Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4

Soru 61Soru →

f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Verilen fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = 3(x-1)^2

olarak bulunur.

x=1

türevin çift katlı köküdür ve bu noktanın sağında da solunda da türevin işareti pozitif (+) kalır. Fonksiyon daima artan olup hiçbir noktada ekstremum değerine ulaşmaz. Bu nedenle yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun birinci türevi alınır.

f'(x) = 3x^2 - 6x + 3

Yerel ekstremum noktalarının varlığını ve sayısını belirlemek için öncelikle birinci türev fonksiyonu elde edilmelidir.

2

Elde edilen türev fonksiyonu çarpanlarına ayrılır ve sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur.

3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1

(çift katlı kök)

Türev fonksiyonunun işaret tablosunun hazırlanabilmesi için kökler ve bu köklerin katlılık durumları belirlenmelidir.

3

Türev fonksiyonunun işaret tablosu oluşturularak işaret değişimi incelenir.

x = 1

noktasının solunda ve sağında

f'(x) > 0

olduğu için türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.

Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi (artanlıktan azalanlığa ya da azalanlıktan artanlığa geçmesi) zorunludur.

4

Ekstremum noktalarının toplam sayısı belirlenir.

Türev hiçbir noktada işaret değiştirmediği için fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur (sayısı 0'dır).

Çift katlı köklerde işaret değişimi gerçekleşmediği için bu noktalar yerel ekstremum oluşturmaz.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi işaret değiştirmelidir. Çift katlı köklerde işaret değişimi olmadığından bu noktalar ekstremum noktası olamaz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 62Soru →

f(x) = (x^2 + 2x)^3

olduğuna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Doğru cevap 108'dir.

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.

f(x) = (x^2 + 2x)^3

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2)

şeklindedir. Burada

x = 1

yazıldığında

f'(1) = 3 \cdot (1 + 2)^2 \cdot (2 + 2) = 3 \cdot 9 \cdot 4 = 108

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyon türev kuralını uygulayarak fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2)

Zincir kuralı gereğince dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadenin türevi ile çarpılması gerekir.

2

Türev fonksiyonunda

x

yerine

1

yazın.

f'(1) = 3(1^2 + 2 \cdot 1)^2 \cdot (2 \cdot 1 + 2)

f'(1)

değerini bulmak için türev fonksiyonundaki

x

değişkenlerinin yerine

1

koyulmalıdır.

3

İşlemleri tamamlayarak nihai sonucu hesaplayın.

108

3 \cdot 9 \cdot 4 = 108

çarpımı yapılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanır:

[g(x)^n]' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)

Soru 63Soru →

$f$ gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

h(x) = f(x^2 + x)

eşitliği veriliyor.

$f'(2) = 5$ olduğuna göre, $h'(1)$ değeri kaçtır?

5

8

10

15

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 değeri doğrudur.

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre,

h(x) = f(g(x))

ise

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

olur. Burada

g(x) = x^2 + x

olarak seçildiğinde

g'(x) = 2x + 1

olur. Dolayısıyla

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)

elde edilir.

x = 1

için

h'(1) = f'(2) \cdot 3

olur. Bize

f'(2) = 5

olarak verildiğinden,

h'(1) = 5 \cdot 3 = 15

bulunur. Bu nedenle 15 cevabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (x^2 + x)'

yani

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)

elde edilir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alındıktan sonra içteki fonksiyonun türevi ile çarpılması gerekir.

2

Elde edilen türev denkleminde x yerine 1 yazılır.

h'(1) = f'(1^2 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)

yani

h'(1) = f'(2) \cdot 3

elde edilir.

Bizden istenen

h'(1)

değerini hesaplamak için denklemde

x = 1

noktası değerlendirilir.

3

Verilen

f'(2) = 5

değeri yerine yazılarak çarpma işlemi tamamlanır.

h'(1) = 5 \cdot 3 = 15

bulunur.

Soruda verilen sayısal değerler kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken, dıştaki fonksiyonun türevi içine dokunulmadan yazılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.

Soru 64Soru →

Türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonlarının bazı $x$ değerleri için kendilerinin ve türevlerinin değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
$2$	$1$	$4$	$3$	$5$
$3$	$5$	$-2$	$2$	$4$

$h(x) = (f \circ g)(x)$ olduğuna göre, $h'(2)$ değeri kaçtır?

-2

-6

20

-10

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı doğru uygulandığında elde edilen

-10

değeridir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

biçimindedir. Tablodaki değerlere göre

g(2) = 3

ve

g'(2) = 5

olduğundan

h'(2) = f'(3) \cdot 5

haline gelir. Yine tablodan

f'(3) = -2

değeri yerine konulduğunda

h'(2) = -2 \cdot 5 = -10

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralını yazın.

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Zincir kuralı gereğince

h(x) = (f \circ g)(x)

fonksiyonunun türevi, dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyon değerindeki karşılığı ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

2

Türev fonksiyonunda

x

yerine

2

yazarak ifadeyi düzenleyin.

h'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2)

x = 2

noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda

x

yerine

2

yazılır.

3

Tablodan

g(2)

ve

g'(2)

değerlerini okuyup yerlerine yazın.

g(2) = 3

ve

g'(2) = 5

olduğundan

h'(2) = f'(3) \cdot 5

olur.

x=2

satırındaki

g(x)

ve

g'(x)

sütunlarındaki değerler alınmıştır.

4

Tablodan

f'(3)

değerini okuyup işlemi tamamlayın.

f'(3) = -2

olduğundan

h'(2) = -2 \cdot 5 = -10

bulunur.

x=3

satırındaki

f'(x)

sütunundaki değer alınarak çarpım işlemi gerçekleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanırken dıştaki fonksiyonun türevi içteki fonksiyonun değerinde hesaplanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.

Soru 65Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Grafik, $x$ -eksenini $x = -3$ ve $x = 4$ noktalarında kesmektedir.
* Grafik, $x = 1$ noktasında $x$ -eksenine teğettir.
* $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$ için $f'(x) < 0$ ve $x \in (-3, 1) \cup (1, 4)$ için $f'(x) > 0$ dır.

Buna göre,

I. $f$ fonksiyonu $[-3, 4]$ aralığında artandır.
II. $g(x) = f(2-x)$ fonksiyonu $[3, 5]$ aralığında artandır.
III. $h(x) = f(x^2)$ fonksiyonu $(0, 2)$ aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III

Doğru seçenek I ve III. öncüllerin doğru olduğunu belirtmektedir.

f

fonksiyonunun türevi

[-3, 4]

aralığında (sadece

x=1

noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerli olduğundan

f

bu aralıkta artandır.

h(x) = f(x^2)

fonksiyonunun türevi

h'(x) = 2x \cdot f'(x^2)

olup,

(0, 2)

aralığındaki tüm

x

değerleri için bu türev pozitif olduğundan

h

fonksiyonu da bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1

Türevin işaret tablosunu oluşturarak birinci öncülü değerlendirme

f'(x)

fonksiyonu

[-3, 4]

aralığında (yalnızca

x=1

noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerlidir.

Bir fonksiyonun türevi bir aralıkta sıfırdan büyük veya eşitse ve türevi sıfır yapan noktalar ayrık ise fonksiyon o aralıkta strictly artandır. Dolayısıyla birinci ��ncül doğrudur.

2

İkinci öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme

g'(x) = -f'(2-x)

olur.

x \in [3, 5]

için

2-x \in [-3, -1]

aralığındadır. Bu aralıkta

f'(2-x) \ge 0

olduğundan

g'(x) \le 0

elde edilir.

Bileşke fonksiyon türevi alınırken içteki

2-x

ifadesinin türevi olan

-1

çarpanı gelir.

g'(x) \le 0

olduğundan

g(x)

fonksiyonu bu aralıkta azalandır, dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.

3

Üçüncü öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme

h'(x) = 2x \cdot f'(x^2)

olur.

x \in (0, 2)

için

2x > 0

ve

x^2 \in (0, 4)

aralığındadır. Bu aralıkta

f'(x^2) \ge 0

olduğundan

h'(x) \ge 0

elde edilir.

x \in (0, 2)

aralığında türev pozitif (sadece

x=1

noktasında sıfır) olduğundan

h(x)

bu aralıkta artandır, dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve bileşke fonksiyonların türevi

Alternatif Yöntem

Öncüller incelenirken uzun uzun işaret tablosu çizmek yerine, türevin grafik üzerindeki pozitif ve negatif olduğu bölgeler zihinden takip edilebilir. Örneğin

g(x) = f(2-x)

için

x

değerleri

3

ile

5

arasında artarken,

2-x

değerleri

-1

ile

-3

arasında azalır. Bu aralıkta

f'

pozitif olduğundan,

f

fonksiyonu azalan yönde hareket eder. Dolayısıyla

g

fonksiyonu azalandır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 66Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $y = f(t)$ ve $t = g(x)$ fonksiyonları

y = t^2 - 3t

t = \sqrt{x^2 + 5}

eşitlikleriyle veriliyor.

Buna göre, $x = 2$ değeri için $\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

x = 2 değeri için dy/dx türevinin değeri 2'dir.

Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi, y'nin t'ye göre türevi ile t'nin x'e göre türevinin çarpımına eşittir. x = 2 değeri için t = 3 olur. Bu noktalardaki dy/dt = 3 ve dt/dx = 2/3 değerleri çarpıldığında doğru türev değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2 değeri için t değişkeninin değerini bulma

t = 3

Zincir kuralında türev değerlerini doğru noktalarda değerlendirebilmek için x'e karşılık gelen t değerini bilmemiz gerekir.

2

y fonksiyonunun t değişkenine göre türevini alıp t = 3 için değerini hesaplama

dy/dt = 3

y = t^2 - 3t ifadesinin t'ye göre türevi dy/dt = 2t - 3'tür. t = 3 yazıldığında 2(3) - 3 = 3 elde edilir.

3

t fonksiyonunun x değişkenine göre t��revini alıp x = 2 için değerini hesaplama

dt/dx = 2/3

t = (x^2 + 5)^(1/2) fonksiyonunun x'e göre türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: dt/dx = (1/2) * (x^2 + 5)^(-1/2) * 2x = x / \sqrt{x^2 + 5} olur. x = 2 için bu değer 2 / \sqrt{9} = 2/3 olarak bulunur.

4

Zincir kuralını uygulayarak dy/dx değerini hesaplama

dy/dx = 2

Zincir kuralına göre dy/dx = (dy/dt) * (dt/dx) olur. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak dy/dx = 3 * (2/3) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Zincir Kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonların türevinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Zincir kuralını doğrudan uygulamak yerine y fonksiyonunda t yerine eşiti olan ifadeyi yazarak y'yi doğrudan x cinsinden elde edebiliriz:

y = (\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3\sqrt{x^2 + 5} = x^2 + 5 - 3\sqrt{x^2 + 5}

. Buradan doğrudan x'e göre türev alırsak:

y' = 2x - 3 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = 2x - \frac{3x}{\sqrt{x^2+5}}

.

x = 2

için

y' = 2(2) - \frac{3(2)}{\sqrt{2^2+5}} = 4 - \frac{6}{3} = 4 - 2 = 2

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 67Soru →

f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16)

türev fonksiyonuna sahip

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

fonksiyonunun azalan olduğu herhangi bir aralık bulunmamaktadır.

Buna göre, $a$ gerçel sayısının alabileceği değerlerin en geniş kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

[-4, 4]

(-8, 8)

[-8, 8]

(-\infty, -8] \cup [8, \infty)

[-16, 16]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-8, 8]$

Cevap

[-8, 8]

kapalı aralığı

Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması koşulundan elde edilen

x^2 - ax + 16 \geq 0

eşitsizliğinin her

x

için sağlanması gerekir. Bu da diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasıyla mümkündür. Buradan elde edilen

a^2 - 64 \leq 0

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi

[-8, 8]

kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Azalanlık durumunun türev ile ilişkisini kurma.

Her

x \in \mathbb{R}

için

f'(x) \geq 0

olmalıdır.

Bir fonksiyonun azalan olduğu bir aralığının bulunmaması, o fonksiyonun hiçbir yerde negatif türeve sahip olmaması gerektiği, yani türevin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir.

2

Türev ifadesindeki çarpanları analiz etme.

x^2 - ax + 16 \geq 0

olmalıdır.

f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16)

ifadesinde,

(x-3)^2

terimi her

x

gerçel sayısı için tam kare olduğundan sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın daima sıfırdan büyük veya eşit kalabilmesi için diğer çarpan olan

x^2 - ax + 16

ifadesinin de daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

3

İkinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunu (diskriminantı) inceleme.

\Delta = a^2 - 64 \leq 0 \implies a \in [-8, 8]

Baş katsayısı pozitif olan bir ikinci dereceden ifadenin her

x

gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması, grafiğinin

x

eksenini kesmemesi veya teğet olması anlamına gelir. Bu durum

\Delta \leq 0

eşitsizliği ile sağlanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi ve tekil noktalarda türevin sıfır olma durumunun incelenmesi

Soru 68Soru →

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun grafiği ile bu grafiğe $x = 1$ ve $x = 2$ apsisli noktalarda teğet olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir.

$d_1$ doğrusu $x$ -eksenini $(\frac{2}{3}, 0)$ noktasında kesmekte, $d_2$ doğrusu ise $x$ -ekseniyle pozitif yönde $135^\circ$ lik açı yapmaktadır.

$g(x) = f(x \cdot f(2x))$ şeklinde tanımlanan $g$ fonksiyonu için $g'(1)$ değeri kaçtır?

-3

0

3

-1

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İstenen g'(1) değeri -3'tür.

Bileşke fonksiyon türev kuralı ve çarpımın türevi kuralı doğru şekilde uygulandığında g'(1) = f'(1) * (f(2) + 2f'(2)) ifadesine ulaşılır. Grafikten f(2) = 1, f'(2) = tan(135°) = -1, f(1) = 1 ve f'(1) = 3 değerleri bulunup yerine yazıldığında sonuç -3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralını uygulayarak g'(x) ifadesini genel olarak yazalım.

g'(x) = f'(x \cdot f(2x)) \cdot \frac{d}{dx}(x \cdot f(2x))

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.

2

Çarpımın türevi ve zincir kuralını kullanarak içteki

x \cdot f(2x)

ifadesinin türevini bulalım.

\frac{d}{dx}(x \cdot f(2x)) = 1 \cdot f(2x) + x \cdot f'(2x) \cdot 2 = f(2x) + 2x \cdot f'(2x)

İki ifadenin çarpımının türevi için (birincinin türevi) * (ikinci) + (ikincinin türevi) * (birinci) kuralı uygulanır. f(2x) türevlenirken içinin türevi olan 2 çarpanı eklenir.

3

Türev ifadesinde x = 1 yazarak gerekli olan fonksiyon ve türev değerlerini belirleyelim.

g'(1) = f'(1 \cdot f(2)) \cdot (f(2) + 2 \cdot f'(2))

x = 1 noktası türev fonksiyonundaki değişken yerine yerleştirilir.

4

Grafik ve teğet doğrularının denklemlerinden/eğimlerinden f(2), f'(2), f(1) ve f'(1) değerlerini elde edelim.

f(2) = 1

,

f'(2) = \tan(135^\circ) = -1

,

f(1) = 1

ve

f'(1) = \frac{1 - 0}{1 - 2/3} = 3

Türevlenebilir bir fonksiyonun teğet olduğu noktadaki türevi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimine (x-ekseniyle yapılan açının tanjantına) eşittir.

5

Bulunan değerleri adım 3'te elde edilen ifadede yerine yerleştirerek g'(1) değerini hesaplayalım.

g'(1) = f'(1 \cdot 1) \cdot (1 + 2 \cdot (-1)) = f'(1) \cdot (1 - 2) = 3 \cdot (-1) = -3

Bulunan değerler cebirsel olarak yerlerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev alırken zincir kuralının ve çarpım kuralının doğru uygulanması ile grafikteki teğet doğrusunun eğiminin türev değeri olarak yorumlanması.

Soru 69Soru →

Bir gerçel sayı fonksiyonu bir $x = x_0$ noktasında sürekli ise bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşul olsa da yeterli değildir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.

Verilen ifade yanlıştır çünkü bir fonksiyonun sürekli olması o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez. Grafiklerdeki keskin köşeler bu durumun en temel istisnasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Türevlenebilirlik ve süreklilik arasındaki genel mantıksal ilişkiyi kurun.

Bir fonksiyon bir noktada türevlenebiliyorsa o noktada süreklidir. Ancak, sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmez (Süreklilik

\not\Rightarrow

Türevlenebilirlik).

Teorik tanım gereği türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, fakat karşıt yönlü önerme her zaman geçerli değildir.

2

Bir karşıt örnek (aksine örnek) belirleyerek sürekliliği inceleyin.

f(x) = |x|

fonksiyonunun

x = 0

noktasındaki sürekliliğine bakalım:

\lim_{x \to 0^-} |x| = 0

,

\lim_{x \to 0^+} |x| = 0

ve

f(0) = 0

olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir.

Aksine örneğin süreklilik koşulunu sağladığını göstermek.

3

Belirlenen karşıt örneğin bu noktadaki türevlenebilirliğini inceleyin.

x = 0

noktasında sağdan türev

1

, soldan türev ise

-1

olur. Sağdan ve soldan türev limitleri eşit olmadığından fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

Sürekli olduğu halde türevi olmayan bir noktanın varlığını ispatlamak.

Anahtar Kavram

Süreklilik ve Türevlenebilirlik Arasındaki Mantıksal İlişki

Soru 70Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x < 1 \\ 4x + 1, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevi $f'(1)$ kaçtır?

0

3

4

5

Yoktur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yoktur

Cevap

Fonksiyonun bu noktada sürekli olmamasından dolayı türevi yoktur.

Türevlenebilmenin ilk şartı sürekliliktir. Fonksiyonun

x = 1

noktasındaki sol limiti 3, sağ limiti ve değeri ise 5'tir. Bu değerler farklı olduğu için fonksiyon

x = 1

noktasında sürekli değildir. Dolayısıyla bu noktada türevlenebilmesi mümkün değildir ve türevi yoktur.

Adım Adım Çözüm

1

x = 1

noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değerini bularak sürekliliği inceleyin.

Soldan limit:

\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2(1) = 3

. Sağdan limit ve fonksiyon değeri:

\lim_{x \to 1^+} (4x + 1) = f(1) = 4(1) + 1 = 5

olarak bulunur. Soldan limit (

3

) ile sağdan limit (

5

) birbirine eşit olmadığından fonksiyon

x = 1

noktasında sürekli değildir.

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması şarttır.

2

Süreklilik testinin sonucuna göre türevin varlığını değerlendirin.

Fonksiyon

x = 1

noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevlenebilir değildir.

Süreksiz bir noktada fonksiyonun türevi tanımlı olamaz, yani türevi yoktur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 71Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - c|

fonksiyonu yalnızca bir noktada türevsizdir.
Buna göre,

k > 0

olmak üzere,

k + c

toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

4

6

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

k + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.

Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması için, türevsizliğe sebep olan iki mutlak değer teriminin kritik noktalarından birinin çakışması ve o noktada türevlenebilirliğin sağlanması gerekir. Bu da c = 1 veya c = 3 olması durumunda mümkündür. Her iki durumda da sağ ve sol türevlerin eşitliğinden k = 2 bulunur. Böylece k + c toplamı 3 ve 5 değerlerini alabilir, bu değerlerin toplamı 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik noktaları belirleme

x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

ifadesinin kökleri

x = 1

ve

x = 3

'tür.

f(x)

fonksiyonu

|x^2 - 4x + 3|

ve

k|x-c|

terimlerinin farkından oluşmaktadır. Bu bileşenlerin türevsiz olabileceği kritik noktalar

x = 1

,

x = 3

ve

x = c

'dir.

Mutlak değer içerisindeki ifadelerin köklerinde türevlenebilirlik bozulabilir, bu yüzden bu noktaları kritik nokta olarak ele almalıyız.

2

Türevsizlik noktalarının sayısını analiz etme

Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması istenmektedir. Eğer

c

sayısı 1 veya 3'ten farklı olsaydı, fonksiyonun türevsiz olabileceği 3 farklı nokta olurdu ve bu noktalar birbirini sadeleştiremezdi. Bu nedenle türevsizlik noktalarından birinin elenmesi (türevlenebilir hale gelmesi) için

c = 1

veya

c = 3

olmalıdır.

İki mutlak değerli ifadenin türevsizlik noktalarının çakışması, bu noktada türevlerin birbirini sıfırlayarak fonksiyonun türevlenebilir olmasını sağlayabilir.

3

c = 1 durumunu inceleme

c = 1

için

f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 1|

olur. Bu fonksiyon

x = 1

noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
-

x \to 1^-

için:

f(x) = (x^2 - 4x + 3) + k(x - 1) \implies f'(1^-) = -2 + k

-

x \to 1^+

için:

f(x) = -(x^2 - 4x + 3) - k(x - 1) \implies f'(1^+) = 2 - k

f'(1^-) = f'(1^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2

bulunur. Bu durumda

k + c = 2 + 1 = 3

olur. Fonksiyon

x = 3

noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.

Fonksiyonun x = 1 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.

4

c = 3 durumunu inceleme

c = 3

için

f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 3|

olur. Bu fonksiyon

x = 3

noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
-

x \to 3^-

için:

f(x) = -(x^2 - 4x + 3) + k(x - 3) \implies f'(3^-) = -2 + k

-

x \to 3^+

i��in:

f(x) = (x^2 - 4x + 3) - k(x - 3) \implies f'(3^+) = 2 - k

f'(3^-) = f'(3^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2

bulunur. Bu durumda

k + c = 2 + 3 = 5

olur. Fonksiyon

x = 1

noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.

Fonksiyonun x = 3 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.

5

Değerlerin toplamını hesaplama

k + c

ifadesinin alabileceği farklı değerler

3

ve

5

olup, bu değerlerin toplamı

3 + 5 = 8

olarak hesaplanır.

Soru bizden elde edilen farklı

k + c

değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli fonksiyonlarda türevlenebilme koşulu, sağ ve sol limit/türev kavramlarının süreklilikle ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, türev tanımı (limit tanımı) kullanılarak x = 1 ve x = 3 noktalarındaki sağdan ve soldan limitler yardımıyla türevlenebilirlik doğrudan kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 72Soru →

Her noktada türevlenebilen

f

ve

g

fonksiyonları arasında

f(x) \cdot g(x) = x^3 - 2x^2 + 5

ilişkisi bulunmaktadır.

g(2) = 5

g'(2) = 3

olduğuna göre,

f'(2)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.2

Cevap

Hesaplanan f'(2) türev değeri 0.2 olarak bulunur.

Verilen fonksiyonların çarpım ilişkisinden öncelikle

f(2) = 1

bulunur. Daha sonra her iki tarafın türevi çarpım kuralıyla alınarak

f'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2) = 3x^2 - 4x

eşitliğine ulaşılır. Burada

x=2

ve bilinen değerler yerine yazılarak

f'(2) = 0.2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2

için eşitliği kullanarak

f(2)

değerini bulunuz.

f(2) = 1

f(2) \cdot g(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 5

ve

g(2) = 5

olduğundan

f(2) \cdot 5 = 5

ve

f(2) = 1

elde edilir.

2

Eşitliğin her iki tarafının türevini alınız.

f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) = 3x^2 - 4x

Sol tarafta çarpımın türevi kuralı, sağ tarafta ise kuvvet kuralı uygulanmıştır.

3

Türev denkleminde

x = 2

yazarak

f'(2)

değerini hesaplayınız.

f'(2) = 0.2

f'(2) \cdot 5 + 1 \cdot 3 = 3(2)^2 - 4(2) \implies 5f'(2) + 3 = 4 \implies 5f'(2) = 1 \implies f'(2) = 0.2

olur.

Anahtar Kavram

Çarpımın Türevi ve Temel Türev Kuralları

Soru 73Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları her

x \in \mathbb{R}

için

f(x^3 + x) = g(x^2 - x) \cdot (x^2 + 1) + x^2 - 2x

g(2x - 2) = f(x^2 - 3x + 2) + x^3 - 1

eşitliklerini sağlamaktadır.

$g(0) = 2$ olduğuna göre, $h(x) = (f \circ g)(x^2 - 2x)$ şeklinde tanımlanan $h$ fonksiyonu için $h'(0)$ değeri kaçtır?

-35

-45

-\frac{35}{2}

-7

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-35$

Cevap

-35

Doğru cevap

-35

değeridir.

h(x) = f(g(x^2 - 2x))

fonksiyonunun türevi zincir kuralı uyarınca alındığında

h'(x) = f'(g(x^2 - 2x)) \cdot g'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)

olur. Burada

x = 0

yazıldığında

h'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot (-2)

ifadesi elde edilir. Verilen denklemlerin türevlerinden elde edilen

g(0) = 2

,

g'(0) = 5

ve

f'(2) = 7/2

değerleri bu ifadede yerine yazıldığında sonuç

-35

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen fonksiyonel denklemlerin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevi alınır.

Birinci denklemden:

f'(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) \cdot (x^2 + 1) + 2x \cdot g(x^2 - x) + 2x - 2

İkinci denklemden:

2 \cdot g'(2x - 2) = f'(x^2 - 3x + 2) \cdot (2x - 3) + 3x^2

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği içteki ifadelerin türevleri çarpım şeklinde dışarıya yazılır.

2

Türev denklemlerinde uygun

x

değerleri yerine yazılarak türev değerleri arasındaki bağıntılar kurulur.

Birinci türev denkleminde

x = 1

yazılırsa:

4 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(0) + 2 \cdot g(0)

g(0) = 2

olduğu için:

4 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(0) + 4 \implies 2 \cdot f'(2) - g'(0) = 2 \quad \text{(Denklem I)}

Birinci türev denkleminde

x = 0

yazılırsa:

f'(0) = -g'(0) - 2 \implies f'(0) + g'(0) = -2 \quad \text{(Denklem II)}

İkinci türev denkleminde

x = 1

yazılırsa:

2 \cdot g'(0) = -f'(0) + 3 \implies f'(0) + 2 \cdot g'(0) = 3 \quad \text{(Denklem III)}

Bilinmeyen türev değerlerini belirlemek amacıyla çözülebilir bir doğrusal denklem sistemi elde edilir.

3

Elde edilen Denklem II ve Denklem III ortak çözülerek

g'(0)

ve

f'(0)

değerleri hesaplanır.

Denklem III'ten Denklem II taraf tarafa çıkarılırsa:

g'(0) = 3 - (-2) = 5

Bu değer Denklem II'de yerine yazılırsa:

f'(0) + 5 = -2 \implies f'(0) = -7

Ortak çözüm yapılarak

g

fonksiyonunun sıfır noktasındaki türev değerine ulaşılır.

4

Bulunan

g'(0) = 5

değeri Denklem I'de yerine yazılarak

f'(2)

değeri hesaplanır.

2 \cdot f'(2) - 5 = 2 \implies 2 \cdot f'(2) = 7 \implies f'(2) = \frac{7}{2}

h(x)

fonksiyonunun türevinde kullanılacak olan

f'(2)

değerini belirlemek için Denklem I kullanılır.

5

h(x) = f(g(x^2 - 2x))

bileşke fonksiyonunun türevi zincir kuralıyla alınarak

x = 0

noktası için hesaplanır.

h'(x) = f'(g(x^2 - 2x)) \cdot g'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)

x = 0

yazılırsa:

h'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot (2(0) - 2)

h'(0) = f'(2) \cdot g'(0) \cdot (-2)

h'(0) = \frac{7}{2} \cdot 5 \cdot (-2) = -35

Zincir kuralı üçlü bileşke yapısına uygulanarak elde edilen değerler yerine yazılır ve nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru zincir kuralı uygulanır ve her adımda içteki ifadenin türevi çarpım olarak eklenir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 74Soru →

f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2

fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?

0

2

-2

4

-4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

0

Verilen fonksiyonun birinci türevi hesaplandığında kökleri

-2

,

0

ve

2

olarak elde edilir. İşaret tablosu incelendiğinde, sıfır noktasından geçerken türevin işareti pozitiften negatife değiştiği için bu nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevi hesaplanır.

2

Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları (kökleri) bulalım.

x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0

Buradan kökler

x = -2

,

x = 0

ve

x = 2

olarak bulunur.

Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.

3

Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktas��nı belirleyelim.

f'(x)

ifadesinin başkatsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan

+

ile başlanır:
-

x > 2

için

f'(x) > 0

(artan)
-

0 < x < 2

için

f'(x) < 0

(azalan)
-

-2 < x < 0

için

f'(x) > 0

(artan)
-

x < -2

için

f'(x) < 0

(azalan)

Bu durumda:
-

-2

noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum,
- Sıfır noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum,
-

2

noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum vardır.

Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel maksimum noktalarında birinci türevi sıfırdır ve türevin işareti bu noktalardan geçerken pozitiften negatife değişir.

Soru 75Soru →

Her $x$ gerçel sayısı için türevi var olan $f$ ve $g$ fonksiyonları için,

g(3) = 2

g'(3) = 4

f'(2) = 5

e��itlikleri sağlanmaktadır.

h(x) = (f \circ g)(x^2 - 1)

biçiminde tanımlanan $h(x)$ fonksiyonu için $h'(2)$ değeri kaça eşittir?

10

20

40

80

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralı uygulandığında,

h(x) = f(g(x^2 - 1))

ifadesinin türevi

h'(x) = f'(g(x^2 - 1)) \cdot g'(x^2 - 1) \cdot 2x

olarak bulunur. Burada sırasıyla verilen

x = 2

değeri yerine koyulduğunda

h'(2) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 4 = f'(2) \cdot 4 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 4 = 80

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralı ve zincir kuralı uygulanarak

h'(x)

türev ifadesi genel olarak elde edilir.

h'(x) = f'(g(x^2 - 1)) \cdot g'(x^2 - 1) \cdot 2x

Zincir kuralı gereğince

f(g(u(x)))

yapısındaki bir fonksiyonun türevi alınırken dıştan içe doğru türevler sıras��yla çarpılır.

2

Elde edilen

h'(x)

türev fonksiyonunda

x

yerine

2

yazılır.

h'(2) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 4

h'(2)

değerini bulmak için türev ifadesindeki tüm

x

değişkenleri

2

ile değiştirilmelidir.

3

Verilen

g(3) = 2

,

g'(3) = 4

ve

f'(2) = 5

değerleri türev denkleminde yerine yazılır.

h'(2) = f'(2) \cdot 4 \cdot 4 = 5 \cdot 16 = 80

Bileşke fonksiyonun iç değerleri ve türev değerleri adım adım yerine konularak nihai sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev alırken zincir kuralı yardımıyla içteki fonksiyonların türevlerinin de çarpım olarak eklenmesi gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 76Soru →

f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun grafiğine $x = 4$ apsisli noktas��ndan çizilen teğetin eğimi kaçtır?

4

6

-\frac{1}{4}

2

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4$

Cevap

Teğet doğrusunun eğimi

4

olarak bulunur.

Doğru cevap olan seçenekte teğetin eğimi

4

olarak verilmiştir. Bir fonksiyona

x = x_0

noktasından çizilen teğetin eğimi

f'(x_0)

değerine eşittir.

f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 2x - 4

olup,

x = 4

noktasındaki teğet eğimi

f'(4) = 2(4) - 4 = 4

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 2x - 4

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonunda

x = 4

değerini yerine yazarak eğimi hesaplayın.

f'(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4

Teğetin çizildi��i noktanın apsisi

x = 4

olduğundan, teğetin eğimi

m_t = f'(4)

olur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir (

m_t = f'(x_0)

).

Soru 77Soru →

$t$ ve $u$ gerçel sayılar olmak üzere,

t = x^2 - x

u = t^2 - 3t

y = u^3 - 2u^2

eşitlikleri tanımlanıyor.

Buna göre, $\frac{dy}{dx}$ ifadesinin $x = 2$ için değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

İfadelerin birbirine bağlı türevleri zincir kuralı yardımıyla çarpıldığında x = 2 için türevin değeri 60 olarak elde edilir.

Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi alınırken dy/du, du/dt ve dt/dx türevleri sırasıyla hesaplanıp çarpılmalıdır. x = 2 noktası için t = 2 ve u = -2 değerleri bulunur. Bu noktalardaki türevlerin çarpımı 20 * 1 * 3 = 60 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Zincir kuralı ilişkisini belirleme

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

y

değişkeni

u

ya,

u

değişkeni

t

ye,

t

değişkeni de

x

e bağlı olduğu için türev zincir kuralı ile hesaplanır.

2

x = 2

noktasındaki

t

ve

u

değerlerini hesaplama

t = 2^2 - 2 = 2

ve

u = 2^2 - 3(2) = -2

Türev fonksiyonlarının hangi noktalarda değerlendirileceğini bulmak için ara değişken değerleri hesaplanmalıdır.

3

Her bir ifadenin türevini alıp değerlerini yerine yazma

\frac{dt}{dx} = 2x - 1 \implies x = 2 \text{ için } 3

\frac{du}{dt} = 2t - 3 \implies t = 2 \text{ için } 1

\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \implies u = -2 \text{ için } 3(-2)^2 - 4(-2) = 20

Zincir kuralı bileşenlerinin sayısal değerlerini bulmak için her aşamadaki türevler hesaplanır.

4

Türev değerlerini çarparak nihai sonucu elde etme

3 \cdot 1 \cdot 20 = 60

Elde edilen türev değerleri zincir kuralında çarpım durumundadır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı (Chain Rule) yardımıyla çok katmanlı bağlı değişkenlerin türevini alma

Soru 78Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve

x = a

noktasında sürekli olan bir

f

fonksiyonu için

\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}

limitinin bir gerçel sayıya eşit olması,

f

fonksiyonunun

x = a

noktasında türevlenebilir olması için yeterlidir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.

Verilen önerme yanlıştır çünkü süreklilik ve simetrik limitin varlığı, fonksiyonun o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez;

f(x) = |x|

fonksiyonunun

x = 0

noktasındaki durumu buna net bir karşıt örnektir.

Adım Adım Çözüm

1

Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi ve verilen limit ifadesini analiz etme.

Türevlenebilir her fonksiyon süreklidir, ancak sürekli her fonksiyon türevlenebilir olmak zorunda değildir. Verilen limit, literatürde simetrik türev limiti olarak bilinir.

Önermenin doğruluğunu test etmek için bir karşı örnek aranmasına karar verilir.

2

Sürekli olduğu halde türevsiz olan en bilindik fonksiyonu (

f(x) = |x|

)

x = 0

(

a = 0

) noktası için inceleme.

f(x) = |x|

fonksiyonu

x = 0

noktasında süreklidir çünkü

\lim_{x \to 0} |x| = f(0) = 0

koşulu sağlanır.

Önermedeki ilk şart olan sürekli olma koşulunun sağlandığı teyit edilir.

3

Seçilen fonksiyon için

a = 0

noktasındaki limit ifadesinin değerini hesaplama.

\lim_{h \to 0} \frac{|0+h| - |0-h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - |h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{2h} = 0

olarak bulunur. Dolayısıyla limit mevcuttur ve

0

gerçel sayısına eşittir.

Önermedeki ikinci şart olan limitin bir gerçel sayıya eşit olma koşulunun sağlandığı gösterilir.

4

Fonksiyonun ilgili noktadaki türevlenebilirliğini kontrol etme.

f(x) = |x|

fonksiyonunun

x = 0

noktasındaki sağdan türevi

1

, soldan türevi ise

-1

'dir. Sağdan ve soldan türevler eşit olmadığından, fonksiyon

x = 0

noktasında türevlenebilir değildir.

Önermenin sonucunun (türevlenebilir olması gerektiği iddiasının) yanlış olduğunu gösteren bir karşı örnek bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Süreklilik türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur ancak yeterli bir koşul değildir. Bir noktada sürekli olan ve simetrik limit değeri var olan bir fonksiyon o noktada türevlenebilir olmak zorunda değildir.

Soru 79Soru →

Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen

f

fonksiyonu için

f(1) = 1

f'(1) = 3

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $g(x) = f(2x - f(x))$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

g fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri -3'tür.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulandığında g'(x) = f'(2x - f(x)) * (2 - f'(x)) elde edilir. x = 1 için bu ifade g'(1) = f'(1) * (2 - f'(1)) = 3 * (2 - 3) = -3 olur.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(2x - f(x))

fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak ifade etme.

g'(x) = f'(2x - f(x)) \cdot (2 - f'(x))

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre

(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)

şeklindedir. Burada

u(x) = 2x - f(x)

olup,

u'(x) = 2 - f'(x)

'tir.

2

Türev fonksiyonunda

x = 1

değerini yerine yazma.

g'(1) = f'(2(1) - f(1)) \cdot (2 - f'(1))

x = 1

noktasındaki türev değerini bulmak için

g'(x)

ifadesinde

x

yerine

1

yazılır.

3

Verilen

f(1) = 1

ve

f'(1) = 3

değerlerini yerine koyarak hesaplama yapma.

g'(1) = f'(1) \cdot (2 - 3) = 3 \cdot (-1) = -3

Soru kökündeki bilinen değerler yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Soru 80Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun grafiğine $x = -1$ noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğrinin belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 3'tür.

Türevin geometrik yorumuna göre, bir fonksiyonun grafiğine

x = x_0

apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi

f'(x_0)

değeridir.

f(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 2x + 5

olup,

x = -1

için bu değer

f'(-1) = 3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 2x + 5

Bir fonksiyona herhangi bir noktadan ��izilen teğet doğrusunun eğimi, o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonunda teğet noktasının apsisi olan

x = -1

değerini yerine yazın.

f'(-1) = 3

x = -1

noktasındaki teğet doğrusunun eğimi

f'(-1)

değerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine

x = x_0

noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine (

f'(x_0)

) eşittir.

Türev ve Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar