Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 261Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=4g′(2)=6\begin{aligned} g(2) &= 4 \\ g'(2) &= 6 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
f(x)=g(x2−2)+g(x)xf(x) = g(x^2 - 2) + \frac{g(x)}{x}
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında sonuç 26 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği içinin türeviyle çarpılır ve bölümün türevi kuralı doğru uygulanarak x=2x=2 için tüm değerler yerine yazıldığında sonuç 26 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun genel türev ifadesini yazmak için toplamın türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=[g(x2−2)]′+[g(x)x]′f'(x) = [g(x^2 - 2)]' + \left[\frac{g(x)}{x}\right]'
Toplamın türevi, her bir terimin türevlerinin toplamına eşittir.
2
Bileşke fonksiyon ve bölüm fonksiyonu türev kuralları uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.
f′(x)=(x2−2)′⋅g′(x2−2)+g′(x)⋅x−g(x)⋅(x)′x2=2x⋅g′(x2−2)+g′(x)⋅x−g(x)x2f'(x) = (x^2 - 2)' \cdot g'(x^2 - 2) + \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot (x)'}{x^2} = 2x \cdot g'(x^2 - 2) + \frac{g'(x) \cdot x - g(x)}{x^2}
Zincir kuralı ve bölümün türevi kuralı uygulanmıştır.
3
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır ve bilinen g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=6g'(2) = 6 değerleri yerleştirilir.
f′(2)=2(2)⋅g′(22−2)+g′(2)⋅2−g(2)22=4⋅g′(2)+2g′(2)−g(2)4=4(6)+2(6)−44=24+12−44=24+2=26f'(2) = 2(2) \cdot g'(2^2 - 2) + \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{2^2} = 4 \cdot g'(2) + \frac{2g'(2) - g(2)}{4} = 4(6) + \frac{2(6) - 4}{4} = 24 + \frac{12 - 4}{4} = 24 + 2 = 26
Türev değerini bulmak için fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki görüntüsü hesaplanır.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Zincir Kuralı ve Bölümün Türevi)
Soru 262Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b parabolü ile g(x)=cxg(x) = \frac{c}{x} eğrisi x=1x = 1 apsisli ortak noktasında birbirine teğettir. Bu ortak teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 88 olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

a + b + c toplamının doğru değeri 7'dir.
Ortak teğet noktasında fonksiyonların değerleri ve türevleri eşittir. Buradan elde edilen denklemler ve teğet doğrusunun y-eksenini kestiği nokta kullanılarak a, b ve c değerleri sırasıyla -6, 9 ve 4 olarak bulunur. Toplamları ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin x=1x = 1 apsisli ortak noktadaki değerlerini eşitleyin.
f(1)=g(1)  ⟹  1+a+b=c  ⟹  a+b−c=−1f(1) = g(1) \implies 1 + a + b = c \implies a + b - c = -1
Teğet noktasında her iki fonksiyonun da y-değerleri birbirine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonların türevlerini alıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimlerini eşitleyin.
f′(x)=2x+a  ⟹  f′(1)=2+af'(x) = 2x + a \implies f'(1) = 2 + a ve g′(x)=−cx2  ⟹  g′(1)=−cg'(x) = -\frac{c}{x^2} \implies g'(1) = -c olur. Eğimler eşit olduğundan 2+a=−c  ⟹  a+c=−22 + a = -c \implies a + c = -2 elde edilir.
Eğriler teğet noktasında ortak teğet doğrusuna sahip olduklarından türev değerleri aynı olmalıdır.
3
Ortak teğet doğrusunun denklemini yazın ve yy eksenini kestiği noktayı bulun.
Teğet noktası (1,c)(1, c) ve eğim m=−cm = -c olduğundan teğet doğrusunun denklemi y−c=−c(x−1)  ⟹  y=−cx+2cy - c = -c(x - 1) \implies y = -cx + 2c olur. x=0x = 0 için y=2c=8  ⟹  c=4y = 2c = 8 \implies c = 4 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği nokta olan ordinat değerini (8) kullanarak c sabitini elde etmek için.
4
aa, bb ve istenen toplamı hesaplayın.
c=4c = 4 ise a+4=−2  ⟹  a=−6a + 4 = -2 \implies a = -6 olur. a+b−c=−1  ⟹  −6+b−4=−1  ⟹  b=9a + b - c = -1 \implies -6 + b - 4 = -1 \implies b = 9 bulunur. Buradan a+b+c=−6+9+4=7a + b + c = -6 + 9 + 4 = 7 elde edilir.
Bulunan parametreleri yerine koyarak nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, iki eğrinin birbirine teğet olma koşulları ve teğet doğrusu denklemi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 263Soru →
Tanımlı olduğu kümede türevlenebilen bir gg fonksiyonu yardımıyla
f(x)=g(x)−x2x+1f(x) = \frac{g(x) - x^2}{x + 1}
fonksiyonu tanımlanıyor.

g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=9g'(1) = 9 olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

f'(1) değeri 3'tür.
Bölüm türevi kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunda verilen değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını kullanarak f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=(g′(x)−2x)(x+1)−(g(x)−x2)⋅1(x+1)2f'(x) = \frac{(g'(x) - 2x)(x + 1) - (g(x) - x^2) \cdot 1}{(x + 1)^2}
f(x)f(x) fonksiyonu iki fonksiyonun bölümü biçiminde tanımlandığı için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazarak f′(1)f'(1) ifadesini elde ediniz.
f′(1)=(g′(1)−2)(2)−(g(1)−1)4f'(1) = \frac{(g'(1) - 2)(2) - (g(1) - 1)}{4}
Bizden istenen değer x=1x = 1 noktasındaki türev de��eridir.
3
Soruda verilen g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=9g'(1) = 9 değerlerini yerlerine yazarak işlemi sonuçlandırınız.
f′(1)=3f'(1) = 3
Gerekli dört işlem yapıldığında f′(1)=(9−2)⋅2−(3−1)4=14−24=3f'(1) = \frac{(9 - 2) \cdot 2 - (3 - 1)}{4} = \frac{14 - 2}{4} = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi ve temel türev alma kuralları
Soru 264Soru →
f(x)=x3−6x2+9x+af(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a

fonksiyonunun [−1,2][-1, 2] kapalı aralığındaki mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 1616'dır.

Buna göre, aa sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1414

Cevap

Fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum ve minimum değerlerinin toplamından aa parametresi 1414 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum değeri x=1x=1 noktasında a+4a+4 ve mutlak minimum değeri x=−1x=-1 noktasında a−16a-16 olup, bu değerlerin toplamı 2a−12=162a-12=16 eşitliğinden a=14a=14 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alıp kritik noktalarını belirleme
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) elde edilir. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu veya tanımlı olmadığı kritik noktalarda aranır.
2
Aralığa uygun kritik noktaları seçme
x=3x = 3 noktası [−1,2][-1, 2] aralığının dışında kaldığından elenir. İncelenecek tek kritik nokta x=1x = 1 noktasıdır.
Mutlak ekstremum değerleri bulunurken yalnızca verilen kapalı aralığa ait kritik noktalar değerlendirilmelidir.
3
Sınır noktaları ve aralıktaki kritik noktadaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(−1)=(−1)3−6(−1)2+9(−1)+a=a−16f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + a = a - 16
f(1)=13−6(1)2+9(1)+a=a+4f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + a = a + 4
f(2)=23−6(2)2+9(2)+a=a+2f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + a = a + 2
değerleri elde edilir.
Kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, aralığın uç noktalarında veya bu aralıktaki yerel ekstremum noktalarında gerçekleşir.
4
Mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplama
En büyük değer a+4a+4 (mutlak maksimum), en küçük değer ise a−16a-16 (mutlak minimum) olur. Toplamları: (a+4)+(a−16)=2a−12(a+4) + (a-16) = 2a-12 olarak bulunur.
Elde edilen değerler karşılaştırılarak en büyük ve en küçük olanlar mutlak ekstremumlar olarak seçilir.
5
Verilen toplam değerini kullanarak bilinmeyeni çözme
2a−12=16  ⟹  2a=28  ⟹  a=142a - 12 = 16 \implies 2a = 28 \implies a = 14 elde edilir.
Soruda verilen mutlak maksimum ve minimum değerlerin toplamının 16 olması bilgisiyle denklem kurulup çözülür.

Anahtar Kavram

Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri, aralığın uç noktalarındaki değerleri ile aralık içindeki yerel ekstremum değerleri karşılaştırılarak bulunur.
Soru 265Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2
parabolünün x=ax = a apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2
eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu birbirine paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün teğet doğrusu ile eğrinin normal doğrusunun paralel olmasını sağlayan bilinmeyen apsis değeri 2'dir.
Verilen g(x)g(x) eğrisinin x=2x=2 noktasındaki teğetinin eğimi g′(2)=1g'(2) = 1 olarak hesaplanır. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normalin eğimi −1-1 olur. f(x)f(x) parabolünün x=ax=a noktasındaki teğetinin eğimi ise f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 değerine eşittir. Bu iki doğrunun paralel olması, eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan 2a−5=−12a - 5 = -1 denklemi kurulur ve a=2a = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2 fonksiyonunun türevi alınarak x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (mtm_t) hesaplanır.
g′(x)=3x2−6x+1g'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, x=2x = 2 için g′(2)=3(2)2−6(2)+1=1g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 1 = 1 bulunur.
Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) eğrisinin x=2x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimi (mnm_n) hesaplanır.
mn=−1g′(2)=−11=−1m_n = -\frac{1}{g'(2)} = -\frac{1}{1} = -1 olur.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
3
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2 parabolünün türevi alınarak x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi yazılır.
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olup, x=ax = a noktasındaki teğet eğimi f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 olur.
Parabolün teğetinin eğimi, parabol denkleminin o noktadaki türev değeridir.
4
Paralel doğruların eğimlerinin eşitliği kullanılarak aa değeri hesaplanır.
f′(a)=mn  ⟹  2a−5=−1  ⟹  2a=4  ⟹  a=2f'(a) = m_n \implies 2a - 5 = -1 \implies 2a = 4 \implies a = 2 elde edilir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğim ilişkileri ve paralel doğruların eğim eşitliği.
Soru 266Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=1g'(3) = 1
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, f(x)=(x3+1)⋅g(x2−1)f(x) = (x^3 + 1) \cdot g(x^2 - 1) kuralı ile verilen ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60
Çarpım ve zincir kuralları doğru biçimde uygulanarak türev fonksiyonu f′(x)=3x2⋅g(x2−1)+2x(x3+1)⋅g′(x2−1)f'(x) = 3x^2 \cdot g(x^2-1) + 2x(x^3+1) \cdot g'(x^2-1) olarak bulunur. Bu ifadede x=2x=2 yazıldığında f′(2)=12⋅g(3)+36⋅g′(3)f'(2) = 12 \cdot g(3) + 36 \cdot g'(3) elde edilir. Bilinen değerler (g(3)=2g(3)=2 ve g′(3)=1g'(3)=1) yerleştirildiğinde 12⋅2+36⋅1=6012 \cdot 2 + 36 \cdot 1 = 60 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini almak için çarpım kuralını uygulayalım.
f′(x)=(x3+1)′⋅g(x2−1)+(x3+1)⋅[g(x2−1)]′f'(x) = (x^3 + 1)' \cdot g(x^2 - 1) + (x^3 + 1) \cdot [g(x^2 - 1)]' elde edilir.
Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi için [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) kuralı geçerlidir.
2
Bileşke fonksiyonun türevini almak i��in zincir kuralını uygulayarak [g(x2−1)]′[g(x^2 - 1)]' ifadesini bulalım.
[g(x2−1)]′=g′(x2−1)⋅(x2−1)′=g′(x2−1)⋅2x[g(x^2 - 1)]' = g'(x^2 - 1) \cdot (x^2 - 1)' = g'(x^2 - 1) \cdot 2x olur.
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
3
Elde ettiğimiz türev ifadelerini birleştirerek f′(x)f'(x) fonksiyonunu yazalım ve x=2x = 2 değerini yerine koyalım.
f′(x)=3x2⋅g(x2−1)+(x3+1)⋅g′(x2−1)⋅2xf'(x) = 3x^2 \cdot g(x^2 - 1) + (x^3 + 1) \cdot g'(x^2 - 1) \cdot 2x olarak bulunur. x=2x = 2 için f′(2)=3(2)2⋅g(3)+(23+1)⋅g′(3)⋅2(2)=12⋅g(3)+36⋅g′(3)f'(2) = 3(2)^2 \cdot g(3) + (2^3 + 1) \cdot g'(3) \cdot 2(2) = 12 \cdot g(3) + 36 \cdot g'(3) elde edilir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türev değerini bulmak için türev fonksiyonunda o nokta yerine yazılır.
4
Verilen g(3)=2g(3) = 2 ve g′(3)=1g'(3) = 1 değerlerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
f′(2)=12⋅2+36⋅1=24+36=60f'(2) = 12 \cdot 2 + 36 \cdot 1 = 24 + 36 = 60 bulunur.
Soruda verilen fonksiyon ve türev değerleri aritmetik işleme dahil edilerek nihai sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Çarpım ve Zincir Kuralı)
Soru 267Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, bir ff fonksiyonu
f(x)=x2+ax−1f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1}
biçiminde tanımlanıyor.
f′(2)=−3f'(2) = -3 olduğuna göre, aa ger��el sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

a sayıs�� 3'tür.
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2} olarak bulunur. Bu ifadede x=2x=2 yazıldığında f′(2)=−af'(2) = -a elde edilir. Soruda f′(2)=−3f'(2) = -3 verildiğinden −a=−3-a = -3 eşitliğinden a=3a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=2x(x−1)−(x2+a)(x−1)2f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + a)}{(x - 1)^2}
Bölüm durumundaki bir fonksiyonun türevini hesaplamak için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
f′(x)f'(x) ifadesini sadeleştiriniz.
f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2}
Hesaplamaları kolaylaştırmak için türev ifadesini düzenlemek yararlıdır.
3
x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazarak verilen değere eşitleyiniz.
−a=−3  ⟹  a=3-a = -3 \implies a = 3
Verilen f′(2)=−3f'(2) = -3 bilgisi kullanılarak bilinmeyen aa parametresi bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve türev değerinin hesaplanması.
Soru 268Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)={x2+4x+a,x≤1−x2+bx+3,x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + a, & x \le 1 \\ -x^2 + bx + 3, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı 20'dir.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir olması, x = 1 noktasında hem sürekli hem de türevlenebilir olmasını gerektirir. Bu koşullardan b = 8 ve a = 5 elde edilir. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olup işaret değiştirdiği x = -2 (yerel minimum) ve x = 4 (yerel maksimum) noktalarıdır. Bu noktaların ordinatları sırasıyla f(-2) = 1 ve f(4) = 19 olup, toplamları 20 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilir her fonksiyon sürekli olmak zorunda olduğundan, fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşitliğini yazarız.
5+a=b+2  ⟹  b−a=35 + a = b + 2 \implies b - a = 3
x = 1 noktasında limitlerin ve fonksiyon değerinin eşit olması süreklilik şartıdır.
2
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan türevlerinin eşitliğini kurarız.
2(1)+4=−2(1)+b  ⟹  6=−2+b  ⟹  b=82(1) + 4 = -2(1) + b \implies 6 = -2 + b \implies b = 8
Kritik noktada türevin var olması için sağ ve sol türevler eşit olmalıdır.
3
Elde edilen b değerini birinci adımdaki denklemde yerine yazarak a değerini buluruz.
8−a=3  ⟹  a=58 - a = 3 \implies a = 5
Süreklilikten elde edilen bağıntıda b yerine 8 yazılır.
4
Fonksiyonun parçalı tanımlı kısımları için türev fonksiyonunu oluşturup türevin köklerini (kritik noktaları) buluruz.
x<1x < 1 için f′(x)=2x+4=0  ⟹  x=−2f'(x) = 2x + 4 = 0 \implies x = -2 ve x>1x > 1 için f′(x)=−2x+8=0  ⟹  x=4f'(x) = -2x + 8 = 0 \implies x = 4
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bulunan kökler kendi tanımlı oldukları aralıklara uygundur.
5
Kritik noktaların ordinatlarını (y değerlerini) hesaplarız.
f(−2)=(−2)2+4(−2)+5=1f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1 (yerel minimum ordinatı) ve f(4)=−(4)2+8(4)+3=19f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 3 = 19 (yerel maksimum ordinatı)
Bulunan apsis değerleri ilgili fonksiyon parçalarında yerine yazılır.
6
Ordinat değerlerini toplarız.
1+19=201 + 19 = 20
Soru bizden ekstremum noktalarının ordinatları toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik, türevlenebilirlik ve yerel ekstremum noktalarının bulunması
Soru 269Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=2x−1x+1f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}
eğrisine eğimi 33 olan teğet doğruları çiziliyor.
Buna göre, bu teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı 10'dur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x+1)2f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} olarak hesaplanır. Türev fonksiyonu 3'e eşitlendiğinde teğet noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=−2x = -2 bulunur. Bu apsis değerlerine karşılık gelen teğet noktaları sırasıyla (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olur. Bu noktalardan çizilen ve eğimleri 3 olan teğet doğrularının denklemleri y=3x−1y = 3x - 1 ve y=3x+11y = 3x + 11 olarak elde edilir. Bu doğruların y eksenini kestiği noktaların ordinatları −1-1 ve 1111 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı kullanılarak hesaplanır.
f′(x)=2(x+1)−(2x−1)(1)(x+1)2=3(x+1)2f'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}
Bir eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonu, verilen teğet eğimi olan 3'e eşitlenerek teğet noktalarının apsisleri (xx değerleri) bulunur.
3(x+1)2=3⇒(x+1)2=1⇒x+1=1\frac{3}{(x+1)^2} = 3 \Rightarrow (x+1)^2 = 1 \Rightarrow x+1 = 1 veya x+1=−1x+1 = -1 olup buradan x1=0x_1 = 0 ve x2=−2x_2 = -2 elde edilir.
Teğet doğrusunun eğiminin 3 olduğu noktaları tespit etmek için.
3
Bulunan apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılarak teğet noktalarının ordinatları bulunur.
y1=f(0)=2(0)−10+1=−1y_1 = f(0) = \frac{2(0)-1}{0+1} = -1 ve y2=f(−2)=2(−2)−1−2+1=5y_2 = f(-2) = \frac{2(-2)-1}{-2+1} = 5. Böylece teğet noktaları (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olarak bulunur.
Teğet doğrularının denklemlerini yazabilmek için temas noktalarının koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
4
Eğimi 3 olan ve teğet noktalarından geçen doğruların denklemleri yazılır.
Birinci teğet doğrusu: y−(−1)=3(x−0)⇒y=3x−1y - (-1) = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x - 1. İkinci teğet doğrusu: y−5=3(x−(−2))⇒y=3x+11y - 5 = 3(x - (-2)) \Rightarrow y = 3x + 11.
Doğruların y eksenini kestiği noktaları belirlemek için.
5
Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları belirlenir ve toplanır.
y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu y eksenini −1-1 noktasında, y=3x+11y = 3x + 11 doğrusu ise 1111 noktasında keser. Toplamları: −1+11=10-1 + 11 = 10.
Soruda teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereği, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Eğim ve teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemi y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle yazılır.
Soru 270Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2−9x+kf(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k
fonksiyonunun yerel minimum değeri, yerel maksimum değerinin yarısına eşittir.

Buna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

59 değeri
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kökler x=−1x = -1 (yerel maksimum noktası) ve x=3x = 3 (yerel minimum noktası) olur. Bu apsis değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum değeri k+5k+5, yerel minimum değeri ise k−27k-27 olarak bulunur. Yerel minimum değerinin, yerel maksimum değerinin yarısına eşitlendiği denklem çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyiniz.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde türevinin sıfır olduğu noktalardır.
2
Türev fonksiyonunu sıfıra eşitleyip köklerini bulunuz.
3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=3x = 3 ve x=−1x = -1 olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını belirleyiniz.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan) olur. Dolayısıyla, x=−1x = -1 yerel maksimum noktası ve x=3x = 3 yerel minimum noktasıdır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği yer yerel maksimum, eksiden artıya geçtiği yer ise yerel minimum noktasıdır.
4
Fonksiyonda yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini yazarak aralarındaki ilişkiyi kurup kk değerini çözünüz.
Yerel maksimum değeri: f(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)+k=k+5f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + k = k + 5
Yerel minimum değeri: f(3)=33−3(3)2−9(3)+k=k−27f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + k = k - 27
Verilen kurala göre: f(3)=f(−1)2  ⟹  k−27=k+52  ⟹  2k−54=k+5  ⟹  k=59f(3) = \frac{f(-1)}{2} \implies k - 27 = \frac{k + 5}{2} \implies 2k - 54 = k + 5 \implies k = 59 bulunur.
Yerel minimum değerinin yerel maksimum değerinin yarısı olduğu bilgisi kullanılarak cebirsel eşitlik çözülür.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının koordinatlarının belirlenmesi ve fonksiyon değerleri arasındaki ilişkilerin çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 271Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=4g′(2)=2\begin{aligned} g(2) &= 4 \\ g'(2) &= 2 \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(x)=(ax−2)⋅g(x2−x)f(x) = (ax - 2) \cdot g(x^2 - x)
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevi f′(2)=20f'(2) = 20 olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a gerçel sayısı 2'dir.
Çarpım türevi ve bileşke fonksiyon türev kuralları sırasıyla uygulandığında f′(2)=16a−12f'(2) = 16a - 12 olarak elde edilir. Soruda bu değer 20 olarak verildiğinden 16a−12=2016a - 12 = 20 denklemi kurulur ve buradan a değeri 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini bulmak için çarpım türevi kuralını uygulayalım.
f′(x)=[ax−2]′⋅g(x2−x)+(ax−2)⋅[g(x2−x)]′f'(x) = [ax - 2]' \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot [g(x^2 - x)]' elde edilir. Buradan f′(x)=a⋅g(x2−x)+(ax−2)⋅[g(x2−x)]′f'(x) = a \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot [g(x^2 - x)]' olur.
Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi, birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birinci kuralı ile bulunur.
2
g(x2−x)g(x^2 - x) bileşke ifadesinin türevini bulmak için zincir kuralını uygulayalım.
[g(x2−x)]′=g′(x2−x)⋅(2x−1)[g(x^2 - x)]' = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) olur. Bu ifadeyi genel türev formülünde yerine koyduğumuzda f′(x)=a⋅g(x2−x)+(ax−2)⋅g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = a \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
3
f′(x)f'(x) türev fonksiyonunda x=2x = 2 değerini yerine yazarak verilen eşitlikleri kullanalım.
f′(2)=a⋅g(2)+(2a−2)⋅g′(2)⋅(2⋅2−1)f'(2) = a \cdot g(2) + (2a - 2) \cdot g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1) olur. g(2)=4g(2) = 4 ve g′(2)=2g'(2) = 2 değerlerini yerine yazarsak: f′(2)=a⋅4+(2a−2)⋅2⋅3  ⟹  f′(2)=4a+12a−12  ⟹  f′(2)=16a−12f'(2) = a \cdot 4 + (2a - 2) \cdot 2 \cdot 3 \implies f'(2) = 4a + 12a - 12 \implies f'(2) = 16a - 12 elde edilir.
x=2x = 2 için hem içteki fonksiyon x2−x=2x^2 - x = 2 değerini alır hem de iç türev terimi 2x−1=32x - 1 = 3 olur.
4
f′(2)=20f'(2) = 20 eşitliğinden yararlanarak aa değerini hesaplayalım.
16a−12=20  ⟹  16a=32  ⟹  a=216a - 12 = 20 \implies 16a = 32 \implies a = 2 bulunur.
Elde edilen türev bağıntısını verilen sayısal türev değerine eşitleyerek bilinmeyen parametreyi çözeriz.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları çerçevesinde çarpım kuralı ve zincir (bileşke) kuralının birlikte uygulanması.
Soru 272Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2
parabolünün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan
g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1
parabolünün tepe noktasının apsisi rr'ye eşittir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 değeridir.
Verilen g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1 parabolünün tepe noktasının apsisi r=−−42=2r = -\frac{-4}{2} = 2 olur. f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2 parabolünün x=3x=3 noktasındaki teğetinin eğimi ise türevin bu noktadaki değeridir. f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a olduğundan f′(3)=6−af'(3) = 6 - a elde edilir. Bu iki değer birbirine eşit olduğundan 6−a=2  ⟹  a=46 - a = 2 \implies a = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci parabolün tepe noktasının apsisi olan rr değerini hesaplayalım.
g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1 parabolü için tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−42⋅1=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eğiminin eşit olduğu referans değeri belirlemek için.
2
İlk parabolün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun eğimini türev yardımıyla bulalım.
f(x)=x2−ax+2  ⟹  f′(x)=2x−af(x) = x^2 - ax + 2 \implies f'(x) = 2x - a olur. x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimi mt=f′(3)=6−am_t = f'(3) = 6 - a olarak elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun eğimini rr değerine eşitleyerek aa parametresini çözelim.
mt=r  ⟹  6−a=2  ⟹  a=4m_t = r \implies 6 - a = 2 \implies a = 4 bulunur.
Soruda verilen eğimlerin eşitliği koşulunu sağlamak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir. Parabollerin tepe noktasının apsisi ise r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır.
Soru 273Soru →

Türevlenebilir bir gg fonksiyonu için g(1)=6g(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 eşitlikleri verilmiştir.

f(x)=x⋅g(x)x2+1f(x) = \frac{x \cdot g(x)}{x^2 + 1}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi olan f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

f fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri 1'dir.
Bölüm ve çarpım türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerlerine yazıldığında fonksiyonun türevi 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi formül��nün oluşturulması
f′(x)=[x⋅g(x)]′⋅(x2+1)−(x2+1)′⋅x⋅g(x)(x2+1)2f'(x) = \frac{[x \cdot g(x)]' \cdot (x^2 + 1) - (x^2 + 1)' \cdot x \cdot g(x)}{(x^2 + 1)^2}
Bölüm biçimindeki bir fonksiyonun türevi alınırken bölüm türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
Çarpım türevi kuralının paya uygulanması
[x⋅g(x)]′=g(x)+x⋅g′(x)[x \cdot g(x)]' = g(x) + x \cdot g'(x)
Pay kısmındaki ifade iki fonksiyonun çarpımından oluştuğu için çarpım türevi kuralı uygulanmalıdır.
3
Türev değerlerinin yerine yazılması ve hesaplanması
f′(1)=1f'(1) = 1
x=1x = 1 değeri için bilinen g(1)=6g(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 değerleri yerlerine konularak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım türevi kuralları
Soru 274Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−3x2−5x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 5x + 2
eğrisinin teğet doğrularından biri y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer 7'dir.
Teğet doğrusu y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimi m=4m = 4'tür. f′(x)=3x2−6x−5=4  ⟹  3x2−6x−9=0  ⟹  x2−2x−3=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 5 = 4 \implies 3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1'dir. Bu noktalardaki teğet doğruları sırasıyla y=4x−25y = 4x - 25 ve y=4x+7y = 4x + 7 olup, yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları −25-25 ve 77'dir. Pozitif ordinat değeri sorulduğu için doğru cevap 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun eğimini belirleme
m=4m = 4
Teğet doğrusu y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri birbirine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini alma
f′(x)=3x2−6x−5f'(x) = 3x^2 - 6x - 5
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet noktalarının apsislerini bulma
x1=3x_1 = 3 ve x2=−1x_2 = -1
Türev ifadesi teğet eğimi olan 4 değerine eşitlenerek oluşan ikinci dereceden denklem çözülür.
4
Teğet noktalarının koordinatlarını hesaplama
(3,−13)(3, -13) ve (−1,3)(-1, 3)
Bulunan apsis değerleri orijinal f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak teğet noktalarının koordinatları belirlenir.
5
Teğet doğrularının denklemlerini elde edip y eksenini kestikleri noktaları bulma
y=4x−25y = 4x - 25 doğrusu için ordinat −25-25; y=4x+7y = 4x + 7 doğrusu için ordinat 77 bulunur. Pozitif değer 77 olarak seçilir.
Teğet doğrularının denklemleri yazıldıktan sonra x=0x = 0 verilerek doğruların yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları bulunur.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet doğrusunun eğimi ve denklemi
Soru 275Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için g(4)=3g(4) = 3 ve g′(4)=−2g'(4) = -2 eşitlikleri veriliyor.

f(x)=(x3−x)⋅g(x2)f(x) = (x^3 - x) \cdot g(x^2)

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

-15 değeri doğrudur.
Çarpımın türevi ve zincir kuralı doğru bir şekilde uygulanarak türev fonksiyonu f′(x)=(3x2−1)⋅g(x2)+(x3−x)⋅g′(x2)⋅2xf'(x) = (3x^2 - 1) \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot g'(x^2) \cdot 2x olarak bulunur. Burada x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=11⋅g(4)+24⋅g′(4)f'(2) = 11 \cdot g(4) + 24 \cdot g'(4) elde edilir. g(4)=3g(4) = 3 ve g′(4)=−2g'(4) = -2 değerleri yerlerine yazıldığında 33−48=−1533 - 48 = -15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev ifadesini yazın.
f′(x)=[x3−x]′⋅g(x2)+(x3−x)⋅[g(x2)]′f'(x) = [x^3 - x]' \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot [g(x^2)]'
f(x)=u(x)⋅v(x)f(x) = u(x) \cdot v(x) biçimindeki fonksiyonların türevi f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) formülü ile bulunur.
2
Bileşenlerin türevlerini hesaplayarak türev ifadesini düzenleyin.
[x3−x]′=3x2−1[x^3 - x]' = 3x^2 - 1 ve zincir kuralı yardımıyla [g(x2)]′=g′(x2)⋅2x[g(x^2)]' = g'(x^2) \cdot 2x olur. Bu durumda genel türev ifadesi: f′(x)=(3x2−1)⋅g(x2)+(x3−x)⋅g′(x2)⋅2xf'(x) = (3x^2 - 1) \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot g'(x^2) \cdot 2x olarak elde edilir.
Temel türev alma kuralları ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) kurallarının uygulanması gerekir.
3
x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazın ve bilinen değerleri uygulayın.
f′(2)=(3(2)2−1)⋅g(22)+(23−2)⋅g′(22)⋅2(2)=11⋅g(4)+6⋅g′(4)⋅4=11⋅g(4)+24⋅g′(4)f'(2) = (3(2)^2 - 1) \cdot g(2^2) + (2^3 - 2) \cdot g'(2^2) \cdot 2(2) = 11 \cdot g(4) + 6 \cdot g'(4) \cdot 4 = 11 \cdot g(4) + 24 \cdot g'(4) olur. Verilen g(4)=3g(4) = 3 ve g′(4)=−2g'(4) = -2 değerleri yerine yazıldığında: f′(2)=11⋅3+24⋅(−2)=33−48=−15f'(2) = 11 \cdot 3 + 24 \cdot (-2) = 33 - 48 = -15 bulunur.
İstenen noktadaki türev değerini bulmak için fonksiyondaki xx değişkeninin yerine 22 yazılır ve verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Anahtar Kavram

Çarpımın türevi ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) kurallarının bir arada uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 276Soru →
f(x)=∣x2−3x∣−2xf(x) = |x^2 - 3x| - 2x

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −234-\frac{23}{4}

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı -23/4'tür.
Doğru cevap, fonksiyonun tüm yerel ekstremum noktalarının belirlenerek y-değerlerinin doğru bir şekilde toplanmasıyla elde edilen -23/4 değeridir. Bu süreçte fonksiyon parçalı olarak yazılmış, kritik noktalarda türevin yön değişimi analiz edilmiş ve yerel minimum noktaları ile yerel maksimum noktasının ordinatları toplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonu mutlak değerin tanımına göre parçalı fonksiyon biçiminde yazın.
x2−3x≥0  ⟹  x≤0x^2 - 3x \geq 0 \implies x \le 0 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x; 0<x<30 < x < 3 için f(x)=−x2+xf(x) = -x^2 + x olarak bulunur.
Mutlak değerli ifadelerin türev ve yön analizi yapılmadan önce kritik noktalara göre parçalanması gerekir.
2
Parçalı fonksiyonun her bir aralıktaki türevini alarak işaret tablosunu oluşturun.
x<0x < 0 veya x>3x > 3 için f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5; 0<x<30 < x < 3 için f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1 olur. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökü x=1/2x = 1/2 olup 0<x<30 < x < 3 aral��ğındadır. x=5/2x = 5/2 ise tanım dışıdır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum ve maksimum noktalarını belirleyin.
x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktalarında türev işareti eksiden artıya geçtiği için yerel minimum; x=1/2x = 1/2 noktas��nda artıdan eksiye geçtiği için yerel maksimum vardır.
Bir noktada türevin (veya fonksiyonun yönünün) eksi değerlerden artı değerlere geçmesi yerel minimumu, artıdan eksiye geçmesi yerel maksimumu belirtir.
4
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını (y-değerlerini) hesaplay��n ve toplayın.
f(0)=0f(0) = 0, f(3)=−6f(3) = -6, f(1/2)=1/4f(1/2) = 1/4 olup, ordinatlar toplamı 0+1/4−6=−23/40 + 1/4 - 6 = -23/4 olarak bulunur.
Soru yerel ekstremum noktalarının apsislerini değil, ordinatlarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlar üzerinde türev ve yön değişimi yardımıyla belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 277Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusu, g(x)=axg(x) = \frac{a}{x} eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile dik kesişmektedir.

Buna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

a = -2
Verilen fonksiyonların türevleri alınarak teğet eğimleri sırasıyla -2 ve -a/4 olarak hesaplanır. Teğet doğruları dik kesiştiği için eğimler çarpımı -1 olmalıdır. Bu ilişkiden (-2) * (-a/4) = -1 denklemi kurularak a = -2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi (m1m_1) hesaplanır.
f′(x)=2x−4  ⟹  m1=f′(1)=2(1)−4=−2f'(x) = 2x - 4 \implies m_1 = f'(1) = 2(1) - 4 = -2
Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (m2m_2) hesaplanır.
g′(x)=−ax2  ⟹  m2=g′(2)=−a22=−a4g'(x) = -\frac{a}{x^2} \implies m_2 = g'(2) = -\frac{a}{2^2} = -\frac{a}{4}
Teğet eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alıp teğet noktasının apsisini yerine yazarız.
3
Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımının −1-1 olması kuralı uygulanarak aa değeri çözülür.
m1×m2=−1  ⟹  (−2)×(−a4)=−1  ⟹  a2=−1  ⟹  a=−2m_1 \times m_2 = -1 \implies (-2) \times \left(-\frac{a}{4}\right) = -1 \implies \frac{a}{2} = -1 \implies a = -2
Dik koordinat düzleminde birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğim ilişkisi
Soru 278Soru →
Bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f(x)=(x2−a)(x2+2x+3)f(x) = (x^2 - a)(x^2 + 2x + 3)
biçiminde tanımlanıyor.

f′(1)=24f'(1) = 24 olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Çarpımın türevi kuralı uygulanarak elde edilen f′(1)=16−4af'(1) = 16 - 4a ifadesi 2424'e eşitlendiğinde aa değeri −2-2 olarak hesaplanır.
Verilen fonksiyonun türevi çarpım kuralına göre alınır: f′(x)=2x(x2+2x+3)+(x2−a)(2x+2)f'(x) = 2x(x^2 + 2x + 3) + (x^2 - a)(2x + 2). Bu türev fonksiyonunda x=1x=1 yazıldığında f′(1)=16−4af'(1) = 16 - 4a elde edilir. Bu değer 2424'e eşitlendiğinde 16−4a=24  ⟹  a=−216 - 4a = 24 \implies a = -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın türevi kuralını fonksiyon üzerinde uygulayarak genel türev ifadesini bulunuz.
f′(x)=2x(x2+2x+3)+(x2−a)(2x+2)f'(x) = 2x(x^2 + 2x + 3) + (x^2 - a)(2x + 2)
İki fonksiyonun çarpımı durumundaki ifadelerin türevini almak için çarpım kuralının doğru uygulanması gerekir.
2
Türev ifadesinde x=1x = 1 değerini yerine koyarak f′(1)f'(1) değerini aa parametresine bağlı olarak hesaplayınız.
f′(1)=16−4af'(1) = 16 - 4a
Soruda verilen f′(1)=24f'(1) = 24 bilgisini kullanabilmek için fonksiyonun türevinin x=1x=1 noktasındaki cebirsel karşılığı bulunur.
3
Elde edilen 16−4a=2416 - 4a = 24 denklemini çözerek aa değerini bulunuz.
a=−2a = -2
Türev değerini sağlayan aa bilinmeyenini belirlemek için doğrusal denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Çarpımın Türevi Kuralı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 279Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları ile türevlerinin bazı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xxf(x)f(x)f′(x)f'(x)g(x)g(x)g′(x)g'(x)
1122−3-33322
33445511−2-2

h(x)=f(x3⋅g(x))h(x) = f(x^3 \cdot g(x))

biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Bileşke ve çarpım türevi kuralları uygulandığında h'(1) değeri 55 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon ve çarpım türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp tablodan g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=2g'(1) = 2 ve f′(3)=5f'(3) = 5 değerleri yerleştirildiğinde sonuç 55 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türevi kuralını (zincir kuralı) uygulayınız.
h′(x)=f′(x3⋅g(x))⋅ddx[x3⋅g(x)]h'(x) = f'(x^3 \cdot g(x)) \cdot \frac{d}{dx}[x^3 \cdot g(x)]
Bir bileşke fonksiyonun türevi alın��rken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
2
İçteki x3⋅g(x)x^3 \cdot g(x) ifadesinin türevi için çarpım türevi kuralını uygulayınız.
ddx[x3⋅g(x)]=3x2⋅g(x)+x3⋅g′(x)\frac{d}{dx}[x^3 \cdot g(x)] = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x)
İki fonksiyonun çarpımının türevi; birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birinci şeklinde bulunur.
3
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazarak tablodaki değerleri yerine yerleştiriniz.
h′(1)=f′(13⋅g(1))⋅[3(1)2⋅g(1)+13⋅g′(1)]=f′(3)⋅[3⋅3+2]h'(1) = f'(1^3 \cdot g(1)) \cdot [3(1)^2 \cdot g(1) + 1^3 \cdot g'(1)] = f'(3) \cdot [3 \cdot 3 + 2]
Tablodan g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=2g'(1) = 2 değerleri okunarak yerine yazılır.
4
Tablodan f′(3)f'(3) değerini de alarak son işlemi tamamlayınız.
h′(1)=5⋅[9+2]=5⋅11=55h'(1) = 5 \cdot [9 + 2] = 5 \cdot 11 = 55
Tablodan f′(3)=5f'(3) = 5 değeri alınarak çarpma işlemi sonuçlandırılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve çarpım türevi kurallarının birlikte uygulanması.
Soru 280Soru →

Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x+ax−2f(x) = \frac{x+a}{x-2}

eğrisinin x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
3y−x+6=03y - x + 6 = 0

doğrusuna diktir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.
Teğet doğrusunun eğimi türev yardımıyla bulunur. Diklik koşulundan teğet doğrusunun eğimi -3 olarak elde edilir. Buradan a = 1 bulunur ve teğet noktası (3, 4) olarak belirlenir. Bu noktadan geçen ve eğimi -3 olan doğrunun denklemi y = -3x + 13 olup, y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 3y−x+6=03y - x + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulmak.
Eğim m2=13m_2 = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Doğru denklemi y=13x−2y = \frac{1}{3}x - 2 şeklinde düzenlendiğinde xx'in katsayısı doğrunun eğimini verir.
2
Teğet doğrusunun eğimini (m1m_1) diklik koşulunu kullanarak belirlemek.
Teğet doğrusunun e��imi m1=−3m_1 = -3 olarak bulunur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir (m1⋅m2=−1⇒m1⋅13=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_1 \cdot \frac{1}{3} = -1).
3
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alıp x=3x=3 noktasındaki türev değerini teğetin eğimine eşitlemek.
f′(x)=−2−a(x−2)2f'(x) = \frac{-2-a}{(x-2)^2} olup x=3x=3 için f′(3)=−2−a=−3⇒a=1f'(3) = -2-a = -3 \Rightarrow a = 1 bulunur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını bulmak.
a=1a = 1 için f(3)=3+13−2=4f(3) = \frac{3+1}{3-2} = 4 olup teğet noktası (3,4)(3, 4)'tür.
Teğet noktası fonksiyon eğrisinin üzerinde olduğundan koordinatları fonksiyon denklemini sağlar.
5
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak.
Doğru denklemi y−4=−3(x−3)⇒y=−3x+13y - 4 = -3(x - 3) \Rightarrow y = -3x + 13 olur. x=0x=0 için y=13y=13 bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü uygulanır. yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için x=0x=0 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 14 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 14 | Examkin