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}

eşitlikleri yerine yazılarak ifade sadeleştirilir.

3

c ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

c = \cos(2x)

\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}

ve

\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}

özdeşlikleri kullanılarak ifade sadeleştirilir.

4

Açı aralığına göre her bir ifadenin işaretini ve alabileceği değer aralığını belirleme

a < 0

,

0 < b < \frac{1}{2}

,

\frac{1}{2} < c < 1

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. Bu nedenle

a = \cos(x) - \sin(x)

ifadesi negatiftir.

\sin(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

olduğundan

b = 2\sin^2(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

olur.

2x \in \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right)

aralığı dördüncü bölgededir ve kosinüs pozitiftir, böylece

c = \cos(2x) \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)

olur.

5

Değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapma

a < b < c

a

negatif,

b

ve

c

pozitif olup

b

değeri

1/2

değerinden küçük,

c

değeri ise

1/2

değerinden büyük olduğu için sıralama bu şekilde elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapma ve bölgelere göre işaret/değer sıralaması gerçekleştirme.

Soru 120Soru →

Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden aşağıdaki trigonometrik değerleri küçükten büyüğe do��ru sıralamalarını istemiştir:

a = \sin(110^\circ)

b = \cos(200^\circ)

c = \tan(250^\circ)

Buna göre, bu değerlerin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

b < c < a

c < b < a

b < a < c

a < c < b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < a < c$

Cevap

b < a < c

Verilen açıların bölgeleri ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretleri incelendiğinde; ikinci bölgedeki

110^\circ

açısının sinüsü pozitif, üçüncü bölgedeki

200^\circ

açısının kosinüsü negatif, üçüncü bölgedeki

250^\circ

açısının tanjantı ise pozitif bir değer alır. Ayrıca

250^\circ

açısının tanjantı olan

\tan(70^\circ)

değeri 1'den büyüktür. Bu durumda negatif olan değer en küçük, 1'den büyük olan tanjant değeri ise en büyük olmalıdır. Dolayısıyla en küçükten en büyüğe doğru sıralama

b < a < c

şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların bulundukları bölgeleri belirleyin.

110^\circ

açısı II. bölgede,

200^\circ

ve

250^\circ

açıları III. bölgededir.

Trigonometrik oranların işaretlerini doğru tespit edebilmek için açıların hangi bölgelerde yer aldığını bilmemiz gerekir.

2

Fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini bulun.

a = \sin(110^\circ) > 0

(II. bölgede sinüs pozitiftir),

b = \cos(200^\circ) < 0

(III. bölgede kosinüs negatiftir),

c = \tan(250^\circ) > 0

(III. bölgede tanjant pozitiftir).

Pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırarak sıralamanın genel yapısını oluşturmak için işaretleri belirleriz.

3

Pozitif olan

a

ve

c

değerlerini indirgeme formülleriyle I. bölgeye taşıyarak karşılaştırın.

a = \sin(110^\circ) = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin(70^\circ)

ve

c = \tan(250^\circ) = \tan(180^\circ + 70^\circ) = \tan(70^\circ)

olur.

\tan(70^\circ) > \tan(45^\circ) = 1

iken

\sin(70^\circ) < 1

olduğundan

a < c

elde edilir.

Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini netleştirmek için I. bölgedeki değer aralıklarını karşılaştırırız.

4

Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayın.

b < 0

ve

0 < a < 1 < c

olduğundan doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Negatif olan en küçük terim ile pozitif olan terimlerin kendi arasındaki büyüklük ilişkisini bir araya getirerek nihai sıralamaya ulaşırız.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve I. bölgeye indirgenerek sıralanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Trigonometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar