Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6

Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'(x) = (x-5)^2(x+3)

olarak verilmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 4x)$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, 1] \cup [2, 3]

(-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, 5]

[1, 3]

(-\infty, -1] \cup [2, 3]

[1, 2] \cup [3, \infty)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-\infty, 1] \cup [2, 3]$

Cevap

(-\infty, 1] \cup [2, 3]

Bileşke fonksiyonun türevi alındığında

g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1)

elde edilir. İşaret tablosu yapıldığında

x = -1

ve

x = 5

çift katlı kökler olduğu için bu noktalarda işaret değişmez. Türevin negatif veya sıfır olduğu bölge

(-\infty, 1] \cup [2, 3]

olur.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(x^2 - 4x)

fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alalım.

g'(x) = (2x - 4) \cdot f'(x^2 - 4x)

elde edilir.

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.

2

Verilen

f'(x) = (x-5)^2(x+3)

ifadesinde

x

yerine

x^2 - 4x

yazarak

f'(x^2 - 4x)

ifadesini elde edip çarpanlarına ayıralım.

f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 5)^2 (x^2 - 4x + 3)

olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak:

f'(x^2 - 4x) = (x-5)^2 (x+1)^2 (x-3)(x-1)

elde edilir.

Türev fonksiyonunun köklerini ve işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm çarpanları en sade biçimde yazmamız gerekir.

3

g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1)

fonksiyonunun tüm köklerini ve bu köklerin katlılık (tek/çift) durumlarını belirleyelim.

Kökler küçükten büyüğe:

x = -1

(çift katlı),

x = 1

(tek katlı),

x = 2

(tek katlı),

x = 3

(tek katlı),

x = 5

(çift katlı) olarak bulunur.

İşaret tablosunda hangi kritik noktalardan geçerken işaretin değişip değişmeyeceğini doğru tespit etmek için köklerin katları belirlenmelidir.

4

g'(x)

için işaret tablosu hazırlayarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulalım.

En sağdaki aralıkta derecesi en büyük terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için (+) ile başlanır. Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo tamamlanır:

x > 5

için (+),

3 < x < 5

için (+),

2 < x < 3

için (-),

1 < x < 2

için (+),

-1 < x < 1

için (-),

x < -1

için (-). Dolayısıyla

g'(x) \leq 0

olan en geniş aralıklar

(-\infty, 1]

ve

[2, 3]

aralıklarıdır.

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklarda fonksiyon azalandır. Sürekli fonksiyonlarda türevin sıfır olduğu izole noktalar azalanlık aralığını bölmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan aralıkların belirlenmesi

Soru 102Soru →

$f$ ve $g$ , $(0, \infty)$ aralığında tanımlı, pozitif değerli ve türevlenebilir iki fonksiyondur.

Her

x > 0

için

f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4x^2 + 12

\frac{f(x)}{g(x)} = x^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)}$ olarak tanımlanan $H(x)$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevi olan $H'(2)$ değeri kaçtır?

-\frac{1}{4}

0

\frac{1}{3}

\frac{5}{27}

\frac{13}{27}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

H'(2) değeri

\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Verilen fonksiyonel ilişkilerden yararlanılarak

x=2

için

f(2)=12

ve

g(2)=3

değerleri elde edilir. Çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak türev değerleri

f'(2)=\frac{32}{3}

ve

g'(2)=-\frac{1}{3}

olarak hesaplanır.

H(x)

fonksiyonu

\frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}

şeklinde parçalanıp türevi alındığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitliklerden

x = 2

için

f(2)

ve

g(2)

değerlerini bulunuz.

f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4(2)^2 + 12 = 36

ve

\frac{f(2)}{g(2)} = 2^2 = 4

elde edilir. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan

f(2) = 4g(2)

yazılıp çarpım denkleminde yerine konulursa

4[g(2)]^2 = 36 \Rightarrow g(2) = 3

ve dolayısıyla

f(2) = 12

bulunur.

Türev hesaplamalarında kullanılacak olan fonksiyon değerlerini belirlemek amacıyla.

2

Eşitliklerin türevlerini alarak

f'(2)

ve

g'(2)

değerlerini bulunuz.

Çarpım türevi kuralından:

f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 + 8x

.

x=2

için:

3f'(2) + 12g'(2) = 28

olur. Bölüm türevi kuralından:

\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = 2x

.

x=2

için:

\frac{3f'(2) - 12g'(2)}{9} = 4 \Rightarrow 3f'(2) - 12g'(2) = 36

olur. Bu iki denklemin ortak çözümünden

f'(2) = \frac{32}{3}

ve

g'(2) = -\frac{1}{3}

elde edilir.

H'(2)

ifadesinde kullanılacak fonksiyon türev değerlerini bulmak amacıyla.

3

H(x)

ifadesini cebirsel olarak sadeleştirip türevini alınız.

H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x \cdot f(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}

olur. Her iki tarafın türevi alındığında

H'(x) = \frac{1 \cdot g(x) - x \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} - \frac{f'(x)}{[f(x)]^2}

elde edilir.

H'(x)

türev fonksiyonunu daha basit ve hesaplaması kolay bir biçimde ifade etmek amacıyla.

4

Bulunan değerleri türev fonksiyonunda yerine yazarak

H'(2)

değerini hesaplayınız.

H'(2) = \frac{3 - 2(-\frac{1}{3})}{9} - \frac{\frac{32}{3}}{144} = \frac{\frac{11}{3}}{9} - \frac{32}{432} = \frac{11}{27} - \frac{2}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}

elde edilir.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 103Soru →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(1) = 2

olmak üzere,

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Türevlenebilir

f

fonksiyonu için

f'(1)

değeri

-1

olarak bulunur.

Verilen limit ifadesi cebirsel olarak düzenlendiğinde türevin limit tanımı yardımıyla

2f(1) - 2f'(1) = 6

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte

f(1) = 2

değeri yerine yazıldığında

f'(1) = -1

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen limit ifadesinin pay kısmına

f(1)

terimini ekleyip çıkararak ifadeyi düzenleyelim.

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(1) + f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6

Türevin limit tanımını kullanabilmek için

f(u) - f(1)

benzeri ifadeler elde etmeyi amaçlıyoruz.

2

Payı gruplandırarak limit ifadesini iki ayrı limitin farkı şeklinde ayıralım.

\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 1} - \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} \right] = 6

Limiti daha kolay hesaplanabilir iki bağımsız parçaya bölmek için.

3

Birinci terimde

x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

özdeşliğini kullanarak sadeleştirme yapalım; ikinci terimde ise pay ve paydayı

x+1

ile çarparak türevin tanım formatını oluşturalım.

\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot (x + 1) - \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1) \right] = 6

x \to 1

iken

x^2 \to 1

olduğundan, ikinci limit parçasında türev tanımını uygulayabilmek için.

4

x \to 1

için limitleri alalım ve verilen

f(1) = 2

değerini yerine yazarak

f'(1)

değerini hesaplayalım.

f(1) \cdot 2 - f'(1) \cdot 2 = 6 \implies 2(2) - 2f'(1) = 6 \implies 4 - 2f'(1) = 6 \implies f'(1) = -1

Denklemi çözüp istenen türev değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve limitin cebirsel özellikleri

Soru 104Soru →

Tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

g(2) = 3

g'(2) = -2

f'(3) = 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.

h(x) = f(g(x^2 + 1))

olduğuna göre, $h'(1)$ değeri kaçtır?

-8

-4

-16

4

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

Türev değerleri ve zincir kuralı uygulandığında elde edilen sonuç -16'dır.

Verilen

h(x) = f(g(x^2 + 1))

fonksiyonunun türevi zincir kuralı yardımıyla

h'(x) = f'(g(x^2 + 1)) \cdot g'(x^2 + 1) \cdot 2x

olarak bulunur. Burada

x = 1

yazıldığında

h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2

elde edilir. Verilen değerler (

g(2) = 3

,

g'(2) = -2

,

f'(3) = 4

) yerine yerleştirildiğinde

h'(1) = 4 \cdot (-2) \cdot 2 = -16

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralını) uygulayarak

h'(x)

ifadesini bulun.

h'(x) = f'(g(x^2 + 1)) \cdot g'(x^2 + 1) \cdot 2x

elde edilir.

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştan içe doğru türev alınır ve her bir iç fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir.

2

x = 1

değerini türev fonksiyonunda yerine yazın.

h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2

elde edilir.

İstenen

h'(1)

değerini hesaplamak için türev fonksiyonunda bağımsız değişken yerine

1

yazılmalıdır.

3

Verilen

g(2) = 3

,

g'(2) = -2

ve

f'(3) = 4

değerlerini yerine koyarak sonucu hesaplayın.

h'(1) = 4 \cdot (-2) \cdot 2 = -16

bulunur.

Bilinen fonksiyon ve türev değerleri yerlerine yazıldıktan sonra çarpma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonların türevleri dıştaki fonksiyonun türeviyle çarpılır.

Soru 105Soru →

Aşağıdaki tabloda türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonlarının ve bu fonksiyonların türevlerinin bazı $x$ değerleri için tanımlanmış değerleri verilmiştir:

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
$2$	$4$	$3$	$1$	$5$
$3$	$2$	$-4$	$2$	$-3$

Buna göre, $h(x) = f(g(2x - 5))$ biçiminde tanımlanan $h$ fonksiyonu için $h'(4)$ değeri kaçtır?

-18

-12

-9

6

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -18

Cevap

Doğru cevap -18 değeridir.

Zincir kuralı doğru uygulanarak

h'(x) = f'(g(2x-5)) \cdot g'(2x-5) \cdot 2

türevi elde edilir.

x=4

için tablodaki

g(3)=2

,

g'(3)=-3

ve

f'(2)=3

değerleri yerine yazıldığında

3 \cdot (-3) \cdot 2 = -18

değeri bulunur. Bu nedenle doğru cevap -18 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

h(x) = f(g(2x - 5))

fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.

h'(x) = f'(g(2x - 5)) \cdot g'(2x - 5) \cdot 2

elde edilir.

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, dıştaki fonksiyonun türevi içine dokunulmadan alınır, ardından içinin türeviyle çarpılır. Bu işlem en içteki lineer ifadeye kadar zincirleme devam eder.

2

Türev ifadesinde

x = 4

değerini yerine yazınız.

h'(4) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 2

elde edilir.

h'(4)

değerini bulmak için tüm

x

değişkenlerinin yerine

4

yazılması gerekir.

3

Tablodaki değerleri kullanarak

g(3)

ve

g'(3)

değerlerini bulunuz ve yerine yazınız.

g(3) = 2

ve

g'(3) = -3

olduğundan

h'(4) = f'(2) \cdot (-3) \cdot 2

olur.

Bileşke türevini hesaplamak için önce en içteki fonksiyonun ve türevinin verilen noktadaki değerleri tablodan okunmalıdır.

4

Tablodan

f'(2)

değerini bulunuz ve nihai çarpma işlemini gerçekleştiriniz.

f'(2) = 3

olduğundan

h'(4) = 3 \cdot (-3) \cdot 2 = -18

olarak hesaplanır.

Dıştaki fonksiyonun türev değeri de tablodan okunarak tüm çarpanlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve zincir kuralı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 106Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = x - 1 + \frac{9}{x - 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

-2

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Verilen fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x = -2 ve x = 4 noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu apsislerin toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = 1 - \frac{9}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 9}{(x-1)^2}

Yerel ekstremum noktaları, türevin işaret değiştirdiği kritik noktalarda bulunur.

2

Türevin sıfır olduğu noktalar (payın kökleri) belirlenir.

(x-1)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 9 \Rightarrow x-1 = 3 \text{ veya } x-1 = -3 \Rightarrow x = 4 \text{ ve } x = -2

Türevin payını sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.

3

Türevin paydasının kökü incelenir.

(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1

(çift katlı kök ve tanımsızlık noktası)

Fonksiyon x = 1 noktasında tanımlı değildir, ayrıca bu nokta türevin çift katlı kökü olduğu için türevin işareti bu noktada değişmez.

4

Türevin işaret tablosu yapılarak ekstremum noktaları belirlenir.

x < -2 için f'(x) > 0 (artan), -2 < x < 1 için f'(x) < 0 (azalan), 1 < x < 4 için f'(x) < 0 (azalan), x > 4 için f'(x) > 0 (artan). Buna göre, x = -2 noktasında yerel maksimum ve x = 4 noktasında yerel minimum vardır.

Türevin işaretinin değiştiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.

5

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.

-2 + 4 = 2

Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Yerel ekstremum noktalarının bulunması için birinci türevin işaret tablosunun incelenmesi gerekir. Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.

Soru 107Soru →

$f(x) = (2x - 3)^4$ fonksiyonu veriliyor. Buna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

2

4

6

8

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8

Fonksiyonun türevi zincir kuralı yardımıyla

f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2 = 8(2x - 3)^3

olarak bulunur. Burada

x = 2

değeri yerine yazıldığında doğru sonuç olan 8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dış fonksiyonun türevi alınır.

4(2x - 3)^3

Üs başa çarpım olarak gelir ve üs 1 azaltılır.

2

İç fonksiyonun türevi alınır ve dış türev ile çarpılır (Zincir Kuralı).

f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2 = 8(2x - 3)^3

Bileşke fonksiyon türevi alınırken dıştaki türev ile içinin türevi çarpılmalıdır.

3

Elde edilen türev fonksiyonunda

x = 2

yazılır.

f'(2) = 8(2 \cdot 2 - 3)^3 = 8(1)^3 = 8

x = 2

noktasındaki türev değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) ve temel türev alma kuralları.

Tahmini Süre:45s

Soru 108Soru →

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12

fonksiyonu yalnızca $[x_1, x_2]$ kapalı aralı��ında azalandır.

$x_2 - x_1 = 4$ olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a gerçek sayısı 15'tir.

Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif olduğu için fonksiyon yalnızca kökler arasında azalandır. Kökler toplamı ve farkı ortak çözülerek kökler 1 ve 5 olarak bulunur. Bu kökler türev denklemini sağlayacağından x = 1 için türev sıfıra eşitlenerek a = 15 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12

fonksiyonunun türevini alırız.

f'(x) = 3x^2 - 18x + a

Bir fonksiyonun artış ve azalış durumlarını belirlemek için fonksiyonun birinci türevi incelenmelidir.

2

Fonksiyonun azalan olduğu aralık ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurarız.

x_1

ve

x_2

değerleri

3x^2 - 18x + a = 0

denkleminin kökleridir. Kökler toplamı

x_1 + x_2 = 6

olur.

Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif (

3 > 0

) olduğundan, türev kökler arasında negatif değerler alır ve fonksiyon bu kapalı aralıkta azalandır. İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı

-b/a

formülü ile hesaplanır.

3

Kökler toplamı ve verilen kökler farkı bilgisini ortak çözerek kökleri elde ederiz.

x_1 = 1

ve

x_2 = 5

x_1 + x_2 = 6

ve

x_2 - x_1 = 4

denklemleri taraf tarafa toplandığında

2x_2 = 10 \implies x_2 = 5

ve buradan

x_1 = 1

bulunur.

4

x_1 = 1

kökünü türev fonksiyonunda yerine yazarak a değerini buluruz.

f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + a = 0 \implies a = 15

Kökler, türev fonksiyonunu sıfır yapan değerler olduğundan denklemi sağlamak zorundadır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan oldu��u aralıkların belirlenmesi

Soru 109Soru →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu

f(x) = x\sqrt{x} + 5x

eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre,

f'(4)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türev fonksiyonunda

x

yerine

4

yazıldığında elde edilen sonuç

8

'dir.

Verilen fonksiyon

f(x) = x^{3/2} + 5x

şeklinde düzenlenip temel türev kuralları uygulandığında

f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5

türev fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda

x = 4

yazıldığında

f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} + 5 = 3 + 5 = 8

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Terimleri türev almaya uygun şekilde üslü biçimde düzenlemek

f(x) = x^{3/2} + 5x

Tabanı aynı olan üslü sayıların çarpımı özelliğini kullanarak köklü ifadeyi tek bir üslü sayı biçiminde yazmak.

2

Fonksiyonun türevini almak

f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5

Üs kuralı (

d/dx(x^n) = n x^{n-1}

) ve toplamın türevi kuralı yardımıyla her bir terimin türevini hesaplamak.

3

Türev fonksiyonunda

x = 4

değerini yerine yazmak

8

İstenen

f'(4)

türev değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları yardımıyla üslü ve doğrusal ifadelerin türevlerinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Çarpım türevi kuralı uygulanarak da çözülebilir.

x\sqrt{x}

ifadesinin türevi:

(x)' \cdot \sqrt{x} + x \cdot (\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}

olur. Buradan

f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + 5

elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 110Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1

eğrisine üzerindeki farklı

A

ve

B

noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir.

Bu teğet doğruları arasındaki uzaklık $\frac{4}{\sqrt{10}}$ birim olduğuna göre, bu paralel teğet doğrularının eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Paralel teğet doğrularının eğimi

-0.5

olarak bulunur.

Doğru eğim değeri olan

-0.5

, paralel teğet doğrularının geometrik simetrisi ve aralarındaki uzaklık bağıntısı çözüldüğünde elde edilen tek gerçel çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1

Türev fonksiyonunun bulunması ve paralel teğet şartının yazılması

f'(x) = 3x^2 - 6x + 1

olup, teğet noktalarının apsisleri

a

ve

b

için

3x^2 - 6x + (1 - m) = 0

denklemi elde edilir.

Teğet doğruları paralel olduğundan teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimleri) eşit ve

m

olmalıdır.

2

Simetri merkezinin kullanılması ve değişken dönüşümü yapılması

a+b=2

olduğundan

a = 1-d

ve

b = 1+d

tanımlanır. Kökler çarpımı bağıntısından

m = 3d^2 - 2

bağıntısı elde edilir.

Apsislerin simetriğini kullanarak teğet doğrularının denklemlerini daha kolay ve sade bir şekilde ifade etmek hedeflenir.

3

Paralel teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması

L_1: y = mx - 2d^3

ve

L_2: y = mx + 2d^3

denklemleri elde edilir.

İki paralel doğrunun denklemi arasındaki sabit terim farkını bulmak için teğet noktaları doğru denklemlerinde yerine yazılır.

4

Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün uygulanması

\frac{4d^3}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}} \Rightarrow 10d^6 = m^2 + 1

denklemi kurulur.

Doğrular arasındaki uzaklığın belirtilen değere eşit olması bağıntısı kurulur.

5

Elde edilen denklemin çözülmesi ve eğimin bulunması

u = d^2

için

10u^3 - 9u^2 + 12u - 5 = 0

denklemi çözülerek

u = 1/2

ve buradan

m = -1/2

elde edilir.

Değişken değiştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle teğet doğrusunun eğimi olan

m

değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, paralel teğet doğruları, iki paralel doğru arasındaki uzaklık ve simetri özellikleri.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 111Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir

f

fonksiyonu

f(f(x) - 2x) = 3x^2 + 2x - 2

eşitliğini sağlamaktadır.

f(1) = 3

olduğuna göre,

f'(1)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

) doğru uygulanıp

x=1

yazıldığında

f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8

denklemi elde edilir. Bu denkleminin kökleri

4

ve

-2

olup, fonksiyonun artan olma koşulundan dolayı pozitif olan 4 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin her iki yanının türevini alarak zincir kuralını uygulayın.

f'(f(x) - 2x) \cdot (f'(x) - 2) = 6x + 2

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

Eşitlikte

x = 1

yazarak verilen değerleri kullanın.

f'(f(1) - 2) \cdot (f'(1) - 2) = 8

Soruda

f(1)

değeri verildiği ve

f'(1)

istendiği için türev denkleminde

x = 1

noktası incelenmelidir.

3

f(1) = 3

değerini yerine koyun.

f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8

f(1) - 2

ifadesini sadeleştirmek ve bilinmeyen

f'(1)

değerine bağlı bir denklem elde etmek için bu adım gereklidir.

4

f'(1) = k

değişken değiştirmesi ile ikinci dereceden denklemi çözün.

k = 4

veya

k = -2

k^2 - 2k - 8 = 0

denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.

5

f

fonksiyonunun artanlık özelliğini kullanarak doğru kökü seçin.

f'(1) = 4

Artan fonksiyonların türevi tanımlı oldukları yerlerde negatif olamayacağı için negatif olan

-2

kökü elenir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve elde edilen denklemin fonksiyon özelliklerine göre çözülmesi.

Soru 112Soru →

Türevlenebilir

y

,

u

ve

v

değişkenleri arasında

y = u^2 + u

u = v^2 - 3v

v = x^2 - 2x

ilişkileri tanımlanmıştır.

Buna göre, $x = 3$ için $\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

x = 3

için

\frac{dy}{dx}

türevinin değeri

12

olarak bulunur.

Zincir kuralı gereğince

\frac{dy}{dx}

türevi,

\frac{dy}{du}

,

\frac{du}{dv}

ve

\frac{dv}{dx}

türevlerinin çarpımına eşittir.

x = 3

için bu türevlerin değerleri sırasıyla

1

,

3

ve

4

olup çarpımları

12

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

x = 3

noktası için sırasıyla

v

ve

u

değişkenlerinin değerlerini bulma

v = 3

ve

u = 0

Türevlerin hesaplanacağı noktaları belirlemek amacıyla değişkenlerin değerleri sırasıyla yerine yazılır.

2

Her bir değişkenin bağlı olduğu değişkene göre türev kuralını belirleme

\frac{dy}{du} = 2u + 1

,

\frac{du}{dv} = 2v - 3

,

\frac{dv}{dx} = 2x - 2

Zincir kuralını uygulamak için tekil türev ifadeleri elde edilmelidir.

3

Türev ifadelerinde belirlenen noktaları (

u = 0

,

v = 3

,

x = 3

) yerine yazarak çarpımı hesaplama

\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12

Zincir kuralı formülü olan

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}

uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı kullanılarak birbirine bağlı fonksiyonların türevini alma.

Soru 113Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

h(x) = f(3x - g(x^2))

biçiminde tanımlanıyor.

g(1) = 2

g'(1) = 3

f'(1) = 4

olduğuna göre,

h'(1)

değeri kaçtır?

-12

-4

0

4

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

h'(1) değeri -12 olarak bulunur.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı doğru bir şekilde uygulanıp

x=1

yazıldığında

h'(1) = f'(3-g(1)) \cdot (3-2g'(1)) = f'(1) \cdot (3-6) = 4 \cdot (-3) = -12

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

h(x) = f(3x - g(x^2))

fonksiyonunun türevini almak için bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulanır.

h'(x) = f'(3x - g(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(3x - g(x^2))

elde edilir.

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.

2

İçteki

3x - g(x^2)

ifadesinin türevi alınır.

\frac{d}{dx}(3x - g(x^2)) = 3 - 2x \cdot g'(x^2)

bulunur.

Toplam ve farkın türev kuralları ile

g(x^2)

ifadesi için zincir kuralı uygulanır.

3

h'(x) = f'(3x - g(x^2)) \cdot (3 - 2x \cdot g'(x^2))

eşitliğinde

x = 1

yazılır ve verilen değerler yerine konur.

h'(1) = f'(3 - g(1)) \cdot (3 - 2 \cdot g'(1)) = f'(1) \cdot (3 - 6) = 4 \cdot (-3) = -12

bulunur.

g(1) = 2

,

g'(1) = 3

ve

f'(1) = 4

değerleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralının uygulanması ve içteki fonksiyonun türevinin çarpım olarak yazılması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 114Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

fonksiyonu

f(x) = x^3 - 3x

olarak veriliyor.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - x)$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]

\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty\right)

\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]

\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty\right)

\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$

Cevap

\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]

Zincir kuralı uygulanarak elde edilen

g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1)

türev fonksiyonunun gerçel kökleri

\frac{1-\sqrt{5}}{2}

,

\frac{1}{2}

ve

\frac{1+\sqrt{5}}{2}

olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde, türevin negatif olduğu en geniş aralıklar

(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}]

ve

[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}]

birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk olarak

g(x) = f(x^2 - x)

fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak alalım.

g'(x) = f'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevinin içine içteki fonksiyon yazılır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.

2

f(x) = x^3 - 3x

fonksiyonunun türevi olan

f'(x)

ifadesini bulalım ve

g'(x)

türev fonksiyonunda yerine yazalım.

f'(x) = 3x^2 - 3 \Rightarrow f'(x^2 - x) = 3(x^2 - x)^2 - 3

Buradan

g'(x) = 3[(x^2 - x)^2 - 1] \cdot (2x - 1)

elde edilir.

g'(x)

fonksiyonunun işaretini incelemek için çarpanlarına ayrılmış halini bulmamız gerekir.

3

g'(x)

ifadesini çarpanlarına ayırarak tüm köklerini bulalım.

g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1) = 0

x^2 - x + 1 = 0

denkleminin diskriminantı

\Delta = -3 < 0

olduğundan gerçel kökü yoktur ve daima pozitiftir.
Diğer çarpanların kökleri:

2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm gerçel kökleri bulmalıyız.

4

Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak

g'(x)

fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.

Sıralama:

\frac{1-\sqrt{5}}{2} < \frac{1}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}

şeklindedir.
En büyük dereceli terimin katsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan

+

ile başlanır. Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir:

(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2})

aralığında

-

(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2})

aralığında

+

(\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2})

aralığında

-

(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty)

aralığında

+

Buna göre azalan aralıklar türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerdir:

\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]

Türevin negatif veya sıfır olduğu kapalı aralıklarda sürekli ve türevlenebilir fonksiyon azalandır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi.

Soru 115Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

h(x) = f(x) \cdot g(x)

k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(1) = 2

ve

g(1) = 1

olmak üzere,

h

ve

k

fonksiyonlarının türevleri sırasıyla

h'(x) = 10x

k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}

biçiminde verilmiştir.

Buna göre, $f'(1) + g'(1)$ toplamı kaçtır?

4

6

7

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Çarpım ve böl��m türev kuralları uygulanarak elde edilen denklem sisteminin çözümünden f'(1) + g'(1) toplamı 8 olarak bulunur.

Çarpım türev kuralından

f'(1) + 2g'(1) = 10

ve bölüm türev kuralından

f'(1) - 2g'(1) = 2

denklemleri elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

f'(1) = 6

ve

g'(1) = 2

bulunur. Toplamları 8 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Çarpım türevi kuralını uygulayarak h'(1) değerini bulunuz.

f'(1) + 2g'(1) = 10

denklemi elde edilir.

h(x) = f(x) \cdot g(x)

olduğundan çarpım türevi

h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

şeklindedir.

x = 1

için

h'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1)

olur. Verilen

f(1) = 2

,

g(1) = 1

ve

h'(1) = 10

değerleri yerine yazıldığında bu eşitliğe ulaşılır.

2

Bölüm türevi kuralını uygulayarak k'(1) değerini bulunuz.

f'(1) - 2g'(1) = 2

denklemi elde edilir.

k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

olduğundan bölüm türevi

k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

şeklindedir. Bize verilen

k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}

ifadesinden payların eşit olması gerektiği görülür. Buradan

f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) = 2

elde edilir.

x = 1

için bilinen değerler yazıldığında denklem kurulur.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözünüz.

f'(1) = 6

ve

g'(1) = 2

olarak bulunur.

f'(1) + 2g'(1) = 10

ve

f'(1) - 2g'(1) = 2

denklemleri taraf tarafa toplandığında

2f'(1) = 12 \implies f'(1) = 6

bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında

6 + 2g'(1) = 10 \implies 2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2

elde edilir.

4

İstenen toplam değerini hesaplayınız.

f'(1) + g'(1) = 6 + 2 = 8

bulunur.

Soru bizden

f'(1)

ve

g'(1)

değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Türev kurallarından çarpımın ve bölümün türevi kurallarının cebirsel olarak uygulanması ve ortak denklem çözümü.

Soru 116Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 2x + a

g(x) = -x^2 + 4x + b

fonksiyonlarının grafikleri olan paraboller verilmiştir.

$f(x)$ parabolünün tepe noktasından $g(x)$ parabolüne çizilen te��et doğruları birbirine diktir.

Buna göre, $a$ ile $b$ gerçel sayıları arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

a - b = \frac{21}{4}

a - b = \frac{5}{4}

a - b = \frac{13}{4}

a - b = \frac{19}{4}

a - b = \frac{25}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a - b = \frac{21}{4}$

Cevap

a - b = \frac{21}{4}

bağıntısıdır.

a - b = \frac{21}{4}

bağıntısı doğrudur çünkü

f(x)

parabolünün tepe noktası

T(1, a-1)

olarak belirlendikten sonra bu noktadan geçen teğet doğrularının eğimleri çarpımı

-1

olarak alındığında elde edilen kökler toplamı ve çarpımı ilişkisi bizi doğrudan bu sonuca ulaştırmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 2x + a

parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-2}{2(1)} = 1

ve ordinatı

k = f(1) = 1^2 - 2(1) + a = a - 1

olur. Dolayısıyla tepe noktası

T(1, a - 1)

noktasıdır.

g(x)

fonksiyonuna bu noktadan teğetler çizileceği için başlangıç noktamız tepe noktasıdır.

2

g(x) = -x^2 + 4x + b

parabolüne üzerindeki bir

P(t, g(t))

noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.

g'(x) = -2x + 4

olduğundan teğetin eğimi

m = -2t + 4

olur. Teğet doğrusunun denklemi

y - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(x - t)

olarak bulunur.

Teğet doğrusunun genel denklemini kurmak için türevden yararlanılır.

3

Teğet doğrusunun

T(1, a - 1)

noktasından geçmesi koşulunu uygulayarak

t

değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi elde ediniz.

(a - 1) - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(1 - t)

ifadesi düzenlendiğinde

t^2 - 2t + (5 - a + b) = 0

denklemi elde edilir.

T

noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.

4

Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu (

m_1 \cdot m_2 = -1

) uygulayarak

a

ve

b

arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.

m_1 \cdot m_2 = (-2t_1 + 4)(-2t_2 + 4) = 4t_1 t_2 - 8(t_1 + t_2) + 16 = -1

olur. Bir önceki adımda elde edilen denklemden kökler toplamı

t_1 + t_2 = 2

ve kökler çarpımı

t_1 t_2 = 5 - a + b

değerleri yerine yazılırsa:

4(5 - a + b) - 8(2) + 16 = -1 \implies 20 - 4a + 4b = -1 \implies 4a - 4b = 21 \implies a - b = \frac{21}{4}

bağıntısı bulunur.

Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir ve bu durum kök-katsayı ilişkileriyle çözülebilir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması ve bu doğruların birbirine dik olması durumunda eğimler çarpımının -1'e eşitlenmesi.

Soru 117Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'(x) = x^2 - 5x + 4

olarak verilmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x^2)$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

[1, 2]

[-1, 1]

[0, 1]

[-2, 0]

[-1, 0]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0, 1]$

Cevap

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıklardan biri [0, 1] aralığıdır.

Doğru seçenekte sunulan [0, 1] aralığı,

g'(x) = 2x(x^2-4)(x^2-1) \ge 0

eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan artanlık aralıklarından biridir. Yapılan türev analizi ve işaret tablosu sonucunda bu aralıkta türevin pozitif veya sıfır olduğu doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.

g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)

g(x) = f(x^2)

fonksiyonunun türevi zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevinin çarpımına eşittir.

2

f'(x)

fonksiyonunda

x

yerine

x^2

yazarak

f'(x^2)

ifadesini bulunuz ve çarpanlarına ayırınız.

f'(x^2) = (x^2)^2 - 5(x^2) + 4 = (x^2-4)(x^2-1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)

g'(x)

ifadesini tamamen çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp kökleri bulmak için.

3

g'(x) = 0

denkleminin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturunuz.

Kökler küçükten büyüğe:

-2, -1, 0, 1, 2

olup işaret tablosunda en sağ aralık (

x > 2

) pozitif (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir.

Türevin işaretini belirleyerek fonksiyonun artan (

g'(x) \ge 0

) ve azalan (

g'(x) \le 0

) olduğu aralıkları tespit etmek için.

4

g'(x) \ge 0

olan aralıkları belirleyiniz.

Fonksiyonun artan olduğu aralıklar

[-2, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty)

olarak bulunur.

Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar fonksiyonun artan olduğu aralıklardır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artanlık ve azalanlık aralıklarının belirlenmesi.

Soru 118Soru →

$x > 0$ olmak üzere, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\sqrt{x}$ fonksiyonunun $x = 4$ noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Türev fonksiyonunda

x = 4

değeri yerine yazıldığında elde edilen sonuç 25'tir.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}

olarak bulunur. Bu fonksiyonda

x = 4

yazıldığında

f'(4) = 3(16) - 6(4) + 1 = 25

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Türev alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel türevini bulunuz.

f'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}

Polinom terimler için

(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

kuralı ve köklü terim için

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

kuralı uygulanmı��tır.

2

Elde edilen türev fonksiyonunda

x

yerine

4

yazarak değeri hesaplayınız.

f'(4) = 25

f'(4) = 3(4^2) - 6(4) + \frac{2}{\sqrt{4}} = 48 - 24 + 1 = 25

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak polinom ve köklü ifadelerin türevinin hesaplanması.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 119Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 1}

fonksiyonunun mutlak maksimum noktası $(1, 2)$ 'dir.

Buna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

-3

-2

0

2

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

İstenen çarpım değeri

2

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan

2

değeri, fonksiyonun

(1, 2)

noktasını sağlamasıyla elde edilen

a+b=3

denklemi ile bu noktada türevin sıfır olmasından gelen

b=1

bilgisinin birleştirilmesiyle bulunur. Buradan

a=2

ve

a \cdot b = 2

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(1) = 2

eşitliğini kurarak

a

ve

b

arasındaki ilk denklemi elde etmek.

a + b = 3

(1, 2)

noktası fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığı için fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.

2

f(x)

fonksiyonunun türevini alıp

x = 1

noktasında sıfıra eşitlemek.

f'(1) = 0

ve buradan

b = 1

(1, 2)

noktası bir yerel ekstremum noktasıdır ve fonksiyon tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olduğundan bu noktada türev sıfır olmalıdır.

3

a + b = 3

denkleminde

b = 1

değerini yerine yazarak

a

değerini bulmak.

a = 2

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bilinmeyen katsayıları tamamlamak.

4

a

ve

b

değerlerini çarparak istenen sonucu hesaplamak.

a \cdot b = 2

Soru kökündeki çarpım ifadesini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ve mutlak ekstremum noktalarında türevin sıfır olması ve fonksiyonun değerinin bulunması.

Soru 120Soru →

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x - 5

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı 0'dır.

Verilen fonksiyonun türevi alındığında

f'(x) = (x-4)^2

elde edilir. Bu ifadenin kökü olan

x = 4

bir çift katlı köktür. Çift katlı köklerin sağında ve solunda türevin işareti değişmeyip pozitif kalmaya devam ettiği için fonksiyon bu noktada artışını sürdürür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur ve sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

f'(x) = x^2 - 8x + 16

Yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun türevinin işaret incelemesini yapmalıyız.

2

Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.

x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4

(çift katlı kök)

Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.

3

Türevin işaret tablosunu inceleyelim.

x = 4

noktasının solunda ve sağında

f'(x) > 0

olduğundan türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.

Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde işaret değişmediğinden

x = 4

noktası bir ekstremum noktası değildir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfır oldu��u bir noktada yerel ekstremum olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmediği için yerel ekstremum noktası oluşmaz.

Türev ve Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm