Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 81Soru →

Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

f(2)=3f(2) = 3 olmak üzere, gg fonksiyonu
g(x)=f(x2−f(x)+1x−1)g(x) = f\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, g′(2)g'(2) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için zincir kuralı ve bölüm türevi kuralları uygulanarak g′(2)g'(2) değeri 0.750.75 olarak bulunur.
Orijinden ve (2,3)(2,3) noktasından geçen teğet doğrusunun eğimi 32\frac{3}{2}'dir. Dolayısıyla f′(2)=1.5f'(2) = 1.5 olur. Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı ve bölüm türevi uygulandığında içteki fonksiyonun türevi 0.50.5 olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı 1.5⋅0.5=0.751.5 \cdot 0.5 = 0.75 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun eğimini hesaplama
f′(2)=1.5f'(2) = 1.5
x=2x=2 apsisli teğet noktası (2,3)(2, 3) olup bu noktadan çizilen teğet doğrusu (0,0)(0,0) noktasından geçtiği için eğimi m=3−02−0=1.5m = \frac{3-0}{2-0} = 1.5 olur. Bu eğim değeri fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonuna zincir kuralını uygulama
g′(x)=f′(x2−f(x)+1x−1)⋅(x2−f(x)+1x−1)′g'(x) = f'\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right) \cdot \left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)'
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, dıştaki fonksiyonun içinin türevi ile dıştaki fonksiyonun türevinin çarp��mı alınmalıdır.
3
İçteki fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki değerini ve türevini hesaplama
u(2)=2u(2) = 2 ve u′(2)=0.5u'(2) = 0.5
u(x)=x2−f(x)+1x−1u(x) = \frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1} olsun. Bölüm türevi kuralı uygulandığında u′(x)=(2x−f′(x))(x−1)−(x2−f(x)+1)(x−1)2u'(x) = \frac{(2x - f'(x))(x-1) - (x^2 - f(x) + 1)}{(x-1)^2} elde edilir. x=2x=2 için bu değerler yerine konulur.
4
Elde edilen tüm değerleri birleştirerek nihai türevi bulma
g′(2)=0.75g'(2) = 0.75
g′(2)=f′(u(2))⋅u′(2)=f′(2)⋅u′(2)=1.5⋅0.5=0.75g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot u'(2) = 1.5 \cdot 0.5 = 0.75 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Soru 82Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=∣x2−1∣(x2−a)f(x) = |x^2 - 1|(x^2 - a)

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı NN'dir.

Buna göre, NN değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Ekstremum noktalarının sayısı olan NN değeri 11, 33 veya 55 olabilir ve bu değerlerin toplamı 99'dur.
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı, aa parametresinin değerlerine göre değişmektedir. Yapılan detaylı analiz sonucunda, a=1a = 1 iken fonksiyonun yalnızca x=0x = 0 noktasında yerel ekstremumu bulunur (N=1N = 1). a≤−1a \le -1 iken fonksiyonun x=0,x=1,x=−1x = 0, x = 1, x = -1 olmak üzere 33 yerel ekstremum noktası vardır (N=3N = 3). −1<a<1-1 < a < 1 ve a>1a > 1 durumlarında ise fonksiyonun 55 farklı yerel ekstremum noktası bulunur (N=5N = 5). Dolayısıyla NN değerinin alabileceği farklı değerler 1,31, 3 ve 55'tir. Bunların toplamı da 99 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin kritik noktaları olan x=1x = 1 ve x=−1x = -1 civarındaki davranışı incelemek.
f(x)=∣x2−1∣(x2−a)f(x) = |x^2-1|(x^2-a) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan x≥0x \ge 0 için incelemek yeterlidir. x=1x = 1 noktasında x2−1x^2-1 işaret değiştirir. Eğer a≠1a \neq 1 ise, x=1x = 1 noktasının komşuluğunda f(x)f(x) fonksiyonu x=1x = 1'in solunda ve sağında farklı işaretli türevlere sahip olur veya sınırda yerel minimum ya da maksimum oluşturur. Dolayısıyla a≠1a \neq 1 iken x=1x = 1 ve simetrisi olan x=−1x = -1 yerel ekstremum noktalarıdır. Eğer a=1a = 1 ise, f(x)=∣x2−1∣(x2−1)f(x) = |x^2-1|(x^2-1) olur. Bu durumda x=1x = 1 civarında f(x)f(x) işareti x>1x > 1 için pozitif, x<1x < 1 için negatif olur ve fonksiyon artmaya devam eder, yani x=±1x = \pm 1 noktaları ekstremum noktası olamaz.
Mutlak değerli fonksiyonların köklerinde türev olmasa bile yerel ekstremum noktası bulunabilir. Bu yüzden x=±1x = \pm 1 noktalarının ekstremum olma durumunu aa parametresine göre ayırmak gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu diğer iç noktaları tespit etmek.
g(x)=(x2−1)(x2−a)=x4−(a+1)x2+ag(x) = (x^2-1)(x^2-a) = x^4 - (a+1)x^2 + a tanımlayalım. g′(x)=4x3−2(a+1)x=2x(2x2−(a+1))g'(x) = 4x^3 - 2(a+1)x = 2x(2x^2 - (a+1)) olur. Bu türevin kökleri x=0x = 0 ve x2=a+12x^2 = \frac{a+1}{2} (eğer a≥−1a \ge -1 ise) olarak bulunur. Bu köklerin mutlak değer sınırları olan −1-1 ve 11 ile olan ilişkisi incelenmelidir.
Parçalı tanımlanan fonksiyonun her bir bölgesinde türevin sıfır olduğu yerler yerel ekstremum adayıdır.
3
aa parametresinin farklı aralıkları için ekstremum sayılarını (NN) belirlemek.
1. Durum: a<−1a < -1 ise, a+12<0\frac{a+1}{2} < 0 olduğundan 2x2−(a+1)=02x^2 - (a+1) = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur. Tek türev sıfır noktası x=0x = 0'dır. a≠1a \neq 1 olduğundan x=±1x = \pm 1 noktaları da ekstremumdur. Bu durumda ekstremum noktaları {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olup N=3N = 3 olur.

2. Durum: a=−1a = -1 ise, x2=0  ⟹  x=0x^2 = 0 \implies x = 0 çift katlı kök gibi davranır, ekstremum noktaları yine {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olur ve N=3N = 3'tür.

3. Durum: −1<a<1-1 < a < 1 ise, 0<a+12<10 < \frac{a+1}{2} < 1 olur. Bu durumda x2=a+12x^2 = \frac{a+1}{2} denkleminin kökleri olan x1,x2=±a+12x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}} noktaları (−1,1)(-1, 1) aralığının içindedir. Ekstremum noktaları {−1,x1,0,x2,1}\{-1, x_1, 0, x_2, 1\} olup N=5N = 5 olur.

4. Durum: a=1a = 1 ise, x=±1x = \pm 1 noktalarında işaret değişimi olmadığından ekstremum yoktur. Tek ekstremum noktası x=0x = 0 olup N=1N = 1 olur.

5. Durum: a>1a > 1 ise, a+12>1\frac{a+1}{2} > 1 olur. Bu durumda x1,x2=±a+12x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}} kökleri [−1,1][-1, 1] aralığının dışındadır. Ekstremum noktaları {x1,−1,0,1,x2}\{x_1, -1, 0, 1, x_2\} olup N=5N = 5 olur.
aa değerinin kritik sınırları olan −1-1 ve 11 değerlerine göre türev köklerinin konumunu ve sınır noktalarının ekstremum olup olmadığını netleştirmek gerekir.
4
Elde edilen tüm farklı NN değerlerini toplamak.
NN değerinin alabileceği farklı değerler 1,31, 3 ve 55'tir. Bunların toplamı ise 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9 olarak bulunur.
Soru bizden NN sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türevlenebilirlik ile yerel ekstremum noktası ilişkisi ve sınır noktalarının analizi.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun grafiğinin a>1a > 1, a=1a = 1, −1<a<1-1 < a < 1, a=−1a = -1 ve a<−1a < -1 durumları için kabaca çizilmesi (grafiksel analiz yöntemi), yerel ekstremum noktalarının (çukur ve tümseklerin) sayısını görsel olarak görmeyi çok kolaylaştırır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 83Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)=x33−4x2+5f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 5

olarak veriliyor.

Buna göre, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Verilen f(x) fonksiyonunun türevi alınıp g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonuna zincir kuralı uygulandığında g'(x) = 2x(x - 2)(x - 4)(x + 2)(x - 1) türev fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif gerçel sayılar kümesindeki azalan aralıklar [0, 1] ve [2, 4] olarak belirlenir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4 olup toplamları 10 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun birinci türevini bulma
f′(x)=x2−8xf'(x) = x^2 - 8x
Bileşke fonksiyonun türevini alırken dıştaki fonksiyonun türevi kullanılacaktır.
2
g(x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama
g′(x)=2(x2−2x)(x2−2x−8)(x−1)g'(x) = 2(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 8)(x - 1)
Bileşke fonksiyon türevlenirken içteki fonksiyonun türevi olan (2x - 2) terimi çarpan olarak eklenmelidir.
3
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bularak kritik noktaları belirleme
x1=−2x_1 = -2, x2=0x_2 = 0, x3=1x_3 = 1, x4=2x_4 = 2, x5=4x_5 = 4
İşaret tablosunda kullanılacak sınır değerleri ve tek/çift katlı kök durumları bu noktalar üzerinden incelenir.
4
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri belirleme
Azalan olduğu bölgeler: (−∞,−2]∪[0,1]∪[2,4](-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, 4]
Bir fonksiyon türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda azalandır.
5
Tanım kümesine uygun pozitif tam sayıları seçip toplama
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
g(x) fonksiyonu pozitif gerçel sayılarda tanımlı olduğundan, azalan aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür. 0 sayısı pozitif olmadığından işleme dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev yardımıyla artanlık ve azalanlık durumunun incelenmesi.
Soru 84Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x \to 2} f(x) = 4
ve f(2)=1f(2) = 1 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevi f′(2)f'(2) ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fonksiyon x=2x = 2 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.

Cevap

Fonksiyon x=2x = 2 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.
Doğru seçenek olan ifadenin belirttiği gibi, fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki limiti (44), fonksiyonun o noktadaki değerinden (11) farklıdır. Bu durum fonksiyonun x=2x = 2 noktasında süreksiz olduğunu gösterir. Süreksiz noktalarda fonksiyon türevlenemez olduğundan, bu noktada türev yoktur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik kontrolü yapılması
lim⁡x→2f(x)=4≠f(2)=1\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq f(2) = 1 olduğundan fonksiyon x=2x = 2 noktasında sürekli değildir.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması şarttır.
2
Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisinin uygulanması
Fonksiyon süreksiz olduğundan x=2x = 2 noktasında türevlenebilir değildir.
Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir (Türevlenebilirlik ⇒\Rightarrow Süreklilik). Bu kuralın karşıt tersi gereği, süreksiz olan bir noktada fonksiyon türevlenemez (Süreksizlik ⇒\Rightarrow Türevsizlik).

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması şarttır. Eğer fonksiyon bir noktada süreksiz ise o noktada türevli olamaz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 85Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için

f(2)=12f(2) = \frac{1}{2}
f′(2)=3f'(2) = 3

eşitlikleri sağlanmaktadır.
g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x))

olduğuna göre, g′(2)g'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

42
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralı uygulanır: g′(x)=f′(x2⋅f(x))⋅(x2⋅f(x))′g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (x^2 \cdot f(x))'. İçteki fonksiyonun türevi alınırken çarpım kuralı kullanılarak (x2⋅f(x))′=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)(x^2 \cdot f(x))' = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) elde edilir. Bilinen değerler (x=2x=2, f(2)=1/2f(2)=1/2, f′(2)=3f'(2)=3) yerlerine yazıldığında içteki ifadenin türevi 1414 ve dıştaki türev f′(2)=3f'(2) = 3 olur. Bu iki değerin çarpımı olan 4242 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.
g′(x)=f′(x2⋅f(x))⋅(x2⋅f(x))′g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (x^2 \cdot f(x))'
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyon aynen korunarak alınır ve ardından içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
İçteki fonksiyon olan u(x)=x2⋅f(x)u(x) = x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayınız.
u′(x)=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)u'(x) = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)
Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi: Birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci kural�� ile hesaplanır.
3
Türev ifadelerinde x=2x=2 değerini yerine yazarak gerekli hesaplamaları yapınız.
u(2)=22⋅f(2)=4⋅12=2u(2) = 2^2 \cdot f(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 ve u′(2)=2(2)⋅f(2)+22⋅f′(2)=4⋅12+4⋅3=2+12=14u'(2) = 2(2) \cdot f(2) + 2^2 \cdot f'(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14 elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevini x=2x=2 noktasında değerlendirmek için hem içteki fonksiyonun değerine hem de bu noktadaki türevine ihtiyaç vardır.
4
Bulunan değerleri ana türev denkleminde yerine koyarak sonucu hesaplayınız.
g′(2)=f′(u(2))⋅u′(2)=f′(2)⋅14=3⋅14=42g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot 14 = 3 \cdot 14 = 42
Zincir kuralının son aşaması olarak dıştaki fonksiyonun türev değeri ile içteki fonksiyonun türev değerinin çarpılması gerekir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpılması (zincir kuralı) gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 86Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−6x2+8x−3f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x - 3 eğrisine çizilen ve y=8x+5y = 8x + 5 doğrusuna paralel olan teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -38

Cevap

Teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı −38-38'dir.
Doğru cevap olan −38-38 sayısı, paralel teğetlerin eğrinin üzerindeki apsislerinin türev yardımıyla bulunup teğet denklemlerinin yazılması ve bu doğruların yy-kesenlerinin ordinatlarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini belirlemek ve teğet doğrularının eğimiyle eşitlemek.
Teğet doğrularının eğimi m=8m = 8 olmalıdır.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini alıp teğet eğimi olan 88'e eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini bulmak.
x1=0x_1 = 0 ve x2=4x_2 = 4 doğruları elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Apsis değerlerini fonksiyonda yerine yazarak teğet noktalarının ordinatlarını hesaplamak.
f(0)=−3f(0) = -3 ve f(4)=−3f(4) = -3. Teğet noktaları P1(0,−3)P_1(0, -3) ve P2(4,−3)P_2(4, -3)'tür.
Değme noktaları fonksiyonun grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlarlar.
4
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülüyle teğet doğrularının denklemlerini yazıp yy eksenini kestikleri ordinatları bulmak.
Birinci teğet doğrusunun yy-keseni −3-3, ikinci teğet doğrusunun yy-keseni −35-35'tir.
Teğet denklemlerinde x=0x = 0 yazılarak doğruların yy eksenini kestiği noktalar belirlenir.
5
Bulunan yy-keseni değerlerini toplamak.
(−3)+(−35)=−38(-3) + (-35) = -38.
Soruda bizden teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu uyarınca, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Paralel doğruların eğimleri eşittir.
Soru 87Soru →
f(x)=14x4−x3+5f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.
Verilen fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=x2(x−3)f'(x) = x^2(x-3) elde edilir. Bu ifadenin kökleri x=0x=0 (çift katlı) ve x=3x=3 (tek katlı) olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde, x=3x=3 noktasının solunda türevin negatif (fonksiyonun azalan) ve sağında pozitif (fonksiyonun artan) olduğu görülür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevini alın.
f′(x)=x3−3x2f'(x) = x^3 - 3x^2
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türevinin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenmelidir.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.
x2(x−3)=0  ⟹  x=0 ve x=3x^2(x - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ ve } x = 3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları bulmak amacıyla kökler tespit edilir. Burada x=0x=0 çift katlı kök, x=3x=3 ise tek katlı köktür.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturun.
x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), 0<x<30 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x<0x < 0 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) olur.
x=0x=0 çift katlı kök olduğu için işareti değiştirmeden geçeriz. x=3x=3 tek katlı kök olduğu için işaret negatiften pozitife döner.
4
İşaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyin.
Türevin işareti x=3x=3 noktasında negatiften pozitife geçtiği için (fonksiyon azalandan artana geçtiği için) x=3x=3 noktası yerel minimum noktasıdır. x=0x=0 noktasında işaret değişmediği için ekstremum yoktur.
Yerel minimum noktası, türevin işaretinin eksiden artıya geçtiği apsis değerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve tek/çift katlı köklerin ekstremum üzerindeki etkisi.

İpuçları

1
Öncelikle fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyin.
Tahmini Süre:50s
Soru 88Soru →
f(x)={x2−2ax+5,x<2x3−3x2+b,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - 2ax + 5, & x < 2 \\ x^3 - 3x^2 + b, & x \geq 2 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında bir yerel ekstremumu olduğuna göre, bb gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En büyük değer 5'tir.
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında sürekli olması şartından b=13−4ab = 13 - 4a bağıntısı bulunur. x>2x > 2 için türev pozitif olduğundan fonksiyon artandır. x=2x = 2 noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) oluşabilmesi için fonksiyonun x<2x < 2 bölgesinde tamamen azalan olması gerekir, bu da a≥2a \geq 2 olmasını zorunlu kılar. Bu eşitsizlik b=13−4ab = 13 - 4a bağıntısında yerine yazıldığında b≤5b \leq 5 elde edilir ve en büyük değer 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik şartını kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulunuz.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)  ⟹  9−4a=b−4  ⟹  b=13−4a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \implies 9 - 4a = b - 4 \implies b = 13 - 4a
Fonksiyonun gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=2x = 2 noktasında da sürekli olması gerekir.
2
x>2x > 2 için fonksiyonun artan/azalan durumunu inceleyiniz.
x>2 ic¸in f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)>0x > 2 \text{ için } f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) > 0
Türevin işaretine göre fonksiyonun artış eğilimini belirlemek gerekir.
3
x<2x < 2 için yerel ekstremum koşulunu inceleyerek a için sınır koşulunu bulunuz.
x<2 ic¸in f′(x)=2(x−a)≤0  ⟹  a≥2x < 2 \text{ için } f'(x) = 2(x - a) \leq 0 \implies a \geq 2
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasının sağında artan olduğu bilinmektedir. x=2x = 2 noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda azalan olması gerekir. Bu da her x<2x < 2 için f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olmasını gerektirir.
4
a≥2a \geq 2 koşulunu kullanarak b değerini sınırlandırınız.
a≥2  ⟹  −4a≤−8  ⟹  13−4a≤5  ⟹  b≤5a \geq 2 \implies -4a \leq -8 \implies 13 - 4a \leq 5 \implies b \leq 5
Süreklilikten elde edilen b=13−4ab = 13 - 4a eşitliğinde a parametresinin sınırlarını yerine yazarak b için alabileceği en büyük değeri bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevin işaret değiştirmesi ve süreklilik ilişkisi.
Soru 89Soru →
f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1

fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

Normal doğrusunun eğimi −1-1 olur.
Fonksiyonun türevi alınıp teğet noktası olan x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında teğet doğrusunun eğimi mt=1m_t = 1 olarak bulunur. Bir eğriye aynı noktadan çizilen teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan normal doğrusunun eğimi mn=−1mt=−1m_n = -\frac{1}{m_t} = -1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci mertebeden türevi bulunur.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3
Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
x=2x = 2 apsisli nokta türev fonksiyonunda yerine yazılarak teğet doğrusunun eğimi (mtm_t) hesaplanır.
mt=f′(2)=2(2)−3=1m_t = f'(2) = 2(2) - 3 = 1
Teğet doğrusunun eğimini bulmak için apsis değeri türevde yerine yazılır.
3
Teğet ve normal doğrularının dikliği kullanılarak normal doğrusunun eğimi (mnm_n) bulunur.
mn=−1mt=−11=−1m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Soru 90Soru →

f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yazıldığında elde edilen sonuç −5-5 sayısıdır.
Verilen rasyonel fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı yardımıyla alınır. Payın türevi 22 ve paydanın türevi 11 olup türev fonksiyonu f′(x)=2(x−1)−1(2x+3)(x−1)2=−5(x−1)2f'(x) = \frac{2(x-1) - 1(2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} olarak elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=−5(2−1)2=−5f'(2) = \frac{-5}{(2-1)^2} = -5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=−5(x−1)2f'(x) = \frac{-5}{(x-1)^2}
Bölümün türevi kuralı (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} şeklindedir. Payın türevi 22, paydanın türevi 11 olduğundan bu kural uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak değeri hesaplayınız.
f′(2)=−5f'(2) = -5
Soruda istenen f′(2)f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunda xx değişkeni yerine 22 sayısı yazılır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 91Soru →
f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Türevin geometrik yorumuna göre, bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bu fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi −4-4 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi f′(a)f'(a) değeridir. f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x olur. Bu türevde x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=3(2)2−8(2)=12−16=−4f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x
Teğetin eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=−4f'(2) = -4
İstenen noktadaki teğetin eğimi, türevin o noktadaki değerine eşit olduğundan x=2x = 2 değeri türev fonksiyonunda yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Soru 92Soru →
Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(g(x)⋅x2−x)=x3+2[g(x)]3f(g(x) \cdot x^2 - x) = x^3 + 2[g(x)]^3
eşitliği sağlanmaktadır. gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=3x−5y = 3x - 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

f'(2) değeri 2 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi zincir ve çarpım kuralları kullanılarak alınmıştır. x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi olan y = 3x - 5 kullanılarak g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri tespit edilmiştir. Bu değerler türev denkleminde yerlerine yazıldığında f'(2) * 15 = 30 bağıntısı elde edilmiş ve buradan f'(2) değeri 2 olarak hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusu denkleminden g(2) ve g'(2) değerlerini bulma
g(2) = 1 ve g'(2) = 3
g fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu y = 3x - 5 olduğundan, teğet noktası olan (2, g(2)) noktası bu doğrunun üzerindedir. Buradan g(2) = 3(2) - 5 = 1 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi ise fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g'(2) = 3 olur.
2
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alma
f'(g(x) * x^2 - x) * [g'(x) * x^2 + 2x * g(x) - 1] = 3x^2 + 6[g(x)]^2 * g'(x)
Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı, içteki g(x) * x^2 ifadesi için ise çarpım kuralı uygulanmıştır.
3
Türev denkleminde x = 2 yazarak f'(2) değerini bulma
f'(2) = 2
x = 2 için g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri türev denkleminde yerine yazıldığında, sol taraf f'(2) * [3 * 4 + 4 * 1 - 1] = f'(2) * 15 olur. Sağ taraf ise 3 * 4 + 6 * (1)^2 * 3 = 30 olur. f'(2) * 15 = 30 eşitliğinden f'(2) = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı ve teğet eğimi ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 93Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=cos⁡(π2x)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1 \lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −3π4-\frac{3\pi}{4}

Cevap

−3π4-\frac{3\pi}{4}
Doğru olan −3π4-\frac{3\pi}{4} değeri, limit ifadesinin 32f′(1)\frac{3}{2}f'(1) biçiminde sadeleştirilmesi ve f′(1)f'(1) değerinin trigonometrik türev kuralıyla −π2-\frac{\pi}{2} olarak hesaplanıp yerine yazılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türevin tanımına benzetmek amacıyla çarpanlarına ayırma işlemi yapalım.
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1=lim⁡x→1[f(x3)−f(1)x3−1⋅x3−1x2−1]\lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x^3) - f(1)}{x^3 - 1} \cdot \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \right]
Türevin limit tanımı olan lim⁡u→1f(u)−f(1)u−1=f′(1)\lim_{u \to 1} \frac{f(u) - f(1)}{u - 1} = f'(1) formunu elde etmek için paydadaki ifadeyi x3−1x^3-1 haline getirecek şekilde çarpan ekleyip çıkarırız.
2
Oluşan ikinci çarpanın limit değerini çarpanlara ayırma yöntemiyle hesaplayalım.
lim⁡x→1x3−1x2−1=lim⁡x→1(x−1)(x2+x+1)(x−1)(x+1)=lim⁡x→1x2+x+1x+1=32\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{3}{2}
Belirsizliği gidermek için pay ve paydayı x−1x-1 ortak çarpanına göre sadeleştirir ve x=1x = 1 değerini yerine yazarız.
3
Türevin limit tanımını kullanarak toplam limiti f′(1)f'(1) cinsinden yazalım.
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1=f′(1)⋅32=32f′(1)\lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1} = f'(1) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}f'(1)
x→1x \to 1 iken x3→1x^3 \to 1 olduğundan, birinci limit ifadesi doğrudan f′(1)f'(1) türev değerini temsil eder.
4
Fonksiyonun türevini alarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f(x)=cos⁡(π2x)  ⟹  f′(x)=−π2sin⁡(π2x)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \implies f'(x) = -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)
f′(1)=−π2sin⁡(π2)=−π2⋅1=−π2f'(1) = -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{\pi}{2}
Kosinüs fonksiyonunun türev kuralı ve zincir kuralı (için türevi) uygulanarak fonksiyonun x=1x=1 noktasındaki anlık değişim oranı hesaplanır.
5
Elde edilen değerleri birleştirerek limit sonucunu bulalım.
Limit=32⋅(−π2)=−3π4\text{Limit} = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{3\pi}{4}
İkinci ve dördüncü adımlarda elde ettiğimiz çarpanları birbiriyle çarparak limitin nihai değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı yardımıyla belirsizlik içeren limitlerin türev değerine dönüştürülmesi ve trigonometrik fonksiyonlarda zincir kuralı uygulaması.

Alternatif Yöntem

Limit ifadesinde x→1x \to 1 için 0/00/0 belirsizliği bulunduğundan L'Hôpital kuralı uygulanabilir. Payın xx'e göre türevi 3x2⋅f′(x3)3x^2 \cdot f'(x^3), paydanın türevi ise 2x2x olur. Limitte x=1x=1 yazıldığında 3⋅12⋅f′(1)2⋅1=32f′(1)\frac{3 \cdot 1^2 \cdot f'(1)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}f'(1) elde edilir. Ardından fonksiyonun türevi alınarak sonuca gidilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 94Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu yalnızca (−∞,−8](-\infty, -8] aralığında azalandır.

Buna g��re,
g(x)=f(x2−6x)g(x) = f(x^2 - 6x)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty)

Cevap

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty) kümesidir.
Artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty) kümesidir. Fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−3)f′(x2−6x)g'(x) = 2(x - 3) f'(x^2 - 6x) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında; x−3x - 3 ve f′(x2−6x)f'(x^2 - 6x) çarpanlarının işaretlerinin çarpımı (2,3)(2, 3) ve (4,∞)(4, \infty) aralıklarında pozitif (++) olmaktadır. Dolayısıyla bu aralıklar fonksiyonun artan olduğu bölgelerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun türevi alınır.
g′(x)=(2x−6)⋅f′(x2−6x)=2(x−3)⋅f′(x2−6x)g'(x) = (2x - 6) \cdot f'(x^2 - 6x) = 2(x - 3) \cdot f'(x^2 - 6x)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenir.
x−3=0  ⟹  x=3x - 3 = 0 \implies x = 3 ve f′(x2−6x)=0  ⟹  x2−6x=−8  ⟹  (x−2)(x−4)=0  ⟹  x=2f'(x^2 - 6x) = 0 \implies x^2 - 6x = -8 \implies (x - 2)(x - 4) = 0 \implies x = 2 veya x=4x = 4 kritik noktalardır.
ff fonksiyonu yalnızca (−∞,−8](-\infty, -8] aralığında azalan olduğundan, f′(u)=0f'(u) = 0 eşitliğini sağlayan sınır değer u=−8u = -8 olur.
3
Kritik noktalara göre işaret tablosu oluşturulur ve g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan bölgeler belirlenir.
x<2x < 2 için g′(x)<0g'(x) < 0, 2<x<32 < x < 3 için g′(x)>0g'(x) > 0, 3<x<43 < x < 4 için g′(x)<0g'(x) < 0, x>4x > 4 için g′(x)>0g'(x) > 0 bulunur. Buradan artan olan aralıklar [2,3][2, 3] ve [4,∞)[4, \infty) olarak elde edilir.
Çarpanların her aralıktaki işareti belirlenerek çarpılır. x>4x > 4 için x−3>0x-3 > 0 ve x2−6x>−8  ⟹  f′(x2−6x)>0x^2-6x > -8 \implies f'(x^2-6x) > 0 olduğundan çarpım pozitif olur. Diğer aralıklar da benzer şekilde test edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi
Soru 95Soru →

Tanımlı olduğu kümede f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡h→0f(1−2h)−f(1+4h)3h \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - 2h) - f(1 + 4h)}{3h}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limit ifadesinin değeri 4'tür.
Verilen limit ifadesi türevin limit tanımı kullanılarak −2f′(1)-2f'(1) şeklinde yazılabilir. f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonunun türevi f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2} olduğundan, f′(1)=−2f'(1) = -2 olur. Buradan limitin değeri −2⋅(−2)=4-2 \cdot (-2) = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2}
f(x)=18(x+2)−1f(x) = 18(x+2)^{-1} şeklinde yazılarak türev alma kuralı uygulandığında f′(x)=−18(x+2)−2f'(x) = -18(x+2)^{-2} elde edilir.
2
Türevin x=1x = 1 noktasındaki değerini bulalım.
f′(1)=−2f'(1) = -2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazılarak f′(1)=−18(1+2)2=−2f'(1) = -\frac{18}{(1+2)^2} = -2 bulunur.
3
Limit ifadesini türevin tanımına göre düzenleyelim.
−2f′(1)-2f'(1)
Pay kısmına f(1)f(1) eklenip çıkarılarak limit parçalandığında, lim⁡h→0f(1−2h)−f(1)3h−lim⁡h→0f(1+4h)−f(1)3h=−23f′(1)−43f′(1)=−2f′(1)\lim_{h \to 0} \frac{f(1-2h)-f(1)}{3h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(1+4h)-f(1)}{3h} = -\frac{2}{3}f'(1) - \frac{4}{3}f'(1) = -2f'(1) elde edilir.
4
Limit değerini hesaplayalım.
4
−2f′(1)=−2⋅(−2)=4-2f'(1) = -2 \cdot (-2) = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı
Soru 96Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−53xf(x) = x^3 - \frac{5}{3}x
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu grafiği başka bir Q(q,f(q))Q(q, f(q)) noktasında kesmektedir.

PP ve QQ noktalarından grafiğe çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, pp sayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 176\frac{\sqrt{17}}{6}

Cevap

kök 17 bölü 6 olan ifade
Doğru cevap olan ifade, f(x)f(x) eğrisinin PP noktasındaki teğetinin eğriyi kestiği diğer noktanın Q(−2p,f(−2p))Q(-2p, f(-2p)) olduğunu gösterdikten sonra, bu iki noktadaki teğetlerin eğimleri olan 3p2−533p^2 - \frac{5}{3} ve 12p2−5312p^2 - \frac{5}{3} değerlerinin çarpımını −1-1'e eşitleyerek elde edilen denklemin pozitif köklerinden biridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx apsisli noktadaki teğet eğimi formülünü bulunuz.
f′(x)=3x2−53f'(x) = 3x^2 - \frac{5}{3}
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.
y−(p3−53p)=(3p2−53)(x−p)  ⟹  y=(3p2−53)x−2p3y - (p^3 - \frac{5}{3}p) = (3p^2 - \frac{5}{3})(x - p) \implies y = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3
Teğet doğrusunun denklemi, eğimi ve üzerindeki PP noktası kullanılarak y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle elde edilir.
3
Teğet doğrusu ile eğrinin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözünüz.
x3−53x=(3p2−53)x−2p3  ⟹  x3−3p2x+2p3=0  ⟹  (x−p)2(x−q)=0x^3 - \frac{5}{3}x = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3 \implies x^3 - 3p^2 x + 2p^3 = 0 \implies (x-p)^2(x-q) = 0
Teğet noktası çift katlı kök olduğundan denklem (x−p)2(x−q)=0(x-p)^2(x-q) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler toplamı ilişkisinden 2p+q=0  ⟹  q=−2p2p + q = 0 \implies q = -2p elde edilir.
4
PP ve QQ noktalarındaki teğet doğrularının eğimlerini bulunuz.
m1=3p2−53m_1 = 3p^2 - \frac{5}{3} ve m2=3(−2p)2−53=12p2−53m_2 = 3(-2p)^2 - \frac{5}{3} = 12p^2 - \frac{5}{3}
Her iki noktadaki teğetlerin eğimleri, o noktaların apsis değerlerinin türev fonksiyonunda yerine yazılmasıyla hesaplanır.
5
Teğetlerin birbirine dik olması şartını uygulayarak pp için denklemi çözünüz.
m1⋅m2=−1  ⟹  (3p2−53)(12p2−53)=−1  ⟹  324p4−225p2+34=0m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (3p^2 - \frac{5}{3})(12p^2 - \frac{5}{3}) = -1 \implies 324p^4 - 225p^2 + 34 = 0
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir. Elde edilen denklem p2p^2 değişkenine göre ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
6
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak pp değerlerini bulunuz.
(36p2−17)(9p2−2)=0  ⟹  p2=1736(36p^2 - 17)(9p^2 - 2) = 0 \implies p^2 = \frac{17}{36} veya p2=29p^2 = \frac{2}{9}
Pozitif pp değerleri 176\frac{\sqrt{17}}{6} veya 23\frac{\sqrt{2}}{3} olarak bulunur. Seçeneklerde bu değerlerden ilki mevcuttur.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğrisi ile kesişim noktalarının tespiti ve türev ile teğet eğimi ilişkisi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 97Soru →
f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 fonksiyonunun grafiğine, bu grafiğin yy eksenini kestiği noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

15\frac{1}{5}
Grafiğin yy eksenini kestiği nokta x=0x = 0 apsisli noktadır. Fonksiyonun bu noktadaki teğet eğimi f′(0)=−5f'(0) = -5 olarak bulunur. Teğet ile normal doğruları birbirine dik olduğundan normal doğrusunun eğimi 15\frac{1}{5} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun yy eksenini kestiği noktanın apsisini belirleme.
Apsis değeri x=0x = 0 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin yy eksenini kestiği noktada her zaman x=0x = 0 olur.
2
Fonksiyonun türevini alarak bu noktadaki teğet doğrusunun eğimini hesaplama.
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 türev fonksiyonunda x=0x = 0 yazılarak teğet doğrusunun eğimi mt=f′(0)=−5m_t = f'(0) = -5 bulunur.
Fonksiyonun o noktadaki türev değeri, grafiğe o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
3
Teğet eğiminden faydalanarak normal doğrusunun eğimini bulma.
mt⋅mn=−1  ⟹  −5⋅mn=−1  ⟹  mn=15m_t \cdot m_n = -1 \implies -5 \cdot m_n = -1 \implies m_n = \frac{1}{5} elde edilir.
Birbirine dik olan teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ile türev ilişkisi.
Soru 98Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için,

* x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğeti y=−x+2y = -x + 2 doğrusudur.
* x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğeti y=2x−3y = 2x - 3 doğrusudur.

Buna göre,
g(x)=f(x⋅f(4−x))g(x) = f(x \cdot f(4 - x))

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=3x = 3 noktasındaki türevinin değeri olan g′(3)g'(3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Doğru cevap 8'dir.
Bileşke fonksiyon türevi ve çarpım kuralı eksiksiz uygulandığında g′(3)=f′(3⋅f(1))⋅[f(1)−3⋅f′(1)]g'(3) = f'(3 \cdot f(1)) \cdot [f(1) - 3 \cdot f'(1)] ifadesi elde edilir. Teğet doğrularının denklemlerinden okunan f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=−1f'(1) = -1 ve f′(3)=2f'(3) = 2 değerleri yerine yazıldığında sonuç 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrularının denklemlerini kullanarak ff fonksiyonunun ilgili noktalardaki değerlerini ve türevlerini belirlemek.
x=1x = 1 noktasındaki teğet y=−x+2y = -x + 2 olduğundan, teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) bu doğru üzerindedir. Buradan f(1)=−1+2=1f(1) = -1 + 2 = 1 ve teğetin eğimi olan türev f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.

x=3x = 3 noktasındaki teğet y=2x−3y = 2x - 3 olduğundan, teğet noktası (3,f(3))(3, f(3)) bu doğru üzerindedir. Buradan f(3)=2(3)−3=3f(3) = 2(3) - 3 = 3 ve teğetin eğimi olan türev f′(3)=2f'(3) = 2 bulunur.
Bileşke fonksiyonun türevini alıp değerleri yerine yazabilmek için teğet-türev ilişkisinden yararlanılması gerekir.
2
g(x)=f(x⋅f(4−x))g(x) = f(x \cdot f(4 - x)) fonksiyonunun türev kuralını yazmak.
Zincir kuralı gereği:
g′(x)=f′(x⋅f(4−x))⋅ddx[x⋅f(4−x)]g'(x) = f'(x \cdot f(4 - x)) \cdot \frac{d}{dx}[x \cdot f(4 - x)]

İçteki ifadenin türevi için çarpım kuralı ve f(4−x)f(4-x) bileşkesi için zincir kuralı uyguland��ğında:
ddx[x⋅f(4−x)]=1⋅f(4−x)+x⋅f′(4−x)⋅(−1)=f(4−x)−x⋅f′(4−x)\frac{d}{dx}[x \cdot f(4 - x)] = 1 \cdot f(4 - x) + x \cdot f'(4 - x) \cdot (-1) = f(4 - x) - x \cdot f'(4 - x)

Böylece türev fonksiyonu:
g′(x)=f′(x⋅f(4−x))⋅[f(4−x)−x⋅f′(4−x)]g'(x) = f'(x \cdot f(4 - x)) \cdot [f(4 - x) - x \cdot f'(4 - x)] olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevini alırken dıştan içe doğru türev çarpımları zincir kuralına göre yapılmalıdır.
3
g′(x)g'(x) ifadesinde x=3x = 3 yazarak sonucu hesaplamak.
g′(3)=f′(3⋅f(1))⋅[f(1)−3⋅f′(1)]g'(3) = f'(3 \cdot f(1)) \cdot [f(1) - 3 \cdot f'(1)]

Adım 1'de bulduğumuz f(1)=1f(1) = 1 ve f′(1)=−1f'(1) = -1 değerlerini yerine koyalım:
g′(3)=f′(3⋅1)⋅[1−3⋅(−1)]g'(3) = f'(3 \cdot 1) \cdot [1 - 3 \cdot (-1)]
g′(3)=f′(3)⋅[1+3]g'(3) = f'(3) \cdot [1 + 3]
g′(3)=f′(3)⋅4g'(3) = f'(3) \cdot 4

f′(3)=2f'(3) = 2 değerini de yerine yazarsak:
g′(3)=2⋅4=8g'(3) = 2 \cdot 4 = 8 elde edilir.
İstenen g′(3)g'(3) değerine ulaşmak için elde edilen türev fonksiyonuna x=3x=3 yazılır ve bilinen değerler yerine konur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir. Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki türevine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 99Soru →
Türevlenebilir ve sıfırdan farklı değerler alan bir ff fonksiyonu için
g(x)=f(x+1f(x))g(x) = f\left(\frac{x+1}{f(x)}\right)
biçiminde tanımlanıyor.
f(1)=2f(1) = 2
f′(1)=4f'(1) = 4
olduğuna göre, g′(1)g'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Doğru cevap -6'dır.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı ve bölümün türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp x=1x=1 değeri yerine yazıldığında, içteki fonksiyonun değeri 11 ve bu noktadaki türevi −32-\frac{3}{2} olarak bulunur. Dıştaki fonksiyonun türevi olan f′(1)=4f'(1)=4 ile içteki kısmın türevi olan −32-\frac{3}{2} çarpıldığında doğru cevap −6-6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevi kuralını uygulayarak genel türev denklemini oluşturun.
g′(x)=f′(x+1f(x))⋅(x+1f(x))′g'(x) = f'\left(\frac{x+1}{f(x)}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{f(x)}\right)'
Bileşke fonksiyon türevlenirken dıştaki fonksiyonun türevi alınıp içi aynen bırakılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
Bölümün türevi kuralını kullanarak içteki x+1f(x)\frac{x+1}{f(x)} ifadesinin türevini bulun.
h′(x)=1⋅f(x)−(x+1)⋅f′(x)[f(x)]2h'(x) = \frac{1 \cdot f(x) - (x+1) \cdot f'(x)}{[f(x)]^2}
Bölüm durumundaki bir ifadenin türevi; payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi, bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
3
x = 1 için içteki fonksiyonun değerini ve türevini hesaplayın.
İçteki fonksiyonun değeri: h(1)=1+1f(1)=22=1h(1) = \frac{1+1}{f(1)} = \frac{2}{2} = 1. İçteki fonksiyonun türevi: h′(1)=f(1)−2⋅f′(1)[f(1)]2=2−2⋅422=−32h'(1) = \frac{f(1) - 2 \cdot f'(1)}{[f(1)]^2} = \frac{2 - 2 \cdot 4}{2^2} = -\frac{3}{2}.
Türev ifadesinde x=1x = 1 yazılarak her bir bileşenin değeri hesaplanır.
4
Tüm değerleri birleştirerek g′(1)g'(1) sonucuna ulaşın.
g′(1)=f′(1)⋅h′(1)=4⋅(−32)=−6g'(1) = f'(1) \cdot h'(1) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6
Zincir kuralından elde edilen bileşenler çarpılarak nihai türev değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpan olarak eklenir.
Soru 100Soru →

ff ve gg, x=2x = 2 noktasında türevlenebilir ve f(2)>0f(2) > 0, g(2)>0g(2) > 0 koşullarını sağlayan iki fonksiyondur.

x=2x = 2 noktasını içeren açık bir aralıktaki her xx değeri için,
f(x)⋅g(x)=x2−3x+4f(x) \cdot g(x) = x^2 - 3x + 4
f(x)g(x)+1=(x−1)2\frac{f(x)}{g(x) + 1} = (x - 1)^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen türev değeri 12'dir.
Verilen fonksiyonel bağıntılardan çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla türev alınarak x=2x=2 için bir denklem sistemi oluşturulur. Buradan f′(2)=3f'(2) = 3 ve g′(2)=−1g'(2) = -1 bulunur. Daha sonra h(x)h(x) fonksiyonuna bölüm türevi uygulandığında h′(2)=12h'(2) = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliklerde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerleri belirlenir.
f(2)⋅g(2)=2f(2) \cdot g(2) = 2 ve f(2)g(2)+1=1\frac{f(2)}{g(2)+1} = 1 denklem sistemi elde edilir. Pozitif değerlilik koşulu altında bu sistem çözüldüğünde g(2)=1g(2) = 1 ve f(2)=2f(2) = 2 bulunur.
Türev denklemlerinde fonksiyonların bu noktadaki değerlerini yerine koyabilmek için.
2
Her iki eşitliğin de xx'e göre türevleri alınır.
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=2x−3f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2x - 3 ve f′(x)(g(x)+1)−f(x)g′(x)(g(x)+1)2=2(x−1)\frac{f'(x)(g(x)+1) - f(x)g'(x)}{(g(x)+1)^2} = 2(x-1) türev bağıntıları elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerlerine ulaşmak amacıyla temel türev kuralları uygulanır.
3
Türev bağıntılarında x=2x = 2 yazılıp, bilinen fonksiyon değerleri yerine konularak doğrusal denklem sistemi çözülür.
f′(2)+2g′(2)=1f'(2) + 2g'(2) = 1 ve f′(2)−g′(2)=4f'(2) - g'(2) = 4 sistemi elde edilir. Buradan g′(2)=−1g'(2) = -1 ve f′(2)=3f'(2) = 3 olarak bulunur.
h′(2)h'(2) değerini hesaplamak için gerekli olan türev değerlerini bulmak.
4
h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} ifadesine bölüm ve pay kısmına çarpım türevi kuralı uygulanarak x=2x = 2 yazılır.
h′(x)=(f(x)+x⋅f′(x))⋅g(x)−x⋅f(x)⋅g′(x)(g(x))2h'(x) = \frac{(f(x) + x \cdot f'(x)) \cdot g(x) - x \cdot f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} ifadesinde değerler yerine konduğunda h′(2)=(2+2⋅3)⋅1−2⋅2⋅(−1)12=12h'(2) = \frac{(2 + 2 \cdot 3) \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot (-1)}{1^2} = 12 bulunur.
Soruda istenen h′(2)h'(2) değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları
ÖncekiSayfa 5 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin