Examkin

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

63 soru

Tüm türler63Çoktan seçmeli32Sıralama31
Soru 21Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik özdeşlikler ve aralık analizi yapıldığında ifadeler a<c<ba < c < b şeklinde sıralanır.
Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) değeri sıfır ile bir arasında pozitif bir değer alır, cc ifadesi sadeleşerek doğrudan bir değerine eşit olur, bb ifadesi ise mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarak birden büyük bir değer alır. Bu durum en küçük değerin ilk ifadeye, en büyük değerin ise ikinci ifadeye ait olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirelim.
a=(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)a = \frac{(\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin(x) + \cos(x)} elde edilir. sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olduğu için ifade a=(sin⁡(x)−cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \frac{(\sin(x) - \cos(x))(\sin(x) + \cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) halini alır.
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak, sıralama kıyaslamasını kolaylaştırır.
2
bb ifadesini tam kare özdeşliği yardımıyla kök dışına çıkaralım.
1=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) yazıldığında kök içi (sin⁡(x)+cos⁡(x))2(\sin(x) + \cos(x))^2 olur. Buradan b=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣b = \sqrt{(\sin(x) + \cos(x))^2} = |\sin(x) + \cos(x)| elde edilir.
Derecesi çift olan köklü ifadeler dışarıya mutlak değer içinde çıkarılmalıdır.
3
cc ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazıp sadeleştirelim.
Pay kısmı: tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} olur. Payda kısmı: sec⁡(x)csc⁡(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\cos(x)\sin(x)} olur. İkisinin oranı c=1c = 1 sonucunu verir.
Temel trigonometrik kimlikler kullanılarak karmaşık rasyonel ifadeler sadeleştirilir.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre ifadelerin işaret ve büyüklük analizini yapalım.
Bu aralıkta (üçüncü bölgede) cos⁡(x)<sin⁡(x)<0\cos(x) < \sin(x) < 0 eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla:
- a=sin⁡(x)−cos⁡(x)>0a = \sin(x) - \cos(x) > 0 olup 0<a<10 < a < 1 aralığındadır.
- sin⁡(x)+cos⁡(x)<0\sin(x) + \cos(x) < 0 olduğundan b=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣=−sin⁡(x)−cos⁡(x)b = |\sin(x) + \cos(x)| = -\sin(x) - \cos(x) olur. Bu değer 1<b<21 < b < \sqrt{2} aralığındadır.
- c=1c = 1 sabittir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri ve birbirlerine göre büyüklükleri sıralamayı belirler.
5
Elde edilen değer aralıklarını birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
0<a<10 < a < 1, c=1c = 1 ve 1<b<21 < b < \sqrt{2} olduğundan sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Bulunan sayısal aralıklar sıralamayı tek bir şekilde belirlememizi sağlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x
b=1−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xb = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x
c=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡x+cos⁡xc = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanış�� aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<ac < b < a

Cevap

c < b < a sıralaması doğrudur.
Sıralamada a değeri iki negatif değerin çarpımı olduğu için kesinlikle pozitif olup en büyüktür. b değeri sadeleştirildiğinde kosinüs değerine eşit olup negatiftir. c değeri ise sinüs ile kosinüsün iki katının toplamına eşit olup yine negatiftir. İki negatif değer karşılaştırıldığında, sinüs ve kosinüsün toplamı negatif olduğundan c değeri b değerinden daha küçüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel trigonometrik işaretleri belirleme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede hem sinüs hem de kosinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir: sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0. Ayrıca bu aralıkta açının büyüklüğünden dolayı sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 eşitsizliği geçerlidir.
İfadelerin sadeleştirilmesinde mutlak değerlerin dışarıya nasıl çıkacağını ve işaretlerini belirlemek için bölge analizi şarttır.
2
a ifadesinin işaretini belirleme
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x ifadesinde iki negatif değerin çarpımı pozitif bir sonuç verir. Dolayısıyla a>0a > 0 olur.
Çarpım durumundaki ifadelerin işaret kuralını uygulayarak a değerinin pozitif olduğunu buluruz.
3
b ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
1−2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği kullanılır.
Kök dışına çıkarma işlemi yapılırsa:
(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = | \sin x - \cos x |
Üçüncü bölgedeki bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x\sin x < \cos x olduğundan, mutlak değerin içi negatiftir. Dışarıya işaret değiştirerek çıkar:
∣sin⁡x−cos⁡x∣=−(sin⁡x−cos⁡x)=cos⁡x−sin⁡x| \sin x - \cos x | = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x
İfade yerine yazıldığında:
b=(cos⁡x−sin⁡x)+sin⁡x=cos⁡xb = (\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x elde edilir.
Kosinüs üçüncü bölgede negatif olduğundan b<0b < 0 olur.
Karekök içerisindeki tam kare ifadeyi mutlak değer dışına bölge kurallarına uygun olarak çıkarıp b değerini sadeleştirmek gerekir.
4
c ifadesini iki küp toplamı açılımı ile sadeleştirme
sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) özdeşliği pay kısmına uygulanır.
Buna göre c ifadesi:
c=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)1−sin⁡xcos⁡x+cos⁡xc = \frac{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x} + \cos x
Pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilirse:
c=sin⁡x+cos⁡x+cos⁡x=sin⁡x+2cos⁡xc = \sin x + \cos x + \cos x = \sin x + 2\cos x elde edilir.
Her iki terim de negatif olduğundan c<0c < 0 olur.
Küp açılımını kullanarak c ifadesini rasyonel formdan kurtarıp en sade haline getirmek gerekir.
5
Elde edilen a, b ve c değerlerini karşılaştırarak sıralama
a>0a > 0, b<0b < 0 ve c<0c < 0 olduğundan a en büyük değerdir.
Negatif olan b ve c değerlerini kıyaslamak için farklarına bakalım:
c−b=(sin⁡x+2cos⁡x)−cos⁡x=sin⁡x+cos⁡xc - b = (\sin x + 2\cos x) - \cos x = \sin x + \cos x
Her iki değer de negatif olduğundan toplamları da negatiftir:
c−b<0  ⟹  c<bc - b < 0 \implies c < b olur.
Bu durumda sıralama c<b<ac < b < a şeklinde gerçekleşir.
Pozitif ve negatif olan değerleri kendi aralarında kıyaslayarak kesin sıralamayı elde ederiz.

Anahtar Kavram

Üçüncü bölgede trigonometrik fonksiyonların işaret ve büyüklük sıralaması ile temel özdeşliklerin (tam kare ve iki küp toplamı) uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xa = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
b=1+2sin⁡xcos⁡x−sin⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - \sin x
c=tan⁡x1+tan⁡2xc = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c,b,ac, b, a şeklindedir.
Verilen aralıkta fonksiyonların işaretleri analiz edildiğinde aa ifadesinin pozitif, bb ve cc ifadelerinin ise negatif olduğu görülür. Negatif olan bb ve cc değerleri karşılaştırıldığında b>cb > c olduğu saptanır. Bu sayede doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla cc, bb ve aa olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xa = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x
Pay kısmında iki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliği kullanılmıştır.
2
bb ifadesini mutlak değer ve bölge özelliklerini dikkate alarak sadeleştiriniz.
b=(sin⁡x+cos⁡x)2−sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣−sin⁡xb = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - \sin x = |\sin x + \cos x| - \sin x İkinci bölgenin ikinci yarısında yani x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında sin⁡x<−cos⁡x\sin x < -\cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek çıkar:
b=−(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=−2sin⁡x−cos⁡xb = -(\sin x + \cos x) - \sin x = -2\sin x - \cos x
Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerle çıkması ve ikinci bölgede kosinüsün mutlak değerce sinüsten büyük olmasından dolayı toplamın negatif olması esastır.
3
cc ifadesini sadeleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazınız.
1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x olduğundan
c=tan⁡xsec⁡2x=tan⁡x∣sec⁡x∣c = \frac{\tan x}{\sqrt{\sec^2 x}} = \frac{\tan x}{|\sec x|} olur. İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan sec⁡x<0\sec x < 0 dır. Dolayısıyla ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x olur:
c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=−sin⁡xc = \frac{\tan x}{-\sec x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{-\frac{1}{\cos x}} = -\sin x
Sekant fonksiyonunun ikinci bölgede negatif işaretli olması nedeniyle mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarılması gerekir.
4
Elde edilen sadeleşmiş a,ba, b ve cc ifadelerini verilen aralıkta karşılaştırarak sıralayınız.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında:
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 dır. Hatta a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) aralığındadır.
- bb ve cc ifadeleri ise negatif değerler alır. Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için farklarına bakılır:
b−c=(−2sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x)=−sin⁡x−cos⁡xb - c = (-2\sin x - \cos x) - (-\sin x) = -\sin x - \cos x
Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan, −sin⁡x−cos⁡x>0-\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla b−c>0  ⟹  b>cb - c > 0 \implies b > c elde edilir.
Bu bilgiler ışığında sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
İfadelerin işaretleri ve birbirleriyle olan farklarının pozitiflik/negatiflik durumları sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve mutlak değerce büyüklüklerinin analizi
Soru 24Soru →
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=1+sin⁡(2x)−cos⁡xa = \sqrt{1 + \sin(2x)} - \cos x
b=1−sin⁡(2x)+sin⁡xb = \sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x
c=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<c<ba < c < b

Cevap

En küçük değer aa, ortanca değer cc ve en büyük değer bb olacak şekilde a<c<ba < c < b sıralamas�� doğrudur.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡xa = \sin x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x elde edilir. Dördüncü bölgenin son çeyreğinde sin⁡x\sin x negatif, cos⁡x\cos x pozitif değerler alır ve kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Bu durumda aa negatif, bb ve cc pozitif olur. cc ifadesi pozitif olan kosinüs değerine negatif bir sinüs değeri eklendiği için bb değerinden küçük, negatif olan sinüs değerine pozitif bir kosinüs eklendiği için de aa değerinden büyüktür. Bu gerekçelerle en küçük değer aa, ortanca değer cc ve en büyük değer bb olur.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazalım.
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 olduğundan, 1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir.
Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerli olarak çıkarılması gerektiğini uygulamak.
2
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığına göre mutlak değerin işaretini belirleyelim ve aa değerini bulalım.
Dördüncü bölgenin son çeyreğinde cos⁡x>0\cos x > 0 ve sin⁡x<0\sin x < 0 olup, bu aralıktaki açılar için cos⁡x>∣sin⁡x∣\cos x > |\sin x| şartı sağlanır. Dolayısıyla, sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 olur. Bu durumda mutlak değer içi pozitif olduğundan dışarıya aynen çıkar: a=(sin⁡x+cos⁡x)−cos⁡x=sin⁡xa = (\sin x + \cos x) - \cos x = \sin x bulunur.
Belirtilen bölgedeki trigonometrik değerlerin büyüklük ilişkisini analiz etmek.
3
bb ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare şeklinde yazarak mutlak değer işaretini belirleyelim.
1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = (\sin x - \cos x)^2 olduğundan, 1−sin⁡(2x)=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(2x)} = |\sin x - \cos x| olur. sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan sin⁡x−cos⁡x<0\sin x - \cos x < 0 olur. Mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: b=−(sin⁡x−cos⁡x)+sin⁡x=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = -(\sin x - \cos x) + \sin x = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x bulunur.
Negatif olan mutlak değer içinin dışarıya işaret değiştirerek çıkarılmasını sağlamak.
4
cc ifadesinin pay kısmındaki iki küp toplamını çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim.
sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) yazılır. Paydadaki terimle sadeleştiğinde: c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x elde edilir.
Cebirsel özdeşlikler yardımıyla rasyonel trigonometrik ifadeyi en yalın haline getirmek.
5
Elde edilen a=sin⁡xa = \sin x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x değerlerini dördüncü bölge özelliklerine göre sıralayalım.
sin⁡x<0\sin x < 0 olduğundan aa negatiftir. cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan bb pozitiftir. cos⁡x>∣sin⁡x∣\cos x > |\sin x| olduğundan c=sin⁡x+cos⁡x>0c = \sin x + \cos x > 0 olup pozitiftir. sin⁡x\sin x negatif bir değer olduğundan, sin⁡x+cos⁡x<cos⁡x\sin x + \cos x < \cos x yani c<bc < b olur. Benzer şekilde cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan, sin⁡x+cos⁡x>sin⁡x\sin x + \cos x > \sin x yani c>ac > a olur. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Elde edilen sadeleşmiş trigonometrik ifadeleri bölge işaretleri ve büyüklüklerine göre nihai olarak sıralamak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirme yapılması ve dördüncü bölgedeki açıların trigonometrik değerlerinin işaret ve büyüklük analiziyle sıralanması.
Soru 25Soru →

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için ifadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=cos⁡(2x)c = \cos(2x) elde edilir. Bu aralıkta sec⁡x>1\sec x > 1 olduğundan en büyük değerdir. Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede azalan olduğundan açısı daha büyük olan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi, cos⁡x\cos x ifadesinden daha küçüktür. Bu durumda sıralama c<b<ac < b < a şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ifadenin özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilmesi
a=tan⁡x⋅csc⁡2x=tan⁡x⋅∣csc⁡x∣a = \tan x \cdot \sqrt{\csc^2 x} = \tan x \cdot |\csc x| elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında csc⁡x>0\csc x > 0 olduğundan ifade aynen çıkar: a=sin⁡xcos⁡x⋅1sin⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \sec x.
Karekök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi ve mutlak değer dışına işaret kontrolü yapılarak çıkarılması gerekir.
2
İkinci ifadenin sadeleştirilmesi
b=(cos⁡x−sin⁡x)2+sin⁡x=∣cos⁡x−sin⁡x∣+sin⁡xb = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sin x = |\cos x - \sin x| + \sin x elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan ifade pozitif olarak dışarı çıkar: b=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken terimlerin büyüklük sıralamasına göre mutlak değer içi kontrol edilmelidir.
3
Üçüncü ifadenin sadeleştirilmesi
c=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡(2x)⋅1=cos⁡(2x)c = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x) elde edilir.
İki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü kullanılarak ifade daha yalın hale getirilir.
4
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıkta karşılaştırılması
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) için sec⁡x>1\sec x > 1, cos⁡x<1\cos x < 1 ve cos⁡(2x)<1\cos(2x) < 1 olur. Ayrıca birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan x<2x  ⟹  cos⁡(2x)<cos⁡xx < 2x \implies \cos(2x) < \cos x yazılır. Buradan c<b<ac < b < a sıralamasına ulaşılır.
Açıların bölgelerine göre fonksiyonların monotonluk (artanlık/azalanlık) özellikleri ve değer aralıkları karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sec⁡x⋅csc⁡xsec⁡x+csc⁡xa = \frac{\sec x \cdot \csc x}{\sec x + \csc x}
b=1+2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - 2\sin x
c=tan⁡x−sin⁡xsin⁡x⋅tan⁡xc = \frac{\tan x - \sin x}{\sin x \cdot \tan x}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

b<c<ab < c < a sıralaması doğrudur.
b<c<ab < c < a sıralamasını içeren seçenek doğrudur. Çünkü verilen aralıkta bb ifadesi negatif bir değer alırken, aa ve cc ifadeleri 11'den büyüktür. aa ve cc ifadelerinin farkı incelendiğinde a>ca > c olduğu kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığını incelemek ve temel işaretleri belirlemek.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı analitik düzlemde ikinci bölgededir. Bu bölgede sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve tan⁡x<0\tan x < 0 olur. Ayrıca x<3π4x < \frac{3\pi}{4} olduğundan ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olup sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 ve sin⁡x+cos⁡x<1\sin x + \cos x < 1 eşitsizlikleri geçerlidir.
İfadelerin işaretlerini belirlemek ve sadeleştirme adımlarında mutlak değerden çıkarma işlemlerini doğru yapabilmek için bölge analizi şarttır.
2
aa ifadesini sadeleştirmek.
a=1cos⁡x⋅1sin⁡x1cos⁡x+1sin⁡x=1sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡x+cos⁡xa = \frac{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{1}{\sin x + \cos x} olarak bulunur. 0<sin⁡x+cos⁡x<10 < \sin x + \cos x < 1 olduğundan a>1a > 1 olur.
Sekant ve kosekant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi basitleştirmek gerekir.
3
bb ifadesini sadeleştirmek.
b=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−2sin⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)2−2sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣−2sin⁡xb = \sqrt{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} - 2\sin x = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - 2\sin x = |\sin x + \cos x| - 2\sin x olur. İkinci adımda bulduğumuz üzere sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 olduğundan mutlak değer dışına aynen çıkar: b=sin⁡x+cos⁡x−2sin⁡x=cos⁡x−sin⁡xb = \sin x + \cos x - 2\sin x = \cos x - \sin x. Bu aralıkta cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan b<0b < 0 olur.
Karekök içindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazarak mutlak değer yardımıyla sadeleştirmek gerekir.
4
cc ifadesini sadeleştirmek.
c=tan⁡xsin⁡x⋅tan⁡x−sin⁡xsin⁡x⋅tan⁡x=1sin⁡x−1tan⁡x=csc⁡x−cot⁡x=1−cos⁡xsin⁡xc = \frac{\tan x}{\sin x \cdot \tan x} - \frac{\sin x}{\sin x \cdot \tan x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} = \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x} elde edilir. cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>11 - \cos x > 1 ve 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 olduğundan c>1c > 1 olur.
Rasyonel ifadeyi paydalarına ayırıp sadeleştirerek karşılaştırılabilir bir biçime getirmek gerekir.
5
aa ve cc değerlerini karşılaştırmak.
a−c=1sin⁡x+cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡x=−cos⁡x(1−sin⁡x−cos⁡x)sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)a - c = \frac{1}{\sin x + \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{-\cos x(1 - \sin x - \cos x)}{\sin x(\sin x + \cos x)} elde edilir. Paydadaki tüm terimler pozitiftir. Pay kısmında ise −cos⁡x>0-\cos x > 0 ve sin⁡x+cos⁡x<1  ⟹  1−sin⁡x−cos⁡x>0\sin x + \cos x < 1 \implies 1 - \sin x - \cos x > 0 olduğundan pay da pozitiftir. Dolayısıyla a−c>0  ⟹  a>ca - c > 0 \implies a > c olur. Sonuç olarak b<0b < 0 ve a,c>1a, c > 1 olduğundan sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
İki pozitif değer arasındaki büyüklük ilişkisini fark yöntemiyle belirlemek sıralamayı tamamlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 27Soru →

θ\theta gerçel sayısı için 2π3<θ<3π4\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4} eşitsizliği verilmiştir. Buna göre, aşağıda tanımlanan aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir. İkinci bölgede yer alan açı için sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Dolayısıyla çarpımları olan cc ifadesi kesinlikle negatiftir. a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos(2\theta) yarım açı dönüşümüyle pozitif bir değer alır ve en fazla 0.50.5 olabilir. bb ifadesi sadeleştirildiğinde −tan⁡θ-\tan \theta değerine eşit olup, bu aralıkta 11'den büyük bir değer alır. Bu durum sıralamayı doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
A��ının bölgesini belirleyip temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini incelemek.
θ∈(2π3,3π4)\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) aralığı derece cinsinden (120∘,135∘)(120^\circ, 135^\circ) aralığına denk gelir ve II. bölgededir. Bu bölgede sin⁡θ>0\sin \theta > 0, cos⁡θ<0\cos \theta < 0, tan⁡θ<0\tan \theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot \theta < 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bölgelerdeki işaret kurallarını uygulamak gerekir.
2
cc ifadesinin işaretini ve değer aralığını bulmak.
c=sin⁡θcos⁡θc = \sin \theta \cos \theta ifadesinde sin⁡θ>0\sin \theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos \theta < 0 olduğundan çarpım negatiftir. Yarım açı formülüyle c=sin⁡(2θ)2c = \frac{\sin(2\theta)}{2} yazılır. 2θ∈(4π3,3π2)2\theta \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}) yani (240∘,270∘)(240^\circ, 270^\circ) aralığındadır. Bu aralıkta sin⁡(2θ)∈(−1,−32)\sin(2\theta) \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) olduğundan, c∈(−0.5,−34)c \in (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{4}) olur.
cc teriminin sıfırdan küçük olduğunu ve değer sınırlarını netleştirmek sıralamada kesinlik sağlar.
3
aa ifadesini yarım açı formülüyle analiz etmek.
a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta) olur. 2θ∈(240∘,270∘)2\theta \in (240^\circ, 270^\circ) aralığında kosinüs negatiftir ve cos⁡(2θ)∈(−0.5,0)\cos(2\theta) \in (-0.5, 0) aralığındadır. Önündeki eksi işaretiyle birlikte a=−cos⁡(2θ)∈(0,0.5)a = -\cos(2\theta) \in (0, 0.5) olur.
aa ifadesinin pozitif olduğunu ve üst sınırının 0.50.5 olduğunu saptayarak diğer terimlerle karşılaştırma altyapısını kurmak.
4
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirip aralığını bulmak.
b=1−tan⁡θ1−1tan⁡θ=1−tan⁡θtan⁡θ−1tan⁡θ=−tan⁡θb = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} = \frac{1 - \tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} = -\tan \theta elde edilir. θ∈(120∘,135∘)\theta \in (120^\circ, 135^\circ) aralığında tan⁡θ∈(−3,−1)\tan \theta \in (-\sqrt{3}, -1) olduğundan, b=−tan⁡θ∈(1,3)b = -\tan \theta \in (1, \sqrt{3}) aralığındadır.
bb ifadesinin sadeleşmiş halini bulup sayısal değer sınırlarını diğer ifadelerle kıyaslanabilir hale getirmek.
5
Elde edilen değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı oluşturmak.
c<0c < 0, 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>1b > 1 aralıkları birleştirildiğinde c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınırları sayı doğrusu mantığıyla dizerek nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 28Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
bb ifadesisinin değeri negatif, cc ifadesinin değeri 11 ve aa ifadesinin değeri 22'den büyüktür. Bu durumda küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin kareköklü terimlerini ortak paydaya getirerek veya eşlenik kullanarak sadeleştirme.
a=2tan⁡xa = 2\tan x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olduğundan a>2a > 2 bulunur.
Üçüncü bölgede sin⁡x∈(−1,0)\sin x \in (-1, 0) olduğundan 1−sin⁡x>01 - \sin x > 0 ve 1+sin⁡x>01 + \sin x > 0 olur. Ayrıca cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan kök dışına çıkarılırken işaretlere dikkat edilmelidir.
2
bb ifadesinin payındaki iki kare farkını uygulayarak sadeleştirme yapma.
b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan b<0b < 0 bulunur.
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesi (sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğu için pay (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) halini alır ve paydadaki terimle sadeleşir.
3
cc ifadesindeki fonksiyonları temel sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x cinsinden yazarak sadeleştirme.
c=1c = 1 elde edilir.
Paydaki tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} ve paydadaki sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri birbirini sadeleştirerek sabit 11 değerini verir.
4
Elde edilen a>2a > 2, b<0b < 0 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırarak sıralama.
b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Negatif bir değer (bb) her zaman 11'den (cc) ve 22'den büyük bir değerden (aa) küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 29Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x
b=tan⁡x−cot⁡xsec⁡x−csc⁡xb = \frac{\tan x - \cot x}{\sec x - \csc x}
c=1−sin⁡2xcos⁡x⋅cot⁡xc = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x \cdot \cot x}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Sadeleştirmeler sonucunda a=2sin⁡x−cos⁡xa = 2\sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x ifadelerine ulaşılır. Tanımlanan bölgede cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan, iki negatif sayının toplamı olan bb ifadesi en küçük negatif değerdir. aa ise en büyük değere (sıfıra en yakın) sahiptir. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesindeki köklü kısmı tam kare özdeşliği kullanarak mutlak değer dışına çıkarırız.
1−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 olduğundan (sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak çıkar. Buradan a=sin⁡x−cos⁡x+sin⁡x=2sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x + \sin x = 2\sin x - \cos x elde edilir.
Köklü ifadeleri sadeleştirmek ve bölge analizine göre mutlak değerden kurtulmak için.
2
bb ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazarak sadeleştiririz.
b=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xsin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x=sin⁡x+cos⁡xb = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x} = \sin x + \cos x bulunur.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi en sade biçimine getirmek için.
3
cc ifadesini temel trigonometrik özdeşliklerle sadeleştiririz.
1−sin⁡2x=cos⁡2x1 - \sin^2 x = \cos^2 x ve cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazılırsa, c=cos⁡2xcos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=cos⁡2xcos⁡2xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos^2 x}{\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin x}} = \sin x elde edilir.
Pay ve paydadaki sadeleşebilir terimleri belirleyerek tek bir fonksiyon elde etmek için.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre elde edilen aa, bb ve cc değerlerini sıralarız.
Bu aralıkta cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır. b−c=(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=cos⁡x<0  ⟹  b<cb - c = (\sin x + \cos x) - \sin x = \cos x < 0 \implies b < c olur. a−c=(2sin⁡x−cos⁡x)−sin⁡x=sin⁡x−cos⁡x>0  ⟹  c<aa - c = (2\sin x - \cos x) - \sin x = \sin x - \cos x > 0 \implies c < a olur. Buradan b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Sadeleşmiş ifadeleri üçüncü bölgedeki açı değerlerinin büyüklük ilişkilerine göre karşılaştırmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bölgelerdeki açıların trigonometrik değerlerini sıralama.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1+2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} + \sin x
b=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xb = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x

ifadeleri veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<ac < b < a

Cevap

c<b<ac < b < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan aa ifadesi mutlak değer dışına −(sin⁡x+cos⁡x)-(\sin x + \cos x) olarak çıkar ve −cos⁡x-\cos x değerine sadeleşir. bb ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olur. c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinin değeri ise dördüncü bölgede −2-2 değerinden küçüktür. Bu durumda elde edilen aralıklar sırasıyla c<−2c < -2, −1.414<b<−1-1.414 < b < -1 ve −0.707<a<0-0.707 < a < 0 şeklinde olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) aralığına göre sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x fonksiyonlarının işaretlerini belirleme ve aa ifadesini sadeleştirme.
Bu aralıkta sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0 ve ∣sin⁡x∣>cos⁡x|\sin x| > \cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. a=(sin⁡x+cos⁡x)2+sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣+sin⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)+sin⁡x=−cos⁡xa = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} + \sin x = |\sin x + \cos x| + \sin x = -(\sin x + \cos x) + \sin x = -\cos x elde edilir. cos⁡x∈(0,22)\cos x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğundan a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) aralığındadır.
Kareköklü ifadenin mutlak değer dışına doğru işaretle çıkarılması ve ifadenin sınırlarının belirlenmesi için gereklidir.
2
bb ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirme ve sınırlarını belirleme.
b=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)⋅1sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xb = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \cdot 1}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x∈(−1,−22)\sin x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ve −cos⁡x∈(−22,0)-\cos x \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, bu iki değer toplandığında b=sin⁡x−cos⁡x∈(−2,−1)b = \sin x - \cos x \in (-\sqrt{2}, -1) aralığında yer alır.
İfadenin sade hali üzerinden büyüklük karşılaştırması yapabilmek için gereklidir.
3
cc ifadesini tanjant ve kotanjantın özelliklerini kullanarak analiz etme.
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinde, x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) için tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x∈(−1,0)\cot x \in (-1, 0) olur. u=∣tan⁡x∣>1u = |\tan x| > 1 dersek, c=−(u+1u)c = -\left(u + \frac{1}{u}\right) yazılabilir. Her u>1u > 1 için u+1u>2u + \frac{1}{u} > 2 olduğundan, c<−2c < -2 elde edilir.
cc ifadesinin alabileceği değerlerin üst sınırını belirlemek için gereklidir.
4
Elde edilen aa, bb ve cc aralıklarını karşılaştırarak nihai sıralamayı bulma.
c<−2c < -2, b∈(−2,−1)b \in (-\sqrt{2}, -1) ve a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, aralıklar kesişmez ve doğrudan c<b<ac < b < a sıralaması elde edilir.
Her üç ifadenin de sayı doğrusundaki konumlarını netleştirip sıralamayı tamamlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi, bölgelere göre işaret tespiti ve trigonometrik değerlerin sıralanması.

Alternatif Yöntem

Sıralamayı daha rahat görebilmek için verilen aralıktan özel bir açı seçilebilir. Örneğin x=300∘x = 300^\circ (x=5π3x = \frac{5\pi}{3}) için değerler hesaplanırsa: a=1+2sin⁡300∘cos⁡300∘+sin⁡300∘=∣sin⁡300∘+cos⁡300∘∣+sin⁡300∘=∣−32+12∣−32=−(−32+12)−32=−12=−0.5a = \sqrt{1 + 2\sin 300^\circ \cos 300^\circ} + \sin 300^\circ = |\sin 300^\circ + \cos 300^\circ| + \sin 300^\circ = |-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}| - \frac{\sqrt{3}}{2} = -(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5. b=sin⁡300∘−cos⁡300∘=−32−12≈−0.866−0.5=−1.366b = \sin 300^\circ - \cos 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \approx -0.866 - 0.5 = -1.366. c=tan⁡300∘+cot⁡300∘=−3−13≈−1.732−0.577=−2.309c = \tan 300^\circ + \cot 300^\circ = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -1.732 - 0.577 = -2.309. Bu değerler karşılaştırıldığında −2.309<−1.366<−0.5-2.309 < -1.366 < -0.5 olduğu için c<b<ac < b < a sıralaması kolayca doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 31Soru →

3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi koşulunu sağlayan bir xx gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler tanımlanıyor:

a=1−2sin⁡xcos⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x}
b=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xb = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xsec⁡x⋅csc⁡xc = \frac{\tan x + \cot x}{\sec x \cdot \csc x}

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralaması küçükten büyüğe b < c < a şeklindedir.
Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=1c = 1 elde edilir. Verilen aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten daha büyük ve işareti negatif olduğundan, bu iki değerin toplamı olan bb ifadesi negatiftir (b<0b < 0). aa ifadesinde ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için sonuç 11'den büyüktür (a>1a > 1). cc değeri ise her durumda 11'e eşit olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla bb, cc ve aa şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip sinüs ve kosinüs de��erlerinin işaret ve büyüklük ilişkilerini analiz edin.
3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi aralığı birim çemberde ikinci bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 (pozitif) ve cos⁡x<0\cos x < 0 (negatif) olup, mutlak değerce ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x (yani −cos⁡x>sin⁡x-\cos x > \sin x) ilişkisi vardır.
Açının sinüs değeri 00 ile 22\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alırken, kosinüs değeri −1-1 ile −22-\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alır.
2
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını bulun.
a=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣a = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değerin içi pozitiftir: a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x. sin⁡x>0\sin x > 0 ve −cos⁡x>22-\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} olduğundan a>1a > 1 bulunur.
Tam kare özdeşliği ve kareköklü ifadelerin mutlak değer dışına çıkarılması kuralı uygulanmıştır.
3
bb ifadesini sadeleştirip işaretini belirleyin.
İki küp toplamı özdeşliğinden pay sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) olarak yazılır. Paydadaki 1−sin⁡xcos⁡x1 - \sin x \cos x terimi ile sadeleştirme yapıldığında b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğu için b<0b < 0 olur.
Çarpanlara ayırma kuralları ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliği kullanılmıştır.
4
cc ifadesini sadeleştirip değerini bulun.
c=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x1cos⁡x⋅1sin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = 1 bulunur.
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının temel tanımları yerine yazılarak rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılmıştır.
5
Elde edilen sonuçları büyüklüklerine göre sıralayın.
b<0b < 0, c=1c = 1 ve a>1a > 1 olduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a olur.
Negatif sayılar daima pozitif sayılardan küçüktür ve aa değeri cc sabitinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember yardımıyla değerlerin bölgelere göre sıralanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 32Soru →
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) olmak üzere,
a=1csc⁡x−cot⁡x−1csc⁡x+cot⁡xa = \frac{1}{\csc x - \cot x} - \frac{1}{\csc x + \cot x}
b=sin⁡x1+cos⁡x+cot⁡xb = \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \cot x
c=cos⁡x1−sin⁡x−tan⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \tan x
olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Verilen aralıkta her bir ifade özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirildiğinde a=2cot⁡xa = 2\cot x, b=csc⁡xb = \csc x ve c=sec⁡xc = \sec x olarak bulunur. x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığında bb pozitif değer alırken, aa ve cc negatif değerler alır. Negatif değerlerden c=sec⁡x≤−2c = \sec x \le -2 aralığında yer alırken, a=2cot⁡xa = 2\cot x değeri −2-2 ile 00 arasında (yaklaşık olarak −1.15-1.15 ile 00 arasında) yer alır. Bu durumda c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin paydalarını eşitleyerek ortak paydada yazınız.
a=2cot⁡xa = 2\cot x
csc⁡2x−cot⁡2x=1\csc^2 x - \cot^2 x = 1 temel özdeşliği kullanılarak ifadenin paydası 11 yapılır ve sadeleşme sağlanır.
2
bb ifadesinde cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
b=csc⁡xb = \csc x
Pay kısmındaki sin⁡2x+cos⁡2x+cos⁡x=1+cos⁡x\sin^2 x + \cos^2 x + \cos x = 1 + \cos x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir ve tek bir fonksiyon elde edilir.
3
cc ifadesinde tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
c=sec⁡xc = \sec x
Pay kısmındaki cos⁡2x+sin⁡2x−sin⁡x=1−sin⁡x\cos^2 x + \sin^2 x - \sin x = 1 - \sin x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir.
4
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığı için sadeleştirilen fonksiyonların değer aralıklarını ve işaretlerini belirleyerek karşılaştırınız.
c<a<bc < a < b
İkinci bölgede 2cot⁡x2\cot x negatif ve −1.15-1.15 ile 00 arasında, csc⁡x\csc x pozitif ve 11 ile 1.1551.155 arasında, sec⁡x\sec x ise negatif ve −2-2 veya daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler Yardımıyla Sadeleştirme ve Bölgelere Göre Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=sec⁡x+csc⁡xc = \sec x + \csc x

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a < b < c
Verilen aralıkta a<2a < 2, b>2b > 2 ve c=a⋅b>bc = a \cdot b > b olduğundan doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların sınırlarını belirlemek.
x∈(π/4,π/2)x \in (\pi/4, \pi/2) aralığı için sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir. Ayrıca, 2x∈(π/2,π)2x \in (\pi/2, \pi) olduğundan 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 olur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını tespit ederek sıralama kriterlerini oluşturmak.
2
aa ve bb değerlerinin sınırlarını analiz etmek.
a=sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π/4)a = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4) yazılır. x+π/4∈(π/2,3π/4)x + \pi/4 \in (\pi/2, 3\pi/4) olduğundan sin⁡(x+π/4)∈(2/2,1)\sin(x+\pi/4) \in (\sqrt{2}/2, 1) ve buradan a∈(1,2]a \in (1, \sqrt{2}] elde edilir. b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=2sin⁡2xb = \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} olur. sin⁡2x<1\sin 2x < 1 olduğundan b>2b > 2'dir. Buradan a<ba < b sonucu çıkar.
İfadeleri sadeleştirerek net sayısal aralıklara ulaşmak.
3
cc değerini aa ve bb cinsinden yazıp karşılaştırmak.
c=sec⁡x+csc⁡x=1cos⁡x+1sin⁡x=sin⁡x+cos⁡xsin⁡xcos⁡x=a⋅bc = \sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = a \cdot b olur. a>1a > 1 ve b>2b > 2 olduğundan, c=a⋅b>bc = a \cdot b > b elde edilir.
Çarpımsal ilişkiyi kullanarak en büyük değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların belirli bölgelerde aldığı değer aralıklarının karşılaştırılması ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi.
Soru 34Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−cos⁡x1+cos⁡x−1+cos⁡x1−cos⁡xa = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}
b=sin⁡x1−cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x}
c=cos⁡x1−sin⁡x−1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{\cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilen ifadelerin işaretleri ve değer aralıkları belirlendiğinde c < b < a sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=−2cot⁡xa = -2\cot x
Kök içindeki ifadeler eşlenikleriyle çarpılarak kareleri elde edilir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak sadeleştirme tamamlanır.
2
b ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
b=2cot⁡xb = 2\cot x
Paydalar eşitlenip ortak çarpan parantezine alındığında pay kısmında 2cos⁡x(1−cos⁡x)2\cos x(1 - \cos x) ve paydada sin⁡x(1−cos⁡x)\sin x(1 - \cos x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2cos⁡xsin⁡x\frac{2\cos x}{\sin x} olur.
3
c ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
c=2tan⁡xc = 2\tan x
Paydalar eşitlenip cos⁡2x−1=−sin⁡2x\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x özdeşliği kullanıldığında pay kısmında 2sin⁡x(1−sin⁡x)2\sin x(1 - \sin x) ve paydada cos⁡x(1−sin⁡x)\cos x(1 - \sin x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} olur.
4
Tanımlı xx açısının bulunduğu aralığa göre değerlerin işaret ve büyüklüklerini karşılaştırınız.
c<b<ac < b < a
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 dır. Buna göre c=2tan⁡x<−2c = 2\tan x < -2, b=2cot⁡x∈(−2,0)b = 2\cot x \in (-2, 0) ve a=−2cot⁡x∈(0,2)a = -2\cot x \in (0, 2) elde edilerek sıralama bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 35Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x

ifadelerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta kosinüs ve sinüs negatif olduğundan, çarpımları olan aa pozitif ve a∈(0,0.5)a \in (0, 0.5) aralığındadır. bb ifadesi tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1a\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} özdeşliğine eşit olduğundan b>2b > 2 olur. Son olarak, bu aralıkta kosinüs değeri sinüs değerinden daha küçük olduğundan c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x farkı negatif çıkacaktır. Bu durumda en küçük ifade negatif olan cc, en büyük ifade ise 22'den büyük olan bb olur. Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini ve bölgelerini belirleme
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Üçüncü bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini doğru belirlemek sıralama yapmanın ilk adımıdır.
2
aa ve bb ifadelerinin analizi ve karşılaştırılması
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x çarpımı, iki negatif değerin çarpımı olduğu için pozitiftir (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1ab = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) için 2x∈(2π,5π2)2x \in \left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right) olup birinci bölgededir. Burada a=12sin⁡(2x)a = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri (0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right) aralığındadır. Dolayısıyla b=1a>2b = \frac{1}{a} > 2 bulunur. Buradan 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>2b > 2 olduğu için a<ba < b elde edilir.
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla aa cinsinden yazarak iki pozitif değeri karşılaştırmak kolaylaşır.
3
cc ifadesinin işaretini belirleme ve son sıralamayı yapma
Üçüncü bölgenin ilk yarısında, yani (π,5π4)\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında, cos⁡x\cos x değeri sin⁡x\sin x değerinden daha küçüktür (örneğin x=210∘x = 210^\circ için cos⁡210∘=−32≈−0.866\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ve sin⁡210∘=−0.5\sin 210^\circ = -0.5 olup −0.866<−0.5-0.866 < -0.5 tir). Bu nedenle cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 yani c<0c < 0 bulunur. Sonuç olarak c<0<a<bc < 0 < a < b olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Negatif olan cc değerinin pozitif olan aa ve bb değerlerinden küçük olduğunu belirterek sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Üçüncü bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri, tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} özdeşliği ve değer sıralaması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x

olarak tanımlanıyor. Buna göre; KK, LL ve MM değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın��z.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen aralıkta bulunan değerlerin do��ru sıralaması K < L < M şeklindedir.
Verilen açı aralığında sinüs ve kosinüs negatif değerler alırken, tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır. İki negatif değerin toplamı olan ilk ifade negatif, çarpımları olan ikinci ifade pozitif fakat yarım değerden küçük, tanjant ile kotanjantın toplamı olan üçüncü ifade ise 2'den büyüktür. Bu durum en küçük değerin negatif olan ifade, en büyük değerin ise 2'den büyük olan ifade olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Aç��nın bulunduğu bölgeyi belirleme ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz etme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde üçüncü bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bu bölgedeki işaretlerini ve sınır değerlerini belirlememiz gerekir.
2
K ifadesinin değer aralığını bulma
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan K<0K < 0 olur. Hatta bu aralıkta K∈(−2,−1)K \in (-\sqrt{2}, -1) aralığındadır.
Negatif iki sayının toplamının daima negatif olmasından yararlanılır.
3
L ifadesinin değer aralığını bulma
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x ifadesinde negatif iki sayının çarpımı pozitif olacağından L>0L > 0 olur. Yarım açı formülünden L=sin⁡(2x)2L = \frac{\sin(2x)}{2} yazılabilir. 2x∈(5π2,3π)2x \in \left(\frac{5\pi}{2}, 3\pi\right) yani ikinci bölgeye düştüğü için sin⁡(2x)∈(0,1]\sin(2x) \in (0, 1] olur. Buradan L∈(0,05]L \in (0, 0{}5] elde edilir.
Çarpım durumundaki sinüs ve kosinüs değerlerinin sınırlarını yarım açı formülüyle belirlemek kolaylık sağlar.
4
M ifadesinin değer aralığını bulma
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x ifadesinde, üçüncü bölgenin bu kısmında tan⁡x>1\tan x > 1 ve cot⁡x<1\cot x < 1'dir. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM) veya özdeşlikler kullanıldığında, pozitif bir sayı ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 olur (a+1a≥2a + \frac{1}{a} \ge 2). Dolayısıyla M≥2M \ge 2'dir.
Pozitif reel sayıların kendisi ile tersinin toplamının sınır değer özelliğini kullanarak M değerinin alt sınırını buluruz.
5
Elde edilen aralıkları karşılaştırma
K<0K < 0, 0<L≤050 < L \le 0{}5 ve M≥2M \ge 2 olduğundan K<L<MK < L < M sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınır değerleri birbiriyle çakışmadığı için kesin sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki bölgelere göre işaret ve değer aralıklarının belirlenmesi.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer seçilerek (örneğin x=240∘x = 240^\circ) yaklaşık değerler hesaplanabilir: sin⁡(240∘)=−32≈−086\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{}86, cos⁡(240∘)=−05\cos(240^\circ) = -0{}5. Buradan K≈−136K \approx -1{}36, L=043L = 0{}43, M=3+13≈23M = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2{}3 bulunur ve K<L<MK < L < M şeklinde sıralanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →
x∈(5π4,4π3)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) olmak üzere,
a=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xa = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}
b=1+2sin⁡xcos⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x}
c=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xc = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<c<ba < c < b

Cevap

a < c < b sıralaması doğrudur.
Sadeleştirmeler yapıldığında a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x, b=−(sin⁡x+cos⁡x)b = -(\sin x + \cos x) ve c=tan⁡x−cot⁡xc = \tan x - \cot x elde edilir. Verilen aralıkta a<0a < 0, c>0c > 0 ve b>0b > 0 olduğu belirlenir. bb ve cc arasındaki fark incelendiğinde b>cb > c olduğu görülür. Dolayısıyla en küçük negatif olan aa, ardından cc ve en büyük pozitif olan bb şeklinde a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ve a<0a < 0
Pay kısmındaki sin⁡3x+cos⁡3x\sin^3 x + \cos^3 x ifadesi, küp toplamı formülüyle (sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) olarak çarpanlarına ayrılır. Paydadaki 1−sin⁡xcos⁡x1 - \sin x \cos x ile sadeleştiğinde a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x kalır. Üçüncü bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan toplamları da negatiftir.
2
b ifadesini karekök dışına çıkarma ve işaretini belirleme
b=−(sin⁡x+cos⁡x)b = -(\sin x + \cos x) ve b>0b > 0
1+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 özdeşliğinden faydalanarak b=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir. Üçüncü bölgede sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan, ifade mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar.
3
c ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme
c=tan⁡x−cot⁡xc = \tan x - \cot x ve c>0c > 0
c=sin⁡2xsin⁡xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=tan⁡x−cot⁡xc = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} = \tan x - \cot x olur. x∈(5π4,4π3)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) aralığında x>5π4x > \frac{5\pi}{4} olduğundan tan⁡x>tan⁡5π4=1\tan x > \tan\frac{5\pi}{4} = 1 ve cot⁡x=1tan⁡x<1\cot x = \frac{1}{\tan x} < 1 olur. Pozitif iki değerin farkından c=tan⁡x−cot⁡x>0c = \tan x - \cot x > 0 bulunur.
4
b ve c ifadelerini karşılaştırma
b>cb > c
b−c=−(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)(1+sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x)b - c = -(\sin x + \cos x) - \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -(\sin x + \cos x)\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}\right) olur. Bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan sin⁡xcos⁡x>cos⁡x−sin⁡x>0\sin x \cos x > \cos x - \sin x > 0 eşitsizliği sağlanır. Buradan b−c>0b - c > 0 yani b>cb > c elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaret analizi ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi

Alternatif Yöntem

Sıralamayı doğrulamak için aralıktan temsilî bir açı seçilebilir. Örneğin x=230∘x = 230^\circ seçilerek fonksiyonların yaklaşık değerleri hesaplanabilir: a≈−0.77−0.64=−1.41a \approx -0.77 - 0.64 = -1.41, b≈1.41b \approx 1.41, c=tan⁡230∘−cot⁡230∘≈1.19−0.84=0.35c = \tan 230^\circ - \cot 230^\circ \approx 1.19 - 0.84 = 0.35. Buradan a<c<ba < c < b sıralaması kolayca görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 38Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x1+cos⁡xa = \frac{\sin x}{1 + \cos x}
b=sin⁡x1−cos⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x}
c=tan⁡xc = \tan x

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<ac < b < a

Cevap

c<b<ac < b < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralık ikinci bölgede olduğu için sinüs pozitif, kosinüs ve tanjant negatiftir. Bu nedenle tanjantı temsil eden değer negatif olup en küçüktür. Diğer iki ifade ise pozitif terimlerden oluşur. Kosinüs negatif olduğu için çıkartma işlemi paydayı büyütür, toplama işlemi ise küçültür. Paydası büyük olan kesrin değeri daha küçük olacağından, çıkarma işlemi içeren kesirli ifade toplama işlemi içeren kesirli ifadeden daha küçüktür. Bu da aranan doğru sıralamayı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini belirleme
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığı birim çemberde ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede: sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve tan⁡x<0\tan x < 0'dır.
Sıralama yaparken pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
cc değerinin işaretini ve diğerleriyle ilişkisini inceleme
c=tan⁡x<0c = \tan x < 0'dır. Diğer taraftan a=sin⁡x1+cos⁡xa = \frac{\sin x}{1 + \cos x} ifadesinde pay (sin⁡x>0\sin x > 0) ve payda (cos⁡x>−1\cos x > -1 olduğundan 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0) pozitiftir. Benzer şekilde b=sin⁡x1−cos⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} ifadesinde de pay ve payda (cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>01 - \cos x > 0) pozitiftir. Buradan a>0a > 0 ve b>0b > 0 olduğu görülür. Dolayısıyla, negatif olan cc değeri en küçüktür: c<ac < a ve c<bc < b.
Hangi değişkenlerin pozitif hangi değişkenlerin negatif olduğunu saptayarak en küçük terimi belirlemek için.
3
aa ve bb pozitif değerlerini karşılaştırma
cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, −cos⁡x>cos⁡x-\cos x > \cos x yazılabilir. Her iki tarafa 11 eklersek 1−cos⁡x>1+cos⁡x1 - \cos x > 1 + \cos x elde edilir. Paydalar pozitif olduğundan, çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir: 11−cos⁡x<11+cos⁡x\frac{1}{1 - \cos x} < \frac{1}{1 + \cos x}. Her iki tarafı pozitif olan sin⁡x\sin x ile çarparsak: sin⁡x1−cos⁡x<sin⁡x1+cos⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} < \frac{\sin x}{1 + \cos x} yani b<ab < a bulunur.
Pozitif iki kesirli ifadenin paydalarını karşılaştırarak büyüklük ilişkisini kurmak için.
4
Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirme
c<0c < 0, b>0b > 0, a>0a > 0 ve b<ab < a olduğundan, nihai sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Tüm adımlardan gelen sonuçları tek bir sıralama altında bir araya getirmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla sıralama yapılması

İpuçları

1
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) açısının birim çemberde hangi bölgede olduğunu ve bu bölgede sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının işaretlerini belirleyin.
2
Belirlediğiniz işaretlere göre aa, bb ve cc sayılarının işaretlerini bulun. Negatif olan sayının en küçük olacağını unutmayın.
3
cos⁡x\cos x değeri negatif bir sayı olduğundan, 1+cos⁡x1 + \cos x ile 1−cos⁡x1 - \cos x ifadelerinden hangisinin daha büyük olduğunu karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir sıralama sorusunu üçüncü bölge olan x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı için tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer vererek de sıralama yapılabilir. Örneğin, bu aralıkta bulunan x=150∘x = 150^\circ (5π6\frac{5\pi}{6} radyan) değerini seçelim. sin⁡(150∘)=0.5\sin(150^\circ) = 0.5, cos⁡(150∘)=−32≈−0.866\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ve tan⁡(150∘)=−13≈−0.577\tan(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577 olur. Bu değerler yerine yazıldığında; a=0.51−0.866=0.50.134≈3.73a = \frac{0.5}{1 - 0.866} = \frac{0.5}{0.134} \approx 3.73, b=0.51−(−0.866)=0.51.866≈0.27b = \frac{0.5}{1 - (-0.866)} = \frac{0.5}{1.866} \approx 0.27 ve c≈−0.58c \approx -0.58 elde edilir. Buradan c<b<ac < b < a sıralaması doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 39Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı c < b < a şeklindedir.
Negatif olan tek ifade c olduğu için en küçüktür. Pozitif olan a ve b ifadeleri karşılaştırıldığında, a ifadesinin b ifadesinden farkı iki kat sinüs değeri olup bu değer de ikinci bölgede pozitif olduğundan a, b'den büyüktür. Bu durumda doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0
İki kare farkı özdeşliği kullanılarak pay kısmı sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde yazılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan ifade sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x haline gelir. Bu da (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) olarak çarpanlarına ayrılır ve paydadaki ifadeyle sadeleştiğinde geriye a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x kalır. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, bu fark pozitif bir değer alır.
2
bb ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
b=−sin⁡x−cos⁡x>0b = -\sin x - \cos x > 0
1+2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 özdeşliği kullanılır. İfade kök dışına mutlak değer içinde ∣sin⁡x+cos⁡x∣|\sin x + \cos x| olarak çıkar. x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük ve kosinüs negatif olduğu için toplamları negatiftir. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek b=−sin⁡x−cos⁡xb = -\sin x - \cos x olarak çıkar.
3
cc ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
c=sin⁡2x−cos⁡2x<0c = \sin^2 x - \cos^2 x < 0
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} ve sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri yerine yazılarak oranlandığında paydadaki sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x terimleri sadeleşir ve c=sin⁡2x−cos⁡2xc = \sin^2 x - \cos^2 x kalır. Verilen aralıkta cos⁡2x>sin⁡2x\cos^2 x > \sin^2 x olduğundan fark negatiftir.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
c<b<ac < b < a
cc negatif olduğundan en küçüktür. Pozitif olan aa ve bb değerleri kıyaslandığında ise, a−b=(sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x−cos⁡x)=2sin⁡xa - b = (\sin x - \cos x) - (-\sin x - \cos x) = 2\sin x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0  ⟹  a>ba - b > 0 \implies a > b olur. Buradan doğru sıralama c<b<ac < b < a olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 40Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=cos⁡xcot⁡xa = \frac{\cos x}{\cot x}
b=sec⁡2x−1b = \sqrt{\sec^2 x - 1}
c=1−cos⁡2xcos⁡xc = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < c < b şeklindedir.
Üçüncü bölgede sinüs negatif, tanjant ise pozitiftir. Bu nedenle pozitif olan b en büyük değerdir. Negatif olan a'yı basit kesir olan tanjant ile çarptığımızda sıfıra yaklaşacağından c değeri a'dan büyük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştiriniz.
a=sin⁡xa = \sin x, b=tan⁡xb = \tan x ve c=sin⁡x⋅tan⁡xc = \sin x \cdot \tan x olarak bulunur.
İfadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırabilmek için en sade hallerine ulaşmak gerekir.
2
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyiniz.
Bu aralıkta (üçüncü bölge) sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olur.
Açının bulunduğu bölge, trigonometrik değerlerin işaretini ve büyüklük ilişkisini belirler.
3
Bulunan değerleri ve işaretleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.
a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
b>0b > 0 olduğundan en büyüktür. aa ve cc negatif olup, 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olduğundan a⋅tan⁡x>aa \cdot \tan x > a yani c>ac > a olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 4Sonraki
Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin