Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Soru 1Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir. İkinci bölgenin ilk yarısında yer alan

x

açısı için sinüs değeri pozitif olup kosinüsün mutlak değerinden büyüktür, bu sebeple

a = \sin x + \cos x > 0

olur.

c = \sin x \cdot \cos x

ifadesi zıt işaretli sayıların çarpımı olarak negatiftir ve

(-0.5, 0)

aralığındadır.

b = \tan x + \cot x

ifadesi ise bu negatif çarpımın çarpmaya göre tersi olduğundan

-2

veya daha küçük değerler alır. Bu durum

b < c < a

sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen aralıkta

\sin x

ve

\cos x

fonksiyonlarının işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini belirlemek.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında yani ikinci bölgenin ilk yarısında

\sin x > 0

,

\cos x < 0

ve

\sin x > |\cos x|

olur. Buradan

a = \sin x + \cos x > 0

elde edilir.

a

ifadesinin işaretini belirlemek için.

2

c

ifadesinin işaretini ve alabileceği değer aralığını bulmak.

c = \sin x \cdot \cos x

olup zıt işaretli iki ifadenin çarpımı olduğundan negatiftir. İfadeyi yarım açı formülüyle

c = \frac{\sin(2x)}{2}

olarak yazabiliriz.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

ise

2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})

yani üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu negatif olduğundan

c \in (-0.5, 0)

aralığında yer alır.

c

ifadesinin sınırlarını belirlemek için.

3

b

ifadesini sadeleştirip sınırlarını bulmak ve tüm ifadeleri sıralamak.

b = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{1}{c}

olur.

c \in (-0.5, 0)

aralığında olduğundan,

b = \frac{1}{c} \leq -2

olur. Dolayısıyla

b \leq -2

,

c \in (-0.5, 0)

ve

a > 0

olduğundan doğru sıralama

b < c < a

olarak bulunur.

b

ifadesinin sınırlarını belirleyerek nihai sıralamayı yapmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve İkinci Bölgede Sıralama

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < c < b

c < a < b

a < b < c

b < a < c

c < b < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < c < b$

Cevap

a < c < b

Verilen aralıkta

\sin x > \cos x

olduğundan

a > 0

olur.

b

ve

c

ifadeleri düzenlendiğinde

c = \frac{a}{\sin x \cos x}

ve

b = c(\sin x + \cos x)

elde edilir.

0 < \sin x \cos x < 1/2

olduğundan

c > 2a > a

olur. Ayrıca

\sin x + \cos x > 1

olduğundan

b > c

bulunur. Buradan

a < c < b

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini ve işaretlerini belirleme.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında (birinci bölgenin ikinci yarısında),

\sin x > \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

a = \sin x - \cos x > 0

elde edilir.

Sıralama yapabilmek i��in öncelikle terimlerin işaretlerini ve birbirleriyle olan temel büyüklük ilişkilerini belirlemeliyiz.

2

b

ve

c

ifadelerini ortak paydada yazarak sadeleştirme ve

a

türünden ifade etme.

b = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = \frac{a(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x}

ve

c = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x}

elde edilir.

İfadeleri karşılaştırılabilir hale getirmek için hepsini ortak bir çarpan olan

a

cinsinden yazmak sıralamayı kolaylaştırır.

3

a

,

b

ve

c

değerlerini karşılaştırma.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında

0 < \sin x \cos x < \frac{1}{2}

olduğundan

\frac{1}{\sin x \cos x} > 2

olur. Buradan

c = \frac{a}{\sin x \cos x} > 2a > a

bulunur. Ayrıca aynı aralıkta

1 < \sin x + \cos x < \sqrt{2}

olduğundan

b = c \cdot (\sin x + \cos x) > c

elde edilir. Sonuç olarak

a < c < b

sıralamasına ulaşılır.

Elde edilen oranları ve trigonometrik değerlerin aralıktaki sınırlarını kullanarak nihai sıralamayı belirleriz.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bir aralıkta fonksiyon değerlerini sıralama.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

olarak veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

c < a < b

a < b < c

c < b < a

b < c < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a < b < c

Cevap

Doğru sıralama a < b < c şeklindedir.

Üçüncü bölgede sin x ve cos x negatif, tan x ve cot x ise pozitiftir. Buradan a = sin x * tan x (negatif), b = cos x * cot x (negatif) ve c = sin x * cos x (pozitif) olur. Pozitif olan c en büyüktür. Negatif olan a ve b için verilen aralıkta |sin x| > |cos x| olduğundan |a| > |b| olur. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçük olduğundan a < b elde edilir. Böylece doğru sıralama a < b < c olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel fonksiyonların işaretlerini belirleme

x açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede sin x < 0, cos x < 0, tan x > 0 ve cot x > 0 değerlerini alır.

Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini doğru analiz etmek için.

2

Verilen a, b ve c ifadelerinin işaretlerini hesaplama

a = sin x * tan x çarpım�� (-) * (+) = (-) olur. b = cos x * cot x çarpımı (-) * (+) = (-) olur. c = sin x * cos x çarpımı (-) * (-) = (+) olur. Dolayısıyla c en büyük değerdir.

Pozitif olan c değerinin negatif olan a ve b değerlerinden daha büyük olduğunu tespit etmek için.

3

Negatif olan a ve b değerlerini kendi içinde kar��ılaştırma

a ve b sayılarının negatif olduğunu göz önünde bulundurarak mutlak değerleri üzerinden büyüklük ilişkisi kurmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve sıralaması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \frac{\tan x}{\sin x} \\ b &= \frac{\cot x}{\cos x} \\ c &= \tan x \cdot \cot x \end{aligned}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a < c < b

İkinci bölgenin ikinci yarısında kosinüs negatif ve sinüs pozitif değerler alır. İfadeler sadeleştirildiğinde

a = \sec x

negatif,

b = \csc x

ise

\sqrt{2}

'den büyük pozitif bir değer alır.

c = 1

sabit sayısı da pozitif olduğundan, negatif olan

a

en küçük,

1

'den büyük olan

b

ise en büyük olur. Bu durumda doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen trigonometrik ifadeleri özdeşlikler yardımıyla en sade biçimlerine dönüştürelim.

a = \frac{\sin x / \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x

,

b = \frac{\cos x / \sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sin x} = \csc x

,

c = \tan x \cdot \cot x = 1

elde edilir.

Sıralama yapabilmek için ifadelerin en yalın hallerini bulmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığına göre elde edilen fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyelim.

Bu aralıkta (ikinci bölgenin ikinci yarısı)

\cos x < 0

olduğundan

a = \sec x < 0

olur.

\sin x > 0

olduğundan

b = \csc x > 0

olur.

c = 1

ise pozitif bir sabit değerdir.

Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri sıralamada öncelikli kriterdir. Negatif olan

a

değerinin en küçük olduğu bu aşamada belirlenir.

3

Pozitif olan

b

ve

c

değerlerini kendi aralarında karşılaştıralım.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında

0 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}

aralığındadır. Bu durumda

b = \frac{1}{\sin x} > \sqrt{2} > 1

olur.

c = 1

olduğundan,

c < b

ilişkisi kurulur.

Aynı işaretli değerlerin büyüklük ilişkisini belirlemek için fonksiyonların bu aralıktaki sınır değerleri incelenir.

4

Elde edilen tüm bilgileri birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.

a < 0

,

c = 1

ve

b > \sqrt{2}

olduğundan doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Negatif değer en küçük, değeri en büyük olan pozitif terim ise en büyük olacak şekilde sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

$a = \sin(140^\circ)$
$b = \cos(290^\circ)$
$c = \tan(220^\circ)$

olduğuna göre, bu trigonometrik değerleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı

b < a < c

şeklindedir.

Verilen açıların hepsi birinci bölgedeki dar açılara indirgendiğinde

a = \sin(40^\circ)

,

b = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

değerleri bulunur. Birinci bölgede sinüs artan bir fonksiyon olduğu için

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ)

yani

b < a

olur. Aynı dar açı için tanjant değeri sinüs değerinden büyük olduğundan

\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ)

yani

c > a

olur. Bu durumda doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıları birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade etmek

a = \sin(40^\circ)

,

b = \cos(70^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

olarak bulunur.

Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini kolayca karşılaştırabilmek için tüm değerleri birinci bölgeye taşımalıyız.

2

Kosinüs değerini sinüs değerine dönüştürmek

b = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)

eşitliği elde edilir.

Sinüs ve kosinüs değerlerini birbiriyle kıyaslayabilmek için aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmalıyız.

3

Sinüs değerlerini kendi arasında karşılaştırmak

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ)

olduğundan

b < a

olur.

Birinci bölgede dar açıların ölçüsü büyüdükçe sinüs değerleri de artar.

4

Sinüs ve tanjant değerlerini karşılaştırmak

\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ)

olduğundan

c > a

olur.

Birinci bölgedeki aynı dar açı için tanjant değeri her zaman sinüs değerinden büyüktür.

5

Eşitsizlikleri birleştirmek

b < a < c

sıralaması elde edilir.

b < a

ve

a < c

eşitsizlikleri birleştirildiğinde doğru sıralamaya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Birinci Bölgeye İndirgenmesi ve Karşılaştırılması

Soru 6Soru →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \tan x \\ c &= \sin x - \cot x \end{aligned}

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Verilen

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı için

\sin x

ve

\cos x

negatif,

\tan x

ve

\cot x

ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta

\sin x > \cos x

olduğundan

a = \sin x - \cos x

ifadesi pozitif bir sayıdır.

b

ve

c

ifadelerinde ise negatif değerlerden pozitif değerler çıkarıldığı için sonuçlar negatiftir.

c = \sin x - \cot x

ifadesinde

\cot x > 1

olduğundan sonuç

-1

'den küçüktür.

b = \cos x - \tan x

ise

c

'den daha büyüktür. Bu nedenle sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı 3. bölgededir. Bu aralıkta

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

olur. Ayrıca bu aralıkta

\cos x < \sin x < 0

ve

\cot x > 1 > \tan x > 0

eşitsizlikleri geçerlidir.

3. bölgede birim çember üzerindeki koordinatlar negatiftir ve açının

\pi

ile

\frac{5\pi}{4}

arasında olması,

\cos x

değerinin mutlak değerce

\sin x

değerinden büyük olmasını gerektirir.

2

a = \sin x - \cos x

ifadesinin işaretini belirlemek.

\sin x > \cos x

olduğundan,

a = \sin x - \cos x > 0

olur (pozitiftir).

Daha büyük bir negatif sayıdan daha küçük bir negatif sayı çıkarıldığında sonuç daima pozitif olur.

3

b = \cos x - \tan x

ve

c = \sin x - \cot x

ifadelerinin değer aralıklarını karşılaştırmak.

b

ifadesinde negatif bir değerden pozitif bir değer çıkarıldığı için

b < 0

olur.

c

ifadesinde de negatif bir değerden

1

'den büyük pozitif bir değer çıkarıldığı için

c < -1

olur. Bu iki negatif terim karşılaştırıldığında

b > c

olduğu görülür.

b - c = (\cos x - \tan x) - (\sin x - \cot x) = (\cos x - \sin x) + (\cot x - \tan x)

ifadesinde

\cot x - \tan x

farkı pozitif ve mutlak değerce çok daha baskın olduğundan sonuç pozitif çıkar, bu da

b > c

olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

3. bölgede trigonometrik fonksiyonların işaretleri, değer aralıkları ve sıralama kuralları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 7Soru →

a = \sin(70^\circ)

b = \cos(70^\circ)

c = \tan(70^\circ)

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

b < c < a

a < b < c

c < b < a

a < c < b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < a < c$

Cevap

b < a < c sıralaması doğrudur.

Verilen açının birinci bölgede (

0^\circ < 70^\circ < 90^\circ

) olduğu görülür. Birinci bölgede

45^\circ

'den büyük açıların tanjant değeri daima

1

'den büyüktür, dolayısıyla

c = \tan(70^\circ) > 1

olur. Sinüs değeri ise

1

'den küçük olacağından en büyük değer tanjanttır (

a < c

). Ayrıca birinci bölgede açılar

45^\circ

ile

90^\circ

arasındayken sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür. Yani

\sin(70^\circ) > \cos(70^\circ)

olup

b < a

elde edilir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde

b < a < c

sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanjant değerinin sınırını belirleme

c = \tan(70^\circ) > \tan(45^\circ) = 1

Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artandır ve

45^\circ

üzerindeki açılar için tanjant değeri

1

'den büyüktür.

2

Sinüs değerinin sınırını belirleme ve tanjant ile karşılaştırma

a = \sin(70^\circ) < 1 < c

Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılar için en fazla

1

değerini alabilir. Bu nedenle

a < c

olur.

3

Sinüs ve kosinüs değerlerini karşılaştırma

b = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)

ve

\sin(20^\circ) < \sin(70^\circ)

olduğundan

b < a

olur.

Birinci bölgede sinüs fonksiyonu artan olduğundan

\sin(20^\circ) < \sin(70^\circ)

olur veya

45^\circ

ile

90^\circ

arasındaki açılar için

\sin(x) > \cos(x)

özelliği geçerlidir.

4

Tüm adımları birleştirerek nihai sıralamayı elde etme

b < a < c

Önceki adımlarda elde edilen

b < a

ve

a < c

eşitsizlikleri birleştirildiğinde doğru sıralama bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerinin sıralanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

$a = \sin(70^\circ)$
$b = \cos(160^\circ)$
$c = \tan(200^\circ)$
olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

b < a < c

b < c < a

a < c < b

c < a < b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < c < a$

Cevap

Doğru sıralama b < c < a şeklindedir.

Negatif olan kosinüs değeri en küçük değerdir. Pozitif olan değerlerden tanjant değeri sinüs değerinden daha küçük olduğu için doğru sıralama b < c < a olur.

Adım Adım Çözüm

1

Trigonometrik değerlerin bulundukları bölgelere göre işaretlerini belirleme.

a = \sin(70^\circ) > 0

(1. bölge, pozitif),

b = \cos(160^\circ) < 0

(2. bölge, negatif),

c = \tan(200^\circ) > 0

(3. bölge, pozitif).

Genel büyüklük ve işaret ilişkisini kurmak için.

2

Pozitif olan a ve c değerlerini dar açıya indirgeyerek karşılaştırma.

a = \sin(70^\circ) = \cos(20^\circ) \approx 0{}94

,

c = \tan(200^\circ) = \tan(20^\circ) \approx 0{}36

.
Buradan

c < a

elde edilir.

Pozitif değerlerin kendi arasındaki sıralamasını belirlemek için.

3

Negatif ve pozitif değerleri birleştirerek nihai sıralamayı elde etme.

Negatif olan

b

en küçük değerdir. Pozitif değerler arasında

c < a

olduğundan sıralama

b < c < a

olur.

Tüm değerleri küçükten büyüğe sıralamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açı cinsinden sıralanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

$\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)$ olmak üzere,

x = \frac{\sin^3\theta - \cos^3\theta}{1 + \sin\theta\cos\theta}

y = \frac{1 - \sec^2\theta}{1 - \csc^2\theta}

z = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama z < x < y şeklindedir.

İfadelerin sadeleşmiş biçimleri sırasıyla

x = \sin\theta - \cos\theta

,

y = \tan^4\theta

ve

z = 2\csc\theta

olarak bulunur. Verilen

\theta

aralığında

z

değeri

-2

değerinden küçük negatif bir sayı,

x

değeri

-1

ile

0

arasında negatif bir sayı ve

y

değeri

1

değerinden büyük pozitif bir sayı olduğundan doğru sıralama

z < x < y

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

x

ifadesini çarpanlara ayırma özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.

x = \sin\theta - \cos\theta

Pay kısmındaki

\sin^3\theta - \cos^3\theta

ifadesi küp farkı açılımı ile

(\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)

olarak yazılır.

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

olduğu için bu ifade

(\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)

olur. Payda ile sadeleştiğinde geriye

\sin\theta - \cos\theta

kalır.

2

y

ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla basitleştirin.

y = \tan^4\theta

1 - \sec^2\theta = -\tan^2\theta

ve

1 - \csc^2\theta = -\cot^2\theta

özdeşlikleri yerlerine yazıldığında,

y = \frac{-\tan^2\theta}{-\cot^2\theta} = \frac{\tan^2\theta}{\cot^2\theta} = \tan^4\theta

elde edilir.

3

z

ifadesinde paydaları eşitleyerek sadeleştirme yapın.

z = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta

Paydalar eşlendiğinde pay kısmında

\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta

ifadesi oluşur.

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

olduğundan pay kısmı

2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta)

haline gelir. Paydadaki

1 + \cos\theta

çarpanı ile sadeleştiğinde geriye

\frac{2}{\sin\theta}

kalır.

4

\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)

aralığına göre elde edilen ifadelerin değer sınırlarını karşılaştırın.

z < x < y

Bu aralık birim çemberin üçüncü bölgesindedir. Burada

\sin\theta < \cos\theta < 0

olduğundan,

x = \sin\theta - \cos\theta < 0

olur.

\sin\theta \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

olduğu için

z = \frac{2}{\sin\theta} < -2

bulunur. Üçüncü bölgede

\tan\theta > 1

olduğundan,

y = \tan^4\theta > 1

olur. Bu durumda negatif ve mutlak değerce en büyük olan

z

en küçük, negatif olan

x

ortanca, pozitif olan

y

ise en büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama Analizi

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 10Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Verilen değerlerin işaretleri incelendiğinde

b

değerinin negatif,

a

ve

c

değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. Buradan en küçük değerin

b

olduğu anlaşılır. Pozitif olan

a

ve

c

değerleri birinci bölgeye indirgendiğinde

a = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

olur. Birinci bölgede

\sin(20^\circ) < \tan(40^\circ)

bağıntısı geçerli olduğundan

a < c

elde edilir. Bu durumları birleştirdiğimizde doğru sıralama

b < a < c

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

a

,

b

ve

c

değerlerinin açılarını bulundukları bölgelere göre inceleyip işaretlerini belirleyelim.

160^\circ

ikinci bölgede olduğundan

a = \sin(160^\circ) > 0

(pozitif),

250^\circ

üçüncü bölgede olduğundan

b = \cos(250^\circ) < 0

(negatif) ve

220^\circ

üçüncü bölgede olduğundan

c = \tan(220^\circ) > 0

(pozitif) olur. Buradan negatif olan

b

değerinin en küçük olduğu tespit edilir.

Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri sıralarken işaret analizi yapmak kıyaslamayı büyük ölçüde kolaylaştırır.

2

Pozitif olan

a

ve

c

değerlerini kıyaslayabilmek için açıları birinci bölgeye indirgeyelim.

a = \sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ)

eşitlikleri elde edilir.

Pozitif değerleri büyüklük yönünden karşılaştırmak için hepsini dar açı (birinci bölge) cinsinden ifade etmek gerekir.

3

Birinci bölgedeki

\sin(20^\circ)

ile

\tan(40^\circ)

değerlerini karşılaştıralım.

Birinci bölgede (

0^\circ < x < 90^\circ

) her

x

açısı için

\sin(x) < \tan(x)

eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca açı büyüdükçe sinüs ve tanjant değerleri artar. Bu durumda

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ)

olduğundan

a < c

elde edilir. Negatif olan

b

en küçük olduğuna göre doğru sıralama

b < a < c

olur.

Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların artış eğilimlerini ve birbirleriyle olan büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralamayı tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması ve Bölgelere Göre İndirgeme

Soru 11Soru →

$x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$ olmak üzere,

a = \cos(x - \pi)

b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

b < a < c

c < b < a

a < c < b

a < b < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < c < a$

Cevap

b < c < a

Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde

b

değerinin negatif,

a

ve

c

değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. İkinci bölgenin son kısmında yer alan açılar için kosinüs değerinin mutlak değeri tanjant değerinin mutlak değerinden büyük olduğundan, pozitif halleri karşılaştırıldığında

a

değeri

c

değerinden daha büyük olur. Bu durum en küçük değerin

b

, en büyük değerin ise

a

olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

İfadeleri trigonometrik indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.

a = \cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x

b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x

c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\tan x

Değerleri aynı açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak.

2

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyin.

İkinci bölgede olduğumuz için:

\sin x > 0

\cos x < 0

\tan x < 0

Buna göre:

b = \cos x < 0

(negatif)

a = -\cos x > 0

(pozitif)

c = -\tan x > 0

(pozitif)

Sıralamadaki temel işaret farklılıklarını tespit etmek.

3

a

ve

c

pozitif değerlerini karşılaştırmak için farklarını inceleyin.

a - c = -\cos x - (-\tan x) = \tan x - \cos x = \frac{\sin x - \cos^2 x}{\cos x}

olarak yazılır.

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığında

0 < \sin x < \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

olur.

Pay kısmını

\sin x

cinsinden yazarsak:

\sin x - \cos^2 x = \sin^2 x + \sin x - 1

\sin x = t

dönüşümüyle,

t \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

için

t^2 + t - 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} < 0

olur. Yani pay negatiftir.

Payda olan

\cos x

de ikinci bölgede negatif olduğundan, iki negatifin oranı pozitiftir:

a - c > 0 \implies a > c

.

Aynı işaretli iki ifadenin büyüklük ilişkisini kesin olarak saptamak.

4

Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı oluşturun.

b < 0

ve

a > c > 0

olduğundan, doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Sorunun nihai cevabına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması

Soru 12Soru →

$x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)$ olmak üzere tanımlanan aşağıdaki $a$ , $b$ ve $c$ ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe sıralama c < a < b şeklindedir.

Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde; en küçük değerin negatif ve

-1

'den küçük olan toplam ifadesi, ortanca değerin negatif ancak sıfıra daha yakın olan rasyonel ifade, en büyük değerin ise pozitif olan fark ifadesi olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

İlk ifadenin (

a

) sadeleştirilmesi

a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x}

Paydadaki

\tan x - \cot x

ifadesi

\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

olarak yazılır. Pay ile payda oranlandığında ortak çarpan olan

\sin x - \cos x

sadeleşir.

2

İkinci ifadenin (

b

) sadeleştirilmesi

b = \cos x - \sin x

1 - 2\sin^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x

özdeşliği kullan��lır. Bu ifade iki kare farkı olarak

(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

şeklinde yazılıp paydadaki terimle sadeleştirilir.

3

Üçüncü ifadenin (

c

) sadeleştirilmesi

c = \sin x + \cos x

Pay kısmındaki

\sin^4 x - \cos^4 x

ifadesi iki kare farkı olarak

(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğundan pay

\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

olur ve paydadaki terimle sadeleşir.

4

İfadelerin işaretlerinin ve büyüklüklerinin bölgelere göre analizi

c < a < b

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı 3. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta

-1 < \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0

bağıntısı geçerlidir. Buradan

b = \cos x - \sin x > 0

bulunur.

c = \sin x + \cos x < -1

ve

a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x} \in (-0.354, 0)

olduğundan

c < a < b

sıralaması elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.

Soru 13Soru →

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ olmak üzere,

a = \frac{\cos(x) \tan(x) \csc^2(x) - \sin(x)}{\csc^2(x) - 1}

b = \frac{\tan(x) - \sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}

c = \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{1 - \sin(x)\cos(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

b < a < c

a < c < b

c < a < b

b < c < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < b < c$

Cevap

a < b < c

(sinüs değerinin tanjant değerinden, tanjant değerinin de sinüs ile kosinüs toplamından küçük olduğu sıralama)

Verilen cebirsel trigonometrik ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sin(x)

,

b = \tan(x)

ve

c = \sin(x) + \cos(x)

değerleri bulunur.

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında,

\sin(x) < \tan(x) < 1

eşitsizliği geçerlidir. Diğer taraftan, aynı aralıkta yer alan açıların sinüs ve kosinüs toplamları daima

1

den büyük bir değere sahip olduğundan en büyük değer

c

olur. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe doğru

a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.

a = \sin(x)

a

ifadesinin payındaki

\cos(x) \tan(x) = \sin(x)

yazımı kullanılır. Buradan pay kısmı

\sin(x) \csc^2(x) - \sin(x) = \csc(x) - \sin(x) = \frac{1}{\sin(x)} - \sin(x) = \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}

olur. Paydada ise

\csc^2(x) - 1 = \cot^2(x) = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}

özdeşliği yerine konulur. İfadeler birbirine oranlandığında

\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \sin(x)

elde edilir.

2

b

ifadesini sadeleştirelim.

b = \tan(x)

b

ifadesinin payındaki

\tan(x) - \sin(x)\cos(x)

terimi

\sin(x)

parantezine alınırsa

\sin(x)\left(\frac{1}{\cos(x)} - \cos(x)\right) = \sin(x)\left(\frac{1 - \cos^2(x)}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin^3(x)}{\cos(x)}

elde edilir. Bu ifade paydadaki

\sin^2(x)

terimine bölündüğünde

\frac{\sin^3(x)}{\cos(x) \sin^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)

sonucuna ulaşılır.

3

c

ifadesini sadeleştirelim.

c = \sin(x) + \cos(x)

c

ifadesinin payındaki iki küp toplamı ifadesi

\sin^3(x) + \cos^3(x) = (\sin(x) + \cos(x))(\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) + \cos^2(x))

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

olduğu bilindiğinden, pay kısmı

(\sin(x) + \cos(x))(1 - \sin(x)\cos(x))

halini alır. Paydadaki

1 - \sin(x)\cos(x)

terimiyle sadeleşme yapıldığında geriye sadece

\sin(x) + \cos(x)

kalır.

4

Sadeleşen

a = \sin(x)

,

b = \tan(x)

ve

c = \sin(x) + \cos(x)

değerlerini

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı için karşılaştıralım.

a < b < c

Birinci bölgenin ilk yarısında (

0 < x < 45^\circ

) kosinüs değeri sinüs değerinden büyüktür (

0 < \sin(x) < \cos(x) < 1

).

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

tanımında payda

1

den küçük pozitif bir sayı olduğundan

\tan(x) > \sin(x)

yani

b > a

olur. Ayrıca bu aralıkta

\tan(x) < \tan(45^\circ) = 1

iken

\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\sin(x + 45^\circ) > 1

(çünkü

45^\circ < x + 45^\circ < 90^\circ

aralığında sinüs değeri

\frac{\sqrt{2}}{2}

den büyüktür) sağlanır. Buradan

c > 1

ve

b < 1

olduğundan

a < b < c

sıralaması kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Dar Açılarda Sıralama

Soru 14Soru →

$a = \sin(100^\circ)$

$b = \cos(220^\circ)$

$c = \tan(315^\circ)$

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

c < b < a

c < a < b

b < a < c

a < b < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c < b < a

Cevap

c < b < a

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir. Çünkü a değeri pozitif iken, b değeri -1 ile 0 arasında negatif bir değer alır ve c değeri tam olarak -1'e eşittir. Bu durumda en küçük değer c, ardından b ve en büyük değer a olur.

Adım Adım Çözüm

1

Açılarının bölgelerini ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleme.

a = \sin(100^\circ) > 0

(II. bölgede sinüs pozitiftir),

b = \cos(220^\circ) < 0

(III. bölgede kosinüs negatiftir),

c = \tan(315^\circ) < 0

(IV. bölgede tanjant negatiftir).

Sıralama yaparken ilk adım olarak değerlerin işaretlerini belirlemek karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

Negatif olan

b

ve

c

değerlerinin büyüklüklerini kıyaslama.

c = \tan(315^\circ) = -1

ve

b = \cos(220^\circ) = -\cos(40^\circ)

olur.

0 < \cos(40^\circ) < 1

olduğundan,

-1 < -\cos(40^\circ) < 0

yani

-1 < b < 0

elde edilir. Buradan

c < b

bulunur.

Her iki değer de negatif olduğundan, sayı doğrusundaki konumlarına göre hangisinin daha küçük olduğunu belirlemek gerekir.

3

Tüm değerleri birleştirerek sıralamayı tamamlama.

c < b < a

a

değeri pozitif,

b

ve

c

değerleri ise negatif olduğundan, en büyük değerin

a

olduğu açıktır. Negatif değerler arasındaki sıralama da eklendiğinde nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve sınır değerleri yardımıyla sıralanması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 15Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten b��yüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Verilen trigonometrik ifadeler aynı cinsten yazıldığında sıralama kolayca yapılabilir.

b = \cos(55^\circ) = \sin(35^\circ)

ve

c = \tan(45^\circ) = 1

olduğu bilinmektedir. Birinci bölgede açısı büyüdükçe sinüs değeri artacağından

\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < 1

sıralaması elde edilir. Bu durumda doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs ifadesini sinüs cinsinden yazınız.

b = \cos(55^\circ) = \sin(90^\circ - 55^\circ) = \sin(35^\circ)

elde edilir.

Farklı trigonometrik fonksiyonları aynı türden yazarak daha kolay karşılaştırmak için tümler açı özdeşliği kullanılır.

2

Tanjant değerini belirleyiniz.

c = \tan(45^\circ) = 1

elde edilir.

45^\circ

açısının tanjantı özel bir değerdir ve karşılaştırma için referans noktası sağlar.

3

Elde edilen tüm değerleri birbiriyle karşılaştırarak sıralayınız.

Birinci bölgede sinüs fonksiyonu artandır. Dolayısıyla

15^\circ < 35^\circ

olduğundan

\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < \sin(90^\circ) = 1

olur. Buradan

a < b < c

sıralamasına ulaşılır.

Birinci bölgedeki dar açıların sinüs değerleri daima

1

’den küçük olduğundan

\tan(45^\circ) = 1

değeri en büyükt��r.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 16Soru →

$x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$ olmak üzere,

a = \frac{\cos(2x)}{\cos(x) + \sin(x)}

b = \frac{2\tan(x)\cos(x)}{\csc(x)}

c = \frac{1 - \tan^2(x)}{\sec^2(x)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a, b ve c değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı a < b < c şeklindedir.

Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıktaki değerleri incelendiğinde; a negatif, b sıfır ile bir bölü iki aralığında pozitif, c ise bir bölü iki ile bir aralığında pozitif değerler alır. Bu durumda en küçük değer a, ortanca değer b ve en büyük değer c olur.

Adım Adım Çözüm

1

a ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

a = \cos(x) - \sin(x)

\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))

iki kare farkı özdeşliği pay kısmında yerine yazılır ve payda ile sadeleştirilir.

2

b ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

b = 2\sin^2(x)

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

ve

\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}

eşitlikleri yerine yazılarak ifade sadeleştirilir.

3

c ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

c = \cos(2x)

\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}

ve

\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}

özdeşlikleri kullanılarak ifade sadeleştirilir.

4

Açı aralığına göre her bir ifadenin işaretini ve alabileceği değer aralığını belirleme

a < 0

,

0 < b < \frac{1}{2}

,

\frac{1}{2} < c < 1

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. Bu nedenle

a = \cos(x) - \sin(x)

ifadesi negatiftir.

\sin(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

olduğundan

b = 2\sin^2(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

olur.

2x \in \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right)

aralığı dördüncü bölgededir ve kosinüs pozitiftir, böylece

c = \cos(2x) \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)

olur.

5

Değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapma

a < b < c

a

negatif,

b

ve

c

pozitif olup

b

değeri

1/2

değerinden küçük,

c

değeri ise

1/2

değerinden büyük olduğu için sıralama bu şekilde elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapma ve bölgelere göre işaret/değer sıralaması gerçekleştirme.

Soru 17Soru →

Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden aşağıdaki trigonometrik değerleri küçükten büyüğe do��ru sıralamalarını istemiştir:

a = \sin(110^\circ)

b = \cos(200^\circ)

c = \tan(250^\circ)

Buna göre, bu değerlerin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

b < c < a

c < b < a

b < a < c

a < c < b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < a < c$

Cevap

b < a < c

Verilen açıların bölgeleri ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretleri incelendiğinde; ikinci bölgedeki

110^\circ

açısının sinüsü pozitif, üçüncü bölgedeki

200^\circ

açısının kosinüsü negatif, üçüncü bölgedeki

250^\circ

açısının tanjantı ise pozitif bir değer alır. Ayrıca

250^\circ

açısının tanjantı olan

\tan(70^\circ)

değeri 1'den büyüktür. Bu durumda negatif olan değer en küçük, 1'den büyük olan tanjant değeri ise en büyük olmalıdır. Dolayısıyla en küçükten en büyüğe doğru sıralama

b < a < c

şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların bulundukları bölgeleri belirleyin.

110^\circ

açısı II. bölgede,

200^\circ

ve

250^\circ

açıları III. bölgededir.

Trigonometrik oranların işaretlerini doğru tespit edebilmek için açıların hangi bölgelerde yer aldığını bilmemiz gerekir.

2

Fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini bulun.

a = \sin(110^\circ) > 0

(II. bölgede sinüs pozitiftir),

b = \cos(200^\circ) < 0

(III. bölgede kosinüs negatiftir),

c = \tan(250^\circ) > 0

(III. bölgede tanjant pozitiftir).

Pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırarak sıralamanın genel yapısını oluşturmak için işaretleri belirleriz.

3

Pozitif olan

a

ve

c

değerlerini indirgeme formülleriyle I. bölgeye taşıyarak karşılaştırın.

a = \sin(110^\circ) = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin(70^\circ)

ve

c = \tan(250^\circ) = \tan(180^\circ + 70^\circ) = \tan(70^\circ)

olur.

\tan(70^\circ) > \tan(45^\circ) = 1

iken

\sin(70^\circ) < 1

olduğundan

a < c

elde edilir.

Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini netleştirmek için I. bölgedeki değer aralıklarını karşılaştırırız.

4

Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayın.

b < 0

ve

0 < a < 1 < c

olduğundan doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Negatif olan en küçük terim ile pozitif olan terimlerin kendi arasındaki büyüklük ilişkisini bir araya getirerek nihai sıralamaya ulaşırız.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve I. bölgeye indirgenerek sıralanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

$a = \sin(200^\circ)$
$b = \cos(290^\circ)$
$c = \tan(130^\circ)$

Yukarıda verilen trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışını oluşturunuz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Tanjant 130 derece < Sinüs 200 derece < Kosinüs 290 derece

Tanjant 130 derece ikinci bölgede negatif olup

-1

'den küçüktür. Sinüs 200 derece üçüncü bölgede negatif olup

-1

ile

0

arasındadır. Kosinüs 290 derece dördüncü bölgede pozitif bir değer alır. Bu durumda en küçük değer tanjant 130 derece, ortanca değer sinüs 200 derece, en büyük değer ise kosinüs 290 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleme

200^\circ

açısı ü��üncü bölgede olup sinüs değeri negatiftir (

a < 0

).

290^\circ

açısı dördüncü bölgede olup kosinüs değeri pozitiftir (

b > 0

).

130^\circ

açısı ikinci bölgede olup tanjant değeri negatiftir (

c < 0

).

Sıralama yaparken ilk adım olarak değerlerin pozitif veya negatif olduğunu belirlemek karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

Negatif olan sinüs ve tanjant değerlerini kendi aralarında karşılaştırma

a = \sin(200^\circ) = -\sin(20^\circ)

değer aralığı

(-1, 0)

arasındadır.

c = \tan(130^\circ) = -\tan(50^\circ)

değerinde,

\tan(50^\circ) > \tan(45^\circ) = 1

olduğu için

c < -1

olur.

Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini belirlemek için mutlak değerce kıyaslama yapılarak negatif işaretin etkisi incelenir.

3

Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama yapma

c < -1

ve

-1 < a < 0

ve

b > 0

olduğundan doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralamaya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değer aralıkları yardımıyla sıralanması

Alternatif Yöntem

Tüm açılar birim çember üzerinde çizilip eksenler üzerindeki izdüşümleri veya tanjant ekseni üzerindeki kesim noktaları görsel olarak kıyaslanarak da sıralama yapılabilir.

Tahmini Süre:50s

Soru 19Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{1 - 2\sin(x)\cos(x)}

b = \frac{\cos^4(x) - \sin^4(x)}{\sin(x) - \cos(x)}

c = \frac{\tan(x) - \cot(x)}{\sec(x)\csc(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

c < b < a

a < b < c

b < c < a

c < a < b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < c < a$

Cevap

b < c < a

Verilen tanım aralığında

a

ifadesi

\sin(x) - \cos(x) > 1

olarak pozitif çıkar,

b

ifadesi

-(\sin(x) + \cos(x)) < 0

olarak negatif çıkar,

c

ifadesi ise

\sin^2(x) - \cos^2(x) \in (0, 1)

olarak pozitif fakat

1

'den küçük çıkar. Bu durumda

b < c < a

sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.

a = \sin(x) - \cos(x)

ve

a \in (1, \sqrt{2})

1 - 2\sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = (\sin(x) - \cos(x))^2

olur. Kareköklü ifade dışarıya mutlak değerle çıkar:

a = |\sin(x) - \cos(x)|

. Verilen

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında (ikinci bölge)

\sin(x) > 0

ve

\cos(x) < 0

olduğundan

\sin(x) - \cos(x) > 0

olur. Bu yüzden mutlak değer dışına aynen çıkar. Bu aralıkta

\sin(x) > -\cos(x) > 0

olduğundan

\sin(x) - \cos(x) > 1

olur.

2

b

ifadesini sadeleştirelim.

b = -(\sin(x) + \cos(x))

ve

b \in (-1, 0)

\cos^4(x) - \sin^4(x) = (\cos^2(x) - \sin^2(x))(\cos^2(x) + \sin^2(x)) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))

olur. Paydadaki

\sin(x) - \cos(x)

ile sadeleştiğinde başa eksi gelir:

b = -(\sin(x) + \cos(x))

. İkinci bölgenin ilk yarısında

\sin(x) > |\cos(x)|

olduğundan

\sin(x) + \cos(x) > 0

olur, dolayısıyla

b < 0

elde edilir.

3

c

ifadesini sadeleştirelim.

c = \sin^2(x) - \cos^2(x)

ve

c \in (0, 1)

Pay kısmında

\tan(x) - \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}

yazılır. Paydadaki

\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}

ile bölündüğünde paydalar sadeleşir ve

c = \sin^2(x) - \cos^2(x)

kalır.

\sin(x) > |\cos(x)|

olduğundan

\sin^2(x) > \cos^2(x)

olur ve

c > 0

bulunur. Değeri

1

'den küçüktür.

4

Elde edilen değerleri karşılaştırarak sıralayalım.

b < c < a

b < 0

,

0 < c < 1

ve

a > 1

olduğundan, doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesi ve belirli bir aralıkta trigonometrik değerlerin işaret ve büyüklük analizine göre sıralanması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 20Soru →

a = \sin(190^\circ)

b = \cos(280^\circ)

c = \tan(100^\circ)

olmak üzere; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

c < b < a

c < a < b

a < c < b

b < a < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $c < a < b$

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Açıların bölgelerine göre işaretleri belirlendiğinde;

280^\circ

IV. bölgede olduğundan kosinüs değeri pozitif (

b > 0

),

190^\circ

III. bölgede olduğundan sinüs değeri negatif (

a < 0

) ve

100^\circ

II. bölgede olduğundan tanjant değeri negatif (

c < 0

) olur. Negatif olan iki değer karşılaştırıldığında,

\tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ) < -1

iken

\sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ) > -1

olduğundan

c < a

elde edilir. Pozitif olan

b

değeri ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama

c < a < b

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Trigonometrik değerlerin açılarının hangi bölgelerde olduğunu belirleme.

190^\circ

açısı III. bölgededir.

280^\circ

açısı IV. bölgededir.

100^\circ

açısı II. bölgededir.

Sıralama yapabilmek için öncelikle açıların koordinat düzlemindeki bölgelerini saptamamız gerekir.

2

Belirlenen bölgelere göre her bir trigonometrik değerin işaretini bulma.

a = \sin(190^\circ) < 0

(III. bölgede sinüs negatiftir).

b = \cos(280^\circ) > 0

(IV. bölgede kosinüs pozitiftir).

c = \tan(100^\circ) < 0

(II. bölgede tanjant negatiftir).

İşaretler sayesinde pozitif olan değerin en büyük olduğunu doğrudan belirleyebiliriz. Bu durumda en büyük değer

b

olacaktır.

3

Negatif olan

a

ve

c

değerlerini kendi aralarında karşılaştırma.

a = \sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ)

olup sıfıra oldukça yakındır (

-1 < a < 0

).

c = \tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ)

olup

-1

'den çok daha küçüktür (

c < -1

).
Buradan

c < a

elde edilir.

Negatif değerlerin sıfıra olan uzaklıkları karşılaştırılarak hangisinin daha küçük olduğu bulunur.

4

Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama.

c < a < b

sıralaması elde edilir.

Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değerlerinin karşılaştırılması

Tahmini Süre:1m 30s

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm